सीडीएस II 2018 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

16, 36, 45 और 48 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) इस प्रकार निकाला जाता है: 16=2^4, 36=2^23^2, 45=3^25, 48=2^43। LCM = 2^4 3^2 5 = 16 9 5 = 720। सबसे बड़ी चार-अंकीय संख्या 9999 है। 9999 को 720 से विभाजित करने पर भागफल 13 और शेषफल 639 प्राप्त होता है। 720 से विभाज्य सबसे बड़ी चार-अंकीय संख्या 720 * 13 = 9360 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों x = yᵃ, y = zᵇ, और z = xᶜ से, हम क्रमिक प्रतिस्थापन की विधि का उपयोग करके abc का मान ज्ञात कर सकते हैं। पहले समीकरण से शुरू करते हुए, हमारे पास x = yᵃ है। इस व्यंजक में दूसरे समीकरण, y = zᵇ, से y का मान प्रतिस्थापित करने पर हमें x = (zᵇ)ᵃ मिलता है। घातांक के नियमों के अनुसार, (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ, इसलिए यह x = zᵃᵇ तक सरल हो जाता है। अब, तीसरे समीकरण, z = xᶜ, से z का मान, हमारे द्वारा अभी प्राप्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = (xᶜ)ᵃᵇ मिलता है। शक्ति नियम को फिर से लागू करने पर, हमारे पास x¹ = xᵃᵇᶜ है। इस समानता के सभी धनात्मक मानों के लिए सत्य होने के लिए, घातांक बराबर होने चाहिए। इसलिए, 1 = abc। यह सिद्ध करता है कि abc का मान 1 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

माना a = 2^(1/3), तब x = 2 + a^2 + a। इसका तात्पर्य है कि x - 2 = a^2 + a। दोनों पक्षों का घन करने पर: (x - 2)³ = (a² + a)³ = a⁶ + 3a⁵ + 3a⁴ + a³। a³ = 2, a⁴ = 2a, a⁵ = 2a² और a⁶ = 4 प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - 2)³ = 4 + 3(2a²) + 3(2a) + 2 = 6 + 6a² + 6a = 6(1 + a² + a) प्राप्त होता है। चूँकि x = 2 + a² + a, इसलिए a² + a = x - 2, अतः (x - 2)³ = 6(1 + x - 2) = 6(x - 1)। इसका विस्तार करने पर, x³ - 6x² + 12x - 8 = 6x - 6, जो सरल होकर x³ - 6x² + 6x = 2 हो जाता है।

व्याख्या

कोई संख्या 33 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 11 दोनों से विभाज्य हो। XXYXX के रूप वाली पाँच अंकों की संख्या के लिए, मान लीजिए अंक X और Y हैं। 11 से विभाज्यता की शर्त यह है कि इसके अंकों का एकांतर योग 11 से विभाज्य होना चाहिए। एकांतर योग X - X + Y - X + X = Y है। चूँकि Y, 0 से 9 तक का एक अंक है, एकमात्र मान जो Y ≡ 0 (mod 11) को संतुष्ट करता है, वह Y = 0 है।

अगला, 3 से विभाज्यता की शर्त यह है कि अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग X + X + Y + X + X = 4X + Y है। इस व्यंजक में Y = 0 रखने पर, हमें 4X + 0 = 4X प्राप्त होता है। 4X के 3 से विभाज्य होने के लिए, X को 3 का गुणज होना चाहिए क्योंकि 4 और 3 सह-अभाज्य हैं। चूँकि X पाँच अंकों की संख्या का अग्रणी अंक है, X शून्य नहीं हो सकता। इस प्रकार, समुच्चय {1, 2, ..., 9} से X के लिए संभावित मान 3, 6 और 9 हैं। इससे हमें तीन संभावित संख्याएँ प्राप्त होती हैं: 33033, 66066 और 99099। इसलिए, ऐसी 3 संख्याएँ हैं, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

XY235 के 3 से विभाज्य होने के लिए, इसके अंकों का योग (X + Y + 2 + 3 + 5 = X + Y + 10) 3 से विभाज्य होना चाहिए। इसका मतलब है कि X + Y, 2, 5, 8, आदि होना चाहिए। दिया गया है कि X + Y ≤ 5 और X एक अग्रणी अंक है (X ≥ 1), तो संभावनाएँ हैं: यदि X + Y = 2, तो युग्म (X, Y) (1, 1) और (2, 0) हैं; यदि X + Y = 5, तो युग्म (X, Y) (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), और (5, 0) हैं। कुल संभावित युग्म = 2 + 5 = 7।

व्याख्या

असमानता x^2 - 6x - 27 > 0 को (x - 9)(x + 3) > 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। द्विघात के मूल x = 9 और x = -3 हैं। गुणनफल के धनात्मक होने के लिए, x को अंतराल [-3, 9] के बाहर स्थित होना चाहिए। इसलिए, x > 9 या x < -3।

व्याख्या

38808 का अभाज्य गुणनखंडन: 38808 = 2^3 3^2 7^2 11^1. भाजकों की कुल संख्या = (3+1)(2+1)(2+1)(1+1) = 4 3 3 2 = 72. 1 और स्वयं को छोड़कर, भाजकों की संख्या 72 - 2 = 70 है।

व्याख्या

दो बहुपदों P₁(x) और P₂(x), उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: P₁(x) × P₂(x) = HCF × LCM

दिया गया है: P₁(x) = x² - 4x - 21 HCF = x + 3 LCM = x³ - 9x² - x + 105

गणना को सरल बनाने के लिए, पहले P₁(x) का गुणनखंड करें: x² - 4x - 21 = (x - 7)(x + 3)

अब, P₂(x) ज्ञात करने के लिए इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें: P₂(x) = (HCF × LCM)/P₁(x) = ((x + 3)(x³ - 9x² - x + 105))/((x - 7)(x + 3)) P₂(x) = (x³ - 9x² - x + 105)/(x - 7)

(x³ - 9x² - x + 105) को (x - 7) से बहुपद विभाजन करने पर: x²(x - 7) = x³ - 7x², शेषफल -2x² - x + 105 बचता है -2x(x - 7) = -2x² + 14x, शेषफल -15x + 105 बचता है -15(x - 7) = -15x + 105, शेषफल 0 बचता है

भागफल x² - 2x - 15 है, जो विकल्प (c) के संगत है।

व्याख्या

दिए गए मानों α + β = -q/p और αβ = r/p को विकल्पों में दिए गए व्यंजकों में प्रतिस्थापित करें। विकल्प (a) के लिए, 1/(α + β) = 1/(-q/p) = -p/q। विकल्प (b) के लिए, 1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = (-q/p)/(r/p) = -q/r। विकल्प (c) के लिए, -1/(αβ) = -1/(r/p) = -p/r। विकल्प (d) के लिए, (αβ)/(α + β) = (r/p)/(-q/p) = -r/q।

दी गई शर्त 1 < p < q < r को देखते हुए, हम इन चार ऋणात्मक मानों के परिमाण का मूल्यांकन करते हैं। हम धनात्मक अनुपातों p/q, q/r, p/r, और r/q की तुलना करते हैं। चूँकि p तीन चरों में सबसे छोटा है और r सबसे बड़ा है, भिन्न p/r का अंश सबसे छोटा है और हर सबसे बड़ा है, जिससे यह 1 से कम सभी धनात्मक मानों में सबसे छोटा धनात्मक मान बन जाता है। विशेष रूप से, क्योंकि p < q, तो p/r < q/r, और क्योंकि q < r, तो p/r < p/q। इसके अतिरिक्त, r/q > 1 है, इसलिए यह सबसे बड़ा परिमाण है।

ऋणात्मक संख्याओं के मामले में, सबसे छोटे निरपेक्ष परिमाण वाला मान सबसे बड़ा होता है। चूँकि p/r सबसे छोटा परिमाण है, -p/r सबसे बड़ा मान है। यह विकल्प (c) के अनुरूप है।

व्याख्या

मान लीजिए A और B की दक्षता (प्रति दिन किया गया कार्य) क्रमशः a और b है। कुल कार्य W सूत्र कार्य = दक्षता × समय द्वारा दिया जाता है।

पहली शर्त से, एक साथ काम करते हुए वे 5 दिनों में कार्य पूरा करते हैं: W = (a + b) × 5

दूसरी शर्त से, जहाँ A दोगुनी कुशल है और B एक-तिहाई कुशल है, वे 3 दिनों में कार्य पूरा करते हैं: W = (2a + 1/3b) × 3

W के लिए दो व्यंजकों को बराबर करने पर: 5(a + b) = 3(2a + 1/3b) 5a + 5b = 6a + b 4b = a

यह संबंध दर्शाता है कि A, B से 4 गुना अधिक कुशल है। B के संदर्भ में कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, a = 4b को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें: W = (4b + b) × 5 = 5b × 5 = 25b

A द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया समय है: समय = W/a = 25b/4b = 25/4 = 6 1/4 दिन।

इस प्रकार, विकल्प (d) सही उत्तर है।

व्याख्या

सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का प्रयोग करते हुए, मान लीजिए a = x² और b = 1/x²। तब x⁶ + 1/x⁶ = (x² + 1/x²)((x²)² - (x²)(1/x²) + (1/x²)²) = (x² + 1/x²)(x⁴ - 1 + 1/x⁴)। इसकी तुलना x⁶ + 1/x⁶ = k(x² + 1/x²) से करने पर, हमें k = x⁴ - 1 + 1/x⁴ प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ n-1, n, और n+1 हैं। तब (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 = 110, जो सरल होकर 3n^2 + 2 = 110 हो जाता है, इसलिए 3n^2 = 108, n^2 = 36, और n = 6। संख्याएँ 5, 6, और 7 हैं। उनके घनों का योग 5^3 + 6^3 + 7^3 = 125 + 216 + 343 = 684 है।

व्याख्या

मान लीजिए पूर्णांक p = 16a और q = 16b हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं। p*q = 256ab = 7168, इसलिए ab = 28। संभव सह-अभाज्य जोड़े (a, b) (1, 28) और (4, 7) हैं। यदि a=1 और b=28, p=16 (60 से > नहीं)। यदि a=4 और b=7, p=64 और q=112 (दोनों 60 से > हैं)। योग p + q = 64 + 112 = 176।

व्याख्या

log₁₀₀(72) का मान ज्ञात करने के लिए, हम आधार परिवर्तन सूत्र logᵦ a = (log꜀ a)/(log꜀ b) का उपयोग करते हैं। नए आधार c = 10 को चुनकर, व्यंजक log₁₀₀(72) = (log₁₀ 72)/(log₁₀ 100) बन जाता है। सबसे पहले, हम हर की गणना करते हैं: log₁₀ 100 = log₁₀ 10² = 2 log₁₀ 10 = 2 × 1 = 2। इसके बाद, हम अंश log₁₀ 72 का मूल्यांकन करते हैं। चूँकि 72 को अभाज्य घातों के रूप में 2³ × 3² में गुणनखंडित किया जा सकता है, हम लघुगणक के गुणनफल और घात नियमों को लागू करते हैं: log₁₀ 72 = log₁₀ (2³ × 3²) = 3 log₁₀ 2 + 2 log₁₀ 3। दिए गए मानों log₁₀ 2 = 0.3010 और log₁₀ 3 = 0.4771 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें log₁₀ 72 = 3(0.3010) + 2(0.4771) = 0.9030 + 0.9542 = 1.8572 प्राप्त होता है। अंत में, हम परिणाम को हर से विभाजित करते हैं: log₁₀₀(72) = 1.8572/2 = 0.9286। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

माना a^x = b^y = c^z = k। तब a = k^(1/x), b = k^(1/y), और c = k^(1/z)। दिया गया है कि abc = 1, इसलिए हमारे पास k^(1/x + 1/y + 1/z) = 1 है। चूँकि k^0 = 1, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि 1/x + 1/y + 1/z = 0।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 जिसके मूल α और β हैं, के लिए मूलों का योग α + β = -b/a और मूलों का गुणनफल αβ = c/a होता है। हमें व्यंजक 1/(aα + b) + 1/(aβ + b) का मान ज्ञात करना है।

भिन्नों को एक सामान्य हर लेकर संयोजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: ((aβ + b) + (aα + b))/((aα + b)(aβ + b)) = (a(α + β) + 2b)/(a²αβ + ab(α + β) + b²)

अब, मूलों के योग और गुणनफल के ज्ञात मानों को अंश और हर में प्रतिस्थापित करें: अंश: a(-b/a) + 2b = -b + 2b = b हर: a²(c/a) + ab(-b/a) + b² = ac - b² + b² = ac

इसलिए, व्यंजक b/ac तक सरल हो जाता है, जो विकल्प (b) के संगत है।

व्याख्या

तीन 3-अंकीय संख्याओं को विस्तारित रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: XYZ = 100X + 10Y + Z, YZX = 100Y + 10Z + X, और ZXY = 100Z + 10X + Y। इन तीन संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजकों को एक साथ जोड़ते हैं: योग = (100X + 10Y + Z) + (100Y + 10Z + X) + (100Z + 10X + Y) योग = (100X + 10X + X) + (100Y + 10Y + Y) + (100Z + 10Z + Z) योग = 111X + 111Y + 111Z योग = 111(X + Y + Z)

इस परिणाम से, हम कथनों का मूल्यांकन कर सकते हैं। कथन 2 सही है क्योंकि योग 111 का गुणज है, जिसका अर्थ है कि यह 111 से पूरी तरह विभाज्य है। कथन 1 गलत है क्योंकि योग (X + Y + Z) का भी गुणज है, जिसका अर्थ है कि यह (X + Y + Z) से विभाज्य है। चूंकि केवल कथन 2 सही है, इसलिए उत्तर विकल्प (b) है।

व्याख्या

समीकरण 1/m + 1/n - 1/mn = 2/5 को (m + n - 1) / mn = 2/5 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, जो 2mn - 5m - 5n = -5 को सरल करता है। 2 से गुणा करने पर 4mn - 10m - 10n = -10 मिलता है। दोनों पक्षों में 25 जोड़ने पर गुणनखंडन की अनुमति मिलती है: (2m - 5)(2n - 5) = 15। 15 के गुणनखंड युग्म (1, 15), (3, 5), (5, 3), और (15, 1) हैं। ये (m, n) युग्मों की ओर ले जाते हैं: (3, 10), (4, 5), (5, 4), और (10, 3)। ऐसे धनात्मक पूर्णांकों के 4 युग्म हैं।

व्याख्या

व्यंजक aᵍ⁻ʳbʳ⁻ᵖcᵖ⁻ᵍ का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक में a, b, और c के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

दिया गया है: a = xyᵖ⁻¹ b = yzᵍ⁻¹ c = zxʳ⁻¹

लक्ष्य व्यंजक E = aᵍ⁻ʳbʳ⁻ᵖcᵖ⁻ᵍ है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: E = (xyᵖ⁻¹)ᵍ⁻ʳ (yzᵍ⁻¹)ʳ⁻ᵖ (zxʳ⁻¹)ᵖ⁻ᵍ

घातांक के नियमों (uv)ⁿ = uⁿvⁿ और (uᵐ)ⁿ = uᵐⁿ का उपयोग करके, हम प्रत्येक पद का विस्तार करते हैं: E = xᵍ⁻ʳ (yᵖ⁻¹)ᵍ⁻ʳ · yʳ⁻ᵖ (zᵍ⁻¹)ʳ⁻ᵖ · zᵖ⁻ᵍ (xʳ⁻¹)ᵖ⁻ᵍ E = xᵍ⁻ʳ y⁽ᵖ⁻¹⁾⁽ᵍ⁻ʳ⁾ yʳ⁻ᵖ z⁽ᵍ⁻¹⁾⁽ʳ⁻ᵖ⁾ zᵖ⁻ᵍ x⁽ʳ⁻¹⁾⁽ᵖ⁻ᵍ⁾

अब, हम नियम uᵐ · uⁿ = uᵐ⁺ⁿ का उपयोग करके x, y, और z की घातों को समूहित करते हैं: x की घात = (q-r) + (r-1)(p-q) = q - r + rp - rq - p + q = 2q - r - p + rp - rq y की घात = (p-1)(q-r) + (r-p) = pq - pr - q + r + r - p = pq - pr - q + 2r - p z की घात = (q-1)(r-p) + (p-q) = qr - qp - r + p + p - q = qr - qp - r + 2p - q

सरलीकृत व्यंजक x²ᵍ⁻ʳ⁻ᵖ⁺ʳᵖ⁻ʳᵍ yᵖᵍ⁻ᵖʳ⁻ᵍ⁺²ʳ⁻ᵖ zᵍʳ⁻ᵍᵖ⁻ʳ⁺²ᵖ⁻ᵍ है।

इस परिणाम की विकल्पों से तुलना करने पर: विकल्प a) abc = (xyᵖ⁻¹)(yzᵍ⁻¹)(zxʳ⁻¹) = xʳ yᵖ zᵍ विकल्प b) xyz = x¹ y¹ z¹ विकल्प c) 0

व्युत्पन्न व्यंजक विकल्प a, b, या c में से किसी से भी मेल नहीं खाता है। इसलिए, सही विकल्प d) उपरोक्त में से कोई नहीं है।

व्याख्या

मान लीजिए भुजाओं की संख्या 5x और 4x है। एक सम बहुभुज का आंतरिक कोण ((n-2)180)/n होता है। अंतर ((5x-2)180/5x) - ((4x-2)*180/4x) = 9 है। सरलीकरण करने पर: 180(1 - 2/5x) - 180(1 - 2/4x) = 9, जिससे 180(2/4x - 2/5x) = 9 प्राप्त होता है, इसलिए 20(1/2x - 1/2.5x) = 1, और 20(0.5/x - 0.4/x) = 1, जिससे 2/x = 1 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 2। बहुभुजों में 10 और 8 भुजाएँ हैं (दशभुज और अष्टभुज), जिससे कथन II सही है। कथन III सही है क्योंकि किसी भी दो बहुभुजों के बाह्य कोणों का योग 360 + 360 = 720 डिग्री होता है। कथन I गलत है।

व्याख्या

द्विघात 2x^2 + 5x + 5 के लिए, न्यूनतम मान x = -b/2a = -5/(2*2) = -5/4 पर होता है। इस मान को वापस प्रतिस्थापित करने पर: 2(-5/4)^2 + 5(-5/4) + 5 = 2(25/16) - 25/4 + 5 = 25/8 - 50/8 + 40/8 = 15/8।

व्याख्या

दो धनात्मक संख्याओं P और Q का हरात्मक माध्य H सूत्र H = 2PQ/(P+Q) द्वारा दिया जाता है। व्यंजक H/P + H/Q का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले योग से H को गुणनखंडित करते हैं जिससे H(1/P + 1/Q) प्राप्त होता है। कोष्ठक के अंदर भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक (common denominator) ज्ञात करके, व्यंजक H((Q+P)/PQ) बन जाता है। अब, इस व्यंजक में हरात्मक माध्य के सूत्र को प्रतिस्थापित करें: 2PQ/(P+Q) × (P+Q)/PQ। सरलीकरण पर, अंश (numerator) में पद (P+Q) हर (denominator) में (P+Q) को रद्द कर देता है, और अंश में PQ हर में PQ को रद्द कर देता है। इससे केवल स्थिरांक 2 बचता है। इस प्रकार, H/P + H/Q का मान 2 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

संख्याओं के एक समुच्चय के दो-दो करके लिए गए सभी संभावित गुणनफलों का योग ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: Σ₁ ≤ ᵢ < ⱼ ≤ ₙ aᵢ aⱼ = 1/2 [(Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ)² - Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ²]

दी गई संख्याओं का समुच्चय {-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4} है। सबसे पहले, संख्याओं का योग ज्ञात करें: Σ aᵢ = (-1 + 1) + (-2 + 2) + (-3 + 3) + (-4 + 4) = 0

इसके बाद, इन संख्याओं के वर्गों का योग ज्ञात करें: Σ aᵢ² = (-1)² + 1² + (-2)² + 2² + (-3)² + 3² + (-4)² + 4² Σ aᵢ² = 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16 + 16 = 60

अब, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: गुणनफलों का योग = 1/2 [0² - 60] = 1/2 [-60] = -30

इसलिए, दो-दो करके लिए गए सभी संभावित गुणनफलों का योग -30 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, P(x) को (x - 2y) से विभाजित करने पर शेषफल P(2y) होता है। 3x^3 - 2x^2y - 13xy^2 + 10y^3 में x = 2y प्रतिस्थापित करने पर: 3(2y)^3 - 2(2y)^2y - 13(2y)y^2 + 10y^3 = 24y^3 - 8y^3 - 26y^3 + 10y^3 = 0।

व्याख्या

माना X = a² - bc, Y = b² - ca, और Z = c² - ab है। व्यंजक (YZ + XZ + XY) / XYZ = 1/X + 1/Y + 1/Z है। दिया गया है कि ab + bc + ca = 0, a=2, b=2, c=-1 (जो शर्त को संतुष्ट करता है) के साथ परीक्षण करने पर, हमें X=6, Y=6, Z=-3 प्राप्त होता है। तब 1/6 + 1/6 - 1/3 = 0।

व्याख्या

किसी विशिष्ट वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज दिए जाने पर मूलधन ज्ञात करने के लिए, हम n-वें वर्ष में अर्जित ब्याज के सूत्र का उपयोग करते हैं: n-वें वर्ष के लिए ब्याज = P(1 + R/100)ⁿ⁻¹ × R/100। दूसरे वर्ष (n=2) के लिए, सूत्र CI दूसरे वर्ष के लिए = P(1 + R/100) × R/100 बन जाता है। समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 210 = P(1 + 5/100) × 5/100 प्राप्त होता है। यह 210 = P(1.05) × 0.05 तक सरल हो जाता है, जो आगे 210 = P × 0.0525 तक सरल हो जाता है। P के लिए हल करने पर, हम P = 210/0.0525 = 4000 की गणना करते हैं। वैकल्पिक रूप से, एक शॉर्टकट का उपयोग करके, दूसरे वर्ष का ब्याज मूलधन पर ब्याज और पहले वर्ष के ब्याज पर ब्याज है। पहले वर्ष का ब्याज 5P/100 = P/20 है। इसलिए दूसरे वर्ष का ब्याज P/20 + (P/20 × 5/100) = P/20 + P/400 = 21P/400 है। 21P/400 = 210 रखने पर, हमें P = 210 × 400/21 = 10 × 400 = 4000 मिलता है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही मान है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम समुच्चय सिद्धांत से समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हैं। मान लीजिए E उन उम्मीदवारों का प्रतिशत दर्शाता है जो अंग्रेजी में अनुत्तीर्ण हुए और H उन उम्मीदवारों का प्रतिशत दर्शाता है जो हिंदी में अनुत्तीर्ण हुए। दिया गया डेटा है n(E) = 50%, n(H) = 40%, और सर्वनिष्ठ n(E ∩ H) = 15%, जो दोनों में अनुत्तीर्ण होने वालों का प्रतिनिधित्व करता है।

कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत संघ सूत्र n(E ∪ H) = n(E) + n(H) - n(E ∩ H) द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें n(E ∪ H) = 50% + 40% - 15% = 75% प्राप्त होता है।

चूंकि 75% उम्मीदवार कम से कम एक विषय (या तो अंग्रेजी, हिंदी, या दोनों) में अनुत्तीर्ण हुए, दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत इस संघ का पूरक है। इसलिए, दोनों अंग्रेजी और हिंदी में उत्तीर्ण होने वाले उम्मीदवारों का प्रतिशत 100% - n(E ∪ H) = 100% - 75% = 25% है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

ट्रेन की गति की गणना करने के लिए, हम मूल संबंध गति = कुल दूरी/समय का उपयोग करते हैं। जब कोई ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।

दिया गया है: ट्रेन की लंबाई = 100 मीटर प्लेटफॉर्म की लंबाई = 100 मीटर कुल दूरी = 100 मीटर + 100 मीटर = 200 मीटर लिया गया समय = 10 सेकंड

सबसे पहले, मीटर प्रति सेकंड में गति ज्ञात करें: गति = 200 मीटर/10 सेकंड = 20 मीटर/सेकंड

मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में गति को बदलने के लिए, मान को 18/5 से गुणा करें: किमी/घंटा में गति = 20 × 18/5 किमी/घंटा में गति = 4 × 18 = 72 किमी/घंटा

इस प्रकार, ट्रेन की गति 72 किमी/घंटा है, जो विकल्प डी से मेल खाती है।

व्याख्या

पूरी यात्रा के लिए औसत गति ज्ञात करने के लिए, हम औसत गति के मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय।

सबसे पहले, साइकिल चालक द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना करें: कुल दूरी = 20 किमी + 10 किमी + 30 किमी = 60 किमी।

अगला, दूरी = गति / समय सूत्र का उपयोग करके यात्रा के प्रत्येक खंड के लिए लिया गया समय ज्ञात करें: पहले भाग के लिए समय t₁ = 20/40 = 0.5 घंटे। दूसरे भाग के लिए समय t₂ = 10/10 = 1 घंटा। तीसरे भाग के लिए समय t₃ = 30/40 = 0.75 घंटे।

पूरी यात्रा के लिए लिया गया कुल समय है: कुल समय = 0.5 + 1 + 0.75 = 2.25 घंटे।

अब, इन मानों को औसत गति सूत्र में रखें: औसत गति = 60/2.25 = 60/(9/4) = (60 × 4)/9 = 240/9 = 80/3 ≈ 26.67 किमी/घंटा।

इस प्रकार, पूरी यात्रा की औसत गति 26.67 किमी/घंटा है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

एक धावक की गति दिए गए समय में तय की गई दूरी के समानुपाती होती है। पहली दौड़ से, जब A 1000 मीटर की दूरी तय करता है, तो B 1000 - 150 = 850 मीटर की दूरी तय करता है। इस प्रकार, उनकी गति का अनुपात Vₐ / Vᵦ = 1000 / 850 = 20 / 17 है। दूसरी दौड़ से, जब C 3000 मीटर की दूरी तय करता है, तो D 3000 - 400 = 2600 मीटर की दूरी तय करता है। इस प्रकार, उनकी गति का अनुपात V_C / V_D = 3000 / 2600 = 15 / 13 है।

चूंकि B की गति D की गति के बराबर है (Vᵦ = V_D), हम A और C की गति का अनुपात इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं: Vₐ / V_C = (Vₐ / Vᵦ) / (V_C / V_D) = (20 / 17) / (15 / 13) = (20 / 17) × (13 / 15) = 52 / 51।

6000 मीटर की दौड़ में, मान लीजिए D_C वह दूरी है जो C तय करता है जब A दौड़ पूरी करता है। गति अनुपात का उपयोग करके: D_C = 6000 × (V_C / Vₐ) = 6000 × (51 / 52) = 1500 × (51 / 13) = 76500 / 13 ≈ 5884.62 मीटर।

वह दूरी जिससे A, C को हराता है: 6000 - 5884.62 = 115.38 मीटर।

इसलिए, A, C को 115.38 मीटर से हराता है, जो विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए सोनू की वर्तमान आयु x वर्ष है। परिवार में 5 सदस्य हैं: पिता, माता, सोनू, सविता और सोनिया। उनकी आयु का वर्तमान योग 96 वर्ष है। जब सोनू का जन्म हुआ था (x वर्ष पहले), परिवार के अन्य 4 सदस्य प्रत्येक x वर्ष छोटे थे, और सोनू की आयु 0 थी।

x वर्ष पहले की आयु के योग का सूत्र है: तब योग = (वर्तमान योग) - (सदस्यों की संख्या × x) 66 = 96 - (5 × x) 5x = 96 - 66 5x = 30 x = 6

सोनू की वर्तमान आयु 6 वर्ष है। दी गई शर्त के अनुसार, पिता की वर्तमान आयु सोनू की वर्तमान आयु की 6 गुनी है: पिता की वर्तमान आयु = 6 × 6 = 36 वर्ष।

12 वर्ष बाद पिता की आयु ज्ञात करने के लिए, हम उसकी वर्तमान आयु में 12 जोड़ते हैं: 12 वर्ष बाद पिता की आयु = 36 + 12 = 48 वर्ष।

अतः, विकल्प d सही है।

व्याख्या

मान लीजिए B द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय T दिन है। तब A द्वारा T/3 दिन लिए जाते हैं। दिया गया है T - T/3 = 10, इसलिए 2T/3 = 10, जिससे T = 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल बच्चे = 85। लड़के (B) + लड़कियाँ (G) = 85। G = 0.7B, इसलिए 1.7B = 85, B = 50 और G = 35। बैडमिंटन खेलने वाले लड़के = 0.6 * 50 = 30। केवल बैडमिंटन खेलने वाले लड़के = 0.5 * 50 = 25। इस प्रकार, दोनों खेलने वाले लड़के = 30 - 25 = 5। दोनों खेलने वाले कुल बच्चे = 12, इसलिए दोनों खेलने वाली लड़कियाँ = 12 - 5 = 7। केवल टेबल टेनिस खेलने वाले बच्चे = 0.4 * 85 = 34। केवल टेबल टेनिस खेलने वाले लड़के = कुल लड़के - बैडमिंटन खेलने वाले लड़के = 50 - 30 = 20। केवल टेबल टेनिस खेलने वाली लड़कियाँ = 34 - 20 = 14। केवल बैडमिंटन खेलने वाली लड़कियाँ = कुल लड़कियाँ - (दोनों खेलने वाली लड़कियाँ + केवल टेबल टेनिस खेलने वाली लड़कियाँ) = 35 - (7 + 14) = 14।

व्याख्या

माना X और Y कर से पहले की कीमतें हैं। X + Y = 130। कुल राशि = X + Y + 0.09Y = 136.75। X + Y = 130 को प्रतिस्थापित करने पर: 130 + 0.09Y = 136.75, इसलिए 0.09Y = 6.75, और Y = 6.75 / 0.09 = 75।

व्याख्या

कुल संपत्ति P मान लीजिए। पत्नी को P/2 मिलता है, रवि को P/4 मिलता है, राज को P/4 मिलता है। रवि की मृत्यु: विधवा को P/8 मिलता है, राज को P/8 मिलता है। राज का कुल = P/4 + P/8 = 3P/8। राज की मृत्यु: विधवा को 3P/16 मिलता है, माँ को 3P/16 मिलता है। माँ का कुल = P/2 + 3P/16 = 11P/16। 11P/16 = 88,000, इसलिए P = (88,000 16) / 11 = 8,000 16 = 128,000।

व्याख्या

एक नींबू की बोतल की लागत = L। संतरे की बोतल = 2L। कुल लागत = 4L + 2L = 6L। तीन लोग (X, Y, Z) समान रूप से साझा करते हैं, और Z अपने हिस्से के लिए ₹ 50 का भुगतान करता है, इसलिए प्रत्येक का हिस्सा = ₹ 50। कुल = 3 × 50 = ₹ 150 ⇒ 6L = 150 ⇒ L = 25। एक संतरे की बोतल की लागत = 2L = ₹ 50।

व्याख्या

दस वर्ष पहले माँ और बेटी की आयु क्रमशः 3x और x मान लीजिए। इसलिए उनकी वर्तमान आयु 3x + 10 और x + 10 के रूप में दर्शाई जा सकती है। दस वर्ष बाद, उनकी आयु (3x + 10) + 10 = 3x + 20 और (x + 10) + 10 = x + 20 होगी। दी गई शर्त के अनुसार, इन भविष्य की आयु का अनुपात 13:7 है।

हम समीकरण को (3x + 20)/(x + 20) = 13/7 के रूप में स्थापित कर सकते हैं। पदों को तिरछा गुणा करने पर, हमें 7(3x + 20) = 13(x + 20) प्राप्त होता है। कोष्ठकों का विस्तार करने पर 21x + 140 = 13x + 260 प्राप्त होता है। x को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 21x - 13x = 260 - 140 प्राप्त होता है, जो 8x = 120 को सरल करता है, जिससे x = 15 प्राप्त होता है।

x के मान को वर्तमान आयु के व्यंजकों में वापस प्रतिस्थापित करने पर, माँ की वर्तमान आयु 3(15) + 10 = 45 + 10 = 55 वर्ष है, और बेटी की वर्तमान आयु 15 + 10 = 25 वर्ष है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

कुल लड़के = 60। शतरंज खेलने वाले लड़के (C) = 45, कैरम खेलने वाले लड़के (K) = 30। चूँकि प्रत्येक लड़का कम से कम एक खेल खेलता है: n(C ∪ K) = n(C) + n(K) - n(C ∩ K)। 60 = 45 + 30 - n(C ∩ K), इसलिए n(C ∩ K) = 15। केवल कैरम खेलने वाले लड़के = n(K) - n(C ∩ K) = 30 - 15 = 15।

व्याख्या

माना कि उधार ली गई बराबर राशि P है। कुल ब्याज = (P × 5 × 4 / 100) + (P × 4 × 4 / 100) = 405। (20P + 16P) / 100 = 405, इसलिए 36P = 40500, P = 1125। विकल्प मूलधन P को संदर्भित करता है।

व्याख्या

इस समस्या को कार्य और समय के लिए श्रृंखला नियम (Chain Rule) सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो बताता है कि किसी कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल पुरुष-घंटे श्रम और समय के वितरण से स्वतंत्र रहते हैं। सूत्र M₁ · D₁ · H₁ = M₂ · D₂ · H₂ द्वारा दिया गया है, जहाँ M पुरुषों की संख्या, D दिनों की संख्या और H प्रतिदिन काम किए गए घंटों की संख्या को दर्शाता है।

पहले परिदृश्य से दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: M₁ = 12 पुरुष, D₁ = 10 दिन, और H₁ = 8 घंटे प्रतिदिन। दूसरे परिदृश्य के लिए: M₂ = 8 पुरुष, D₂ = 8 दिन, और H₂ प्रतिदिन घंटों की अज्ञात संख्या है।

गणना इस प्रकार है: 12 × 10 × 8 = 8 × 8 × H₂ 960 = 64 × H₂ H₂ = 960/64 H₂ = 15

इसलिए, 8 पुरुषों को 8 दिनों में दीवार पूरी करने के लिए प्रतिदिन 15 घंटे काम करना होगा, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

जब कोई विक्रेता शुद्ध दूध के क्रय मूल्य पर दूध और पानी का मिश्रण बेचता है, तो लाभ केवल मिलाए गए पानी से प्राप्त होता है। इस स्थिति के लिए शॉर्टकट सूत्र है: लाभ % = (पानी की मात्रा)/(दूध की मात्रा) × 100

दिया गया है कि लाभ 12.5% है, दूध की मात्रा 28 लीटर है, और पानी की मात्रा Vᵥᵥ मानते हुए, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 12.5 = (Vᵥᵥ/28) × 100

Vᵥᵥ के लिए हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करना: Vᵥᵥ = (12.5 × 28)/100 Vᵥᵥ = 0.125 × 28

यह पहचानते हुए कि 0.125 भिन्न 1/8 के बराबर है: Vᵥᵥ = 1/8 × 28 Vᵥᵥ = 28/8 = 3.5 लीटर

इस प्रकार, मिलाए गए पानी की मात्रा 3.5 लीटर है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

एक सही घड़ी की सुइयां हर 65 5/11 (720/11) मिनट में मिलती हैं। यह घड़ी हर 72 मिनट में मिलती है, इसलिए यह धीमी है। प्रति 72 मिनट में हानि = 72 - 720/11 = 72/11 मिनट। 24 घंटे में हानि = (72/11) * (1440 / 72) = 1440/11 = 130 10/11 मिनट। नोट: उत्तर कुंजी A (121 9/11) बताती है, लेकिन T=72 के लिए गणना 130 10/11 देती है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं। चोर vₜ = 40 किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है और मालिक vₒ = 60 किमी/घंटा की गति से। चोर को 0.5 घंटे की बढ़त है।

चोर द्वारा बनाई गई प्रारंभिक दूरी का अंतर है: दूरी अंतर = vₜ × समय = 40 किमी/घंटा × 0.5 घंटा = 20 किमी।

चोर के सापेक्ष मालिक की सापेक्ष गति है: सापेक्ष गति = vₒ - vₜ = 60 किमी/घंटा - 40 किमी/घंटा = 20 किमी/घंटा।

मालिक को इस अंतर को पाटने और चोर को पकड़ने में लगने वाला समय है: t꜀ₐₜ꜀ₕ = दूरी अंतर/सापेक्ष गति = 20 किमी/20 किमी/घंटा = 1 घंटा।

घर से कुल दूरी जहाँ मुलाकात होती है, वह है: दूरी = vₒ × t꜀ₐₜ꜀ₕ = 60 किमी/घंटा × 1 घंटा = 60 किमी।

चोरी के क्षण से बीता कुल समय है: कुल समय = बढ़त + t꜀ₐₜ꜀ₕ = 0.5 घंटा + 1 घंटा = 1.5 घंटे।

इस प्रकार, मालिक घर से 60 किमी दूर और चोरी के 1.5 घंटे बाद चोर से मिलता है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

Y द्वारा अकेले काम पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम दो लोगों के एक साथ काम करने की मानक कार्य-दर सूत्र का उपयोग करते हैं। मान लीजिए Tₓᵧ X और Y द्वारा एक साथ लिया गया समय है और Tₓ X द्वारा अकेले लिया गया समय है। Y द्वारा अकेले लिया गया समय, Tᵧ, सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

Tᵧ = (Tₓᵧ × Tₓ)/(Tₓ - Tₓᵧ)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ Tₓᵧ = 6 दिन और Tₓ = 12 दिन:

Tᵧ = (6 × 12)/(12 - 6) Tᵧ = 72/6 Tᵧ = 12 दिन

वैकल्पिक रूप से, दक्षता विधि का उपयोग करके, यदि हम मानते हैं कि कुल काम 6 और 12 का LCM है, जो कि 12 इकाई है, तो X और Y की संयुक्त दक्षता 12 / 6 = 2 इकाई प्रति दिन है। X की अकेले दक्षता 12 / 12 = 1 इकाई प्रति दिन है। इसलिए, Y की दक्षता 2 - 1 = 1 इकाई प्रति दिन है। Y द्वारा अकेले लिया गया समय 12 / 1 = 12 दिन है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

सूत्र (M1 D1) / W1 = (M2 D2) / W2 का उपयोग करके: (12 16) / 10 = (8 D2) / 20। 192 / 10 = 8D2 / 20, इसलिए 19.2 = 0.4D2, और D2 = 19.2 / 0.4 = 48।

व्याख्या

(0.2)^25 = (2 10^-1)^25 = 2^25 10^-25। Log10(2^25) = 25 * 0.30103 = 7.52575। इस प्रकार, 2^25 = 10^7.52575 = 10^0.52575 * 10^7। मान 10^0.52575 * 10^7 * 10^-25 = 10^0.52575 * 10^-18 है। चूँकि 10^0.52575, 1 और 10 के बीच है, दशमलव बिंदु के बाद शून्यों की संख्या 18 - 1 = 17 है।

व्याख्या

योगांतर (Componendo and Dividendo) गुणधर्म का उपयोग करते हुए, यदि (a+b)/(a-b) = x/y है, तो a/b = (x+y)/(x-y) होता है। पिता F और पुत्र S की आयु के योग और अंतर का अनुपात 11:3 दिया गया है, इसलिए (F+S)/(F-S) = 11/3 है। सूत्र लागू करने पर, उनकी वर्तमान आयु का अनुपात F/S = (11+3)/(11-3) = 14/8 = 7/4 है। चूँकि अनुपात 7:4 है न कि 8:5, कथन I गलत है।

कथन II के लिए, मान लीजिए वर्तमान आयु F = 7x और S = 4x है। पुत्र की आयु दोगुनी तब होगी जब वह 2 × 4x = 8x का हो जाएगा। यह 8x - 4x = 4x वर्षों के समय अंतराल के बाद होगा। उस समय, पिता की आयु 7x + 4x = 11x होगी। उस समय उनकी आयु का अनुपात 11x/8x = 11/8 होगा। इस प्रकार, कथन II सही है। इसलिए, केवल विकल्प b सही उत्तर है।

व्याख्या

असमानताएं y ≥ 5 - x और y ≥ x - 3 हैं। y के ऋणात्मक होने के लिए, हमें एक साथ x > 5 और x < 3 की आवश्यकता होगी, जो असंभव है। इस प्रकार, y धनात्मक होना चाहिए। किसी भी धनात्मक y के लिए, प्रथम और द्वितीय दोनों चतुर्थांशों में x के मान हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं (उदाहरण के लिए, प्रथम में (4,1), द्वितीय में (-1,10))।

व्याख्या

समीकरण x² - y² = 0 को (x - y)(x + y) = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, जो मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं, x - y = 0 और x + y = 0 को दर्शाता है। दूसरा समीकरण (x - a)² + y² = 1 केंद्र (a, 0) और त्रिज्या r = 1 वाले एक वृत्त को दर्शाता है। निकाय का एक एकल धनात्मक हल होने के लिए, वृत्त को प्रथम चतुर्थांश में रेखा x - y = 0 के स्पर्शरेखा होना चाहिए।

स्पर्शरेखा की शर्त यह है कि वृत्त के केंद्र (a, 0) से रेखा x - y = 0 तक की लंबवत दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए। दूरी सूत्र d = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²) का उपयोग करके, हम रेखा A = 1, B = -1, C = 0 के गुणांकों और केंद्र (a, 0) को प्रतिस्थापित करते हैं:

1 = |1(a) - 1(0) + 0|/√(1² + (-1)²)

1 = |a|/√2

|a| = √2

इससे a = ±√2 प्राप्त होता है। चूंकि समस्या एक धनात्मक हल निर्दिष्ट करती है, वृत्त का केंद्र धनात्मक x-अक्ष पर होना चाहिए, इसलिए हम a = √2 लेते हैं। यह विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

एक त्रिघातीय बहुपद f(x) = ax³ + bx² + cx + d जिसके शून्यक α, β, और γ हैं, के लिए हम गुणांकों और मूलों के बीच के संबंधों (विएटा के सूत्र) का उपयोग करते हैं। मूलों का योग α + β + γ = -b/a है और दो-दो मूलों के गुणनफलों का योग αβ + βγ + γα = c/a है।

मूलों के वर्गों के योग को ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (α + β + γ)² = α² + β² + γ² + 2(αβ + βγ + γα)

वर्गों के योग को अलग करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: α² + β² + γ² = (α + β + γ)² - 2(αβ + βγ + γα)

विएटा के सूत्रों से मानों को प्रतिस्थापित करने पर: α² + β² + γ² = (-b/a)² - 2(c/a) α² + β² + γ² = b²/a² - 2c/a

इन पदों को एक उभयनिष्ठ हर a² पर संयोजित करने के लिए: α² + β² + γ² = (b² - 2ac) / a²

यह विकल्प d से मेल खाता है, जो सही परिणाम है।

व्याख्या

कम से कम एक में उत्तीर्ण = 100 - 2 = 98%। समावेशन-अपवर्जन के सिद्धांत का उपयोग करके: P(B ∪ P ∪ C) = P(B) + P(P) + P(C) - [P(B ∩ P) + P(P ∩ C) + P(B ∩ C)] + P(B ∩ P ∩ C)। 98 = 55 + 62 + 60 - [25 + 30 + 28] + x, इसलिए 98 = 177 - 83 + x, 98 = 94 + x, x = 4%।

व्याख्या

प्रश्न 24 से प्रतिशत का उपयोग करते हुए: केवल जीव विज्ञान = 55 - (25 + 28) + 4 = 6%। केवल भौतिकी = 62 - (25 + 30) + 4 = 11%। केवल रसायन विज्ञान = 60 - (30 + 28) + 4 = 6%। ठीक एक विषय में कुल = 6 + 11 + 6 = 23%।

व्याख्या

दिया गया है जीव विज्ञान (B)=55%, भौतिकी (P)=62%, रसायन विज्ञान (C)=60%। प्रतिच्छेदन: P और B=25%, P और C=30%, B और C=28%। सभी में अनुत्तीर्ण=2%, इसलिए संघ (P या B या C)=98%। सूत्र संघ = P + B + C - (P∩B + P∩C + B∩C) + (P∩B∩C) का उपयोग करके, हमें 98 = 62 + 55 + 60 - (25 + 30 + 28) + (P∩B∩C) प्राप्त होता है, जो 98 = 94 + (P∩B∩C) को सरल करता है, इसलिए P∩B∩C = 4%। कम से कम दो विषयों में उत्तीर्ण छात्र = (P∩B + P∩C + B∩C) - 2(P∩B∩C) = (25 + 30 + 28) - 2(4) = 83 - 8 = 75%। 360 छात्रों के लिए, 360 का 75% = 270।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम तीन समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (principle of inclusion-exclusion) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए B, P, और C क्रमशः जीव विज्ञान, भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण छात्रों के समुच्चयों को दर्शाते हैं। कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण छात्रों का प्रतिशत n(B ∪ P ∪ C) = 100% - 2% = 98% है।

तीन समुच्चयों के संघ (union) के लिए सूत्र है: n(B ∪ P ∪ C) = n(B) + n(P) + n(C) - [n(B ∩ P) + n(P ∩ C) + n(C ∩ B)] + n(B ∩ P ∩ C)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 98 = 55 + 62 + 60 - [25 + 30 + 28] + n(B ∩ P ∩ C) 98 = 177 - 83 + n(B ∩ P ∩ C) 98 = 94 + n(B ∩ P ∩ C) n(B ∩ P ∩ C) = 4%

अब, हम अनुपात के लिए आवश्यक मानों की पहचान करते हैं: भौतिक विज्ञान और रसायन विज्ञान दोनों में उत्तीर्ण छात्रों की संख्या: n(P ∩ C) = 30% जीव विज्ञान और भौतिक विज्ञान दोनों में उत्तीर्ण लेकिन रसायन विज्ञान में अनुत्तीर्ण छात्रों की संख्या: n(P ∩ B) - n(B ∩ P ∩ C) = 25% - 4% = 21%

वांछित अनुपात 30 : 21 है। दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर, हमें 10 : 7 प्राप्त होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

होटल रेटिंग माप के क्रमिक मापनी का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। सांख्यिकी में, क्रमिक मापनी का उपयोग तब किया जाता है जब डेटा को वर्गीकृत किया जा सकता है और एक सार्थक क्रम या रैंक में रखा जा सकता है, लेकिन रैंकों के बीच सटीक अंतर को मापा नहीं जा सकता या बराबर नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 5-सितारा होटल को 4-सितारा होटल से बेहतर माना जाता है, और 4-सितारा होटल को 3-सितारा होटल से बेहतर माना जाता है। यद्यपि गुणवत्ता का क्रम स्पष्ट रूप से परिभाषित है, 1-सितारा और 2-सितारा होटल के बीच विलासिता या सेवा में गुणात्मक अंतर आवश्यक रूप से 4-सितारा और 5-सितारा होटल के बीच के अंतर के समान नहीं है। चूंकि डेटा एक सटीक संख्यात्मक अंतराल या एक वास्तविक शून्य बिंदु के साथ अनुपात के बजाय एक सापेक्ष रैंकिंग को दर्शाता है, इसलिए इसे क्रमिक मापनी के रूप में वर्गीकृत किया गया है। यह इसे नामिक मापनी से अलग करता है, जो केवल डेटा को लेबल करती है, और अंतराल या अनुपात मापनी से, जिन्हें मानों के बीच सटीक गणितीय दूरियों की आवश्यकता होती है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने का सबसे तेज़ तरीका मिश्रण के नियम (Rule of Alligation) का उपयोग करना है, जो विभिन्न मानों के दो घटकों को एक विशिष्ट औसत मान का मिश्रण बनाने के लिए मिश्रित किए जाने वाले अनुपात को खोजने के लिए एक शॉर्टकट है। दो खंडों में छात्रों की संख्या का अनुपात उनके संबंधित औसत और संयुक्त औसत के बीच के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

मिश्रण के नियम सूत्र का उपयोग करके: n₇ / n₈ = (Avg₈ - Avg꜀ₒₘ₆ᵢₙₑ₀) / (Avg꜀ₒₘ₆ᵢₙₑ₀ - Avg₇)

दिए गए मान: खंड A का औसत (Avg₇) = 65 खंड B का औसत (Avg₈) = 70 संयुक्त औसत (Avg꜀ₒₘ₆ᵢₙₑ₀) = 67

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: n₇ / n₈ = (70 - 67) / (67 - 65) n₇ / n₈ = 3 / 2

गणना से पता चलता है कि खंड A के छात्रों की संख्या का खंड B के छात्रों की संख्या से अनुपात 3:2 है, जो विकल्प A से मेल खाता है।

व्याख्या

n = 19 प्रेक्षणों वाले डेटासेट के लिए, माध्यक (n+1)/2 = (19+1)/2 = 10वें स्थान पर मान होता है। यह देखते हुए कि माध्यक 30 है, क्रमबद्ध सूची में 10वां प्रेक्षण 30 है। यह इंगित करता है कि 30 से कम या उसके बराबर 9 प्रेक्षण हैं और 30 से अधिक या उसके बराबर 9 प्रेक्षण हैं। जब दो नए प्रेक्षण, 8 और 32, जोड़े जाते हैं, तो प्रेक्षणों की कुल संख्या n = 21 हो जाती है। नया माध्यक (21+1)/2 = 11वें स्थान पर मान होता है। चूँकि मान 8, 30 से कम है, इसे डेटा के निचले आधे हिस्से में रखा गया है, और चूँकि 32, 30 से अधिक है, इसे ऊपरी आधे हिस्से में रखा गया है। क्योंकि मूल माध्यक के दोनों ओर एक मान जोड़ा गया था, मूल 10वां प्रेक्षण नई क्रमबद्ध सूची में 11वें स्थान पर आ जाता है। इस प्रकार, 11वां प्रेक्षण अभी भी 30 है, जिससे नया माध्यक 30 हो जाता है। यह विकल्प b) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक आवृत्ति बहुभुज को वर्ग अंतरालों (class intervals) के मध्य-बिंदुओं (midpoints) को उनकी संगत आवृत्तियों (frequencies) के विरुद्ध आलेखित (plotting) करके और इन बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों (straight line segments) से जोड़कर बनाया जाता है। जब प्रेक्षणों की संख्या बढ़ती है और वर्गों की संख्या बढ़ाई जाती है, तो प्रत्येक वर्ग अंतराल की चौड़ाई (width) सामान्यतः कम हो जाती है। जैसे-जैसे वर्ग चौड़ाई छोटी होती जाती है, आलेखित मध्य-बिंदुओं के बीच की दूरी कम हो जाती है, और ग्राफ पर डेटा बिंदुओं का घनत्व (density) बढ़ जाता है। अंतराल आकार में यह कमी जुड़े हुए रेखा खंडों के बीच तेज उतार-चढ़ाव (sharp fluctuations) और तीव्र कोणों (steep angles) को कम करती है। गणितीय रूप से, जैसे-जैसे वर्गों की संख्या अनंत की ओर प्रवृत्त होती है और वर्ग चौड़ाई शून्य की ओर प्रवृत्त होती है, आवृत्ति बहुभुज अंतर्निहित वितरण (underlying distribution) के सतत संभाव्यता घनत्व फलन (continuous probability density function) की ओर अभिसरित (converges) होता है। परिणामस्वरूप, परिणामी आकार एक अस्थिर रूप से एक अधिक सतत और सुगम वक्र (smooth curve) में परिवर्तित हो जाता है, जो वास्तविक जनसंख्या वितरण (population distribution) का बेहतर सन्निकटन (approximation) प्रदान करता है।

व्याख्या

दो प्रेक्षण समुच्चयों का संयुक्त माध्य x̄ भारित औसत सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: x̄ = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂)/(n₁ + n₂)। भारित औसत के मौलिक गुणधर्म के अनुसार, परिणामी माध्य हमेशा व्यक्तिगत माध्यों के न्यूनतम और अधिकतम के बीच स्थित होना चाहिए, बशर्ते कि भार धनात्मक हों।

यह देखते हुए कि x̄₂ > x̄₁, संयुक्त माध्य x̄ को x̄₁ < x̄ < x̄₂ को संतुष्ट करना चाहिए। हम इसे सूत्र को x̄ = x̄₁ + n₂(x̄₂ - x̄₁)/(n₁ + n₂) के रूप में पुनः लिखकर सत्यापित कर सकते हैं। चूँकि n₁, n₂ धनात्मक हैं और x̄₂ > x̄₁, पद n₂(x̄₂ - x̄₁)/(n₁ + n₂) सख्ती से धनात्मक है, जो सिद्ध करता है कि x̄ > x̄₁। इसी प्रकार, इसे x̄ = x̄₂ - n₁(x̄₂ - x̄₁)/(n₁ + n₂) के रूप में पुनः लिखकर यह दर्शाता है कि x̄ < x̄₂।

अतिरिक्त जानकारी कि n₂ < n₁ का अर्थ है कि x̄ संख्यात्मक रूप से x̄₁ के अधिक निकट होगा बजाय x̄₂ के, लेकिन असमानता x̄₁ < x̄ < x̄₂ n₁ और n₂ के सापेक्ष आकार की परवाह किए बिना सत्य रहती है। इसलिए, विकल्प A सही है।

व्याख्या

कथन I सत्य है क्योंकि माध्यिका डेटा की मध्य स्थिति से निर्धारित होती है। एक समूहीकृत आवृत्ति वितरण में, माध्यिका की गणना सूत्र माध्यिका = L + ((n/2 - cf)/f) × h का उपयोग करके की जाती है, जहाँ L माध्यिका वर्ग की निचली सीमा है, n कुल आवृत्ति है, cf पूर्ववर्ती वर्ग की संचयी आवृत्ति है, f माध्यिका वर्ग की आवृत्ति है, और h वर्ग की चौड़ाई है। चूँकि यह गणना केवल माध्यिका वर्ग और संचयी आवृत्ति के गुणों पर निर्भर करती है, पहले या अंतिम अंतरालों की सटीक सीमाएँ मायने नहीं रखतीं।

कथन II सत्य है क्योंकि माध्यिका को एक स्थितीय माध्य के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसका अर्थ है कि यह वह मान है जो अपनी स्थिति के आधार पर वितरण को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। यह अंतर्निहित गुण इसे चरम मानों के परिमाण और खुले अंत अंतरालों के विशिष्टताओं को अनदेखा करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि माध्यिका वर्ग स्वयं बंद हो। इसलिए, माध्यिका का एक स्थितीय माध्य होना ही वह कारण है कि इसकी गणना खुले अंत वितरण के लिए की जा सकती है, जिससे कथन II, कथन I की सही व्याख्या बन जाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (2 tan θ)/(1 - tan² θ) , tan(2θ) के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है। इसका मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले 0 < θ < π/2 के लिए cos θ = 1/√5 के दिए गए मान का उपयोग करके tan θ ज्ञात करना होगा।

चूंकि tan² θ + 1 = sec² θ, हमारे पास sec θ = 1/cos θ = √5 है। इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर tan² θ = sec² θ - 1 = (√5)² - 1 = 5 - 1 = 4 प्राप्त होता है। चूँकि θ पहले चतुर्थांश में है, tan θ धनात्मक होना चाहिए, इसलिए tan θ = √4 = 2।

अब, tan θ = 2 को द्विगुण कोण सूत्र में प्रतिस्थापित करें: tan(2θ) = 2(2)/(1 - (2)²) = 4/(1 - 4) = 4/-3 = -4/3।

इस प्रकार, व्यंजक का मान -4/3 है, जो विकल्प (b) के संगत है।

व्याख्या

अंतराल (0, 90°) में कोसाइन फलन cos x एक स्ट्रिक्टली डिक्रीजिंग (strictly decreasing) फलन है। इसका मतलब है कि जैसे-जैसे कोण x का मान 0° से 90° तक बढ़ता है, cos x का मान 1 से 0 की ओर लगातार घटता जाता है। गणितीय रूप से, पहले चतुर्थांश में किन्हीं भी दो कोणों α और β के लिए, यदि α < β है, तो cos α > cos β होगा। इसके विपरीत, यदि cos α < cos β है, तो यह आवश्यक है कि α > β हो। दी गई शर्त cos θ < cos ϕ के अनुसार, जहाँ θ और ϕ दोनों 0° और 90° के बीच हैं, कोण θ का मान कोण ϕ से बड़ा होना चाहिए ताकि कोसाइन का मान छोटा हो। उदाहरण के लिए, यदि cos θ = 0.5 और cos ϕ = 0.866 है, तो θ = 60° और ϕ = 30° होगा, जो स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि θ > ϕ। इसलिए, विकल्प (b) सही संबंध है।

व्याख्या

मान लीजिए अर्धगोलाकार गुंबद का केंद्र O है और ध्वज का शीर्ष F है। जमीन से ध्वज के शीर्ष की ऊँचाई OF = r + h है। माना पहला अवलोकन बिंदु P है और दूसरा बिंदु Q है।

बिंदु P से, उन्नयन कोण 30° है, इसलिए tan 30° = (r+h)/OP, जिससे OP = (r+h)√3 प्राप्त होता है। बिंदु Q से, उन्नयन कोण 45° है, इसलिए tan 45° = (r+h)/OQ, जिससे OQ = r+h प्राप्त होता है। चली गई दूरी d = OP - OQ = (r+h)√3 - (r+h) = (r+h)(√3-1) है।

बिंदु Q पर, ध्वज मुश्किल से दिखाई देता है, जिसका अर्थ है कि दृष्टि रेखा QF गुंबद को किसी बिंदु S पर स्पर्श करती है। समकोण त्रिभुज ΔOSQ में, जहाँ OS त्रिज्या r है जो स्पर्श रेखा QF पर लंबवत है, हमारे पास sin(∠OQS) = OS/OQ है। चूँकि उन्नयन कोण ∠OQS = 45° है, हमें sin 45° = r/OQ मिलता है, जिससे OQ = r√2 प्राप्त होता है।

OQ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें r + h = r√2 मिलता है, जिससे h = r(√2-1) प्राप्त होता है। d के समीकरण में r+h = r√2 को प्रतिस्थापित करने पर: d = r√2(√3-1) r = d/(√2(√3-1))

अब, h के व्यंजक में r को वापस प्रतिस्थापित करें: h = (d(√2-1))/(√2(√3-1)) 1/(√3-1) को अंश और हर को √3+1 से गुणा करके परिमेयकृत करने पर: h = (d(√2-1)(√3+1))/(√2(3-1)) = ((√3+1)(√2-1))/(2√2)d

यह विकल्प (d) में दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

मानक कोणों के लिए दिए गए त्रिकोणमितीय मानों से, हम सीधे A और B के मान ज्ञात कर सकते हैं। समीकरण cos B = √3/2 से, हम जानते हैं कि B = 30° है क्योंकि B एक न्यून कोण है। इस मान को पहले समीकरण sin (A + B) = √3/2 में प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin (A + 30°) = √3/2 प्राप्त होता है। चूँकि sin 60° = √3/2 और A एक न्यून कोण है, हमारे पास A + 30° = 60° है, जिसका अर्थ है A = 30°। अब, अंतिम परिणाम की गणना करने के लिए हम इन मानों को आवश्यक व्यंजक tan (2A - B) में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे tan (2 × 30° - 30°) = tan (60° - 30°) = tan 30° प्राप्त होता है। tan 30° का मान 1/√3 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, हम व्यंजक cos θ / (1 - sin θ) + cos θ / (1 + sin θ) = 4 को cos θ को एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में लेकर सरल करते हैं: cos θ ( 1 / (1 - sin θ) + 1 / (1 + sin θ) ) = 4। एक उभयनिष्ठ हर का उपयोग करके भिन्नों को संयोजित करने पर cos θ ( (1 + sin θ + 1 - sin θ) / ((1 - sin θ)(1 + sin θ)) ) = 4 प्राप्त होता है, जो 2 cos θ / (1 - sin² θ) = 4 तक सरल हो जाता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² θ = cos² θ का उपयोग करने पर, हमें 2 cos θ / cos² θ = 4 मिलता है, जो आगे 2 / cos θ = 4 तक सरल हो जाता है। इसका तात्पर्य है कि cos θ = 1/2। चूँकि 0 < θ < 90°, θ का मान 60° है। इस प्रकार, कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, हम परीक्षण करते हैं कि क्या θ = 60° समीकरण 3 tan θ + cot θ = 5 cos θ को संतुष्ट करता है। बाएँ पक्ष (LHS) में θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3 tan 60° + cot 60° = 3√3 + 1/√3 = (9 + 1)/√3 = 10/√3 ≈ 5.77 प्राप्त होता है। दायाँ पक्ष (RHS) 5 cos 60° = 5 × 1/2 = 2.5 है। चूँकि 5.77 ≠ 2.5, कथन 2 गलत है। इसलिए, केवल कथन 1 सही है, जिससे विकल्प A सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, हम cos²θ = 1 - (p² + q²)/2pq व्यंजक को सरल करके cos²θ = (2pq - (p² + q²))/2pq = -(p² + q² - 2pq)/2pq = -(p-q)²/2pq प्राप्त करते हैं। किसी भी वास्तविक कोण θ के लिए, cos²θ का मान 0 ≤ cos²θ ≤ 1 को संतुष्ट करना चाहिए। -(p-q)²/2pq व्यंजक के गैर-ऋणात्मक होने के लिए, या तो (p-q)² = 0 होना चाहिए या 2pq ऋणात्मक होना चाहिए। यदि p=q, तो cos²θ = 0, जो संभव है। यदि 2pq < 0, हम q = -k मान सकते हैं जहाँ k > 0 और p > 0। तब cos²θ = -(p+k)²/-2pk = (p+k)²/2pk। AM-GM असमानता से, (p+k)² ≥ 4pk, जिसका अर्थ है (p+k)²/2pk ≥ 4pk/2pk = 2। यह इस शर्त का खंडन करता है कि cos²θ ≤ 1। इस प्रकार, समीकरण केवल तभी संभव है जब p=q।

कथन 2 के लिए, हम tan²θ = 4pq/(p+q)² - 1 व्यंजक को सरल करके tan²θ = (4pq - (p+q)²)/(p+q)² = (4pq - (p² + 2pq + q²))/(p+q)² = -(p² - 2pq + q²)/(p+q)² = -(p-q)²/(p+q)² प्राप्त करते हैं। चूँकि tan²θ ≥ 0 सभी θ के लिए जहाँ यह परिभाषित है और (p+q)² > 0 गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं p, q के लिए जहाँ p ≠ -q है, RHS गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। हालाँकि, चूँकि (p-q)² ≥ 0 है, पद -(p-q)² हमेशा गैर-धनात्मक होता है। समीकरण के सत्य होने का एकमात्र तरीका यह है कि -(p-q)² = 0 हो, जिसका अर्थ है p=q। इस स्थिति में, tan²θ = 0, जो संभव है। इस प्रकार, कथन 2 भी केवल तभी संभव है जब p=q।

कथन 1 और 2 दोनों सही हैं।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, मान लीजिए x = cos θ। व्यंजक x + 1/x है। अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमानता के अनुसार, किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, x + 1/x ≥ 2। इसी प्रकार, किसी भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, x + 1/x ≤ -2। चूँकि cos θ का मान -1 से 1 तक होता है, cos θ + sec θ का मान हमेशा (-∞, -2] ∪ [2, ∞) की सीमा में रहेगा। क्योंकि 1.5, -2 और 2 के बीच स्थित है, व्यंजक कभी भी 1.5 के बराबर नहीं हो सकता। इस प्रकार, कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ + csc² θ = 1/cos² θ + 1/sin² θ का उपयोग करते हैं। भिन्नों को संयोजित करने पर, हमें (sin² θ + cos² θ)/(sin² θ cos² θ) = 1/(sin² θ cos² θ) प्राप्त होता है। द्वि-कोण सूत्र sin 2θ = 2 sin θ cos θ का उपयोग करके, हम इसे 1/((sin 2θ)/2)² = 4/sin² 2θ के रूप में लिख सकते हैं। चूँकि sin² 2θ का अधिकतम मान 1 है, 4/sin² 2θ का न्यूनतम मान 4/1 = 4 है। इसलिए, मान कभी भी 4 से कम नहीं हो सकता, जिससे कथन 2 सही हो जाता है। चूँकि दोनों कथन सही हैं, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

दिया गया है sin^2x + sin x = 1, जिसका अर्थ है sin x = 1 - sin^2x = cos^2x। व्यंजक cos^12x + 3cos^10x + 3cos^8x + cos^6x, (cos^4x + cos^2x)^3 का द्विपद विस्तार है। cos^2x = sin x प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक ( (sin x)^2 + sin x )^3 बन जाता है। चूँकि sin^2x + sin x = 1 है, मान (1)^3 = 1 है।

व्याख्या

मान लीजिए 3sin थीटा + 5cos थीटा = X = 4 और 3cos थीटा - 5sin थीटा = Y। दोनों का वर्ग करें: X² = 9sin² थीटा + 25cos² थीटा + 30sin थीटा cos थीटा और Y² = 9cos² थीटा + 25sin² थीटा - 30sin थीटा cos थीटा। इन्हें जोड़ने पर: X² + Y² = 9(sin² थीटा + cos² थीटा) + 25(sin² थीटा + cos² थीटा) = 9 + 25 = 34। चूँकि X = 4 है, X² = 16। इस प्रकार, 16 + Y² = 34, जिससे Y² = 18 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है cot theta (1 + sin theta) = 4m और cot theta (1 - sin theta) = 4n। इससे cot theta + cos theta = 4m और cot theta - cos theta = 4n प्राप्त होता है। जोड़ने पर 2 cot theta = 4(m + n) => cot theta = 2(m + n) प्राप्त होता है। घटाने पर 2 cos theta = 4(m - n) => cos theta = 2(m - n) प्राप्त होता है। मूल समीकरणों को गुणा करने पर: cot^2 theta (1 - sin^2 theta) = 16mn => cot^2 theta cos^2 theta = 16mn। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: [2(m + n)]^2 [2(m - n)]^2 = 16mn => 16(m + n)^2 (m - n)^2 = 16mn => (m^2 - n^2)^2 = mn।

व्याख्या

u² - v² आधार और u² + v² कर्ण वाले एक समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ऊंचाई h ज्ञात की जाती है: h² = (u² + v²)² - (u² - v²)². सर्वसमिका a² - b² = (a-b)(a+b) का उपयोग करने पर, हमें h² = (2v²)(2u²) = 4u²v² प्राप्त होता है, जो सरल होकर h = 2uv हो जाता है। यह एक मानक पाइथागोरियन त्रिक है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = 1/2 × आधार × ऊंचाई द्वारा दिया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2016 = 1/2 × (u² - v²) × 2uv = uv(u² - v²) = uv(u-v)(u+v) प्राप्त होता है। 2016 को 32 × 63 या 32 × 9 × 7 के रूप में गुणनखंडित करने पर, हम ऐसे पूर्णांक u और v की तलाश करते हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हों। परीक्षण और त्रुटि या अभाज्य गुणनखंडन द्वारा, मान लीजिए u = 9 और v = 7। गुणनफल की जाँच करने पर: 9 × 7 × (9-7) × (9+7) = 63 × 2 × 16 = 2016। यह शर्त को संतुष्ट करता है।

परिधि P सभी भुजाओं का योग है: P = (u² - v²) + 2uv + (u² + v²) = 2u² + 2uv = 2u(u + v)। u = 9 और v = 7 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P = 2 × 9 × (9 + 7) = 18 × 16 = 288 इकाई प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या

भुजा l वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या (अंतःत्रिज्या) r = l/(2√3) सूत्र द्वारा दी जाती है। इस वृत्त का व्यास d = 2r = l/√3 है। जब एक वर्ग को एक वृत्त में अंतर्निहित किया जाता है, तो वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होता है। मान लीजिए वर्ग की भुजा s है। वर्ग का विकर्ण s√2 है। इसलिए, s√2 = l/√3। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2s² = l²/3 प्राप्त होता है। वर्ग का क्षेत्रफल s² है, इसलिए हम s² के लिए हल करते हैं ताकि s² = l²/(3 × 2) = l²/6 प्राप्त हो। यह विकल्प (d) के अनुरूप है।

व्याख्या

प्रति कमरा दीवारों का क्षेत्रफल = 2(L + B) H = 2(6 + 4) 2.5 = 50 वर्ग मीटर। 5 कमरों के लिए कुल = 5 50 = 250 वर्ग मीटर। दो वर्गाकार खिड़कियों का क्षेत्रफल = 2 (2.5 2.5) = 2 6.25 = 12.5 वर्ग मीटर। पेंट करने के लिए शुद्ध क्षेत्रफल = 250 - 12.5 = 237.5 वर्ग मीटर। आवश्यक डिब्बे = 237.5 / 20 = 11.875। चूँकि पेंट 1 लीटर के डिब्बों में आता है, इसलिए 12 डिब्बों की आवश्यकता है।

व्याख्या

वरिग्नॉन के प्रमेय के अनुसार, किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाला चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है, और उसका क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का ठीक आधा होता है। इस मामले में, चूँकि T एक समांतर चतुर्भुज है, परिणामी आकृति S भी एक समांतर चतुर्भुज है जिसका क्षेत्रफल S = 1/2 क्षेत्रफल T है। यह स्थापित करता है कि T के क्षेत्रफल का S के क्षेत्रफल से अनुपात 2:1 है, जिससे कथन 1 सही हो जाता है। कथन 2 का मूल्यांकन करने के लिए, हम मध्य-बिंदु प्रमेय लागू करते हैं। ΔABC में, भुजा AB और BC के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड विकर्ण AC के समानांतर होता है और उसकी लंबाई 1/2 AC होती है। इसी तरह, समांतर चतुर्भुज S की विपरीत भुजा की लंबाई भी 1/2 AC होती है। S की अन्य दो भुजाएँ समांतर चतुर्भुज T के दूसरे विकर्ण BD की लंबाई की आधी होती हैं। परिणामस्वरूप, S की परिधि 1/2 AC + 1/2 BD + 1/2 AC + 1/2 BD = AC + BD है। यह सिद्ध करता है कि S की परिधि T के विकर्णों के योग के बराबर है, न कि योग की आधी। इसलिए, कथन 2 गलत है, और केवल विकल्प A सही है।

व्याख्या

जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं। भुजाएँ a = 5 सेमी, b = 6 सेमी, और c = 7 सेमी दी गई हैं, हम पहले अर्ध-परिमाप s की गणना सूत्र s = (a + b + c) / 2 का उपयोग करके करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें s = (5 + 6 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9 सेमी प्राप्त होता है।

अब, हम क्षेत्रफल के लिए हीरोन के सूत्र को लागू करते हैं: क्षेत्रफल = √s(s - a)(s - b)(s - c)। सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर क्षेत्रफल = √9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = √9 × 4 × 3 × 2 प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल बनाने पर, हमें क्षेत्रफल = √216 प्राप्त होता है। चूँकि 216 = 36 × 6 है, क्षेत्रफल 6√6 सेमी² है।

√6 ≈ 2.449 के अनुमानित मान का उपयोग करके, क्षेत्रफल 6 × 2.449 = 14.694 सेमी² हो जाता है। इसे एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें 14.7 सेमी² प्राप्त होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

भूखंड का क्षेत्रफल = 144π = πr² => r = 12 m। पथ की चौड़ाई = 5 m, इसलिए कुल त्रिज्या R = 12 + 5 = 17 m। कुल क्षेत्रफल = πR² = π * 17² = 289π वर्ग मीटर।

व्याख्या

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र LSA = πrl द्वारा गणना की जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है। दिया गया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 462cm² है और तिर्यक ऊँचाई l = 35cm है, हम इन मानों को सूत्र में इस प्रकार प्रतिस्थापित करते हैं:

462 = 22/7 × r × 35

35 को 7 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, इसलिए समीकरण बन जाता है:

462 = 22 × r × 5 462 = 110r

त्रिज्या r ज्ञात करने के लिए, हम 462 को 110 से विभाजित करते हैं:

r = 462/110 = 4.2cm

इस प्रकार, शंकु के आधार की त्रिज्या 4.2cm है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

जब R त्रिज्या वाली एक अर्ध-वृत्ताकार प्लेट को मोड़कर एक शंकु बनाया जाता है, तो प्लेट की त्रिज्या परिणामी शंकु की तिर्यक ऊँचाई l बन जाती है, इसलिए l = R। अर्ध-वृत्ताकार प्लेट की चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि बन जाती है। चूँकि अर्ध-वृत्त की चाप की लंबाई πR होती है और शंकु के आधार की परिधि 2πr होती है, जहाँ r आधार त्रिज्या है, हमारे पास संबंध 2πr = πR है, जो r = R/2 को सरल करता है।

जनक (तिर्यक ऊँचाई) और शंकु के अक्ष के बीच का कोण α, अर्ध-शीर्ष कोण होता है। शंकु की त्रिज्या, ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज के लिए त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करते हुए, हम सूत्र sin(α) = r/l का उपयोग करते हैं। व्युत्पन्न मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin(α) = (R/2) / R = 1/2 प्राप्त होता है। चूँकि sin(30°) = 1/2 है, इसलिए कोण α 30° है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) सूत्र 2πrh द्वारा दिया जाता है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) 2πrh + 2πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। दी गई शर्त के अनुसार, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा है, जिसे 2πrh = 1/2(2πrh + 2πr²) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस समीकरण को सरल बनाने पर, हमें 2πrh = πrh + πr² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से πrh घटाने पर πrh = πr² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को πr से विभाजित करने पर (चूंकि त्रिज्या शून्य नहीं हो सकती), हमें h = r मिलता है। यह देखते हुए कि ऊँचाई h = π सेमी है, यह इस प्रकार है कि त्रिज्या r = π सेमी। यह विकल्प (b) के अनुरूप है।

व्याख्या

घनों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, घन की भुजा 20, 15 और 10 का महत्तम समापवर्तक (GCD) होनी चाहिए। GCD(20, 15, 10) = 5 सेमी। कुल घन = (ब्लॉक का आयतन) / (घन का आयतन) = (20 15 10) / (5 5 5) = 3000 / 125 = 24।

व्याख्या

मान लीजिए घन की भुजा को a से दर्शाया जाता है। भुजा के पदों में घन के विकर्ण d की लंबाई का सूत्र d = a√3 द्वारा दिया गया है। प्रश्न के अनुसार, विकर्ण की लंबाई l है, इसलिए हमारे पास संबंध l = a√3 है। इससे, हम घन की भुजा को a = l/√3 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) इसके छह समान वर्गाकार फलकों के क्षेत्रफलों का योग है, जो सूत्र TSA = 6a² द्वारा दिया गया है। विकर्ण की लंबाई से प्राप्त a के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें TSA = 6(l/√3)² प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल बनाने पर, हमें TSA = 6 × l²/3 = 2l² प्राप्त होता है। इस प्रकार, घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2l² है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए तीनों आकृतियों की बराबर परिधि P है। समबाहु त्रिभुज के लिए, भुजा a = P/3, इसलिए क्षेत्रफल T = (√3/4) a² = (√3/4) (P/3)² = (√3 P²)/36 ≈ (1.732 P²)/36 ≈ 0.0481 P²। वर्ग के लिए, भुजा s = P/4, इसलिए क्षेत्रफल S = s² = (P/4)² = P²/16 = 0.0625 P²। वृत्त के लिए, त्रिज्या r = P/2π, इसलिए क्षेत्रफल C = π r² = π (P/2π)² = P²/4π ≈ P²/12.566 ≈ 0.0796 P²। गुणांकों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि 0.0481 < 0.0625 < 0.0796, जिसका अर्थ है T < S < C। यह परिणाम समपरिमापीय प्रमेय के अनुरूप है, जो बताता है कि दी गई परिधि के लिए, जैसे-जैसे एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ती है, क्षेत्रफल बढ़ता है, जिसमें वृत्त अनंत भुजाओं वाले बहुभुज की सीमा का प्रतिनिधित्व करता है और इस प्रकार अधिकतम क्षेत्रफल प्रदान करता है। इसलिए, विकल्प (a) सही है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। मान लीजिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात s₁/s₂ है और क्षेत्रफल A₁ और A₂ हैं। लागू होने वाला सूत्र है A₁/A₂ = (s₁/s₂)² .

दिया गया है A₁ = 7 - 4√3 और A₂ = 7 + 4√3, तो हमारे पास (s₁/s₂)² = (7 - 4√3)/(7 + 4√3) है। भुजाओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं: s₁/s₂ = √((7 - 4√3)/(7 + 4√3))। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम वर्गमूल के अंदर अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी, जो कि 7 - 4√3 है, से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं।

इससे हमें s₁/s₂ = √(((7 - 4√3)(7 - 4√3))/((7 + 4√3)(7 - 4√3))) = √((7 - 4√3)²/(7² - (4√3)²)) = √((7 - 4√3)²/(49 - 48)) = √((7 - 4√3)²)) प्राप्त होता है। इस प्रकार, संगत भुजाओं का अनुपात 7 - 4√3 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और जीवा की लंबाई L = √3r है। वृत्त के केंद्र पर जीवा द्वारा अंतरित कोण का सूत्र θ = 2 sin⁻¹(L/2r) है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें θ = 2 sin⁻¹(√3r/2r) = 2 sin⁻¹(√3/2) प्राप्त होता है। चूँकि sin⁻¹(√3/2) = 60° है, केंद्रीय कोण θ = 2 × 60° = 120° है।

दीर्घ चाप पर किसी भी बिंदु पर जीवा द्वारा अंतरित कोण, जिसे α से दर्शाया गया है, केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है। इसलिए, α = θ/2 = 120°/2 = 60°।

लघु चाप पर किसी भी बिंदु पर जीवा द्वारा अंतरित कोण, जिसे β से दर्शाया गया है, और दीर्घ चाप पर अंतरित कोण एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं। एक चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। अतः, β = 180° - α = 180° - 60° = 120°।

दिया गया है कि β = kα, तो 120° = k × 60°, जिसे सरल करने पर k = 120/60 = 2 प्राप्त होता है। अतः, k का मान 2 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

वह बिंदु जहाँ किसी त्रिभुज के दो कोणों के बाह्य समद्विभाजक मिलते हैं, उसे त्रिभुज का बाह्यकेंद्र कहा जाता है। किसी भी त्रिभुज ABC के लिए, बिंदु D पर ∠ABC और ∠ACB के बाह्य समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से बनने वाला कोण मानक ज्यामितीय सूत्र ∠BDC = 90° - 1/2∠BAC द्वारा दिया जाता है। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त होता है कि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है और बाह्य कोण दो विपरीत आंतरिक कोणों का योग होता है।

यह देखते हुए कि ∠BAC = 50°, हम इस मान को सूत्र में रखते हैं: ∠BDC = 90° - 1/2(50°) ∠BDC = 90° - 25° ∠BDC = 65°

इस प्रकार, कोण ∠BDC 65° है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है। यह शॉर्टकट प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में इस तरह की समस्याओं को हल करने का सबसे कुशल तरीका है, जिससे त्रिभुज के व्यक्तिगत आंतरिक और बाह्य कोणों की गणना करने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन सूत्र V = 1/3 πr²h द्वारा दिया जाता है। दो शंकुओं के आयतनों की तुलना करते समय, हम अनुपात V₁/V₂ = (1/3 πr₁²h₁)/(1/3 πr₂²h₂) = (r₁/r₂)² × h₁/h₂ स्थापित कर सकते हैं। समस्या के अनुसार, उनके आधारों की त्रिज्याओं का अनुपात r₁/r₂ = 3/1 है और उनकी ऊँचाइयों का अनुपात h₁/h₂ = 1/3 है। इन विशिष्ट मानों को अनुपात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें V₁/V₂ = (3/1)² × 1/3 = 9 × 1/3 = 3/1 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, उनके आयतनों का अनुपात 3:1 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं, कोण ∠AOC और ∠AOD एक रैखिक युग्म बनाते हैं क्योंकि वे सीधी रेखा CD पर स्थित हैं। रैखिक युग्म अभिधारणा के अनुसार, इन आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, हमारे पास संबंध ∠AOC + ∠AOD = 180° है। दी गई शर्त कि ∠AOC = 5 ∠AOD है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं ताकि 5 ∠AOD + ∠AOD = 180° प्राप्त हो, जो 6 ∠AOD = 180° को सरल करता है। ∠AOD के लिए हल करने पर, हमें ∠AOD = 180°/6 = 30° मिलता है। परिणामस्वरूप, ∠AOC = 5 × 30° = 150°। चूँकि शीर्षभिमुख कोण बराबर होते हैं, ∠BOC = ∠AOD = 30° और ∠BOD = ∠AOC = 150°। इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु O पर चार कोण 30°, 150°, 30° और 150° हैं, जिससे विकल्प (b) सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए दो स्थिर बिंदु निर्देशांक तल पर A(-a, 0) और B(a, 0) हैं, ताकि मूल बिंदु AB का मध्य बिंदु हो। मान लीजिए गतिशील बिंदु P के निर्देशांक (x, y) हैं। दी गई शर्त के अनुसार, P से A और B की दूरियों के वर्गों का योग एक स्थिरांक k है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, हमारे पास PA² = (x + a)² + y² और PB² = (x - a)² + y² है।

शर्त PA² + PB² = k को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x + a)² + y² + (x - a)² + y² = k

वर्गों का विस्तार करने पर: (x² + 2ax + a² + y²) + (x² - 2ax + a² + y²) = k

समान पदों को संयोजित करने पर: 2x² + 2y² + 2a² = k 2(x² + y²) = k - 2a² x² + y² = (k - 2a²)/2

यह समीकरण x² + y² = r² के रूप का है, जहाँ r² = (k - 2a²)/2 है। यह मूल बिंदु (AB का मध्य बिंदु) पर केंद्रित वृत्त का मानक समीकरण है। इसलिए, बिंदु P का बिंदुपथ एक वृत्त है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

कर्ण AC वाले समकोण त्रिभुज में, AC² = AB² + BC²। किसी भी धनात्मक a, b, c के लिए जहाँ c² = a² + b², c सबसे बड़ी भुजा होती है (c > a और c > b)। इस प्रकार, c³ = c * c² = c(a² + b²) = ca² + cb²। चूँकि c > a, ca² > a³ है, और चूँकि c > b, cb² > b³ है। इसलिए, c³ > a³ + b³, अतः AC³ > AB³ + BC³।

व्याख्या

एक वर्ग द्वारा बाह्य रूप से और एक अंतर्लिखित वृत्त द्वारा आंतरिक रूप से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल, वर्ग के क्षेत्रफल में से वृत्त के क्षेत्रफल को घटाकर ज्ञात किया जाता है। वर्ग की भुजा s = 2a दी गई है, वर्ग का क्षेत्रफल s² = (2a)² = 4a² के रूप में गणना की जाती है। चूँकि वृत्त वर्ग की चारों भुजाओं को स्पर्श करता है, वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होता है, जिसका अर्थ है d = 2a। इसलिए, वृत्त की त्रिज्या r = d/2 = a है। वृत्त का क्षेत्रफल πr² = πa² है। आवश्यक क्षेत्रफल इन दो मानों के बीच का अंतर है: क्षेत्रफल = 4a² - πa² = (4 - π)a²। यह विकल्प a से मेल खाता है।