सीडीएस II 2024 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

न्यूनतम किया जाने वाला फलन f(x) = 4x^2 + x है। यह ax^2 + bx + c के रूप का एक द्विघात व्यंजक है। न्यूनतम मान शीर्ष पर होता है, जहाँ x = -b/(2a) होता है। a = 4 और b = 1 रखने पर, हमें x = -1/(2*4) = -1/8 = -0.125 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समीकरण m^2 - n^2 = 72 है, जिसे (m-n)(m+n) = 72 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। मान लीजिए u = m-n और v = m+n। तब uv = 72, जहाँ v > u। m और n के प्राकृत संख्याएँ होने के लिए, u और v का समान समता (parity) का होना आवश्यक है। चूँकि उनका गुणनफल 72 सम है, इसलिए दोनों सम होने चाहिए। संभावित युग्म (u, v) हैं (2, 36), (4, 18), और (6, 12)। इससे (m, n) के 3 युग्म प्राप्त होते हैं: (19, 17), (11, 7), और (9, 3)।

व्याख्या

जब N को 6, 12, 15, 24 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल क्रमशः 2, 8, 11, 20 हैं। भाजक और शेषफल के बीच का अंतर स्थिर है: 6-2=4, 12-8=4, 15-11=4, 24-20=4। अतः, N+4, 6, 12, 15 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। LCM(6, 12, 15, 24) = 120। सामान्य रूप N = 120k - 4 है। सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या के लिए, 120k - 4 <= 99999 का अर्थ है 120k <= 100003, इसलिए अधिकतम k = 833। N = 120(833) - 4 = 99960 - 4 = 99956।

व्याख्या

मॉड्यूलो 5: 111, 222, 333 क्रमशः 1, 2, और 3 (या -2) हैं। 111^222 mod 5 = 1^222 = 1। 222^333 mod 5 = 2^333। चूँकि 2^4 = 16 = 1 mod 5, और 333 mod 4 = 1, इसलिए 2^333 = 2^1 = 2। 333^444 mod 5 = (-2)^444 = 2^444। चूँकि 444 mod 4 = 0, इसलिए 2^444 = 2^4 = 1 mod 5। योग = 1 + 2 + 1 = 4।

व्याख्या

अंतिम तीन अंक ज्ञात करने के लिए, हम (4321012345 98766789) mod 1000 की गणना करते हैं। यह 345 789 mod 1000 के बराबर है। 345 * 789 = 272205। अंतिम तीन अंक 205 हैं।

व्याख्या

संबंध p = k(x^2 + y^2 + z^2) है। मानों के पहले सेट का उपयोग करके: 70 = k(1^2 + 2^2 + 3^2) = k(1 + 4 + 9) = 14k। इस प्रकार, k = 5। दूसरे सेट के लिए: p = 5((-1)^2 + 1^2 + 5^2) = 5(1 + 1 + 25) = 5(27) = 135।

व्याख्या

N का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि N को 6, 12, 15 और 18 से विभाजित करने पर 5 शेषफल प्राप्त होता है। इसका मतलब है कि N को N = LCM(6, 12, 15, 18)m + 5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है। सबसे पहले, हम दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं: 6 = 2 × 3 12 = 2² × 3 15 = 3 × 5 18 = 2 × 3² LCM(6, 12, 15, 18) = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180.

अतः, N = 180m + 5। हमें दिया गया है कि N, 11 का गुणज है, इसलिए 180m + 5 ≡ 0 (mod 11)। 180 को 11 के सापेक्ष सरल करने पर: 180 = 11 × 16 + 4, इसलिए 180 ≡ 4 (mod 11)। समीकरण 4m + 5 ≡ 0 (mod 11) हो जाता है, जो 4m ≡ -5 (mod 11) या 4m ≡ 6 (mod 11) में सरल हो जाता है। 2 से भाग देने पर, हमें 2m ≡ 3 (mod 11) प्राप्त होता है। दाहिनी ओर 11 जोड़ने पर, 2m ≡ 14 (mod 11), जिससे m ≡ 7 (mod 11) प्राप्त होता है। लघुत्तम धनात्मक पूर्णांक m, 7 है। m = 7 को N के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: N = 180(7) + 5 = 1260 + 5 = 1265। इस मान की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, 1265, 1200 < N < 1300 की सीमा में आता है, जो विकल्प (d) के अनुरूप है।

व्याख्या

प्रत्येक पद 1/(sqrt(n+1) + sqrt(n)) का परिमेयकरण करने पर (sqrt(n+1) - sqrt(n)) प्राप्त होता है। योग एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है: (sqrt(10)-sqrt(9)) + (sqrt(11)-sqrt(10)) + ... + (sqrt(196)-sqrt(195))। योग sqrt(196) - sqrt(9) = 14 - 3 = 11 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए ट्रेनों X और Y की गति क्रमशः sₓ और sᵧ है। एक ट्रेन की लंबाई उसकी गति और स्थिर बिंदु को पार करने में लगने वाले समय के गुणनफल के रूप में गणना की जाती है। इसलिए, ट्रेन X की लंबाई Lₓ = 24 sₓ है और ट्रेन Y की लंबाई Lᵧ = 18 sᵧ है। जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है, sₓ + sᵧ। उन्हें एक-दूसरे को पार करने में लगने वाला समय कुल लंबाई को सापेक्ष गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: t = (Lₓ + Lᵧ)/(sₓ + sᵧ)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 20 = (24 sₓ + 18 sᵧ)/(sₓ + sᵧ) प्राप्त होता है। समीकरण को क्रॉस-गुणा करने पर 20 sₓ + 20 sᵧ = 24 sₓ + 18 sᵧ प्राप्त होता है। गति को विपरीत दिशाओं में अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 20 sᵧ - 18 sᵧ = 24 sₓ - 20 sₓ प्राप्त होता है, जो 2 sᵧ = 4 sₓ को सरल करता है। इससे अनुपात sₓ/sᵧ = 2/4 = 1/2 प्राप्त होता है। इस प्रकार, X की गति का Y की गति से अनुपात 1:2 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों का उपयोग करते हुए, मूलों का योग -b/a है और मूलों का गुणनफल c/a है। पहले समीकरण x² + mx - n = 0 के लिए, मूलों का योग p + q = -m और गुणनफल pq = -n है। दूसरे समीकरण x² + px - q = 0 के लिए, मूलों का योग m + n = -p और गुणनफल mn = -q है।

योग संबंधों से, हमारे पास p = -(m + n) है। इसे पहले योग संबंध में प्रतिस्थापित करने पर -(m + n) + q = -m प्राप्त होता है, जो -m - n + q = -m को सरल करता है, जिसका अर्थ है q = n। दूसरे गुणनफल संबंध mn = -q में q = n को प्रतिस्थापित करने पर mn = -n प्राप्त होता है। चूँकि n एक गैर-शून्य संख्या है, हम m = -1 ज्ञात करने के लिए n से भाग दे सकते हैं। योग संबंध m + n = -p में m = -1 को प्रतिस्थापित करने पर -1 + n = -p, या p + n = 1 प्राप्त होता है। पहले गुणनफल संबंध pq = -n से, और चूँकि q = n है, हमारे पास pn = -n है, जो n गैर-शून्य होने के कारण p = -1 को सरल करता है। अब, p + n = 1 का उपयोग p = -1 के साथ करने पर, हमें n = 2 मिलता है, और परिणामस्वरूप q = 2 मिलता है।

m = -1, n = 2, p = -1, q = 2 के साथ कथनों का मूल्यांकन: कथन I: m(m + n) = -1(-1 + 2) = -1(1) = -1। यह सही है। कथन II: p + q = -1 + 2 = 1। यह भी सही है। इसलिए, दोनों कथन I और II सही हैं।

व्याख्या

माना u = sin(theta), जहाँ -1 <= u <= 1। व्यंजक f(u) = -4u^2 + 8u है। यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष u = -8/(2*-4) = 1 पर है। अधिकतम मान f(1) = -4(1)^2 + 8(1) = 4 है।

व्याख्या

पदों का विस्तार करने पर: (1 + 2 tan alpha tan beta + tan^2 alpha tan^2 beta) + (tan^2 alpha - 2 tan alpha tan beta + tan^2 beta)। 2 tan alpha tan beta पद रद्द हो जाते हैं, जिससे बचता है: 1 + tan^2 alpha + tan^2 beta + tan^2 alpha tan^2 beta = (1 + tan^2 alpha)(1 + tan^2 beta) = sec^2 alpha sec^2 beta।

व्याख्या

इन व्यंजकों के चिह्नों को निर्धारित करने के लिए, हम इस मौलिक गुण का उपयोग करते हैं कि tan 45° = cot 45° = 1। प्रथम चतुर्थांश (0° < θ < 90°) में कोणों के लिए, स्पर्शज्या फलन (tangent function) सख्ती से बढ़ रहा है, जबकि सहस्पर्शज्या फलन (cotangent function) सख्ती से घट रहा है।

कथन I के लिए, कोण 50° है, जो 45° से अधिक है। चूँकि θ बढ़ने पर tan θ बढ़ता है, tan 50° > tan 45° = 1। इसके विपरीत, चूँकि θ बढ़ने पर cot θ घटता है, cot 50° < cot 45° = 1। इसलिए, व्यंजक tan 50° - cot 50° में 1 से कम मान को 1 से अधिक मान से घटाया जा रहा है, जिसके परिणामस्वरूप एक धनात्मक मान प्राप्त होता है। कथन I सही है।

कथन II के लिए, कोण 25° है, जो 45° से कम है। इस सीमा में, cot 25° > cot 45° = 1 और tan 25° < tan 45° = 1। इस प्रकार, cot 25° - tan 25° में 1 से अधिक मान से 1 से कम मान को घटाया जा रहा है, जिससे एक धनात्मक परिणाम प्राप्त होता है। चूँकि कथन का दावा है कि परिणाम ऋणात्मक है, कथन II गलत है। केवल विकल्प a सही है।

व्याख्या

दिए गए परिसर 0 ≤ (α - β) ≤ (α + β) ≤ π/2 में त्रिकोणमितीय फलनों के मानों को देखते हुए, हम व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके सीधे कोणों का निर्धारण कर सकते हैं। चूँकि tan (α + β) = √3 है, इसलिए α + β = π/3 या 60°। इसी प्रकार, चूँकि tan (α - β) = 1/√3 है, इसलिए α - β = π/6 या 30°। इन दो समीकरणों को जोड़ने पर 2α = π/3 + π/6 = π/2 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है α = π/4 या 45°। दो समीकरणों को घटाने पर 2β = π/3 - π/6 = π/6 या 30° प्राप्त होता है। हमें व्यंजक tan α · cot 2β का मूल्यांकन करना है। हमारे द्वारा पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, tan π/4 = 1 और cot π/6 = √3। इसलिए, गुणनफल 1 · √3 = √3 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

sec^2(theta) + cosec^2(theta) = 1/cos^2(theta) + 1/sin^2(theta) = (sin^2(theta) + cos^2(theta))/(sin^2(theta) cos^2(theta)) = 1/(sin^2(theta) cos^2(theta))। इसे sin^2(theta) cos^2(theta) से गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना 64^sin^2(theta) = y है। तब 64^cos^2(theta) = 64^(1-sin^2(theta)) = 64/y होगा। समीकरण y + 64/y = 16 है, जो y^2 - 16y + 64 = 0, या (y-8)^2 = 0 को सरल करता है। इस प्रकार y = 8। 64^sin^2(theta) = 8 का अर्थ है (8^2)^sin^2(theta) = 8^1, इसलिए 2 sin^2(theta) = 1, जिसका अर्थ है sin^2(theta) = 1/2। यह θ = 45 डिग्री पर होता है, जहाँ tan(theta) + cot(theta) = 1 + 1 = 2।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc²θ - cot²θ = 1 का उपयोग करके, हम इसे (cscθ - cotθ)(cscθ + cotθ) = 1 लिख सकते हैं। यह देखते हुए कि cscθ - cotθ = m है, हमारे पास m(cscθ + cotθ) = 1 है, जिसका अर्थ है cscθ + cotθ = 1/m। दो समीकरणों cscθ - cotθ = m और cscθ + cotθ = 1/m को जोड़ने पर, हमें 2cscθ = m + 1/m मिलता है, जो cscθ = 1/2(m + 1/m) को सरल करता है।

इसी तरह, हम सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का उपयोग करते हैं, जिसे (secθ - tanθ)(secθ + tanθ) = 1 लिखा जा सकता है। यह देखते हुए कि secθ - tanθ = n है, हमारे पास n(secθ + tanθ) = 1 है, जिसका अर्थ है secθ + tanθ = 1/n। दो समीकरणों secθ - tanθ = n और secθ + tanθ = 1/n को जोड़ने पर, हमें 2secθ = n + 1/n मिलता है, जो secθ = 1/2(n + 1/n) को सरल करता है।

cscθ + secθ का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्युत्पन्न व्यंजकों को जोड़ते हैं: cscθ + secθ = 1/2(m + 1/m) + 1/2(n + 1/n) = 1/2(m + n + 1/m + 1/n)। यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए बिंदु X पुल पर प्रेक्षक है और मान लीजिए नदी की सतह पर X का प्रक्षेपण X' है। नदी की चौड़ाई X' से विपरीत किनारों पर स्थित दो बिंदुओं P और Q तक की दूरियों का योग है, जो PQ = PX' + X'Q है। समकोण त्रिभुजों ΔPX'X और ΔQX'X में अवनमन कोण की स्पर्शज्या की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमें tan α = h/PX' और tan β = h/X'Q प्राप्त होता है। इन्हें पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें PX' = h cot α और X'Q = h cot β प्राप्त होता है।

नदी की कुल चौड़ाई W = h(cot α + cot β) है। चूँकि α और β पूरक कोण हैं, β = 90° - α, जिसका अर्थ है cot β = tan α। इसे चौड़ाई समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर W = h(cot α + tan α) प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan α + cot α = sin α/cos α + cos α/sin α = (sin² α + cos² α)/(sin α cos α) = 1/(sin α cos α) लागू करने पर, हम व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं। चूँकि 1/cos α = sec α और 1/sin α = csc α, चौड़ाई W = h sec α csc α हो जाती है। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया हो, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे तेज़ तरीका त्रिकोणमितीय क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करना है: क्षेत्रफल = 1/2 × a × c × sin(B)। यहाँ, भुजाएँ AB = 6 सेमी और BC = 8 सेमी हैं, और उनके बीच का कोण ∠ABC = 60° है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: क्षेत्रफल = 1/2 × 6 × 8 × sin(60°) मानक मान sin(60°) = √3/2 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: क्षेत्रफल = 1/2 × 48 × √3/2 क्षेत्रफल = 24 × √3/2 = 12√3 वर्ग सेमी।

वैकल्पिक रूप से, यदि हम पहले शीर्षलंब AD ज्ञात करते हैं, तो हम संबंध AD = AB sin(60°) = 6 × √3/2 = 3√3 सेमी का उपयोग करते हैं। आधार सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × 8 × 3√3 = 12√3 वर्ग सेमी का उपयोग करके। यह विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग -b/a होता है और मूलों का गुणनफल c/a होता है। दिए गए समीकरण x² - sin²θ x - cos²θ = 0 में, हमारे पास p + q = sin²θ और pq = -cos²θ है। हमें व्यंजक p² + q² का न्यूनतम मान ज्ञात करना है। बीजगणितीय सर्वसमिका p² + q² = (p + q)² - 2pq का उपयोग करके, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: p² + q² = (sin²θ)² - 2(-cos²θ) = sin⁴θ + 2cos²θ न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम cos²θ = 1 - sin²θ को प्रतिस्थापित करके व्यंजक को sin²θ के पदों में व्यक्त करते हैं। मान लीजिए s = sin²θ, जहाँ 0 ≤ s ≤ 1। व्यंजक बन जाता है: f(s) = s² + 2(1 - s) = s² - 2s + 2 यह s में एक द्विघात फलन है। द्विघात as² + bs + c का न्यूनतम मान s = -b/2a पर होता है। यहाँ, s = -(-2)/2(1) = 1। चूँकि s = 1, sin²θ के लिए मान्य सीमा के भीतर है, हम व्यंजक में s = 1 को प्रतिस्थापित करते हैं: f(1) = 1² - 2(1) + 2 = 1 इस प्रकार, p² + q² का न्यूनतम मान 1 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: अंकगणितीय माध्य = (सभी प्रेक्षणों का योग)/(प्रेक्षणों की कुल संख्या)

समस्या के अनुसार, प्रेक्षणों की संख्या n है और अंकगणितीय माध्य M है। इसलिए, सभी n संख्याओं का कुल योग इस प्रकार निकाला जा सकता है: कुल योग = n × M = nM

हमें दिया गया है कि प्रथम (n - 1) पदों का योग k है। nवीं संख्या को x से दर्शाया जाता है। n संख्याओं का कुल योग प्रथम (n - 1) पदों का योग और nवीं संख्या का योग है: कुल योग = k + x

कुल योग के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है: nM = k + x

nवीं संख्या x ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को दोनों पक्षों से k घटाकर पुनर्व्यवस्थित करते हैं: x = nM - k

इस प्रकार, nवीं संख्या nM - k है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

संख्याएँ 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, 3^7 हैं। गुणोत्तर माध्य उनके गुणनफल का 7वाँ मूल है: (3^(1+2+3+4+5+6+7))^(1/7) = (3^28)^(1/7) = 3^4 = 81।

व्याख्या

खरीदे गए चाय पाउडर की कुल मात्रा 1 किग्रा × 4 = 4 किग्रा है। दी गई दरों के अनुसार, प्रत्येक स्थान से 1 किग्रा की लागत की गणना इस प्रकार की जाती है: स्थान A से लागत 1000 / 1 = 1000 है, स्थान B से 1000 / 2 = 500 है, स्थान C से 1000 / 4 = 250 है, और स्थान D से 1000 / 5 = 200 है। 4 किग्रा चाय पाउडर के लिए कुल व्यय इन लागतों का योग है, जो कि 1000 + 500 + 250 + 200 = 1950 है। ₹1000 में खरीदी गई औसत मात्रा x ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र x = कुल मात्रा / (कुल व्यय / 1000) लागू करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x = 4 / (1950 / 1000) = 4 / 1.95 मिलता है। विभाजन करने पर, x ≈ 2.05128। इस प्रकार, x का अनुमानित मान 2.05 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

एकल अंक वाली अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 हैं। बिना दोहराव के सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 7532 है और सबसे छोटी 2357 है। उनका योग 7532 + 2357 = 9889 है।

व्याख्या

हम मॉड्यूलो 28 का उपयोग करते हैं। 3³ = 27 ≡ -1 (मॉड 28)। इसलिए, 3²⁵⁵ = (3³)^85 ≡ (-1)^85 ≡ -1 (मॉड 28)। -1 (मॉड 28) का अर्थ 27 है।

व्याख्या

मॉड्यूलो 9: 100, 1 के बराबर है। इसलिए 100^97, 1^97 = 1 है और 100^54, 1^54 = 1 है। व्यंजक 1 + 1 + x + 1 = x + 3 है। x + 3 को 9 से विभाज्य होने के लिए, x का मान 6 होना चाहिए (चूंकि 0 <= x <= 8)।

व्याख्या

समस्या में शर्त AB · DC = AC · BD दी गई है। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें अनुपात BD/DC = AB/AC प्राप्त होता है। यह संबंध कोण समद्विभाजक प्रमेय का मौलिक कथन है, जो कहता है कि त्रिभुज का एक आंतरिक कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। चूंकि भुजा BC पर खंडों BD और DC का अनुपात भुजाओं AB और AC के अनुपात के बराबर है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा खंड AD, ∠BAC का आंतरिक कोण समद्विभाजक है। क्योंकि AD, ∠BAC को समद्विभाजित करता है, इसलिए परिणामी दो कोण ∠BAD और ∠CAD बराबर होने चाहिए। दिया गया है कि ∠BAD = α और ∠CAD = β, तो हमारे पास α = β है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। दी गई 10-अंकीय संख्या N = 12345678AB के लिए, अंकों का योग इस प्रकार गणना किया जाता है: योग = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B = 36 + A + B। चूंकि N, 9 से विभाज्य है, इसलिए व्यंजक 36 + A + B 9 का गुणज होना चाहिए। क्योंकि 36 पहले से ही 9 से विभाज्य है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि A + B भी 9 से विभाज्य होना चाहिए। यह सिद्ध करता है कि कथन I सही है।

कथन II का मूल्यांकन करने के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या A के विषम होने से B का विषम होना आवश्यक है। A + B के संभावित मान जो 9 के गुणज हैं, वे 0, 9 और 18 हैं। यदि हम A = 1 चुनते हैं, जो एक विषम अंक है, तो A + B = 9 का अर्थ है B = 8। इस मामले में, B एक सम अंक है। चूंकि हमें एक ऐसा प्रति-उदाहरण मिला है जहाँ A विषम है और B सम है जबकि संख्या 9 से विभाज्य रहती है, कथन II गलत है। परिणामस्वरूप, केवल कथन I सही है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

x³ + 1/x³ = 65/8 के लिए, x = 2 (क्योंकि 8 + 1/8 = 65/8) या x = 1/2। y³ + 1/y³ = 730/27 के लिए, y = 3 (क्योंकि 27 + 1/27 = 730/27) या y = 1/3। xy के संभावित मान 6, 2/3, 3/2, या 1/6 हैं। विकल्प B 6 है।

व्याख्या

हम x, y के लिए छोटी प्राकृत संख्याओं का परीक्षण करते हैं। x+y=2 के लिए: (1,1) से 16 मिलता है (अभाज्य नहीं)। x+y=3 के लिए: (1,2) से 21, (2,1) से 27 (दोनों अभाज्य नहीं)। x+y=4 के लिए: (1,3) से 26, (2,2) से 32, (3,1) से 38 (कोई भी अभाज्य नहीं)। x+y=5 के लिए: (1,4) से 31, (2,3) से 37, (3,2) से 43 (सभी अभाज्य हैं)। न्यूनतम मान 5 है।

व्याख्या

भाजकों की संख्या d(N) = 15। N का अभाज्य गुणनखंडन p^14 या p^2 q^4 हो सकता है। यदि N = p^14, d(N^2) = d(p^28) = 29। यदि N = p^2 q^4, d(N^2) = d(p^4 * q^8) = (4+1)(8+1) = 45। 45 विकल्पों में है।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के आधार पर, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। p, q और r भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए: p + q > r, q + r > p, और r + p > q।

अभिव्यक्ति के पदों से मिलान करने के लिए इन असमानताओं को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: p - q - r < 0 (क्योंकि p < q + r) q - r - p < 0 (क्योंकि q < r + p) r - p - q < 0 (क्योंकि r < p + q)

अभिव्यक्ति (p - q - r)(q - r - p)(r - p - q) तीन ऋणात्मक मानों का गुणनफल है। गणितीय रूप से, तीन ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक होता है: (ऋणात्मक) × (ऋणात्मक) × (ऋणात्मक) = ऋणात्मक। चूँकि त्रिभुज की भुजाओं को इन असमानताओं का सख्ती से पालन करना चाहिए, इसलिए परिणाम शून्य या धनात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, अभिव्यक्ति केवल ऋणात्मक है, जिससे विकल्प b सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

व्यंजक ((a^8 + a^4 + 1)/a^4) ((b^8 + b^4 + 1)/b^4) = (a^4 + 1 + 1/a^4)(b^4 + 1 + 1/b^4) है। AM-GM द्वारा, a^4 + 1/a^4 >= 2, इसलिए (a^4 + 1 + 1/a^4) >= 3। इसी प्रकार, (b^4 + 1 + 1/b^4) >= 3। न्यूनतम मान 3 * 3 = 9 है।

व्याख्या

मान लीजिए चाय = T और कॉफ़ी = C। दिया गया है कि |T ∩ C| = n, |C| = 2n, |T| = 3n, और |कोई नहीं| = 4n। कम से कम एक पसंद करने वाले विद्यार्थियों की संख्या |T ∪ C| = |T| + |C| - |T ∩ C| = 3n + 2n - n = 4n है। कुल विद्यार्थी = |T ∪ C| + |कोई नहीं| = 4n + 4n = 8n। चूँकि 8n = 200, इसलिए n = 25।

व्याख्या

दो भुजाओं और उनके बीच के कोण को देखते हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 ab sin θ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 36 = 1/2 × 9 × 12 × sin θ प्राप्त होता है। दाईं ओर को सरल करने पर 36 = 54 sin θ मिलता है, जिससे sin θ = 36/54 = 2/3 प्राप्त होता है। cos θ ज्ञात करने के लिए, हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करते हैं। sin θ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें cos² θ = 1 - (2/3)² = 1 - 4/9 = 5/9 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें cos θ = √5/3 प्राप्त होता है। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया है कि HCF(n, n+10) = 10, हम जानते हैं कि 10 को n और n+10 दोनों को विभाजित करना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि n, 10 का एक गुणज है। मान लीजिए n = 10a, जहाँ a एक प्राकृतिक संख्या है। तब n+10 = 10(a+1)। चूँकि कोई भी दो क्रमागत पूर्णांक a और a+1 हमेशा सह-अभाज्य होते हैं, किसी भी प्राकृतिक संख्या a के लिए HCF 10 ही रहेगा।

हम मौलिक संबंध HCF(A, B) × LCM(A, B) = A × B का उपयोग करते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10 × x = n × (n+10) 10x = 10a × 10(a+1) 10x = 100a(a+1) x = 10a(a+1)

प्रश्न में कहा गया है कि x एक 2-अंकीय संख्या है, जिसका अर्थ है 10 ≤ x ≤ 99। 10 ≤ 10a(a+1) ≤ 99 10 से विभाजित करने पर: 1 ≤ a(a+1) ≤ 9.9

अब हम a के लिए संभावित प्राकृतिक संख्या मानों की जाँच करते हैं: यदि a = 1, a(a+1) = 1 × 2 = 2। यह सीमा के भीतर है। x = 10 × 2 = 20। यदि a = 2, a(a+1) = 2 × 3 = 6। यह सीमा के भीतर है। x = 10 × 6 = 60। यदि a = 3, a(a+1) = 3 × 4 = 12। यह 9.9 से अधिक है, जिससे x = 120 हो जाता है, जो एक 3-अंकीय संख्या है।

x के केवल संभव मान 20 और 60 हैं। इसलिए, ऐसे केवल दो मान हैं, जिससे विकल्प b सही होता है।

व्याख्या

HCF ज्ञात करने के लिए, हम दोनों बहुपद व्यंजकों का गुणनखंड करते हैं। पहले बहुपद, a⁴ + 2a³ + 3a² + 2a + 1 के लिए, हम देखते हैं कि यह एक वर्ग त्रिपद के पैटर्न का अनुसरण करता है। सर्वसमिका (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx का उपयोग करके, हम बहुपद को (a²)² + a² + 1² + 2(a²)(a) + 2(a²)(1) + 2(a)(1) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जो (a² + a + 1)² को सरल करता है।

दूसरे बहुपद, a⁶ - 2a³ + 1 के लिए, हम इसे x² - 2xy + y² = (x - y)² के रूप में एक पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानते हैं जहाँ x = a³ और y = 1 है। इस प्रकार, a⁶ - 2a³ + 1 = (a³ - 1)²। घन के अंतर की सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करके, हम इसे [(a - 1)(a² + a + 1)]² = (a - 1)² (a² + a + 1)² के रूप में आगे गुणनखंड कर सकते हैं।

HCF दोनों बहुपदों द्वारा साझा किया गया उच्चतम सामान्य गुणनखंड है। (a² + a + 1)² और (a - 1)² (a² + a + 1)² की तुलना करने पर, उच्चतम सामान्य गुणनखंड (a² + a + 1)² है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

बराबर मूलों के लिए, विविक्तकर D = 0 होता है। D = (k-2)² - 4(1)(k+1) = k² - 4k + 4 - 4k - 4 = k² - 8k। k² - 8k = 0 रखने पर k(k-8) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए k = 0 या k = 8।

व्याख्या

व्यंजक E = ((cos θ - sin θ + 1)/(cos θ + sin θ - 1)) (cot θ - csc θ) का मूल्यांकन करने के लिए, प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए सबसे तेज़ तरीका θ = 45° जैसे मानक कोण को प्रतिस्थापित करना है। θ = 45° के लिए, हमारे पास cos θ = 1/√2 और sin θ = 1/√2 है। इन मानों को पहले पद में प्रतिस्थापित करने पर (1/√2 - 1/√2 + 1)/(1/√2 + 1/√2 - 1) = 1/(2/√2 - 1) = 1/(√2 - 1) प्राप्त होता है। हर का परिमेयकरण करने पर √2 + 1 प्राप्त होता है। दूसरा पद cot 45° - csc 45° = 1 - √2 हो जाता है। कुल गुणनफल (√2 + 1)(1 - √2) = 1² - (√2)² = 1 - 2 = -1 है।

बीजगणितीय रूप से, पहले भिन्न के अंश और हर को sin θ से विभाजित करने पर (cot θ + csc θ - 1)/(cot θ - csc θ + 1) प्राप्त होता है। सर्वसमिका 1 = csc² θ - cot² θ = (csc θ - cot θ)(csc θ + cot θ) का उपयोग करके, अंश (csc θ + cot θ) - (csc θ - cot θ)(csc θ + cot θ) = (csc θ + cot θ)(1 - csc θ + cot θ) बन जाता है। इसे हर (1 - csc θ + cot θ) से विभाजित करने पर पहला भाग csc θ + cot θ हो जाता है। इस परिणाम को दूसरे पद (cot θ - csc θ) से गुणा करने पर cot² θ - csc² θ प्राप्त होता है, जो सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 के अनुसार -1 के बराबर है। इस प्रकार, विकल्प a सही है।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, हम सामान्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की पहचान करने के लिए अंश और हर का गुणनखंड करते हैं। अंश के लिए, हम sinθ को एक सामान्य गुणनखंड के रूप में लेते हैं: sinθ - 2sin³θ = sinθ(1 - 2sin²θ)। हर के लिए, हम cosθ को एक सामान्य गुणनखंड के रूप में लेते हैं: 2cos³θ - cosθ = cosθ(2cos²θ - 1)।

अब, हम cos 2θ के लिए द्वि-कोण सूत्रों को लागू करते हैं। हम जानते हैं कि cos 2θ = 1 - 2sin²θ और cos 2θ = 2cos²θ - 1। इन मानों को हमारे गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (sinθ cos 2θ)/(cosθ cos 2θ) प्राप्त होता है।

अंश और हर में cos 2θ पद रद्द हो जाता है, जिससे हमें sinθ/cosθ प्राप्त होता है। मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tanθ = sinθ/cosθ के अनुसार, व्यंजक का सरलीकृत मान tanθ है, जो विकल्प (d) के संगत है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने का सबसे तेज़ तरीका मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करना है, जिसका उपयोग उस अनुपात को ज्ञात करने के लिए किया जाता है जिसमें दो घटकों को मिश्रित करके एक विशिष्ट भारित औसत प्राप्त किया जाता है। लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का अनुपात सूत्र है:

अनुपात = (समग्र औसत - लड़कियों का औसत)/(लड़कों का औसत - समग्र औसत)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: समग्र औसत = 60 किग्रा लड़कों का औसत = 70 किग्रा लड़कियों का औसत = 55 किग्रा

लड़कों और लड़कियों का अनुपात = (60 - 55)/(70 - 60) अनुपात = 5/10 = 1/2

इस प्रकार, लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का अनुपात 1:2 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है। यह विधि कक्षा के कुल भार की गणना करने या एक साथ समीकरणों (simultaneous equations) का उपयोग करने की आवश्यकता से बचाती है, और समूह के औसत और सामूहिक औसत के बीच अंतर के माध्यम से सीधे परिणाम प्रदान करती है।

व्याख्या

बंदर की औसत गति ज्ञात करने के लिए, हम पहले तय की गई कुल दूरी निर्धारित करते हैं, जो दो टावरों के शीर्षों को जोड़ने वाली छड़ की लंबाई है। यह दूरी एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का निर्माण करती है जहाँ एक भुजा टावरों के बीच की क्षैतिज दूरी है और दूसरी भुजा टावरों की ऊँचाइयों का अंतर है।

क्षैतिज दूरी d = 9 मीटर। ऊंचाई का अंतर Δh = 23 मीटर - 11 मीटर = 12 मीटर।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, छड़ की लंबाई L की गणना इस प्रकार की जाती है: L = √(d² + (Δh)²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 मीटर।

बंदर इस दूरी को t = 5 मिनट में तय करता है। मीटर प्रति मिनट में औसत गति है: गति = दूरी/समय = 15 मीटर/5 मिनट = 3 मीटर/मिनट।

विकल्पों से मिलान करने के लिए, हम इस गति को सेंटीमीटर प्रति सेकंड में बदलते हैं: 3 मीटर/मिनट = (3 × 100 सेमी)/60 सेकंड = 300/60 सेमी/सेकंड = 5 सेमी/सेकंड।

इस प्रकार, बंदर की औसत गति 5 सेमी/सेकंड है, जो विकल्प d से मेल खाती है।

व्याख्या

एक गोलाकार गेंद का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 4πr² द्वारा दिया जाता है। जब गोले को एक ही व्यास से गुजरने वाले समतलों द्वारा आठ समान भागों में विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक परिणामी टुकड़ा एक गोलाकार वेज (wedge) होता है। प्रत्येक ऐसे वेज का पृष्ठीय क्षेत्रफल दो घटकों से बना होता है: वक्र बाहरी सतह और कटाई से बनी सपाट समतल सतहें। प्रत्येक टुकड़े का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल गोले के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का आठवां भाग होता है, जिसकी गणना 4πr²/8 = πr²/2 के रूप में की जाती है। प्रत्येक वेज दो सपाट फलकों से घिरा होता है, और चूंकि कटाई समतल गोले के व्यास से गुजरते हैं, ये फलक त्रिज्या r वाले अर्धवृत्त होते हैं। एक एकल अर्धवृत्त का क्षेत्रफल πr²/2 होता है, जिसका अर्थ है कि एक टुकड़े के लिए दो सपाट फलकों का कुल क्षेत्रफल 2 × πr²/2 = πr² है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और सपाट पृष्ठीय क्षेत्रफल को एक साथ जोड़ने पर, प्रत्येक अंतिम टुकड़े का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल πr²/2 + πr² = 3πr²/2 होता है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

दक्षिणावर्त चलते हुए, दायां पहिया आंतरिक वृत्त (त्रिज्या 50 मीटर) पर है और बायां पहिया बाहरी वृत्त (त्रिज्या 50+1 = 51 मीटर) पर है। प्रत्येक पहिये द्वारा तय की गई दूरी उसकी त्रिज्या के समानुपाती होती है। अतः, फेरों की संख्या N_L / N_R = R_L / R_R = 51/50। N_L = (51/50) * 1000 = 1020।

व्याख्या

गुणनफल 70 71 ... 79 है। 1000 (8 × 125) से विभाज्य होने के लिए, हमें 2^3 और 5^3 के गुणनखंडों की आवश्यकता है। कई सम संख्याएँ (70, 72, 74, 76, 78) हैं, जो पर्याप्त से अधिक 2 प्रदान करती हैं। 5 के लिए, 70 एक 5 प्रदान करता है और 75 दो 5 (5^2) प्रदान करता है, कुल मिलाकर 5^3। चूँकि 8 और 125 दोनों गुणनखंड हैं, गुणनफल 1000 से विभाज्य है, इसलिए शेषफल 0 है।

व्याख्या

ऊर्ध्वाधर खम्भे की ऊँचाई h = 80 मीटर है। खम्भे का आधार P पर है। आधार से बिंदु A और B की दूरियाँ PA = 64 मीटर और PB = PA + AB = 64 + 36 = 100 मीटर हैं।

उन्नयन कोण के स्पर्शज्या के सूत्र, tan θ = लम्ब/आधार का उपयोग करके, हम α और β के स्पर्शज्या की गणना करते हैं: tan α = h/PA = 80/64 = 5/4 tan β = h/PB = 80/100 = 4/5

इन दोनों मानों को गुणा करने पर, हमें tan α · tan β = 5/4 · 4/5 = 1 प्राप्त होता है। चूंकि tan β = 1/tan α, हम tan β = cot α लिख सकते हैं। त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिका से, हम जानते हैं कि cot α = tan(90° - α)। इसलिए, tan β = tan(90° - α), जिसका अर्थ है β = 90° - α। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर α + β = 90° प्राप्त होता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया भाज्य P(x) = x⁸ᵏ⁺³ + x⁸ᵏ⁺⁶ + x⁸ᵏ⁺⁹ + x⁸ᵏ⁺¹² है। x की न्यूनतम घात, जो कि x⁸ᵏ⁺³ है, को गुणनखंडित करके, हम व्यंजक को P(x) = x⁸ᵏ⁺³(1 + x³ + x⁶ + x⁹) के रूप में पुनः लिख सकते हैं।

अब, भाजक D(x) = (1 + x³)(1 + x⁶) पर विचार करें। वितरण नियम का उपयोग करके इस गुणनफल का विस्तार करें: D(x) = 1(1 + x⁶) + x³(1 + x⁶) = 1 + x⁶ + x³ + x⁹। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें D(x) = 1 + x³ + x⁶ + x⁹ प्राप्त होता है।

भागफल Q(x) ज्ञात करने के लिए, हम भाज्य को भाजक से विभाजित करते हैं: Q(x) = P(x)/D(x) = (x⁸ᵏ⁺³(1 + x³ + x⁶ + x⁹))/(1 + x³ + x⁶ + x⁹)।

चूंकि व्यंजक (1 + x³ + x⁶ + x⁹) अंश और हर दोनों में प्रकट होता है, वे एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे Q(x) = x⁸ᵏ⁺³ बचता है। यह विकल्प d के संगत है।

व्याख्या

बाहरी वर्ग की भुजा s = 14 सेमी है। बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल Aₒᵤₜₑᵣ = s² = 14² = 196 वर्ग सेमी है। आंतरिक वर्ग बाहरी वर्ग के मध्य बिंदुओं को जोड़कर बनता है। आंतरिक वर्ग की प्रत्येक भुजा एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में कार्य करती है जिसकी भुजाएँ बाहरी वर्ग की आधी भुजा के बराबर होती हैं, जो कि 14/2 = 7 सेमी है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आंतरिक वर्ग का क्षेत्रफल Aᵢₙₙₑᵣ a² = 7² + 7² = 49 + 49 = 98 वर्ग सेमी है।

दोनों वर्गों के बीच का क्षेत्रफल उनके क्षेत्रफलों का अंतर है: क्षेत्रफल = Aₒᵤₜₑᵣ - Aᵢₙₙₑᵣ = 196 - 98 = 98 वर्ग सेमी।

वैकल्पिक रूप से, ज्यामितीय गुण का उपयोग करते हुए कि दूसरे वर्ग के मध्य बिंदुओं को जोड़कर बनने वाले वर्ग का क्षेत्रफल मूल वर्ग के क्षेत्रफल का ठीक आधा होता है, उनके बीच का क्षेत्रफल बाहरी वर्ग के क्षेत्रफल का केवल आधा होता है: क्षेत्रफल = 1/2 × 14² = 196/2 = 98 वर्ग सेमी। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का प्रयोग करते हुए, क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई। माना ऊँचाई h है और आधार b है। प्रश्न के अनुसार, b = 4/3h और क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 54 = 1/2 × 4/3h × h मिलता है, जो 54 = 2/3h² को सरल करता है। h² के लिए हल करने पर, हमें h² = (54 × 3)/2 = 81 मिलता है, जिससे h = 9 सेमी प्राप्त होता है। आधार तब b = 4/3 × 9 = 12 सेमी है। परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण c की गणना करते हैं: c = √(b² + h²) = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 सेमी। त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं का योग है, P = b + h + c = 12 + 9 + 15 = 36 सेमी। इस प्रकार, विकल्प c सही है।

व्याख्या

a=4, b=4, और c=6 भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं क्योंकि यह उन त्रिभुजों के लिए सबसे सीधा तरीका है जहाँ तीनों भुजाएँ ज्ञात होती हैं। सबसे पहले, हम अर्ध-परिमाप s ज्ञात करते हैं, सूत्र s = (a+b+c)/2 का उपयोग करके। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें s = (4+4+6)/2 = 14/2 = 7 इकाई प्राप्त होता है।

इसके बाद, हम क्षेत्रफल के लिए हीरोन के सूत्र को लागू करते हैं: क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)। सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर क्षेत्रफल = √7(7-4)(7-4)(7-6) = √7 × 3 × 3 × 1 प्राप्त होता है। यह √7 × 9 तक सरल हो जाता है, जो 3√7 वर्ग इकाई के बराबर है।

वैकल्पिक रूप से, चूँकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, हम 6 इकाई के आधार पर शीर्ष से एक लंब गिराकर ऊँचाई h ज्ञात कर सकते हैं, जो आधार को प्रत्येक 3 इकाई के दो खंडों में विभाजित करता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, h = √4² - 3² = √16 - 9 = √7। फिर क्षेत्रफल 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × 6 × √7 = 3√7 वर्ग इकाई होता है। इस प्रकार, विकल्प A सही परिणाम है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABP में, हम BP की लंबाई ज्ञात करने के लिए ∠BAP = 45° के लिए स्पर्शज्या अनुपात का उपयोग करते हैं। चूँकि tan(∠BAP) = BP/AB, हमें tan 45° = BP/10 प्राप्त होता है, जिससे 1 = BP/10 मिलता है, अतः BP = 10 सेमी। यह दिया गया है कि P, BC का मध्य बिंदु है, जिसका अर्थ है BP = PC = 10 सेमी। इसलिए, आधार BC की कुल लंबाई = BP + PC = 10 + 10 = 20 सेमी।

अब, बड़े समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करते हुए, कोण ∠BAC की स्पर्शज्या tan(∠BAC) = BC/AB = 20/10 = 2 है। हमें दिया गया है कि ∠BAC, ∠BAP और ∠CAP का योग है, इसलिए ∠BAC = 45° + θ। दिए गए सर्वसमिका tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β) को लागू करते हुए, हम α = 45° और β = θ प्रतिस्थापित करते हैं:

tan(45° + θ) = (tan 45° + tan θ)/(1 - tan 45° tan θ) = 2

चूँकि tan 45° = 1 है, समीकरण (1 + tan θ)/(1 - tan θ) = 2 बन जाता है। तिरछा गुणा करने पर 1 + tan θ = 2(1 - tan θ) प्राप्त होता है, जो 1 + tan θ = 2 - 2 tan θ को सरल करता है। समान पदों को मिलाने पर, हमें 3 tan θ = 1 प्राप्त होता है, जिससे tan θ = 1/3 मिलता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABP में, चूँकि B पर कोण 90° है और ∠BAP = 45°, हम स्पर्शज्या सूत्र tan(∠BAP) = BP/AB का प्रयोग करते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें tan(45°) = BP/10 प्राप्त होता है। चूँकि tan(45°) = 1 है, इसलिए BP = 10 सेमी।

प्रश्न में दिया गया है कि P, BC का मध्य बिंदु है, जिसका अर्थ है BP = PC। इसलिए, PC = 10 सेमी, और आधार BC की कुल लंबाई = BP + PC = 10 + 10 = 20 सेमी।

अब, बड़े समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें। कोण γ, ∠ACP है, जो ∠ACB के समान है क्योंकि P, BC खंड पर स्थित है। त्रिभुज ABC के लिए स्पर्शज्या सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें tan γ = tan(∠ACB) = AB/BC प्राप्त होता है। ज्ञात लंबाइयों को प्रतिस्थापित करने पर, tan γ = 10/20 = 1/2। यह विकल्प a के संगत है।

व्याख्या

कथन I सही है क्योंकि शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्यबिंदु तक खींची गई रेखाखंड, जिसे माध्यिका कहा जाता है, हमेशा त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है। इस मामले में, P आधार BC का मध्यबिंदु है, जो AP को त्रिभुज ABC की माध्यिका बनाता है। कथन III सही है क्योंकि त्रिभुज APC का क्षेत्रफल 1/2 × आधार × ऊंचाई सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। दिए गए आयामों में जहाँ आधार PC = 10 सेमी और A से BC तक की लंबवत ऊंचाई 10 सेमी है, क्षेत्रफल 1/2 × 10 × 10 = 50 वर्ग सेमी है। कथन II सही है क्योंकि त्रिभुज APC की परिधि भुजाओं AP, PC और AC की लंबाई का योग है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, AP = √(10² + 10²) ≈ 14.14 सेमी, PC = 10 सेमी, और AC = √(20² + 10²) ≈ 22.36 सेमी। इन मानों को जोड़ने पर, कुल परिधि 10 + 14.14 + 22.36 = 46.5 सेमी है, जो 46 सेमी से अधिक है। इस प्रकार, कथन I, II और III सभी सही हैं, जिससे विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

समावेशी वर्ग अंतरालों वाले समूहीकृत आवृत्ति वितरण की माध्यिका की गणना करने के लिए, हमें पहले उन्हें अनन्य सीमाओं में परिवर्तित करना होगा। चूँकि एक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगली वर्ग की निचली सीमा के बीच का अंतर 1 है (उदाहरण के लिए, 26 से 27), हम निचली सीमाओं से 0.5 घटाते हैं और ऊपरी सीमाओं में 0.5 जोड़ते हैं। वास्तविक वर्ग सीमाएँ 17.5-26.5, 26.5-35.5, 35.5-44.5, 44.5-53.5, 53.5-62.5, 62.5-71.5, और 71.5-80.5 हैं।

इसके बाद, हम संचयी आवृत्तियों (cf) की गणना करते हैं: 5, 12, 22, 37, 45, 48, और 50। प्रेक्षणों की कुल संख्या N, 50 है। माध्यिका की स्थिति N/2 = 50/2 = 25 है। 25 से ठीक अधिक संचयी आवृत्ति 37 है, जो माध्यिका वर्ग 44.5-53.5 के संगत है।

हम माध्यिका सूत्र का उपयोग करते हैं: माध्यिका = L + ( (N/2 - cf)/f ) × h

जहाँ: L = 44.5 (माध्यिका वर्ग की निचली सीमा) N/2 = 25 cf = 22 (पूर्ववर्ती वर्ग की संचयी आवृत्ति) f = 15 (माध्यिका वर्ग की आवृत्ति) h = 9 (वर्ग चौड़ाई, 53.5 - 44.5)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: माध्यिका = 44.5 + ( (25 - 22)/15 ) × 9 माध्यिका = 44.5 + ( 3/15 ) × 9 माध्यिका = 44.5 + 0.2 × 9 माध्यिका = 44.5 + 1.8 = 46.3

इस प्रकार, वितरण की माध्यिका 46.3 है, जो विकल्प d के संगत है।

व्याख्या

समूहीकृत बारंबारता बंटन का बहुलक ज्ञात करने के लिए, हम बहुलक वर्ग की पहचान करते हैं, जो उच्चतम बारंबारता वाला वर्ग होता है। दिए गए आंकड़ों में, उच्चतम बारंबारता 15 है, जो वर्ग 45-53 के संगत है। चूँकि वर्ग अंतराल समावेशी (असतत) हैं, हमें पहले उन्हें निम्न सीमा में 0.5 घटाकर और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़कर सतत सीमाओं में बदलना होगा। इस प्रकार, बहुलक वर्ग 44.5-53.5 है।

हम बहुलक सूत्र का उपयोग करते हैं: बहुलक = L + ( (f₁ - f₀) / ((f₁ - f₀) + (f₁ - f₂)) ) × h.

यहाँ, L बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है, जो 44.5 है। बहुलक वर्ग की बारंबारता f₁ 15 है, पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता f₀ 10 है, और अनुवर्ती वर्ग की बारंबारता f₂ 8 है। वर्ग चौड़ाई h 53.5 - 44.5 = 9 है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: बहुलक = 44.5 + ( (15 - 10) / ((15 - 10) + (15 - 8)) ) × 9 बहुलक = 44.5 + ( 5 / (5 + 7) ) × 9 बहुलक = 44.5 + ( 5/12 ) × 9 बहुलक = 44.5 + 45/12 बहुलक = 44.5 + 3.75 = 48.25

इसलिए, बंटन का बहुलक 48.25 है, जो विकल्प c के संगत है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जो B पर समकोण है, मान लीजिए भुजा AB की लंबाई x सेमी है। दिया गया है कि AC - AB = 2 सेमी, इसलिए कर्ण AC की लंबाई (x + 2) सेमी है। लम्ब BC की लंबाई 16 सेमी दी गई है। पाइथागोरस प्रमेय, AB² + BC² = AC² लागू करने पर, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: x² + 16² = (x + 2)²। समीकरण का विस्तार करने पर x² + 256 = x² + 4x + 4 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से x² घटाने पर, हमें 4x = 252 मिलता है, जिसे सरल करने पर x = 63 प्राप्त होता है। इसलिए, AB = 63 सेमी और AC = 63 + 2 = 65 सेमी। ∠BAC = θ के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपात sin θ = BC/AC और cos θ = AB/AC के रूप में परिभाषित किए गए हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, sin θ = 16/65 और cos θ = 63/65। आवश्यक मान sin θ + cos θ = 16/65 + 63/65 = (16 + 63)/65 = 79/65 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ B पर समकोण है, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार AC² = AB² + BC²। माना AC = x सेमी। प्रश्न के अनुसार, AB = x - 2 सेमी और BC = 16 सेमी। इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें x² = (x - 2)² + 16² प्राप्त होता है। इसे विस्तारित करने पर x² = x² - 4x + 4 + 256 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 4x = 260 हो जाता है, जिससे x = 65 प्राप्त होता है। इसलिए, कर्ण AC = 65 सेमी और भुजा AB = 63 सेमी है।

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है। पहला, भुजाओं AB और BC का उपयोग करके, क्षेत्रफल = 1/2 × AB × BC = 1/2 × 63 × 16। दूसरा, कर्ण AC और शीर्षलंब BD का उपयोग करके, क्षेत्रफल = 1/2 × AC × BD = 1/2 × 65 × BD। इन दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें 65 × BD = 63 × 16 प्राप्त होता है। गुणनफल 63 × 16 = 1008 की गणना करने पर, हमें BD = 1008/65 सेमी प्राप्त होता है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। दिया गया है कि OP, जीवा MN को लंबवत रूप से Q पर प्रतिच्छेद करता है, Q, MN का मध्य बिंदु है। इसलिए, MQ की लंबाई MN की आधी है, जो MQ = 16/2 = 8 सेमी है।

हम समकोण त्रिभुज ΔOQM पर विचार करते हैं, जहाँ OM वृत्त की त्रिज्या है और OQ, केंद्र से जीवा की दूरी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: OM² = OQ² + MQ² दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10² = OQ² + 8² 100 = OQ² + 64 OQ² = 100 - 64 OQ² = 36 OQ = √36 = 6 सेमी।

इस प्रकार, OQ की लंबाई 6 सेमी है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

दी गई जीवा MN = 16 सेमी और त्रिज्या OM = 10 सेमी है, केंद्र O से जीवा MN पर खींचा गया लंब इसे Q पर समद्विभाजित करता है। इसलिए, MQ = 1/2 MN = 16/2 = 8 सेमी। समकोण त्रिभुज OQM में, हम OQ ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं: OQ = √(OM² - MQ²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 सेमी।

चूंकि MP, M पर एक स्पर्शरेखा है, OM ⊥ MP, जिससे ΔOMP एक समकोण त्रिभुज बनता है। MQ, कर्ण OP पर शीर्षलंब है। ऐसी विन्यास में, ΔOQM, ΔMPQ के समरूप है क्योंकि ∠OMQ = ∠MPQ (दोनों ∠MOQ के पूरक हैं)।

समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करते हुए, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: MP/OM = MQ/OQ

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: MP = (OM × MQ)/OQ = (10 × 8)/6 = 80/6 = 40/3 सेमी।

यह विकल्प (c) के अनुरूप है।

व्याख्या

त्रिभुज OMN में, भुजाएँ OM और ON वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OM = ON = 10 सेमी। जीवा MN त्रिभुज के आधार के रूप में कार्य करती है जिसकी लंबाई 16 सेमी है। चूँकि OP, बिंदु Q पर जीवा MN का लंब समद्विभाजक है, यह त्रिभुज OMN की ऊँचाई के रूप में कार्य करती है। ऊँचाई OQ ज्ञात करने के लिए, हम समकोण त्रिभुज OQM में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जहाँ MQ जीवा MN का आधा है, जिसका अर्थ है MQ = 16/2 = 8 सेमी।

ऊँचाई OQ की गणना इस प्रकार की जाती है: OQ = √(OM² - MQ²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 सेमी।

अब, त्रिभुज के क्षेत्रफल के मानक सूत्र का उपयोग करके: क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई = 1/2 × MN × OQ क्षेत्रफल = 1/2 × 16 × 6 = 8 × 6 = 48 वर्ग सेमी।

इस प्रकार, त्रिभुज OMN का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी द्विघात व्यंजक ax² + bx + c के सभी वास्तविक मानों x के लिए धनात्मक होने के लिए, दो शर्तें पूरी होनी चाहिए: x² का गुणांक धनात्मक होना चाहिए (a > 0) और विविक्तकर ऋणात्मक होना चाहिए (D < 0)। व्यंजक 4x² - kx + 1 में, हमारे पास a = 4 है, जो पहले से ही धनात्मक है। विविक्तकर सूत्र D = b² - 4ac का उपयोग करके, हमें D = (-k)² - 4(4)(1) = k² - 16 मिलता है। D < 0 रखने पर k² - 16 < 0 प्राप्त होता है, जो k² < 16 को सरल करता है, जिसका अर्थ है -4 < k < 4। k के संभावित पूर्णांक मान {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} हैं।

कथन-I का मूल्यांकन करने पर, शर्त k < -2 को -4 < k < 4 के साथ मिलाने पर -4 < k < -2 प्राप्त होता है। इस सीमा में एकमात्र पूर्णांक मान k = -3 है। इस प्रकार, कथन-I अकेले प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है। कथन-II का मूल्यांकन करने पर, शर्त k > -4 को -4 < k < 4 के साथ मिलाने पर -4 < k < 4 प्राप्त होता है। इस सीमा में कई पूर्णांक मान {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि एक अद्वितीय पूर्णांक मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है। चूंकि केवल कथन-I एक अद्वितीय उत्तर प्रदान करता है, विकल्प A सही विकल्प है।

व्याख्या

A, B और C मिलकर कार्य को समाप्त करने में कितने दिन लेते हैं, यह जानने के लिए हमें उनकी संयुक्त दक्षता निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो प्रति दिन उनकी व्यक्तिगत कार्य दर का योग है। मान लीजिए A, B और C की कार्य दर क्रमशः a, b और c द्वारा दर्शायी जाती है।

कथन I से, हमारे पास A और B की संयुक्त दर है: a + b = 1/24

कथन II से, हमारे पास B और C की संयुक्त दर है: b + c = 1/36

A, B और C द्वारा एक साथ लिए गए कुल समय को ज्ञात करने के लिए, हमें योग a + b + c की गणना करने की आवश्यकता है। यदि हम दो दिए गए समीकरणों को जोड़ते हैं, तो हमें मिलता है: (a + b) + (b + c) = 1/24 + 1/36 a + 2b + c = (3 + 2)/72 = 5/72

यह समीकरण a + 2b + c का मान देता है, लेकिन यह a + b + c का मान प्रदान नहीं करता है जब तक कि B की व्यक्तिगत कार्य दर ज्ञात न हो। चूंकि तीन चर और केवल दो स्वतंत्र समीकरण हैं, इसलिए यह प्रणाली अव्यवस्थित है। इसलिए, a + b + c का मान विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करके भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही हो जाता है।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई उभयनिष्ठ हल मौजूद है और वह अभाज्य है, हमें दोनों द्विघात समीकरणों को हल करना होगा। कथन-I के लिए, समीकरण x² - 26x + 133 = 0 है। हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल 133 हो और योग 26 हो। ये संख्याएँ 7 और 19 हैं, क्योंकि 7 × 19 = 133 और 7 + 19 = 26। इस प्रकार, कथन-I के हल x = 7 और x = 19 हैं। दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं।

कथन-II के लिए, समीकरण x² - 44x + 475 = 0 है। हम ऐसी दो संख्याएँ खोजते हैं जिनका गुणनफल 475 हो और योग 44 हो। ये संख्याएँ 19 और 25 हैं, क्योंकि 19 × 25 = 475 और 19 + 25 = 44। इस प्रकार, कथन-II के हल x = 19 और x = 25 हैं।

दोनों हलों के समुच्चयों, {7, 19} और {19, 25}, की तुलना करने पर, उभयनिष्ठ हल x = 19 है। चूँकि 19 एक अभाज्य संख्या है, प्रश्न का उत्तर 'हाँ' है। चूँकि दोनों समीकरणों के मूल जाने बिना एक उभयनिष्ठ हल की पहचान नहीं की जा सकती है, इसलिए कोई भी कथन अकेले पर्याप्त नहीं है। उभयनिष्ठ मूल की पहचान करने और उसकी अभाज्यता को सत्यापित करने के लिए दोनों कथनों को एक साथ आवश्यक है, जिससे विकल्प C सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

व्यंजक 327ⁿ + 173ⁿ की 500 से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं कि aⁿ + bⁿ, a + b से विभाज्य होता है यदि और केवल यदि n एक विषम धनात्मक पूर्णांक हो। यहाँ, a = 327 और b = 173 है। आधारों का योग a + b = 327 + 173 = 500 है।

कथन-I का उपयोग करके, हमें बताया गया है कि n एक विषम प्राकृतिक संख्या है। चूँकि n विषम है, aⁿ + bⁿ का a + b से विभाज्य होने की सर्वसमिका सत्य है। इसलिए, 327ⁿ + 173ⁿ निश्चित रूप से 500 से विभाज्य है। कथन-I अकेले प्रश्न का निश्चित 'हाँ' में उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

कथन-II का उपयोग करके, हमें बताया गया है कि n एक धनात्मक पूर्णांक है। इसका मतलब है कि n सम या विषम हो सकता है। जबकि व्यंजक n के विषम होने पर 500 से विभाज्य है, यह सामान्यतः n के सम होने पर विभाज्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि n = 2, तो व्यंजक 327² + 173² है। मॉड्यूलो 500, 327 ≡ -173 (mod 500), इसलिए 327² + 173² ≡ (-173)² + 173² ≡ 2 × 173² (mod 500)। चूँकि 173² = 29929, तो 2 × 29929 = 59858, जो 500 से विभाजित करने पर 358 शेषफल देता है। इस प्रकार, व्यंजक सम n के लिए 500 से विभाज्य नहीं है। कथन-II अकेले अपर्याप्त है।

परिणामस्वरूप, प्रश्न का उत्तर केवल कथन-I का उपयोग करके दिया जा सकता है, लेकिन कथन-II का उपयोग करके अकेले नहीं, जिससे विकल्प A सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

जब कीमत बढ़ती है और कुल व्यय स्थिर रहता है, तो खपत में प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत कमी = r/(100 + r) × 100, जहाँ r कीमत में प्रतिशत वृद्धि है। दिए गए मान r = 20 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 20/(100 + 20) × 100 = 20/120 × 100 = 1/6 × 100 = 16.67% प्राप्त होता है। चूंकि यह सूत्र केवल कीमत में प्रतिशत परिवर्तन पर निर्भर करता है और प्रारंभिक पूर्ण कीमत या प्रारंभिक पूर्ण खपत पर नहीं, कथन I (कीमत = रु. 90) और कथन II (खपत = 24 लीटर) पूरी तरह से अप्रासंगिक हैं। उत्तर केवल प्रश्न स्टेम में दी गई जानकारी का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इसलिए, विकल्प d सही विकल्प है क्योंकि प्रश्न का उत्तर बिना किसी कथन का उपयोग किए भी दिया जा सकता है।

व्याख्या

P का व्यय ज्ञात करने के लिए, हम मूल संबंध वेतन = व्यय + बचत का उपयोग करते हैं। प्रश्न से, P और Q के वेतन क्रमशः 6x और 5x के रूप में दर्शाए जा सकते हैं, जहाँ x एक स्थिरांक गुणक है।

कथन I बचत का अनुपात 3:2 प्रदान करता है, जिसे 3y और 2y के रूप में दर्शाया जा सकता है। कथन II व्यय का अनुपात 1:1 प्रदान करता है, जिसका अर्थ है कि P और Q दोनों का व्यय समान है, मान लीजिए E। सभी जानकारी को मिलाकर, हमें दो समीकरण मिलते हैं: 6x = E + 3y और 5x = E + 2y। दूसरे समीकरण को पहले से घटाने पर x = y मिलता है। इसे दूसरे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5x = E + 2x मिलता है, जो E = 3x को सरल बनाता है।

जबकि हमने व्यय और वेतन गुणक x के बीच एक संबंध स्थापित किया है, किसी भी कथन में वेतन या बचत का कोई पूर्ण संख्यात्मक मान प्रदान नहीं किया गया है। चूंकि x एक अज्ञात चर बना हुआ है, P के व्यय E का वास्तविक संख्यात्मक मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करने पर भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए पाँच भिन्न पूर्णांक x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ हैं जैसे कि 2 = x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ = 8। इन पूर्णांकों का योग S = 2 + x₂ + x₃ + x₄ + 8 = 10 + (x₂ + x₃ + x₄) है। चूँकि पूर्णांक भिन्न हैं और 2 और 8 के बीच स्थित हैं, x₂, x₃, x₄ के लिए उपलब्ध मान {3, 4, 5, 6, 7} हैं।

इन तीन मध्य पूर्णांकों का न्यूनतम संभव योग 3 + 4 + 5 = 12 है, और अधिकतम संभव योग 5 + 6 + 7 = 18 है। परिणामस्वरूप, कुल योग S की सीमा [10 + 12, 10 + 18], जो कि [22, 28] है, में होनी चाहिए।

कथन I का उपयोग करके, हम जानते हैं कि S, 5 का गुणज है। 22 से 28 की सीमा में, 5 का एकमात्र गुणज 25 है। इस प्रकार, S = 25 और औसत 25 / 5 = 5 है। कथन I अकेले पर्याप्त है।

कथन II का उपयोग करके, हम जानते हैं कि विषम पूर्णांकों की संख्या विषम है। चूँकि 2 और 8 सम हैं, शेष पूर्णांकों में से एक या तीन विषम होने चाहिए। उदाहरण के लिए, समुच्चय {2, 4, 6, 3, 8} में एक विषम पूर्णांक है और योग 23 है, जबकि {2, 3, 5, 7, 8} में तीन विषम पूर्णांक हैं और योग 25 है। चूँकि भिन्न समुच्चय भिन्न औसत देते हैं, कथन II अकेले अपर्याप्त है।

इसलिए, विकल्प A सही है।

व्याख्या

मान लीजिए तीन भिन्न पूर्णांक भार x, y, z हैं। दी गई शर्त है x + y + z = P, जहाँ P एक अभाज्य संख्या है।

केवल कथन I का उपयोग करते हुए, हमारे पास y = 2x है। योग 3x + z = P हो जाता है। कई पूर्णांकों के समुच्चय इसे संतुष्ट करते हैं, जैसे {1, 2, 4} जहाँ 1+2+4=7 और {1, 2, 10} जहाँ 1+2+10=13। चूँकि कोई अद्वितीय समुच्चय निर्धारित नहीं होता है, कथन I अपर्याप्त है।

केवल कथन II का उपयोग करते हुए, हमारे पास y = 3x है। योग 4x + z = P हो जाता है। कई समुच्चय इसे संतुष्ट करते हैं, जैसे {1, 3, 7} जहाँ 1+3+7=11 और {1, 3, 9} जहाँ 1+3+9=13। चूँकि कोई अद्वितीय समुच्चय निर्धारित नहीं होता है, कथन II अपर्याप्त है।

दोनों कथनों को मिलाकर, हमारे पास y = 2x है और एक अन्य भार दूसरों में से किसी एक का तीन गुना होना चाहिए। यदि z = 3x, तो योग x + 2x + 3x = 6x है, जो किसी भी पूर्णांक x ≥ 1 के लिए भाज्य है। यदि z = 3y = 6x, तो योग x + 2x + 6x = 9x है, जो भाज्य है। हालाँकि, यदि y = 3z, तो 2x = 3z। x और z के पूर्णांक होने के लिए, मान लीजिए z = 2k और x = 3k। भार 3k, 6k, 2k हैं। उनका योग 3k + 6k + 2k = 11k है। 11k के अभाज्य संख्या होने के लिए, k का मान 1 होना चाहिए, जिससे अद्वितीय समुच्चय {2, 3, 6} प्राप्त होता है। इस प्रकार, दोनों कथन एक साथ आवश्यक हैं।

व्याख्या

किसी दी गई अवधि के अंत में अंतिम राशि A की गणना करने के लिए, उपयोग किया जाने वाला सूत्र इस बात पर निर्भर करता है कि ब्याज को साधारण ब्याज (SI) या चक्रवृद्धि ब्याज (CI) के रूप में गणना की जाती है या नहीं। साधारण ब्याज राशि का सूत्र A = P(1 + rt) है, और चक्रवृद्धि ब्याज राशि का सूत्र A = P(1 + r)ᵗ है, जहाँ P मूलधन है, r ब्याज दर है, और t समय अवधि है।

इस समस्या में, प्रश्न में समय t = 10 वर्ष दिया गया है। कथन I में मूलधन P = 1,00,000 दिया गया है और कथन II में दर r = 10% दी गई है। दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करने पर भी, ब्याज का प्रकार (साधारण या चक्रवृद्धि) निर्दिष्ट नहीं है। चूँकि अंतिम राशि साधारण ब्याज के तहत 2,00,000 और चक्रवृद्धि ब्याज के तहत लगभग 2,59,374 होगी, एक अद्वितीय उत्तर निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करने पर भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही उत्तर बन जाता है।

व्याख्या

व्यंजक p² + pq + q² की समता p और q की समता पर निर्भर करती है। हम सम और विषम पूर्णांकों के गुणों के आधार पर कथनों का मूल्यांकन कर सकते हैं।

कथन I के लिए, यदि p + q सम है, तो p और q की समता समान होनी चाहिए। इससे दो स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं: या तो दोनों p और q सम हैं, या दोनों विषम हैं। यदि दोनों सम हैं, तो p² + pq + q² = सम + सम + सम = सम। यदि दोनों विषम हैं, तो p² + pq + q² = विषम + विषम + विषम = विषम। चूँकि हमें दो अलग-अलग संभावित परिणाम मिलते हैं, व्यंजक विषम है या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए केवल कथन I पर्याप्त नहीं है।

कथन II के लिए, यदि pq विषम है, तो यह एक गणितीय आवश्यकता है कि दोनों p और q विषम पूर्णांक होने चाहिए। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें p² + pq + q² = विषम + विषम + विषम = विषम प्राप्त होता है। यह प्रश्न का एक निश्चित 'हाँ' उत्तर प्रदान करता है।

चूँकि केवल कथन II पर्याप्त है और केवल कथन I पर्याप्त नहीं है, विकल्प A सही विकल्प है।

व्याख्या

कुल जनसंख्या = 10,000। चूँकि पुरुष और महिलाएँ समान संख्या में हैं, इसलिए कुल पुरुष = 5,000 और कुल महिलाएँ = 5,000।

सबसे पहले, दिए गए प्रतिशत का उपयोग करके समाचार पत्र पाठकों की कुल संख्या की गणना करें: कुल समाचार पत्र पाठक = 10,000 का 30% = 0.30 × 10,000 = 3,000।

अगला, अंग्रेजी समाचार पत्र पाठकों की संख्या ज्ञात करें: अंग्रेजी समाचार पत्र पाठक = 3,000 का 1/3 = 1,000।

अब, इन अंग्रेजी समाचार पत्र पाठकों का लिंग के अनुसार वितरण निर्धारित करें: महिला अंग्रेजी समाचार पत्र पाठक = 1,000 का 20% = 0.20 × 1,000 = 200। पुरुष अंग्रेजी समाचार पत्र पाठक = कुल अंग्रेजी पाठक - महिला अंग्रेजी पाठक = 1,000 - 200 = 800।

उन पुरुषों की संख्या ज्ञात करने के लिए जो अंग्रेजी समाचार पत्र नहीं पढ़ते हैं, कुल पुरुष जनसंख्या में से पुरुष अंग्रेजी पाठकों को घटाएँ: अंग्रेजी समाचार पत्र नहीं पढ़ने वाले पुरुष = कुल पुरुष - पुरुष अंग्रेजी पाठक = 5,000 - 800 = 4,200।

इस प्रकार, अंतिम उत्तर 4,200 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

निश्चित परिधि P = 400 सेमी वाले आयत के लिए, क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब आयत एक वर्ग होता है। भुजा = 400 ÷ 4 = 100 सेमी। अधिकतम क्षेत्रफल = 100 × 100 = 10,000 वर्ग सेमी।

व्याख्या

3^1 = 3, 3^2 = 2, 3^3 = 6 = -1 mod 7. तब 3^10 = (3^3)^3 3^1 = (-1)^3 3 = -3 = 4 mod 7।

व्याख्या

किसी प्रतिशत का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए, पहले प्रतिशत को उसके दशमलव या भिन्न रूप में बदलें। चूँकि 64% 64/100 या 0.64 के बराबर है, हम इस मान पर वर्गमूल संक्रिया लागू करते हैं। गणितीय गुण √(a/b) = √a/√b का उपयोग करके, गणना √(64/100) = √64/√100 बन जाती है। अलग-अलग वर्गमूलों की गणना करने पर 8/10 प्राप्त होता है, जो दशमलव 0.8 तक सरल हो जाता है। इस परिणाम को प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, दशमलव को 100 से गुणा करें, जिससे 0.8 × 100 = 80% प्राप्त होता है। इसलिए, 64% का वर्गमूल 80% है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

अंतर (10^31 - 5) - (10^30 + p) = 10^31 - 10^30 - p - 5 है। मॉड्यूलो 3 में, 10 का मान 1 होता है। व्यंजक 1^31 - 1^30 - p - 5 = 1 - 1 - p - 5 = -p - 5 हो जाता है। इसके 3 से विभाज्य होने के लिए, -p - 5 = 0 mod 3, जिसका अर्थ है p + 5 = 0 mod 3, या p + 2 = 0 mod 3, जिसका तात्पर्य है p = 1, 4, या 7। p के 3 संभावित मान हैं।

व्याख्या

कथन I के लिए, हम मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके जांचते हैं कि क्या 107¹⁰⁰ - 76¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 61)। हम देखते हैं कि 107 को 2 × 61 - 15 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका अर्थ है 107 ≡ -15 (mod 61)। इसी तरह, 76 को 1 × 61 + 15 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका अर्थ है 76 ≡ 15 (mod 61)। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (-15)¹⁰⁰ - 15¹⁰⁰ (mod 61) प्राप्त होता है। चूंकि घातांक 100 एक सम संख्या है, (-15)¹⁰⁰ = 15¹⁰⁰, जिससे 15¹⁰⁰ - 15¹⁰⁰ = 0 (mod 61) प्राप्त होता है। इस प्रकार, 61 व्यंजक को विभाजित करता है, और कथन I सही है।

कथन II के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका लागू करते हैं कि aⁿ + bⁿ, a + b से विभाज्य होता है जब भी n एक विषम धनात्मक पूर्णांक हो। दिए गए व्यंजक 67⁵ + 33⁵ में, हमारे पास a = 67, b = 33, और n = 5 है। चूंकि n = 5 एक विषम संख्या है, व्यंजक 67 + 33 से विभाज्य है, जो 100 के बराबर है। इसलिए, 100, 67⁵ + 33⁵ को विभाजित करता है, और कथन II सही है। चूँकि दोनों कथन सही हैं, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

किसी एक दिन के लिए अधिकतम संभव तापमान ज्ञात करने के लिए, हम कुल योग के सूत्र का उपयोग करते हैं: कुल योग = औसत × दिनों की संख्या। यह देखते हुए कि 7 दिनों (सोमवार से रविवार) के लिए औसत 31°C है, कुल योग = 31 × 7 = 217°C। किसी एक विशेष दिन के तापमान को अधिकतम करने के लिए, हमें शेष छह दिनों के तापमान को न्यूनतम करना होगा। चूँकि दर्ज किया गया न्यूनतम तापमान 30°C है, इसलिए अन्य छह दिनों के लिए न्यूनतम संभव योग 6 × 30 = 180°C है। शेष दिन के लिए अधिकतम तापमान की गणना इस प्रकार की जाती है: अधिकतम तापमान = कुल योग - अन्य छह दिनों का योग = 217 - 180 = 37°C। इस प्रकार, किसी एक दिन दर्ज किया गया अधिकतम संभव तापमान 37°C है, जो विकल्प डी से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण A - B = B - C के रूप में है, जिसे A + C = 2B के रूप में सरल किया जाता है। प्रश्न में दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x + 1/yz) + (z + 1/xy) = 2(y + 1/zx) प्राप्त होता है। रैखिक चर और भिन्नों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें x + z + 1/yz + 1/xy = 2y + 2/zx प्राप्त होता है। बाईं ओर के भिन्नों को सामान्य भाजक xyz का उपयोग करके संयोजित करने पर x + z + (x + z)/xyz = 2y + 2/zx प्राप्त होता है। समीकरण को और पुनर्व्यवस्थित करने पर (x + z) - 2y = 2/zx - (x + z)/xyz प्राप्त होता है। दाईं ओर को सरल करने पर, हमें (x + z - 2y) = (2y - (x + z))/xyz प्राप्त होता है, जो (x + z - 2y) = -(x + z - 2y)/xyz के समतुल्य है। चूँकि प्रश्न में x + z ≠ 2y दिया गया है, पद (x + z - 2y) गैर-शून्य है और इसे दोनों पक्षों से विभाजित किया जा सकता है। इससे 1 = -1/xyz बचता है, जिसके परिणामस्वरूप xyz = -1 होता है। इस प्रकार, विकल्प (b) सही परिणाम है।

व्याख्या

व्यंजक p = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 में चार क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल शामिल है। कथन I के लिए, चार क्रमागत पूर्णांकों के किसी भी समूह में, हमेशा दो सम संख्याएँ होती हैं (जिनमें से एक 4 का गुणज होनी चाहिए)। एक सम संख्या और किसी अन्य पूर्णांक का गुणनफल हमेशा सम होता है। इसलिए, n(n+1)(n+2)(n+3) हमेशा सम होता है। किसी भी सम संख्या में 1 जोड़ने पर एक विषम संख्या प्राप्त होती है, जिससे p हमेशा विषम हो जाता है।

कथन II के लिए, हम चार क्रमागत पूर्णांकों के गुणनफल प्लस एक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका लागू करते हैं। पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हमें p = [n(n+3)][(n+1)(n+2)] + 1 मिलता है, जो p = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 तक सरल हो जाता है। मान लीजिए x = n² + 3n। व्यंजक p = x(x + 2) + 1 = x² + 2x + 1 बन जाता है। यह एक मानक द्विघात सर्वसमिका है जो (x + 1)² के बराबर है। x का मान वापस प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि p = (n² + 3n + 1)²। चूँकि n एक प्राकृतिक संख्या है, n² + 3n + 1 एक पूर्णांक है, जो पुष्टि करता है कि p हमेशा एक पूर्ण वर्ग है। इस प्रकार, कथन I और II दोनों सही हैं, जिससे विकल्प C सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

प्रथम n सम प्राकृत संख्याओं का औसत सूत्र n+1 द्वारा दिया जाता है। n=50 के लिए, प्रथम 50 सम प्राकृत संख्याओं का औसत 50+1 = 51 है। प्रथम n विषम प्राकृत संख्याओं का औसत सूत्र n द्वारा दिया जाता है। n=50 के लिए, प्रथम 50 विषम प्राकृत संख्याओं का औसत 50 है। इन दो औसत के बीच का अंतर 51 - 50 = 1 है। इस प्रकार, अंतर 1 है, जो विकल्प c से मेल खाता है। इस परिणाम को दोनों समुच्चयों की तुलना करके सहज रूप से समझा जा सकता है: पहली 50 सम संख्याएँ 2, 4, 6, ..., 100 हैं और पहली 50 विषम संख्याएँ 1, 3, 5, ..., 99 हैं। चूँकि विषम अनुक्रम में संगत पद की तुलना में सम अनुक्रम में प्रत्येक पद ठीक 1 अधिक है, सम अनुक्रम का समग्र औसत विषम अनुक्रम के औसत से ठीक 1 अधिक होना चाहिए।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) का सूत्र CI = P[(1 + r/100)ⁿ - 1] द्वारा दिया जाता है, जहाँ P मूलधन है, r प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और n वर्षों में समय अवधि है। चूँकि दोनों स्थितियों के लिए दर और समय समान हैं, इसलिए स्थिर मान [(1 + r/100)ⁿ - 1] को k से दर्शाया जाए।

समस्या के अनुसार, y, x पर चक्रवृद्धि ब्याज है, जिससे समीकरण y = x · k प्राप्त होता है। इसी प्रकार, z, y पर चक्रवृद्धि ब्याज है, जिससे समीकरण z = y · k प्राप्त होता है।

पहले समीकरण से, हम k को k = y/x के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। दूसरे समीकरण से, हम k को k = z/y के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूँकि दोनों स्थितियों में k का मान समान है, हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं: y/x = z/y। इन पदों को तिरछा गुणा करने पर y² = zx प्राप्त होता है। यह संबंध दर्शाता है कि x, y, और z एक गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं, और सही विकल्प (b) है।

व्याख्या

सबसे भीतरी वर्ग के लिए, क्षेत्रफल A₁ = 1 है, इसलिए भुजा की लंबाई s₁ = 1 है और विकर्ण D₁ = √(1² + 1²) = √2 है। मान लीजिए Dₙ n-वें वर्ग का विकर्ण है। क्रमागत वर्गों के संगत कोनों के बीच की दूरी 1 इकाई दी गई है। चूँकि वर्ग संकेंद्रित हैं, केंद्र से n-वें वर्ग के कोने तक की दूरी Dₙ / 2 है। क्रमागत वर्गों के लिए इन दूरियों के बीच का अंतर (Dₙ / 2) - (Dₙ₋₁ / 2) = 1 है, जो Dₙ - Dₙ₋₁ = 2 को सरल करता है। यह विकर्णों के लिए एक समांतर श्रेणी बनाता है जिसका पहला पद D₁ = √2 और सार्व अंतर d = 2 है। सूत्र Dₙ = a + (n-1)d का उपयोग करके, हमें Dₙ = √2 + (n-1)2 = 2n + √2 - 2 मिलता है। इस प्रकार, कथन I सही है।

कथन II का मूल्यांकन करने के लिए, हम इसके विकर्ण के संदर्भ में वर्ग के लिए क्षेत्रफल सूत्र A = D²/2 का उपयोग करते हैं। n-वें और (n-1)-वें वर्ग के बीच का क्षेत्रफल ΔA = Aₙ - Aₙ₋₁ = (Dₙ² - Dₙ₋₁²)/2 है। वर्गों के अंतर सूत्र को लागू करने पर, ΔA = ((Dₙ - Dₙ₋₁)(Dₙ + Dₙ₋₁))/2। Dₙ - Dₙ₋₁ = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, ΔA = Dₙ + Dₙ₋₁ मिलता है। Dₙ और Dₙ₋₁ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ΔA = (2n + √2 - 2) + (2(n-1) + √2 - 2) = 4n + 2√2 - 6 मिलता है। चूँकि यह व्यंजक n पर निर्भर करता है, क्षेत्रफल n से स्वतंत्र नहीं है। इस प्रकार, कथन II गलत है। इसलिए, केवल कथन I सही है, जिससे विकल्प a सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए लंबाई AB = L, चौड़ाई AD = W, और विकर्ण AC = D है। आयत के गुणों के अनुसार, इनके बीच का संबंध पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया गया है: D² = L² + W²। समस्या से, हमारे पास दो समीकरण हैं: D + L = 3W और D - W = 4। दूसरे समीकरण से, हम विकर्ण को D = W + 4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें L = 3W - (W + 4) = 2W - 4 मिलता है।

अब, पाइथागोरस सूत्र में D और L के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें: (W + 4)² = (2W - 4)² + W² W² + 8W + 16 = 4W² - 16W + 16 + W² W² + 8W + 16 = 5W² - 16W + 16 4W² - 24W = 0 4W(W - 6) = 0

चूंकि चौड़ाई W शून्य नहीं हो सकती, इसलिए W = 6 इकाई है। परिणामस्वरूप, लंबाई L = 2(6) - 4 = 8 इकाई और विकर्ण D = 6 + 4 = 10 इकाई है। विकर्ण द्वारा बने त्रिभुज (या तो ΔABC या ΔADC) का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल का आधा होता है: क्षेत्रफल = 1/2 × L × W = 1/2 × 8 × 6 = 24 वर्ग इकाई। अतः, विकल्प a सही है।

व्याख्या

माना कि तीन समान छोटे वृत्तों में से प्रत्येक की त्रिज्या r है। जब तीन समान वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं जिसकी भुजा की लंबाई a = 2r होती है। बड़े परिवृत्त वृत्त की त्रिज्या, R, इस समबाहु त्रिभुज के केंद्रक से छोटे वृत्तों में से एक के केंद्र तक की दूरी, और उस छोटे वृत्त की त्रिज्या के योग के बराबर होती है।

केंद्रक से समबाहु त्रिभुज के शीर्ष तक की दूरी सूत्र Rₜᵣᵢ = a / √3 द्वारा दी जाती है। a = 2r रखने पर, हमें Rₜᵣᵢ = 2r / √3 मिलता है। इसलिए, परिवृत्त वृत्त की त्रिज्या R = 2r / √3 + r है, जिसे R = r(2 + √3) / √3 के रूप में सरल किया जा सकता है।

बड़े वृत्त का क्षेत्रफल πR² = π(2 + √3)² / 3 दिया गया है। क्षेत्रफल के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: π[r(2 + √3) / √3]² = π(2 + √3)² / 3 r²(2 + √3)² / 3 = (2 + √3)² / 3

दोनों पक्षों को (2 + √3)² / 3 से विभाजित करने पर, हमें r² = 1 मिलता है, जिससे r = 1 सेमी प्राप्त होता है। अतः, विकल्प b सही है।

व्याख्या

सबसे पहले, हेरॉन सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें। अर्ध-परिमाप s की गणना (21 + 20 + 13) / 2 = 27 सेमी के रूप में की जाती है। त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल √s(s-a)(s-b)(s-c) = √27(27-20)(27-13)(27-21) = √27 × 7 × 14 × 6 = √15876 = 126 वर्ग सेमी है।

चूंकि लम्ब CD सबसे लंबी भुजा AB पर खींचा गया है, त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को 1/2 × AB × CD के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 126 = 1/2 × 21 × CD, जिससे CD = (126 × 2) / 21 = 12 सेमी प्राप्त होता है।

अब, त्रिभुज BCD पर विचार करें, जो D पर एक समकोण त्रिभुज है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, BD² = BC² - CD² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256। इस प्रकार, BD = √256 = 16 सेमी। त्रिभुज BCD का क्षेत्रफल 1/2 × BD × CD = 1/2 × 16 × 12 = 96 वर्ग सेमी है। इसलिए, विकल्प a सही है।

व्याख्या

सांद्रता के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हुए, मान लीजिए Cₐ पात्र A में दूध की सांद्रता है, Cᵦ पात्र B में दूध की सांद्रता है, और C_F अंतिम मिश्रण में दूध की सांद्रता है।

पात्र A में दूध की सांद्रता Cₐ = 1/(1+3) = 1/4 है। अंतिम मिश्रण में दूध की सांद्रता C_F = 3/(3+7) = 3/10 है। पात्रों को nₐ : nᵦ = 2 : 3 के अनुपात में मिलाया जाता है।

सूत्र C_F = (nₐ Cₐ + nᵦ Cᵦ)/(nₐ + nᵦ) लागू करने पर: 3/10 = (2(1/4) + 3(Cᵦ))/(2+3) 3/10 = (1/2 + 3 Cᵦ)/5

दोनों पक्षों को 5 से गुणा करने पर: 3/2 = 1/2 + 3 Cᵦ 3 Cᵦ = 3/2 - 1/2 = 1 Cᵦ = 1/3

चूंकि Cᵦ पात्र B में दूध और कुल आयतन का अनुपात दर्शाता है, हमारे पास है: m/(m+n) = 1/3 तिरछा गुणा करने पर 3m = m + n प्राप्त होता है, जो 2m = n को सरल करता है। इस प्रकार, m/n का मान 1/2 है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

समान त्रिज्या r और समान ऊँचाई h (जहाँ अर्धगोले के लिए h = r) वाले शंकु, अर्धगोले और बेलन के आयतन क्रमशः V_cone = (1/3)πr^3, V_hemi = (2/3)πr^3, और V_cyl = πr^3 हैं। इनका योग V_sum = (1/3 + 2/3 + 1)πr^3 = 2πr^3 है। त्रिज्या R वाले गोले के लिए, V_sphere = (4/3)πR^3 है। 2πr^3 = (4/3)πR^3 रखने पर R^3/r^3 = 6/4 = 1.5 प्राप्त होता है। हालाँकि, 1.5 एक विकल्प नहीं है। यदि अर्धगोले को त्रिज्या r वाले पूर्ण गोले से बदल दिया जाए, तो योग V_sum = (1/3 + 4/3 + 1)πr^3 = (8/3)πr^3 हो जाता है। तब (4/3)πR^3 = (8/3)πr^3 का अर्थ है R^3/r^3 = 2, जो विकल्प C से मेल खाता है। दिए गए उत्तर कुंजी के अनुसार, यह संभावना है कि प्रश्न में अर्धगोले के बजाय गोले का इरादा था।

व्याख्या

माना f(x) = x³ + px² + qx + r है। सभी पूर्णांक मानों x के लिए f(x) के पूर्णांक होने के लिए, हम विशिष्ट पूर्णांकों का परीक्षण करते हैं। x = 0 के लिए, f(0) = r। चूंकि f(0) एक पूर्णांक होना चाहिए, r एक पूर्णांक होना चाहिए, जो कथन III की पुष्टि करता है। x = 1 के लिए, f(1) = 1 + p + q + r, और चूंकि f(1) और r पूर्णांक हैं, p + q एक पूर्णांक होना चाहिए। x = -1 के लिए, f(-1) = -1 + p - q + r, और चूंकि f(-1) और r पूर्णांक हैं, p - q एक पूर्णांक होना चाहिए। इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर (p + q) + (p - q) = 2p प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि 2p एक पूर्णांक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि p एक अर्ध-पूर्णांक हो सकता है। उन्हें घटाने पर (p + q) - (p - q) = 2q प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि 2q एक पूर्णांक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि q एक अर्ध-पूर्णांक हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम p = 1/2 और q = 1/2 लेते हैं, तो व्यंजक f(x) = x³ + 1/2x² + 1/2x + r = x³ + x(x+1)/2 + r बन जाता है। चूंकि दो क्रमागत पूर्णांकों x(x+1) का गुणनफल हमेशा सम होता है, पद x(x+1)/2 हमेशा एक पूर्णांक होता है। इस प्रकार, f(x) सभी x के लिए एक पूर्णांक है, तब भी जब p और q पूर्णांक नहीं हैं। इसलिए, कथन I और II गलत हैं, और केवल कथन III सही है, जिससे विकल्प b सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

P के व्यय को निर्धारित करने के लिए, हम मूल वित्तीय सूत्र लागू करते हैं: वेतन = व्यय + बचत। मान लीजिए P और Q के वेतन क्रमशः 6x और 5x हैं। कथन I से, हम P और Q की बचत को क्रमशः 3y और 2y के रूप में दर्शा सकते हैं। कथन II से, P और Q के व्यय बराबर हैं, जिसे हम z के रूप में दर्शा सकते हैं। इससे हमें दो रैखिक समीकरण मिलते हैं: 6x = z + 3y और 5x = z + 2y। दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर, हमें (6x - 5x) = (z + 3y) - (z + 2y) मिलता है, जो सरल होकर x = y हो जाता है। y = x को दूसरे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 5x = z + 2x मिलता है, जिससे z = 3x प्राप्त होता है। यद्यपि हमने स्थापित कर लिया है कि P का व्यय 3x है, हमारे पास किसी भी कथन में वेतन, बचत या व्यय का कोई निरपेक्ष संख्यात्मक मान नहीं है। चूंकि दी गई सभी जानकारी अनुपात में है, हम केवल सापेक्ष व्यय निर्धारित कर सकते हैं, वास्तविक राशि नहीं। इसलिए, दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करने पर भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है, जिससे विकल्प d सही उत्तर बन जाता है।

व्याख्या

यहां मूल सूत्र का उपयोग किया गया है: आय = व्यय + बचत। मान लीजिए P और Q के वेतन क्रमशः 6x और 5x हैं। कथन I के अनुसार, P और Q की बचत का अनुपात 3:2 है, इसलिए उन्हें 3y और 2y मान लीजिए। कथन II के अनुसार, P और Q का व्यय बराबर है, इसलिए उन्हें z मान लीजिए। इससे हमें दो समीकरण मिलते हैं: 6x = z + 3y और 5x = z + 2y। दूसरे समीकरण को पहले से घटाने पर, हमें x = y मिलता है। इसे पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर, 6x = z + 3x, जो सरल होकर z = 3x हो जाता है। यद्यपि हमने स्थापित कर लिया है कि P का व्यय 3x है, x का मान अज्ञात है क्योंकि किसी भी कथन में वेतन, बचत या व्यय का कोई निरपेक्ष मौद्रिक मूल्य प्रदान नहीं किया गया है। चूंकि हमारे पास केवल अनुपात हैं और कोई वास्तविक आंकड़े नहीं हैं, P के व्यय की निरपेक्ष राशि निर्धारित नहीं की जा सकती है। इसलिए, दोनों कथनों को एक साथ उपयोग करने पर भी प्रश्न का उत्तर नहीं दिया जा सकता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

(a^m - 1) और (a^n - 1) के रूप की संख्याओं का HCF, सूत्र a^gcd(m, n) - 1 द्वारा दिया जाता है। यहाँ, a = 2, m = 36, और n = 45 है। 36 और 45 का gcd (महत्तम समापवर्तक) 9 है। इसलिए, HCF 2^9 - 1 है। चूँकि 2^9 = 512 है, HCF 512 - 1 = 511 है।

व्याख्या

अक्षीय अनुप्रस्थ काट (शीर्ष से गुजरने वाली, आधार पर लंबवत) 14 सेमी भुजा का एक समबाहु त्रिभुज है, इसलिए व्यास 2r = 14 ⇒ r = 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई l = 14 सेमी है। शंकु की ऊँचाई: h = √(l² - r²) = √(196 - 49) = √147 = 7√3 सेमी। आयतन = 1/3π r² h = 1/3 × 22/7 × 49 × 7√3 = (22 × 49√3)/3 = 1078√3/3 = 1078/√3 घन सेमी।

व्याख्या

तीन समरूप शंक्ुओं के आधारों के केंद्र एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक शंकु अन्य दो को स्पर्श करता है। चूँकि प्रत्येक आधार की त्रिज्या r = 3 सेमी है, किन्हीं दो केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है, जिससे समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई s = 3 + 3 = 6 सेमी हो जाती है। शंक्ुओं के शीर्ष उनके आधारों के केंद्रों के ठीक ऊपर स्थित होते हैं। चूँकि शंकु समरूप हैं और एक ही तल पर रखे गए हैं, उनके शीर्ष भी समान भुजा की लंबाई s = 6 सेमी के साथ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। इन शीर्षों से गुजरने वाला वृत्त इस समबाहु त्रिभुज का परिवृत्त है। भुजा s वाले समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त त्रिज्या R का सूत्र R = s/√3 है। s = 6 सेमी रखने पर, हमें R = 6/√3 = 2√3 सेमी मिलता है। वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πR² का उपयोग करके गणना की जाती है। इस प्रकार, A = π(2√3)² = π(4 × 3) = 12π वर्ग सेमी। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज के लिए, अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या (अंतःत्रिज्या) की गणना सीधे सूत्र r = (a + b - c)/2 का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ a और b दो भुजाओं की लंबाई हैं और c कर्ण की लंबाई है।

सबसे पहले, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण AC की लंबाई ज्ञात करते हैं: AC = √(AB² + BC²) AC = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 सेमी।

अब, अंतःत्रिज्या सूत्र में AB = 5 सेमी, BC = 12 सेमी, और AC = 13 सेमी के मानों को प्रतिस्थापित करते हुए: r = (5 + 12 - 13)/2 r = (17 - 13)/2 r = 4/2 = 2 सेमी।

इस प्रकार, अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या 2 सेमी है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग (n-2) × 180° सूत्र द्वारा दिया जाता है, और किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। दी गई शर्त के अनुसार, अनुपात ((n-2) × 180°)/360° = 7/2 है। बाईं ओर को सरल करने पर, हमें (n-2)/2 = 7/2 मिलता है, जिसका अर्थ है n-2 = 7, इसलिए n = 9। बहुभुज एक नवभुज (nonagon) है। एक सम बहुभुज के एक आंतरिक कोण का माप ((n-2) × 180°)/n सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। n = 9 रखने पर, आंतरिक कोण ((9-2) × 180°)/9 = (7 × 180°)/9 = 7 × 20° = 140° होता है। इस प्रकार, विकल्प (d) सही है।

व्याख्या

समीकरण m² - n² = 199 है, जिसे (m - n)(m + n) = 199 के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि 199 एक अभाज्य संख्या है और m, n प्राकृतिक संख्याएँ हैं जहाँ m > n, केवल संभावित गुणनखंड 1 और 199 हैं। इस प्रकार, m - n = 1 और m + n = 199। इन समीकरणों को जोड़ने पर 2m = 200 प्राप्त होता है, इसलिए m = 100। m = 100 को m - n = 1 में प्रतिस्थापित करने पर n = 99 प्राप्त होता है। mn का मान 100 * 99 = 9900 है।

व्याख्या

2ⁿ - 1 के रूप की संख्याएँ केवल तभी अभाज्य होती हैं जब n अभाज्य हो (मेर्सेन अभाज्य)। हम 2ⁿ - 1 < 2000 के लिए n की जाँच करते हैं: n=2 के लिए, 2²-1 = 3 (अभाज्य) n=3 के लिए, 2³-1 = 7 (अभाज्य) n=5 के लिए, 2⁵-1 = 31 (अभाज्य) n=7 के लिए, 2⁷-1 = 127 (अभाज्य) n=11 के लिए, 2¹¹-1 = 2047 (2000 से अधिक)। अभाज्य नहीं n मानों की जाँच: n=1 (1 अभाज्य नहीं है), n=4 (15), n=6 (63), n=8 (255), n=9 (511 = 773), n=10 (1023 = 3341)। अभाज्य संख्याएँ 3, 7, 31, 127 हैं। कुल संख्या 4 है।

व्याख्या

मान लीजिए x उन विद्यार्थियों की संख्या है जिन्होंने तीनों भाषाएँ चुनी हैं। मान लीजिए e, h, और s क्रमशः केवल अंग्रेजी, केवल हिंदी और केवल संस्कृत चुनने वाले विद्यार्थी हैं। कुल विद्यार्थी: e + h + s + x = 160। अंग्रेजी: e + x = 130। हिंदी: h + x = 120। संस्कृत: s + x = 110। व्यक्तिगत भाषा के कुल योग को जोड़ने पर: (e + x) + (h + x) + (s + x) = 130 + 120 + 110 = 360। (e + h + s + x) + 2x = 360। कुल विद्यार्थियों को प्रतिस्थापित करने पर: 160 + 2x = 360। 2x = 200, इसलिए x = 100।

व्याख्या

S = 5^a + 7^b + 11^c + 13^d। हम 10 के मॉड्यूलो शेषफलों को देखते हैं: 5^a mod 10, a >= 1 के लिए हमेशा 5 होता है। 11^c mod 10, c >= 1 के लिए हमेशा 1 होता है। 7^b mod 10, चक्र {7, 9, 3, 1} का अनुसरण करता है। 13^d mod 10, चक्र {3, 9, 7, 1} का अनुसरण करता है। S mod 10 = (5 + 1 + 7^b + 13^d) mod 10 = (6 + 7^b + 13^d) mod 10। (7^b + 13^d) mod 10 के संभावित मान: समुच्चय {7, 9, 3, 1} और {3, 9, 7, 1} का उपयोग करके, संभावित योग हैं: 1+1=2, 1+3=4, 1+7=8, 1+9=0, 3+3=6, 3+7=0, 3+9=2, 7+7=4, 7+9=6, 9+9=8। भिन्न योग {0, 2, 4, 6, 8} हैं। इन योगों में 6 जोड़ने पर mod 10: 6+0=6, 6+2=8, 6+4=0, 6+6=2, 6+8=4। भिन्न शेषफल {0, 2, 4, 6, 8} हैं, जिनकी संख्या 5 है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, ∠A = 90° और AD शीर्ष A से कर्ण BC पर खींचा गया लंब है। समकोण त्रिभुज ADC में, हमें दिया गया है कि ∠ADC = 90° और ∠CAD = 60°। त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, ∠ACD = 180° - (90° + 60°) = 30°। चूँकि ∠ACD बड़े त्रिभुज ABC के ∠C के समान है, इसलिए हमारे पास ∠C = 30° है। भुजा AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम समकोण त्रिभुज ABC में sin C के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात लागू करते हैं। सूत्र है sin C = सम्मुख/कर्ण = AB/BC। दिए गए मान BC = 6 सेमी और परिकलित ∠C = 30° को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin 30° = AB/6 प्राप्त होता है। मानक मान sin 30° = 1/2 का उपयोग करते हुए, समीकरण 1/2 = AB/6 बन जाता है, जिसे सरल करने पर AB = 6 × 1/2 = 3 सेमी प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प A सही उत्तर है।