सीडीएस II 2009 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

मान लीजिए P, Q, और R की कार्य दर क्रमशः P, Q, और R इकाई प्रति दिन है। P और Q की संयुक्त दर 1/2 इकाई प्रति दिन है, Q और R की संयुक्त दर 1/4 इकाई प्रति दिन है, और P और R की संयुक्त दर 1/(12/5) = 5/12 इकाई प्रति दिन है। इन दरों को जोड़ने पर 2(P + Q + R) = 1/2 + 1/4 + 5/12 प्राप्त होता है। 12 के सामान्य हर का उपयोग करते हुए, हमें 2(P + Q + R) = (6 + 3 + 5)/12 = 14/12 = 7/6 मिलता है। 2 से भाग देने पर, P, Q, और R की संयुक्त दक्षता P + Q + R = 7/12 इकाई प्रति दिन है। P की व्यक्तिगत दक्षता ज्ञात करने के लिए, Q और R की दर को कुल संयुक्त दर से घटाएं: P = (P + Q + R) - (Q + R) = 7/12 - 1/4। यह गणना P = 7/12 - 3/12 = 4/12 = 1/3 इकाई प्रति दिन तक सरल हो जाती है। P द्वारा अकेले कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय दर का व्युत्क्रम है, जो कि 1 / (1/3) = 3 दिन है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दो साल के अंत में भुगतान की जाने वाली कुल राशि की गणना करने के लिए, हम चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र A = P(1 + R/100)ⁿ का उपयोग करते हैं। दिए गए मानों, P = 7500, R = 16, और n = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = 7500(1 + 16/100)² मिलता है। यह A = 7500(1.16)² तक सरल हो जाता है, जो आगे A = 7500 × 1.3456 बन जाता है। इन मानों को गुणा करने पर A = 10092 मिलता है।

वैकल्पिक रूप से, प्रतियोगी परीक्षाओं में तेज गणना के लिए, दो साल के लिए प्रभावी ब्याज दर सूत्र का उपयोग करें: Rₑf_f = R + R + (R × R)/100। R = 16 के लिए, Rₑf_f = 16 + 16 + (16 × 16)/100 = 32 + 2.56 = 34.56%। कुल चक्रवृद्धि ब्याज 7500 × 34.56% = 2592 है। मूलधन जोड़ने पर, भुगतान की जाने वाली कुल राशि 7500 + 2592 = 10092 है। इस प्रकार, सही विकल्प b है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाती हैं, एक x% लाभ पर और दूसरी x% हानि पर, तो हमेशा कुल हानि होती है। इस शुद्ध हानि प्रतिशत की गणना करने का मानक सूत्र हानि % = x²/100 है। इस समस्या में, प्रत्येक साइकिल का विक्रय मूल्य 1,188 रुपये है, और लाभ और हानि का सामान्य प्रतिशत x = 10% है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें हानि % = 10²/100 = 100/100 = 1% प्राप्त होता है। इसलिए, व्यापारी को पूरे सौदे पर 1% की हानि होती है। यह शॉर्टकट प्रत्येक वस्तु के क्रय मूल्य की अलग-अलग गणना करने की आवश्यकता को समाप्त करता है। परिणाम 1,188 रुपये के वास्तविक विक्रय मूल्य से स्वतंत्र है, बशर्ते कि यह दोनों वस्तुओं के लिए समान हो। इस प्रकार, विकल्प (a) सही परिणाम है।

व्याख्या

वह छोटी से छोटी संख्या भाजकों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) में से उभयनिष्ठ अंतर को घटाकर प्राप्त की जाती है। भाजक 42, 72 और 84 हैं। भाजकों और उनके संगत शेषफलों के बीच का अंतर 42-25=17, 72-55=17, और 84-67=17 है। 42, 72 और 84 का LCM 504 है। आवश्यक संख्या 504 - 17 = 487 है।

व्याख्या

तीन दी गई समीकरणों (a+b) + (b+c) + (a+c) = 2m² + 6m + 2 को जोड़ने पर, हमें 2(a+b+c) = 2(m² + 3m + 1) प्राप्त होता है, जो a+b+c = m² + 3m + 1 तक सरल हो जाता है। अब हम a, b, और c को m के पदों में अलग-अलग व्यक्त कर सकते हैं: a = (a+b+c) - (b+c) = (m² + 3m + 1) - 6m = m² - 3m + 1 b = (a+b+c) - (a+c) = (m² + 3m + 1) - 2 = m² + 3m - 1 c = (a+b+c) - (a+b) = (m² + 3m + 1) - 2m² = -m² + 3m + 1

शर्त a ≤ b लागू करने पर: m² - 3m + 1 ≤ m² + 3m - 1 2 ≤ 6m ⇒ m ≥ 1/3

शर्त b ≤ c लागू करने पर: m² + 3m - 1 ≤ -m² + 3m + 1 2m² ≤ 2 ⇒ m² ≤ 1 ⇒ -1 ≤ m ≤ 1

इन दो असमानताओं को मिलाने पर, m की सीमा m ≥ 1/3 और -1 ≤ m ≤ 1 का प्रतिच्छेदन है, जिसके परिणामस्वरूप 1/3 ≤ m ≤ 1 होता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए प्रति विद्यार्थी दैनिक शुल्क k है। कुल लागत = विद्यार्थियों की संख्या × दिनों की संख्या × k। 6300 = 35 × 24 × k, जिससे k = 6300 / 840 = 7.5 प्राप्त होता है। दूसरे मामले के लिए, 3375 = 25 × दिनों की संख्या × 7.5। दिनों की संख्या = 3375 / (25 × 7.5) = 3375 / 187.5 = 18।

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का वितरण पूँजी और समय अवधि के गुणनफल के अनुपात पर आधारित होता है। उपयोग किया जाने वाला सूत्र है लाभₚ/लाभ_Q = (पूँजीₚ × समयₚ)/(पूँजी_Q × समय_Q)।

दिया गया है: P की पूँजी (Cₚ) = रु. 2,525 P का समय (Tₚ) = 12 महीने Q की पूँजी (C_Q) = रु. 1,200 Q का समय (T_Q) = x महीने P का लाभ हिस्सा (Pₚ) = रु. 1,212 Q का लाभ हिस्सा (P_Q) = कुल लाभ - Pₚ = 1,644 - 1,212 = 432

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1212/432 = (2525 × 12)/(1200 × x)

बाएँ पक्ष को अंश और हर को 12 से विभाजित करके सरल बनाने पर: 101/36 = (2525 × 12)/(1200 × x)

दाएँ पक्ष को सरल बनाने पर: 101/36 = 2525/(100 × x) 101/36 = 101/4x

अंशों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: 36 = 4x x = 9 महीने

चूँकि Q का निवेश एक वर्ष में 9 महीने के लिए था, Q व्यवसाय में 12 - 9 = 3 महीने बाद शामिल हुआ। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

√0.0001 का मान ज्ञात करने के लिए, पहले दशमलव को भिन्न में बदलें। हमारे पास 0.0001 = 1/10000 है। अब, अंश और हर दोनों पर वर्गमूल लागू करें: √0.0001 = √(1/10000) = √1/√10000 = 1/100। दशमलव रूप में, 1/100, 0.01 के बराबर है। परिभाषा के अनुसार, एक परिमेय संख्या कोई भी संख्या है जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है। चूँकि 0.01 को भिन्न 1/100 के रूप में लिखा जा सकता है, यह एक परिमेय संख्या है। विकल्प (a) गलत है क्योंकि मान ठीक 0.01 है, 0.01 से कम नहीं। इसलिए, विकल्पों में सबसे सटीक विवरण यह है कि यह एक परिमेय संख्या है, जिससे विकल्प (b) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

k का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि अनुपातों के एक चक्र का गुणनफल 1 के बराबर होता है। दिए गए अनुपात x/y = 1/3, y/z = 5/k, z/t = 2/5, और t/x = 3/4 का उपयोग करके, हम निम्नलिखित समीकरण स्थापित कर सकते हैं: x/y ⋅ y/z ⋅ z/t ⋅ t/x = 1 दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1/3 ⋅ 5/k ⋅ 2/5 ⋅ 3/4 = 1 अंश और हर में सामान्य पदों, विशेष रूप से 3 और 5 को रद्द करने पर, समीकरण सरल हो जाता है: (1 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3)/(3 ⋅ k ⋅ 5 ⋅ 4) = 1 30/60k = 1 1/2k = 1 k के लिए हल करने पर: 2k = 1 k = 1/2 इस प्रकार, k का मान 1/2 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए दूरी D है और प्रारंभिक गति v है। पहली स्थिति में, व्यक्ति प्रतिदिन 9 घंटे आराम करता है, जिसका अर्थ है कि प्रतिदिन चलने का वास्तविक समय 24 - 9 = 15 घंटे है। 114 दिनों में कुल चलने का समय 114 × 15 घंटे है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके, हमारे पास D = v × (114 × 15) है।

दूसरी स्थिति में, तय की जाने वाली दूरी 2D है। व्यक्ति अब दोगुना आराम करता है, जो 9 × 2 = 18 घंटे प्रतिदिन है। परिणामस्वरूप, प्रतिदिन चलने का समय 24 - 18 = 6 घंटे हो जाता है। गति भी दोगुनी होकर 2v हो जाती है। मान लीजिए T वह दिनों की संख्या है जो नई दूरी तय करने के लिए आवश्यक है। कुल दूरी का समीकरण 2D = 2v × (T × 6) बन जाता है।

दूसरे समीकरण में पहले समीकरण से D का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 × (v × 114 × 15) = 12v × T मिलता है। दोनों पक्षों से v को रद्द करके समीकरण को सरल बनाने पर, हमें 2 × 1710 = 12T मिलता है, जिससे 3420 = 12T प्राप्त होता है। T के लिए हल करने पर, हमें T = 3420/12 = 285 दिन मिलते हैं। इस प्रकार, व्यक्ति को 285 दिन लगेंगे, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों के बीच का अंतर होती है। यहाँ, धीमी गति वाली ट्रेन में व्यक्ति के सापेक्ष तेज गति वाली ट्रेन की सापेक्ष गति सूत्र Vᵣₑₗ = V₁ - V₂ द्वारा दी जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, Vᵣₑₗ = 50 किमी/घंटा - 32 किमी/घंटा = 18 किमी/घंटा।

सेकंड में समय के साथ गणना करने के लिए, हमें सापेक्ष गति को 5/18 से गुणा करके किमी/घंटा से मी/से में बदलना होगा। इस प्रकार, Vᵣₑₗ = 18 × 5/18 = 5 मी/से।

चूंकि व्यक्ति को एक बिंदु वस्तु माना जाता है, इसलिए तेज गति वाली ट्रेन द्वारा उसे पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली दूरी तेज गति वाली ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है। दूरी = गति × समय सूत्र का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: तेज गति वाली ट्रेन की लंबाई = Vᵣₑₗ × t = 5 मी/से × 15 से = 75 मीटर।

इसलिए, तेज गति वाली ट्रेन की लंबाई 75 मीटर है, जो विकल्प ए से मेल खाती है।

व्याख्या

कुल उपलब्ध राशन = 100 सैनिक × 10 दिन = 1000 सैनिक-दिन। 2 दिनों में उपभोग किया गया राशन = 100 सैनिक × 2 दिन = 200 सैनिक-दिन। शेष राशन = 1000 - 200 = 800 सैनिक-दिन। सैनिकों की नई संख्या = 100 + 60 = 160। शेष दिन = 800 / 160 = 5 दिन।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही प्रारंभिक बिंदु से विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। विपरीत दिशाओं में सापेक्ष गति के सूत्र का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:

सापेक्ष गति = S₁ + S₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: सापेक्ष गति = 5 किमी/घंटा + 6.5 किमी/घंटा = 11.5 किमी/घंटा

किसी विशिष्ट दूरी पर होने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम मानक समय सूत्र का उपयोग करते हैं: समय = दूरी / सापेक्ष गति

92 किमी की लक्ष्य दूरी और ऊपर गणना की गई सापेक्ष गति को प्रतिस्थापित करने पर: समय = 92 किमी / 11.5 किमी/घंटा

गणना को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को 10 से गुणा कर सकते हैं: समय = 920 / 115 = 8 घंटे

इसलिए, उन्हें 92 किमी की दूरी पर होने में 8 घंटे लगेंगे, जो विकल्प (d) के अनुरूप है।

व्याख्या

मान लीजिए श्रमिकों की प्रारंभिक संख्या x थी। 15 श्रमिकों की वृद्धि x के 20% के बराबर है। अतः, 0.20x = 15। x = 15 / 0.20 = 75।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए राशि की गणना सूत्र A = P(1 + r/n)ⁿᵗ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, n प्रति वर्ष ब्याज संयोजित होने की संख्या है, और t वर्षों में समय है। इस समस्या में, मूलधन P = 400, वार्षिक दर r = 10% = 0.10, संयोजन आवृत्ति n = 2 (अर्ध-वार्षिक), और समय t = 3/2 वर्ष है।

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, प्रति अर्ध-वर्ष दर r/n = 0.10/2 = 0.05 हो जाती है और संयोजन अवधियों की कुल संख्या nt = 2 × (3/2) = 3 हो जाती है।

गणना इस प्रकार है: A = 400(1 + 0.05)³ A = 400(1.05)³ A = 400 × 1.157625 A = 463.05

इसलिए, रु. 400 का मूलधन 3/2 वर्षों में अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होने पर रु. 463.05 हो जाएगा। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

निरंतर प्रतिशत कमी से संबंधित समस्याओं को हल करने का सबसे तेज़ तरीका प्रभावी प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करना है: शुद्ध परिवर्तन % = x + y + xy/100। इस मामले में, चूंकि जनसंख्या दो बार 10% कम हो जाती है, हम सूत्र में x = -10 और y = -10 रखते हैं। इससे हमें -10 + (-10) + ((-10) × (-10))/100 मिलता है, जो -20 + 100/100 तक सरल हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप -20 + 1 = -19% होता है। इसका मतलब है कि कुल जनसंख्या में 19% की कमी आई। इसलिए, शेष जनसंख्या का प्रतिशत 100% - 19% = 81% है। वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि का उपयोग करके, शेष जनसंख्या की गणना 100 × (1 - 0.10) × (1 - 0.10) = 100 × 0.90 × 0.90 = 100 × 0.81 = 81% के रूप में की जाती है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प d सही परिणाम है।

व्याख्या

सबसे बड़ी मान निर्धारित करने के लिए, हम सीधे अंक-दर-अंक तुलना की अनुमति देने के लिए दोहराए जाने वाले दशमलव को कई दशमलव स्थानों तक विस्तारित करते हैं। विकल्प a 0.725 है, जिसे 0.725000... के रूप में लिखा जा सकता है। विकल्प b 0.725̅ है, जहाँ केवल अंक 5 दोहराता है, जिसके परिणामस्वरूप 0.725555... होता है। विकल्प c 0.725̅ है, जहाँ ब्लॉक 25 दोहराता है, जिसके परिणामस्वरूप 0.725252... होता है। विकल्प d 0.725̅ है, जहाँ ब्लॉक 725 दोहराता है, जिसके परिणामस्वरूप 0.725725... होता है। बाएं से दाएं इन मानों की तुलना करने पर, पहले तीन दशमलव स्थान सभी विकल्पों के लिए 7, 2 और 5 के रूप में समान हैं। हालाँकि, चौथे दशमलव स्थान पर, मान a के लिए 0, b के लिए 5, c के लिए 2 और d के लिए 7 हैं। चूंकि दस-हजारवें स्थान पर 7 सबसे बड़ा अंक है, इसलिए दिए गए विकल्पों में 0.725̅ सबसे बड़ी संख्या है।

व्याख्या

दिया गया है m = n(n-1)। व्यंजक है m^2 - 2m = m(m-2) = n(n-1)(n^2 - n - 2)। द्विघात (quadratic) को गुणनखंडित करने पर n(n-1)(n-2)(n+1) प्राप्त होता है। यह चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है। k क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा k! से विभाज्य होता है, और 4! = 24।

व्याख्या

उन समस्याओं में जहाँ एक व्यापारी शुद्ध सामग्री की क्रय मूल्य पर मिश्रण बेचता है, लाभ प्रतिशत सीधे मिलाई गई अशुद्धता (पानी) के शुद्ध मात्रा (दूध) से अनुपात के समानुपाती होता है। लागू सूत्र है लाभ % = (पानी की मात्रा/दूध की मात्रा) × 100।

यह देखते हुए कि लाभ 12.5% है, हम इसे एक भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: 12.5% = 12.5/100 = 1/8। सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1/8 = पानी की मात्रा/28।

पानी की मात्रा को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 28 से गुणा करने पर: पानी की मात्रा = 28/8 = 3.5 लीटर।

यह गणना दर्शाती है कि विक्रेता ने 28 लीटर दूध में 3.5 लीटर पानी मिलाया ताकि क्रय मूल्य के बराबर विक्रय मूल्य रखते हुए 12.5% का लाभ प्राप्त किया जा सके। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए x का y से अनुपात r = x/y द्वारा दर्शाया गया है। समस्या के अनुसार, x का y से अनुपात, y का x से अनुपात का 25 गुना है। इस संबंध को एक गणितीय समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: x/y = 25 × y/x। x/y के लिए r और y/x के लिए 1/r प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण r = 25 × 1/r बन जाता है। समीकरण के दोनों पक्षों को r से गुणा करने पर r² = 25 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें r = √25 = 5 मिलता है। इस प्रकार, अनुपात x/y = 5/1 है, जिसे 5:1 के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

माना हंसों की कुल संख्या x है। समीकरण है x = (7/2)sqrt(x) + 2। माना u = sqrt(x), तब u^2 - (7/2)u - 2 = 0, या 2u^2 - 7u - 4 = 0। द्विघात सूत्र का उपयोग करके u के लिए हल करना: u = (7 + sqrt(49 + 32))/4 = (7 + 9)/4 = 4। चूँकि u = 4 है, x = 4^2 = 16।

व्याख्या

मान लीजिए पूर्ण किराया F है और आरक्षण शुल्क R है। समस्या के आधार पर, एक आरक्षित प्रथम श्रेणी टिकट की कुल लागत सूत्र द्वारा दी गई है: F + R = 362। एक पूर्ण और एक आधे आरक्षित टिकटों की लागत एक पूर्ण टिकट और एक बच्चे के टिकट का योग है, जहाँ बच्चे का किराया 0.5F है लेकिन आरक्षण शुल्क R समान रहता है। इस प्रकार, (F + R) + (0.5F + R) = 554। इस समीकरण में F + R = 362 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 362 + 0.5F + R = 554 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 362 घटाने पर 0.5F + R = 192 प्राप्त होता है। R ज्ञात करने के लिए, हम इस परिणामी समीकरण को पहले वाले से घटा सकते हैं: (F + R) - (0.5F + R) = 362 - 192। यह 0.5F = 170 तक सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है कि पूर्ण किराया F = 340 है। F = 340 को पहले समीकरण 340 + R = 362 में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें R = 362 - 340 = 22 प्राप्त होता है। इसलिए, आरक्षण शुल्क 22 रुपये है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए पंक्तियों की संख्या r है और प्रति पंक्ति विद्यार्थियों की संख्या s है। कुल विद्यार्थी N = rs। शर्त 1: (s+1)(r-2) = rs => r - 2s = 2। शर्त 2: (s-1)(r+3) = rs => 3s - r = 3। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: s = 5। s = 5 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: r - 10 = 2 => r = 12। कुल विद्यार्थी = 12 * 5 = 60।

व्याख्या

दो बीजीय व्यंजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हमें पहले उन्हें उनके अलघुकरणीय घटकों में पूरी तरह से गुणनखंडित करना होगा। LCM तब प्रत्येक गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है जो किसी भी व्यंजक में दिखाई देता है।

सबसे पहले, हम संख्यात्मक गुणांकों का गुणनखंड करते हैं: 3 और 11 का LCM 3 × 11 = 33 है।

इसके बाद, हम बीजीय भागों का गुणनखंड करते हैं। पहले व्यंजक के लिए, हम घन के अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं: 3(a³ - b³) = 3(a - b)(a² + ab + b²)

दूसरे व्यंजक के लिए, हम वर्ग के अंतर सूत्र का दो बार उपयोग करते हैं: 11(a⁴ - b⁴) = 11(a² - b²)(a² + b²) = 11(a - b)(a + b)(a² + b²)

अब, हम दोनों व्यंजकों में मौजूद सभी अद्वितीय गुणनखंडों की पहचान करते हैं: संख्यात्मक गुणनखंड 33। सामान्य गुणनखंड (a - b)। गुणनखंड (a² + ab + b²)। गुणनखंड (a + b)। गुणनखंड (a² + b²)।

इन सबको गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: LCM = 33(a - b)(a² + ab + b²)(a + b)(a² + b²)

चूंकि (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³, हम व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: LCM = 33(a³ - b³)(a + b)(a² + b²)

यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या 10x + y है। x + y = 10। साथ ही, (10x + y) - 18 = 10y + x, जो सरल होकर 9x - 9y = 18 या x - y = 2 हो जाता है। x + y = 10 और x - y = 2 को हल करने पर x = 6 और y = 4 प्राप्त होता है। अंकों का गुणनफल 6 * 4 = 24 है।

व्याख्या

पहले बहुपद x³ - 27 को बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। इस प्रकार, x³ - 3³ = (x - 3)(x² + 3x + 9)। इस बहुपद के गुणनखंड एक रैखिक गुणनखंड (x - 3) और एक द्विघात गुणनखंड (x² + 3x + 9) हैं। चूँकि दो दिए गए बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) एक द्विघात बहुपद है, इसलिए HCF x² + 3x + 9 होना चाहिए।

यह आवश्यक है कि x² + 3x + 9 दूसरे बहुपद Q(x) = x³ + 4x² + 12x + k को बिना कोई शेषफल छोड़े विभाजित करे। हम गुणांकों की तुलना की विधि का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए Q(x) = (x² + 3x + 9)(x + a)। इस गुणनफल का विस्तार करने पर, हमें x³ + ax² + 3x² + 3ax + 9x + 9a प्राप्त होता है, जो x³ + (a + 3)x² + (3a + 9)x + 9a के रूप में सरल हो जाता है।

x² के गुणांकों की तुलना दिए गए बहुपद x³ + 4x² + 12x + k से करने पर: a + 3 = 4 a = 1

सत्यापित करने के लिए, x के गुणांकों की तुलना करें: 3a + 9 = 3(1) + 9 = 12 यह Q(x) में x के गुणांक से मेल खाता है। अब, अचर पदों की तुलना करें: k = 9a k = 9(1) = 9

इस प्रकार, k का मान 9 है, जो विकल्प (b) के संगत है।

व्याख्या

माना x^4 = u। समस्या u^10 + 2 को u + 1 से विभाजित करने की हो जाती है। शेषफल प्रमेय के अनुसार, शेषफल बहुपद का वह मान होता है जब u = -1 होता है। शेषफल = (-1)^10 + 2 = 1 + 2 = 3।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय बताता है कि जब एक बहुपद f(x) को (x - a) के रूप के एक रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल f(a) के बराबर होता है। गणितीय रूप से, इसे f(x) = (x - a)q(x) + f(a) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ q(x) भागफल है। गुणनखंड प्रमेय इस सिद्धांत का एक विशिष्ट अनुप्रयोग है। यह बताता है कि (x - a), f(x) का एक गुणनखंड है यदि और केवल यदि f(a) = 0। चूँकि शर्त f(a) = 0 केवल वह विशेष मामला है जहाँ शेषफल प्रमेय द्वारा प्रदान किया गया शेषफल शून्य है, गुणनखंड प्रमेय शेषफल प्रमेय का एक विशेष मामला है। इसलिए, विकल्प B सही कथन है।

व्याख्या

x = 2 + √3, तो 1/x = 2 - √3। x + 1/x = (2 + √3) + (2 - √3) = 4। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)^2 = 4^2 => x^2 + 2 + 1/x^2 = 16। इसलिए, x^2 + x^-2 = 14।

व्याख्या

7x^2 + 12x + 18 = 0 के लिए, मूलों का योग (a+b) = -12/7 और गुणनफल (ab) = 18/7 है। वर्गों का योग a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = (-12/7)^2 - 2(18/7) = 144/49 - 36/7 = (144 - 252)/49 = -108/49। वर्गों के योग का गुणनफल से अनुपात (-108/49) / (18/7) = (-108/49) * (7/18) = -6/7 है। जबकि -6/7 दिए गए समीकरण के लिए गणितीय रूप से सही परिणाम है, उत्तर कुंजी C (-6:1) प्रदान की गई है, जो तब होगा जब x^2 का गुणांक 1 हो और स्थिरांक -36 या अन्य विशिष्ट मान हों। प्रदान की गई उत्तर कुंजी के आधार पर, हम C का चयन करते हैं।

व्याख्या

बहुपद विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, किसी भी बहुपद P(x) और एक गैर-शून्य भाजक D(x) के लिए, अद्वितीय बहुपद Q(x) और R(x) मौजूद होते हैं जैसे कि P(x) = D(x)Q(x) + R(x), जहाँ या तो R(x) = 0 या R(x) की घात D(x) की घात से सख्ती से कम होती है। इस मामले में, भाजक D(x) एक रैखिक बहुपद है, जिसका अर्थ है कि इसकी घात ठीक 1 है। परिणामस्वरूप, शेषफल R(x) की घात 1 से कम होनी चाहिए। 1 से कम घात वाला बहुपद केवल 0 घात वाला बहुपद हो सकता है, जो एक गैर-शून्य अचर बहुपद है, या यह शून्य बहुपद हो सकता है। इसलिए, शेषफल या तो एक अचर बहुपद या शून्य बहुपद होता है, जिससे विकल्प (c) सही विकल्प बन जाता है। यदि रैखिक बहुपद P(x) का एक गुणनखंड है, तो शेषफल शून्य बहुपद होता है; अन्यथा, यह एक अचर होता है।

व्याख्या

माना aˣ = bʸ = cᶻ = k। इस समानता से, हम a, b, और c को k के पदों में व्यक्त कर सकते हैं जैसे a = k¹/ˣ, b = k¹/ʸ, और c = k¹/ᶻ। दी गई शर्त abc = 1 में, हम a, b, और c के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: k¹/ˣ · k¹/ʸ · k¹/ᶻ = 1 घातांक के नियम kᵐ · kⁿ = kᵐ⁺ⁿ का उपयोग करके, हम बाईं ओर को सरल बनाते हैं: k⁽¹/ˣ ⁺ ¹/ʸ ⁺ ¹/ᶻ⁾ = 1 चूंकि किसी भी गैर-शून्य आधार को 0 की घात तक बढ़ाने पर 1 प्राप्त होता है, हम 1 को k⁰ के रूप में लिख सकते हैं: k⁽¹/ˣ ⁺ ¹/ʸ ⁺ ¹/ᶻ⁾ = k⁰ दोनों पक्षों पर घातांकों की तुलना करके, हमें प्राप्त होता है: 1/x + 1/y + 1/z = 0 वांछित व्यंजक को हल करने के लिए, हम सामान्य भाजक xyz लेते हैं: (yz + xz + xy)/xyz = 0 दोनों पक्षों को xyz से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: xy + yz + zx = 0 यह परिणाम विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए (3.7)ˣ = 10000 और (0.037)ʸ = 10000। इन समीकरणों से, हम आधारों को स्थिरांक 10000 के पदों में 3.7 = 10000¹/ˣ और 0.037 = 10000¹/ʸ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। हम देखते हैं कि दो आधार 0.037 = 3.7/100 = 3.7 × 10⁻² के रूप में संबंधित हैं। आधारों के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 10000¹/ʸ = 10000¹/ˣ × 10⁻² प्राप्त होता है। चूँकि 10000 = 10⁴, हम 10 = 10000¹/⁴ लिख सकते हैं, और इसलिए 10⁻² = (10000¹/⁴)⁻² = 10000⁻²/⁴ = 10000⁻¹/²। इस मान को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर 10000¹/ʸ = 10000¹/ˣ × 10000⁻¹/² प्राप्त होता है। घातांकों के नियम aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ का उपयोग करके, हमें 10000¹/ʸ = 10000¹/ˣ⁻¹/² प्राप्त होता है। समान आधार के घातांकों को बराबर करके, हमें 1/y = 1/x - 1/2 प्राप्त होता है। आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 1/x - 1/y = 1/2 प्राप्त होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

कस्बा A में महिला कॉफी पीने वाले = 10,000 का 5% = 500। कस्बा B में महिला कॉफी पीने वाले = 20,000 का 15% = 3,000। कुल महिला कॉफी पीने वाले = 500 + 3,000 = 3,500।

व्याख्या

सबसे पहले, दो भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात करके दिए गए व्यंजक को सरल बनाएं। व्यंजक E = 1/(a + 1) + (2a + 1)/(a² - 1) है। चूँकि a² - 1 = (a + 1)(a - 1), हम व्यंजक को E = (1(a - 1) + (2a + 1))/(a² - 1) के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो E = (a - 1 + 2a + 1)/(a² - 1) = 3a/(a² - 1) तक सरल हो जाता है।

अगला, a = (1 + x)/(2 - x) के मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। a² - 1 की गणना करने के लिए, पहचान A² - B² = (A - B)(A + B) का उपयोग करें जहाँ A = (1 + x)/(2 - x) और B = 1: a² - 1 = ((1 + x)/(2 - x) - 1)((1 + x)/(2 - x) + 1) = ((1 + x - 2 + x)/(2 - x))((1 + x + 2 - x)/(2 - x)) = ((2x - 1)/(2 - x))(3/(2 - x)) = 3(2x - 1)/(2 - x)²।

अब, दोनों a और a² - 1 को E में वापस प्रतिस्थापित करें: E = (3((1 + x)/(2 - x)))/(3(2x - 1)/(2 - x)²) = 3(1 + x)/(2 - x) · (2 - x)²/(3(2x - 1)) = (1 + x)(2 - x)/(2x - 1)।

यह विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई शर्त pq + qr + rp = 0 के अनुसार, हम किसी भी दो चरों के गुणनफल को तीसरे चर के रूप में व्यक्त कर सकते हैं ताकि हर को सरल बनाया जा सके। पहले पद के लिए, हमारे पास qr = -pq - rp है। इसे हर में प्रतिस्थापित करने पर, हमें p² - qr = p² - (-pq - rp) = p² + pq + rp = p(p + q + r) प्राप्त होता है। इसलिए, पहला पद p²/p(p + q + r) = p/(p + q + r) तक सरल हो जाता है।

दूसरे पद पर समान प्रतिस्थापन तर्क लागू करने पर, हम जानते हैं कि rp = -pq - qr, इसलिए हर q² - rp = q² - (-pq - qr) = q² + pq + qr = q(q + p + r) बन जाता है। इस प्रकार, दूसरा पद q²/q(p + q + r) = q/(p + q + r) तक सरल हो जाता है।

तीसरे पद के लिए, चूँकि pq = -qr - rp है, हर r² - pq = r² - (-qr - rp) = r² + qr + rp = r(r + q + p) है। परिणामस्वरूप, तीसरा पद r²/r(p + q + r) = r/(p + q + r) तक सरल हो जाता है।

इन तीन सरल पदों को एक साथ जोड़ने पर, हमें p/(p + q + r) + q/(p + q + r) + r/(p + q + r) = (p + q + r)/(p + q + r) = 1 प्राप्त होता है। यह परिणाम विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

माना CB की लम्बाई x इकाई है। चूँकि रेखाखंड AB की कुल लम्बाई 2 इकाई है और C इस खंड पर एक बिंदु है, AC की लम्बाई को 2 - x इकाई के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दी गई शर्त AC² = AB × CB के अनुसार, हम ज्ञात मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: (2 - x)² = 2 × x.

समीकरण के बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर 4 - 4x + x² = 2x प्राप्त होता है। सभी पदों को एक तरफ पुनर्व्यवस्थित करने पर एक मानक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जो x² - 6x + 4 = 0 है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a का उपयोग करते हैं, जहाँ a = 1, b = -6, और c = 4 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = (6 ± √((-6)² - 4(1)(4)))/2(1) = (6 ± √(36 - 16))/2 = (6 ± √20)/2 प्राप्त होता है।

√20 को 2√5 के रूप में सरल करने पर x = (6 ± 2√5)/2 = 3 ± √5 प्राप्त होता है। चूँकि बिंदु C, 2 लम्बाई वाले खंड AB के भीतर स्थित है, CB की लम्बाई 2 इकाई से कम होनी चाहिए। मान 3 + √5 लगभग 5.236 है, जो खंड की कुल लम्बाई से अधिक है। इसलिए, एकमात्र भौतिक रूप से संभव लम्बाई x = 3 - √5 है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

दिया गया है कि x + y + z = 0, हम वर्ग के गुण का उपयोग करके हर को सरल बना सकते हैं। चूँकि x + y = -z, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (x + y)² = (-z)² प्राप्त होता है, जो x² + 2xy + y² = z² तक विस्तारित होता है। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें x² + y² - z² = -2xy मिलता है।

इसी प्रकार, y + z = -x लेकर और दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें (y + z)² = (-x)² प्राप्त होता है, जो y² + 2yz + z² = x² तक सरल हो जाता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर y² + z² - x² = -2yz मिलता है। उसी तर्क का पालन करते हुए z + x = -y के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं ताकि (z + x)² = (-y)² प्राप्त हो, जिसके परिणामस्वरूप z² + 2zx + x² = y² होता है, इसलिए z² + x² - y² = -2zx।

इन तीन व्युत्पन्न मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1/-2xy + 1/-2yz + 1/-2zx

-1/2 को गुणनखंडित करने पर, व्यंजक बन जाता है: -1/2 (1/xy + 1/yz + 1/zx)

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं, जो xyz है: -1/2 ( (z + x + y)/xyz )

चूँकि हमें दिया गया है कि x + y + z = 0, अंश 0 है: -1/2 ( 0/xyz ) = 0

इस प्रकार, व्यंजक का मान 0 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के निकाय के लिए, निकाय का कोई हल न होने की शर्त (जो तब होती है जब रेखाएँ समानांतर और भिन्न होती हैं) सूत्र a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ द्वारा दी जाती है। दिए गए समीकरणों x + 2y - 3 = 0 और 5x + ky + 7 = 0 की मानक रूप से तुलना करने पर, हम गुणांकों को a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = -3 और a₂ = 5, b₂ = k, c₂ = 7 के रूप में पहचानते हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें संबंध 1/5 = 2/k ≠ -3/7 प्राप्त होता है। समीकरण 1/5 = 2/k को वज्र गुणन द्वारा हल करने पर k = 2 × 5 = 10 प्राप्त होता है। चूँकि 1/5, -3/7 के बराबर नहीं है, इसलिए कोई हल न होने की शर्त पूरी तरह से संतुष्ट होती है। इस प्रकार, k का मान 10 है, जिससे विकल्प (d) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

दिए गए कथनों को सत्यापित करने के लिए, हम प्रति-उदाहरण विधि का उपयोग कर सकते हैं, जो प्रतियोगिता परीक्षाओं में सामान्य बीजगणितीय दावों को गलत साबित करने का सबसे तेज़ तरीका है।

कथन 1 के लिए, दावा gcd(m, nk) = gcd(mn, k) है। मान लीजिए m=6, n=2, और k=3। बायां पक्ष gcd(6, 2 × 3) = gcd(6, 6) = 6 देता है। दायां पक्ष gcd(6 × 2, 3) = gcd(12, 3) = 3 देता है। चूँकि 6 ≠ 3, कथन 1 सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सामान्य रूप से सत्य नहीं है।

कथन 2 के लिए, दावा gcd(m, n) × gcd(n, k) = gcd(m, k) है। मान लीजिए m=2, n=2, और k=2। बायां पक्ष gcd(2, 2) × gcd(2, 2) = 2 × 2 = 4 देता है। दायां पक्ष gcd(2, 2) = 2 देता है। चूँकि 4 ≠ 2, कथन 2 सामान्य रूप से सत्य नहीं है। एक और सरल मामला m=2, n=3, k=2 है, जहाँ gcd(2, 3) × gcd(3, 2) = 1 × 1 = 1 है, जबकि gcd(2, 2) = 2 है।

इस प्रकार, न तो कथन 1 और न ही कथन 2 सही है, जो विकल्प d को सही विकल्प बनाता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें जो बताती है कि यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc। दिए गए व्यंजक में, मान लीजिए a = x - y, b = y - z, और c = z - x। इनका योगफल ज्ञात करने पर, हमें a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = x - x + y - y + z - z = 0 प्राप्त होता है। चूँकि शर्त a + b + c = 0 संतुष्ट होती है, अंश (x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ सीधे 3(x - y)(y - z)(z - x) के बराबर हो जाता है। इस मान को पूर्ण व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3(x - y)(y - z)(z - x) / (4(x - y)(y - z)(z - x)) प्राप्त होता है। अंश और हर में उभयनिष्ठ पद (x - y)(y - z)(z - x) एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे अंतिम परिणाम 3/4 बचता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

m का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए समीकरण (x(x - 1) - (m + 1))/((x - 1)(m - 1)) = x/m को तिरछा गुणा करके सरल करते हैं। m(x² - x - m - 1) = x(x - 1)(m - 1) दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: mx² - mx - m² - m = (x² - x)(m - 1) mx² - mx - m² - m = mx² - x² - mx + x दोनों पक्षों से सामान्य पदों mx² और -mx को रद्द करने पर, समीकरण एक मानक द्विघात रूप में कम हो जाता है: x² - x - (m² + m) = 0 किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल बराबर होने के लिए, विविक्तकर शून्य होना चाहिए, सूत्र D = b² - 4ac = 0 का उपयोग करके। सूत्र में a = 1, b = -1, और c = -(m² + m) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (-1)² - 4(1)(-(m² + m)) = 0 1 + 4m² + 4m = 0 परिणामी व्यंजक एक पूर्ण वर्ग है: (2m + 1)² = 0। m के लिए हल करने पर, हमें 2m + 1 = 0 मिलता है, जिससे m = -1/2 प्राप्त होता है। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

माना u = (a + √(a² + b³))¹/³ और v = (a - √(a² + b³))¹/³। दिया गया व्यंजक x = u + v है। व्यंजक x³ + 3bx - 2a का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का घन करते हैं, सर्वसमिका (u + v)³ = u³ + v³ + 3uv(u + v) का उपयोग करके।

सबसे पहले, u³ + v³ की गणना करें: u³ + v³ = (a + √(a² + b³)) + (a - √(a² + b³)) = 2a

इसके बाद, गुणनफल uv की गणना करें: uv = [(a + √(a² + b³))(a - √(a² + b³))]¹/³ वर्गों के अंतर (A+B)(A-B) = A² - B² का उपयोग करके: uv = [a² - (√(a² + b³))²]¹/³ = [a² - (a² + b³)]¹/³ = (-b³)¹/³ = -b

अब, इन मानों को घन सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: x³ = (u + v)³ = (u³ + v³) + 3uv(u + v) x³ = 2a + 3(-b)(x) x³ = 2a - 3bx

वांछित व्यंजक से मिलान करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: x³ + 3bx - 2a = 0

इस प्रकार, मान 0 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। योग = 8 + 4 + 7 + 0 + 5 + ⊗ + 2 = 26 + ⊗। ⊗ का सबसे छोटा अंक जो 26 + ⊗ को 9 से विभाज्य बनाता है, 1 है (26 + 1 = 27)।

व्याख्या

किसी भी पूर्णांक n को या तो सम या विषम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। यदि n एक सम पूर्णांक है, तो इसे किसी पूर्णांक k के लिए n = 2k के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका वर्ग करने पर n² = (2k)² = 4k² प्राप्त होता है। चूँकि k² भी एक पूर्णांक है, मान लीजिए p = k², जिसका अर्थ है कि वर्ग 4p के रूप का है। यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो इसे किसी पूर्णांक k के लिए n = 2k + 1 के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसका वर्ग करने पर n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1 प्राप्त होता है। चूँकि k² + k एक पूर्णांक है, मान लीजिए p = k² + k, जिसका अर्थ है कि वर्ग 4p + 1 के रूप का है। इसलिए, प्रत्येक वर्ग पूर्णांक का रूप 4p या 4p + 1 होना चाहिए, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (12.5 × 10 + 10 × 7.5 + 12.5 × 7.5) = 2 (125 + 75 + 93.75) = 2 × 293.75 = 587.5 वर्ग सेमी। वर्ग मीटर में परिवर्तित करने पर: 587.5 / 10,000 = 0.05875 m^2। ईंटों की संख्या = 5.875 / 0.05875 = 100।

व्याख्या

किसी शंक्ू का आयतन सूत्र V = 1/3 π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है। दो शंक्ुओं के आयतन V₁ और V₂, त्रिज्याएँ r₁ और r₂, और ऊँचाइयाँ h₁ और h₂ के लिए, उनके आयतनों का अनुपात V₁/V₂ = (1/3 π r₁² h₁)/(1/3 π r₂² h₂) = (r₁/r₂)² × h₁/h₂ है।

आयतन V₁/V₂ = 4/5 और त्रिज्याओं r₁/r₂ = 2/3 का अनुपात दिया गया है, हम ऊँचाइयों का अनुपात ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 4/5 = (2/3)² × h₁/h₂ 4/5 = 4/9 × h₁/h₂

h₁/h₂ के लिए हल करने के लिए, दोनों पक्षों को 4/9 के व्युत्क्रम से गुणा करें: h₁/h₂ = 4/5 × 9/4 h₁/h₂ = 9/5

उनकी ऊर्ध्वाधर ऊँचाइयों का अनुपात 9:5 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

जब एक समकोण त्रिभुज को उसकी लंबवत भुजाओं में से किसी एक के परितः घुमाया जाता है, तो परिणामी ठोस एक सम वृत्तीय शंकु होता है। इस समस्या में, त्रिभुज को 12 सेमी भुजा के परितः घुमाया जाता है, जिसका अर्थ है कि शंकु की ऊंचाई h = 12 सेमी है और दूसरी लंबवत भुजा, जो 5 सेमी मापती है, आधार की त्रिज्या r = 5 सेमी बन जाती है। 13 सेमी का कर्ण शंकु की तिर्यक ऊंचाई के रूप में कार्य करता है। परिणामी शंकु के आयतन V को ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र V = 1/3 π r² h का उपयोग करते हैं। सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें V = 1/3 π (5)² (12) प्राप्त होता है। गणना करने पर, V = 1/3 π × 25 × 12। सरलीकरण करने पर, V = π × 25 × 4 = 100π घन सेमी। इसलिए, प्राप्त ठोस का आयतन 100π घन सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

पाइप से बाहर निकलने वाले पानी की मात्रा की गणना बेलन के आयतन के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ बेलन की लंबाई वह दूरी है जो पानी दिए गए समय में तय करता है। कुल आयतन V अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A, पानी की गति v, और समय t के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: V = A × v × t।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल A = 5 cm² गति v = 30 cm/sec समय t = 1 मिनट = 60 सेकंड

V = 5 cm² × 30 cm/sec × 60 sec V = 150 × 60 cm³ V = 9000 cm³

आयतन को घन सेंटीमीटर से लीटर में बदलने के लिए, हम मानक रूपांतरण 1000 cm³ = 1 लीटर का उपयोग करते हैं। लीटर में कुल आयतन = 9000/1000 = 9 लीटर।

इस प्रकार, विकल्प c सही है।

व्याख्या

तार की लंबाई उसके आकार की परवाह किए बिना स्थिर रहती है। इसलिए, वृत्त की परिधि वर्ग की परिधि के बराबर होती है। वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr है और वर्ग की परिधि का सूत्र P = 4s है, जहाँ s वर्ग की भुजा को दर्शाता है। त्रिज्या r = 42 सेमी दी गई है और π = 22/7 का मान उपयोग करते हुए, हम परिधि की गणना C = 2 × 22/7 × 42 = 2 × 22 × 6 = 264 सेमी के रूप में करते हैं। वर्ग की परिधि को इस लंबाई के बराबर करने पर, हमें 4s = 264 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर, हमें s = 264/4 = 66 सेमी प्राप्त होता है। इस प्रकार, वर्ग की भुजा 66 सेमी है, जो विकल्प (a) से मेल खाती है।

व्याख्या

आयतन V = (1/3)pi r^2 h। यदि r और h में 20% की वृद्धि होती है, तो नया आयतन V' = (1/3)pi (1.2r)^2 (1.2h) = 1.2^3 V = 1.728 V। प्रतिशत वृद्धि (1.728 - 1) * 100 = 72.8% है, जो लगभग 73% है।

व्याख्या

एक अर्ध-गोलाकार पात्र का आयतन V = 2/3 πr³ सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। त्रिज्या r = 21 सेमी दी गई है, हम π = 22/7 का उपयोग करके सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। गणना इस प्रकार है: V = 2/3 × 22/7 × 21 × 21 × 21। पदों को सरल बनाने पर, हर में 3 × 7 अंश में एक 21 को रद्द कर देता है, जिससे V = 2 × 22 × 21 × 21 बचता है। इससे V = 44 × 441 = 19404 सेमी³ प्राप्त होता है। आयतन को घन सेंटीमीटर से लीटर में बदलने के लिए, हम रूपांतरण कारक 1000 सेमी³ = 1 लीटर का उपयोग करते हैं। इसलिए, लीटर में आयतन 19404 / 1000 = 19.404 लीटर है। लगभग, यह 19.4 लीटर है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक छिन्नक (frustum) के आकार की बाल्टी के आयतन की गणना मानक सूत्र V = 1/3 πh(R² + r² + Rr) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ h ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है, R बड़े वृत्ताकार आधार की त्रिज्या है, और r छोटे वृत्ताकार आधार की त्रिज्या है। दिए गए पैरामीटर R = 5 इकाई, r = 3 इकाई, और h = 6 इकाई हैं, हम इन मानों को सूत्र में इस प्रकार प्रतिस्थापित करते हैं: V = 1/3 π(6)(5² + 3² + 5 × 3)। व्यंजक को सरल बनाने पर, हम पहले कोष्ठकों के अंदर के पदों को हल करते हैं: 25 + 9 + 15 = 49। फिर, गुणांक 1/3 × 6 × π = 2π हो जाता है। इन परिणामों को गुणा करने पर V = 2π × 49 = 98π घन इकाई प्राप्त होता है। चूँकि 98π विकल्पों (a) 33π, (b) 45π, या (c) 48π में दिए गए किसी भी मान से मेल नहीं खाता है, इसलिए सही विकल्प (d) उपरोक्त में से कोई नहीं है।

व्याख्या

C पर समकोण वाले त्रिभुज ABC में, शीर्षों A, B, और C के सम्मुख भुजाओं को क्रमशः a, b, और c से निरूपित करें। यहाँ, a = BC और b = AC त्रिभुज की लम्ब भुजाएँ हैं, और c = AB कर्ण है। त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है।

क्षेत्रफल की गणना दो भिन्न तरीकों से: समकोण त्रिभुज की लम्ब भुजाओं का उपयोग करके, क्षेत्रफल 1/2 × a × b है। कर्ण c को आधार और लम्ब p को ऊँचाई के रूप में उपयोग करके, क्षेत्रफल 1/2 × c × p है।

चूंकि दोनों व्यंजक एक ही त्रिभुज के क्षेत्रफल को दर्शाते हैं, हम उन्हें एक दूसरे के बराबर रखते हैं: 1/2 × c × p = 1/2 × a × b

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: cp = ab या pc = ab

इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, हम पाते हैं कि विकल्प (c) pc = ab सही संबंध है।

व्याख्या

वृत्ताकार पथ की परिधि = 2 पाई 50 = 100 पाई मीटर। पहिये की परिधि = 2 पाई 0.5 = पाई मीटर। एक पूरा चक्कर लगाने के लिए चक्करों की संख्या = 100 पाई / पाई = 100 चक्कर। एक चक्कर 60 मिनट लेता है। 15 मिनट में, पहिया (15/60) * 100 = 25 चक्कर लगाता है।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को किसी द्रव में पूरी तरह से डुबोया जाता है, तो विस्थापित द्रव का आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर होता है। इस मामले में, बेलनाकार पात्र में ऊपर उठे पानी की मात्रा ठोस गोले के आयतन के बराबर है।

मान लीजिए बेलनाकार पात्र की आंतरिक त्रिज्या r है और ठोस गोले की त्रिज्या R है। बेलन का आंतरिक व्यास = 24 सेमी, इसलिए r = 24/2 = 12 सेमी। गोले की त्रिज्या R = 6 सेमी। मान लीजिए जल स्तर में वृद्धि h है।

विस्थापित पानी की मात्रा r त्रिज्या और h ऊंचाई वाले बेलन के आयतन के बराबर है: Vᵩₐₜₑᵣ = πr²h

ठोस गोले का आयतन है: Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3 πR³

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: πr²h = 4/3 πR³ r²h = 4/3 R³ (12)² h = 4/3 (6)³ 144 h = 4/3 × 216 144 h = 4 × 72 144 h = 288 h = 288/144 = 2 सेमी

जल स्तर 2 सेमी बढ़ जाता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

जब कोई समतल किसी गोले को काटता है, तो प्रतिच्छेदन का परिणामी वक्र हमेशा एक वृत्त होता है। इस प्रतिच्छेदन वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम गोले की त्रिज्या, केंद्र से समतल की दूरी और प्रतिच्छेदन वृत्त की त्रिज्या से बने समकोण त्रिभुज के आधार पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। लागू सूत्र है r = √(R² - d²), जहाँ R गोले की त्रिज्या है, d गोले के केंद्र से समतल तक की लंबवत दूरी है, और r प्रतिच्छेदन वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मान R = 10 सेमी और d = 8 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: r = √(10² - 8²) r = √(100 - 64) r = √36 r = 6 सेमी

इस प्रकार, प्रतिच्छेदन वक्र की त्रिज्या 6 सेमी है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

बेलन की ऊँचाई h = 2r। बेलन का आयतन = pi r^2 2r = 2pir^3। गोले का आयतन = (4/3)pir^3। काटकर हटाया गया आयतन = 2pir^3 - (4/3)pir^3 = (2/3)pir^3। काटकर हटाया गया अंश = ((2/3)pir^3) / (2pir^3) = 1/3।

व्याख्या

भुजा BD पर बनाए गए वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें BD की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि AC भुजा पर शीर्ष B से माध्यिका है। अपोलोनियस के प्रमेय के अनुसार, किसी भी त्रिभुज ABC के लिए जहाँ D, AC का मध्य बिंदु है, भुजाओं और माध्यिका के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: AB² + BC² = 2(AD² + BD²)।

दिए गए आयाम AB = 2 सेमी, BC = 3 सेमी, और AC = 4 सेमी के साथ, हम पहले AD ज्ञात करते हैं। चूँकि D, AC का मध्य बिंदु है, AD = AC/2 = 4/2 = 2 सेमी। अब, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए: 2² + 3² = 2(2² + BD²) 4 + 9 = 2(4 + BD²) 13 = 8 + 2 BD² 2 BD² = 13 - 8 2 BD² = 5 BD² = 2.5

भुजा BD वाले वर्ग का क्षेत्रफल BD² के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए, वर्ग का क्षेत्रफल 2.5 सेमी² है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

बड़े शंकु का आयतन = (1/3)पाई 6^2 8 = 96पाई। एक छोटे शंकु का आयतन = (1/3)पाई 1^2 2 = (2/3)पाई। शंकुओं की संख्या = 96पाई / ((2/3)पाई) = 96 * 3 / 2 = 144।

व्याख्या

बिंदु P का बिंदु पथ जो दो स्थिर बिंदुओं A और B से समान दूरी बनाए रखता है, उन्हें मिलाने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक होता है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, यदि A (x₁, y₁) है, B (x₂, y₂) है, और P (x, y) है, तो शर्त PA = PB का अर्थ है PA² = PB²। इससे समीकरण (x - x₁)² + (y - y₁)² = (x - x₂)² + (y - y₂)² प्राप्त होता है; इस समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर 2x(x₂ - x₁) + 2y(y₂ - y₁) + x₁² + y₁² - x₂² - y₂² = 0 प्राप्त होता है, जो ax + by + c = 0 के रूप में एक रैखिक समीकरण है। ज्यामितीय रूप से, यह सीधी रेखा खंड AB के लम्बवत होती है और इसके मध्य बिंदु से गुजरती है, जिससे यह AB की लम्ब समद्विभाजक बन जाती है। इसलिए, विकल्प (a) सही है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, चूँकि AD, ∠BAC का आंतरिक समद्विभाजक है, भुजाओं का अनुपात BD/CD = AB/AC है। दिया गया है कि CD = CX, हम CD के स्थान पर CX रखकर BD/CX = AB/AC प्राप्त कर सकते हैं।

अब, त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACX पर विचार करें। हमें दिया गया है कि ∠BAD = ∠CAX। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या ये त्रिभुज समरूप हैं, हम ज्या के नियम (Law of Sines) का उपयोग करते हैं। त्रिभुज ABD में, AB/sin(∠ADB) = BD/sin(∠BAD)। त्रिभुज ACX में, AC/sin(∠AXC) = CX/sin(∠CAX)।

इन दो व्यंजकों को विभाजित करने पर AB/AC · sin(∠AXC)/sin(∠ADB) = BD/CX · sin(∠CAX)/sin(∠BAD) प्राप्त होता है। चूँकि ∠BAD = ∠CAX और AB/AC = BD/CX, पद रद्द हो जाते हैं, जिससे sin(∠AXC) = sin(∠ADB) बचता है। इसका तात्पर्य है कि ∠AXC = ∠ADB या ∠AXC = 180° - ∠ADB। यह देखते हुए कि X त्रिभुज के बाहर है और A, D, X संरेख हैं, ज्यामिति ∠AXC = ∠ADB निर्धारित करती है। दो संगत कोण बराबर होने पर (∠BAD = ∠CAX और ∠ADB = ∠AXC), त्रिभुज ABD, AA समरूपता कसौटी द्वारा त्रिभुज ACX के समरूप है। अतः, विकल्प A सही है।

व्याख्या

सर्वांगसम त्रिभुज आकार और माप दोनों में समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनके संगत कोण बराबर होते हैं और उनकी संगत भुजाएँ बराबर होती हैं। चूँकि समरूपता के लिए केवल संगत कोणों का बराबर होना और भुजाओं का समानुपाती होना आवश्यक है, सर्वांगसम त्रिभुज भुजा अनुपात 1:1 के साथ इन शर्तों को पूरा करते हैं। इसलिए, कथन 1 सही है।

दूसरी ओर, समरूप त्रिभुजों का आकार समान होता है और माप भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, अलग-अलग भुजाओं की लंबाई वाले दो वर्ग समरूप होते हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं होते। इस प्रकार, कथन 2 गलत है।

कथन 3 RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी का वर्णन करता है। किसी भी समकोण त्रिभुज में, भुजाओं के बीच संबंध पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c² द्वारा शासित होता है, जहाँ c कर्ण है। यदि दो समकोण त्रिभुजों के कर्ण बराबर हैं (c₁ = c₂) और एक भुजा बराबर है (a₁ = a₂), तो तीसरी भुजा b = √(c² - a²) होनी चाहिए, जो दोनों त्रिभुजों के लिए समान होगी। इससे SSS सर्वांगसमता प्राप्त होती है। इसलिए, कथन 3 सही है। चूँकि कथन 1 और 3 सही हैं, सही विकल्प d है।

व्याख्या

ΔABD और ΔACD में, चूँकि AD, BC पर लम्ब है, दोनों D पर समकोण त्रिभुज हैं। हम स्पर्शज्या (tangent) के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हैं: tan B = AD/BD और tan C = AD/DC।

इन दो समीकरणों को गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: tan B · tan C = AD/BD · AD/DC = AD²/(BD · DC)

दी गई शर्त AD² = BD · DC के अनुसार, व्यंजक सरल हो जाता है: tan B · tan C = 1

इसका तात्पर्य है कि tan B = 1/tan C = cot C। पूरक कोण सर्वसमिका (complementary angle identity) cot C = tan(90° - C) का उपयोग करके, हमारे पास है: tan B = tan(90° - C) B = 90° - C B + C = 90°

चूँकि ΔABC में कोणों का योग 180° होता है, ∠A = 180° - (B + C) = 180° - 90° = 90°। किसी भी त्रिभुज में जहाँ दो कोणों का योग 90° होता है, दोनों कोणों का 45° से कम होना गणितीय रूप से असंभव है। यदि B < 45°, तो B + C = 90° को संतुष्ट करने के लिए C का मान 45° से अधिक होना चाहिए। यदि B = 45°, तो C = 45°। इस प्रकार, कम से कम एक कोण 45° से बड़ा या बराबर होना चाहिए, जो विकल्प (c) को सही बनाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि AB = AC है, त्रिभुज समद्विबाहु है, जिसका अर्थ है कि इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर हैं। इसलिए, ∠ACB = ∠ABC = 65°। त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠BAC = 180° - (65° + 65°) = 50°।

चूँकि EF, AB के समानांतर है, हम समानांतर रेखाओं के गुणों का उपयोग कर सकते हैं। बिंदु D से गुजरने वाली एक सहायक रेखा L खींचें ताकि L, AB के समानांतर हो। क्योंकि L ∥ AB और EF ∥ AB, इसलिए L ∥ EF।

B, C, D वाली रेखा समानांतर रेखाओं AB और L के लिए एक तिर्यक रेखा के रूप में कार्य करती है। इस प्रकार, संगत कोण बराबर होते हैं: ∠LDC = ∠ABC = 65°।

अगला, समानांतर रेखाओं EF और L को पार करने वाली तिर्यक रेखा FD पर विचार करें। कोण ∠EFD और ∠FDL एकांतर अंतः कोण हैं, जो संपूरक होते हैं: ∠EFD + ∠FDL = 180° 80° + ∠FDL = 180° ⇒ ∠FDL = 100°।

कोण ∠FDC, ∠FDL और ∠LDC का अंतर है: ∠FDC = ∠FDL - ∠LDC ∠FDC = 100° - 65° = 35°।

व्याख्या

अंतः कोण समद्विभाजकों के अंतःकेंद्र O पर प्रतिच्छेदन से बनने वाला कोण सूत्र ∠BOC = 90° + ∠A/2 द्वारा दिया जाता है। इसे व्युत्पन्न करने के लिए, हम त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हैं। ΔABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°, जिसका अर्थ है ∠B + ∠C = 180° - ∠A। ΔBOC में, कोण ∠BOC, ∠B/2, और ∠C/2 हैं क्योंकि BO और CO कोण समद्विभाजक हैं। इसलिए, ∠BOC = 180° - (∠B/2 + ∠C/2)। ∠B + ∠C के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠BOC = 180° - (180° - ∠A)/2 मिलता है। इसे सरल करने पर ∠BOC = 180° - 90° + ∠A/2 = 90° + ∠A/2 प्राप्त होता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज के शीर्षों से समदूरस्थ बिंदु को परिकेंद्र कहा जाता है। किसी भी त्रिभुज के लिए, ठीक एक अद्वितीय परिकेंद्र होता है।

व्याख्या

यह ज्यामितीय गुण वरिनॉन के प्रमेय (Varignon's Theorem) के रूप में जाना जाता है। समाधान मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) पर आधारित है, जो कहता है कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी आधी लंबाई का होता है।

मान लीजिए भुजाओं AB, BC, CD, और DA के मध्य-बिंदु क्रमशः P, Q, R, और S हैं। विकर्ण AC खींचकर, हम दो त्रिभुज, ΔABC और ΔADC बनाते हैं। ΔABC में, चूँकि P और Q क्रमशः AB और BC के मध्य-बिंदु हैं, रेखाखंड PQ ∥ AC और PQ = 1/2 AC। इसी प्रकार, ΔADC में, चूँकि S और R क्रमशः DA और CD के मध्य-बिंदु हैं, रेखाखंड SR ∥ AC और SR = 1/2 AC।

चूँकि PQ और SR दोनों एक ही विकर्ण AC के समानांतर हैं, वे एक दूसरे के समानांतर हैं (PQ ∥ SR)। इसके अलावा, चूँकि दोनों 1/2 AC के बराबर हैं, वे लंबाई में बराबर हैं (PQ = SR)। एक चतुर्भुज जिसकी विपरीत भुजाओं का एक युग्म समान और समानांतर दोनों होता है, वह हमेशा एक समांतर चतुर्भुज होता है। इसलिए, परिणामी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

व्याख्या

दिया गया है कि cot θ = 8 / 15 और θ एक धनात्मक न्यून कोण है, हम एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं का निर्धारण कर सकते हैं। चूँकि cot θ = आसन्न / सम्मुख, मान लीजिए आसन्न भुजा 8 है और सम्मुख भुजा 15 है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण की गणना √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 के रूप में की जाती है। परिणामस्वरूप, cos θ का मान = आसन्न / कर्ण = 8 / 17 है।

मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है √((1 - cos θ)/(1 + cos θ)), जो tan(θ/2) के लिए अर्ध-कोण सूत्र है। cos θ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

√((1 - 8/17)/(1 + 8/17)) = √(((17 - 8)/17)/((17 + 8)/17)) = √((9/17)/(25/17)) = √(9/25) = 3/5.

इस प्रकार, मान 3 / 5 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, चाप की लंबाई, वृत्त की त्रिज्या और रेडियन में मापे गए कोण के बीच मौलिक संबंध द्वारा निर्धारित किया जाता है। चाप की लंबाई के लिए मानक सूत्र s = rθ है, जहाँ s परिधि के साथ तय की गई चाप की लंबाई को दर्शाता है, r वृत्त की त्रिज्या है, और θ केंद्र पर अंतरित कोण है जिसे रेडियन में मापा जाता है।

इस विशिष्ट समस्या में, दिए गए मान हैं: चाप की लंबाई s = 4π मीटर त्रिज्या r = 8 मीटर

θ के लिए हल करने के लिए सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करना: 4π = 8 × θ θ = 4π/8 θ = π/2 रेडियन

इसलिए, केंद्र पर अंतरित कोण π/2 रेडियन है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है। डिग्री में, यह कोण 90° के बराबर है।

व्याख्या

पहले कथन के लिए, बायां पक्ष (cos²θ - sin²θ)/(cos²θ + sin²θ) है। मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ + sin²θ = 1 का उपयोग करके, व्यंजक cos²θ - sin²θ तक सरल हो जाता है। अब दायां पक्ष: cos²θ(1 + tanθ)(1 - tanθ) पर विचार करें। बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)(a-b) = a² - b² लागू करने पर, यह cos²θ(1 - tan²θ) बन जाता है। tan²θ = sin²θ/cos²θ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें cos²θ(1 - sin²θ/cos²θ) = cos²θ - sin²θ मिलता है। चूंकि दोनों पक्ष बराबर हैं, कथन 1 सही है।

दूसरे कथन के लिए, दायां पक्ष (tanθ + secθ)² है। इन दोनों को साइन और कोसाइन के पदों में व्यक्त करने पर, हमारे पास (sinθ/cosθ + 1/cosθ)² = ((1 + sinθ)/cosθ)² = (1 + sinθ)²/cos²θ है। सर्वसमिका cos²θ = 1 - sin²θ का उपयोग करके, व्यंजक (1 + sinθ)²/(1 - sin²θ) बन जाता है। हर को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित करने पर, हमें (1 + sinθ)²/((1 - sinθ)(1 + sinθ)) मिलता है। सामान्य पद (1 + sinθ) को सरल करने पर (1 + sinθ)/(1 - sinθ) प्राप्त होता है, जो बाएं पक्ष से मेल खाता है। इस प्रकार, कथन 2 भी सही है। दोनों कथन सही हैं, जिससे विकल्प सी सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

बायां पक्ष के दोनों पदों से cosθ को एक सामान्य गुणनखंड के रूप में लेकर दिए गए समीकरण को सरल करें: cosθ ( 1/(1 - sinθ) - 1/(1 + sinθ) ) = 2 ब्रैकेट के अंदर भिन्नों को सामान्य हर (1 - sinθ)(1 + sinθ) लेकर संयोजित करें: cosθ ( ((1 + sinθ) - (1 - sinθ))/((1 - sinθ)(1 + sinθ)) ) = 2 cosθ ( 2sinθ/(1 - sin²θ) ) = 2 मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ + sin²θ = 1 का उपयोग करके, हम हर में 1 - sin²θ = cos²θ प्रतिस्थापित कर सकते हैं: cosθ ( 2sinθ/cos²θ ) = 2 2sinθ/cosθ = 2 2tanθ = 2 tanθ = 1 θ का वह मान जो दिए गए विकल्पों में tanθ = 1 को संतुष्ट करता है, वह θ = π/4 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्तीय माप में दो कोण x और y हैं। समस्या के अनुसार, वृत्तीय माप में उनका योग 1 है, जिससे समीकरण x + y = 1 प्राप्त होता है। डिग्री माप में कोणों का अंतर भी 1 है। वृत्तीय माप (रेडियन) को डिग्री माप में बदलने के लिए, हम मानक संबंध डिग्री = रेडियन × 180/π का उपयोग करते हैं। इसलिए, डिग्री में अंतर को x(180/π) - y(180/π) = 1 के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस समीकरण को सरल बनाने पर, हमें x - y = π/180 प्राप्त होता है। अब हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है: x + y = 1 और x - y = π/180। इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 1 + π/180 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x = 1/2 + π/360 प्राप्त होता है। पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर 2y = 1 - π/180 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर y = 1/2 - π/360 प्राप्त होता है। इस प्रकार, वृत्तीय माप में दो कोण (1/2 - π/360) और (1/2 + π/360) हैं, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

साइन फलन अंतराल [0, 90 डिग्री] में सख्ती से बढ़ रहा है। चूँकि 0 < x < 45 और 45 < y < 90 है, इसलिए x < y है, और इसलिए sin x < sin y है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें। हमारे पास sin 60° = √3/2, cot 30° = √3, sec 45° = √2, cos 60° = 1/2, tan 45° = 1, और tan 60° = √3 है।

इन मानों को व्यंजक में रखने पर: sin³ 60° cot 30° - 2sec² 45° + 3cos 60° tan 45° - tan² 60° = (√3/2)³(√3) - 2(√2)² + 3(1/2)(1) - (√3)² = (3√3/8)(√3) - 2(2) + 3/2 - 3 = (3 × 3)/8 - 4 + 3/2 - 3 = 9/8 + 3/2 - 7

हल करने के लिए, 8 का सामान्य भाजक लें: = (9 + 12 - 56)/8 = (21 - 56)/8 = -35/8

परिणाम -35/8 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

व्यंजक (p sec θ - q csc θ)/(p sec θ + q csc θ) को देखते हुए, हम मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं sec θ = 1/cos θ और csc θ = 1/sin θ का उपयोग करके व्यंजक को (p/cos θ - q/sin θ)/(p/cos θ + q/sin θ) के रूप में पुनः लिखते हैं।

अंश और हर दोनों में sin θ cos θ का उभयनिष्ठ हर लेकर, व्यंजक (p sin θ - q cos θ)/(p sin θ + q cos θ) तक सरल हो जाता है। tan θ के दिए गए मान का उपयोग करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cos θ से विभाजित करते हैं, जिससे (p tan θ - q)/(p tan θ + q) प्राप्त होता है।

अब, इस सरलीकृत रूप में tan θ = p/q का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर: (p(p/q) - q)/(p(p/q) + q) = (p²/q - q)/(p²/q + q) = ((p² - q²)/q)/((p² + q²)/q)

अंश और हर से उभयनिष्ठ हर q को रद्द करने पर, हमें अंतिम परिणाम प्राप्त होता है: (p² - q²)/(p² + q²)

यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

इसे हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ = 1 - cos² θ का उपयोग करते हैं। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर cos θ - 2 + (1 - cos² θ) प्राप्त होता है, जो -cos² θ + cos θ - 1 को सरल करता है। मान लीजिए x = cos θ, जहाँ x का मान [-1, 1] की सीमा में होना चाहिए। व्यंजक एक द्विघात फलन f(x) = -x² + x - 1 बन जाता है।

इस द्विघात के चिन्ह को निर्धारित करने के लिए, हम इसके विविक्तकर D = b² - 4ac की जाँच कर सकते हैं। यहाँ, a = -1, b = 1, और c = -1 है, इसलिए D = 1² - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3। चूँकि विविक्तकर ऋणात्मक है और x² का गुणांक ऋणात्मक है, द्विघात व्यंजक सभी वास्तविक मानों x के लिए सदैव ऋणात्मक होता है।

वैकल्पिक रूप से, वर्ग को पूरा करके, हम -(x² - x + 1) = -[(x - 1/2)² + 3/4] = -(x - 1/2)² - 3/4 प्राप्त करते हैं। चूँकि (x - 1/2)² सदैव अऋणात्मक होता है, व्यंजक का अधिकतम मान -3/4 होता है जब x = 1/2। इसलिए, व्यंजक का मान सदैव शून्य से कम होता है, जिससे विकल्प A सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

दिया गया है cot θ = 2xy/(x² - y²), हम एक समकोण त्रिभुज में कोटैंजेंट फलन की परिभाषा का उपयोग करते हैं, जहाँ cot θ = संलग्न भुजा/सम्मुख भुजा। इस प्रकार, हम संलग्न भुजा को 2xy और सम्मुख भुजा को x² - y² मान सकते हैं। cos θ ज्ञात करने के लिए, हमें पहले कर्ण h की आवश्यकता है, जिसकी गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है:

h = √((संलग्न भुजा)² + (सम्मुख भुजा)²) h = √((2xy)² + (x² - y²)²) h = √(4x²y² + (x⁴ - 2x²y² + y⁴)) h = √(x⁴ + 2x²y² + y⁴) h = √((x² + y²)²) h = x² + y²

अब, कोसाइन के सूत्र का उपयोग करके, cos θ = संलग्न भुजा/कर्ण, हम प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

cos θ = 2xy/(x² + y²)

यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक व्यक्ति और उसकी छाया द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज के लिए मौलिक त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करते हुए, उन्नयन कोण की स्पर्शज्या (tangent) व्यक्ति की ऊँचाई और छाया की लम्बाई का अनुपात है। इसलिए, tan θ = s/L, जहाँ s ऊँचाई है और L छाया की लम्बाई है।

पहले मामले के लिए, कोण α और छाया की लम्बाई ρ के साथ, हमारे पास है: tan α = s/ρ ⇒ ρ = s/tan α

दूसरे मामले के लिए, कोण β = 3α और छाया की लम्बाई q के साथ, हमारे पास है: tan 3α = s/q ⇒ q = s/tan 3α

अंतर ρ - q ज्ञात करने के लिए, हम उपरोक्त व्युत्पन्न व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं: ρ - q = s/tan α - s/tan 3α

s को गुणनखंडित करके और सामान्य भाजक tan α tan 3α लेकर, हमें प्राप्त होता है: ρ - q = s (1/tan α - 1/tan 3α) ρ - q = s ((tan 3α - tan α)/(tan α tan 3α))

यह व्यंजक विकल्प c से पूरी तरह मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज के कोण a - d, a, और a + d हैं। चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180° होता है, इसलिए हमारे पास (a - d) + a + (a + d) = 180° है। इसे सरल करने पर 3a = 180° प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है a = 60°। प्रश्न के अनुसार, सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे कोण का दोगुना है, इसलिए a + d = 2(a - d)। इस समीकरण में a = 60° रखने पर, हमें 60 + d = 2(60 - d) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 60 + d = 120 - 2d प्राप्त होता है। d के लिए हल करने पर, हमें 3d = 60 मिलता है, इसलिए d = 20°। अतः तीन कोण 60 - 20 = 40°, 60°, और 60 + 20 = 80° हैं। इन कोणों का अनुपात 40 : 60 : 80 है, जिसे सरल करने पर 2 : 3 : 4 प्राप्त होता है। चूँकि डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए π/180 से गुणा किया जाता है, रेडियन माप में अनुपात अपरिवर्तित रहता है। इस प्रकार, अनुपात 2 : 3 : 4 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण को दिए गए उत्तर कुंजी और प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में पाए जाने वाले मानक त्रिकोणमितीय पैटर्न के आधार पर sin θ + √3 cos θ = 2 के रूप में समझा गया है। इसे हल करने के लिए, हम सहायक कोण सूत्र a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) cos(θ - α) का उपयोग करते हैं, जहाँ tan α = a/b।

यहाँ, a = 1 और b = √3 है। आयाम √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2 है। चरण कोण α tan⁻¹(1/√3) = 30° है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2 cos(θ - 30°) = 2 cos(θ - 30°) = 1

चूंकि हम 0 < θ ≤ 90° की सीमा में θ की तलाश कर रहे हैं, cos x = 1 का एकमात्र हल x = 0° है। θ - 30° = 0° θ = 30°

वैकल्पिक रूप से, विकल्पों को प्रतिस्थापित करके: θ = 30° के लिए, sin 30° = 1/2 और cos 30° = √3/2। LHS = 1/2 + √3(√3/2) = 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2। चूंकि LHS, RHS के बराबर है, θ = 30° सही मान है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई शर्त 0 < θ < φ < 90° के अनुसार, हम शामिल त्रिकोणमितीय फलनों की सीमा का विश्लेषण करते हैं। किसी भी कोण α के लिए जहाँ 0° < α < 90°, sin α का मान 0 और 1 के बीच होता है, अर्थात 0 < sin α < 1। इसी प्रकार, cos α का मान भी 0 और 1 के बीच होता है, अर्थात 0 < cos α < 1।

इन मानों का वर्ग करने पर, हमें 0 < sin² θ < 1 और 0 < cos² φ < 1 प्राप्त होता है। इन दो सख्त असमानताओं को एक साथ जोड़ने पर, हमें 0 + 0 < sin² θ + cos² φ < 1 + 1 प्राप्त होता है, जो 0 < sin² θ + cos² φ < 2 को सरल बनाता है। यह सीधे विकल्प c को मान्य करता है।

विकल्प a की जाँच करने के लिए, हम सर्वसमिका (sin θ + cos θ)² = sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ = 1 + sin 2θ का उपयोग करते हैं। चूँकि sin 2θ का अधिकतम मान 1 है, इस व्यंजक का अधिकतम मान 2 है, जो इस दावे का खंडन करता है कि यह 2 से अधिक है। चूँकि sin² θ और cos² φ दोनों 1 से सख्ती से कम हैं, उनका योग कभी भी 2 के बराबर नहीं हो सकता है, जिससे विकल्प c में सख्त असमानता सबसे सटीक विवरण बन जाती है।

व्याख्या

विकल्प d में दिया गया कथन गलत है क्योंकि शर्त A ∩ B = ϕ असंयुक्त समुच्चयों को परिभाषित करती है, जो ऐसे समुच्चय होते हैं जिनमें कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं होता है। इसका यह अर्थ नहीं है कि समुच्चय में से एक समुच्चय रिक्त होना चाहिए। उदाहरण के लिए, दो अरिक्त समुच्चयों A = {1, 2} और B = {3, 4} पर विचार करें। सर्वनिष्ठ A ∩ B = ϕ है क्योंकि कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं हैं, फिर भी A ≠ ϕ और B ≠ ϕ। इस प्रकार, यह दावा कि या तो A या B रिक्त समुच्चय होना चाहिए, तार्किक रूप से गलत है। अन्य विकल्प उपसमुच्चयों के मानक गुणधर्म हैं: यदि A ⊆ B, तो सर्वनिष्ठ B ∪ A = B, सर्वनिष्ठ B ∩ A = A, और अंतर A - B = ϕ, जिससे A ∩ (A - B) = ϕ होता है।

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय। सबसे पहले, लड़के द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना करें: कुल दूरी = 8 किमी + 6 किमी + 4 किमी = 18 किमी। अगला, समय = दूरी / गति संबंध का उपयोग करके यात्रा के प्रत्येक खंड के लिए लिया गया समय ज्ञात करें। पहले भाग के लिए, t₁ = 8/4 = 2 घंटे। दूसरे भाग के लिए, t₂ = 6/3 = 2 घंटे। तीसरे भाग के लिए, t₃ = 4/2 = 2 घंटे। पूरी यात्रा के लिए लिया गया कुल समय t = 2 + 2 + 2 = 6 घंटे है। इन कुल मानों को औसत गति सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें औसत गति = 18 किमी / 6 घंटे = 3 किमी/घंटा प्राप्त होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम लघुगणक (logarithm) के आधार परिवर्तन गुण (change of base property) का उपयोग करते हैं, विशेष रूप से आधार की घात से संबंधित नियम: logₐⁿ b = 1/n logₐ b। दिए गए व्यंजक log₁₃(10)/log₁₆₉(10) में, हम देखते हैं कि हर (denominator) में आधार 169 है, जिसे 13² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

हर में आधार घात नियम लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: log₁₆₉(10) = log₁₃²(10) = 1/2 log₁₃(10)।

अब, इस मान को मूल भिन्न (fraction) में वापस प्रतिस्थापित करें: log₁₃(10)/(1/2 log₁₃(10))।

पद log₁₃(10) अंश (numerator) और हर दोनों में दिखाई देता है, इसलिए वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं: 1/(1/2) = 1 × 2 = 2।

इस प्रकार, व्यंजक का मान 2 है, जो विकल्प (b) के संगत है।

व्याख्या

मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी (GP) में चार संख्याएँ a, ar, ar², ar³ हैं, जहाँ a पहला पद है और r सार्व अनुपात है। समस्या के अनुसार, तीसरा पद पहले पद से 9 अधिक है, जिससे समीकरण ar² = a + 9 प्राप्त होता है, या a(r² - 1) = 9। दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक है, जिससे समीकरण ar = ar³ + 18 प्राप्त होता है, या ar(1 - r²) = 18। इसे -ar(r² - 1) = 18 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। r ज्ञात करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करते हैं: -ar(r² - 1) / a(r² - 1) = 18/9। यह -r = 2 तक सरल हो जाता है, इसलिए r = -2। r के मान को पहले समीकरण a(r² - 1) = 9 में प्रतिस्थापित करने पर, हमें a((-2)² - 1) = 9 प्राप्त होता है, जो a(4 - 1) = 9, या 3a = 9 तक सरल हो जाता है। a के लिए हल करने पर, हमें a = 3 मिलता है। इस प्रकार, GP का पहला पद 3 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

27 (81)^(2n+3) = 3^m => 3^3 (3^4)^(2n+3) = 3^m => 3^3 * 3^(8n+12) = 3^m => 3^(8n+15) = 3^m। अतः, m = 8n + 15।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का हरात्मक माध्य (HM) सूत्र HM = 2ab/(a + b) का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। हम उनके मानों को निर्धारित करने के लिए इस सूत्र को सीधे तीन दिए गए युग्मों पर लागू कर सकते हैं।

युग्म 1 (8, 12) के लिए: HM = 2 × 8 × 12/(8 + 12) = 192/20 = 9.6

युग्म 2 (9, 11) के लिए: HM = 2 × 9 × 11/(9 + 11) = 198/20 = 9.9

युग्म 3 (6, 24) के लिए: HM = 2 × 6 × 24/(6 + 24) = 288/30 = 96/10 = 9.6

परिकलित मानों की तुलना करके, हम देखते हैं कि युग्म 1 और युग्म 3 का हरात्मक माध्य समान है, दोनों 9.6 के बराबर हैं। युग्म 2 का हरात्मक माध्य 9.9 है, जो भिन्न है। इस प्रकार, केवल युग्म 1 और 3 का हरात्मक माध्य समान है, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

मान लीजिए तीन भिन्न धनात्मक पूर्णांक a, b, और c हैं, जैसे कि a < b < c। तीन संख्याओं का माध्यिका आरोही क्रम में व्यवस्थित होने पर मध्य मान होता है, इसलिए हमारे पास b = 5 है। अंकगणितीय माध्य को न्यूनतम करने के लिए, हमें तीन पूर्णांकों के योग, S = a + b + c को न्यूनतम करना होगा। चूँकि पूर्णांक धनात्मक और भिन्न होने चाहिए, a के लिए सबसे छोटा संभव मान a = 1 है। इसी प्रकार, चूँकि c, b से बड़ा होना चाहिए, c के लिए सबसे छोटा संभव मान c = 6 है। इन मानों को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें S = 1 + 5 + 6 = 12 प्राप्त होता है। अंकगणितीय माध्य का सूत्र Mean = S/n है, जहाँ n अवलोकनों की संख्या है। S = 12 और n = 3 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Mean = 12/3 = 4 प्राप्त होता है। इस प्रकार, अंकगणितीय माध्य का न्यूनतम संभव मान 4 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक हिस्टोग्राम एक आवृत्ति वितरण का एक ग्राफिकल निरूपण है जहाँ प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल संबंधित वर्ग अंतराल की आवृत्ति के समानुपाती होता है। डेटासेट का बहुलक वह मान है जो सबसे अधिक बार आता है, जो हिस्टोग्राम में सबसे ऊँचे आयत (बहुलक वर्ग) के अनुरूप होता है।

ग्राफिक रूप से सटीक बहुलक निर्धारित करने के लिए, सबसे ऊँचे आयत के ऊपरी कोनों से इसके बाईं और दाईं ओर के तत्काल आयतों के ऊपरी कोनों तक रेखाएँ खींची जाती हैं। जहाँ ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, उस बिंदु को फिर x-अक्ष पर लंबवत रूप से प्रक्षेपित किया जाता है, और इस बिंदु पर मान बहुलक होता है। यह ग्राफिकल विधि समूहीकृत डेटा सूत्र बहुलक = l + ((f₁ - f₀)/(2f₁ - f₀ - f₂)) × h पर आधारित है, जहाँ l बहुलक वर्ग की निचली सीमा है, f₁ बहुलक वर्ग की आवृत्ति है, f₀ पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति है, f₂ अनुवर्ती वर्ग की आवृत्ति है, और h वर्ग की चौड़ाई है। जबकि माध्य और माध्यिका के लिए सटीक गणना हेतु मूल डेटा या आवृत्ति तालिका की आवश्यकता होती है, बहुलक को सीधे हिस्टोग्राम की दृश्य चोटी से पहचाना जा सकता है।

व्याख्या

प्राथमिक आँकड़े वे सूचनाएँ होती हैं जिन्हें किसी अन्वेषक द्वारा किसी विशिष्ट उद्देश्य के लिए पहली बार सीधे मूल स्रोत से एकत्र किया जाता है। दिए गए उदाहरणों में, घर-घर जाकर (उदाहरण 1) और टेलीफोनिक साक्षात्कार (उदाहरण 3) में अन्वेषक उत्तरदाताओं के साथ सीधे संपर्क करके नई जानकारी एकत्र करता है, जो उन्हें प्राथमिक आँकड़े के रूप में दर्शाता है। दूसरी ओर, भारत की जनगणना के अभिलेखों (उदाहरण 2) से एकत्र किए गए आँकड़े द्वितीयक आँकड़े होते हैं क्योंकि जानकारी पहले ही तीसरे पक्ष (सरकार) द्वारा एकत्र, संसाधित और प्रकाशित की जा चुकी होती है। इसलिए, केवल कथन 1 और 3 प्राथमिक आँकड़ों के उदाहरण हैं, जिससे विकल्प b सही उत्तर है।

व्याख्या

ज्यामितीय माध्य = (125 729 1331)^(1/3). चूँकि 125 = 5^3, 729 = 9^3, और 1331 = 11^3, इसलिए GM 5 9 11 = 495 है।