सीडीएस II 2011 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

5, 6, 7 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 840 है। वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे इन संख्याओं से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है, हम LCM में शेषफल जोड़ते हैं: 840 + 3 = 843।

व्याख्या

मान लीजिए संख्याएँ 3x और 5x हैं। प्रश्न के अनुसार, (3x - 9) / (5x - 9) = 12 / 23। तिरछा गुणा करने पर 23(3x - 9) = 12(5x - 9) प्राप्त होता है, जो सरल करने पर 69x - 207 = 60x - 108 हो जाता है। x के लिए हल करने पर: 9x = 99, इसलिए x = 11। दूसरी संख्या 5x = 5 * 11 = 55 है।

व्याख्या

बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, हम उच्चतम घात वाले बहुपद की पहचान करते हैं जो प्रत्येक दिए गए व्यंजक को विभाजित करता है। सामान्य गुणनखंडों की जाँच करने का एक तेज़ तरीका गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करना है, जो बताता है कि यदि P(a) = 0 है, तो (x-a) P(x) का एक गुणनखंड है।

हम तीनों बहुपदों के लिए x=1 का परीक्षण करते हैं: P₁(x) = x⁴ - 3x + 2 के लिए, P₁(1) = 1⁴ - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0। P₂(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 के लिए, P₂(1) = 1³ - 3(1)² + 3(1) - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0। P₃(x) = x⁴ - 1 के लिए, P₃(1) = 1⁴ - 1 = 0।

चूंकि x=1 तीनों के लिए एक मूल है, (x-1) एक सामान्य गुणनखंड है। यह जांचने के लिए कि क्या (x² - 1) जैसा उच्च घात वाला गुणनखंड HCF है, (x+1) को भी एक सामान्य गुणनखंड होना चाहिए। P₁(x) में x=-1 का परीक्षण करने पर: P₁(-1) = (-1)⁴ - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6। चूंकि P₁(-1) ≠ 0 है, (x+1) P₁(x) का गुणनखंड नहीं है, जिसका अर्थ है कि (x² - 1) HCF नहीं हो सकता।

इसके अतिरिक्त, P₂(x) (x-1)³ का द्विपद विस्तार है और P₃(x) (x-1)(x+1)(x²+1) के रूप में गुणनखंडित होता है। तीनों बहुपदों द्वारा साझा किया गया एकमात्र सामान्य गुणनखंड (x-1) है। इस प्रकार, HCF (x-1) है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों (5x - 7y + 10)/1 = (3x + 2y + 1)/8 = (11x + 4y - 10)/9 से, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाकर x और y के लिए हल कर सकते हैं। पहले दो अनुपातों को बराबर करने पर 8(5x - 7y + 10) = 3x + 2y + 1 प्राप्त होता है, जो 40x - 56y + 80 = 3x + 2y + 1 तक सरल हो जाता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें पहला समीकरण 37x - 58y = -79 प्राप्त होता है।

इसके बाद, हम दूसरे और तीसरे अनुपातों को बराबर करते हैं: 9(3x + 2y + 1) = 8(11x + 4y - 10)। यह 27x + 18y + 9 = 88x + 32y - 80 तक सरल हो जाता है। इन पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर दूसरा समीकरण 61x + 14y = 89 प्राप्त होता है।

x के लिए हल करने हेतु, हम दूसरे समीकरण से y को 14y = 89 - 61x के रूप में व्यक्त कर सकते हैं या y = (89 - 61x)/14। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 37x - 58((89 - 61x)/14) = -79 37x - 29(89 - 61x)/7 = -79 भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 7 से गुणा करने पर: 259x - 2581 + 1769x = -553 2028x = 2028 x = 1

x = 1 को 61x + 14y = 89 में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 61(1) + 14y = 89 14y = 28 y = 2

x + y का मान 1 + 2 = 3 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज स्थिर रहता है। मान लीजिए मूलधन P है और एक वर्ष का ब्याज I है। n वर्षों के बाद राशि का सूत्र A = P + (n × I) द्वारा दिया जाता है।

यह देखते हुए कि 8 वर्षों के बाद राशि रु. 1620 है और 5 वर्षों के बाद राशि रु. 1350 है, इन दोनों राशियों के बीच का अंतर 3 वर्षों के लिए साधारण ब्याज का प्रतिनिधित्व करता है। 3 वर्षों के लिए ब्याज = 1620 - 1350 = 270। 1 वर्ष के लिए ब्याज I = 270/3 = 90।

मूलधन P ज्ञात करने के लिए, हम 5 वर्षों के बाद की कुल राशि में से 5 वर्षों के साधारण ब्याज को घटाते हैं: 5 वर्षों के लिए ब्याज = 90 × 5 = 450। मूलधन P = 1350 - 450 = 900।

इस प्रकार, राशि रु. 900 है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

ज्यामिति में, किसी भी तीन गैर-संरेख बिंदुओं से, एक और केवल एक अद्वितीय वृत्त गुजरता है, जिसे उन तीन बिंदुओं द्वारा बनाए गए त्रिभुज का परित्रिभुज (circumcircle) कहा जाता है।

व्याख्या

एक बेलनाकार टैंक की कुल गीली सतह का क्षेत्रफल जिसमें पानी भरा होता है, उसमें वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल और पानी की गहराई तक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल शामिल होता है। कुल गीले क्षेत्रफल का सूत्र A = πr² + 2πrh द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h पानी की गहराई है।

व्यास d = 7m दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r = d/2 = 7/2 = 3.5m। पानी की गहराई h = 4m है। π ≈ 22/7 का उपयोग करते हुए, हम क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार करते हैं:

आधार का क्षेत्रफल = πr² = 22/7 × (3.5)² = 22/7 × 12.25 = 38.5m²। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 × 22/7 × 3.5 × 4 = 2 × 22 × 0.5 × 4 = 88m²।

इन दोनों को जोड़ने पर, कुल गीले सतह का क्षेत्रफल 38.5 + 88 = 126.5m² है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

दीवार को पेंट करने की कुल लागत ज्ञात करने के लिए, हमें पहले समलंब चतुर्भुज के आकार की दीवार का क्षेत्रफल मानक क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करना होगा: क्षेत्रफल = 1/2 × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई। दी गई समानांतर भुजाएँ a = 3 मीटर और b = 5 मीटर हैं, और ऊँचाई h = 4 मीटर है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: क्षेत्रफल = 1/2 × (3 + 5) × 4। इसे सरल करने पर क्षेत्रफल = 1/2 × 8 × 4, जो 4 × 4 = 16 वर्ग मीटर के बराबर होता है।

कुल लागत की गणना फिर दीवार के क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर पेंटिंग की दी गई दर से गुणा करके की जाती है। सूत्र कुल लागत = क्षेत्रफल × दर का उपयोग करके, हमें कुल लागत = 16 × 25 प्राप्त होती है। इसे शीघ्रता से हल करने के लिए, 16 × 25 को 4 × (4 × 25) = 4 × 100 = 400 के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, दीवार को पेंट करने की लागत रु. 400 है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

लॉन के चारों ओर बने रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम एक आयताकार भूखंड के चारों ओर बने रास्ते के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हैं: रास्ते का क्षेत्रफल = (बाहरी लम्बाई × बाहरी चौड़ाई) - (आंतरिक लम्बाई × आंतरिक चौड़ाई)। आंतरिक विमाएँ लम्बाई L = 30 मीटर और चौड़ाई W = 16 मीटर दी गई हैं। चूँकि w = 2 मीटर चौड़ा रास्ता लॉन को चारों ओर से घेरता है, इसलिए बाहरी लम्बाई L + 2w = 30 + 2(2) = 34 मीटर हो जाती है और बाहरी चौड़ाई W + 2w = 16 + 2(2) = 20 मीटर हो जाती है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें रास्ते का क्षेत्रफल = (34 × 20) - (30 × 16) = 680 - 480 = 200 मी² प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, शॉर्टकट सूत्र Area = 2w(L + W + 2w) का उपयोग करके, हम 2(2)(30 + 16 + 4) = 4(50) = 200 मी² की गणना करते हैं। इस प्रकार, विकल्प (a) सही है।

व्याख्या

अपूर्ण स्तंभ की ऊँचाई (h1) = 100 tan(45°) = 100 * 1 = 100 मी। पूर्ण स्तंभ की ऊँचाई (h2) = 100 tan(60°) = 100√3 मी। आवश्यक वृद्धि h2 - h1 = 100√3 - 100 = 100(√3 - 1) मी है।

व्याख्या

दो चर वाले रैखिक समीकरणों के निकाय a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के हल की प्रकृति उनके गुणांकों के अनुपातों द्वारा निर्धारित की जाती है। अनंत हलों के लिए मानक शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ है, जो इंगित करता है कि दो रेखाएँ संपाती (पूरी तरह से ओवरलैप) हैं।

दिए गए समीकरण x + 2y = 3 और 3x + 6y = 9 के लिए, हम गुणांकों को a₁ = 1, b₁ = 2, c₁ = 3 और a₂ = 3, b₂ = 6, c₂ = 9 के रूप में पहचानते हैं। इन मानों को अनुपात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

a₁/a₂ = 1/3 b₁/b₂ = 2/6 = 1/3 c₁/c₂ = 3/9 = 1/3

चूंकि 1/3 = 1/3 = 1/3, शर्त a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ संतुष्ट है। इसका तात्पर्य है कि दूसरा समीकरण पहले समीकरण का एक गुणक है (3 से गुणा किया गया), जिसका अर्थ है कि वे एक ही सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक हल है, जिसके परिणामस्वरूप विकल्प c में बताए अनुसार अनंत हल होते हैं।

व्याख्या

एक खोखले गोले का आयतन सूत्र Vₛ = 4/3π(R³ - r³) द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाह्य त्रिज्या है और r आंतरिक त्रिज्या है। दिया गया है कि बाह्य व्यास 8 सेमी और आंतरिक व्यास 4 सेमी है, तो त्रिज्याएँ R = 4 सेमी और r = 2 सेमी हैं। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, खोखले गोले का आयतन Vₛ = 4/3π(4³ - 2³) = 4/3π(64 - 8) = 4/3π(56) = 224π/3 सेमी³ है।

एक शंकु का आयतन सूत्र V꜀ = 1/3πr꜀²h द्वारा दिया जाता है। दिया गया है कि शंकु का आधार व्यास 8 सेमी है, तो इसकी त्रिज्या r꜀ = 4 सेमी है। इस प्रकार, V꜀ = 1/3π(4²)h = 16πh/3 सेमी³। चूँकि गोले को पिघलाकर शंकु बनाया जाता है, उनके आयतन बराबर होते हैं: 224π/3 = 16πh/3। दोनों पक्षों से π/3 को रद्द करने पर, हमें 224 = 16h मिलता है, जिसे सरल करने पर h = 224/16 = 14 सेमी प्राप्त होता है। इसलिए, शंकु की ऊँचाई 14 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए अंक x और y हैं। संख्या 10x + y है और अंकों का योग x + y = 8 है। पलटी हुई संख्या 10y + x है। अंतर (10x + y) - (10y + x) = 18 है, जो सरल होकर 9x - 9y = 18, या x - y = 2 हो जाता है। अंकों के बीच का अंतर 2 है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: लाभ प्रतिशत = (विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य)/क्रय मूल्य × 100। इसकी कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए, हमें नींबू की एक सामान्य मात्रा के लिए क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करना चाहिए। दी गई मात्राएँ 2 नींबू और 5 नींबू हैं, इसलिए हम 2 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेते हैं, जो कि 10 है।

मान लीजिए फल विक्रेता 10 नींबू खरीदता और बेचता है। 10 नींबू का क्रय मूल्य = 10/2 × 1 = 5 रुपये। 10 नींबू का विक्रय मूल्य = 10/5 × 3 = 2 × 3 = 6 रुपये।

अब, लाभ की गणना करें: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 6 - 5 = 1 रुपया। लाभ प्रतिशत = 1/5 × 100 = 20%।

वैकल्पिक रूप से, इकाई विधि का उपयोग करके, एक नींबू का क्रय मूल्य 1/2 = 0.50 रुपये है और एक नींबू का विक्रय मूल्य 3/5 = 0.60 रुपये है। प्रति नींबू लाभ 0.60 - 0.50 = 0.10 रुपये है। लाभ प्रतिशत 0.10/0.50 × 100 = 20% है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी भी सौदे के लिए जहाँ दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाती हैं, एक पर x% का लाभ और दूसरी पर x% की हानि होती है, वहाँ हमेशा कुल हानि होती है। इस शुद्ध हानि प्रतिशत की गणना के लिए मानक शॉर्टकट सूत्र x²/100% है। इस विशिष्ट समस्या में, x का मान 10 है। इस मान को सूत्र में रखने पर, हमें 10²/100 = 100/100 = 1% प्राप्त होता है। इसलिए, व्यक्ति को कुल सौदे में 1% की शुद्ध हानि होती है, जो विकल्प b से मेल खाता है। यह सूत्र-आधारित दृष्टिकोण प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में ऐसी समस्याओं को हल करने का सबसे कुशल तरीका है क्योंकि इससे घड़ियों के व्यक्तिगत क्रय मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। रु. 495 का दिया गया विक्रय मूल्य एक स्थिरांक है और हानि के अंतिम प्रतिशत को प्रभावित नहीं करता है।

व्याख्या

यदि 6 ≤ x ≤ 8 है, तो (x - 6) गैर-ऋणात्मक (≥ 0) है और (x - 8) गैर-धनात्मक (≤ 0) है। एक गैर-ऋणात्मक संख्या और एक गैर-धनात्मक संख्या का गुणनफल हमेशा गैर-धनात्मक होता है। इसलिए, (x - 6)(x - 8) ≤ 0।

व्याख्या

1780 का वर्गमूल लगभग 42.19 है। अगला पूर्ण वर्ग 43^2 = 1849 है। जोड़ी जाने वाली संख्या 1849 - 1780 = 69 है।

व्याख्या

a²b²x² - (a² + b²)x + 1 = 0 के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए, विविक्तकर (discriminant) (a² + b²)² - 4(a²b²)(1) = (a² - b²)² है। मूल x = [(a² + b²) ± (a² - b²)] / (2a²b²) हैं। मूल 1 = 2a² / 2a²b² = 1/b²। मूल 2 = 2b² / 2a²b² = 1/a²।

व्याख्या

एक बेलनाकार पात्र का आयतन सूत्र V꜀ᵧₗᵢₙₐₑᵣ = πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार त्रिज्या है और h ऊंचाई है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, V꜀ᵧₗᵢₙₐₑᵣ = π × (60)² × 10 = π × 3600 × 10 = 36000π घन सेमी। एक गोलाकार पात्र का आयतन सूत्र Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3 πR³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। चूँकि आयतन बराबर हैं, हम 4/3 πR³ = 36000π सेट करते हैं। दोनों तरफ से π को रद्द करने पर, हमें 4/3 R³ = 36000 मिलता है। R³ के लिए हल करने पर, हमें R³ = 36000 × 3/4 = 9000 × 3 = 27000 प्राप्त होता है। दोनों तरफ का घनमूल लेने पर, R = ∛27000 = 30 सेमी। गोलाकार पात्र का व्यास d उसकी त्रिज्या का दोगुना होता है, इसलिए d = 2 × 30 = 60 सेमी। अतः, विकल्प b सही है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है। प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल S₁ 616 वर्ग सेमी है। समस्या के अनुसार, क्षेत्रफल 75% कम हो जाता है, जिसका अर्थ है कि नया पृष्ठीय क्षेत्रफल S₂ मूल क्षेत्रफल का 25% है। इसलिए, S₂ = 616 × 25/100 = 616/4 = 154 वर्ग सेमी। नई त्रिज्या r₂ ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र 4πr₂² = 154 का उपयोग करते हैं। π = 22/7 रखने पर, हमें 4 × 22/7 × r₂² = 154 मिलता है। r₂² के लिए हल करने पर, हमें r₂² = (154 × 7)/(4 × 22) = (7 × 7)/4 = 49/4 मिलता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, r₂ = 7/2 = 3.5 सेमी, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

आधार से पहले जहाज की दूरी h / tan(30°) = h√3 है। आधार से दूसरे जहाज की दूरी h / tan(45°) = h है। चूँकि वे विपरीत दिशाओं में हैं, उनके बीच की कुल दूरी h√3 + h = (√3 + 1)h है।

व्याख्या

चूंकि रैखिक समीकरणों के युग्म mx + y = 5 और 2x + ny = 5 का हल (x, y) = (4, 1) है, इसलिए ये मान दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करने चाहिए। हम स्थिरांक m और n के मान ज्ञात करने के लिए समीकरणों में x = 4 और y = 1 प्रतिस्थापित करते हैं।

पहले समीकरण mx + y = 5 के लिए: m(4) + 1 = 5 4m = 5 - 1 4m = 4 m = 1

दूसरे समीकरण 2x + ny = 5 के लिए: 2(4) + n(1) = 5 8 + n = 5 n = 5 - 8 n = -3

अब, हम आवश्यक योग m + n की गणना करते हैं: m + n = 1 + (-3) m + n = 1 - 3 m + n = -2

इस प्रकार, m + n का मान -2 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

व्यंजक एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका के रूप में है। मान लीजिए a = 2.3 और b = 0.3। हम देखते हैं कि 0.027 = (0.3)³, और हर पद 0.69 और 0.09 क्रमशः 2.3 × 0.3 और (0.3)² के बराबर हैं। इसलिए, व्यंजक को (a³ - b³)/(a² + ab + b²) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) के अनुसार, व्यंजक सीधे a - b तक सरल हो जाता है। पहचाने गए मानों को इस सरलीकृत रूप में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2.3 - 0.3 = 2 प्राप्त होता है। इस प्रकार, व्यंजक का मान 2 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

पृथ्वी को 24 घंटे में 360° का एक पूरा चक्कर लगाने में लगते हैं। किसी विशेष अवधि में घूमे गए कोण को ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: कोण = दिया गया समय / पूर्ण चक्कर के लिए कुल समय × 360°।

सबसे पहले, 4 घंटे और 12 मिनट के दिए गए समय को घंटों की एक दशमलव इकाई में बदलें। चूँकि 60 मिनट में 1 घंटा होता है, 12 मिनट 12/60 = 0.2 घंटे के बराबर है। इस प्रकार, बीता हुआ कुल समय 4 + 0.2 = 4.2 घंटे है।

अब, सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें: कोण = 4.2 / 24 × 360°

गणना को सरल बनाने के लिए, पहले 360 को 24 से विभाजित करें: 360 / 24 = 15° प्रति घंटा

फिर, इस प्रति घंटा दर को बीते हुए कुल घंटों से गुणा करें: कोण = 4.2 × 15° कोण = (4 × 15) + (0.2 × 15) कोण = 60° + 3° = 63°

इसलिए, पृथ्वी 4 घंटे और 12 मिनट में 63° के कोण से घूमती है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कर्मचारी का मासिक सकल वेतन (gross pay) X है। समस्या के अनुसार, सामान्य भविष्य निधि (GPF) में योगदान सकल वेतन का 10% है, जो कि 0.10X है। शुद्ध वेतन वह राशि है जो इस कटौती के बाद शेष बचती है, जिसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: शुद्ध वेतन = सकल वेतन - GPF योगदान। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 13,500 = X - 0.10X मिलता है, जो 13,500 = 0.90X को सरल करता है। सकल वेतन ज्ञात करने के लिए, हम X = 13,500/0.90 = 15,000 की गणना करते हैं। इसलिए, मासिक GPF योगदान 15,000 का 10% है, जो 0.10 × 15,000 = 1,500 के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, शॉर्टकट अनुपात विधि का उपयोग करके, यदि कटौती 10% है, तो शुद्ध वेतन कुल का 90% दर्शाता है। चूँकि 90% रु. 13,500 के बराबर है, तो 10% 13,500/9 = 1,500 के बराबर होगा। इस प्रकार, विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, पहले हर 5, 6 और 10 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से प्रत्येक पद को गुणा करके भिन्नात्मक अनुपात को पूर्ण संख्या अनुपात में बदलें। 5, 6 और 10 का LCM 30 है।

सरलीकृत अनुपात A : B : C की गणना इस प्रकार की जाती है: A = 1/5 × 30 = 6 B = 1/6 × 30 = 5 C = 1/10 × 30 = 3

इस प्रकार, अनुपात 6 : 5 : 3 है। अनुपात के भागों का योग 6 + 5 + 3 = 14 है।

A के हिस्से का निर्धारण सूत्र द्वारा किया जाता है: A का हिस्सा = (A का अनुपात / अनुपातों का योग) × कुल राशि A का हिस्सा = 6/14 × 8400

भिन्न 6/14 को सरल करने पर 3/7 प्राप्त होता है। A का हिस्सा = 3/7 × 8400 = 3 × 1200 = 3600।

इसलिए, A का हिस्सा रु. 3600 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, दिए गए भिन्न-आधारित अनुपातों को पूर्ण संख्या अनुपातों में सरल करें। P:Q = 3/5 : 5/7 के लिए, हरों (35) के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से दोनों पदों को गुणा करें ताकि P:Q = 21:25 प्राप्त हो। Q:R = 3/4 : 2/5 के लिए, हरों (20) के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से दोनों पदों को गुणा करें ताकि Q:R = 15:8 प्राप्त हो।

संयुक्त अनुपात P:Q:R ज्ञात करने के लिए, हमें दोनों अनुपातों में Q के मान को बराबर करना होगा। 25 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 75 है। अनुपात P:Q को 3 से गुणा करने पर P:Q = (21 × 3) : (25 × 3) = 63:75 प्राप्त होता है। अनुपात Q:R को 5 से गुणा करने पर Q:R = (15 × 5) : (8 × 5) = 75:40 प्राप्त होता है। इसलिए, संयुक्त अनुपात P:Q:R = 63:75:40 है।

यह सत्यापित करने के लिए कि क्या विकल्प (b) इस परिणाम से मेल खाता है, अनुपात 9/20 : 15/28 : 2/7 को 20, 28, और 7 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 140 से प्रत्येक पद को गुणा करके सरल करें: P = 9/20 × 140 = 9 × 7 = 63 Q = 15/28 × 140 = 15 × 5 = 75 R = 2/7 × 140 = 2 × 20 = 40 इससे अनुपात 63:75:40 प्राप्त होता है, जो हमारे व्युत्पन्न मान से पूरी तरह मेल खाता है। इस प्रकार, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या

मैन-डेज़ सूत्र (M1 D1) / W1 = (M2 D2) / W2 का उपयोग करके: (10 8) / 20 = (M2 10) / 100। यह 4 = M2 / 10 तक सरल हो जाता है, इसलिए M2 = 40।

व्याख्या

ट्रेन द्वारा प्लेटफॉर्म को पार करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम सूत्र समय = कुल दूरी/गति का उपयोग करते हैं। जब कोई ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की जाने वाली कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है। इसलिए, कुल दूरी = 280 मीटर + 220 मीटर = 500 मीटर।

ट्रेन की गति किमी/घंटा में दी गई है, जिसे मीटर में दूरी के साथ एकरूपता बनाए रखने के लिए मीटर/सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए। रूपांतरण कारक 5/18 है। इस प्रकार, गति = 60 × 5/18 = (10 × 5)/3 = 50/3 मीटर/सेकंड।

इन मानों को समय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: समय = 500/(50/3) = (500 × 3)/50 = 10 × 3 = 30 सेकंड। इस परिणाम की विकल्पों से तुलना करने पर, हम पाते हैं कि विकल्प डी सही उत्तर है।

व्याख्या

दी गई शर्त x + y + z = 0 से, हम हर (denominator) में द्विपद पदों (binomial terms) को एकल शेष चर (single remaining variable) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। दी गई समीकरण x + y + z = 0 से, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन (substitutions) प्राप्त करते हैं: x + y = -z y + z = -x z + x = -y

अब, इन प्राप्त मानों को व्यंजक (expression) xyz/((x + y)(y + z)(z + x)) के हर में प्रतिस्थापित करें। हर (denominator) बन जाता है: (x + y)(y + z)(z + x) = (-z)(-x)(-y)

तीन ऋणात्मक पदों (negative terms) को एक साथ गुणा करने पर, परिणाम ऋणात्मक होता है क्योंकि ऋणात्मक चिह्नों की विषम संख्या (odd number) का गुणनफल ऋणात्मक होता है: (-z)(-x)(-y) = -(xyz)

इस परिणाम को पूर्ण व्यंजक (full expression) में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: xyz/-(xyz)

अंश (numerator) और हर (denominator) से xyz को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है: -1

इसलिए, व्यंजक का मान -1 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, जब किसी बहुपद P(x) को (x + 1) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(-1) होता है। P(-1) = (-1)^11 + 1 = -1 + 1 = 0।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, यदि (x - a), किसी बहुपद f(x) का गुणनखंड है, तो f(a) = 0 होता है। इस प्रश्न में, दिया गया बहुपद f(x) = x² + 4px - 11p है और गुणनखंड (x - 3) है। इसलिए, बहुपद में x = 3 रखने पर परिणाम शून्य आना चाहिए।

सूत्र का प्रयोग करने पर: f(3) = (3)² + 4p(3) - 11p = 0 9 + 12p - 11p = 0 9 + p = 0 p = -9

p का मान -9 परिकलित किया गया है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है। गुणनखंड प्रमेय का उपयोग ऐसे प्रश्नों के लिए सबसे कुशल शॉर्टकट है क्योंकि यह बहुपद के दीर्घ विभाजन या संश्लेषित विभाजन की समय लेने वाली प्रक्रिया से बचाता है।

व्याख्या

पदों का गुणनखंडन करने पर: (a^3b - ab^3) = ab(a^2 - b^2) = ab(a - b)(a + b); (a^3b^2 + a^2b^3) = a^2b^2(a + b); ab(a + b) = ab(a + b). लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सभी गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: a^2 b^2 (a + b) * (a - b) = a^2b^2(a^2 - b^2).

व्याख्या

जब कोई वृत्त किसी आयत को परिवृत्त करता है, तो आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। लंबाई l = 16 सेमी और चौड़ाई w = 12 सेमी वाले आयत के विकर्ण d की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: d = √(l² + w²) = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20 सेमी। चूँकि वृत्त का व्यास 20 सेमी है, त्रिज्या r 20/2 = 10 सेमी है। वृत्त का क्षेत्रफल मानक सूत्र A = πr² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। त्रिज्या का मान रखने पर, हमें A = π × (10)² = 100π वर्ग सेमी प्राप्त होता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई (√3/2) भुजा होती है। इसलिए, 2√3 = (√3/2)s, जिसका अर्थ है s = 4। क्षेत्रफल (√3/4) s^2 = (√3/4) * 16 = 4√3 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

त्रिभुज के तीनों शीर्षलम्ब जिस बिंदु पर मिलते हैं, उसे लंबकेंद्र कहा जाता है। किसी त्रिभुज का शीर्षलम्ब, शीर्ष से सम्मुख भुजा या सम्मुख भुजा को समाहित करने वाली रेखा पर खींचा गया लंबवत रेखा खंड होता है। चूँकि तीनों शीर्षलम्ब समवर्ती होते हैं, वे सभी एक ही बिंदु पर मिलते हैं, जो लंबकेंद्र होता है। लंबकेंद्र की स्थिति त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर करती है: न्यूनकोण त्रिभुज में, यह त्रिभुज के अंदर स्थित होता है; समकोण त्रिभुज में, यह उस शीर्ष पर स्थित होता है जहाँ समकोण होता है; और अधिककोण त्रिभुज में, यह त्रिभुज के बाहर स्थित होता है। यह बिंदु केंद्रक, जो माध्यिकाओं का संगमन बिंदु है, अंतःकेंद्र, जो कोण समद्विभाजकों का संगमन बिंदु है, और परिकेंद्र, जो भुजाओं के लंब समद्विभाजकों का संगमन बिंदु है, से भिन्न होता है।

व्याख्या

sinθ/cosθ + cosθ/sinθ = tanθ + cotθ = 2. माना tanθ = t। तब t + 1/t = 2, जो t^2 - 2t + 1 = 0, या (t - 1)^2 = 0 को सरल करता है। इस प्रकार tanθ = 1, और θ = 45°।

व्याख्या

डेटा का वर्गीकरण विशिष्ट विशेषताओं के आधार पर कच्चे डेटा को समूहों या वर्गों में व्यवस्थित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है। जब डेटा को भौगोलिक स्थानों, जैसे देशों, राज्यों, जिलों या शहरों के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है, तो इसे भौगोलिक या स्थानिक वर्गीकरण कहा जाता है। इस विशेष मामले में, जनसंख्या के आँकड़े भारत के विभिन्न राज्यों के अनुसार समूहीकृत और प्रस्तुत किए जा रहे हैं। चूंकि डेटा को वर्गीकृत करने के लिए उपयोग किया जाने वाला विशिष्ट कारक स्थानिक इकाई (राज्य) है, इसलिए वर्गीकरण भौगोलिक है। यद्यपि जनसंख्या के आँकड़े स्वयं मात्रात्मक प्रकृति के हैं, वर्गीकरण की विधि समूहीकरण के आधार पर निर्भर करती है, जो इस मामले में भारत का भूगोल है। इसलिए, इस डेटासेट के लिए विकल्प डी सबसे उपयुक्त वर्गीकरण है।

व्याख्या

मान लीजिए कि निवास की प्रारंभिक स्थिति कार्तीय तल पर मूल बिंदु (0, 0) पर है। छात्र पहले √2x किमी पूर्व की ओर चलता है, बिंदु (√2x, 0) पर पहुँचता है। अगला, वह x किमी उत्तर की ओर चलता है, जिससे उसकी स्थिति (√2x, x) हो जाती है। तीसरी गति x किमी उत्तर-पूर्व की ओर है। चूँकि उत्तर-पूर्व, पूर्व अक्ष से 45° के कोण पर है, विस्थापन घटक x cos 45° पूर्व और x sin 45° उत्तर हैं। cos 45° = sin 45° = 1/√2 का उपयोग करते हुए, नई स्थिति (√2x + x/√2, x + x/√2) हो जाती है। अंत में, उत्तर-पूर्व से 90° दाएँ मुड़ने पर वह दक्षिण-पूर्व की ओर इंगित करता है। x किमी दक्षिण-पूर्व की ओर चलने पर x-निर्देशांक में x cos 45° जुड़ जाता है और y-निर्देशांक से x sin 45° घट जाता है। स्कूल के अंतिम निर्देशांक (√2x + x/√2 + x/√2, x + x/√2 - x/√2) हैं, जो सरल होकर (2√2x, x) हो जाते हैं। निवास (0, 0) से स्कूल की सबसे छोटी दूरी दूरी सूत्र √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)) का उपयोग करके गणना की जाती है, जो √((2√2x)² + x²) = √(8x² + x²) = √(9x²) = 3x देता है। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

कुल क्षेत्रफल समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसकी भुजाओं पर बनाए गए तीन वर्गों के क्षेत्रफलों का योग है। समकोण बनाने वाली भुजाओं a और b वाले समकोण त्रिभुज के लिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र Areaₜᵣᵢₐₙ₉ₗₑ = 1/2 ab = 0.5 ab द्वारा दिया जाता है। भुजाओं a और b पर बने वर्गों के क्षेत्रफल क्रमशः a² और b² हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण c का वर्ग c² = a² + b² है, जो कर्ण पर बनाए गए वर्ग के क्षेत्रफल को भी दर्शाता है। इन मानों को जोड़ने पर, कुल क्षेत्रफल a² + b² + (a² + b²) + 0.5 ab होता है, जो 2a² + 2b² + 0.5 ab के रूप में सरल हो जाता है। पहले दो पदों से 2 को गुणनखंडित करने पर, हमें 2(a² + b²) + 0.5 ab प्राप्त होता है, जो विकल्प (c) के अनुरूप है।

व्याख्या

प्रश्न में टाइपिंग की त्रुटियाँ हैं, लेकिन दिए गए उत्तर कुंजी और विकल्पों की संरचना (जो 2 * 3100191 जैसे गुणन व्यंजक प्रतीत होते हैं) के आधार पर, विकल्प A को सही उत्तर के रूप में नामित किया गया है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं। समस्या के अनुसार, संख्याओं का योग x + y = 10 है और उनका गुणनफल xy = 20 है। हमें उनके व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करना है, जिसे व्यंजक 1/x + 1/y द्वारा दर्शाया जाता है। एक सामान्य हर का उपयोग करके भिन्नों को संयोजित करके, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका 1/x + 1/y = (x + y)/xy का उपयोग करते हैं। दिए गए योग और गुणनफल को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हमें 10/20 प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 10 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल बनाने पर 1/2 प्राप्त होता है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है। यह शॉर्टकट x और y के व्यक्तिगत मानों को हल करने की आवश्यकता से बचाता है, जिससे यह प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सबसे कुशल तरीका बन जाता है।

व्याख्या

इन परिमेय व्यंजकों के विभाजन को हल करने के लिए, हम इस नियम का उपयोग करते हैं कि किसी भिन्न से भाग देना उसके व्युत्क्रम से गुणा करने के बराबर होता है। व्यंजक बन जाता है (x² - 3x + 2)/(x² - 5x + 6) × (x² - 7x + 12)/(x² - 5x + 4)। इसके बाद, हम प्रत्येक द्विघात त्रिपद को सूत्र x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) का उपयोग करके गुणनखंडित करते हैं।

पहले पद के लिए, x² - 3x + 2 का गुणनखंड (x-1)(x-2) होता है और x² - 5x + 6 का गुणनखंड (x-2)(x-3) होता है। दूसरे पद के लिए, x² - 7x + 12 का गुणनखंड (x-3)(x-4) होता है और x² - 5x + 4 का गुणनखंड (x-1)(x-4) होता है। इन गुणनखंडों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

((x-1)(x-2))/((x-2)(x-3)) × ((x-3)(x-4))/((x-1)(x-4))

अंश और हर में सामान्य पदों को रद्द करके, हम देखते हैं कि (x-1), (x-1) से रद्द हो जाता है, (x-2), (x-2) से रद्द हो जाता है, (x-3), (x-3) से रद्द हो जाता है, और (x-4), (x-4) से रद्द हो जाता है। चूंकि सभी पद रद्द हो जाते हैं, अंतिम परिणाम 1 होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल तीन अलग-अलग भागों से मिलकर बनता है: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, शेष वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल, और शंक्वाकार गुहा का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

दिए गए आयाम r = 3 सेमी और h = 4 सेमी का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित सूत्रों को लागू करते हैं: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2π(3)(4) = 24π वर्ग सेमी। वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल = πr² = π(3)² = 9π वर्ग सेमी। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl, जहाँ l तिर्यक ऊंचाई है।

सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तिर्यक ऊंचाई l की गणना करें: l = √(r² + h²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 सेमी। अब, शंक्वाकार गुहा का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(3)(5) = 15π वर्ग सेमी।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इन तीन घटकों का योग है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 24π + 9π + 15π = 48π वर्ग सेमी।

इस प्रकार, विकल्प (d) सही परिणाम है।

व्याख्या

यह देखते हुए कि A = π/6 और B = π/3 है, हम पाते हैं कि A + B = π/6 + π/3 = π/2। इसका मतलब है कि A और B पूरक कोण हैं। पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि sin A = cos B, cos A = sin B, tan A = cot B, और cot A = tan B।

कथन 1 के लिए, बायां पक्ष sin A + sin B है। सर्वसमिका sin A = cos B और sin B = cos A को प्रतिस्थापित करने पर, हमें cos B + cos A मिलता है, जो कि ठीक दायां पक्ष cos A + cos B है। संख्यात्मक रूप से, sin(π/6) + sin(π/3) = 1/2 + √3/2 और cos(π/6) + cos(π/3) = √3/2 + 1/2। दोनों पक्ष (1 + √3)/2 के बराबर हैं।

कथन 2 के लिए, बायां पक्ष tan A + tan B है। सर्वसमिका tan A = cot B और tan B = cot A को प्रतिस्थापित करने पर, हमें cot B + cot A मिलता है, जो कि ठीक दायां पक्ष cot A + cot B है। संख्यात्मक रूप से, tan(π/6) + tan(π/3) = 1/√3 + √3 = 4/√3 और cot(π/6) + cot(π/3) = √3 + 1/√3 = 4/√3।

चूंकि पूरक कोण गुणों के कारण दोनों कथन गणितीय रूप से समान हैं, इसलिए विकल्प c सही है।

व्याख्या

सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का प्रयोग करके: 6² = 26 + 2(ab + bc + ca). 36 - 26 = 2(ab + bc + ca), इसलिए 10 = 2(ab + bc + ca), जिससे ab + bc + ca = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या 9999 है। 9999 को 88 से विभाजित करने पर भागफल 113 और शेषफल 55 आता है। अतः, सबसे बड़ी विभाज्य संख्या 9999 - 55 = 9944 है।

व्याख्या

समय और कार्य की समस्याओं को हल करने का सबसे प्रभावी तरीका कुल कार्य इकाइयों को निर्धारित करने के लिए LCM विधि का उपयोग करना है। मान लीजिए कुल कार्य 8, 10 और 15 का LCM है, जो 120 इकाइयाँ है। A, B और C की दैनिक दक्षता की गणना इस प्रकार की जाती है: A की दक्षता = 120/8 = 15 इकाइयाँ/दिन, B की दक्षता = 120/10 = 12 इकाइयाँ/दिन, और C की दक्षता = 120/15 = 8 इकाइयाँ/दिन।

A और B पहले 2 दिनों तक एक साथ काम करते हैं। इस अवधि में पूरा हुआ कार्य 2 × (15 + 12) = 2 × 27 = 54 इकाइयाँ है। शेष कार्य 120 - 54 = 66 इकाइयाँ है। A के छोड़ने के बाद, B और C शेष कार्य को पूरा करने के लिए एक साथ काम करते हैं। उनकी संयुक्त दक्षता 12 + 8 = 20 इकाइयाँ/दिन है। B और C द्वारा शेष 66 इकाइयों को पूरा करने में लिया गया समय 66/20 = 33/10 दिन है।

कार्य को पूरा करने में लिया गया कुल समय प्रारंभिक 2 दिनों और B और C द्वारा बिताए गए समय का योग है: कुल दिन = 2 + 33/10 = (20 + 33)/10 = 53/10 दिन। इस प्रकार, विकल्प d सही है।

व्याख्या

बाल्टी एक शंकु के छिन्नक के आकार में है। एक शंकु के छिन्नक का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = 1/3 πh (R² + r² + Rr) जहाँ ऊँचाई h = 40 सेमी, बड़े सिरे की त्रिज्या R = 35 सेमी, और छोटे सिरे की त्रिज्या r = 14 सेमी दी गई है, हम π = 22/7 का उपयोग करके इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: V = 1/3 × 22/7 × 40 × (35² + 14² + 35 × 14) ब्रैकेट के अंदर के पदों की गणना: 35² = 1225 14² = 196 35 × 14 = 490 योग = 1225 + 196 + 490 = 1911 अब, योग को आयतन समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: V = 1/3 × 22/7 × 40 × 1911 चूँकि 1911, 21 (जहाँ 21 = 3 × 7) से विभाज्य है: 1911 ÷ 21 = 91 V = 22 × 40 × 91 V = 880 × 91 = 80080 घन सेमी। इसलिए, विकल्प (c) सही मान है।

व्याख्या

मान लीजिए घन की भुजा को a से दर्शाया गया है। घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S का सूत्र S = 6a² है और उसके आयतन V का सूत्र V = a³ है। S और V के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, हम दोनों चरों के पदों में a को व्यक्त कर सकते हैं। आयतन सूत्र से, हमारे पास a = V¹/³ है, जिसका अर्थ है a⁶ = V²। पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र से, हमारे पास S = 6a² है। पृष्ठीय क्षेत्रफल समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर S³ = (6a²)³ प्राप्त होता है, जो S³ = 216a⁶ तक सरल हो जाता है। इस समीकरण में a⁶ = V² का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें S³ = 216V² प्राप्त होता है। यह सीधे विकल्प (b) से मेल खाता है। इस प्रकार, घन के दो मूल ज्यामितीय सूत्रों से भुजा की लंबाई a को समाप्त करके संबंध स्थापित किया गया है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण संपूरक होते हैं (A + C = 180° और B + D = 180°)। इसलिए, cos C = cos(180° - A) = -cos A और cos D = cos(180° - B) = -cos B। योग cos A + cos B + cos C + cos D = cos A + cos B - cos A - cos B = 0।

व्याख्या

2, 3 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 30 है। वह संख्या जिसे इन संख्याओं से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है, वह 30n + 1 के रूप में होगी। n=1 के लिए, संख्या 31 है।

व्याख्या

माध्यिका डेटा सेट का मध्य मान होता है जब प्रेक्षणों को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। n प्रेक्षणों के एक सेट के लिए, यदि n विषम है, तो माध्यिका (n+1)/2 वें स्थान पर मान होता है। यदि n सम है, तो माध्यिका n/2 और n/2 + 1 वें स्थानों पर मानों का औसत होती है।

जब सबसे छोटा और सबसे बड़ा प्रेक्षण हटा दिया जाता है, तो प्रेक्षणों की कुल संख्या n-2 हो जाती है। यदि n विषम था, तो नई माध्यिका नए सेट के ((n-2)+1)/2 = (n-1)/2 वें स्थान पर होती है, जो मूल सेट के (n+1)/2 वें स्थान के ठीक बराबर है। यदि n सम था, तो नई माध्यिका नए सेट के (n-2)/2 वें और (n-2)/2 + 1 वें स्थानों का औसत होती है, जो मूल सेट के n/2 और n/2 + 1 वें स्थानों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार, माध्यिका अपरिवर्तित रहती है।

इसके विपरीत, माध्य x̄ = Σxᵢ/n और मानक विचलन σ = √((Σ(xᵢ - x̄)²)/n) चरम मानों के प्रति संवेदनशील होते हैं। न्यूनतम और अधिकतम प्रेक्षणों को हटाने से आम तौर पर डेटा के योग और प्रसार में परिवर्तन होता है, जिससे ये माप बदल जाते हैं। यदि चरम मान सबसे अधिक बारंबारता वाले प्रेक्षण थे तो बहुलक भी बदल सकता है।

व्याख्या

ax² - bx + c = 0 के रूप के एक द्विघात समीकरण के लिए, इसके मूलों का योग और गुणनफल निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिए जाते हैं: मूलों का योग = -(-b)/a = b/a मूलों का गुणनफल = c/a

यह देखते हुए कि sin θ और cos θ समीकरण के मूल हैं, हम लिख सकते हैं: sin θ + cos θ = b/a sin θ cos θ = c/a

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम मूलों के योग का वर्ग करते हैं: (sin θ + cos θ)² = sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ

इस व्यंजक में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हुए: (b/a)² = 1 + 2(c/a) b²/a² = 1 + 2c/a

हरों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को a² से गुणा करते हुए: b² = a² + 2ac

दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हुए: a² - b² + 2ac = 0

यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

एक इकाई रेडियन का मान वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा बनाए गए कोण के रूप में परिभाषित किया गया है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: 1 रेडियन = 180/π डिग्री।

π ≈ 3.14159265 का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 रेडियन = 180/3.14159265 ≈ 57.2957795°।

इस दशमलव डिग्री मान को डिग्री, मिनट और सेकंड (DMS) में बदलने के लिए, हम निम्नलिखित गणनाएँ करते हैं: पूर्णांक भाग 57° है। मिनट ज्ञात करने के लिए शेष भिन्नात्मक भाग को 60 से गुणा करें: 0.2957795 × 60 = 17.74677'। पूर्णांक भाग 17' है। मिनट के शेष भिन्नात्मक भाग को सेकंड ज्ञात करने के लिए 60 से गुणा करें: 0.74677 × 60 = 44.8062"।

44.8062" को निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर 45" प्राप्त होता है। इसलिए, 1 रेडियन लगभग 57°17'45" के बराबर होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए, अंकगणितीय माध्य (AM), ज्यामितीय माध्य (GM), और हरात्मक माध्य (HM) के बीच संबंध मौलिक सूत्र GM² = AM × HM द्वारा दिया जाता है। यह संबंध दर्शाता है कि ज्यामितीय माध्य, अंकगणितीय और हरात्मक माध्यों का ज्यामितीय माध्य है।

दिए गए मान AM = 14 और GM = 12 हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

12² = 14 × HM 144 = 14 × HM

हरात्मक माध्य ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 14 से विभाजित करें:

HM = 144/14

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर:

HM = 72/7

इसलिए, दो संख्याओं का हरात्मक माध्य 72/7 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

वृत्तों के गुणधर्म के अनुसार, व्यास द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण 90° होता है। इसलिए, बिंदु P का वह बिंदु पथ जिसके लिए कोण APB = 90° है, AB को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त की परिधि है।

व्याख्या

कुल कार्य = 76 महिलाएँ * 33 दिन = 2508 महिला-दिन। यदि कार्य 44 दिनों में पूरा हुआ, तो कार्य करने वाली महिलाओं की संख्या 2508 / 44 = 57 है। कार्य में शामिल न होने वाली महिलाओं की संख्या 76 - 57 = 19 है।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, यदि किसी बहुपद P(x) को (ax - b) के रूप के एक रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(b/a) के बराबर होता है। इस समस्या में, बहुपद P(x) = 3x³ - 2x²y - 13xy² + 10y³ है और भाजक x - 2y है। y को एक स्थिरांक मानते हुए और भाजक को शून्य पर सेट करते हुए, हमें x = 2y प्राप्त होता है। बहुपद में x = 2y का प्रतिस्थापन शेषफल प्रदान करता है।

गणना इस प्रकार है: शेषफल = 3(2y)³ - 2(2y)²y - 13(2y)y² + 10y³ = 3(8y³) - 2(4y²)y - 26y³ + 10y³ = 24y³ - 8y³ - 26y³ + 10y³ = (24 - 8 - 26 + 10)y³ = (16 - 26 + 10)y³ = (-10 + 10)y³ = 0

चूंकि शेषफल 0 है, यह इंगित करता है कि x - 2y दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है। इसलिए, विकल्प a सही परिणाम है।

व्याख्या

उन समस्याओं के लिए जहाँ मीनार के एक ही तरफ दो बिंदुओं से उन्नयन कोण पूरक होते हैं, मीनार की ऊँचाई सीधे सूत्र h = √(d₁ · d₂) का उपयोग करके गणना की जा सकती है, जहाँ d₁ और d₂ मीनार के आधार से दो बिंदुओं की दूरियाँ हैं। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त होता है कि यदि एक कोण θ है, तो दूसरा 90° - θ है, और चूँकि tan(θ) · tan(90° - θ) = tan(θ) · cot(θ) = 1, हमारे पास (h/d₁) · (h/d₂) = 1 है।

दिए गए मान d₁ = 36 मीटर और d₂ = 64 मीटर को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: h = √(36 · 64) h = √36 · √64 h = 6 · 8 h = 48 मीटर।

इस प्रकार, मीनार की ऊँचाई 48 मीटर है, जो विकल्प b) से मेल खाती है।

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज के मैदान का कुल क्षेत्रफल सूत्र A_field = (√3/4) a² का उपयोग करके निकाला जाता है। भुजा की लंबाई a = 6 मीटर रखने पर, हमें A_field = (√3/4) × 36 = 9√3 ≈ 15.588 वर्ग मीटर प्राप्त होता है। चूँकि घोड़े को एक शीर्ष से बांधा गया है, वह 4.2 मीटर त्रिज्या और समबाहु त्रिभुज के आंतरिक कोण के बराबर केंद्रीय कोण 60° वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड में चर सकता है। इस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A_grazing = (θ/360°) π r² सूत्र द्वारा दिया जाता है। θ = 60° और r = 4.2 मीटर रखने पर, हमें A_grazing = (60/360) × π × (4.2)² = (1/6) × π × 17.64 = 2.94π ≈ 9.236 वर्ग मीटर प्राप्त होता है। चरने के लिए उपलब्ध कुल क्षेत्रफल का प्रतिशत (A_grazing/A_field) × 100 = (9.236/15.588) × 100 ≈ 59.24% के रूप में निकाला जाता है। यह परिणाम विकल्प (c) 59% द्वारा सर्वोत्तम सन्निकटित है।

व्याख्या

sqrt(0.0032 / 0.32) = sqrt(0.01) = 0.1।

व्याख्या

समुच्चय सिद्धांत में, वस्तुओं के संग्रह को समुच्चय तभी कहा जाता है जब वह सु-परिभाषित हो। कोई संग्रह सु-परिभाषित होता है यदि कोई वस्तुनिष्ठ मानदंड हो जिससे यह निर्धारित किया जा सके कि कोई विशिष्ट तत्व संग्रह से संबंधित है या नहीं। कथन 1 गलत है क्योंकि एक ज्यामितीय रेखा में अनंत बिंदु होते हैं, जिसका अर्थ है कि समुच्चय परिमित के बजाय अनंत है। कथन 2 गलत है क्योंकि 'बुद्धिमान' शब्द व्यक्तिपरक है और व्यक्ति-व्यक्ति में भिन्न होता है; एक निश्चित गणितीय या वस्तुनिष्ठ सीमा के बिना, यह संग्रह सु-परिभाषित नहीं है। इसी तरह, कथन 3 गलत है क्योंकि 'अच्छी' शब्द एक सापेक्ष शब्द है और इसमें एक मानक वस्तुनिष्ठ माप का अभाव है, जिससे अच्छी पुस्तकों का संग्रह सु-परिभाषित नहीं होता है। चूंकि कोई भी कथन सही नहीं है, इसलिए विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

x^2 - 6x + 6 = 0 के लिए, अल्फा + बीटा = 6 और अल्फाबीटा = 6। अल्फा^2 + बीटा^2 = (अल्फा + बीटा)^2 - 2(अल्फाबीटा) = 36 - 12 = 24। अल्फा^3 + बीटा^3 = (अल्फा + बीटा)(अल्फा^2 + बीटा^2 - अल्फाबीटा) = 6(24 - 6) = 6 * 18 = 108। कुल योग = 108 + 24 + 6 = 138।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2ᵐ + 2¹⁺ᵐ = 24 को हल करने के लिए, हम घातांकों के मूल नियम का उपयोग करते हैं जो कहता है कि aˣ⁺ʸ = aˣ · aʸ। समीकरण के दूसरे पद पर इस नियम को लागू करने पर, हम 2¹⁺ᵐ को 2¹ · 2ᵐ के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो 2 · 2ᵐ के बराबर है। इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2ᵐ + 2 · 2ᵐ = 24 मिलता है। बाईं ओर समान पदों को संयोजित करने पर, हमें (1 + 2) · 2ᵐ = 24 मिलता है, जो 3 · 2ᵐ = 24 को सरल करता है। समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर, हमें 2ᵐ = 8 प्राप्त होता है। चूंकि हम जानते हैं कि 8 को 2 की घात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, विशेष रूप से 8 = 2³, हम समीकरण को 2ᵐ = 2³ के रूप में लिख सकते हैं। समान आधार के घातांकों की तुलना करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि m = 3। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, √n का मान इस बात पर निर्भर करता है कि n एक पूर्ण वर्ग है या नहीं। यदि n एक पूर्ण वर्ग है, जिसका अर्थ है कि n = k² किसी प्राकृत संख्या k के लिए, तो √n = k, जो कि एक प्राकृत संख्या भी है। उदाहरण के लिए, यदि n = 4, तो √4 = 2, और यदि n = 9, तो √9 = 3। इसके विपरीत, यदि n एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो इसका वर्गमूल √n हमेशा एक अपरिमेय संख्या होती है, जिसका अर्थ है कि इसे दो पूर्णांकों p/q के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरणों में √2, √3, √5, और √7 शामिल हैं। चूंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या या तो एक पूर्ण वर्ग होती है या नहीं होती है, इसलिए √n या तो एक प्राकृत संख्या या एक अपरिमेय संख्या होनी चाहिए, जो विकल्प (d) के अनुरूप है।

व्याख्या

X = 5 के लिए संचयी आवृत्ति, 5 तक X के सभी मानों के लिए आवृत्तियों का योग है: 2 + 7 + 14 + 22 = 45।

व्याख्या

अंकगणितीय श्रेणी में संख्याओं के एक समुच्चय के लिए, जैसे कि समुच्चय S = {1, 2, 3, …, n}, माध्यक हमेशा पहले और अंतिम पदों का औसत होता है। n क्रमागत पूर्णांकों के माध्यक के सूत्र को लागू करने पर: माध्यक = (1 + n)/2। यह सत्य है चाहे n सम हो या विषम। उदाहरण के लिए, यदि n=5 है, तो माध्यक (1+5)/2 = 3 है। यदि n=6 है, तो माध्यक (1+6)/2 = 3.5 है। इस प्रकार, कथन 1 गणितीय रूप से सही है।

बहुलक को उस मान के रूप में परिभाषित किया गया है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है। दिए गए समुच्चय S में, 1 से n तक प्रत्येक पूर्णांक ठीक एक बार आता है। जब समुच्चय में प्रत्येक तत्व की आवृत्ति समान होती है, तो समुच्चय का कोई बहुलक नहीं माना जाता है। चूंकि n समुच्चय में किसी अन्य संख्या की तुलना में अधिक बार नहीं आता है, इसलिए यह बहुलक नहीं हो सकता। इसलिए, कथन 2 गलत है। परिणामस्वरूप, केवल कथन 1 सही है, जिससे विकल्प A सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए दो बेलनों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं, और उनकी ऊँचाइयाँ h₁ और h₂ हैं। त्रिज्याओं का अनुपात r₁ : r₂ = 2 : 3 और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात CSA₁ : CSA₂ = 5 : 3 दिया गया है।

बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र CSA = 2πrh है। अनुपात लेने पर: CSA₁/CSA₂ = 2πr₁h₁/2πr₂h₂ = r₁/r₂ × h₁/h₂ ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5/3 = 2/3 × h₁/h₂ h₁/h₂ = 5/3 × 3/2 = 5/2

बेलन के आयतन का सूत्र V = πr²h है। आयतनों का अनुपात लेने पर: V₁/V₂ = πr₁²h₁/πr₂²h₂ = (r₁/r₂)² × h₁/h₂ त्रिज्याओं और ऊँचाइयों के अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर: V₁/V₂ = (2/3)² × 5/2 = 4/9 × 5/2 = 20/18 = 10/9

उनके आयतनों का अनुपात 10:9 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो वृत्तों के क्षेत्रफल A_(C1) और A_(C2) हैं। दिया गया है कि A_(C1) : A_(C2) = 1 : 2। चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है, उनकी त्रिज्याओं r₁ : r₂ का अनुपात √1 : √2 है, जो कि 1 : √2 है। वृत्त की परिधि 2πr द्वारा दी जाती है, इसलिए उनकी परिधियों का अनुपात भी r₁ : r₂ = 1 : √2 है। जब इन वृत्तों को वर्गों के रूप में मोड़ा जाता है, तो उनकी परिधियाँ वर्गों की परिमाप बन जाती हैं। मान लीजिए परिमाप Pₛ₁ और Pₛ₂ हैं। इस प्रकार, Pₛ₁ : Pₛ₂ = 1 : √2। किसी भी वर्ग के लिए, क्षेत्रफल Aₛ = (P/4)² होता है। इसलिए, वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात Pₛ₁² : Pₛ₂² है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1² : (√2)² मिलता है, जो 1 : 2 के रूप में सरल होता है। विकल्प a सही है।

व्याख्या

माना कि आयत की चौड़ाई को w से दर्शाया जाता है। समस्या के अनुसार, लंबाई l चौड़ाई के दोगुने से 5 इकाई अधिक है, जिसे l = 2w + 5 के रूप में लिखा जा सकता है। आयत के क्षेत्रफल का सूत्र क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समीकरण 75 = (2w + 5)w प्राप्त होता है, जो द्विघात समीकरण 2w² + 5w - 75 = 0 को सरल करता है। w के लिए हल करने हेतु, हम गुणनखंडन विधि का उपयोग कर सकते हैं: 2w² + 15w - 10w - 75 = 0, जो आगे w(2w + 15) - 5(2w + 15) = 0 को सरल करता है, जिससे (w - 5)(2w + 15) = 0 प्राप्त होता है। इससे w = 5 या w = -7.5 प्राप्त होता है। चूँकि किसी ज्यामितीय आकृति की चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए चौड़ाई 5 इकाई होनी चाहिए। वैकल्पिक रूप से, विकल्प प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके, यदि हम विकल्प (b) का परीक्षण करते हैं जहाँ w = 5 है, तो लंबाई 2(5) + 5 = 15 हो जाती है। फिर क्षेत्रफल 5 × 15 = 75 वर्ग इकाई होता है, जो दी गई शर्त से पूरी तरह मेल खाता है। इस प्रकार, चौड़ाई 5 इकाई है।

व्याख्या

किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है। चूँकि त्रिज्या r व्यास d की आधी होती है, सूत्र को व्यास के पदों में S = πd² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। समस्या के अनुसार, व्यास दोगुना कर दिया जाता है, इसलिए नया व्यास d_नया = 2d। पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, नया पृष्ठीय क्षेत्रफल S_नया π(2d)² = 4πd² हो जाता है। नए पृष्ठीय क्षेत्रफल की मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि S_नया = 4 × (πd²) = 4S। इस प्रकार, पृष्ठीय क्षेत्रफल चार गुना बढ़ जाता है, जिससे विकल्प c सही उत्तर बन जाता है। यह वर्ग-घन नियम (square-cube law) का अनुसरण करता है, जहाँ एक मापित वस्तु का क्षेत्रफल स्केलिंग कारक के वर्ग से बढ़ता है। चूँकि स्केलिंग कारक 2 है, क्षेत्रफल 2² = 4 से बढ़ता है।

व्याख्या

मूलधन ज्ञात करने के लिए, हम साधारण ब्याज के तहत कुल राशि के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: A = P(1 + (RT)/100), जहाँ A राशि है, P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास 364.80 = P(1 + (3.5 × 8)/100) है। सबसे पहले, दर और समय के गुणनफल की गणना करें: 3.5 × 8 = 28। यह समीकरण को 364.80 = P(1 + 28/100) तक सरल करता है, जो 364.80 = P(1 + 0.28) या 364.80 = 1.28P है। P को अलग करने के लिए, हम कुल राशि को 1.28 से विभाजित करते हैं: P = 364.80/1.28। विभाजन करने पर, 36480 ÷ 128 = 285। इसलिए, मूलधन रु. 285 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या में, पेड़ की ऊंचाई और उसकी छाया की लंबाई एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं जहाँ सूर्य का उन्नयन कोण जमीन और कर्ण के बीच का कोण दर्शाता है। पेड़ की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय अनुपात स्पर्शज्या (tangent) का उपयोग करते हैं, जो विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है। लागू सूत्र है tan(θ) = ऊंचाई/छाया। यह देखते हुए कि कोण θ = 60° और छाया की लंबाई 16 मीटर है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: tan(60°) = h/16। चूंकि tan(60°) का मानक मान √3 है, समीकरण √3 = h/16 बन जाता है। h के लिए हल करने पर, हमें h = 16 × √3 = 16√3 मीटर प्राप्त होता है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए घनाकार डिब्बे की भुजा की लंबाई a है। घन का आयतन सूत्र V꜀ᵤᵦₑ = a³ द्वारा दिया जाता है। चूँकि गोला घन में अंतर्निहित है और सभी छह फलकों को स्पर्श करता है, गोले का व्यास घन की भुजा की लंबाई के बराबर है। इसलिए, गोले की त्रिज्या r, r = a/2 है।

गोले का आयतन सूत्र Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3π r³ का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। a के पदों में r का मान रखने पर, हमें Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3π (a/2)³ = 4/3π a³/8 = π a³/6 प्राप्त होता है।

घनाकार डिब्बे के आयतन और गोले के आयतन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम V꜀ᵤᵦₑ को Vₛₚₕₑᵣₑ से विभाजित करते हैं: अनुपात = V꜀ᵤᵦₑ/Vₛₚₕₑᵣₑ = a³/(π a³/6) = a³ × 6/π a³ = 6/π।

यह गणना दर्शाती है कि अनुपात 6/π है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल = महत्तम समापवर्तक (GCD) × लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)। 6912 = 24 × LCM। LCM = 6912 / 24 = 288।

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = भुजा² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। भुजा की लम्बाई 6 सेमी दी गई है, इसलिए वर्ग का क्षेत्रफल 6² = 36 वर्ग सेमी है। चूँकि त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल भी 36 वर्ग सेमी है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × शीर्षलम्ब द्वारा दिया जाता है। यहाँ, आधार AB 9 सेमी दिया गया है और शीर्षलम्ब अज्ञात मान h है जिसे हमें ज्ञात करना है। ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 36 = 1/2 × 9 × h 36 = 4.5h h = 36/4.5 h = 8 सेमी

इस प्रकार, AB पर शीर्षलम्ब की लम्बाई 8 सेमी है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, मानक गणितीय सूत्र का उपयोग किया जाता है: भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

दी गई भिन्नें 2/3, 7/9, और 14/15 हैं। अंश 2, 7, और 14 हैं। हर 3, 9, और 15 हैं।

सबसे पहले, अंशों (2, 7, 14) का LCM ज्ञात करें। चूँकि 14, 2 और 7 दोनों का गुणज है, इसलिए 2, 7 और 14 का LCM 14 है।

इसके बाद, हरों (3, 9, 15) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें। 3 के गुणनखंड 1, 3 हैं; 9 के गुणनखंड 1, 3, 9 हैं; और 15 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15 हैं। इनमें से सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड 3 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: LCM = LCM(2, 7, 14) / HCF(3, 9, 15) = 14/3

इस प्रकार, दी गई भिन्नों का LCM 14/3 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

उन यात्राओं के लिए औसत गति u जहाँ समान दूरियाँ विभिन्न गतियों से तय की जाती हैं, गतियों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) द्वारा दी जाती है। औसत गति का मूल सूत्र u = कुल दूरी/कुल समय है। मान लीजिए वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई L है। कार द्वारा तय की गई कुल दूरी 4L है। चार भुजाओं में से प्रत्येक को तय करने में लगने वाला समय t₁ = L/v, t₂ = L/2v, t₃ = L/3v, और t₄ = L/4v है।

कुल समय T इन व्यक्तिगत अवधियों का योग है: T = L/v + L/2v + L/3v + L/4v = L/v (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) T = L/v (12 + 6 + 4 + 3/12) = 25L/12v

अब, औसत गति सूत्र में कुल दूरी और कुल समय को प्रतिस्थापित करते हुए: u = 4L/(25L/12v) = 4 × 12v/25 = 48v/25 = 1.92v

गणना किए गए मान u = 1.92v की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, यह स्पष्ट है कि 1.92v, v से अधिक है और 2v से कम है। इसलिए, विकल्प (c) में बताई गई शर्त ν < u < 2ν सही है।

व्याख्या

छोटी गोलियों की संख्या बड़े गोले के आयतन और छोटी गोली के आयतन का अनुपात है: (4/3 पाई 8^3) / (4/3 पाई 1^3) = 8^3 / 1^3 = 512।

व्याख्या

स्तंभों को पेंट करने की लागत ज्ञात करने के लिए, हम पहले 10 सिलेंडरों के कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) की गणना करते हैं। एक सिलेंडर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र CSA = πdh है, जहाँ d व्यास है और h ऊंचाई है।

दिए गए मान: व्यास d = 70 सेमी = 0.7 मीटर ऊंचाई h = 4 मीटर स्तंभों की संख्या n = 10 पेंटिंग की दर = 5 रुपये प्रति वर्ग मीटर

10 स्तंभों के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल क्षेत्रफल = n × π × d × h कुल क्षेत्रफल = 10 × 22/7 × 0.7 × 4 कुल क्षेत्रफल = 10 × 22 × 0.1 × 4 कुल क्षेत्रफल = 88 वर्ग मीटर

कुल लागत कुल क्षेत्रफल और प्रति वर्ग मीटर की दर का गुणनफल है: कुल लागत = 88 × 5 = 440

इस प्रकार, 10 बेलनाकार स्तंभों को पेंट करने की लागत रु. 440 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन 1 सही है क्योंकि यह इस गुण पर आधारित है कि r क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा r! से विभाज्य होता है। r = 3 के लिए, गुणनफल 3! = 3 × 2 × 1 = 6 से विभाज्य है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि किन्हीं तीन क्रमागत पूर्णांकों के समुच्चय में, कम से कम एक सम (2 से विभाज्य) होना चाहिए और ठीक एक 3 का गुणज होना चाहिए। चूँकि 2 और 3 सह-अभाज्य हैं, इसलिए दोनों से विभाज्य कोई भी संख्या आवश्यक रूप से उनके गुणनफल, जो कि 6 है, से विभाज्य होगी।

कथन 2 सही है क्योंकि यह विभाजन एल्गोरिथम का सीधा अनुप्रयोग है। एल्गोरिथम कहता है कि किसी भी पूर्णांक n और एक धनात्मक पूर्णांक d के लिए, अद्वितीय पूर्णांक q और r मौजूद होते हैं जैसे कि n = dq + r, जहाँ 0 ≤ r < d। d = 3 प्रतिस्थापित करने पर, केवल संभावित शेषफल r 0, 1, और 2 हैं। परिणामस्वरूप, प्रत्येक पूर्णांक को अद्वितीय रूप से 3k, 3k + 1, या 3k + 2 के रूपों में से किसी एक में व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि दोनों कथन सत्य हैं, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के लिए चौथा समानुपाती x को अनुपात a/b = c/x द्वारा परिभाषित किया गया है। दिया गया है a=7, b=11, और c=14, तो हमारे पास 7/11 = 14/x है। x के लिए हल करने पर, हमें 7x = 11 * 14 मिलता है, जो x = (11 * 14) / 7 = 11 * 2 = 22 को सरल बनाता है।

व्याख्या

एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से कर्ण पर खींचा गया लम्ब कर्ण पर माध्यिका के रूप में भी कार्य करता है। समकोण त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, कर्ण पर माध्यिका की लम्बाई कर्ण की लम्बाई की आधी होती है।

सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण AC की लम्बाई की गणना करें: AC = √(AB² + BC²) = √(8² + 8²) = √(64 + 64) = √128 = 8√2 सेमी।

मान लीजिए AC पर B से लम्ब की लम्बाई BP है। क्षेत्रफल विधि का उपयोग करके, त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊंचाई AB को आधार और BC को ऊंचाई लेते हुए: क्षेत्रफल = 1/2 × 8 × 8 = 32 वर्ग सेमी। AC को आधार और BP को ऊंचाई लेते हुए: क्षेत्रफल = 1/2 × 8√2 × BP।

दोनों क्षेत्रफलों को बराबर करने पर: 32 = 1/2 × 8√2 × BP 32 = 4√2 × BP BP = 32/(4√2) = 8/√2 = 4√2 सेमी।

इस प्रकार, लम्ब की लम्बाई 4√2 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ कर्ण त्रिज्या r है, एक भुजा जीवा की लंबाई का आधा है, और दूसरी भुजा केंद्र से लंबवत दूरी d है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: r² = d² + (जीवा की लंबाई/2)²

दी गई जीवा की लंबाई √3r को प्रतिस्थापित करने पर: r² = d² + (√3r/2)² r² = d² + 3r²/4

d² के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: d² = r² - 3r²/4 d² = (4r² - 3r²)/4 d² = r²/4

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: d = √(r²/4) = r/2

इसलिए, लंब की लंबाई r/2 है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

चूंकि अल्फा और बीटा पूरक कोण हैं, अल्फा + बीटा = 90 डिग्री। इसका तात्पर्य है कि sin beta = cos alpha और cos beta = sin alpha। इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sqrt(cos alpha sin alpha) ((sin alpha / cos alpha) + (cos alpha / sin alpha))^(1/2)। दूसरे कोष्ठक के अंदर का पद (sin^2 alpha + cos^2 alpha) / (sin alpha cos alpha) तक सरल हो जाता है, जो 1 / (sin alpha cos alpha) के बराबर होता है। पूरा व्यंजक sqrt(sin alpha cos alpha) (1 / sqrt(sin alpha * cos alpha)) = 1 बन जाता है।

व्याख्या

कथन 2 केंद्रीय कोण प्रमेय है, जो वृत्तों का एक मौलिक गुण है। यह बताता है कि वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, परिधि पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। यह प्रमेय कथन 1 को सिद्ध करने का आधार प्रदान करता है।

केंद्र O वाले एक वृत्त में अंकित एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD पर विचार करें। चाप BCD केंद्र पर ∠BOD और परिधि पर ∠BAD अंतरित करता है। कथन 2 के अनुसार, ∠BOD = 2 ∠BAD। इसी प्रकार, चाप BAD केंद्र पर प्रतिवर्ती ∠BOD और परिधि पर ∠BCD अंतरित करता है, जिसका अर्थ है कि प्रतिवर्ती ∠BOD = 2 ∠BCD। चूँकि एक बिंदु के चारों ओर कोणों का योग 360° होता है, हमारे पास ∠BOD + प्रतिवर्ती ∠BOD = 360° है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 2 ∠BAD + 2 ∠BCD = 360°, जो ∠BAD + ∠BCD = 180° को सरल बनाता है। यह सिद्ध करता है कि एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। इस प्रकार, कथन 2 तार्किक रूप से कथन 1 को दर्शाता है, जिससे विकल्प b सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

अभाज्यता के लिए विकल्पों की जाँच: 161, 7 से विभाज्य है (161 = 7 * 23); 171, 3 और 9 से विभाज्य है (171 = 9 * 19); 221, 13 से विभाज्य है (221 = 13 * 17)। 173 अपने वर्गमूल (लगभग 13.1) तक किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, जिससे यह एक अभाज्य संख्या बन जाती है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (a+b)/(a-b) + (a-b)/(a+b) के रूप का है, जहाँ a = √5 और b = √3 है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)/(a-b) + (a-b)/(a+b) = ((a+b)² + (a-b)²)/((a-b)(a+b)) का उपयोग करके, हम अंश और हर को सरल बना सकते हैं।

अंश (a+b)² + (a-b)² को 2(a² + b²) तक सरल किया जाता है, और हर (a-b)(a+b) को a² - b² तक सरल किया जाता है। इस प्रकार, सूत्र 2(a² + b²)/(a² - b²) बन जाता है। मान a² = (√5)² = 5 और b² = (√3)² = 3 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2(5 + 3)/(5 - 3) प्राप्त होता है। यह आगे 2(8)/2 तक सरल हो जाता है, जो 16/2 = 8 के बराबर है। इसलिए, व्यंजक का मान 8 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

लघुगणक के मूल गुणधर्म, log a + log b = log(ab) का उपयोग करते हुए, लघुगणकों के योग को उनके तर्कों के गुणनफल के लघुगणक के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। दिया गया व्यंजक लघुगणकों की एक श्रृंखला है जहाँ प्रत्येक तर्क (n+2)/(n+1) के रूप का एक भिन्न है।

पहले 8 पदों के लिए, व्यंजक है: log₁₀(3/2) + log₁₀(4/3) + log₁₀(5/4) + log₁₀(6/5) + log₁₀(7/6) + log₁₀(8/7) + log₁₀(9/8) + log₁₀(10/9)

गुणधर्म लागू करते हुए, हम इन्हें एक एकल लघुगणक में संयोजित करते हैं: log₁₀(3/2 × 4/3 × 5/4 × 6/5 × 7/6 × 8/7 × 9/8 × 10/9)

कोष्ठक के अंदर का गुणनफल एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल है जहाँ प्रत्येक भिन्न का अंश अगले भिन्न के हर को रद्द कर देता है। केवल शेष मान पहले पद का हर और अंतिम पद का अंश हैं: गुणनफल = 10/2 = 5

इसलिए, कुल योग log₁₀ 5 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

n क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा n फैक्टोरियल (n!) से विभाज्य होता है। चार क्रमागत पूर्णांकों के लिए, गुणनफल हमेशा 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 से विभाज्य होता है। उदाहरण के लिए, 1 × 2 × 3 × 4 = 24 और 2 × 3 × 4 × 5 = 120, दोनों 24 से विभाज्य हैं। इस प्रकार, किसी भी चार क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या 24 है।

व्याख्या

मान लीजिए आवश्यक कोण x है। परिभाषा के अनुसार, दो कोण पूरक होते हैं यदि उनका योग 90° हो। इसलिए, कोण x का पूरक (90° - x) है। समस्या के अनुसार, कोण अपने पूरक के दो-तिहाई के बराबर है। इस संबंध को सूत्र x = 2/3(90° - x) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। x को हल करने के लिए, भिन्न को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करें, जिससे 3x = 2(90° - x) प्राप्त होता है। दाईं ओर का विस्तार करने पर 3x = 180° - 2x प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में 2x जोड़ने पर, हमें 5x = 180° मिलता है। दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर, हमें x = 180°/5 = 36° प्राप्त होता है। इस प्रकार, कोण 36° है, जो विकल्प a) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, एक ही चाप द्वारा परिधि पर बनाए गए कोण बराबर होते हैं। यहाँ, ∠BDC और ∠BAC दोनों चाप BC द्वारा बनाए गए कोण हैं। इसलिए, ∠BAC = ∠BDC = 42°। चूँकि AC को परिवृत्त का व्यास दिया गया है, व्यास द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण समकोण होता है। इस प्रकार, ∠ABC = 90°। ΔABC में, हम त्रिभुज के कोण योग गुण का अनुप्रयोग करते हैं, जो बताता है कि आंतरिक कोणों का योग 180° होता है:

∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

42° + 90° + ∠ACB = 180°

132° + ∠ACB = 180°

∠ACB = 180° - 132° = 48°

इस प्रकार, ∠ACB का माप 48° है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक वर्ग की परित्रिज्या में, वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। मान लीजिए वर्ग की भुजा को s से और परित्रिज्या वृत्त के व्यास को d से दर्शाया गया है। वर्ग के गुणों के अनुसार, भुजा और विकर्ण के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: विकर्ण = s√2।

यह देखते हुए कि वृत्त का व्यास d = 15√2 सेमी है, हम वर्ग के विकर्ण को इस व्यास के बराबर कर सकते हैं: s√2 = 15√2

भुजा s की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को √2 से विभाजित करते हैं: s = 15√2/√2 s = 15 सेमी

इस प्रकार, वर्ग की भुजा की लंबाई 15 सेमी है, जो विकल्प a) से मेल खाती है।