सीडीएस II 2012 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

X खरीदें Y मुफ्त पाएं योजनाओं में छूट प्रतिशत की गणना ग्राहक द्वारा घर ले जाए जाने वाले कुल वस्तुओं की संख्या से मुफ्त वस्तुओं की संख्या को विभाजित करके की जाती है। सूत्र है छूट % = (मुफ्त वस्तुएं/कुल वस्तुएं) × 100। इस विशिष्ट मामले में, भंडार 3 वस्तुएं खरीदने पर 1 मुफ्त वस्तु प्रदान करता है, जिसका अर्थ है कि ग्राहक को प्राप्त कुल वस्तुओं की संख्या 3 + 1 = 4 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें छूट % = (1/4) × 100 प्राप्त होता है। यह 25% तक सरल हो जाता है। इसलिए, विकल्प (b) सही उत्तर है क्योंकि ग्राहक 3 के मूल्य पर 4 वस्तुएं प्राप्त करता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल मूल्य का एक चौथाई शुद्ध बचत होती है।

व्याख्या

किसी काम को पूरा करने में लगने वाला समय उस काम को करने वाले व्यक्ति की दक्षता के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इस संबंध को सूत्र Eₓ × Tₓ = Eᵧ × Tᵧ द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ E दक्षता और T समय को दर्शाता है। यह देखते हुए कि X को 25 दिन लगते हैं, Tₓ = 25। चूँकि Y, X से 25% अधिक कुशल है, Y की दक्षता को Eᵧ = Eₓ × (1 + 25/100) = 1.25 Eₓ, या Eᵧ = 5/4 Eₓ के रूप में लिखा जा सकता है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें Eₓ × 25 = 5/4 Eₓ × Tᵧ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से Eₓ को रद्द करने पर, हमारे पास 25 = 5/4 Tᵧ है। Tᵧ के लिए हल करने पर Tᵧ = (25 × 4)/5 = 5 × 4 = 20 दिन प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी की लंबाई L है। सूत्र गति = दूरी/समय के अनुसार, एक खंभे को पार करते समय रेलगाड़ी की गति गति = L/10 है। जब रेलगाड़ी 200 मीटर लंबे प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी रेलगाड़ी की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है, जिसका अर्थ है गति = (L + 200)/20। चूँकि रेलगाड़ी की गति स्थिर रहती है, हम इन दो व्यंजकों को बराबर कर सकते हैं: L/10 = (L + 200)/20। तिरछा गुणा करके या हर को सरल बनाकर, हमें 2L = L + 200 मिलता है, जिससे L = 200 मीटर प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, प्रतियोगी परीक्षा शॉर्टकट का उपयोग करके, रेलगाड़ी को अतिरिक्त 200 मीटर प्लेटफॉर्म को कवर करने में 20 सेकंड - 10 सेकंड = 10 सेकंड लगते हैं। चूंकि यह दिया गया है कि रेलगाड़ी को अपनी लंबाई को कवर करने में 10 सेकंड लगते हैं, इसलिए यह आवश्यक है कि रेलगाड़ी की लंबाई उस दूरी के बराबर हो जो वह 10 सेकंड में तय करती है, जो कि 200 मीटर है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प c सही है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की उन समस्याओं के लिए जहाँ कोई राशि अपने मूल मान का n गुना हो जाती है, इसे हल करने का सबसे तेज़ तरीका सूत्र T₁/T₂ = (n₁ - 1)/(n₂ - 1) का उपयोग करना है, जहाँ T समय है और n मूलधन का गुणक है।

पहले मामले में, राशि T₁ = 5 वर्षों में n₁ = 3 गुना हो जाती है। दूसरे मामले में, राशि T₂ वर्षों में n₂ = 6 गुना हो जाती है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5/T₂ = (3 - 1)/(6 - 1) 5/T₂ = 2/5

T₂ ज्ञात करने के लिए तिरछा गुणा करने पर: 2 T₂ = 5 × 5 2 T₂ = 25 T₂ = 12.5 वर्ष

इसके पीछे का तर्क यह है कि साधारण ब्याज केवल मूलधन पर अर्जित किया जाता है। मूलधन का 3 गुना होने के लिए, अर्जित ब्याज 2P होना चाहिए (क्योंकि राशि = मूलधन + ब्याज)। मूलधन का 6 गुना होने के लिए, अर्जित ब्याज 5P होना चाहिए। चूंकि स्थिर दर पर ब्याज सीधे समय के समानुपाती होता है, इसलिए लिया गया समय 5/2 × 5 = 12.5 वर्ष है। अतः, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या

कुल छात्र = 2400। लड़कों और लड़कियों का अनुपात = 7:5। कुल भाग = 7 + 5 = 12। लड़कियों की संख्या = (5/12) * 2400 = 1000।

व्याख्या

लोगों की संख्या दिनों की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है। सूत्र M1D1 = M2D2 का उपयोग करके: 45 18 = M2 15। M2 = (45 18) / 15 = 3 18 = 54।

व्याख्या

80 सेबों का कुल लागत मूल्य (CP) 240 रुपये है। 20% का लाभ कमाने के लिए, कुल विक्रय मूल्य (SP) 240 × (1 + 20/100) = 240 × 1.2 = 288 रुपये होना चाहिए। प्रति सेब लागत मूल्य 240/80 = 3 रुपये है। व्यापारी अपने मित्र को एक-चौथाई सेब लागत मूल्य पर देता है, जिसका अर्थ है कि 1/4 × 80 = 20 सेब प्रत्येक 3 रुपये की दर से बेचे जाते हैं। इन सेबों से अर्जित राशि 20 × 3 = 60 रुपये है। कुल लक्ष्य SP 288 रुपये प्राप्त करने के लिए, शेष सेबों से वसूल की जाने वाली शेष राशि 288 - 60 = 228 रुपये है। शेष सेबों की संख्या 80 - 20 = 60 है। इसलिए, शेष प्रत्येक सेब का विक्रय मूल्य 228/60 = 3.8 रुपये है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

सबसे छोटी चार अंकों की संख्या 1000 है। 1000 का वर्गमूल लगभग 31.62 है। अगली पूर्ण संख्या 32 है, और 32^2 = 1024।

व्याख्या

संख्या प्रणाली एक पदानुक्रमित संरचना का अनुसरण करती है जहाँ संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय एक बड़े समुच्चय के भीतर समाहित होता है। प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं, जो पूर्णांकों Z का एक उपसमुच्चय हैं, जो बदले में परिमेय संख्याओं Q का एक उपसमुच्चय हैं, और परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं R का एक उपसमुच्चय हैं।

कथन 1 सही है क्योंकि किसी भी पूर्णांक n को n/1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ अंश और हर दोनों पूर्णांक हैं और हर शून्य नहीं है। यह एक परिमेय संख्या की औपचारिक परिभाषा को संतुष्ट करता है।

कथन 2 सही है क्योंकि वास्तविक संख्याओं R के समुच्चय को परिमेय संख्याओं Q के समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं के समुच्चय के संघ के रूप में परिभाषित किया गया है। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या इस संघ का एक सदस्य है, इसलिए प्रत्येक परिमेय संख्या आवश्यक रूप से एक वास्तविक संख्या होती है। इस प्रकार, कथन 1 और 2 दोनों तार्किक और गणितीय रूप से सुदृढ़ हैं, जिससे विकल्प (c) सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए, म.स.प.(a, b) × ल.स.प.(a, b) = a × b। इसलिए, 18 और 15 के म.स.प. और ल.स.प. का गुणनफल 18 × 15 = 270 है।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, सबसे तेज गणना के लिए घातांक के नियमों और वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करें। प्रत्येक पद को 3 और 10 की घात के गुणनफल के रूप में लिखें: 3 = 3 × 10⁰ 0.3 = 3 × 10⁻¹ 0.03 = 3 × 10⁻² 0.003 = 3 × 10⁻³ 0.0003 = 3 × 10⁻⁴ 30 = 3 × 10¹

अब, इन मानों को एक साथ गुणा करें: व्यंजक = (3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (10⁰ × 10⁻¹ × 10⁻² × 10⁻³ × 10⁻⁴ × 10¹) = 3⁶ × 10⁽⁰ ⁻ ¹ ⁻ ² ⁻ ³ ⁻ ⁴ ⁺ ¹⁾ = 3⁶ × 10⁻⁹

परिणाम को दिए गए विकल्पों से मिलाने के लिए, विकल्पों को आधार 3 के रूप में व्यक्त करें: विकल्प B है (0.009)³। (0.009)³ = (9 × 10⁻³)³ = 9³ × (10⁻³)³ = (3²)³ × 10⁻⁹ = 3⁶ × 10⁻⁹

चूंकि व्यंजक के परिकलित मान का विस्तारित रूप विकल्प B से मेल खाता है, इसलिए उत्तर (0.009)³ है।

व्याख्या

मान लीजिए x = 0.242424... जिसे 0.24̅ के रूप में लिखा जा सकता है। इस आवर्ती दशमलव में, आवर्त में दो अंक, 2 और 4 हैं। एक शुद्ध आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलने का मानक सूत्र यह है कि आवर्ती अंकों को अंश में रखा जाए और हर में उतने ही 9 की संख्या रखी जाए जितने आवर्ती अवधि में अंक हों। इस सूत्र को लागू करने पर, हमें x = 24/99 मिलता है। इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 3 है, से विभाजित करें। 24 को 3 से विभाजित करने पर 8 मिलता है, और 99 को 3 से विभाजित करने पर 33 मिलता है। इसलिए, 0.242424... का मान 8/33 है, जो विकल्प (b) के अनुरूप है।

व्याख्या

संयुक्त श्रमिकों की दक्षता कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रम (reciprocal) को लेकर गणना की जा सकती है। मान लीजिए A, B और C की दक्षता क्रमशः A, B और C है। हमें दिया गया है: A + B = 1/10 B + C = 1/15 A + C = 1/12

इन तीन समीकरणों को जोड़ने पर 2(A + B + C) = 1/10 + 1/15 + 1/12 प्राप्त होता है। दाहिने पक्ष को हल करने के लिए, हम 60 के सामान्य भाजक (common denominator) का उपयोग करते हैं: 2(A + B + C) = (6 + 4 + 5)/60 = 15/60 = 1/4 इस प्रकार, तीनों की संयुक्त दक्षता A + B + C = 1/4 × 1/2 = 1/8 है।

B की स्वतंत्र दक्षता ज्ञात करने के लिए, हम A, B और C की कुल दक्षता में से A और C की संयुक्त दक्षता को घटाते हैं: B = (A + B + C) - (A + C) B = 1/8 - 1/12 24 के सामान्य भाजक का उपयोग करते हुए: B = (3 - 2)/24 = 1/24

B द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लगने वाला समय B की दक्षता का व्युत्क्रम है: समय = 1 / (1/24) = 24 घंटे। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्याएँ x और y हैं। x^2 + y^2 = 97 और (x - y)^2 = 25। दूसरे समीकरण का विस्तार करने पर: x^2 + y^2 - 2xy = 25। पहले समीकरण को प्रतिस्थापित करने पर: 97 - 2xy = 25। तब 2xy = 72, इसलिए xy = 36।

व्याख्या

माना Y की वर्तमान आयु y वर्ष है। प्रश्न में दी गई पहली शर्त के अनुसार, X की वर्तमान आयु Y की आयु की छः गुनी है, इसलिए X की आयु 6y वर्ष है। 4 वर्ष बाद, Y की आयु y + 4 होगी और X की आयु 6y + 4 होगी। समस्या बताती है कि इस समय, X, Y से चार गुना बड़ा होगा, जिससे रैखिक समीकरण 6y + 4 = 4(y + 4) बनता है। दाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करने पर, हमें 6y + 4 = 4y + 16 प्राप्त होता है। y के लिए हल करने के लिए, हम चरों को एक तरफ और स्थिरांकों को दूसरी तरफ ले जाते हैं: 6y - 4y = 16 - 4, जो 2y = 12 तक सरल हो जाता है। 2 से भाग देने पर, हमें y = 6 प्राप्त होता है। इस प्रकार, Y की वर्तमान आयु 6 वर्ष है, जिससे विकल्प (c) सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

मिश्रण का कुल भार = 15 किग्रा दूध + 3 किग्रा पानी = 18 किग्रा। मिश्रण का कुल मूल्य = 18 किग्रा * रु. 22/किग्रा = रु. 396। चूँकि पानी मुफ्त है, इसलिए 15 किग्रा दूध का मूल्य रु. 396 है। दूध का क्रय मूल्य प्रति किलोग्राम = 396 / 15 = रु. 26.40।

व्याख्या

प्रतिशत समस्याओं में, 'का' (of) का अर्थ गुणन होता है। 500 के 50% का 5% ज्ञात करने के लिए, हम सीधे गुणन सूत्र लागू कर सकते हैं: परिणाम = 5/100 × 50/100 × मान। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें परिणाम = 5/100 × 50/100 × 500 प्राप्त होता है। इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, पहले भिन्नों को सरल करें: 50/100 सरल होकर 1/2 हो जाता है। अब व्यंजक 5/100 × 1/2 × 500 बन जाता है। आगे सरलीकरण करने पर 5/100 × 250 प्राप्त होता है। 250 को 100 से विभाजित करने पर 2.5 प्राप्त होता है, और 5 को 2.5 से गुणा करने पर 12.5 प्राप्त होता है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

भाजकों की संख्या: 88 (2^3 11) में (3+1)(1+1)=8 भाजक हैं। 91 (7 13) में (1+1)(1+1)=4 भाजक हैं। 96 (2^5 3) में (5+1)(1+1)=12 भाजक हैं। 99 (3^2 11) में (2+1)(1+1)=6 भाजक हैं। 91 में सबसे कम भाजक हैं।

व्याख्या

इस समस्या में दो क्रमिक छूट लागू करने के बाद अंतिम भुगतान की गई राशि की गणना करना शामिल है। जब कई छूटें क्रमिक रूप से लागू की जाती हैं तो अंतिम मूल्य का सूत्र है: अंतिम मूल्य = प्रारंभिक मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)। इस मामले में, सूची मूल्य 5,000 रुपये है, पहली छूट d₁ 10 प्रतिशत है, और दूसरी नकद छूट d₂ 2 प्रतिशत है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: अंतिम मूल्य = 5000 × (1 - 10/100) × (1 - 2/100) अंतिम मूल्य = 5000 × 0.90 × 0.98

सबसे पहले, प्रारंभिक 10 प्रतिशत छूट के बाद मूल्य की गणना करें: 5000 × 0.90 = 4500। इसके बाद, इस घटी हुई कीमत पर 2 प्रतिशत नकद छूट लागू करें: 4500 × 0.98 = 4500 - (0.02 × 4500) = 4500 - 90 = 4410।

व्यक्ति टेलीविजन सेट के लिए वास्तव में 4,410 रुपये का भुगतान करता है, जो विकल्प ए से मेल खाता है।

व्याख्या

कुल निवासी = 19,35,000। महिलाएं = 935,000। पुरुष = 19,35,000 - 935,000 = 10,00,000। लिंगानुपात = (महिलाएं / पुरुष) 1000 = (935,000 / 10,00,000) 1000 = 935।

व्याख्या

तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, दूरी के मूल सूत्र का उपयोग करें: दूरी = गति × समय।

सबसे पहले, सुबह 10.40 बजे और दोपहर 1.00 बजे के बीच कुल समय अंतराल की गणना करें। सुबह 10.40 बजे से सुबह 11.00 बजे तक 20 मिनट हैं, और सुबह 11.00 बजे से दोपहर 1.00 बजे तक 2 घंटे हैं। इस प्रकार, कुल समय t 2 घंटे और 20 मिनट है। गणना करने के लिए, इस समय को घंटों में बदलें: t = 2 + 20/60 = 2 + 1/3 = 7/3 घंटे।

अब, गति v = 45 किमी/घंटा और समय t = 7/3 घंटे को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: दूरी = 45 × 7/3 दूरी = 15 × 7 दूरी = 105 किमी

इसलिए, कार द्वारा तय की गई दूरी 105 किमी है, जो विकल्प d से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या 10x + y है। x + y = 8। साथ ही, (10x + y) + 18 = 10y + x, जो सरल होकर 9y - 9x = 18, या y - x = 2 हो जाता है। x + y = 8 और y - x = 2 को हल करने पर y = 5 और x = 3 प्राप्त होता है। वह संख्या 35 है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम लघुगणक के मौलिक गुणों को लागू करते हैं। मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक log₁₀ (aᵖ bᵠ) है। लघुगणक के गुणन नियम का उपयोग करके, जो कहता है कि log (MN) = log M + log N, हम व्यंजक को log₁₀ (aᵖ) + log₁₀ (bᵠ) के रूप में विभाजित कर सकते हैं। अगला, हम लघुगणक के घात नियम को लागू करते हैं, जो कहता है कि log Mⁿ = n log M। यह व्यंजक को p log₁₀ a + q log₁₀ b में बदल देता है। प्रश्न से दिए गए मानों, log₁₀ a = p और log₁₀ b = q का उपयोग करके, हम समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं ताकि p(p) + q(q) प्राप्त हो, जो p² + q² तक सरल हो जाता है। यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

बहुपद P(a) = a⁴ - 2a³ - 9a² + 2a + 8 के शेष गुणनखंडों को ज्ञात करने के लिए, विएटा के सूत्रों (Vieta's formulas) का उपयोग करना सबसे कुशल तरीका है। Aa⁴ + Ba³ + Ca² + Da + E = 0 के रूप के एक चतुर्घात समीकरण के लिए, मूलों का योग -B/A द्वारा दिया जाता है और मूलों का गुणनफल E/A द्वारा दिया जाता है।

दिए गए बहुपद a⁴ - 2a³ - 9a² + 2a + 8 के लिए, हमारे पास है: मूलों का योग = -(-2)/1 = 2 मूलों का गुणनफल = 8/1 = 8

गुणनखंड (a + 1) और (a - 1) मूलों a₁ = -1 और a₂ = 1 के संगत हैं। मान लीजिए शेष दो मूल a₃ और a₄ हैं।

मूलों के योग का उपयोग करके: -1 + 1 + a₃ + a₄ = 2 a₃ + a₄ = 2

मूलों के गुणनफल का उपयोग करके: (-1) × 1 × a₃ × a₄ = 8 a₃a₄ = -8

हमें दो ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका योग 2 हो और गुणनफल -8 हो। युग्म (4, -2) दोनों शर्तों को संतुष्ट करता है क्योंकि 4 + (-2) = 2 और 4 × (-2) = -8। इसलिए, शेष मूल 4 और -2 हैं। संगत गुणनखंड (a - 4) और (a + 2) हैं, जो विकल्प (c) के संगत है।

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत कमी के लिए सूत्र का प्रयोग करें: P𝒻 = Pᵢ(1 - x/100)ⁿ, जहाँ P𝒻 अंतिम मूल्य है, Pᵢ प्रारंभिक मूल्य है, x प्रतिशत कटौती है, और n क्रमिक कटौतियों की संख्या है।

दिया गया है: Pᵢ = 25 P𝒻 = 20.25 n = 2

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें: 20.25 = 25(1 - x/100)²

दोनों पक्षों को 25 से विभाजित करें: 20.25/25 = (1 - x/100)² 0.81 = (1 - x/100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: √0.81 = 1 - x/100 0.9 = 1 - x/100

x को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: x/100 = 1 - 0.9 x/100 = 0.1 x = 0.1 × 100 x = 10

इसलिए, प्रत्येक बार प्रतिशत कटौती 10 प्रतिशत थी, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

समीकरण 0.764y = 1.236x को देखते हुए, हम इसे अनुपात y/x = 1.236/0.764 के रूप में पुनः लिख सकते हैं। (y - x)/(y + x) का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे कुशल तरीका योगांतरा अनुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करना है। यह नियम कहता है कि यदि a/b = c/d है, तो (a - b)/(a + b) = (c - d)/(c + d)।

इस नियम को दिए गए अनुपात पर लागू करने पर: (y - x)/(y + x) = (1.236 - 0.764)/(1.236 + 0.764)

अंश में घटाव करने पर: 1.236 - 0.764 = 0.472

हर में जोड़ करने पर: 1.236 + 0.764 = 2.000

अब, परिणामों को विभाजित करें: (y - x)/(y + x) = 0.472/2 = 0.236

इस प्रकार, व्यंजक का मान 0.236 है, जो विकल्प (b) के संगत है।

व्याख्या

इस समस्या को घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके तुरंत हल किया जा सकता है: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)।

दिए गए व्यंजक में, मान लीजिए a = 2.247, b = 1.730, और c = 1.023। व्यंजक (a³ + b³ + c³ - 3abc)/(a² + b² + c² - ab - bc - ca) के रूप में है। सर्वसमिका को अंश में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ((a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca))/(a² + b² + c² - ab - bc - ca) प्राप्त होता है।

पद (a² + b² + c² - ab - bc - ca) अंश और हर दोनों से कट जाता है, जिससे केवल (a + b + c) बचता है। अब, दिए गए मानों को सीधे जोड़ें: 2.247 + 1.730 + 1.023 = 5.000। इसलिए, व्यंजक का मान 5 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

तीनों ग्रहों के एक ही सापेक्ष स्थिति में वापस आने का समय ज्ञात करने के लिए, हमें उनकी व्यक्तिगत कक्षीय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा। पुनर्संरेखण का सूत्र T = LCM(T₁, T₂, T₃) है, जहाँ T₁ = 200 दिन, T₂ = 250 दिन, और T₃ = 300 दिन है।

LCM(200, 250, 300) की गणना करने का सबसे तेज़ तरीका पहले सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) को बाहर निकालना है। तीनों संख्याएँ 50 से विभाज्य हैं। LCM(200, 250, 300) = 50 × LCM(4, 5, 6)

अब, शेष छोटी संख्याओं का LCM ज्ञात करें: LCM(4, 6) = 12 LCM(12, 5) = 60

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: T = 50 × 60 = 3000 दिन।

इस प्रकार, ग्रह 3000 दिनों के बाद सभी एक ही सापेक्ष स्थिति में वापस आ जाएंगे, जिससे विकल्प A सही उत्तर होगा।

व्याख्या

वह संख्या (13850 - 17) = 13833 और (17030 - 17) = 17013 को विभाजित करनी चाहिए। 13833 और 17013 का HCF 159 है (13833 = 159 87 और 17013 = 159 107)।

व्याख्या

मान लीजिए पूर्णांक x है। x + 1/x = 10/3। यदि x = 3 है, तो 3 + 1/3 = 9/3 + 1/3 = 10/3।

व्याख्या

युग्म (x, y) जहाँ x, y का एक गुणनखंड है: (2, 4), (2, 6), (2, 10), (3, 6), (3, 9), (4, 4)। कुल = 6 अवयव।

व्याख्या

एक रिक्त समुच्चय (null set), जिसे खाली समुच्चय (empty set) भी कहा जाता है, एक ऐसा समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है। विकल्प A में, समुच्चय A में वास्तविक संख्याएँ x शामिल हैं जिन्हें दो शर्तों को एक साथ पूरा करना होगा: x > 1 और x < 1। चूँकि कोई भी वास्तविक संख्या एक ही समय में 1 से बड़ी और 1 से छोटी नहीं हो सकती है, इसलिए x के ऐसे कोई मान नहीं हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हों। इसलिए, समुच्चय A में कोई अवयव नहीं है, जो इसे एक रिक्त समुच्चय बनाता है, जिसे ∅ द्वारा दर्शाया जाता है।

तुलना में, विकल्प B समीकरण x + 3 = 3 प्रदान करता है, जो x = 0 को सरल करता है, जिसका अर्थ है कि B = {0} एक एकल समुच्चय (singleton set) है। विकल्प C है C = {Φ}, जो एक समुच्चय है जिसमें रिक्त समुच्चय अपने एकमात्र अवयव के रूप में शामिल है, जो इसे रिक्त समुच्चय के बजाय एक एकल समुच्चय बनाता है। विकल्प D x ≥ 1 और x ≤ 1 का वर्णन करता है, जो केवल तब होता है जब x = 1, जिसका अर्थ है कि D = {1} भी एक एकल समुच्चय है। इस प्रकार, केवल विकल्प A एक रिक्त समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

यदि (x - 6), x^2 - kx - 6 का एक गुणनखंड है, तो x = 6 प्रतिस्थापित करने पर परिणाम 0 आना चाहिए: 6^2 - k(6) - 6 = 0। 36 - 6k - 6 = 0, इसलिए 30 = 6k, जिसका अर्थ है k = 5।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि (x + a) किसी बहुपद P(x) का गुणनखंड है, तो P(-a) = 0। इस प्रश्न में, दिया गया बहुपद P(x) = x³ + 4x² + 4x + k है और दिया गया गुणनखंड (x + 4) है। इसलिए, व्यंजक में x = -4 प्रतिस्थापित करने पर शून्य प्राप्त होना चाहिए।

सूत्र P(-4) = 0 लागू करने पर: (-4)³ + 4(-4)² + 4(-4) + k = 0

प्रत्येक पद की गणना करने पर: (-4)³ = -64 4(-4)² = 4(16) = 64 4(-4) = -16

इन मानों को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: -64 + 64 - 16 + k = 0

पद -64 और 64 एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे बचता है: -16 + k = 0 k = 16

इस प्रकार, k का मान 16 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

√(10 + ∛x) = 4. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 10 + ∛x = 16. फिर ∛x = 6. दोनों पक्षों का घन करने पर: x = 6^3 = 216.

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, एक अभाज्य संख्या के ठीक दो भिन्न भाजक होते हैं (1 और स्वयं) और एक भाज्य संख्या के दो से अधिक भाजक होते हैं। संख्या 1 का केवल एक भाजक होता है, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।

व्याख्या

x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, सबसे तेज़ तरीका दी गई तालिका के मानों को दिए गए विकल्पों में प्रतिस्थापित करना है। पहले युग्म (0, 100) के लिए, विकल्प (a), (b), और (d) सभी संतुष्ट होते हैं। दूसरे युग्म (1, 90) के लिए, विकल्प (a) में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर 100 - 10(1) = 90 प्राप्त होता है, और विकल्प (d) में 100 - 5(1) - 5(1)² = 100 - 5 - 5 = 90 प्राप्त होता है। विकल्प (b) से 100 - 5(1)² = 95 प्राप्त होता है, इसलिए हम (b) और (c) को हटा देते हैं। इसके बाद, युग्म (2, 70) का उपयोग करें। विकल्प (a) में x = 2 प्रतिस्थापित करने पर 100 - 10(2) = 80 प्राप्त होता है, जो गलत है। विकल्प (d) में x = 2 प्रतिस्थापित करने पर y = 100 - 5(2) - 5(2)² = 100 - 10 - 20 = 70 प्राप्त होता है, जो तालिका से मेल खाता है। आगे सत्यापित करने के लिए, x = 3 के लिए, y = 100 - 5(3) - 5(3)² = 100 - 15 - 45 = 40, और x = 4 के लिए, y = 100 - 5(4) - 5(4)² = 100 - 20 - 80 = 0। दोनों परिणाम तालिका के साथ संरेखित होते हैं, यह पुष्टि करते हुए कि सही संबंध y = 100 - 5x - 5x² है जैसा कि विकल्प (d) में दिया गया है।

व्याख्या

दो समीकरण दिए गए हैं a/b - b/a = x/y और a/b + b/a = x - y। x के लिए हल करने के लिए, हम u = a/b और v = b/a मानकर व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। समीकरण u - v = x/y और u + v = x - y बन जाते हैं।

पहले समीकरण से, हम y को x के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: y = x/(u - v)

y के इस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें: u + v = x - x/(u - v)

अब, दाईं ओर x को गुणनखंडित करें: u + v = x(1 - 1/(u - v)) = x((u - v - 1)/(u - v))

x के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = ((u + v)(u - v))/(u - v - 1) = (u² - v²)/(u - v - 1)

u = a/b और v = b/a को वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = ((a/b)² - (b/a)²)/(a/b - b/a - 1) = ((a⁴ - b⁴)/(a² b²))/((a² - b² - ab)/(ab)) = (a⁴ - b⁴)/(ab(a² - b² - ab))

x के लिए इस व्युत्पन्न व्यंजक की तुलना विकल्पों a) (a + b)/a, b) (a + b)/b, और c) (a - b)/a से करने पर, यह स्पष्ट है कि x इन रूपों में से किसी में भी सरल नहीं होता है। अतः, सही विकल्प d) उपरोक्त में से कोई नहीं है।

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण को उसके मूल दिए जाने पर ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0 का उपयोग करते हैं। मान लीजिए मूल α = 3 और β = -1 हैं। सबसे पहले, मूलों का योग ज्ञात करें: α + β = 3 + (-1) = 2। इसके बाद, मूलों का गुणनफल ज्ञात करें: αβ = 3 × (-1) = -3। इन मानों को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x² - (2)x + (-3) = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x² - 2x - 3 = 0 हो जाता है। यह विकल्प b से मेल खाता है। वैकल्पिक रूप से, हम गुणनखंडित रूप (x - α)(x - β) = 0 का उपयोग कर सकते हैं। मूलों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - 3)(x - (-1)) = 0 प्राप्त होता है, जो कि (x - 3)(x + 1) = 0 है। कोष्ठकों का विस्तार करने पर: x(x + 1) - 3(x + 1) = x² + x - 3x - 3 = x² - 2x - 3 = 0।

व्याख्या

कथन 1 गलत है। इस कथन का परीक्षण करने के लिए, 5 से बड़ी एक अभाज्य संख्या n लें, जैसे n = 11। व्यंजक की गणना करने पर n⁴ - 1 = 11⁴ - 1 = 14641 - 1 = 14640 प्राप्त होता है। 14640 को 2400 से विभाजित करने पर 6.1 प्राप्त होता है, जो एक पूर्णांक नहीं है, यह सिद्ध करता है कि n⁴ - 1 हमेशा 2400 से विभाज्य नहीं है। सामान्य तौर पर, 5 से बड़ी किसी भी अभाज्य n के लिए, n⁴ - 1 हमेशा 240 से विभाज्य होता है, लेकिन 2400 का उच्च मान केवल n = 7 जैसे विशिष्ट मामलों के लिए ही सत्य होता है।

कथन 2, मॉड्यूलो 5 के तहत द्विघात अवशेषों के सिद्धांत पर आधारित है। किसी भी पूर्णांक x को x ≡ 0, 1, 2, 3, या 4 (mod 5) के रूप में दर्शाया जा सकता है। इन मानों का वर्ग करने पर 0² ≡ 0 (mod 5), 1² ≡ 1 (mod 5), 2² ≡ 4 (mod 5), 3² ≡ 9 ≡ 4 (mod 5), और 4² ≡ 16 ≡ 1 (mod 5) प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि जब किसी वर्ग संख्या को 5 से विभाजित किया जाता है तो केवल संभव शेषफल 0, 1 और 4 होते हैं। 0 का शेषफल 5n के रूप से, 1 का शेषफल 5n + 1 के रूप से, और 4 का शेषफल 5n - 1 के रूप से मेल खाता है। परिणामस्वरूप, प्रत्येक वर्ग संख्या इन तीन रूपों में से एक होनी चाहिए।

व्याख्या

व्यंजक 4k^2 + 12k + k = 4k^2 + 13k है। इसे एक पूर्ण वर्ग m^2 बनाने के लिए, k(4k + 13) = m^2। विकल्पों का परीक्षण करने पर: यदि k = 9, 9(36 + 13) = 9 49 = (3 7)^2 = 21^2 = 441।

व्याख्या

Ax² + Bx + C = 0 के रूप के एक द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का गुणनफल सूत्र मूलों का गुणनफल = C/A द्वारा दिया जाता है। दिए गए समीकरण x²/a + x/b + 1/c = 0 में, x² का गुणांक A = 1/a है और अचर पद C = 1/c है।

चूंकि एक मूल दूसरे मूल का व्युत्क्रम है, मान लीजिए मूल α और 1/α हैं। इन मूलों का गुणनफल α × 1/α = 1 है। मूलों के गुणनफल सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1 = (1/c)/(1/a) 1 = 1/c × a/1 1 = a/c a = c

इस प्रकार, मूलों के एक दूसरे के व्युत्क्रम होने की शर्त यह है कि x² का गुणांक अचर पद के बराबर होना चाहिए, जो विकल्प d) a = c को सरल बनाता है।

व्याख्या

पूर्णांक मूल प्रमेय (परिमेय मूल प्रमेय का एक विशिष्ट मामला) के अनुसार, पूर्णांक गुणांक वाले किसी भी बहुपद f(x) के लिए, यदि कोई पूर्णांक k बहुपद का मूल है, तो (x - k) एक गुणनखंड होगा और k बहुपद के अचर पद का भाजक होना चाहिए। इस दी गई समस्या में, अचर पद 10 है। इसलिए, कोई भी पूर्णांक k जो शर्त को संतुष्ट करता है, वह 10 का भाजक होना चाहिए। 10 के सभी पूर्णांक भाजकों का समुच्चय {± 1, ± 2, ± 5, ± 10} है। इस समुच्चय की दी गई विकल्पों से तुलना करने पर, हम पाते हैं कि (a) -20, (b) 20, और (c) 8, 10 के भाजक नहीं हैं, जबकि (d) 5 एक मान्य भाजक है। अतः, दिए गए विकल्पों में से k का एकमात्र संभावित मान 5 है।

व्याख्या

a = 2 + √3. तब 1/a = 2 - √3. a + 1/a = (2 + √3) + (2 - √3) = 4. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (a + 1/a)^2 = a^2 + 2 + (1/a)^2 = 16. इसलिए, a^2 + a^-2 = 14.

व्याख्या

x + y = 9 और xy = 8 से, संख्याएँ 8 और 1 हैं। यदि x = 8 और y = 1 है, तो x^4 - y^4 = 8^4 - 1^4 = 4096 - 1 = 4095।

व्याख्या

मान लीजिए स्तंभ C हैं, तो पंक्तियाँ R = C + 4। कुल सीटें = 5 R C। 158 छात्र और 2 सीटें खाली होने का मतलब है कि कुल सीटें = 160। 5 (C + 4) C = 160। C(C + 4) = 32। C^2 + 4C - 32 = 0। (C + 8)(C - 4) = 0। C = 4, इसलिए R = 4 + 4 = 8।

व्याख्या

दिया गया है tan θ = 3/4 और θ एक न्यून कोण है, हम एक मानक 3-4-5 समकोण त्रिभुज से निपट रहे हैं। त्रिकोणमिति में, tan θ को सम्मुख भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, हम सम्मुख भुजा को 3 और आसन्न भुजा को 4 मान सकते हैं। कर्ण ज्ञात करने के लिए, हम पाइथागोरस प्रमेय सूत्र का उपयोग करते हैं: h = √सम्मुख² + आसन्न²। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें h = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5 मिलता है। अब, साइन के सूत्र को लागू करने पर, sin θ = सम्मुख / कर्ण, हमें sin θ = 3/5 मिलता है। चूँकि θ एक न्यून कोण है (पहले चतुर्थांश में स्थित है), सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होते हैं, जो पुष्टि करता है कि विकल्प b सही मान है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूरक कोण सूत्र और त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, पूरक कोण सर्वसमिका लागू करें: sec(90° - θ) = csc θ। व्यंजक csc θ · sin θ · sec 45° बन जाता है। हम जानते हैं कि कोसेकेंट फलन साइन फलन का व्युत्क्रम होता है, जिसे संबंध csc θ = 1/sin θ द्वारा परिभाषित किया गया है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1/sin θ) · sin θ · sec 45° मिलता है। sin θ पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे व्यंजक 1 · sec 45° तक सरल हो जाता है। चूंकि sec 45° = 1/cos 45° = 1/(1/√2) = √2 है, इसलिए अंतिम परिणाम √2 है, जो विकल्प (c) के अनुरूप है।

व्याख्या

मान लीजिए चिमनी की ऊँचाई h है और प्रेक्षण के दूसरे बिंदु से चिमनी के आधार तक की दूरी x है।

त्रिकोणमितीय संबंध tan θ = सम्मुख / आसन्न का उपयोग करके:

दूसरे स्थान पर, उन्नयन कोण 45° है, इसलिए tan 45° = h / x। चूँकि tan 45° = 1, हमें x = h प्राप्त होता है।

पहले स्थान पर, प्रेक्षक 120 मीटर दूर है, इसलिए आधार से दूरी x + 120 है। उन्नयन कोण 30° है, इसलिए tan 30° = h / (x + 120)।

x = h और tan 30° = 1 / √3 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1 / √3 = h / (h + 120)

तिरछा गुणा करने पर प्राप्त होता है: h + 120 = h√3

h को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: h√3 - h = 120 h(√3 - 1) = 120 h = 120 / (√3 - 1)

सरल करने के लिए, अंश और हर को (√3 + 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें: h = [120(√3 + 1)] / [(√3 - 1)(√3 + 1)] h = [120(√3 + 1)] / [(√3)² - (1)²] h = [120(√3 + 1)] / (3 - 1) h = [120(√3 + 1)] / 2 h = 60(√3 + 1) मीटर।

इसलिए, चिमनी की ऊँचाई 60(√3 + 1) मीटर है, जो विकल्प C से मेल खाती है।

व्याख्या

डिग्री और रेडियन में कोण के माप के बीच संबंध मानक रूपांतरण कारक पर आधारित है जहाँ 180° π रेडियन के बराबर होता है। यह देखते हुए कि कोण का माप p डिग्री और q रेडियन है, हम मानक रूपांतरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: q = p × π/180 यह सूत्र इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि एक पूर्ण वृत्त 360° या 2π रेडियन होता है, जो 180° = π रेडियन तक सरल हो जाता है। दिए गए विकल्पों में से सही संबंध ज्ञात करने के लिए, समीकरण q = πp/180 के दोनों पक्षों को 180 से गुणा करें: 180q = πp इस व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करने पर πp = 180q प्राप्त होता है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है। यह रैखिक संबंध त्रिकोणमिति और ज्यामिति में कोणीय मापों को परिवर्तित करने का मौलिक आधार है।

व्याख्या

tan θ = 3/1। कर्ण = √(3^2 + 1^2) = √10। sin θ = 3/√10, cos θ = 1/√10। sin θ + cos θ = (3 + 1)/√10 = 4/√10।

व्याख्या

पहिये की एक तीली द्वारा वर्णित कोण कोणीय विस्थापन θ है। यह दिया गया है कि पहिया एक मिनट में 12 चक्कर लगाता है, हम पहले यह निर्धारित करते हैं कि यह एक सेकंड में कितने चक्कर लगाता है। चूँकि 1 मिनट 60 सेकंड के बराबर होता है, चक्करों की आवृत्ति 12 / 60 = 1/5 चक्कर प्रति सेकंड है। इसे रेडियन में बदलने के लिए, हम मानक संबंध का उपयोग करते हैं कि एक पूर्ण चक्कर 2π रेडियन के बराबर होता है। t सेकंड में कोण θ का सूत्र θ = (n/T) × 2π × t है, जहाँ n चक्करों की संख्या है और T सेकंड में समयावधि है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें θ = (12/60) × 2π × 1 = (1/5) × 2π = 2π/5 रेडियन प्राप्त होता है। इस प्रकार, तीली 1 सेकंड में 2π/5 रेडियन का कोण बनाती है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

समस्या में एक समकोण त्रिभुज का वर्णन किया गया है जहाँ सीढ़ी कर्ण का कार्य करती है, दीवार से दूरी झुकाव कोण के लिए आसन्न भुजा है, और दीवार स्वयं सम्मुख भुजा है। क्षैतिज के साथ झुकाव कोण θ ज्ञात करने के लिए, हम कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हैं:

cos(θ) = आसन्न/कर्ण

यह देखते हुए कि सीढ़ी की लंबाई (कर्ण) 20 मीटर है और दीवार से दूरी (आसन्न भुजा) 10 मीटर है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

cos(θ) = 10/20 = 1/2

हम मानक त्रिकोणमितीय मानों से जानते हैं कि cos(60°) = 1/2। इसलिए, θ = 60°। यह विकल्प c को सही उत्तर के रूप में पहचानता है। ज्ञात कर्ण और आधार से संबंधित ऊंचाई और दूरी की समस्याओं को हल करने का यह सबसे तेज़ तरीका है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में जहाँ 0 < θ < 90° हो, सभी त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होते हैं। छह अनुपात मौलिक पाइथागोरस सर्वसमिकाओं और व्युत्क्रम संबंधों के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं। प्राथमिक सर्वसमिकाएँ sin² θ + cos² θ = 1, 1 + tan² θ = sec² θ, और 1 + cot² θ = csc² θ हैं। यदि कोई एक अनुपात ज्ञात हो, तो अन्य की गणना क्रमिक रूप से की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि sin θ ज्ञात है, तो हम cos θ = √(1 - sin² θ) ज्ञात करते हैं, फिर tan θ = sin θ / cos θ, csc θ = 1 / sin θ, sec θ = 1 / cos θ, और cot θ = 1 / tan θ ज्ञात करते हैं। इसी प्रकार, यदि tan θ दिया गया है, तो हम sec θ = √(1 + tan² θ) ज्ञात करते हैं और शेष को ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ते हैं। इसलिए, छह अनुपातों में से कोई भी एक अन्य सभी को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, जिससे विकल्प d सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक sin A cos A tan A + cos A sin A cot A को हल करने के लिए, हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं tan A = sin A/cos A और cot A = cos A/sin A का उपयोग करते हैं। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin A cos A (sin A/cos A) + cos A sin A (cos A/sin A)

अंश और हर में पदों को रद्द करके, व्यंजक सरल हो जाता है:

sin A ⋅ sin A + cos A ⋅ cos A = sin² A + cos² A

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, पूरा व्यंजक 1 के बराबर हो जाता है। अब, हम विकल्पों की जाँच करते हैं कि कौन सा 1 के बराबर है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot² A = csc² A के अनुसार, यह अनुसरण करता है कि csc² A - cot² A = 1। इसलिए, विकल्प (d) csc² A - cot² A, 1 के मान के लिए सही मिलान है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक sin θ/(1 + cos θ) + (1 + cos θ)/sin θ को हल करने के लिए, हम पहले एक सामान्य भाजक ज्ञात करते हैं, जो sin θ (1 + cos θ) है। भिन्नों को संयोजित करके, व्यंजक (sin² θ + (1 + cos θ)²)/(sin θ (1 + cos θ)) बन जाता है।

सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके अंश का विस्तार करने पर, हमें (sin² θ + 1 + 2cos θ + cos² θ)/(sin θ (1 + cos θ)) प्राप्त होता है। मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, अंश (1 + 1 + 2cos θ)/(sin θ (1 + cos θ)) तक सरल हो जाता है, जो आगे (2 + 2cos θ)/(sin θ (1 + cos θ)) तक सरल हो जाता है।

अंश से 2 को गुणनखंडित करने पर 2(1 + cos θ)/(sin θ (1 + cos θ)) प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों से सामान्य पद (1 + cos θ) को रद्द करने पर, हम 2/sin θ के साथ रह जाते हैं। चूँकि sin θ का व्युत्क्रम csc θ होता है, अंतिम परिणाम 2 csc θ है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

उन समस्याओं के लिए जहाँ मीनार के आधार से d₁ और d₂ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शीर्ष के उन्नयन कोण पूरक होते हैं, मीनार की ऊँचाई h की गणना सीधे सूत्र h = √(d₁ · d₂) का उपयोग करके की जा सकती है। यह सूत्र त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ · cot θ = 1 से प्राप्त होता है। इस स्थिति में, यदि पहला कोण θ है, तो दूसरा कोण 90° - θ होगा। इस प्रकार, tan θ = h/d₁ और tan(90° - θ) = cot θ = h/d₂। इन दोनों को गुणा करने पर h/d₁ · h/d₂ = 1 प्राप्त होता है, जो h² = d₁ · d₂ को सरल बनाता है। दिए गए मानों d₁ = 10 मीटर और d₂ = 5 मीटर को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें h = √(10 · 5) = √50 मीटर प्राप्त होता है। इसलिए, मीनार की ऊँचाई √50 मीटर है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

माना ऊँचाई h है। tan 60 = h/x और tan 30 = h/(x + 100)। x = h/√3 और x + 100 = h√3। h√3 - h/√3 = 100। h(2/√3) = 100। h = 50√3 ≈ 86.6m।

व्याख्या

sin⁴ θ + cos⁴ θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हैं। इस सर्वसमिका के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें (sin² θ + cos² θ)² = 1² प्राप्त होता है, जिसका विस्तार sin⁴ θ + cos⁴ θ + 2 sin² θ cos² θ = 1 होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें सूत्र sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2(sin θ cos θ)² प्राप्त होता है।

यह देखते हुए कि sin θ cos θ = √3 / 4 है, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2(√3 / 4)² sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2(3 / 16) sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 3 / 8 sin⁴ θ + cos⁴ θ = (8 - 3) / 8 = 5 / 8

इस प्रकार, आवश्यक मान 5 / 8 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दो निश्चित बिंदुओं A और C से समदूरस्थ बिंदु का बिंदु पथ उन दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक के रूप में परिभाषित किया गया है। एक समचतुर्भुज ABCD के संदर्भ में, विकर्ण AC और BD में विशिष्ट ज्यामितीय गुण होते हैं। समचतुर्भुज के मूलभूत गुणों में से एक यह है कि इसके विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

चूंकि विकर्ण BD, विकर्ण AC पर लम्बवत है और AC के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है, विकर्ण BD, खंड AC के लम्ब समद्विभाजक के रूप में कार्य करता है। परिणामस्वरूप, विकर्ण BD पर स्थित प्रत्येक बिंदु शीर्षों A और C से समदूरस्थ होने की शर्त को पूरा करता है। इसलिए, आवश्यक बिंदु पथ विकर्ण BD है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इसलिए, हमारे पास मूल संबंध ∠A + ∠B + ∠C = 180° है, जिसका अर्थ है ∠A + ∠B = 180° - ∠C। दिया गया समीकरण है 1/2∠A + 1/3∠C + 1/2∠B = 80°। समान गुणांक 1/2 वाले पदों को समूहित करके, हम समीकरण को 1/2(∠A + ∠B) + 1/3∠C = 80° के रूप में पुनः लिख सकते हैं। कोण योग गुण से ∠A + ∠B के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1/2(180° - ∠C) + 1/3∠C = 80° प्राप्त होता है। कोष्ठक का विस्तार करने पर 90° - 1/2∠C + 1/3∠C = 80° प्राप्त होता है। ∠C को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 1/3∠C - 1/2∠C = 80° - 90° प्राप्त होता है। 6 का सामान्य भाजक लेने पर, हमें (2∠C - 3∠C)/6 = -10° प्राप्त होता है, जो -∠C/6 = -10° को सरल करता है। दोनों पक्षों को -6 से गुणा करने पर ∠C = 60° प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

कोज्या के नियम (Law of Cosines) के अनुसार, किसी भी त्रिभुज ABC के लिए, जिसके कोण A, B, और C के सम्मुख भुजाएँ क्रमशः a, b, और c हैं, संबंध c² = a² + b² - 2ab cos C द्वारा दिया जाता है। दिए गए त्रिभुज में, मान लीजिए c = AB, a = BC, b = CA, और C = ∠BCA = 60°। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें AB² = BC² + CA² - 2(BC)(CA) cos(60°) प्राप्त होता है। चूँकि cos(60°) का मान 1/2 होता है, समीकरण AB² = BC² + CA² - 2(BC)(CA)(1/2) बन जाता है, जो सरल होकर AB² = BC² + CA² - (BC)(CA) हो जाता है। इस परिणाम की तुलना दिए गए व्यंजक AB² = BC² + CA² + X से करने पर, यह स्पष्ट है कि X = -(BC)(CA), जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो समांतर रेखाओं के समीकरण L₁: ax + by + c₁ = 0 और L₂: ax + by + c₂ = 0 हैं। किसी बिंदु (x, y) की रेखा ax + by + c = 0 से दूरी सूत्र d = |ax + by + c|/√(a² + b²) द्वारा दी जाती है। किसी बिंदु के L₁ और L₂ से समदूरस्थ होने के लिए, शर्त है |ax + by + c₁|/√(a² + b²) = |ax + by + c₂|/√(a² + b²)। यह |ax + by + c₁| = |ax + by + c₂| तक सरल हो जाता है। चूँकि रेखाएँ भिन्न हैं (c₁ ≠ c₂), एकमात्र मान्य हल ax + by + c₁ = -(ax + by + c₂) है, जो 2ax + 2by + (c₁ + c₂) = 0 या ax + by + (c₁ + c₂)/2 = 0 तक सरल हो जाता है। यह समीकरण L₁ और L₂ दोनों के समांतर एक रेखा का प्रतिनिधित्व करता है और ठीक उनके मध्य में स्थित है, जो कथन 1 की पुष्टि करता है। चूँकि d₁ = d₂ के लिए बीजगणितीय हल केवल यही विशिष्ट रेखा देता है, इस बिंदु पथ पर न स्थित कोई भी बिंदु दोनों रेखाओं से भिन्न लंबवत दूरियाँ रखेगा, जो कथन 2 की पुष्टि करता है। इस प्रकार, कथन 1 और 2 दोनों सही हैं, जिससे विकल्प c सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, उसे एक समांतर चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है। चतुर्भुजों के गुणों के अनुसार, यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण लंबाई में बराबर हों, तो आकृति एक आयत होती है। इसके अलावा, यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, तो आकृति एक समचतुर्भुज होती है। इस समस्या में, दी गई शर्तें निर्दिष्ट करती हैं कि विकर्ण बराबर हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए, चतुर्भुज में एक आयत और एक समचतुर्भुज दोनों के गुण होते हैं। एक चतुर्भुज जो एक आयत और एक समचतुर्भुज दोनों है, वह एक वर्ग होता है। भुजा s वाले वर्ग के लिए, विकर्ण की लंबाई s√2 होती है, और प्रतिच्छेदन कोण 90° होता है। यह विकल्प (b) को एकमात्र संभावित उत्तर बनाता है।

व्याख्या

एक चतुर्भुज को समलंब चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि उसमें विपरीत भुजाओं का कम से कम एक युग्म समानांतर हो। इस परिदृश्य में, दो समानांतर रेखाएँ निर्मित चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के एक युग्म के रूप में कार्य करती हैं। दो भिन्न तिर्यक रेखाएँ शेष दो भुजाओं को बनाने के लिए इन समानांतर रेखाओं को काटती हैं। चूँकि भुजाओं का पहला युग्म तिर्यक रेखाओं के कोण या स्थिति पर ध्यान दिए बिना समानांतर होने की गारंटी है, इसलिए परिणामी आकृति हमेशा समलंब चतुर्भुज के मानदंडों को पूरा करती है। यद्यपि यदि तिर्यक रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर होतीं तो आकृति एक समांतर चतुर्भुज बन सकती थी, या यदि अतिरिक्त विशिष्ट शर्तें पूरी होतीं तो एक वर्ग बन सकती थी, ये विशेष स्थितियाँ हैं। एकमात्र गुण जो हमेशा बना रहता है वह है समानांतर भुजाओं के एक युग्म का अस्तित्व, जिससे विकल्प (d) सही उत्तर बन जाता है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए AB = CD और AD = CB। मान लीजिए इन लंबाइयों को क्रमशः a और b और विकर्ण BD की लंबाई d है।

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, एक त्रिभुज में किसी कोण का समद्विभाजक सम्मुख भुजा को अन्य दो भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है। ΔABD के लिए, समद्विभाजक AP, BD को इस प्रकार विभाजित करता है कि: BP/PD = AB/AD = a/b ⇒ BP = a/(a+b) d

इसी प्रकार, ΔCBD में, समद्विभाजक CQ, BD को इस प्रकार विभाजित करता है कि: BQ/QD = CB/CD = b/a ⇒ BQ = b/(a+b) d

DQ की लंबाई है: DQ = BD - BQ = d - b/(a+b) d = a/(a+b) d

चूंकि BP = DQ, बिंदु P और Q विकर्ण BD के अंतिम बिंदुओं से समान दूरी पर हैं। चूंकि समांतर चतुर्भुज में BD का मध्य बिंदु O, AC का भी मध्य बिंदु होता है, इसलिए यह अनुसरण करता है कि O, PQ का भी मध्य बिंदु है। क्योंकि चतुर्भुज APCQ के विकर्ण AC और PQ एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, APCQ एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज APCQ का विकर्ण PQ इसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों, ΔAPQ और ΔCQP में विभाजित करता है। चूंकि सभी सर्वांगसम त्रिभुज समरूप होते हैं, ΔAPQ ~ ΔPCQ। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम निर्देशांक तल में घूर्णन के गुणों या ज्यामितीय सर्वांगसमता का उपयोग कर सकते हैं। वर्ग ABCD के शीर्षों को निर्देशांक A(0, 0), B(s, 0), C(s, s), और D(0, s) द्वारा निरूपित करें, जहाँ s वर्ग की भुजा की लंबाई है। मान लीजिए बिंदु X वर्ग के भीतर कोई बिंदु (x, y) है, जिसका अर्थ है 0 < x < s और 0 < y < s।

AX पर एक वर्ग AXYZ बनाया गया है। चूँकि A मूल बिंदु है और AX = (x, y), शीर्ष Z को AX को 90° घुमाकर प्राप्त किया जाता है। बिंदु D(0, s) के वर्ग AXYZ के भीतर स्थित होने के लिए, घूर्णन वामावर्त होना चाहिए। इस प्रकार, Z के निर्देशांक (-y, x) हैं।

हम दूरी सूत्र का उपयोग करके BX और DZ की लंबाई की गणना कर सकते हैं: BX² = (x - s)² + (y - 0)² = (x - s)² + y² DZ² = (-y - 0)² + (x - s)² = y² + (x - s)²

चूँकि BX² = DZ², इसलिए BX = DZ।

वैकल्पिक रूप से, ΔBAX और ΔDAZ पर विचार करें। हम जानते हैं कि AB = AD क्योंकि वे वर्ग ABCD की भुजाएँ हैं। हम यह भी जानते हैं कि AX = AZ क्योंकि वे वर्ग AXYZ की भुजाएँ हैं। कोण ∠BAX सदिशों AB = (s, 0) और AX = (x, y) के बीच का कोण है, जबकि ∠DAZ सदिशों AD = (0, s) और AZ = (-y, x) के बीच का कोण है। दोनों कोणों का कोसाइन x/√(x² + y²) है, जिससे ∠BAX = ∠DAZ होता है। SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, ΔBAX ≅ ΔDAZ, जिसका अर्थ है कि उनकी संगत भुजाएँ BX और DZ बराबर हैं। इस प्रकार, विकल्प d सही है।

व्याख्या

चूंकि XY, BC के समानांतर है, AAA समरूपता कसौटी द्वारा ΔAXY, ΔABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों में, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इसलिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: XY/BC = AX/AB

दिए गए मान AB = 4.8 सेमी, BC = 7.2 सेमी और BX = 2 सेमी हैं। सबसे पहले, AX की लंबाई ज्ञात करें: AX = AB - BX = 4.8 सेमी - 2 सेमी = 2.8 सेमी

अब, XY ज्ञात करने के लिए इन मानों को समरूपता अनुपात में प्रतिस्थापित करें: XY/7.2 = 2.8/4.8 XY = (2.8 × 7.2)/4.8

7.2/4.8 के अनुपात को सरल करने पर 1.5 या 3/2 प्राप्त होता है: XY = 2.8 × 1.5 = 4.2 सेमी

इस प्रकार, XY की लंबाई 4.2 सेमी है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

माध्यक AD की लंबाई की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम समांतर चतुर्भुज के गुण का उपयोग करते हैं। माध्यक AD को बिंदु E तक इस प्रकार बढ़ाएं कि AD = DE। BE और CE को जोड़ें। चूँकि विकर्ण AE और BC, D पर एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए चतुर्भुज ABEC एक समांतर चतुर्भुज है। एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए BE = AC = 5 सेमी और CE = AB = 3 सेमी। अब, त्रिभुज ABE पर विचार करें। त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के योग से कम और उनके बीच के निरपेक्ष अंतर से अधिक होनी चाहिए। इसे भुजा AE (जो 2AD है) पर लागू करने पर, हमें BE - AB < AE < BE + AB प्राप्त होता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5 - 3 < 2AD < 5 + 3 प्राप्त होता है, जो 2 < 2AD < 8 को सरल करता है। संपूर्ण असमानता को 2 से विभाजित करने पर, हमें 1 < AD < 4 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, माध्यक AD की लंबाई हमेशा 1 सेमी से अधिक और 4 सेमी से कम होती है, जो पुष्टि करता है कि विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, वृत्त का खंड जीवा और संगत चाप द्वारा परिबद्ध क्षेत्र होता है। एक जीवा वृत्त को दो खंडों में विभाजित करती है: एक लघु खंड और एक दीर्घ खंड। लघु खंड का क्षेत्रफल उसके संगत लघु त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से जीवा के सिरों और वृत्त के केंद्र द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है। इसके विपरीत, दीर्घ खंड का क्षेत्रफल उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में उसी त्रिभुज का क्षेत्रफल जोड़ने पर प्राप्त होता है। चूँकि दीर्घ खंड का क्षेत्रफल उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से अधिक होता है, यह कथन कि खंड का क्षेत्रफल हमेशा उसके संगत त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल से कम होता है, सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं है।

कथन 2 के लिए, एक वृत्ताकार पहिये द्वारा एक पूर्ण चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि C के ठीक बराबर होती है। परिधि का सूत्र C = πd है, जहाँ d पहिये का व्यास है। दिए गए मान d = 2d सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें C = π × 2 ≈ 3.14159 × 2 = 6.28318d सेमी प्राप्त होता है। चूँकि 6.28318d सेमी 6d सेमी से अधिक है, कथन 2 सही है। इस प्रकार, केवल कथन 2 सही है, जिससे विकल्प b सही उत्तर है।

व्याख्या

घन से काटी जा सकने वाली सबसे बड़ी गोला का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम इस ज्यामितीय सिद्धांत का उपयोग करते हैं कि सबसे बड़े संभव अंतर्निहित गोले का व्यास घन की कोर की लंबाई के बराबर होता है। घन की कोर की लंबाई a = 3 सेमी दी गई है, इसलिए गोले का व्यास भी 3 सेमी है, जिससे त्रिज्या r = a/2 = 3/2 = 1.5 सेमी हो जाती है।

गोले का आयतन सूत्र V = 4/3πr³ का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। इस सूत्र में त्रिज्या का मान रखने पर: V = 4/3 × π × (3/2)³ V = 4/3 × π × 27/8 V = 108/24 π V = 4.5π घन सेमी।

इस सूत्र को सीधे लागू करके, हम 4.5π घन सेमी का परिणाम प्राप्त करते हैं, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र SA = 4πr² द्वारा दिया जाता है। चूँकि व्यास D = 2r है, हम सूत्र में r = D/2 को प्रतिस्थापित कर सकते हैं ताकि SA = 4π(D/2)² = πD² प्राप्त हो। यह स्थापित करता है कि एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके व्यास के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है। यह देखते हुए कि दो गोलों के व्यासों का अनुपात D₁ : D₂ = 3 : 5 है, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात व्यास अनुपात के व्यक्तिगत पदों का वर्ग करके निकाला जाता है। इस प्रकार, पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात SA₁ : SA₂ = (D₁)² : (D₂)² = 3² : 5² = 9 : 25 है। यह सीधे विकल्प (a) की ओर ले जाता है।

व्याख्या

एक ठोस बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र TSA = 2πr(r + h) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। दिया गया है कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 660 सेमी² है और त्रिज्या r 5 सेमी है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

660 = 2 × 22/7 × 5 × (5 + h)

ऊँचाई h ज्ञात करने के लिए, दाईं ओर के व्यंजक को सरल करें:

660 = 220/7 × (5 + h)

अब, (5 + h) पद को दोनों पक्षों को 7 से गुणा करके और 220 से विभाजित करके अलग करें:

5 + h = (660 × 7)/220

5 + h = 3 × 7

5 + h = 21

दोनों पक्षों से 5 घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:

h = 21 - 5 = 16 सेमी

इसलिए, ठोस बेलन की ऊँचाई 16 सेमी है, जो विकल्प (d) से मेल खाती है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है। यह देखते हुए कि आधार का व्यास 7 सेमी है, त्रिज्या r व्यास का आधा है, जो 7/2 = 3.5 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई l 10 सेमी दी गई है। π = 22/7 का उपयोग करके इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × 7/2 × 10

अंश और हर से 7 को रद्द करने पर, व्यंजक 22/2 × 10 तक सरल हो जाता है। 22/2 को और सरल करने पर 11 प्राप्त होता है। इसलिए, गणना 11 × 10 = 110 वर्ग सेमी हो जाती है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः l और b हैं। आयत के परिमाप का सूत्र P = 2(l + b) है और क्षेत्रफल का सूत्र A = l × b है। दिया गया है कि परिमाप P = 82 मीटर है, तो 2(l + b) = 82, जिसे सरल करने पर l + b = 41 मीटर प्राप्त होता है। क्षेत्रफल A = 400 वर्ग मीटर दिया गया है, इसलिए l × b = 400। हमें दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका योग 41 हो और गुणनफल 400 हो। द्विघात समीकरण x² - (योग)x + गुणनफल = 0 का उपयोग करके, हमें x² - 41x + 400 = 0 प्राप्त होता है। मध्य पद को विभाजित करके इसे हल करने पर: x² - 25x - 16x + 400 = 0, जिससे (x - 25)(x - 16) = 0 प्राप्त होता है। इस प्रकार, विमाएँ 25 मीटर और 16 मीटर हैं। चूंकि चौड़ाई आमतौर पर छोटी विमा होती है, इसलिए चौड़ाई 16 मीटर है, जो विकल्प b से मेल खाती है। वैकल्पिक रूप से, विकल्प b का परीक्षण करके: यदि b = 16 है, तो l = 41 - 16 = 25, और 16 × 25 = 400, जो दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल, जिसे एन्युलस (annulus) भी कहा जाता है, सूत्र A = π(R² - r²) द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाहरी वृत्त की त्रिज्या है और r आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है। यह देखते हुए कि त्रिज्याएँ 5:3 के अनुपात में हैं, हम R = 5x और r = 3x मान सकते हैं। इन मानों और दिए गए क्षेत्रफल 16π को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें π((5x)² - (3x)²) = 16π प्राप्त होता है। समीकरण को सरल बनाने पर, हमें π(25x² - 9x²) = 16π मिलता है, जो 16x²π = 16π तक कम हो जाता है। दोनों पक्षों को 16π से विभाजित करने पर x² = 1 प्राप्त होता है, इसलिए x = 1। बाहरी वृत्त की त्रिज्या R = 5x = 5(1) = 5 cm है। इसलिए, बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल πR² = π(5)² = 25π cm² है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

माना भुजा = s। आयतन = s^3। भुजाओं का योग = 12s। s^3 = 12s का अर्थ है s^2 = 12। कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6s^2 = 6 * 12 = 72।

व्याख्या

दो समानांतर खंभों के शीर्षों के बीच की दूरी को समकोण त्रिभुज की कल्पना करके पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके गणना की जा सकती है। इस त्रिभुज का आधार खंभों के पैरों के बीच की दूरी है, और ऊँचाई दो खंभों की ऊँचाइयों के बीच का अंतर है।

पहले खंभे की ऊँचाई h₁ = 6 मीटर, दूसरे खंभे की ऊँचाई h₂ = 11 मीटर, और उनके पैरों के बीच की दूरी d = 12 मीटर दी गई है, तो ऊर्ध्वाधर अंतर Δh है: Δh = h₂ - h₁ = 11 - 6 = 5 मीटर।

शीर्षों के बीच की दूरी L के लिए पाइथागोरस सूत्र लागू करने पर: L = √(d² + (Δh)²) L = √(12² + 5²) L = √(144 + 25) L = √169 L = 13 मीटर।

प्रतियोगी परीक्षाओं में, 5-12-13 पाइथागोरस त्रिक को पहचानने से विस्तृत गणना के बिना तत्काल समाधान मिल जाता है। इस प्रकार, उनके शीर्षों के बीच की दूरी 13 मीटर है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है, तो उसका आयतन स्थिर रहता है। एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन सूत्र V꜀ₒₙₑ = 1/3 π r² h का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। दिए गए मान r = 2 सेमी और h = 8 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, आयतन V꜀ₒₙₑ = 1/3 π (2)² (8) = 32π/3 घन सेमी है। एक गोले का आयतन सूत्र Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3 π R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। चूँकि पुनः ढालने के बाद आयतन समान रहता है, हम दोनों को बराबर करते हैं: 4/3 π R³ = 32π/3। समीकरण के दोनों पक्षों से π/3 को रद्द करने पर, हमें 4 R³ = 32 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर R³ = 8 प्राप्त होता है। 8 का घनमूल लेने पर, हमें R = 2 सेमी मिलता है। इस प्रकार, ढाले गए गोले की त्रिज्या 2 सेमी है, जो विकल्प a से मेल खाती है।

व्याख्या

विविआनी के प्रमेय के अनुसार, किसी समबाहु त्रिभुज की भुजाओं से किसी आंतरिक बिंदु की लम्ब दूरियों का योग त्रिभुज की ऊँचाई (height) के बराबर होता है। मान लीजिए h ऊँचाई को और s त्रिभुज की भुजा को दर्शाता है। ऊँचाई और भुजा की लंबाई के बीच संबंध का सूत्र h = (√3/2) s है। दिया गया है कि लम्बों का योग 20 सेमी है, इसलिए h = 20 सेमी। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 20 = (√3/2) s प्राप्त होता है। s के लिए हल करने पर, हमें s = (20 × 2)/√3 = 40/√3 सेमी मिलता है। इसलिए, त्रिभुज की भुजा की लंबाई 40/√3 सेमी है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रत्येक घन की भुजा 'a' है। किसी घन के अंदर सबसे बड़े संभव लम्ब वृत्तीय शंकु को फिट करने के लिए, उसके आधार को घन के एक फलक के अंदर फिट होने वाला सबसे बड़ा वृत्त होना चाहिए, और उसकी ऊंचाई घन की भुजा के बराबर होनी चाहिए। इस प्रकार, शंकु के आधार की त्रिज्या r = a/2 और ऊंचाई h = a है। आयतन सूत्र V = 1/3 π r² h का उपयोग करके, शंकु का आयतन C = 1/3 π (a/2)² a = 1/3 π (a²/4) a = π a³/12 है।

किसी घन के अंदर सबसे बड़े संभव गोले को फिट करने के लिए, उसके व्यास को घन की भुजा के बराबर होना चाहिए। इसलिए, गोले की त्रिज्या r = a/2 है। आयतन सूत्र V = 4/3 π r³ का उपयोग करके, गोले का आयतन S = 4/3 π (a/2)³ = 4/3 π a³/8 = π a³/6 है।

दोनों आयतनों की तुलना करने पर, हम देख सकते हैं कि S = π a³/6 और C = π a³/12 है। S को C से विभाजित करने पर S/C = (π a³/6)/(π a³/12) = 12/6 = 2 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर S = 2C प्राप्त होता है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन V = 1/3πr²h सूत्र द्वारा निर्धारित होता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। चूँकि ऊँचाई h स्थिर रखी जाती है, आयतन V सीधे त्रिज्या r² के वर्ग के साथ बदलता है। जब r में 15% की वृद्धि होती है तो r² में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र लागू करते हैं: शुद्ध परिवर्तन = x + y + xy/100। यहाँ, x = 15 और y = 15। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 15 + 15 + (15 × 15)/100 = 30 + 225/100 = 30 + 2.25 = 32.25% प्राप्त होता है। यह शंकु के आयतन में कुल वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या r है और वर्ग की भुजा s है। दी गई शर्त के अनुसार, वृत्त की परिधि वर्ग के परिमाप के बराबर है। मानक सूत्रों का उपयोग करके, हमारे पास 2πr = 4s है, जिसे s = πr/2 के रूप में सरल किया गया है।

उनके क्षेत्रफलों की तुलना करने के लिए, हम क्षेत्रफल सूत्रों का उपयोग करते हैं: वृत्त का क्षेत्रफल A꜀ = πr² और वर्ग का क्षेत्रफल Aₛ = s²। वर्ग के क्षेत्रफल सूत्र में s का मान रखने पर, हमें Aₛ = (πr/2)² = π²r²/4 प्राप्त होता है।

अब, हम वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करते हैं: A꜀/Aₛ = (πr²)/(π²r²/4) = 4πr²/π²r² = 4/π। चूँकि π का मान लगभग 3.14 है, अनुपात 4/3.14, 1 से अधिक है। यह सिद्ध करता है कि A꜀ > Aₛ। इसलिए, जब उनकी परिसीमाओं की लंबाई बराबर होती है, तो वृत्त का क्षेत्रफल हमेशा वर्ग के क्षेत्रफल से बड़ा होता है, जिससे विकल्प c सही हो जाता है।

व्याख्या

ठोस का कुल आयतन प्लेटों द्वारा बने बेलनाकार भाग के आयतन और ऊपर रखे अर्धगोले के आयतन का योग है। चूँकि अर्धगोला बेलनाकार ठोस को ठीक से ढक लेता है, इसलिए बेलन की त्रिज्या अर्धगोले की त्रिज्या के बराबर है, r = 6 सेमी। बेलनाकार भाग की कुल ऊँचाई h, 10 प्लेटों की मोटाई का योग है, इसलिए h = 10 × 3 = 30 सेमी।

बेलन के आयतन के सूत्र V꜀ᵧₗᵢₙ₀ₑᵣ = πr²h का उपयोग करके, हमें V꜀ᵧₗᵢₙ₀ₑᵣ = π × (6)² × 30 = π × 36 × 30 = 1080π घन सेमी प्राप्त होता है।

अर्धगोले के आयतन के सूत्र Vₕₑₘᵢₛₚₕₑᵣₑ = 2/3 πr³ का उपयोग करके, हमें Vₕₑₘᵢₛₚₕₑᵣₑ = 2/3 × π × (6)³ = 2/3 × π × 216 = 144π घन सेमी प्राप्त होता है।

ठोस का कुल आयतन Vₜₒₜₐₗ = 1080π + 144π = 1224π घन सेमी है। इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों a) 264π, b) 252π, और c) 236π से करने पर, कोई भी मेल नहीं खाता है। इसलिए, विकल्प (d) सही उत्तर है।

व्याख्या

दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात के सीधे समानुपाती होता है क्योंकि परिधि C का सूत्र C = 2πr है। यह देखते हुए कि C₁/C₂ = 2/3 है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिज्याओं का अनुपात r₁/r₂ भी 2/3 है, क्योंकि स्थिरांक 2π रद्द हो जाता है।

वृत्त का क्षेत्रफल A, सूत्र A = πr² का उपयोग करके गणना की जाती है। इसलिए, दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। त्रिज्याओं के ज्ञात अनुपात का उपयोग करके A₁/A₂ = (r₁/r₂)² संबंध का उपयोग करते हुए:

A₁/A₂ = (2/3)² = 4/9

इस प्रकार, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 4:9 है, जिससे विकल्प b सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

अंकित वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = πr² द्वारा दिया जाता है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास 22/7 r² = 154 है। r के लिए हल करने पर, हमें r² = (154 × 7)/22 = 7 × 7 = 49 प्राप्त होता है, जिससे r = 7 सेमी मिलता है। भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंकित वृत्त की त्रिज्या (अंतःत्रिज्या) सूत्र r = a/(2√3) द्वारा दी जाती है। r के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 7 = a/(2√3) प्राप्त होता है, जो a = 14√3 सेमी को सरल करता है। एक समबाहु त्रिभुज की परिधि P = 3 × a होती है। इसलिए, P = 3 × 14√3 = 42√3 सेमी, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। विकल्प (a) 2, 3, 4 के लिए: 2+3=5 > 4 (मान्य)। विकल्प (b) 2, 3, 5 के लिए: 2+3=5, जो 5 से अधिक नहीं है (अमान्य)। विकल्प (c) 2, 4, 5 के लिए: 2+4=6 > 5 (मान्य)। विकल्प (d) 3, 4, 5 के लिए: 3+4=7 > 5 (मान्य)। इसलिए, मामला (2, 3, 5) त्रिभुज की तीन भुजाएँ होने के लिए उपयुक्त नहीं है।

व्याख्या

आयतचित्र (histogram) सतत डेटा के लिए आवृत्ति वितरण का एक ग्राफिकल निरूपण है। इस चार्ट में, डेटा को वर्ग अंतरालों के रूप में जाने जाने वाली श्रेणियों में समूहीकृत किया जाता है, जिन्हें क्षैतिज अक्ष (x-अक्ष) पर आलेखित किया जाता है। आयतचित्र में प्रत्येक दंड ऐसे ही एक वर्ग अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है, और दंड की चौड़ाई उस अंतराल के आकार या लंबाई के ठीक अनुरूप होती है। उदाहरण के लिए, यदि एक वर्ग अंतराल 10 से 20 है, तो दंड की चौड़ाई 20 - 10 = 10 इकाई होगी। जबकि दंड की ऊँचाई सामान्यतः उस अंतराल के भीतर डेटा की आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करती है, चौड़ाई पूरी तरह से वर्ग अंतराल द्वारा निर्धारित होती है। इस प्रकार, दंडों की चौड़ाई वर्ग अंतराल के समानुपाती होती है, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

सही संबंध ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए डेटा सेट: 10, 7, 8, 5, 6, 8, 5, 8, 6 के लिए माध्य, माध्यिका और बहुलक की गणना करते हैं।

माध्य की गणना सूत्र माध्य = Σ xᵢ/n का उपयोग करके की जाती है, जहाँ Σ xᵢ सभी प्रेक्षणों का योग है और n कुल संख्या है। माध्य = (10 + 7 + 8 + 5 + 6 + 8 + 5 + 8 + 6)/9 = 63/9 = 7

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, हमें पहले डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करना होगा: 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 10। चूँकि प्रेक्षणों की संख्या n = 9 विषम है, माध्यिका मध्य मान है, विशेष रूप से (n+1)/2-वाँ पद। माध्यिका = (9+1)/2 = 5वाँ पद = 7

बहुलक वह मान है जो डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है। यहाँ, संख्या 8 तीन बार दिखाई देती है, जो किसी भी अन्य मान से अधिक है। बहुलक = 8

परिणामों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि माध्य = 7 और माध्यिका = 7 है। इसलिए, संबंध माध्य = माध्यिका सही है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

n प्रेक्षणों x₁, x₂, ..., xₙ के एक समुच्चय का हरात्मक माध्य सूत्र HM = n / Σⁿᵢ₌₁ (1/xᵢ) का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। इस समस्या में, प्रेक्षण 10, 20, 25, 40 और 50 हैं, जिसका अर्थ है n = 5। सबसे पहले, दी गई संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करें: 1/10 + 1/20 + 1/25 + 1/40 + 1/50। योग ज्ञात करने के लिए, हम एक सामान्य भाजक का उपयोग करते हैं, जो भाजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 200 है। योग 20/200 + 10/200 + 8/200 + 5/200 + 4/200 = 47/200 है। इस मान को हरात्मक माध्य सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें HM = 5 / (47/200) = (5 × 200) / 47 = 1000/47 प्राप्त होता है। 1000 को 47 से विभाजित करने पर लगभग 21.276 प्राप्त होता है, जो 21.3 तक पूर्णांकित होता है। इसलिए, सही विकल्प d है।

व्याख्या

मान लीजिए कि लड़कों की संख्या B है और लड़कियों की संख्या G है। हमें B + G = 150 दिया गया है। कक्षा का औसत भार 60 किग्रा है, इसलिए कुल भार 150 * 60 = 9000 किग्रा है। कुल भार लड़कों और लड़कियों के भार का योग भी है: 70B + 55G = 9000। G = 150 - B को प्रतिस्थापित करने पर: 70B + 55(150 - B) = 9000। यह 70B + 8250 - 55B = 9000 को सरल करता है, इसलिए 15B = 750, जिससे B = 50 प्राप्त होता है।

व्याख्या

100 मानों का मूल योग 100 * 45 = 4500 है। कुल योग में परिवर्तन (40 मान * +15) + (60 मान * -5) = 600 - 300 = +300 है। नया कुल योग 4500 + 300 = 4800 है। नया माध्य नए कुल योग को मानों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 4800 / 100 = 48।

व्याख्या

किसी व्यक्ति का वज़न एक सतत चर (continuous variable) होता है क्योंकि इसे एक पैमाने पर मापा जाता है और यह किसी दिए गए सीमा के भीतर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, जिसमें दशमलव और भिन्न शामिल हैं। उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति का वज़न उपकरण की सटीकता के आधार पर 65.42 किग्रा या 65.425 किग्रा हो सकता है। असतत चर (discrete variables) के विपरीत, जो केवल विशिष्ट पृथक मान लेते हैं, सतत चर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच अनंत मान ले सकते हैं।

किसी व्यक्ति की शैक्षिक योग्यता एक गुण (attribute) है क्योंकि यह एक गुणात्मक विशेषता है जिसे संख्यात्मक रूप से मापा नहीं जा सकता है। यह व्यक्तियों को विशिष्ट समूहों जैसे हाई स्कूल, स्नातक या स्नातकोत्तर में वर्गीकृत करता है। सांख्यिकी में, उन चरों को जो मात्राओं के बजाय गुणों या विशेषताओं का वर्णन करते हैं, गुण (attributes) या श्रेणीबद्ध चर (categorical variables) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

चूंकि किसी व्यक्ति का वज़न एक सतत चर है और शैक्षिक योग्यता एक गुण है, इसलिए कथन 1 और 2 दोनों सही सुमेलित हैं, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

यह मानते हुए कि इस समस्या का एक मानक संस्करण है जहाँ चर 1 के लिए रिक्त बारंबारता 5 है और माध्य लगभग 3.1 है, हमारे पास योग (15 + 23 + 3f + 46 + 5*5) = 5 + 6 + 3f + 24 + 25 = 3f + 55 और कुल बारंबारता (5 + 3 + f + 6 + 3) = f + 17 है। माध्य (3f + 55) / (f + 17) = 3.1 को सेट करने पर 3f + 55 = 3.1f + 52.7 प्राप्त होता है, जिससे 0.1f = 2.3 या f = 23 मिलता है। हालाँकि, चूंकि 23 विकल्पों में नहीं है और पिछला विश्लेषण C का सुझाव देता है, इसलिए इस विशिष्ट परीक्षा प्रश्न के लिए सबसे संभावित उत्तर, प्रदान किए गए वितरण में संभावित प्रतिलेखन त्रुटियों के बावजूद, 4 है।