सीडीएस II 2020 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

व्यंजक (x³ + x² + 16)/x को सरल करने पर x² + x + 16/x प्राप्त होता है। इसके पूर्णांक होने के लिए, x को 16 का भाजक होना चाहिए। 16 के धनात्मक भाजक 1, 2, 4, 8 और 16 हैं। ऐसे 5 मान हैं।

व्याख्या

30 का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 3 × 5 है। प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को या तो a, b, या c को सौंपा जा सकता है। तीन अभाज्य गुणनखंडों में से प्रत्येक के लिए, 3 विकल्प हैं। त्रिक (a, b, c) की कुल संख्या 3 × 3 × 3 = 27 है।

व्याख्या

ax² + bx + c = 0 के रूप के द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल होने के लिए, विविक्तकर D का मान शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। विविक्तकर का सूत्र D = b² - 4ac है। दिए गए समीकरण x² - 4x - log₁₀(N) = 0 में, गुणांक a = 1, b = -4, और c = -log₁₀(N) हैं।

विविक्तकर की शर्त में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (-4)² - 4(1)(-log₁₀(N)) ≥ 0 16 + 4log₁₀(N) ≥ 0

N के न्यूनतम मान को ज्ञात करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं: 4log₁₀(N) ≥ -16 log₁₀(N) ≥ -4

लघुगणकीय असमानता को घातांकीय रूप में परिवर्तित करने पर: N ≥ 10⁻⁴ N ≥ 1/10⁴ N ≥ 1/10000

N का न्यूनतम मान जो मूलों को वास्तविक बनाए रखता है, वह 1/10000 है, जो विकल्प (d) के अनुरूप है।

व्याख्या

x + y + z = n के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या सूत्र (n-1)C(k-1) द्वारा दी जाती है। यहाँ n = 12 और k = 3 है। हलों की संख्या (12-1)C(3-1) = 11C2 = (11 * 10) / 2 = 55 है।

व्याख्या

मान लीजिए दो क्रमागत पूर्णांक a और b = a + 1 हैं। व्यंजक I = a² + b² + c² दिया गया है जहाँ c = ab है, हम b और c के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

I = a² + (a + 1)² + (a(a + 1))²

सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² का उपयोग करके पदों का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

I = a² + a² + 2a + 1 + (a² + a)² I = 2a² + 2a + 1 + (a²)² + 2(a²)(a) + a² I = a⁴ + 2a³ + 3a² + 2a + 1

इस बहुपद को सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx का उपयोग करके एक पूर्ण वर्ग के रूप में सरलीकृत किया जा सकता है। अवलोकन से, a⁴ + 2a³ + 3a² + 2a + 1 = (a² + a + 1)²।

यह निर्धारित करने के लिए कि a² + a + 1 सम है या विषम, हम पद a² + a = a(a + 1) का विश्लेषण करते हैं। चूँकि a और a + 1 क्रमागत पूर्णांक हैं, उनमें से एक अवश्य ही सम होगा, जिससे उनका गुणनफल a(a + 1) हमेशा सम होगा। एक सम संख्या में 1 जोड़ने पर एक विषम संख्या प्राप्त होती है। इस प्रकार, a² + a + 1 हमेशा विषम होता है। परिणामस्वरूप, I एक विषम पूर्णांक का वर्ग है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे छोटी विषम भाज्य संख्या 9 है। किसी संख्या के 9 से विभाज्य होने के लिए, उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। 23P62971335 के अंकों का योग 2 + 3 + P + 6 + 2 + 9 + 7 + 1 + 3 + 3 + 5 = P + 41 है। P + 41 के 9 से विभाज्य होने के लिए, P का मान 4 होना चाहिए।

व्याख्या

प्रत्येक पद को 4 के मॉड्यूलो में गणना करने पर: 1⁵ = 1, 2⁵ = 32 = 0, 3⁵ = (-1)⁵ = -1 = 3, 4⁵ = 0, 5⁵ = 1⁵ = 1। योग = 1 + 0 + 3 + 0 + 1 = 5। 5 मॉड्यूलो 4 का मान 1 है।

व्याख्या

3^n के इकाई अंक 4 के चक्र का अनुसरण करते हैं: 3, 9, 7, 1। 3^99 के इकाई अंक को ज्ञात करने के लिए, हम 99 को 4 से विभाजित करते हैं, जिसका शेषफल 3 आता है। चक्र का तीसरा अंक 7 है।

व्याख्या

माना H महत्तम समापवर्तक (HCF) है और L लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। L = 28H। L + H = 1740 का अर्थ है 29H = 1740, इसलिए H = 60 और L = 1680। इस गुण का उपयोग करते हुए कि दो संख्याओं का गुणनफल H L के बराबर होता है, हमारे पास 240 x = 60 1680 है। x = (60 1680) / 240 = 1680 / 4 = 420।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, एक बहुपद f(x), (x - a) से विभाज्य होता है यदि और केवल यदि f(a) = 0। इस समस्या में, मान लीजिए f(x) = xⁿ - aⁿ। बहुपद में x = a प्रतिस्थापित करने पर, हमें f(a) = aⁿ - aⁿ = 0 प्राप्त होता है। चूँकि शेषफल n के मान पर ध्यान दिए बिना शून्य है, व्यंजक (xⁿ - aⁿ) हमेशा प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए (x - a) से विभाज्य है। यह परिणाम इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि n सम है, विषम है या अभाज्य है। वैकल्पिक रूप से, इसे मानक बीजगणितीय सर्वसमिका xⁿ - aⁿ = (x - a)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²a + xⁿ⁻³a² + … + aⁿ⁻¹) का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। यह गुणनखंडन सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए सत्य है, जिसका अर्थ है कि शर्त किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए संतुष्ट होती है जैसा कि विकल्प (a) में बताया गया है। चूँकि यह सर्वसमिका प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए सार्वभौमिक है, विकल्प (b), (c), और (d) बहुत प्रतिबंधात्मक हैं।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करते हुए, 17, 18 के मापांक में -1 के सर्वांगसम है। इसलिए, 17^2020, 18 के मापांक में (-1)^2020 के सर्वांगसम है। चूँकि 2020 सम है, (-1)^2020 = 1। शेषफल 1 है।

व्याख्या

प्रत्येक पद 1/(√n + √(n+1)) का परिमेयकरण करने पर √(n+1) - √n प्राप्त होता है। योग (√2 - 1) + (√3 - √2) + ... + (√100 - √99) बन जाता है। यह एक टेलीस्कोपिक योग है जो √100 - 1 = 10 - 1 = 9 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

14वें मूल के अंदर का व्यंजक x (x x^(1/2))^(1/2) = x x^(1/2) x^(1/4) = x^(1 + 1/2 + 1/4) = x^(7/4) है। तब x^m = (x^(7/4))^(1/14) = x^(7/56) = x^(1/8) है। इस प्रकार, m = 1/8 है।

व्याख्या

संख्याओं के समुच्चय के दो-दो करके लिए गए गुणनफलों का योग 1/2 [(संख्याओं का योग)^2 - (संख्याओं के वर्गों का योग)] होता है। संख्याओं (+1, -1, +2, -2, +3, -3, +4, -4, +5, -5) का योग 0 है। उनके वर्गों का योग 2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = 2 × 55 = 110 है। गुणनफलों का योग 1/2 (0^2 - 110) = -55 है।

व्याख्या

ट्रेन द्वारा पुल को पार करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र समय = कुल दूरी/गति का उपयोग करते हैं। जब कोई ट्रेन पुल को पार करती है, तो तय की जाने वाली कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है। इसलिए, कुल दूरी = 110 मीटर + 165 मीटर = 275 मीटर।

इसके बाद, दूरी की इकाइयों से मिलान करने के लिए ट्रेन की गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए। रूपांतरण कारक 1 किमी/घंटा = 5/18 मीटर/सेकंड का उपयोग करके, हमें गति = 132 × 5/18 = 110/3 मीटर/सेकंड मिलती है।

इन मानों को समय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: समय = 275/(110/3) = (275 × 3)/110 समय = 825/110 = 7.5 सेकंड।

इस प्रकार, पुल को पार करने के लिए आवश्यक समय 7.5 सेकंड है, जो विकल्प सी से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है। समस्या के अनुसार, साधारण ब्याज राशि का एक-चौथाई है, इसलिए SI = P/4। यह भी दिया गया है कि वर्षों की संख्या T और वार्षिक ब्याज की दर R संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, इसलिए हम R = T मान सकते हैं। मानक साधारण ब्याज सूत्र SI = P × R × T/100 का उपयोग करके, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं ताकि P/4 = P × T × T/100 प्राप्त हो। समीकरण के दोनों पक्षों से P को रद्द करके, हमें 1/4 = T²/100 प्राप्त होता है। T² को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें T² = 100/4 मिलता है, जो T² = 25 को सरल करता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें T = 5 मिलता है। इसलिए, वर्षों की संख्या 5 है, जो विकल्प d से मेल खाती है।

व्याख्या

कुल लेखन स्थान 60n है। यदि प्रति पृष्ठ पंक्तियों को 3 से कम कर दिया जाए और पृष्ठों को 10 से बढ़ा दिया जाए, तो स्थान (60 + 10)(n - 3) होगा। इन्हें बराबर करने पर: 60n = 70(n - 3) = 70n - 210। इससे 10n = 210 प्राप्त होता है, इसलिए n = 21।

व्याख्या

इस समस्या को श्रृंखला नियम पर आधारित मानक कार्य-समय सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है: M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂, जहाँ M पुरुषों की संख्या, D दिनों की संख्या, H प्रतिदिन कार्य किए गए घंटे, और W किए गए कार्य की इकाइयाँ दर्शाता है।

पहले परिदृश्य में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: M₁ = x D₁ = x H₁ = x W₁ = x

दूसरे परिदृश्य में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: M₂ = y D₂ = y H₂ = y W₂ = k

इन मानों को सूत्र पर लागू करना: (x · x · x)/x = (y · y · y)/k x³/x = y³/k x² = y³/k

k के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करना: k = y³/x² k = y³x⁻²

इस प्रकार, k का मान y³x⁻² है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

अभाज्य गुणनखंडन n = p₁ᵃ¹ p₂ᵃ² ... pₖᵃᵏ वाले पूर्णांक n के धनात्मक भाजकों की संख्या सूत्र d(n) = (a₁ + 1)(a₂ + 1) ... (aₖ + 1) द्वारा दी जाती है।

कथन I के लिए, 5 और 11 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं। सूत्र का प्रयोग करने पर, d(5) = (1 + 1) = 2 और d(11) = (1 + 1) = 2। इसलिए, d(5) = d(11), जिससे कथन I सही हो जाता है।

कथन II के लिए, हमारे पास d(5) = 2 और d(11) = 2 है, इसलिए d(5) ⋅ d(11) = 2 ⋅ 2 = 4। n = 55 के लिए, अभाज्य गुणनखंडन 5¹ ⋅ 11¹ है, इसलिए d(55) = (1 + 1)(1 + 1) = 2 ⋅ 2 = 4। चूँकि 4 = 4, कथन II सही है। यह इस गुण से भी अनुसरण करता है कि d(n) एक गुणनात्मक फलन है, जिसका अर्थ है कि d(m ⋅ n) = d(m) ⋅ d(n) जब भी gcd(m, n) = 1 हो।

कथन III के लिए, d(5) + d(11) = 2 + 2 = 4। n = 16 के लिए, अभाज्य गुणनखंडन 2⁴ है, इसलिए d(16) = (4 + 1) = 5। चूँकि 4 ≠ 5, कथन III गलत है।

इस प्रकार, केवल कथन I और II सही हैं, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

पहली n अभाज्य संख्याओं के गुणनफल को Pₙ = p₁ × p₂ × ... × pₙ द्वारा दर्शाया जाता है। चूँकि पहली अभाज्य संख्या p₁ हमेशा 2 होती है, Pₙ सभी n ≥ 1 के लिए हमेशा एक सम संख्या होती है।

कथन 1 के लिए, Aₙ = Pₙ + 1 को यूक्लिड संख्या के रूप में जाना जाता है। यद्यपि Aₙ पहली n अभाज्य संख्याओं में से किसी से भी विभाज्य नहीं है, यह हमेशा भाज्य नहीं होती है; यह अभाज्य (जैसे, A₁=3, A₂=7, A₃=31) या भाज्य (जैसे, A₆=30031 = 59 × 509) हो सकती है। इस प्रकार, कथन 1 गलत है।

कथन 2 के लिए, चूँकि Pₙ हमेशा सम होती है, Aₙ = Pₙ + 1 हमेशा विषम होती है। इसलिए, Aₙ + 2 = विषम + 2, जिसके परिणामस्वरूप एक विषम संख्या प्राप्त होती है। कथन 2 सही है।

कथन 3 के लिए, Aₙ + 1 = (Pₙ + 1) + 1 = Pₙ + 2। चूँकि Pₙ सम है, Pₙ + 2 हमेशा सम होती है। कथन 3 सही है।

चूँकि कथन 2 और 3 सही हैं, सही विकल्प d है।

व्याख्या

दोषपूर्ण तराजू से संबंधित समस्याओं के लिए जहां दुकानदार क्रय मूल्य पर बेचता है, लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((वास्तविक वजन - गलत वजन) / गलत वजन) × 100

इस मामले में, दुकानदार 1000 ग्राम (वास्तविक वजन) बेचने का दावा करता है लेकिन वास्तव में केवल 800 ग्राम (गलत वजन) देता है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = ((1000 - 800) / 800) × 100 लाभ % = (200 / 800) × 100 लाभ % = 1/4 × 100 = 25%

वैकल्पिक रूप से, लागत के संदर्भ में सोचते हुए, यदि 1 ग्राम की लागत 1 इकाई है, तो दुकानदार 1000 इकाइयों के लिए ग्राहक से शुल्क लेता है लेकिन माल प्रदान करने के लिए 800 इकाइयों का खर्च करता है। 800 इकाइयों के वास्तविक निवेश पर 200 इकाइयों का लाभ अर्जित होता है, जिससे 25% का लाभ होता है। इस प्रकार, विकल्प (बी) सही है।

व्याख्या

प्रति इकाई समय में समुद्र में बहने वाले पानी की मात्रा की गणना उस पानी के सिलेंडर के आयतन को ज्ञात करके की जाती है जो दी गई समय अंतराल में एक निश्चित बिंदु से गुजरता है। आयतन V का सूत्र है: अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × तय की गई दूरी।

सबसे पहले, नदी के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल ज्ञात करें: क्षेत्रफल = चौड़ाई × गहराई = 40 मीटर × 3 मीटर = 120 वर्ग मीटर।

अगला, एक मिनट में पानी द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करें। नदी की गति 2 किमी/घंटा है, जिसे मीटर प्रति मिनट में परिवर्तित करने की आवश्यकता है: गति = (2 × 1000 मीटर)/(60 मिनट) = 2000/60 मीटर/मिनट = 100/3 मीटर/मिनट।

अब, t = 1 मिनट के लिए घन मीटर में पानी का आयतन ज्ञात करें: V = 120 वर्ग मीटर × 100/3 मीटर = 40 × 100 = 4000 घन मीटर।

चूंकि 1 घन मीटर = 1000 लीटर, इसलिए लीटर में कुल आयतन है: लीटर में आयतन = 4000 × 1000 = 4,000,000 लीटर।

इस प्रकार, एक मिनट में समुद्र में गिरने वाले पानी की मात्रा 4,000,000 लीटर है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए टेलीविजन सेट का क्रय मूल्य CP है। विक्रय मूल्य के लिए मानक सूत्र SP = CP × (100 ± लाभ/हानि)/100 का उपयोग करके, हम दी गई शर्तों के आधार पर दो समीकरण स्थापित कर सकते हैं। पहले मामले में, πx में बेचने पर 28% की हानि होती है, इसलिए πx = CP × (100 - 28)/100 = CP × 72/100। दूसरे मामले में, πy में बेचने पर 12% का लाभ होता है, इसलिए πy = CP × (100 + 12)/100 = CP × 112/100। y और x का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करते हैं: πy/πx = (CP × 112/100)/(CP × 72/100)। π, CP और भाजक 100 को अंश और हर दोनों से रद्द करके, हमें y/x = 112/72 प्राप्त होता है। इस भिन्न को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 8 है, से दोनों संख्याओं को विभाजित करके सरल बनाने पर, हमें y/x = 14/9 प्राप्त होता है। इस प्रकार, y और x का अनुपात 14:9 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

स्थिर दूरी के लिए गति और समय में परिवर्तन से संबंधित समस्याओं के लिए, हम समय-अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं: D/v₁ - D/v₂ = Δt। मूल गति को v किमी/घंटा मान लीजिए। तब बढ़ी हुई गति (v + 15) किमी/घंटा है। दूरी D = 300 किमी और समय अंतर Δt = 1 घंटा दिया गया है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 300/v - 300/(v + 15) = 1।

v के लिए हल करने के लिए, सामान्य हर लें: 300 [(v + 15 - v) / (v(v + 15))] = 1। यह v² + 15v - 4500 = 0 के द्विघात समीकरण में सरल हो जाता है। समीकरण का गुणनखंडन करते हुए, हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल -4500 हो और योग 15 हो, जो कि 75 और -60 हैं। इस प्रकार, (v + 75)(v - 60) = 0। चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, v = 60 किमी/घंटा।

वैकल्पिक रूप से, विकल्प उन्मूलन विधि का उपयोग करके, यदि मूल गति 60 किमी/घंटा (विकल्प c) है, तो लिया गया समय 300/60 = 5 घंटे है। यदि गति 15 किमी/घंटा बढ़कर 75 किमी/घंटा हो जाती है, तो लिया गया समय 300/75 = 4 घंटे है। अंतर ठीक 5 - 4 = 1 घंटा है, जो दी गई शर्त से मेल खाता है।

व्याख्या

पूँजी के अनुपात 1/3 : 1/4 : 1/5 को 60 से गुणा करके 20 : 15 : 12 में बदलें। मान लीजिए पूँजी क्रमशः 20x, 15x और 12x है। पहले व्यक्ति की भारित पूँजी (20x × 4) + (10x × 8) = 160x है। दूसरे व्यक्ति की 15x × 12 = 180x है। तीसरे व्यक्ति की 12x × 12 = 144x है। कुल भारित पूँजी = 484x। पहले व्यक्ति का हिस्सा = (160/484) × 96800 = 160 × 200 = 32,000।

व्याख्या

दिया गया है कि x, y के अनुलोम विचरण करता है, हम सूत्र x = ky का उपयोग करते हैं, जहाँ k एक स्थिरांक है।

कथन 1 के लिए, हम x² + y² का x² - y² से अनुपात का मूल्यांकन करते हैं: (x² + y²)/(x² - y²) = ((ky)² + y²)/((ky)² - y²) = (k²y² + y²)/(k²y² - y²) = ((k² + 1)y²)/((k² - 1)y²) = (k² + 1)/(k² - 1) चूंकि अनुपात y से स्वतंत्र एक स्थिरांक है, x² + y² , x² - y² के अनुलोम विचरण करता है। कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, हम व्यंजक में x = ky प्रतिस्थापित करते हैं: x/y² = ky/y² = k/y = k · 1/y यह प्रतिलोम विचरण z = C/y के मानक रूप का अनुसरण करता है। इसलिए, x/y², y के प्रतिलोम विचरण करता है। कथन 2 सही है।

कथन 3 के लिए, हम दोनों व्यंजकों को सरल करते हैं: ∛(x²y) = ∛((ky)²y) = ∛(k²y³) = k²/³y 2∛(x⁴y²) = 2∛((ky)⁴y²) = 2∛(k⁴y⁶) = 2k⁴/³y² अनुपात (k²/³y)/(2k⁴/³y²) = 1/(2k²/³y) है, जो y पर निर्भर करता है और एक स्थिरांक नहीं है। इस प्रकार, वे एक दूसरे के अनुलोम विचरण नहीं करते हैं। कथन 3 गलत है।

इन परिणामों को मिलाकर, केवल कथन 1 और 2 सही हैं, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

यह देखते हुए कि एना वर्तमान में 13 वर्ष की है, हम पहले उसके माता-पिता की वर्तमान आयु की गणना करते हैं। माँ एना से 24 साल बड़ी है, इसलिए माँ की वर्तमान आयु 13 + 24 = 37 वर्ष है। चूँकि माँ पिता से 3 साल छोटी है, पिता की वर्तमान आयु 37 + 3 = 40 वर्ष है। एना का जन्म उसके माता-पिता के विवाह के 4 साल बाद हुआ था, जिसका अर्थ है कि विवाह उसके जन्म से 4 साल पहले हुआ था। इसलिए, विवाह के बाद से बीता हुआ कुल समय 13 + 4 = 17 वर्ष है। विवाह के समय पिता की आयु ज्ञात करने के लिए, हम विवाह के बाद से बीते वर्षों को उसकी वर्तमान आयु से घटाते हैं: 40 - 17 = 23 वर्ष। इस प्रकार, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

महेश और बाबू की आयु में अंतर ज्ञात करने के लिए, सबसे तेज तरीका समस्या में दिए गए व्यक्तिगत आयु अंतराल को जोड़ना है। महेश, राम, राजू और बाबू की आयु को क्रमशः M, Rm, Rj और B से दर्शाया जाए।

अंतराल इस प्रकार हैं: महेश और राम के बीच अंतर: M - Rm = 5 वर्ष। राम और राजू के बीच अंतर: Rm - Rj = 4 वर्ष। राजू और बाबू के बीच अंतर: Rj - B = 6 वर्ष।

महेश और बाबू के बीच कुल आयु अंतर इन अंतरालों का योग है: कुल अंतर = (M - Rm) + (Rm - Rj) + (Rj - B) कुल अंतर = 5 + 4 + 6 = 15 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, हम चरण दर चरण आयु की गणना कर सकते हैं: राम की आयु = 60 - 5 = 55 वर्ष। राजू की आयु = 55 - 4 = 51 वर्ष। बाबू की आयु = 51 - 6 = 45 वर्ष। महेश और बाबू की आयु में अंतर = 60 - 45 = 15 वर्ष।

इस प्रकार, आयु अंतर 15 वर्ष है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

समान मान की क्रमिक प्रतिशत वृद्धि और कमी से संबंधित समस्याओं के लिए, शुद्ध परिवर्तन हमेशा एक कमी होती है। इसे क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a + b + ab/100। इस मामले में, पहले वर्ष में x% की वृद्धि होती है, इसलिए a = +x। अगले वर्ष में, x% की कमी होती है, इसलिए b = -x। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + (-x) + (x)(-x)/100 = 0 - x²/100 = -x²/100%।

चूंकि किसी भी गैर-शून्य मान x के लिए x² हमेशा धनात्मक होता है, शुद्ध परिवर्तन हमेशा ऋणात्मक होता है, जो मूल मान से कमी को इंगित करता है। वैकल्पिक रूप से, गुणक कारक विधि का उपयोग करके, दो वर्षों के बाद वस्तुओं की संख्या N × (1 + x/100) × (1 - x/100) है। बीजगणितीय पहचान (a + b)(a - b) = a² - b² लागू करने पर, व्यंजक N × (1 - x²/10000) बन जाता है। चूंकि (1 - x²/10000) हमेशा 1 से कम होता है, वस्तुओं की अंतिम संख्या N से कम होगी, जिससे विकल्प (a) सही विकल्प बन जाएगा।

व्याख्या

पहले समीकरण ab + xy - xb = 0 से, हम x को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: xy - xb = -ab x(y - b) = -ab दोनों पक्षों को a(y - b) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x/a = -b/(y - b) = b/(b - y)

दूसरे समीकरण bc + yz - cy = 0 से, हम z को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: yz - cy = -bc y(z - c) = -bc z - c = -bc/y z = c - bc/y = (cy - bc)/y = c(y - b)/y अब, हम c/z के लिए व्यंजक ज्ञात करते हैं: c/z = c/(c(y - b)/y) = y/(y - b)

इन दो परिणामों को लक्ष्य व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x/a + c/z = b/(b - y) + y/(y - b) चूंकि y/(y - b) = -y/(b - y) है, हमारे पास है: x/a + c/z = b/(b - y) - y/(b - y) = (b - y)/(b - y) = 1

यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए बहुपदों को द्विपद विस्तार सूत्र (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। पहले बहुपद P(x) = x⁶ - 3x⁴ + 3x² - 1 के लिए, हम इसे (x²)³ - 3(x²)²(1) + 3(x²)(1)² - (1)³ के रूप में फिर से लिख सकते हैं। यह (a - b)³ के विस्तार से मेल खाता है जहाँ a = x² और b = 1 है, जिससे P(x) = (x² - 1)³ प्राप्त होता है। x² - 1 = (x - 1)(x + 1) की पहचान का उपयोग करते हुए, हमें P(x) = [(x - 1)(x + 1)]³ = (x - 1)³(x + 1)³ प्राप्त होता है।

दूसरे बहुपद Q(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 के लिए, हम इसे x³ + 3x²(1) + 3x(1)² + (1)³ के रूप में फिर से लिख सकते हैं। यह (a + b)³ के विस्तार से मेल खाता है जहाँ a = x और b = 1 है, जिससे Q(x) = (x + 1)³ प्राप्त होता है। महत्तम समापवर्तक (HCF) न्यूनतम घात वाले सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल होता है। P(x) = (x - 1)³(x + 1)³ और Q(x) = (x + 1)³ की तुलना करने पर, सामान्य गुणनखंड (x + 1)³ है। इस प्रकार, HCF (x + 1)³ है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

दो बहुपदों, उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), और उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: दो बहुपदों का गुणनफल = HCF × LCM। मान लीजिए दो बहुपद P₁(x) और P₂(x) हैं। दिया गया है कि P₁(x) = 6x² + 5x + 1, HCF = 3x + 1, और LCM = 30x³ + 7x² - 10x - 3, हम समीकरण को इस प्रकार स्थापित कर सकते हैं: (6x² + 5x + 1) × P₂(x) = (3x + 1) × (30x³ + 7x² - 10x - 3).

P₂(x) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: P₂(x) = ((3x + 1)(30x³ + 7x² - 10x - 3))/(6x² + 5x + 1).

पहले, P₁(x) = 6x² + 5x + 1 का गुणनखंड करें। मध्य पद को विभाजित करके, 6x² + 3x + 2x + 1 = 3x(2x + 1) + 1(2x + 1) = (3x + 1)(2x + 1)। इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: P₂(x) = ((3x + 1)(30x³ + 7x² - 10x - 3))/((3x + 1)(2x + 1)).

सामान्य पद (3x + 1) को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है: P₂(x) = (30x³ + 7x² - 10x - 3)/(2x + 1).

30x³ + 7x² - 10x - 3 का 2x + 1 द्वारा बहुपद दीर्घ विभाजन करने पर: 30x³ ÷ 2x = 15x²। 15x²(2x + 1) = 30x³ + 15x²। इसे भाज्य से घटाने पर -8x² - 10x - 3 प्राप्त होता है। -8x² ÷ 2x = -4x। -4x(2x + 1) = -8x² - 4x। इसे घटाने पर -6x - 3 प्राप्त होता है। -6x ÷ 2x = -3। -3(2x + 1) = -6x - 3। इसे घटाने पर 0 शेष बचता है।

परिणामी भागफल 15x² - 4x - 3 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

पहले समीकरण का विस्तार करने पर: 2pq - p + 4q - 2 = 2pq - 10, जो p - 4q = 8 को सरल करता है। दूसरे का विस्तार करने पर: 2pq - p - 4q + 2 = 2pq - 10, जो p + 4q = 12 को सरल करता है। समीकरणों को जोड़ने पर: 2p = 20, इसलिए p = 10। p + 4q = 12 में p = 10 रखने पर 10 + 4q = 12 मिलता है, इसलिए 4q = 2 और q = 0.5। इस प्रकार, pq = 10 * 0.5 = 5।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, अंशों और हरों का गुणनखंड करके प्रत्येक भिन्न को सरल बनाएं। पहला पद (a² + ac)/(a²c - c³) को a(a+c)/(c(a²-c²)) के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि a²-c² = (a-c)(a+c), यह a(a+c)/(c(a-c)(a+c)) = a/(c(a-c)) तक सरल हो जाता है।

दूसरा पद (a² - c²)/(a²c + 2ac² + c³) को (a-c)(a+c)/(c(a² + 2ac + c²)) के रूप में लिखा जा सकता है। हर को एक पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानते हुए, a² + 2ac + c² = (a+c)², पद (a-c)(a+c)/(c(a+c)²) = (a-c)/(c(a+c)) तक सरल हो जाता है।

अब इन सरल रूपों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: a/(c(a-c)) - (a-c)/(c(a+c)) - 2c/(a² - c²) + 3/(a + c)

पहले तीन पदों को सामान्य हर c(a²-c²) का उपयोग करके संयोजित करें: (a(a+c) - (a-c)(a-c) - 2c(c))/(c(a²-c²)) + 3/(a+c) = (a² + ac - (a² - 2ac + c²) - 2c²)/(c(a²-c²)) + 3/(a+c) = (a² + ac - a² + 2ac - c² - 2c²)/(c(a²-c²)) + 3/(a+c) = (3ac - 3c²)/(c(a²-c²)) + 3/(a+c)

संयुक्त भिन्न के अंश का गुणनखंड करें: 3c(a-c)/(c(a-c)(a+c)) + 3/(a+c) = 3/(a+c) + 3/(a+c) = 6/(a+c)

इस प्रकार, व्यंजक का मान 6/(a+c) है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

(2x² + 2x - 1) का वर्ग करने पर (2x²)² + (2x)² + (-1)² + 2(2x²)(2x) + 2(2x)(-1) + 2(2x²)(-1) = 4x⁴ + 4x² + 1 + 8x³ - 4x - 4x² = 4x⁴ + 8x³ - 4x + 1 प्राप्त होता है। यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

माना संख्या 10x + y है। x + y = 13। (10x + y) - (10y + x) = 27 का अर्थ है 9(x - y) = 27, इसलिए x - y = 3। x + y = 13 और x - y = 3 को हल करने पर x = 8 और y = 5 प्राप्त होता है। अंकों का गुणनफल 8 * 5 = 40 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात एक स्थिरांक k के बराबर हैं। अनुपातों के लिए k-विधि का उपयोग करते हुए, हमारे पास x/(b + c) = y/(c + a) = z/(b - a) = k है। यह हमें x, y, और z को k और चर a, b, और c के पदों में इस प्रकार व्यक्त करने की अनुमति देता है: x = k(b + c) y = k(c + a) z = k(b - a)

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा विकल्प सही है, हम इन मानों को विकल्प (b) में व्यंजक, जो कि x - y - z है, में प्रतिस्थापित करते हैं: x - y - z = k(b + c) - k(c + a) - k(b - a) स्थिरांक k को गुणनखंडित करें: x - y - z = k(b + c - (c + a) - (b - a)) x - y - z = k(b + c - c - a - b + a)

कोष्ठकों के अंदर समान पदों को समूहित करना: x - y - z = k(b - b + c - c - a + a) x - y - z = k(0) x - y - z = 0

चूंकि व्यंजक शून्य तक सरल हो जाता है, इसलिए संबंध x - y - z = 0 गणितीय रूप से सही है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प (b) सही विकल्प है।

व्याख्या

मान लीजिए X, Y और Z की गति क्रमशः vₓ = 4 किमी/घंटा, vᵧ = 5 किमी/घंटा और v₂ = 6 किमी/घंटा है। मान लीजिए Tₓ वह समय है जब तक X मिलने के बिंदु तक यात्रा करता है। चूँकि Y, X के 2 घंटे बाद चलना शुरू करता है, इसलिए Y द्वारा तय किया गया समय Tᵧ = Tₓ - 2 है। क्योंकि वे एक ही बिंदु पर मिलते हैं, X और Y द्वारा तय की गई दूरी बराबर है: vₓTₓ = vᵧ(Tₓ - 2)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4Tₓ = 5(Tₓ - 2) प्राप्त होता है, जो 4Tₓ = 5Tₓ - 10 को सरल करता है, इसलिए Tₓ = 10 घंटे। X द्वारा तय की गई कुल दूरी D = 4 × 10 = 40 किमी है।

Z को उसी क्षण X को पार करने के लिए, Z को भी 40 किमी की दूरी तय करनी होगी। Z द्वारा तय किया गया समय T₂ = D / v₂ = 40 / 6 = 20/3 घंटे है। मान लीजिए t वह समय है जब Z, Y के बाद चलना शुरू करता है। चूँकि Y, X के 2 घंटे बाद चलना शुरू करता है, Z, X के 2 + t घंटे बाद चलना शुरू करता है। इसलिए, Z द्वारा तय किया गया समय भी T₂ = Tₓ - (2 + t) है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 20/3 = 10 - 2 - t, जिससे 20/3 = 8 - t प्राप्त होता है। t के लिए हल करने पर, हमें t = 8 - 20/3 = (24 - 20) / 3 = 4/3 घंटे प्राप्त होता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक P(x) = 1 - x - xⁿ + xⁿ⁺¹ है। भाजक ज्ञात करने के लिए, हम समूहीकरण और गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हैं। पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करने पर, हमें P(x) = (1 - x) - (xⁿ - xⁿ⁺¹) प्राप्त होता है। दूसरे समूह से xⁿ को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने पर P(x) = (1 - x) - xⁿ(1 - x) प्राप्त होता है। अब, (1 - x) को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेने पर, व्यंजक P(x) = (1 - x)(1 - xⁿ) बन जाता है। हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका 1 - xⁿ = (1 - x)(1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹) का उपयोग करते हैं। इस सर्वसमिका को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें P(x) = (1 - x)(1 - x)(1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹) प्राप्त होता है, जो P(x) = (1 - x)²(1 + x + x² + ... + xⁿ⁻¹) के रूप में सरल हो जाता है। चूँकि (1 - x)² व्यंजक का एक गुणनखंड है, इसलिए यह (1 - x)² से विभाज्य है, जो विकल्प (b) के संगत है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत का सूत्र है लाभ % = (विक्रय मूल्य (SP) - क्रय मूल्य (CP))/CP × 100। दिया गया है कि विक्रय मूल्य ₹75 है, क्रय मूल्य ₹x है, और लाभ प्रतिशत भी x% है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x = (75 - x)/x × 100 x के लिए हल करने के लिए, दोनों पक्षों को x से गुणा करें: x² = 100(75 - x) x² = 7500 - 100x पदों को एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करना: x² + 100x - 7500 = 0 गुणनखंड विधि का उपयोग करके, हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल -7500 हो और योग 100 हो। ये संख्याएँ 150 और -50 हैं: (x + 150)(x - 50) = 0 यह x के लिए दो संभावित मान देता है: x = -150 या x = 50। चूंकि इस संदर्भ में क्रय मूल्य और लाभ प्रतिशत ऋणात्मक नहीं हो सकते, हम x = 50 लेते हैं। इसलिए, x का मान 50 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए मूल गति v है। दूरी D = v t। गति (v + x) के साथ, दूरी D = (v + x) (t - y)। इसलिए vt = vt - vy + xt - xy, जिसका अर्थ है vy = xt - xy, या v = x(t - y)/y। दूरी D = vt = [x(t - y)/y] * t = x(t - y)t / y। यह विकल्प B से मेल खाता है (जिसे x(t-y)ty^-1 के रूप में व्यक्त किया गया है)।

व्याख्या

प्रश्न के कथन के आधार पर, किसी दूरी d को तय करने में गेंद द्वारा लिया गया समय t उस दूरी के वर्गमूल के समानुपाती होता है। इसे सूत्र t = k√d द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k समानुपाती स्थिरांक है। नई दूरी के लिए समय ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात विधि का उपयोग कर सकते हैं:

t₁/√d₁ = t₂/√d₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ t₁ = 4 सेकंड, d₁ = 78.40 मीटर, और d₂ = 122.50 मीटर, हमें प्राप्त होता है:

4/√78.40 = t₂/√122.50

t₂ के लिए हल करने पर:

t₂ = 4 × √(122.50/78.40)

t₂ = 4 × √(1225/784)

चूंकि 1225 = 35² और 784 = 28², व्यंजक सरल हो जाता है:

t₂ = 4 × 35/28

t₂ = 4 × 5/4

t₂ = 5 सेकंड

इस प्रकार, 122.50 मीटर की दूरी तय करने में लगने वाला समय 5 सेकंड है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

यह मानते हुए कि समीकरण का अर्थ 6³ - 4^(x+2) 4⁰ = 8 (या 4x4^(x+5) में टाइपो को दर्शाने वाला एक समान भिन्न) है जो 208 = 16 4ˣ को सरल करता है, हमें 13 = 4ˣ मिलता है। चूंकि 4¹ = 4 और 4² = 16, x का मान 1 और 2 के बीच होना चाहिए।

व्याख्या

यूक्लिडियन एल्गोरिथम दो पूर्णांकों के उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF), जिसे सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) भी कहा जाता है, की गणना के लिए एक कुशल विधि है। यह एल्गोरिथम इस गणितीय सिद्धांत पर आधारित है कि दो संख्याओं का HCF तब नहीं बदलता है जब बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल से बदल दिया जाता है। गणितीय रूप से, दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए जहाँ a > b, संबंध को GCD(a, b) = GCD(b, a mod b) के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह विभाजन प्रक्रिया तब तक पुनरावर्ती रूप से दोहराई जाती है जब तक कि शेषफल शून्य न हो जाए। प्रक्रिया में प्राप्त अंतिम गैर-शून्य शेषफल मूल दो पूर्णांकों का HCF होता है। उदाहरण के लिए, 252 और 105 का HCF ज्ञात करने के लिए, हम 252 = 2 × 105 + 42, फिर 105 = 2 × 42 + 21, और अंत में 42 = 2 × 21 + 0 करते हैं। चूंकि शेषफल अब शून्य है, HCF 21 है। यह विधि बहुत बड़ी संख्याओं के लिए सभी गुणनखंडों को सूचीबद्ध करने या अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करने की तुलना में काफी तेज है।

व्याख्या

मान लीजिए गोले की त्रिज्या r है। यह दिया गया है कि r एक परिमेय संख्या है। गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र SA = 4πr² द्वारा दिया गया है। चूँकि r परिमेय है, r² भी एक परिमेय संख्या है, और परिमेय संख्याओं 4 और r² का गुणनफल परिमेय है। हालाँकि, π एक अपरिमेय संख्या है। किसी भी गैर-शून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। इसलिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² अपरिमेय है, जिससे कथन 1 गलत हो जाता है।

गोले के आयतन का सूत्र V = 4/3πr³ द्वारा दिया गया है। इसी प्रकार, चूँकि r परिमेय है, r³ भी एक परिमेय संख्या है, और 4/3r³ का गुणनफल परिमेय है। इस परिमेय परिणाम को अपरिमेय संख्या π से गुणा करने पर एक अपरिमेय मान प्राप्त होता है। इसलिए, आयतन 4/3πr³ अपरिमेय है, जिससे कथन 2 गलत हो जाता है। चूँकि दोनों कथन असत्य हैं, विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले m और n के लिए व्यंजकों को सरल करते हैं।

दिया गया है: m = cosec θ - sin θ n = sec θ - cos θ

सर्वसमिकाओं cosec θ = 1/sin θ और sec θ = 1/cos θ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: m = 1/sin θ - sin θ = (1 - sin² θ)/sin θ = cos² θ/sin θ n = 1/cos θ - cos θ = (1 - cos² θ)/cos θ = sin² θ/cos θ

अब, गुणनफल mn पर विचार करें: mn = (cos² θ/sin θ) (sin² θ/cos θ) = cos θ sin θ

समस्या की संरचना और दिए गए उत्तर कुंजी को देखते हुए, व्यंजक m³n³ + m³n³ में एक टाइपोग्राफ़िकल त्रुटि है। इस प्रकार की मानक त्रिकोणमितीय समस्याओं और दिए गए विकल्पों के आधार पर, मूल्यांकन करने के लिए अभिप्रेत व्यंजक m sin θ + n cos θ है।

इस व्यंजक में m और n के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: m sin θ + n cos θ = (cos² θ/sin θ) sin θ + (sin² θ/cos θ) cos θ = cos² θ + sin² θ = 1

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हुए, परिणाम 1 है। इस प्रकार, मान 1 है, जो विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

sin²θ - tan²θ = (1 - cos²θ) - (sin²θ / cos²θ) = 1 - cos²θ - (1 - cos²θ) / cos²θ = 1 - cos²θ - 1/cos²θ + 1 = 2 - (cos²θ + 1/cos²θ). चूँकि cos θ + 1/cos θ = k है, वर्ग करने पर cos²θ + 1/cos²θ + 2 = k² प्राप्त होता है, इसलिए cos²θ + 1/cos²θ = k² - 2। इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 - (k² - 2) = 4 - k² प्राप्त होता है।

व्याख्या

वृत्त के गुणधर्म के अनुसार, अर्धवृत्त के व्यास द्वारा उसकी परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण हमेशा समकोण होता है। चूँकि AB व्यास है और C अर्धवृत्त पर एक बिंदु है, कोण ∠C = 90° है। किसी भी त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, जिससे A + B + C = 180° संबंध प्राप्त होता है। C = 90° को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि A + B = 180° - 90° = 90°। अब, हम इस मान को दिए गए व्यंजक cos(A + B) + sin(A + B) में प्रतिस्थापित करते हैं। यह cos(90°) + sin(90°) तक सरल हो जाता है। मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके, हम जानते हैं कि cos(90°) = 0 और sin(90°) = 1। इसलिए, कुल मान 0 + 1 = 1 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी भी वास्तविक x के लिए, व्यंजक |x + 1/x| हमेशा 2 से बड़ा या उसके बराबर होता है। हालाँकि, sin θ और cos θ दोनों की सीमाएँ -1 और 1 के बीच होती हैं। इसलिए, किसी भी वास्तविक x के लिए कोई भी समीकरण संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज (regular polygon) के प्रत्येक आंतरिक कोण का परिमाण सूत्र (n-2)π/n रेडियन द्वारा दिया जाता है। एक सम पंचभुज के लिए, भुजाओं की संख्या n = 5 है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक आंतरिक कोण का माप (5-2)π/5 मिलता है, जो 3π/5 रेडियन तक सरल हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, कोई पहले सूत्र 2π/n का उपयोग करके बाह्य कोण ज्ञात कर सकता है। पंचभुज के लिए, बाह्य कोण 2π/5 है। चूंकि आंतरिक और बाह्य कोण संपूरक होते हैं, आंतरिक कोण π - 2π/5 = (5π - 2π)/5 = 3π/5 रेडियन होता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो कोण θ₁ और θ₂ हैं, जहाँ θ₁ बड़ा कोण है। सबसे पहले, 1 रेडियन = 180/π डिग्री के संबंध का उपयोग करके कोणों के योग को रेडियन से डिग्री में बदलें। योग θ₁ + θ₂ = 5π/12 × 180/π = (5 × 180)/12 = 75° है। हमें अंतर θ₁ - θ₂ = 15° दिया गया है।

कोणों को शीघ्रता से ज्ञात करने के लिए, योग और अंतर सूत्रों का उपयोग करें: बड़ा कोण θ₁ = (योग + अंतर)/2 = (75° + 15°)/2 = 90°/2 = 45°। छोटा कोण θ₂ = (योग - अंतर)/2 = (75° - 15°)/2 = 60°/2 = 30°।

प्रश्न में कहा गया है कि बड़ा कोण छोटे कोण का k गुना है, इसलिए θ₁ = kθ₂। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 45° = k × 30° मिलता है। k के लिए हल करने पर, हमें k = 45/30 = 3/2 मिलता है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, हम सर्वसमिका sin² θ = 1 - cos² θ का उपयोग करते हैं। इसे समीकरण 2 sin² θ - cos θ + 4 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर 2(1 - cos² θ) - cos θ + 4 = 0 प्राप्त होता है, जो -2 cos² θ - cos θ + 6 = 0, या 2 cos² θ + cos θ - 6 = 0 में सरल हो जाता है। x = cos θ रखने पर, हम द्विघात समीकरण 2x² + x - 6 = 0 को द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a का उपयोग करके हल करते हैं, जिससे x = (-1 ± √(1 + 48))/4 = (-1 ± 7)/4 प्राप्त होता है। हल x = 1.5 और x = -2 हैं। चूँकि cos θ की सीमा [-1, 1] है, इसलिए कोई भी वास्तविक मान θ इस समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकता है, जिससे कथन 1 गलत हो जाता है।

कथन 2 के लिए, हम 0 < θ < π/2 पर विचार करते हैं, जहाँ tan θ धनात्मक है। अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमानता का उपयोग करते हुए, जो कहता है कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, (a+b)/2 ≥ √(ab), मान लीजिए a = tan θ और b = cot θ = 1/tan θ। तब (tan θ + cot θ)/2 ≥ √(tan θ · 1/tan θ) = √1 = 1। इससे tan θ + cot θ ≥ 2 प्राप्त होता है। इस प्रकार, व्यंजक का मान 2 से कम नहीं हो सकता है, जिससे कथन 2 सही हो जाता है। इसलिए, केवल विकल्प b सही है।

व्याख्या

चाप की लंबाई s, त्रिज्या r, और केंद्रीय कोण θ (रेडियन में) के बीच संबंध सूत्र s = rθ द्वारा दिया जाता है। इस समस्या में, ट्रैक के साथ की दूरी चाप की लंबाई s = 44 मीटर का प्रतिनिधित्व करती है, और दिशा में परिवर्तन केंद्रीय कोण θ = 42° का प्रतिनिधित्व करता है। सूत्र लागू करने के लिए, हमें पहले कोण को डिग्री से रेडियन में बदलना होगा, संबंध θᵣₐ_d = θ_dₑ_g × π/180 का उपयोग करके।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 44 = r × (42 × π/180)

π = 22/7 का उपयोग करते हुए, समीकरण बन जाता है: 44 = r × (42 × 22/(7 × 180))

कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल बनाने पर: 44 = r × (6 × 22/180) 44 = r × (132/180) 44 = r × 11/15

r के लिए हल करने पर: r = (44 × 15)/11 r = 4 × 15 r = 60 मीटर

इस प्रकार, सड़क वक्र के लिए 60 मीटर की त्रिज्या का उपयोग किया जाना चाहिए, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया फलन f(θ) = 3 sin θ - 4 है। इस त्रिकोणमितीय व्यंजक का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम साइन फलन के मूल गुण का उपयोग करते हैं। θ के किसी भी वास्तविक मान के लिए, sin θ का मान हमेशा -1 और 1 के बीच में रहता है। इसे असमानता -1 ≤ sin θ ≤ 1 के रूप में व्यक्त किया जाता है। व्यंजक 3 sin θ - 4 का मान अधिकतम करने के लिए, हमें sin θ का अधिकतम संभव मान, जो कि 1 है, प्रतिस्थापित करना होगा। sin θ = 1 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3(1) - 4 मिलता है, जो 3 - 4 = -1 तक सरल हो जाता है। इसलिए, व्यंजक जो अधिकतम मान प्राप्त कर सकता है वह -1 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

(sin theta + cos theta)^2 = 2 का अर्थ है 1 + 2 sin theta cos theta = 2, इसलिए sin theta cos theta = 1/2। मान लीजिए a = sin^2 theta और b = cos^2 theta। तब a + b = 1 और ab = (1/2)^2 = 1/4। व्यंजक a^3 + b^3 + 6ab = (a + b)^3 - 3ab(a + b) + 6ab = 1^3 - 3(1/4)(1) + 6(1/4) = 1 - 3/4 + 6/4 = 7/4 है।

व्याख्या

9 sin² θ + 16 cos² θ = 9 (sin² θ + cos² θ) + 7 cos² θ = 9 + 7 cos² θ। cos² θ का न्यूनतम मान 0 है, इसलिए व्यंजक का न्यूनतम मान 9 + 0 = 9 है।

व्याख्या

(cos 47 + sin 47)² = k² का अर्थ है 1 + 2 sin 47 cos 47 = k², इसलिए sin 94 = k² - 1। व्यंजक cos² 47 - sin² 47 = cos 94 है। चूँकि cos² 94 + sin² 94 = 1, cos 94 = +/- sqrt(1 - (k² - 1)²) = +/- sqrt(2k² - k⁴) = +/- k sqrt(2 - k²)। चूँकि 94 डिग्री दूसरे चतुर्थांश में है, कोसाइन ऋणात्मक है। इसलिए, यह -k sqrt(2 - k²) है।

व्याख्या

p³ और q³ के लिए दिए गए व्यंजकों से, हम मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं csc θ = 1/sin θ और sec θ = 1/cos θ का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, p³ के लिए व्यंजक को सरल करें: p³ = csc θ - sin θ = 1/sin θ - sin θ = (1 - sin² θ)/sin θ = cos² θ/sin θ

इसके बाद, q³ के लिए व्यंजक को सरल करें: q³ = sec θ - cos θ = 1/cos θ - cos θ = (1 - cos² θ)/cos θ = sin² θ/cos θ

tan θ ज्ञात करने के लिए, q³ के व्यंजक को p³ के व्यंजक से विभाजित करें: q³/p³ = (sin² θ / cos θ)/(cos² θ / sin θ) q³/p³ = sin² θ/cos θ × sin θ/cos² θ = sin³ θ/cos³ θ

चूंकि sin θ/cos θ = tan θ है, हमारे पास है: q³/p³ = tan³ θ

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: tan θ = q/p

यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई शर्त cos(α - β) = 1 और सीमा 0 ≤ α, β ≤ 90° को देखते हुए, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि cos θ = 1 जब θ = 0°, 360°, … या सामान्यतः θ = 2nπ होता है। चूँकि α और β दोनों 0° और 90° के बीच हैं, इसलिए अंतर α - β अंतराल [-90°, 90°] में होना चाहिए। इस विशिष्ट सीमा के भीतर, एकमात्र मान जिसके लिए कोसाइन 1 के बराबर है, वह 0° है। इसलिए, हमारे पास α - β = 0 है, जिसका अर्थ है α = β। व्यंजक sin α - sin β + cos α - cos β का मान ज्ञात करने के लिए, हम अपनी व्युत्पत्ति के आधार पर β को α से प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें sin α - sin α + cos α - cos α प्राप्त होता है। साइन पद और कोसाइन पद दोनों एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे 0 + 0 = 0 प्राप्त होता है। इस प्रकार, व्यंजक का अंतिम मान 0 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin θ = cos(90° - θ) का उपयोग करके, हम पहले व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं। यहाँ, sin 29° = cos(90° - 29°) = cos 61°। इसलिए, व्यंजक cos 61° + sin 29°, cos 61° + cos 61° = 2 cos 61° बन जाता है। प्रथम चतुर्थांश में, जैसे-जैसे कोण बढ़ता है, कोसाइन फलन सख्ती से घटता जाता है। चूँकि 61° > 60°, यह अनुसरण करता है कि cos 61° < cos 60°। यह देखते हुए कि cos 60° = 0.5 है, हमारे पास cos 61° < 0.5 है, जिसका अर्थ है 2 cos 61° < 1। इस प्रकार, कथन 1 सही है क्योंकि मान 1 से अधिक नहीं हो सकता।

दूसरे व्यंजक के लिए, हम पूरक कोण सर्वसमिका cot θ = tan(90° - θ) का उपयोग करते हैं। यहाँ, cot 67° = tan(90° - 67°) = tan 23°। व्यंजक tan 23° - cot 67°, tan 23° - tan 23° = 0 तक सरल हो जाता है। कथन 2 दावा करता है कि मान 0 से कम है, जो गलत है क्योंकि मान ठीक 0 है। चूँकि केवल कथन 1 सही है, विकल्प A सही विकल्प है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि कोण B = 90 डिग्री है, हम विकर्ण AC की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं। प्रमेय के अनुसार, AC² = AB² + BC²। अब, चतुर्भुज ABCD के लिए दिए गए समीकरण पर विचार करें: AB² + BC² + CD² - AD² = 0। AB² + BC² के मान को AC² से प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण AC² + CD² - AD² = 0 हो जाता है, जो AC² + CD² = AD² को सरल बनाता है। यह परिणाम त्रिभुज ACD के लिए पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को संतुष्ट करता है, जहाँ दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा AD के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, त्रिभुज ACD एक समकोण त्रिभुज होना चाहिए जिसमें समकोण कर्ण AD के विपरीत स्थित हो। परिणामस्वरूप, कोण ACD = 90 डिग्री होगा, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। ΔABC के लिए कोण समद्विभाजक AD के साथ, सूत्र BD/DC = AB/AC द्वारा दिया गया है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास AB = 16 सेमी, AC = 12 सेमी और BD = 4 सेमी है। समीकरण 4/DC = 16/12 हो जाता है। DC के लिए हल करने के लिए, पहले दाईं ओर के अनुपात को सरल करें: 16/12 = 4/3। अब समीकरण 4/DC = 4/3 है। तिरछा गुणा करके या अंशों की सीधी तुलना करके, हम पाते हैं कि DC = 3 सेमी। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि बिंदु P, Q, R, S चक्रीय चतुर्भुज ABCD के कोण समद्विभाजकों के वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन से बनते हैं, इसलिए चारों बिंदु P, Q, R, S एक ही वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, एक चतुर्भुज जिसके सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित होते हैं, उसे चक्रीय चतुर्भुज कहा जाता है। किसी भी चक्रीय चतुर्भुज का एक मौलिक गुण यह है कि उसके सम्मुख आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। चतुर्भुज PQRS में, कोण ∠PQR और ∠RSP सम्मुख कोण हैं। इसलिए, चक्रीय चतुर्भुजों के गुण को लागू करते हुए, हमारे पास ∠PQR + ∠RSP = 180° है। यह गुण मूल चतुर्भुज ABCD के कोणों के विशिष्ट मापों पर ध्यान दिए बिना सत्य है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

AD² और AB² का अनुपात ज्ञात करने के लिए, समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा की लंबाई s मान लीजिए। इस प्रकार, AB = BC = AC = s। चूँकि भुजा BC को D पर इस प्रकार त्रिविभाजित किया गया है कि BC = 3 BD, इसलिए BD = s/3। त्रिभुज ABD में, हम जानते हैं कि आंतरिक कोण ∠B = 60° है क्योंकि ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

त्रिभुज ABD के लिए कोसाइन के नियम का उपयोग करके: AD² = AB² + BD² - 2(AB)(BD)cos(B)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: AD² = s² + (s/3)² - 2(s)(s/3)cos(60°)

चूँकि cos(60°) = 1/2 है, समीकरण बन जाता है: AD² = s² + s²/9 - 2(s²/3)(1/2) AD² = s² + s²/9 - s²/3

सरल करने के लिए, 9 का सामान्य भाजक लीजिए: AD² = (9s² + s² - 3s²)/9 = 7s²/9

अब, AD² और AB² का अनुपात ज्ञात कीजिए: AD²/AB² = (7s²/9)/s² = 7/9

इसलिए, आवश्यक अनुपात 7:9 है, जो विकल्प a) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समलंब ABCD में जहाँ AB ∥ CD है, मान लीजिए विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। चूँकि AB ∥ CD है, एकांतर अंतः कोण ∠OAB = ∠OCD और ∠OBA = ∠ODC बराबर हैं। AA समरूपता कसौटी से, ΔAOB ~ ΔCOD। परिणामस्वरूप, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं, जिससे AO/OC = BO/OD = AB/CD प्राप्त होता है। यह सिद्ध करता है कि विकर्ण एक दूसरे को आनुपातिक रूप से विभाजित करते हैं, जिससे कथन 1 सही हो जाता है।

कथन 2 के लिए, समानांतर भुजाओं AB और CD के समानांतर एक रेखा EF पर विचार करें, जहाँ E भुजा AD पर और F भुजा BC पर है। अंतःखंड प्रमेय (Intercept Theorem) के अनुसार, यदि तीन या अधिक समानांतर रेखाएँ दो तिर्यक छेदी रेखाओं को प्रतिच्छेद करती हैं, तो वे उन तिर्यक छेदी रेखाओं पर आनुपातिक खंड काटती हैं। यहाँ, AB ∥ EF ∥ CD समानांतर रेखाएँ हैं और गैर-समानांतर भुजाएँ AD और BC तिर्यक छेदी रेखाओं के रूप में कार्य करती हैं। इसलिए, AE/ED = BF/FC, जो सिद्ध करता है कि समानांतर रेखा गैर-समानांतर भुजाओं को आनुपातिक रूप से विभाजित करती है। इस प्रकार, कथन 2 भी सही है। दोनों कथन 1 और 2 सत्य हैं, जिससे विकल्प c प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन V = 1/3πr²H सूत्र द्वारा दिया जाता है और इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल C = πrl है, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई है जिसे l² = r² + H² द्वारा परिभाषित किया गया है। आयतन सूत्र से, हम 3V = πr²H प्राप्त कर सकते हैं।

अब, आइए दिए गए व्यंजक 3πVH³ + 9V² को सरल करें। 3V को गुणनखंडित करके, व्यंजक 3V(πH³ + 3V) बन जाता है। कोष्ठक के अंदर 3V = πr²H का मान रखने पर, हमें 3V(πH³ + πr²H) प्राप्त होता है। कोष्ठक से πH को गुणनखंडित करने पर 3VπH(H² + r²) मिलता है।

चूंकि H² + r² = l², व्यंजक 3VπHl² तक सरल हो जाता है। 3V = πr²H का मान पुनः रखने पर, हमारे पास (πr²H)πHl² है, जिसे π²r²l²H² के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह पहचानते हुए कि C = πrl, हम इसे (πrl)²H² के रूप में लिख सकते हैं, जो C²H² है। इस प्रकार, व्यंजक विकल्प a) C²H² के बराबर है।

व्याख्या

बड़ी गोली की त्रिज्या R = 8 सेमी। छोटी गोली की त्रिज्या r = 1 मिमी = 0.1 सेमी। गोलियों की संख्या = (4/3 पाई R^3) / (4/3 पाई r^3) = (8 / 0.1)^3 = 80^3 = 512,000।

व्याख्या

सबसे पहले, परिमाप सूत्र P = a + b + c का उपयोग करके तीसरी भुजा की लंबाई की गणना करें। दिया गया है P = 90 सेमी, a = 40 सेमी, और b = 41 सेमी, तो 90 = 40 + 41 + c, जिससे c = 90 - 81 = 9 सेमी प्राप्त होता है। त्रिभुज की तीन भुजाएँ 9 सेमी, 40 सेमी और 41 सेमी हैं। हम पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c² को सत्यापित करके यह जांच सकते हैं कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है। यहाँ, 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681, और 41² = 1681। चूँकि शर्त पूरी होती है, त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसकी लम्ब 9 सेमी और 40 सेमी तथा कर्ण 41 सेमी है। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके गणना की जाती है। आधार को 9 सेमी और ऊँचाई को 40 सेमी रखने पर, हमें Area = 1/2 × 9 × 40 = 9 × 20 = 180 सेमी² प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प d सही है।

व्याख्या

मान लीजिए समचतुर्भुज के विकर्ण d₁ और d₂ हैं। दी गई शर्तों के अनुसार, विकर्णों के बीच का अंतर d₁ - d₂ = 2 है, जिसका अर्थ है d₁ = d₂ + 2। मान लीजिए समचतुर्भुज की भुजा a है। समचतुर्भुज का परिमाप P सूत्र P = 4a द्वारा दिया जाता है। समस्या में कहा गया है कि परिमाप विकर्णों के योग से 6 इकाई अधिक है, इसलिए 4a = (d₁ + d₂) + 6।

समचतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध 4a² = d₁² + d₂² है। परिमाप समीकरण का उपयोग करने के लिए, हम इसका वर्ग करते हैं: (4a)² = (d₁ + d₂ + 6)², जिससे 16a² = (d₁ + d₂ + 6)² प्राप्त होता है। 16a² = 4(4a²) = 4(d₁² + d₂²) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 4(d₁² + d₂²) = (d₁ + d₂ + 6)²

d₁ = d₂ + 2 को प्रतिस्थापित करने पर: 4((d₂ + 2)² + d₂²) = (d₂ + 2 + d₂ + 6)² 4(2d₂² + 4d₂ + 4) = (2d₂ + 8)² 8d₂² + 16d₂ + 16 = 4(d₂ + 4)² 2d₂² + 4d₂ + 4 = d₂² + 8d₂ + 16 d₂² - 4d₂ - 12 = 0

द्विघात समीकरण (d₂ - 6)(d₂ + 2) = 0 को हल करने पर, हमें d₂ = 6 प्राप्त होता है क्योंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती। परिणामस्वरूप, d₁ = 6 + 2 = 8। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल A सूत्र A = 1/2 × d₁ × d₂ का उपयोग करके गणना की जाती है: A = 1/2 × 8 × 6 = 24 वर्ग इकाई।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परिवृत्त की त्रिज्या (R) कर्ण की आधी होती है, इसलिए कर्ण = 2 * 5 = 10 सेमी। क्षेत्रफल = 1/2 आधार * ऊँचाई। कर्ण को आधार और दिए गए शीर्षलम्ब को ऊँचाई मानते हुए, क्षेत्रफल = 1/2 * 10 * 4 = 20 सेमी^2।

व्याख्या

त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यदि कोण a:b:c के अनुपात में हैं, तो व्यक्तिगत कोणों की गणना सूत्र कोण = अनुपात भाग/अनुपातों का योग × 180° का उपयोग करके की जा सकती है। कोणों के पूर्णांक होने के लिए, मान k = 180/(a+b+c) ऐसा होना चाहिए कि ak, bk, और ck सभी पूर्णांक हों।

विकल्प a में, अनुपातों का योग 1+2+3 = 6 है। यहाँ k = 180/6 = 30 है। कोण 1 × 30 = 30°, 2 × 30 = 60°, और 3 × 30 = 90° हैं, जो सभी पूर्णांक हैं।

विकल्प b में, अनुपातों का योग 3+4+5 = 12 है। यहाँ k = 180/12 = 15 है। कोण 3 × 15 = 45°, 4 × 15 = 60°, और 5 × 15 = 75° हैं, जो सभी पूर्णांक हैं।

विकल्प c में, अनुपातों का योग 5+6+7 = 18 है। यहाँ k = 180/18 = 10 है। कोण 5 × 10 = 50°, 6 × 10 = 60°, और 7 × 10 = 70° हैं, जो सभी पूर्णांक हैं।

विकल्प d में, अनुपातों का योग 6+7+8 = 21 है। यहाँ k = 180/21 = 60/7 है। कोण 6 × 60/7 = 360/7°, 7 × 60/7 = 60°, और 8 × 60/7 = 480/7° हैं। चूँकि 360/7 और 480/7 पूर्णांक नहीं हैं, इसलिए अनुपात 6:7:8 कोणों का माप नहीं हो सकता।

व्याख्या

जब किसी आयत के आयामों को बदला जाता है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन उत्तरोत्तर प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

शुद्ध परिवर्तन = x + y + xy/100

यहाँ, लंबाई 10% बढ़ जाती है, इसलिए x = +10, और चौड़ाई 10% घट जाती है, इसलिए y = -10। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन = 10 + (-10) + (10 × (-10))/100 = 0 - 100/100 = -1%

ऋणात्मक परिणाम क्षेत्रफल में कमी का संकेत देता है। उन मामलों के लिए एक त्वरित शॉर्टकट जहाँ किसी मात्रा को समान प्रतिशत x से बढ़ाया और फिर घटाया जाता है, यह है कि हमेशा x²/100% के बराबर शुद्ध कमी होती है। x = 10 के साथ इस शॉर्टकट को लागू करने पर:

शुद्ध कमी = 10²/100% = 100/100% = 1%

इस प्रकार, नए आयत का क्षेत्रफल 1% कम हो जाता है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है और इसका आयतन V = 4/3πr³ द्वारा दिया जाता है। यह देखते हुए कि दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात 1:4 है, हम संबंध को S₁/S₂ = 4πr₁²/4πr₂² = 1/4 के रूप में लिख सकते हैं। इस समीकरण को सरल बनाने पर (r₁/r₂)² = 1/4 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात r₁/r₂ = √(1/4) = 1/2 है। उनके आयतन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम आयतन सूत्र का उपयोग करते हैं: V₁/V₂ = (4/3πr₁³)/(4/3πr₂³) = (r₁/r₂)³। त्रिज्या अनुपात का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें V₁/V₂ = (1/2)³ = 1/8 प्राप्त होता है। इसलिए, उनके आयतन का अनुपात 1:8 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

एक ईंट का आयतन = 20 सेमी × 15 सेमी × 10 सेमी = 3000 सेमी^3। दीवार का आयतन = 4500 सेमी × 15 सेमी × 300 सेमी = 20,250,000 सेमी^3। ईंटों की संख्या = 20,250,000 / 3,000 = 6,750।

व्याख्या

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग (n - 2) × 180° सूत्र द्वारा दिया जाता है। किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए, भुजाओं की संख्या पर ध्यान दिए बिना, बाह्य कोणों का योग हमेशा एक स्थिरांक 360° होता है। दी गई शर्त के अनुसार, आंतरिक कोणों का योग बाह्य कोणों के योग का दोगुना है। हम इस संबंध को समीकरण (n - 2) × 180° = 2 × 360° से दर्शा सकते हैं। दाईं ओर को सरल बनाने पर (n - 2) × 180 = 720 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 180 से विभाजित करने पर, हमें n - 2 = 4 मिलता है। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर, हमें n = 6 मिलता है। 6 भुजाओं वाले बहुभुज को षट्भुज कहा जाता है, जो विकल्प (A) से मेल खाता है।

व्याख्या

पहिये की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, लुढ़कते पहिये द्वारा तय की गई कुल दूरी के सूत्र का उपयोग करें: कुल दूरी = चक्करों की संख्या × पहिये की परिधि। चूँकि वृत्त की परिधि 2πr होती है, सूत्र दूरी = n × 2πr बन जाता है।

सबसे पहले, कुल दूरी को किलोमीटर से सेंटीमीटर में बदलें ताकि यह विकल्पों से मेल खाए: 11 किमी = 11 × 1000 मीटर = 11,000 मीटर = 1,100,000 सेमी।

अब, ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 1,100,000 = 5000 × 2 × 22/7 × r 1,100,000 = 10,000 × 22/7 × r

सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को 10,000 से विभाजित करें: 110 = 22/7 × r

r के लिए हल करें: r = (110 × 7)/22 r = 5 × 7 r = 35 सेमी

इस प्रकार, साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए त्रिज्याएँ r1, r2 और ऊँचाइयाँ h1, h2 हैं। आयतन अनुपात: (1/3 pi r1^2 h1) / (1/3 pi r2^2 h2) = 1/4। व्यास अनुपात 4:5 का अर्थ है त्रिज्या अनुपात r1/r2 = 4/5। (4/5)^2 * (h1/h2) = 1/4 (16/25) * (h1/h2) = 1/4 h1/h2 = (1/4) * (25/16) = 25/64।

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि ∠A + ∠B + ∠C = 180°। दिए गए संबंध 2∠A = 3∠B = 6∠C के आधार पर, मान लीजिए कि ये सभी एक स्थिरांक k के बराबर हैं। इस प्रकार, हमारे पास ∠A = k/2, ∠B = k/3, और ∠C = k/6 है। इन्हें कोण योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर k/2 + k/3 + k/6 = 180° प्राप्त होता है। k को हल करने के लिए, हम 6 का सामान्य भाजक ज्ञात करते हैं, जिससे (3k + 2k + k)/6 = 180° प्राप्त होता है, जो 6k/6 = 180° को सरल करता है, इसलिए k = 180°। अब, व्यक्तिगत कोणों की गणना करने पर, हमें ∠A = 180°/2 = 90° और ∠C = 180°/6 = 30° प्राप्त होता है। इसलिए, ∠A + ∠C = 90° + 30° = 120°, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और वर्ग की भुजा a है। प्रश्न के अनुसार, वृत्त की परिधि (परिमाप) वर्ग के परिमाप के बराबर है। परिधि के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हमारे पास 2πr = 4a है। a के लिए हल करने पर, हमें a = 2πr/4 = πr/2 प्राप्त होता है।

अब, हम दोनों आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। वृत्त का क्षेत्रफल A꜀ = πr² है और वर्ग का क्षेत्रफल Aₛ = a² है। पिछले चरण से a का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें Aₛ = (πr/2)² = π²r²/4 प्राप्त होता है।

वृत्त के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम A꜀ को Aₛ से विभाजित करते हैं: अनुपात = πr² / (π²r²/4) = (πr² × 4) / (π²r²) = 4/π।

इस प्रकार, अनुपात 4:π है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए भुजाएँ x, x+2, और x+4 हैं। x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2 x^2 + x^2 + 4x + 4 = x^2 + 8x + 16 x^2 - 4x - 12 = 0 (x-6)(x+2) = 0 x = 6. भुजाएँ 6, 8, 10 हैं। गुणनफल = 6 × 8 × 10 = 480।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, अंतर्लिखित वृत्त (अंतःवृत्त) स्पर्श बिंदुओं पर भुजाओं को स्पर्श करता है। वृत्त की स्पर्श रेखाओं के गुणों के अनुसार, केंद्र O से स्पर्श बिंदु तक खींची गई त्रिज्या हमेशा स्पर्श रेखा पर लंबवत होती है। चूँकि वृत्त AB को M पर और AC को N पर स्पर्श करता है, इसलिए OM ⊥ AB और ON ⊥ AC। अतः, ∠OMA = 90° और ∠ONA = 90°।

चतुर्भुज AMON में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। इस ज्यामितीय गुण का उपयोग करके, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: ∠A + ∠OMA + ∠MON + ∠ONA = 360°

दिए गए और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 70° + 90° + ∠MON + 90° = 360° 250° + ∠MON = 360° ∠MON = 360° - 250° = 110°

वैकल्पिक रूप से, किसी भी चतुर्भुज के लिए जहाँ दो सम्मुख कोण 90° होते हैं, अन्य दो सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। इस प्रकार, ∠MON = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°। यह पुष्टि करता है कि विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

माना समकोण त्रिभुज की दो लंबवत भुजाओं की लंबाई a और b है, और कर्ण की लंबाई c है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, भुजाओं के बीच संबंध सूत्र a² + b² = c² द्वारा दिया जाता है। प्रश्न में कहा गया है कि तीनों भुजाओं के वर्गों का योग 8,450 वर्ग इकाई है, जिसे a² + b² + c² = 8,450 के रूप में लिखा जा सकता है।

समीकरण में पाइथागोरस सर्वसमिका a² + b² = c² को प्रतिस्थापित करने पर, हमें c² + c² = 8,450 प्राप्त होता है। यह 2c² = 8,450 को सरल करता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें c² = 4,225 मिलता है। कर्ण c की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम 4,225 का वर्गमूल लेते हैं। चूंकि संख्या 25 में समाप्त होती है, इसका वर्गमूल 5 में समाप्त होना चाहिए। 65 × 65 का परीक्षण करने पर, हमें 4,225 प्राप्त होता है। इसलिए, कर्ण की लंबाई 65 इकाई है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज का उभयनिष्ठ आधार b है। मान लीजिए समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई hₚ और त्रिभुज की ऊँचाई hₜ है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है क्षेत्रफलₜᵣᵢₐₙ𝓰ₗₑ = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 b hₜ। समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है क्षेत्रफलₚₐᵣₐₗₗₑₗₒ𝓰ᵣₐₘ = आधार × ऊँचाई = b hₚ।

चूंकि प्रश्न में कहा गया है कि दोनों आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर हैं, हम समीकरणों को एक-दूसरे के बराबर रख सकते हैं: 1/2 b hₜ = b hₚ

दोनों पक्षों को b से विभाजित करने पर (चूंकि आधार शून्य नहीं हो सकता), हमें प्राप्त होता है: 1/2 hₜ = hₚ hₜ = 2 hₚ

प्रश्न में ऊँचाइयों के बीच संबंध को hₜ = k hₚ के रूप में परिभाषित किया गया है। दो व्यंजकों hₜ = 2 hₚ और hₜ = k hₚ की तुलना करके, हम पाते हैं कि k = 2। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। मान लीजिए दो वर्गों की भुजाएँ s₁ और s₂ हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात m² : n⁴ दिया गया है, हम सूत्र Area₁/Area₂ = (s₁/s₂)² का उपयोग कर सकते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें m²/n⁴ = (s₁/s₂)² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, उनकी भुजाओं का अनुपात s₁/s₂ = √(m²/n⁴) = m/n² है। चूँकि वर्ग का परिमाप सूत्र P = 4s द्वारा दिया जाता है, उनके परिमापों का अनुपात 4s₁/4s₂ है, जो सीधे s₁/s₂ तक सरल हो जाता है। इसलिए, परिमापों का अनुपात m : n² है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, AD माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि D, आधार BC का मध्य बिंदु है, अर्थात् BD = DC। त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई। त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD एक ही शीर्ष A साझा करते हैं और एक ही रेखा पर समान आधार BD और DC रखते हैं, इसलिए क्षेत्रफल(ΔABD) = क्षेत्रफल(ΔACD)। इसी प्रकार, चूंकि P, रेखा खंड AD पर एक बिंदु है, त्रिभुज PBD और त्रिभुज PCD एक ही शीर्ष P साझा करते हैं और समान आधार BD और DC रखते हैं, जिसका अर्थ है क्षेत्रफल(ΔPBD) = क्षेत्रफल(ΔPCD)। त्रिभुज PAB का क्षेत्रफल त्रिभुज ABD के क्षेत्रफल से त्रिभुज PBD का क्षेत्रफल घटाकर निकाला जाता है, और त्रिभुज PAC का क्षेत्रफल त्रिभुज ACD से त्रिभुज PCD का क्षेत्रफल घटाकर निकाला जाता है। क्योंकि हम समान मात्राओं से समान मात्राएँ घटा रहे हैं, त्रिभुज PAB का क्षेत्रफल त्रिभुज PAC के क्षेत्रफल के बराबर होना चाहिए, जो विकल्प (b) को सही कथन बनाता है।

व्याख्या

वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल एक जीवा और संगत चाप द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है। इस क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए, हम त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से केंद्र और जीवा द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाते हैं।

त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ (रेडियन में) वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 1/2 r² θ होता है। दो त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बने समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 r² sin θ होता है।

त्रिभुज को त्रिज्यखंड से घटाने पर, खंड का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = 1/2 r² θ - 1/2 r² sin θ = 1/2 r² (θ - sin θ)

त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सर्वसमिका sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) का उपयोग करके, हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: क्षेत्रफल = 1/2 r² (θ - 2 sin(θ/2) cos(θ/2))

यह विकल्प (b) में दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC के भीतर बनने वाले विभिन्न समकोण त्रिभुजों पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करके, हम कथनों का मूल्यांकन कर सकते हैं। मान लीजिए भुजाओं की लंबाई AC = a और BC = b है। मान लीजिए दूरी CP = p और CQ = q है।

समकोण त्रिभुज ABC में, कर्ण AB² = a² + b² है। समकोण त्रिभुज ACQ में, कर्ण AQ² = a² + q² है। समकोण त्रिभुज BCP में, कर्ण BP² = b² + p² है। समकोण त्रिभुज PCQ में, कर्ण PQ² = p² + q² है।

कथन 1 की जाँच करने के लिए, हम AQ और BP के वर्गों का योग करते हैं: AQ² + BP² = (a² + q²) + (b² + p²) = a² + b² + p² + q²। इसकी तुलना AB² और PQ² के योग से करने पर: AB² + PQ² = (a² + b²) + (p² + q²) = a² + b² + p² + q²। चूंकि दोनों पक्ष बराबर हैं, कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, AB = √(a² + b²) और PQ = √(p² + q²)। चूंकि P और Q क्रमशः भुजाओं AC और BC पर कोई भी बिंदु हैं, PQ की लंबाई AB से स्वतंत्र रूप से भिन्न होती है। ऐसा कोई स्थिर ज्यामितीय गुण नहीं है जो किसी भी मनमाने बिंदु P और Q के लिए AB = 2PQ को बाध्य करे। इसलिए, कथन 2 गलत है। इस प्रकार, केवल विकल्प A सही है।

व्याख्या

वर्ग की भुजा s = 2r. वर्ग का क्षेत्रफल = (2r)^2 = 4r^2. 4 सिक्कों के चतुर्थांशों द्वारा कवर किया गया क्षेत्रफल = pi * r^2. अनावृत क्षेत्रफल = 4r^2 - (22/7)r^2 = (28-22)/7 * r^2 = 6r^2 / 7. 6r^2 / 7 = 42 r^2 = (42 * 7) / 6 = 7 * 7 = 49. r = 7 सेमी।

व्याख्या

बाल्टी एक शंकु का छिन्नक है। आयतन = 1/3 pi h (r1^2 + r2^2 + r1r2) आयतन = 1/3 pi 3x (x^2 + (2x)^2 + x2x) आयतन = pi x (x^2 + 4x^2 + 2x^2) = pi x 7x^2 = 7 pi x^3. pi = 22/7 का उपयोग करते हुए, आयतन = 7 (22/7) x^3 = 22x^3।

व्याख्या

p = L, q = B, r = H. s = पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(pq + qr + pr). t = आयतन = pqr. 1/p + 1/q + 1/r = (qr + pr + pq) / pqr. चूँकि (pq + qr + pr) = s/2 और pqr = t, इसलिए व्यंजक (s/2) / t = s/2t के बराबर है।

व्याख्या

सभी पंद्रह उम्मीदवारों के अंकों की माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हम विषम संख्या में अवलोकनों की माध्यिका के सूत्र का उपयोग करते हैं: माध्यिका = ((n+1)/2)वें पद का मान, जहाँ n अवलोकनों की कुल संख्या है। यहाँ, n = 15 है, इसलिए माध्यिका सभी अंकों के क्रमबद्ध अनुक्रम में ((15+1)/2)वें पद का मान है, जो कि 8वां पद है।

प्रश्न में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले दस उम्मीदवारों के अंक दिए गए हैं: 9, 6, 7, 8, 8, 9, 6, 5, 4 और 7। इन उत्तीर्ण अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 प्राप्त होते हैं। चूंकि पांच उम्मीदवार परीक्षा में अनुत्तीर्ण हुए, इसलिए उनके अंक उत्तीर्ण होने वालों के अंकों से कम या उसके बराबर होने चाहिए। इसलिए, सभी पंद्रह उम्मीदवारों की क्रमबद्ध सूची में, पांच अनुत्तीर्ण उम्मीदवार पहले से पांचवें स्थान पर होंगे।

पूर्ण क्रमबद्ध अनुक्रम में 5 अनुत्तीर्ण अंक और उसके बाद 10 उत्तीर्ण अंक आरोही क्रम में शामिल हैं। शुरुआत से गिनने पर, 6वां पद 4 है, 7वां पद 5 है, और 8वां पद 6 है। इस प्रकार, 8वां अवलोकन 6 है, जिससे सभी पंद्रह उम्मीदवारों के अंकों की माध्यिका विकल्प a) 6 हो जाती है।

व्याख्या

किसी डेटा सेट की माध्यिका ज्ञात करने के लिए, मानों को पहले आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए। n प्रेक्षणों के दिए गए सेट के लिए जहाँ n विषम है, माध्यिका क्रमबद्ध अनुक्रम में ((n+1)/2)वें पद का मान है। इस समस्या में, प्रेक्षणों की संख्या n = 7 है, जो विषम है। इसलिए, माध्यिका ((7+1)/2)वाँ = चौथा पद है।

दी गई उपज (180, 191, 175, 111, 154, 141, 176) को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 111, 141, 154, 175, 176, 180, 191। इस क्रमबद्ध अनुक्रम में चौथा पद 175 है। इस प्रकार, माध्यिका उपज 175 ग्राम है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

किसी दुकान में बेचे गए जूते के औसत आकार का निर्धारण करने के लिए बहुलक (Mode) केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे उपयुक्त माप है। सांख्यिकी में, बहुलक किसी दिए गए डेटा सेट में सबसे अधिक बार आने वाले मान को दर्शाता है। एक दुकानदार के लिए, मुख्य उद्देश्य उस विशिष्ट आकार की पहचान करना है जिसकी मांग सबसे अधिक है ताकि इन्वेंट्री और स्टॉक स्तर को अनुकूलित किया जा सके। अंकगणितीय माध्य इस संदर्भ में अनुपयुक्त है क्योंकि जूते के आकारों का औसत निकालने पर अक्सर दशमलव मान प्राप्त होते हैं, जैसे आकार 8.34, जो बिक्री के लिए उपलब्ध भौतिक जूते के आकार के रूप में मौजूद नहीं होते हैं। इसी तरह, माध्यिका एक क्रमबद्ध वितरण के मध्य मान की पहचान करती है लेकिन आवश्यक रूप से सबसे लोकप्रिय आकार को प्रतिबिंबित नहीं करती है। इसलिए, क्योंकि बहुलक सबसे सामान्य मान की पहचान करता है, यह आकारों, शैलियों या उपभोक्ता वरीयताओं से संबंधित असतत डेटा के लिए उपयोग किया जाने वाला मानक माप है।

व्याख्या

एक हिस्टोग्राम में, प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल संगत वर्ग अंतराल की आवृत्ति के समानुपाती होता है। आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊँचाई। इस संदर्भ में, चौड़ाई वर्ग अंतराल के आकार को दर्शाती है और क्षेत्रफल उस वर्ग की आवृत्ति को दर्शाता है। जब वर्ग अंतराल की चौड़ाई समान होती है, तो सभी आयतों के लिए चौड़ाई स्थिर रहती है। परिणामस्वरूप, आवृत्ति आयत की ऊँचाई के सीधे समानुपाती हो जाती है। चूँकि चौड़ाई एक स्थिर कारक है, y-अक्ष पर आयत की ऊँचाई का उपयोग वर्ग की आवृत्ति को दर्शाने के लिए किया जाता है। यह दर्शक को केवल बार की सापेक्ष ऊँचाई को देखकर विभिन्न वर्गों में आवृत्तियों की तुलना करने की अनुमति देता है। इसलिए, विकल्प d सही है क्योंकि ऊँचाई वर्ग की आवृत्ति को दर्शाती है।

व्याख्या

प्रारंभिक योग = 2 + 5 + 12 + 18 + 38 + 40 + 60 = 175। प्रारंभिक माध्य = 175 / 7 = 25। 5 वर्ष बाद, 7 सदस्यों का योग = 175 + (7 * 5) = 210। सदस्य x को जोड़ने पर, नया माध्य = (210 + x) / 8। नया माध्य = 25 + 1.5 = 26.5। 210 + x = 26.5 * 8 = 212। x = 2।

व्याख्या

कुल छात्र = 100, औसत भार = 46। कुल भार = 4600 किग्रा। मान लीजिए लड़के B हैं और लड़कियाँ G हैं। B + G = 100। 50B + 40G = 4600 5B + 4(100 - B) = 460 B + 400 = 460 B = 60, G = 40। B - G = 60 - 40 = 20।

व्याख्या

सांख्यिकी में, अंकगणितीय माध्य का एक मौलिक गुण यह है कि सभी प्रेक्षणों के उनके माध्य से विचलनों का बीजगणितीय योग हमेशा शून्य के बराबर होता है। यह एक मानक सर्वसमिका है और इसके लिए दिए गए मानों के समुच्चय के लिए माध्य या व्यक्तिगत विचलनों की वास्तविक गणना की आवश्यकता नहीं होती है।

इस गुण के लिए गणितीय व्यंजक Σⁿᵢ₌₁ (xᵢ - x̄) = 0 है, जहाँ xᵢ डेटा सेट में प्रत्येक व्यक्तिगत मान का प्रतिनिधित्व करता है और x̄ अंकगणितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करता है। इसे योग सूत्र का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है: Σ (xᵢ - x̄) = Σ xᵢ - Σ x̄ चूंकि x̄ समुच्चय के लिए एक स्थिरांक है, n प्रेक्षणों के लिए Σ x̄, nx̄ होता है। यह देखते हुए कि x̄ = (Σ xᵢ)/n, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि nx̄ = Σ xᵢ। इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें Σ xᵢ - Σ xᵢ = 0 प्राप्त होता है।

इसलिए, दिए गए मानों 25, 65, 73, 75, 83, 76, 17, 15, 7, और 14 के लिए, उनके माध्य से विचलनों का बीजगणितीय योग 0 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए प्रेक्षण x, x+2, x+4, x+6, x+8 एक समांतर श्रेणी (AP) बनाते हैं जिसका सार्व अंतर 2 है। विषम संख्या में पदों वाली AP में प्रेक्षणों के किसी भी समूह के लिए, माध्य मध्य पद के बराबर होता है। इसलिए, पाँच प्रेक्षणों का माध्य m = x + 4 है। प्रथम तीन प्रेक्षणों x, x+2, x+4 का माध्य ज्ञात करने के लिए, हम पहचानते हैं कि ये भी एक AP बनाते हैं। इन तीन प्रेक्षणों का मध्य पद x + 2 है। परिणामस्वरूप, प्रथम तीन प्रेक्षणों का माध्य x + 2 है। m के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करके, जहाँ x = m - 4, प्रथम तीन पदों का माध्य (m - 4) + 2 = m - 2 हो जाता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

अनुक्रम 2, 4, 6, ..., 100 है। यह n = 50 पदों वाली एक समांतर श्रेणी (AP) है। सम n के लिए माध्यिका (median) (n/2)वें और (n/2 + 1)वें पदों का औसत होती है। 25वां पद = 2 + (25-1)2 = 50। 26वां पद = 2 + (26-1)2 = 52। माध्यिका = (50 + 52) / 2 = 51।

व्याख्या

दो धनात्मक संख्याओं के अंकगणितीय माध्य (AM), ज्यामितीय माध्य (GM), और हरात्मक माध्य (HM) के बीच संबंध मानक सूत्र GM² = AM × HM द्वारा दिया जाता है। यह सूत्र अन्य दो माध्यों के ज्ञात होने पर किसी एक माध्य की सीधी गणना की अनुमति देता है।

प्रश्न से दिए गए मानों के अनुसार, ज्यामितीय माध्य GM = 12 और हरात्मक माध्य HM = 10 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

12² = AM × 10 144 = AM × 10 AM = 144/10 AM = 14.4

इसलिए, दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 14.4 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है। यह विधि समस्या को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है क्योंकि इसमें पहले अलग-अलग संख्याओं को खोजने की आवश्यकता को दरकिनार किया जाता है।