सीडीएस II 2016 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

समीकरण log10[1 - {1 - (1 - x²)⁻¹}⁻¹]^(1/2) = 1 है। आंतरिक व्यंजक को सरल करने पर: (1 - x²)⁻¹ = 1/(1 - x²)। फिर 1 - 1/(1 - x²) = (1 - x² - 1)/(1 - x²) = -x²/(1 - x²)। इसका व्युत्क्रम (1 - x²)/(-x²) = (x² - 1)/x² है। फिर 1 - (x² - 1)/x² = 1/x²। समीकरण log10(1/x²)^(1/2) = log10(1/|x|) = 1 बन जाता है। इसका तात्पर्य है कि 1/|x| = 10, इसलिए |x| = 0.1। कोई भी विकल्प 0.1 से मेल नहीं खाता है। हालाँकि, यदि घातांक 1/2, -1/2 होता, तो समीकरण log10(x) = 1 होता, जिससे x = 10 प्राप्त होता। उत्तर कुंजी B होने को देखते हुए, प्रश्न के घातांक में एक संभावित टाइपो है, लेकिन B ही इच्छित उत्तर है।

व्याख्या

माना f(x) = 4x² - 16x + λ/4 है। मूलों α और β के लिए 1 < α < 2 और 2 < β < 3 को संतुष्ट करने के लिए, शर्तें हैं f(1) > 0, f(2) < 0, और f(3) > 0। f(1) = 4 - 16 + λ/4 = λ/4 - 12 > 0 का अर्थ है λ > 48। f(2) = 16 - 32 + λ/4 = λ/4 - 16 < 0 का अर्थ है λ < 64। f(3) = 36 - 48 + λ/4 = λ/4 - 12 > 0 का अर्थ है λ > 48। इस प्रकार, 48 < λ < 64। पूर्णांक λ जो मान ले सकता है वे {49, 50, ..., 63} हैं, जो 63 - 49 + 1 = 15 मान हैं।

व्याख्या

अंश: 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 = 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 330. हर: sqrt(7 + 4sqrt(3)) - sqrt(4 + 2sqrt(3)). ध्यान दें कि 7 + 4sqrt(3) = (2 + sqrt(3))^2 और 4 + 2sqrt(3) = (sqrt(3) + 1)^2. हर (2 + sqrt(3)) - (sqrt(3) + 1) = 1 है. परिणाम 330 / 1 = 330 है.

व्याख्या

दिए गए समीकरण हैं x² = y + z, y² = z + x, और z² = x + y। संबंधित समीकरणों में x, y, और z जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: x² + x = x + y + z y² + y = x + y + z z² + z = x + y + z

मान लीजिए S = x + y + z। इसका तात्पर्य है कि x, y, और z द्विघात समीकरण t² + t - S = 0 के मूल हैं। एक द्विघात समीकरण के अधिकतम दो भिन्न मूल हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि चर x, y, z में से कम से कम दो बराबर होने चाहिए।

एक त्वरित प्रतियोगिता-शैली दृष्टिकोण के लिए, हम सममित स्थिति का परीक्षण करते हैं जहाँ x = y = z। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x² = x + x ⇒ x² = 2x ⇒ x(x - 2) = 0 चूंकि व्यंजक 1/(x + 1) + 1/(y + 1) + 1/(z + 1) का परिणाम दिए गए विकल्पों में से एक होना चाहिए, हम x = 2 का परीक्षण करते हैं। यदि x = 2, तो y = 2 और z = 2। व्यंजक का मान है: 1/(2 + 1) + 1/(2 + 1) + 1/(2 + 1) = 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1

यह विकल्प B से मेल खाता है। उन मामलों में जहाँ x ≠ z, t² + t - S = 0 के मूल x + z = -1 को संतुष्ट करते हैं। यह बीजगणितीय रूप से दिखाया जा सकता है कि 1/(x+1) + 1/(z+1) = 1/xz है, और इसे y = x और संबंध x² = -1 के साथ मिलाने पर भी अंतिम परिणाम 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण 5P9 + 3R7 + 2Q8 = 1114 को (509 + 10P) + (307 + 10R) + (208 + 10Q) = 1114 के रूप में लिखा जा सकता है। यह 1024 + 10(P + R + Q) = 1114 को सरल करता है, इसलिए 10(P + R + Q) = 90, जिसका अर्थ है P + R + Q = 9। Q को अधिकतम करने के लिए, P = 0 और R = 0 मान लें, तब Q = 9।

व्याख्या

दी गई शर्तें बताती हैं कि संख्या n, 2, 3, 4, 5 और 6 से विभाजित होने पर क्रमशः 1, 2, 3, 4 और 5 शेषफल छोड़ती है। प्रत्येक स्थिति में, भाजक और शेषफल के बीच का अंतर स्थिर है: 2-1 = 1, 3-2 = 1, 4-3 = 1, 5-4 = 1, और 6-5 = 1। यह दर्शाता है कि n+1, 2, 3, 4, 5 और 6 से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए।

सबसे छोटा ऐसा धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करने के लिए, हम लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के सूत्र का उपयोग करते हैं। 2, 3, 4, 5 और 6 का LCM इस प्रकार गणना की जाती है: अभाज्य गुणनखंड 2=2¹, 3=3¹, 4=2², 5=5¹, और 6=2 × 3 हैं। LCM = 2² × 3¹ × 5¹ = 4 × 3 × 5 = 60।

पूर्णांक का सामान्य रूप n = 60k - 1 है, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है। k=1 के लिए, n = 60(1) - 1 = 59। k=2 के लिए, n = 60(2) - 1 = 119। चूँकि हम 0 और 100 के बीच पूर्णांकों की तलाश कर रहे हैं, केवल n=59 शर्त को पूरा करता है। इसलिए, केवल एक ऐसा पूर्णांक है, जिससे विकल्प (b) सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। समस्या के अनुसार, 8x - x/8 = 2016। इससे (63x)/8 = 2016 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने पर: x = (2016 8) / 63 = 32 8 = 256।

व्याख्या

वास्तविक मूलों के लिए, विविक्तकर D = a^2 - 4b >= 0 होना चाहिए, इसलिए a^2 >= 4b। दिया गया है कि a, b समुच्चय {1, 2, 3, 4} में हैं: यदि a=1, 1 >= 4b (कोई b नहीं); यदि a=2, 4 >= 4b (b=1); यदि a=3, 9 >= 4b (b=1, 2); यदि a=4, 16 >= 4b (b=1, 2, 3, 4)। कुल युग्म: 1 + 2 + 4 = 7।

व्याख्या

माना पूर्णांक x और y हैं (x > y)। x^2 + y^2 = 208 और x^2 = 18y। x^2 को प्रतिस्थापित करने पर: 18y + y^2 = 208, इसलिए y^2 + 18y - 208 = 0। द्विघात समीकरण को हल करने पर: y = (-18 + sqrt(324 + 832))/2 = (-18 + 34)/2 = 8। तब x^2 = 18*8 = 144, इसलिए x = 12। अंतर x - y = 12 - 8 = 4।

व्याख्या

समुच्चय अंतर A - B में वे अवयव होते हैं जो समुच्चय A में तो उपस्थित हैं लेकिन समुच्चय B में नहीं। दिया गया है A = {7, 8, 9, 10, 11, 12} और B = {7, 10, 14, 15}, हम पहले सर्वनिष्ठ A ∩ B की पहचान करते हैं, जिसमें दोनों समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयव होते हैं। यहाँ, A ∩ B = {7, 10}। समुच्चय अंतर की गणनांक के सूत्र, n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) का उपयोग करके, हमें 6 - 2 = 4 प्राप्त होता है। विशिष्ट अवयव {8, 9, 11, 12} हैं। इसी प्रकार, समुच्चय अंतर B - A के लिए, हम सूत्र n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B) का उपयोग करते हैं, जिससे 4 - 2 = 2 प्राप्त होता है। विशिष्ट अवयव {14, 15} हैं। इस प्रकार, (A - B) और (B - A) में अवयवों की संख्या क्रमशः 4 और 2 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

दैनिक बचत = 4.65 = 465/100 = 93/20 रुपये। कुल बचत (93/20)*n के पूर्णांक होने के लिए, n 20 का गुणज होना चाहिए। दिनों की न्यूनतम संख्या 20 है।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि विजेता एक वृत्ताकार दौड़ में धीमे धावक को कितनी बार पार करता है, हम उस संख्या का निर्धारण करते हैं जितने चक्कर विजेता दूसरे पर बढ़त बनाता है। दौड़ में कुल चक्करों की संख्या की गणना सूत्र कुल दूरी/चक्कर की लंबाई = 4 किमी/0.25 किमी = 16 चक्कर का उपयोग करके की जाती है। मान लीजिए A और B की गति क्रमशः 5v और 4v है। विजेता A द्वारा दौड़ पूरी करने में लिया गया समय T = 4/5v है। इस अवधि में, B द्वारा तय की गई दूरी दूरीᵦ = 4v × 4/5v = 3.2 किमी है। A द्वारा B पर पूरी दौड़ के दौरान हासिल की गई सापेक्ष दूरी 4 किमी - 3.2 किमी = 0.8 किमी है। A द्वारा B को पार करने की संख्या, B पर A द्वारा हासिल किए गए पूर्ण चक्करों की संख्या है, जो कि सापेक्ष दूरी/चक्कर की लंबाई = 0.8 किमी/0.25 किमी = 3.2 है। चूंकि एक पार केवल तब होता है जब प्रतिद्वंद्वी के सापेक्ष एक पूर्ण चक्कर पूरा हो जाता है, हम इस मान के पूर्णांक भाग को लेते हैं, जो कि 3 है। इस प्रकार, विजेता दूसरे को तीन बार पार करता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी परिमेय संख्या p/q को उसके सरलतम रूप में व्यक्त करने पर, उसका दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि हर q का अभाज्य गुणनखंड 2ⁿ 5ᵐ के रूप का हो, जहाँ n और m गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। यदि हर के अभाज्य गुणनखंडन में 2 या 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड शामिल है, तो दशमलव प्रसार अशांत और आवर्ती होता है।

दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन: विकल्प (a) में, 15/1600 सरल होकर 3/320 हो जाता है। हर 320 = 2⁶ × 5 है, जिसमें केवल 2 और 5 शामिल हैं, इसलिए यह शांत है। विकल्प (b) में, 23/8 का हर 8 = 2³ है, इसलिए यह शांत है। विकल्प (c) में, 35/50 सरल होकर 7/10 हो जाता है। हर 10 = 2 × 5 है, इसलिए यह शांत है। विकल्प (d) में, 17/6 पहले से ही सरलतम रूप में है। हर का अभाज्य गुणनखंडन 6 = 2 × 3 है। चूंकि इसमें अभाज्य गुणनखंड 3 शामिल है, जो 2 या 5 से भिन्न है, इसलिए दशमलव प्रसार अशांत और आवर्ती है। अतः, विकल्प (d) सही उत्तर है।

व्याख्या

दिए गए बहुपद 25x² - 15x + 2 के लिए, मान लीजिए शून्यक α और β हैं। गुणांकों और शून्यकों के बीच संबंधों के अनुसार, शून्यकों का योग α + β = -b/a = -(-15)/25 = 3/5 है और शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a = 2/25 है।

नए शून्यक 1/(2α) और 1/(2β) के रूप में दिए गए हैं। मान लीजिए S इन नए शून्यकों का योग और P गुणनफल है। योग S = 1/(2α) + 1/(2β) = (α + β)/(2αβ)। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, S = (3/5)/(2(2/25)) = (3/5)/(4/25) = 3/5 × 25/4 = 15/4। गुणनफल P = 1/(2α) × 1/(2β) = 1/(4αβ)। ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर, P = 1/(4(2/25)) = 1/(8/25) = 25/8।

योग S और गुणनफल P वाला एक द्विघात बहुपद सूत्र k(x² - Sx + P) द्वारा दिया जाता है। हरों को समाप्त करने के लिए k = 8 सेट करने पर, हमें प्राप्त होता है: 8(x² - 15/4x + 25/8) = 8x² - 30x + 25। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

फर्मा के छोटे प्रमेय (Fermat's Little Theorem) के अनुसार, यदि p अभाज्य है, तो a^(p-1) mod p = 1 होता है। p = 101 और a = 2 के लिए, 2^(100) mod 101 = 1।

व्याख्या

मान लीजिए कि कार्यालय में कर्मचारियों की कुल संख्या x है। समस्या के आधार पर, महिलाओं की संख्या 1/3x है। परिणामस्वरूप, पुरुषों की संख्या x - 1/3x = 2/3x है। विवाहित महिलाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल महिलाओं को विवाहित महिलाओं के दिए गए अंश से गुणा करते हैं: विवाहित महिलाएँ = 1/2 × 1/3x = 1/6x। इसी प्रकार, विवाहित पुरुषों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल पुरुषों को विवाहित पुरुषों के दिए गए अंश से गुणा करते हैं: विवाहित पुरुष = 3/4 × 2/3x = 1/2x। विवाहित महिलाओं और विवाहित पुरुषों का अनुपात 1/6x : 1/2x के रूप में गणना की जाती है। दो भिन्नों को विभाजित करके इस अनुपात को सरल बनाने पर 1/6 ÷ 1/2 = 1/6 × 2/1 = 2/6 = 1/3 प्राप्त होता है। इसलिए, अनुपात 1:3 है, जो विकल्प d से मेल खाता है। बच्चों की संख्या के संबंध में प्रदान किया गया डेटा एक भ्रामक तत्व है और विवाहित वयस्कों के अनुपात को हल करने के लिए आवश्यक नहीं है।

व्याख्या

मान लीजिए B की दक्षता Eᵦ है। चूँकि A समान समय में B की तुलना में 50% अधिक कार्य कर सकता है, A की दक्षता Eₐ = 1.5 Eᵦ है। दक्षता का अनुपात Eₐ : Eᵦ = 1.5 : 1 = 3 : 2 है। गणना को सरल बनाने के लिए, मान लीजिए B की दक्षता 2 इकाई प्रति घंटा है और A की दक्षता 3 इकाई प्रति घंटा है।

कुल कार्य की गणना सूत्र कार्य = दक्षता × समय का उपयोग करके की जाती है। यह देखते हुए कि B अकेले 30 घंटे में कार्य पूरा कर सकता है, कुल कार्य W = 2 × 30 = 60 इकाई है।

B अकेले 12 घंटे काम करता है, 2 × 12 = 24 इकाई कार्य पूरा करता है। शेष कार्य 60 - 24 = 36 इकाई है। जब A, B से जुड़ता है, तो उनकी संयुक्त दक्षता Eₐ₊ᵦ = 3 + 2 = 5 इकाई प्रति घंटा हो जाती है। शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय की गणना शेष कार्य / संयुक्त दक्षता = 36 / 5 = 7.2 घंटे के रूप में की जाती है। इस प्रकार, विकल्प (d) 7.2 घंटे का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

चूंकि तय की गई दूरी समान है, गति और समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। मूल गति S और मूल समय T मान लीजिए। नई गति S + S का 20% = 1.2S है। दूरी = गति × समय सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरण S × T = 1.2S × (T - 20) स्थापित कर सकते हैं। दोनों पक्षों को S से विभाजित करने पर T = 1.2(T - 20) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर T = 1.2T - 24 मिलता है। T को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 0.2T = 24 मिलता है, जिससे T = 24/0.2 = 120 मिनट प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, तेज गणना के लिए अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, गति 100% से 120% तक बढ़ जाती है, जो 5:6 का अनुपात है। चूंकि स्थिर दूरी के लिए समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए मूल समय और नए समय का अनुपात 6:5 है। अनुपातों के बीच का अंतर 6 - 5 = 1 इकाई है। यह देखते हुए कि यह अंतर 20 मिनट के बराबर है, एक इकाई 20 मिनट का प्रतिनिधित्व करती है। इसलिए, मूल समय, जो 6 इकाई है, 6 × 20 = 120 मिनट है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए T परीक्षा के लिए अधिकतम अंक हैं। उत्तीर्ण अंकों को दोनों उम्मीदवारों के लिए प्रदान किए गए अंकों और अंतरों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। पहले उम्मीदवार के लिए, x% अंक प्राप्त करने पर वह a अंकों से अनुत्तीर्ण हो जाता है, जिसका अर्थ है कि उत्तीर्ण अंक T का x/100 + a हैं। दूसरे उम्मीदवार के लिए, y% अंक प्राप्त करने पर वह उत्तीर्ण सीमा से b अंक अधिक प्राप्त करता है, जिसका अर्थ है कि उत्तीर्ण अंक T का y/100 - b हैं। चूंकि दोनों के लिए उत्तीर्ण अंक समान हैं, हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं: T का y/100 - b = T का x/100 + a। T के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें T का y/100 - T का x/100 = a + b प्राप्त होता है, जो सरल होकर T/100(y - x) = a + b हो जाता है। T के लिए हल करने पर T = 100(a + b)/(y - x) प्राप्त होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग -b/a द्वारा और मूलों का गुणनफल c/a द्वारा दिया जाता है। दिए गए समीकरण x² + px + q = 0 में, हमारे पास a = 1, b = p, और c = q है। यह देखते हुए कि मूल p और q हैं, हम इन सूत्रों को इस प्रकार लागू कर सकते हैं:

मूलों का योग: p + q = -p/1, जो सरलीकरण पर p + q = -p, या 2p + q = 0 हो जाता है। मूलों का गुणनफल: p · q = q/1, जो सरलीकरण पर pq = q हो जाता है।

गुणनफल समीकरण pq = q से, हमें pq - q = 0 मिलता है, जिसे q(p - 1) = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इससे दो संभावनाएं उत्पन्न होती हैं: q = 0 या p = 1।

स्थिति 1: यदि q = 0, इसे योग समीकरण 2p + q = 0 में प्रतिस्थापित करने पर 2p + 0 = 0 मिलता है, जिसका अर्थ है p = 0। स्थिति 2: यदि p = 1, इसे योग समीकरण 2p + q = 0 में प्रतिस्थापित करने पर 2(1) + q = 0 मिलता है, जिसका अर्थ है q = -2।

इसलिए, p के संभावित मान 0 या 1 हैं, जिससे विकल्प (a) सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

11 किलोग्राम मेवों का मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक वस्तु की इकाई कीमत का क्रमिक रूप से निर्धारण करने हेतु आनुपातिकता के श्रृंखला नियम का प्रयोग करते हैं। सबसे पहले, 1 किलोग्राम चावल का मूल्य 125/2.5 = 50 रुपये के रूप में गणना की जाती है। चूँकि 9 किलोग्राम चावल का मूल्य 4 किलोग्राम दालों के मूल्य के बराबर है, इसलिए 1 किलोग्राम दालों का मूल्य (9 × 50)/4 = 450/4 = 112.5 रुपये है। यह देखते हुए कि 14 किलोग्राम दालों का मूल्य 1.5 किलोग्राम चाय के मूल्य के बराबर है, 1 किलोग्राम चाय का मूल्य (14 × 112.5)/1.5 = 1575/1.5 = 1050 रुपये है। चूँकि 2 किलोग्राम चाय का मूल्य 5 किलोग्राम मेवों के मूल्य के बराबर है, इसलिए 1 किलोग्राम मेवों का मूल्य (2 × 1050)/5 = 2100/5 = 420 रुपये है। अंत में, 11 किलोग्राम मेवों का मूल्य 11 × 420 = 4620 रुपये है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प डी सही उत्तर है।

व्याख्या

1729 को हार्डी-रामानुजन संख्या के रूप में जाना जाता है। इस संख्या में एक अद्वितीय गणितीय गुण है जहाँ यह सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक है जिसे दो धनात्मक पूर्णांकों के घनों के योग के रूप में दो अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। यह तथ्य भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने जी.एच. हार्डी को एक यात्रा के दौरान बताया था, जब हार्डी ने टिप्पणी की थी कि टैक्सी नंबर 1729 काफी नीरस लगता है।

घनों के दो भिन्न युग्म हैं: पहला तरीका: 1729 = 1³ + 12³ = 1 + 1728 = 1729 दूसरा तरीका: 1729 = 9³ + 10³ = 729 + 1000 = 1729

चूंकि ऐसे धनात्मक पूर्णांकों के ठीक दो युग्म हैं जिनके घनों का योग 1729 है, इसलिए विकल्प (c) सही कथन है। यह गुण 1729 को पहली टैक्सीकैब संख्या बनाता है, जिसे संख्या सिद्धांत में Ta(2) के रूप में दर्शाया गया है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने का सबसे तेज़ तरीका क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करना है: शुद्ध % परिवर्तन = x + y + xy/100, जहाँ x क्रय मूल्य में पहली प्रतिशत वृद्धि है और y अंकित मूल्य पर छूट है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x = 20 y = -10 (क्योंकि छूट कमी को दर्शाती है)

शुद्ध % लाभ = 20 + (-10) + (20 × (-10))/100 शुद्ध % लाभ = 10 - 200/100 शुद्ध % लाभ = 10 - 2 = 8%

वैकल्पिक रूप से, आधार विधि का उपयोग करके, मान लीजिए क्रय मूल्य (CP) = 100 है। अंकित मूल्य (MP) में 20% की वृद्धि की जाती है, इसलिए MP = 100 + 100 का 20% = 120। विक्रय मूल्य (SP) की गणना MP पर 10% की छूट लागू करके की जाती है: SP = 120 - (120 का 10%) = 120 - 12 = 108। लाभ प्रतिशत है (SP - CP)/CP × 100 = (108 - 100)/100 × 100 = 8%। इस प्रकार, विकल्प d सही है।

व्याख्या

दो संख्याओं p और q को सह-अभाज्य या सापेक्षतः अभाज्य कहा जाता है यदि उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) HCF(p, q) = 1 हो। इसका मतलब है कि 1 के अलावा उनका कोई सामान्य धनात्मक पूर्णांक गुणनखंड नहीं है। कथन I सही है क्योंकि कोई भी दो भिन्न अभाज्य संख्याएँ, जैसे p = 3 और q = 5, का HCF हमेशा 1 होगा। कथन II सही है क्योंकि एक अभाज्य संख्या और एक भाज्य संख्या सह-अभाज्य हो सकती है, उदाहरण के लिए, p = 7 (अभाज्य) और q = 10 (भाज्य), जहाँ HCF(7, 10) = 1। कथन III सही है क्योंकि दो भाज्य संख्याएँ भी सह-अभाज्य हो सकती हैं यदि उनमें कोई सामान्य अभाज्य गुणनखंड न हो, जैसे p = 8 (भाज्य) और q = 9 (भाज्य), जहाँ HCF(8, 9) = 1। चूँकि तीनों स्थितियाँ गणितीय रूप से संभव हैं, इसलिए विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

व्यंजक √(1 + 1/n² + 1/(n+1)²) के रूप में पदों का योग है। इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका √(1 + 1/n² + 1/(n+1)²) = 1 + 1/n - 1/(n+1) का उपयोग करते हैं। इसे दाएँ पक्ष का वर्ग करके सत्यापित किया जा सकता है: (1 + 1/(n(n+1)))² = 1 + 2/(n(n+1)) + 1/(n²(n+1)²), जो सामान्य हर लेने के बाद वर्गमूल के अंदर व्यंजक को सरल बनाता है।

दिया गया श्रेणी n=1 से n=2007 तक इन पदों का योग है। सामान्य पद Tₙ = 1 + 1/n - 1/(n+1) है। कुल योग S है: S = Σⁿ⁼¹₂₀₀₇ (1 + 1/n - 1/(n+1)) S = Σⁿ⁼¹₂₀₀₇ 1 + Σⁿ⁼¹₂₀₀₇ (1/n - 1/(n+1))

योग का पहला भाग 1 × 2007 = 2007 है। दूसरा भाग एक दूरबीन श्रृंखला है: (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + … + (1/2007 - 1/2008) सभी मध्यवर्ती पद रद्द हो जाते हैं, केवल पहला और अंतिम पद बचते हैं: 1 - 1/2008।

दोनों भागों को एक साथ जोड़ने पर: S = 2007 + 1 - 1/2008 = 2008 - 1/2008

यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, गति = दूरी/समय सूत्र का उपयोग करके अनुप्रवाह गति S_d और उर्ध्वप्रवाह गति S_u की गणना करें। अनुप्रवाह गति S_d = 20 किमी/2 घंटे = 10 किमी/घंटा। उर्ध्वप्रवाह गति S_u = 4 किमी/2 घंटे = 2 किमी/घंटा।

धारा की गति ज्ञात करने के लिए, हम मानक संबंध का उपयोग करते हैं: धारा की गति = (S_d - S_u)/2 गणना किए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना: धारा की गति = (10 - 2)/2 = 8/2 = 4 किमी/घंटा।

इसलिए, धारा की गति 4 किमी/घंटा है, जो विकल्प (d) के अनुरूप है। प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में नाव और धारा की समस्याओं को हल करने का यह सबसे तेज़ तरीका है।

व्याख्या

मान लीजिए x और y कोई दो धनात्मक विषम पूर्णांक हैं। किसी भी विषम पूर्णांक को 2n + 1 के रूप में दर्शाया जा सकता है जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

कथन 1 के लिए, हम जानते हैं कि एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है। इसलिए, x² और y² दोनों विषम पूर्णांक हैं। चूँकि दो विषम पूर्णांकों का योग हमेशा एक सम पूर्णांक होता है, x² + y² सम होना चाहिए। इस प्रकार, कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, विषम पूर्णांकों के सामान्य रूप का उपयोग करके बीजगणितीय विस्तार पर विचार करें: x² + y² = (2n + 1)² + (2m + 1)² x² + y² = 4n² + 4n + 1 + 4m² + 4m + 1 x² + y² = 4(n² + n + m² + m) + 2

व्यंजक 4(n² + n + m² + m) + 2 दर्शाता है कि x² + y² को 4 से विभाजित करने पर हमेशा 2 शेष बचता है। इसलिए, x² + y² कभी भी 4 से विभाज्य नहीं होता है, जिससे कथन 2 गलत हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x = 1 और y = 1, तो x² + y² = 2, जो सम है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है। यदि x = 1 और y = 3, तो x² + y² = 1 + 9 = 10, जो सम भी है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है। परिणामस्वरूप, केवल कथन 1 सही है, जिससे विकल्प a प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण 2^(x+2) 27^(x-1) = 9 को सरल करने पर 2^(x+2) (3^3)^(x-1) = 3^2 प्राप्त होता है। लॉग लेने पर या मानों का परीक्षण करने पर, समीकरण का केवल एक वास्तविक मूल होता है। हालाँकि, दी गई उत्तर कुंजी B है। जैसा कि विश्लेषण किया गया है, x=2 दिए गए समीकरण का मूल नहीं है (2^4 * 27^1 = 432, 9 नहीं)। प्रश्न में इसके व्यंजक या विकल्पों में महत्वपूर्ण त्रुटियाँ हैं, लेकिन अनुरोधित उत्तर कुंजी के आधार पर, B को चुना गया है।

व्याख्या

किसी व्यवसाय में प्रत्येक साझेदार का लाभ हिस्सा उनके निवेश और उस अवधि के गुणनफल के सीधे आनुपातिक होता है जिसके लिए धन का निवेश किया गया था। उपयोग किया जाने वाला मानक सूत्र है लाभ = निवेश × समय। निवेश अनुपात 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 और समय अनुपात 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 दिया गया है, हम लाभ के हिस्सों की गणना इस प्रकार करते हैं: A: 1 × 12 = 12 B: 2 × 11 = 22 C: 3 × 10 = 30 D: 4 × 9 = 36 E: 5 × 8 = 40 F: 6 × 7 = 42 G: 7 × 6 = 42 H: 8 × 5 = 40 I: 9 × 4 = 36 J: 10 × 3 = 30 K: 11 × 2 = 22 L: 12 × 1 = 12

सभी गणना किए गए लाभ मानों की तुलना करने पर, प्राप्त अधिकतम मान 42 है। यह मान F और G दोनों द्वारा साझा किया गया है। इसलिए, वर्ष के अंत में F और G दोनों को अधिकतम लाभ मिलेगा, जिससे विकल्प c सही विकल्प बन जाएगा।

व्याख्या

योग S = 2^122 + (2^2)^62 + (2^3)^42 + (2^2)^64 + 2^130 = 2^122 + 2^124 + 2^126 + 2^128 + 2^130 है। 2^122 को गुणनखंडित करने पर: S = 2^122(1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 + 2^8) = 2^122(1 + 4 + 16 + 64 + 256) = 2^122(341)। चूँकि 341 = 11 * 31, योग 11 से विभाज्य है।

व्याख्या

व्यंजक 4p² + 4pq - 3q² को मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडित किया जा सकता है। 4pq को 6pq - 2pq के रूप में फिर से लिखकर, व्यंजक 4p² + 6pq - 2pq - 3q² हो जाता है, जो 2p(2p + 3q) - q(2p + 3q) = (2p - q)(2p + 3q) के रूप में सरल हो जाता है। यह देखते हुए कि 2p + 3q = 12 है, हम इस मान को गुणनखंडित समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: (2p - q) × 12 = 126। दोनों पक्षों को 12 से विभाजित करने पर, हमें 2p - q = 126 / 12 = 10.5 या 21/2 मिलता है।

अब हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है:

1. 2p + 3q = 12
2. 2p - q = 21/2

p को समाप्त करने के लिए दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर (2p + 3q) - (2p - q) = 12 - 21/2 मिलता है, जिससे 4q = 3/2 प्राप्त होता है, इसलिए q = 3/8। q = 3/8 को दूसरे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2p - 3/8 = 21/2 मिलता है, जिसका अर्थ है 2p = 84/8 + 3/8 = 87/8, जिससे p = 87/16 प्राप्त होता है। आवश्यक मान p + 2q = 87/16 + 2(3/8) = 87/16 + 12/16 = 99/16 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

n = floor(log10(3^30)) + 1 = floor(30 log10 3) + 1 = floor(30 0.4771) + 1 = floor(14.313) + 1 = 14 + 1 = 15।

व्याख्या

7 की घातों के इकाई अंक 4 के चक्र का अनुसरण करते हैं: 7, 9, 3, 1। 139 mod 4 = 3। चक्र में तीसरा अंक 3 है।

व्याख्या

घनों के अंतर और योग के बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²) और x³ + a³ = (x + a)(x² - ax + a²)। इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने से हमें अंशों और हरों में द्विघात पदों को रद्द करने की अनुमति मिलती है:

(x² + ax + a²)/((x - a)(x² + ax + a²)) - (x² - ax + a²)/((x + a)(x² - ax + a²)) = 1/(x - a) - 1/(x + a)

इन भिन्नों को एक सामान्य हर का उपयोग करके संयोजित करने पर प्राप्त होता है:

((x + a) - (x - a))/((x - a)(x + a)) = 2a/(x² - a²)

दिए गए समीकरण 4x + 3a = 0 से, हम पाते हैं कि x = -3a/4। x के इस मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

2a/((-3a/4)² - a²) = 2a/(9a²/16 - a²) = 2a/((9a² - 16a²)/16) = 2a/(-7a²/16) = 2a × -16/7a² = -32a/7a² = -32/7a

इस प्रकार, व्यंजक का मान -32/(7a) है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

माना आय I_M = k, I_K = 2k और व्यय E_M = m, E_K = 3m हैं। बचत S_M = k - m और S_K = 2k - 3m है। S_K - S_M = k - 2m। यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य है या नहीं, यह k और m के मानों पर निर्भर करता है, जो प्रदान नहीं किए गए हैं। अतः, यह निर्धारित करना असंभव है।

व्याख्या

साझेदारी में लाभ को निवेशित पूंजी और उस अवधि के गुणनफल के अनुपात में विभाजित किया जाता है जिसके लिए इसे निवेशित किया गया था। X के लिए कुल समतुल्य पूंजी को राशि और उनकी संबंधित अवधि के गुणनफलों को जोड़कर गणना की जाती है: (700 × 3) + (700 - 2/7 × 700) × 3 + (500 + 3/5 × 200) × 6। सबसे पहले, X की निकासी और जोड़ की गणना करें: निकासी = 2/7 × 700 = 200; वापस लगाई गई राशि = 3/5 × 200 = 120। X की समतुल्य पूंजी = (700 × 3) + (500 × 3) + (620 × 6) = 2100 + 1500 + 3720 = 7320। Y की समतुल्य पूंजी = 600 × 12 = 7200। X और Y के बीच लाभ साझा करने का अनुपात 7320 : 7200 = 61 : 60 है। कुल लाभ रु. 726 है। अनुपात भागों का योग 61 + 60 = 121 है। लाभ में X का हिस्सा = 61/121 × 726। चूंकि 726 ÷ 121 = 6, X का हिस्सा = 61 × 6 = 366। इसलिए, X को रु. 366 प्राप्त होने चाहिए, जो विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 2 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 6 इकाई है। पाइप X की दक्षता 6/2 = 3 इकाई प्रति घंटा है, और पाइप Y की दक्षता 6/6 = 1 इकाई प्रति घंटा है। चूंकि पाइप X को सुबह 10 बजे खोला गया था और पाइप Y को सुबह 11 बजे खोला गया था, पाइप X ने 1 घंटे तक अकेले काम किया। इस 1 घंटे में, पाइप X ने टंकी का 3 × 1 = 3 इकाई भाग भरा। पूरा किया जाने वाला शेष कार्य 6 - 3 = 3 इकाई है। सुबह 11 बजे के बाद, पाइप X और Y दोनों एक साथ काम करते हैं। उनकी संयुक्त दक्षता 3 + 1 = 4 इकाई प्रति घंटा है। शेष 3 इकाई को भरने के लिए आवश्यक समय सूत्र द्वारा दिया गया है: समय = शेष कार्य / संयुक्त दक्षता = 3/4 घंटे। 3/4 घंटे को मिनट में बदलने पर, हमें (3/4) × 60 = 45 मिनट मिलते हैं। इसलिए, टंकी सुबह 11 बजे के 45 मिनट बाद, यानी 11:45 पूर्वाह्न पर पूरी तरह से भर जाएगी। विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो रेलगाड़ियों के लिए सापेक्ष गति vᵣₑₗ = v₁ + v₂ द्वारा दी जाती है। यहाँ, vᵣₑₗ = 48 + 42 = 90 किमी/घंटा। इसे मी/से में बदलने के लिए, हम 5/18 से गुणा करते हैं, इसलिए vᵣₑₗ = 90 × 5/18 = 25 मी/से। जब दो रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे को पार करती हैं तो तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई का योग होती है। पहली रेलगाड़ी की लंबाई L₁ और दूसरी की L₂ = 1/2L₁ मान लीजिए। दूरी = गति × समय सूत्र का उपयोग करके, हमें L₁ + 1/2L₁ = 25 × 12 प्राप्त होता है। यह 3/2L₁ = 300 को सरल करता है, जिससे L₁ = 200 मीटर प्राप्त होता है।

अब, पहली रेलगाड़ी द्वारा Lₚ लंबाई के प्लेटफॉर्म को पार करने पर विचार करें। पहली रेलगाड़ी की गति मी/से में 48 × 5/18 = 40/3 मी/से है। प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए कुल दूरी L₁ + Lₚ है। दूरी = गति × समय सूत्र का उपयोग करके, हमारे पास 200 + Lₚ = 40/3 × 45 है। इसे हल करने पर, 200 + Lₚ = 40 × 15, जिसका अर्थ है 200 + Lₚ = 600। इसलिए, Lₚ = 600 - 200 = 400 मीटर। यह विकल्प बी से मेल खाता है।

व्याख्या

एक स्थिर दूरी के लिए, चाल उस दूरी को तय करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यह संबंध सूत्र t = d/s द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ t समय है, d दूरी है, और s चाल है। इसलिए, यदि तीन कारों की चालों का अनुपात s₁ : s₂ : s₃ = 2 : 3 : 4 है, तो लिए गए समयों का अनुपात चाल के अनुपात का व्युत्क्रम होगा, जो कि t₁ : t₂ : t₃ = 1/2 : 1/3 : 1/4 है। इसे पूर्ण संख्या अनुपात में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हर 2, 3, और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 से गुणा करें। प्रत्येक भाग को गुणा करने पर 1/2 × 12 : 1/3 × 12 : 1/4 × 12 प्राप्त होता है, जिससे अनुपात 6 : 4 : 3 प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प (d) सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए लड़कों की संख्या B है और लड़कियों की संख्या G है। (20B + 16G) / (B + G) = 18। 20B + 16G = 18B + 18G, इसलिए 2B = 2G, जिसका अर्थ है B = G। लड़कों का प्रतिशत B / (B + G) = 1/2 = 50% है।

व्याख्या

किसी कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल पार्श्व सतह क्षेत्रफल के सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = 2h(l + b), जहाँ h ऊंचाई है, l लंबाई है, और b चौड़ाई है। प्रश्न के अनुसार, चार दीवारों का क्षेत्रफल 120 वर्ग मीटर है, ऊंचाई h = 4 मीटर है, और लंबाई l = 2b है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 120 = 2 × 4 × (2b + b) प्राप्त होता है। यह 120 = 8 × 3b तक सरल हो जाता है, जिसका अर्थ है 120 = 24b। b के लिए हल करने पर, हमें b = 120 / 24 = 5 मीटर मिलता है। चूंकि लंबाई चौड़ाई से दोगुनी है, l = 2 × 5 = 10 मीटर। फर्श का क्षेत्रफल लंबाई को चौड़ाई से गुणा करके निकाला जाता है, इसलिए फर्श का क्षेत्रफल = l × b = 10 × 5 = 50 वर्ग मीटर। इस प्रकार, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या

R त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंकित x भुजा वाले वर्ग के लिए, वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, विकर्ण √(x² + x²) = x√2 है। इसलिए, x√2 = 2R, जो x = 2R/√2 = R√2 को सरल बनाता है।

R त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंकित y भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए, भुजा और त्रिज्या के बीच संबंध सूत्र y = R√3 द्वारा दिया जाता है। यह इस तथ्य से प्राप्त होता है कि केंद्र से एक शीर्ष तक की दूरी R है, और केंद्र पर एक भुजा द्वारा बनाया गया कोण 120° है।

x और y के अनुपात को ज्ञात करने के लिए, हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं: x/y = R√2/R√3 = √2/√3 = √(2/3)।

इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, अनुपात √(2/3) है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) 2πrh है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) 2πr(h+r) है। दिया गया है कि CSA/TSA = 1/2, हम सूत्रों को प्रतिस्थापित करते हैं: (2πrh)/(2πr(h+r)) = 1/2। इसे सरल करने पर h/(h+r) = 1/2 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है 2h = h+r, इसलिए h=r।

616 cm² के दिए गए TSA और h=r तथ्य का उपयोग करते हुए, हमारे पास 2πr(r+r) = 616 है, जो 4πr² = 616 को सरल करता है। r² के लिए हल करना: πr² = 616/4 = 154। π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (22/7)r² = 154 ⇒ r² = (154 × 7)/22 = 49 प्राप्त होता है। इस प्रकार, r = 7 सेमी और चूंकि h=r, h = 7 सेमी।

बेलन का आयतन V = πr²h का उपयोग करके गणना की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करना: V = 22/7 × 7² × 7 = 22 × 49 = 1078 cm³। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

तांबे का आयतन 1 मी³ दिया गया है और इसका वजन 9000 किग्रा है, जिससे घनत्व ρ = 9000 किग्रा/मी³ प्राप्त होता है। तांबे को L = 9 मीटर लंबाई की एक वर्गाकार छड़ में ढाला जाता है। मान लीजिए कि वर्गाकार अनुप्रस्थ काट की भुजा s है। चूँकि आयतन स्थिर रहता है, हम एक प्रिज्म के आयतन के सूत्र का उपयोग करते हैं: V = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × लंबाई। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 = s² × 9 मिलता है, जिससे s² = 1/9 मी² और इस प्रकार s = 1/3 मी प्राप्त होता है।

इस छड़ से काटा गया एक पूर्ण घन की भुजा की लंबाई वर्गाकार अनुप्रस्थ काट की भुजा के बराबर होगी, इसलिए घन की भुजा a = 1/3 मी है। इस घन का आयतन घन के आयतन के सूत्र V꜀ᵤ₆ₑ = a³ = (1/3)³ = 1/27 मी³ का उपयोग करके गणना की जाती है। घन का वजन उसके आयतन और तांबे के घनत्व का गुणनफल है: वजन = V꜀ᵤ₆ₑ × ρ = 1/27 मी³ × 9000 किग्रा/मी³ = 9000/27 किग्रा = 1000/3 किग्रा। इसलिए, विकल्प B सही है।

व्याख्या

शंकु का आयतन V = (1/3)pir^2h = (1/3)(22/7)(8.4)^2(3.5) = 258.72 m^3। बैगों की संख्या = 258.72 / 1.96 = 132।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि यह एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ BC = 5 सेमी और AC = 12 सेमी हैं, कर्ण AB = √(5² + 12²) = √169 = 13 सेमी है। मान लीजिए कोण ∠ABC = β है। दी गई विमाओं से, sin β = AC/AB = 12/13 और cos β = BC/AB = 5/13।

त्रिभुज BCD में, हमें ∠BCD = 30° दिया गया है और हम ∠CBD = β जानते हैं। त्रिभुज BCD में ज्या नियम का उपयोग करके, हमारे पास CD/sin β = BC/sin ∠BDC है। चूँकि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है, ∠BDC = 180° - (30° + β)। इसलिए, sin ∠BDC = sin(180° - (30° + β)) = sin(30° + β)।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CD = (BC sin β)/sin(30° + β) प्राप्त होता है। हम sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B सर्वसमिका का उपयोग sin(30° + β) = sin 30° cos β + cos 30° sin β = 1/2 · 5/13 + √3/2 · 12/13 = (5 + 12√3)/26 ज्ञात करने के लिए करते हैं।

अब, CD के सूत्र में सभी मानों को प्रतिस्थापित करें: CD = (5 · (12/13))/((5 + 12√3)/26) = (60/13)/((5 + 12√3)/26) = 60/13 · 26/(5 + 12√3) = 120/(5 + 12√3) सेमी। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

माना दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं। चूँकि वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं, उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है। अतः, r₁ + r₂ = 14 सेमी। उनके क्षेत्रफलों का योग 130π दिया गया है, जिससे समीकरण πr₁² + πr₂² = 130π प्राप्त होता है। π से भाग देने पर, हमें r₁² + r₂² = 130 मिलता है। त्रिज्याओं में अंतर, |r₁ - r₂|, ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (r₁ + r₂)² = r₁² + r₂² + 2r₁r₂ का उपयोग करते हैं। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 14² = 130 + 2r₁r₂, जो 196 = 130 + 2r₁r₂ को सरल करता है। गुणन पद के लिए हल करने पर, 2r₁r₂ = 196 - 130 = 66। अब, अंतर के वर्ग के लिए सर्वसमिका लागू करें: (r₁ - r₂)² = r₁² + r₂² - 2r₁r₂। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, (r₁ - r₂)² = 130 - 66 = 64। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, r₁ - r₂ = √64 = 8 सेमी। इस प्रकार, विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए r = 3 वृत्त की त्रिज्या है और L = 2 जीवा की लंबाई है। चूँकि व्यास AB, बिंदु P पर जीवा को लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करता है, यह जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए, P से जीवा के किसी भी सिरे तक की दूरी L/2 = 2/2 = 1 इकाई है।

मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है। केंद्र O, प्रतिच्छेदन बिंदु P, और जीवा के एक सिरे से बनने वाले समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हमारे पास है: OP² + (L/2)² = r² OP² + 1² = 3² OP² = 9 - 1 = 8 OP = √8

व्यास AB को बिंदु P द्वारा दो खंडों, AP और BP में विभाजित किया गया है। केंद्र O, AB का मध्यबिंदु है, इसलिए AO = OB = 3। चूँकि हमें दिया गया है कि AP > BP है, बिंदु P को खंड OB पर स्थित होना चाहिए। इस प्रकार, खंडों की लंबाई है: AP = AO + OP = 3 + √8 BP = OB - OP = 3 - √8

इसलिए AP से BP का अनुपात (3 + √8) : (3 - √8) है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

परिधि C = pid = (22/7)(5/11) = 10/7 मीटर। दूरी D = 7000 मीटर। चक्करों की संख्या = 7000 / (10/7) = 700 * 7 = 4900।

व्याख्या

माना बेलन के आधार की त्रिज्या r है। चूँकि अर्धगोलाकार गुंबद बेलन के व्यास पर बना है, इसकी त्रिज्या भी r है। माना भवन की कुल ऊँचाई H और बेलनाकार भाग की ऊँचाई h है। प्रश्न के अनुसार, H = 3r। चूँकि कुल ऊँचाई बेलन की ऊँचाई और अर्धगोले की त्रिज्या का योग है, H = h + r, जिसका अर्थ है h = 3r - r = 2r।

भवन का कुल आयतन V, बेलन के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है: V = πr²h + 2/3 πr³ h = 2r रखने पर: V = πr²(2r) + 2/3 πr³ = 2πr³ + 2/3 πr³ = 8/3 πr³

दिया गया है कि V = 67 1/21 = 1408/21 घन मीटर। π = 22/7 रखने पर: 8/3 × 22/7 × r³ = 1408/21 176/21 r³ = 1408/21 176r³ = 1408 r³ = 1408/176 = 8 r = 2 मीटर

भवन की कुल ऊँचाई H = 3r = 3 × 2 = 6 मीटर है। अतः, विकल्प a सही है।

व्याख्या

माना बेलन की त्रिज्या r और ऊँचाई h, दिए गए अनुपात 2:3 के अनुसार क्रमशः 2x और 3x हैं। एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आयतन का सूत्र V = πr²h है। दिए गए आयतन 1617 cm³ और अनुपात चर को प्रतिस्थापित करने पर:

1617 = π(2x)²(3x) 1617 = π(4x²)(3x) 1617 = 12πx³

π = 22/7 का उपयोग करके, हम x के लिए हल करते हैं:

1617 = 12 × 22/7 × x³ x³ = (1617 × 7)/(12 × 22) = 11319/264 = 42.875 x = ∛42.875 = 3.5 cm

बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का सूत्र TSA = 2πr(r + h) है। x के पदों में r और h के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

TSA = 2π(2x)(2x + 3x) = 2π(2x)(5x) = 20πx²

x = 3.5 और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर:

TSA = 20 × 22/7 × (3.5)² TSA = 20 × 22/7 × 12.25 TSA = 20 × 22 × 1.75 TSA = 440 × 1.75 = 770 cm²

इस प्रकार, बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 770 cm² है, जो विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रति वर्ग सेंटीमीटर रंगने का व्यय ज्ञात करने के लिए, हम पहले गोलाकार पात्र के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र SA = 4πr² या SA = πd² का उपयोग करके करते हैं। दिया गया व्यास d = 14 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 7 सेमी है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, SA = 4 × 22/7 × 7² = 4 × 22 × 7 = 616 वर्ग सेमी।

प्रति वर्ग सेंटीमीटर रंगने का व्यय कुल व्यय को कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। सूत्र दर = कुल व्यय/पृष्ठीय क्षेत्रफल का उपयोग करके, हमें दर = 8008/616 प्राप्त होता है। इस विभाजन को सरल करने पर, 8008/616 = 13। इस प्रकार, प्रति वर्ग सेंटीमीटर रंगने का व्यय रु. 13 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

यह गुण पित्व प्रमेय (Pitot Theorem) पर आधारित है, जो बताता है कि एक स्पर्श चतुर्भुज (एक चतुर्भुज जिसमें एक अंतर्वृत्त होता है) में, सम्मुख भुजाओं की लंबाइयों का योग बराबर होता है। इसे सिद्ध करने के लिए, हम उस गुण का उपयोग करते हैं कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। मान लीजिए चतुर्भुज की भुजाएँ AB, BC, CD, और DA हैं, और मान लीजिए कि अंतर्वृत्त इन भुजाओं को क्रमशः P, Q, R, और S पर स्पर्श करता है।

शीर्षों से स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं: AP = AS, BP = BQ, CQ = CR, और DR = DS। सम्मुख भुजाओं के एक युग्म का योग AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) है। बराबर स्पर्श रेखाओं की लंबाइयों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें AB + CD = AS + BQ + CQ + DS मिलता है। इन पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर (AS + SD) + (BQ + QC) प्राप्त होता है, जो AD + BC के बराबर है। इस प्रकार, सम्मुख भुजाओं के एक युग्म का योग सम्मुख भुजाओं के दूसरे युग्म के योग के बराबर होता है, जिससे विकल्प B सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और वर्ग की भुजा s है। वृत्त की परिधि सूत्र 2πr द्वारा दी जाती है और वर्ग की परिधि सूत्र 4s द्वारा दी जाती है। चूँकि दोनों परिधियाँ समान हैं, हमारे पास 2πr = 4s है, जो s = πr/2 को सरल करता है।

इसके बाद, हम दोनों आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना करते हैं। वृत्त का क्षेत्रफल A_(वृत्त) = πr² है। वर्ग का क्षेत्रफल A_(वर्ग) = s² = (πr/2)² = π²r²/4 है।

दोनों क्षेत्रफलों की तुलना करने के लिए, हम उनका अनुपात ज्ञात करते हैं: A_(वृत्त)/A_(वर्ग) = (πr²)/(π²r²/4) = 4πr²/π²r² = 4/π।

π ≈ 3.14159 के अनुमानित मान का उपयोग करते हुए, अनुपात 4/3.14159 ≈ 1.27 है। चूँकि यह अनुपात 1 से अधिक है, वृत्त का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल से बड़ा है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प (b) सही है। यह परिणाम समपरिमापीय असमानता का एक विशिष्ट उदाहरण है, जो बताता है कि दी गई परिधि वाली सभी बंद वक्रों में से, वृत्त अधिकतम क्षेत्रफल घेरता है।

व्याख्या

छिन्नक का आयतन V = (1/3)पाईh(r1^2 + r2^2 + r1r2)। यहाँ h=24, r1=2, r2=9। V = (1/3)पाई24(4 + 81 + 18) = 8पाई(103) = 824पाई। इस प्रकार x = 824।

व्याख्या

जब एक समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ा जाता है, तो परिणामी आंतरिक त्रिभुज की भुजाएँ मूल त्रिभुज की भुजाओं की आधी होती हैं। समरूप त्रिभुजों के लिए क्षेत्रफल अनुपात प्रमेय के अनुसार, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए, प्रत्येक क्रमिक त्रिभुज का क्षेत्रफल पिछले त्रिभुज के क्षेत्रफल का (1/2)² = 1/4 होता है।

मान लीजिए पहले त्रिभुज का क्षेत्रफल A₁ है। इस क्रम में n-वें त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र Aₙ = A₁ ⋅ (1/4)ⁿ⁻¹ द्वारा दिया जाता है। चौथे त्रिभुज A₄ के क्षेत्रफल का सातवें त्रिभुज A₇ के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र में मान रखते हैं:

A₄ = A₁ ⋅ (1/4)⁴⁻¹ = A₁ ⋅ (1/4)³ A₇ = A₁ ⋅ (1/4)⁷⁻¹ = A₁ ⋅ (1/4)⁶

अनुपात की गणना इस प्रकार की जाती है: A₄/A₇ = (A₁ ⋅ (1/4)³)/(A₁ ⋅ (1/4)⁶) = 1/((1/4)⁶⁻³) = 1/((1/4)³) = 4³ = 64

इस प्रकार, चौथे त्रिभुज के क्षेत्रफल का सातवें त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात 64:1 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

छत से एकत्रित वर्षा का आयतन आयतन = छत का क्षेत्रफल × वर्षा की गहराई के सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, जबकि एक बेलनाकार पात्र का आयतन आयतन = πr²h द्वारा दिया जाता है। चूँकि पात्र ठीक भर जाता है, हम दोनों आयतनों को बराबर करते हैं: πr²h = छत का क्षेत्रफल × वर्षा की गहराई।

दिया गया है कि छत का क्षेत्रफल 22 मीटर × 20 मीटर = 440 वर्ग मीटर है, और बेलनाकार पात्र के लिए, त्रिज्या r = 2/2 = 1 मीटर और ऊंचाई h = 3.5 मीटर है। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 22/7 × (1)² × 3.5 = 440 × वर्षा की गहराई। बाईं ओर को सरल करने पर, 22/7 × 3.5 = 22 × 0.5 = 11। इसलिए, 11 = 440 × वर्षा की गहराई, जिससे वर्षा की गहराई = 11/440 = 1/40 मीटर प्राप्त होता है। इस मान को सेंटीमीटर में बदलने के लिए, हम 100 से गुणा करते हैं: 1/40 × 100 = 2.5 सेमी। इस प्रकार, विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

दो समरूप शंकुओं के लिए, उनके आयतनों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाइयों के अनुपात के घन के बराबर होता है। मान लीजिए V मूल शंकु का आयतन और H ऊँचाई है, और v ऊपर से काटे गए छोटे शंकु का आयतन और h ऊँचाई है। संबंध सूत्र v/V = (h/H)³ द्वारा दिया गया है।

यह देखते हुए कि V = 60 सेमी और v/V = 1/64, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 1/64 = (h/60)³

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: 1/4 = h/60 h = 60/4 = 15 सेमी

यह h = 15 सेमी शीर्ष से छोटे शंकु की ऊँचाई को दर्शाता है। प्रश्न आधार से उस ऊँचाई के बारे में पूछता है जिस पर अनुभाग बनाया गया है। इसलिए, हम मूल शंकु की कुल ऊँचाई से छोटे शंकु की ऊँचाई घटाते हैं: आधार से ऊँचाई = H - h = 60 - 15 = 45 सेमी।

इस प्रकार, अनुभाग आधार से 45 सेमी की ऊँचाई पर बनाया गया है, जो विकल्प d) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक वृत्त में, एक बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई सूत्र L = r/tan(θ/2) द्वारा दी जाती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और θ दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है। इस समस्या में, त्रिज्या r = 3 सेमी और स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण θ = 60° है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें L = 3/tan(60°/2) = 3/tan(30°) प्राप्त होता है। चूँकि tan(30°) = 1/√3 है, व्यंजक L = 3/(1/√3) = 3√3 सेमी हो जाता है। यह विकल्प a से मेल खाता है। ज्यामितीय रूप से, वृत्त के केंद्र को बाह्य बिंदु से जोड़ने वाली रेखा स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ त्रिज्या विपरीत भुजा होती है और स्पर्श रेखा समद्विभाजित कोण के सापेक्ष आसन्न भुजा होती है। त्रिकोणमितीय अनुपात tan(30°) = विपरीत/आसन्न = 3/L का उपयोग करके, हम L = 3/(1/√3) = 3√3 सेमी पाते हैं।

व्याख्या

एक गोले का आयतन मानक ज्यामितीय सूत्र V = 4/3πr³ का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ r गोले की त्रिज्या को दर्शाता है। यह देखते हुए कि त्रिज्या r = 3 सेमी है, हम आयतन ज्ञात करने के लिए इस मान को सीधे सूत्र में रखते हैं।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें V = 4/3 × π × (3)³ मिलता है। सबसे पहले, त्रिज्या का घन ज्ञात करें: 3³ = 3 × 3 × 3 = 27। अब, इसे स्थिरांक से गुणा करें: V = 4/3 × π × 27। भिन्न को सरल बनाने पर, 27 को 3 से भाग देने पर 9 प्राप्त होता है। इसलिए, V = 4 × π × 9, जो 36π सेमी³ हो जाता है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज पर विचार करें जिसके शीर्ष (0, a), (-b, 0), और (c, 0) हैं। भुजाएँ sqrt(a^2 + b^2), sqrt(a^2 + c^2), और (b + c) हैं। यह दी गई भुजाओं से मेल खाती है। क्षेत्रफल (1/2) आधार ऊँचाई = (1/2) (b + c) a = a(b + c)/2 है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्ध-वृत्त में अंकित सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई।

अर्ध-वृत्त में अंकित त्रिभुज के लिए, अधिकतम क्षेत्रफल तब प्राप्त होता है जब त्रिभुज का आधार अर्ध-वृत्त का व्यास होता है। इसलिए, आधार b = 2r। ऊँचाई h, आधार से चाप पर तीसरे शीर्ष तक की लंबवत दूरी है। अधिकतम संभव ऊँचाई तब होती है जब शीर्ष अर्ध-वृत्त के उच्चतम बिंदु पर होता है, जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है। इस प्रकार, अधिकतम ऊँचाई h = r।

इन मानों को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = 1/2 × (2r) × (r) क्षेत्रफल = 1/2 × 2r² क्षेत्रफल = r²

यह परिणाम इंगित करता है कि अर्ध-वृत्त में अंकित सबसे बड़ा त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका व्यास उसका कर्ण है। परिणामस्वरूप, विकल्प A सही है।

व्याख्या

एक पहिये द्वारा एक पूर्ण चक्कर में तय की गई दूरी उसके परिधि के बराबर होती है। वृत्त की परिधि का सूत्र C = πd है, जहाँ d व्यास है। अगले पहिये के लिए, व्यास 2x सेमी है, इसलिए इसकी परिधि 2πx है। यह देखते हुए कि अगला पहिया n बार घूमता है, तय की गई कुल दूरी n × 2πx है।

पिछले पहिये को समान दूरी तय करनी होगी। मान लीजिए कि पिछला पहिया m बार घूमता है। चूंकि पिछले पहिये का व्यास 2y सेमी है, इसलिए इसकी परिधि 2πy है। पिछले पहिये द्वारा तय की गई कुल दूरी m × 2πy है। दोनों पहियों की दूरियों को बराबर करने पर, हमें n × 2πx = m × 2πy प्राप्त होता है। समीकरण को दोनों पक्षों से 2π को रद्द करके सरल बनाने पर, हमें nx = my प्राप्त होता है। m के लिए हल करने पर, हमें m = nx/y मिलता है। इसलिए, पिछला पहिया nx/y बार घूमता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

तंबू के शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, हम पहले शंकु की त्रिज्या और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई ज्ञात करते हैं। शंकु के आधार की त्रिज्या r, बेलनाकार भाग की त्रिज्या के बराबर है, जो दिए गए व्यास का आधा है: r = 126/2 = 63 मीटर। शंक्वाकार भाग की ऊंचाई h, तंबू की कुल ऊंचाई और बेलनाकार भाग की ऊंचाई का अंतर है: h = 21 मीटर - 5 मीटर = 16 मीटर।

एक लंब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊंचाई l के सूत्र, l = √(r² + h²) का उपयोग करके, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: l = √(63² + 16²)। वर्गों की गणना करने पर l = √(3969 + 256) = √4225 प्राप्त होता है। 4225 का वर्गमूल लेने पर, हमें l = 65 मीटर मिलता है। इस प्रकार, शंकु की तिर्यक ऊंचाई 65 मीटर है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र CSA = 2πrh का उपयोग करके की जाती है, जिसे CSA = πdh के रूप में भी सरल किया जा सकता है, जहाँ d बेलन का व्यास और h उसकी ऊँचाई है। दिया गया है कि व्यास d = 126 मीटर और बेलनाकार भाग की ऊँचाई h = 5 मीटर है, हम π = 22/7 का उपयोग करके इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। गणना है CSA = 22/7 × 126 × 5। 126 को 7 से विभाजित करने पर 18 प्राप्त होता है, इसलिए व्यंजक 22 × 18 × 5 बन जाता है। 18 को 5 से गुणा करने पर 90 प्राप्त होता है, और 22 × 90 का परिणाम 1980 मी² होता है। इस प्रकार, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 1980 मी² है, जो विकल्प a से मेल खाता है। तंबू की कुल ऊँचाई अतिरिक्त जानकारी के रूप में दी गई है और बेलनाकार खंड के पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए आवश्यक नहीं है।

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2(22/7)635 = 1980। शंकु के लिए, तिर्यक ऊँचाई l = sqrt(63^2 + 16^2) = sqrt(3969 + 256) = 65। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = (22/7)6365 = 12870। कुल कैनवास = 1980 + 12870 = 14850।

व्याख्या

परिधि C = pid = (22/7)0.8 = 17.6/7 मी। 10 मिनट में तय दूरी = (66 * 1000 / 60) * 10 = 11000 मी। चक्करों की संख्या = 11000 / (17.6/7) = 77000 / 17.6 = 4375।

व्याख्या

दी गई भुजाओं की लंबाई 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी एक मानक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं क्योंकि वे संबंध a² + b² = c² को संतुष्ट करती हैं, विशेष रूप से 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²। इसलिए, त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जहाँ 13 सेमी भुजा कर्ण है और 5 सेमी और 12 सेमी भुजाएँ लम्ब हैं। किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके की जा सकती है। दो लम्बों के मानों को आधार और ऊँचाई के रूप में प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = 1/2 × 5 × 12 प्राप्त होता है। यह क्षेत्रफल = 5 × 6 = 30 सेमी² तक सरल हो जाता है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और वर्ग की भुजा a है। प्रश्न के अनुसार, वृत्त की परिधि (परिमाप) वर्ग की परिधि के बराबर है। परिधि के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हमारे पास 2πr = 4a है। इसे सरल करने पर a = πr/2 प्राप्त होता है।

वृत्त का क्षेत्रफल A꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ = πr² है और वर्ग का क्षेत्रफल Aₛᵩᵤₐᵣₑ = a² है। वृत्त के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों सूत्रों को विभाजित करते हैं: अनुपात = πr²/a²

परिधि समीकरण से a का मान प्रतिस्थापित करने पर: अनुपात = πr²/(πr/2)² = πr²/(π²r²/4) = 4πr²/π²r² = 4/π

π = 22/7 का मान उपयोग करने पर, अनुपात बन जाता है: अनुपात = 4/(22/7) = (4 × 7)/22 = 28/22 = 14/11

इसलिए, वृत्त के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात 14:11 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि AB, r त्रिज्या वाले वृत्त का व्यास है, इसलिए AB की लंबाई 2r है। दिया गया है कि CD, AB के समानांतर है और AB की लंबाई का आधा है, इसलिए जीवा CD की लंबाई r है। मान लीजिए M, जीवा CD का मध्य बिंदु है। किसी भी वृत्त में, केंद्र O को जीवा के मध्य बिंदु से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है। इसलिए, त्रिभुज OMC एक समकोण त्रिभुज है जहाँ OC वृत्त की त्रिज्या है, OM केंद्र से जीवा की दूरी है, और MC जीवा CD की आधी लंबाई है।

त्रिभुज OMC में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: OM² + MC² = OC² ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ OC = r और MC = CD/2 = r/2: OM² + (r/2)² = r² OM² = r² - r²/4 OM² = 3r²/4 OM = (√3r)/2

जैसे ही वृत्त अपने केंद्र O के परितः एक पूर्ण घूर्णन पूरा करता है, बिंदु M, O पर केंद्रित एक वृत्ताकार पथ में चलता है। इस बिंदुपथ की त्रिज्या स्थिर दूरी OM के बराबर होती है। इस प्रकार, मध्य बिंदु M का बिंदुपथ (√3r)/2 त्रिज्या वाला एक वृत्त है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

(sin theta + cos theta)^2 = 7/4 => 1 + 2 sin theta cos theta = 7/4 => 2 sin theta cos theta = 3/4। तब (sin theta - cos theta)^2 = 1 - 2 sin theta cos theta = 1 - 3/4 = 1/4। इसलिए sin theta - cos theta = +/- 1/2।

व्याख्या

sin x + sin^2 x = 1 का अर्थ है sin x = 1 - sin^2 x = cos^2 x। व्यंजक cos⁸ x + 2cos⁶ x + cos⁴ x = (cos⁴ x + cos² x)² है। cos² x = sin x प्रतिस्थापित करने पर, हमें (sin² x + sin x)² = 1² = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए मीनार की ऊँचाई h = 100 मी है। मीनार के पाद से कार की दूरी सूत्र x = h cot θ का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है, जहाँ θ अवनमन कोण है। प्रारंभिक दूरी x₁ जब अवनमन कोण 30° है, x₁ = 100 cot 30° = 100√3 मी है। अंतिम दूरी x₂ जब अवनमन कोण 60° हो जाता है, x₂ = 100 cot 60° = 100/√3 मी है। कार द्वारा तय की गई दूरी इन दो स्थितियों के बीच का अंतर है: d = x₁ - x₂ = 100√3 - 100/√3। 100 को कॉमन लेने पर, हमें d = 100(√3 - 1/√3) = 100((3-1)/√3) = 200/√3 मी प्राप्त होता है। हर को परिमेय बनाने के लिए, अंश और हर को √3 से गुणा करने पर, d = 200√3/3 मी प्राप्त होता है। अतः, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या

दूरी 1 = 75 / tan 30 = 75 √3। दूरी 2 = 75 / tan 60 = 75 / √3 = 25 √3। कुल दूरी = 75√3 + 25√3 = 100√3।

व्याख्या

व्यंजक को पूरक कोण सर्वसमिकाओं और मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया गया है। सबसे पहले, हम पूरक युग्मों की पहचान करते हैं: 68° और 22° क्योंकि 68° + 22° = 90°, और 56° और 34° क्योंकि 56° + 34° = 90°। पूरक कोण सूत्र tan θ = cot(90° - θ) के अनुसार, हमारे पास tan 22° = cot 68° है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, पद csc² 68° - tan² 22°, csc² 68° - cot² 68° बन जाते हैं, जो सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 के आधार पर 1 के बराबर होता है। इसी प्रकार, cot θ = tan(90° - θ) का उपयोग करके, हम पाते हैं कि cot 34° = tan 56°। इस प्रकार, पद sec² 56° - cot² 34°, sec² 56° - tan² 56° बन जाते हैं, जो सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 के आधार पर 1 के बराबर होता है। इन परिणामों को मिलाकर, अंतिम मान 1 + 1 = 2 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

2y cos theta = x sin theta से, tan theta = 2y/x। 2x sec theta - y csc theta = 3 से, (2x sin theta - y cos theta) / (sin theta cos theta) = 3। x sin theta = 2y cos theta को प्रतिस्थापित करने पर (4y cos theta - y cos theta) / (sin theta cos theta) = 3 प्राप्त होता है, इसलिए 3y / sin theta = 3, जिसका अर्थ है y = sin theta। तब x = 2y cot theta = 2 cos theta। इस प्रकार x^2 + 4y^2 = 4 cos^2 theta + 4 sin^2 theta = 4।

व्याख्या

tan θ + cot θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले इसे त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं tan θ = sin θ/cos θ और cot θ = cos θ/sin θ का उपयोग करके sin θ और cos θ के पदों में व्यक्त करते हैं। इस प्रकार, tan θ + cot θ = sin θ/cos θ + cos θ/sin θ = (sin² θ + cos² θ)/(sin θ cos θ)। मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, व्यंजक 1/(sin θ cos θ) तक सरल हो जाता है।

अब, हम दिए गए समीकरण sin θ + cos θ = (1 + √3)/2 का उपयोग करते हैं और sin θ cos θ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। वर्ग करने पर (sin θ + cos θ)² = ((1 + √3)/2)² प्राप्त होता है, जिसका विस्तार sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ = (1 + 3 + 2√3)/4 होता है। sin² θ + cos² θ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 + 2 sin θ cos θ = (4 + 2√3)/4 = 1 + √3/2 मिलता है। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर, हमें 2 sin θ cos θ = √3/2 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है sin θ cos θ = √3/4। इस मान को हमारे सरलीकृत लक्ष्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan θ + cot θ = 1/(√3/4) = 4/√3 प्राप्त होता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

माना A = sin² θ + cos⁴ θ है। सर्वसमिका sin² θ = 1 - cos² θ का प्रयोग करने पर, हमें A = 1 - cos² θ + cos⁴ θ प्राप्त होता है। माना x = cos² θ। चूँकि 0 ≤ θ < π/2 है, इसलिए 0 < x ≤ 1। व्यंजक A = x² - x + 1 बन जाता है। यह x में एक द्विघात समीकरण है। न्यूनतम मान x = -(-1)/(2*1) = 1/2 पर होता है, जहाँ A = (1/2)² - 1/2 + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4। अधिकतम मान अंतराल (0, 1] की सीमाओं पर होता है। x = 1 पर, A = 1² - 1 + 1 = 1। जैसे-जैसे x शून्य के करीब आता है, A एक के करीब आता है। इस प्रकार, 3/4 ≤ A ≤ 1।

व्याख्या

सर्वसमिका csc^2 A - cot^2 A = 1 का उपयोग करके, हम अंश को फिर से लिख सकते हैं: cot A + csc A - 1 = (cot A + csc A) - (csc^2 A - cot^2 A) = (csc A + cot A) - (csc A - cot A)(csc A + cot A) = (csc A + cot A)(1 - (csc A - cot A)) = (csc A + cot A)(1 - csc A + cot A). व्यंजक तब [(csc A + cot A)(1 - csc A + cot A)] / (cot A - csc A + 1) होता है। चूँकि (1 - csc A + cot A) और (cot A - csc A + 1) समान हैं, व्यंजक csc A + cot A = (1/sin A) + (cos A/sin A) = (1 + cos A)/sin A तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

यह प्रश्न गणित में समानता के मौलिक गुण का परीक्षण करता है। समानता के रिफ्लेक्सिव गुण के अनुसार, कोई भी वास्तविक संख्या या त्रिकोणमितीय मान स्वयं के बराबर होता है। इसका मतलब है कि किसी भी मान x के लिए, कथन x = x हमेशा सत्य होता है, जबकि सख्त असमानता वाले कथन x > x या x < x हमेशा तार्किक रूप से असत्य होते हैं।

कथन 1 में, sin 1° > sin 1° यह बताता है कि एक मान स्वयं से सख्ती से बड़ा है, जो असंभव है। कथन 2 में, cos 1° < cos 1° यह बताता है कि एक मान स्वयं से सख्ती से छोटा है, जो भी असंभव है। कथन 3 में, tan 1° > tan 1° इसी तरह एक मान और स्वयं के बीच एक सख्त असमानता का दावा करता है। चूंकि sin 1°, cos 1°, और tan 1° विशिष्ट स्थिर वास्तविक संख्याएँ हैं, वे स्वयं के बराबर होनी चाहिए। इसलिए, तीनों कथन 1, 2 और 3 गणितीय रूप से गलत हैं। यह विकल्प डी को सही विकल्प बनाता है क्योंकि यह तीनों गलत कथनों की पहचान करता है।

व्याख्या

मान लीजिए tan²x = u। समीकरण u + 1/u = 2 है। u से गुणा करने पर u² + 1 = 2u, या u² - 2u + 1 = 0 प्राप्त होता है, जो (u - 1)² = 0 है। इस प्रकार, u = 1। चूँकि tan²x = 1 और 0 < x < 90 डिग्री है, tan x = 1, जिसका अर्थ है x = 45 डिग्री।

व्याख्या

सूर्य का उन्नयन कोण क्षितिज के ऊपर सूर्य का उन्नयन कोण होता है। त्रिकोणमिति में, किसी वस्तु की ऊँचाई, उसकी छाया की लम्बाई और उन्नयन कोण के बीच संबंध सूत्र tan(θ) = मीनार की ऊँचाई/छाया की लम्बाई द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए मीनार की ऊँचाई h है और छाया की लम्बाई s है। समस्या के अनुसार, छाया की लम्बाई ऊँचाई के बराबर है, इसलिए s = h। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan(θ) = h/h = 1 प्राप्त होता है। हम त्रिकोणमितीय तालिकाओं से जानते हैं कि tan(45°) = 1। इसलिए, θ = 45°। यह इंगित करता है कि जब ऊँचाई और छाया बराबर होती है, तो सूर्य क्षितिज से 45° के उन्नयन कोण पर होता है, जिससे एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनता है।

व्याख्या

कथन 1: cos 75 = sin 15, sin 12 = cos 78, cos 18 = sin 72। व्यंजक 1 + 1 - 1 = 1 है। सही। कथन 2: cos 35 = sin 55, sin 11 = cos 79। व्यंजक 1 - 1 + (cos 28 / cos 62) = tan 62 है, जो 1 नहीं है। गलत। कथन 3: sin 80 = cos 10, sin 59 = cos 31। व्यंजक 1 - (cos 31 / cos 31) = 1 - 1 = 0 है। सही। केवल 1 और 3 सही हैं।

व्याख्या

मान लीजिए खंभे की ऊंचाई h है और खंभे का पाद बिंदु P है। मान लीजिए कोनों A, B, और C से उन्नयन कोण अल्फा है। तब tan alpha = h/PA = h/PB = h/PC। इसका तात्पर्य है कि PA = PB = PC, जिसका अर्थ है कि बिंदु P त्रिभुज के शीर्षों से समदूरस्थ है। यह बिंदु परिकेंद्र होता है। विकल्प B में "परिधि" का उल्लेख है, जो "परिकेंद्र" के लिए एक टाइपो है, लेकिन यह दिए गए विकल्पों में एकमात्र तार्किक रूप से लागू होने वाला विकल्प है।

व्याख्या

इस गुणनफल को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ और गुण tan θ · cot θ = 1 का उपयोग करते हैं। व्यंजक n = 1 से 89 तक tan n° का गुणनफल है। हम श्रृंखला के प्रारंभ और अंत से पदों को इस प्रकार जोड़ सकते हैं: (tan 1° · tan 89°) · (tan 2° · tan 88°) · (tan 3° · tan 87°) … (tan 44° · tan 46°) · tan 45°। सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, tan 89° = cot 1°, tan 88° = cot 2°, और इसी तरह tan 46° = cot 44° तक। इन्हें जोड़ों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (tan 1° · cot 1°) · (tan 2° · cot 2°) … (tan 44° · cot 44°) · tan 45° प्राप्त होता है। चूँकि सभी θ के लिए tan θ · cot θ = 1 होता है, 44 जोड़ों में से प्रत्येक का मान 1 होता है। इसके अतिरिक्त, tan 45° का मान ठीक 1 होता है। इस प्रकार, गुणनफल 1 · 1 · 1 … · 1 · 1 = 1 हो जाता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

भारित औसत सूत्र या मिश्रण के नियम का उपयोग करके, दो समूहों में छात्रों की संख्या का अनुपात उनके व्यक्तिगत औसत की उनके संयुक्त औसत से तुलना करके पाया जा सकता है। कक्षाओं X और Y के लिए, अनुपात nₓ(83 - 79) = nᵧ(79 - 76) है, जो 4nₓ = 3nᵧ को सरल करता है, जिससे nₓ : nᵧ = 3 : 4 प्राप्त होता है। इसी प्रकार, कक्षाओं Y और Z के लिए, अनुपात nᵧ(81 - 76) = n_z(85 - 81) है, जो 5nᵧ = 4n_z को सरल करता है, जिससे nᵧ : n_z = 4 : 5 प्राप्त होता है।

इन दो अनुपातों को मिलाकर, हमें nₓ : nᵧ : n_z = 3 : 4 : 5 प्राप्त होता है। तीनों कक्षाओं के समग्र औसत को ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हैं: Averageₓᵧ_z = (nₓAₓ + nᵧAᵧ + n_zA_z)/(nₓ + nᵧ + n_z) अनुपातों और मानों को प्रतिस्थापित करना: Averageₓᵧ_z = ((3 × 83) + (4 × 76) + (5 × 85))/(3 + 4 + 5) Averageₓᵧ_z = (249 + 304 + 425)/12 Averageₓᵧ_z = 978/12 Averageₓᵧ_z = 81.5

इस प्रकार, कक्षाओं X, Y और Z का औसत अंक 81.5 है, जो विकल्प a) से मेल खाता है।

व्याख्या

विविक्त मानों के एक समुच्चय की माध्यिका ज्ञात करने के लिए, डेटा को पहले आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए। दिए गए मान हैं x + 4, x - 3.5, x - 2.5, x - 3, x - 2, x + 0.5, x - 0.5, और x + 5। इन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर अनुक्रम प्राप्त होता है: x - 3.5, x - 3, x - 2.5, x - 2, x - 0.5, x + 0.5, x + 4, x + 5।

अवलोकनों की कुल संख्या n = 8 है। चूँकि n एक सम संख्या है, माध्यिका दो मध्यतम पदों, विशेष रूप से (n/2)वें और (n/2 + 1)वें पदों के अंकगणितीय माध्य के रूप में गणना की जाती है। इस क्रमबद्ध अनुक्रम में, चौथा पद x - 2 है और पाँचवाँ पद x - 0.5 है।

सम संख्या में अवलोकनों के लिए माध्यिका सूत्र लागू करना: माध्यिका = (Xₙ/₂ + X₍ₙ/₂₎₊₁)/2 माध्यिका = ((x - 2) + (x - 0.5))/2 माध्यिका = (2x - 2.5)/2 माध्यिका = x - 1.25

यह परिणाम विकल्प (a) से मेल खाता है, जहाँ संकेतन x - 1 · 25 का अर्थ x - 1.25 है।

व्याख्या

n प्रेक्षणों के एक समुच्चय के लिए, जिन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित किया गया है, माध्यक (n+1)/2 वां प्रेक्षण होता है जब n विषम हो। इस मामले में, n = 9 है, इसलिए माध्यक (9+1)/2 = 5वां प्रेक्षण है। मान लीजिए कि व्यवस्थित प्रेक्षण x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉ हैं। दिया गया माध्यक x₅ = 20.5 है। इस संक्रिया में सबसे बड़े 4 प्रेक्षणों, जो कि x₆, x₇, x₈, और x₉ हैं, को बढ़ाना शामिल है। चूँकि माध्यक से बड़े मानों को ही बढ़ाया जा रहा है, प्रेक्षणों का सापेक्ष क्रम अपरिवर्तित रहता है, और 5वां प्रेक्षण x₅ ही रहता है। इसलिए, माध्यक का मान नहीं बदलता है और 20.5 ही रहता है, जो विकल्प d) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए 10 पारियों का औसत x है। कुल रन = 10x। 11वीं पारी के बाद, नया कुल = 10x + 108। नया औसत = (10x + 108) / 11। हमें बताया गया है कि (10x + 108) / 11 = x + 6। x के लिए हल करने पर: 10x + 108 = 11x + 66, इसलिए x = 42। नया औसत x + 6 = 42 + 6 = 48 है।

व्याख्या

20 प्रेक्षणों का कुल योग = 20 * 17 = 340। योग को सही करने के लिए, गलत मानों (3 और 6) को घटाएँ और सही मानों (8 और 9) को जोड़ें: सही योग = 340 - 3 - 6 + 8 + 9 = 348। सही माध्य = 348 / 20 = 17.4।

व्याख्या

किसी व्यक्ति द्वारा रखे गए क्रेडिट कार्डों की संख्या एक मात्रात्मक चर है क्योंकि यह एक संख्यात्मक गणना का प्रतिनिधित्व करती है। मात्रात्मक डेटा के भीतर, इसे विशेष रूप से असतत डेटा के रूप में वर्गीकृत किया जाता है क्योंकि मान गणनीय होते हैं और केवल विशिष्ट पूर्णांक मान ले सकते हैं, जैसे 0, 1, 2, या 3। असतत डेटा की विशेषता यह है कि संभावित मानों के बीच स्पष्ट अंतराल होते हैं; उदाहरण के लिए, कोई व्यक्ति 1.5 या 2.75 क्रेडिट कार्ड नहीं रख सकता है। यह सतत डेटा से भिन्न है, जो एक सीमा के भीतर कोई भी मान ले सकता है, और गुणात्मक या श्रेणीबद्ध डेटा, जो गैर-संख्यात्मक विशेषताओं या लेबल का वर्णन करता है। चूंकि कार्डों की संख्या गिनती के माध्यम से प्राप्त की जाती है और पूर्ण संख्याएँ होती हैं, इसे असतत डेटा माना जाता है।

व्याख्या

100 विद्यार्थियों के कुल अंक = 100 * 72 = 7200। 70 लड़कों के कुल अंक = 70 * 75 = 5250। 30 लड़कियों के कुल अंक = 7200 - 5250 = 1950। लड़कियों के औसत अंक = 1950 / 30 = 65।

व्याख्या

पाई चार्ट में किसी विशेष क्षेत्र का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (क्षेत्र का केंद्रीय कोण / वृत्त का कुल केंद्रीय कोण) × 100

यह देखते हुए कि कॉर्पोरेट कर के लिए केंद्रीय कोण 108° है और एक पूर्ण पाई चार्ट का कुल कोण 360° है, हम इन मानों को सूत्र में इस प्रकार रखते हैं: प्रतिशत = (108° / 360°) × 100

गणना को सरल बनाने के लिए, हम पहले 108/360 भिन्न को कम कर सकते हैं। अंश और हर दोनों 36 से विभाज्य हैं: 108 ÷ 36 = 3 360 ÷ 36 = 10 सरलीकृत भिन्न 3/10 है।

अब, इसे प्रतिशत में बदलने के लिए इस परिणाम को 100 से गुणा करें: 3/10 × 100 = 30%

इस प्रकार, कॉर्पोरेट कर से आय कुल निधियों का 30% दर्शाती है, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

कथन 1 समावेशी वर्गों (जहाँ एक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगली वर्ग की निचली सीमा के बीच अंतर होता है, उदा. 19 और 20) का वर्णन करता है, लेकिन उन्हें अपवर्जी कहता है। कथन 2 अपवर्जी वर्गों (जहाँ एक की ऊपरी सीमा अगले की निचली सीमा होती है, उदा. 20 और 20) का वर्णन करता है, लेकिन उन्हें समावेशी कहता है। दोनों कथन गलत हैं।

व्याख्या

बारंबारता घनत्व = बारंबारता / वर्ग चौड़ाई। यहाँ, बारंबारता = 30 और वर्ग चौड़ाई = 15 - 10 = 5। बारंबारता घनत्व = 30 / 5 = 6।

व्याख्या

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}। हमें ऐसे युग्म (a, b) चाहिए जहाँ a ≠ b और ab = 12k + 4, जहाँ k ≥ 1। ab के संभावित मान: 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100। S से युग्म: ab=16: (2,8), (8,2); ab=28: (4,7), (7,4); ab=40: (4,10), (10,4), (5,8), (8,5)। कुल = 8 युग्म।

व्याख्या

मॉड्यूलो 29: 13^5 + 14^5 + 15^5 + 16^5। ध्यान दें कि 15 = -14 (मॉड 29) और 16 = -13 (मॉड 29)। इसलिए, 15^5 = (-14)^5 = -14^5 और 16^5 = (-13)^5 = -13^5। योग 13^5 + 14^5 - 14^5 - 13^5 = 0 है।

व्याख्या

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = (10 11 / 2)^2 = 55^2 = 3025. प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = 10 11 * 21 / 6 = 385. अंतर = 3025 - 385 = 2640.

व्याख्या

जब कोई व्यक्ति दो अलग-अलग गतियों से समान दूरी तय करता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति की गणना गतियों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) का उपयोग करके की जाती है। उपयोग किया जाने वाला सूत्र है: औसत गति = 2v₁v₂/(v₁ + v₂), जहाँ v₁ पहली यात्रा की गति है और v₂ वापसी यात्रा की गति है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, v₁ = 50 किमी/घंटा और v₂ = 30 किमी/घंटा: औसत गति = (2 × 50 × 30)/(50 + 30) औसत गति = 3000/80 औसत गति = 300/8 = 37.5 किमी/घंटा।

वैकल्पिक रूप से, मूल सूत्र औसत गति = कुल दूरी / कुल समय का उपयोग करके, कुल दूरी 150 + 150 = 300 किमी है। जाने की यात्रा का समय 150/50 = 3 घंटे है और वापसी यात्रा का समय 150/30 = 5 घंटे है। कुल समय 3 + 5 = 8 घंटे है। इसलिए, औसत गति = 300/8 = 37.5 किमी/घंटा। यह विकल्प c) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + 1/(1 + 1/(2 + 1/3)) = 2 को हल करने के लिए, हम सतत भिन्न (continued fraction) का मूल्यांकन नीचे से ऊपर की ओर करते हैं। सबसे पहले, सबसे अंदरूनी हर (denominator) की गणना करें: 2 + 1/3 = (6+1)/3 = 7/3। इसे वापस व्यंजक (expression) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 + 1/(7/3) मिलता है, जो 1 + 3/7 = (7+3)/7 = 10/7 तक सरल हो जाता है। अब, पूरा भिन्न पद 1/(10/7) बन जाता है, जो 7/10 के बराबर है। समीकरण अब x + 7/10 = 2 तक सरल हो जाता है। x ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों से 7/10 घटाएँ: x = 2 - 7/10। 2 को 10 के हर वाले भिन्न में बदलने पर, हमें x = 20/10 - 7/10 = 13/10 मिलता है। इसलिए, x का मान 13/10 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।