सीडीएस II 2013 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

दो संख्याओं a और b, उनके महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) और लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: a × b = म.स.प. × ल.स.प.। मान लीजिए दो संख्याएँ a = 98x और b = 98y के रूप में दर्शायी जाती हैं, जहाँ x और y पूर्णांक हैं। इन दो संख्याओं का ल.स.प. इस प्रकार व्यक्त किया गया है: ल.स.प. = म.स.प. × x × y दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2352 = 98 × x × y xy = 2352/98 = 24

संख्याओं का योग है: S = a + b = 98x + 98y = 98(x + y) संभावित योग ज्ञात करने के लिए, हम 24 के गुणनखंड युग्मों की जाँच करते हैं: यदि x = 1, y = 24, तो S = 98(1 + 24) = 98 × 25 = 2450 यदि x = 2, y = 12, तो S = 98(2 + 12) = 98 × 14 = 1372 यदि x = 3, y = 8, तो S = 98(3 + 8) = 98 × 11 = 1078 यदि x = 4, y = 6, तो S = 98(4 + 6) = 98 × 10 = 980

इन परिणामों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, मान 1372 विकल्प (a) से मेल खाता है। अतः, संख्याओं का योग 1372 हो सकता है।

व्याख्या

भाज्य संख्याओं का मौलिक गुण बताता है कि किसी भी भाज्य संख्या n का कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड p होना चाहिए जैसे कि p ≤ √n। 121 से छोटी संख्याओं के लिए, हम अधिकतम 120 पर विचार करते हैं। 120 का वर्गमूल √120 ≈ 10.95 है। 10.95 से छोटी या उसके बराबर अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं। इसलिए, 121 से छोटी प्रत्येक भाज्य संख्या इन अभाज्य संख्याओं में से कम से कम एक से विभाज्य होनी चाहिए: 2, 3, 5, या 7। यह सीधे पुष्टि करता है कि कथन 2 सही है। चूंकि इस सीमा में कोई भी भाज्य संख्या 2, 3, 5, या 7 का गुणज है, इसलिए 120 तक की पूर्णांकों के समुच्चय से इन चार अभाज्य संख्याओं के सभी गुणजों को हटाने पर केवल अभाज्य संख्याएँ ही बचेंगी। यह पुष्टि करता है कि कथन 1 सही है। इस प्रकार, कथन 1 और 2 दोनों गणितीय रूप से सही हैं, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x² + 1/x² + 8(x + 1/x) + 14 को गुणनखंडित करने के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। माना y = x + 1/x। इस प्रतिस्थापन के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें y² = (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 प्राप्त होता है। यह हमें मूल समीकरण के पहले दो पदों को x² + 1/x² = y² - 2 के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है। इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, यह (y² - 2) + 8y + 14 बन जाता है, जो द्विघात रूप y² + 8y + 12 को सरल बनाता है। इस द्विघात को गुणनखंडित करने के लिए, हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल 12 हो और योग 8 हो, जो कि 6 और 2 हैं। इस प्रकार, व्यंजक (y + 6)(y + 2) के रूप में गुणनखंडित होता है। y = x + 1/x को वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें गुणनखंड (x + 1/x + 6)(x + 1/x + 2) प्राप्त होते हैं। इन गुणनखंडों की दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर, विकल्प (c) x + 1/x + 6 स्पष्ट रूप से एक गुणनखंड है।

व्याख्या

पहला व्यंजक a^2b^4 + 2a^2b^2 = a^2b^2(b^2 + 2) है। दूसरा व्यंजक (ab)^7 - 4a^2b^9 = a^7b^7 - 4a^2b^9 = a^2b^7(a^5 - 4b^2) है। उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) सामान्य गुणनखंडों की निम्नतम घातों का गुणनफल होता है, जो कि a^2b^2 है।

व्याख्या

व्यंजकों का गुणनखंडन करने पर: x^2 + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2); x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2; x^2 + 4x = x(x + 4). लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) में शामिल सभी गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: x^1 (x + 4)^1 (x - 2)^2.

व्याख्या

A की कार्य दर 1/4 प्रति दिन है और B की कार्य दर 1/12 प्रति दिन है। साथ मिलकर, उनकी दर 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3 प्रति दिन है। आवश्यक दिनों की संख्या संयुक्त दर का व्युत्क्रम है, जो कि 3 दिन है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, एक रैखिक व्यंजक (x - a), बहुपद P(x) का एक गुणनखंड होता है यदि और केवल यदि P(a) = 0 हो। दिए गए बहुपद को P(x) = x³ + 2x² + 3x + 8 मान लीजिए।

कथन 1 को सत्यापित करने के लिए, हम बहुपद में x = -3 प्रतिस्थापित करते हैं: P(-3) = (-3)³ + 2(-3)² + 3(-3) + 8 P(-3) = -27 + 2(9) - 9 + 8 P(-3) = -27 + 18 - 9 + 8 = -10 चूंकि P(-3) ≠ 0 है, इसलिए व्यंजक (x + 3) बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

कथन 2 को सत्यापित करने के लिए, हम बहुपद में x = 2 प्रतिस्थापित करते हैं: P(2) = (2)³ + 2(2)² + 3(2) + 8 P(2) = 8 + 2(4) + 6 + 8 P(2) = 8 + 8 + 6 + 8 = 30 चूंकि P(2) ≠ 0 है, इसलिए व्यंजक (x - 2) बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

चूंकि न तो कथन 1 और न ही कथन 2 सही है, इसलिए विकल्प (d) सही उत्तर है।

व्याख्या

दूसरे परिदृश्य के लिए लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले वस्तु का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = (SP × 100)/(100 + लाभ%) का उपयोग करके निर्धारित करते हैं। दिए गए मान SP = 3600 और लाभ% = 20% को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CP = (3600 × 100)/120 = 3000 प्राप्त होता है। अब, दूसरे मामले पर विचार करें जहाँ विक्रय मूल्य SPₙₑᵥᵥ = 3150 है। लाभ राशि की गणना SPₙₑᵥᵥ - CP के रूप में की जाती है, जो 3150 - 3000 = 150 है। नया लाभ प्रतिशत तब सूत्र लाभ% = (लाभ/CP) × 100 का उपयोग करके पाया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास लाभ% = (150/3000) × 100 = 15/3 = 5% है। इसलिए, व्यक्ति को 5% का लाभ होता, जो विकल्प b) से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम स्ट्रिंग विधि या बंडलिंग तकनीक का उपयोग करते हैं जहाँ कुछ वस्तुओं को एक साथ रहना होता है। हम दो सबसे बड़ी पुस्तकों को एक इकाई या बंडल के रूप में मानते हैं। चूँकि कुल 5 विभिन्न पुस्तकें हैं, दो सबसे बड़ी पुस्तकों को एक बंडल से बदलने पर हमारे पास 3 व्यक्तिगत पुस्तकें और बंडल बचता है, जिससे कुल 5 - 2 + 1 = 4 इकाइयाँ व्यवस्थित करने के लिए बचती हैं। इन 4 इकाइयों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या 4! है। इसके अतिरिक्त, बंडल के भीतर दो सबसे बड़ी पुस्तकों को आपस में 2! तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। गणना के मूल सिद्धांत के अनुसार, पुस्तकों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की कुल संख्या कि दो सबसे बड़ी पुस्तकें हमेशा एक साथ रहें, इन दो क्रमचयों का गुणनफल है: 4! × 2!। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

x² - 3x + 2 के P(x) = x³ - 3x² + 3x - 2 का गुणनखंड होने के लिए, x² - 3x + 2 = 0 के दोनों मूल (जो x = 1 और x = 2 हैं) P(x) के मूल होने चाहिए। x = 1 की जाँच करने पर: P(1) = 1 - 3 + 3 - 2 = -1। चूँकि P(1) शून्य नहीं है, (x - 1) एक गुणनखंड नहीं है, और इसलिए x² - 3x + 2 एक गुणनखंड नहीं है। दोनों कथन 1 और 2 समान और गलत हैं।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि एक रैखिक बहुपद (x + a), बहुपद P(x) का एक गुणनखंड है, तो P(-a) = 0 होगा। इस समस्या में, दिया गया गुणनखंड (x + 5) है, जिसका अर्थ है कि x = -5 व्यंजक P(x) = x³ + 3x² + 4x + k का एक मूल होना चाहिए। k का मान ज्ञात करने के लिए, हम बहुपद में x = -5 प्रतिस्थापित करते हैं और कुल योग को शून्य के बराबर करते हैं:

(-5)³ + 3(-5)² + 4(-5) + k = 0

घातों और गुणनफलों की गणना करने पर: -125 + 3(25) - 20 + k = 0 -125 + 75 - 20 + k = 0 -50 - 20 + k = 0 -70 + k = 0 k = 70

परिणाम दर्शाता है कि दिए गए व्यंजक का (x + 5) गुणनखंड होने के लिए k का मान 70 होना चाहिए, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

समुच्चयों के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए: कुल = गणित + सांख्यिकी - दोनों। 110 = (2x + 20) + (2x + 30) - x। सरलीकरण करने पर: 110 = 3x + 50। 3x = 60, इसलिए x = 20।

व्याख्या

मान लीजिए y = sqrt(6 + sqrt(6 + ...))। तब y = sqrt(6 + y), जिसका अर्थ है y² - y - 6 = 0। y (जहाँ y > 0) के लिए हल करने पर, हमें (y - 3)(y + 2) = 0 प्राप्त होता है, इसलिए y = 3। प्रश्न में दिया गया है कि x² = 6 + y, इसलिए x² = 6 + 3 = 9। इस प्रकार, x = 3 या x = -3। मानों में से एक 3 है।

व्याख्या

मान लीजिए Q वह राशि है जिसे जोड़ा जाना है। समस्या के अनुसार, गणितीय संबंध समीकरण (1 - x)(1 + x²) + Q = x³ द्वारा दिया गया है। Q का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को Q = x³ - (1 - x)(1 + x²) के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। सबसे पहले, गुणनफल (1 - x)(1 + x²) का वितरण गुण का उपयोग करके विस्तार करें: (1 - x)(1 + x²) = 1(1 + x²) - x(1 + x²) = 1 + x² - x - x³। अब, इस विस्तारित व्यंजक को Q के लिए समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: Q = x³ - (-x³ + x² - x + 1)। कोष्ठकों के अंदर के पदों में ऋणात्मक चिह्न वितरित करके, हमें Q = x³ + x³ - x² + x - 1 प्राप्त होता है। समान पदों x³ और x³ को संयोजित करने पर, हमें Q = 2x³ - x² + x - 1 प्राप्त होता है। यह परिणाम विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन I: 7710312401 के लिए, अंकों का एकांतर योग (1+4+1+0+7) - (0+2+3+1+7) = 13 - 13 = 0 है। चूँकि परिणाम 11 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 11 से विभाज्य है। कथन II: 173, 2, 3, 5, 7, 11, या 13 (sqrt(173) तक के अभाज्य) से विभाज्य नहीं है, इसलिए 173 एक अभाज्य संख्या है। दोनों सही हैं।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं जो बताती है कि किसी भी धनात्मक विषम पूर्णांक n के लिए, व्यंजक aⁿ + bⁿ हमेशा (a + b) से विभाज्य होता है।

दिए गए व्यंजक 19⁵ + 21⁵ में, हमारे पास a = 19, b = 21, और n = 5 है। चूँकि घातांक n = 5 एक विषम संख्या है, व्यंजक 19⁵ + 21⁵ (19 + 21) से विभाज्य होना चाहिए।

योग की गणना करने पर, हमें 19 + 21 = 40 प्राप्त होता है। इसलिए, 19⁵ + 21⁵, 40 से विभाज्य है। कोई भी संख्या जो 40 से विभाज्य है, वह 40 के सभी गुणनखंडों से भी आवश्यक रूप से विभाज्य होती है। 40 के गुणनखंडों में 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, और 40 शामिल हैं। चूँकि 10 और 20 दोनों 40 के गुणनखंड हैं, व्यंजक 19⁵ + 21⁵, 10 और 20 दोनों से विभाज्य है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प c सही विकल्प है।

व्याख्या

सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का प्रयोग करने पर, हमें (49² - 25²) = (49 - 25)(49 + 25) = 24 × 74 प्राप्त होता है। हमें 37x = 24 × 74 दिया गया है। चूँकि 74 = 2 × 37, समीकरण 37x = 24 × 2 × 37 है। 37 से भाग देने पर, हमें x = 48 प्राप्त होता है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि (x - a) किसी बहुपद P(x) का गुणनखंड है, तो P(a) = 0। इस प्रश्न में, (x - 1) को बहुपद P(x) = 4x⁵ + 9x⁴ - 7x³ - 5x² - 4kx + 3k² का गुणनखंड होने के लिए, P(1) = 0 होना चाहिए।

समीकरण में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर: P(1) = 4(1)⁵ + 9(1)⁴ - 7(1)³ - 5(1)² - 4k(1) + 3k² = 0 4 + 9 - 7 - 5 - 4k + 3k² = 0 13 - 12 - 4k + 3k² = 0 3k² - 4k + 1 = 0

k के मान ज्ञात करने के लिए, हम इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं: 3k² - 3k - k + 1 = 0 3k(k - 1) - 1(k - 1) = 0 (3k - 1)(k - 1) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: k - 1 = 0 ⟹ k = 1 3k - 1 = 0 ⟹ k = 1/3

अतः, k के वे मान जिनके लिए (x - 1) एक गुणनखंड है, 1 और 1/3 हैं, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक एक चक्रीय बहुपद f(x, y, z) = x(y² - z²) + y(z² - x²) + z(x² - y²) है। गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि चर के लिए कोई मान प्रतिस्थापित करने पर पूरा व्यंजक शून्य हो जाता है, तो संगत द्विपद एक गुणनखंड होता है। यह जांचने के लिए कि क्या (y - z) एक गुणनखंड है, हम व्यंजक में y = z प्रतिस्थापित करते हैं: f(x, z, z) = x(z² - z²) + z(z² - x²) + z(x² - z²) = x(0) + z(z² - x²) - z(z² - x²) = 0। चूंकि परिणाम शून्य है, (y - z) एक गुणनखंड है। इसी प्रकार, यह जांचने के लिए कि क्या (z - x) एक गुणनखंड है, हम z = x प्रतिस्थापित करते हैं: f(x, y, x) = x(y² - x²) + y(x² - x²) + x(x² - y²) = x(y² - x²) + y(0) - x(y² - x²) = 0। चूंकि परिणाम शून्य है, (z - x) भी एक गुणनखंड है। क्योंकि व्यंजक चक्रीय है, (x - y) भी एक गुणनखंड होगा। इन तीन रैखिक गुणनखंडों (x - y)(y - z)(z - x) का गुणनफल एक घन बहुपद है, जो मूल व्यंजक की घात से मेल खाता है। इस प्रकार, व्यंजक (y - z) और (z - x) दोनों से विभाज्य है, जिससे विकल्प c सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

पहले समीकरण से, 3x + 2y = 24। दूसरे समीकरण से, (2y + 3x)/xy = 1, जिसका अर्थ है 3x + 2y = xy। पहले को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हमें xy = 24 मिलता है। 3x + 2(24/x) = 24 का उपयोग करके, हमें 3x^2 - 24x + 48 = 0 मिलता है, या x^2 - 8x + 16 = 0, जिसका अर्थ है (x - 4)^2 = 0, इसलिए x = 4। तब y = 24/4 = 6। x + y = 4 + 6 = 10।

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि की गणना का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: प्रतिशत वृद्धि = (अंतिम मान - प्रारंभिक मान)/(प्रारंभिक मान) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्रारंभिक वेतन ₹7,200 है और अंतिम वेतन ₹8,100 है। सबसे पहले, वेतन में निरपेक्ष वृद्धि की गणना करें, जो कि 8,100 - 7,200 = 900 है। अब, प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए सूत्र लागू करें: प्रतिशत वृद्धि = 900/7,200 × 100

भिन्न 900/7,200 को सरल बनाने पर, हमें 9/72 प्राप्त होता है, जो आगे 1/8 तक कम हो जाता है। प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, इस भिन्न को 100 से गुणा करें: 1/8 × 100 = 12.5%

दशमलव 0.5 को भिन्न में बदलने पर, 12.5% 12 1/2% के बराबर है। यह विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने के लिए दक्षता और लिया गया समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: दक्षता × समय = कुल कार्य। माना X की दक्षता Eₓ है और X द्वारा लिया गया समय Tₓ = 16 दिन है। प्रश्न के अनुसार, Y की दक्षता X की दक्षता से 60% अधिक है, जिसका अर्थ है Eᵧ = Eₓ + 0.60Eₓ = 1.6Eₓ। चूंकि दोनों के लिए कुल कार्य स्थिर रहता है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: Eₓ × Tₓ = Eᵧ × Tᵧ। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Eₓ × 16 = 1.6Eₓ × Tᵧ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को Eₓ से विभाजित करने पर, हमें 16 = 1.6 × Tᵧ प्राप्त होता है। Tᵧ के लिए हल करने पर, हमें Tᵧ = 16/1.6 = 160/16 = 10 दिन प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प (a) सही विकल्प है।

व्याख्या

चूंकि दोनों लॉट की मात्रा बराबर है, इसलिए प्रति किलो औसत लागत मूल्य व्यक्तिगत लागत मूल्यों का सरल अंकगणितीय माध्य है। औसत लागत मूल्य के सूत्र का उपयोग करके, औसत CP = (CP₁ + CP₂) / 2, हमें औसत CP = (10 + 15) / 2 = 12.5 प्रति किलो प्राप्त होता है। विक्रय मूल्य ₹ 15 प्रति किलो दिया गया है।

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सूत्र लाभ % = ((SP - औसत CP) / औसत CP) × 100 का उपयोग करें। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें लाभ % = ((15 - 12.5) / 12.5) × 100 = (2.5 / 12.5) × 100 प्राप्त होता है। भिन्न को सरल बनाने पर, 2.5 / 12.5 = 1 / 5, जो 0.2 के बराबर है। 100 से गुणा करने पर 20% का लाभ होता है। इस प्रकार, विकल्प सी सही उत्तर है।

व्याख्या

यह समस्या संख्या सिद्धांत में सह-अभाज्य संख्याओं के एक मौलिक गुण पर निर्भर करती है। दो पूर्णांकों को सह-अभाज्य या सापेक्ष रूप से अभाज्य कहा जाता है यदि उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 1 है। दी गई शर्तें HCF(a, b) = 1 और HCF(a, c) = 1 हैं, जिसका अर्थ है कि a का b के साथ कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं होता है और c के साथ भी कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं होता है।

सह-अभाज्य गुणनफल गुण के अनुसार, यदि एक पूर्णांक a, b के सह-अभाज्य है और c के भी सह-अभाज्य है, तो यह उनके गुणनफल bc के सह-अभाज्य होना चाहिए। इसे समझने के लिए, a के अभाज्य गुणनखंडन पर विचार करें। चूँकि HCF(a, b) = 1, a का कोई भी अभाज्य गुणनखंड b को विभाजित नहीं करता है। इसी प्रकार, चूँकि HCF(a, c) = 1, a का कोई भी अभाज्य गुणनखंड c को विभाजित नहीं करता है। गुणनफल bc के अभाज्य गुणनखंड केवल b के सभी अभाज्य गुणनखंडों और c के सभी अभाज्य गुणनखंडों का संग्रह हैं। क्योंकि a का b या c में से किसी के साथ भी कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं होता है, इसलिए यह गुणनफल bc के साथ कोई भी अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं कर सकता है। परिणामस्वरूप, a और bc के बीच एकमात्र सामान्य धनात्मक भाजक 1 है, जिसका अर्थ है HCF(a, bc) = 1। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए c का अभाज्य गुणनखंडन c = p₁ᵉ¹ p₂ᵉ² ... pₙᵉⁿ है, जहाँ pᵢ भिन्न अभाज्य हैं और eᵢ उनकी संगत घातें हैं। c का सबसे बड़ा वर्ग भाजक b प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम सम घात लेकर प्राप्त किया जाता है जो c में उपलब्ध है। इस प्रकार, b = p₁²⌊ᵉ¹/²⌋ p₂²⌊ᵉ²/²⌋ ... pₙ²⌊ᵉⁿ/²⌋.

यह दिया गया है कि a² , c को विभाजित करता है। इसका मतलब है कि a² के अभाज्य गुणनखंडन को a² = p₁²ᶠ¹ p₂²ᶠ² ... pₙ²ᶠⁿ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ सभी i के लिए 2fᵢ ≤ eᵢ है। इस असमानता से, हमारे पास fᵢ ≤ eᵢ/2 है, और चूंकि fᵢ एक पूर्णांक है, fᵢ ≤ ⌊e₁/2⌋ है।

अब, a के अभाज्य गुणनखंडन पर विचार करें, जो a = p₁ᶠ¹ p₂ᶠ² ... pₙᶠⁿ है। b के लिए व्यंजक के साथ इसकी तुलना करने पर, हम देखते हैं कि a का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एक घात fᵢ के साथ प्रकट होता है जो b में घात 2⌊eᵢ/2⌋ से कम या उसके बराबर है। विशेष रूप से, चूंकि fᵢ ≤ ⌊eᵢ/2⌋ ≤ 2⌊eᵢ/2⌋ है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि a को b का भाजक होना चाहिए। इसलिए, विकल्प c सही है।

व्याख्या

किसी भी पूर्णांक n को या तो सम या विषम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। यदि n एक सम पूर्णांक है, तो इसे किसी पूर्णांक m के लिए n = 2m के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस व्यंजक का वर्ग करने पर n² = (2m)² = 4m² प्राप्त होता है। k = m² रखने पर, हम देखते हैं कि एक सम संख्या का वर्ग हमेशा 4k के रूप का होता है। यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो इसे किसी पूर्णांक m के लिए n = 2m + 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस व्यंजक का वर्ग करने पर n² = (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 प्राप्त होता है। इसे 4(m² + m) + 1 के रूप में पुनः लिखा जा सकता है। k = m² + m रखने पर, हम देखते हैं कि एक विषम संख्या का वर्ग हमेशा 4k + 1 के रूप का होता है। परिणामस्वरूप, प्रत्येक वर्ग पूर्णांक 4k या 4k + 1 के रूप का होना चाहिए, जो विकल्प (d) से मेल खाता है। यह गुण मॉड्यूलर अंकगणित का एक मौलिक परिणाम है, जो बताता है कि किसी भी पूर्णांक n के लिए n² ≡ 0 (mod 4) या n² ≡ 1 (mod 4) होता है।

व्याख्या

3k + 1 के रूप वाली एक अभाज्य संख्या p विषम होनी चाहिए (p=2 को छोड़कर, लेकिन 3k+1=2 का अर्थ है k=1/3)। यदि k विषम है, k = 2m + 1, तो p = 3(2m + 1) + 1 = 6m + 4, जो सम है और अभाज्य नहीं है। यदि k सम है, k = 2m, तो p = 3(2m) + 1 = 6m + 1। इस प्रकार, p के उस रूप की अभाज्य संख्या होने के लिए k का सम होना आवश्यक है।

व्याख्या

10 मीटर को मिलीमीटर में बदलें: 10 मीटर = 10,000 मिमी। कुल लंबाई को एक टुकड़े की लंबाई से विभाजित करें: 10,000 मिमी / 200 मिमी = 50।

व्याख्या

26^2 + 97^2 = 676 + 9409 = 10085। विकल्पों की जाँच करने पर: a) 27^2 + 93^2 = 729 + 8649 = 9378; b) 34^2 + 93^2 = 1156 + 8649 = 9805; c) 82^2 + 41^2 = 6724 + 1681 = 8405; d) 79^2 + 62^2 = 6241 + 3844 = 10085। विकल्प d सही है।

व्याख्या

मान लीजिए M और W एक पुरुष और एक महिला की दैनिक कार्य दरें हैं। 14(2M + W) = 8(2M + 4W)। 28M + 14W = 16M + 32W। 12M = 18W, इसलिए W = 2/3 M। मजदूरी कार्य दर के समानुपाती होती है। यदि M को 90 मिलते हैं, तो W को 2/3 * 90 = 60 मिलेंगे।

व्याख्या

व्यंजकों को सरल करें: a) (5^-2)^-2 = 5^4, फिर (5^4)^-2 = 5^-8; b) (5^-2)^2 = 5^-4, फिर (5^-4)^-2 = 5^8; c) (2^-5)^-2 = 2^10, फिर (2^10)^-2 = 2^-20; d) (2^-5)^2 = 2^-10, फिर (2^-10)^-2 = 2^20। 5^-8 (1/390625) और 2^-20 (1/1048576) की तुलना करने पर, 2^-20 सबसे छोटी है।

व्याख्या

7^n के अंतिम अंक एक चक्र का पालन करते हैं: 7, 9, 3, 1। चूँकि 402 mod 4 = 2, 7^402 का अंतिम अंक 9 है। 3^n के अंतिम अंक एक चक्र का पालन करते हैं: 3, 9, 7, 1। चूँकि 402 mod 4 = 2, 3^402 का अंतिम अंक 9 है। अंतिम अंकों का योग 9 + 9 = 18 है, इसलिए अंतिम अंक 8 है।

व्याख्या

ट्रेन की लंबाई ज्ञात करने के लिए, मूल सूत्र का प्रयोग करें: दूरी = गति × समय। जब कोई ट्रेन खंभे जैसी स्थिर बिंदु वस्तु को पार करती है, तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है। सबसे पहले, गति को किलोमीटर प्रति घंटा (kmph) से मीटर प्रति सेकंड (m/s) में मानक रूपांतरण कारक 5/18 का उपयोग करके परिवर्तित करें: गति = 72 × 5/18 = 4 × 5 = 20 मी/से। अब, दूरी सूत्र में गति और समय को प्रतिस्थापित करें: लंबाई = 20 मी/से × 15 सेकंड = 300 मीटर। इस प्रकार, ट्रेन की लंबाई 300 मीटर है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

इस समस्या को कार्य और मजदूरी के लिए श्रृंखला नियम सूत्र (M₁ × D₁)/W₁ = (M₂ × D₂)/W₂ का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जहाँ M पुरुषों की संख्या, D दिनों की संख्या और W कुल कमाई या किया गया कार्य दर्शाता है। दिए गए मान M₁ = 18, D₁ = 5, और W₁ = 360 हैं। हमें M₂ = 15 और D₂ = 9 के लिए W₂ ज्ञात करना है। इन मानों को सूत्र में रखने पर (18 × 5)/360 = (15 × 9)/W₂ प्राप्त होता है। बाईं ओर को सरल करने पर, हमें 90/360 = 1/4 मिलता है। इस प्रकार, 1/4 = 135/W₂, जिससे W₂ = 135 × 4 = 540 प्राप्त होता है। इसलिए, 15 पुरुष 9 दिनों में ₹ 540 कमाएंगे, जो विकल्प (b) के अनुरूप है।

व्याख्या

1/4 और 3/4 के बीच स्थित परिमेय संख्याओं को ज्ञात करने के लिए, पहले इन सीमा भिन्नों को तुलना के लिए दशमलव रूप में परिवर्तित करें। निचली सीमा 1/4 = 0.25 है और ऊपरी सीमा 3/4 = 0.75 है। संख्याओं का कोई भी युग्म (x, y) शर्त 0.25 < x < 0.75 और 0.25 < y < 0.75 को संतुष्ट करना चाहिए। विकल्पों का दशमलव में परिवर्तित करके मूल्यांकन करने पर, विकल्प (a) 0.262 और 0.752 देता है, जहाँ 0.752 ऊपरी सीमा से अधिक है। विकल्प (b) 0.24 और 0.74 देता है, जहाँ 0.24 निचली सीमा से कम है। विकल्प (c) 9 ÷ 40 = 0.225 और 31 ÷ 40 = 0.775 देता है, जो दोनों सीमा से बाहर हैं। विकल्प (d) 252/1000 = 0.252 और 748/1000 = 0.748 देता है। चूँकि 0.25 < 0.252 < 0.75 और 0.25 < 0.748 < 0.75 दोनों सत्य हैं, विकल्प (d) सही युग्म है।

व्याख्या

मान लीजिए x यात्रियों की प्रारंभिक संख्या है। पहले स्टॉप के बाद: 4x/5 + 40। दूसरे स्टॉप के बाद: 1/2(4x/5 + 40) + 30 = 70। 2x/5 + 20 + 30 = 70। 2x/5 = 20। x = 50।

व्याख्या

जब व्यक्ति एक साथ काम करते हैं तो मजदूरी का हिस्सा उनकी दक्षता के समानुपाती होता है, जो काम पूरा करने में लगने वाले समय का व्युत्क्रम होता है। A, B और C की दक्षता क्रमशः 1/15, 1/20 और 1/25 है। उनके अनुपात 1/15 : 1/20 : 1/25 को सरल बनाने के लिए, हम प्रत्येक पद को 15, 20 और 25 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 300 से गुणा करते हैं। इससे उनके हिस्सों का अनुपात (300/15) : (300/20) : (300/25) = 20 : 15 : 12 प्राप्त होता है। इन अनुपात भागों का योग 20 + 15 + 12 = 47 है। C के हिस्से की गणना उसके भाग को कुल भागों से विभाजित करके और कुल कमाई से गुणा करके की जाती है: (12 / 47) × 4700 = 12 × 100 = 1200। इस प्रकार, C का हिस्सा ₹ 1,200 है।

व्याख्या

दिया गया है कि x एक धनात्मक सम पूर्णांक है और y एक ऋणात्मक विषम पूर्णांक है, हम y को -n के रूप में निरूपित कर सकते हैं जहाँ n एक धनात्मक विषम पूर्णांक है। घातांक के नियम a⁻ᵇ = 1/aᵇ का उपयोग करके, व्यंजक xʸ को x⁻ⁿ = 1/xⁿ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। चूँकि x एक धनात्मक सम पूर्णांक है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, xⁿ हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक का परिणाम देगा। एक परिमेय संख्या को किसी भी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। परिणामी व्यंजक 1/xⁿ में, अंश 1 और हर xⁿ दोनों पूर्णांक हैं, और xⁿ शून्य नहीं हो सकता क्योंकि x एक धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए, xʸ हमेशा एक परिमेय संख्या होती है, जो विकल्प c से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, यदि x = 2 और y = -3, तो xʸ = 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, जो एक परिमेय संख्या है।

व्याख्या

इस समस्या को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, जब दो वस्तुएँ अलग-अलग गति से समान दूरी तय करती हैं और उनके आगमन समय में अंतर दिया गया हो, तो दूरी के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करें:

D = (S₁ × S₂)/(S₂ - S₁) × Δt

इस सूत्र में, S₁ और S₂ दो कारों की गति का प्रतिनिधित्व करते हैं, और Δt उनके आगमन समय के अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

S₁ = 30 किमी/घंटा S₂ = 45 किमी/घंटा Δt = 2 घंटे

D = (30 × 45)/(45 - 30) × 2

अंश और हर की गणना करने पर: D = 1350/15 × 2

भिन्न को सरल बनाने पर: D = 90 × 2 = 180 किमी

प्रारंभिक बिंदु और गंतव्य के बीच की दूरी 180 किमी है, जो विकल्प b से मेल खाती है। यह तरीका रैखिक समीकरण स्थापित करने की तुलना में तेज़ है और प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए अत्यधिक अनुशंसित है।

व्याख्या

चूंकि 4 बकरियाँ या 6 भेड़ें 50 दिनों में खेत को चर सकती हैं, हम उनकी कार्य दर के बीच एक समानता स्थापित कर सकते हैं। यह देखते हुए कि 4 बकरियाँ = 6 भेड़ें, इसका मतलब है कि 1 बकरी = 6/4 = 1.5 भेड़ें।

2 बकरियों और 9 भेड़ों द्वारा लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम पहले पूरे समूह को दक्षता की एक एकल इकाई, विशेष रूप से भेड़ों में परिवर्तित करते हैं। कुल दक्षता 2 बकरियाँ + 9 भेड़ें = (2 × 1.5) + 9 = 3 + 9 = 12 भेड़ें है।

अब, हम मानक कार्य सूत्र M₁D₁ = M₂D₂ का उपयोग करते हैं, जहाँ M जानवरों की संख्या और D दिनों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करना: 6 भेड़ें × 50 दिन = 12 भेड़ें × D₂ 300 = 12 × D₂ D₂ = 300/12 = 25 दिन।

इस प्रकार, खेत को 25 दिनों में चर लिया जाएगा, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कार्यालय की दूरी D है और प्रस्थान का समय T है। पहुँचने के समय का अंतर Δt = दोपहर 1 बजे - सुबह 11 बजे = 2 घंटे है। ज्ञात समय अंतर के साथ दो अलग-अलग गति s₁ और s₂ के लिए मानक दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास D = (s₁s₂)/(s₂ - s₁) × Δt है। दिए गए मानों s₁ = 10 किमी/घंटा और s₂ = 15 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर, हमें D = (10 × 15)/(15 - 10) × 2 = 150/5 × 2 = 30 × 2 = 60 किमी प्राप्त होता है।

प्रस्थान का समय ज्ञात करने के लिए, 10 किमी/घंटा की गति से लिया गया समय ज्ञात करें: t = D/s₁ = 60/10 = 6 घंटे। चूँकि व्यक्ति दोपहर 1 बजे कार्यालय पहुँचता है, उसे सुबह 13 - 6 = 7 बजे प्रस्थान करना चाहिए था। दोपहर 12 बजे कार्यालय पहुँचने के लिए, आवश्यक कुल यात्रा समय दोपहर 12 बजे - सुबह 7 बजे = 5 घंटे है। इसलिए आवश्यक गति s = D/t = 60/5 = 12 किमी/घंटा है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

यह समस्या आनुपातिकता के श्रृंखला नियम पर आधारित है जहाँ कुल कार्य स्थिर रहता है। इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सूत्र M₁ D₁ H₁ = M₂ D₂ H₂ है, जहाँ M श्रमिकों की संख्या, D दिनों की संख्या और H प्रतिदिन काम किए गए घंटों को दर्शाता है। दिए गए मान M₁ = 20 श्रमिक, D₁ = 10 दिन और H₁ = 5 घंटे प्रति दिन हैं। दूसरे परिदृश्य के लिए, M₂ = 25 श्रमिक और H₂ = 10 घंटे प्रति दिन हैं, जबकि दिनों की संख्या D₂ की गणना की जानी है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 20 × 10 × 5 = 25 × D₂ × 10 प्राप्त होता है। बाईं ओर को सरल बनाने पर 1000 = 250 × D₂ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 250 से विभाजित करने पर, हमें D₂ = 1000 / 250 = 4 प्राप्त होता है। इस प्रकार, कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय 4 दिन है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए विकल्पों के संदर्भ में व्यंजक m√n, n के m-वें मूल को संदर्भित करता है, जिसे ᵐ√n के रूप में दर्शाया जाता है। किसी भी प्राकृतिक संख्या m और n के लिए, m-वाँ मूल ᵐ√n परिमेय होता है यदि और केवल यदि n किसी पूर्णांक k की एक पूर्ण m-वीं घात हो, जैसे कि n = kᵐ। ऐसे मामले में, ᵐ√n = ᵐ√kᵐ = k, जो एक परिमेय संख्या है। हालाँकि, यदि n एक पूर्ण m-वीं घात नहीं है, तो ᵐ√n का मान दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जो परिभाषा के अनुसार इसे एक अपरिमेय संख्या बनाता है। उदाहरण के लिए, यदि m = 3 और n = 8, तो ∛8 = 2, जो परिमेय है क्योंकि 8, 2 की तीसरी घात है। इसके विपरीत, यदि m = 3 और n = 9, तो ∛9 अपरिमेय है क्योंकि 9 किसी भी पूर्णांक का पूर्ण घन नहीं है। इसलिए, मान अपरिमेय होता है जब तक कि n किसी पूर्णांक की m-वीं घात न हो, जो विकल्प (b) को सही विकल्प बनाता है।

व्याख्या

द्विघात समीकरण ax² + bx + b = 0, जहाँ a ≠ 0 है, के लिए हम मूलों के मानक गुणों का उपयोग करते हैं। मूलों का योग सूत्र -B/A द्वारा दिया जाता है और मूलों का गुणनफल C/A द्वारा दिया जाता है। यहाँ, A = a, B = b, और C = b है। इसलिए, मूलों का योग -b/a है और मूलों का गुणनफल b/a है। योग को गुणनफल के बराबर होने के लिए, -b/a = b/a होना चाहिए, जिसका अर्थ है 2b/a = 0, या b = 0। चूँकि समीकरण यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि b शून्य होना चाहिए, कथन 1 सामान्य रूप से सही नहीं है।

कथन 2 के संबंध में, मूलों की प्रकृति विविक्तकर D = B² - 4AC द्वारा निर्धारित की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें D = b² - 4ab मिलता है, जिसे b(b - 4a) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। मूलों के हमेशा वास्तविक और असमान होने के लिए, सभी a और b मानों के लिए D का शून्य से अधिक होना आवश्यक है। हालाँकि, यदि हम a = 1 और b = 1 लेते हैं, तो D = 1(1 - 4) = -3, जिसके परिणामस्वरूप काल्पनिक मूल होते हैं। यदि a = 1 और b = 4, तो D = 16 - 16 = 0, जिसके परिणामस्वरूप समान मूल होते हैं। इस प्रकार, कथन 2 भी गलत है। परिणामस्वरूप, विकल्प d सही विकल्प है।

व्याख्या

द्विघात समीकरण x² - x - 1 = 0 के लिए, विएटा सूत्रों के अनुसार मूलों का योग α + β = -(-1)/1 = 1 है और मूलों का गुणनफल αβ = -1/1 = -1 है। व्यंजक का अंश α² + β² है, जिसे (α + β)² - 2αβ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1² - 2(-1) = 1 + 2 = 3 प्राप्त होता है। व्यंजक का हर (α² - β²)(α - β) है, जो (α + β)(α - β)(α - β) = (α + β)(α - β)² के रूप में सरल हो जाता है। (α - β)² ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका (α - β)² = (α + β)² - 4αβ का उपयोग करते हैं, जिससे 1² - 4(-1) = 1 + 4 = 5 प्राप्त होता है। इन्हें हर में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 × 5 = 5 प्राप्त होता है। इसलिए, व्यंजक का मान 3/5 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई अनुपात 4:9 के आधार पर, आयत की भुजाएँ 4x और 9x मान लीजिए। आयत के क्षेत्रफल के सूत्र, क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, का उपयोग करके, हमारे पास 4x × 9x = 144 है। इसे सरल करने पर 36x² = 144 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 36 से विभाजित करने पर, हमें x² = 4 मिलता है, जिसका अर्थ है x = 2 सेमी। भुजाओं की वास्तविक लंबाई 4 × 2 = 8 सेमी और 9 × 2 = 18 सेमी है। अब, आयत के परिमाप के सूत्र, परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई), को लागू करें। विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर, हमें परिमाप = 2(18 + 8) = 2(26) = 52 सेमी प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प (a) सही उत्तर है।

व्याख्या

एक वर्गाकार आधार पर बने पिरामिड (वस्तु A) के लिए, भुजाओं की संख्या a 8 है (आधार पर 4 और शीर्ष पर मिलने वाली 4), फलकों की संख्या b 5 है (1 वर्गाकार आधार और 4 त्रिभुजाकार फलक), और कोनों की संख्या c 5 है (आधार पर 4 और 1 शीर्ष)। दी गई शर्त a = b + c की जाँच करने पर 8 = 5 + 5 प्राप्त होता है, जो 8 = 10 हो जाता है। यह असत्य है।

एक घन (वस्तु B) के लिए, भुजाओं की संख्या a 12 है, फलकों की संख्या b 6 है, और कोनों की संख्या c 8 है। शर्त a = b + c की जाँच करने पर 12 = 6 + 8 प्राप्त होता है, जो 12 = 14 हो जाता है। यह भी असत्य है।

उत्तल बहुफलकों के लिए यूलर के सूत्र के अनुसार, शीर्षों V, भुजाओं E, और फलकों F के बीच संबंध V - E + F = 2 द्वारा दिया जाता है। प्रश्न से चर को प्रतिस्थापित करने पर, हमें c - a + b = 2 प्राप्त होता है, जिसे a = b + c - 2 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जाता है। चूँकि दी गई शर्त a = b + c इस मौलिक नियम से 2 के स्थिरांक से भिन्न है, यह किसी भी उत्तल बहुफलक के लिए सत्य नहीं हो सकती, जिसमें वर्गाकार पिरामिड या घन शामिल हैं। इसलिए, परिणाम न तो A के लिए और न ही B के लिए सत्य है, जिससे विकल्प (d) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र Areaₛ₀ᵤₐᵣₑ = s² का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ s भुजा की लंबाई है। 10 सेमी की भुजा के लिए, Areaₛ₀ᵤₐᵣₑ = 10² = 100 सेमी²। प्रश्न में प्रत्येक 5 सेमी त्रिज्या (r = 5 सेमी) वाले दो अर्धवृत्तों का वर्णन किया गया है। चूँकि समान त्रिज्या वाले दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं, उनका कुल क्षेत्रफल सूत्र Area꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ = πr² द्वारा निर्धारित किया जाता है। दी गई त्रिज्या को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Area꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ = π × 5² = 25π प्राप्त होता है। π ≈ 3.14159 के मानक सन्निकटन का उपयोग करते हुए, दो अर्धवृत्ताकार अनुप्रस्थ काटों का संयुक्त क्षेत्रफल 25 × 3.14159 ≈ 78.54 सेमी² है। वर्ग और इन दो अर्धवृत्तों के बीच का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल और पूर्ण वृत्त के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: Areaᵣₑₘₐᵢₙᵢₙ_g = 100 - 78.54 = 21.46 सेमी²। इस मान को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 21.5 सेमी² प्राप्त होता है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मानक सूत्र क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई का उपयोग करके गणना की जाती है। इस समस्या में, समांतर चतुर्भुज की भुजा को आधार b = 8.06 सेमी माना जाता है, और विपरीत भुजा से लंबवत दूरी ऊंचाई h = 2.08 सेमी है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें क्षेत्रफल = 8.06 × 2.08 प्राप्त होता है। गुणा करने पर, 8.06 × 2 = 16.12 और 8.06 × 0.08 = 0.6448। इन घटकों को एक साथ जोड़ने पर, 16.12 + 0.6448 = 16.7648 वर्ग सेमी। जब प्रश्न में अनुरोध के अनुसार अनुमानित क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित किया जाता है, तो परिणाम 16.76 वर्ग सेमी होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए, सूत्र V = 1/3 π r² h का प्रयोग करें, जहाँ r आधार त्रिज्या और h ऊंचाई को दर्शाता है। दिए गए मानों r = 10 सेमी और h = 21 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, और गणना में आसानी के लिए π = 22/7 का उपयोग करने पर, व्यंजक बन जाता है:

V = 1/3 × 22/7 × (10)² × 21

सरकारी परीक्षाओं के लिए एक त्वरित मानसिक शॉर्टकट यह है कि हर (denominators) 3 × 7 = 21 का गुणनफल, अंश (numerator) में ऊंचाई 21 को पूरी तरह से रद्द कर देता है। यह गणना को काफी सरल बनाता है:

V = 22 × 100 = 2200 सेमी³

इस प्रकार, शंकु का आयतन 2200 सेमी³ है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

सबसे पहले, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज के प्रकार की पहचान करें। 7 सेमी, 24 सेमी और 25 सेमी भुजाओं के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या a² + b² = c²: 7² + 24² = 49 + 576 = 625 25² = 625 चूंकि दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग के बराबर है, इसलिए त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = 1/2 × 7 × 24 = 7 × 12 = 84 सेमी²

प्रश्न के अनुसार, वृत्त का क्षेत्रफल इस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है। इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल 84 सेमी² है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा a है। समबाहु त्रिभुज की परिधि का सूत्र y = 3a है, जिससे a = y/3 प्राप्त होता है। समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र x = (√3/4)a² है।

क्षेत्रफल सूत्र में y के पदों में a का मान रखने पर: x = (√3/4) (y/3)² x = (√3/4) · y²/9 x = (√3y²)/36

x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, y² को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: y² = 36x/√3 हर का परिमेयकरण करने पर प्राप्त होता है: y² = 36√3x/3 = 12√3x

वर्गमूल को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें: (y²)² = (12√3x)² y⁴ = 12² · (√3)² · x² y⁴ = 144 · 3 · x² y⁴ = 432x²

यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

दो अर्धगोलाकार गड्ढों से निकाली गई मिट्टी का आयतन सूत्र V = 2 × 2/3 πr³ द्वारा दिया गया है। π = 22/7 और r = 2 मीटर रखने पर, हमें V = 4/3 × 22/7 × 2³ = (4 × 22 × 8)/21 = 704/21 मी³ प्राप्त होता है। आयताकार खेत का कुल क्षेत्रफल L × W = 22 × 10 = 220 मी² है। दो अर्धगोलाकार गड्ढों द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल 2 × πr² = 2 × 22/7 × 2² = 176/7 मी² है। इसलिए, खेत का शेष क्षेत्रफल जहाँ मिट्टी फैलाई गई है, 220 - 176/7 = (1540 - 176)/7 = 1364/7 मी² है। मान लीजिए खेत के स्तर में वृद्धि h है। फैलाई गई मिट्टी का आयतन शेष क्षेत्रफल को ऊँचाई में वृद्धि से गुणा करने के बराबर है: 704/21 = 1364/7 × h। h के लिए हल करने पर, हमें h = 704/21 × 7/1364 = 704/(3 × 1364) प्राप्त होता है। भिन्न 704/1364 को 44 से अंश और हर को विभाजित करके सरल करने पर, हमें 16/31 प्राप्त होता है। इस प्रकार, h = 1/3 × 16/31 = 16/93 मी, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

यह देखते हुए कि वृत्त का व्यास 50 सेमी है, त्रिज्या r 25 सेमी है। चूँकि CP एक त्रिज्यीय खंड है और इसका विस्तार वृत्त को D पर प्रतिच्छेद करता है, इसलिए कुल लंबाई CD = 25 सेमी है। हमें DP = 18 सेमी दिया गया है, जिसका अर्थ है कि खंड CP = CD - DP = 25 - 18 = 7 सेमी।

जीवा AB की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं के प्रमेय का उपयोग करते हैं। मान लीजिए P और D से गुजरने वाला व्यास ED है, जहाँ E, D के विपरीत वृत्त पर स्थित बिंदु है। व्यास ED की लंबाई 50 सेमी है। बिंदु P इस व्यास को दो खंडों में विभाजित करता है: PD = 18 सेमी और EP = ED - PD = 50 - 18 = 32 सेमी।

चूँकि जीवा AB, व्यास ED पर बिंदु P पर लंबवत है, व्यास जीवा को समद्विभाजित करता है, जिसका अर्थ है AP = PB। प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं के प्रमेय के अनुसार, जीवाओं के खंडों का गुणनफल बराबर होता है: AP × PB = EP × PD AP² = 32 × 18 AP² = 576 AP = √576 = 24 सेमी

जीवा AB की कुल लंबाई 2 × AP = 2 × 24 = 48 सेमी है। अतः, सही विकल्प d) है।

व्याख्या

वृत्त के अंदर लेकिन सम षट्भुज के बाहर के क्षेत्रफल x को ज्ञात करने के लिए, हमें वृत्त के क्षेत्रफल में से षट्भुज के क्षेत्रफल को घटाना होगा।

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ = πr² द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या r = 5 सेमी के लिए, A꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ = π × 5² = 25π। π ≈ 3.14159 का अनुमानित मान का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल 25 × 3.14159 ≈ 78.54 सेमी² है।

वृत्त में अंकित एक सम षट्भुज छह समबाहु त्रिभुजों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक की भुजा की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल सूत्र Aₕₑₓₐ₉ₒₙ = (3√3)/2 r² द्वारा दिया जाता है। r = 5 सेमी का मान रखने पर, हमें Aₕₑₓₐ₉ₒₙ = (3√3)/2 × 25 = 37.5√3 प्राप्त होता है। √3 ≈ 1.732 का अनुमानित मान का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल 37.5 × 1.732 ≈ 64.95 सेमी² है।

क्षेत्रफल x इन दो मानों के बीच का अंतर है: x = A꜀ᵢᵣ꜀ₗₑ - Aₕₑₓₐ₉ₒₙ x ≈ 78.54 - 64.95 = 13.59 सेमी²।

चूंकि 13.59 सेमी² 13 सेमी² और 15 सेमी² के बीच आता है, विकल्प A सही है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल सूत्र x = 2πrh द्वारा दिया जाता है और आयतन y = πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है। ऊँचाई और त्रिज्या के अनुपात h/r को x और y के पदों में ज्ञात करने के लिए, हम पहले आयतन को वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल से विभाजित करते हैं: y/x = (πr²h) / (2πrh) = r/2। इससे त्रिज्या r = 2y/x प्राप्त होती है। अगला, हम h के लिए हल करने हेतु इस r के मान को पृष्ठ क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: x = 2π(2y/x)h, जो x = (4πyh) / x को सरल करता है, जिससे h = x² / (4πy) प्राप्त होता है। अब, हम अनुपात h/r = (x² / 4πy) / (2y/x) = (x² / 4πy) × (x / 2y) = x³ / (8πy²) की गणना करते हैं। चूँकि अनुपात h/r, x और y दोनों का एक फलन है, यह किसी भी चर से स्वतंत्र नहीं है। इस प्रकार, न तो कथन (a) और न ही (b) सही है, जिससे विकल्प d सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

ज्यामिति में मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। परिणामस्वरूप, एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का परिमाप मूल त्रिभुज के परिमाप का ठीक आधा होता है।

मान लीजिए त्रिभुज PQR का परिमाप Pₚ₀ᵣ है, त्रिभुज DEF का परिमाप P₀ₑ𝄴 है, और त्रिभुज ABC का परिमाप Pₐᵦ꜀ है। त्रिभुज PQR की दी गई भुजाएँ 1, 2 और 3 इकाई हैं। इसलिए, इसका परिमाप है: Pₚ₀ᵣ = 1 + 2 + 3 = 6 इकाई।

चूंकि त्रिभुज PQR, त्रिभुज DEF के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनता है, इसलिए उनके परिमापों के बीच संबंध है: P₀ₑ𝄴 = 2 × Pₚ₀ᵣ = 2 × 6 = 12 इकाई।

इसी प्रकार, चूंकि त्रिभुज DEF, त्रिभुज ABC के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनता है, इसलिए उनके परिमापों के बीच संबंध है: Pₐᵦ꜀ = 2 × P₀ₑ𝄴 = 2 × 12 = 24 इकाई।

इस प्रकार, त्रिभुज ABC का परिमाप 24 इकाई है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल सूत्र CSA = πrl द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और l तिर्यक ऊंचाई है। दिया गया है कि बेलन का व्यास 24 मीटर है, इसलिए त्रिज्या r = 24 / 2 = 12 मीटर है। बेलनाकार भाग की ऊंचाई 11 मीटर है और तंबू की कुल ऊंचाई 16 मीटर है, इसलिए शंक्वाकार भाग की ऊंचाई h = 16 - 11 = 5 मीटर है।

तिर्यक ऊंचाई l ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र l = √(r² + h²) का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 मीटर प्राप्त होता है। अब, वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल सूत्र में r = 12 मीटर और l = 13 मीटर को π = 22 / 7 के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हमें CSA = (22 / 7) × 12 × 13 प्राप्त होता है। गुणनफल की गणना करने पर, 12 × 13 = 156, और 22 × 156 = 3432। इसलिए, वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल 3432 / 7 वर्ग मीटर है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक शंकु का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है। इसकी गणना के लिए प्रयुक्त मानक सूत्र TSA = πr(l + r) है, जहाँ r आधार त्रिज्या और l तिर्यक ऊंचाई को दर्शाता है। त्रिज्या r = 7 सेमी और ऊंचाई h = 24 सेमी दी गई है, हम पहले संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके तिर्यक ऊंचाई ज्ञात करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी प्राप्त होता है। अब, पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में r = 7 और l = 25 को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास TSA = 22/7 × 7 × (25 + 7) है। अंश और हर में 7 रद्द हो जाते हैं, जिससे 22 × 32 बचता है, जो 704 वर्ग सेमी के बराबर होता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिज्या r = 12 सेमी, ऊँचाई h = 16 सेमी। तिर्यक ऊँचाई l = sqrt(12^2 + 16^2) = 20 सेमी। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = pi r l = 3.14159 * 12 * 20 लगभग 753.98 वर्ग सेमी। लागत = 753.98 * 0.70 = 527.786। पूर्णांकित करने पर 528 आता है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 12 = 1/2 × BC × 3 प्राप्त होता है। आधार BC के लिए हल करने पर, हमें BC = (12 × 2)/3 = 8 सेमी प्राप्त होता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जहाँ AB = AC, शीर्ष A से आधार BC पर डाला गया शीर्षलम्ब आधार को समद्विभाजित करता है। इसलिए, BD = BC/2 = 8/2 = 4 सेमी। बराबर भुजाओं AB और AC की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम समकोण त्रिभुज ABD में पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AB² = AD² + BD²। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, जिससे AB = √25 = 5 सेमी प्राप्त होता है। चूँकि AB = AC, तो AC = 5 सेमी। त्रिभुज की परिधि सभी भुजाओं का योग है: परिधि = AB + AC + BC = 5 + 5 + 8 = 18 सेमी। यह विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6s^2। दिया गया है 6s^2 = 6, इसलिए s^2 = 1, तो s = 1। आयतन = s^3 = 1^3 = 1 घन इकाई।

व्याख्या

एक गोले का आयतन V = 4/3πr³ सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है। चूँकि व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है, इसलिए व्यासों का अनुपात त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है। मान लीजिए पृथ्वी का व्यास Dₑ और चंद्रमा का व्यास Dₘ है। प्रश्न के अनुसार, Dₘ = 1/4 Dₑ, जिसका अर्थ है कि उनके व्यासों का अनुपात Dₘ/Dₑ = 1/4 है।

उनके आयतन Vₘ और Vₑ के अनुपात का पता लगाने के लिए, हम इस संबंध का उपयोग करते हैं कि एक गोले का आयतन उसके व्यास के घन के समानुपाती होता है: Vₘ/Vₑ = (Dₘ/Dₑ)³

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: Vₘ/Vₑ = (1/4)³ = 1³/4³ = 1/64

इस प्रकार, चंद्रमा के आयतन का पृथ्वी के आयतन से अनुमानित अनुपात 1:64 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

कुल फर्श क्षेत्र = कुल रोगी × प्रति रोगी फर्श क्षेत्र = 56 × 2.2 = 123.2 वर्ग मीटर। चूंकि फर्श क्षेत्र = लंबाई × चौड़ाई, हमारे पास है: 14 × B = 123.2 B = 123.2/14 = 8.8 मीटर।

कुल आयतन = कुल रोगी × प्रति रोगी स्थान = 56 × 8.8 = 492.8 घन मीटर। चूंकि आयतन = फर्श क्षेत्र × ऊँचाई, हमारे पास है: 123.2 × H = 492.8 H = 492.8/123.2 = 4 मीटर।

इस प्रकार, कमरे की चौड़ाई 8.8 मीटर और ऊँचाई 4 मीटर है, जो विकल्प ए से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिसका अर्थ है कि समचतुर्भुज की भुजा विकर्णों की आधी लंबाई से बने समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में कार्य करती है। विकर्ण d₁ और d₂ से भुजा a ज्ञात करने का सूत्र है a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²)। दिए गए मान d₁ = 4.8 सेमी और d₂ = 1.4 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें a = √(2.4² + 0.7²) = √5.76 + 0.49 = √6.25 = 2.5 सेमी प्राप्त होता है। एक समचतुर्भुज की परिधि का सूत्र P = 4a द्वारा दिया जाता है। इसलिए, P = 4 × 2.5 = 10 सेमी, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय के अनुसार, यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खंडों का गुणनफल दूसरी जीवा के खंडों के गुणनफल के बराबर होता है। P पर प्रतिच्छेद करने वाली जीवाओं XY और ZT के लिए, खंड PX, PY और PZ, PT हैं। इस प्रकार, संबंध सूत्र PX ⋅ PY = PZ ⋅ PT द्वारा दिया गया है, जो पुष्टि करता है कि कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, त्रिभुजों PXZ और PTY पर विचार करें। कोण ∠XPZ और कोण ∠YPT शीर्ष कोण हैं, इसलिए ∠XPZ = ∠YPT। इसके अतिरिक्त, ∠PXZ और ∠PTY समान चाप ZY द्वारा बनाए गए अंतर्लिखित कोण हैं, जो उन्हें बराबर बनाते हैं। इसी प्रकार, ∠PZX और ∠PYT समान चाप XT द्वारा बनाए गए कोण हैं, जिसका अर्थ है ∠PZX = ∠PYT। चूंकि सभी तीन संगत कोण बराबर हैं, इसलिए AA समरूपता कसौटी द्वारा ΔPXZ, ΔPTY के समरूप है। इसलिए, कथन 2 भी सही है। कथन 1 और 2 दोनों सत्य हैं, जिससे विकल्प c सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

इसे हल करने के लिए, शीर्ष A और C को जोड़ने वाला एक विकर्ण बनाएं, जो चतुर्भुज ABCD को दो त्रिभुजों, त्रिभुज ABC और त्रिभुज ADC में विभाजित करता है। त्रिभुज ABC में, यह दिया गया है कि BA = BC, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है। समद्विबाहु त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण BAC = कोण BCA। अब त्रिभुज ADC पर विचार करें, जहाँ यह दिया गया है कि CD > AD। किसी भी त्रिभुज में, लंबी भुजा के सम्मुख कोण छोटी भुजा के सम्मुख कोण से बड़ा होता है। इसलिए, कोण DAC > कोण DCA। कुल कोण BAD, कोण BAC और कोण DAC का योग है, जबकि कुल कोण BCD, कोण BCA और कोण DCA का योग है। चूँकि कोण BAC = कोण BCA और कोण DAC > कोण DCA, यह गणितीय रूप से अनुसरण करता है कि कोण BAC + कोण DAC > कोण BCA + कोण DCA। परिणामस्वरूप, कोण BAD > कोण BCD, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: क्षेत्रफल(ΔABC)/क्षेत्रफल(ΔXYZ) = (AB/XY)²

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 32/60.5 = (AB/7.7)²

AB ज्ञात करने के लिए, हम पहले AB² को अलग करते हैं: AB² = (32 × 7.7²)/60.5 AB² = (32 × 59.29)/60.5 AB² = 1897.28/60.5 AB² = 31.36

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: AB = √31.36 = 5.6 cm

इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, हम पाते हैं कि यह विकल्प a) 5.6 cm से मेल खाता है।

व्याख्या

एक चतुर्भुज ABCD चक्रीय होता है यदि वह एक वृत्त में अंकित हो। यह दिया गया है कि AB, CD के समानांतर है, तो यह आकृति समलम्ब चतुर्भुज की परिभाषा को संतुष्ट करती है, क्योंकि इसमें सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समानांतर होता है। एक वृत्त में, दो समानांतर जीवाओं के बीच के चाप बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि चाप AD = चाप BC। चूँकि बराबर चाप बराबर जीवाएँ बनाते हैं, इसलिए AD = BC होता है, जो आकृति को एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के रूप में पहचानता है। विकर्णों के बराबर होने की अतिरिक्त दी गई शर्त, AC = BD, समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुजों का एक मानक गुण है। जबकि एक आयत एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है जो एक समांतर चतुर्भुज भी है, चतुर्भुज को दूसरी भुजाओं के समानांतर होने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, सबसे विशिष्ट गुण जो ऐसे किसी भी चतुर्भुज के लिए सत्य होना चाहिए, वह यह है कि वह एक समलम्ब चतुर्भुज है।

व्याख्या

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 · आधार · ऊंचाई का उपयोग करके निकाला जाता है। त्रिभुज ABC में, चूंकि यह A पर समकोण है, हम AB को आधार और AC को ऊंचाई मान सकते हैं। इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 · AB · AC है।

वैकल्पिक रूप से, यदि हम कर्ण BC को आधार मानते हैं, तो शीर्ष A से BC पर खींचा गया लंब त्रिभुज की ऊंचाई के रूप में कार्य करता है। इस मामले में, त्रिभुज का क्षेत्रफल 1/2 · BC · AD के रूप में व्यक्त किया जाता है।

चूंकि दोनों व्यंजक समान त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करते हैं, हम उन्हें इस प्रकार बराबर कर सकते हैं: 1/2 · BC · AD = 1/2 · AB · AC

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करके, हम भिन्न को समाप्त कर देते हैं: BC · AD = AB · AC

यह विकल्प (a) में दिए गए व्यंजक से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है ∠B = 90° और ∠C = 2∠A, हम समीकरण को ∠A + 90° + 2∠A = 180° के रूप में लिख सकते हैं। इसे हल करने पर 3∠A = 90° प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है ∠A = 30° और परिणामस्वरूप ∠C = 60°। यह त्रिभुज को एक मानक 30°-60°-90° समकोण त्रिभुज के रूप में पहचानता है।

एक 30°-60°-90° त्रिभुज में, कोणों के सम्मुख भुजाएँ 1 : √3 : 2 के अनुपात का पालन करती हैं। विशेष रूप से, 30° के सम्मुख भुजा BC है और 60° के सम्मुख भुजा AB है। ∠C के लिए स्पर्शज्या (tangent) सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास tan(60°) = AB/BC है। चूँकि tan(60°) = √3 है, हमें √3 = AB/BC प्राप्त होता है, जो AB = √3BC को सरल करता है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर AB² = (√3BC)² = 3BC² प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प b सही परिणाम है।

व्याख्या

वृक्षों के शिखर (0, x) और (s, y) पर हैं। उनके बीच की दूरी z है, इसलिए z^2 = (s - 0)^2 + (y - x)^2 = s^2 + y^2 + x^2 - 2xy। s² के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें s^2 = z^2 - x^2 - y^2 + 2xy प्राप्त होता है।

व्याख्या

चूंकि भुजा AC को D तक बढ़ाया जाता है, इसलिए बिंदु A, C और D एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। इसका मतलब है कि कोण ACB और कोण BCD एक रैखिक युग्म बनाते हैं। दिया गया है कि ∠ACB = 70°, हम रैखिक युग्म गुण का उपयोग करके ∠BCD ज्ञात कर सकते हैं: ∠BCD = 180° - ∠ACB = 180° - 70° = 110°।

त्रिभुज BCD में, यह दिया गया है कि BC = CD, जो इसे एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। इसलिए, ∠CBD = ∠CDB। त्रिभुज BCD के लिए त्रिभुज के कोण योग गुण को लागू करने पर, हमारे पास ∠BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180° है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 110° + 2 × ∠CDB = 180°, जो 2 × ∠CDB = 70° को सरल करता है। इस प्रकार, ∠CDB = 35°। चूंकि ∠ADB, ∠CDB के समान है, इसलिए ∠ADB का मान 35° है, जो विकल्प A से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन 1 सही है क्योंकि समचतुर्भुज को एक ऐसे समांतर चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं। किसी भी समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण पहले से ही एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं; यदि वे लंबवत भी हों, तो आकृति एक समचतुर्भुज होनी चाहिए। इस प्रकार, यह कहना कि यह एक समचतुर्भुज हो सकता है, इस गुण के साथ तार्किक रूप से सुसंगत है कि यह एक समचतुर्भुज होना चाहिए।

कथन 2 गलत है क्योंकि बराबर और लंबवत विकर्णों की शर्तें यह गारंटी देने के लिए अपर्याप्त हैं कि एक चतुर्भुज एक वर्ग है। किसी चतुर्भुज के वर्ग होने के लिए, उसके विकर्ण बराबर, लंबवत और एक दूसरे को समद्विभाजित करने वाले भी होने चाहिए। यदि विकर्ण बराबर और लंबवत हैं लेकिन एक दूसरे को समद्विभाजित नहीं करते हैं, तो चतुर्भुज एक पतंग या अन्य अनियमित आकृति हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि विकर्ण d₁ और d₂ दोनों की लंबाई L है और d₁ ⊥ d₂, लेकिन d₁ केवल d₂ को समद्विभाजित करता है और इसके विपरीत नहीं, तो परिणामी आकृति एक पतंग होती है, वर्ग नहीं। इसलिए, कथन 2 असत्य है।

व्याख्या

कथन 1 गलत है क्योंकि वृत्तों का एक मौलिक गुण यह है कि किसी भी जीवा का लम्ब समद्विभाजक हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है। चूँकि वृत्त का केंद्र जीवा के दोनों सिरों से समदूरस्थ होता है (क्योंकि दोनों दूरियाँ त्रिज्या r के बराबर होती हैं), यह उस जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।

कथन 2 सही है क्योंकि यह थेल्स प्रमेय को संदर्भित करता है, जिसमें कहा गया है कि वृत्त की परिधि पर व्यास द्वारा बनाया गया कोई भी कोण समकोण होता है। दूसरे शब्दों में, अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा 90° होता है। चूँकि कथन 1 असत्य है और कथन 2 सत्य है, इसलिए सही विकल्प b) केवल 2 है।

व्याख्या

CF की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम मध्य-बिंदु प्रमेय का उपयोग करते हैं। D से BF के समानांतर एक रेखा खींचिए, जो भुजा AC को बिंदु G पर मिलती है।

ΔADG में, E को माध्यिका AD का मध्य-बिंदु दिया गया है, और EF निर्माण द्वारा DG के समानांतर है। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से खींची गई रेखा दूसरी भुजा के समानांतर होने पर तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। इसलिए, F, AG का मध्य-बिंदु है, जिसका अर्थ है AF = FG।

अब ΔCBF पर विचार करें। चूँकि D, BC का मध्य-बिंदु है (क्योंकि AD माध्यिका है) और DG, BF के समानांतर है, मध्य-बिंदु प्रमेय फिर से बताता है कि G, CF का मध्य-बिंदु है। इस प्रकार, CG = GF।

इन परिणामों को मिलाकर, हमारे पास AF = FG = GC है। चूँकि ये तीन खंड बराबर हैं और इनका योग AC है, प्रत्येक खंड 1/3 AC के बराबर है। CF की लंबाई CG और GF का योग है, जो CF = 1/3 AC + 1/3 AC = 2/3 AC देता है। यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, शीर्षलम्बों का प्रतिच्छेदन बिंदु केन्द्रक, लम्बकेन्द्र और परिकेन्द्र भी होता है। शीर्ष से केन्द्रक तक की दूरी त्रिभुज की परित्रिज्या R होती है। समबाहु त्रिभुज की भुजा a और उसकी परित्रिज्या R के बीच संबंध का सूत्र R = a/√3 है।

दिया गया है OP = 8 सेमी, हम भुजा a ज्ञात करने के लिए इस मान को सूत्र में रखते हैं: 8 = a/√3 a = 8√3 सेमी।

समबाहु त्रिभुज की परिधि का सूत्र परिधि = 3a है। a का मान रखने पर: परिधि = 3 × 8√3 = 24√3 सेमी।

इस प्रकार, त्रिभुज PQR की परिधि 24√3 सेमी है, जो विकल्प d से मेल खाती है।

व्याख्या

एक वृत्त में, परिधि पर समान चाप द्वारा बनाए गए कोण बराबर होते हैं। यहाँ, हमें एक वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज ABC दिया गया है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी आंतरिक कोण 60° के बराबर होते हैं, इसलिए ∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°।

कोण ∠ADB, चाप AB द्वारा बनाया गया है। इसी प्रकार, कोण ∠ACB भी समान चाप AB द्वारा बनाया गया है। वृत्त प्रमेय के अनुसार, जो कहता है कि वृत्त के एक ही खंड में बने कोण बराबर होते हैं, हमारे पास ∠ADB = ∠ACB है। चूँकि त्रिभुज समबाहु है इसलिए ∠ACB = 60° है, इसलिए ∠ADB = 60°। इस प्रकार, विकल्प b सही है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केन्द्रक G उसकी माध्यिकाओं का संगमन बिन्दु होता है। केन्द्रक के गुणों के अनुसार, यह प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्यबिन्दु तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इस प्रकार, शीर्ष से केन्द्रक तक की दूरी GA = 2/3 mₐ, GB = 2/3 mᵦ, और GC = 2/3 m꜀ द्वारा दी जाती है, जहाँ mₐ, mᵦ, और m꜀ क्रमशः शीर्ष A, B, और C से माध्यिकाओं की लम्बाई हैं। ये दूरियाँ केवल तभी बराबर होती हैं जब त्रिभुज समबाहु हो। किसी अन्य त्रिभुज के लिए, माध्यिकाओं की लम्बाई भिन्न होती है, जिससे कथन 1 गलत हो जाता है।

इसी प्रकार, लम्बकेन्द्र H लम्बों का प्रतिच्छेदन होता है। शीर्ष से लम्बकेन्द्र तक की दूरी सूत्र HA = 2R cos A, HB = 2R cos B, और HC = 2R cos C द्वारा दी जाती है, जहाँ R त्रिभुज का परिवृत्त त्रिज्या है। ये दूरियाँ तभी बराबर होती हैं जब cos A = cos B = cos C हो, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समबाहु होना चाहिए। चूँकि कथन 2 यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि त्रिभुज समबाहु है, यह सामान्यतः असत्य है। इसलिए, विकल्प d सही है क्योंकि कोई भी कथन एक सामान्य त्रिभुज के लिए सत्य नहीं है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠A + ∠B + ∠C = 180°। चूँकि BI और CI क्रमशः ∠B और ∠C के कोण समद्विभाजक हैं, त्रिभुज BIC में शीर्ष B और C पर कोण ∠B/2 और ∠C/2 हैं।

त्रिभुज BIC के लिए कोण योग गुण का उपयोग करते हुए, हमारे पास ∠BIC + ∠B/2 + ∠C/2 = 180° है। इसे ∠BIC = 180° - 1/2(∠B + ∠C) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पहले समीकरण से, हम जानते हैं कि ∠B + ∠C = 180° - ∠A। ∠BIC के व्यंजक में इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠BIC = 180° - 1/2(180° - ∠A) मिलता है। इसे सरल करने पर ∠BIC = 180° - 90° + ∠A/2 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠BIC = 90° + ∠A/2 होता है। इसलिए, विकल्प (b) सही संबंध है।

व्याख्या

tan θ + cot θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले इसे sin θ और cos θ के पदों में सूत्र tan θ + cot θ = sin θ/cos θ + cos θ/sin θ = (sin² θ + cos² θ)/(sin θ cos θ) का उपयोग करके व्यक्त करते हैं। चूँकि sin² θ + cos² θ = 1 है, व्यंजक 1/(sin θ cos θ) तक सरल हो जाता है। अब, हम दिए गए समीकरण sin θ + cos θ = √3 का उपयोग करते हैं और गुणनफल sin θ cos θ का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं: (sin θ + cos θ)² = (√3)². बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ = 3 प्राप्त होता है। सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 + 2 sin θ cos θ = 3 प्राप्त होता है। यह 2 sin θ cos θ = 2 तक सरल हो जाता है, जिससे sin θ cos θ = 1 प्राप्त होता है। इस परिणाम को tan θ + cot θ के लिए हमारे सरलीकृत व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1/1 = 1 प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प A सही है।

व्याख्या

इस समस्या में एक समकोण त्रिभुज शामिल है जहाँ खंभा लम्ब (सम्मुख भुजा) का प्रतिनिधित्व करता है और छाया आधार (संलग्न भुजा) का प्रतिनिधित्व करती है। उन्नयन कोण θ ज्ञात करने के लिए, हम स्पर्शज्या (tangent) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हैं:

tan θ = सम्मुख/संलग्न

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

tan θ = x/(x/√3)

हर के व्युत्क्रम (reciprocal) से अंश को गुणा करके भिन्न को सरल बनाने पर:

tan θ = x · √3/x

tan θ = √3

मानक त्रिकोणमितीय मानों से, हम जानते हैं कि tan 60° = √3। इसलिए, सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं।

अंश के लिए, हम संयुक्त कोण सूत्र cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B का उपयोग करते हैं। चूँकि cos 45° = sin 45° = 1/√2 है, हमारे पास है: cos(45° + θ) = 1/√2(cos θ - sin θ) और cos(45° - θ) = 1/√2(cos θ + sin θ)। इन पदों का वर्ग करने पर, अंश बन जाता है: [1/√2(cos θ - sin θ)]² + [1/√2(cos θ + sin θ)]² = 1/2(cos² θ + sin² θ - 2sin θ cos θ) + 1/2(cos² θ + sin² θ + 2sin θ cos θ) = 1/2(1 - sin 2θ) + 1/2(1 + sin 2θ) = 1/2 + 1/2 = 1।

हर के लिए, हम पूरक कोण सर्वसमिका tan(90° - x) = cot x का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि 30° - θ को 90° - (60° + θ) के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार, tan(30° - θ) = tan(90° - (60° + θ)) = cot(60° + θ)। तब हर बन जाता है: tan(60° + θ) × cot(60° + θ) = tan(60° + θ) × 1/tan(60° + θ) = 1।

परिणामों को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1/1 = 1 प्राप्त होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करते हैं। इस व्यंजक का वर्ग अंतर है और इसे (sec θ + tan θ)(sec θ - tan θ) = 1 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। यह देखते हुए कि sec θ + tan θ = m है, हम इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

m(sec θ - tan θ) = 1

sec θ - tan θ = 1/m

अब हमारे पास दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है:

1. sec θ + tan θ = m
2. sec θ - tan θ = 1/m

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर tan θ समाप्त हो जाता है: (sec θ + tan θ) + (sec θ - tan θ) = m + 1/m 2 sec θ = (m² + 1)/m

2 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: sec θ = (m² + 1)/2m

यह विकल्प b के संगत है।

व्याख्या

इस समस्या को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (a sin θ + b cos θ)² + (b sin θ - a cos θ)² = a² + b² का उपयोग करते हैं। यह सर्वसमिका मूल गुण sin² θ + cos² θ = 1 से प्राप्त होती है। व्यंजक 5 sin θ + 12 cos θ = 13 दिया गया है (यह मानते हुए कि sin θ का गुणांक 5 है, जो 5, 12, 13 पाइथागोरस त्रिक पर आधारित है), हम a = 5 और b = 12 की पहचान करते हैं। इन मानों और दिए गए योग को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (13)² + (12 sin θ - 5 cos θ)² = 5² + 12² प्राप्त होता है। यह 169 + (12 sin θ - 5 cos θ)² = 25 + 144 तक सरल हो जाता है, जो आगे 169 + (12 sin θ - 5 cos θ)² = 169 तक कम हो जाता है। दोनों पक्षों से 169 घटाने पर (12 sin θ - 5 cos θ)² = 0 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि 12 sin θ - 5 cos θ = 0। इस परिणाम को -1 से गुणा करने पर 5 cos θ - 12 sin θ = 0 प्राप्त होता है, जो विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई शर्त 4 tan θ = 3 से, हम tan θ = 3/4 का मान ज्ञात कर सकते हैं। व्यंजक (4 sin θ - cos θ)/(4 sin θ + 9 cos θ) का कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करने के लिए, सबसे अच्छा तरीका अंश और हर दोनों को cos θ से विभाजित करना है। यह व्यंजक को tan θ के पदों में परिवर्तित करता है क्योंकि tan θ = sin θ/cos θ।

अंश और हर को cos θ से विभाजित करने पर: ((4 sin θ)/(cos θ) - (cos θ)/(cos θ))/((4 sin θ)/(cos θ) + (9 cos θ)/(cos θ)) = (4 tan θ - 1)/(4 tan θ + 9)

अब, दिए गए मान 4 tan θ = 3 को सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (3 - 1)/(3 + 9) = 2/12 = 1/6

इस प्रकार, व्यंजक का मान 1/6 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

sin theta - cos theta = 0 का अर्थ है sin theta = cos theta, जिसका अर्थ है theta = 45 डिग्री। तब sin^4(45) + cos^4(45) = (1/sqrt(2))^4 + (1/sqrt(2))^4 = 1/4 + 1/4 = 1/2।

व्याख्या

यह मानते हुए कि "cc" का अर्थ cosec है, csc(75 + theta) = 1/sin(75 + theta)। चूँकि sin(75 + theta) = cos(90 - (75 + theta)) = cos(15 - theta), हमारे पास csc(75 + theta) = 1/cos(15 - theta) = sec(15 - theta) है। इसलिए, sec(15 - theta) - sec(15 - theta) = 0।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इसे सूत्र A + B + C = 180° द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि त्रिभुज को C पर समकोण दिया गया है, हमारे पास C = 90° है। इस मान को कोण योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें A + B + 90° = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर A + B = 90° हो जाता है। अब, इस परिणाम को दिए गए व्यंजक cos(A + B) + sin(A + B) में प्रतिस्थापित करें। यह cos(90°) + sin(90°) बन जाता है। मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हुए जहाँ cos(90°) = 0 और sin(90°) = 1 है, गणना 0 + 1 = 1 होती है। इस प्रकार, व्यंजक का मान 1 है, जो विकल्प (c) के संगत है।

व्याख्या

α + β + γ का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करके प्रत्येक न्यून कोण के व्यक्तिगत मान निर्धारित करते हैं। sin α = √3/2 के लिए, संगत न्यून कोण α 60° है। cos β = √3/2 के लिए, संगत न्यून कोण β 30° है। tan γ = 1 के लिए, संगत न्यून कोण γ 45° है।

इन मानों का उपयोग करके, योग की गणना इस प्रकार की जाती है: α + β + γ = 60° + 30° + 45° = 135°

इस परिणाम की दी गई विकल्पों से तुलना करने पर, मान विकल्प c) से मेल खाता है।

व्याख्या

सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का प्रयोग a = sin²(θ) और b = cos²(θ) के साथ करने पर: (sin²(θ) + cos²(θ))³ = sin⁶(θ) + cos⁶(θ) + 3sin²(θ)cos²(θ)(sin²(θ) + cos²(θ))। चूँकि sin²(θ) + cos²(θ) = 1, व्यंजक 1³ = sin⁶(θ) + cos⁶(θ) + 3sin²(θ)cos²(θ)(1) बन जाता है। मान 1 है।

व्याख्या

कथन 1 सही है। sin θ और tan θ की वृद्धि की दरों की तुलना करने के लिए, हम θ के सापेक्ष उनके अवकलजों का विश्लेषण करते हैं। sin θ के परिवर्तन की दर उसके अवकलज cos θ द्वारा दी जाती है, और tan θ के परिवर्तन की दर उसके अवकलज sec² θ द्वारा दी जाती है। पहले चतुर्थांश (0 < θ < π/2) में θ के लिए, cos θ, 1 से शुरू होकर 0 की ओर घटता है, जबकि sec² θ, 1 से शुरू होकर अनंत की ओर बढ़ता है। चूँकि इस अंतराल में sec² θ ≥ cos θ है, tan θ, sin θ की तुलना में तेज़ी से बढ़ता है।

कथन 2 गलत है। sin θ + cos θ का मान हमेशा 1 से अधिक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि θ = 0 है, तो sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1, जो 1 से सख्ती से अधिक नहीं है। यदि θ = π है, तो sin π + cos π = 0 + (-1) = -1। गणितीय रूप से, व्यंजक को सर्वसमिका sin θ + cos θ = √2 sin(θ + π/4) का उपयोग करके पुनः लिखा जा सकता है। इस फलन की सीमा [-√2, √2] है, जिसमें 1 से कम या उसके बराबर कई मान शामिल हैं। इसलिए, केवल कथन 1 सही है, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को हल करने के लिए, हम अंश और हर को सरल बनाने के लिए मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम (tanθ + cotθ) पद को sinθ और cosθ के पदों में व्यक्त करके सरल बनाते हैं: tanθ + cotθ = sinθ/cosθ + cosθ/sinθ = (sin²θ + cos²θ)/(sinθcosθ) सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके, यह 1/(sinθcosθ) बन जाता है।

इसके बाद, हम व्युत्क्रम सर्वसमिकाओं का उपयोग करके हर secθ + cscθ को सरल बनाते हैं: secθ + cscθ = 1/cosθ + 1/sinθ = (sinθ + cosθ)/(sinθcosθ)

अब, इन सरल किए गए पदों को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करते हुए: ((sinθ + cosθ) × 1/(sinθcosθ)) / ((sinθ + cosθ)/(sinθcosθ)) ((sinθ + cosθ)/(sinθcosθ)) / ((sinθ + cosθ)/(sinθcosθ)) = 1

चूंकि अंश और हर समान हैं, व्यंजक 1 तक सरल हो जाता है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

इस त्रिकोणमितीय व्यंजक को हल करने का सबसे तेज़ तरीका θ के लिए एक सुविधाजनक मान प्रतिस्थापित करना है। मान लीजिए θ = 0। चूँकि sin 0 = 0, cos 0 = 1, tan 0 = 0, और sec 0 = 1, इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर ((1 + 1 - 0) · 1)/((1 + 1 + 0) · (1 - 0)) = (2 · 1)/(2 · 1) = 1 प्राप्त होता है। यह तुरंत विकल्प a से मेल खाता है।

इसे बीजगणितीय रूप से सत्यापित करने के लिए, अंश को (1 + sec θ - tan θ)cos θ = cos θ + sec θ cos θ - tan θ cos θ = cos θ + 1 - sin θ के रूप में सरल करें। अब, हर (1 + sec θ + tan θ)(1 - sin θ) पर विचार करें। sec θ और tan θ को sin θ और cos θ के पदों में व्यक्त करके, हमें (1 + (1 + sin θ)/(cos θ))(1 - sin θ) = (cos θ + 1 + sin θ)/(cos θ) · (1 - sin θ) प्राप्त होता है। इस पद के अंश का विस्तार करने पर cos θ - cos θ sin θ + 1 - sin θ + sin θ - sin² θ = cos θ - cos θ sin θ + (1 - sin² θ) = cos θ - cos θ sin θ + cos² θ = cos θ(1 - sin θ + cos θ) प्राप्त होता है। इसे cos θ से विभाजित करने पर, हर 1 - sin θ + cos θ तक सरल हो जाता है। चूँकि सरलीकृत अंश और हर समान हैं, व्यंजक 1 के बराबर है।

व्याख्या

गुब्बारे द्वारा आँख पर बनाया गया कोण 60 डिग्री है, इसलिए केंद्र से स्पर्शरेखा तक का कोण 30 डिग्री है। sin(30) = r / OC, इसलिए OC = 2r। केंद्र का उन्नयन कोण 60 डिग्री है, इसलिए sin(60) = h / OC। h = 2r * (√3/2) = √3r।

व्याख्या

आँकड़ों को समझने योग्य बनाने के लिए विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है, जिनमें सारणियाँ (सारणीबद्ध), ग्राफ़ (ग्राफ़िकल), और आरेख (आरेखीय) शामिल हैं। ये तीनों प्रस्तुति की मानक विधियाँ हैं।

व्याख्या

u, v, w, x, y, z का औसत 10 है, इसलिए उनका योग 10 * 6 = 60 है। नए समुच्चय का योग (u + 10) + (v + 20) + (w + 30) + (x + 40) + (y + 50) + (z + 60) है, जो (u + v + w + x + y + z) + (10 + 20 + 30 + 40 + 50 + 60) के बराबर है। यह 60 + 210 = 270 है। नए समुच्चय का औसत 270 / 6 = 45 है।

व्याख्या

n प्रेक्षणों x₁, x₂, ..., xₙ के एक समुच्चय के अंकगणितीय माध्य m का सूत्र m = (Σ xᵢ)/n द्वारा दिया गया है। इस समस्या में, 7 प्रेक्षण हैं: p, q, r, s, t, u, v। इसलिए, माध्य को m = (p + q + r + s + t + u + v)/7 के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 7m = p + q + r + s + t + u + v।

दिया गया व्यंजक माध्य से प्रत्येक प्रेक्षण के विचलनों का योग है: Σ (xᵢ - m) = (p - m) + (q - m) + (r - m) + (s - m) + (t - m) + (u - m) + (v - m)। पदों को समूहित करके, हम व्यंजक को (p + q + r + s + t + u + v) - (m + m + m + m + m + m + m) के रूप में फिर से लिख सकते हैं, जो (p + q + r + s + t + u + v) - 7m को सरल बनाता है। समीकरण में 7m = p + q + r + s + t + u + v का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें (p + q + r + s + t + u + v) - (p + q + r + s + t + u + v) = 0 प्राप्त होता है। यह पुष्टि करता है कि माध्य से सभी प्रेक्षणों के विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है, जिससे विकल्प a सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

दिया गया कुल बारंबारता N = 20 है, इसलिए N/2 = 10। माध्यक 14.4 है, जो वर्ग अंतराल 12-18 में आता है। माध्यक सूत्र का उपयोग करके: माध्यक = L + ((N/2 - cf)/f) h, जहाँ L = 12, cf = 4 + x, f = 5, और h = 6। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 14.4 = 12 + ((10 - (4 + x)) / 5) 6। सरलीकरण करने पर: 2.4 = ((6 - x) / 5) * 6। 6 से भाग देने पर: 0.4 = (6 - x) / 5। 5 से गुणा करने पर: 2 = 6 - x। इसलिए, x = 4।

व्याख्या

कुल बारंबारता N, 20 दी गई है। दी गई बारंबारताओं का योग करने पर, हमें 4 + x + 5 + y + 1 = 20 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x + y = 10 मिलता है। माध्यक 14.4 दिया गया है, जो वर्ग अंतराल 12-18 के अंतर्गत आता है। इसलिए, माध्यक वर्ग 12-18 है।

समूहबद्ध डेटा के लिए माध्यक सूत्र का उपयोग करते हुए: माध्यक = L + ((N/2 - cf)/f) × h

जहाँ: L = 12 (माध्यक वर्ग की निम्न सीमा) N = 20 (कुल बारंबारता) cf = 4 + x (माध्यक वर्ग से पूर्ववर्ती वर्ग की संचयी बारंबारता) f = 5 (माध्यक वर्ग की बारंबारता) h = 6 (वर्ग चौड़ाई, 18 - 12)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 14.4 = 12 + ((20/2 - (4 + x))/5) × 6 14.4 - 12 = ((10 - 4 - x)/5) × 6 2.4 = 6(6 - x)/5 12 = 36 - 6x 6x = 24 x = 4

संबंध x + y = 10 का उपयोग करते हुए: 4 + y = 10 ⇒ y = 6

x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए: 3x = 3(4) = 12 2y = 2(6) = 12 इस प्रकार, 3x = 2y, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।