सीडीएस II 2025 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, यदि किसी बहुपद p(x) को (x - a) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल p(a) होता है। दी गई समस्या के अनुसार, जब p(x) को (x - 1) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 2 होता है, इसलिए p(1) = 2। इसी प्रकार, जब p(x) को (x - 2) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होता है, इसलिए p(2) = 1।

जब p(x) को (x - 1)(x - 2) के रूप के द्विघात भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 2 से कम घात वाला बहुपद होना चाहिए। मान लीजिए शेषफल r(x) = ax + b है। विभाजन एल्गोरिथम संबंध p(x) = (x - 1)(x - 2)q(x) + (ax + b) देता है।

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x = 1 के लिए: p(1) = a(1) + b ⇒ a + b = 2 x = 2 के लिए: p(2) = a(2) + b ⇒ 2a + b = 1

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: (2a + b) - (a + b) = 1 - 2 a = -1

a = -1 को a + b = 2 में वापस प्रतिस्थापित करने पर: -1 + b = 2 b = 3

शेषफल r(x) = ax + b, -1x + 3 हो जाता है, जो 3 - x है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, AM-GM असमानता बताती है कि (x + 1/x)/2 >= sqrt(x * 1/x) = 1, जिसका अर्थ है x + 1/x >= 2। I. चूंकि x + 1/x >= 2 है, यह हमेशा 1 से बड़ा है। सही। II. चूंकि x + 1/x >= 2 है, तो (x + 1/x)^2 >= 4, जो हमेशा 2 से बड़ा है। सही। III. चूंकि x + 1/x >= 2 है, तो (x + 1/x)^4 >= 16, जो हमेशा 9 से बड़ा है। सही। तीनों कथन सही हैं।

व्याख्या

हम सबसे बड़ी प्राकृत संख्या p की तलाश करते हैं जिसके लिए किसी प्राकृत संख्या q > p के लिए q^2 - 5p - 4 < 0 है। इस असमानता को 5p > q^2 - 4 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। यदि p = 4 है, तो q कम से कम 5 होना चाहिए। q = 5 के लिए, q^2 - 4 = 21। 5p = 20। 20, 21 से बड़ा नहीं है। q > 5 के लिए, q^2 - 4 और भी बड़ा होगा। इसलिए p = 4 संभव नहीं है। यदि p = 3 है, तो q कम से कम 4 होना चाहिए। q = 4 के लिए, q^2 - 4 = 12। 5p = 15। 15 > 12, इसलिए 16 - 15 - 4 = -3, जो ऋणात्मक है। p का सबसे बड़ा मान 3 है।

व्याख्या

संयोजनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य संख्याओं की समता पर विचार करते हैं। x-y और x+y के अभाज्य होने के लिए, x और y दोनों विषम अभाज्य नहीं हो सकते क्योंकि दो विषम संख्याओं का योग और अंतर हमेशा सम होता है। एकमात्र सम अभाज्य संख्या 2 है। यदि x+y और x-y दोनों सम होते, तो वे दोनों 2 के बराबर होने चाहिए, जिसका अर्थ है x=2 और y=0, लेकिन y एक प्राकृतिक संख्या और एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए। इसलिए, x या y में से एक 2 होना चाहिए। चूँकि x-y एक धनात्मक अभाज्य होना चाहिए, x का y से बड़ा होना आवश्यक है, इसलिए हमारे पास y=2 होना चाहिए।

y=2 को शर्तों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x, x-2, और x+2 सभी अभाज्य संख्याएँ होने की आवश्यकता है। यह (p, p+2, p+4) के रूप का एक अभाज्य त्रिक बनाता है जहाँ p = x-2 है। 2 से अलग की गई तीन विषम संख्याओं के किसी भी क्रम में, उनमें से ठीक एक 3 से विभाज्य होनी चाहिए। तीनों के अभाज्य होने के लिए, उनमें से एक 3 के बराबर होना चाहिए। एकमात्र ऐसा अभाज्य त्रिक (3, 5, 7) है। x-2=3 रखने पर x=5 मिलता है, जिसका अर्थ है कि अभाज्य संख्याएँ x-y=3, y=2, x=5, और x+y=7 हैं। ये सभी मान अभाज्य हैं और 20 से कम हैं। x के लिए अन्य विषम अभाज्य संख्याओं जैसे 7, 11, 13, 17, या 19 का परीक्षण करने पर पता चलता है कि या तो x-2 या x+2 अभाज्य नहीं है। इस प्रकार, केवल एक संयोजन (5, 2, 7, 3) मौजूद है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दाईं ओर का व्यंजक वर्गों का अंतर है, जिसे a² - b² = (a - b)(a + b) सूत्र का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। इसे x⁴ - 1 पर लागू करने पर, हमें (x²)² - 1² = (x² - 1)(x² + 1) प्राप्त होता है। समान सूत्र का उपयोग करके (x² - 1) पद को आगे गुणनखंडित करने पर (x - 1)(x + 1)(x² + 1) प्राप्त होता है।

अब, हम इस गुणनखंडित रूप की तुलना दिए गए बाएँ पक्ष के व्यंजक (x + 1)(x + p)(x² + p²) से करते हैं। संगत गुणनखंडों का मिलान करके, हम देखते हैं कि (x + 1) गुणनखंड दोनों पक्षों में मौजूद है। (x + p) की तुलना (x - 1) से करने पर p = -1 प्राप्त होता है। इसी प्रकार, (x² + p²) की तुलना (x² + 1) से करने पर p² = 1 प्राप्त होता है, जो p = -1 के अनुरूप है क्योंकि (-1)² = 1। इस प्रकार, p का वह मान जो समीकरण को संतुष्ट करता है, -1 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

माना a = (2 + √3)ˣ और b = (2 - √3)ˣ। हमें समीकरण a + b = 2 दिया गया है। सबसे पहले, दोनों आधारों के बीच संबंध का निरीक्षण करें: (2 + √3)(2 - √3) = 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1। इसलिए, गुणनफल ab = ((2 + √3)(2 - √3))ˣ = 1ˣ = 1। a - b का मान ज्ञात करने के लिए, हम दो चरों के योग और अंतर से संबंधित मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (a - b)² = (a + b)² - 4ab। ज्ञात मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a - b)² = (2)² - 4(1) = 4 - 4 = 0 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हम पाते हैं कि a - b = 0। इस प्रकार, व्यंजक (2 + √3)ˣ - (2 - √3)ˣ, 0 के बराबर है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

माना x = 1/a और y = 1/b। दी गई समीकरणें x + y = 5/6 और x² + y² = 13/36 हैं। हमें x³ + y³ का मान ज्ञात करना है। बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करके, हम xy ज्ञात करने के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (5/6)² = 13/36 + 2xy 25/36 = 13/36 + 2xy 2xy = 25/36 - 13/36 = 12/36 = 1/3 xy = 1/6

अब, हम घनों के योग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: x³ + y³ = (x + y)(x² + y² - xy)। ज्ञात मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ = (5/6)(13/36 - 1/6) ब्रैकेट के अंदर भिन्न को घटाने के लिए, एक सामान्य हर ज्ञात करें: x³ + y³ = (5/6)(13/36 - 6/36) x³ + y³ = (5/6)(7/36) x³ + y³ = 35/216

इस प्रकार, 1/a³ + 1/b³ का मान 35/216 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी बहुपद P(x) को भाजक D(x) से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के तर्क का उपयोग कर सकते हैं। भाजक x² + 1 के लिए, हम x² + 1 = 0 सेट करते हैं, जिसका अर्थ है x² = -1। भाज्य P(x) = x⁶ में x² के इस मान को प्रतिस्थापित करके, हम सीधे शेषफल निर्धारित कर सकते हैं।

चूंकि x⁶ को (x²)³ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, x² = -1 को प्रतिस्थापित करने पर मिलता है: शेषफल = (-1)³ = -1

वैकल्पिक रूप से, घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) का उपयोग करके, हम जानते हैं कि a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)। a = x² और b = 1 रखने पर, हमें मिलता है: x⁶ + 1 = (x² + 1)(x⁴ - x² + 1) इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर मिलता है: x⁶ = (x² + 1)(x⁴ - x² + 1) - 1

जब x⁶ को x² + 1 से विभाजित किया जाता है, तो पद (x² + 1)(x⁴ - x² + 1) पूरी तरह से विभाज्य होता है, जिससे शेषफल -1 बचता है। इसलिए, विकल्प (a) सही है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, किसी बहुपद P(x) का एक रैखिक व्यंजक (x - a) गुणनखंड होने के लिए, x = a पर बहुपद का मान शून्य होना चाहिए, अर्थात् P(a) = 0। इस मामले में, दिया गया गुणनखंड (x + 2) है, जिसे (x - (-2)) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसलिए, हमें यह जांचने के लिए कि कौन सा बहुपद शून्य देता है, x = -2 को बहुपदों में प्रतिस्थापित करना होगा।

विकल्प (a) के लिए, बहुपद P(x) = x⁵ - 4x⁴ - 3x³ + 8x² - 14x + 12 है। x = -2 को प्रतिस्थापित करने पर: P(-2) = (-2)⁵ - 4(-2)⁴ - 3(-2)³ + 8(-2)² - 14(-2) + 12 P(-2) = -32 - 4(16) - 3(-8) + 8(4) + 28 + 12 P(-2) = -32 - 64 + 24 + 32 + 28 + 12 P(-2) = -96 + 64 + 32 P(-2) = -96 + 96 = 0

चूंकि परिणाम शून्य है, (x + 2) विकल्प (a) में बहुपद का एक गुणनखंड है। अन्य विकल्पों के लिए, x = -2 को प्रतिस्थापित करने पर शून्य प्राप्त नहीं होगा। उदाहरण के लिए, विकल्प (b) में, दूसरा पद धनात्मक हो जाता है, जिससे योग काफी बढ़ जाता है, और विकल्प (c) और (d) में, x³ या x के गुणांकों के चिन्ह बदल दिए जाते हैं, जिससे योग शून्य नहीं हो पाता है।

व्याख्या

N में अंकों की संख्या floor(log10(N)) + 1 होती है। log10(60^60) = 60 log10(60) = 60 (log10(6) + log10(10)) = 60 * (log10(2) + log10(3) + 1)। दिए गए मानों का उपयोग करके: 60 (0.301 + 0.477 + 1) = 60 1.778 = 106.68। अंकों की संख्या = floor(106.68) + 1 = 106 + 1 = 107।

व्याख्या

मॉड्यूलो 18 का प्रयोग करके: 17, -1 (मॉड 18) के सर्वांगसम है। 19, 1 (मॉड 18) के सर्वांगसम है। (17^25 + 19^25) मॉड 18 = (-1)^25 + (1)^25 = -1 + 1 = 0। शेषफल 0 है।

व्याख्या

घन के योग और अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम p और q के व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। चूँकि x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²), p का व्यंजक p = x + y तक सरल हो जाता है। इसी प्रकार, चूँकि x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²), q का व्यंजक q = x - y तक सरल हो जाता है। हमें दिया गया है कि HCF(x, y) = H। मान लीजिए x = Ha और y = Hb, जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं, जिसका अर्थ है HCF(a, b) = 1। तब, HCF(p, q) = HCF(Ha + Hb, Ha - Hb) = H · HCF(a + b, a - b)। मान लीजिए d = HCF(a + b, a - b)। HCF के गुणों के अनुसार, d को योग (a + b) + (a - b) = 2a और अंतर (a + b) - (a - b) = 2b को विभाजित करना चाहिए। इसलिए, d को HCF(2a, 2b) = 2 · HCF(a, b) = 2(1) = 2 को विभाजित करना चाहिए। इसका मतलब है कि d का मान या तो 1 या 2 हो सकता है। यदि a और b की समता विपरीत है (एक सम, एक विषम), तो a + b और a - b दोनों विषम होंगे, जिससे d = 1 और HCF(p, q) = H होगा। यदि a और b दोनों विषम हैं, तो a + b और a - b दोनों सम होंगे, जिससे d = 2 और HCF(p, q) = 2H होगा। इस प्रकार, दोनों कथन I और II सही हैं।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, चौथी घात वाले समीकरण को द्विघात समीकरण में बदलने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। मान लीजिए y = x²। इसे दिए गए समीकरण x⁴ = x² + 1 में प्रतिस्थापित करने पर y² = y + 1 मिलता है, जिसे मानक द्विघात रूप y² - y - 1 = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

द्विघात सूत्र y = (-b ± √(b² - 4ac))/2a का उपयोग करने पर, जहाँ a = 1, b = -1, और c = -1 है, हमें y = (1 ± √((-1)² - 4(1)(-1)))/2(1) = (1 ± √(1 + 4))/2 = (1 ± √5)/2 मिलता है। चूँकि y = x² और x एक वास्तविक संख्या है, y धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, x² = (1 + √5)/2।

अभीष्ट व्यंजक 2x⁴ है। मूल समीकरण से, हम जानते हैं कि x⁴ = x² + 1। x² के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x⁴ = (1 + √5)/2 + 1 = (1 + √5 + 2)/2 = (3 + √5)/2 मिलता है। 2x⁴ ज्ञात करने के लिए, इस परिणाम को 2 से गुणा करें: 2x⁴ = 2 × (3 + √5)/2 = 3 + √5, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

समीकरण (p + q)/(q + r) = (r + s)/(s + p) को देखते हुए, हम संबंध को सरल बनाने के लिए तिरछा गुणा (cross-multiplication) विधि का उपयोग करते हैं। पदों को तिरछा गुणा करने पर (p + q)(s + p) = (r + s)(q + r) प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करने पर, हमें ps + p² + qs + qp = rq + r² + sq + sr मिलता है।

दोनों पक्षों से qs घटाने पर समीकरण ps + p² + qp = rq + r² + sr तक सरल हो जाता है। सभी पदों को बाईं ओर पुनर्व्यवस्थित करके एक द्विघात व्यंजक बनाने पर, हमें p² - r² + ps - rs + pq - rq = 0 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को पदों को समूहीकृत करके गुणनखंडित किया जा सकता है: (p - r)(p + r) + s(p - r) + q(p - r) = 0। सामान्य गुणनखंड (p - r) को बाहर लेने पर, हमें (p - r)(p + r + s + q) = 0 प्राप्त होता है।

शून्य गुणनफल गुण (zero product property) के अनुसार, दो गुणनखंडों के गुणनफल के शून्य होने के लिए, कम से कम एक गुणनखंड शून्य होना चाहिए। इसलिए, या तो p - r = 0, जिसका अर्थ है p = r, या p + q + r + s = 0। यह पुष्टि करता है कि विकल्प (c) सही विकल्प है क्योंकि इसमें मूल समीकरण से प्राप्त दोनों संभावित गणितीय स्थितियाँ शामिल हैं।

व्याख्या

हम (12n + 2) और (8n + 1) का म.स.प. (gcd) ज्ञात करते हैं। यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके: gcd(12n + 2, 8n + 1) = gcd(12n + 2 - (8n + 1), 8n + 1) = gcd(4n + 1, 8n + 1). gcd(4n + 1, 8n + 1) = gcd(4n + 1, 8n + 1 - 2(4n + 1)) = gcd(4n + 1, -1) = 1. किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए म.स.प. हमेशा 1 होता है। n < 7 के लिए, n का मान 1, 2, 3, 4, 5, 6 हो सकता है। सभी 6 मान शर्त को पूरा करते हैं।

व्याख्या

व्यंजक x³ + y³ + 3xy - 1 को सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) का प्रयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है, जहाँ a=x, b=y, c=-1 है। इसलिए, x³ + y³ - 1 + 3xy = (x + y - 1)(x² + y² + 1 - xy + x + y)। व्यंजक (x + y)⁴ - 1 वर्गों का अंतर है: (x + y)⁴ - 1 = ((x + y)² - 1)((x + y)² + 1) = (x + y - 1)(x + y + 1)((x + y)² + 1)। उभयनिष्ठ गुणनखंड (HCF) (x + y - 1) है।

व्याख्या

यह दिया गया है कि n एक सम प्राकृतिक संख्या है, हम n = 2k जहाँ k ∈ ℕ प्रतिस्थापित कर सकते हैं। x के लिए व्यंजक x = 2k(2k + 1)(2k + 2) हो जाता है। अंतिम पद से 2 को गुणनखंडित करने पर x = 2k(2k + 1) ⋅ 2(k + 1) = 4k(k + 1)(2k + 1) प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि दो क्रमागत पूर्णांकों k(k + 1) का गुणनफल हमेशा 2 से विभाज्य होता है। इसके अतिरिक्त, तीन पदों k, k + 1, और 2k + 1 में से, एक 3 से विभाज्य होना चाहिए। यदि k, 3 से विभाज्य नहीं है, तो या तो k + 1 या 2k + 1 होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि k ≡ 1 (mod 3), तो 2k + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)। यदि k ≡ 2 (mod 3), तो k + 1 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3)। इस प्रकार, गुणनफल k(k + 1)(2k + 1) हमेशा 2 × 3 = 6 से विभाज्य होता है। परिणामस्वरूप, x = 4 × 6m = 24m किसी पूर्णांक m के लिए। n = 2 के लिए, x = 2(3)(4) = 24, जो 48 से विभाज्य नहीं है, यह कथन I को गलत सिद्ध करता है। कथन II के लिए, हम x² = (24m)² = 576m² की गणना करते हैं। चूँकि 576 = 144 × 4 है, हमारे पास x² = 144(4m²) है, जो हमेशा 144 से विभाज्य है। इसलिए, केवल कथन II सही है, जिससे विकल्प b सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पूरी तरह से गुणनखंडित करना होगा। पहला व्यंजक, x⁴ + x²y² + y⁴, एक मानक सर्वसमिका है जिसे (x² + xy + y²)(x² - xy + y²) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। दूसरा व्यंजक, x³y + y⁴, y(x³ + y³) के रूप में गुणनखंडित होता है, जो घन के योग सूत्र का उपयोग करके आगे y(x + y)(x² - xy + y²) में विघटित हो जाता है। तीसरा व्यंजक, x⁴y² - x³y³, सीधे x³y²(x - y) के रूप में गुणनखंडित होता है।

LCM सभी व्यंजकों में मौजूद सभी भिन्न अपरिमेय गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है। भिन्न गुणनखंड x³, y², (x - y), (x + y), (x² + xy + y²), और (x² - xy + y²) हैं। इन सभी को गुणा करने पर, हमें LCM = x³y²(x - y)(x² + xy + y²)(x + y)(x² - xy + y²) प्राप्त होता है।

घन के अंतर की सर्वसमिका (x - y)(x² + xy + y²) = x³ - y³ और घन के योग की सर्वसमिका (x + y)(x² - xy + y²) = x³ + y³ लागू करने पर, व्यंजक x³y²(x³ - y³)(x³ + y³) तक सरल हो जाता है। वर्गों के अंतर के सूत्र a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम x³y²(x⁶ - y⁶) पर पहुँचते हैं, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या XYZ = 100X + 10Y + Z है और ZYX = 100Z + 10Y + X है। अंतर D = |(100X + 10Y + Z) - (100Z + 10Y + X)| = |99X - 99Z| = 99|X - Z|। D, 99 का एक गुणज है, इसलिए D को 99 से विभाजित करने पर शेषफल 0 होता है।

व्याख्या

मान लीजिए k = p + q। हमें k^k को 512 = 2^9 से विभाज्य होने की आवश्यकता है। यदि k = 4, 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 (2^9 से विभाज्य नहीं है)। यदि k = 6, 6^6 = (2 3)^6 = 2^6 3^6 (2^9 से विभाज्य नहीं है)। यदि k = 8, 8^8 = (2^3)^8 = 2^24 (2^9 से विभाज्य है)। p + q का न्यूनतम मान 8 है।

व्याख्या

सबसे पहले, पहले दो पदों के हर को सरल करें। दूसरे पद का हर c² + bc - a² - ab है, जिसे (c² - a²) + b(c - a) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। वर्गों के अंतर सूत्र x² - y² = (x - y)(x + y) को लागू करने पर, हमें (c - a)(c + a) + b(c - a) = (c - a)(c + a + b) प्राप्त होता है। अब, पहले और दूसरे दोनों पदों का सामान्य हर (c - a)(c + a + b) है।

पहले दो पदों को मिलाने पर, हमें ((a + b)² + (a + b)c)/((c - a)(c + a + b)) प्राप्त होता है। अंश से (a + b) को गुणनखंडित करने पर ((a + b)(a + b + c))/((c - a)(c + a + b)) प्राप्त होता है। अंश और हर से सामान्य पद (a + b + c) को रद्द करने पर, योग (a + b)/(c - a) तक सरल हो जाता है।

अब, तीसरे पद को घटाएं: (a + b)/(c - a) - (a + 2b + c)/(2(c - a))। घटाव करने के लिए, 2(c - a) के सामान्य हर का उपयोग करें। इससे (2(a + b) - (a + 2b + c))/(2(c - a)) = (2a + 2b - a - 2b - c)/(2(c - a)) = (a - c)/(2(c - a)) प्राप्त होता है। चूँकि a - c = -(c - a), व्यंजक -(c - a)/(2(c - a)) = -1/2 हो जाता है। अतः, विकल्प a सही है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण aᵇ = bᵃ है, हम घातों को व्यवस्थित करके a और b के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं। a को b और a से संबंधित घात के रूप में अलग करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 1/a की घात तक बढ़ाते हैं।

घात नियम (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ लागू करने पर, हमें मिलता है: (aᵇ)¹/ᵃ = (bᵃ)¹/ᵃ aᵇ/ᵃ = bᵃ ˣ ¹/ᵃ aᵇ/ᵃ = b¹ aᵇ/ᵃ = b

प्रश्न में दिया गया व्यंजक, स्वरूपण त्रुटियों के बावजूद, एक ऐसा रूप दर्शाता है जो इस पहचान का उपयोग करके सरल हो जाता है। यदि हम व्यंजक को aᵇ/ᵃ/b या aᵇ/ᵃ × b⁻¹ के रूप में मानते हैं, तो हम ऊपर व्युत्पन्न aᵇ/ᵃ का मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं: aᵇ/ᵃ/b = b/b = 1

इस प्रकार, व्यंजक का परिणाम 1 है, जो विकल्प a से मेल खाता है। यह बीजगणित में aᵇ = bᵃ के रूप के समीकरणों के लिए एक मानक परिणाम है जहाँ a ≠ b। उदाहरण के लिए, यदि a=2 और b=4 है, तो 2⁴ = 16 और 4² = 16। व्युत्पन्न पहचान का परीक्षण: aᵇ/ᵃ = 2⁴/² = 2² = 4, जो b के बराबर है। परिणामस्वरूप, aᵇ/ᵃ / b = 4/4 = 1।

व्याख्या

x = 2 + √2 + 2√2 = 2 + 3√2. x - 2 = 3√2. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x - 2)² = (3√2)² => x² - 4x + 4 = 18 => x² - 4x - 14 = 0. इसलिए, x² - 4x - 10 = (x² - 4x - 14) + 4 = 0 + 4 = 4।

व्याख्या

योगांतर (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करते हुए, जो कहता है कि यदि (a+b)/(a-b) = c/d, तो a/b = (c+d)/(c-d), हम दिए गए समीकरण (√(p+x) + √(p-x))/(√(p+x) - √(p-x)) = p/1 को सरल बना सकते हैं। इस नियम को लागू करने पर, हमें √(p+x)/√(p-x) = (p+1)/(p-1) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें (p+x)/(p-x) = (p+1)²/(p-1)² = (p² + 2p + 1)/(p² - 2p + 1) प्राप्त होता है। इस परिणाम पर एक बार फिर योगांतर नियम लागू करने पर हमें ((p+x) + (p-x))/((p+x) - (p-x)) = ((p² + 2p + 1) + (p² - 2p + 1))/((p² + 2p + 1) - (p² - 2p + 1)) प्राप्त होता है। यह 2p/2x = (2p² + 2)/4p तक सरल हो जाता है, जो आगे p/x = (p² + 1)/2p तक कम हो जाता है। तिर्यक गुणा द्वारा x के लिए हल करने पर, हमें x(p² + 1) = 2p² प्राप्त होता है, जिससे x = 2p²/(p² + 1) मिलता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया द्विघात समीकरण ((a - b)/2)x² - ((a + b)/2)x + b = 0 है। इसकी तुलना मानक रूप Ax² + Bx + C = 0 से करने पर, हमें A = (a - b)/2, B = -(a + b)/2, और C = b प्राप्त होता है।

मूलों को ज्ञात करने का सबसे तेज़ तरीका यह जांचना है कि क्या x = 1 समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर एक हल है। x = 1 के लिए, व्यंजक (a - b)/2 - (a + b)/2 + b = (a - b - a - b + 2b)/2 = 0/2 = 0 हो जाता है। चूँकि समीकरण संतुष्ट होता है, x = 1 पहला मूल है।

मूलों के गुणनफल αβ = C/A के सूत्र का उपयोग करके, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 1 · β = b/((a - b)/2) = 2b/(a - b)। इसलिए, दूसरा मूल β = 2b/(a - b) है।

हम इसे मूलों के योगफल सूत्र α + β = -B/A का उपयोग करके सत्यापित कर सकते हैं: 1 + 2b/(a - b) = (a - b + 2b)/(a - b) = (a + b)/(a - b)। इसकी तुलना -B/A = ((a + b)/2)/((a - b)/2) = (a + b)/(a - b) से करने पर, परिणाम पूरी तरह मेल खाते हैं। इस प्रकार, मूल 1, 2b/(a - b) हैं, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया है x - 1/x = 2. वर्ग करने पर: (x - 1/x)² = 4 => x² - 2 + 1/x² = 4 => x² + 1/x² = 6. हम x² - 1/x² = (x - 1/x)(x + 1/x) चाहते हैं। चूंकि (x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4 = 2² + 4 = 8, और x > 0, x + 1/x = √8 = 2√2। इस प्रकार, x² - 1/x² = 2 * 2√2 = 4√2।

व्याख्या

(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 6 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = 6 a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) = 3 दिया गया है a^2 + b^2 + c^2 = 29, तो 29 - (ab + bc + ca) = 3, इसलिए ab + bc + ca = 26. (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 29 + 2(26) = 29 + 52 = 81. a + b + c = +/- 9.

व्याख्या

यह दिया गया है कि p = (√5-2)/(√5+2) और q = (√5+2)/(√5-2), हम देख सकते हैं कि p और q एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, जिसका अर्थ है pq = 1। आवश्यक व्यंजक p/q + q/p है, जिसे (p²+q²)/pq के रूप में सरल किया जा सकता है। चूंकि pq=1, व्यंजक p²+q² बन जाता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका p²+q² = (p+q)² - 2pq का उपयोग करके, हम पहले योग p+q की गणना करते हैं: p+q = (√5-2)/(√5+2) + (√5+2)/(√5-2) योग ज्ञात करने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर (√5+2)(√5-2) = (√5)² - 2² = 5-4 = 1 लेते हैं। अंश (√5-2)² + (√5+2)² है। सूत्र (a-b)² + (a+b)² = 2(a²+b²) का उपयोग करके, अंश 2((√5)² + 2²) = 2(5+4) = 2(9) = 18 बन जाता है। इस प्रकार, p+q = 18/1 = 18।

अब, सर्वसमिका में p+q और pq के मानों को प्रतिस्थापित करें: p/q + q/p = (p+q)² - 2pq = 18² - 2(1) = 324 - 2 = 322। इसलिए, विकल्प c सही मान है।

व्याख्या

हमें 25¹⁰ = 5²⁰ का सैकड़े का अंक ज्ञात करना है। 1000 के मापांक में 5 की घातों को देखने पर: 5³ = 125 5⁴ = 625 5⁵ = 3125 = 125 (मापांक 1000) 5ⁿ (n ≥ 3) के लिए पैटर्न 125 है यदि n विषम है और 625 है यदि n सम है। चूंकि 20 सम है, 5²⁰ = 625 (मापांक 1000)। सैकड़े के स्थान पर अंक 6 है।

व्याख्या

N को 4, 6, 7 और 9 से विभाजित करने पर शेषफल 3 बचता है। N = lcm(4, 6, 7, 9) * k + 3। lcm(4, 6, 7, 9) = 252। N = 252k + 3। k = 1, 2, 3 के लिए, N 255, 507, 759 है। k = 4 के लिए, N = 252 * 4 + 3 = 1008 + 3 = 1011। सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या 1011 है।

व्याख्या

मान लीजिए दिया गया अनंत नेस्टेड रेडिकल x = √(2 + √(2 + √(2 + ...))) है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं जिससे x² = 2 + √(2 + √(2 + ...))) प्राप्त होता है। चूँकि पहले वर्गमूल के अंदर की अभिव्यक्ति वही अनंत श्रृंखला है, हम x को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिससे x² = 2 + x प्राप्त होता है। यह एक मानक द्विघात समीकरण x² - x - 2 = 0 है। द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर (x - 2)(x + 1) = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 2 या x = -1। चूँकि वर्गमूल ऋणात्मक मान नहीं दे सकता है, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि x = 2 है।

समस्या के अनुसार, x = csc θ है, इसलिए हमारे पास csc θ = 2 है। मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin θ = 1/csc θ का उपयोग करके, हम sin θ = 1/2 ज्ञात करने के लिए csc θ का मान प्रतिस्थापित करते हैं। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

cscθ का मान ज्ञात करने के लिए, हम दी गई समीकरण 8 sinθ - cosθ = 4 से शुरू करते हैं। cosθ को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें cosθ = 8 sinθ - 4 प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें cos²θ = (8 sinθ - 4)² प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ = 1 - sin²θ का उपयोग करके, समीकरण 1 - sin²θ = 64 sin²θ - 64 sinθ + 16 बन जाती है।

सभी पदों को एक तरफ पुनर्व्यवस्थित करने पर sinθ में एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: 65 sin²θ - 64 sinθ + 15 = 0। द्विघात सूत्र sinθ = (-b ± √(b² - 4ac))/2a लागू करने पर, हम a = 65, b = -64, और c = 15 प्रतिस्थापित करते हैं: sinθ = (64 ± √(64² - 4(65)(15)))/2(65) = (64 ± √(4096 - 3900))/130 = (64 ± √196)/130 = (64 ± 14)/130।

इससे दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: sinθ = 78/130 = 3/5 या sinθ = 50/130 = 5/13। मूल समीकरण 8 sinθ - cosθ = 4 में इनकी जाँच करने पर: sinθ = 3/5 के लिए, cosθ = 4/5, इसलिए 8(3/5) - 4/5 = 20/5 = 4, जो सही है। sinθ = 5/13 के लिए, cosθ = 12/13, इसलिए 8(5/13) - 12/13 = 28/13 ≠ 4।

इस प्रकार, sinθ = 3/5। चूँकि cscθ = 1/sinθ, हमारे पास cscθ = 5/3 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई समीकरण को फिर से लिखने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ = 1 + tan²θ का प्रयोग करें। इसे 2 tanθ = sec²θ - 2 में प्रतिस्थापित करने पर 2 tanθ = (1 + tan²θ) - 2 प्राप्त होता है, जो 2 tanθ = tan²θ - 1 तक सरल हो जाता है। पदों को एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें tan²θ - 2 tanθ - 1 = 0 प्राप्त होता है।

tanθ के लिए हल करने हेतु, द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a लागू करें जहाँ x = tanθ, a = 1, b = -2, और c = -1 है। इससे tanθ = (2 ± √((-2)² - 4(1)(-1)))/2(1) = (2 ± √8)/2 = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 प्राप्त होता है। चूँकि 0 < θ < π/2 है, tanθ धनात्मक होना चाहिए, इसलिए हम tanθ = 1 + √2 लेते हैं।

cotθ का मान tanθ का व्युत्क्रम होता है: cotθ = 1/(1 + √2) हर को परिमेय बनाने के लिए, अंश और हर को √2 - 1 से गुणा करें: cotθ = 1(√2 - 1)/((√2 + 1)(√2 - 1)) = (√2 - 1)/((√2)² - 1²) = (√2 - 1)/(2 - 1) = √2 - 1। इस प्रकार, सही विकल्प a) √2 - 1 है।

व्याख्या

sqrt((1 - sin theta) / (1 + sin theta)) = sqrt((1 - sin theta)^2 / (1 - sin^2 theta)) = sqrt((1 - sin theta)^2 / cos^2 theta) = (1 - sin theta) / cos theta = sec theta - tan theta. व्यंजक (sec theta - tan theta) - (sec theta - tan theta) = 0 है।

व्याख्या

दिया गया है कि cot θ = √7, हम आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं csc²θ = 1 + cot²θ और sec²θ = 1 + tan²θ का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम csc²θ = 1 + (√7)² = 1 + 7 = 8 की गणना करते हैं। चूँकि tan θ, cot θ का व्युत्क्रम है, हमारे पास tan θ = 1/√7 है, जिसका अर्थ है tan²θ = 1/7। इस प्रकार, sec²θ = 1 + 1/7 = 8/7।

अब, इन मानों को व्यंजक (csc²θ - sec²θ)/(csc²θ + sec²θ) में प्रतिस्थापित करें:

(8 - 8/7)/(8 + 8/7)

सरल करने के लिए, हम अंश और हर के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात करते हैं:

((56 - 8)/7)/((56 + 8)/7) = (48/7)/(64/7)

7 के हर रद्द हो जाते हैं, जिससे प्राप्त होता है:

48/64

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 16 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

3/4

इसलिए, व्यंजक विकल्प d) 3 / 4 के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए न्यून कोण अल्फा और बीटा हैं। अल्फा + बीटा = 90 डिग्री। दिया गया है अल्फा - बीटा = π/12 रेडियन = 15 डिग्री। समीकरणों को जोड़ने पर: 2अल्फा = 105 डिग्री => अल्फा = 52.5 डिग्री। समीकरणों को घटाने पर: 2बीटा = 75 डिग्री => बीटा = 37.5 डिग्री। कोणों में से एक 52.5 डिग्री है।

व्याख्या

log10(998 + sqrt(x^2 - 18x + 76)) = 3 998 + sqrt(x^2 - 18x + 76) = 10^3 = 1000 sqrt(x^2 - 18x + 76) = 2 x^2 - 18x + 76 = 4 x^2 - 18x + 72 = 0 मूल α और β, α + β = 18 और α * β = 72 को संतुष्ट करते हैं। (α - β)² = (α + β)² - 4 α β = 18² - 4 * 72 = 324 - 288 = 36।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x⁴ + y⁴ = 14x²y² है। हम x² + y² और x² - y² के मान ज्ञात करने के लिए बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a+b)² = a² + b² + 2ab और (a-b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करते हैं।

कथन I के लिए, हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों में 2x²y² जोड़ते हैं: x⁴ + y⁴ + 2x²y² = 14x²y² + 2x²y² (x² + y²)² = 16x²y² दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x² + y² = 4xy प्राप्त होता है। लघुगणक गुण log(abc) = log a + log b + log c लागू करने पर: log₁₀(x² + y²) = log₁₀(4xy) = log₁₀4 + log₁₀x + log₁₀y चूंकि log₁₀4 = log₁₀2² = 2log₁₀2 है, इसलिए हमारे पास है: log₁₀(x² + y²) = log₁₀x + log₁₀y + 2log₁₀2। इस प्रकार, कथन I सही है।

कथन II के लिए, हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों से 2x²y² घटाते हैं: x⁴ + y⁴ - 2x²y² = 14x²y² - 2x²y² (x² - y²)² = 12x²y² दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें x² - y² = √12xy = 2√3xy प्राप्त होता है। लघुगणक गुण लागू करने पर: log₁₀(x² - y²) = log₁₀(2√3xy) = log₁₀2 + log₁₀√3 + log₁₀x + log₁₀y चूंकि log₁₀√3 = log₁₀3⁰·⁵ = 0.5log₁₀3 है, इसलिए हमारे पास है: log₁₀(x² - y²) = log₁₀x + log₁₀y + log₁₀2 + 0.5log₁₀3। इस प्रकार, कथन II भी सही है।

चूंकि दोनों कथन सही हैं, विकल्प c सही विकल्प है।

व्याख्या

इस समस्या को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, द्विघात व्यंजक को सरल बनाने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। मान लीजिए a = (3x + y) और b = (x + 5y)। दिया गया व्यंजक a² + ab - 20b² में बदल जाता है। यह एक द्विघात रूप है जिसे -20 से गुणा करने पर और 1 जोड़ने पर दो संख्याएँ ज्ञात करके गुणनखंडित किया जा सकता है। ये संख्याएँ 5 और -4 हैं। इसलिए, व्यंजक को (a + 5b)(a - 4b) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

अब, a और b के मूल मानों को गुणनखंडों में वापस प्रतिस्थापित करें: पहले गुणनखंड के लिए, (a + 5b) = (3x + y) + 5(x + 5y) = 3x + y + 5x + 25y = 8x + 26y = 2(4x + 13y)। दूसरे गुणनखंड के लिए, (a - 4b) = (3x + y) - 4(x + 5y) = 3x + y - 4x - 20y = -x - 19y = -1(x + 19y)।

व्यंजक का पूर्ण गुणनखंडन -2(4x + 13y)(x + 19y) है। चूँकि (4x + 13y) और (x + 19y) दोनों गुणनफल में मौजूद हैं, इसलिए कथन I और II दोनों दिए गए व्यंजक के गुणनखंड हैं। इस प्रकार, विकल्प c सही है।

व्याख्या

मान लीजिए अंश N = x/(x-y) + y/(y-z) + z/(z-x) है और हर D = (x+y)/(x-y) + (y+z)/(y-z) + (z+x)/(z-x) + 3 है। हर को सरल बनाने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)/(a-b) = (2a - (a-b))/(a-b) = 2a/(a-b) - 1 का उपयोग करते हैं। इसे D के प्रत्येक पद पर लागू करने पर:

(x+y)/(x-y) = 2x/(x-y) - 1 (y+z)/(y-z) = 2y/(y-z) - 1 (z+x)/(z-x) = 2z/(z-x) - 1

इन व्यंजकों को हर D में वापस प्रतिस्थापित करने पर: D = (2x/(x-y) - 1) + (2y/(y-z) - 1) + (2z/(z-x) - 1) + 3 D = 2x/(x-y) + 2y/(y-z) + 2z/(z-x) - 3 + 3 D = 2(x/(x-y) + y/(y-z) + z/(z-x))

इसकी तुलना अंश से करने पर, हम पाते हैं कि D = 2N। इसलिए दिए गए व्यंजक का मान N/D = N/2N = 1/2 है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

(tanα/tanβ)² का मान ज्ञात करने के लिए, हम tan²α और tan²β को दिए गए चरों के पदों में व्यक्त करते हैं।

पहले समीकरण से शुरू करते हुए: psin²α + qcos²α = m पूरे समीकरण को cos²α से विभाजित करने पर: ptan²α + q = msec²α चूंकि sec²α = 1 + tan²α, हम प्रतिस्थापित करते हैं: ptan²α + q = m(1 + tan²α) ptan²α + q = m + mtan²α (p - m)tan²α = m - q tan²α = (m - q)/(p - m)

अगला, हम दूसरे समीकरण का उपयोग करते हैं: qsin²β + pcos²β = n पूरे समीकरण को cos²β से विभाजित करने पर: qtan²β + p = nsec²β sec²β = 1 + tan²β को प्रतिस्थापित करने पर: qtan²β + p = n(1 + tan²β) qtan²β + p = n + ntan²β (q - n)tan²β = n - p tan²β = (n - p)/(q - n)

अब, आवश्यक अनुपात की गणना करते हुए: (tanα/tanβ)² = tan²α/tan²β = (m - q)/(p - m) ÷ (n - p)/(q - n) = (m - q)/(p - m) · (q - n)/(n - p) = ((m - q)(q - n))/((p - m)(n - p))

इसे विकल्पों के साथ संरेखित करने के लिए, हम (q - n) और (p - m) पदों से ऋणात्मक चिह्न बाहर निकालते हैं: = ((m - q) · [-(n - q)])/([-(m - p)] · (n - p)) = (-(m - q)(n - q))/(-(m - p)(n - p)) = ((m - q)(n - q))/((m - p)(n - p))

यह परिणाम विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग 90° हो। दिया गया है कि α और β पूरक कोण हैं, तो हमारे पास संबंध α + β = 90° है। त्रिकोणमिति में, किसी भी कोण θ के लिए, उसके पूरक का स्पर्शज्या उसके कोटिज्या के बराबर होता है, जिसे सूत्र tan(90° - θ) = cot θ द्वारा व्यक्त किया जाता है। इस समस्या में, यदि हम m = tan α और n = tan β को परिभाषित करते हैं, तो n = tan(90° - α) = cot α। चूँकि स्पर्शज्या और कोटिज्या के बीच संबंध cot α = 1/tan α है, हम मानों को प्रतिस्थापित करके n = 1/m प्राप्त कर सकते हैं। दोनों पक्षों को m से गुणा करने पर mn = 1 प्राप्त होता है। इस समीकरण को शून्य के बराबर लाने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर mn - 1 = 0 प्राप्त होता है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है। यह संबंध एक मानक गुण है जहाँ पूरक कोणों के स्पर्शज्या का गुणनफल हमेशा इकाई के बराबर होता है।

व्याख्या

व्यंजक p = csc θ - sin θ और q = sec θ - cos θ दिए गए हैं, हम मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके उन्हें सरल बना सकते हैं। चूँकि csc θ = 1/sin θ, हमारे पास p = 1/sin θ - sin θ = (1 - sin² θ)/sin θ है। सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम 1 - sin² θ को cos² θ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जिससे p = cos² θ/sin θ प्राप्त होता है। इसी प्रकार, चूँकि sec θ = 1/cos θ, हमारे पास q = 1/cos θ - cos θ = (1 - cos² θ)/cos θ = sin² θ/cos θ है।

अब, हम p और q के इन सरलीकृत रूपों को व्यंजक p sin θ + q cos θ में प्रतिस्थापित करते हैं:

p sin θ + q cos θ = (cos² θ/sin θ) sin θ + (sin² θ/cos θ) cos θ

हर में sin θ और cos θ पद गुणकों के साथ कट जाते हैं, जिससे प्राप्त होता है:

p sin θ + q cos θ = cos² θ + sin² θ

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 को लागू करके, व्यंजक 1 तक सरल हो जाता है। इसलिए, मान 1 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

p = csc theta - sin theta = (1 - sin^2 theta) / sin theta = cos^2 theta / sin theta. q = sec theta - cos theta = (1 - cos^2 theta) / cos theta = sin^2 theta / cos theta. p^2 q^2 = (cos^4 theta / sin^2 theta) (sin^4 theta / cos^2 theta) = sin^2 theta * cos^2 theta. p^2 + q^2 + 3 = (cos^4 theta / sin^2 theta) + (sin^4 theta / cos^2 theta) + 3 = (cos^6 theta + sin^6 theta + 3 sin^2 theta cos^2 theta) / (sin^2 theta * cos^2 theta). a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) का प्रयोग करके, sin^6 theta + cos^6 theta = (sin^2 theta + cos^2 theta)(sin^4 theta - sin^2 theta * cos^2 theta + cos^4 theta) = 1 ((sin^2 theta + cos^2 theta)^2 - 3 sin^2 theta cos^2 theta) = 1 - 3 sin^2 theta * cos^2 theta. इसलिए, p^2 + q^2 + 3 = (1 - 3 sin^2 theta cos^2 theta + 3 sin^2 theta cos^2 theta) / (sin^2 theta cos^2 theta) = 1 / (sin^2 theta cos^2 theta). p^2 q^2 (p^2 + q^2 + 3) = (sin^2 theta cos^2 theta) (1 / (sin^2 theta * cos^2 theta)) = 1.

व्याख्या

sin alpha / sin beta = 4sqrt(2)/3 cos alpha / cos beta = 2sqrt(3)/9 tan alpha / tan beta = (sin alpha / sin beta) / (cos alpha / cos beta) = (4sqrt(2)/3) / (2sqrt(3)/9) = (4sqrt(2)/3) (9 / 2sqrt(3)) = 6sqrt(2) / sqrt(3) = 2*sqrt(6). tan^2 alpha = 24 * tan^2 beta. sin alpha = (4sqrt(2)/3) sin beta और cos alpha = (2sqrt(3)/9) cos beta से, (32/9) sin^2 beta + (12/81) cos^2 beta = 1 (32/9) sin^2 beta + (4/27) (1 - sin^2 beta) = 1 (96/27 - 4/27) sin^2 beta = 1 - 4/27 = 23/27 (92/27) sin^2 beta = 23/27 => sin^2 beta = 23/92 = 1/4. tan^2 beta = (1/4) / (3/4) = 1/3. tan^2 alpha = 24 * (1/3) = 8.

व्याख्या

tan² β का मान ज्ञात करने के लिए, हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² α + cos² α = 1 का उपयोग करते हैं। दिए गए समीकरणों से, हम sin α और cos α को sin β और cos β के पदों में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: sin α = (4√2/3) sin β और cos α = (2√3/9) cos β।

इन व्यंजकों को सर्वसमिका sin² α + cos² α = 1 में प्रतिस्थापित करने पर: ((4√2/3) sin β)² + ((2√3/9) cos β)² = 1 32/9 sin² β + 12/81 cos² β = 1 32/9 sin² β + 4/27 cos² β = 1

tan² β को प्रस्तुत करने के लिए पूरे समीकरण को cos² β से विभाजित करने पर: 32/9 tan² β + 4/27 = 1/cos² β सर्वसमिका 1/cos² β = sec² β = 1 + tan² β का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: 32/9 tan² β + 4/27 = 1 + tan² β (32/9 - 1) tan² β = 1 - 4/27 23/9 tan² β = 23/27 tan² β = 23/27 × 9/23 = 9/27 = 1/3

इस प्रकार, tan² β का मान 1/3 है, जो विकल्प c) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक (1 + sin θ)/(cos θ) को 1/cos θ + sin θ/cos θ = sec θ + tan θ के रूप में सरल किया जा सकता है। प्रश्न के अनुसार, sec θ + tan θ = p + √(p² + 1)। हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करते हैं, जिसे (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि sec θ - tan θ = 1/(sec θ + tan θ)।

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec θ - tan θ = 1/(p + √(p² + 1)) प्राप्त होता है। हर का √(p² + 1) - p से अंश और हर को गुणा करके परिमेयकरण करने पर, हमें sec θ - tan θ = (√(p² + 1) - p)/((√(p² + 1))² - p²) = (√(p² + 1) - p)/(p² + 1 - p²) = √(p² + 1) - p प्राप्त होता है।

अब हमारे पास दो समीकरण हैं:

1. sec θ + tan θ = √(p² + 1) + p
2. sec θ - tan θ = √(p² + 1) - p

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर tan θ समाप्त हो जाता है: 2 sec θ = (√(p² + 1) + p) + (√(p² + 1) - p) = 2√(p² + 1)। 2 से भाग देने पर, हमें sec θ = √(p² + 1) प्राप्त होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमिति में, एक समकोण त्रिभुज में कोण θ का स्पर्शज्या (tangent) विपरीत भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। सूत्र tan θ = विपरीत/आसन्न का उपयोग करते हुए, यदि हम विपरीत भुजा को p और आसन्न भुजा को 1 मानते हैं, तो tan θ = p/1 = p, जो विकल्प (a) से मेल खाता है। अन्य विकल्पों के विरुद्ध इसे सत्यापित करने के लिए, हम कर्ण ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: कर्ण = √(विपरीत² + आसन्न²) = √(p² + 1²) = √(p² + 1)। परिणामस्वरूप, sin θ = विपरीत/कर्ण = p/√(p² + 1) और cos θ = आसन्न/कर्ण = 1/√(p² + 1)। चूंकि प्रश्न tan θ के बारे में पूछता है, इन संबंधों के आधार पर सबसे सीधा और सही मान p है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, द्विघात व्यंजक को सरल बनाने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। मान लीजिए a = (3x + y) और b = (x + 5y)। व्यंजक a² + ab - 20b² बन जाता है। यह एक मानक द्विघात रूप है जिसे मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडित किया जा सकता है। हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल -20 हो और योग 1 हो। ये संख्याएँ 5 और -4 हैं।

गुणनखंडित रूप है: a² + 5ab - 4ab - 20b² = a(a + 5b) - 4b(a + 5b) = (a + 5b)(a - 4b)

अब, इन गुणनखंडों में a और b के मूल मानों को वापस प्रतिस्थापित करें: पहले गुणनखंड (a + 5b) के लिए: (3x + y) + 5(x + 5y) = 3x + y + 5x + 25y = 8x + 26y = 2(4x + 13y) यह दर्शाता है कि (4x + 13y) एक गुणनखंड है, जिससे कथन I सही है।

दूसरे गुणनखंड (a - 4b) के लिए: (3x + y) - 4(x + 5y) = 3x + y - 4x - 20y = -x - 19y = -1(x + 19y) यह दर्शाता है कि (x + 19y) भी एक गुणनखंड है, जिससे कथन II सही है।

चूंकि (4x + 13y) और (x + 19y) दोनों व्यंजक के गुणनखंड हैं, इसलिए सही विकल्प c) I और II दोनों है।

व्याख्या

tan θ + cot θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे sin और cos के पदों में व्यक्त करके शुरू करते हैं: tan θ + cot θ = sin θ/cos θ + cos θ/sin θ = (sin² θ + cos² θ)/(sin θ cos θ). मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हमें tan θ + cot θ = 1/(sin θ cos θ) प्राप्त होता है। अब, q के लिए दिए गए व्यंजक पर विचार करें: q = sec θ + csc θ = 1/cos θ + 1/sin θ। इन भिन्नों को संयोजित करने पर q = (sin θ + cos θ)/(sin θ cos θ) प्राप्त होता है। दिए गए मान sin θ + cos θ = p को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें q = p/(sin θ cos θ) प्राप्त होता है। 1/(sin θ cos θ) पद को हल करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 1/(sin θ cos θ) = q/p प्राप्त होता है। चूँकि हमने पहले ही स्थापित कर लिया है कि tan θ + cot θ = 1/(sin θ cos θ), इसलिए tan θ + cot θ = q/p, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि दोनों रेलगाड़ियाँ एक ही दिशा में यात्रा कर रही हैं, इसलिए सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति के बीच का अंतर है। सापेक्ष गति की गणना 100 किमी/घंटा - 60 किमी/घंटा = 40 किमी/घंटा के रूप में की जाती है। इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, हम 5/18 से गुणा करते हैं, जिससे 40 × 5/18 = 200/18 = 100/9 मीटर/सेकंड प्राप्त होता है।

जब रेलगाड़ी X, रेलगाड़ी Y में बैठे एक व्यक्ति को पार करती है, तो तय की गई दूरी रेलगाड़ी X की लंबाई के बराबर होती है क्योंकि व्यक्ति को एक बिंदु वस्तु माना जाता है। दूरी सूत्र दूरी = सापेक्ष गति × समय का उपयोग करके, रेलगाड़ी X की लंबाई 100/9 मीटर/सेकंड × 9 सेकंड = 100 मीटर है। इस प्रकार, विकल्प (b) सही उत्तर है।

व्याख्या

X और Y के प्रस्थान के बीच समय का अंतर 10 मिनट है, जो 10/60 = 1/6 घंटे के बराबर है। इस समय में, X 4.8 × 1/6 = 0.8 किमी की प्रारंभिक दूरी तय करता है। चूँकि Y समान दिशा में उच्च गति से चल रहा है, X के सापेक्ष Y की सापेक्ष गति 6 - 4.8 = 1.2 किमी/घंटा है।

सापेक्ष गति सूत्र का उपयोग करते हुए, Y को X को पकड़ने के लिए आवश्यक समय है: समय = दूरी अंतर / सापेक्ष गति = 0.8/1.2 = 2/3 घंटे। वह दूरी जहाँ वे मिलते हैं, वह स्थान P से तय की गई कुल दूरी है, जो Y द्वारा इस समय के दौरान तय की गई दूरी है: दूरी = Y की गति × समय = 6 × 2/3 = 4 किमी। इसलिए, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए X का प्रारंभिक वेतन Sₓ है और Y का प्रारंभिक वेतन Sᵧ है। समस्या के अनुसार, X और Y का अंतिम वेतन बराबर है। हम क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: अंतिम मान = प्रारंभिक मान × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100)।

कर्मचारी X के लिए, वेतन में पहले 12% की वृद्धि की जाती है और फिर 10% की कमी की जाती है, इसलिए अंतिम वेतन Sₓ × (1 + 12/100) × (1 - 10/100) = Sₓ × 1.12 × 0.90 है।

कर्मचारी Y के लिए, वेतन में पहले 10% की वृद्धि की जाती है और फिर 12% की कमी की जाती है, इसलिए अंतिम वेतन Sᵧ × (1 + 10/100) × (1 - 12/100) = Sᵧ × 1.10 × 0.88 है।

चूंकि अंतिम वेतन बराबर हैं, हमारे पास है: Sₓ × 1.12 × 0.90 = Sᵧ × 1.10 × 0.88

प्रारंभिक वेतन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: Sₓ/Sᵧ = (1.10 × 0.88)/(1.12 × 0.90) = (110 × 88)/(112 × 90)

भिन्नों को सरल बनाना: 110/90 = 11/9 और 88/112 = 11/14 (दोनों को 8 से विभाजित करके)

इस प्रकार, Sₓ/Sᵧ = 11/9 × 11/14 = 121/126

X के प्रारंभिक वेतन और Y के प्रारंभिक वेतन का अनुपात 121:126 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए गाँव में पुरुषों की संख्या M और महिलाओं की संख्या F है। हमें दिया गया है कि कुल जनसंख्या p है, इसलिए M + F = p, जिसका अर्थ है F = p - M। साक्षर व्यक्तियों की कुल संख्या साक्षर पुरुषों और साक्षर महिलाओं का योग है। दिए गए प्रतिशत का उपयोग करके, समीकरण है x/100 p = y/100 M + z/100 (p - M)। सरलीकरण के लिए, हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 100 से गुणा करें: xp = yM + z(p - M)। कोष्ठकों का विस्तार करने पर xp = yM + zp - zM प्राप्त होता है। M को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें xp - zp = yM - zM मिलता है, जिसे p(x - z) = M(y - z) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। M के लिए हल करने पर, हमें M = p(x - z)/(y - z) प्राप्त होता है। यह विकल्प a से मेल खाता है। वैकल्पिक रूप से, मिश्रण के नियम का उपयोग करके, पुरुषों और महिलाओं का अनुपात (x - z) : (y - x) है। जनसंख्या में पुरुषों का अनुपात (x - z)/((x - z) + (y - x)) = (x - z)/(y - z) है। इस भिन्न को कुल जनसंख्या p से गुणा करने पर पुरुषों की संख्या p(x - z)/(y - z) प्राप्त होती है।

व्याख्या

मिश्र धातु Z में तांबे (Cu) का जस्ता (Zn) से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत विधि का उपयोग करते हैं। मिश्र धातु X में, अनुपात 5:4 है, जिससे कुल भाग 5 + 4 = 9 होते हैं। मिश्र धातु Y में, अनुपात 5:13 है, जिससे कुल भाग 5 + 13 = 18 होते हैं। चूँकि X और Y की बराबर मात्राओं को पिघलाया जाता है, हम दोनों के लिए एक सामान्य मात्रा मानते हैं, अधिमानतः 9 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 18 इकाई है।

मिश्र धातु X (18 इकाई) के लिए: Cu की मात्रा = 5/9 × 18 = 10 इकाई Zn की मात्रा = 4/9 × 18 = 8 इकाई

मिश्र धातु Y (18 इकाई) के लिए: Cu की मात्रा = 5/18 × 18 = 5 इकाई Zn की मात्रा = 13/18 × 18 = 13 इकाई

मिश्र धातु Z में, कुल तांबा 10 + 5 = 15 इकाई है और कुल जस्ता 8 + 13 = 21 इकाई है। इसलिए, मिश्र धातु Z में Cu का Zn से अनुपात 15:21 है। दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करके इस अनुपात को सरल बनाने पर, हमें 5:7 प्राप्त होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए छात्रों X और Y के प्राप्तांक क्रमशः x और y हैं। समस्या के अनुसार, X का प्राप्तांक, X और Y के प्राप्तांकों के योग का 75% है। इसे समीकरण x = 75% × (x + y) द्वारा दर्शाया जा सकता है। प्रतिशत को भिन्न में बदलने पर, हमें x = 3/4(x + y) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर, हमें 4x = 3x + 3y प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 3x घटाने पर समीकरण सरल होकर x = 3y हो जाता है। X के प्राप्तांक का Y के प्राप्तांक से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को y से विभाजित करते हैं, जिससे x/y = 3/1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, अनुपात 3:1 है, जो विकल्प c से मेल खाता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यद्यपि समस्या में कहा गया है कि X, Y से 20 अधिक है, यह विशिष्ट मान अनुपात निर्धारित करने के लिए अनावश्यक है, क्योंकि प्रतिशत संबंध अकेले दोनों प्राप्तांकों के बीच आनुपातिक कड़ी को परिभाषित करता है।

व्याख्या

समीकरण 2x^2 - 5px + 2p^2 = 0 है। गुणनखंडन: (2x - p)(x - 2p) = 0। मूल x1 = p/2 और x2 = 2p हैं। अंतर 2p - p/2 = 3p/2 है। दिया गया है कि 3p/2 = 4, तो 3p = 8, इसलिए p = 8/3।

व्याख्या

किश्त A = P * [r(1+r)^n] / [(1+r)^n - 1] A = 10000 [0.1 (1.1)^3] / [(1.1)^3 - 1] A = 10000 [0.1 1.331] / [1.331 - 1] = 10000 * 0.1331 / 0.331 = 1331 / 0.331 लगभग 4021.15।

व्याख्या

दी गई असमानताओं की प्रणाली का हल ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक असमानता को अलग-अलग हल करें और फिर उनके हल समुच्चयों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।

पहली असमानता, 5x + 3 < 8x - 9 के लिए, x को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें, दोनों पक्षों से 5x घटाएं और दोनों पक्षों में 9 जोड़ें: 3 + 9 < 8x - 5x 12 < 3x दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर, हमें x > 4 प्राप्त होता है।

दूसरी असमानता, 2x + 20 > 5x + 2 के लिए, दोनों पक्षों से 2x घटाकर और दोनों पक्षों से 2 घटाकर पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: 20 - 2 > 5x - 2x 18 > 3x दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर, हमें x < 6 प्राप्त होता है।

चूंकि प्रश्न दोनों असमानताओं (और शर्त) का हल पूछता है, हमें x के वे मान ज्ञात करने होंगे जो x > 4 और x < 6 दोनों को संतुष्ट करते हैं। इन दोनों परिणामों को मिलाने पर, हल 4 < x < 6 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

माना अंकित मूल्य M और क्रय मूल्य CP है। 10%, 20% और 25% की तीन क्रमागत छूटों के बाद अंतिम विक्रय मूल्य SP_final का सूत्र SP_final = M(1 - d₁)(1 - d₂)(1 - d₃) द्वारा दिया गया है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SP_final = M(0.90 × 0.80 × 0.75) = M(0.54) प्राप्त होता है। चूँकि दुकानदार क्रय मूल्य पर 8% का लाभ कमाता है, इसलिए SP_final = CP(1 + 0.08) = 1.08 CP। SP_final के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें 0.54 M = 1.08 CP प्राप्त होता है, जो M = 1.08/0.54 CP = 2 CP को सरल करता है। यदि वस्तु को केवल 10% की पहली छूट के बाद बेचा गया होता, तो नया विक्रय मूल्य SP_नया M(1 - 0.10) = 0.9 M होता। M = 2 CP को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं SP_नया = 0.9(2 CP) = 1.8 CP। लाभ प्रतिशत की गणना (SP_नया - CP)/CP × 100 = (1.8 CP - CP)/CP × 100 = 0.8 × 100 = 80% के रूप में की जाती है। चूँकि 80% विकल्प a, b, या c में नहीं है, इसलिए सही विकल्प d है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, मान लीजिए शीर्षलम्ब AD आधार BC को दो खंडों BD और CD में विभाजित करता है। समकोण त्रिभुजों ABD और ACD में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास AD² = AB² - BD² और AD² = AC² - CD² है। ऊंचाई वर्ग के इन दो व्यंजकों को बराबर करने पर AB² - BD² = AC² - CD² प्राप्त होता है। पदों को भुजाओं और आधार खंडों को समूहित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें AB² - AC² = BD² - CD² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों पर बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a+b)(a-b) लागू करने पर, समीकरण (AB + AC)(AB - AC) = (BD + CD)(BD - CD) बन जाता है। दिए गए मानों AB + AC = p, AB - AC = q, और BD - CD = r को इस संबंध में प्रतिस्थापित करने पर, हमें p ⋅ q = (BD + CD) ⋅ r प्राप्त होता है। चूँकि आधार BC की कुल लंबाई खंडों BD + CD का योग है, हमारे पास pq = BC ⋅ r है। BC के लिए हल करने पर BC = pq/r प्राप्त होता है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

बेलन की ऊँचाई h और त्रिज्या r का योग r + h = 21 सेमी और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) 616 सेमी² दिया गया है, हम एक लम्ब वृत्तीय बेलन के CSA के सूत्र का उपयोग करते हैं: CSA = 2πrh। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 × 22/7 × rh = 616 प्राप्त होता है। गुणनफल rh के लिए हल करने पर, हमें rh = (616 × 7)/44 = 14 × 7 = 98 प्राप्त होता है।

अब हमारे पास दो समीकरण हैं: r + h = 21 और rh = 98। ये एक द्विघात समीकरण x² - (r + h)x + rh = 0 की विशेषताएँ हैं, जो x² - 21x + 98 = 0 है। इसे गुणनखंडित करने पर, हमें (x - 14)(x - 7) = 0 प्राप्त होता है। इस प्रकार, r और h के संभावित मान 7 और 14 हैं। चूँकि शर्त r < h दी गई है, इसलिए r = 7 सेमी और h = 14 सेमी होना चाहिए।

आयतन V ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र V = πr²h का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, V = 22/7 × 7² × 14 = 22/7 × 49 × 14 = 22 × 7 × 14 = 154 × 14 = 2156 सेमी³। इसलिए, विकल्प d सही है।

व्याख्या

मान लीजिए भुजा AB = c और भुजा BC = a है। चूँकि त्रिभुज B पर समकोण है, इसका क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × a × c द्वारा दिया जाता है। क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें a और c के मान निर्धारित करने की आवश्यकता है।

कथन I से, AQ = √73। चूँकि Q, BC का मध्य बिंदु है, BQ = a/2। ΔABQ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: c² + (a/2)² = (√73)² c² + a²/4 = 73 ⇒ 4c² + a² = 292

कथन II से, CP = √52। चूँकि P, AB का मध्य बिंदु है, BP = c/2। ΔCBP में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: a² + (c/2)² = (√52)² a² + c²/4 = 52 ⇒ 4a² + c² = 208

अब हमारे पास a² और c² के पदों में दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है। मान लीजिए X = a² और Y = c²। समीकरण हैं X + 4Y = 292 और 4X + Y = 208। इन समकालिक समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को चार से गुणा करके दूसरे को घटाने पर: 4(X + 4Y) - (4X + Y) = 4(292) - 208 15Y = 1168 - 208 = 960 ⇒ Y = 64 ⇒ c = 8 X + 4(64) = 292 में Y = 64 प्रतिस्थापित करने पर: X + 256 = 292 ⇒ X = 36 ⇒ a = 6

a = 6 और c = 8 के साथ, क्षेत्रफल 1/2 × 6 × 8 = 24 वर्ग इकाई है। चूँकि कोई भी कथन अकेले दो चर के लिए हल करने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान नहीं करता है, इसलिए I और II दोनों आवश्यक हैं। अतः, विकल्प c सही है।

व्याख्या

लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को दर्शाने वाले तीन क्रमागत पूर्णांक n-1, n, और n+1 मान लीजिए। घनाभ के आयतन का सूत्र V = l × b × h है। मान रखने पर, हमें (n-1) × n × (n+1) = 336 प्राप्त होता है, जो n(n² - 1) = 336 या n³ - n = 336 को सरल करता है। एक प्रतियोगी परीक्षा में, n ज्ञात करने का सबसे तेज़ तरीका 336 के निकटतम पूर्ण घन की पहचान करना है। चूँकि 7³ = 343 है, हम n = 7 की जाँच करते हैं, और 343 - 7 = 336 होता है। इस प्रकार, घनाभ के आयाम 6, 7 और 8 इकाई हैं। घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का सूत्र TSA = 2(lb + bh + hl) है। आयाम l=6, b=7, h=8 रखने पर, हम TSA = 2(6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 6) = 2(42 + 56 + 48) = 2(146) = 292 वर्ग इकाई की गणना करते हैं। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

माना वृत्त का केंद्र O है और त्रिज्या R = 14 सेमी है। चूँकि P छोटे चाप APB का मध्यबिंदु है और C जीवा AB का मध्यबिंदु है, P और C से गुजरने वाली रेखा केंद्र O से भी गुजरनी चाहिए। इसलिए, P, C, और O संरेख हैं, और रेखा PO जीवा AB की लंब समद्विभाजक है। दिया गया है कि त्रिज्या OP = 14 सेमी और PC = 7 सेमी है, तो दूरी OC = OP - PC = 14 - 7 = 7 सेमी है।

समकोण त्रिभुज OCA में, हम AC की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AC² = OA² - OC² AC² = 14² - 7² = 196 - 49 = 147

अब, समकोण त्रिभुज PCA पर विचार करें। हम जीवा AP की लंबाई ज्ञात करने के लिए फिर से पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: AP² = PC² + AC² AP² = 7² + 147 = 49 + 147 = 196 AP = √196 = 14 सेमी

इस प्रकार, जीवा AP की लंबाई 14 सेमी है, जो विकल्प (d) से मेल खाती है।

व्याख्या

एक खंभे के सिरे को दूसरे खंभे के पाद से जोड़ने वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु की ऊँचाई से संबंधित समस्याओं के लिए, प्रतिच्छेदन बिंदु की ऊँचाई खंभों के बीच की दूरी से स्वतंत्र होती है। ऊँचाई h की गणना ऊँचाइयों a और b के लिए हार्मोनिक माध्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

1/h = 1/a + 1/b या h = (a × b)/(a + b)

दिए गए दो खंभों की ऊँचाई a = 10 मीटर और b = 15 मीटर है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

h = (10 × 15)/(10 + 15) h = 150/25 h = 6 मीटर

प्रश्न में दी गई 25 मीटर की दूरी अतिरिक्त जानकारी है और यह प्रतिच्छेदन बिंदु की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई को प्रभावित नहीं करती है। इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु की ऊँचाई 6 मीटर है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए भुजाओं की लंबाई AB = c, BC = a, और कर्ण AC = b है। समस्या के अनुसार, परिमाप a + b + c = 60 दिया गया है और लंबों के योग तथा कर्ण के बीच का अंतर (a + c) - b = 10 है। दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर (a + b + c) - (a + c - b) = 60 - 10 प्राप्त होता है, जो 2b = 50 को सरल करता है, इसलिए b = 25। इस मान को परिमाप समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें a + c = 60 - 25 = 35 मिलता है।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस सर्वसमिका a² + c² = b² और बीजगणितीय सर्वसमिका (a + c)² = a² + c² + 2ac का उपयोग करते हैं। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 35² = 25² + 2ac मिलता है, जो 1225 = 625 + 2ac को सरल करता है। यह 2ac = 600 को सरल करता है, और इस प्रकार ac = 300। एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊंचाई = 1/2 ac द्वारा दिया जाता है। इसलिए, क्षेत्रफल = 1/2 × 300 = 150 वर्ग इकाई। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

दो ऊर्ध्वाधर खंभों के सिरों के बीच की दूरी की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है, क्योंकि खंभों के बीच की क्षैतिज दूरी और उनकी ऊँचाइयों का अंतर एक समकोण त्रिभुज के दो लंब बनाते हैं। मान लीजिए खंभों के बीच की क्षैतिज दूरी d = 24 मीटर है और उनकी ऊँचाइयों का अंतर h = 10 मीटर है। सिरों के बीच की दूरी L इस त्रिभुज के कर्ण को दर्शाती है।

सूत्र L = √(d² + h²) लागू करने पर, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: L = √(24² + 10²) L = √(576 + 100) L = √676 L = 26 मीटर।

तेज प्रतिस्पर्धात्मक दृष्टिकोण के लिए, यह पहचानें कि मान 10 और 24 मानक पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) के गुणज हैं। चूंकि 10 = 5 × 2 और 24 = 12 × 2, कर्ण 13 × 2 = 26 मीटर होना चाहिए। इस प्रकार, विकल्प b सही उत्तर है।

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी आधी लंबाई का होता है। त्रिभुज ABC में, चूँकि Z, AB का मध्य-बिंदु है और X, BC का मध्य-बिंदु है, इसलिए रेखाखंड ZX, AC के समानांतर है। चूँकि Y, AC पर स्थित है, इसलिए ZX ∥ AY। इसी प्रकार, चूँकि X, BC का मध्य-बिंदु है और Y, AC का मध्य-बिंदु है, इसलिए रेखाखंड XY, AB के समानांतर है। चूँकि Z, AB पर स्थित है, इसलिए XY ∥ AZ। एक चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं के दोनों युग्म समानांतर होते हैं, वह एक समांतर चतुर्भुज होता है; इसलिए, AZXY एक समांतर चतुर्भुज है, जिससे कथन I सही हो जाता है।

क्षेत्रफल के लिए, मध्य-बिंदुओं X, Y, Z को मिलाने पर त्रिभुज ABC चार सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है: ΔAZY, ΔZBX, ΔYCX, और ΔXYZ। इन छोटे त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ΔABC के क्षेत्रफल का 1/4 होता है। चतुर्भुज AZXY इन दो त्रिभुजों, अर्थात् ΔAZY और ΔXYZ से मिलकर बना है। इस प्रकार, चतुर्भुज AZXY का क्षेत्रफल = 1/4 क्षेत्रफल(ΔABC) + 1/4 क्षेत्रफल(ΔABC) = 1/2 क्षेत्रफल(ΔABC), जिससे कथन II सही हो जाता है। दोनों कथन सही हैं, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के लिए, सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। चूँकि एक सम बहुभुज में सभी बाह्य कोण बराबर होते हैं, प्रत्येक बाह्य कोण θ का माप सूत्र θ = 360°/n द्वारा दिया जाता है। θ के एक सम बहुभुज का बाह्य कोण होने के लिए, n का मान 3 या उससे अधिक एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि θ, 360 का भाजक होना चाहिए।

दिए गए विकल्पों की जाँच: θ = 4° के लिए, n = 360/4 = 90, जो एक पूर्णांक है। θ = 5° के लिए, n = 360/5 = 72, जो एक पूर्णांक है। θ = 6° के लिए, n = 360/6 = 60, जो एक पूर्णांक है। θ = 8° के लिए, n = 360/8 = 45, जो एक पूर्णांक है।

चूँकि चारों मान 360 के भाजक हैं और n ≥ 3 भुजाओं की एक पूर्णांक संख्या प्राप्त होती है, चारों कोण एक सम बहुभुज के बाह्य कोण हो सकते हैं। अतः, विकल्प d सही है।

व्याख्या

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 bc sin A का उपयोग करके गणना की जा सकती है, जहाँ b और c दो भुजाओं की लंबाई हैं और A उनके बीच का कोण है। इस समस्या में, दिए गए मान AB = c = 7 सेमी, AC = b = 12 सेमी, और ∠A = 30° हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = 1/2 × 12 × 7 × sin 30° प्राप्त होता है। चूँकि sin 30° का मान 1/2 है, गणना क्षेत्रफल = 1/2 × 12 × 7 × 1/2 हो जाती है। व्यंजक को सरल बनाने पर, हमें क्षेत्रफल = 6 × 7 × 1/2 = 42 × 1/2 = 21 सेमी² प्राप्त होता है। इसलिए, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 21 सेमी² है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर समकोण से खींचा गया शीर्षलंब क्षेत्रफल सूत्र या संबंध BD = (AB × BC)/AC का उपयोग करके गणना की जा सकती है। सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण AC की लंबाई की गणना करें: AC = √(AB² + BC²) = √(p² + (√3p)²) = √(p² + 3p²) = √(4p²) = 2p। अब, कर्ण पर शीर्षलंब BD के सूत्र को लागू करते हुए, हमारे पास BD = (p × √3p)/2p है। व्यंजक को सरल बनाने पर, हर में p अंश में एक p को रद्द कर देता है, जिससे BD = √3p²/2p = √3p/2 प्राप्त होता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

आंतरिक कोण I = (n-2) * 180 / n. बाह्य कोण E = 360 / n. I - E = 120 => (180n - 360) / n - 360 / n = 120 (180n - 720) / n = 120 180n - 720 = 120n 60n = 720 => n = 12.

व्याख्या

पूरक कोणों का योग 90 डिग्री होता है। θ = 1/4 * (90 - θ) 4θ = 90 - θ 5θ = 90 => θ = 18 डिग्री।

व्याख्या

सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c² का उपयोग करके जांचें कि क्या दिया गया त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है। दी गई भुजाओं 11 सेमी, 60 सेमी और 61 सेमी के लिए, हमारे पास 11² + 60² = 121 + 3600 = 3721 है, और 61² = 3721 है। चूँकि दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर है, यह एक समकोण त्रिभुज है।

मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके गणना की जाती है। लंबवत भुजाओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = 1/2 × 11 × 60 = 330 सेमी² मिलता है।

त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज को माध्यिका त्रिभुज (medial triangle) कहा जाता है। माध्यिका त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ठीक एक-चौथाई होता है। इसलिए, मध्यबिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 330/4 = 82.5 सेमी² है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

पेंडुलम की लंबाई, झूलन द्वारा बने त्रिज्यखंड की त्रिज्या r के संगत होती है। वृत्त के लिए चाप लंबाई सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास s = θ/360 × 2πr है, जहाँ s चाप की लंबाई है और θ डिग्री में केंद्रीय कोण है।

दिए गए मानों s = 55 सेमी, θ = 30°, और π = 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

55 = 30/360 × 2 × 22/7 × r

भिन्न 30/360 को 1/12 तक सरल करने पर, समीकरण बनता है:

55 = 1/12 × 44/7 × r

55 = 11/(3 × 7) × r

55 = 11/21 × r

r ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

r = (55 × 21)/11

r = 5 × 21 = 105 सेमी

इस प्रकार, पेंडुलम की लंबाई 105 सेमी है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

60° के शीर्ष कोण वाले शंक्वाकार तंबू के लिए, अर्ध-शीर्ष कोण θ 30° है। शंकु के ज्यामितीय गुणों का उपयोग करते हुए, त्रिज्या r, तिर्यक ऊँचाई l, और ऊँचाई h के बीच संबंध sin(30°) = r/l द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसका अर्थ है l = 2r। परिणामस्वरूप, ऊँचाई h = √(l² - r²) = √((2r)² - r²) = r√3 है।

वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) का सूत्र CSA = πrl है। दिए गए मान 100 वर्ग मीटर और l = 2r को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 100 = πr(2r) 2πr² = 100 r² = 50/π r = √(50/π) = 5√(2/π)

शंकु का आयतन V, सूत्र V = 1/3 πr²h का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। h = r√3 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 1/3 πr²(r√3) = (πr³√3)/3

अब, r का मान प्रतिस्थापित करने पर: V = (π√3)/3 (50/π)³/² = (π√3)/3 · (50√50)/(π√π) = (50√3 · 5√2)/(3√π) = (250√6)/(3√π)

विकल्पों से मिलान करने के लिए, हम (250√6)/(3√π) को इस प्रकार सरल करते हैं: V = (250√2√3)/(3√π) = (250√2)/((3/√3)√π) = (250√2)/(√3√π) = (250√2)/√(3π)

इस प्रकार, आयतन (250√2)/√(3π) मी³ है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए शंकु के आधार की त्रिज्या r₁ है और अर्धगोले की त्रिज्या r₂ है। चूँकि शंकु का आधार और अर्धगोले का आधार समान हैं, इसलिए r₁ = r₂ = r। मान लीजिए h शंकु की ऊँचाई है।

आयतन के सूत्र के अनुसार, एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन V꜀ₒₙₑ = 1/3 π r² h है और एक अर्धगोले का आयतन Vₕₑₘᵢₛₚₕₑᵣₑ = 2/3 π r³ है।

यह दिया गया है कि आयतन समान हैं, इसलिए हम समीकरण स्थापित करते हैं: 1/3 π r² h = 2/3 π r³

दोनों पक्षों को 1/3 π r² से विभाजित करने पर: h = 2r

शंकु की ऊँचाई का अर्धगोले की त्रिज्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं: h/r = 2/1

इस प्रकार, अनुपात 2:1 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A = (√3/4) a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। दिए गए क्षेत्रफल को प्रतिस्थापित करने पर, 36√3 = (√3/4) a², जो a² = 144 को सरल करता है, जिससे a = 12 सेमी प्राप्त होता है। तार की कुल लंबाई त्रिभुज की परिधि है, L = 3a = 3 × 12 = 36 सेमी। जब इस तार को एक अर्धवृत्त में पुनः आकार दिया जाता है, तो इसकी परिधि चाप की लंबाई और व्यास का योग होती है, जो P = πr + 2r = r(π + 2) द्वारा दी जाती है। तार की लंबाई को अर्धवृत्त की परिधि के बराबर करने पर, हमें r(π + 2) = 36 प्राप्त होता है, जिससे r = 36/(π + 2) सेमी प्राप्त होता है। इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, हम देखते हैं कि विकल्प (a) 9/π सेमी, विकल्प (b) 18/(π + 2) सेमी, और विकल्प (c) 18/π सेमी सभी गलत हैं। इस प्रकार, सही विकल्प (d) उपरोक्त में से कोई नहीं है।

व्याख्या

पहले भाग के लिए, वृत्त में अंकित सबसे बड़े वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र x = 2r² का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। चूँकि त्रिज्या r = 1 है, क्षेत्रफल x = 2(1)² = 2। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंकित वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है, d = 2r = 2, और वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण के वर्ग का आधा होता है, इसलिए x = d²/2 = 2²/2 = 2।

दूसरे भाग के लिए, वर्ग में अंकित सबसे बड़े वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र y = π(a/2)² का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ a वर्ग की भुजा की लंबाई है। भुजा की लंबाई a = 1 दी गई है, क्षेत्रफल y = π(1/2)² = π/4। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंकित वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होता है।

x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: πx = π × 2 = 2π 8y = 8 × π/4 = 2π दोनों परिणामों की तुलना करने पर, हमें πx = 8y प्राप्त होता है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक x²ⁿ - y²ⁿ + 1 है। हम बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके पहले दो पदों का विश्लेषण कर सकते हैं। a = xⁿ और b = yⁿ को प्रतिस्थापित करके, हम व्यंजक को (xⁿ - yⁿ)(xⁿ + yⁿ) + 1 के रूप में पुनः लिख सकते हैं। जब इस व्यंजक को भाजक xⁿ + yⁿ से विभाजित किया जाता है, तो पद (xⁿ - yⁿ)(xⁿ + yⁿ) ठीक xⁿ + yⁿ से विभाज्य होता है क्योंकि इसमें भाजक एक गुणनखंड के रूप में होता है। इससे व्यंजक के उस विशिष्ट भाग के लिए 0 का शेषफल प्राप्त होता है। केवल शेष पद स्थिरांक 1 है, जो विभाजन का अंतिम शेषफल है। चूँकि सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है, चाहे n विषम हो या सम, शेषफल हमेशा 1 होगा। इस प्रकार, उत्तर ज्ञात करने के लिए न तो कथन-I और न ही कथन-II की आवश्यकता है, जिससे विकल्प (d) सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

यह देखते हुए कि एक प्राकृतिक संख्या N और उसके उल्टे M का गुणनफल 252 है, हम 252 के ऐसे गुणनखंड युग्मों की तलाश करते हैं जो एक दूसरे के उल्टे हों। 252 के गुणनखंड (1, 252), (2, 126), (3, 84), (4, 63), (6, 42), (7, 36), (9, 28), (12, 21), और (14, 18) हैं। इनमें से, केवल युग्म (12, 21) यह शर्त पूरी करता है कि एक दूसरे का उल्टा है। इसलिए, N या तो 12 या 21 होना चाहिए।

कथन-I का मूल्यांकन: N + M = 33। चूँकि 12 + 21 = 33, N के दोनों संभावित मान (12 और 21) इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इस प्रकार, कथन-I अकेले यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है कि N 12 है या 21।

कथन-II का मूल्यांकन: N > M। चूँकि N और M के संभावित मान 12 और 21 हैं, शर्त N > M विशिष्ट रूप से N = 21 और M = 12 की पहचान करती है। इस प्रकार, कथन-II अकेले प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

चूँकि प्रश्न का उत्तर कथन-II अकेले का उपयोग करके दिया जा सकता है, लेकिन कथन-I अकेले का उपयोग करके नहीं, विकल्प (a) सही विकल्प है।

व्याख्या

किसी भी घात का अंतिम अंक केवल आधार के अंतिम अंक और उस अंक की चक्रीयता पर निर्भर करता है। D में समाप्त होने वाली संख्या की घात 100 के लिए, अंतिम अंक 1 होगा यदि D, 1, 3, 7, या 9 है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 1 की चक्रीयता 1 है (1¹=1), 3 की चक्रीयता 4 है (3¹=3, 3²=9, 3³=7, 3⁴=1), 7 की चक्रीयता 4 है (7¹=7, 7²=9, 7³=3, 7⁴=1), और 9 की चक्रीयता 2 है (9¹=9, 9²=1)। चूंकि घातांक 100, 4 का गुणज है, इसलिए इन अंकों D ∈ {1, 3, 7, 9} में से कोई भी 1 का अंतिम अंक देगा।

कथन I हमें बताता है कि D > 5, जो संभावनाओं को D = 7 या D = 9 तक सीमित करता है। यह अकेले D का एक अद्वितीय मान खोजने के लिए पर्याप्त नहीं है। कथन II हमें बताता है कि D, 3 का गुणज है, जो संभावनाओं को D = 3 या D = 9 तक सीमित करता है। यह भी अकेले पर्याप्त नहीं है। हालाँकि, दोनों कथनों को मिलाकर, {1, 3, 7, 9} के समुच्चय से 5 से बड़ा और 3 का गुणज एकमात्र अंक D = 9 है। इसलिए, प्रश्न का उत्तर देने के लिए दोनों कथन एक साथ आवश्यक हैं, जिससे विकल्प C सही हो जाता है।

व्याख्या

त्रिभुज के कोणों के योग के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि ∠A + ∠B + ∠C = 180°। दी गई शर्त बताती है कि ∠A = ∠B - ∠C, जिसे ∠B = ∠A + ∠C के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। कोणों के योग सूत्र में ∠B का यह मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠A + (∠A + ∠C) + ∠C = 180° मिलता है, जो 2∠A + 2∠C = 180° को सरल करता है। 2 से विभाजित करने पर, हम पाते हैं कि ∠A + ∠C = 90°। चूँकि ∠B = ∠A + ∠C है, इसलिए ∠B = 90° होता है, जिससे ABC एक समकोण त्रिभुज बन जाता है। किसी भी त्रिभुज में, सभी कोण 0° से अधिक होने चाहिए। इसलिए, यदि ∠A + ∠C = 90° है, तो ∠A निश्चित रूप से 90° से कम और 0° से अधिक होना चाहिए, जो परिभाषा के अनुसार ∠A को एक न्यून कोण बनाता है। चूँकि यह परिणाम केवल दी गई समीकरण और त्रिभुज के मौलिक गुणों से प्राप्त होता है, इसलिए कथन I या कथन II से किसी अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, कथनों में से किसी का भी उपयोग किए बिना प्रश्न का उत्तर दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही हो जाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण परित्रिज्या के व्यास के रूप में कार्य करता है। यह इस तथ्य से प्राप्त एक मौलिक गुण है कि परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण 90° होता है। इसलिए, एक समकोण त्रिभुज की परित्रिज्या R हमेशा उसके कर्ण की लंबाई के आधे के बराबर होती है।

परित्रिज्या R की गणना करने का सूत्र R = कर्ण/2 है। दिए गए प्रश्न में, त्रिभुज ABC, B पर समकोण है, जो AC को कर्ण बनाता है। AC की लंबाई स्पष्ट रूप से 20 सेमी दी गई है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें R = 20/2 = 10 सेमी प्राप्त होता है।

चूंकि मुख्य प्रश्न में कर्ण की लंबाई पहले से ही दी गई है, परित्रिज्या सीधे निर्धारित की जा सकती है। कथन I में AB = 12 सेमी और कथन II में BC = 16 सेमी दी गई जानकारी अनावश्यक है। यद्यपि ये मान पाइथागोरस प्रमेय 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20² के अनुरूप हैं, वे परित्रिज्या ज्ञात करने के लिए आवश्यक नहीं हैं। इस प्रकार, प्रश्न का उत्तर कथनों में से किसी का भी उपयोग किए बिना भी दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही हो जाता है।

व्याख्या

भुजाओं a और b और उनके बीच के कोण θ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = a · b · sin(θ) द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 7√3 = a · b · sin(60°) प्राप्त होता है। चूँकि sin(60°) = √3/2 है, समीकरण 7√3 = a · b · √3/2 हो जाता है, जो a · b = 14 को सरल करता है। परिधि P = 2(a + b) है।

कथन-I का उपयोग करके, हमें बताया गया है कि a और b अभाज्य संख्याएँ हैं। 14 का गुणनफल केवल दो अभाज्य संख्याएँ 2 और 7 हैं। इस प्रकार, a+b = 2+7 = 9, और परिधि P = 2(9) = 18। कथन-I अकेले पर्याप्त है।

कथन-II का उपयोग करके, हमें बताया गया है कि a और b प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 1 से बड़ी हैं। प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े जिनका गुणनफल 14 है, (1, 14) और (2, 7) हैं। चूँकि दोनों भुजाएँ 1 से बड़ी होनी चाहिए, एकमात्र संभावित जोड़ा (2, 7) है। इस प्रकार, a+b = 2+7 = 9, और परिधि P = 2(9) = 18। कथन-II अकेले पर्याप्त है।

चूँकि कोई भी कथन स्वतंत्र रूप से परिधि ज्ञात करने के लिए आवश्यक जानकारी प्रदान करता है, विकल्प b सही है।

व्याख्या

ज्यामिति में प्रतिच्छेदित जीवाओं की प्रमेय के अनुसार, यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD वृत्त के अंदर एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों की लंबाई का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। इस प्रमेय के लिए गणितीय व्यंजक AP × PB = CP × PD है।

दिए गए प्रश्न में, यह पहले से ही दिया गया है कि AP × PB = 48 वर्ग इकाई है। सूत्र को सीधे लागू करने पर, हमारे पास CP × PD = AP × PB = 48 वर्ग इकाई है। चूँकि CP × PD का मान पूरी तरह से प्रश्न में दी गई जानकारी से निर्धारित होता है, इसलिए उत्तर खोजने के लिए न तो कथन I (जो AP की लंबाई देता है) और न ही कथन II (जो CP की लंबाई देता है) आवश्यक है। इसलिए, प्रश्न का उत्तर कथनों में से किसी का भी उपयोग किए बिना भी दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही हो जाता है।

व्याख्या

समाधान त्रिभुज असमानता प्रमेय पर निर्भर करता है, जो बताता है कि किसी भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ a, b, और c हैं, भुजा c की लंबाई |a - b| < c < a + b को संतुष्ट करनी चाहिए। चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण BD आकृति को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: ΔABD और ΔBCD।

ΔABD जिसकी भुजाएँ AB = 6 और AD = 9 हैं, के लिए BD की सीमा 9 - 6 < BD < 9 + 6 है, जो 3 < BD < 15 हो जाती है। ΔBCD जिसकी भुजाएँ BC = 18 और CD = 6 हैं, के लिए BD की सीमा 18 - 6 < BD < 18 + 6 है, जो 12 < BD < 24 हो जाती है। BD के अस्तित्व के लिए, इसे दोनों असमानताओं को संतुष्ट करना चाहिए, जिसका अर्थ है 12 < BD < 15। यदि BD एक पूर्णांक है, तो केवल संभावित मान 13 और 14 हैं।

कथन I कहता है कि BD 13 से अधिक एक पूर्णांक है, जो BD = 14 को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। कथन II कहता है कि BD एक सम पूर्णांक है, जो 13 विषम होने के कारण BD = 14 को भी विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। इसलिए, कोई भी कथन अकेले प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है, जिससे विकल्प (b) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

मान लीजिए आधार BC = b और शीर्ष A से BC पर ऊँचाई h है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, ऊँचाई आधार को समद्विभाजित करती है, जिससे दो समकोण त्रिभुज बनते हैं। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, h² + (b/2)² = 10², जो h² = 100 - b²/4 तक सरल हो जाता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल क्षेत्रफल = 1/2 × b × h = 48 द्वारा दिया गया है, इसलिए bh = 96, या h = 96/b। इसे पाइथागोरस समीकरण में प्रतिस्थापित करना:

(96/b)² = 100 - b²/4 9216/b² = (400 - b²)/4 36864 = 400b² - b⁴ b⁴ - 400b² + 36864 = 0

b² के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करना: b² = (400 ± √(400² - 4(36864)))/2 b² = (400 ± √(160000 - 147456))/2 b² = (400 ± √12544)/2 b² = (400 ± 112)/2

यह b² के लिए दो संभावित मान देता है: b² = 512/2 = 256 ⇒ b = 16 b² = 288/2 = 144 ⇒ b = 12

अब कथनों का मूल्यांकन करें: कथन-I कहता है कि BC एक सम पूर्णांक है। चूंकि 12 और 16 दोनों सम पूर्णांक हैं, यह कथन अकेले BC का एक अद्वितीय मान ज्ञात करने के लिए पर्याप्त नहीं है। कथन-II कहता है कि ऊँचाई h आधार के आधे b/2 से अधिक है। यदि b = 16 है, तो h = 96/16 = 6। यहाँ, b/2 = 8। चूंकि 6, 8 से अधिक नहीं है, यह मामला अमान्य है। यदि b = 12 है, तो h = 96/12 = 8। यहाँ, b/2 = 6। चूंकि 8 > 6, यह मामला मान्य है। इस प्रकार, कथन-II अकेले BC = 12 निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है।

चूंकि कथन-II अकेले काम करता है लेकिन कथन-I अकेले काम नहीं करता है, विकल्प A सही है।

व्याख्या

मान लीजिए समचतुर्भुज के विकर्ण d₁ और d₂ हैं। दिया गया अनुपात d₁ : d₂ = 5 : 12 है, हम उन्हें किसी धनात्मक स्थिरांक x के लिए d₁ = 5x और d₂ = 12x के रूप में निरूपित कर सकते हैं। एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, इसलिए भुजा s की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है: s = √((d₁/2)² + (d₂/2)²)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें s = √((5x/2)² + (12x/2)²) = √((25x² + 144x²)/4) = √(169x²/4) = 13x/2 = 6.5x प्राप्त होता है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई एक विकर्ण भुजा के बराबर है, हम s = 6.5x की तुलना d₁ = 5x और d₂ = 12x से करते हैं। स्पष्ट रूप से, किसी भी x > 0 के लिए 6.5x ≠ 5x और 6.5x ≠ 12x है। चूँकि उत्तर केवल दिए गए अनुपात के आधार पर एक निश्चित 'नहीं' है, इसलिए कथन I या कथन II से किसी अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, प्रश्न का उत्तर बिना किसी कथन का उपयोग किए भी दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

माध्यिका एक स्थितिजन्य औसत (positional average) है, जिसका अर्थ है कि इसका मान प्रेक्षणों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद डेटासेट की मध्य स्थिति द्वारा निर्धारित होता है। क्योंकि माध्यिका प्रेक्षणों के वास्तविक संख्यात्मक परिमाण के बजाय उनकी रैंक पर निर्भर करती है, वितरण के किनारों पर एक अत्यंत उच्च या निम्न मान मध्य बिंदु को नहीं बदलता है। यह इसे केंद्रीय प्रवृत्ति का एक मजबूत माप बनाता है।

इसके विपरीत, अंकगणितीय माध्य की गणना माध्य = Σ xᵢ/n सूत्र का उपयोग करके की जाती है। चूंकि प्रत्येक प्रेक्षण xᵢ का योग किया जाता है, एक एकल चरम आउटलायर परिणाम को काफी बढ़ा या घटा सकता है, जिससे माध्य अधिकांश डेटा के केंद्र से दूर हो जाता है। इसी तरह, ज्यामितीय माध्य और हरात्मक माध्य चरम मानों, विशेष रूप से बहुत छोटे मानों या शून्य के प्रति संवेदनशील होते हैं, जो गुणनफल या व्युत्क्रमों के योग को असमान रूप से प्रभावित कर सकते हैं। इसलिए, तिरछे डेटा (skewed data) या चरम प्रेक्षणों वाले डेटासेट से निपटते समय माध्यिका सबसे विश्वसनीय माप है।

व्याख्या

हरात्मक माध्य विशेष रूप से दरों, अनुपातों या भिन्नों के औसत की गणना के लिए डिज़ाइन किया गया है। सांख्यिकी में, जब हम दो विभिन्न इकाइयों के अनुपात के रूप में व्यक्त की गई मात्राओं, जैसे गति (किलोमीटर प्रति घंटा), प्रति इकाई मूल्य, या प्रति घंटा किया गया कार्य, से निपटते हैं, तो अंकगणितीय माध्य अक्सर पक्षपातपूर्ण परिणाम देता है। हरात्मक माध्य तब सही औसत प्रदान करता है जब दर के अंश (numerator) प्रेक्षणों में स्थिर होता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वाहन विभिन्न गतियों से एक निश्चित दूरी तय करता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति उन गतियों का हरात्मक माध्य होती है। n प्रेक्षणों x₁, x₂, ..., xₙ के हरात्मक माध्य का सूत्र HM = n/(Σᵢ₌₁ⁿ 1/xᵢ) द्वारा दिया जाता है। यह माप प्रभावी ढंग से मानों को उनके व्युत्क्रमों (reciprocals) द्वारा भारित करता है, जिससे यह दरों और अनुपातों का औसत निकालने के लिए सबसे उपयुक्त केंद्रीय प्रवृत्ति बन जाता है जहाँ माप की इकाई भाजक (denominator) में होती है।

व्याख्या

औसत अंक ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए संचयी आवृत्ति वितरण को एक समूहीकृत आवृत्ति वितरण में परिवर्तित करते हैं। प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए आवृत्ति की गणना पूर्ववर्ती संचयी आवृत्ति में से अनुवर्ती संचयी आवृत्ति को घटाकर की जाती है।

वर्ग 10 से 20 के लिए, आवृत्ति f₁ = 100 - 75 = 25 है। वर्ग 20 से 30 के लिए, आवृत्ति f₂ = 75 - 60 = 15 है। वर्ग 30 से 40 के लिए, आवृत्ति f₃ = 60 - 40 = 20 है। वर्ग 40 से 50 के लिए (समान अंतराल चौड़ाई मानते हुए), आवृत्ति f₄ शेष 40 उम्मीदवार हैं।

इसके बाद, हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य-मान x निर्धारित करते हैं: x₁ = (10+20)/2 = 15 x₂ = (20+30)/2 = 25 x₃ = (30+40)/2 = 35 x₄ = (40+50)/2 = 45

माध्य x̄ = Σfᵢxᵢ/N के सूत्र का उपयोग करते हुए, जहाँ N = 100: Σfᵢxᵢ = (25 × 15) + (15 × 25) + (20 × 35) + (40 × 45) Σfᵢxᵢ = 375 + 375 + 700 + 1800 = 3250

इसलिए, औसत अंक हैं: x̄ = 3250/100 = 32.5

यह विकल्प d) से मेल खाता है।

व्याख्या

यदि किसी समुच्चय में प्रत्येक प्रेक्षण को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो अंकगणितीय माध्य को भी k से गुणा किया जाता है। नया माध्य = 5 * 60 = 300।

व्याख्या

संयुक्त वितरण के माध्य की गणना करने के लिए, हम संयुक्त माध्य के लिए भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करते हैं: x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃)/(n₁ + n₂ + n₃)। यहाँ, आवृत्तियाँ n₁ = 45, n₂ = 40, और n₃ = 55 दी गई हैं, और उनके संबंधित माध्य x̄₁ = 2, x̄₂ = 2.5, और x̄₃ = 2 हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पहले आवृत्तियों और माध्यों के गुणनफलों का योग ज्ञात करते हैं: योग = (45 × 2) + (40 × 2.5) + (55 × 2) योग = 90 + 100 + 110 = 300

इसके बाद, हम संयुक्त वितरण की कुल आवृत्ति की गणना करते हैं: कुल आवृत्ति N = 45 + 40 + 55 = 140

फिर संयुक्त माध्य है: x̄ = 300/140 = 30/14 = 15/7 ≈ 2.1428

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 2.14 प्राप्त होता है, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

एक स्थितीय माध्य (positional average) केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है जो सभी अवलोकनों के योग या गुणनफल को शामिल करने वाली गणितीय गणना के बजाय, आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किए जाने पर डेटा सेट में मानों की स्थिति द्वारा निर्धारित होता है। माध्यिका (Median) एक स्थितीय माध्य का प्राथमिक उदाहरण है क्योंकि यह एक क्रमबद्ध डेटा सेट के मध्य-तम मान की पहचान करती है। n अवलोकनों के एक सेट के लिए, माध्यिका की स्थिति की गणना (n+1)/2 सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

अंकगणितीय माध्य या गुणोत्तर माध्य के विपरीत, जो परिकलित माध्य हैं जिनमें प्रत्येक एकल डेटा बिंदु के विशिष्ट संख्यात्मक मान को शामिल किया जाता है, माध्यिका केवल डेटा की रैंक या स्थिति पर निर्भर करती है। यह विशेषता माध्यिका को तिरछे वितरण (skewed distributions) या चरम आउटलायर्स (extreme outliers) वाले डेटासेट से निपटने के दौरान माध्य की तुलना में अधिक मजबूत बनाती है। जबकि बहुलक (mode) सबसे लगातार मान का प्रतिनिधित्व करता है, यह माध्यिका, चतुर्थक (quartiles), दशमक (deciles) और शतमक (percentiles) की तरह रैंक के आधार पर डेटा को विभाजित नहीं करता है।

व्याख्या

पहला समूह: माध्यिका = 20.8, L = 20, h = 5, f = 75. संचयी आवृत्ति cf = u + v + 11 + 52 = u + v + 63. कुल आवृत्ति N = u + v + 160. माध्यिका = 20 + [( (u+v+160)/2 - (u+v+63) ) / 75] * 5 0.8 = [ (u+v+160 - 2u-2v-126) / 2 ] / 15 12 = (-u-v+34) / 2 => 24 = -u-v+34 => u + v = 10. दूसरा समूह: माध्य = 17.3. मध्यबिंदु: 2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5. योग fx = 2.5(3u) + 7.5(2v) + 12.5(40) + 17.5(50) + 22.5(30) + 27.5(28) = 7.5u + 15v + 2820. N = 3u + 2v + 148. माध्य = (7.5u + 15v + 2820) / (3u + 2v + 148) = 17.3. 7.5u + 15v + 2820 = 51.9u + 34.6v + 2560.4 => 44.4u + 19.6v = 259.6. v = 10 - u प्रतिस्थापित करें: 44.4u + 19.6(10 - u) = 259.6 24.8u = 63.6 => u = 2.56. विकल्पों की जाँच: u=3 के लिए, v=7, माध्य = (22.5+105+2820)/171 = 17.236। u=2 के लिए, v=8, माध्य = (15+120+2820)/170 = 17.38। विकल्पों में से, माध्य के लिए पूर्णांकन पर विचार करते समय u=3 सिस्टम के लिए सबसे निकटतम फिट है।

व्याख्या

प्रश्न 24 में प्राप्त प्रणाली के आधार पर, u + v = 10। यदि u = 3, तो v = 7। पहले समूह की माध्यिका गणना में इन मानों की जाँच: N = 170, cf = 73। माध्यिका = 20 + [(85 - 73)/75] * 5 = 20 + (12/15) = 20.8। यह दी गई माध्यिका से बिल्कुल मेल खाता है। अतः, v = 7।

व्याख्या

माध्यिका मान 24 दिया गया है, जो वर्ग अंतराल 20-30 में आता है। माध्यिका वर्ग से पहले संचयी बारंबारता (cf) 30 है। माध्यिका वर्ग की बारंबारता (f) (30+k) - 30 = k है। प्रेक्षणों की कुल संख्या (N) 55+k है। माध्यिका सूत्र का उपयोग करके: माध्यिका = L + ((N/2 - cf)/f) h, जहाँ L=20 और h=10 है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 24 = 20 + (((55+k)/2 - 30)/k) 10। यह 4 = ((k-5)/2k) * 10 तक सरल हो जाता है, जो आगे 4k = 5(k-5) तक सरल हो जाता है। k के लिए हल करने पर 4k = 5k - 25 प्राप्त होता है, इसलिए k = 25। अतः, विकल्प C सही है।

व्याख्या

दिया गया डेटा संचयी आवृत्ति वितरण में है। सबसे पहले, हम इसे वर्ग अंतराल और उनकी संबंधित आवृत्तियों में परिवर्तित करते हैं: 0-10 (5), 10-20 (30 - 5 = 25), 20-30 (30 + k - 30 = k), 30-40 (48 + k - (30 + k) = 18), और 40-50 (55 + k - (48 + k) = 7)। कुल आवृत्ति N = 55 + k है।

चूंकि माध्यिका 24 है, यह वर्ग अंतराल 20-30 में स्थित है। माध्यिका सूत्र का उपयोग करके Median = L + ((N/2 - cf)/f) × h, जहाँ L = 20, cf = 30, f = k, और h = 10 है, हमारे पास है: 24 = 20 + (((55 + k)/2 - 30)/k) × 10 4 = ((55 + k - 60)/2k) × 10 0.4 = (k - 5)/2k 0.8k = k - 5 0.2k = 5 ⇒ k = 25

k = 25 के साथ, छात्रों की कुल संख्या N = 55 + 25 = 80 है। हम माध्य सूत्र का उपयोग करके माध्य की गणना करते हैं Mean = (Σ fᵢ xᵢ)/N, जहाँ xᵢ वर्ग मध्यबिंदु है: Σ fᵢ xᵢ = (5 × 5) + (25 × 15) + (25 × 25) + (18 × 35) + (7 × 45) Σ fᵢ xᵢ = 25 + 375 + 625 + 630 + 315 = 1970 Mean = 1970/80 = 24.625

इस प्रकार, वितरण का माध्य 24.625 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।