सीडीएस II 2021 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

26381 के अभाज्य गुणनखंड विकल्पों का परीक्षण करके ज्ञात किए जा सकते हैं। 23, 31 और 37 को गुणा करने पर: 23 × 31 = 713, और 713 × 37 = 26381।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, एक रैखिक बहुपद (x - a), बहुपद P(x) का एक गुणनखंड होता है यदि और केवल यदि P(a) = 0 हो। यह निर्धारित करने के लिए कि दिए गए विकल्पों में से कौन सा P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 4) - 90 का गुणनखंड है, हम प्रत्येक विकल्प के मूल को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं।

विकल्प (d) x - 7 के लिए, मूल x = 7 है। इस मान को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर: P(7) = (7 - 1)(7 - 2)(7 - 4) - 90 P(7) = (6)(5)(3) - 90 P(7) = 90 - 90 = 0

चूंकि परिणाम शून्य है, (x - 7) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है। अन्य विकल्पों जैसे (c) x - 6 की जाँच करने पर P(6) = (5)(4)(2) - 90 = 40 - 90 = -50 प्राप्त होता है, जो शून्य नहीं है। इसी प्रकार, विकल्पों (b) और (a) के लिए P(14) और P(-14) शून्य प्राप्त नहीं करेंगे। इस प्रकार, प्रतिस्पर्धी परीक्षा में इसे हल करने का सबसे तेज़ तरीका विकल्पों के मानों को प्लग इन करना और शून्य के लिए जाँच करना है।

व्याख्या

व्यंजक को (a - b)² = a² - 2ab + b² की सर्वसमिका से मिलान करने के लिए पुनः लिखें:

23 - 4√15 = 20 - 4√15 + 3 = (2√5)² - 2 ⋅ 2√5 ⋅ √3 + (√3)² = (2√5 - √3)²

√(23 - 4√15) = 2√5 - √3

व्याख्या

9 से विभाजित करने पर 37 का शेषफल 1 होता है (क्योंकि 37 = 9*4 + 1)। इसलिए, 37^1000 mod 9, 1^1000 mod 9 के समतुल्य है, जो कि 1 है।

व्याख्या

मान लीजिए L लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और H महत्तम समापवर्तक (HCF) है। दिया गया है L + H = 536 और L - H = 296। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2L = 832 प्राप्त होता है, इसलिए L = 416। घटाने पर 2H = 240 प्राप्त होता है, इसलिए H = 120। इस गुण का उपयोग करते हुए कि दो संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है: 104 दूसरी संख्या = 416 × 120। दूसरी संख्या = (416 × 120) / 104 = 4 × 120 = 480।

व्याख्या

20 आदमी 5 दिनों में 1/4 कार्य पूरा करते हैं, जिसका अर्थ है 100 आदमी-दिन = 1/4 कार्य। शेष 3/4 कार्य के लिए 3 * 100 = 300 आदमी-दिनों की आवश्यकता है। इसे शेष 5 दिनों में पूरा करने के लिए, आवश्यक आदमियों की संख्या 300 / 5 = 60 आदमी है। आवश्यक अतिरिक्त आदमी = 60 - 20 = 40।

व्याख्या

चूंकि x एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इसलिए हमारे पास x < 0 है। कथन 1 के लिए, चूंकि k एक प्राकृत संख्या है, k > 0। एक धनात्मक संख्या k और एक ऋणात्मक संख्या x का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक होता है, जिसका अर्थ है kx < 0। इसलिए, यह दावा कि kx > 0 गलत है। कथन 2 के लिए, हम व्यंजक x² + x की जांच करते हैं, जिसे x(x + 1) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। x < 0 के लिए, इस गुणनफल का चिह्न (x + 1) पर निर्भर करता है। यदि x अंतराल (-1, 0) में स्थित है, तो x ऋणात्मक है और (x + 1) धनात्मक है, जिससे x(x + 1) < 0 होता है। इस प्रकार, x² + x > 0 हमेशा सत्य नहीं होता है। कथन 3 के लिए, क्योंकि x < 0 है, 2 से गुणा करने पर यह छोटा हो जाता है (2x < x), और योगात्मक प्रतिलोम -x एक धनात्मक संख्या बन जाता है। इस प्रकार, 2x < x < -x हमेशा सत्य होता है। कथन 4 के लिए, चूंकि x कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है, यह एक अपरिमेय संख्या हो सकती है जैसे -√π। ऐसी स्थिति में, x² = π, जो एक अपरिमेय संख्या है। इसलिए, x² हमेशा एक परिमेय संख्या नहीं होती है। चूंकि कथन 1, 2 और 4 सही नहीं हैं, इसलिए सही विकल्प (b) है।

व्याख्या

व्यंजक 2x² + xy - 3y² के रैखिक गुणनखंडों का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहले द्विघात व्यंजक को मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करके गुणनखंडित करते हैं। हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल x² और y² के गुणांकों के गुणनफल, जो कि 2 × (-3) = -6 है, के बराबर हो, और जिनका योग मध्य पद xy के गुणांक, जो कि 1 है, के बराबर हो। ये दो संख्याएँ 3 और -2 हैं।

मध्य पद को विभाजित करके व्यंजक को फिर से लिखने पर, हमें 2x² + 3xy - 2xy - 3y² प्राप्त होता है। अब, हम पदों को समूहित करते हैं और सामान्य गुणनखंडों को बाहर निकालते हैं: (2x² - 2xy) + (3xy - 3y²)। इन्हें गुणनखंडित करने पर 2x(x - y) + 3y(x - y) प्राप्त होता है। (x - y) को एक सामान्य गुणनखंड के रूप में लेने पर, व्यंजक (2x + 3y)(x - y) बन जाता है। अतः दो रैखिक गुणनखंड (2x + 3y) और (x - y) हैं।

इन रैखिक गुणनखंडों का योग ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें जोड़ते हैं: (2x + 3y) + (x - y)। समान पदों को मिलाने पर, 2x + x से 3x और 3y - y से 2y प्राप्त होता है। इस प्रकार, योग 3x + 2y है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

ax² + bx + c = 0 के रूप के एक द्विघात समीकरण के लिए, मूलों की प्रकृति विविक्तकर सूत्र D = b² - 4ac द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि D ≥ 0 है, तो समीकरण के वास्तविक मूल होते हैं, और यदि D < 0 है, तो समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते हैं।

इस सूत्र का उपयोग करके विकल्पों का मूल्यांकन: विकल्प a के लिए, 2x² + 16x + 3 = 0, D = 16² - 4(2)(3) = 256 - 24 = 232, जो 0 से अधिक है। विकल्प b के लिए, 2x² + 10x - 1 = 0, D = 10² - 4(2)(-1) = 100 + 8 = 108, जो 0 से अधिक है। विकल्प c के लिए, x² - 8x + 1 = 0, D = (-8)² - 4(1)(1) = 64 - 4 = 60, जो 0 से अधिक है। विकल्प d के लिए, 4x² + 9x + 6 = 0, D = 9² - 4(4)(6) = 81 - 96 = -15।

चूंकि विकल्प d के लिए विविक्तकर ऋणात्मक है (D = -15), द्विघात समीकरण 4x² + 9x + 6 = 0 के वास्तविक मूल नहीं हैं।

व्याख्या

α और β मूलों वाले एक द्विघात समीकरण का मानक रूप सूत्र x² - (α + β)x + αβ = 0 द्वारा दिया जाता है। यह देखते हुए कि मूलों का योग 7 है और गुणनफल 12 है, मूल समीकरण x² - 7x + 12 = 0 है। इसे गुणनखंड द्वारा हल करने पर, हमें (x-3)(x-4) = 0 प्राप्त होता है, जिससे मूल 3 और 4 मिलते हैं।

मूलों की पहचान करने पर, बड़ा मूल 4 है और छोटा मूल 3 है। शर्तों के अनुसार, बड़े मूल को आधा कर दिया जाता है और छोटे मूल को दोगुना कर दिया जाता है। इसलिए, नए मूल 4/2 = 2 और 3 × 2 = 6 हैं।

परिणामी द्विघात समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम इन मूलों के नए योग और गुणनफल की गणना करते हैं। नया योग = 2 + 6 = 8 और नया गुणनफल = 2 × 6 = 12। इन मानों को मानक सूत्र x² - (योग)x + (गुणनफल) = 0 में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x² - 8x + 12 = 0 प्राप्त होता है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

समीकरण x^2 - kx + 2 = 0 के वास्तविक और भिन्न हल होने के लिए, विविक्तकर D का मान 0 से अधिक होना चाहिए। D = (-k)^2 - 4(1)(2) = k^2 - 8। k^2 - 8 > 0 का अर्थ है k^2 > 8, इसलिए k > 2√2 या k < -2√2।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम तीन द्विपदों के गुणनफल के सामान्य विस्तार सूत्र का उपयोग करते हैं: (x - a)(x - b)(x - c) = x³ - (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x - abc। x = 1, a = α, b = β, और c = γ को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक बन जाता है:

(1 - α)(1 - β)(1 - γ) = 1³ - (α + β + γ)1² + (αβ + βγ + γα)1 - αβγ

इसे सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 - (α + β + γ) + (αβ + βγ + γα) - αβγ

दी गई शर्त के अनुसार, α + β + γ = αβ + βγ + γα। इस मान को विस्तारित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, पद -(α + β + γ) और +(αβ + βγ + γα) एक दूसरे को रद्द कर देते हैं क्योंकि वे परिमाण में बराबर लेकिन चिन्ह में विपरीत हैं।

शेष पद 1 - αβγ हैं। इसलिए, व्यंजक (1 - α)(1 - β)(1 - γ) 1 - αβγ के बराबर है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

समीकरण log10(x) + log10(x^2) = 2log10(x) + 1 है। यह log10(x) + 2log10(x) = 2*log10(x) + 1 को सरल करता है, जो आगे log10(x) = 1 को सरल करता है। इस प्रकार, x = 10^1 = 10।

व्याख्या

चूंकि p और q अभाज्य हैं, उनका LCM p * q = 2231 है। अभाज्य गुणनखंडों का परीक्षण करने पर, 2231 / 23 = 97। 23 और 97 दोनों अभाज्य हैं। चूंकि p > q, इसलिए p = 97 और q = 23। p - q का मान = 97 - 23 = 74 है।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि धावक अगली बार शुरुआती बिंदु पर कब मिलेंगे, हम उनके व्यक्तिगत चक्कर पूरा करने के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। मिलने का समय प्रत्येक धावक के चक्कर के समय का गुणज होना चाहिए ताकि प्रत्येक ने पूर्ण संख्या में चक्कर पूरे किए हों।

चक्कर का समय 20, 30 और 35 मिनट दिया गया है, हम LCM ज्ञात करने के लिए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करते हैं: 20 = 2² × 5 30 = 2 × 3 × 5 35 = 5 × 7

LCM को संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर निर्धारित किया जाता है: LCM(20, 30, 35) = 2² × 3 × 5 × 7 LCM = 4 × 3 × 5 × 7 = 420 मिनट

कुल मिनट को घंटों में बदलने के लिए, हम 60 से भाग देते हैं: घंटों में समय = 420/60 = 7 घंटे

इस प्रकार, धावक 7 घंटे के बाद शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए p, n, e क्रमशः एक पेंसिल, नोटबुक और इरेज़र की लागत हैं। हमारे पास है: (1) 5p + 6n + 7e = 250 और (2) 6p + 4n + 2e = 180। 2n + 4e ज्ञात करने के लिए, हम p को समाप्त करते हैं। (1) को 6 से और (2) को 5 से गुणा करें: 30p + 36n + 42e = 1500 और 30p + 20n + 10e = 900। दोनों को घटाने पर 16n + 32e = 600 प्राप्त होता है। 8 से विभाजित करने पर, हमें 2n + 4e = 75 मिलता है।

व्याख्या

गुणनफल 1^50 2^49 ... * 50^1 ही विचारणीय अनुक्रम है (यह मानते हुए कि 50! गुणन अनुक्रम के लिए एक संकेतन है)। शून्यों की संख्या अभाज्य गुणनखंडन में 5 की घात द्वारा निर्धारित होती है। 5 की घातें 5^46, 10^41, 15^36, 20^31, 25^26 (जो 5^52 है), 30^21, 35^16, 40^11, 45^6, और 50^1 में पाई जाती हैं। इनका योग: 46+41+36+31+52+21+16+11+6+1 = 261।

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण x² - 60x + 899 = 0 के मूल ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a) का उपयोग करते हैं। यहाँ, a = 1, b = -60, और c = 899 है।

सबसे पहले, विविक्तकर D की गणना करें: D = b² - 4ac = (-60)² - 4(1)(899) = 3600 - 3596 = 4.

अब, मूल ज्ञात करें: x = (60 ± √4)/(2(1)) = (60 ± 2)/2. दो मूल हैं x₁ = 62/2 = 31 और x₂ = 58/2 = 29.

चूंकि यह दिया गया है कि p > q, इसलिए p = 31 और q = 29 है।

अब हम इन मानों को दिए गए विकल्पों में प्रतिस्थापित करके शून्य के बराबर होने की जाँच करते हैं: विकल्प (a): p - q - 1 = 31 - 29 - 1 = 1 ≠ 0. विकल्प (b): p - 2q + 27 = 31 - 2(29) + 27 = 31 - 58 + 27 = 58 - 58 = 0. विकल्प (c): 2p - q - 30 = 2(31) - 29 - 30 = 62 - 59 = 3 ≠ 0. विकल्प (d): 3p - 2q - 43 = 3(31) - 2(29) - 43 = 93 - 58 - 43 = 93 - 101 = -8 ≠ 0.

इस प्रकार, समीकरण p - 2q + 27 = 0 संतुष्ट होता है, जिससे विकल्प (b) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के वास्तविक मूल होने के लिए, विविक्तकर D का मान शून्य से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। विविक्तकर का सूत्र D = b² - 4ac है। दिए गए समीकरण x² - 4x - log₁₀N = 0 में, गुणांक a = 1, b = -4, और c = -log₁₀N हैं।

इन मानों को विविक्तकर सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (-4)² - 4(1)(-log₁₀N) ≥ 0 16 + 4log₁₀N ≥ 0

N का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम असमानता को हल करते हैं: 4log₁₀N ≥ -16 log₁₀N ≥ -4

लघुगणकीय समीकरण को घातांकीय रूप में परिवर्तित करने पर: N ≥ 10⁻⁴ N ≥ 0.0001

इसलिए N का न्यूनतम मान 0.0001 है, जो विकल्प (d) 0.0001 से मेल खाता है।

व्याख्या

5^(x-1) = (2.5)^log10(5). दोनों पक्षों का log10 लेने पर: (x-1)log10(5) = log10(5) log10(2.5). log10(5) से भाग देने पर: x-1 = log10(2.5) = log10(5/2) = log10(5) - log10(2). इस प्रकार, x = 1 + log10(5) - log10(2). चूँकि 1 = log10(10), x = log10(105/2) = log10(25) = 2*log10(5).

व्याख्या

समीकरण 96 - 64a³ + 8/a⁶ - 48/a³ - t³ = 0 है। ध्यान दें कि (4a - 2/a²)³ = 64a³ - 96 + 48/a³ - 8/a⁶। समीकरण को -(4a - 2/a²)³ - t³ = 0 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, इसलिए t = -(4a - 2/a²) = 2/a² - 4a। तब a²*t + 4a³ = a²(2/a² - 4a) + 4a³ = 2 - 4a³ + 4a³ = 2।

व्याख्या

B का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय संबंध B = ((A + B) - (A - B))/2 का उपयोग करते हैं। दिए गए व्यंजकों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2B = (x² - 8)/(x + 2) - (-x² + 2x + 4)/(x + 2) प्राप्त होता है। चूँकि हर समान हैं, हम अंशों को सीधे घटाते हैं: 2B = (x² - 8 - (-x² + 2x + 4))/(x + 2) = (x² - 8 + x² - 2x - 4)/(x + 2) = (2x² - 2x - 12)/(x + 2)। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें B = (x² - x - 6)/(x + 2) प्राप्त होता है। हम अंश x² - x - 6 को (x - 3)(x + 2) के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं, इसलिए B = ((x - 3)(x + 2))/(x + 2) = x - 3। दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए, हम विकल्प (c) की जाँच करते हैं, जहाँ (2x² - 7x + 3)/(2x - 1) को अंश को (x - 3)(2x - 1) के रूप में गुणनखंडित करके सरल बनाया जा सकता है। इससे ((x - 3)(2x - 1))/(2x - 1) = x - 3 प्राप्त होता है, जो हमारे परिणाम से मेल खाता है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही प्रतिनिधित्व है।

व्याख्या

यह व्यंजक x, y, z भिन्न होने पर सर्वसमिका Sum[x^n / ((x-y)(x-z))] का एक विशिष्ट मामला है। n=2 के लिए, योग a^2/((a-b)(a-c)) + b^2/((b-a)(b-c)) + c^2/((c-a)(c-b)) हमेशा 1 के बराबर होता है। a=x^2, b=y^2, c=z^2 प्रतिस्थापित करने पर, परिणाम 1 होता है।

व्याख्या

दिया गया अनुपात (2ab - b²) : (6a² - ab) = 1 : 6 है, हम इसे समीकरण (2ab - b²)/(6a² - ab) = 1/6 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। पदों को तिरछा गुणा करने पर 6(2ab - b²) = 6a² - ab प्राप्त होता है, जो 12ab - 6b² = 6a² - ab को सरल करता है। सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर द्विघात समीकरण 6a² - 13ab + 6b² = 0 प्राप्त होता है। a और b के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करते हैं: 6a² - 9ab - 4ab + 6b² = 0, जो 3a(2a - 3b) - 2b(2a - 3b) = 0 की ओर ले जाता है। यह पूरी तरह से (3a - 2b)(2a - 3b) = 0 के रूप में गुणनखंडित होता है। इससे हमें a/b के दो संभावित अनुपात मिलते हैं: या तो a/b = 2/3 या a/b = 3/2। लक्ष्य व्यंजक (a + b) : (a - b) है, जिसे b से अंश और हर को विभाजित करके (a/b + 1)/(a/b - 1) के रूप में सरल किया जा सकता है। पहले मान a/b = 3/2 को प्रतिस्थापित करने पर (3/2 + 1)/(3/2 - 1) = (5/2)/(1/2) = 5 प्राप्त होता है। दूसरे मान a/b = 2/3 को प्रतिस्थापित करने पर (2/3 + 1)/(2/3 - 1) = (5/3)/(-1/3) = -5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, मान या तो -5 या 5 है, जिससे विकल्प (d) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक x² + y² + z² - 2xy - 2yz + 2zx एक त्रिपद का पूर्ण वर्ग है। मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC के अनुसार, हम A = x, B = -y, और C = z मानकर लक्ष्य व्यंजक को पुनः लिख सकते हैं। इससे हमें प्राप्त होता है: x² + y² + z² - 2xy - 2yz + 2zx = (x - y + z)²

दिए गए अनुपातों से, हम x, y, और z को k के पदों में व्यक्त करते हैं: x = k(b + c - a) y = k(b - c - a) z = k(a + b - c)

इन मानों को त्रिपद (x - y + z) में प्रतिस्थापित करें: x - y + z = k(b + c - a) - k(b - c - a) + k(a + b - c) x - y + z = k(b + c - a - b + c + a + a + b - c)

कोष्ठक के भीतर समान पदों को संयोजित करें: a के पद: -a + a + a = a b के पद: b - b + b = b c के पद: c + c - c = c x - y + z = k(a + b + c)

मूल व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, परिणाम का वर्ग करें: (x - y + z)² = [k(a + b + c)]² = k²(a + b + c)²

यह परिणाम विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्याएँ 2k, 3k, और 5k हैं। वर्गों का योग: (2k)^2 + (3k)^2 + (5k)^2 = 4k^2 + 9k^2 + 25k^2 = 38k^2। दिया गया है कि 38k^2 = 1368, तो k^2 = 36, इसलिए k = 6। संख्याओं का योग = 2k + 3k + 5k = 10k = 10 * 6 = 60।

व्याख्या

असमानता 1 के लिए, हमारे पास (a²-b²)/(a²+b²) > (a-b)/(a+b) है। दिया गया है a > b > 0, पद a-b धनात्मक है। हम बाएँ पक्ष को ((a-b)(a+b))/(a²+b²) के रूप में फिर से लिख सकते हैं। दोनों पक्षों को धनात्मक पद (a-b) से विभाजित करने पर, असमानता (a+b)/(a²+b²) > 1/(a+b) बन जाती है। दोनों धनात्मक हरों को क्रॉस-गुणा करने पर (a+b)² > a²+b² प्राप्त होता है। इसका विस्तार करने पर a² + 2ab + b² > a² + b² प्राप्त होता है, जो 2ab > 0 को सरल करता है। चूँकि a और b दोनों धनात्मक हैं, यह शर्त हमेशा संतुष्ट होती है, जिससे यह सिद्ध होता है कि असमानता 1 सही है।

असमानता 2, (a³+b³)/(a²+b²) > (a²+b²)/(a+b) के लिए, हम धनात्मक हरों को क्रॉस-गुणा करके (a³+b³)(a+b) > (a²+b²)² प्राप्त करते हैं। दोनों पक्षों का विस्तार करने पर, हमें a⁴ + a³b + ab³ + b⁴ > a⁴ + 2a²b² + b⁴ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से a⁴ + b⁴ घटाने पर a³b + ab³ > 2a²b² प्राप्त होता है, जिसे ab(a² + b² - 2ab) > 0, या ab(a-b)² > 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। यह असमानता सभी a, b > 0 के लिए सत्य है जब तक कि a ≠ b। कथन का दावा है कि असमानता केवल तभी सत्य है जब a > b > 0, लेकिन चूँकि यह b > a > 0 के लिए भी सत्य है, इसलिए केवल जब वाक्यांश असमानता 2 को गलत बनाता है। इसलिए, केवल असमानता 1 सही है।

व्याख्या

x = (3n-1)(2n+1) और y = (3n+1)(4n-3)। दिया गया है x/y = 6/11, तो 11(6n^2 + n - 1) = 6(12n^2 - 5n - 3)। सरलीकरण करने पर: 66n^2 + 11n - 11 = 72n^2 - 30n - 18, जिससे 6n^2 - 41n - 7 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र द्वारा हल करने पर: n = (41 + sqrt(1681 + 168))/12 = (41 + 43)/12 = 7।

व्याख्या

माना (ay-bx)/c = (cx-az)/b = (bz-cy)/a = k. इससे हमें तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

1. ay - bx = ck
2. cx - az = bk
3. bz - cy = ak

k का मान ज्ञात करने के लिए, हम x और z को y और k के पदों में व्यक्त करते हैं। समीकरण 1 से, bx = ay - ck, जिसका अर्थ है x = (ay-ck)/b। समीकरण 3 से, bz = cy + ak, जिसका अर्थ है z = (cy+ak)/b। समीकरण 2 में x और z के इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: c((ay-ck)/b) - a((cy+ak)/b) = bk (cay - c²k - acy - a²k)/b = bk cay - acy - (a²+c²)k = b²k 0 = (a²+b²+c²)k

चूंकि मूल व्यंजक में a, b, c हर (denominator) हैं, वे गैर-शून्य हैं, जिसका अर्थ है a²+b²+c² ≠ 0। अतः, k का मान 0 होना चाहिए। जब k=0, तो समीकरण बन जाते हैं: ay - bx = 0 → x/a = y/b cx - az = 0 → x/a = z/c bz - cy = 0 → y/b = z/c

इसका अर्थ है x/a = y/b = z/c = λ किसी स्थिरांक λ के लिए। कथन I है x/a = y/b, जिसे सीधे ऊपर प्राप्त किया गया है और इसलिए यह सही है। कथन II के लिए, हम x = aλ, y = bλ, और z = cλ प्रतिस्थापित करते हैं: (x+y+z)/(a+b+c) = (aλ + bλ + cλ)/(a+b+c) = (λ(a+b+c))/(a+b+c) = λ चूंकि z/c = cλ/c = λ, इसलिए समानता (x+y+z)/(a+b+c) = z/c सत्य है। कथन I और II दोनों सही हैं, जिससे विकल्प C सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए आयताकार बगीचे की लंबाई l और चौड़ाई w है। बगीचे का क्षेत्रफल सूत्र A = l × w = 375 द्वारा दिया गया है। चूंकि केवल तीन भुजाओं को 65 मीटर तार से घेरा गया है, इसलिए उपयोग की गई कुल लंबाई या तो 2l + w = 65 या l + 2w = 65 है। क्षेत्रफल सूत्र में w = 65 - 2l को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l(65 - 2l) = 375 मिलता है, जो द्विघात समीकरण 2l² - 65l + 375 = 0 को सरल बनाता है।

द्विघात सूत्र l = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a) का उपयोग करके, हमें l = (65 ± √(65² - 4(2)(375)))/(2(2)) = (65 ± √(4225 - 3000))/4 = (65 ± √1225)/4 = (65 ± 35)/4 मिलता है। इससे l के दो संभावित मान मिलते हैं: l = 100/4 = 25 या l = 30/4 = 7.5।

यदि l = 25 मी, तो w = 65 - 2(25) = 15 मी। आयत की परिधि सूत्र P = 2(l + w) = 2(25 + 15) = 2(40) = 80 मी का उपयोग करके गणना की जाती है। यह विकल्प a से मेल खाता है। यदि हम l = 7.5 मी लेते हैं, तो w = 50 मी, और परिधि 2(7.5 + 50) = 115 मी होगी, जो विकल्पों में नहीं है। इस प्रकार, बगीचे की परिधि 80 मी है।

व्याख्या

चूंकि x = 3/2 समीकरण ax²-4ax+15=0 का एक मूल है, यह समीकरण को संतुष्ट करेगा। समीकरण में x = 3/2 प्रतिस्थापित करने पर a(3/2)²-4a(3/2)+15=0 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर, हमें 9a/4-6a+15=0 मिलता है। हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हमें 9a-24a+60=0 प्राप्त होता है, जो -15a=-60 को सरल करता है, जिससे a=4 प्राप्त होता है।

a=4 को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4x²-16x+15=0 प्राप्त होता है। एक द्विघात समीकरण Ax²+Bx+C=0 के लिए, मान लीजिए मूल x₁ और x₂ हैं। मूलों का योग x₁+x₂ = -B/A = -(-16)/4 = 4 है और मूलों का गुणनफल x₁x₂ = C/A = 15/4 है।

मूलों के वर्गों का योग ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²-2x₁x₂ का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x₁²+x₂² = 4²-2(15/4) = 16-15/2 प्राप्त होता है। 16 को हर 2 वाली भिन्न में बदलने पर, हमें 32/2-15/2 = 17/2 प्राप्त होता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए अंक x और y हैं। xy = 8 और (10x + y) + 63 = 10y + x। दूसरा समीकरण 9(y - x) = 63 को सरल करता है, इसलिए y - x = 7। y = x + 7 को xy = 8 में प्रतिस्थापित करने पर x(x + 7) = 8 प्राप्त होता है, इसलिए x^2 + 7x - 8 = 0। धनात्मक अंक हल x = 1 है, फिर y = 8। अंकों का योग 1 + 8 = 9 है।

व्याख्या

माना कि धारा की गति v किमी/घंटा है। धारा के साथ बोट की गति (30 + v) किमी/घंटा है और धारा के विरुद्ध बोट की गति (30 - v) किमी/घंटा है। पूरी यात्रा में लिया गया कुल समय सूत्र T = d/(u + v) + d/(u - v) का उपयोग करके गणना की जाती है। दिए गए मानों d = 60 किमी, u = 30 किमी/घंटा, और T = 9/2 घंटे को प्रतिस्थापित करने पर:

60/(30 + v) + 60/(30 - v) = 9/2

60 को एक सामान्य गुणनखंड के रूप में लेने पर:

60 ( ((30 - v) + (30 + v))/((30 + v)(30 - v)) ) = 9/2

60 ( 60/(900 - v²) ) = 9/2

3600/(900 - v²) = 9/2

तिरछा गुणा करने पर:

7200 = 9(900 - v²)

7200 = 8100 - 9v²

9v² = 8100 - 7200

9v² = 900

v² = 100

v = 10 किमी/घंटा।

इसलिए, धारा की गति 10 किमी/घंटा है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए पिता की वर्तमान आयु F है और उसके चार बच्चों की वर्तमान आयु का योग S है। समस्या के अनुसार, पिता की वर्तमान आयु उसके बच्चों की आयु के योग के बराबर है, इसलिए F = S। दस वर्ष बाद, पिता की आयु F + 10 होगी। चूँकि चार बच्चे हैं, उनकी आयु का योग 4 × 10 = 40 वर्ष बढ़ जाएगा, जिससे नया योग S + 40 हो जाएगा। समस्या में कहा गया है कि दस वर्ष बाद, यह योग पिता की आयु का 1.6 गुना होगा। इससे समीकरण S + 40 = 1.6(F + 10) प्राप्त होता है। S = F को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें F + 40 = 1.6F + 16 प्राप्त होता है। F के लिए हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 40 - 16 = 1.6F - F, जो 24 = 0.6F को सरल बनाता है। F के लिए हल करने पर, हमें F = 24 / 0.6 = 240 / 6 = 40 प्राप्त होता है। इस प्रकार, पिता की वर्तमान आयु 40 वर्ष है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए N अंश है और D हर है। N + D = 10। साथ ही (N + 3) / (D - 1) = 1, इसलिए N + 3 = D - 1, जिसका अर्थ है D - N = 4।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों a1x + b1y = c1 और a2x + b2y = c2 के निकाय के अद्वितीय हल के लिए, शर्त a1/a2 ≠ b1/b2 है। यहाँ, 7/k ≠ k/7, जिसका अर्थ है k^2 ≠ 49, इसलिए k ≠ 7 और k ≠ -7। विकल्प A (k ≠ 7) एक सही आवश्यक शर्त है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, राशि का सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ है। प्रश्न के अनुसार, धनराशि 5 वर्षों में स्वयं की दोगुनी हो जाती है, इसलिए हम 2P = P(1 + r/100)⁵ लिख सकते हैं, जो (1 + r/100)⁵ = 2 को सरल करता है। हमें n वर्षों में धनराशि के स्वयं का चार गुना होने के लिए वर्षों की संख्या ज्ञात करनी है, जिसका अर्थ है 4P = P(1 + r/100)ⁿ, जो (1 + r/100)ⁿ = 4 को सरल करता है। चूंकि 4 को 2² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, हम पहले समीकरण से 2 का मान प्रतिस्थापित करते हैं: (1 + r/100)ⁿ = [ (1 + r/100)⁵ ]²। यह (1 + r/100)ⁿ = (1 + r/100)¹⁰ को सरल करता है। घातांकों की तुलना करके, हम पाते हैं कि n = 10 वर्ष। इस पैटर्न के लिए एक प्रतियोगी परीक्षा शॉर्टकट यह है कि यदि कोई धनराशि t वर्षों में k गुना हो जाती है, तो यह m × t वर्षों में kᵐ गुना हो जाएगी। इस मामले में, k = 2, t = 5, और लक्ष्य 4 गुना (2²) है, इसलिए m = 2। आवश्यक कुल समय 2 × 5 = 10 वर्ष है, जिससे विकल्प A सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

घड़ी की सुइयों के मिलने का समय सूत्र t = 60/11 × H का उपयोग करके निकाला जा सकता है, जहाँ t घंटे H के बाद मिनटों की संख्या है। इस समस्या में, सुइयाँ 3 और 4 बजे के बीच मिलती हैं, इसलिए हम H = 3 को सूत्र में रखते हैं। इससे t = (60 × 3)/11 = 180/11 प्राप्त होता है। 180 को 11 से विभाजित करने पर, हमें 16 4/11 मिनट मिलते हैं। यह मान 3 बजे के बाद का सटीक समय दर्शाता है जब घंटे की सुई और मिनट की सुई एक ही स्थिति में होती हैं। चूंकि 16 4/11, 16 से अधिक है लेकिन 17 से कम है, सुइयाँ 16-17 मिनट के बीच मिलती हैं। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

शीला प्रति दिन 1/2 सूट सिलती है; मीना प्रति दिन 1/(2 1/2) = 2/5 सूट सिलती है।\n\nसंयुक्त दर = 1/2 + 2/5 = 5/10 + 4/10 = 9/10 सूट प्रति दिन।\n\n30 सूट के लिए समय = 30/(9/10) = 300/9 = 33 1/3 दिन ≈ 33 दिन।

व्याख्या

व्यंजक 8x³ - 36x²y + 54xy² - 27y³ , (2x - 3y)³ का विस्तार है। दिया गया है कि 2x - 3y - 7 = 0, इसलिए 2x - 3y = 7। इस प्रकार, (2x - 3y)³ - 340 = 7³ - 340 = 343 - 340 = 3।

व्याख्या

p = kq/r^2. मान लीजिए नए मान q' = 1.2q और r' = 0.8r हैं। तब p' = k(1.2q) / (0.8r)^2 = (1.2 / 0.64) (kq/r^2) = 1.875p। प्रतिशत वृद्धि (1.875 - 1) 100 = 87.5% है।

व्याख्या

माना w काम किए गए दिन हैं और a अनुपस्थित दिन हैं। w + a = 30 और 500w - 100a = 11400। a = 30 - w प्रतिस्थापित करने पर: 500w - 100(30 - w) = 11400 => 600w - 3000 = 11400 => 600w = 14400 => w = 24।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने का सबसे तेज़ तरीका मिश्रण (alligation) के नियम का उपयोग करना है, क्योंकि यह दो अलग-अलग लाभ प्रतिशत के भारित औसत से संबंधित है। मान लीजिए कुर्सी का क्रय मूल्य CP꜀ₕₐᵢᵣ और मेज का क्रय मूल्य CPₜₐ₆ₗₑ है। कुर्सी पर लाभ 5% है, मेज पर लाभ 20% है, और कुल लाभ 16% है।

मिश्रण सूत्र लागू करने पर: CP꜀ₕₐᵢᵣ और CPₜₐ₆ₗₑ का अनुपात = (20% - 16%) : (16% - 5%) अनुपात = 4% : 11% अनुपात = 4 : 11

कुल क्रय मूल्य ₹750 दिया गया है। अनुपात में कुल भाग 4 + 11 = 15 इकाइयाँ हैं। एक इकाई का मान = 750 / 15 = ₹50। चूंकि मेज अनुपात में 11 इकाइयों का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए इसकी मूल लागत 11 × 50 = ₹550 है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

मान लीजिए यात्रा की कुल दूरी D किमी है। मूल सूत्र समय = दूरी/गति का उपयोग करते हुए, पहली स्थिति में लिया गया कुल समय T₁ यात्रा के प्रत्येक एक-तिहाई भाग के लिए समय का योग है: T₁ = (D/3)/60 + (D/3)/50 + (D/3)/40 = D/3 (1/60 + 1/50 + 1/40)। कोष्ठक में पदों के लिए 600 का सामान्य भाजक ज्ञात करने पर, हमें T₁ = D/3 (10 + 12 + 15/600) = 37D/1800 घंटे प्राप्त होता है।

दूसरी स्थिति में, कुल समय T₂ यात्रा के प्रत्येक आधे भाग के लिए समय का योग है: T₂ = (D/2)/60 + (D/2)/40 = D/2 (1/60 + 1/40)। 120 का सामान्य भाजक उपयोग करने पर, हमें T₂ = D/2 (2 + 3/120) = 5D/240 = D/48 घंटे प्राप्त होता है।

प्रश्न कहता है कि T₂ , T₁ से 4 मिनट अधिक है। 4 मिनट को घंटे में बदलने पर, हमें 4/60 = 1/15 घंटे प्राप्त होता है। इस प्रकार, समीकरण T₂ - T₁ = 1/15 है, जो D/48 - 37D/1800 = 1/15 में प्रतिस्थापित होता है। D को हल करने के लिए, हम 48 और 1800 का लघुत्तम समापवर्त्य, जो 3600 है, का उपयोग करते हैं। इससे (75D - 74D)/3600 = 1/15 प्राप्त होता है, जो D/3600 = 1/15 तक सरल हो जाता है। परिणामस्वरूप, D = 3600/15 = 240 किमी।

व्याख्या

यह समस्या एक समांतर श्रेणी (AP) का अनुसरण करती है जहाँ बचत हर साल एक स्थिर राशि से बढ़ती है। मान लीजिए पहले वर्ष की बचत a = 2000 है और सार्व अंतर d = 1000 है। n वर्षों में कुल बचत AP का योग है, जिसे Sₙ = 170000 से दर्शाया जाता है।

AP के लिए योग सूत्र का उपयोग करके: Sₙ = n/2 [2a + (n - 1)d]

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना: 170000 = n/2 [2(2000) + (n - 1)1000] 170000 = n/2 [4000 + 1000n - 1000] 170000 = n/2 [3000 + 1000n] 170000 = 1500n + 500n²

सरल बनाने के लिए पूरे समीकरण को 500 से विभाजित करना: 340 = 3n + n² n² + 3n - 340 = 0

इस द्विघात समीकरण को द्विघात सूत्र n = (-b ± √(b² - 4ac))/2a का उपयोग करके हल करना: n = (-3 ± √(3² - 4(1)(-340)))/2(1) n = (-3 ± √(9 + 1360))/2 n = (-3 ± √1369)/2 n = (-3 ± 37)/2

चूंकि वर्षों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है, हम धनात्मक मूल लेते हैं: n = 34/2 = 17

इस प्रकार, व्यक्ति 17 वर्षों में ₹170000 बचाएगा, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए u = cos(theta). 0 <= theta < 90 के लिए, 0 < u <= 1. हम u^3 + 1/u^3 का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं। AM-GM असमानता द्वारा, (u^3 + 1/u^3) / 2 >= sqrt(u^3 * 1/u^3) = 1। इस प्रकार, u^3 + 1/u^3 >= 2। न्यूनतम मान 2 है।

व्याख्या

14sin^2(theta) + 10cos^2(theta) = 11 को 10(sin^2(theta) + cos^2(theta)) + 4sin^2(theta) = 11 के रूप में लिखा जा सकता है। 10 + 4sin^2(theta) = 11 => sin^2(theta) = 1/4 => sin(theta) = 1/2। इस प्रकार theta = 30 डिग्री। tan(30) + cot(30) = 1/sqrt(3) + sqrt(3) = 4/sqrt(3)।

व्याख्या

व्यंजक (sin^3 + cos^3)/(sin + cos) + (sin^3 - cos^3)/(sin - cos) है। सर्वसमिकाओं a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) और a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) का उपयोग करते हुए, व्यंजक सरल होकर (sin^2 - sincos + cos^2) + (sin^2 + sincos + cos^2) = 1 - sincos + 1 + sincos = 2 हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए ध्वजदंड की ऊँचाई H है। 10 मीटर लंबी सीढ़ी (H-10) मीटर ऊँचे बिंदु तक पहुँचती है। मान लीजिए x सीढ़ी के पाद से दंड के आधार तक की दूरी है। सीढ़ी द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, x^2 + (H-10)^2 = 10^2, जो सरल होकर x^2 + H^2 - 20H + 100 = 100 हो जाता है, इसलिए x^2 = 20H - H^2। शीर्ष तक उन्नयन कोण 60 डिग्री है, इसलिए tan(60) = H/x, जिसका अर्थ है x = H/sqrt(3)। x को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (H/sqrt(3))^2 = 20H - H^2, जिससे H^2/3 = 20H - H^2 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में H^2 जोड़ने पर: 4H^2/3 = 20H। H से भाग देने पर (H शून्य नहीं है): 4H/3 = 20, इसलिए H = 15 मीटर।

व्याख्या

व्यंजक 1 + 2sin²(θ)cos²(θ) - sin⁴(θ) - cos⁴(θ) है। हम जानते हैं कि sin⁴(θ) + cos⁴(θ) = (sin²(θ) + cos²(θ))² - 2sin²(θ)cos²(θ) = 1 - 2sin²(θ)cos²(θ)। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + 2sin²(θ)cos²(θ) - (1 - 2sin²(θ)cos²(θ)) = 4sin²(θ)cos²(θ)। इसे (2sin(θ)cos(θ))² = sin²(2θ) के रूप में लिखा जा सकता है। sin²(2θ) का अधिकतम मान 1 है, जो तब होता है जब 2θ = 90 डिग्री, या θ = 45 डिग्री।

व्याख्या

माना हवाई जहाज की ऊँचाई h = 1200 मीटर और नदी की चौड़ाई W = 3000 मीटर है। विपरीत किनारों तक अवनमन कोण 30° और θ हैं। हवाई जहाज के ठीक नीचे के बिंदु से दोनों किनारों तक की क्षैतिज दूरियाँ, x₁ और x₂, सूत्र x = h cot(α) द्वारा दी गई हैं।

पहले किनारे के लिए, x₁ = 1200 cot(30°) = 1200 √3। √3 ≈ 1.732 का उपयोग करते हुए, हमें x₁ ≈ 1200 × 1.732 = 2078.4 मीटर मिलता है। चूंकि किनारे विपरीत दिशाओं में हैं, कुल चौड़ाई W = x₁ + x₂ है। इस प्रकार, x₂ = 3000 - 2078.4 = 921.6 मीटर।

अब, हम संबंध tan(θ) = h/x₂ का उपयोग करके tan(θ) ज्ञात करते हैं: tan(θ) = 1200/921.6 ≈ 1.302।

इस मान की मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों से तुलना करने पर: tan(45°) = 1 और tan(60°) = √3 ≈ 1.732। चूंकि 1 < 1.302 < 1.732, इसलिए tan(45°) < tan(θ) < tan(60°)। अतः, 45° < θ < 60°, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण (cos²θ - 3cosθ + 2)/sin²θ = 1 है। हम तिरछा गुणा करके cos²θ - 3cosθ + 2 = sin²θ प्राप्त करते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ = 1 - cos²θ का उपयोग करके, समीकरण cos²θ - 3cosθ + 2 = 1 - cos²θ बन जाता है। सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर द्विघात समीकरण 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0 प्राप्त होता है।

द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर, हमें (2cosθ - 1)(cosθ - 1) = 0 मिलता है। इससे दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: cosθ = 1 या cosθ = 1/2। दी गई शर्त 0° < θ < 90° के अनुसार, cosθ ≠ 1 होना चाहिए क्योंकि cosθ = 1 का अर्थ है θ = 0° और sinθ = 0, जिससे मूल व्यंजक अपरिभाषित हो जाएगा। इसलिए, हम cosθ = 1/2 का उपयोग करते हैं।

sin²θ + cosθ का मान ज्ञात करने के लिए, हम cosθ = 1/2 और sin²θ = 1 - cos²θ प्रतिस्थापित करते हैं: sin²θ + cosθ = (1 - (1/2)²) + 1/2 = 1 - 1/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4। यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, बाएँ पक्ष (LHS) को sin²θ(sin²θ - 1) के रूप में लें। मौलिक सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके, हम जानते हैं कि sin²θ - 1 = -cos²θ। इस प्रकार, LHS = sin²θ(-cos²θ) = -sin²θ cos²θ। इसी प्रकार, दायाँ पक्ष (RHS) cos²θ(cos²θ - 1) है। चूँकि cos²θ - 1 = -sin²θ, RHS = cos²θ(-sin²θ) = -sin²θ cos²θ। चूँकि LHS = RHS, कथन 1 एक सर्वसमिका है।

कथन 2 के लिए, a = sin²θ और b = cos²θ के साथ बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करें। तब (sin²θ + cos²θ)² = sin⁴θ + cos⁴θ + 2sin²θ cos²θ। sin²θ + cos²θ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1² = sin⁴θ + cos⁴θ + 2sin²θ cos²θ मिलता है, जो sin⁴θ + cos⁴θ = 1 - 2sin²θ cos²θ तक सरल हो जाता है। दिए गए व्यंजक में माइनस चिह्न के बजाय प्लस चिह्न का उपयोग किया गया है, जिससे कथन 2 एक सर्वसमिका नहीं है।

कथन 3 के लिए, LHS tan²θ(tan²θ + 1) है। सर्वसमिका 1 + tan²θ = sec²θ का उपयोग करके, व्यंजक tan²θ sec²θ बन जाता है। अब, व्यंजक में tan²θ = sec²θ - 1 को प्रतिस्थापित करें ताकि (sec²θ - 1)sec²θ = sec⁴θ - sec²θ प्राप्त हो। यह RHS से मेल खाता है, इसलिए कथन 3 एक सर्वसमिका है। इसलिए, केवल 1 और 3 सर्वसमिकाएँ हैं, जिससे विकल्प c सही हो जाता है।

व्याख्या

ध्यान दें कि 66 डिग्री = 90 डिग्री - 24 डिग्री। इसलिए, sin(66) = cos(24), cos(66) = sin(24), tan(66) = cot(24), और cot(66) = tan(24)। व्यंजक बन जाता है: sin(24)cos(24) - cos(24)sin(24) + tan(24)cot(24) - cot(24)tan(24)। पहले दो पद रद्द हो जाते हैं (0), और अंतिम दो पद 1 - 1 = 0 होते हैं। अंतिम परिणाम 0 है।

व्याख्या

x^2 + y^2 + z^2 = (p sin A cos B)^2 + (p sin A sin B)^2 + (p cos A)^2 = p^2 sin^2 A cos^2 B + p^2 sin^2 A sin^2 B + p^2 cos^2 A। पहले दो पदों से p^2 sin^2 A को उभयनिष्ठ लेने पर: p^2 sin^2 A (cos^2 B + sin^2 B) + p^2 cos^2 A। चूँकि cos^2 B + sin^2 B = 1, यह p^2 sin^2 A + p^2 cos^2 A = p^2 (sin^2 A + cos^2 A) तक सरल हो जाता है। चूँकि sin^2 A + cos^2 A = 1, परिणाम p² है।

व्याख्या

व्यंजक x² - y² को बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x + y)(x - y) का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।

सबसे पहले, योग x + y की गणना करें: x + y = (m sec A + n tan A) + (m tan A + n sec A) x + y = m(sec A + tan A) + n(sec A + tan A) x + y = (m + n)(sec A + tan A)

इसके बाद, अंतर x - y की गणना करें: x - y = (m sec A + n tan A) - (m tan A + n sec A) x - y = m(sec A - tan A) - n(sec A - tan A) x - y = (m - n)(sec A - tan A)

अब, इन दोनों परिणामों को गुणा करें: x² - y² = [(m + n)(sec A + tan A)] · [(m - n)(sec A - tan A)] x² - y² = (m + n)(m - n) · (sec A + tan A)(sec A - tan A)

सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है: x² - y² = (m² - n²)(sec² A - tan² A)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - tan² A = 1 लागू करने पर, व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है: x² - y² = (m² - n²) · 1 = m² - n²

इस प्रकार, परिणाम विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया है कि 0° < θ < 90° के लिए tan θ = 1 है, हम पहचान सकते हैं कि θ = 45° है क्योंकि tan 45° = 1 होता है। θ = 45° के लिए, साइन और कोसाइन फलन के मान sin 45° = 1/√2 और cos 45° = 1/√2 हैं। इन मानों को व्यंजक sin² θ - 2 sin θ cos θ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1/√2)² - 2(1/√2)(1/√2) प्राप्त होता है। पदों को सरल करने पर, हमें 1/2 - 2(1/2) = 1/2 - 1 = -1/2 मिलता है। वैकल्पिक रूप से, द्वि-कोण सूत्र 2 sin θ cos θ = sin 2θ का उपयोग करके, व्यंजक sin² 45° - sin 90° तक सरल हो जाता है, जो 1/2 - 1 = -1/2 के बराबर है। यह विकल्प (d) के मान से मेल खाता है।

व्याख्या

अंश: 2sin³θ - sinθ = sinθ(2sin²θ - 1). sin²θ = 1 - cos²θ का उपयोग करके, अंश sinθ(2(1 - cos²θ) - 1) = sinθ(1 - 2cos²θ) है। हर: cosθ - 2cos³θ = cosθ(1 - 2cos²θ)। व्यंजक [sinθ(1 - 2cos²θ)] / [cosθ(1 - 2cos²θ)] = sinθ/cosθ = tanθ है।

व्याख्या

एक त्रिभुज ABC में, आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है, इसलिए A + B + C = 180°। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि B + C = 180° - A। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर (B+C)/2 = (180° - A)/2 = 90° - A/2 प्राप्त होता है।

त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, जहाँ tan(90° - θ) = cot(θ) और sin(90° - θ) = cos(θ), हम θ = A/2 प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे tan((B+C)/2) = tan(90° - A/2) = cot(A/2) और sin((B+C)/2) = sin(90° - A/2) = cos(A/2) प्राप्त होता है।

अब, इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: tan((B+C)/2) + sin((B+C)/2) - cot(A/2) - cos(A/2) = cot(A/2) + cos(A/2) - cot(A/2) - cos(A/2)।

cot(A/2) और -cot(A/2) पद एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं, और cos(A/2) और -cos(A/2) पद भी एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं। परिणामी मान 0 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

∠B = 90° वाले एक समकोण त्रिभुज ABC में, भुजा AC कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, AB² + BC² = AC²। दिया गया है AC = 20 सेमी, इसलिए AB² + BC² = 20² = 400।

हमें अन्य दो भुजाओं का योग AB + BC = 10(1 + √3) दिया गया है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (AB + BC)² = (10(1 + √3))² प्राप्त होता है, जो AB² + BC² + 2(AB · BC) = 100(1 + 3 + 2√3) के रूप में विस्तारित होता है। AB² + BC² = 400 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 400 + 2(AB · BC) = 100(4 + 2√3) = 400 + 200√3 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 400 घटाने पर 2(AB · BC) = 200√3 प्राप्त होता है, इसलिए AB · BC = 100√3।

मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक tan A + tan C है। एक समकोण त्रिभुज में, tan A = BC/AB और tan C = AB/BC। इसलिए, tan A + tan C = BC/AB + AB/BC = (BC² + AB²)/(AB · BC)। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, tan A + tan C = 400/(100√3) = 4/√3। यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, परित्रिज्या R हमेशा कर्ण के आधे के बराबर होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समकोण त्रिभुज का कर्ण उसके परित्रिज्या के व्यास के रूप में कार्य करता है। सूत्र c = 2R का उपयोग करके, जहाँ c कर्ण है और R परित्रिज्या है, हम R = 10 सेमी का दिया गया मान प्रतिस्थापित करते हैं: c = 2 × 10 = 20 सेमी।

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके गणना की जा सकती है। इस मामले में, हम कर्ण को आधार के रूप में और कर्ण पर खींचे गए शीर्षलम्ब को ऊँचाई के रूप में लेते हैं। यह देखते हुए कि शीर्षलम्ब 8 सेमी है और कर्ण 20 सेमी है, गणना इस प्रकार है: क्षेत्रफल = 1/2 × 20 सेमी × 8 सेमी क्षेत्रफल = 10 सेमी × 8 सेमी = 80 सेमी²।

इस प्रकार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 80 सेमी² है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

माना त्रिज्याएँ r1 और r2 हैं। चूँकि वे बाह्यतः स्पर्श करते हैं, केंद्रों के बीच की दूरी r1 + r2 = 9 है। क्षेत्रफलों का योग π(r1^2 + r2^2) = 41π है, इसलिए r1^2 + r2^2 = 41। (r1 + r2)^2 = r1^2 + r2^2 + 2r1r2 का उपयोग करके, हमें 9^2 = 41 + 2r1r2 मिलता है, जिसका अर्थ है 81 - 41 = 2r1r2, इसलिए r1r2 = 20। r1 + r2 = 9 और r1r2 = 20 को संतुष्ट करने वाले मान 4 और 5 हैं। व्यास 8 सेमी और 10 सेमी हैं। अंतर 10 - 8 = 2 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग X की भुजा s है। वर्ग X का क्षेत्रफल सूत्र p = s² द्वारा दिया जाता है। एक वर्ग के गुणों के अनुसार, विकर्ण d की लंबाई भुजा s से सूत्र d = s√2 द्वारा संबंधित है। इस विकर्ण को भुजा मानकर एक नया वर्ग बनाया गया है, इसलिए दूसरे वर्ग की भुजा की लंबाई d है। इस वर्ग का क्षेत्रफल q = d² = (s√2)² = 2s² है। आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात p/q = s²/(2s²) = 1/2 की गणना करते हैं। इस प्रकार, p/q का मान 1/2 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = 1/2 × d₁ × d₂ द्वारा दिया जाता है, जहाँ d₁ और d₂ विकर्णों की लंबाई हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 336 = 1/2 × 48 × d₂, जो 336 = 24 × d₂ को सरल करता है। दूसरे विकर्ण के लिए हल करने पर, d₂ = 336/24 = 14 सेमी।

एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे चार समकोण त्रिभुज बनते हैं। समचतुर्भुज की भुजा s इन त्रिभुजों के कर्ण के रूप में कार्य करती है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, भुजा की लंबाई s = √((d₁/2)² + (d₂/2)²) के रूप में गणना की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, s = √((48/2)² + (14/2)²) = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25 सेमी।

समचतुर्भुज की परिधि 4 × s होती है। इसलिए, परिधि 4 × 25 = 100 सेमी है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

घड़ी की मिनट की सुई द्वारा वर्णित क्षेत्रफल एक वृत्त का त्रिज्यखंड बनाता है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: क्षेत्रफल = θ/360 × πr² वैकल्पिक रूप से, चूंकि मिनट की सुई 60 मिनट में एक पूरा चक्कर लगाती है, t मिनट में तय किया गया क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = t/60 × πr²

दिया गया समय अंतराल सुबह 10:10 बजे और सुबह 10:30 बजे के बीच है, इसलिए बीता हुआ समय t = 30 - 10 = 20 मिनट है। मिनट की सुई की लंबाई r = 21 सेमी है, और π = 22/7 है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = 20/60 × 22/7 × (21)² क्षेत्रफल = 1/3 × 22/7 × 441 क्षेत्रफल = 1/3 × 22 × 441/7 क्षेत्रफल = 1/3 × 22 × 63 क्षेत्रफल = 22 × 21 क्षेत्रफल = 462 सेमी²

इस प्रकार, मिनट की सुई द्वारा वर्णित क्षेत्रफल 462 सेमी² है, जो विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

कमरे में सबसे लंबी छड़ अंतरिक्ष विकर्ण D होती है। D^2 = L^2 + B^2 + H^2। दिया गया है D = 29, L = 21, और B = 16: 29^2 = 21^2 + 16^2 + H^2। 841 = 441 + 256 + H^2। 841 = 697 + H^2। H^2 = 841 - 697 = 144। H = वर्गमूल(144) = 12 मीटर।

व्याख्या

अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन = (2/3) पाई R^3 = (2/3) पाई 18^3 = (2/3) पाई 5832 = 3888 पाई घन सेमी। एक बेलनाकार बोतल का आयतन = पाई r^2 h = पाई 3^2 4 = 36 पाई घन सेमी। बोतलों की संख्या = (3888 पाई) / (36 पाई) = 3888 / 36 = 108।

व्याख्या

एक खोखले गोलाकार खोल का द्रव्यमान उसके आयतन को पदार्थ के घनत्व से गुणा करके निकाला जाता है। एक खोखले गोले का आयतन बाहरी गोले के आयतन और आंतरिक गोले के आयतन के बीच का अंतर होता है, जिसे सूत्र V = 4/3 π (R³ - r³) द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या और r आंतरिक त्रिज्या है।

दिए गए मान: बाहरी त्रिज्या R = 6 सेमी आंतरिक त्रिज्या r = 3 सेमी घनत्व ρ = 7 ग्राम/सेमी³ π = 22/7

पहले, आयतन की गणना करें: V = 4/3 × 22/7 × (6³ - 3³) V = 4/3 × 22/7 × (216 - 27) V = 4/3 × 22/7 × 189 व्यंजक को सरल बनाना: 189/7 = 27 और 27/3 = 9। V = 4 × 22 × 9 V = 792 सेमी³

अब, सूत्र द्रव्यमान = घनत्व × आयतन का उपयोग करके द्रव्यमान की गणना करें: द्रव्यमान = 7 ग्राम/सेमी³ × 792 सेमी³ द्रव्यमान = 5544 ग्राम

इस प्रकार, खोल का द्रव्यमान 5544 ग्राम है, जो विकल्प डी से मेल खाता है।

व्याख्या

ठोस का कुल आयतन शंकु के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है। दोनों आकृतियों के लिए त्रिज्या r व्यास का आधा है, इसलिए r = 14/2 = 7 सेमी। शंकु की ऊंचाई h = 16 सेमी है।

शंकु और अर्धगोले के आयतन सूत्रों का उपयोग करते हुए, कुल आयतन V इस प्रकार दिया गया है: V = 1/3 π r² h + 2/3 π r³

गणना को सरल बनाने के लिए, हम सामान्य पदों को गुणनखंडित कर सकते हैं: V = 1/3 π r² (h + 2r)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 1/3 × 22/7 × 7² × (16 + 2 × 7) V = 1/3 × 22/7 × 49 × (16 + 14) V = 1/3 × 22 × 7 × 30 V = 22 × 7 × 10 V = 154 × 10 = 1540 सेमी³

इस प्रकार, संयुक्त ठोस का कुल आयतन 1540 सेमी³ है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रत्येक घन का आयतन V = a³ = 343 cm³ द्वारा दिया गया है, जिससे हमें भुजा की लंबाई a = ∛343 = 7 cm ज्ञात करने की अनुमति मिलती है। जब ऐसे तीन घन सिरे से सिरे तक जोड़े जाते हैं, तो वे L = 3a = 3 × 7 = 21 cm लंबाई, B = a = 7 cm चौड़ाई, और H = a = 7 cm ऊंचाई वाले एक घनाभ का निर्माण करते हैं। घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र TSA = 2(LB + BH + HL) द्वारा निर्धारित किया जाता है। आयामों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें TSA = 2(21 × 7 + 7 × 7 + 7 × 21) = 2(147 + 49 + 147) = 2(343) = 686 cm² प्राप्त होता है।

एक त्वरित प्रतियोगिता-शैली दृष्टिकोण उजागर चेहरों की संख्या पर विचार करना है। तीन अलग-अलग घनों में 3 × 6 = 18 फलक होते हैं। उन्हें सिरे से सिरे तक जोड़ने से दो आंतरिक इंटरफेस बनते हैं, और प्रत्येक इंटरफेस कुल सतह से दो फलकों को छिपा देता है। इसलिए, 4 फलक हटा दिए जाते हैं, जिससे 18 - 4 = 14 उजागर फलक बचते हैं। इस प्रकार कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 14 × a² = 14 × 7² = 14 × 49 = 686 cm² है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

घनाकार ब्लॉक के ऊपर अर्धगोला रखने से बने ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है, जिसमें से अर्धगोले के वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल घटा दिया जाता है जो अब ढका हुआ है।

सूत्र है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल - अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल + अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल। चूंकि आधार का क्षेत्रफल πr² है और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² है, संयुक्त सूत्र सरल हो जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² + πr²

दिए गए मान a = 14 सेमी और r = 7 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(14)² + 22/7(7)² कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6(196) + 22(7) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1176 + 154 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1330 सेमी²

इस प्रकार, परिणामी ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1330 सेमी² है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक सिक्के का आयतन = π r² h। त्रिज्या r = 3.5 / 2 = 1.75 सेमी। ऊँचाई h = 4 मिमी = 0.4 सेमी। आयतन = (22/7) (1.75)² 0.4 = (22/7) 3.0625 0.4 = 3.85 घन सेमी। घनाभ का आयतन = 21 × 11 × 7 = 1617 घन सेमी। सिक्कों की संख्या = 1617 / 3.85 = 420।

व्याख्या

शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l की गणना सूत्र l = √(h² + (R - r)²) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ h ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है, R बड़े वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या है, और r छोटे वृत्ताकार सिरे की त्रिज्या है। दिए गए मान R = 105 सेमी, r = 42 सेमी, और h = 16 सेमी, हम पहले त्रिज्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं: R - r = 105 - 42 = 63 सेमी। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = √(16² + 63²) प्राप्त होता है। वर्गों की गणना करने पर, हमारे पास 16² = 256 और 63² = 3969 है। इन परिणामों को एक साथ जोड़ने पर l = √(256 + 3969) = √4225 प्राप्त होता है। 4225 का वर्गमूल 65 है, क्योंकि 65 × 65 = 4225। इसलिए, टब की तिर्यक ऊँचाई 65 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC को BC के परितः घुमाने पर एक शंकु बनता है जिसकी त्रिज्या r = AB = 8 सेमी और ऊँचाई h = BC = 6 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई l = sqrt(8² + 6²) = sqrt(64 + 36) = 10 सेमी। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r) = (22/7) * 8 * (10 + 8) = (22/7) * 8 * 18 = 3168 / 7 ≈ 452.57 सेमी²। निकटतम विकल्प 452 सेमी² है।

व्याख्या

ठोस छड़ का कुल आयतन दो बेलनों के आयतनों का योग है। बेलन के आयतन के सूत्र V = πr²h का उपयोग करते हुए, पहले बेलन का आयतन V₁ = 22/7 × 7² × 20 = 22 × 7 × 20 = 3080 सेमी³ है। दूसरे बेलन का आयतन V₂ = 22/7 × 3.5² × 10 = 22/7 × 12.25 × 10 = 385 सेमी³ है। छड़ का कुल आयतन Vₜₒₜₐₗ = 3080 + 385 = 3465 सेमी³ है।

द्रव्यमान ज्ञात करने के लिए, हम दी गई घनत्व का उपयोग करते हैं। चूँकि 1 मी³ = 100 × 100 × 100 = 1,000,000 सेमी³ है, छड़ के 1 सेमी³ का वजन 10000 किग्रा/1,000,000 सेमी³ = 0.01 किग्रा/सेमी³ है। इसलिए छड़ का कुल द्रव्यमान 3465 सेमी³ × 0.01 किग्रा/सेमी³ = 34.65 किग्रा है, जो विकल्प ए से मेल खाता है।

व्याख्या

ठोस का कुल आयतन लम्ब वृत्तीय शंकु के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है। शंकु के आयतन के सूत्र V꜀ₒₙₑ = 1/3 π r² h का उपयोग करके और दिए गए मान r = x और h = 2x को प्रतिस्थापित करके, हमें V꜀ₒₙₑ = 1/3 π (x)² (2x) = 2/3 π x³ प्राप्त होता है। इसके बाद, अर्धगोले के आयतन के सूत्र Vₕₑₘᵢ = 2/3 π r³ का उपयोग करके और r = x को प्रतिस्थापित करके, हमें Vₕₑₘᵢ = 2/3 π x³ प्राप्त होता है। ठोस का कुल आयतन Vₜₒₜₐₗ = V꜀ₒₙₑ + Vₕₑₘᵢ = 2/3 π x³ + 2/3 π x³ = 4/3 π x³ है। चूँकि त्रिज्या x वाले गोले के आयतन का सूत्र Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3 π x³ है, ठोस का आयतन त्रिज्या x वाले गोले के आयतन के बराबर है, जो विकल्प (a) है।

व्याख्या

संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल लंब वृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (curved surface area) और अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग है, क्योंकि शंकु का आधार और अर्धगोले का सपाट फलक आंतरिक रूप से जुड़े हुए हैं।

शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र πrl है, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई (slant height) है। सबसे पहले, हम सूत्र l = √(r² + h²) का उपयोग करके तिर्यक ऊँचाई l ज्ञात करते हैं। दिए गए मान r = x और h = 2x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = √(x² + (2x)²) = √(x² + 4x²) = √(5x²) = x√5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल π · x · x√5 = πx²√5 है।

अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 2πr² है। r = x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2πx² प्राप्त होता है।

ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) है: TSA = πx²√5 + 2πx² = πx²(√5 + 2)

अनुमानित मान π = 22/7 ≈ 3.1428 और √5 ≈ 2.236 का उपयोग करते हुए: TSA ≈ 3.1428 × (2.236 + 2) × x² TSA ≈ 3.1428 × 4.236 × x² ≈ 13.313x²

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें 13.3x² प्राप्त होता है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

बेलन में बचे पानी का आयतन ज्ञात करने के लिए, हमें बेलन के कुल आयतन में से ठोस का आयतन घटाना होगा। बेलन का कुल आयतन सूत्र V꜀ᵧₗᵢₙꜣₑᵣ = πr²h द्वारा दिया गया है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, V꜀ᵧₗᵢₙꜣₑᵣ = π(x)²(3x) = 3πx³।

ठोस में एक शंकु और एक अर्धगोला होता है। शंकु का आयतन V꜀ₒₙₑ = 1/3 πr²h = 1/3 π(x)²(2x) = 2/3 πx³ है। अर्धगोले का आयतन Vₕₑₘᵢₛₚₕₑᵣₑ = 2/3 πr³ = 2/3 π(x)³ = 2/3 πx³ है। इसलिए, ठोस का कुल आयतन Vₛₒₗᵢꜣ = 2/3 πx³ + 2/3 πx³ = 4/3 πx³ है।

बेलन में बचा पानी का आयतन बेलन के आयतन और ठोस के आयतन के बीच का अंतर है: Vₗₑfₜ = 3πx³ - 4/3 πx³ = (9πx³ - 4πx³)/3 = 5/3 πx³

π = 22/7 का मान उपयोग करते हुए, हम संख्यात्मक मान की गणना करते हैं: Vₗₑfₜ = 5/3 × 22/7 × x³ = 110/21 x³ 110 को 21 से विभाजित करने पर लगभग 5.238095 x³ प्राप्त होता है, जो 5.24 x³ तक पूर्णांकित होता है। इस प्रकार, विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

वृत्त के लघु खंड का क्षेत्रफल, वृत्तीय त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से जीवा और त्रिज्याओं द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर निकाला जाता है। आवश्यक सूत्र है: लघु खंड का क्षेत्रफल = θ/360 × πr² - 1/2 r² sin θ

त्रिज्या r = 2.1 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 120°, π = 22/7, और √3 = 1.732 दिया गया है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

सबसे पहले, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 120/360 × 22/7 × (2.1)² = 1/3 × 22/7 × 4.41 चूंकि 4.41 ÷ 7 = 0.63 है, गणना 1/3 × 22 × 0.63 = 22 × 0.21 = 4.62 सेमी² हो जाती है।

अगला, त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (2.1)² × sin(120°) sin(120°) = sin(60°) = √3/2 का उपयोग करके, क्षेत्रफल 1/2 × 4.41 × 1.732/2 = (4.41 × 1.732)/4 ≈ 7.63812/4 ≈ 1.9095 सेमी² है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल को त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से घटाकर: लघु खंड का क्षेत्रफल = 4.62 - 1.9095 = 2.7105 सेमी²।

अनुमानित क्षेत्रफल 2.71 सेमी² है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

वृत्त के दीर्घ खंड का क्षेत्रफल, दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और जीवा तथा त्रिज्याओं द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल के योग के रूप में परिकलित किया जाता है। दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र (360 - θ)/360 × πr² है और त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 r² sinθ है। दिया गया है r = 2.1 सेमी और θ = 120°, हम मानों को इस प्रकार प्रतिस्थापित करते हैं:

दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (360 - 120)/360 × 22/7 × (2.1)² = 240/360 × 22/7 × 4.41 = 2/3 × 13.86 = 9.24 सेमी²।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (2.1)² × sin(120°) = 1/2 × 4.41 × √3/2 = (4.41 × 1.732)/4 = 7.63812/4 = 1.90953 सेमी²।

दीर्घ खंड का कुल क्षेत्रफल = 9.24 + 1.90953 = 11.14953 सेमी²।

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 11.15 सेमी² प्राप्त होता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि शीर्ष A, B और C पर केंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁, r₂ और r₃ हैं। चूँकि वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं, इसलिए किन्हीं दो स्पर्श करने वाले वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है। इससे हमें त्रिभुज ABC की भुजाओं की लंबाई के आधार पर रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है: r₁ + r₂ = AB = 6 cm r₂ + r₃ = BC = 10 cm r₃ + r₁ = CA = 8 cm

त्रिज्याओं के योग r₁ + r₂ + r₃ को ज्ञात करने के लिए, हम इन तीन समीकरणों को एक साथ जोड़ते हैं: (r₁ + r₂) + (r₂ + r₃) + (r₃ + r₁) = 6 + 10 + 8 2(r₁ + r₂ + r₃) = 24

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: r₁ + r₂ + r₃ = 12 cm

इस प्रकार, तीन वृत्तों की त्रिज्याओं का योग 12 cm है, जो विकल्प (c) के संगत है। यह विधि समस्या को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है क्योंकि इसमें अलग-अलग त्रिज्याओं की गणना करने से बचा जाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, हम त्रिभुज ABC की भुजाओं की लम्बाई का उपयोग करके उसकी प्रकृति की पहचान करते हैं: AB = 6 सेमी, BC = 10 सेमी, और CA = 8 सेमी। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जाँच करते हैं कि क्या यह एक समकोण त्रिभुज है: AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100। चूँकि BC² = 10² = 100, समीकरण AB² + AC² = BC² सत्य है। इस प्रकार, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण शीर्ष A पर है और BC कर्ण है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके लम्बों को आधार और ऊँचाई के रूप में उपयोग करके गणना की जा सकती है। सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करते हुए, हमारे पास क्षेत्रफल = 1/2 × 6 × 8 = 24 वर्ग सेमी है।

क्षेत्रफल को कर्ण BC को आधार और शीर्ष A से BC पर शीर्षलम्ब, जिसे h से दर्शाया गया है, को ऊँचाई के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए, क्षेत्रफल = 1/2 × BC × h। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 24 = 1/2 × 10 × h मिलता है, जो 24 = 5h को सरल करता है। h के लिए हल करने पर h = 24/5 = 4.8 सेमी प्राप्त होता है। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि वृत्त एक दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं, इसलिए दो वृत्तों की त्रिज्याओं का योग उनके केंद्रों को जोड़ने वाली त्रिभुज की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। मान लीजिए A, B और C पर वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः rₐ, rᵦ और r꜀ हैं। rₐ + rᵦ = 6 rᵦ + r꜀ = 10 r꜀ + rₐ = 8 इन समीकरणों को जोड़ने पर 2(rₐ + rᵦ + r꜀) = 24 प्राप्त होता है, इसलिए rₐ + rᵦ + r꜀ = 12। समीकरणों को घटाने पर, हमें r꜀ = 12 - 6 = 6 सेमी, rₐ = 12 - 10 = 2 सेमी, और rᵦ = 12 - 8 = 4 सेमी प्राप्त होता है। चूंकि 6² + 8² = 10², त्रिभुज A पर समकोण है, जिसका अर्थ है ∠A = 90°। शीर्ष A पर त्रिज्यखंड P का क्षेत्रफल P = ∠A/360 · πrₐ² = 90/360 · π(2²) = 1/4 · 4π = π सेमी² है। इस प्रकार, कथन 1 सही है। अन्य त्रिज्यखंडों के लिए, Q = ∠B/360 · πrᵦ² = ∠B/360 · 16π और R = ∠C/360 · πr꜀² = ∠C/360 · 36π। व्यंजक 9Q + 4R का मूल्यांकन: 9Q + 4R = 9(∠B/360 · 16π) + 4(∠C/360 · 36π) = 144π∠B/360 + 144π∠C/360 = 144π/360 (∠B + ∠C)। चूंकि ∠A = 90°, ∠B + ∠C = 90°। 9Q + 4R = 144π/360 · 90 = 144π/4 = 36π सेमी²। इस प्रकार, कथन 2 भी सही है। कथन 1 और 2 दोनों सही हैं, इसलिए विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

इस समस्या को सीधे स्टीवर्ट प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो किसी त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को एक सेवेन (cevian) की लंबाई से संबंधित करता है। किसी भी त्रिभुज ABC के लिए जिसमें एक सेवेन AD है जो विपरीत भुजा BC को खंड BD और CD में विभाजित करता है, सूत्र है AB² · CD + AC² · BD = BC(AD² + BD · CD)।

यह देखते हुए कि AB = AC है, इन भुजाओं की लंबाई s मान लीजिए। BD = m और CD = n मान लीजिए। आधार BC की कुल लंबाई तब m + n होगी। इन मानों को स्टीवर्ट प्रमेय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें s² · n + s² · m = (m + n)(AD² + mn) प्राप्त होता है। बाईं ओर से s² को कॉमन लेने पर s²(m + n) = (m + n)(AD² + mn) प्राप्त होता है। चूंकि m + n भुजा BC की लंबाई है और शून्य नहीं हो सकती, हम दोनों पक्षों को (m + n) से विभाजित करके s² = AD² + mn प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर s² - AD² = mn प्राप्त होता है। मूल भुजा की लंबाइयों को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें AC² - AD² = BD × CD प्राप्त होता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में भुजा AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम स्टीवर्ट प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को एक सिवियन (एक शीर्ष से विपरीत भुजा तक एक रेखा खंड) की लंबाई से संबंधित करता है। सूत्र इस प्रकार दिया गया है: AB² ⋅ CD + AC² ⋅ BD = BC(AD² + BD ⋅ CD)।

त्रिभुज के मापदंड दिए गए हैं: AB = AC = x (क्योंकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है) BD = 4 सेमी CD = 6 सेमी BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 सेमी AD = 5 सेमी

इन मानों को स्टीवर्ट प्रमेय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x² ⋅ 6 + x² ⋅ 4 = 10(5² + 4 ⋅ 6) 6x² + 4x² = 10(25 + 24) 10x² = 10(49) दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर: x² = 49 x = √49 = 7 सेमी

इस प्रकार, AB की लंबाई 7 सेमी है, जो विकल्प (a) से मेल खाती है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC की भुजाओं की लंबाई AB = 1.6 सेमी, BC = 6.3 सेमी, और CA = 6.5 सेमी दी गई है, हमें AB² + 4BQ² का मान ज्ञात करना है। चूंकि Q भुजा BC का मध्य-बिंदु है, BQ की लंबाई BC की आधी है, अर्थात BQ = BC/2।

इस संबंध को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4BQ² = 4(BC/2)² = 4(BC²/4) = BC² प्राप्त होता है। इसलिए, व्यंजक AB² + 4BQ² सीधे AB² + BC² के रूप में सरल हो जाता है।

दी गई मानों का उपयोग करके: AB = 1.6 BC = 6.3

हम वर्गों की गणना इस प्रकार करते हैं: AB² = (1.6)² = 2.56 BC² = (6.3)² = 39.69

इन दोनों मानों को एक साथ जोड़ने पर: AB² + BC² = 2.56 + 39.69 = 42.25

इस प्रकार, AB² + 4BQ² का मान 42.25 सेमी² है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

AQ² + CP² का मान ज्ञात करने के लिए, हम अपोलोनियस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो त्रिभुज की माध्यिका की लंबाई को उसकी भुजाओं की लंबाई से संबंधित करता है। भुजाओं a, b, c वाले त्रिभुज ABC के लिए, भुजा a पर माध्यिका mₐ की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

mₐ² = (2b² + 2c² - a²)/4

इस समस्या में, AQ भुजा BC पर माध्यिका है और CP भुजा AB पर माध्यिका है। सूत्र लागू करने पर:

AQ² = (2AB² + 2AC² - BC²)/4 CP² = (2BC² + 2AC² - AB²)/4

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है:

AQ² + CP² = (2AB² + 2AC² - BC² + 2BC² + 2AC² - AB²)/4 AQ² + CP² = (AB² + BC² + 4AC²)/4

दिए गए विकल्पों को देखते हुए, यह निहित है कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें B पर समकोण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, AB² + BC² = AC²। इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर:

AQ² + CP² = (AC² + 4AC²)/4 = 5AC²/4 = 1.25 AC²

विकल्प C, जिसे 1 - 25AC² लिखा गया है, 1.25 AC² का एक टाइपोग्राफ़िकल प्रतिनिधित्व है। इस प्रकार, परिणाम 1.25 AC² है।

व्याख्या

माध्यिका सूत्र m² = (2a² + 2b² - c²) / 4 का प्रयोग करके। CP (भुजा AB=1.6 की माध्यिका) के लिए: CP² = (26.3² + 26.5² - 1.6²) / 4 = (79.38 + 84.5 - 2.56) / 4 = 161.32 / 4 = 40.33। AQ (भुजा BC=6.3 की माध्यिका) के लिए: AQ² = (21.6² + 26.5² - 6.3²) / 4 = (5.12 + 84.5 - 39.69) / 4 = 49.93 / 4 = 12.4825। तब 4(CP² - AQ²) = 4(40.33 - 12.4825) = 4(27.8475) = 111.39।

व्याख्या

त्रिभुज OPA में, OA और OP दोनों वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिसका अर्थ है OA = OP। यह त्रिभुज OPA को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। यह दिया गया है कि त्रिज्या OP व्यास AB पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि कोण POA = 90°। किसी भी समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण OAP = कोण OPA। त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके, हमारे पास कोण OAP + कोण OPA + कोण POA = 180° है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 × कोण OAP + 90° = 180° मिलता है, जो 2 × कोण OAP = 90° को सरल करता है। इसलिए, कोण OAP = 45°। चूँकि बिंदु O रेखा खंड AB पर स्थित है, कोण BAP, कोण OAP के समान है। इस प्रकार, कोण BAP = 45°, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

कोण ∠AQP एक अंतर्लिखित कोण है जो चाप AP को बनाता है। अंतर्लिखित कोण प्रमेय के अनुसार, एक अंतर्लिखित कोण का माप उसके संगत केंद्रीय कोण के माप का आधा होता है जो उसी चाप को बनाता है। इस मामले में, चाप AP को बनाने वाला केंद्रीय कोण ∠AOP है। चूँकि यह दिया गया है कि त्रिज्या OP व्यास AB पर लंबवत है, केंद्रीय कोण ∠AOP का माप ठीक 90° है। सूत्र ∠AQP = 1/2 ∠AOP का उपयोग करके, हम मान को प्रतिस्थापित करते हैं जिससे ∠AQP = 1/2 × 90° = 45° प्राप्त होता है। यह परिणाम इस बात पर ध्यान दिए बिना स्थिर रहता है कि बिंदु Q चाप PB पर कहाँ स्थित है, क्योंकि एक ही चाप को बनाने वाले सभी अंतर्लिखित कोण बराबर होते हैं। इस प्रकार, कोण ∠AQP का माप 45° है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए पाँच क्रमागत पूर्णांक n, n+1, n+2, n+3, n+4 हैं। इन पूर्णांकों का गुणनफल P = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) है। दी गई शर्त यह है कि P अनुक्रम में पूर्णांकों में से किसी एक के बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है P ∈ {n, n+1, n+2, n+3, n+4}।

यदि अनुक्रम में पूर्णांक 0 शामिल है, तो गुणनफल P शून्य होगा। चूँकि 0 अनुक्रम के पूर्णांकों में से एक है, इसलिए P = 0 की शर्त स्वतः संतुष्ट हो जाती है। पाँच क्रमागत पूर्णांकों के ऐसे 5 अनुक्रम हैं जिनमें 0 शामिल है: {0, 1, 2, 3, 4}, {-1, 0, 1, 2, 3}, {-2, -1, 0, 1, 2}, {-3, -2, -1, 0, 1}, और {-4, -3, -2, -1, 0}।

यदि अनुक्रम में 0 शामिल नहीं है, तो किसी भी पाँच क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल का निरपेक्ष मान कम से कम 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 होगा। हालाँकि, ऐसे अनुक्रम में किसी भी एकल पूर्णांक का निरपेक्ष मान 120 से बहुत कम होता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम {1, 2, 3, 4, 5} में, गुणनफल 120 है जबकि सबसे बड़ा अवयव 5 है। इस प्रकार, 0 के बिना कोई भी अनुक्रम शर्त को संतुष्ट नहीं कर सकता है। इसलिए, ठीक 5 संभावित अनुक्रम हैं, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए पाँच क्रमागत पूर्णांक n, n+1, n+2, n+3, n+4 हैं। शर्त के अनुसार उनका गुणनफल Pr = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) अनुक्रम में पूर्णांकों में से किसी एक k के बराबर होना चाहिए। यदि k ≠ 0 है, तो शेष चार पूर्णांकों का गुणनफल 1 होना चाहिए। हालाँकि, चार भिन्न पूर्णांकों का गुणनफल 1 होना असंभव है क्योंकि 1 निरपेक्ष मान वाले एकमात्र पूर्णांक 1 और -1 हैं, और हम उस समुच्चय से चार भिन्न पूर्णांक नहीं ले सकते। परिणामस्वरूप, गुणनफल के अनुक्रम में पूर्णांकों में से किसी एक के बराबर होने का एकमात्र तरीका यह है कि गुणनफल 0 हो, जिसका अर्थ है कि 0 पाँच क्रमागत पूर्णांकों में से एक होना चाहिए।

पाँच क्रमागत पूर्णांकों के संभावित अनुक्रम जिनमें 0 शामिल है, वे हैं: {-4, -3, -2, -1, 0}, {-3, -2, -1, 0, 1}, {-2, -1, 0, 1, 2}, {-1, 0, 1, 2, 3}, और {0, 1, 2, 3, 4}।

इन अनुक्रमों की जाँच करने पर, सबसे छोटी पूर्णांक संख्या P = -4 है और सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या Q = 4 है। P और Q का अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: (P + Q)/2 = (-4 + 4)/2 = 0/2 = 0। यह विकल्प (a) से मेल खाता है।