सीडीएस II 2017 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

मान लीजिए उभयनिष्ठ गुणनखंड (x - r) है। तब r² - 5r + α = 0 और r² - 7r + 2α = 0। दोनों समीकरणों को घटाने पर 2r - α = 0 प्राप्त होता है, इसलिए α = 2r। α = 2r को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: r² - 5r + 2r = 0, जिसका अर्थ है r² - 3r = 0। चूँकि α गैर-शून्य है, r का मान 3 होना चाहिए। इस प्रकार, α = 2(3) = 6।

व्याख्या

2, 3, 4 और 5 से विभाज्य एक संख्या उनके LCM से विभाज्य होनी चाहिए। LCM(2, 3, 4, 5) = 60। 1 और 1000 के बीच ऐसी पूर्णांकों की संख्या floor(1000/60) = 16 है।

व्याख्या

त्रिघात बहुपद f(x) = x³ + 4x² - 11x - 30 के गुणनखंड ज्ञात करने का सबसे तेज़ तरीका विएटा के सूत्रों या गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करना है। किसी त्रिघात समीकरण ax³ + bx² + cx + d = 0 के लिए विएटा के सूत्रों के अनुसार, मूलों का योग -b/a द्वारा दिया जाता है और मूलों का गुणनफल -d/a द्वारा दिया जाता है। इस बहुपद में, a = 1, b = 4, c = -11, और d = -30 है। इसलिए, मूलों का योग -4/1 = -4 होना चाहिए और मूलों का गुणनफल -(-30)/1 = 30 होना चाहिए। विकल्प (c) के लिए, गुणनखंड (x + 2), (x - 3) और (x + 5) से जुड़े मूल -2, 3, और -5 हैं। इन मानों की जाँच करने पर: योग -2 + 3 - 5 = -4 है और गुणनफल (-2)(3)(-5) = 30 है। चूँकि दोनों शर्तें पूरी होती हैं, ये सही गुणनखंड हैं। वैकल्पिक रूप से, गुणनखंड प्रमेय लागू करके, हम सत्यापित कर सकते हैं कि f(-2) = (-2)³ + 4(-2)² - 11(-2) - 30 = -8 + 16 + 22 - 30 = 0, f(3) = (3)³ + 4(3)² - 11(3) - 30 = 27 + 36 - 33 - 30 = 0, और f(-5) = (-5)³ + 4(-5)² - 11(-5) - 30 = -125 + 100 + 55 - 30 = 0। तीनों मान शून्य देते हैं, जिससे यह पुष्टि होती है कि (x + 2), (x - 3) और (x + 5) गुणनखंड हैं।

व्याख्या

x = (10^20 - 1)/9, y = (10^10 - 1)/3, z = 2(10^10 - 1)/9. y^2 = (10^20 - 2*10^10 + 1)/9. x - y^2 = (10^20 - 1 - 10^20 + 210^10 - 1)/9 = (210^10 - 2)/9 = 2(10^10 - 1)/9. (x - y^2)/z = [2(10^10 - 1)/9] / [2(10^10 - 1)/9] = 1.

व्याख्या

मान लीजिए मूल 3k और 2k हैं। मूलों का योग: 5k = -m/12। मूलों का गुणनफल: 6k^2 = 5/12। k^2 = 5/72, इसलिए k = sqrt(5/72)। m = -60k। धनात्मक m के लिए, k = -sqrt(5/72)। m = 60 sqrt(5/72) = 60 sqrt(5)/(6sqrt(2)) = 10sqrt(5)/sqrt(2) = 5*sqrt(10)।

व्याख्या

दो बहुपदों के गुणनफल की घात उनकी घातों का योग होती है। घात(f(x)g(x)) = 3 + 4 = 7।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद P(x) को एक रैखिक गुणनखंड (x - a) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(a) के बराबर होता है। इस समस्या में, बहुपद P(x) = 5x³ + 5x² - 6x + 9 है और भाजक (x + 3) है। शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम भाजक को शून्य के बराबर रखते हैं: x + 3 = 0, जिससे x = -3 प्राप्त होता है।

बहुपद P(x) में x = -3 का मान रखें: P(-3) = 5(-3)³ + 5(-3)² - 6(-3) + 9 P(-3) = 5(-27) + 5(9) + 18 + 9 P(-3) = -135 + 45 + 18 + 9 P(-3) = -135 + 72 P(-3) = -63

गणना दर्शाती है कि शेषफल -63 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है। यह विधि बहुपदों के दीर्घ विभाजन किए बिना शेषफल ज्ञात करने का सबसे तेज़ तरीका है।

व्याख्या

दो व्यंजकों का गुणनफल = HCF * LCM. LCM = गुणनफल / HCF = [(x + y + z)p^3] / p^2 = (x + y + z)p।

व्याख्या

संख्या रेखा पर दो बिंदुओं x₁ और x₂ के बीच की दूरी निरपेक्ष अंतर सूत्र d = |x₁ - x₂| का उपयोग करके गणना की जाती है। इस समस्या में, बिंदु P = 0.83 और Q = 0.62 दिए गए हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें d = |0.83 - 0.62| प्राप्त होता है। छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाने पर, हमें 0.83 - 0.62 = 0.21 मिलता है। इस दशमलव मान को भिन्न में बदलने के लिए, हम संख्या को दस की संगत घात के ऊपर रखते हैं, जिससे 21/100 प्राप्त होता है। इस परिणाम की दी गई विकल्पों से तुलना करने पर, यह विकल्प (c) से बिल्कुल मेल खाता है। इसलिए, संख्या रेखा पर बिंदु P और Q के बीच की दूरी 21/100 है।

व्याख्या

क्रमिक छूटों के लिए वास्तविक कटौती ज्ञात करने हेतु, सबसे तेज़ तरीका गुणक कारक दृष्टिकोण का उपयोग करना है। d₁, d₂, और d₃ की छूटों के लिए, एकल समतुल्य छूट का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: कुल छूट = [1 - (1 - d₁)(1 - d₂)(1 - d₃)] × 100%

दिए गए मान हैं d₁ = 20% = 0.20, d₂ = 12.5% = 0.125, और d₃ = 5% = 0.05। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: शेष मूल्य कारक = (1 - 0.20) × (1 - 0.125) × (1 - 0.05) = 0.8 × 0.875 × 0.95

पहले दो पदों की गणना करने पर: 0.8 × 0.875 = 4/5 × 7/8 = 7/10 = 0.7

अब, तीसरे पद से गुणा करें: 0.7 × 0.95 = 0.665

अंतिम मूल्य मूल मूल्य का 66.5% है। इसलिए, कुल वास्तविक कटौती है: वास्तविक कटौती = (1 - 0.665) × 100% = 0.335 × 100% = 33.5%

यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए आमों की कुल संख्या X है। 5% सड़े हुए होने के बाद शेष = 0.95X। शेष का 75% बेचने के बाद शेष = 0.95X का 25% = 0.25 * 0.95X = 95। 0.2375X = 95, इसलिए X = 95 / 0.2375 = 400।

व्याख्या

91 किलोमीटर के पत्थरों को पार करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम पहले दूरी = गति × समय सूत्र का उपयोग करके रेलगाड़ी की लंबाई निर्धारित करते हैं। रेलगाड़ी की गति 60 किमी/घंटा है, जिसे 60 × 5/18 = 50/3 मी/सेकंड में बदला जाता है। चूँकि रेलगाड़ी एक किलोमीटर के पत्थर को 12 सेकंड में पार करती है, उसकी लंबाई L = 50/3 × 12 = 200 मीटर, या 0.2 किमी है।

91 किलोमीटर के पत्थरों को पूरी तरह से पार करने के लिए, रेलगाड़ी को पहले और अंतिम पत्थर के बीच की दूरी के साथ-साथ अपनी लंबाई भी तय करनी होगी। 91 किलोमीटर के पत्थरों के बीच की दूरी (91 - 1) × 1 किमी = 90 किमी है। इसलिए, तय की जाने वाली कुल दूरी D = 90 किमी + 0.2 किमी = 90.2 किमी है। समय = दूरी/गति सूत्र का उपयोग करके, कुल समय T = 90.2/60 घंटे है। यह 1 घंटा + 30.2/60 घंटे तक सरल हो जाता है। भिन्न भाग को मिनट में बदलने पर, 30.2/60 × 60 = 30.2 मिनट, जो 30 मिनट और 0.2 × 60 = 12 सेकंड के बराबर है। इस प्रकार, कुल समय 1 घंटा 30 मिनट 12 सेकंड है, जो विकल्प (बी) से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, A की गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए सूत्र गति (मी/से) = गति (किमी/घंटा) × 5/18 का उपयोग करें। A के लिए, गति = 6 × 5/18 = 5/3 मी/से। A द्वारा 100 मीटर की दौड़ पूरी करने में लिया गया समय Tₐ = दूरी/गति = 100/(5/3) = 300/5 = 60 सेकंड है।

चूंकि A, B को 9 सेकंड से हराता है, B को अपनी दौड़ पूरी करने में 60 + 9 = 69 सेकंड लगते हैं। क्योंकि A ने B को 8 मीटर की बढ़त दी थी, B को केवल 100 - 8 = 92 मीटर की दूरी तय करनी होगी। सूत्र गति = दूरी/समय का उपयोग करके, मी/से में B की गति Vᵦ = 92/69 है। 23 से अंश और हर दोनों को विभाजित करके इस भिन्न को सरल बनाने पर, हमें Vᵦ = 4/3 मी/से प्राप्त होता है।

B की गति को वापस किमी/घंटा में बदलने के लिए, 18/5 से गुणा करें। इस प्रकार, B की गति = 4/3 × 18/5 = (4 × 6)/5 = 24/5 = 4.8 किमी/घंटा है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

8x^3 - y^3 = (2x - y)((2x)^2 + (2x)(y) + y^2) = (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2). (4x^2 + 2xy + y^2) से विभाजित करने पर, भागफल (2x - y) है।

व्याख्या

चूंकि (x + 2) एक गुणनखंड है, इसलिए x = -2 दोनों समीकरणों के लिए एक मूल है। (-2)^2 + a(-2) + b = 0 => 4 - 2a + b = 0 => 2a - b = 4। (-2)^2 + b(-2) + a = 0 => 4 - 2b + a = 0 => a - 2b = -4। इन्हें हल करने पर: 2a - b = 4 और a - 2b = -4। घटाने पर: a + b = 8। जोड़ने पर: 3a = 12 => a = 4। तब b = 4। अनुपात a:b = 4:4 = 1।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) सबसे प्रभावी उपकरण है। इस प्रमेय के अनुसार, यदि किसी बहुपद f(x) को (ax - b) रूप के एक रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल भाजक के मूल पर मूल्यांकित बहुपद के मान के बराबर होता है। भाजक का मूल ज्ञात करने के लिए, हम भाजक व्यंजक को शून्य के बराबर रखते हैं: ax - b = 0। x के लिए हल करने पर ax = b प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = b/a। इस मान को बहुपद फलन में वापस प्रतिस्थापित करने पर, शेषफल R निम्न द्वारा दिया जाता है: R = f(b/a)। यह पुष्टि करता है कि विकल्प (a) सही उत्तर है। किसी भी बहुपद विभाजन के लिए जहाँ भाजक प्रथम-डिग्री व्यंजक है, भाजक को शून्य करने वाले x का मान ज्ञात करना और उसे भाज्य में प्रतिस्थापित करना, पूर्ण लंबी विभाजन प्रक्रिया की आवश्यकता के बिना सीधे शेषफल देता है।

व्याख्या

एक पूर्ण वर्ग संख्या हमेशा निम्नलिखित अंकों में से किसी एक में समाप्त होती है: 0, 1, 4, 5, 6, या 9। 2, 3, 7, या 8 में समाप्त होने वाली कोई भी पूर्णांक संख्या कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती है। यह गुण प्रतियोगी परीक्षाओं में अधिकांश विकल्पों को शीघ्रता से समाप्त करने की अनुमति देता है।

दिए गए संख्याओं पर इस इकाई अंक नियम को लागू करने पर: संख्या 2222 का अंतिम अंक 2 है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती। संख्या 343343 का अंतिम अंक 3 है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती। संख्या 220347 का अंतिम अंक 7 है, इसलिए यह पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।

11664 के लिए, इकाई का अंक 4 है, जो आवश्यक शर्त को पूरा करता है। हम वर्गमूल की गणना करके इसकी पुष्टि करते हैं: √11664 = 108। चूंकि 108² = (100 + 8)² = 10000 + 1600 + 64 = 11664, यह एक पूर्ण वर्ग है।

चूंकि संख्याएँ 1, 3, और 4 इकाई अंक परीक्षण में विफल रहती हैं, इसलिए वे पूर्ण वर्ग नहीं हैं, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

बहुपदों का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम बीजीय गुणनखंडन और सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का प्रयोग करते हैं। सबसे पहले, हम दो घन बहुपदों को देखते हैं और उन्हें पदों को समूहित करके गुणनखंडित करते हैं। बहुपद (x³ - 2x² + 4x - 8) के लिए, हम उन्हें x²(x - 2) + 4(x - 2) के रूप में समूहित करते हैं, जो (x² + 4)(x - 2) तक सरल हो जाता है। इसी प्रकार, बहुपद (x³ + 2x² + 4x + 8) के लिए, हम उन्हें x²(x + 2) + 4(x + 2) के रूप में समूहित करते हैं, जो (x² + 4)(x + 2) तक सरल हो जाता है।

अब, हम सभी चार व्यंजकों को एक साथ गुणा करते हैं: गुणनफल = (x + 2)(x - 2) × [(x² + 4)(x - 2)] × [(x² + 4)(x + 2)]

समान पदों को समूहित करने के लिए गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करना: गुणनफल = [(x + 2)(x - 2)] × [(x + 2)(x - 2)] × (x² + 4) × (x² + 4) गुणनफल = [(x + 2)(x - 2)]² × (x² + 4)²

सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का प्रयोग करते हुए, हम जानते हैं कि (x + 2)(x - 2) = x² - 4। इसे वापस प्रतिस्थापित करना: गुणनफल = (x² - 4)² × (x² + 4)² गुणनफल = [(x² - 4)(x² + 4)]²

वर्ग के अंदर के आधार के लिए फिर से सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² लागू करना, जहाँ a = x² और b = 4: गुणनफल = (x⁴ - 4²)² = (x⁴ - 16)²

इस प्रकार, गुणनफल (x⁴ - 16)², है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

व्यंजक x(x + 2)(x + 3)(x + 5) - 72 को गुणनखंडित करने के लिए, हम पदों को इस प्रकार समूहित करते हैं कि प्रत्येक जोड़े में स्थिरांकों का योग बराबर हो। x को (x + 5) के साथ और (x + 2) को (x + 3) के साथ जोड़ने पर 0 + 5 = 5 और 2 + 3 = 5 प्राप्त होता है।

व्यंजक [x(x + 5)][(x + 2)(x + 3)] - 72 बन जाता है, जो (x² + 5x)(x² + 5x + 6) - 72 को सरल करता है।

मान लीजिए y = x² + 5x। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: y(y + 6) - 72 y² + 6y - 72

अब, द्विघात y² + 6y - 72 को गुणनखंडित करने के लिए दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करें जिनका गुणनफल -72 हो और योग 6 हो। ये संख्याएँ 12 और -6 हैं। y² + 12y - 6y - 72 y(y + 12) - 6(y + 12) (y - 6)(y + 12)

y = x² + 5x को गुणनखंडों में वापस प्रतिस्थापित करें: (x² + 5x - 6)(x² + 5x + 12)

द्विघात (x² + 5x - 6) को आगे (x + 6)(x - 1) में गुणनखंडित किया जा सकता है क्योंकि 6 · (-1) = -6 और 6 + (-1) = 5।

इसलिए, अंतिम गुणनखंड (x - 1), (x + 6), और (x² + 5x + 12) हैं, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

बहुपदों का HCF (महत्तम समापवर्तक) x² + x - 2 दिया गया है। इस द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर, हमें x² + 2x - x - 2 = x(x + 2) - 1(x + 2) = (x - 1)(x + 2) प्राप्त होता है। चूँकि यह HCF दोनों f(x) और g(x) को विभाजित करना चाहिए, इसलिए (x - 1) और (x + 2) दोनों f(x) और g(x) के गुणनखंड होने चाहिए।

f(x) = (x - 1)(x² + 3x + a) के लिए, गुणनखंड (x - 1) पहले से मौजूद है। इसलिए, (x + 2) द्विघात भाग x² + 3x + a का गुणनखंड होना चाहिए। गुणनखंड प्रमेय लागू करने पर, द्विघात भाग में x = -2 प्रतिस्थापित करने पर शून्य प्राप्त होना चाहिए: (-2)² + 3(-2) + a = 0 4 - 6 + a = 0 -2 + a = 0 ⇒ a = 2.

g(x) = (x + 2)(x² + 2x + b) के लिए, गुणनखंड (x + 2) पहले से मौजूद है। इसलिए, (x - 1) द्विघात भाग x² + 2x + b का गुणनखंड होना चाहिए। गुणनखंड प्रमेय लागू करने पर, द्विघात भाग में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर शून्य प्राप्त होना चाहिए: (1)² + 2(1) + b = 0 1 + 2 + b = 0 3 + b = 0 ⇒ b = -3.

इस प्रकार, a और b के मान क्रमशः 2 और -3 हैं, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

यह दिया गया है कि ab, cd को विभाजित करता है, हम इस संबंध को किसी पूर्णांक k के लिए cd = k(ab) सूत्र का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं। यह समीकरण दर्शाता है कि a, cd के गुणनफल का भाजक है, जिसे a ∣ cd के रूप में लिखा जाता है। यूक्लिड की लेम्मा के अनुसार, यदि कोई पूर्णांक a दो पूर्णांकों c और d के गुणनफल को विभाजित करता है, और a और c का महत्तम समापवर्तक (GCD) 1 है (जिसका अर्थ है कि वे सह-अभाज्य हैं), तो a को d को विभाजित करना चाहिए। चूंकि समस्या स्पष्ट रूप से बताती है कि a और c सह-अभाज्य हैं, हमारे पास gcd(a, c) = 1 है। इस लेम्मा को a ∣ cd की शर्त पर लागू करने पर, यह तार्किक रूप से अनुसरण करता है कि a ∣ d। इसलिए, a, d का एक गुणनखंड है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

समीकरण a(b-c)x^2 + b(c-a)x + c(a-b) = 0 के गुणांकों का योग a(b-c) + b(c-a) + c(a-b) = ab - ac + bc - ba + ca - cb = 0 है। इसलिए, x = 1 हमेशा एक मूल है। चूँकि मूल बराबर हैं, दोनों मूल 1 होने चाहिए। मूलों का गुणनफल = c(a-b) / [a(b-c)] = 1। ca - cb = ab - ac => 2ac = ab + bc। abc से विभाजित करने पर: 2/b = 1/c + 1/a।

व्याख्या

दिए गए समीकरण को समान हर वाले पदों को प्रत्येक पक्ष पर समूहित करके पुनर्व्यवस्थित करें। पद (b - x²)/cx को बाईं ओर और (b - x)/c को दाईं ओर ले जाएँ:

(a - x²)/bx + (b - x²)/cx = (c - x)/b + (b - x)/c

अब, दोनों पक्षों के लिए एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करें। बाईं ओर, उभयनिष्ठ हर bcx है, और दाईं ओर, यह bc है:

(c(a - x²) + b(b - x²))/bcx = (c(c - x) + b(b - x))/bc

अंशों को सरल करें:

(ac - cx² + b² - bx²)/bcx = (c² - cx + b² - bx)/bc

(b² + ac - (b + c)x²)/bcx = (b² + c² - (b + c)x)/bc

चूंकि b ≠ 0 और c ≠ 0 है, हम दोनों पक्षों के हर से उभयनिष्ठ गुणनखंड bc को रद्द कर सकते हैं:

(b² + ac - (b + c)x²)/x = b² + c² - (b + c)x

भिन्न को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों को x से गुणा करें:

b² + ac - (b + c)x² = (b² + c²)x - (b + c)x²

समीकरण के दोनों पक्षों पर पद (b + c)x² दिखाई देता है और रद्द हो जाता है:

b² + ac = (b² + c²)x

x के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x = (b² + ac)/(b² + c²)

यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के पूर्णांक मूल होने के लिए, विविक्तकर D = b² - 4ac एक पूर्णांक का पूर्ण वर्ग होना चाहिए। दिए गए समीकरण x² + 7x - 14(k² - 7/8) = 0 में, गुणांक a = 1, b = 7, और c = -14(k² - 7/8) हैं।

विविक्तकर D की गणना: D = b² - 4ac D = 7² - 4(1)(-14(k² - 7/8)) D = 49 + 56(k² - 7/8) D = 49 + 56k² - (56 × 7/8) D = 49 + 56k² - 49 D = 56k²

मूलों के पूर्णांक होने के लिए, D एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। हम D = 4 × 14 × k² = (2k)² × 14 लिख सकते हैं। इस व्यंजक के पूर्ण वर्ग होने के लिए, 14 का पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है, जो संभव नहीं है। एकमात्र अन्य संभावना यह है कि यदि k = 0 हो, जिससे D = 0 हो जाता है। यदि k = 0, तो मूल x = -b/2a = -7/2 = -3.5 हैं, जो पूर्णांक नहीं है।

चूंकि विविक्तकर D = 56k² किसी भी पूर्णांक k के लिए कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं होता है जिससे पूर्णांक मूल प्राप्त हो, मूल हमेशा अपरिमेय होंगे यदि k ≠ 0 और गैर-पूर्णांक होंगे यदि k = 0। इस प्रकार, समीकरण का कोई पूर्णांक मूल नहीं है, जिससे विकल्प c सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

500 के बाद 13 से विभाज्य पहली संख्या 507 (13 * 39) है। 1000 से पहले 13 से विभाज्य अंतिम संख्या 988 (13 * 76) है। पदों की संख्या = 76 - 39 + 1 = 38।

व्याख्या

इस समस्या को कार्य और लागत के लिए श्रृंखला नियम (Chain Rule) सूत्र का उपयोग करके कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है: (M₁ · D₁)/W₁ = (M₂ · D₂)/W₂, जहाँ M जानवरों की संख्या, D दिनों की संख्या और W कुल लागत को दर्शाता है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 8 गायें, D₁ = 60 दिन, W₁ = 6400 रुपये M₂ = 5 गायें, D₂ = n दिन, W₂ = 4800 रुपये

(8 · 60)/6400 = (5 · n)/4800

बाएँ पक्ष को सरल बनाने पर: 480/6400 = 5n/4800 3/40 = 5n/4800

अब, n के लिए हल करने पर: 5n = (3 · 4800)/40 5n = 3 · 120 5n = 360 n = 360/5 n = 72

इसलिए, n का मान 72 दिन है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

उत्तीर्ण अंक = 45 + 5 = 50। चूंकि अधिकतम अंकों का 40% = 50 है, इसलिए अधिकतम अंक = 50 / 0.4 = 125।

व्याख्या

u का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरणों को सरल बनाकर शुरू करते हैं। पहला समीकरण 3(2u + v) = 7uv को विस्तारित करने पर 6u + 3v = 7uv प्राप्त होता है। दूसरा समीकरण 3(u + 3v) = 11uv को विस्तारित करने पर 3u + 9v = 11uv प्राप्त होता है। uv पद को समाप्त करने और u तथा v के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करते हैं: (6u + 3v)/(3u + 9v) = 7uv/11uv = 7/11। इस अनुपात को तिरछा गुणा करने पर 11(6u + 3v) = 7(3u + 9v) प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 66u + 33v = 21u + 63v मिलता है। दोनों पक्षों से 21u और 33v घटाकर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर 45u = 30v प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर v = 45u/30 = 3u/2 मिलता है। अब, हम v = 3u/2 को पहले सरलीकृत समीकरण 6u + 3v = 7uv में वापस प्रतिस्थापित करते हैं ताकि 6u + 3(3u/2) = 7u(3u/2) प्राप्त हो। भिन्नों को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 12u + 9u = 21u² प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 21u = 21u² मिलता है। गैर-तुच्छ हल के लिए दोनों पक्षों को 21u से विभाजित करने पर u = 1 प्राप्त होता है, जो विकल्प d के संगत है।

व्याख्या

माना राम की वर्तमान आयु R है और श्याम की वर्तमान आयु S है। पहली शर्त के अनुसार, पाँच वर्ष पूर्व, राम की आयु श्याम की आयु की तीन गुनी थी। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: R - 5 = 3(S - 5) R - 5 = 3S - 15 R = 3S - 10 (समीकरण 1)

दूसरी शर्त के अनुसार, आज से चार वर्ष बाद, राम की आयु श्याम की आयु की दोगुनी होगी। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: R + 4 = 2(S + 4) R + 4 = 2S + 8 R = 2S + 4 (समीकरण 2)

मान ज्ञात करने के लिए, R के दोनों व्यंजकों को बराबर करें: 3S - 10 = 2S + 4 3S - 2S = 4 + 10 S = 14

अब, राम की वर्तमान आयु की गणना करने के लिए समीकरण 2 में S = 14 का मान रखें: R = 2(14) + 4 R = 28 + 4 = 32 वर्ष।

इसलिए, राम की वर्तमान आयु 32 वर्ष है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए 4 कुर्सियों का कुल क्रय मूल्य C है और 9 स्टूलों का कुल क्रय मूल्य S है। समस्या के अनुसार, कुल व्यय C + S = 1340 है। कुल लाभ कुर्सियों और स्टूलों पर व्यक्तिगत लाभ का योग है, जो समीकरण 0.10C + 0.20S = 188 द्वारा दिया गया है। इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, दशमलव को समाप्त करने के लिए लाभ समीकरण को 10 से गुणा करें: C + 2S = 1880। अब, S ज्ञात करने के लिए कुल लागत समीकरण को इस संशोधित लाभ समीकरण से घटाएं: (C + 2S) - (C + S) = 1880 - 1340, जो S = 540 को सरल करता है। S के मान को कुल लागत समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: C + 540 = 1340। C के लिए हल करने पर C = 1340 - 540 = 800 प्राप्त होता है। इस प्रकार, कुर्सियों के लिए भुगतान की गई राशि ₹ 800 है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक {x : x + 5 = 5} समुच्चय-निर्माता संकेतन में लिखा गया है, जो उन गुणों को बताकर एक समुच्चय को परिभाषित करता है जिन्हें उसके सदस्यों को संतुष्ट करना चाहिए। इस समुच्चय के अवयवों को ज्ञात करने के लिए, हमें शर्त समीकरण x + 5 = 5 को हल करना होगा। मूल बीजगणितीय घटाव लागू करके, हम समीकरण के दोनों पक्षों से 5 घटाते हैं: x = 5 - 5, जो कि x = 0 तक सरल हो जाता है। चूँकि 0 ही एकमात्र मान है जो शर्त को संतुष्ट करता है, परिणामी समुच्चय में ठीक एक अवयव होता है, जो कि 0 है। गणितीय समुच्चय संकेतन में, 0 अवयव वाले समुच्चय को {0} के रूप में लिखा जाता है। विकल्प (a) गलत है क्योंकि समुच्चय खाली नहीं है। विकल्प (c) गलत है क्योंकि एक समुच्चय वस्तुओं का एक संग्रह होता है और 0 जैसे अदिश संख्यात्मक मान के बराबर नहीं हो सकता है। विकल्प (d) गलत है क्योंकि {ϕ} अपने एकमात्र अवयव के रूप में खाली समुच्चय वाले एकल समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि 0 संख्या वाले समुच्चय से मौलिक रूप से भिन्न है। इस प्रकार, विकल्प (b) सही कथन है।

व्याख्या

दिया गया है ab + bc + ca = 0, तो -bc = ab + ac. a^2 - bc = a^2 + ab + ac = a(a + b + c). इसी प्रकार, b^2 - ca = b(a + b + c) और c^2 - ab = c(a + b + c). व्यंजक a^2/[a(a+b+c)] + b^2/[b(a+b+c)] + c^2/[c(a+b+c)] = a/(a+b+c) + b/(a+b+c) + c/(a+b+c) = (a+b+c)/(a+b+c) = 1 बन जाता है।

व्याख्या

कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत = 35% + 45% - 20% = 60%। दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत = 100% - 60% = 40%।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, हम एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं। आइए पदों को इस प्रकार प्रतिस्थापित करें: मान लीजिए a = x - y, b = y - z, और c = z - x। सबसे पहले, हम इन चरों का योग जांचते हैं: a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0।

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc। यह सामान्य सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) से प्राप्त होता है, जहाँ a + b + c = 0 होने पर दायां पक्ष शून्य हो जाता है।

हमारे मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, अंश abc है और हर a³ + b³ + c³ है। चूँकि a + b + c = 0 है, हर 3abc तक सरल हो जाता है। इस प्रकार, व्यंजक abc/3abc बन जाता है। सामान्य पद abc को रद्द करके, हमें 1/3 प्राप्त होता है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

माना दिया गया व्यंजक x = √(1 + √(1 + √(1 + ...))) है। चूँकि श्रेणी अनंत है, पहले वर्गमूल के अंतर्गत का भाग भी x के बराबर है। इसलिए, समीकरण को x = √(1 + x) के रूप में लिखा जा सकता है।

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें x² = 1 + x प्राप्त होता है, जिसे द्विघात समीकरण x² - x - 1 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। द्विघात सूत्र x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a का उपयोग करते हुए जहाँ a = 1, b = -1, और c = -1 है, हमें प्राप्त होता है:

x = (-(-1) ± √((-1)² - 4(1)(-1)))/2(1) = (1 ± √(1 + 4))/2 = (1 ± √5)/2

चूँकि वर्गमूल व्यंजक का मान धनात्मक होना चाहिए, हम ऋणात्मक मूल को छोड़ देते हैं। इस प्रकार, x = (1 + √5)/2। √5 ≈ 2.236 के अनुमानित मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x ≈ (1 + 2.236)/2 = 3.236/2 = 1.618 प्राप्त होता है। यह मान, जिसे स्वर्णिम अनुपात (Golden Ratio) के रूप में जाना जाता है, स्पष्ट रूप से 1 और 2 के बीच स्थित है, जिससे विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

log 8000 = log(8 * 10^3) = log 8 + 3 = 0.9031 + 3 = 3.9031. log 600 = log(6 * 10^2) = log 6 + 2 = 0.7782 + 2 = 2.7782. योग = 3.9031 + 2.7782 = 6.6813।

व्याख्या

कुल कार्य = 30 * 40 = 1200 पुरुष-दिन। 24 दिनों में पूरा हुआ कार्य = 30 * 24 = 720 पुरुष-दिन। शेष कार्य = 1200 - 720 = 480 पुरुष-दिन। रुके रहे पुरुषों की संख्या = 480 / 40 = 12 पुरुष। काम छोड़कर जाने वाले पुरुषों की संख्या = 30 - 12 = 18।

व्याख्या

चूंकि 4 बकरियाँ या 6 भेड़ें 50 दिनों में खेत को चर सकती हैं, उनकी चरने की क्षमताएं समतुल्य हैं। संबंध 4G = 6S का उपयोग करके, जहाँ G एक बकरी की चरने की दर है और S एक भेड़ की चरने की दर है, हम इसे 2G = 3S तक सरल बना सकते हैं। इसका मतलब है कि 2 बकरियों द्वारा किया गया कार्य 3 भेड़ों द्वारा किए गए कार्य के बराबर है।

2 बकरियों और 3 भेड़ों द्वारा लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम उनकी संयुक्त चरने की दर R = 2G + 3S की गणना करते हैं। हमारे प्रारंभिक संबंध से 3S को 2G से प्रतिस्थापित करने पर, हमें R = 2G + 2G = 4G प्राप्त होता है।

चूंकि खेत को चरने के लिए आवश्यक कुल कार्य वह मात्रा है जो 4 बकरियाँ 50 दिनों में कर सकती हैं, कुल कार्य W = 4G × 50 है। संयुक्त समूह के लिए आवश्यक समय T = W/R = (4G × 50)/4G = 50 दिन है। इस प्रकार, विकल्प डी सही है।

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 1 इकाई है। नल की भरने की दर R_fill = 1/10 इकाई प्रति घंटा है। निकास बंद करने के बाद, नल को टंकी के शेष भाग को भरने में 7 घंटे लगे। इन 7 घंटों में भरा गया पानी की मात्रा 7 × 1/10 = 7/10 इकाई है। इसका तात्पर्य है कि जिस क्षण निकास बंद किया गया था, टंकी 1 - 7/10 = 3/10 इकाई तक भरी हुई थी। यह 3/10 इकाई पानी पहले 5 घंटों के दौरान भरा गया था जब नल और निकास दोनों खुले थे।

पहले 5 घंटों के दौरान भरने की शुद्ध दर Rₙₑₜ = किया गया कार्य/समय = (3/10)/5 = 3/50 इकाई प्रति घंटा है। निकास रिसाव की दर ज्ञात करने के लिए Rₙₑₜ = R_fill - Rₗₑₐₖ संबंध का उपयोग करके: Rₗₑₐₖ = R_fill - Rₙₑₜ = 1/10 - 3/50 = (5 - 3)/50 = 2/50 = 1/25 इकाई प्रति घंटा। पूरी टंकी को खाली करने में निकास द्वारा लिया गया समय 1/Rₗₑₐₖ = 1/(1/25) = 25 घंटे है। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

कुल चली गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हम पहले पूरी यात्रा के लिए औसत गति की गणना करते हैं। चूँकि स्कूल जाने और वापस आने की दूरी समान है, हम औसत गति के लिए हार्मोनिक माध्य सूत्र का उपयोग करते हैं: औसत गति = 2v₁v₂/(v₁ + v₂)। दी गई गतियों v₁ = 12 किमी/घंटा और v₂ = 8 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें औसत गति = (2 × 12 × 8)/(12 + 8) = 192/20 = 9.6 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

अगला, हम इकाइयों में एकरूपता बनाए रखने के लिए कुल समय को मिनट से घंटे में परिवर्तित करते हैं। कुल समय = 50 मिनट = 50/60 घंटे = 5/6 घंटे।

कुल चली गई दूरी औसत गति और कुल समय का गुणनफल है: कुल दूरी = औसत गति × कुल समय = 9.6 × 5/6। इसे सरल बनाने पर, हमें (9.6/6) × 5 = 1.6 × 5 = 8 किमी प्राप्त होता है। इसलिए, लड़के द्वारा तय की गई कुल दूरी 8 किमी है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

भागों को ज्ञात करने के लिए, पहले दिए गए अनुपात 1 : 1/3 : 1/6 को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 6 से प्रत्येक पद को गुणा करके सरल करें। यह अनुपात को 6 : 2 : 1 में बदल देता है। इन अनुपात भागों का योग 6 + 2 + 1 = 9 है। कुल के एक विशिष्ट भाग की गणना के सूत्र का उपयोग करके, मध्य भाग (मध्य भाग का अनुपात/अनुपातों का योग) × कुल मान द्वारा निर्धारित किया जाता है। सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (2/9) × 78 प्राप्त होता है। इस गणना को सरल बनाने के लिए, 78 और 9 दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) 3 से विभाजित करें, जिससे (2 × 26)/3 प्राप्त होता है, जो 52/3 के बराबर है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

अनुपात पहली:दूसरी = 2:3 = 8:12। अनुपात दूसरी:तीसरी = 4:5 = 12:15। अनुपात पहली:दूसरी:तीसरी = 8:12:15। कुल इकाई = 8 + 12 + 15 = 35। 35 इकाई = 350, इसलिए 1 इकाई = 10। पहली और तीसरी में लड़के = (8 + 15) 10 = 23 10 = 230।

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक रूप से संयोजित) और साधारण ब्याज के बीच के अंतर की गणना सीधे सूत्र D = P(R/100)² का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ D अंतर है, P मूल राशि है, और R ब्याज की वार्षिक दर है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास D = 15 और R = 5 है। 15 = P(5/100)² 15 = P(1/20)² 15 = P/400

मूल P ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: P = 15 × 400 P = 6000

इसलिए, जमा की गई धनराशि ₹ 6,000 है, जो विकल्प a से मेल खाती है। प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में ऐसी समस्याओं को हल करने का यह सबसे तेज़ तरीका है क्योंकि इसमें SI और CI की अलग-अलग गणना करने से बचा जाता है।

व्याख्या

जब मूल्य बढ़ता है और व्यय स्थिर रहता है, तो उपभोग में प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए, हम उपभोग में कमी के मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत कमी = r/(100 + r) × 100, जहाँ r मूल्य में प्रतिशत वृद्धि है।

दिया गया है कि मूल्य r = 12% बढ़ जाता है, हम इस मान को सूत्र में रखते हैं: प्रतिशत कमी = 12/(100 + 12) × 100 प्रतिशत कमी = 12/112 × 100

सबसे पहले, भिन्न 12/112 को अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके सरल करें: (12 ÷ 4)/(112 ÷ 4) = 3/28

अब, 100 से गुणा करें: 3/28 × 100 = 300/28

दोनों को 4 से विभाजित करके और सरल करें: (300 ÷ 4)/(28 ÷ 4) = 75/7

अनुचित भिन्न 75/7 को मिश्रित भिन्न में बदलें: 75 ÷ 7 = 10 शेष 5 के साथ। इसलिए, कमी 10 5/7% है, जो विकल्प d से मेल खाती है।

व्याख्या

डाउनस्ट्रीम गति = 18/4 = 4.5 किमी/ घंटा। अपस्ट्रीम गति = 18/10 = 1.8 किमी/ घंटा। शांत जल में गति = (4.5 + 1.8)/2 = 3.15 किमी/ घंटा। धारा की गति = (4.5 - 1.8)/2 = 1.35 किमी/ घंटा। तीनों कथन सही हैं।

व्याख्या

भुजाएँ 5, 12, 13 एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। एक न्यून कोण थीटा के लिए, sin थीटा = 5/13 और cos थीटा = 12/13 (या इसके विपरीत)। sin थीटा + cos थीटा = 5/13 + 12/13 = 17/13।

व्याख्या

0 < x < π/2 के लिए व्यंजक sin x + cos x की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम सहायक कोण सूत्र a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) sin(θ + α) का उपयोग करते हैं, जहाँ tan α = b/a। यहाँ, a = 1 और b = 1 है, इसलिए √(a² + b²) = √(1² + 1²) = √2 और tan α = 1 है, जिससे α = π/4 मिलता है। व्यंजक को √2 sin(x + π/4) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। दिए गए अंतराल 0 < x < π/2 में, साइन फलन का तर्क π/4 < x + π/4 < 3π/4 तक होता है। इस अंतराल में, sin(x + π/4) का अधिकतम मान 1 है, जो x = π/4 पर होता है। इसलिए, व्यंजक का अधिकतम मान √2 × 1 = √2 है। चूँकि √2 ≈ 1.414 है, जो 2 से सख्ती से कम है, (sin x + cos x) का मान हमेशा 2 से कम होता है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प (b) सही है।

व्याख्या

cos^2 theta = 1 - sin^2 theta = 1 - [(m^2 - n^2)/(m^2 + n^2)]^2 = [(m^2 + n^2)^2 - (m^2 - n^2)^2] / (m^2 + n^2)^2 = [4m^2n^2] / (m^2 + n^2)^2. cos theta = 2mn / (m^2 + n^2).

व्याख्या

त्रिकोणमिति में ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार, किसी त्रिभुज की भुजा का उसके सम्मुख कोण के ज्या (sine) से अनुपात, त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या (circum-radius) के दोगुने के बराबर होता है। सूत्र इस प्रकार दिया गया है: a/sin(A) = 2R, जहाँ a कोण A के सम्मुख भुजा की लंबाई है, और R परिवृत्त त्रिज्या है।

इस समस्या में, कोण A के सम्मुख भुजा BC है, कोण A = 30°, और परिवृत्त त्रिज्या R = 10 सेमी है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

BC = 2R sin(A) BC = 2 × 10 × sin(30°)

चूंकि sin(30°) का मान 1/2 होता है, गणना इस प्रकार होगी:

BC = 20 × (1/2) BC = 10 सेमी

इस प्रकार, भुजा BC की लंबाई 10 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

A = (1/sqrt(2) - 1/2) / (1/sqrt(2) + 1/2) = (2 - sqrt(2)) / (2 + sqrt(2)) = (2 - sqrt(2))^2 / 2 = (6 - 4sqrt(2))/2 = 3 - 2sqrt(2). B = (sqrt(2) - 1) / (sqrt(2) + 1) = (sqrt(2) - 1)^2 / 1 = 2 + 1 - 2sqrt(2) = 3 - 2sqrt(2). A = B.

व्याख्या

एक घड़ी की घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच का कोण θ ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: θ = |30H - 5.5M|, जहाँ H घंटा है और M मिनट है। समय 4:36 बजे दिया गया है, हम सूत्र में H = 4 और M = 36 का मान रखते हैं।

θ = |30(4) - 5.5(36)| θ = |120 - 198| θ = |-78| = 78°

कोण को डिग्री से रेडियन में बदलने के लिए, हम π/180 से गुणा करते हैं: θ = 78 × π/180 = 13π/30 रेडियन।

अब, हम 13π/30 की तुलना विकल्पों में दी गई श्रेणियों से करते हैं। विकल्प B की सीमाओं को 30 के सामान्य हर में बदलते हैं: 2π/5 = 12π/30 और 3π/5 = 18π/30।

चूंकि 12π/30 < 13π/30 < 18π/30, यह स्पष्ट है कि 2π/5 < θ < 3π/5। इसलिए, विकल्प B सही सीमा है।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, हम सर्वसमिका sec²θ + csc²θ = 1/cos²θ + 1/sin²θ = (sin²θ + cos²θ)/(sin²θ cos²θ) = 1/(sin²θ cos²θ) का उपयोग करते हैं। द्वि-कोण सूत्र sin(2θ) = 2sinθ cosθ का उपयोग करके, यह 4/sin²(2θ) बन जाता है। दिया गया है कि 45° < θ < 60°, कोण 2θ, 90° और 120° के बीच स्थित है। इस अंतराल में, sin(2θ) 1 से √3/2 तक घटता है, इसलिए sin²(2θ) 1 से 3/4 तक होता है। परिणामस्वरूप, α² = 4/sin²(2θ), 4 से 16/3 तक होता है, जिसका अर्थ है 2 ≤ α < 4/√3। इस प्रकार, α > 1 सत्य है।

कथन 2 के लिए, हम अर्ध-कोण सर्वसमिका (1 + cosθ)/(1 - cosθ) = cot²(θ/2) लागू करते हैं। मान लीजिए x² = cot²(θ/2), इसलिए x = cot(θ/2)। 0° < θ < 45° के लिए, θ/2 का मान 0° और 22.5° के बीच है। चूँकि इस सीमा में कोटैंजेंट फलन सख्ती से घट रहा है, x का मान cot(22.5°) से अधिक होना चाहिए। सूत्र cot(22.5°) = √2 + 1 ≈ 2.414 का उपयोग करके, हम पाते हैं कि x > 2.414। इसलिए, शर्त x > 2 सत्य है।

कथन 3 के लिए, व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जाता है: cosθ/(1 - tanθ) + sinθ/(1 - cotθ) = cosθ/(1 - sinθ/cosθ) + sinθ/(1 - cosθ/sinθ) = cos²θ/(cosθ - sinθ) + sin²θ/(sinθ - cosθ) = (cos²θ - sin²θ)/(cosθ - sinθ) = cosθ + sinθ। अंतराल 0° < θ < 45° पर cosθ + sinθ = √2 sin(θ + 45°) का अधिकतम मान θ = 45° पर √2 ≈ 1.414 है, और यह θ के 0° के करीब आने पर 1 तक पहुँचता है। चूँकि अधिकतम मान 1.414, 2 से कम है, इसलिए असमिका cosθ + sinθ ≥ 2 असत्य है।

चूँकि केवल कथन 1 और 2 सत्य हैं, इसलिए सत्य कथनों की संख्या दो है।

व्याख्या

मान लीजिए इमारत और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी d है, जो BB' = d द्वारा दी गई है। मान लीजिए इमारत AB की ऊँचाई h है और मीनार A'B' की ऊँचाई h+x है। इमारत के शीर्ष A से मीनार पर एक बिंदु P तक एक क्षैतिज रेखा खींचिए। दूरी AP = BB' = d है, और ऊँचाई PA' = (h+x) - h = x है। A से A' के उन्नयन कोण का उपयोग करते हुए: tan(45°) = PA'/AP ⇒ 1 = x/d ⇒ x = d.

कथन I के लिए, हम व्यंजक h + x में x = d प्रतिस्थापित करते हैं। चूँकि h + x = h + d और इमारत की ऊँचाई h धनात्मक होनी चाहिए (h > 0), इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि h + d > d। इस प्रकार, कथन I सत्य है।

कथन II के लिए, मान लीजिए θ, A' से देखे जाने पर B का अवनमन कोण है। यह कोण B से A' के उन्नयन कोण के समान है। त्रिभुज A'B'B में: tan(θ) = A'B'/BB' = (h+x)/d. x = d प्रतिस्थापित करने पर: tan(θ) = (h+d)/d = h/d + 1. चूँकि h और d धनात्मक हैं, h/d > 0, जिसका अर्थ है tan(θ) > 1। चूँकि tan(45°) = 1, इसलिए θ > 45°। इसलिए, कथन II असत्य है।

चूँकि कथन I सत्य है और कथन II असत्य है, विकल्प c सही है।

व्याख्या

मान लीजिए नदी की चौड़ाई w है और मान लीजिए P किनारा XY पर ऐसा बिंदु है कि TP किनारे पर लंबवत है, जहाँ T मीनार है। यह दूरी TP = w नदी की चौड़ाई को दर्शाती है।

बिंदु X पर, मीनार की दिशा N α° E है, जिसका अर्थ है कि कोण α उत्तर दिशा से पूर्व की ओर मापा जाता है। समकोण त्रिभुज XPT में, हम सूत्र tan θ = सम्मुख/आसन्न का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, tan α = XP/TP = XP/w। दिया गया है tan α = 2, हम पाते हैं XP = 2w।

बिंदु Y पर, मीनार की दिशा N β° W है, जिसका अर्थ है कि कोण β उत्तर दिशा से पश्चिम की ओर मापा जाता है। समकोण त्रिभुज YPT में, हमारे पास tan β = PY/TP = PY/w है। दिया गया है tan β = 0.5, हम पाते हैं PY = 0.5w।

चूंकि आदमी किनारे के साथ X से Y तक चलता है, कुल दूरी XY, XP और PY का योग है। XY = XP + PY 200 = 2w + 0.5w 200 = 2.5w w = 200/2.5 = 80 मीटर।

नदी की चौड़ाई 80 मीटर है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

यह मानते हुए कि प्रश्न का उद्देश्य sin(1 डिग्री) और sin(1 रेडियन) की तुलना करना है। 1 रेडियन लगभग 57.3 डिग्री होता है। sin(1 डिग्री) लगभग 0.0175 होता है, और sin(1 रेडियन) लगभग 0.8415 होता है। अनुपात sin(1 डिग्री)/sin(1 रेडियन) 1 से कम है।

व्याख्या

मान लीजिए दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं। चूँकि उनके व्यासों का अनुपात 12:5 है, इसलिए उनकी त्रिज्याओं का अनुपात भी r₁:r₂ = 12:5 है। हम r₁ = 12x और r₂ = 5x मान सकते हैं।

वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र A = πr² है। प्रश्न में कहा गया है कि इन दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग 65 सेमी व्यास वाले तीसरे वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है, जिसका अर्थ है कि इसकी त्रिज्या r₃ = 65/2 = 32.5 सेमी है।

क्षेत्रफल समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: π(12x)² + π(5x)² = π(32.5)²

दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर: 144x² + 25x² = (32.5)² 169x² = 1056.25 x² = 1056.25 / 169 x² = 6.25 x = √6.25 = 2.5

अब, हम वास्तविक त्रिज्याएँ ज्ञात करते हैं: r₁ = 12 × 2.5 = 30 सेमी r₂ = 5 × 2.5 = 12.5 सेमी

इस प्रकार, त्रिज्याएँ 30 सेमी और 12.5 सेमी हैं, जो विकल्प d से मेल खाती हैं।

व्याख्या

एक घन एक त्रि-आयामी ठोस आकृति है जिसमें 6 फलक और 12 किनारे होते हैं। छह समान वर्गों को जोड़कर एक खोखला घन बनाने के लिए, दो आसन्न वर्गाकार फलकों को जोड़ने के लिए घन के प्रत्येक किनारे पर टेप लगाना आवश्यक है। चूँकि एक घन में ठीक 12 किनारे होते हैं, इसलिए कुल 12 सेलो टेप के टुकड़ों की आवश्यकता होती है।

सेलो टेप के एक आयताकार टुकड़े का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई का उपयोग करके निकाला जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: एक टेप का क्षेत्रफल = 4 सेमी × 0.5 सेमी = 2 वर्ग सेमी।

पूरे घन के लिए प्रयुक्त सेलो टेप के कुल क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए, हम एक टुकड़े के क्षेत्रफल को किनारों की कुल संख्या से गुणा करते हैं: कुल क्षेत्रफल = 12 × 2 वर्ग सेमी = 24 वर्ग सेमी। इस प्रकार, प्रयुक्त टेप का कुल क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है, जो विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए छोटे वृत्त की त्रिज्या r है और बड़े वृत्त की त्रिज्या R है। दिया गया है कि बड़े वृत्त का क्षेत्रफल छोटे वृत्त के क्षेत्रफल का 9 गुना है, इसलिए πR² = 9πr², जो R = 3r को सरल करता है।

दोनों वृत्तों के केंद्र कोण A के कोण समद्विभाजक पर स्थित हैं। मान लीजिए d₁ और d₂ क्रमशः छोटे और बड़े वृत्तों के केंद्रों से शीर्ष A तक की दूरियाँ हैं। वृत्त की स्पर्शरेखाओं के गुणों का उपयोग करके, हमारे पास sin(A/2) = r/d₁ और sin(A/2) = R/d₂ है। चूँकि दो वृत्त एक-दूसरे को बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं, उनके केंद्रों के बीच की दूरी d₂ - d₁ = R + r है।

d₁ और d₂ के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें R/sin(A/2) - r/sin(A/2) = R + r मिलता है। यह दो वृत्तों के लिए सामान्य सूत्र को सरल करता है जो एक-दूसरे को और दो रेखाओं को स्पर्श करते हैं: sin(A/2) = (R - r)/(R + r)। इस सूत्र में R = 3r को प्रतिस्थापित करने पर:

sin(A/2) = (3r - r)/(3r + r) = 2r/4r = 1/2।

चूँकि sin(30°) = 1/2 है, इसलिए A/2 = 30°, जिससे A = 60° प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

माना वर्ग की भुजा s है। मूल वर्ग का परिमाप 4s है। माना समद्विबाहु त्रिभुज की दो बराबर भुजाएँ a हैं। संपूर्ण आकृति के परिमाप में वर्ग की तीन भुजाएँ और त्रिभुज की दो बराबर भुजाएँ शामिल हैं, जो 3s + 2a है। दी गई शर्त के अनुसार, 3s + 2a = 7/6 × 4s। इसे सरल करने पर, हमें 3s + 2a = 14s/3 प्राप्त होता है। a के लिए हल करने पर, हमें 2a = 14s/3 - 3s = 5s/3 प्राप्त होता है, जिससे a = 5s/6 मिलता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसकी ऊँचाई h ज्ञात करते हैं: h = √(a² - (s/2)²)। a का मान रखने पर, हमें h = √((5s/6)² - (s/2)²) = √(25s²/36 - s²/4) = √(25s² - 9s² / 36) = √(16s²/36) = 4s/6 = 2s/3 प्राप्त होता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × s × 2s/3 = s²/3 है। वर्ग का क्षेत्रफल s² है। अतः, त्रिभुज के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात (s²/3)/s² = 1/3 है, जो 1:3 है। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई दी गई हो, तो क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं। मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ a = 51 सेमी, b = 37 सेमी, और c = 20 सेमी हैं। सबसे पहले, हम अर्ध-परिमाप s की गणना सूत्र s = (a + b + c)/2 का उपयोग करके करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें s = (51 + 37 + 20)/2 = 108/2 = 54 सेमी प्राप्त होता है।

अब, हम क्षेत्रफल के लिए हीरोन के सूत्र को लागू करते हैं: क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)। s, a, b, और c के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास क्षेत्रफल = √54(54 - 51)(54 - 37)(54 - 20) = √54 × 3 × 17 × 34 है। गणना को सरल बनाने के लिए, हम संख्याओं को उनके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं: 54 = 2 × 3 × 3 × 3, 3 = 3, 17 = 17, और 34 = 2 × 17। इस प्रकार, व्यंजक √(2 × 3³) × 3 × 17 × (2 × 17) = √2² × 3⁴ × 17² बन जाता है। वर्गमूल लेने पर, हमें 2 × 3² × 17 = 2 × 9 × 17 = 18 × 17 = 306 वर्ग सेमी प्राप्त होता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

वृत्तीय क्षेत्र के बाहर स्थित त्रिभुज PQR के भाग का क्षेत्रफल, त्रिभुज PQR के कुल क्षेत्रफल में से त्रिभुज के अंदर वृत्तीय त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल को घटाकर ज्ञात किया जाता है। चूँकि QR, Q पर एक स्पर्शरेखा है, त्रिज्या PQ, QR के लंबवत है, जिससे त्रिभुज PQR, Q पर समकोण त्रिभुज बन जाता है। यह देखते हुए कि त्रिज्या PQ = r और स्पर्शरेखा की लम्बाई QR = r है, त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × r × r = r²/2 का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

चूँकि PQ = QR है, त्रिभुज PQR एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसका अर्थ है कि कोण ∠QPR 45° है। वृत्तीय क्षेत्र के अंदर त्रिभुज का भाग 45° के केंद्रीय कोण वाला एक त्रिज्यखंड है। इस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र 45°/360° × πr² = 45°/360° × πr² = 1/8 πr² द्वारा दिया जाता है। इसलिए, वृत्तीय क्षेत्र के बाहर का क्षेत्रफल r²/2 - πr²/8 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 1/2 AB AC = 1/2 c b. साथ ही, क्षेत्रफल = 1/2 BC AD = 1/2 a p. इसलिए, bc = ap, जिसका अर्थ है p = bc/a।

व्याख्या

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है और x केंद्र से लंबी जीवा CD तक की लंबवत दूरी है। जीवा CD की आधी लंबाई 10/2 = 5 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, त्रिज्या, केंद्र से दूरी और आधी जीवा के बीच संबंध r² = x² + 5² है। छोटी जीवा AB = 4 सेमी, CD के समानांतर है और 3 सेमी की दूरी पर स्थित है। जीवा AB की आधी लंबाई 4/2 = 2 सेमी है। यदि जीवाएँ केंद्र के एक ही तरफ हैं, तो केंद्र से AB की दूरी x + 3 सेमी है। इस प्रकार, हमारे पास r² = (x+3)² + 2² है। r² के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: x² + 25 = (x+3)² + 4 x² + 25 = x² + 6x + 9 + 4 25 = 6x + 13 12 = 6x x = 2 सेमी। x का मान त्रिज्या सूत्र में वापस रखने पर: r² = 2² + 25 = 4 + 25 = 29 r = √29 सेमी। इस प्रकार, वृत्त की त्रिज्या √29 सेमी है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में जहाँ विकर्ण AC और BD, P पर प्रतिच्छेद करते हैं, त्रिभुज ΔAPB और ΔDPC समरूप होते हैं। यह समरूपता इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि ∠BAP = ∠CDP और ∠ABP = ∠DCP, क्योंकि ये कोण क्रमशः समान चाप BC और AD द्वारा बनाए जाते हैं। इसके अतिरिक्त, ∠APB = ∠DPC, शीर्ष कोणों के कारण।

किसी भी दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस सूत्र को ΔAPB और ΔDPC पर लागू करने पर:

क्षेत्रफल(ΔCPD)/क्षेत्रफल(ΔAPB) = (CD/AB)²

दिए गए मानों क्षेत्रफल(ΔAPB) = 24 वर्ग सेमी, AB = 8 सेमी, और CD = 5 सेमी को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल(ΔCPD)/24 = (5/8)²

क्षेत्रफल(ΔCPD) = 24 × 25/64

भिन्न को सरल बनाने पर (24 और 64 दोनों को 8 से विभाजित करने पर):

क्षेत्रफल(ΔCPD) = 3 × 25/8 = 75/8 = 9.375 वर्ग सेमी

इस प्रकार, त्रिभुज CPD का क्षेत्रफल 9.375 वर्ग सेमी है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, किसी शीर्ष से सम्मुख भुजा पर खींचा गया शीर्षलंब उस भुजा को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा a है। चूँकि BD, AC पर लंबवत है, D, AC का मध्यबिंदु है। इसलिए, AD की लंबाई सूत्र AD = a/2 द्वारा दी जाती है।

समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब BD सूत्र BD = (√3/2)a द्वारा दिया जाता है। BD² का मान ज्ञात करने के लिए, हम शीर्षलंब के व्यंजक का वर्ग करते हैं: BD² = ((√3/2)a)² = 3/4 a²।

अब, AD² के व्यंजक पर विचार करें, AD की लंबाई का वर्ग करके: AD² = (a/2)² = a²/4। दोनों परिणामों की तुलना करके, हम देख सकते हैं कि BD² = 3 × (a²/4) = 3 AD²। इस प्रकार, BD² का मान 3AD² के बराबर है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र L = √(d² - (r₁ - r₂)² ) का उपयोग करते हैं, जहाँ d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ और r₂ क्रमशः बड़े और छोटे वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। इस समस्या में, केंद्रों के बीच की दूरी d 13 सेमी दी गई है, बड़े वृत्त की त्रिज्या r₁ 9 सेमी है, और छोटे वृत्त की त्रिज्या r₂ 4 सेमी है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पहले त्रिज्याओं के बीच का अंतर r₁ - r₂ = 9 - 4 = 5 सेमी ज्ञात करते हैं। फिर, स्पर्शरेखा की लंबाई L = √(13² - 5²) है। यह L = √(169 - 25) तक सरल हो जाता है, जो √144 के बराबर है। 144 का वर्गमूल लेने पर, हमें L = 12 सेमी प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प अ) सही परिणाम है।

व्याख्या

एक त्रिभुज PQR में, यदि O लम्बकेन्द्र है, तो बिंदु P, Q, R और O एक लम्बकेन्द्रीय निकाय बनाते हैं। ऐसे निकाय में, चार बिंदुओं में से कोई भी अन्य तीन द्वारा बनाए गए त्रिभुज का लम्बकेन्द्र होता है। इस प्रकार, Q त्रिभुज OPR का लम्बकेन्द्र है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ कोण C = 90° है और AB कर्ण पर लम्ब CD है: क्षेत्रफल = 1/2 BC CA = 1/2 AB CD. इसलिए, BC CA = AB CD।

व्याख्या

इस समस्या को ब्रिटिश ध्वज प्रमेय (British Flag Theorem) का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो कहता है कि किसी आयत ABCD के अंदर किसी भी बिंदु O के लिए, विपरीत शीर्षों से दूरियों के वर्गों का योग बराबर होता है। इस प्रमेय के लिए गणितीय व्यंजक OA² + OC² = OB² + OD² है।

इसे निर्देशांक ज्यामिति (coordinate geometry) का उपयोग करके प्राप्त करने के लिए, आयत के शीर्षों को D(0, 0), C(w, 0), B(w, h), और A(0, h) मान लीजिए, जहाँ w आयत की चौड़ाई और h ऊँचाई है। बिंदु O को निर्देशांक (x, y) पर मान लीजिए। दूरी सूत्र d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² का उपयोग करके, हम दूरियों के वर्गों की गणना करते हैं: OA² = (x - 0)² + (y - h)² = x² + (y - h)² OC² = (x - w)² + (y - 0)² = (x - w)² + y² OB² = (x - w)² + (y - h)² OD² = (x - 0)² + (y - 0)² = x² + y²

विपरीत शीर्षों के युग्मों को जोड़ने पर: OA² + OC² = x² + (y - h)² + (x - w)² + y² OB² + OD² = (x - w)² + (y - h)² + x² + y²

चूंकि दोनों व्यंजक समान हैं, इसलिए OB² + OD² = OA² + OC² है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

गोले की त्रिज्या R = 2x। बेलन की ऊंचाई h = 2x। गोले की त्रिज्या और बेलन के आयामों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए, R^2 = r^2 + (h/2)^2, जहाँ r बेलन की त्रिज्या है। (2x)^2 = r^2 + (2x/2)^2 का अर्थ है 4x^2 = r^2 + x^2, इसलिए r^2 = 3x^2 और r = x√3। बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल = 2πrh = 2π(x√3)(2x) = 4πx²√3। गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल = 4πR² = 4π(2x)² = 16πx²। अनुपात = (4πx²√3) / (16πx²) = √3/4।

व्याख्या

गोले का आयतन = (4/3)पाई(15^3) = 4500पाई घन सेमी। बेलन में विस्थापित पानी का आयतन = पाईR^2डेल्टा_h, जहाँ R = 30 सेमी। 4500पाई = पाई(30^2)डेल्टा_h का तात्पर्य है 4500 = 900*डेल्टा_h, इसलिए डेल्टा_h = 5 सेमी।

व्याख्या

दिया गया ऊर्ध्वाधर कोण π/2 (90 डिग्री) है, अतः अक्ष और तिर्यक ऊँचाई के बीच का कोण 45 डिग्री है। तिर्यक ऊँचाई l = √2r। ऊँचाई h = lcos(45) = √2r (1/√2) = r। शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3)πr²r = (πr³)/3।

व्याख्या

जब शंकु समरूप होते हैं तो शंकु का आयतन उसके रैखिक विमाओं के घन के समानुपाती होता है। मान लीजिए R संपूर्ण शंकु के आधार की त्रिज्या है और r छिन्नक के ऊपरी सिरे की त्रिज्या है, जो ऊपर से हटाए गए छोटे शंकु के आधार के रूप में भी कार्य करता है। दिए गए अनुपात R:r = 2:1 के अनुसार, त्रिज्याओं का अनुपात r/R = 1/2 है। चूँकि छोटा शंकु और संपूर्ण शंकु समरूप ठोस हैं, उनके आयतनों का अनुपात उनकी संगत त्रिज्याओं के घन के बराबर होता है: Vₛₘₐₗₗ/Vᵩₕₒₗₑ = (r/R)³ = (1/2)³ = 1/8। छिन्नक का आयतन संपूर्ण शंकु के आयतन और हटाए गए छोटे शंकु के आयतन के बीच का अंतर होता है, जिसे V_frustum = Vᵩₕₒₗₑ - Vₛₘₐₗₗ के रूप में दर्शाया जाता है। आवश्यक अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम संपूर्ण शंकु के आयतन से भाग देते हैं: V_frustum/Vᵩₕₒₗₑ = 1 - Vₛₘₐₗₗ/Vᵩₕₒₗₑ = 1 - 1/8 = 7/8। इसलिए, छिन्नक के आयतन का संपूर्ण शंकु के आयतन से अनुपात 7:8 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

शंक्वाकार कोटर का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल, बेलन से खोखला किए गए शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है। इस क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए, हमें पहले शंकु की तिर्यक ऊँचाई l ज्ञात करनी होगी, जो कि पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके निकाली जाती है, क्योंकि त्रिज्या r और ऊँचाई h क्रमशः 6 सेमी और 8 सेमी दी गई हैं।

तिर्यक ऊँचाई का सूत्र है l = √(r² + h²)। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 सेमी प्राप्त होता है।

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = πrl द्वारा दिया जाता है। ज्ञात मानों r = 6 सेमी और l = 10 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हम CSA = π × 6 × 10 = 60π वर्ग सेमी की गणना करते हैं। इसलिए, कोटर का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल 60π वर्ग सेमी है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

बेलन का आयतन = πr²h = π(50²)10 = 25000π। शंकु की ऊँचाई = कुल ऊँचाई - बेलन की ऊँचाई = 15 - 10 = 5 मी। शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3)π(50²)5 = 12500π/3। कुल आयतन = 25000π + 12500π/3 = (75000π + 12500π)/3 = 87500π/3।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। जब L × W विमाओं वाली एक आयताकार चादर को बेलन बनाने के लिए मोड़ा जाता है, तो एक भुजा ऊँचाई h बन जाती है और दूसरी परिधि C = 2πr बन जाती है। इस प्रकार, r = C / (2π)।

पहली 2π × 4π आकार की चादर के लिए: स्थिति 1: मान लीजिए h = 2π और C = 4π। तब r = 4π / (2π) = 2। आयतन V = π(2²)(2π) = 8π² है। स्थिति 2: मान लीजिए h = 4π और C = 2π। तब r = 2π / (2π) = 1। आयतन V = π(1²)(4π) = 4π² है।

दूसरी π × 5π आकार की चादर के लिए: स्थिति 3: मान लीजिए h = π और C = 5π। तब r = 5π / (2π) = 2.5। आयतन V = π(2.5²)(π) = 6.25π² है। स्थिति 4: मान लीजिए h = 5π और C = π। तब r = π / (2π) = 0.5। आयतन V = π(0.5²)(5π) = 1.25π² है।

आयतन 8π², 4π², 6.25π², और 1.25π² की तुलना करने पर, अधिकतम संभव आयतन 8π² है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, BE एक माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि बिंदु E, भुजा AC का मध्यबिंदु है। दिया गया है कि AC = 9 सेमी, तो EC = AC / 2 = 9 / 2 = 4.5 सेमी। चूँकि AD भी एक माध्यिका है, D, भुजा BC का मध्यबिंदु है। अब, त्रिभुज CBE पर विचार करें। इस त्रिभुज में, D, भुजा BC का मध्यबिंदु है और यह दिया गया है कि रेखा DF, भुजा BE के समानांतर खींची गई है, जहाँ बिंदु F, रेखा खंड AC (जिसमें CE शामिल है) पर स्थित है। मध्यबिंदु प्रमेय के विलोम के अनुसार, त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिंदु से खींची गई रेखा जो दूसरी भुजा के समानांतर हो, तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। इसलिए, चूँकि D, BC का मध्यबिंदु है और DF ∥ BE, बिंदु F, CE का मध्यबिंदु होना चाहिए। तब CF की लंबाई CF = CE / 2 = 4.5 / 2 = 2.25 सेमी के रूप में गणना की जाती है। यह विकल्प A से मेल खाता है।

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम के अनुसार, यदि कोई रेखा त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है। त्रिभुज PQR में, बिंदु X, भुजा PR पर स्थित है और बिंदु Y, भुजा QR पर स्थित है। हम उभयनिष्ठ शीर्ष R से शुरू होने वाली भुजाओं PR और QR पर बने खंडों के अनुपातों की तुलना करते हैं।

भुजा PR पर अनुपात RX/RP = 4/10 = 2/5 द्वारा दिया गया है। भुजा QR पर अनुपात RY/RQ = 2/5 द्वारा दिया गया है।

चूंकि RX/RP = RY/RQ = 2/5 है, यह गणितीय रूप से सिद्ध है कि XY, PQ के समानांतर है, जिससे विकल्प (a) सही हो जाता है। इसके अलावा, चूंकि XY || PQ, त्रिभुज RXY, AA समरूपता द्वारा त्रिभुज RPQ के समरूप है। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात XY/PQ = RX/RP = 2/5 है, जिसका अर्थ है PQ = 5/2XY = 2.5XY। यह पुष्टि करता है कि विकल्प (b) और (d) गलत हैं। विकल्प (c) के लिए, PX = PR - RX = 10 - 4 = 6 सेमी और QY = QR - YR = 5 - 2 = 3 सेमी, इसलिए PX ≠ QY।

व्याख्या

कथन 1, एक तल में समानांतर रेखाओं के सकर्मक गुण (transitive property) पर आधारित है। यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार, यदि दो रेखाएँ प्रत्येक तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे एक-दूसरे के समानांतर होती हैं। गणितीय रूप से, यदि A ∥ C और B ∥ C, तो A ∥ B। यह सुनिश्चित करता है कि रेखाएँ A और B कभी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी और उनके बीच एक स्थिर दूरी बनी रहेगी।

कथन 2, द्वि-आयामी समष्टि (two-dimensional space) में लंबवतता (perpendicularity) का एक गुण है। यदि रेखा A, रेखा C पर लंब है (A ⊥ C) और रेखा B, रेखा C पर लंब है (B ⊥ C), तो A और B दोनों एक ही तिर्यक रेखा C पर लंब हैं। चूँकि तिर्यक रेखा के साथ बनने वाले संगत कोण (corresponding angles) दोनों 90° हैं, तो क्रमागत अंतः कोणों (consecutive interior angles) का योग 90° + 90° = 180° है। यह रेखाओं A और B के समानांतर होने के लिए एक पर्याप्त शर्त है।

चूँकि कथन 1 और 2 दोनों तार्किक और ज्यामितीय रूप से सही हैं, इसलिए विकल्प (b) सही उत्तर है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे आकृति चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाती है। इन प्रत्येक त्रिभुजों में, दो लंब विकर्णों की लंबाई के आधे होते हैं, और कर्ण समचतुर्भुज की भुजा के संगत होता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, भुजा a की गणना सूत्र a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ d₁ और d₂ विकर्णों की लंबाई हैं। दिए गए मान d₁ = 20 सेमी और d₂ = 48 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि आधे-लंबाई 20/2 = 10 सेमी और 48/2 = 24 सेमी हैं। इन्हें सूत्र में लागू करने पर, a = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26 सेमी। इस प्रकार, समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई 26 सेमी है, जो विकल्प B से मेल खाती है।

व्याख्या

किसी वृत्त के चाप की लंबाई का परिकलन मानक सूत्र l = rθ का उपयोग करके किया जा सकता है, जहाँ l चाप की लंबाई को दर्शाता है, r वृत्त की त्रिज्या है, और θ केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण को रेडियन में व्यक्त करता है। इस समस्या में, हमें दिया गया है कि चाप की लंबाई l = 22 सेमी और कोण θ = π रेडियन है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 22 = r × π प्राप्त होता है। दिया गया है कि π = 22/7, समीकरण 22 = r × 22/7 बन जाता है। r के लिए हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 7/22 से गुणा करते हैं, जिससे r = 22 × 7/22 प्राप्त होता है। यह r = 7 सेमी तक सरल हो जाता है। इसलिए, वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

चूंकि DE, BC के समानांतर है, इसलिए त्रिभुज ADE, AA समरूपता कसौटी द्वारा त्रिभुज ABC के समरूप है। किन्हीं भी दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत रैखिक विमाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। मान लीजिए त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल Aₐ₀ₑ है और त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल Aₐᵦ꜀ है। प्रश्न के अनुसार, Aₐ₀ₑ = 1/5 Aₐᵦ꜀।

समरूपता गुण का उपयोग करके: Aₐ₀ₑ/Aₐᵦ꜀ = (DE/BC)²

दिए गए मानों Aₐ₀ₑ/Aₐᵦ꜀ = 1/5 और BC = 10 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 1/5 = (DE/10)²

DE के लिए हल करने पर: 1/5 = DE²/100 DE² = 100/5 DE² = 20 DE = √20 = √(4 × 5) = 2√5 सेमी

अतः, DE की लंबाई 2√5 सेमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

n रेखाओं के लिए प्रतिच्छेदन बिंदुओं की अधिकतम संख्या, जहाँ कोई भी दो समानांतर नहीं हैं और कोई भी तीन समवर्ती नहीं हैं, nC2 = n(n-1)/2 द्वारा दी जाती है। n=8 के लिए, प्रतिच्छेदन = 8*7/2 = 28।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक बंद बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है। एक षट्भुज के लिए जहाँ n = 6, आंतरिक कोणों का कुल योग (6 - 2) × 180° = 4 × 180° = 720° है।

मान लीजिए कि पाँच बराबर कोणों में से प्रत्येक का मान x है। समस्या के अनुसार, छठा कोण इनसे 30° अधिक है, जिसका अर्थ है कि यह x + 30° है। इन कोणों को जोड़ने पर, हमें समीकरण 5x + (x + 30°) = 720° मिलता है। इसे सरल करने पर, हमें 6x + 30° = 720° मिलता है, जिससे 6x = 690° प्राप्त होता है। 6 से भाग देने पर, हमें x = 115° मिलता है। इसलिए, बराबर कोणों में से एक का मान 115° है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन I त्रिभुज के परिकेंद्र का वर्णन करता है, जो वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं। परिकेंद्र की स्थिति त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर करती है: यह न्यूनकोण त्रिभुज के अंदर, समकोण त्रिभुज में कर्ण के मध्य बिंदु पर, और अधिक कोण त्रिभुज में त्रिभुज के बाहर स्थित होता है। इसलिए, कथन I सही है।

कथन II त्रिभुज के लम्बकेंद्र का वर्णन करता है, जो वह बिंदु है जहाँ शीर्षलम्ब (शीर्षों से सम्मुख भुजाओं पर खींचे गए लम्ब) प्रतिच्छेद करते हैं। एक न्यूनकोण त्रिभुज में, लम्बकेंद्र अंदर होता है, और एक अधिक कोण त्रिभुज में, यह बाहर होता है। हालाँकि, एक समकोण त्रिभुज में, दो न्यून कोणों से खींचे गए शीर्षलम्ब त्रिभुज की भुजाएँ ही होती हैं। ये शीर्षलम्ब, समकोण से खींचे गए शीर्षलम्ब के साथ, ठीक समकोण वाले शीर्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं। चूँकि एक शीर्ष दो भुजाओं का उभयनिष्ठ अंतिम बिंदु होता है, इसलिए एक समकोण त्रिभुज में लम्बकेंद्र त्रिभुज की दो भुजाओं पर स्थित होता है। इसलिए, कथन II भी सही है।

चूँकि दोनों कथन गणितीय रूप से सटीक हैं, विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

कुल छात्र = 1200। गणित = 1200 का 20% = 240। भौतिकी = 1200 का 1/4 = 300। सांख्यिकी = 320। रसायन विज्ञान = 1200 - (240+300+320) = 340। भौतिकी के लड़के = 300 का 60% = 180। सांख्यिकी के लड़के = 320 - 250 लड़कियाँ = 70। सांख्यिकी और भौतिकी में कुल लड़के = 180 + 70 = 250।

व्याख्या

कुल छात्र = 1200। गणित के छात्रों की संख्या = 1200 का 20% = 20/100 × 1200 = 240। भौतिकी के छात्रों की संख्या = 1200 का 1/4 = 1200/4 = 300। सांख्यिकी के छात्रों की संख्या = 320। रसायन विज्ञान का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या कुल में से शेष है: रसायन विज्ञान के छात्र = 1200 - (240 + 300 + 320) = 1200 - 860 = 340। सांख्यिकी का अध्ययन करने वाली लड़कियों की संख्या 250 दी गई है। आवश्यक प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम मानक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (सांख्यिकी में लड़कियों की संख्या / रसायन विज्ञान के कुल छात्र) × 100 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत = (250 / 340) × 100 = 25/34 × 100 = 2500/34 ≈ 73.529% एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें 73.5% प्राप्त होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

कुल छात्र = 1200। गणित के छात्र = 1200 का 20% = 240। भौतिकी के छात्र = 1200 का 1/4 = 300। सांख्यिकी के छात्र = 320। रसायन विज्ञान के छात्र = 1200 - (240 + 300 + 320) = 340।

अब हम प्रत्येक विषय के लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या की गणना करते हैं ताकि अंतर ज्ञात किया जा सके: गणित के लिए, लड़के = 150, इसलिए लड़कियाँ = 240 - 150 = 90। अंतर 150 - 90 = 60 है। भौतिकी के लिए, लड़के = 300 का 60% = 180, इसलिए लड़कियाँ = 300 - 180 = 120। अंतर 180 - 120 = 60 है। सांख्यिकी के लिए, लड़कियाँ = 250, इसलिए लड़के = 320 - 250 = 70। अंतर |70 - 250| = 180 है। रसायन विज्ञान के लिए, लड़कियाँ = 340 का 3/5 = 204, इसलिए लड़के = 340 - 204 = 136। अंतर |136 - 204| = 68 है।

परिणामों की तुलना करने पर, गणित और भौतिकी दोनों के लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या के बीच का अंतर ठीक 60 है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

गणित के लड़के = 150। भौतिकी कुल = 300, भौतिकी के लड़के = 300 का 60% = 180, इसलिए भौतिकी की लड़कियाँ = 300 - 180 = 120। अंतर = 150 - 120 = 30।

व्याख्या

सबसे पहले, प्रत्येक विषय में छात्रों की संख्या की गणना करें। गणित में 1200 का 20% = 240 छात्र हैं। भौतिकी में 1/4 × 1200 = 300 छात्र हैं। सांख्यिकी 320 छात्र दी गई है। रसायन विज्ञान के छात्र शेष हैं: 1200 - (240 + 300 + 320) = 1200 - 860 = 340 छात्र।

इसके बाद, प्रत्येक विषय के लिए लड़कों और लड़कियों के वितरण का निर्धारण करें। गणित के लिए, लड़के 150 हैं, इसलिए लड़कियाँ 240 - 150 = 90 हैं। भौतिकी के लिए, लड़के 300 का 60% = 180 हैं, इसलिए लड़कियाँ 300 - 180 = 120 हैं। सांख्यिकी के लिए, लड़कियाँ 250 हैं, इसलिए लड़के 320 - 250 = 70 हैं। रसायन विज्ञान के लिए, लड़कियाँ 340 का 3/5 = 204 हैं, इसलिए लड़के 340 - 204 = 136 हैं।

अब, लड़कों और लड़कियों के कुल योग की गणना करें। कुल लड़के = 150 + 180 + 70 + 136 = 536। कुल लड़कियाँ = 90 + 120 + 250 + 204 = 664।

कुल लड़कों की संख्या का कुल लड़कियों की संख्या से अनुपात 536 : 664 है। दोनों पक्षों को उच्चतम सामान्य गुणनखंड, 8 से विभाजित करने पर, हमें 536 ÷ 8 : 664 ÷ 8 = 67 : 83 प्राप्त होता है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी वर्ग के लिए आवृत्ति घनत्व को वर्ग आवृत्ति को वर्ग चौड़ाई से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है।

व्याख्या

कुल वेतन = (5 * 20,000) + (3 * 25,000) + (1 * 65,000) = 100,000 + 75,000 + 65,000 = 240,000। माध्य वेतन = 240,000 / 9 = 26,666.67। माध्य से कम वेतन पाने वाले श्रमिक 5 श्रेणी C के श्रमिक (20,000) और 3 श्रेणी B के श्रमिक (25,000) हैं, जिनकी कुल संख्या 8 है।

व्याख्या

कई खंडों वाली यात्रा के लिए औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय।

इस समस्या में, तय की गई कुल दूरी दो खंडों का योग है: कुल दूरी = 12 किमी + 10 किमी = 22 किमी

कुल समय प्रत्येक खंड के लिए लिए गए समय का योग है। समय की गणना दूरी को गति से विभाजित करके की जाती है: पहले खंड के लिए समय = 12 किमी / 4 किमी/घंटा = 3 घंटे दूसरे खंड के लिए समय = 10 किमी / 5 किमी/घंटा = 2 घंटे कुल समय = 3 घंटे + 2 घंटे = 5 घंटे

इन मानों को औसत गति सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत गति = 22 किमी / 5 घंटे = 4.4 किमी/घंटा

इस प्रकार, व्यक्ति की औसत गति 4.4 किमी/घंटा है, जो विकल्प ए से मेल खाती है।

व्याख्या

एक पाई चार्ट में, वृत्त का क्षेत्रफल उस डेटा के कुल मान का प्रतिनिधित्व करता है जिसे विज़ुअलाइज़ किया जा रहा है। चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र Area = πr² द्वारा दिया जाता है, इसलिए दो परिवारों के व्यय का अनुपात उनके संबंधित पाई आरेखों के क्षेत्रफलों के अनुपात के समानुपाती होता है।

त्रिज्याओं का अनुपात rₐ : rᵦ = 16 : 9 दिया गया है, हम उनके व्यय Eₐ : Eᵦ के अनुपात को Eₐ / Eᵦ = (πrₐ²) / (πrᵦ²) = (rₐ / rᵦ)² संबंध का उपयोग करके निर्धारित कर सकते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Eₐ / Eᵦ = (16 / 9)² = 256 / 81 प्राप्त होता है।

विकल्पों से मिलान करने वाले डेटा को खोजने के लिए, हम जाँचते हैं कि कौन से मानों का जोड़ा 256 : 81 के अनुपात में सरल होता है। विकल्प C में, मान 25,600 और 8,100 हैं। इन्हें विभाजित करने पर 25600 / 8100 = 256 / 81 प्राप्त होता है, जो परिकलित अनुपात से पूरी तरह मेल खाता है। इस प्रकार, विकल्प C उपयुक्त व्यय डेटा प्रदान करता है।

व्याख्या

कथन I सही है क्योंकि बहुलक को वह मान परिभाषित किया जाता है जो किसी दिए गए डेटा सेट या संभाव्यता वितरण में सबसे अधिक बार आता है। आवृत्ति वितरण में, बहुलक उच्चतम आवृत्ति से जुड़े यादृच्छिक चर के मान या संभाव्यता घनत्व फलन के शिखर के अनुरूप होता है।

कथन II गलत है क्योंकि बहुलक आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं होता है। यद्यपि कई वितरण एक-बहुलकी (unimodal) होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका एक शिखर होता है, अन्य द्वि-बहुलकी (bimodal) (दो बहुलक होना) या बहु-बहुलकी (multimodal) (कई बहुलक होना) हो सकते हैं। द्वि-बहुलकी वितरण तब होता है जब दो अलग-अलग मान समान उच्चतम आवृत्ति साझा करते हैं। इसके अलावा, यदि डेटा सेट में सभी मान समान आवृत्ति के साथ होते हैं, तो कहा जाता है कि सेट का कोई बहुलक नहीं है। इसलिए, यह दावा कि बहुलक हमेशा अद्वितीय होता है, गणितीय रूप से गलत है। परिणामस्वरूप, कथन I सत्य है लेकिन कथन II असत्य है, जिससे विकल्प c सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

एक पाई चार्ट में, किसी विशेष मद का कुल के सापेक्ष अनुपात p कई ज्यामितीय गुणों द्वारा दर्शाया जाता है। एक स्लाइस का केंद्रीय कोण θ, θ = p × 360° द्वारा दिया जाता है, जिससे यह p के सीधे समानुपाती हो जाता है। इसी तरह, स्लाइस का क्षेत्रफल A = p × πr² है, और वक्र चाप की लंबाई L = p × 2πr है। दोनों A और L, अनुपात p के सीधे समानुपाती होते हैं क्योंकि वे p और एक स्थिरांक का गुणनफल हैं।

हालांकि, एक स्लाइस की परिधि में वक्र चाप की लंबाई और स्लाइस बनाने वाली दो सीधी त्रिज्याएँ शामिल होती हैं। परिधि P का सूत्र P = 2πrp + 2r है। स्थिरांक पद 2r (दो त्रिज्याएँ) के जुड़ने के कारण, परिधि अनुपात p के साथ रैखिक रूप से भिन्न नहीं होती है। यदि अनुपात p दोगुना हो जाता है, तो परिधि P दोगुनी नहीं होती है। इसलिए, स्लाइस की परिधि मदों के अनुपात के समानुपाती नहीं होती है, जिससे विकल्प (d) गलत कथन बन जाता है।

व्याख्या

गुणोत्तर माध्य(x, y) = √(xy) = 6 का अर्थ है xy = 36। गुणोत्तर माध्य(x, y, z) = ³√(xyz) = 6 का अर्थ है xyz = 216। xy = 36 को xyz = 216 में प्रतिस्थापित करने पर 36z = 216 प्राप्त होता है, इसलिए z = 6।

व्याख्या

डेटा को संग्रह के स्रोत के आधार पर दो मुख्य श्रेणियों में वर्गीकृत किया जाता है: प्राथमिक और द्वितीयक। प्राथमिक डेटा मूल जानकारी है जिसे एक शोधकर्ता द्वारा सर्वेक्षण, साक्षात्कार, प्रयोग या प्रत्यक्ष अवलोकन जैसी विधियों के माध्यम से पहली बार एकत्र किया जाता है। इसके विपरीत, द्वितीयक डेटा वह जानकारी है जिसे पहले से ही किसी अन्य व्यक्ति, एजेंसी या संगठन द्वारा अपने उद्देश्यों के लिए एकत्र, संसाधित और दर्ज किया जा चुका है।

इस परिदृश्य में, शोधकर्ता जन्म रजिस्ट्रार के कार्यालय से जीवित जन्मों की संख्या प्राप्त कर रहा है। चूंकि डेटा मूल रूप से सरकारी रजिस्ट्री कार्यालय द्वारा एकत्र और बनाए रखा गया था, न कि शोधकर्ता द्वारा स्वयं, यह द्वितीयक डेटा का गठन करता है। शोधकर्ता केवल अपने विश्लेषण के लिए मौजूदा रिकॉर्ड का उपयोग कर रहा है, जो द्वितीयक डेटा संग्रह की परिभाषित विशेषता है। विकल्प B सही है क्योंकि रजिस्ट्रार का कार्यालय पूर्व-मौजूदा जानकारी के बाहरी स्रोत के रूप में कार्य करता है।

व्याख्या

माध्य की गणना सूत्र माध्य = Σx/n का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, 5 विद्यार्थियों की ऊँचाइयों का योग 150 + 165 + 161 + 144 + 155 = 775 है। इस योग को प्रेक्षणों की संख्या n = 5 से विभाजित करने पर, हमें माध्य = 775/5 = 155 सेमी प्राप्त होता है। माध्यिका ज्ञात करने के लिए, प्रेक्षणों को पहले आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए: 144, 150, 155, 161, 165। डेटा बिंदुओं की विषम संख्या के लिए, माध्यिका (n + 1)/2-वें स्थान पर मान होता है। यहाँ, माध्यिका क्रमबद्ध सूची में (5 + 1)/2 = तीसरा पद है, जो 155 सेमी है। चूँकि माध्य और माध्यिका दोनों 155 सेमी हैं, विकल्प b सही विकल्प है।

व्याख्या

कुल ऊँचाई = (22 × 140) + (28 × 152) = 3080 + 4256 = 7336 सेमी। कुल विद्यार्थी = 22 + 28 = 50। औसत ऊँचाई = 7336 / 50 = 146.72 सेमी।