सीडीएस II 2019 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

श्रृंखला-I के माध्य को ज्ञात करने के लिए, हम पहले दोनों श्रृंखलाओं के लिए दी गई कुल आवृत्ति का उपयोग करके अज्ञात आवृत्तियों x और y का निर्धारण करते हैं। श्रृंखला-I के लिए, आवृत्तियों का योग 20 + 15 + 10 + x + y = 100 है, जो x + y = 55 को सरल करता है। श्रृंखला-II के लिए, योग 4 + 8 + 4 + 2x + y = 100 है, जो 2x + y = 84 को सरल करता है। दूसरी समीकरण से पहली समीकरण को घटाने पर, हमें (2x + y) - (x + y) = 84 - 55 प्राप्त होता है, जिससे x = 29 मिलता है। x = 29 को पहली समीकरण में वापस रखने पर 29 + y = 55 प्राप्त होता है, इसलिए y = 26।

समूहबद्ध डेटा के लिए माध्य की गणना सूत्र x̄ = Σ fᵢ mᵢ / Σ fᵢ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ fᵢ आवृत्ति है और mᵢ प्रत्येक वर्ग अंतराल का मध्य बिंदु है। अंतराल 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, और 50-60 के मध्य बिंदु क्रमशः 15, 25, 35, 45, और 55 हैं। श्रृंखला-I के लिए, आवृत्तियों और मध्य बिंदुओं के गुणनफलों का योग इस प्रकार गणना की जाती है: Σ fᵢ mᵢ = (20 × 15) + (15 × 25) + (10 × 35) + (29 × 45) + (26 × 55) Σ fᵢ mᵢ = 300 + 375 + 350 + 1305 + 1430 = 3760

इसलिए माध्य x̄ = 3760/100 = 37.6 है, जो विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, कुल आवृत्तियों का उपयोग करके x और y ज्ञात करें। श्रेणी-I के लिए: 20 + 15 + 10 + x + y = 100, इसलिए x + y = 55। श्रेणी-II के लिए: 4 + 8 + 4 + 2x + y = 100, इसलिए 2x + y = 84। दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर x = 29 प्राप्त होता है, और इस प्रकार y = 26। श्रेणी-II के लिए आवृत्तियाँ 4, 8, 4, 58, 26 हैं। बहुलक वर्ग 40-50 है जिसमें आवृत्ति f1 = 58, f0 = 4, और f2 = 26 है। बहुलक सूत्र का उपयोग करके: बहुलक = L + [ (f1 - f0) / ((f1 - f0) + (f1 - f2)) ] h = 40 + [ (58 - 4) / ((58 - 4) + (58 - 26)) ] 10 = 40 + [ 54 / (54 + 32) ] 10 = 40 + (54/86)10 = 46.279, जो लगभग 46 है।

व्याख्या

शोरूम C की कुल बिक्री (S1) = 6400 का 15% = 960। शोरूम E की कुल बिक्री (S1) = 6400 का 12% = 768। शोरूम E द्वारा कंपनी X की बिक्री (S2) = 3000 का 8% = 240। इसलिए, शोरूम E द्वारा कंपनी Y की बिक्री = 768 - 240 = 528। प्रतिशत = (528 / 960) * 100 = 55%।

व्याख्या

शोरूम B द्वारा बेचे गए दोनों कंपनियों के स्कूटरों की संख्या की गणना S₁ के कुल और S₁ में B के लिए दिए गए प्रतिशत का उपयोग करके की जाती है: B का मान (दोनों कंपनियाँ) = 6400 × 21/100 = 64 × 21 = 1344

शोरूम A द्वारा बेचे गए कंपनी X के स्कूटरों की संख्या की गणना S₂ के कुल और S₂ में A के लिए दिए गए प्रतिशत का उपयोग करके की जाती है: A का मान (कंपनी X) = 3000 × 24/100 = 30 × 24 = 720

यह पता लगाने के लिए कि B, A से कितने प्रतिशत अधिक है, हम प्रतिशत वृद्धि सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत अधिक = (B का मान - A का मान)/A का मान × 100 प्रतिशत अधिक = (1344 - 720)/720 × 100 प्रतिशत अधिक = 624/720 × 100

भिन्न 624/720 को सरल बनाना: दोनों को 24 से विभाजित करने पर, हमें 26/30 मिलता है, और 2 से आगे सरल करने पर 13/15 मिलता है। प्रतिशत अधिक = 13/15 × 100 = 13 × 20/3 = 260/3 = 86 2/3%

इस प्रकार, शोरूम B द्वारा बेचे गए दोनों कंपनियों के स्कूटरों की संख्या, शोरूम A द्वारा बेचे गए कंपनी X के स्कूटरों की संख्या से 86 2/3% अधिक है, जो विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी भी शोरूम द्वारा बेचे गए कंपनी Y के स्कूटरों की संख्या की गणना बेचे गए स्कूटरों की कुल संख्या (S1) और बेचे गए कंपनी X के स्कूटरों की संख्या (S2) के बीच के अंतर के रूप में की जाती है। शोरूम A, C और E के लिए औसत ज्ञात करने के लिए, हम पहले S1 और S2 दोनों के लिए इन तीन शोरूमों द्वारा बेचे गए कुल स्कूटरों की गणना करते हैं।

S1 में शोरूम A, C और E के लिए संयुक्त प्रतिशत 19% + 15% + 12% = 46% है। A, C और E के लिए कुल S1 स्कूटर = 46/100 × 6400 = 46 × 64 = 2944।

S2 में शोरूम A, C और E के लिए संयुक्त प्रतिशत 24% + 20% + 8% = 52% है। A, C और E के लिए कुल S2 स्कूटर = 52/100 × 3000 = 52 × 30 = 1560।

शोरूम A, C और E द्वारा बेचे गए कंपनी Y के स्कूटरों की कुल संख्या इन दो मानों के बीच का अंतर है: कुल Y स्कूटर = 2944 - 1560 = 1384।

इन तीन शोरूमों द्वारा बेचे गए कंपनी Y के स्कूटरों की औसत संख्या है: औसत = 1384/3 = 461 1/3।

यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

शोरूम A की कुल बिक्री (S1) = 6400 का 19% = 1216। शोरूम B द्वारा कंपनी X की बिक्री (S2) = 3000 का 18% = 540। शोरूम E द्वारा कंपनी X की बिक्री (S2) = 3000 का 8% = 240। B और E द्वारा कुल X बिक्री = 540 + 240 = 780। अंतर = 1216 - 780 = 436।

व्याख्या

2017 में मारे गए पैदल चलने वाले = 20457। प्रतिदिन औसत = 20457 / 365 = 56.046, जो 56 के करीब है।

व्याख्या

2014 से 2017 तक पैदल चलने वालों की मृत्यु दर में अनुमानित प्रतिशत परिवर्तन की गणना करने के लिए, मानक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत परिवर्तन = (अंतिम मान - प्रारंभिक मान)/प्रारंभिक मान × 100

दिए गए डेटा तालिका से, 2014 में मारे गए पैदल चलने वालों की संख्या (प्रारंभिक मान) 12330 है और 2017 में मारे गए पैदल चलने वालों की संख्या (अंतिम मान) 20457 है।

सबसे पहले, मौतों में पूर्ण वृद्धि की गणना करें: वृद्धि = 20457 - 12330 = 8127

अब, इन मानों को प्रतिशत सूत्र में प्रतिस्थापित करें: प्रतिशत परिवर्तन = 8127/12330 × 100

विभाजन करने पर: 8127 ÷ 12330 ≈ 0.6591

प्रतिशत प्राप्त करने के लिए 100 से गुणा करें: 0.6591 × 100 = 65.91%

इस मान को निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करने पर लगभग 66% प्राप्त होता है, जो विकल्प ए से मेल खाता है।

व्याख्या

2017 में मारे गए बाइकर्स = 48746। प्रतिदिन औसत = 48746 / 365 = 133.55, जिसे 134 के रूप में पूर्णांकित किया गया है।

व्याख्या

2017 में मारे गए साइकिल चालकों की संख्या = 3559। प्रतिदिन औसत = 3559 / 365 = 9.75, जो 10 के करीब है।

व्याख्या

मान लीजिए √a = x और √b = y। तब x³ + y³ = 32 और xy(x + y) = 31। सर्वसमिका (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y) का उपयोग करने पर, हमें (x + y)³ = 32 + 3(31) = 125 प्राप्त होता है, इसलिए x + y = 5। तब (x + y)² = x² + y² + 2xy = a + b + 2xy। चूँकि xy(x + y) = 31, xy = 31/5 = 6.2। इस प्रकार, a + b = 5² - 2(6.2) = 25 - 12.4 = 12.6। 5(a + b) / 7 का मान 5(12.6) / 7 = 63 / 7 = 9 है।

व्याख्या

x = (1 + √3)/2 का अर्थ है 2x - 1 = √3। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 4x² - 4x + 1 = 3, या 2x² - 2x - 1 = 0 प्राप्त होता है। y = x³ के लिए, हम 2x³ = 2x² + x = (2x + 1) + x = 3x + 1 का उपयोग करते हैं, इसलिए x = (2y - 1)/3। इसे 2x² - 2x - 1 = 0 में प्रतिस्थापित करने पर 2((2y - 1)/3)² - 2((2y - 1)/3) - 1 = 0 प्राप्त होता है। 9 से गुणा करने पर: 2(4y² - 4y + 1) - 6(2y - 1) - 9 = 0, जो 8y² - 8y + 2 - 12y + 6 - 9 = 0, या 8y² - 20y - 1 = 0 को सरल करता है।

व्याख्या

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) हमेशा उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) का गुणज होना चाहिए। यहाँ, म.स.प. = 12 है। विकल्पों की जाँच करने पर: 60/12 = 5, 36/12 = 3, 24/12 = 2, लेकिन 80/12 = 6.66। इस प्रकार, 80 ल.स.प. नहीं हो सकता।

व्याख्या

कथन 1 गलत है क्योंकि 17¹⁷⁴ का इकाई अंक 7 की चक्रीयता (cyclicity) से निर्धारित होता है, जो कि 4 है। इकाई अंक ज्ञात करने के लिए, हम घात 174 को चक्रीयता से विभाजित करते हैं: 174 (mod 4) = 2। इसलिए, इकाई अंक 7² के समान होगा, जो 49 है, जिसका अंतिम अंक 9 है।

कथन 2 सही है। किन्हीं दो विषम संख्याओं को 2n+1 और 2m+1 मान लीजिए। उनके वर्गों का अंतर इस प्रकार है: (2n+1)² - (2m+1)² = (4n² + 4n + 1) - (4m² + 4m + 1) = 4n(n+1) - 4m(m+1)। चूँकि किन्हीं दो क्रमागत पूर्णांकों k(k+1) का गुणनफल हमेशा सम होता है, हम n(n+1) = 2a और m(m+1) = 2b प्रतिस्थापित कर सकते हैं। व्यंजक 4(2a) - 4(2b) = 8(a-b) बन जाता है, जो हमेशा 8 से विभाज्य होता है।

कथन 3 सही है। दो क्रमागत विषम संख्याओं को 2n-1 और 2n+1 के रूप में दर्शाया जा सकता है। उनका गुणनफल (2n-1)(2n+1) = (2n)² - 1² = 4n² - 1 है। इस गुणनफल में 1 जोड़ने पर (4n² - 1) + 1 = 4n² प्राप्त होता है, जो (2n)² है। यह परिणाम हमेशा एक पूर्ण वर्ग होता है।

चूँकि केवल कथन 2 और 3 सही हैं, विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए P मूलधन है। वार्षिक संयोजित रिटर्न A1 = P(1 + 0.20)^2 = 1.44P। अर्ध-वार्षिक संयोजित रिटर्न A2 = P(1 + 0.10)^4 = 1.4641P। अंतर = 1.4641P - 1.44P = 0.0241P। दिया गया है 0.0241P = 482, P = 482 / 0.0241 = 20,000।

व्याख्या

किसी बहुपद को तीन रैखिक गुणनखंडों में विभक्त करने के लिए, उसके तीन वास्तविक मूल होने चाहिए। यदि k = 0 है, तो व्यंजक x^3 - 7x + 6 है। संभावित पूर्णांक मूलों का परीक्षण करने पर, x = 1 से 1 - 7 + 6 = 0 मिलता है; x = 2 से 8 - 14 + 6 = 0 मिलता है; x = -3 से -27 + 21 + 6 = 0 मिलता है। चूँकि तीन रैखिक गुणनखंड (x-1)(x-2)(x+3) हैं, इसलिए k = 0 सही है।

व्याख्या

वे शुरुआती बिंदु पर जिस समय मिलेंगे वह उनके व्यक्तिगत चक्कर के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है: LCM(252, 308, 198)। अभाज्य गुणनखंडन: 252 = 2^2 3^2 7, 308 = 2^2 7 11, 198 = 2 3^2 11। LCM = 2^2 3^2 7 * 11 = 2772 सेकंड। 2772 सेकंड = 46 मिनट और 12 सेकंड।

व्याख्या

भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, मानक गणितीय सूत्र का उपयोग किया जाता है: भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

इस समस्या में, भिन्न 1/3, 5/6, 2/9, और 4/27 हैं। अंश 1, 5, 2, और 4 हैं। हर 3, 6, 9, और 27 हैं।

चरण 1: अंशों (1, 5, 2, 4) का LCM ज्ञात करें। चूंकि 2, 4 का गुणनखंड है, हमें केवल 5 और 4 का LCM ज्ञात करना होगा। LCM(1, 5, 2, 4) = 5 × 4 = 20।

चरण 2: हरों (3, 6, 9, 27) का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें। हम देखते हैं कि 3 सबसे छोटा हर है और यह 6, 9, और 27 को पूरी तरह से विभाजित करता है। इसलिए, HCF(3, 6, 9, 27) = 3।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: LCM = 20/3

यह विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, समीकरण x² + 5x + 6 = 0 को हल करके इसके मूल ज्ञात कीजिए। गुणनखंड विधि का उपयोग करके, हम ऐसी दो संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल 6 हो और योग 5 हो, जो कि 2 और 3 हैं। इस प्रकार, समीकरण (x + 2)(x + 3) = 0 बन जाता है, जिससे मूल x = -2 और x = -3 प्राप्त होते हैं। चूँकि समीकरणों x² + 5x + 6 = 0 और x² + kx + 1 = 0 का एक उभयनिष्ठ मूल है, इसलिए यह उभयनिष्ठ मूल या तो -2 या -3 होना चाहिए।

स्थिति 1: यदि उभयनिष्ठ मूल x = -2 है, तो इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: (-2)² + k(-2) + 1 = 0 4 - 2k + 1 = 0 5 = 2k ⇒ k = 5/2

स्थिति 2: यदि उभयनिष्ठ मूल x = -3 है, तो इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: (-3)² + k(-3) + 1 = 0 9 - 3k + 1 = 0 10 = 3k ⇒ k = 10/3

इसलिए, k के संभावित मान 5/2 या 10/3 हैं, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) सूत्र का प्रयोग करें: SI = (P × R × T)/100। सबसे पहले, B से प्राप्त ब्याज की गणना करें। दिया गया है P = 25000, R = 7%, और T = 4 वर्ष, तो B से ब्याज SIᵦ = (25000 × 7 × 4)/100 = 250 × 28 = 7000 है। B और C दोनों से प्राप्त कुल ब्याज 11200 दिया गया है। इसलिए, C से प्राप्त ब्याज SI꜀ = 11200 - 7000 = 4200 है। अब, C को उधार दी गई राशि P꜀ मान लीजिए। समान दर और समय का उपयोग करते हुए, हमारे पास 4200 = (P꜀ × 7 × 4)/100 है। यह 4200 = (P꜀ × 28)/100 को सरल करता है। P꜀ के लिए हल करने पर, हमें P꜀ = (4200 × 100)/28 = 420000/28 = 15000 मिलता है। इस प्रकार, A ने C को ₹15000 उधार दिए, जो विकल्प (c) के अनुरूप है।

व्याख्या

जब भी दो वस्तुओं को समान विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, एक पर x% का लाभ और दूसरे पर x% की हानि होती है, तो सौदे में हमेशा शुद्ध हानि होती है। इस शुद्ध हानि प्रतिशत की गणना के लिए शॉर्टकट सूत्र है: शुद्ध हानि % = x²/100 %।

इस समस्या में, लाभ और हानि प्रतिशत x = 30% दिया गया है। इस मान को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

शुद्ध हानि % = 30²/100 = 900/100 = 9%

इसलिए, व्यापारी को पूरे सौदे पर 9% की शुद्ध हानि होती है, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर बनता है। यह सूत्र प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में ऐसी समस्याओं को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है, जिससे व्यक्तिगत लागत मूल्य की गणना करने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए A तथा B की मासिक आय क्रमशः 4x तथा 3x है। मूल सूत्र आय = व्यय + बचत के अनुसार, किसी व्यक्ति का व्यय इस प्रकार निकाला जाता है: व्यय = आय - बचत। चूँकि A तथा B दोनों ₹600 बचाते हैं, A का व्यय 4x - 600 है और B का व्यय 3x - 600 है। यह देखते हुए कि उनके व्यय का अनुपात 3:2 है, हम निम्नलिखित समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

(4x - 600)/(3x - 600) = 3/2

पदों को तिरछा गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2(4x - 600) = 3(3x - 600) 8x - 1200 = 9x - 1800 9x - 8x = 1800 - 1200 x = 600

अब, A की मासिक आय ज्ञात करने के लिए x का मान प्रतिस्थापित करने पर: A की मासिक आय = 4x = 4 × 600 = 2400

अतः, A की मासिक आय ₹2400 है, जो विकल्प (c) के संगत है।

व्याख्या

दिए गए अनुपात 3:4 के आधार पर, प्रारंभिक ट्रेन का किराया और बस का किराया क्रमशः 3x और 4x माना जाता है। प्रतिशत वृद्धि की गणना मूल मान को (1 + r/100) से गुणा करके की जाती है। ट्रेन के किराए के लिए, संशोधित किराया 3x × (1 + 20/100) = 3x × 1.2 = 3.6x है। बस के किराए के लिए, संशोधित किराया 4x × (1 + 30/100) = 4x × 1.3 = 5.2x है। संशोधित अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम संशोधित ट्रेन के किराए को संशोधित बस के किराए से विभाजित करते हैं: 3.6x/5.2x = 36/52। इस भिन्न को इसके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 4 से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल बनाने पर, हमें 9/13 प्राप्त होता है। इस प्रकार, ट्रेन के किराए और बस के किराए के बीच संशोधित अनुपात 9:13 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

भागफल = 182। शेषफल = भागफल - 175 = 182 - 175 = 7। संख्या N = (भाजक × भागफल) + शेषफल = (17 × 182) + 7 = 3094 + 7 = 3101।

व्याख्या

कुल खाद्य भंडार 240 आदमी * 48 दिन = 11520 आदमी-दिन है। 160 आदमियों के लिए, भंडार 11520 / 160 = 72 दिनों तक चलेगा।

व्याख्या

बेलन का आयतन V = pi (d/2)^2 h। चूँकि d = h, V = pi (h^2 / 4) h = pi h^3 / 4। अधिकतम आयतन वाले गोले की त्रिज्या r = h/2 है। गोले का आयतन Vs = (4/3) pi (h/2)^3 = (4/3) pi (h^3 / 8) = pi h^3 / 6। शेष आयतन = V - Vs = (pi h^3 / 4) - (pi h^3 / 6) = (pi h^3 / 12)। V के भिन्न के रूप में व्यक्त: (pi h^3 / 12) / (pi * h^3 / 4) = 4 / 12 = 1/3।

व्याख्या

अंतःखंड प्रमेय (या समांतर रेखाओं के लिए आनुपातिकता प्रमेय) के अनुसार, जब तीन या अधिक समांतर रेखाओं को दो तिर्यक छेदी रेखाओं द्वारा काटा जाता है, तो एक तिर्यक छेदी रेखा पर काटे गए खंडों की लंबाई दूसरी तिर्यक छेदी रेखा पर काटे गए संगत खंडों के समानुपाती होती है।

इस ज्यामिति समस्या के लिए लागू सूत्र PQ/QR = LM/MN है।

दिए गए मानों PQ = 3 सेमी, QR = 9 सेमी, और MN = 10.5 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 3/9 = LM/10.5

बाईं ओर के अनुपात को सरल करने पर प्राप्त होता है: 1/3 = LM/10.5

LM के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 10.5 से गुणा करने पर: LM = 10.5/3 = 3.5 सेमी।

इस प्रकार, LM की लंबाई 3.5 सेमी है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (1/2) r² θ। दिया गया है 25.6 = (1/2) 4² θ, तब 25.6 = 8 * θ। अतः, θ = 25.6 / 8 = 3.2 रेडियन।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का लंबकेंद्र वह बिंदु होता है जहाँ तीनों शीर्षलंब प्रतिच्छेद करते हैं। शीर्षलंब एक लंबवत रेखा खंड होता है जो एक शीर्ष से विपरीत भुजा तक खींचा जाता है। एक समकोण त्रिभुज में, दो भुजाएँ पहले से ही एक-दूसरे पर लंबवत होती हैं। यदि हम A, B, और C शीर्षों वाले एक त्रिभुज पर विचार करें, जहाँ समकोण शीर्ष B पर है, तो शीर्ष A से विपरीत भुजा BC तक का शीर्षलंब स्वयं भुजा AB है। इसी प्रकार, शीर्ष C से विपरीत भुजा AB तक का शीर्षलंब भुजा CB है। चूँकि ये दोनों शीर्षलंब शीर्ष B पर मिलते हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु, या लंबकेंद्र, समकोण वाला शीर्ष होता है। यह न्यूनकोण त्रिभुज से भिन्न है जहाँ लंबकेंद्र अंदर स्थित होता है और अधिककोण त्रिभुज जहाँ यह बाहर स्थित होता है। इसलिए, विकल्प C सही कथन है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, मान लीजिए A शीर्ष पर कोण ∠A है और B शीर्ष पर कोण ∠B है। चूँकि AX, ∠A का कोण समद्विभाजक है, इसलिए कोण ∠BAX = 1/2∠A है। त्रिभुज ABX में, भुजा AB कोण ∠AXB के सम्मुख है और भुजा BX कोण ∠BAX के सम्मुख है।

त्रिभुज ABX के कोण योग गुण का उपयोग करके, हमारे पास ∠AXB = 180° - (∠B + 1/2∠A) है। AB और BX के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए, हम उनके सम्मुख कोणों की तुलना करते हैं: ∠AXB - ∠BAX = 180° - (∠B + 1/2∠A) - 1/2∠A = 180° - (∠A + ∠B)।

त्रिभुज ABC के कोण योग गुण के अनुसार, 180° - (∠A + ∠B) = ∠C है। चूँकि त्रिभुज में किसी भी कोण का माप धनात्मक होना चाहिए, ∠C > 0, जिसका अर्थ है ∠AXB > ∠BAX। इस ज्यामितीय प्रमेय के अनुसार कि त्रिभुज में बड़े कोण के सम्मुख भुजा लंबी होती है, यह निष्कर्ष निकलता है कि AB > BX। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

व्यंजक log10(cos theta sin theta tan theta cot theta sec theta cosec theta) है। चूँकि tan theta cot theta = 1, cos theta sec theta = 1, और sin theta cosec theta = 1, इसलिए लॉग का तर्क 1 है। log10(1) = 0।

व्याख्या

दिया गया है cos^2 x + cos x = 1, तो हमारे पास cos x = 1 - cos^2 x = sin^2 x है। व्यंजक sin^12 x + 3sin^10 x + 3sin^8 x + sin^6 x, (sin^4 x + sin^2 x)^3 का विस्तार है। sin^2 x = cos x प्रतिस्थापित करने पर, हमें (cos^2 x + cos x)^3 मिलता है। चूँकि cos^2 x + cos x = 1 है, व्यंजक 1^3 = 1 के बराबर है।

व्याख्या

sin theta = 3/5 का अर्थ है cos theta = 4/5, इसलिए x = cot theta = (4/5) / (3/5) = 4/3। व्यंजक 1 + 3x + (3x)² + (3x)³ + (3x)⁴ + (3x)⁵ एक ज्यामितीय श्रेणी है जिसमें a = 1, r = 3x = 4, और n = 6 है। योग = (rⁿ - 1) / (r - 1) = (4⁶ - 1) / (4 - 1) = (4096 - 1) / 3 = 4095 / 3 = 1365।

व्याख्या

मान लीजिए पहले स्तंभ का उनयन कोण θ है। तब tan θ = h/x। दूसरे स्तंभ का उनयन कोण (90 - θ) है, इसलिए tan(90 - θ) = 2h/y। इसका मतलब है cot θ = 2h/y, या tan θ = y/2h। दोनों को बराबर करने पर: h/x = y/2h, जिससे 2h² = xy प्राप्त होता है।

व्याख्या

sin 19 / cos 71 + cos 73 / sin 17। चूँकि cos 71 = sin(90 - 71) = sin 19 और sin 17 = cos(90 - 17) = cos 73, इसलिए व्यंजक sin 19 / sin 19 + cos 73 / cos 73 = 1 + 1 = 2 हो जाता है।

व्याख्या

जब किसी त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से विपरीत भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, तो मूल त्रिभुज नए बने बड़े त्रिभुज का मध्य त्रिभुज बन जाता है। इस विन्यास में, मूल त्रिभुज के शीर्ष बड़े त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदु के रूप में कार्य करते हैं। मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। इसलिए, बड़े त्रिभुज की प्रत्येक भुजा मूल त्रिभुज की संगत भुजा की लंबाई से ठीक दोगुनी होती है। यदि मूल त्रिभुज की भुजाएँ a, b, और c हैं, तो नए त्रिभुज की भुजाएँ 2a, 2b, और 2c होंगी। नए त्रिभुज की परिधि की गणना 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) के रूप में की जाती है। मूल त्रिभुज की दी गई परिधि को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 × 22 सेमी = 44 सेमी प्राप्त होता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समलंब ABCD में जहाँ AD ∥ BC है, त्रिभुज ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC और समान ऊँचाई साझा करते हैं, जो समानांतर रेखाओं AD और BC के बीच की लंबवत दूरी है। इसलिए, क्षेत्रफल(ΔABC) = क्षेत्रफल(ΔDBC)। चूँकि क्षेत्रफल(ΔABC) = क्षेत्रफल(ΔAOB) + क्षेत्रफल(ΔBOC) और क्षेत्रफल(ΔDBC) = क्षेत्रफल(ΔDOC) + क्षेत्रफल(ΔBOC), इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्षेत्रफल(ΔAOB) = क्षेत्रफल(ΔDOC)। दिया गया है कि क्षेत्रफल(ΔAOB) = 3 cm², इसलिए क्षेत्रफल(ΔDOC) = 3 cm²।

त्रिभुज ΔBOC का क्षेत्रफल, क्षेत्रफल(ΔBDC) - क्षेत्रफल(ΔDOC) = 8 cm² - 3 cm² = 5 cm² के रूप में गणना की जाती है।

किसी भी चतुर्भुज में जहाँ विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं, विपरीत त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का गुणनफल बराबर होता है। संबंध है क्षेत्रफल(ΔAOD) × क्षेत्रफल(ΔBOC) = क्षेत्रफल(ΔAOB) × क्षेत्रफल(ΔDOC)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल(ΔAOD) × 5 = 3 × 3 मिलता है, जिसे सरल करने पर क्षेत्रफल(ΔAOD) = 9/5 = 1.8 cm² प्राप्त होता है। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी बिंदु P के वृत्त पर स्थित होने के लिए, जहाँ AB व्यास है, थेल्स प्रमेय के अनुसार कोण ∠APB समकोण (90°) होना चाहिए। इसका मतलब है कि त्रिभुज APB को पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करना चाहिए, जहाँ कर्ण AB का वर्ग अन्य दो भुजाओं AP और BP के वर्गों के योग के बराबर होता है। सूत्र x² + y² = D² है, जहाँ x = AP, y = BP, और D वृत्त का व्यास है।

चूंकि त्रिज्या 6.5 सेमी दी गई है, व्यास D = 2 × 6.5 = 13 सेमी है। इसलिए, P के वृत्त पर स्थित होने के लिए, शर्त x² + y² = 13² = 169 संतुष्ट होनी चाहिए।

विकल्पों की जाँच: विकल्प (b) में, 12² + 5² = 144 + 25 = 169, इसलिए P वृत्त पर स्थित है। विकल्प (c) में, 5² + 12² = 25 + 144 = 169, इसलिए P वृत्त पर स्थित है। विकल्प (d) में, 0² + 13² = 0 + 169 = 169, इसलिए P वृत्त पर स्थित है (बिंदु A पर)। विकल्प (a) में, x = 6.5 सेमी और y = 6.5 सेमी, हमें x² + y² = (6.5)² + (6.5)² = 42.25 + 42.25 = 84.5 मिलता है। चूंकि 84.5 ≠ 169, बिंदु P वृत्त पर स्थित नहीं है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। यह ज्यामिति में समरूपता का एक मौलिक गुण है। मान लीजिए त्रिभुज ABC की संगत भुजा की लंबाई x है। दिए गए मानों का उपयोग करते हुए, संबंध को सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

ΔABC का परिमाप / ΔPQR का परिमाप = ΔABC की संगत भुजा / ΔPQR की संगत भुजा

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

75 सेमी / 50 सेमी = x / 20 सेमी

परिमापों के अनुपात को सरल बनाने पर:

3/2 = x/20

x ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 20 से गुणा करें:

x = 3/2 × 20 x = 3 × 10 x = 30 सेमी

इसलिए, त्रिभुज ABC की संगत भुजा की लंबाई 30 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज PORS में, शीर्ष P, O, R, S हैं और विकर्ण PR और OS हैं। इन विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को Q मान लीजिए। एक समांतर चतुर्भुज के गुणों के अनुसार, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि Q, PR और OS दोनों का मध्य बिंदु है।

हमें दिया गया है कि त्रिभुज ORS एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा की लंबाई a = 10 सेमी है। त्रिभुज ORS में, खंड RQ, शीर्ष R से भुजा OS पर खींचा गया माध्यिका है। एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यिका त्रिभुज की ऊँचाई भी होती है।

भुजा a वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई h का सूत्र है: h = (√3/2) a

दी गई भुजा की लंबाई a = 10 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: RQ = (√3/2) × 10 = 5√3 सेमी

चूंकि Q, विकर्ण PR का मध्य बिंदु है, PR की कुल लंबाई RQ की लंबाई की दोगुनी है: PR = 2 × RQ = 2 × 5√3 = 10√3 सेमी

इस प्रकार, विकर्ण PR की लंबाई 10√3 सेमी है, जो विकल्प b) से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः l, w और h हैं। घनाभ का आयतन V सूत्र V = l · w · h द्वारा दिया जाता है। तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल इन विमाओं के दो-दो करके गुणनफल होते हैं, जो x = l · w, y = w · h, और z = l · h हैं। आयतन और इन क्षेत्रफलों के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, x, y और z को एक साथ गुणा करें: xyz = (l · w) · (w · h) · (l · h) = l² · w² · h²। इस गुणनफल को (l · w · h)² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इस व्यंजक में आयतन सूत्र V = l · w · h को प्रतिस्थापित करने पर, हमें xyz = V² प्राप्त होता है। इसलिए, सही संबंध V² = xyz है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यिका, शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक सभी एक ही खंड होते हैं। मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई a है और माध्यिका की लंबाई l है। शीर्षलंब (माध्यिका) और भुजा की लंबाई को जोड़ने वाला सूत्र l = (√3/2)a है। क्षेत्रफल को l के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम पहले a के लिए हल करते हैं: a = 2l/√3। समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल A का मानक सूत्र A = (√3/4)a² है। a के मान को इस क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = (√3/4)(2l/√3)² प्राप्त होता है। कोष्ठक के अंदर के पद का वर्ग करने पर A = (√3/4) · (4l²/3) प्राप्त होता है। अंश और हर से 4 को रद्द करने पर A = √3l²/3 प्राप्त होता है। यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

तार की लंबाई त्रिज्यखंड की परिधि के बराबर होती है। त्रिज्यखंड की परिधि का सूत्र P = θ/360 × 2πR + 2R है, जहाँ R त्रिज्या है और θ केंद्रीय कोण है। दिए गए मान R = 20 सेमी और θ = 150° को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

P = 150/360 × 2π(20) + 2(20) = 5/12 × 40π + 40 = 50π/3 + 40 सेमी।

जब इस तार को एक वृत्त के रूप में मोड़ा जाता है, तो इसकी कुल लंबाई नए वृत्त की परिधि बन जाती है। मान लीजिए नए वृत्त की त्रिज्या r है। परिधि का सूत्र C = 2πr है। त्रिज्यखंड की परिधि को वृत्त की परिधि के बराबर करने पर:

2πr = 50π/3 + 40

r ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 2π से विभाजित करने पर:

r = 50π/(3(2π)) + 40/(2π) = 25/3 + 20/π

π ≈ 3.14159 का अनुमानित मान का उपयोग करने पर:

r ≈ 8.333 + 6.366 = 14.699 सेमी।

इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, 14.699 सेमी, 19/3 सेमी, 7 सेमी या 8 सेमी से मेल नहीं खाता है। इसलिए, सही विकल्प d है।

व्याख्या

किसी दिए गए त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है। यह इस गुण पर आधारित है कि त्रिभुज का मध्य-खंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी आधी लंबाई का होता है, जिससे मूल त्रिभुज के भीतर चार छोटे सर्वांगसम त्रिभुज बनते हैं।

मान लीजिए मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल A₁ = 128 cm² है। चूँकि त्रिभुज PQR मूल त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर बनता है, इसका क्षेत्रफल A₂ है: A₂ = 1/4 × A₁ = 1/4 × 128 = 32 cm²

इसी प्रकार, त्रिभुज ABC त्रिभुज PQR की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर बनता है। इसलिए, इसका क्षेत्रफल A₃ त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल का एक-चौथाई है: A₃ = 1/4 × A₂ = 1/4 × 32 = 8 cm²

वैकल्पिक रूप से, चूँकि प्रक्रिया को दो बार दोहराया जाता है, अंतिम क्षेत्रफल A₁ × (1/4)² = 128 × 1/16 = 8 cm² है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि रेखा p रेखा q के समानांतर है, तिर्यक छेदी रेखाओं BE और CD द्वारा बनाए गए एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं। विशेष रूप से, कोण ACB कोण ADE के बराबर है और कोण ABC कोण AED के बराबर है। इसके अतिरिक्त, कोण BAC कोण EAD के बराबर है क्योंकि वे शीर्षभिमुख कोण हैं। AA समरूपता कसौटी द्वारा, त्रिभुज ABC, त्रिभुज ADE के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के लिए मानक ज्यामितीय प्रमेय बताता है कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यह देखते हुए कि AC और AD क्रमशः त्रिभुज ABC और त्रिभुज ADE की संगत भुजाएँ हैं, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: Area(△ABC)/Area(△ADE) = (AC/AD)² दिए गए अनुपात AC:AD = 4:9 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: Area(△ABC)/Area(△ADE) = (4/9)² = 16/81 इसलिए, त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का त्रिभुज ADE के क्षेत्रफल से अनुपात 16:81 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए तार की कुल लंबाई L है। चूँकि तार का उपयोग समबाहु त्रिभुज बनाने के लिए किया जाता है, इसका परिमाप L है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज की भुजा sₜ = L/3 है। इसी प्रकार, वर्ग का परिमाप L है, इसलिए वर्ग की भुजा sₛ = L/4 है।

क्षेत्रफल सूत्रों का उपयोग करते हुए, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल Aₜ = (√3/4) sₜ² है और वर्ग का क्षेत्रफल Aₛ = sₛ² है। भुजा मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Aₜ = (√3/4) (L/3)² = √3L²/36 और Aₛ = (L/4)² = L²/16 प्राप्त होता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात Aₜ : Aₛ = √3L²/36 : L²/16 है। L² को रद्द करके और दूसरे पद के व्युत्क्रम से गुणा करके इस व्यंजक को सरल बनाने पर, हमें (√3/36) × 16/1 = 16√3/36 प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके भिन्न को कम करने पर, हमें 4√3/9 प्राप्त होता है। इसलिए, आवश्यक अनुपात 4√3 : 9 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

बराबर लंबाई की चारों भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज को समचतुर्भुज (rhombus) कहा जाता है। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = 1/2 × d₁ × d₂ द्वारा ज्ञात किया जाता है, जहाँ d₁ और d₂ दो विकर्णों की लंबाई हैं। दिया गया है कि विकर्ण 1:2 के अनुपात में हैं, हम उन्हें d₁ = x और d₂ = 2x के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। प्रश्न में कहा गया है कि विकर्णों की लंबाई का योग 12 सेमी है, जिससे समीकरण x + 2x = 12 बनता है। x के लिए हल करने पर, हमें 3x = 12 प्राप्त होता है, जिससे x = 4 सेमी आता है। परिणामस्वरूप, विकर्णों की लंबाई d₁ = 4 सेमी और d₂ = 8 सेमी है। इन मानों को क्षेत्रफल सूत्र में रखने पर, हमें क्षेत्रफल = 1/2 × 4 × 8 = 16 सेमी² प्राप्त होता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर खींचे गए लम्ब की लम्बाई का सूत्र h = (a × b)/c होता है, जहाँ a और b दो भुजाओं की लम्बाई हैं और c कर्ण की लम्बाई है। सबसे पहले, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण AC की गणना करते हैं: AC = √(AB² + BC²)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, AC = √(5² + 10²) = √(25 + 100) = √125 = 5√5 सेमी। अब, h = (5 × 10)/(5√5) = 50/(5√5) = 10/√5 प्राप्त करने के लिए AB = 5, BC = 10, और AC = 5√5 को लम्ब सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। हर को परिमेय बनाने के लिए, अंश और हर को √5 से गुणा करते हैं, जिससे h = 10√5/5 = 2√5 सेमी प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

V1 = V2 का अर्थ है pi r1^2 h1 = pi r2^2 h2। अतः, r1^2 / r2^2 = h2 / h1। दिया गया है कि h1:h2 = 2:3, तो r1^2 / r2^2 = 3/2। वर्गमूल लेने पर, r1 / r2 = sqrt(3) / sqrt(2)।

व्याख्या

जब किसी आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः x% और y% बढ़ाई जाती है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध वृद्धि = x + y + xy/100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ लंबाई में वृद्धि x = 20 और चौड़ाई में वृद्धि y = 10 है:

शुद्ध वृद्धि = 20 + 10 + (20 × 10)/100 = 30 + 200/100 = 30 + 2 = 32%

वैकल्पिक रूप से, इसे गुणक विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यदि मूल लंबाई L है और चौड़ाई B है, तो मूल क्षेत्रफल L × B है। नई लंबाई 1.20L हो जाती है और नई चौड़ाई 1.10B हो जाती है। नया क्षेत्रफल 1.20L × 1.10B = 1.32LB है। भिन्नात्मक वृद्धि 1.32 - 1 = 0.32 है, जो 32% के बराबर है। इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।

व्याख्या

एक निश्चित कर्ण वाले समकोण त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब त्रिभुज समद्विबाहु (भुजाएँ बराबर) हो। भुजाओं को 'a' मान लीजिए। a^2 + a^2 = 10^2 = 100, इसलिए 2a^2 = 100, और a^2 = 50। अधिकतम क्षेत्रफल = (1/2) a a = (1/2) * 50 = 25 सेमी^2।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r = 201 मिमी है। वृत्त में अंकित वर्ग के लिए, वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। इसलिए, विकर्ण d = 2r। वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ = πr² द्वारा दिया जाता है। वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है Aₛᵩᵤₐᵣₑ = d²/2। इस सूत्र में d = 2r को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Aₛᵩᵤₐᵣₑ = (2r)²/2 = 4r²/2 = 2r² प्राप्त होता है। वृत्त के क्षेत्रफल का वर्ग के क्षेत्रफल से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं: A꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ/Aₛᵩᵤₐᵣₑ = πr²/2r² = π/2। π ≈ 22/7 के मानक मान को प्रतिस्थापित करने पर, अनुपात (22/7)/2 = 22/14 = 11/7 हो जाता है। इससे अनुपात 11:7 प्राप्त होता है, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

चूंकि बेलन का व्यास 20 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 20/2 = 10 सेमी है। एक लम्ब वृत्तीय बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) का सूत्र CSA = 2πrh है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1000 = 2π(10)h प्राप्त होता है, जो 1000 = 20πh को सरल करता है। ऊंचाई h के लिए हल करने पर, हमें h = 1000/(20π) = 50/π सेमी प्राप्त होता है।

बेलन के आयतन (V) का सूत्र V = πr²h है। त्रिज्या r = 10 सेमी और परिकलित ऊंचाई h = 50/π सेमी को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें V = π(10)²(50/π) प्राप्त होता है। अंश और हर में π पद रद्द हो जाते हैं, जिससे V = 100 × 50 = 5000 सेमी³ बचता है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

एक वृत्त के चाप की लम्बाई का सूत्र l = θ/360° × 2πr है, जहाँ l चाप की लम्बाई है, θ डिग्री में केंद्र पर बनाया गया कोण है, r वृत्त की त्रिज्या है, और π लगभग 22/7 है।

दिए गए मान हैं: चाप की लम्बाई l = 33 सेमी त्रिज्या r = 14 सेमी

इन मानों को सूत्र में रखने पर: 33 = θ/360° × 2 × 22/7 × 14

दाहिने पक्ष को सरल करने पर: 33 = θ/360° × 2 × 22 × 2 33 = θ/360° × 88

अब, θ के लिए हल करें: θ = (33 × 360°)/88

33 और 88 को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 11 से विभाजित करने पर: θ = (3 × 360°)/8 θ = 3 × 45° θ = 135°

अतः, वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा बनाया गया कोण 135° है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए अर्धवृत्त में अंकित वर्ग की भुजा s₁ है। इस वर्ग का आधार अर्धवृत्त के व्यास पर स्थित है, और इसके ऊपरी शीर्ष चाप को स्पर्श करते हैं। वृत्त के केंद्र से ऊपरी शीर्ष तक की दूरी त्रिज्या r है। त्रिज्या को कर्ण के रूप में, ऊँचाई को s₁ के रूप में, और आधार को s₁/2 के रूप में एक समकोण त्रिभुज बनाते हुए, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: (s₁/2)² + s₁² = r²। यह 5s₁²/4 = r² तक सरल हो जाता है। इसलिए, अर्धवृत्त में वर्ग का क्षेत्रफल A₁ = s₁² = 4r²/5 है।

अब, मान लीजिए वृत्त में अंकित वर्ग की भुजा s₂ है। वृत्त में अंकित वर्ग के लिए, वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। इस प्रकार, s₂√2 = 2r। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2s₂² = 4r² प्राप्त होता है, जो s₂² = 2r² तक सरल हो जाता है। इसलिए, वृत्त में वर्ग का क्षेत्रफल A₂ = 2r² है।

आवश्यक अनुपात A₁/A₂ = (4r²/5) / (2r²) = 4/10 = 2/5 है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

(x + 2) से x^4 + 0x^3 - x^2 + 7x + 5 को विभाजित करने के लिए सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करना: गुणांक 1, 0, -1, 7, 5 हैं। 1 को नीचे लाना: 1। 1 * (-2) = -2; 0 + (-2) = -2। -2 * (-2) = 4; -1 + 4 = 3। 3 * (-2) = -6; 7 + (-6) = 1। 1 * (-2) = -2; 5 + (-2) = 3 (शेषफल)। भागफल के गुणांक 1, -2, 3, 1 हैं। इस प्रकार a = 1, b = -2, c = 3, d = 1।

व्याख्या

हेरोन के सूत्र का उपयोग करके, अर्ध-परिमाप s = (30 + 28 + 16) / 2 = 37। क्षेत्रफल = sqrt(s (s-a) (s-b) (s-c)) = sqrt(37 (37-30) (37-28) (37-16)) = sqrt(37 7 9 * 21)। जिन राशियों के लघुगणक की आवश्यकता है वे 37, 7, 9 और 21 हैं।

व्याख्या

मान लीजिए log10(1995) = 3.3 (अभिव्यक्ति 3 3000 संभवतः 3.3000 के लिए एक टाइपो है)। मान लीजिए y = (0.001995)^(1/8)। तब log10(y) = (1/8) log10(1995 10^-6) = (1/8) (log10(1995) - 6)। log10(1995) के लिए 3.3 प्रतिस्थापित करने पर, log10(y) = (1/8) * (3.3 - 6) = -2.7 / 8 = -0.3375। इस प्रकार, y = 10^(-0.3375) = 1 / (10^0.3375)।

व्याख्या

(x - a)(x - b)(x - c) का विस्तार इस प्रकार गणना किया जाता है: (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab। फिर (x^2 - (a + b)x + ab)(x - c) = x^3 - cx^2 - (a + b)x^2 + (a + b)cx + abx - abc = x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc।

व्याख्या

s भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = (√3/4)s² द्वारा दिया जाता है। s = 7 सेमी रखने पर, हमें A = (√3/4) × 7² = 49√3/4 मिलता है। हमें log₁₀ A⁴ का मान ज्ञात करना है, जिसे log₁₀ (A⁴) = log₁₀ (49√3/4)⁴ = log₁₀ (49⁴ × (√3)⁴)/(4⁴) = log₁₀ (7⁸ × 3²)/(2⁸) के रूप में लिखा जा सकता है।

लघुगणक गुणों का उपयोग करके, इस व्यंजक का विस्तार 8 log₁₀ 7 + 2 log₁₀ 3 - 8 log₁₀ 2 होता है, जिसे 8(log₁₀ 7 - log₁₀ 2) + 2 log₁₀ 3 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। दिए गए मानों से, log₁₀ 35 = log₁₀ (7 × 5) = log₁₀ 7 + log₁₀ 5 = 1.5441। चूँकि log₁₀ 5 = 1 - log₁₀ 2, हमारे पास log₁₀ 7 + 1 - log₁₀ 2 = 1.5441 है, जो log₁₀ 7 - log₁₀ 2 = 0.5441 को सरल करता है।

इसके अतिरिक्त, log₁₀ 1050 = log₁₀ (3 × 35 × 10) = log₁₀ 3 + log₁₀ 35 + log₁₀ 10 = 3.0212। log₁₀ 35 = 1.5441 और log₁₀ 10 = 1 रखने पर, हमें log₁₀ 3 + 1.5441 + 1 = 3.0212 मिलता है, इसलिए log₁₀ 3 = 3.0212 - 2.5441 = 0.4771।

log₁₀ A⁴ के व्यंजक में इन मानों को रखने पर: log₁₀ A⁴ = 8(0.5441) + 2(0.4771) = 4.3528 + 0.9542 = 5.3070। इस प्रकार, विकल्प a) सही है।

व्याख्या

खोखले गोले में प्रयुक्त पदार्थ का आयतन, जब उसे पिघलाकर शंकु बनाया जाता है, स्थिर रहता है। खोखले गोले का आयतन सूत्र V = 4/3 π (R³ - r³) द्वारा ज्ञात किया जाता है, जहाँ R बाह्य त्रिज्या और r आंतरिक त्रिज्या है। चूँकि बाह्य व्यास 6 सेमी और आंतरिक व्यास 4 सेमी है, इसलिए R = 3 सेमी और r = 2 सेमी। इन मानों को सूत्र में रखने पर, खोखले गोले का आयतन V = 4/3 π (3³ - 2³) = 4/3 π (27 - 8) = 4/3 π × 19 = 76π/3 घन सेमी होता है। शंकु का आयतन सूत्र V = 1/3 π r² h द्वारा दिया जाता है। शंकु का आधार व्यास 8 सेमी दिया गया है, इसलिए शंकु की त्रिज्या r = 4 सेमी है। दोनों आयतनों को बराबर करने पर, हमें 1/3 π (4²) h = 76π/3 प्राप्त होता है। समीकरण को सरल करने पर, 16πh/3 = 76π/3, जिससे 16h = 76 प्राप्त होता है। h के लिए हल करने पर, हमें h = 76/16 = 4.75 सेमी मिलता है। अतः, विकल्प A सही उत्तर है।

व्याख्या

सिलेंडर का प्रारंभिक समतल सतह क्षेत्र शीर्ष और तल वृत्तों से बना है, जिसकी गणना Aᵢₙᵢₜᵢₐₗ = 2πr² के रूप में की जाती है। r = 6 सेमी रखने पर, हमें Aᵢₙᵢₜᵢₐₗ = 2π(6)² = 72π वर्ग सेमी प्राप्त होता है। धातुई सिलेंडर का कुल आयतन V꜀ᵧₗ = πr²h = π(6)²(10) = 360π घन सेमी है। इस आयतन को 1:2 के अनुपात में दो शंकुओं के बीच विभाजित किया जाता है, इसलिए आयतन V₁ = 1/3(360π) = 120π घन सेमी और V₂ = 2/3(360π) = 240π घन सेमी हैं। शंकु आयतन सूत्र V = 1/3πr²h का उपयोग करके, जहां h = 10 सेमी है, हम शंकुओं की त्रिज्याओं के वर्ग ज्ञात करते हैं: r₁² = 3V₁/πh = 3(120π)/π(10) = 36 और r₂² = 3V₂/πh = 3(240π)/π(10) = 72। दो शंकुओं का कुल समतल सतह क्षेत्र उनके आधार क्षेत्रों का योग है, A_final = πr₁² + πr₂² = π(36) + π(72) = 108π वर्ग सेमी। क्षेत्र में वृद्धि 108π - 72π = 36π वर्ग सेमी है। प्रतिशत वृद्धि 36π/72π × 100 = 50% है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पूर्णांक हैं और एक भुजा 15 सेमी है, उसका अधिकतम परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c² का उपयोग करते हैं। परिमाप को अधिकतम करने के लिए, दी गई भुजा 15 कर्ण के बजाय एक लम्ब या आधार होनी चाहिए, क्योंकि कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है। मान लीजिए a = 15। तब हमारे पास c² - b² = 15² है, जो (c - b)(c + b) = 225 के रूप में सरल हो जाता है।

b + c का योग अधिकतम करने के लिए, हमें गुणनखंड (c - b) का सबसे छोटा संभव धनात्मक पूर्णांक मान चाहिए। 225 का सबसे छोटा गुणनखंड 1 है। c - b = 1 और c + b = 225 रखने पर, हम b और c के लिए हल कर सकते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2c = 226 प्राप्त होता है, इसलिए c = 113। दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर 2b = 224 प्राप्त होता है, इसलिए b = 112। इस प्रकार तीन पूर्णांक भुजाएँ 15, 112 और 113 हैं। परिमाप P की गणना P = a + b + c = 15 + 112 + 113 = 240 सेमी के रूप में की जाती है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक कंकाल घन में 12 किनारे होते हैं। 24 फीट की छड़ को 12 बराबर टुकड़ों में काटा गया: प्रत्येक किनारा = 24 ÷ 12 = 2 फीट। एक फलक का क्षेत्रफल = 2² = 4 वर्ग फीट।

व्याख्या

एक समलम्ब ABCD में एक अंतःवृत्त के साथ, भुजा BC की लंबाई शीर्ष B और C से वृत्त तक के स्पर्शरेखाओं के योग के बराबर होती है। दिया गया है EB = 25 सेमी और FC = 16 सेमी, BC की लंबाई की गणना BC = BE + CF = 25 + 16 = 41 सेमी के रूप में की जाती है। चूँकि AD समानांतर आधारों AB और CD के लंबवत है, ऊँचाई AD अंतःवृत्त के व्यास d के बराबर है।

माना अंतःवृत्त की त्रिज्या r है। शीर्ष A से वृत्त तक की स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, इसलिए AE = r। इसी प्रकार, शीर्ष D से वृत्त तक की स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, इसलिए DF = r। इसलिए, आधारों की लंबाई AB = r + 25 और CD = r + 16 है।

C से AB तक एक लंब गिराकर, हम एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ ऊँचाई d है, कर्ण BC = 41 सेमी है, और आधार दो समानांतर भुजाओं के बीच का अंतर है: AB - CD = (r + 25) - (r + 16) = 9 सेमी। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

d² + 9² = 41² d² + 81 = 1681 d² = 1600 d = √1600 = 40 सेमी।

व्याख्या

बड़े गोले का आयतन तीन छोटे गोलों के आयतनों का योग है: (4/3)πR^3 = (4/3)π(3^3 + 4^3 + 5^3) = (4/3)π(27 + 64 + 125) = (4/3)π(216)। इसलिए, R^3 = 216, जिससे R = 6 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का आयतन (2/3)πr³ होता है। दिया गया है (2/3)πr³ = 155232। π = 22/7 का उपयोग करके, हमें (2/3) (22/7) r³ = 155232 मिलता है, जो (44/21)r³ = 155232 को सरल करता है। r³ के लिए हल करना: r³ = (155232 × 21) / 44 = 3528 × 21 = 74088। 74088 का घनमूल 42 है। इस प्रकार, r = 42 सेमी।

व्याख्या

कटे हुए शंकु (truncated cone) के रूप में बाल्टी की क्षमता, शंकु के छिन्नक (frustum of a cone) के आयतन के सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है: V = 1/3 πh(R² + r² + Rr)। ऊपरी सिरे और आधार के व्यास क्रमशः 12 सेमी और 6 सेमी दिए गए हैं, इसलिए हम पहले त्रिज्याएँ ज्ञात करते हैं: R = 12/2 = 6 सेमी और r = 6/2 = 3 सेमी। ऊँचाई h 7 सेमी दी गई है। इन मानों और π = 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें V = 1/3 × 22/7 × 7 × (6² + 3² + 6 × 3) प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल करने पर, अंश और हर में 7 रद्द हो जाते हैं, जिससे V = 22/3 × (36 + 9 + 18) बचता है। यह V = 22/3 × 63 हो जाता है। आगे सरल करने पर V = 22 × 21 प्राप्त होता है, जो 462 सेमी³ के बराबर है। इसलिए, विकल्प (b) सही उत्तर है।

व्याख्या

शंकु की तिर्यक ऊँचाई l, sqrt(r^2 + h^2) = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = 10 सेमी है। एक लम्ब वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl + πr^2 = π(6)(10) + π(6^2) = 60π + 36π = 96π वर्ग सेमी होता है।

व्याख्या

जब भुजा a = 12सेमी वाले छह घनों को एक सिरे से दूसरे सिरे तक जोड़ा जाता है, तो वे l = 6 × 12 = 72सेमी, चौड़ाई w = 12सेमी, और ऊंचाई h = 12सेमी वाले एक घनाभ का निर्माण करते हैं। घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र TSA = 2(lw + wh + lh) द्वारा दिया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें TSA = 2(72 × 12 + 12 × 12 + 12 × 72) प्राप्त होता है। यह TSA = 2(864 + 144 + 864) = 2(1872) = 3744सेमी² तक सरल हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, एक तेज तरीका उजागर चेहरों की गिनती करना है। छह अलग-अलग घनों में 6 × 6 = 36 चेहरे होते हैं। जब एक सिरे से दूसरे सिरे तक जोड़ा जाता है, तो 5 जोड़ होते हैं, और प्रत्येक जोड़ 2 चेहरों को छिपा देता है। इसलिए, उजागर चेहरों की संख्या 36 - (5 × 2) = 26 है। चूँकि एक चेहरे का क्षेत्रफल 12 × 12 = 144सेमी² है, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 26 × 144 = 3744सेमी² है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट वास्तविक संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग समीकरण x + 1/x = 26/5 द्वारा व्यक्त किया जाता है। x के लिए हल करने हेतु, हर को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 5x से गुणा करें, जिससे 5x² + 5 = 26x प्राप्त होता है। इसे मानक द्विघात रूप ax² + bx + c = 0 में पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 5x² - 26x + 5 = 0 प्राप्त होता है।

संभव वास्तविक हलों की संख्या निर्धारित करने के लिए, हम विविक्तकर सूत्र D = b² - 4ac का उपयोग करते हैं। मान a = 5, b = -26, और c = 5 को प्रतिस्थापित करने पर, हम D = (-26)² - 4(5)(5) = 676 - 100 = 576 की गणना करते हैं। चूंकि विविक्तकर धनात्मक है (D > 0), द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए। हम समीकरण का गुणनखंड करके इन मूलों को ज्ञात कर सकते हैं: 5x² - 25x - x + 5 = 0, जो 5x(x - 5) - 1(x - 5) = 0 को सरल करता है, जिससे (5x - 1)(x - 5) = 0 प्राप्त होता है। इससे x = 5 और x = 1/5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, ऐसी दो वास्तविक संख्याएँ हैं, जिससे विकल्प c सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

कथन 1 सही है। दो संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं यदि उनका महत्तम समापवर्तक (GCD) 1 हो। यदि gcd(p, q) = 1 और gcd(p, r) = 1 है, तो p का q के साथ कोई अभाज्य गुणनखंड उभयनिष्ठ नहीं है और न ही r के साथ कोई अभाज्य गुणनखंड उभयनिष्ठ है। चूँकि गुणनफल qr के अभाज्य गुणनखंड केवल q और r के अभाज्य गुणनखंडों का संघ हैं, p का qr के साथ कोई अभाज्य गुणनखंड उभयनिष्ठ नहीं हो सकता। इस प्रकार, gcd(p, qr) = 1, जिससे p गुणनफल qr के साथ सह-अभाज्य हो जाता है।

कथन 2 गलत है। यह आवश्यक है कि p, qr को विभाजित करता है और p, r को विभाजित करता है, इसके लिए यह आवश्यक शर्त है कि p, q के साथ सह-अभाज्य हो, न कि p, q को विभाजित करे। इसे यूक्लिड की लेम्मा के रूप में जाना जाता है। कथन 2 को गलत सिद्ध करने के लिए, p = 2, q = 2, और r = 3 पर विचार करें। यहाँ, p, q को विभाजित करता है क्योंकि 2, 2 को विभाजित करता है, और p, गुणनफल qr को विभाजित करता है क्योंकि 2, 6 को विभाजित करता है। हालाँकि, p, r को विभाजित नहीं करता है क्योंकि 2, 3 को विभाजित नहीं करता है। इसलिए, यह शर्त कि p, q को विभाजित करता है, p को r को विभाजित करने के लिए बाध्य नहीं करती है। इस प्रकार, केवल विकल्प a सही है।

व्याख्या

मान लीजिए राधा की वर्तमान आयु Rd और रानी की वर्तमान आयु Rn है। पाँच वर्ष पूर्व: Rd - 5 = 3(Rn - 5) => Rd - 3Rn = -10। एक वर्ष पूर्व: Rd - 1 = 2(Rn - 1) => Rd - 2Rn = -1। दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर Rn = 9 प्राप्त होता है। तब Rd = 2(9) - 1 = 17। आयु का अंतर 17 - 9 = 8 है।

व्याख्या

समीकरण 5x + 7y = 500 है, जहाँ x और y धनात्मक पूर्णांक हैं। 7y = 5(100 - x), जिसका अर्थ है कि 7y, 5 का गुणज होना चाहिए, इसलिए y, 5 का गुणज होना चाहिए (y = 5k)। y = 5k प्रतिस्थापित करने पर: 7(5k) = 5(100 - x) => 7k = 100 - x => x = 100 - 7k। x >= 1 के लिए, 100 - 7k >= 1 => 7k <= 99 => k <= 14। y >= 1 के लिए, k >= 1। इस प्रकार, k, 1 से 14 तक कोई भी पूर्णांक हो सकता है, जिससे 14 तरीके मिलते हैं।

व्याख्या

y = k / √x। दिया गया है कि y = 36 और x = 36, 36 = k / √36 = k / 6, इसलिए k = 216। जब y = 54, 54 = 216 / √x => √x = 216 / 54 = 4, इसलिए x = 16।

व्याख्या

हम एक ऐसे मान की तलाश करते हैं कि (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 16 + 6√7 हो। 2ab = 6√7 रखने पर ab = 3√7 मिलता है। a = 3 और b = √7 का परीक्षण करने पर, हमें a^2 + b^2 = 9 + 7 = 16 मिलता है। इस प्रकार, 16 + 6√7 = (3 + √7)^2 है, और इसका वर्गमूल 3 + √7 है।

व्याख्या

अंकों की संख्या = floor(log10(N)) + 1. 7^25 के लिए: 25 * 0.845 = 21.125, अंक = 22. 8^23 के लिए: 23 * log10(2^3) = 23 * 3 * 0.301 = 69 * 0.301 = 20.769, अंक = 21. 9^20 के लिए: 20 * log10(3^2) = 20 * 2 * 0.477 = 40 * 0.477 = 19.08, अंक = 20. अंकों की संख्या 22, 21, और 20 है।

व्याख्या

प्रश्न में सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या x ज्ञात करने के लिए कहा गया है जो दो शर्तों को पूरा करती है: x ≡ 7 (mod 14) और x ≡ 5 (mod 15)। पहली शर्त का उपयोग करके, हम x को x = 14k + 7 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। k ज्ञात करने के लिए हम इस व्यंजक को दूसरी शर्त में प्रतिस्थापित करते हैं: 14k + 7 ≡ 5 (mod 15) 14k ≡ -2 (mod 15) चूंकि 14 ≡ -1 (mod 15), हम सर्वांगसमता को सरल बना सकते हैं: -1k ≡ -2 (mod 15) दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर: k ≡ 2 (mod 15) k का सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान k = 2 है। इस मान को x के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 14(2) + 7 = 28 + 7 = 35 दूसरी शर्त के साथ सत्यापन करने पर, 35 ÷ 15 का भागफल 2 और शेषफल 5 आता है, जो सही है। चूंकि x = 35 है, यह 30 < x < 40 की सीमा को संतुष्ट करता है, जिससे विकल्प b सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि जल टंकी की कुल क्षमता 1 इकाई है। नल X की खाली करने की दर Rₓ = 1/20 टंकी प्रति मिनट है। जब नल X और Y दोनों खोले जाते हैं, तो खाली करने की संयुक्त दर Rₓ₊ᵧ = 1/15 टंकी प्रति मिनट होती है। संयुक्त प्रयासों के लिए कार्य-दर सूत्र के अनुसार, Rₓ₊ᵧ = Rₓ + Rᵧ। नल Y की अकेले दर ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को Rᵧ = Rₓ₊ᵧ - Rₓ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Rᵧ = 1/15 - 1/20 प्राप्त होता है। 60 का सामान्य भाजक ज्ञात करने पर, गणना Rᵧ = 4/60 - 3/60 = 1/60 टंकी प्रति मिनट हो जाती है। नल Y द्वारा पूरी टंकी खाली करने के लिए आवश्यक समय उसकी दर का व्युत्क्रम होता है: समय = 1 / Rᵧ = 1 / (1/60) = 60 मिनट। इसलिए, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

कथन 1 गलत है क्योंकि √75 को √(25 × 3) = 5√3 के रूप में सरल किया जा सकता है। चूँकि √3 एक सुप्रसिद्ध अपरिमेय संख्या है, इसका कोई भी अशून्य परिमेय गुणज भी अपरिमेय होता है।

कथन 2 सही है। असमानता -4x/5 < -7/8 के लिए एक धनात्मक पूर्णांक x के अस्तित्व की जाँच करने के लिए, हम दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं और असमानता चिह्न को पलट देते हैं ताकि 4x/5 > 7/8 प्राप्त हो। 5/4 से गुणा करने पर x > 35/32 प्राप्त होता है, जो लगभग x > 1.09375 है। कोई भी धनात्मक पूर्णांक x ≥ 2 इस शर्त को पूरा करता है।

कथन 3 गलत है क्योंकि यह x के सभी वास्तविक मानों के लिए सत्य नहीं है। व्यंजक को सरल करने पर (x - 2)/x = 1 - 2/x प्राप्त होता है। असमानता 1 - 2/x < 1 को सरल करने पर -2/x < 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है 2/x > 0। यह केवल तब सत्य होता है जब x धनात्मक हो। यदि x ऋणात्मक है, जैसे x = -1, तो व्यंजक (-1 - 2)/-1 = 3 हो जाता है, और 3, 1 से कम नहीं है।

कथन 4 सही है क्योंकि 4.232323.... एक अनवसानी आवर्ती दशमलव है। कोई भी आवर्ती दशमलव एक परिमेय संख्या होती है और इसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि n = 4.2323..., तो 100n = 423.2323..., इसलिए 99n = 419, जिसका अर्थ है n = 419/99।

इसलिए, केवल कथन 2 और 4 सही हैं, जिससे विकल्प d सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

शनिवार से शुरू होने वाले 30 दिनों के महीने में 5 शनिवार और 5 रविवार होते हैं (रविवार 2, 9, 16, 23, 30 को हैं)। अन्य दिन = 30 - 5 = 25। कुल आगंतुक = (5 × 510) + (25 × 240) = 2550 + 6000 = 8550। प्रति दिन औसत = 8550 / 30 = 285।

व्याख्या

36/11 = 3 + 3/11। इसलिए 1/(x + 1/(y + 1/z)) = 3/11, जिसका अर्थ है x + 1/(y + 1/z) = 11/3 = 3 + 2/3। अतः x = 3। फिर 1/(y + 1/z) = 2/3, जिसका अर्थ है y + 1/z = 3/2 = 1 + 1/2। अतः y = 1 और z = 2। योग x + y + z = 3 + 1 + 2 = 6।

व्याख्या

जब दो वस्तुओं को समान विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, जहाँ एक को x% के लाभ पर और दूसरे को x% की हानि पर बेचा जाता है, तो हमेशा शुद्ध हानि होती है। समग्र हानि प्रतिशत की गणना के लिए शॉर्टकट सूत्र हानि % = x²/100 द्वारा दिया जाता है। इस समस्या में, प्रत्येक वस्तु का विक्रय मूल्य रु. 990 है और सामान्य प्रतिशत मान x 10 है। सूत्र में x का मान रखने पर, हमें हानि % = 10²/100 = 100/100 = 1% प्राप्त होता है। इसलिए, दोनों वस्तुओं के लिए संयुक्त परिणाम 1% की हानि है, जो विकल्प a से मेल खाता है। यह विधि प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में ऐसी समस्याओं को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है क्योंकि इसमें दोनों वस्तुओं के व्यक्तिगत क्रय मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए कार और ट्रेन की गति क्रमशः किमी/घंटा में v_c और v_t हैं। समय = दूरी/गति सूत्र का उपयोग करके, हम दी गई शर्तों के आधार पर दो समीकरण स्थापित कर सकते हैं।

पहले मामले में, 120 किमी ट्रेन से और 480 किमी कार से 11 घंटे में तय किया जाता है: 120/v_t + 480/v_c = 11 (समीकरण 1)

दूसरे मामले में, 200 किमी ट्रेन से और 400 किमी कार से 11 घंटे 40 मिनट में तय किया जाता है। चूँकि 40 मिनट 40/60 = 2/3 घंटे हैं, कुल समय 11 + 2/3 = 35/3 घंटे है: 200/v_t + 400/v_c = 35/3 (समीकरण 2)

समीकरण 2 से समीकरण 1 घटाने पर: (200 - 120)/v_t + (400 - 480)/v_c = 35/3 - 11 80/v_t - 80/v_c = 2/3 80 से भाग देने पर, हमें 1/v_t - 1/v_c = 2/(3 × 80) = 1/120 (समीकरण 3) प्राप्त होता है।

अब, समीकरण 1 को 120 से भाग दें: 1/v_t + 4/v_c = 11/120 (समीकरण 4)

समीकरण 4 से समीकरण 3 घटाने पर: (1/v_t + 4/v_c) - (1/v_t - 1/v_c) = 11/120 - 1/120 5/v_c = 10/120 = 1/12 v_c = 60 किमी/घंटा

समीकरण 3 में v_c = 60 प्रतिस्थापित करने पर: 1/v_t - 1/60 = 1/120 1/v_t = 1/120 + 2/120 = 3/120 = 1/40 v_t = 40 किमी/घंटा

कार की गति का ट्रेन की गति से अनुपात v_c : v_t = 60 : 40 = 3 : 2 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

माना f(x) = x - x^2 है। अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम अवकलज f'(x) = 1 - 2x लेते हैं और इसे 0 के बराबर रखते हैं, जिससे x = 0.5 प्राप्त होता है। द्वितीय अवकलज f''(x) = -2 ऋणात्मक है, जो एक अधिकतम मान की पुष्टि करता है।

व्याख्या

सबसे बड़ा n ज्ञात करने के लिए जिससे 10ⁿ गुणनफल को विभाजित करता है, अभाज्य गुणनखंड करें (10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ, इसलिए n = min(2 की घात, 5 की घात))।

6²³ = 2²³ × 3²³ 75⁹ = (3 × 5²)⁹ = 3⁹ × 5¹⁸ 100 = 2² × 5²

संयुक्त: 2²³⁺² × 5¹⁸⁺² × 3³² = 2²⁵ × 5²⁰ × 3³²

n = min(25, 20) = 20

व्याख्या

3^k का इकाई अंक 4 का एक चक्र अनुसरण करता है: 3, 9, 7, 1। 3^98 के लिए, 98 mod 4 = 2, इसलिए इकाई अंक 9 है। 3^89 के लिए, 89 mod 4 = 1, इसलिए इकाई अंक 3 है। 3^98 - 3^89 का इकाई अंक 9 - 3 = 6 है।

व्याख्या

माना चार क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ x, x+1, x+2, x+3 हैं। उनके वर्गों का योग x^2 + (x+1)^2 + (x+2)^2 + (x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 14 = 294 है। इसे सरल करने पर 4x^2 + 12x - 280 = 0, या x^2 + 3x - 70 = 0 प्राप्त होता है। गुणनखंड करने पर (x+10)(x-7) = 0 प्राप्त होता है। चूँकि x प्राकृतिक होना चाहिए, x = 7। संख्याएँ 7, 8, 9, 10 हैं, और उनका योग 34 है।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग -b/a द्वारा और मूलों का गुणनफल c/a द्वारा दिया जाता है। दिए गए समीकरण x² + px + q = 0 में, गुणांक a = 1, b = p, और c = q हैं। चूँकि मूलों को p और q बताया गया है, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली स्थापित कर सकते हैं: मूलों का योग: p + q = -p/1 = -p मूलों का गुणनफल: p ⋅ q = q/1 = q गुणनफल समीकरण pq = q से, हम दोनों पक्षों को q से विभाजित कर सकते हैं क्योंकि समस्या में q ≠ 0 निर्दिष्ट है, जिससे सीधे p = 1 प्राप्त होता है। अब, योग समीकरण में p = 1 को प्रतिस्थापित करें: 1 + q = -1। q के लिए हल करने पर q = -1 - 1 = -2 प्राप्त होता है। इसलिए, p और q के मान क्रमशः 1 और -2 हैं, जिससे विकल्प A सही उत्तर है।

व्याख्या

x^2 - y^2 = 35 का अर्थ है (x-y)(x+y) = 35। 35 के गुणनखंड जोड़े (1, 35) और (5, 7) हैं। स्थिति 1: x-y=1, x+y=35 => 2x=36, x=18, y=17। स्थिति 2: x-y=5, x+y=7 => 2x=12, x=6, y=1। ऐसे 2 जोड़े हैं।

व्याख्या

चूंकि (b-6), x^2 - 6x + b = 0 का एक मूल है, x = b-6 रखने पर (b-6)^2 - 6(b-6) + b = 0 प्राप्त होता है। इसका विस्तार करने पर: b^2 - 12b + 36 - 6b + 36 + b = 0 => b^2 - 17b + 72 = 0। गुणनखंड करने पर (b-8)(b-9) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए b = 8 या b = 9। b² का अधिकतम मान 9² = 81 है।

व्याख्या

a = √(7 + 4√3)। ध्यान दें कि 7 + 4√3 = (2 + √3)²। इसलिए a = 2 + √3। तब 1/a = 1 / (2 + √3) = 2 - √3। योग a + 1/a = (2 + √3) + (2 - √3) = 4।

व्याख्या

1 / (x^2 + 5x + 10) को अधिकतम करने के लिए, हमें हर g(x) = x^2 + 5x + 10 को न्यूनतम करना होगा। न्यूनतम मान x = -b/2a = -5/2 = -2.5 पर होता है। g(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 10 = 6.25 - 12.5 + 10 = 3.75 = 15/4। अधिकतम मान 1 / (15/4) = 4/15 है।

व्याख्या

किया गया कार्य = (श्रमिक * दिन)। अनुपात [(x + 2)(x - 3)] / [(x + 4)(x - 2)] = 3/4 है। तिरछा गुणा करने पर: 4(x^2 - x - 6) = 3(x^2 + 2x - 8) => 4x^2 - 4x - 24 = 3x^2 + 6x - 24 => x^2 - 10x = 0। चूँकि x का मान 3 से अधिक होना चाहिए, इसलिए x = 10।

व्याख्या

कथन (a) सही है क्योंकि एक अभाज्य संख्या को 1 से बड़ी प्राकृतिक संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके ठीक दो भिन्न धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और स्वयं। चूँकि 1 का केवल एक भाजक होता है, यह न तो अभाज्य हो सकता है और न ही भाज्य, क्योंकि भाज्य संख्याओं के लिए दो से अधिक भाजक की आवश्यकता होती है। कथन (b) गणितीय रूप से सटीक है क्योंकि 0 योज्य तत्समक है और धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच सीमा का काम करता है, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी श्रेणी में नहीं आता है। कथन (c) समता (parity) के गुणों के आधार पर गलत है। गुणनफल p × q के सम होने के लिए, यह आवश्यक है कि पूर्णांक p या q में से कम से कम एक सम हो। एक सरल प्रति-उदाहरण p = 2 और q = 3 है; यहाँ, p × q = 6, जो सम है, फिर भी q विषम है। इस प्रकार, यह दावा कि दोनों हमेशा सम होने चाहिए, गलत है। कथन (d) संख्या सिद्धांत का एक मौलिक तथ्य है, क्योंकि √2 एक अनावर्ती, अनावर्ती दशमलव है जिसे a/b के सरल भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जहाँ a और b पूर्णांक हैं।

व्याख्या

माना n^2 + 19n + 92 = k^2। 4 से गुणा करने पर: 4n^2 + 76n + 368 = 4k^2 => (2n + 19)^2 + 7 = (2k)^2 => (2k)^2 - (2n + 19)^2 = 7। यह वर्गों का अंतर है: (2k - (2n + 19))(2k + (2n + 19)) = 7। 7 के गुणनखंड जोड़े (1, 7), (7, 1), (-1, -7), और (-7, -1) हैं। (2k + 2n + 19) - (2k - 2n - 19) = 4n + 38 = 7 - 1 = 6 को हल करने पर n = -8 मिलता है। 4n + 38 = 1 - 7 = -6 को हल करने पर n = -11 मिलता है। पूर्णांक मानों का योग -8 + (-11) = -19 है।

व्याख्या

पहला बहुपद x³ + 3x² + 3x + 1, बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का अनुसरण करता है, जिससे इसे (x + 1)³ के रूप में लिखा जा सकता है। तीसरा बहुपद x² + 5x + 4 एक द्विघात व्यंजक है जिसे मध्य पद 5x को 4x + x में विभाजित करके गुणनखंडित किया जा सकता है, जिससे (x + 1)(x + 4) प्राप्त होता है। दूसरे बहुपद x³ + 5x² + 5x + 4 के लिए, हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं। x = -4 का परीक्षण करने पर (-4)³ + 5(-4)² + 5(-4) + 4 = -64 + 80 - 20 + 4 = 0 प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि (x + 4) एक गुणनखंड है। बहुपद विभाजन का उपयोग करके x³ + 5x² + 5x + 4 को (x + 4) से विभाजित करने पर भागफल x² + x + 1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, दूसरा बहुपद (x + 4)(x² + x + 1) के रूप में गुणनखंडित होता है। बहुपदों का LCM सभी भिन्न गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है जो व्यंजकों में मौजूद होते हैं। भिन्न गुणनखंड (x + 1) उच्चतम घात (x + 1)³ के साथ, (x + 4) उच्चतम घात (x + 4)¹ के साथ, और (x² + x + 1) उच्चतम घात (x² + x + 1)¹ के साथ हैं। इन्हें एक साथ गुणा करने पर, हमें (x + 1)³(x + 4)(x² + x + 1) प्राप्त होता है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए a = x - y, b = y - z, और c = z - x। सबसे पहले, इन चरों के योग का निरीक्षण करें: a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0। बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc। इस सर्वसमिका में मूल पदों को वापस प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि अंश (x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ = 3(x - y)(y - z)(z - x)। अब, इस परिणाम को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 3(x - y)(y - z)(z - x) / 9(x - y)(y - z)(z - x)। अंश और हर से उभयनिष्ठ पदों (x - y)(y - z)(z - x) को रद्द करके, व्यंजक 3/9 तक सरल हो जाता है, जो आगे 1/3 तक कम हो जाता है। इसलिए, विकल्प (b) सही मान है।

व्याख्या

X = {a, {b}, c} और Y = {{a}, b, c} है। सर्वनिष्ठ X ∩ Y = {c} है। तब (X ∩ Y) ∩ Z = {c} ∩ {a, b, {c}} है। चूँकि c, Z का अवयव नहीं है (केवल {c} है), सर्वनिष्ठ रिक्त (Φ) है।

व्याख्या

ax² + bx + c = 0 के रूप के एक द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योगफल -b/a सूत्र द्वारा दिया जाता है और मूलों का गुणनफल c/a सूत्र द्वारा दिया जाता है। दिए गए समीकरण px² + 3x + 2q = 0 की मानक रूप से तुलना करने पर, हम a = p, b = 3, और c = 2q की पहचान करते हैं।

समस्या के अनुसार, मूलों का योगफल -6 है। सूत्र -b/a = -6 का उपयोग करके, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं ताकि -3/p = -6 प्राप्त हो। p के लिए हल करने पर, हमें 6p = 3 मिलता है, जिससे p = 1/2 प्राप्त होता है।

इसके बाद, मूलों का गुणनफल भी -6 दिया गया है। सूत्र c/a = -6 का उपयोग करके, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं ताकि 2q/p = -6 प्राप्त हो। अब, p = 1/2 के मान को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2q / (1/2) = -6 मिलता है, जो 4q = -6 को सरल करता है। q के लिए हल करने पर, हमें q = -6/4 = -3/2 प्राप्त होता है।

(p - q) का मान ज्ञात करने के लिए, हम p और q के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (p - q) = 1/2 - (-3/2) = 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2।

इस प्रकार, मान 2 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।