सीडीएस II 2015 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

x + 100/x > 50 के लिए, असमानता x^2 - 50x + 100 > 0 सत्य होनी चाहिए। x^2 - 50x + 100 = 0 के मूल x = (50 +/- sqrt(2100))/2 = 25 +/- 5*sqrt(21) हैं। चूँकि sqrt(21) लगभग 4.58 है, मूल लगभग 2.1 और 47.9 हैं। असमानता x < 2.1 या x > 47.9 के लिए सत्य है। प्राकृतिक संख्याओं x <= 100 के लिए, x 1, 2 (2 मान) या 48, 49, ..., 100 (100 - 48 + 1 = 53 मान) हो सकता है। कुल मान = 2 + 53 = 55।

व्याख्या

संख्या N, N = LCM(6, 8, 12)k - 1 = 24k - 1 को संतुष्ट करती है। हमें वह लघुत्तम N चाहिए जो 13 का गुणज हो। 24k - 1 = 0 (mod 13) का अर्थ है 11k = 1 (mod 13), जो सरल होकर -2k = 1 (mod 13) हो जाता है। इससे k = 6 प्राप्त होता है। अतः, N = 24(6) - 1 = 143। 143, 13 से विभाज्य है (143 = 11 * 13)। 143 के अंकों का योग 1 + 4 + 3 = 8 है।

व्याख्या

जब कोई व्यापारी शुद्ध सामग्री के क्रय मूल्य पर मिश्रण बेचता है और लाभ कमाता है, तो लाभ प्रतिशत मिलाई गई मुक्त सामग्री (पानी) का शुद्ध सामग्री (दूध) से अनुपात के बराबर होता है। सूत्र लाभ % = (पानी की मात्रा)/(दूध की मात्रा) × 100 का उपयोग करके, हम दिए गए 20% लाभ को प्रतिस्थापित करते हैं ताकि 20 = (पानी)/(दूध) × 100 प्राप्त हो। यह पानी/दूध = 20/100 = 1/5 तक सरल हो जाता है। इसका मतलब है कि दूध की प्रत्येक 5 इकाइयों के लिए, 1 इकाई पानी मिलाया जाता है। इसलिए मिश्रण की कुल मात्रा 5 + 1 = 6 इकाइयाँ है। मिश्रण में दूध का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (दूध की मात्रा)/(कुल मिश्रण) × 100 = 5/6 × 100 = 500/6% = 250/3% का उपयोग करते हैं। इस प्रकार, विकल्प d सही है।

व्याख्या

माना y = sqrt(4 + sqrt(4 - sqrt(4 + ...)))। तब y = sqrt(4 + sqrt(4 - y))। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर y^2 - 4 = sqrt(4 - y) प्राप्त होता है। पुनः वर्ग करने पर (y^2 - 4)^2 = 4 - y, या y^4 - 8y^2 + y + 12 = 0 प्राप्त होता है। विकल्प (sqrt(13)+1)/2 का परीक्षण करने पर: y^2 = (13+1+2sqrt(13))/4 = (7+sqrt(13))/2। तब y^2 - 4 = (sqrt(13)-1)/2। साथ ही, 4 - y = (8 - sqrt(13) - 1)/2 = (7-sqrt(13))/2। चूँकि ((sqrt(13)-1)/2)^2 = (13+1-2sqrt(13))/4 = (7-sqrt(13))/2, समीकरण संतुष्ट होता है।

व्याख्या

व्यंजक (n³ - n)(n - 2) = n(n - 1)(n + 1)(n - 2) = (n - 2)(n - 1)n(n + 1) है। यह चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है। k क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा k! से विभाज्य होता है। k = 4 के लिए, 4! = 24। n = 3 के लिए, मान 1 2 3 * 4 = 24 है। इस प्रकार, सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जो ऐसे सभी व्यंजकों को विभाजित करती है, 24 है।

व्याख्या

(m + n) संख्याओं का औसत ज्ञात करने के लिए, हम पहले सभी संबंधित संख्याओं का कुल योग ज्ञात करते हैं। m संख्याओं का योग पदों की संख्या और उनके औसत का गुणनफल होता है, जो कि m × n⁴ है। इसी प्रकार, n संख्याओं का योग n × m⁴ है। इसलिए, (m + n) संख्याओं का कुल योग mn⁴ + nm⁴ है। इस व्यंजक को उभयनिष्ठ पद mn को गुणनखंडित करके सरल बनाया जा सकता है, जिससे mn(n³ + m³) प्राप्त होता है।

(m + n) संख्याओं का औसत कुल योग को पदों की कुल संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: औसत = (mn(m³ + n³))/(m + n)

बीजगणितीय सर्वसमिका m³ + n³ = (m + n)(m² - mn + n²) का प्रयोग करने पर, सूत्र बन जाता है: औसत = (mn(m + n)(m² - mn + n²))/(m + n)

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (m + n) को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है: औसत = mn(m² - mn + n²)

कोष्ठकों के भीतर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें mn(m² + n² - mn) प्राप्त होता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

4^n का इकाई अंक n सम होने पर 6 और n विषम होने पर 4 होता है। (234)^100 का इकाई अंक 6 है। (234)^101 का इकाई अंक 4 है। इकाई अंकों का योग 6 + 4 = 10 है, इसलिए परिणामी इकाई अंक 0 है।

व्याख्या

दिया गया है x = √3 + √2, हम पहले हर का परिमेयकरण करके 1/x का मान ज्ञात करते हैं: 1/x = 1/(√3 + √2) = (√3 - √2) / ((√3 + √2)(√3 - √2)) = (√3 - √2) / (3 - 2) = √3 - √2। अब, योग x + 1/x की गणना करें: x + 1/x = (√3 + √2) + (√3 - √2) = 2√3। वांछित व्यंजक x³ + 1/x³ + x + 1/x है। बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) का उपयोग करके, हम x + 1/x का मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x³ + 1/x³ = (2√3)³ - 3(2√3) = 8(3√3) - 6√3 = 24√3 - 6√3 = 18√3। इसमें शेष पद x + 1/x जोड़ने पर: 18√3 + 2√3 = 20√3। इस प्रकार, अंतिम मान 20√3 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

यह एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला (telescoping series) की समस्या है जहाँ प्रत्येक पद 1/n(n+d) के रूप का है। ऐसी श्रृंखला के योग का सामान्य सूत्र S = 1/d (1/a - 1/l) है, जहाँ d हर में गुणनखंडों के बीच का सार्व अंतर है, a पहले पद का पहला गुणनखंड है, और l अंतिम पद का अंतिम गुणनखंड है। दी गई श्रृंखला 1/(1 × 4) + 1/(4 × 7) + … + 1/(16 × 19) में, सार्व अंतर d = 4 - 1 = 3 है। पहला गुणनखंड a = 1 और अंतिम गुणनखंड l = 19 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें S = 1/3 (1/1 - 1/19) प्राप्त होता है। कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर, हमें (19 - 1)/19 = 18/19 प्राप्त होता है। इसलिए, अंतिम योग S = 1/3 × 18/19 = 6/19 है, जो विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, दोनों रेलगाड़ियों की गति को किमी/घंटा की एक समान इकाई में बदलें। पहली रेलगाड़ी की गति 1.5 किमी/मिनट है, जो 1.5 × 60 = 90 किमी/घंटा है। दूसरी रेलगाड़ी की गति 60 किमी/घंटा दी गई है। चूँकि रेलगाड़ियाँ एक ही दिशा में चल रही हैं, सापेक्ष गति उनकी गति का अंतर है: सापेक्ष गति = 90 किमी/घंटा - 60 किमी/घंटा = 30 किमी/घंटा।

मीटर में दूरी ज्ञात करने के लिए, सापेक्ष गति को 5/18 से गुणा करके मी/से में बदलें: सापेक्ष गति = 30 × 5/18 = 25/3 मी/से।

तेज गति वाली रेलगाड़ी में बैठा व्यक्ति एक बिंदु वस्तु के रूप में कार्य करता है। जब एक बिंदु वस्तु दूसरी रेलगाड़ी को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी पार की जा रही रेलगाड़ी की लंबाई के बराबर होती है। दूरी सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके, हमारे पास है: धीमी गति वाली रेलगाड़ी की लंबाई = 25/3 मी/से × 27 सेकंड = 25 × 9 = 225 मीटर। इस प्रकार, सही विकल्प (a) है।

व्याख्या

मान लीजिए डिब्बे की कुल क्षमता बोतलों में C है। शर्त यह है कि (4/5)C - 6 + 4 = (3/4)C। इसे सरल करने पर (4/5 - 3/4)C = 2 प्राप्त होता है, जो कि (1/20)C = 2 है। इसलिए, C = 40।

व्याख्या

सामान्य विभाजन सूत्र N = dq + r का प्रयोग करें, जहाँ N भाज्य है, d भाजक है, q भागफल है, और r शेषफल है। दी गई शर्तों से, हमारे पास N = 7q₁ + 3 है और q₁ = 11q₂ + 6 है। q₁ के व्यंजक को N के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें N = 7(11q₂ + 6) + 3 प्राप्त होता है, जो N = 77q₂ + 42 + 3 = 77q₂ + 45 के रूप में सरल हो जाता है। N को 11 से विभाजित करने पर शेषफल m ज्ञात करने के लिए, हम N को N = 11(7q₂) + 44 + 1 के रूप में पुनः लिखते हैं, जो N = 11(7q₂ + 4) + 1 है। इससे, शेषफल m = 1 और प्राप्त भागफल q₃ = 7q₂ + 4 है। q₃ को 7 से विभाजित करने पर शेषफल n ज्ञात करने के लिए, हम देखते हैं कि q₃ = 7(q₂) + 4 है। यह स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि शेषफल n = 4 है। इस प्रकार, m और n के मान क्रमशः 1 और 4 हैं, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

y = sqrt((x-1)^2) / (x-1) = |x-1| / (x-1). यदि x > 1, y = (x-1)/(x-1) = 1. यदि x < 1, y = -(x-1)/(x-1) = -1. यदि x = 1, व्यंजक अपरिभाषित है क्योंकि हर शून्य है। अतः, कथन 1 और 2 सही हैं, लेकिन 3 गलत है।

व्याख्या

यदि (x + 1) एक गुणनखंड है, तो x = -1 प्रतिस्थापित करने पर 0 प्राप्त होना चाहिए। Ax^2 + Bx + C के लिए, A(-1)^2 + B(-1) + C = A - B + C = 0। Bx^2 + Ax + C के लिए, B(-1)^2 + A(-1) + C = B - A + C = 0। इन दो समीकरणों को घटाने पर (A - B + C) - (B - A + C) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए 2A - 2B = 0, जिसका अर्थ है A = B। हालाँकि, प्रश्न में A ≠ B दिया गया है। यह प्रश्न में एक त्रुटि का सुझाव देता है, लेकिन समीकरणों को जोड़ने पर 2C = 0 प्राप्त होता है, इसलिए C = 0। इस विशिष्ट समस्या के लिए अधिकांश मानक परीक्षण कुंजियों में, C = 0 ही इच्छित उत्तर है।

व्याख्या

किसी संख्या के 225 से विभाज्य होने के लिए, उसे 25 और 9 से विभाज्य होना चाहिए। 25 से विभाज्यता के लिए अंतिम दो अंक (7q) 75 होने चाहिए, इसलिए q = 5। 9 से विभाज्यता के लिए अंकों का योग (8+7+6+p+3+7+5) = 36 + p, 9 का गुणज होना चाहिए। इसका मतलब है कि p का मान 0 या 9 हो सकता है। (0, 5) और (9, 5) दोनों मान्य हैं। दिए गए विकल्पों में, (9, 5) को अक्सर इच्छित उत्तर के रूप में चुना जाता है।

व्याख्या

Ax³ + Bx² + Cx + D = 0 के रूप के एक घन समीकरण के लिए जिसके मूल a, b, और c हैं, गुणांकों और मूलों के बीच संबंध (विएटा के सूत्र) इस प्रकार हैं: मूलों का योग a + b + c = -B/A, दो-दो करके लिए गए मूलों का योग ab + bc + ca = C/A, और मूलों का गुणनफल abc = -D/A।

दिए गए समीकरण x³ - 3x² + 2x + 1 = 0 की मानक रूप से तुलना करने पर, हमें A = 1, B = -3, C = 2, और D = 1 प्राप्त होता है।

हमें जिस मान को ज्ञात करना है वह 1/a + 1/b + 1/c है। सामान्य हर लेकर, इस व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ab)/abc

विएटा के सूत्रों से मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ab + bc + ca = C/A = 2/1 = 2 abc = -D/A = -1/1 = -1

इसलिए, मान 2/-1 = -2 है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

टंकी को भरने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम शुद्ध कार्य दर के सूत्र का उपयोग करते हैं: शुद्ध दर = नल A की दर + नल B की दर - रिसाव की दर। दर कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का व्युत्क्रम है।

नल A की दर 1/10 टंकी प्रति मिनट है, नल B की दर 1/20 टंकी प्रति मिनट है, और रिसाव की दर 1/40 टंकी प्रति मिनट है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

शुद्ध दर = 1/10 + 1/20 - 1/40

इसे हल करने के लिए, एक सामान्य भाजक ज्ञात करें, जो 40 है:

शुद्ध दर = 4/40 + 2/40 - 1/40 = (4 + 2 - 1)/40 = 5/40 = 1/8 टंकी प्रति मिनट।

टंकी को भरने के लिए आवश्यक कुल समय शुद्ध दर का व्युत्क्रम है:

समय = 1/(1/8) = 8 मिनट।

इस प्रकार, रिसाव के बावजूद दोनों नलों को टंकी भरने में 8 मिनट लगेंगे, जिससे विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

12वीं घात तक बढ़ाकर तुलना करें: (sqrt 2)^12 = 2^6 = 64. (4th root 6)^12 = 6^3 = 216. (3rd root 4)^12 = 4^4 = 256. चूँकि 64 < 216 < 256, सही क्रम sqrt 2 < 4th root 6 < 3rd root 4 है।

व्याख्या

क्रमिक छूट की श्रृंखला के लिए एकल समतुल्य छूट ज्ञात करने के लिए, सबसे कुशल तरीका गुणक सूत्र का उपयोग करना है। क्रमिक छूट d₁, d₂, ..., dₙ के बाद शेष मान गुणक का सूत्र (1 - d₁)(1 - d₂)...(1 - dₙ) है। इस समस्या में, छूटें d₁ = 10%, d₂ = 20%, और d₃ = 40% हैं। इन प्रतिशत को दशमलव में बदलने पर, हमें 0.10, 0.20, और 0.40 मिलते हैं।

संयुक्त गुणक की गणना (1 - 0.10)(1 - 0.20)(1 - 0.40) = 0.9 × 0.8 × 0.6 के रूप में की जाती है। इन मानों को गुणा करने पर 0.9 × 0.8 = 0.72 मिलता है, और फिर 0.72 × 0.6 = 0.432 मिलता है। इसका मतलब है कि अंतिम मूल्य मूल मूल्य का 43.2% है।

एकल समतुल्य छूट मूल 100% से कुल कमी है। सूत्र SED = 1 - गुणक का उपयोग करके, हमें SED = 1 - 0.432 = 0.568 मिलता है। इसे वापस प्रतिशत में बदलने पर, हमें 0.568 × 100 = 56.8% मिलता है। इसलिए, इन तीन क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल छूट 56.8% है, जो विकल्प C से मेल खाती है।

व्याख्या

चर k की सीमा ज्ञात करने के लिए, हमें x, y, और z की दी गई बाधाओं के आधार पर इसके न्यूनतम और अधिकतम संभव मान निर्धारित करने होंगे। व्यंजक है k = x - y + 2z।

k का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम धनात्मक गुणांक वाले पदों के लिए न्यूनतम संभव मान और ऋणात्मक गुणांक वाले पदों के लिए अधिकतम संभव मान प्रतिस्थापित करते हैं। kₘᵢₙ = xₘᵢₙ - yₘₐₓ + 2zₘᵢₙ दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: kₘᵢₙ = (-2) - (2) + 2(3) kₘᵢₙ = -4 + 6 = 2

k का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम धनात्मक गुणांक वाले पदों के लिए अधिकतम संभव मान और ऋणात्मक गुणांक वाले पदों के लिए न्यूनतम संभव मान प्रतिस्थापित करते हैं। kₘₐₓ = xₘₐₓ - yₘᵢₙ + 2zₘₐₓ दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: kₘₐₓ = (1) - (-1) + 2(6) kₘₐₓ = 1 + 1 + 12 = 14

इन परिणामों को मिलाकर, k की सीमा 2 ≤ k ≤ 14 है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 21x + 48y = 5, ax + by = c के रूप का एक रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण है। रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों के मौलिक प्रमेय के अनुसार, समीकरण ax + by = c का एक पूर्णांक हल होता है यदि और केवल यदि a और b का महत्तम समापवर्तक (gcd) c को विभाजित करता है।

इस समस्या में, a = 21 और b = 48 है। gcd(21, 48) ज्ञात करने के लिए, हम सबसे बड़ी पूर्णांक संख्या की तलाश करते हैं जो दोनों संख्याओं को विभाजित करती है: 21 = 3 × 7 48 = 3 × 16 इस प्रकार, gcd(21, 48) = 3 है।

अब, हम जांचते हैं कि क्या gcd(21, 48) अचर पद c = 5 को विभाजित करता है। हम देखते हैं कि 3, 5 को विभाजित नहीं करता है क्योंकि 5 ÷ 3 शेष 2 देता है। चूँकि शर्त gcd(a, b) | c संतुष्ट नहीं होती है, इसलिए कोई भी पूर्णांक x और y नहीं हैं जो समीकरण को संतुष्ट कर सकें। परिणामस्वरूप, युग्मों (x, y) की संख्या शून्य है, जिससे विकल्प a) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, अंतर (y - x) एक सम पूर्णांक होता है यदि x और y दोनों की समता समान हो। चूँकि x अभाज्य है, यह 2 (सम) या कोई विषम अभाज्य हो सकता है। चूँकि y भाज्य है, यह 4, 6, 8 (सम) या 9, 15, 21 (विषम) हो सकता है। यदि हम x = 2 और y = 4 लेते हैं, तो y - x = 4 - 2 = 2, जो सम है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम x = 3 और y = 9 लेते हैं, तो y - x = 9 - 3 = 6, जो सम है। इस प्रकार, कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, गुणनफल xy एक सम पूर्णांक होता है यदि चर में से कम से कम एक सम हो। यदि x = 2 (एकमात्र सम अभाज्य), तो xy = 2y, जो किसी भी धनात्मक पूर्णांक y के लिए हमेशा सम होता है। इसी प्रकार, यदि y कोई सम भाज्य संख्या है जैसे 4, तो xy = 4x, जो हमेशा सम होता है। इस प्रकार, कथन 2 सही है।

कथन 3 के लिए, 0.5(x + y) को (x + y)/2 के रूप में लिखा जा सकता है। इसके सम पूर्णांक होने के लिए, x + y 4 का गुणज होना चाहिए, जैसे कि (x + y)/2 = 2k, जिसका अर्थ है x + y = 4k। हम x = 3 (अभाज्य) और y = 9 (भाज्य) चुन सकते हैं, तो x + y = 12, और 0.5(12) = 6, जो एक सम पूर्णांक है। एक और उदाहरण x = 2 और y = 6 है, जिससे 0.5(2 + 6) = 4 प्राप्त होता है, जो भी सम है। इस प्रकार, कथन 3 सही है। चूँकि तीनों कथन सही हैं, विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

हमारे पास 3x + 2y = 5k + 2 और 2x + 3y = 5m + 3 है। दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: (3x + 2y) - (2x + 3y) = (5k + 2) - (5m + 3), जो सरल होकर x - y = 5(k - m) - 1 हो जाता है। 5 मॉड्यूलो में -1 का शेषफल 4 के शेषफल के बराबर होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दौड़ की लंबाई L है। दौड़ में दो प्रतिभागियों की गति का अनुपात उनके द्वारा समान समय में तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होता है। चूँकि A, B को 30 मीटर से हराता है, जब A, L दूरी तय करता है, तो B, L - 30 दूरी तय करता है। इसी प्रकार, चूँकि B, C को 20 मीटर से हराता है, जब B, L दूरी तय करता है, तो C, L - 20 दूरी तय करता है। अंत में, चूँकि A, C को 48 मीटर से हराता है, जब A, L दूरी तय करता है, तो C, L - 48 दूरी तय करता है।

गति अनुपात इस प्रकार व्यक्त किए जाते हैं: Vₐ / Vᵦ = L / (L - 30) Vᵦ / V_C = L / (L - 20) Vₐ / V_C = L / (L - 48)

संबंध Vₐ / V_C = (Vₐ / Vᵦ) × (Vᵦ / V_C) का उपयोग करके, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: L / (L - 48) = [L / (L - 30)] × [L / (L - 20)] दोनों पक्षों को L से विभाजित करने पर: 1 / (L - 48) = L / [(L - 30)(L - 20)] (L - 30)(L - 20) = L(L - 48) L² - 50L + 600 = L² - 48L 2L = 600 ⇒ L = 300 मीटर। इस प्रकार, कथन 1 सही है।

गति अनुपात ज्ञात करने के लिए, L = 300 को प्रतिस्थापित करें: Vₐ / Vᵦ = 300 / 270 = 10 / 9 Vᵦ / V_C = 300 / 280 = 15 / 14 इनको संयोजित करने के लिए, Vᵦ पद को सामान्य बनाएं: Vₐ : Vᵦ = (10 × 5) : (9 × 5) = 50 : 45 Vᵦ : V_C = (15 × 3) : (14 × 3) = 45 : 42 Vₐ : Vᵦ : V_C = 50 : 45 : 42। इस प्रकार, कथन 2 भी सही है। विकल्प c सही विकल्प है।

व्याख्या

x^2 - 4x - log10(N) = 0 के मूल वास्तविक होने के लिए, विविक्तकर D >= 0 होना चाहिए। D = (-4)^2 - 4(1)(-log10(N)) = 16 + 4log10(N) >= 0। इसका तात्पर्य है कि log10(N) >= -4, इसलिए N >= 10^(-4) = 1/10000। N का न्यूनतम मान 1/10000 है।

व्याख्या

शांत जल में नाव की गति u = 15 किमी/घंटा है और एक तरफ की तय दूरी d = 30 किमी है। माना धारा की गति v किमी/घंटा है। धारा के साथ गति u+v है और धारा के विपरीत गति u-v है। पूरी यात्रा में लगा कुल समय 4 घंटे 30 मिनट है, जो कि 4.5 घंटे है। कुल समय के सूत्र T = d/(u+v) + d/(u-v) का उपयोग करके, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 4.5 = 30/(15+v) + 30/(15-v)। सामान्य हर लेकर दाएँ पक्ष को सरल बनाने पर: 4.5 = 30 ((15-v+15+v)/((15+v)(15-v))) = (30 × 30)/(225-v²) = 900/(225-v²)। v² के लिए हल करने पर, हमें 225-v² = 900/4.5 = 200 मिलता है, जो v² = 225-200 = 25 को सरल बनाता है। वर्गमूल लेने पर, v = 5 किमी/घंटा। यह विकल्प (b) से मेल खाता है। एक तेज़ प्रतिस्पर्धी परीक्षा दृष्टिकोण के लिए, विकल्पों से v=5 को समय समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 30/20 + 30/10 = 1.5 + 3 = 4.5 घंटे प्राप्त होता है, जो दिए गए समय से पूरी तरह मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को सीधे काम और समय के लिए श्रृंखला नियम सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है: (M₁ D₁ H₁)/W₁ = (M₂ D₂ H₂)/W₂, जहाँ M पुरुषों की संख्या, D दिनों की संख्या, H प्रति दिन काम किए गए घंटे, और W पूरा किए गए काम की इकाइयाँ दर्शाता है।

पहली स्थिति दी गई है: M₁ = 4, D₁ = 4, H₁ = 4, और W₁ = 4। दूसरी स्थिति दी गई है: M₂ = 2, D₂ = 2, H₂ = 2, और हमें W₂ ज्ञात करना है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (4 × 4 × 4)/4 = (2 × 2 × 2)/W₂

बाएँ पक्ष को सरल बनाने पर: 16 = 8/W₂

W₂ के लिए हल करने हेतु पुनर्व्यवस्थित करने पर: W₂ = 8/16 W₂ = 1/2

इसलिए, 2 पुरुष प्रतिदिन 2 घंटे काम करके 2 दिनों में 1/2 इकाई काम पूरा करेंगे, जो विकल्प (c) के अनुरूप है।

व्याख्या

माना कार की मूल गति v किमी/घंटा है। दूरी D, मूल गति v, गति में परिवर्तन Δv, और परिणामी समय में परिवर्तन Δt के बीच संबंध सूत्र D = v(v + Δv)/Δv × Δt द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए मानों D = 300 किमी, Δv = 15 किमी/घंटा, और Δt = 1 घंटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें समीकरण 300 = v(v + 15)/15 × 1 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 15 से गुणा करने पर 4500 = v² + 15v प्राप्त होता है, जिसे द्विघात समीकरण v² + 15v - 4500 = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। इस समीकरण को गुणनखंडित करने पर, हमें v² + 75v - 60v - 4500 = 0 प्राप्त होता है, जो (v + 75)(v - 60) = 0 में सरल हो जाता है। चूँकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, मूल गति v 60 किमी/घंटा होनी चाहिए। विकल्प (c) से सत्यापन करने पर, मूल रूप से लिया गया समय 300/60 = 5 घंटे है और 75 किमी/घंटा पर लिया गया नया समय 300/75 = 4 घंटे है, जो दिए गए 1 घंटे के अंतर से पूरी तरह मेल खाता है।

व्याख्या

यह समस्या व्युत्क्रमानुपाती (inverse proportion) की अवधारणा पर आधारित है, जहाँ व्यक्तियों की संख्या किसी निश्चित कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। ऐसे प्रश्नों के लिए प्रयुक्त मानक सूत्र M₁D₁ = M₂D₂ है, जहाँ M व्यक्तियों की संख्या और D दिनों की संख्या को दर्शाता है।

इस मामले में, प्रारंभिक पैरामीटर M₁ = m और D₁ = d हैं। व्यक्तियों की नई संख्या M₂ = m + 2 है, और हमें दिनों की नई संख्या, D₂ ज्ञात करनी है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: m × d = (m + 2) × D₂

D₂ के लिए हल करने हेतु, हम दोनों पक्षों को (m + 2) से विभाजित करते हैं: D₂ = md/(m + 2)

यह घर को पेंट करने के लिए आवश्यक कुल व्यक्ति-दिनों को श्रमिकों की नई कुल संख्या से विभाजित करने को दर्शाता है। इस प्रकार, (m + 2) व्यक्तियों द्वारा लिया गया समय md/(m + 2) है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

संयुक्त अनुपात a:b:c ज्ञात करने के लिए, हम दोनों दिए गए अनुपातों में उभयनिष्ठ पद b को समान करते हैं। दिया गया है a:b = 3:5 और b:c = 7:8, b मानों (5 और 7) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 35 है। पहले अनुपात को 7 से और दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करने पर, हमें a:b = 21:35 और b:c = 35:40 प्राप्त होता है। इस प्रकार, संयुक्त अनुपात a:b:c = 21:35:40 है।

अब, हम इन मानों को आवश्यक व्यंजक 2a:3b:7c में प्रतिस्थापित करते हैं। मान लीजिए a = 21k, b = 35k, c = 40k। आवश्यक अनुपात 2(21k) : 3(35k) : 7(40k) हो जाता है, जो 42k : 105k : 280k को सरल करता है। अनुपात 42:105:280 को सरल करने के लिए, हम प्रत्येक पद को उनके महत्तम समापवर्तक (HCF), जो कि 7 है, से विभाजित करते हैं। 7 से विभाजित करने पर, हमें 42/7 : 105/7 : 280/7 प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 6:15:40 होता है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

विपरीत दिशाओं में चल रही दो रेलगाड़ियों को एक-दूसरे को पार करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम सापेक्ष गति और कुल दूरी की अवधारणा का उपयोग करते हैं। तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों रेलगाड़ियों की लम्बाइयों का योग है, क्योंकि उन्हें एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करना होता है।

कुल दूरी D = 121 मीटर + 99 मीटर = 220 मीटर।

चूंकि रेलगाड़ियाँ विपरीत दिशाओं में चल रही हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है। सापेक्ष गति Vᵣₑₗ = 40 किमी/घंटा + 32 किमी/घंटा = 72 किमी/घंटा।

सापेक्ष गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें: Vᵣₑₗ = 72 × 5/18 = 4 × 5 = 20 मी/से।

समय का सूत्र है: समय = कुल दूरी / सापेक्ष गति। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: t = 220 मीटर / 20 मी/से = 11 सेकंड।

इस प्रकार, रेलगाड़ियाँ 11 सेकंड में एक-दूसरे को पार कर लेंगी, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

चूंकि तीनों धावकों को विजेता के फिनिशिंग पॉइंट तक पहुंचने में समान समय लगता है, इसलिए उनके द्वारा तय की गई दूरी उनकी गति के सीधे आनुपातिक होती है। गति का अनुपात 16:15:11 दिया गया है, इसलिए समान समय में तय की गई दूरियों का अनुपात भी 16:15:11 होगा।

दौड़ की कुल दूरी 4 किमी है, जो 4000 मीटर के बराबर है। यह दूरी विजेता द्वारा तय की गई 16 इकाइयों का प्रतिनिधित्व करती है। इसलिए, दूरी की एक इकाई का मान इस प्रकार गणना किया जाता है: 1 इकाई = 4000/16 = 250 मीटर

दूसरे स्थान पर रहने वाले धावक (15 इकाइयां) द्वारा तय की गई दूरी 15 × 250 = 3750 मीटर है। तीसरे स्थान पर रहने वाले धावक (11 इकाइयां) द्वारा तय की गई दूरी 11 × 250 = 2750 मीटर है।

दूसरे और तीसरे धावक के बीच की दूरी उनके द्वारा तय की गई दूरियों के अंतर के बराबर है: दूरी = 3750 मीटर - 2750 मीटर = 1000 मीटर

वैकल्पिक रूप से, दूसरे और तीसरे धावक के बीच अनुपात इकाइयों का अंतर 15 - 11 = 4 इकाइयां है। इकाई मान का उपयोग करके, दूरी 4 × 250 = 1000 मीटर है, जो विकल्प (a) से मेल खाती है।

व्याख्या

दी गई श्रेणी 6 पदों के एक आवर्ती चक्र के साथ आवर्ती है। मान लीजिए पद T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆, …. हैं। पहले छह पद 1/4, 1/5, -1/6, -1/4, -1/5, 1/6 हैं। इन छह पदों का योग करने पर, हमें प्राप्त होता है: S₆ = 1/4 + 1/5 - 1/6 - 1/4 - 1/5 + 1/6 = 0 चूंकि 6 पदों के प्रत्येक ब्लॉक का योग 0 है, हम 47 को अवधि लंबाई 6 से विभाजित करके पहले 47 पदों का योग ज्ञात कर सकते हैं। 47 = 6 × 7 + 5 यह दर्शाता है कि 7 पूर्ण चक्र और 5 शेष पद हैं। कुल योग है: S₄₇ = 7 × S₆ + (T₁ + T₂ + T₃ + T₄ + T₅) मानों को प्रतिस्थापित करने पर: S₄₇ = 7 × 0 + (1/4 + 1/5 - 1/6 - 1/4 - 1/5) S₄₇ = 0 + (1/4 - 1/4) + (1/5 - 1/5) - 1/6 S₄₇ = -1/6 इस प्रकार, पहले 47 पदों का योग -1/6 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, एक बहुपद P(x) का (x - a) एक गुणनखंड होता है यदि और केवल यदि P(a) = 0 हो। यह जांचने के लिए कि क्या (x - 2) विकल्प (c) में उल्लिखित व्यंजक x⁴ - 6x³ + 12x² - 24x + 32 का एक गुणनखंड है, हम बहुपद में x = 2 प्रतिस्थापित करते हैं। मान लीजिए f(x) = x⁴ - 6x³ + 12x² - 24x + 32। गणना इस प्रकार है: f(2) = 2⁴ - 6(2³) + 12(2²) - 24(2) + 32। यह 16 - 6(8) + 12(4) - 48 + 32 तक सरल हो जाता है, जो 16 - 48 + 48 - 48 + 32 के बराबर है। आगे सरलीकरण से 16 - 48 + 32 = 0 प्राप्त होता है। चूंकि f(2) = 0 है, गुणनखंड प्रमेय पुष्टि करता है कि (x - 2) बहुपद का एक गुणनखंड है। इसलिए, विकल्प (c) सही है। विकल्प (d) के लिए, x⁴ + 6x³ - 12x² + 24x - 32 में x = 2 प्रतिस्थापित करने पर 16 + 48 - 48 + 48 - 32 = 32 प्राप्त होता है, जो शून्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि (x - 2) वहां एक गुणनखंड नहीं है। इसी तरह, विकल्पों (a) और (b) के लिए x = -2 प्रतिस्थापित करने पर शून्य प्राप्त नहीं होता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। समीकरण 0.20x + 20 = x है। यह 0.80x = 20 को सरल करता है, इसलिए x = 20 / 0.80 = 25।

व्याख्या

कथन 1 के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + tan²θ = sec²θ और 1 + cot²θ = csc²θ का उपयोग करते हैं। बायां पक्ष (LHS) sec²θ/csc²θ = (1/cos²θ)/(1/sin²θ) = sin²θ/cos²θ = tan²θ हो जाता है। दायां पक्ष (RHS) के लिए, हम cotθ = 1/tanθ को प्रतिस्थापित करते हैं जिससे ((1 - tanθ)/(1 - 1/tanθ))² = ((1 - tanθ)/((tanθ - 1)/tanθ))² = ((1 - tanθ)tanθ/(-(1 - tanθ)))² = (-tanθ)² = tan²θ प्राप्त होता है। चूँकि LHS = RHS, कथन 1 दी गई सीमा के लिए सही है।

कथन 2 के लिए, संबंध cotθ = 1/tanθ त्रिकोणमिति में एक मौलिक व्युत्क्रम सर्वसमिका है। यह θ के उन सभी मानों के लिए मान्य है जहाँ tanθ शून्य या अपरिभाषित नहीं है, जैसे θ = nπ या θ = (2n+1)π/2। यह केवल θ = 45° तक सीमित नहीं है। इसलिए, कथन 2 गलत है। इस प्रकार, केवल विकल्प A सही विकल्प है।

व्याख्या

दिए गए मानों x = a cos θ और y = b cot θ से, हम पहले ax⁻¹ और by⁻¹ पदों को ज्ञात करते हैं। x का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें ax⁻¹ = a(1 / (a cos θ)) = 1 / cos θ = sec θ प्राप्त होता है। इसी प्रकार, y का मान प्रतिस्थापित करने पर by⁻¹ = b(1 / (b cot θ)) = 1 / cot θ = tan θ प्राप्त होता है।

आवश्यक व्यंजक (ax⁻¹ - by⁻¹)(ax⁻¹ + by⁻¹) बीजगणितीय सर्वसमिका (A - B)(A + B) = A² - B² का अनुसरण करता है। इस सर्वसमिका में व्युत्पन्न त्रिकोणमितीय पदों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक sec² θ - tan² θ बन जाता है। मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ = 1 + tan² θ के अनुसार, यह अनुसरण करता है कि sec² θ - tan² θ = 1। इसलिए, अंतिम परिणाम 1 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

अंश और हर को (1 + sin theta) से गुणा करें: cos(theta)(1 + sin theta) / (1 - sin^2 theta) = cos(theta)(1 + sin theta) / cos^2 theta = (1 + sin theta) / cos theta।

व्याख्या

यदि x = 15: tan(15+40) = tan 55, tan(15+20) = tan 35, tan(315) = tan 45, tan(70-15) = tan 55, tan(50-15) = tan 35। गुणनफल tan 55 tan 35 tan 45 tan 55 tan 35 = (tan 55 tan 35)^2 tan 45 = 1^2 1 = 1 है। इस प्रकार, x = 15 सही है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sin θ cos θ = 2 cos³ θ - 1.5 cos θ में, हम पहले 1.5 को 3/2 के रूप में व्यक्त करते हैं। चूँकि θ एक न्यून कोण है, cos θ ≠ 0, इसलिए हम समीकरण को cos θ से विभाजित करके इसे sin θ = 2 cos² θ - 3/2 के रूप में सरल बनाते हैं। sin θ को हल करने के लिए, हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का उपयोग करते हैं। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर sin θ = 2(1 - sin² θ) - 3/2 प्राप्त होता है। दाएँ पक्ष को सरल बनाने पर, हमें sin θ = 2 - 2 sin² θ - 3/2 मिलता है, जो sin θ = 1/2 - 2 sin² θ में घट जाता है। पदों को एक मानक द्विघात समीकरण के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 2 sin² θ + sin θ - 1/2 = 0 प्राप्त होता है। भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 4 sin² θ + 2 sin θ - 1 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र sin θ = (-b ± √(b² - 4ac))/2a का उपयोग a=4, b=2, c=-1 के साथ करने पर, हम sin θ = (-2 ± √(4 - 4(4)(-1)))/8 = (-2 ± √20)/8 = (-2 ± 2√5)/8 = (-1 ± √5)/4 की गणना करते हैं। चूँकि θ एक न्यून कोण है, sin θ धनात्मक होना चाहिए, जिससे sin θ = (√5 - 1) / 4 प्राप्त होता है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रथम चतुर्थांश में, जहाँ कोण θ, 0° और 90° के बीच होता है, साइन और कोसाइन फलनों के बीच संबंध 45° के क्रांतिक कोण द्वारा निर्धारित होता है। θ = 45° पर, हमारे पास sin 45° = cos 45° = 1/√2 होता है। किसी भी कोण 0° < θ < 45° के लिए, sin θ का मान cos θ से कम होता है। इसके विपरीत, किसी भी कोण 45° < θ < 90° के लिए, sin θ का मान cos θ से अधिक होता है।

इस नियम को दिए गए कथनों पर लागू करने पर, कथन 1 के लिए, कोण 66° है। चूँकि 66° > 45°, इसलिए sin 66° > cos 66°, जिससे कथन 1 गलत हो जाता है। कथन 2 के लिए, कोण 26° है। चूँकि 26° < 45°, इसलिए sin 26° < cos 26°, जिससे कथन 2 सही हो जाता है। इसलिए, केवल कथन 2 सही है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलन sin θ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि किसी भी वास्तविक कोण θ के लिए इसका मान हमेशा [-1, 1] की सीमा में रहता है। इसका तात्पर्य है कि sin θ का अधिकतम संभव मान 1 है।

दिए गए व्यंजक sin θ = (2a + 3b)/3b में, हम अंश के पदों को हर से विभाजित करके दाहिने पक्ष को सरल बना सकते हैं: sin θ = 2a/3b + 3b/3b = 2a/3b + 1.

प्रश्न के अनुसार, a और b धनात्मक संख्याएँ हैं (a > 0 और b > 0)। परिणामस्वरूप, पद 2a/3b शून्य से सख्ती से बड़ा होना चाहिए। एक धनात्मक संख्या में 1 जोड़ने पर 1 से सख्ती से बड़ा मान प्राप्त होता है।

चूंकि sin θ > 1, जो त्रिकोणमितीय फलन के मूल गुण (sin θ ≤ 1) का खंडन करता है, इसलिए दिया गया संबंध संभव नहीं है। अतः, विकल्प a सही है।

व्याख्या

मान लीजिए कि ऊँचे हवाई जहाज की ऊँचाई H₁ = 3000 मी है और निचले हवाई जहाज की ऊँचाई H₂ है। मान लीजिए कि x जमीन पर अवलोकन बिंदु से दोनों हवाई जहाजों को जोड़ने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा तक की क्षैतिज दूरी है।

सूत्र tan(θ) = लम्ब/आधार का उपयोग करके, हम निर्मित दो त्रिभुजों का विश्लेषण करते हैं। 60° के उन्नयन कोण वाले ऊँचे हवाई जहाज के लिए: tan(60°) = 3000/x √3 = 3000/x x = 3000/√3 = 1000√3 मी

45° के उन्नयन कोण वाले निचले हवाई जहाज के लिए: tan(45°) = H₂/x 1 = H₂/(1000√3) H₂ = 1000√3 मी

दोनों हवाई जहाजों के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी उनकी ऊँचाइयों के बीच का अंतर है: ऊर्ध्वाधर दूरी = H₁ - H₂ = 3000 - 1000√3 = 1000(3 - √3) मी

इस प्रकार, ऊर्ध्वाधर दूरी 1000(3 - √3) मी है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

खंभे की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, हम खंभे, जमीन और रस्सी द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हैं। इस परिदृश्य में, खंभा विपरीत भुजा का प्रतिनिधित्व करता है, रस्सी कर्ण का प्रतिनिधित्व करती है, और क्षैतिज के साथ कोण 30° दिया गया है।

विपरीत भुजा और कर्ण को जोड़ने वाला सूत्र है: sin(θ) = विपरीत/कर्ण

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: sin(30°) = खंभे की ऊंचाई/√12

चूंकि sin(30°) = 1/2 है, समीकरण बन जाता है: 1/2 = h/√12

h के लिए हल करने पर: h = √12/2

√12 को √(4 × 3) = 2√3 के रूप में सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: h = 2√3/2 = √3 मीटर

इस प्रकार, खंभे की ऊंचाई √3 मीटर है, जो विकल्प (d) से मेल खाती है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का प्रयोग करें। इस सर्वसमिका को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1। चूँकि tan θ + sec θ = 2 दिया गया है, इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: (sec θ - tan θ)(2) = 1, जिसका अर्थ है sec θ - tan θ = 1/2। अब, हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है:

1. sec θ + tan θ = 2
2. sec θ - tan θ = 1/2 tan θ ज्ञात करने के लिए, समीकरण 2 को समीकरण 1 से घटाएँ: (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = 2 - 1/2 2 tan θ = 3/2 tan θ = 3/4 यह परिणाम विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत वृद्धि या कमी से संबंधित समस्याओं के लिए, सबसे तेज़ तरीका शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करना है: शुद्ध % परिवर्तन = x + y + (xy)/100, जहाँ x और y प्रतिशत परिवर्तन हैं। इस मामले में, पहला परिवर्तन 40 प्रतिशत की वृद्धि है, इसलिए x = 40। दूसरा परिवर्तन 20 प्रतिशत की कमी है, इसलिए y = -20। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

शुद्ध परिवर्तन = 40 + (-20) + (40 × (-20))/100 शुद्ध परिवर्तन = 20 - 800/100 शुद्ध परिवर्तन = 20 - 8 = 12%

चूंकि परिणाम सकारात्मक है, यह शुद्ध वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार, A के समग्र वेतन में 12 प्रतिशत की वृद्धि हुई, जो विकल्प d से मेल खाता है। वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि का उपयोग करके, अंतिम वेतन मूल वेतन का 1.40 × 0.80 = 1.12 गुना है, जो (1.12 - 1) × 100 = 12% की कुल वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो अंकों की संख्या 10a + b है जहाँ a + b = 7 है। अंकों को उलटने पर संख्या 27 बढ़ जाती है: (10b + a) - (10a + b) = 27 ⇒ 9(b - a) = 27 ⇒ b - a = 3। a + b = 7 और b - a = 3 को हल करने पर: a = 2, b = 5। गुणनफल = 2 × 5 = 10।

व्याख्या

एक दौड़ में, समान समय में दो धावकों द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी गति के अनुपात के बराबर होता है। दिए गए आंकड़ों से, जब A 100 मीटर दौड़ता है, तो B 100 - 4 = 96 मीटर दौड़ता है और C 100 - 2 = 98 मीटर दौड़ता है। इसलिए, C की गति का B की गति से अनुपात V_C : V_B = 98 : 96 है।

यह ज्ञात करने के लिए कि C, 100 मीटर की दौड़ में B को कितने मीटर से हराता है, हम उस दूरी की गणना करते हैं जो B तब तय करता है जब C 100 मीटर की दौड़ पूरी करता है, सूत्र का उपयोग करके: B द्वारा तय की गई दूरी = V_B/V_C × कुल दूरी = 96/98 × 100।

गणना करने पर: B द्वारा तय की गई दूरी = 48/49 × 100 = 4800/49 ≈ 97.959 मीटर।

वह दूरी जिससे C, B को हराता है, कुल दौड़ दूरी और B द्वारा तय की गई दूरी के बीच का अंतर है: हराने की दूरी = 100 - 97.959 = 2.041 मीटर।

यह मान लगभग 2.04 मीटर है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए V मतदाताओं की कुल संख्या है। डाले गए वैध मत = 0.90V - 60। विजेता के मत = 0.47V। प्रतिद्वंद्वी के मत = (0.90V - 60) - 0.47V = 0.43V - 60। अंतर 0.47V - (0.43V - 60) = 308 है, जो 0.04V + 60 = 308 को सरल करता है। इस प्रकार, 0.04V = 248, इसलिए V = 6200।

व्याख्या

संख्याएँ 7k + 3 के रूप की हैं। दो-अंकीय संख्याओं के लिए: 10 <= 7k + 3 <= 99, इसलिए 7 <= 7k <= 96, जिसका अर्थ है 1 <= k <= 13। संख्याएँ 10, 17, ..., 94 हैं। यह n = 13 पदों वाली एक समांतर श्रेणी है। योग = (13/2)(10 + 94) = (13/2)(104) = 13 * 52 = 676।

व्याख्या

टंकी के आयतन की गणना एक आयताकार प्रिज्म के आयतन के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: V = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, V = 10 मीटर × 8 मीटर × 6 मीटर = 480 मीटर³। पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल 4 सेमी² दिया गया है, जिसे सुसंगतता के लिए वर्ग मीटर में परिवर्तित किया जाना चाहिए: A = 4 × (10⁻² मीटर)² = 4 × 10⁻⁴ मीटर²। आयतन प्रवाह दर Q अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और नोजल वेग v का गुणनफल है: Q = A × v = (4 × 10⁻⁴ मीटर²) × (40 मीटर/सेकंड) = 0.016 मीटर³/सेकंड। टंकी को भरने के लिए आवश्यक कुल समय कुल आयतन को प्रवाह दर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: t = V / Q = 480 मीटर³ / 0.016 मीटर³/सेकंड = 30,000 सेकंड। इस समय को घंटे और मिनट में बदलने के लिए, 3600 सेकंड प्रति घंटे से विभाजित करें: 30,000 / 3600 = 25 / 3 = 8.333 घंटे। चूंकि 0.333 घंटे 1/3 घंटे के बराबर है, यह 20 मिनट के बराबर है। इसलिए, टंकी 8 घंटे 20 मिनट में भर जाएगी, जो विकल्प सी से मेल खाता है।

व्याख्या

30 व्यास वाले एक वृत्त में, 10 व्यास वाले अधिकतम 7 वृत्त फिट हो सकते हैं (एक केंद्र में, छह चारों ओर)। ड्रम की ऊंचाई 100 सेमी है और प्रत्येक बक्से की ऊंचाई 10 सेमी है, जिससे 100/10 = 10 परतें बन सकती हैं। कुल बक्से = 7 * 10 = 70।

व्याख्या

जब तय की गई दूरी स्थिर होती है, तो लिया गया समय वाहन की गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह संबंध सूत्र T = D/S द्वारा दिया जाता है, जहाँ T समय, D दूरी और S गति है। यह देखते हुए कि तीन बसों की गति का अनुपात 2:3:4 है, उनके द्वारा लिए गए समय का अनुपात उनकी गति के अनुपात का व्युत्क्रम होगा।

इसलिए, लिए गए समय का अनुपात 1/2 : 1/3 : 1/4 है। इस भिन्न अनुपात को पूर्ण संख्या अनुपात में बदलने के लिए, हम प्रत्येक पद को हर 2, 3 और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं, जो कि 12 है।

मानों की गणना: पहली बस: 1/2 × 12 = 6 दूसरी बस: 1/3 × 12 = 4 तीसरी बस: 1/4 × 12 = 3

लिए गए समय का परिणामी अनुपात 6:4:3 है, जो विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

वर्ग की भुजा की गणना विकर्ण के सूत्र, d = a√2, का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। दिया गया है d = 12√2 सेमी, हमारे पास a√2 = 12√2 है, जिससे a = 12 सेमी प्राप्त होता है। वर्ग का परिमाप P = 4a = 4 × 12 = 48 सेमी है। चूँकि समबाहु त्रिभुज का परिमाप वर्ग के परिमाप के बराबर है, 3s = 48, जहाँ s त्रिभुज की भुजा है। इससे s = 48/3 = 16 सेमी प्राप्त होता है। समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A = (√3/4)s² द्वारा दिया जाता है। s का मान रखने पर, हमें A = (√3/4) × 16² = (√3/4) × 256 = 64√3 सेमी² प्राप्त होता है। इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल 64√3 सेमी² है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

साइकिल की गति की गणना करने के लिए, हम पहिये की परिधि और चक्करों की संख्या के संदर्भ में पहिये द्वारा तय की गई दूरी के सूत्र का उपयोग करते हैं। एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि, 2πr के बराबर होती है। प्रति मिनट तय की गई दूरी को 60 से गुणा करके घंटे की दूरी प्राप्त की जाती है और मीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए 1000 से भाग देकर कुल गति किमी/घंटा में ज्ञात की जाती है।

लागू सूत्र है गति = (n × 2πr × 60)/1000। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ n = 140 चक्कर प्रति मिनट, r = 30 सेमी = 0.3 मीटर, और π = 22/7 का उपयोग करते हुए:

गति = (140 × 2 × 22/7 × 0.3 × 60)/1000 गति = (20 × 2 × 22 × 0.3 × 60)/1000 गति = (880 × 18)/1000 गति = 15840/1000 = 15.84 किमी/घंटा

साइकिल की परिकलित गति 15.84 किमी/घंटा है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

बाड़ लगाने की कुल लागत ज्ञात करने के लिए, हम पहले बाग के आयाम निर्धारित करते हैं। पौधों की कुल संख्या 437 है, और चूंकि उन्हें प्रति पंक्ति समान संख्या में पौधों के साथ पंक्तियों में लगाया गया है, हम 437 के गुणनखंड ज्ञात करते हैं। चूंकि 437 दो अभाज्य संख्याओं, 19 × 23 का गुणनफल है, ग्रिड व्यवस्था या तो 19 पंक्तियों में 23 पौधे या 23 पंक्तियों में 19 पौधे है।

मान लीजिए पंक्तियों की संख्या R = 19 है और प्रति पंक्ति पौधों की संख्या P = 23 है। पौधों द्वारा घेरे गए क्षेत्र की लंबाई (P - 1) × 2 = (23 - 1) × 2 = 44 मीटर है, और चौड़ाई (R - 1) × 2 = (19 - 1) × 2 = 36 मीटर है। चारों ओर 1 मीटर की जगह जोड़ने पर, कुल लंबाई L 44 + 1 + 1 = 46 मीटर हो जाती है और कुल चौड़ाई W 36 + 1 + 1 = 38 मीटर हो जाती है।

बाग का कुल परिमाप सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: परिमाप = 2(L + W) = 2(46 + 38) = 2(84) = 168 मीटर

100 रुपये प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की कुल लागत है: कुल लागत = 168 मीटर × 100 रुपये/मीटर = रु. 16,800

इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

त्रिभुज ABD में, हमारे पास दो भुजाएँ AB और AD और उनके बीच का कोण ∠A = 60 डिग्री है। विकर्ण BD की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम कोज्या के नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हैं: BD² = AB² + AD² - 2(AB)(AD) cos(∠A)

दिए गए मान AB = 2AD और ∠A = 60° को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: BD² = (2AD)² + AD² - 2(2AD)(AD) cos(60°)

चूंकि cos(60°) = 1/2 है, समीकरण बन जाता है: BD² = 4AD² + AD² - 2(2AD²) (1/2) BD² = 5AD² - 2AD² BD² = 3AD²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: BD = √3 AD

इसलिए, विकर्ण BD की लंबाई √3 AD है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

बिंदु O त्रिभुज ABC की तीनों भुजाओं से समदूरस्थ है, जो O को त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incenter) पहचानता है। अंतःकेंद्र त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।

कथन 1 के लिए, चूँकि OA, OB, और OC कोण समद्विभाजक हैं, हमारे पास ∠OAC = ∠A/2, ∠OBA = ∠B/2, और ∠OCB = ∠C/2 है। इन कोणों का योग ∠OAC + ∠OBA + ∠OCB = (∠A + ∠B + ∠C) / 2 है। त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करते हुए, ∠A + ∠B + ∠C = 180°, इसलिए योग 180° / 2 = 90° है। इस प्रकार, कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, अंतःकेंद्र पर एक भुजा द्वारा बनाया गया कोण सूत्र ∠BOC = 90° + ∠BAC/2 द्वारा दिया जाता है। यह कथन ∠BOC = 2∠BAC से भिन्न है, जिससे कथन 2 गलत हो जाता है।

कथन 3 के लिए, रेखा OA, ∠BAC का कोण समद्विभाजक है। कोण समद्विभाजक के गुण के अनुसार, समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस कोण की दो भुजाओं से समदूरस्थ होता है। इसलिए, OA खंड पर किसी भी बिंदु की भुजाओं AB और AC से लम्बवत दूरियाँ बराबर होंगी। इस प्रकार, कथन 3 सही है।

चूँकि कथन 1 और 3 सही हैं, विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = 2πrh द्वारा दिया जाता है। चूँकि क्षेत्रफल सीधे ऊँचाई h के समानुपाती होता है, त्रिज्या r को स्थिर रखते हुए ऊँचाई को दोगुना करने पर नया क्षेत्रफल CSA' = 2πr(2h) = 2(2πrh) = 2 × CSA प्राप्त होता है। इस प्रकार, कथन 1 सही है क्योंकि वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल दोगुना हो जाता है।

एक अर्धगोलाकार ठोस का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) उसके वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल 2πr² और उसके वृत्ताकार आधार πr² के क्षेत्रफल का योग होता है, जिससे TSA = 3πr² प्राप्त होता है। क्षेत्रफल त्रिज्या r के वर्ग के समानुपाती होता है। यदि त्रिज्या दोगुनी कर दी जाती है, तो नया कुल पृष्ठ क्षेत्रफल TSA' = 3π(2r)² = 3π(4r²) = 4(3πr²) = 4 × TSA हो जाता है। इस प्रकार, कथन 2 सही है क्योंकि कुल पृष्ठ क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है।

चूँकि दोनों कथन गणितीय रूप से सटीक हैं, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

एक घनाकार टंकी से बाहर निकाले गए पानी का आयतन एक आयताकार प्रिज्म (rectangular prism) बनाता है, जिसका आधार घन का वर्गाकार आधार होता है और ऊँचाई पानी के स्तर में गिरावट होती है। मान लीजिए घन की भुजा s है और पानी के स्तर में गिरावट h है। निकाले गए पानी के आयतन का सूत्र V = s² × h है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 128 = s² × 2 प्राप्त होता है। s² के लिए हल करने पर, हमें s² = 128/2 = 64 मिलता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, घन की भुजा s = √64 = 8 मीटर है। टंकी की अधिकतम क्षमता घन का कुल आयतन है, जिसकी गणना सूत्र Vₜₒₜₐₗ = s³ का उपयोग करके की जाती है। इसलिए, क्षमता 8³ = 8 × 8 × 8 = 512 m³ है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि सूत्र C = 2πr द्वारा परिभाषित की जाती है। यह देखते हुए कि परिधि C = 100 सेमी है, हम त्रिज्या r के लिए हल करते हैं: r = 100/2π = 50/π सेमी। वृत्त का व्यास d त्रिज्या का दोगुना होता है, इसलिए d = 2 × 50/π = 100/π सेमी। एक वृत्त में अंकित वर्ग में, वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है। यदि a वर्ग की भुजा है, तो संबंध d = a√2 है। व्यास के ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें a√2 = 100/π प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को √2 से विभाजित करने पर a = 100/(π√2) प्राप्त होता है। हर को √2 से अंश और हर दोनों को गुणा करके परिमेय बनाने पर, हमें a = 100√2/2π = 50√2/π सेमी प्राप्त होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

घन का आयतन 1³ = 1 सेमी³ है। गोलाकार गेंदों के लिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² = π¹/³ है, इसलिए r² = π¹/³ / (4π) = 1 / (4 π²/³)। इस प्रकार, r = 1 / (2 π¹/³)। एक गेंद का आयतन (4/3)πr³ = (4/3)π(1 / (8π)) = 1/6 सेमी³ है। गेंदों की संख्या 1 / (1/6) = 6 है।

व्याख्या

पात्र में जल का आयतन घातीय वृद्धि पैटर्न का अनुसरण करता है जहाँ आयतन प्रत्येक 5 मिनट में दोगुना हो जाता है। इसे सूत्र V(t) = V₀ · 2ᵗ/⁵ द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहाँ V(t) समय t पर आयतन है और V₀ प्रारंभिक आयतन है। इसे कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, पात्र के पूरा भरने के समय से पीछे की ओर काम करना सबसे अच्छा है।

यह देखते हुए कि पात्र t = 30 मिनट पर पूरा भर जाता है, मान लीजिए कि पूरी क्षमता C है। चूंकि आयतन प्रत्येक 5 मिनट में दोगुना हो जाता है, इसलिए यह पूरा भरने से 5 मिनट पहले आधा भरा होना चाहिए। इसलिए, t = 30 - 5 = 25 मिनट पर, आयतन C/2 था। यह पता लगाने के लिए कि यह एक-चौथाई कब भरा था, हम एक और 5 मिनट की अवधि घटाते हैं, क्योंकि C/2 का आधा C/4 होता है। इस प्रकार, t = 25 - 5 = 20 मिनट पर, पात्र 1/4 भरा था। गणितीय रूप से, V(20) = C · 2⁽²⁰⁻³⁰⁾/⁵ = C · 2⁻² = C/4। विकल्प C सही परिणाम है।

व्याख्या

त्रिज्या r और ऊंचाई h वाले बेलन का आयतन सूत्र Vबेलन = πr²h द्वारा दिया जाता है। चूँकि ऐसे 30 बेलन हैं, धातु का कुल आयतन 30 × πr²h है। समान त्रिज्या और ऊंचाई वाले शंकु का आयतन सूत्र Vशंकु = 1/3 πr²h द्वारा दिया जाता है। शंकुओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल आयतन को एक शंकु के आयतन से विभाजित करते हैं: n = (30πr²h)/(1/3 πr²h) = 30 × 3 = 90। इस प्रकार, कथन I सही है।

कथन II के संबंध में, बेलन की वक्र सतह को समतल करने पर वास्तव में एक आयत होता है, जिसके आयाम 2πr गुणा h होते हैं। हालाँकि, शंकु की वक्र सतह को समतल करने पर, यह वृत्त का एक त्रिज्यखंड बनाता है जिसकी त्रिज्या शंकु की तिर्यक ऊंचाई l के बराबर होती है, न कि त्रिभुज। इसलिए, कथन II गलत है। परिणामस्वरूप, कथन I सही है लेकिन कथन II सही नहीं है, जिससे विकल्प c सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग ABCD की भुजा s है। भुजा s वाले एक समबाहु त्रिभुज BOC में, O से BC पर शीर्षलम्ब सूत्र h = (√3/2)s द्वारा दिया जाता है। चूँकि B और C वर्ग के शीर्ष हैं, BC भुजाओं में से एक है। शीर्ष O से भुजा BC की दूरी (√3/2)s है, और इसलिए O से विपरीत भुजा AD की दूरी s - (√3/2)s = s(1 - √3/2) है।

मान लीजिए M, AD का मध्य बिंदु है। O, AD के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है, इसलिए OM, O से AD की दूरी है। समकोण त्रिभुज OMD में, हमारे पास MD = s/2 और OM = s(1 - √3/2) है। कोण ∠ODM का मान स्पर्शज्या अनुपात का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है: tan(∠ODM) = OM/MD = s(1 - √3/2)/(s/2) = 2(1 - √3/2) = 2 - √3। यह जानते हुए कि tan 15° = 2 - √3 है, हम पाते हैं ∠ODM = 15°।

चूँकि ΔAOD एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें OA = OD है, हमारे पास ∠OAD = ∠ODA = 15° है। ΔAOD में कोणों का योग 180° है, इसलिए ∠AOD = 180° - (15° + 15°) = 150°। दिया गया है कि ∠AOD = 2θ है, तो 2θ = 150°, जिसका अर्थ है θ = 75°। tan θ का मान tan 75° = tan(45° + 30°) = (tan 45° + tan 30°)/(1 - tan 45° tan 30°) = (1 + 1/√3)/(1 - 1/√3) = (√3 + 1)/(√3 - 1) है। हर का परिमेयकरण करने पर (√3 + 1)²/(3 - 1) = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3 प्राप्त होता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

एक पहिये द्वारा एक चक्कर में तय की गई दूरी उसके परिधि के बराबर होती है, जिसका सूत्र πd है, जहाँ d व्यास है। n चक्करों में तय की गई कुल दूरी D = n × πd है।

सबसे पहले, कुल दूरी को एक इकाई (मीटर) में बदलें। चूँकि 1 किमी = 1000 मी और 1 डेकामीटर = 10 मी, कुल दूरी D = (2 × 1000) + (26 × 10) = 2000 + 260 = 2260 मी है।

यह देखते हुए कि चक्करों की संख्या n = 452 है, हम सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 2260 = 452 × 22/7 × d

d के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करना: d = (2260 × 7)/(452 × 22)

व्यंजक को सरल बनाने पर, हम देखते हैं कि 2260 ÷ 452 = 5 है। d = (5 × 7)/22 = 35/22

अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना: d = 1 13/22 मी

इस प्रकार, पहिये का व्यास 1 13/22 मी है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को ज्यामिति में घूर्णन (rotation) की अवधारणा का उपयोग करके हल किया जा सकता है। वर्ग ABCD में, हमारे पास AB = AD और ∠BAD = 90° है। इसी प्रकार, वर्ग AXYZ में, हमारे पास AX = AZ और ∠XAZ = 90° है।

बिंदु A के परितः 90° के घूर्णन पर विचार करें। यह घूर्णन बिंदु B को बिंदु D पर प्रतिचित्रित करता है क्योंकि AB = AD और ∠BAD = 90° है। वर्ग AXYZ के अभिविन्यास (orientation) के आधार पर (चाहे इसे दक्षिणावर्त (clockwise) या वामावर्त (counter-clockwise) बनाया गया हो), A के परितः 90° का घूर्णन बिंदु X को बिंदु Z पर या बिंदु Z को बिंदु X पर प्रतिचित्रित करेगा।

स्थिति 1: यदि घूर्णन X को Z पर प्रतिचित्रित करता है, तो SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी के अनुसार त्रिभुज ABX, त्रिभुज ADZ के सर्वांगसम (congruent) है, क्योंकि AB = AD, AX = AZ, और ∠BAX = ∠DAZ। परिणामस्वरूप, सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं, जिससे BX = DZ और ∠ABX = ∠ADZ प्राप्त होता है।

स्थिति 2: यदि घूर्णन Z को X पर प्रतिचित्रित करता है, तो SAS कसौटी के अनुसार त्रिभुज ABZ, त्रिभुज ADX के सर्वांगसम है, क्योंकि AB = AD, AZ = AX, और ∠BAZ = ∠DAX। इससे BZ = DX और ∠ABZ = ∠ADX प्राप्त होता है।

चूंकि इन दो स्थितियों में से एक अवश्य घटित होगी, इसलिए कथन 1 (BX = DZ या BZ = DX) और कथन 2 (∠ABX = ∠ADZ या ∠ADX = ∠ABZ) दोनों सही हैं। इसलिए, विकल्प c सही उत्तर है।

व्याख्या

चक्रीय चतुर्भुज की चौथी भुजा ज्ञात करने के लिए, हम कोसाइन के नियम का उपयोग करते हैं। मान लीजिए भुजाएँ AB = 2 सेमी, BC = 5 सेमी, CD = 3 सेमी, और DA = d सेमी हैं, और कोण ∠B = 60° है। सबसे पहले, ΔABC में कोसाइन के नियम का उपयोग करके विकर्ण AC की लंबाई की गणना करें: AC² = AB² + BC² - 2(AB)(BC) cos B AC² = 2² + 5² - 2(2)(5) cos 60° AC² = 4 + 25 - 20(1/2) AC² = 29 - 10 = 19

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। इसलिए, ∠B के सम्मुख कोण ∠D = 180° - 60° = 120° है। अब, भुजा d ज्ञात करने के लिए ΔADC में कोसाइन के नियम को लागू करें: AC² = CD² + DA² - 2(CD)(DA) cos D 19 = 3² + d² - 2(3)(d) cos 120° चूंकि cos 120° = -1/2 है, समीकरण बन जाता है: 19 = 9 + d² - 6d(-1/2) 19 = 9 + d² + 3d d² + 3d - 10 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड द्वारा हल करना: (d + 5)(d - 2) = 0 इससे d = -5 या d = 2 प्राप्त होता है। चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती है, इसलिए चौथी भुजा d = 2 सेमी है, जो विकल्प a) से मेल खाती है।

व्याख्या

एक चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, एक समांतर चतुर्भुज होता है। जब विकर्ण बराबर भी होते हैं, जैसा कि समुच्चय A में निर्दिष्ट है, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है। इस प्रकार, समुच्चय A सभी आयतों के समुच्चय को दर्शाता है। इसी तरह, एक समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण एक दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं, एक समचतुर्भुज होता है। इसलिए, समुच्चय B सभी समचतुर्भुजों के समुच्चय को दर्शाता है। सर्वनिष्ठ A ∩ B में वे चतुर्भुज शामिल होते हैं जो दोनों शर्तों को पूरा करते हैं: वे आयत और समचतुर्भुज दोनों होने चाहिए। सभी भुजाओं के बराबर वाला एक आयत या सभी कोणों के 90° के बराबर वाला एक समचतुर्भुज एक वर्ग होता है। अतः, उन चतुर्भुजों का समुच्चय जिनके बराबर विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और विकर्ण एक दूसरे को 90° पर समद्विभाजित करते हैं, वर्गों का समुच्चय है, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा s है। त्रिभुज का कर्ण (x, 0) और (0, y) को जोड़ता है, इसलिए इसका समीकरण X/x + Y/y = 1 है। वर्ग का शीर्ष (s, s) इस रेखा पर स्थित है, इसलिए s/x + s/y = 1। s के लिए हल करने पर s = xy / (x + y) प्राप्त होता है। परिधि 4s = 4xy / (x + y) है।

व्याख्या

शेष शीट का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम आयताकार शीट के कुल क्षेत्रफल में से अर्धवृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल घटाते हैं। आयत का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई का उपयोग करके निकाला जाता है, इसलिए आयत का क्षेत्रफल = 18 सेमी × 14 सेमी = 252 सेमी²। चूँकि अर्धवृत्त को छोटी भुजा को व्यास मानकर निकाला गया है, व्यास d = 14 सेमी है, जिसका अर्थ है त्रिज्या r = 7 सेमी। अर्धवृत्त का क्षेत्रफल सूत्र 1/2 π r² द्वारा दिया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 1/2 × 22/7 × (7)² = 1/2 × 22/7 × 49 = 11 × 7 = 77 सेमी²। अंत में, शेष शीट का क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल - अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 252 सेमी² - 77 सेमी² = 175 सेमी²। यह परिणाम विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने का सबसे तेज़ तरीका क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र का उपयोग करना है। जब किसी आयत के दो आयामों को x% और y% बढ़ाया जाता है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है: शुद्ध वृद्धि = x + y + xy/100। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ x = 30 और y = 20, हमें प्राप्त होता है: शुद्ध वृद्धि = 30 + 20 + (30 × 20)/100 = 50 + 600/100 = 50 + 6 = 56%। वैकल्पिक रूप से, मान लीजिए वर्ग की भुजा 10 इकाई है। मूल क्षेत्रफल 10 × 10 = 100 वर्ग इकाई है। वृद्धि के बाद नई विमाएँ 10 × 1.3 = 13 इकाई और 10 × 1.2 = 12 इकाई हैं। परिणामी आयत का क्षेत्रफल 13 × 12 = 156 वर्ग इकाई है। क्षेत्रफल में वृद्धि 156 - 100 = 56 वर्ग इकाई है, जो 100 के मूल क्षेत्रफल पर 56% की वृद्धि के अनुरूप है। इस प्रकार, विकल्प d सही है।

व्याख्या

टैंक का कुल आयतन अर्धगोलाकार तल और बेलनाकार ऊपरी भाग के आयतनों का योग है। सूत्र V = 2/3 πr³ + πr²h का उपयोग करके, हम दिए गए मान V = 3312 π और r = 12 को प्रतिस्थापित करते हैं:

3312 π = 2/3 π(12)³ + π(12)²h

पूरे समीकरण को π से विभाजित करने पर:

3312 = 2/3 (1728) + 144h 3312 = 1152 + 144h 144h = 3312 - 1152 144h = 2160 h = 2160/144 = 15 मीटर

अर्धगोलाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Sₕₑₘᵢ = 2 πr² है और बेलनाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल S꜀ᵧₗ = 2 πrh है। इन पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है:

अनुपात = 2πr²/2πrh = r/h

r = 12 और h = 15 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = 12/15 = 4/5

इसलिए, गोलाकार और बेलनाकार भागों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4:5 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः l, w और h हैं। एक घनाभ के तीन परस्पर लंबवत फलकों के क्षेत्रफल उसके आयामों के दो-दो करके गुणनफल होते हैं। इसलिए, हम इन क्षेत्रफलों को x = l × w, y = w × h, और z = h × l के रूप में दर्शा सकते हैं।

घनाभ के आयतन V का सूत्र उसके तीन आयामों के गुणनफल द्वारा दिया जाता है: V = l × w × h। xyz का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए तीन क्षेत्रफलों को एक साथ गुणा करते हैं: xyz = (l × w) × (w × h) × (h × l) xyz = l² × w² × h² xyz = (l × w × h)²

आयतन V को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें xyz = V² प्राप्त होता है। अतः, विकल्प b सही उत्तर है।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन सूत्र V = 1/3 π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है। इस समस्या में, पानी बड़े उल्टे शंकु के अंदर एक छोटे शंकु का निर्माण करता है। चूँकि पानी शंकु को उसकी आधी ऊँचाई तक भरता है, पानी के शंकु की ऊँचाई hᵥᵥₐₜₑᵣ = 1/2 hₜₒₜₐₗ है। चूँकि पानी का शंकु मूल शंकु के समरूप है, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात उनकी ऊँचाइयों के अनुपात के बराबर है, जिसका अर्थ है rᵥᵥₐₜₑᵣ = 1/2 rₜₒₜₐₗ।

पानी का आयतन Vᵥᵥₐₜₑᵣ = 1/3 π (rᵥᵥₐₜₑᵣ)² hᵥᵥₐₜₑᵣ है। अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Vᵥᵥₐₜₑᵣ = 1/3 π (rₜₒₜₐₗ/2)² (hₜₒₜₐₗ/2) प्राप्त होता है। यह Vᵥᵥₐₜₑᵣ = 1/3 π (rₜₒₜₐₗ²/4) (hₜₒₜₐₗ/2) = 1/8 (1/3 π rₜₒₜₐₗ² hₜₒₜₐₗ) तक सरल हो जाता है। चूँकि कोष्ठक में दिया गया पद कुल आयतन V है, पानी का आयतन Vᵥᵥₐₜₑᵣ = V/8 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि तीन आयतों का उभयनिष्ठ क्षेत्रफल A है। प्रत्येक आयत Rᵢ जिसकी लंबाई xᵢ और चौड़ाई yᵢ है, के लिए, हमारे पास A = xᵢyᵢ है, जिसका अर्थ है yᵢ = A/xᵢ। जब चौड़ाई के साथ समानांतर भुजाओं को जोड़कर एक सिलेंडर बनाया जाता है, तो लंबाई xᵢ वृत्ताकार आधार की परिधि बन जाती है और चौड़ाई yᵢ सिलेंडर की ऊंचाई बन जाती है।

परिधि 2πrᵢ = xᵢ द्वारा दी जाती है, इसलिए त्रिज्या rᵢ = xᵢ/2π है। सिलेंडर की ऊंचाई hᵢ = yᵢ = A/xᵢ है। सिलेंडर का आयतन Vᵢ सूत्र V = πr²h का उपयोग करके गणना की जाती है। rᵢ और hᵢ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

Vᵢ = π(xᵢ/2π)²(A/xᵢ) = π (xᵢ²/4π²) (A/xᵢ) = Axᵢ/4π

इस व्यंजक से, यह स्पष्ट है कि आयतन V लंबाई x के सीधे समानुपाती है क्योंकि A और 4π स्थिरांक हैं। दी गई शर्त x₁ < x₂ < x₃ से, यह सीधे तौर पर अनुसरण करता है कि V₁ < V₂ < V₃। इस प्रकार, विकल्प (c) सही संबंध है।

व्याख्या

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² = 13254, इसलिए a² = 2209। अतः, a = 47 सेमी। घन का विकर्ण a√3 = 47√3 सेमी है।

व्याख्या

एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई का उपयोग करके गणना की जाती है। यह देखते हुए कि समानांतर भुजाएँ 5:7 के अनुपात में हैं, हम छोटी भुजा को 5x और बड़ी भुजा को 7x मान सकते हैं। ऊंचाई (उनके बीच की लंबवत दूरी) 14 सेमी दी गई है और कुल क्षेत्रफल 336 वर्ग सेमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 336 = 1/2 × (5x + 7x) × 14 336 = 7 × (12x) 336 = 84x

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल को गुणांक से विभाजित करते हैं: x = 336/84 = 4

छोटी समानांतर भुजा 5x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर: छोटी भुजा = 5 × 4 = 20 सेमी

इस प्रकार, विकल्प (a) सही उत्तर है।

व्याख्या

घन का आयतन = 44^3 = 85184 घन सेमी। एक गोलाकार गोली का आयतन = (4/3)पाइr^3 = (4/3)(22/7)2^3 = 704/21 लगभग 33.5238 घन सेमी। गोलियों की संख्या = 85184 / (704/21) = (85184 21) / 704 = 121 21 = 2541।

व्याख्या

प्रति मिनट समुद्र में बहने वाले पानी की मात्रा ज्ञात करने के लिए, हम प्रवाह दर के सूत्र का उपयोग करते हैं: आयतन = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल × वेग × समय।

सबसे पहले, नदी के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल की गणना करें: क्षेत्रफल = चौड़ाई × गहराई = 45 मीटर × 2.5 मीटर = 112.5 मी²

इसके बाद, नदी की गति को किमी/घंटा से मी/सेकंड में बदलने के लिए 5/18 के शॉर्टकट गुणनखंड का उपयोग करें: वेग = 3.6 किमी/घंटा × 5/18 = 18/18 मी/से = 1 मी/से

दिया गया समय अंतराल एक मिनट है, जो 60 सेकंड के बराबर है।

अब, आयतन सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करें: आयतन = 112.5 मी² × 1 मी/से × 60 से आयतन = 112.5 × 60 = 6750 मी³

इस प्रकार, प्रति मिनट समुद्र में बहने वाले पानी की मात्रा 6750 मी³ है, जो विकल्प (बी) से मेल खाती है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदित जीवाओं प्रमेय (Intersecting Chords Theorem) का उपयोग करते हुए, यदि वृत्त की दो जीवाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। यहाँ, व्यास AB और जीवा CD बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए, CP ⋅ PD = AP ⋅ PB.

दिया गया है कि व्यास AB = d को P द्वारा 1:2 के अनुपात में विभाजित किया गया है, हम खंड AP और PB की लंबाई की गणना इस प्रकार करते हैं: AP = 1/(1+2) d = d/3 PB = 2/(1+2) d = 2d/3

चूंकि व्यास AB जीवा CD पर लंबवत है, P जीवा CD का मध्य बिंदु होना चाहिए। मान लीजिए CP = PD = x। इन मानों को प्रमेय सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x ⋅ x = d/3 ⋅ 2d/3 x² = 2d²/9 x = √2d/3

जीवा CD की कुल लंबाई 2x है: CD = 2 ⋅ √2d/3 = 2√2d/3

इस प्रकार, जीवा CD की लंबाई 2√2d/3 है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

किसी भी सम बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना उसे n समरूप समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करके की जा सकती है, जहाँ n भुजाओं की संख्या है। अंकित वृत्त का केंद्र इन त्रिभुजों के उभयनिष्ठ शीर्ष के रूप में कार्य करता है। प्रत्येक त्रिभुज की ऊँचाई (लम्ब) अंकित वृत्त की त्रिज्या r के संगत होती है, और प्रत्येक त्रिभुज का आधार बहुभुज की भुजा की लम्बाई s के संगत होता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल के मानक सूत्र का उपयोग करते हुए, एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × s × r होता है। चूँकि बहुभुज में ऐसे n सर्वांगसम त्रिभुज होते हैं, बहुभुज का कुल क्षेत्रफल A सूत्र A = n × (1/2 × s × r) द्वारा दिया जाता है।

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें A = 1/2 × (n × s) × r प्राप्त होता है। एक सम बहुभुज की परिधि p उसकी सीमा की कुल लम्बाई होती है, जो भुजाओं की संख्या और प्रत्येक भुजा की लम्बाई का गुणनफल होती है, इसलिए p = n × s। क्षेत्रफल समीकरण में p को प्रतिस्थापित करने पर A = pr/2 प्राप्त होता है। यह विकल्प c के संगत है।

व्याख्या

मान लीजिए H महत्तम समापवर्तक (HCF) है और L लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। L = 12H और L + H = 403। इसलिए 13H = 403, जिसका अर्थ है H = 31 और L = 12 * 31 = 372। दो संख्याओं का गुणनफल L * H होता है, इसलिए 93 * X = 372 * 31। X = (372 * 31) / 93 = 372 / 3 = 124।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक 0.63 + 0.37 का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक साधारण दशमलव जोड़ करते हैं। दशमलव बिंदुओं को संरेखित करते हुए, हम पहले सौवें स्थान को जोड़ते हैं: 3 + 7 = 10, इसलिए हम 0 लिखते हैं और दहाई स्थान पर 1 हासिल ले जाते हैं। दहाई स्थान को जोड़ने पर 6 + 3 + 1 = 10 मिलता है, इसलिए हम 0 लिखते हैं और इकाई स्थान पर 1 हासिल ले जाते हैं। इस प्रकार, योग 1.00 है, जो 1 तक सरल हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, दशमलव को भिन्न में बदलने पर 63/100 + 37/100 = (63 + 37)/100 = 100/100 = 1 मिलता है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

अर्ध-वार्षिक रूप से गणना किए गए चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, कुल राशि A का सूत्र A = P(1 + R/2n)²ᵗ द्वारा दिया जाता है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, n 100 है, और t वर्षों में समय है। यहाँ, P = 10000, R = 10, और t = 1 है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = 10000(1 + 10/(2 × 100))²ˣ¹ A = 10000(1 + 5/100)² A = 10000(1.05)² A = 10000 × 1.1025 A = 11025

चक्रवृद्धि ब्याज CI की गणना कुल राशि में से मूलधन घटाकर की जाती है: CI = A - P CI = 11025 - 10000 CI = 1025

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक 5% की दो अवधियों के लिए शॉर्टकट का उपयोग करते हुए, प्रभावी ब्याज दर 5 + 5 + (5 × 5)/100 = 10.25% है। ब्याज = 10000 का 10.25% = 1025। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

प्रारंभिक दूध = (7/10) * 30 = 21 लीटर। प्रारंभिक पानी = (3/10) * 30 = 9 लीटर। मान लीजिए x लीटर पानी मिलाया जाता है। नया अनुपात 21/(9 + x) = 1/2 है। x के लिए हल करने पर: 42 = 9 + x, जिससे x = 33 लीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक 6 + 5x - x² के लिए, अधिकतम मान x = -b/2a = -5/(-2) = 2.5 पर होता है। अधिकतम मान = 6 + 5(2.5) - (2.5)² = 6 + 12.5 - 6.25 = 12.25। व्यंजक y - 6 - y² के लिए, अधिकतम मान y = -b/2a = -1/(-2) = 0.5 पर होता है। अधिकतम मान = 0.5 - 6 - (0.5)² = 0.5 - 6 - 0.25 = -5.75। अंतर 12.25 - (-5.75) = 18 है।

व्याख्या

घड़ी की घंटे की सुई 12 घंटे में 360° का एक पूरा चक्कर लगाती है। इसलिए, घंटे की सुई की कोणीय गति 360° / 12 = 30° प्रति घंटा है। प्रति मिनट गति ज्ञात करने के लिए, हम 60 से विभाजित करते हैं, जिससे 30° / 60 = 0.5° प्रति मिनट प्राप्त होता है।

दोपहर से 5 बजकर 10 मिनट तक बीता हुआ समय 5 घंटे और 10 मिनट है। घंटे की सुई द्वारा तय किए गए कुल कोण के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: कुल कोण = (घंटे × 30°) + (मिनट × 0.5°)

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हुए: कुल कोण = (5 × 30°) + (10 × 0.5°) कुल कोण = 150° + 5° = 155°

इस प्रकार, घंटे की सुई 155° के कोण से घूमती है, जिससे विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

किसी भी वास्तविक मान θ के लिए, वर्ग कोसाइन फलन, cos² θ, की सीमा [0, 1] होती है। व्यंजक cos² x + cos² y - cos² z के न्यूनतम मान को ज्ञात करने के लिए, हमें धनात्मक पदों को न्यूनतम करना होगा और ऋणात्मक पद को अधिकतम करना होगा। cos² x और cos² y के लिए न्यूनतम संभव मान 0 है, जो तब होता है जब x और y, π/2 के विषम गुणज होते हैं (उदाहरण के लिए, x = π/2 और y = π/2)। साथ ही, समग्र मान को यथासंभव छोटा बनाने के लिए, हमें घटाए जा रहे पद, cos² z, को अधिकतम करना होगा। cos² z के लिए अधिकतम संभव मान 1 है, जो तब होता है जब z, π का गुणज होता है (उदाहरण के लिए, z = 0)। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 0 + 0 - 1 = -1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक का न्यूनतम मान -1 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

cot(π/4) = 1, sec(π/3) = 2, और cos(π/6) = √3/2 है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: 32(1)² - 8(2)² + 8(√3/2)³ = 32 - 32 + 8(3√3/8) = 3√3।

व्याख्या

सबसे पहले, घनमूल के अंदर के व्यंजक का मान ज्ञात करें: 1 - x = 1 - 91/216 = (216 - 91)/216 = 125/216.

अब, इस परिणाम पर घनमूल लागू करें: (1 - x)¹/³ = (125/216)¹/³ = ³√125/³√216 = 5/6.

इस मान को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 3 - 1/(1 - x)¹/³ = 3 - 1/(5/6).

5/6 का व्युत्क्रम 6/5 है। इसलिए, व्यंजक बन जाता है: 3 - 6/5 = (3 × 5 - 6)/5 = (15 - 6)/5 = 9/5.

अंतिम परिणाम विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक घनाभ में 8 शीर्ष होते हैं। प्रत्येक शीर्ष पर, 6 समकोण त्रिभुज बनाए जा सकते हैं: 3 उस शीर्ष पर मिलने वाली भुजाओं का उपयोग करके और 3 एक भुजा और उस शीर्ष से एक फलक विकर्ण (face diagonal) का उपयोग करके। इससे 8 * 6 = 48 समकोण त्रिभुज बनते हैं। चूंकि 48 विकल्प a, b, या c में नहीं है, इसलिए सही विकल्प d है।

व्याख्या

माना छात्रों की संख्या n है। प्रारंभिक कुल भार = 43n। नए छात्रों के भार का योग = 42 + 36.5 + 39 + 42.5 = 160। नया औसत = (43n + 160) / (n + 4) = 42.5। n के लिए हल करने पर: 43n + 160 = 42.5n + 170, जो 0.5n = 10 को सरल करता है, इसलिए n = 20।

व्याख्या

मूल औसत सूत्र का प्रयोग करें: योग = औसत × मदों की संख्या।

चार साल पहले, A और B की आयु का योग 2 × 18 = 36 वर्ष था। चूँकि दोनों व्यक्तियों के लिए चार साल बीत चुके हैं, उनकी वर्तमान संयुक्त आयु 36 + (2 × 4) = 44 वर्ष है।

A, B और C की आयु का वर्तमान कुल योग 3 × 24 = 72 वर्ष है। A और B की संयुक्त वर्तमान आयु को तीनों के कुल योग से घटाकर, हम C की वर्तमान आयु ज्ञात करते हैं: 72 - 44 = 28 वर्ष।

8 साल बाद C की आयु ज्ञात करने के लिए, वर्तमान आयु में 8 जोड़ें: 28 + 8 = 36 वर्ष। इस प्रकार, विकल्प c सही मान है।

व्याख्या

डेटा सेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: a - 3.5, a - 3, a - 2.5, a - 2, a - 0.5, a + 0.5, a + 4, a + 5। यहाँ 8 मान हैं। माध्यिका चौथे और पांचवें पद का औसत है: ((a - 2) + (a - 0.5)) / 2 = (2a - 2.5) / 2 = a - 1.25।

व्याख्या

नए मान y_i = (i + 1)x_i = (i + 1)i = i^2 + i हैं। पहले n ऐसे मानों का योग Sum(i^2) + Sum(i) = [n(n+1)(2n+1)/6] + [n(n+1)/2] = [n(n+1)/2] [(2n+1)/3 + 1] = [n(n+1)/2] [(2n+4)/3] = [n(n+1)(n+2)/3] है। नया माध्य योग को n से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि (n+1)(n+2)/3 है।

व्याख्या

भारित अंकगणितीय माध्य = Sum(w_i * x_i) / Sum(w_i) है। यहाँ, x_i = i और w_i = i, जहाँ i = 1 से 10 तक है। भारित माध्य = Sum(i^2) / Sum(i) = [10(11)(21)/6] / [10(11)/2] = 385 / 55 = 7।