सीडीएस II 2008 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि वह संख्या जिसे अनुपात के प्रत्येक पद में जोड़ा जाना है, x है। दी गई शर्त के अनुसार, नया अनुपात 3:4 है। हम अनुपातों के संशोधन के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: (a + x) / (b + x) = c / d दिए गए मानों a = 49, b = 68, c = 3, और d = 4 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (49 + x) / (68 + x) = 3 / 4 पदों को तिरछा गुणा करने पर प्राप्त होता है: 4(49 + x) = 3(68 + x) 196 + 4x = 204 + 3x दोनों पक्षों से 3x घटाने पर: 196 + x = 204 दोनों पक्षों से 196 घटाने पर: x = 204 - 196 x = 8 इसलिए, वह संख्या जिसे प्रत्येक पद में जोड़ा जाना है, 8 है, जो विकल्प c से मेल खाती है। हम मूल पदों में 8 जोड़कर इसकी पुष्टि कर सकते हैं: 49 + 8 = 57 और 68 + 8 = 76। परिणामी अनुपात 57:76 है। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक 19 से विभाजित करने पर, हमें 57/19 : 76/19 प्राप्त होता है, जो 3:4 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

प्रत्येक पद में जोड़ी जाने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए ताकि वे समानुपात में हों, मान लीजिए आवश्यक संख्या x है। समानुपात के गुणधर्म के अनुसार, चार संख्याओं a, b, c, d के समानुपात में होने के लिए, पहली दो का अनुपात अंतिम दो के अनुपात के बराबर होना चाहिए। इसलिए, हम समीकरण को (4 + x)/(10 + x) = (12 + x)/(24 + x) के रूप में स्थापित करते हैं।

वज्र गुणन (cross-multiplication) लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: (4 + x)(24 + x) = (10 + x)(12 + x)

दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: 96 + 4x + 24x + x² = 120 + 10x + 12x + x² 96 + 28x + x² = 120 + 22x + x²

x² को दोनों पक्षों से घटाने और रैखिक पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 28x - 22x = 120 - 96 6x = 24 x = 24/6 x = 4

वैकल्पिक रूप से, एक तेज़ दृष्टिकोण के लिए विकल्पों की विधि का उपयोग करके, विकल्प d (4) को प्रतिस्थापित करने पर (4 + 4)/(10 + 4) = 8/14 = 4/7 और (12 + 4)/(24 + 4) = 16/28 = 4/7 प्राप्त होता है। चूँकि दोनों अनुपात बराबर हैं, जोड़ी जाने वाली संख्या 4 है।

व्याख्या

जब छूट और हानि दोनों प्रतिशत दिए गए हों तो क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच सीधा संबंध उपयोग करें: CP/MP = (100 - छूट%)/(100 - हानि%)। यहाँ, अंकित मूल्य MP = 18000, छूट प्रतिशत 20% है, और हानि प्रतिशत 4% है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें CP/18000 = (100 - 20)/(100 - 4) प्राप्त होता है, जो CP/18000 = 80/96 को सरल करता है। 80/96 भिन्न को 16 से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल करने पर, हमें 5/6 प्राप्त होता है। इसलिए, CP = 18000 × 5/6। 18000 को 6 से विभाजित करने पर 3000 प्राप्त होता है, और 3000 × 5 = 15000। मशीन का क्रय मूल्य रु. 15000 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है। चूँकि धनराशि स्वयं की तिगुनी हो जाती है, इसलिए 25 वर्षों के बाद कुल राशि A, 3P हो जाती है। अर्जित साधारण ब्याज (SI) कुल राशि और मूलधन के बीच का अंतर है, इसलिए SI = A - P = 3P - P = 2P। मानक साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T)/100 का उपयोग करते हुए, जहाँ R प्रति वर्ष ब्याज की दर है और T वर्षों में समय अवधि है, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 2P = (P × R × 25)/100। दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर 2 = (R × 25)/100 प्राप्त होता है। भिन्न 25/100 को 1/4 के रूप में सरल करने पर 2 = R/4 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है R = 2 × 4 = 8%। इसलिए, धनराशि को 25 वर्षों में तिगुना करने के लिए आवश्यक साधारण ब्याज की दर 8% है, जो विकल्प a से मेल खाती है।

व्याख्या

श्रमिकों की संख्या और किसी निश्चित कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के बीच संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह कुल कार्य के सूत्र द्वारा शासित होता है: कुल कार्य = पुरुषों की संख्या × दिनों की संख्या।

पहले मामले में, कुल कार्य m पुरुषों और p दिनों के गुणनफल द्वारा दिया जाता है, जो कि m × p पुरुष-दिन है। दूसरे मामले में, पुरुषों की संख्या बढ़कर (m + r) हो जाती है। मान लीजिए आवश्यक दिनों की संख्या D है। चूँकि कार्य की कुल मात्रा स्थिर रहती है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: (m + r) × D = m × p। D का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों को (m + r) से विभाजित करते हैं, जिससे D = mp/(m + r) प्राप्त होता है। इसलिए, (m + r) पुरुष mp/(m + r) दिनों में कार्य पूरा कर सकते हैं, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम 'या'/'और' शर्तों से जुड़े कार्य तुल्यता (work equivalence) की समस्याओं के लिए मानक शॉर्टकट सूत्र का उपयोग करते हैं। जब एक आदमी या दो महिलाएँ या तीन लड़के D दिनों में एक काम पूरा कर सकते हैं, तो एक आदमी, एक महिला और एक लड़का मिलकर जो समय लेंगे, वह सूत्र द्वारा दिया जाता है: समय = D/(1/m + 1/w + 1/b), जहाँ m, w, और b उन आदमियों, महिलाओं और लड़कों की संख्या है जो D दिनों में व्यक्तिगत रूप से काम कर सकते हैं।

दिया गया है D = 55 दिन, m = 1, w = 2, और b = 3। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: समय = 55/(1/1 + 1/2 + 1/3)

सबसे पहले, 6 का सामान्य भाजक (common denominator) ज्ञात करके हर (denominator) में योग की गणना करें: 1/1 + 1/2 + 1/3 = (6 + 3 + 2)/6 = 11/6

अब, इसे मुख्य समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: समय = 55/(11/6) = 55 × 6/11

55 को 11 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, इसलिए: समय = 5 × 6 = 30 दिन।

इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी की लंबाई L है और उसकी एकसमान गति v है। मूल सूत्र दूरी = गति × समय के अनुसार, जब रेलगाड़ी एक टेलीग्राफ पोस्ट को पार करती है, तो तय की गई दूरी उसकी अपनी लंबाई L के बराबर होती है। इस प्रकार, L = v × 8। जब रेलगाड़ी 200 मीटर के पुल को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी रेलगाड़ी की लंबाई और पुल की लंबाई का योग होती है, जो L + 200 है। इस प्रकार, L + 200 = v × 24। चूँकि गति v स्थिर है, हम गति के लिए दो व्यंजकों को बराबर कर सकते हैं: L/8 = (L + 200)/24। हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 24 से गुणा करने पर 3L = L + 200 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से L घटाकर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 2L = 200 प्राप्त होता है, जिससे L = 100 मीटर प्राप्त होता है। इसलिए, रेलगाड़ी की लंबाई 100 मीटर है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं। चूंकि ट्रेन और व्यक्ति विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है।

सापेक्ष गति इस प्रकार दी गई है: Vᵣₑₗ = Vₜᵣₐᵢₙ + Vₘₐₙ = 60 किमी/घंटा + 6 किमी/घंटा = 66 किमी/घंटा

इस गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए, हम 5/18 से गुणा करते हैं: Vᵣₑₗ = 66 × 5/18 = (11 × 5)/3 = 55/3 मी/से

व्यक्ति को पार करने के लिए तय की जाने वाली दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर है, जो 110 मीटर है। सूत्र समय = दूरी/सापेक्ष गति का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: समय = 110/(55/3) = 110 × 3/55 = 2 × 3 = 6 सेकंड

इस प्रकार, वह समय जिसमें ट्रेन व्यक्ति को पार करेगी, 6 सेकंड है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका को पहचान कर शीघ्रता से हल किया जा सकता है। सर्वसमिका इस प्रकार दी गई है: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)। दिए गए व्यंजक में, मान लीजिए a = 2.3 और b = 0.3।

अंश को देखते हुए, हम देखते हैं कि 0.027 = (0.3)³, इसलिए अंश (2.3)³ - (0.3)³ है।

हर को देखते हुए, हमारे पास (2.3)² + 0.69 + 0.09 है। चूँकि 0.69 = 2.3 × 0.3 और 0.09 = (0.3)², हर ठीक a² + ab + b² के रूप में है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (a³ - b³)/(a² + ab + b²) = (a - b)(a² + ab + b²)/(a² + ab + b²) = a - b

अब, a और b के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2.3 - 0.3 = 2

इस प्रकार, व्यंजक का मान 2 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले समीकरण के बाएँ पक्ष (LHS) को सरल करें। वर्गमूल के अंदर के पदों को 196 के सामान्य हर लेकर संयोजित करें, जिससे 1 + 93/196 = (196 + 93)/196 = 289/196 प्राप्त होता है। अब, अंश और हर का अलग-अलग वर्गमूल लें। चूँकि 17² = 289 और 14² = 196 है, LHS सरल होकर 17/14 हो जाता है।

अब, सरल किए गए LHS को दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर रखें: 17/14 = 1 + x/14

x का मान ज्ञात करने के लिए, RHS पर पदों को संयोजित करने के लिए 1 को 14/14 के रूप में लिखें: 17/14 = (14 + x)/14

चूँकि दोनों पक्षों के हर बराबर हैं, हम अंशों को बराबर कर सकते हैं: 17 = 14 + x

दोनों पक्षों से 14 घटाने पर x = 17 - 14 प्राप्त होता है, जिससे x = 3 आता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

व्यंजक 9√2 - √8 - 4√2 को सरलीकृत करने के लिए, हमें पहले सभी पदों को समान रेडिकल, √2 के रूप में व्यक्त करना होगा। हम √8 को √(a × b) = √a × √b गुणधर्म का उपयोग करके सरलीकृत करके शुरू करते हैं। चूँकि 8 = 4 × 2 है, हमारे पास √8 = √(4 × 2) = 2√2 है। इस मान को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, यह 9√2 - 2√2 - 4√2 हो जाता है। अब जब सभी पद समान पद हैं, तो हम उनके गुणांकों पर घटाव करके उन्हें संयोजित कर सकते हैं: (9 - 2 - 4)√2। गुणांकों की गणना करने पर 9 - 2 = 7 और 7 - 4 = 3 प्राप्त होता है। इसलिए, सरलीकृत परिणाम 3√2 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या N है। विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, किसी भी संख्या को N = dq + r के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ d भाजक है, q भागफल है, और r शेषफल है। दिया गया भाजक d = 987 और शेषफल r = 59 है, हम संख्या को N = 987q + 59 के रूप में लिख सकते हैं।

जब N को 21 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम N (mod 21) का मूल्यांकन करते हैं। N के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (987q + 59) (mod 21) प्राप्त होता है। चूँकि 987, 21 का गुणज है (987 = 21 × 47), पद 987q, 21 से पूरी तरह विभाज्य है और 0 शेषफल देता है।

समस्या मूल शेषफल 59 को 21 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने तक सरल हो जाती है। सूत्र r_अंतिम = r_प्रारंभिक (mod d_नया) का उपयोग करके, हम 59 (mod 21) की गणना करते हैं। चूँकि 21 × 2 = 42, शेषफल 59 - 42 = 17 है। इस प्रकार, जब संख्या को 21 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 17 होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक वर्ग संख्या को एक पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक पूर्णांक का वर्ग है। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या दो वर्ग संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक वर्ग संख्या होती है, हम घातांकों के बीजगणितीय गुण का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए दो वर्ग संख्याओं को a² और b² के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ a और b पूर्णांक हैं। इन दो संख्याओं का गुणनफल a² × b² है। बीजगणित में गुणन के घात नियम के अनुसार, aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ। दिए गए मामले में जहाँ n = 2 है, हम इसे लागू करते हैं, हमारे पास a² × b² = (ab)² है। चूँकि दो पूर्णांकों a और b का गुणनफल हमेशा एक पूर्णांक होता है, इसलिए परिणामी मान (ab)² परिभाषा के अनुसार एक वर्ग संख्या होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि हम 4 (जो 2² है) और 9 (जो 3² है) लेते हैं, तो उनका गुणनफल 4 × 9 = 36 होता है, और 36, 6² है, जो एक वर्ग संख्या है। यह गणितीय पहचान सुनिश्चित करती है कि किन्हीं भी दो वर्ग संख्याओं का गुणनफल हमेशा एक वर्ग संख्या होता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, जो A पर समकोण है, कर्ण BC की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: BC = √(AB² + AC²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = 5 इकाई। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 1/2 × AB × AC = 1/2 × 3 × 4 = 6 वर्ग इकाई है।

इसे हल करने का सबसे तेज़ तरीका समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करना है। चूँकि AD, BC पर लंब है, त्रिभुज ABD, त्रिभुज CBA के समरूप है क्योंकि वे ∠B साझा करते हैं और दोनों में एक समकोण है (∠ADB = ∠CAB = 90°)। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

Area(ΔABD)/Area(ΔCBA) = (AB/CB)²

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: Area(ΔABD)/6 = (3/5)² Area(ΔABD) = 6 × 9/25 = 54/25 वर्ग इकाई।

यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

समकोण बनाने वाली भुजाओं को b और x मान लीजिए। समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल A को देखते हुए, हम दूसरी भुजा x = 2A/b ज्ञात करने के लिए सूत्र A = 1/2 bx का उपयोग करते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण c की गणना c = √(b² + x²) = √(b² + (2A/b)²) के रूप में की जाती है। इस व्यंजक को सरल करने पर c = √((b⁴ + 4A²)/b²) = √(b⁴ + 4A²)/b प्राप्त होता है। त्रिभुज के क्षेत्रफल को कर्ण c और कर्ण पर शीर्षलंब h का उपयोग करके A = 1/2 ch के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। h के लिए हल करने पर, हमें h = 2A/c प्राप्त होता है। c के मान को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें h = 2A/(√(b⁴ + 4A²) / b) = 2Ab/√(b⁴ + 4A²) प्राप्त होता है। यह विकल्प (a) में दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई AB = c और BC = a है। चूँकि त्रिभुज ABC, B पर समकोण है, पाइथागोरस प्रमेय से, AC² = a² + c²। दिया गया है कि M और N क्रमशः AB और BC के मध्य बिंदु हैं, इसलिए BM = c/2 और BN = a/2।

समकोण त्रिभुज ABN में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: AN² = AB² + BN² = c² + (a/2)² = c² + a²/4।

इसी प्रकार, समकोण त्रिभुज CBM में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: CM² = CB² + BM² = a² + (c/2)² = a² + c²/4।

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: AN² + CM² = (c² + a²/4) + (a² + c²/4) = (a² + c²) + (a² + c²)/4 = 5/4(a² + c²)।

AC² = a² + c² को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: AN² + CM² = 5/4AC²।

इसलिए, 4(AN² + CM²) = 4 × 5/4AC² = 5AC²। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग ABCD की भुजा s है। विकर्ण AC की लंबाई s√2 है, इसलिए दूरी AO = 1/2 AC = s√2/2 = s/√2। दी गई शर्तों के अनुसार, AK = AO = s/√2 और BL = BO = s/√2।

इस समस्या को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, हम O(0,0) पर मूल बिंदु के साथ एक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करते हैं। शीर्ष A(-s/2, s/2) और B(s/2, s/2) हैं। चूँकि K और L, AB खंड पर स्थित हैं, उनके y-निर्देशांक s/2 हैं। K का x-निर्देशांक -s/2 + AK = -s/2 + s/√2 = s((√2-1)/2) है। L का x-निर्देशांक s/2 - BL = s/2 - s/√2 = s((1-√2)/2) है।

मान लीजिए α वह कोण है जो OK धनात्मक y-अक्ष के साथ बनाता है। तब tan α = xₖ/yₖ = (s(√2-1)/2)/(s/2) = √2-1। चूँकि आकृति y-अक्ष के सममित है, ∠LOK = θ = 2α। स्पर्शरेखा के लिए द्वि-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए: tan θ = tan(2α) = (2 tan α)/(1 - tan² α) tan α = √2-1 को प्रतिस्थापित करते हुए: tan θ = (2(√2-1))/(1 - (√2-1)²) = (2√2-2)/(1 - (2 + 1 - 2√2)) = (2√2-2)/(1 - 3 + 2√2) = (2√2-2)/(2√2-2) = 1। इस प्रकार, tan θ का मान 1 है।

व्याख्या

सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय लागू करके जांचें कि क्या त्रिभुज समकोण है। भुजाएँ 30 मीटर, 40 मीटर और 50 मीटर हैं। चूँकि 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500, और 50² = 2500, समीकरण a² + b² = c² सत्य है। यह पुष्टि करता है कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जहाँ 50 मीटर की भुजा कर्ण है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके निकाला जा सकता है। आधार और ऊँचाई के रूप में दो छोटी भुजाओं का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल = 1/2 × 30 × 40 = 600 वर्ग मीटर।

कर्ण पर शीर्षलंब ज्ञात करने के लिए, हम कर्ण को आधार के रूप में लेते हुए उसी क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हैं: क्षेत्रफल = 1/2 × कर्ण × शीर्षलंब। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 600 = 1/2 × 50 × h प्राप्त होता है। यह 600 = 25h को सरल करता है। h के लिए हल करने पर, हमें h = 600/25 = 24 मीटर प्राप्त होता है। इसलिए, 50 मीटर भुजा के सम्मुख शीर्षलंब की लम्बाई 24 मीटर है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

इस समस्या में गली की विपरीत दीवारों के सहारे झुकी हुई सीढ़ी द्वारा बनाए गए दो समकोण त्रिभुज शामिल हैं। गली की चौड़ाई को सीढ़ी के पैर से दोनों दीवारों तक की दूरियों के योग के रूप में लिया गया है, जिसे क्रमशः x और y से दर्शाया गया है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, दीवार से दूरी का सूत्र d = √(L² - h²) है, जहाँ L सीढ़ी की लंबाई है और h दीवार पर पहुंची ऊंचाई है।

पहली ओर के लिए, दूरी x की गणना इस प्रकार की जाती है: x = √(34² - 30²) सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: x = √((34 - 30)(34 + 30)) = √(4 × 64) = √256 = 16 मीटर

दूसरी ओर के लिए, दूरी y की गणना इस प्रकार की जाती है: y = √(34² - 16²) उसी सर्वसमिका का उपयोग करके: y = √((34 - 16)(34 + 16)) = √(18 × 50) = √900 = 30 मीटर

गली की कुल चौड़ाई इन दोनों दूरियों का योग है: चौड़ाई = x + y = 16 + 30 = 46 मीटर

इस प्रकार, गली की चौड़ाई 46 मीटर है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

ज्या के नियम (Law of Sines) के अनुसार, किसी भी त्रिभुज की भुजाएँ उनके सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं। इसे सूत्र a/sin A = b/sin B = c/sin C द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ a, b, c क्रमशः कोण A, B, C के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। 90°, 60°, और 30° कोण वाले त्रिभुज के लिए, भुजाओं का अनुपात sin 90° : sin 60° : sin 30° द्वारा दिया जाता है। त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास sin 90° = 1, sin 60° = √3/2, और sin 30° = 1/2 है। अनुपात 1 : √3/2 : 1/2 हो जाता है। हर को समाप्त करने के लिए पूरे अनुपात को 2 से गुणा करने पर, हमें 2 : √3 : 1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 90°, 60°, और 30° के सम्मुख भुजाओं का अनुपात 2:√3:1 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल को दो अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है। पहला, दो लम्बों a और b को आधार और ऊंचाई के रूप में उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल 1/2 ab है। दूसरा, कर्ण c को आधार के रूप में और समकोण से कर्ण पर डाले गए लम्ब p को ऊंचाई के रूप में उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल 1/2 cp है। क्षेत्रफल के इन दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें 1/2 ab = 1/2 cp प्राप्त होता है, जो ab = cp को सरल बनाता है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर a²b² = c²p² प्राप्त होता है। एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, इसलिए c² = a² + b²। वर्गित क्षेत्रफल समीकरण में c² का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a² + b²)p² = a²b² प्राप्त होता है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक घड़ी की घंटे की सुई 12 घंटे में 360° का कोण तय करती है। इसलिए, एक घंटे में घंटे की सुई द्वारा घुमाया गया कोण 360°/12 = 30° है, और एक मिनट में घुमाया गया कोण 30°/60 = 0.5° है। दोपहर 12:00 बजे से 3:45 अपराह्न तक तय की गई कुल कोण ज्ञात करने के लिए, हम बीते हुए कुल समय का निर्धारण करते हैं, जो 3 घंटे और 45 मिनट है। सूत्र कुल कोण = (घंटे × 30°) + (मिनट × 0.5°) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: कुल कोण = (3 × 30°) + (45 × 0.5°) = 90° + 22.5° = 112.5°। इस प्रकार, घंटे की सुई 112.5° का कोण घुमाती है, जो विकल्प (c) के संगत है।

व्याख्या

उन्नयन कोण को दृष्टि रेखा की क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच बनने वाले कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब कोई प्रेक्षक अपनी आँख के स्तर से ऊपर स्थित किसी वस्तु को ऊपर देखता है। इसी तरह, अवनमन कोण क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच बनने वाला कोण होता है, जब प्रेक्षक अपनी आँख के स्तर से नीचे स्थित किसी वस्तु को नीचे देखता है। दोनों ही मामलों में, कोण मापने के लिए आधार रेखा हमेशा क्षैतिज रेखा होती है, जिसे प्रेक्षक की आँख से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा के रूप में कल्पना की जाती है। गणितीय रूप से, यदि दृष्टि रेखा क्षैतिज के साथ θ कोण बनाती है, तो θ उन्नयन या अवनमन कोण होता है जो दृष्टि की दिशा पर निर्भर करता है। ऊर्ध्वाधर के सापेक्ष मापन पूरक कोण प्रदान करेगा, न कि उन्नयन या अवनमन कोण स्वयं। इसलिए, ये माप केवल क्षैतिज संदर्भ पर आधारित होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए गोल गुब्बारे की त्रिज्या r = 1 इकाई है और गुब्बारे के केंद्र को O से निरूपित किया जाता है। मान लीजिए A प्रेक्षक की स्थिति है। प्रेक्षक की आँख पर गुब्बारे द्वारा बनाया गया कोण बिंदु A से गोले पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण है। मान लीजिए यह कुल बनाया गया कोण 2θ है। दी गई समस्या के अनुसार, 2θ = 90°, जिसका अर्थ है कि θ = 45°। केंद्र O, स्पर्श बिंदु T, और प्रेक्षक A द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, कोण ∠OTA 90° है क्योंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है। कोण ∠OAT, θ = 45° के बराबर है। कोण के साइन के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास sin(θ) = OT/OA है, जहाँ OT त्रिज्या r है और OA केंद्र से प्रेक्षक की दूरी है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, sin(45°) = 1/OA। चूँकि sin(45°) = 1/√2 है, हमारे पास 1/√2 = 1/OA है। OA के लिए हल करने पर, हमें OA = √2 मिलता है। इसलिए, गुब्बारे के केंद्र की बिंदु A से दूरी √2 इकाई है, जो विकल्प (b) के अनुरूप है।

व्याख्या

इस समस्या को पूरक कोण सर्वसमिका का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो बताती है कि sin θ = cos(90° - θ) या cos θ = sin(90° - θ)।

दिए गए समीकरण sin(x + 54°) = cos x में, हम सर्वसमिका के अनुसार cos x को sin(90° - x) से प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें प्राप्त होता है: sin(x + 54°) = sin(90° - x)

चूंकि समस्या में यह निर्दिष्ट है कि 0 < x और x + 54° < 90°, दोनों कोण न्यून कोण हैं और पहले चतुर्थांश में स्थित हैं। इसलिए, हम सीधे साइन फलनों के तर्कों को बराबर कर सकते हैं: x + 54° = 90° - x

x के लिए हल करने के लिए, हम x पद को बाईं ओर और स्थिरांक को दाईं ओर ले जाते हैं: x + x = 90° - 54° 2x = 36° x = 36°/2 x = 18°

इस प्रकार, x का मान 18° है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए समकोण त्रिभुज की छोटी भुजा a और बड़ी भुजा b है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। मूल त्रिभुज के लिए, हमारे पास a² + b² = (3√10)² है, जो a² + b² = 9 × 10 = 90 को सरल करता है। जब छोटी भुजा को तिगुना (3a) और बड़ी भुजा को दोगुना (2b) किया जाता है, तो नया कर्ण 9√5 होता है। इससे हमें दूसरा समीकरण (3a)² + (2b)² = (9√5)² मिलता है, जो 9a² + 4b² = 81 × 5 = 405 को सरल करता है।

a के लिए हल करने के लिए, हम पहले समीकरण को 4 से गुणा करके 4a² + 4b² = 360 प्राप्त कर सकते हैं। इसे दूसरे समीकरण से घटाने पर, हमें (9a² + 4b²) - (4a² + 4b²) = 405 - 360 मिलता है, जिससे 5a² = 45 प्राप्त होता है। इस प्रकार, a² = 9, जिसका अर्थ है कि छोटी भुजा a = 3 इकाई है। a = 3 को पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3² + b² = 90 मिलता है, जिसका अर्थ है 9 + b² = 90, जिससे b² = 81 प्राप्त होता है। इसलिए, बड़ी भुजा b = 9 इकाई है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

समीकरण 1 + tan θ = √2 को देखते हुए, हम पहले tan θ को अलग करके उसका मान ज्ञात करते हैं: tan θ = √2 - 1। चूँकि cot θ, tan θ का व्युत्क्रम (reciprocal) होता है, हम संबंध cot θ = 1 / tan θ का उपयोग करते हैं। tan θ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें cot θ = 1 / (√2 - 1) प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम संयुग्मी (conjugate) (√2 + 1) से अंश और हर को गुणा करके हर का परिमेयकरण (rationalize) करते हैं: cot θ = 1 / (√2 - 1) × (√2 + 1) / (√2 + 1) = (√2 + 1) / ((√2)² - 1²) = (√2 + 1) / (2 - 1) = √2 + 1। अब, हमें cot θ - 1 का मान ज्ञात करना है। cot θ का परिकलित मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें (√2 + 1) - 1 = √2 प्राप्त होता है। इसलिए, व्यंजक का मान √2 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय समीकरण sin(x - y) = 1/2 और cos(x + y) = 1/2 दिए गए हैं। हम मानक त्रिकोणमितीय मानों से जानते हैं कि sin(30°) = 1/2 और cos(60°) = 1/2। इनकी तुलना करके, हम दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित कर सकते हैं: x - y = 30° (समीकरण 1) x + y = 60° (समीकरण 2) x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण 1 और समीकरण 2 को एक साथ जोड़ते हैं: (x - y) + (x + y) = 30° + 60° 2x = 90° दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = 45° इसलिए, x का मान 45° है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग (अल्फा + बीटा) = -b/a और मूलों का गुणनफल (अल्फा बीटा) = c/a है। हमें (1/अल्फा² - 1/बीटा²)² का मान ज्ञात करना है। यह व्यंजक ((बीटा² - अल्फा²) / (अल्फा² बीटा²))² = ((बीटा - अल्फा)(बीटा + अल्फा))² / (अल्फा बीटा)⁴ को सरल बनाता है। हम जानते हैं कि (बीटा - अल्फा)² = (अल्फा + बीटा)² - 4अल्फाबीटा = (-b/a)² - 4(c/a) = (b² - 4ac) / a²। साथ ही, (बीटा + अल्फा)² = (-b/a)² = b² / a² और (अल्फा बीटा)⁴ = (c/a)⁴ = c⁴ / a⁴। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: [(b² - 4ac) / a² * b² / a²] / (c⁴ / a⁴) = [b²(b² - 4ac) / a⁴] / (c⁴ / a⁴) = b²(b² - 4ac) / c⁴। इस परिणाम की विकल्पों से तुलना करने पर, विकल्प A a²(b² - 4ac) / c⁴ है। विकल्प में एक टाइपोग्राफ़िकल त्रुटि है जहाँ 'b²' के बजाय 'a²' लिखा गया है, लेकिन दिए गए उत्तर कुंजी और व्यंजक के रूप के आधार पर, विकल्प A ही इच्छित सही उत्तर है।

व्याख्या

इस समीकरण निकाय को हल करने के लिए, हम दो रैखिक समीकरण बनाने के लिए अनुपातों को युग्मों में बराबर करते हैं। सबसे पहले, पहले दो व्यंजकों को बराबर करने पर (3x - y + 1)/3 = (2x + y + 2)/5 प्राप्त होता है। तिरछा गुणा करने पर, हमें 5(3x - y + 1) = 3(2x + y + 2) मिलता है, जो 15x - 5y + 5 = 6x + 3y + 6 को सरल करता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 9x - 8y = 1 प्राप्त होता है।

अगला, हम दूसरे और तीसरे व्यंजकों को बराबर करते हैं: (2x + y + 2)/5 = (3x + 2y + 1)/6। तिरछा गुणा करने पर 6(2x + y + 2) = 5(3x + 2y + 1) मिलता है, जो 12x + 6y + 12 = 15x + 10y + 5 को सरल करता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 3x + 4y = 7 प्राप्त होता है।

अब हम निकाय को हल करते हैं:

1. 9x - 8y = 1
2. 3x + 4y = 7

समीकरण 2 को 2 से गुणा करने पर 6x + 8y = 14 मिलता है। इसे समीकरण 1 में जोड़ने पर, हमें (9x - 8y) + (6x + 8y) = 1 + 14 मिलता है, जिसका अर्थ है 15x = 15, इसलिए x = 1। समीकरण 2 में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3(1) + 4y = 7 मिलता है, जिससे 4y = 4, इसलिए y = 1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, हल x = 1, y = 1 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए राम और श्याम की वर्तमान आयु क्रमशः R और S है। पहली शर्त के अनुसार, 10 साल पहले, राम की आयु R - 10 थी और श्याम की आयु S - 10 थी। प्रश्न कहता है कि R - 10 = 5(S - 10), जो सरल होकर R - 10 = 5S - 50, या R = 5S - 40 हो जाता है। दूसरी शर्त के अनुसार, अब से 20 साल बाद, राम की आयु R + 20 होगी और श्याम की आयु S + 20 होगी। प्रश्न कहता है कि R + 20 = 2(S + 20), जो सरल होकर R + 20 = 2S + 40, या R = 2S + 20 हो जाता है। श्याम की वर्तमान आयु ज्ञात करने के लिए, हम R के लिए दो व्यंजकों को बराबर करते हैं: 5S - 40 = 2S + 20। दोनों पक्षों से 2S घटाने पर 3S - 40 = 20 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों में 40 जोड़ने पर 3S = 60 प्राप्त होता है, जिससे S = 20 मिलता है। अतः, श्याम की वर्तमान आयु 20 वर्ष है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए पिता की वर्तमान आयु F और पुत्र की S है। दिया गया है कि उनकी आयु का योग F + S = 75 है, हम पुत्र की आयु को S = 75 - F के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। प्रश्न में कहा गया है कि 5 वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 750 था, जिससे समीकरण (F - 5)(S - 5) = 750 प्राप्त होता है। S के मान को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (F - 5)(75 - F - 5) = 750 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (F - 5)(70 - F) = 750 हो जाता है। गुणनफल का विस्तार करने पर, हमें 70F - F² - 350 + 5F = 750 प्राप्त होता है। इसे एक मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें F² - 75F + 1100 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र F = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a) का उपयोग करके, हम F = (75 ± √(75² - 4(1)(1100)))/2 = (75 ± √(5625 - 4400))/2 = (75 ± √1225)/2 = (75 ± 35)/2 की गणना करते हैं। इससे दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: F = 110/2 = 55 या F = 40/2 = 20। चूँकि पिता की आयु पुत्र की आयु से अधिक होनी चाहिए, पिता की वर्तमान आयु 55 वर्ष है।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके प्रत्येक बहुपद का गुणनखंड करते हैं। सबसे पहले, अंश x² - 3x + 2 का गुणनखंड (x-1)(x-2) के रूप में किया जाता है। हर x³ - 8 घनों का अंतर है, x³ - 2³, जो सूत्र a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²) का अनुसरण करता है, जिससे (x-2)(x² + 2x + 4) प्राप्त होता है।

दूसरे, भाजक (x² - 9)/(x² + 7x + 12) के लिए, अंश x² - 9 वर्गों का अंतर (x-3)(x+3) है और हर x² + 7x + 12 का गुणनखंड (x+3)(x+4) होता है।

तीसरे, अंतिम पद (x³ + 2x² + 4x)/(x² + 3x - 4) में, अंश से सामान्य पद x निकालकर x(x² + 2x + 4) प्राप्त किया जाता है, और हर का गुणनखंड (x+4)(x-1) होता है।

भाग को व्युत्क्रम के साथ गुणा में बदलकर समग्र व्यंजक को फिर से लिखा जाता है: ((x-1)(x-2))/((x-2)(x² + 2x + 4)) × ((x+3)(x+4))/((x-3)(x+3)) × (x(x² + 2x + 4))/((x+4)(x-1))

अंशों और हरों में सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके, हम देखते हैं कि (x-1), (x-2), (x+3), (x+4), और (x² + 2x + 4) सभी रद्द हो जाते हैं। इससे केवल x/(x-3) बचता है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रतीक ϕ रिक्त समुच्चय को दर्शाता है, जो अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है। घात समुच्चय P(ϕ) को ϕ के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। समुच्चय सिद्धांत के मौलिक गुण के अनुसार, रिक्त समुच्चय ϕ प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, जिसमें स्वयं भी शामिल है, जिसे ϕ ⊆ ϕ लिखा जाता है। घात समुच्चय की परिभाषा के अनुसार, यदि A ⊆ S, तो A ∈ P(S)। इसलिए, चूँकि ϕ ⊆ ϕ, यह आवश्यक है कि ϕ ∈ P(ϕ)।

घात समुच्चय की गणनांक के सूत्र, |P(S)| = 2^|S| का उपयोग करते हुए, हम देख सकते हैं कि चूँकि |ϕ| = 0, इसके घात समुच्चय की गणनांक |P(ϕ)| = 2⁰ = 1 है। इस घात समुच्चय में एकमात्र अवयव रिक्त समुच्चय स्वयं है, जिसका अर्थ है P(ϕ) = {ϕ}। यह पुष्टि करता है कि ϕ, P(ϕ) का एक अवयव है, जिससे कथन d सही हो जाता है। कथन a असत्य है क्योंकि रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता है; कथन b सही तथ्य का निषेध है; और कथन c असत्य है क्योंकि शून्य अवयवों वाला समुच्चय एक अवयव वाले समुच्चय के बराबर नहीं हो सकता है।

व्याख्या

दिया गया अनुक्रम 2, 4, 16, 256, .... है। प्रत्येक पद को 2 की घात के रूप में व्यक्त करने पर, पैटर्न स्पष्ट हो जाता है: 2 = 2¹, 4 = 2², 16 = 2⁴, और 256 = 2⁸। आधार 2 के घातांक 1, 2, 4, 8, ..., हैं, जिन्हें 2⁰, 2¹, 2², 2³, .... के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि समुच्चय में तत्वों का सामान्य रूप x = 2^(2ⁿ) है। दिए गए समुच्चय के लिए इस सूत्र को सत्यापित करने हेतु, हम n के मानों का परीक्षण करते हैं: n = 0 के लिए, x = 2^(2⁰) = 2¹ = 2; n = 1 के लिए, x = 2^(2¹) = 2² = 4; n = 2 के लिए, x = 2^(2²) = 2⁴ = 16; और n = 3 के लिए, x = 2^(2³) = 2⁸ = 256। चूँकि अनुक्रम 2 से शुरू होता है, सूचकांक n को 0 से शुरू होना चाहिए। इसलिए, समुच्चय को सही ढंग से {x ∈ N | x = 2^(2ⁿ), n = 0, 1, 2, ...} के रूप में निरूपित किया गया है, जो विकल्प (b) के अनुरूप है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण y = (aˣ)ʸ है। हम घातांक को सरल बनाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों पर प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लागू करते हैं। इससे log y = log((aˣ)ʸ) प्राप्त होता है। लघुगणक गुण log(mⁿ) = n log m के अनुसार, घातांक y को लघुगणक के सामने लाया जा सकता है, जिससे log y = y log(aˣ) प्राप्त होता है। आगे, पद log(aˣ) पर पुनः घात नियम लागू करते हुए, हम गुण log(aˣ) = x log a का उपयोग करते हैं। इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें log y = y(x log a) प्राप्त होता है। यह सीधे log y = xy log a को सरल बनाता है। यह संबंध दर्शाता है कि y का लघुगणक चर x, चर y और स्थिर आधार a के लघुगणक का गुणनफल है। यह विकल्प (a) में दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया संक्रिया सूत्र p q = 2p + 2q - pq द्वारा परिभाषित है। 8 x = 4 होने पर x का मान ज्ञात करने के लिए, हम संक्रिया सूत्र में p = 8 और q = x प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें समीकरण 2(8) + 2(x) - (8)(x) = 4 प्राप्त होता है। पदों को सरल बनाने पर, हमें 16 + 2x - 8x = 4 मिलता है। x वाले समान पदों को मिलाने पर 16 - 6x = 4 प्राप्त होता है। x के लिए हल करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम 6x को बाईं ओर और 4 को दाईं ओर ले जाते हैं, जिससे 6x = 16 - 4 प्राप्त होता है। यह सरल होकर 6x = 12 हो जाता है। दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर, हमें x = 12 / 6 प्राप्त होता है, जिससे x = 2 आता है। चूँकि x = 2 एक प्राकृत संख्या है, यह समस्या की दी गई शर्तों को संतुष्ट करती है। अतः, x का मान 2 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी समुच्चय को एक विशिष्ट गणितीय संक्रिया के अंतर्गत संवृत कहा जाता है यदि उस समुच्चय के किन्हीं दो अवयवों पर वह संक्रिया करने पर परिणाम हमेशा उसी समुच्चय का एक अवयव प्राप्त हो। पूर्णांकों के समुच्चय ℤ के लिए, जिसमें ऋणात्मक संख्याएँ, शून्य और धनात्मक पूर्ण संख्याएँ शामिल हैं, यह गुण योग और गुणन दोनों के लिए लागू होता है। यदि a और b कोई दो पूर्णांक हैं, तो उनका योग a + b निश्चित रूप से एक पूर्णांक होगा, और उनका गुणनफल a × b भी निश्चित रूप से एक पूर्णांक होगा। इसके विपरीत, पूर्णांकों का समुच्चय विभाजन के अंतर्गत संवृत नहीं है क्योंकि दो पूर्णांकों का भागफल हमेशा एक पूर्णांक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 1 ÷ 2 = 0.5, जो एक परिमेय संख्या है लेकिन पूर्णांक नहीं है। चूँकि योग और गुणन दोनों लगातार पूर्णांकों के समुच्चय के भीतर परिणाम देते हैं, विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

प्रश्न में दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में से एक के बारे में पूछा गया है। यदि योग 761 होता, तो पूर्णांक 380 और 381 होते, जो विकल्पों में नहीं हैं। हालाँकि, यदि प्रश्न का आशय "जिनके वर्गों का योग 761 है" था, तो हमारे पास n^2 + (n + 1)^2 = 761 है। इसे सरल करने पर 2n^2 + 2n + 1 = 761 प्राप्त होता है, जिससे 2n^2 + 2n - 760 = 0, या n^2 + n - 380 = 0 प्राप्त होता है। इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: n = [-1 + sqrt(1 - 4(1)(-380))] / 2 = [-1 + sqrt(1521)] / 2 = (-1 + 39) / 2 = 19। दो क्रमागत पूर्णांक 19 और 20 हैं। इनमें से एक 20 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला बनाने के लिए परिमेयकरण (rationalization) की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है। 1/(√n + √(n+1)) के रूप में किसी भी पद के लिए, हम संयुग्मी (conjugate) √(n+1) - √n से अंश और हर दोनों को गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं।

बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) (a+b)(a-b) = a² - b² का उपयोग करते हुए, सामान्य पद बन जाता है: 1/(√n + √(n+1)) × (√(n+1) - √n)/(√(n+1) - √n) = (√(n+1) - √n)/((n+1) - n) = √(n+1) - √n

इस सूत्र को श्रृंखला के प्रत्येक पद पर लागू करने पर: पहला पद 1/(1 + √2) = √2 - 1 दूसरा पद 1/(√2 + √3) = √3 - √2 तीसरा पद 1/(√3 + √4) = √4 - √3 अंतिम पद 1/(√15 + √16) = √16 - √15

इन पदों को एक साथ जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है: (√2 - 1) + (√3 - √2) + (√4 - √3) + … + (√16 - √15)

इस टेलीस्कोपिंग योग में, प्रत्येक मध्यवर्ती पद रद्द हो जाता है (उदाहरण के लिए, √2 और -√2 रद्द हो जाते हैं, √3 और -√3 रद्द हो जाते हैं, इत्यादि)। केवल पहला ऋणात्मक पद और अंतिम धनात्मक पद शेष रहते हैं: योग = √16 - 1 = 4 - 1 = 3

इसलिए, व्यंजक का मान 3 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

पांच अलग-अलग राज्यों के जनसंख्या घनत्व का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक एकल बार आरेख सबसे उपयुक्त उपकरण है क्योंकि डेटा में असतत श्रेणियां (राज्य) और उनके संगत संख्यात्मक मान शामिल होते हैं। जनसंख्या घनत्व की गणना कुल जनसंख्या / कुल क्षेत्रफल के रूप में की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप प्रत्येक राज्य के लिए एक विशिष्ट मान होता है। चूंकि उद्देश्य विभिन्न संस्थाओं में इन स्वतंत्र मानों की तुलना करना है, एक साधारण बार चार्ट बार की ऊंचाइयों की सीधी दृश्य तुलना की अनुमति देता है, जिससे यह पहचानना आसान हो जाता है कि किस राज्य का घनत्व सबसे अधिक या सबसे कम है। इसके विपरीत, पाई आरेख और प्रतिशत बार आरेख का उपयोग किसी संपूर्ण की संरचना या घटकों के सापेक्ष अनुपात को दिखाने के लिए किया जाता है, जो राज्यों में पूर्ण घनत्व मानों की तुलना करते समय प्राथमिक आवश्यकता नहीं है। इसलिए, विकल्प (a) सही विकल्प है।

व्याख्या

लुप्त बारंबारताओं को हल करने के लिए कुल बारंबारता सूत्र Σ fᵢ = N और अंकगणितीय माध्य सूत्र X̄ = (Σ fᵢ Xᵢ)/N का प्रयोग करें। कुल बारंबारता से, हमें 4 + f + 9 + g + 4 = 25 प्राप्त होता है, जो सरल होकर f + g = 8 हो जाता है। माध्य सूत्र का उपयोग करके, हमें 2 = ((0 × 4) + (1 × f) + (2 × 9) + (3 × g) + (4 × 4))/25 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 25 से गुणा करने पर 50 = f + 18 + 3g + 16 प्राप्त होता है, जो सरल होकर f + 3g = 16 हो जाता है। अब हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है: f + g = 8 और f + 3g = 16। दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर (f + 3g) - (f + g) = 16 - 8 प्राप्त होता है, जिससे 2g = 8 आता है, अतः g = 4। समीकरण f + 4 = 8 में g = 4 को प्रतिस्थापित करने पर f = 4 प्राप्त होता है। इसलिए, लुप्त बारंबारता f, 4 है, जिससे विकल्प a सही उत्तर है।

व्याख्या

एक हिस्टोग्राम में, प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल संगत वर्ग अंतराल की आवृत्ति के समानुपाती होता है, न कि ऊँचाई के। बार की ऊँचाई आवृत्ति घनत्व का प्रतिनिधित्व करती है, जिसकी गणना सूत्र ऊँचाई = आवृत्ति/वर्ग चौड़ाई का उपयोग करके की जाती है। यदि वर्ग चौड़ाई असमान हैं, तो ऊँचाई सीधे आवृत्ति के समानुपाती नहीं होगी। इस प्रकार, कथन (c) गलत है क्योंकि यह ऊँचाई निर्धारित करने में वर्ग चौड़ाई की भूमिका को अनदेखा करता है।

अन्य कथन हिस्टोग्राम के सही गुण हैं। कथन (b) सत्य है क्योंकि हिस्टोग्राम विशेष रूप से सतत समूहीकृत डेटा के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। कथन (d) सटीक है क्योंकि बहुलक को सबसे ऊँचे बार (बहुलक वर्ग) की पहचान करके और शीर्ष कोनों से आसन्न बार तक प्रतिच्छेदन रेखाओं की ज्यामितीय विधि का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है। कथन (a) आवृत्ति वक्र बनाने की प्रक्रिया का वर्णन करता है, जो हिस्टोग्राम बार के शीर्ष किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़कर बनाए गए आवृत्ति बहुभुज का एक चिकना संस्करण है।

व्याख्या

एक एकल अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके समतल वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है। मानक सूत्रों का उपयोग करते हुए, एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² होता है और वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल πr² होता है। इसलिए, एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² + πr² = 3πr² होता है। चूँकि गोले को दो बराबर हिस्सों में काटा जाता है, इसलिए रंगने के लिए दो ऐसे अर्धगोले हैं। दोनों हिस्सों का संयुक्त कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2 × 3πr² = 6πr² वर्ग इकाई है। यह देखते हुए कि रंगाई की दर रु. 8 प्रति वर्ग इकाई है, कुल लागत की गणना कुल क्षेत्रफल को दर से गुणा करके की जाती है। कुल लागत = 6πr² × 8 = 48πr² रुपये। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है और गोले का आयतन सूत्र V = 4/3πr³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या को दर्शाता है। समस्या के अनुसार, पृष्ठीय क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान आयतन के संख्यात्मक मान का तीन गुना है। हम समीकरण को 4πr² = 3 × (4/3πr³) के रूप में स्थापित कर सकते हैं। समीकरण के दाहिने पक्ष को सरल बनाने पर, अंश और हर में 3 रद्द हो जाते हैं, जिससे 4πr² = 4πr³ बचता है। दोनों पक्षों को 4πr² से विभाजित करने पर, हमें 1 = r प्राप्त होता है। चूँकि त्रिज्या r 1 सेमी है, व्यास D की गणना 2 × r = 2 × 1 = 2 सेमी के रूप में की जाती है। इसलिए, विकल्प b सही विकल्प है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है, जिसे ठोस अर्धगोले के लिए SA = 3πr² या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए CSA = 2πr² के रूप में व्यक्त किया जाता है। दोनों ही स्थितियों में, दो अर्धगोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है: SA₁/SA₂ = r₁²/r₂²। दिया गया है कि SA₁/SA₂ = 4/1, तो हमारे पास r₁²/r₂² = 4/1 है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्याओं का अनुपात r₁/r₂ = √(4/1) = 2/1 है। एक अर्धगोले का आयतन सूत्र V = 2/3πr³ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि आयतनों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात के घन के समानुपाती होता है: V₁/V₂ = r₁³/r₂³। त्रिज्या अनुपात का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें V₁/V₂ = (2/1)³ = 8/1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, उनके आयतनों का अनुपात 8:1 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

पात्र का कुल आयतन लम्ब वृत्तीय बेलन के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है। कुल आयतन V का सूत्र V = πr²h꜀ᵧₗ + 2/3 πr³ द्वारा दिया गया है, जहाँ r त्रिज्या है और h꜀ᵧₗ बेलन की ऊँचाई है। दिए गए मान V = 32400π और r = 15 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

32400π = π(15)²h꜀ᵧₗ + 2/3 π(15)³

पूरे समीकरण को π से विभाजित करने पर यह सरल हो जाता है: 32400 = 225h꜀ᵧₗ + 2/3 (3375) 32400 = 225h꜀ᵧₗ + 2250

दोनों पक्षों से 2250 घटाने पर: 225h꜀ᵧₗ = 30150 h꜀ᵧₗ = 30150/225 = 134 सेमी

पात्र की कुल ऊँचाई h बेलन की ऊँचाई और अर्धगोले की त्रिज्या का योग है: h = h꜀ᵧₗ + r = 134 + 15 = 149 सेमी

इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, 149 सेमी की सीमा 135 सेमी < h < 150 सेमी के भीतर आती है, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

एक खोखले बेलनाकार पाइप में प्रयुक्त धातु का आयतन V = π(R² - r²)h सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है, r आंतरिक (बोर) त्रिज्या है, और h बेलन की ऊँचाई या लंबाई है।

सबसे पहले, स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए सभी विमाओं को सेंटीमीटर में बदलें। लंबाई h 1.4 मीटर = 140 सेमी है। बोर त्रिज्या r 2.5 सेमी दी गई है। बाहरी त्रिज्या R बोर त्रिज्या और धातु की मोटाई का योग है, इसलिए R = 2.5 सेमी + 1 सेमी = 3.5 सेमी।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 22/7 × (3.5² - 2.5²) × 140

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम त्रिज्या पद को सरल बना सकते हैं: 3.5² - 2.5² = (3.5 - 2.5)(3.5 + 2.5) = 1 × 6 = 6 सेमी²

अब, अंतिम आयतन की गणना करें: V = 22/7 × 6 × 140 V = 22 × 6 × 20 V = 132 × 20 = 2640 सेमी³

इस प्रकार, पाइप में प्रयुक्त लोहे का आयतन 2640 सेमी³ है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

जब एक समकोणीय वृत्तीय शंकु को उसके आधार के समानांतर एक समतल द्वारा काटा जाता है, तो परिणामी छोटा शंकु ज्यामितीय रूप से मूल शंकु के समान होता है। किन्हीं भी दो समान ठोसों के लिए, उनके आयतनों का अनुपात उनके संगत रैखिक आयामों, जैसे त्रिज्या, ऊँचाई या तिर्यक ऊँचाई के अनुपात के घन के बराबर होता है।

समानता सूत्र का उपयोग करके: V₁ / V₂ = (l₁ / l₂)³

यह दिया गया है कि मूल शंकु l₁ और छोटे शंकु l₂ की तिर्यक ऊँचाइयों का अनुपात 2 : 1 है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: V₁ / V₂ = (2 / 1)³ V₁ / V₂ = 8 / 1

इस प्रकार, मूल शंकु V₁ के आयतन का छोटे शंकु V₂ के आयतन से अनुपात 8 : 1 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु C₁ का आयतन सूत्र V₁ = 1/3 π r₁² h₁ द्वारा परिभाषित किया गया है, और एक लम्ब वृत्तीय बेलन C₂ का आयतन सूत्र V₂ = π r₂² h₂ द्वारा परिभाषित किया गया है। चूँकि आयतन बराबर दिए गए हैं, हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं: 1/3 π r₁² h₁ = π r₂² h₂। दोनों पक्षों से π को हटाकर समीकरण को सरल बनाने पर, हमें 1/3 r₁² h₁ = r₂² h₂ प्राप्त होता है। हमें अनुपात r₁ : r₂ = 1 : n भी दिया गया है, जिसका अर्थ है कि r₂ = n r₁। हमारे समीकरण में r₂ के लिए n r₁ को प्रतिस्थापित करने पर 1/3 r₁² h₁ = (n r₁)² h₂ प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर 1/3 r₁² h₁ = n² r₁² h₂ हो जाता है। दोनों पक्षों से r₁² को रद्द करने पर, हमारे पास 1/3 h₁ = n² h₂ बचता है। h₁ के लिए हल करने पर, हम दोनों पक्षों को 3 से गुणा करके h₁ = 3 n² h₂ प्राप्त करते हैं। यह विकल्प b में दिए गए संबंध से मेल खाता है।

व्याख्या

अभिकथन (A) सत्य है क्योंकि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) πrl सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई को दर्शाता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, ऊँचाई h और आधार त्रिज्या r वाले शंकु के लिए तिर्यक ऊँचाई l, l = √(h² + r²) द्वारा दी जाती है। पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में l के इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CSA = πr√(h² + r²) प्राप्त होता है, जो अभिकथन से मेल खाता है।

कारण (R) असत्य है क्योंकि एक लम्ब वृत्तीय शंकु को उसकी तिर्यक ऊँचाई के अनुदिश खोलने पर आयत नहीं बनता है। इसके बजाय, यह एक वृत्त का त्रिज्यखंड बनाता है। इस त्रिज्यखंड की त्रिज्या तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + r²) के बराबर होती है, और त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई शंकु के आधार की परिधि, जो 2πr है, के बराबर होती है। इस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 1/2 × त्रिज्या × चाप की लंबाई = 1/2 × √(h² + r²) × 2πr = πr√(h² + r²) के रूप में गणना की जाती है। चूँकि बनने वाला ज्यामितीय आकार एक त्रिज्यखंड है न कि आयत, इसलिए दिया गया कारण गणितीय रूप से गलत है। इस प्रकार, A सत्य है लेकिन R असत्य है।

व्याख्या

समवर्ती किनारे वे होते हैं जो एक उभयनिष्ठ शीर्ष पर मिलते हैं। एक घनाभ में, ये किनारे लंबाई l, चौड़ाई b, और ऊँचाई h के अनुरूप होते हैं। घनाभ के आयतन का सूत्र V = l × b × h है, जो इन तीन समवर्ती किनारों का गुणनफल है, जिससे कथन (A) सत्य हो जाता है। घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 2(lb + bh + hl) का उपयोग करके गणना की जाती है। यह सूत्र समवर्ती किनारों की लंबाई के गुणनफलों के योग का दोगुना होता है, जब उन्हें एक बार में दो लिया जाता है, जिससे कारण (R) सत्य हो जाता है। हालाँकि, किसी ठोस का आयतन उसकी त्रि-आयामी क्षमता का माप है, जबकि पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके द्वि-आयामी सीमा का माप है। यह तथ्य कि पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना एक विशिष्ट तरीके से की जाती है, आयतन के सूत्र की व्याख्या या तार्किक व्युत्पत्ति नहीं करता है। इस प्रकार, यद्यपि दोनों कथन व्यक्तिगत रूप से सही हैं, कारण (R) कथन (A) की सही व्याख्या नहीं है।

व्याख्या

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके गणना की जाती है। इस परिदृश्य में, त्रिभुज समान आधार साझा करते हैं, जिसका अर्थ है कि ऐसे सभी त्रिभुजों के लिए आधार b का मान स्थिर है। त्रिभुज की ऊँचाई आधार के विपरीत शीर्ष से आधार वाली रेखा तक की लंबवत दूरी है। चूंकि इन त्रिभुजों के शीर्ष आधार के समानांतर रेखा पर स्थित हैं, ऊँचाई h दो समानांतर रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी के बराबर होती है। चूंकि दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी हर जगह स्थिर होती है, इसलिए समानांतर रेखा पर शीर्ष की स्थिति के बावजूद प्रत्येक त्रिभुज के लिए ऊँचाई h समान रहती है। इन स्थिर मानों को 1/2 × b × h सूत्र में प्रतिस्थापित करने से ऐसे सभी त्रिभुजों के लिए समान क्षेत्रफल प्राप्त होता है। इस प्रकार, कारण (R) कथन (A) में बताए गए तथ्य का प्रत्यक्ष ज्यामितीय औचित्य है, जिससे विकल्प (a) सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

कथन A यूक्लिडियन ज्यामिति का एक मौलिक गुण है। यदि दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु होते, जैसे दो भिन्न बिंदु P और Q, तो उन दो बिंदुओं से एक से अधिक रेखाएँ गुजरतीं। यह इस मूल स्वयंसिद्ध का खंडन करता है कि किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं से ठीक एक अद्वितीय रेखा गुजरती है। इसलिए, दो भिन्न रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, जिससे कथन A सत्य हो जाता है।

कारण R भी एक सत्य कथन है क्योंकि, एक तल में, एक उभयनिष्ठ बिंदु से गुजरने वाली अनंत रेखाएँ खींची जा सकती हैं। हालाँकि, एक बिंदु से कई रेखाएँ खींचने की क्षमता यह तार्किक रूप से नहीं समझाती है कि दो भिन्न रेखाएँ एक से अधिक बिंदु साझा क्यों नहीं कर सकतीं। A का प्रमाण दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा की विशिष्टता पर निर्भर करता है, न कि एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की बहुलता पर। इस प्रकार, जबकि A और R दोनों व्यक्तिगत रूप से सत्य हैं, R, A की सही व्याख्या नहीं है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

जनसंख्या दो दशकों में 100 मिलियन से बढ़कर 169 मिलियन हो गई। कुल वृद्धि 169 - 100 = 69 मिलियन है। प्रति दशक औसत निरपेक्ष वृद्धि 69 / 2 = 34.5 मिलियन है। प्रारंभिक जनसंख्या (100 मिलियन) के प्रतिशत के रूप में व्यक्त, यह औसत वृद्धि (34.5 / 100) * 100 = 34.5% है। यद्यपि जनसंख्या वृद्धि की गणना सामान्यतः चक्रवृद्धि दर के रूप में की जाती है (जो 30% होगी), विकल्पों में 34.5% की उपस्थिति और उत्तर कुंजी के साथ इसका संरेखण यह दर्शाता है कि प्रारंभिक जनसंख्या के सापेक्ष औसत वृद्धि अभिप्रेत थी। इस प्रकार, विकल्प (b) सही उत्तर है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने का सबसे कुशल तरीका मिश्रण के नियम (Rule of Alligation) का उपयोग करना है। दो घटकों की मात्राओं के अनुपात के लिए सूत्र इस प्रकार दिया गया है: अनुपात = (महंगी वस्तु का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - सस्ती वस्तु का मूल्य)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: महंगी वस्तु (उत्कृष्ट चाय) का मूल्य = ₹ 13.50 प्रति किग्रा सस्ती चाय का मूल्य = ₹ 9 प्रति किग्रा औसत मूल्य = ₹ 11 प्रति किग्रा

सस्ती चाय का उत्कृष्ट चाय से अनुपात = (13.50 - 11) / (11 - 9) = 2.50 / 2 = 25 / 20 = 5 / 4

इसका मतलब है कि उत्कृष्ट चाय की प्रत्येक 4 इकाइयों के लिए, सस्ती चाय की 5 इकाइयाँ मिलाई जानी चाहिए। यह देखते हुए कि उत्कृष्ट चाय की मात्रा 100 किग्रा है, हम अनुपात स्थापित कर सकते हैं: सस्ती चाय की मात्रा / उत्कृष्ट चाय की मात्रा = 5 / 4 सस्ती चाय की मात्रा = (5 / 4) × 100 = 5 × 25 = 125 किग्रा

इसलिए, ₹ 11 प्रति किलोग्राम का औसत मूल्य प्राप्त करने के लिए ₹ 9 प्रति किलोग्राम वाली 125 किग्रा चाय को मिलाया जाना चाहिए, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि ट्रक प्रत्येक 100 किमी की दो समान दूरियों को अलग-अलग गति से तय करता है, इसलिए औसत गति की गणना समान दूरियों के लिए हार्मोनिक माध्य सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: औसत गति = 2v₁v₂/(v₁ + v₂)। यहाँ, पहले आधे भाग की गति v₁ = 50 किमी/घंटा है और दूसरे आधे भाग की गति v₂ = 40 किमी/घंटा है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें औसत गति = (2 × 50 × 40)/(50 + 40) = 4000/90 प्राप्त होती है। भिन्न को सरल करने पर 400/9 प्राप्त होता है, जो 44.44 किमी/घंटा के बराबर है। वैकल्पिक रूप से, कुल समय की गणना करने पर, पहले 100 किमी के लिए समय 100/50 = 2 घंटे है और अगले 100 किमी के लिए समय 100/40 = 2.5 घंटे है। कुल समय 4.5 घंटे है। कुल दूरी 200 किमी है। इस प्रकार, औसत गति 200/4.5 = 44.44 किमी/घंटा है, जो विकल्प (d) से मेल खाती है।

व्याख्या

n प्रेक्षणों के एक समुच्चय के लिए जहाँ n विषम है, माध्यिका आरोही क्रम में व्यवस्थित डेटा का (n+1)/2वाँ प्रेक्षण होता है। दिए गए समुच्चय A, B और C के लिए, जिनमें से प्रत्येक में 5 संख्याएँ हैं, माध्यिका प्रत्येक समुच्चय का तीसरा पद है। इस प्रकार, समुच्चय A में, कम से कम 3 संख्याएँ ≤ 3 हैं और 3 संख्याएँ ≥ 3 हैं। इसी प्रकार, समुच्चय B में, कम से कम 3 संख्याएँ ≤ 8 हैं और 3 संख्याएँ ≥ 8 हैं, और समुच्चय C में, कम से कम 3 संख्याएँ ≤ 11 हैं और 3 संख्याएँ ≥ 11 हैं।

जब तीनों समुच्चयों को संयुक्त किया जाता है, तो प्रेक्षणों की कुल संख्या 15 होती है। संयुक्त समुच्चय की माध्यिका क्रमबद्ध संयुक्त सूची में (15+1)/2 = 8वाँ प्रेक्षण है। यह निर्धारित करने के लिए कि 8वाँ प्रेक्षण निश्चित है या नहीं, हम विभिन्न मानों का परीक्षण करते हैं। यदि सभी समुच्चय माध्यिकाओं को पाँच बार दोहराने से बने हैं, तो संयुक्त क्रमबद्ध समुच्चय {3, 3, 3, 3, 3, 8, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 11, 11, 11} है, और 8वाँ पद 8 है। हालाँकि, यदि हम A को {1, 1, 3, 3, 3}, B को {1, 1, 8, 8, 8}, और C को {1, 1, 11, 11, 11} चुनते हैं, तो संयुक्त क्रमबद्ध समुच्चय {1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 8, 8, 8, 11, 11, 11} है, और 8वाँ पद 3 है। यदि हम A को {3, 3, 3, 12, 12}, B को {8, 8, 8, 12, 12}, और C को {11, 11, 11, 12, 12} चुनते हैं, तो 8वाँ पद 11 हो जाता है। चूँकि 8वाँ पद समुच्चयों के वास्तविक तत्वों के आधार पर भिन्न होता है, इसलिए संयुक्त समुच्चय की माध्यिका दी गई जानकारी से निर्धारित नहीं की जा सकती है, जिससे विकल्प d सही हो जाता है।

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य का मौलिक गुण यह है कि सभी प्रेक्षणों के माध्य से विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है। एक बारंबारता वितरण में, यदि Xᵢ चर के मानों को और fᵢ उनकी संगत बारंबारताओं को दर्शाता है, तो माध्य से विचलन को xᵢ = Xᵢ - μ के रूप में परिभाषित किया जाता है। अनुरोधित योग Σᵢ₌₁ⁿ fᵢxᵢ है। विचलन की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Σ fᵢ(Xᵢ - μ) = Σ fᵢXᵢ - Σ fᵢμ प्राप्त होता है। चूंकि μ एक स्थिरांक है, Σ fᵢμ = μ Σ fᵢ = Nμ, जहाँ N कुल बारंबारता है। माध्य की परिभाषा के अनुसार, μ = (Σ fᵢXᵢ)/N, जिसका अर्थ है Σ fᵢXᵢ = Nμ। इसलिए, व्यंजक Nμ - Nμ = 0 हो जाता है। यह गणितीय सर्वसमिका पुष्टि करती है कि माध्य से बारंबारता-भारित विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है, जिससे विकल्प A सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

बीजगणित की मौलिक प्रमेय के अनुसार, n घात के एक बहुपद समीकरण के सम्मिश्र संख्या प्रणाली में ठीक n मूल होते हैं, जिनकी बहुलता गिनी जाती है। वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों के लिए, जिसमें परिमेय गुणांक वाले बहुपद भी शामिल हैं, सम्मिश्र संयुग्मी मूल प्रमेय कहता है कि यदि एक सम्मिश्र संख्या a + bi बहुपद का मूल है, तो उसका संयुग्मी a - bi भी एक मूल होना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि सभी अवास्तविक सम्मिश्र मूल युग्मों में होने चाहिए।

मान लीजिए n बहुपद की घात है, r वास्तविक मूलों की संख्या है, और c अवास्तविक सम्मिश्र मूलों की संख्या है। मूलों की कुल संख्या संबंध n = r + c द्वारा दी जाती है। यह देखते हुए कि बहुपद के ठीक तीन वास्तविक मूल हैं, हमारे पास r = 3 है। चूँकि c एक सम पूर्णांक होना चाहिए (c = 0, 2, 4, ...), घात n के संभावित मान 3 + 0 = 3, 3 + 2 = 5, 3 + 4 = 7, और इसी तरह हैं। परिणामस्वरूप, घात n एक विषम पूर्णांक होना चाहिए जो n ≥ 3 हो। यह पुष्टि करता है कि घात 3 से अधिक या उसके बराबर है, जिससे विकल्प (b) सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

y का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरणों की प्रणाली से x को समाप्त करने के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। रैखिक समीकरण 2x + y + 3 = 0 से, हम x को y के पदों में x = (-y - 3)/2 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब, x के इस व्यंजक को द्विघात समीकरण 2x² + 6x + 5y + 1 = 0 में प्रतिस्थापित करें:

2((-y - 3)/2)² + 6((-y - 3)/2) + 5y + 1 = 0

वर्ग पद और रैखिक पद को सरल करें: 2((y² + 6y + 9)/4) + 3(-y - 3) + 5y + 1 = 0 (y² + 6y + 9)/2 - 3y - 9 + 5y + 1 = 0

y में रैखिक पदों और स्थिरांकों को संयोजित करें: (y² + 6y + 9)/2 + 2y - 8 = 0

हर को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 2 से गुणा करें: y² + 6y + 9 + 4y - 16 = 0 y² + 10y - 7 = 0

यह विकल्प c से मेल खाता है, जो y के लिए हल करने हेतु आवश्यक समीकरण है।

व्याख्या

किसी दिए गए समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों के व्युत्क्रम वाले द्विघात समीकरण को ज्ञात करने के लिए, हम x → 1/x परिवर्तन लागू करते हैं। दिए गए समीकरण 2x² - 3x - 4 = 0 में x = 1/x प्रतिस्थापित करने पर 2(1/x)² - 3(1/x) - 4 = 0 प्राप्त होता है। यह 2/x² - 3/x - 4 = 0 तक सरल हो जाता है। हर को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को x² से गुणा करने पर, हमें 2 - 3x - 4x² = 0 प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर -4x² - 3x + 2 = 0 प्राप्त होता है। विकल्पों में चिह्नों का मिलान करने के लिए -1 से गुणा करने पर, समीकरण 4x² + 3x - 2 = 0 बन जाता है।

प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं के लिए एक त्वरित शॉर्टकट यह है कि x² के गुणांक और अचर पद को आपस में बदल दें। समीकरण 2x² - 3x - 4 = 0 के लिए, गुणांक a = 2 और अचर पद c = -4 है। इन्हें आपस में बदलने पर -4x² - 3x + 2 = 0 प्राप्त होता है, जो -1 से गुणा करने पर 4x² + 3x - 2 = 0 तक सरल हो जाता है। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

बीजीय व्यंजकों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को ज्ञात करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक व्यंजक को उसके पूर्ण गुणनखंडित रूप में व्यक्त करना होगा। पहला व्यंजक पहले से ही (x + 2)²(x - 2) के रूप में गुणनखंडित है। दूसरे व्यंजक, x² - 4x - 12 के लिए, हम द्विघात को गुणनखंडित करके दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल -12 हो और योग -4 हो, जो कि -6 और 2 हैं। इस प्रकार, x² - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)।

LCM सभी व्यंजकों में मौजूद प्रत्येक अद्वितीय गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल लेकर निर्धारित किया जाता है। पहचाने गए अद्वितीय गुणनखंड (x + 2), (x - 2), और (x - 6) हैं। घातों की तुलना करने पर: (x + 2) की उच्चतम घात 2 है (पहले व्यंजक से), (x - 2) की उच्चतम घात 1 है, और (x - 6) की उच्चतम घात 1 है। इन सबको गुणा करने पर, हमें LCM = (x + 2)²(x - 2)(x - 6) प्राप्त होता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि (x + 4) दो दिए गए बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) है, इसलिए यह प्रत्येक बहुपद का अलग-अलग गुणनखंड होना चाहिए। गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि (x + a), बहुपद f(x) का गुणनखंड है, तो f(-a) = 0। यहाँ, हम दोनों व्यंजकों के लिए x = -4 रखते हैं।

पहले बहुपद P(x) = 2x² + kx - 12 के लिए: P(-4) = 2(-4)² + k(-4) - 12 = 0 2(16) - 4k - 12 = 0 32 - 12 - 4k = 0 20 = 4k k = 5

सत्यापित करने के लिए, हम दूसरे बहुपद Q(x) = x² + x - 2k - 2 पर समान शर्त लागू करते हैं: Q(-4) = (-4)² + (-4) - 2k - 2 = 0 16 - 4 - 2k - 2 = 0 10 - 2k = 0 2k = 10 k = 5

चूंकि k = 5 होने पर दोनों बहुपद (x + 4) से विभाज्य हैं, इसलिए k का मान 5 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

चूँकि (x + k), ax² + ax + b और x² + cx + d का HCF है, इसलिए यह दोनों बहुपदों का एक गुणनखंड होना चाहिए। गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि (x + k), एक बहुपद f(x) का गुणनखंड है, तो f(-k) = 0। दोनों दिए गए व्यंजकों पर इस शर्त को लागू करने पर:

पहले बहुपद ax² + ax + b के लिए: a(-k)² + a(-k) + b = 0 ak² - ak + b = 0 (समीकरण 1)

दूसरे बहुपद x² + cx + d के लिए: (-k)² + c(-k) + d = 0 k² - ck + d = 0 (समीकरण 2)

k को हल करने के लिए, हम k² पद को हटाते हैं। समीकरण 2 को a से गुणा करें: ak² - ack + ad = 0 (समीकरण 3)

समीकरण 3 को समीकरण 1 से घटाएं: (ak² - ak + b) - (ak² - ack + ad) = 0 -ak + ack + b - ad = 0 k(ac - a) = ad - b k = (ad - b)/(a(c - 1))

इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों a, b और c से करने पर, यह स्पष्ट है कि कोई भी व्यंजक k के परिकलित मान से मेल नहीं खाता है। इसलिए, सही विकल्प d है।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, यदि किसी बहुपद P(x) को (ax - b) के रूप के रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(b/a) द्वारा दिया जाता है। व्यंजक के पूरी तरह से विभाज्य होने के लिए, शेषफल शून्य होना चाहिए। इसलिए, बहुपद से घटाई जाने वाली मान, (3x - 1) से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर है।

दिया गया है P(x) = 27x³ - 9x² - 6x - 5 और भाजक 3x - 1 है, हम बहुपद में x = 1/3 प्रतिस्थापित करते हैं:

P(1/3) = 27(1/3)³ - 9(1/3)² - 6(1/3) - 5 P(1/3) = 27(1/27) - 9(1/9) - 2 - 5 P(1/3) = 1 - 1 - 2 - 5 P(1/3) = -7

शेषफल -7 है। बहुपद को (3x - 1) से पूरी तरह विभाज्य बनाने के लिए, हमें मूल व्यंजक से इस शेषफल को घटाना होगा। इस प्रकार, घटाई जाने वाली मान -7 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, एक रैखिक बहुपद (x - a), बहुपद f(x) का एक गुणनखंड होता है यदि और केवल यदि f(a) = 0। इस प्रश्न में, दिया गया बहुपद f(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6 है। यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा विकल्प एक गुणनखंड है, हम प्रत्येक द्विपद के मूल को बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं। विकल्प (c) x + 2 के लिए, मूल x = -2 है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर f(-2) = 2(-2)³ - 3(-2)² - 11(-2) + 6 प्राप्त होता है। पहले घातों की गणना करने पर, हमें f(-2) = 2(-8) - 3(4) + 22 + 6 मिलता है। यह f(-2) = -16 - 12 + 22 + 6 तक सरल हो जाता है। पदों को मिलाने पर, -16 - 12 = -28 और 22 + 6 = 28, इसलिए f(-2) = -28 + 28 = 0। चूंकि परिणाम शून्य है, (x + 2) बहुपद का एक गुणनखंड है। अन्य विकल्पों जैसे (a) x + 1 या (b) x - 1 के लिए, x = -1 या x = 1 को प्रतिस्थापित करने पर शून्य प्राप्त नहीं होता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि केवल विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

मान लीजिए उभयनिष्ठ गुणनखंड (x - α) है, जिसका अर्थ है कि α दोनों द्विघात समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल (common root) है। इसलिए, हमारे पास समीकरणों का निकाय α² - 11α + a = 0 और α² - 14α + 2a = 0 है। α का मान ज्ञात करने के लिए, α² पद को समाप्त करने के लिए दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाएं: (α² - 14α + 2a) - (α² - 11α + a) = 0। यह -3α + a = 0 को सरल करता है, जिससे संबंध a = 3α प्राप्त होता है। अब, a के इस व्यंजक को पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: α² - 11α + 3α = 0, जो α² - 8α = 0 को सरल करता है। द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर α(α - 8) = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि उभयनिष्ठ मूल के लिए संभावित मान α = 0 या α = 8 हैं। यदि α = 0, तो a = 3(0) = 0। यदि α = 8, तो a = 3(8) = 24। परिणामस्वरूप, a के मान जो शर्त को संतुष्ट करते हैं, 0 और 24 हैं, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

परिमेय मूल प्रमेय (Rational Root Theorem) के अनुसार, यदि पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपद P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₀ का एक परिमेय मूल p/q (सरलतम रूप में) है, तो p अचर पद a₀ का एक गुणनखंड होना चाहिए और q अग्रग गुणांक aₙ का एक गुणनखंड होना चाहिए। दिए गए बहुपद P(x) = x³ - 3x² - 3x + 9 में, अग्रग गुणांक aₙ = 1 है और अचर पद a₀ = 9 है। चूँकि (x - a) एक गुणनखंड है, इसलिए x = a बहुपद का एक मूल है। चूँकि अग्रग गुणांक 1 है, कोई भी परिमेय मूल a एक पूर्णांक होना चाहिए और अचर पद 9 का एक भाजक होना चाहिए। यह पुष्टि करता है कि विकल्प b सही है। सत्यापित करने के लिए, हम बहुपद को P(x) = x²(x - 3) - 3(x - 3) = (x² - 3)(x - 3) के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं। मूल x = 3, x = √3, और x = -√3 हैं। इनमें से, केवल a = 3 एक परिमेय संख्या है, और 3 एक पूर्णांक है जो 9 को विभाजित करता है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) का प्रयोग करें। हमें (x + y + z) और (xy + yz + zx) के मान दिए गए हैं, लेकिन हमें x² + y² + z² का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) का उपयोग करके x² + y² + z² की गणना करें। दिए गए मान x + y + z = 6 और xy + yz + zx = 11 को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 6² = x² + y² + z² + 2(11) 36 = x² + y² + z² + 22 x² + y² + z² = 36 - 22 = 14।

अब, सभी ज्ञात मानों को मुख्य सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करें: x³ + y³ + z³ - 3xyz = 6 × (14 - 11) x³ + y³ + z³ - 3xyz = 6 × 3 = 18।

इसलिए, x³ + y³ + z³ - 3xyz का मान 18 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - 4x + 1 = 0 में, हम x + 1/x का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को x से विभाजित करते हैं। समीकरण को x से विभाजित करने पर x - 4 + 1/x = 0 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x + 1/x = 4 मिलता है। x³ + 1/x³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) का उपयोग करते हैं। इस सूत्र में x + 1/x = 4 का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें 4³ - 3(4) प्राप्त होता है। मानों की गणना करने पर, हमें 64 - 12 मिलता है, जो 52 के बराबर है। इसलिए, x³ + 1/x³ का मान 52 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया है sin θ = (m² - n²)/(m² + n²), हम इसे एक समकोण त्रिभुज के रूप में मानते हैं जहाँ sin θ = सम्मुख भुजा/कर्ण होता है। इस प्रकार, हम सम्मुख भुजा को m² - n² और कर्ण को m² + n² मानते हैं। tan θ ज्ञात करने के लिए, हमें आसन्न भुजा की आवश्यकता है, जिसकी गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: आसन्न भुजा = √(कर्ण² - सम्मुख भुजा²)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें आसन्न भुजा = √((m² + n²)² - (m² - n²)²) प्राप्त होता है। मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करते हुए, जहाँ a = m² और b = n², व्यंजक सरल होकर आसन्न भुजा = √(4m²n²) = 2mn हो जाता है। चूंकि tan θ = सम्मुख भुजा/आसन्न भुजा होता है, इसलिए मान tan θ = (m² - n²)/2mn है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए ज्या (sine) और कोटिज्या (cosine) फलनों के बीच संबंध त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos y = sin(π/2 - y) द्वारा दिया जाता है। दिए गए समीकरण sin x = cos y में, हम इस सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करके sin x = sin(π/2 - y) प्राप्त कर सकते हैं। चूँकि यह निर्दिष्ट किया गया है कि x और y न्यून कोण हैं, इसलिए x और π/2 - y दोनों (0, π/2) की सीमा में होने चाहिए, जहाँ ज्या फलन एकैकी (one-to-one) होता है। इसलिए, हम सीधे तर्कों को बराबर कर सकते हैं: x = π/2 - y। समीकरण के दोनों पक्षों में y जोड़कर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर x + y = π/2 प्राप्त होता है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है। यह परिणाम सिद्ध करता है कि x और y पूरक कोण हैं।

व्याख्या

दिया गया है cos A = 5/13, हम sin A ज्ञात करने के लिए सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, sin A = √(1 - cos² A) = √(1 - (5/13)²) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13। इन मानों से, हम अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात प्राप्त कर सकते हैं: tan A = sin A/cos A = (12/13)/(5/13) = 12/5 और cot A = 1/tan A = 5/12।

अब, इन मानों को दिए गए व्यंजक (sin A - cot A)/(2tan A) में प्रतिस्थापित करें। अंश sin A - cot A = 12/13 - 5/12 है। इन्हें घटाने के लिए, एक सामान्य हर ज्ञात करें: (12 × 12 - 5 × 13)/(13 × 12) = (144 - 65)/156 = 79/156। हर 2tan A = 2 × 12/5 = 24/5 है।

अंतिम गणना (79/156)/(24/5) = 79/156 × 5/24 = (79 × 5)/(156 × 24) = 395/3744 है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण sin² 60° + cos² (3x - 9°) = 1 की सीधे इस सर्वसमिका से तुलना कर सकते हैं। दो कोणों के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग 1 के बराबर होने के लिए, इस संदर्भ में कोण समतुल्य होने चाहिए। इसलिए, हम कोसाइन पद के कोण को साइन पद के कोण के बराबर कर सकते हैं, जिससे 3x - 9° = 60° प्राप्त होता है। x को हल करने के लिए, हम पहले समीकरण के दोनों पक्षों में 9° जोड़ते हैं, जिससे 3x = 60° + 9° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 3x = 69° होता है। दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर, हमें x = 69° / 3 = 23° प्राप्त होता है। इस प्रकार, x का मान 23° है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक cot² θ - 1/sin² θ है। इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, हम कोसेकेंट और कोटैंगेंट को जोड़ने वाली मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लागू करते हैं, जो कि csc² θ = 1 + cot² θ है। हम व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं की परिभाषा से यह भी जानते हैं कि 1/sin² θ = csc² θ। इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें cot² θ - csc² θ प्राप्त होता है। अब, सर्वसमिका csc² θ = 1 + cot² θ का उपयोग करके, हम csc² θ का मान इस प्रकार प्रतिस्थापित करते हैं: cot² θ - (1 + cot² θ)। कोष्ठकों का विस्तार करने पर cot² θ - 1 - cot² θ प्राप्त होता है। cot² θ और -cot² θ पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम मान -1 प्राप्त होता है। इसलिए, व्यंजक का मान -1 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

log₁₀₀ 0.1 का मान ज्ञात करने के लिए, हम लघुगणक की घात गुणधर्म log_bⁿ aᵐ = m/n log_b a का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम आधार और तर्क दोनों को 10 की घात के रूप में व्यक्त करते हैं। आधार 100, 10² के बराबर है, और तर्क 0.1, 10⁻¹ के बराबर है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: log₁₀² 10⁻¹ = -1/2 log₁₀ 10

चूंकि किसी संख्या का उसके अपने आधार पर लघुगणक हमेशा 1 होता है, हमारे पास log₁₀ 10 = 1 है। गणना इस प्रकार हो जाती है: -1/2 × 1 = -1/2

इसलिए, मान -1/2 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

पंक्तियों की कुल संख्या को न्यूनतम करने के लिए, प्रत्येक पंक्ति में पेड़ों की संख्या यथासंभव अधिक होनी चाहिए। चूँकि प्रत्येक पंक्ति में केवल एक ही किस्म के पेड़ों की समान संख्या होनी चाहिए, यह संख्या पेड़ों की दी गई संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (GCD) होनी चाहिए।

पेड़ों की संख्याएँ 21, 42 और 56 हैं। हम GCD इस प्रकार ज्ञात करते हैं: 21 = 3 × 7 42 = 2 × 3 × 7 56 = 2³ × 7 GCD(21, 42, 56) = 7

इस प्रकार, प्रति पंक्ति पेड़ों की अधिकतम संख्या 7 है। पंक्तियों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पेड़ों की कुल संख्या को GCD से विभाजित करते हैं: कुल पंक्तियाँ = (21 + 42 + 56)/7 = 119/7 = 17

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक किस्म के लिए अलग-अलग पंक्तियों की गणना करके: आम के पेड़ों के लिए पंक्तियाँ = 21 / 7 = 3 सेब के पेड़ों के लिए पंक्तियाँ = 42 / 7 = 6 संतरे के पेड़ों के लिए पंक्तियाँ = 56 / 7 = 8 कुल पंक्तियाँ = 3 + 6 + 8 = 17

इसलिए, आवश्यक पंक्तियों की न्यूनतम संख्या 17 है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर स्थित अंकों के योग और सम स्थानों पर स्थित अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो। संख्या 8798546*5 के लिए, मान लीजिए लुप्त अंक x है।

विषम स्थानों पर स्थित अंकों का योग (बाएं से): 8 + 9 + 5 + 6 + 5 = 33। सम स्थानों पर स्थित अंकों का योग (बाएं से): 7 + 8 + 4 + x = 19 + x।

अंतर 33 - (19 + x) = 14 - x है। संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, 14 - x का 11 का गुणज होना चाहिए। 14 - x = 11 रखने पर, हमें x = 14 - 11 = 3 प्राप्त होता है। चूंकि 3 एक एकल अंक है और दिए गए विकल्पों में फिट बैठता है, इसलिए * का न्यूनतम मान 3 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

100 और 120 के बीच की सभी अभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए, हम पहले इस सीमा में अभाज्य संख्याओं की पहचान करते हैं। एक अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या होती है जिसके 1 और स्वयं के अलावा कोई धनात्मक भाजक नहीं होते हैं। हम 100 और 120 के बीच की विषम संख्याओं की जाँच करते हैं क्योंकि 2 से बड़ी सम संख्याएँ अभाज्य नहीं होती हैं। जाँच की जाने वाली संख्याएँ 101, 103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117 और 119 हैं। 105 और 115, 5 से विभाज्य हैं। 111, 3 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग 3 है। 117, 9 से विभाज्य है क्योंकि इसके अंकों का योग 9 है। 119, 7 से विभाज्य है क्योंकि 119 = 7 × 17। शेष अभाज्य संख्याएँ 101, 103, 107, 109 और 113 हैं। योग की गणना इस प्रकार की जाती है: योग = 101 + 103 + 107 + 109 + 113। योग के लिए एक शॉर्टकट का उपयोग करते हुए, हम 100 × 5 ले सकते हैं और शेष इकाइयों को जोड़ सकते हैं: 500 + (1 + 3 + 7 + 9 + 13) = 500 + 33 = 533। यह विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, जब एक बहुपद f(x) को g(x) = x - a के रूप के एक रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल f(a) द्वारा दिया जाता है। दिए गए विभाजन एल्गोरिथम f(x) = g(x)q(x) + r(x) में, चूँकि g(x) = x + 1 है, हम a = -1 की पहचान कर सकते हैं क्योंकि x + 1, x - (-1) के समतुल्य है।

शेषफल r(x) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद f(x) = x² + 1 में x = -1 प्रतिस्थापित करते हैं।

गणना: r(x) = f(-1) = (-1)² + 1 r(x) = 1 + 1 r(x) = 2

चूँकि g(x) की घात 1 है, शेषफल r(x) एक स्थिरांक (घात 0) होना चाहिए, जो शर्त deg r(x) < deg g(x) को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, शेषफल का मान 2 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए त्रिज्या r = 3x और ऊँचाई h = 4x है। एक लम्ब वृत्तीय शंकु के आयतन के सूत्र, V = 1/3π r² h, का उपयोग करके, हम दिए गए आयतन और विमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं: 96π = 1/3π (3x)² (4x)। व्यंजक को सरल बनाने पर, हमें 96 = 1/3 · 9x² · 4x प्राप्त होता है, जो आगे 96 = 12x³ तक सरल हो जाता है। दोनों पक्षों को 12 से विभाजित करने पर x³ = 8 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 2। इसलिए, त्रिज्या r = 3 · 2 = 6 cm और ऊँचाई h = 4 · 2 = 8 cm है। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें पहले तिर्यक ऊँचाई l को संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके ज्ञात करना होगा। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm। पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) का सूत्र LSA = π r l है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें LSA = π · 6 · 10 = 60π cm² प्राप्त होता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

शेष ठोस का आयतन, घन के आयतन और उसमें से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े गोले के आयतन के बीच का अंतर है। किसी घन के अंदर सबसे बड़ा संभव गोला होने के लिए, उसके व्यास का घन के कोर के बराबर होना आवश्यक है।

दिया गया घन का कोर a = 3 मीटर है, तो घन का आयतन V꜀ᵤ₆ₑ = a³ = 3³ = 27 m³ है।

गोले का व्यास d = 3 मीटर है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या r = 3/2 = 1.5 मीटर है। गोले का आयतन सूत्र Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3πr³ का उपयोग करके गणना की जाती है। r का मान रखने पर: Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3π(1.5)³ = 4/3π(3/2)³ = 4/3π(27/8) = 9/2π = 4.5π m³।

शेष ठोस का आयतन V꜀ᵤ₆ₑ - Vₛₚₕₑᵣₑ = (27 - 4.5π) m³ है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

माना कि दिए गए अनुपात 2 : 3 : 4 के अनुसार आयताकार डिब्बे के आयाम 2x, 3x और 4x हैं। आयताकार डिब्बे के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (SA) का सूत्र 2(lb + bh + hl) है। आयामों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SA = 2(2x · 3x + 3x · 4x + 4x · 2x) = 2(6x² + 12x² + 8x²) = 2(26x²) = 52x² प्राप्त होता है।

दो दरों के बीच लागत का अंतर (दर₂ - दर₁) × SA द्वारा दिया जाता है। दरें रु. 10 और रु. 8 प्रति वर्ग मीटर दी गई हैं, और लागत का अंतर रु. 234 है, हम समीकरण को (10 - 8) × 52x² = 234 के रूप में लिख सकते हैं। यह 2 × 52x² = 234 को सरल करता है, जिसका अर्थ है 104x² = 234। x² के लिए हल करने पर, हमें x² = 234/104 प्राप्त होता है। दोनों संख्याओं को 26 से विभाजित करने पर, हमें x² = 9/4 प्राप्त होता है, इसलिए x = √2.25 = 1.5।

अतः आयाम 2 × 1.5 = 3 मीटर, 3 × 1.5 = 4.5 मीटर और 4 × 1.5 = 6 मीटर हैं। ये मान विकल्प b से मेल खाते हैं।

व्याख्या

किसी घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² द्वारा दिया जाता है और आयतन a³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। भुजा a₁ = 4 सेमी वाले मूल पिघले हुए घन के लिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल x = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 वर्ग सेमी है।

पुनः बनाए गए घनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल y को ज्ञात करने के लिए, हम पहले बनाए गए छोटे घनों की संख्या n निर्धारित करते हैं। चूँकि पुनः ढालने के दौरान आयतन स्थिर रहता है, n = बड़े घन का आयतन / छोटे घन का आयतन = 4³ / 1³ = 64 / 1 = 64। भुजा a₂ = 1 सेमी वाले एक छोटे घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6 × 1² = 6 वर्ग सेमी है। इसलिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल y = 64 × 6 = 384 वर्ग सेमी है।

अनुपात x : y = 96 : 384। दोनों पदों को 96 से विभाजित करने पर, हमें 1 : 4 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, प्रत्यक्ष अनुपात विधि का उपयोग करके: x/y = (6a₁²) / [ (a₁/a₂)³ × 6a₂² ] = a₁² / (a₁³ / a₂) = a₂ / a₁ = 1 / 4। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक तरफ से खुले घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल तीन भागों से मिलकर बनता है: बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल, आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल और ऊपरी रिम का क्षेत्रफल।

बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल में नीचे का भाग और चार दीवारें शामिल हैं। चूँकि बाह्य भुजा की लंबाई L = 5 सेमी है, बाह्य पृष्ठीय क्षेत्रफल 5 × L² = 5 × 5² = 5 × 25 = 125 सेमी² है।

आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए, हम पहले आंतरिक विमाएँ निर्धारित करते हैं। आंतरिक लंबाई और चौड़ाई L - 2t = 5 - (2 × 0.5) = 4 सेमी है। आंतरिक ऊँचाई L - t = 5 - 0.5 = 4.5 सेमी है। आंतरिक आधार का क्षेत्रफल 4 × 4 = 16 सेमी² है और चार आंतरिक दीवारों का क्षेत्रफल 4 × (4 × 4.5) = 4 × 18 = 72 सेमी² है। इस प्रकार, कुल आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल 16 + 72 = 88 सेमी² है।

ऊपरी रिम का क्षेत्रफल बाह्य ऊपरी क्षेत्रफल और आंतरिक खुले भाग के क्षेत्रफल का अंतर है, जो L² - (L-2t)² = 5² - 4² = 25 - 16 = 9 सेमी² है।

इन घटकों को जोड़ने पर, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 125 + 88 + 9 = 222 सेमी² है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

खेत के स्तर में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम आयतन सूत्र का उपयोग करते हैं: आयतन = क्षेत्रफल × ऊँचाई। सबसे पहले, टैंक से निकाली गई मिट्टी का आयतन ज्ञात करें, जो 10 मीटर × 7.5 मीटर × 6 मीटर = 450 घन मीटर है। अगला, शेष खेत का क्षेत्रफल निर्धारित करें जहाँ यह मिट्टी फैलाई गई है। खेत का कुल क्षेत्रफल 125 मीटर × 15 मीटर = 1875 वर्ग मीटर है। टैंक द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल 10 मीटर × 7.5 मीटर = 75 वर्ग मीटर है। इसलिए, शेष क्षेत्रफल 1875 वर्ग मीटर - 75 वर्ग मीटर = 1800 वर्ग मीटर है।

मान लीजिए कि h ऊँचाई से खेत को बढ़ाया गया है। चूँकि फैलाई गई मिट्टी का आयतन निकाली गई मिट्टी के आयतन के बराबर है, हमारे पास 1800 × h = 450 है। h के लिए हल करने पर, हमें h = 450/1800 = 1/4 = 0.25 मीटर प्राप्त होता है। इस मान को सेंटीमीटर में बदलने पर, 0.25 मीटर × 100 = 25 सेमी। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए क्षेत्रफल का उपयोग करके वृत्त की त्रिज्या πr² = 4π से प्राप्त की जाती है, जिससे r = 2 सेमी प्राप्त होता है। केंद्र O वाले एक समबाहु त्रिभुज ABC में, मान लीजिए D भुजा AB का मध्य बिंदु है। खंड OD त्रिभुज की अंतःत्रिज्या r का प्रतिनिधित्व करता है, और AD भुजा की लंबाई s का आधा प्रतिनिधित्व करता है। समकोण त्रिभुज OAD में, कोण ∠OAD 30° है।

त्रिकोणमितीय संबंध tan 30° = OD/AD का उपयोग करके, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 1/√3 = 2/AD। AD के लिए हल करने पर, हमें AD = 2√3 सेमी प्राप्त होता है। चूंकि D भुजा AB का मध्य बिंदु है, इसलिए पूरी भुजा की लंबाई s = 2 × AD = 4√3 सेमी है।

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = √3/4 s² का उपयोग करके गणना की जाती है। s के मान को प्रतिस्थापित करने पर: Area = √3/4 (4√3)² Area = √3/4 (16 × 3) Area = √3/4 × 48 Area = 12√3 cm²

इस प्रकार, विकल्प (b) सही है।

व्याख्या

प्रश्न में दी गई शर्त के आधार पर, यह स्पष्ट रूप से कहा गया है कि यदि एक वर्ग और एक समचतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई समान है, तो उनके क्षेत्रफल भी समान होने चाहिए। मान लीजिए वर्ग के क्षेत्रफल को x से और समचतुर्भुज के क्षेत्रफल को y से दर्शाया गया है। दिए गए आधार के अनुसार, x = y। x:y का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम वर्ग के क्षेत्रफल को समचतुर्भुज के क्षेत्रफल से विभाजित करते हैं, जिससे x/y = 1/1 प्राप्त होता है। इसलिए, x:y का अनुपात 1:1 है। जबकि मानक ज्यामिति में भुजा s वाले समचतुर्भुज का क्षेत्रफल s² sin(θ) होता है, इस समस्या की विशिष्ट बाधा यह अनिवार्य करती है कि क्षेत्रफल बराबर हों, जिससे सीधे विकल्प a पर पहुंचा जा सके।