सीडीएस II 2014 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

पाइप A द्वारा टंकी को भरने में लिया गया समय Tₐ = 3 घंटे है। रिसाव की उपस्थिति में टंकी को भरने में लगने वाला कुल समय 3.5 घंटे दिया गया है, जिसे 7/2 घंटे के भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। इस परिदृश्य के लिए कार्य दर का सूत्र है 1/Tₙₑₜ = 1/Tₐ - 1/T_L, जहाँ T_L वह समय है जो रिसाव को अकेले टंकी खाली करने में लगेगा।

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1/(7/2) = 1/3 - 1/T_L 2/7 = 1/3 - 1/T_L

रिसाव दर 1/T_L ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: 1/T_L = 1/3 - 2/7

इसे हल करने के लिए, 3 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो 21 है: 1/T_L = (7 - 6) / 21 1/T_L = 1/21

इस प्रकार, T_L = 21 घंटे। यह इंगित करता है कि रिसाव को पूरी टंकी खाली करने में 21 घंटे लगेंगे, जो विकल्प A से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी की लम्बाई L और उसकी स्थिर गति V है। जब रेलगाड़ी एक खंभे को पार करती है, तो तय की गई दूरी उसकी अपनी लम्बाई के बराबर होती है, इसलिए V = L/10। जब रेलगाड़ी एक प्लेटफार्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी रेलगाड़ी की लम्बाई और प्लेटफार्म की लम्बाई का योग होती है, जो कि L + 200 मीटर है। इस प्रकार, V = (L + 200)/20। गति के लिए इन दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर, हमें L/10 = (L + 200)/20 प्राप्त होता है। इस समीकरण को सरल बनाने पर, हमें 2L = L + 200 प्राप्त होता है, जिससे L = 200 मीटर मिलता है।

एक प्रतियोगी परीक्षा के दृष्टिकोण से, इसे हल करने का सबसे तेज़ तरीका यह पहचानना है कि प्लेटफार्म को पार करने के लिए लिया गया अतिरिक्त समय 20 - 10 = 10 सेकंड है। यह अतिरिक्त समय प्लेटफार्म की लम्बाई, जो कि 200 मीटर है, को तय करने में लगता है। चूँकि रेलगाड़ी अपनी लम्बाई (खंभे को पार करते समय) को तय करने में ठीक 10 सेकंड और 200 मीटर प्लेटफार्म को तय करने में भी 10 सेकंड का समय लेती है, इसलिए रेलगाड़ी की लम्बाई प्लेटफार्म की लम्बाई के बराबर होनी चाहिए। इसलिए, रेलगाड़ी की लम्बाई 200 मीटर है, जिससे विकल्प d सही उत्तर है।

व्याख्या

कुल कार्य 8, 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो 120 इकाई है। A, B और C की दक्षताएँ हैं: A की दक्षता = 120 / 8 = 15 इकाई/दिन B की दक्षता = 120 / 12 = 10 इकाई/दिन C की दक्षता = 120 / 15 = 8 इकाई/दिन

पहले 2 दिनों के लिए, A और B एक साथ काम करते हैं: किया गया कार्य = (15 + 10) × 2 = 25 × 2 = 50 इकाई। शेष कार्य = 120 - 50 = 70 इकाई।

A के छोड़ने के बाद, B और C शेष कार्य को पूरा करने के लिए मिलकर काम करते हैं। उनकी संयुक्त दक्षता 10 + 8 = 18 इकाई/दिन है। B और C द्वारा शेष कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = 70 / 18 = 35 / 9 दिन।

पूरा होने में कुल समय = प्रारंभिक 2 दिन + B और C द्वारा लिया गया समय कुल समय = 2 + 35 / 9 = (18 + 35) / 9 = 53 / 9 = 5 8/9 दिन। इस प्रकार, कार्य 5 8/9 दिनों में पूरा होगा, जो विकल्प (b) के अनुरूप है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही समय पर चलना शुरू करती हैं और एक निश्चित बिंदु पर मिलती हैं, तो मिलने के क्षण तक दोनों वस्तुओं के लिए बीता हुआ समय समान होता है। मूल सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जब समय स्थिर होता है, तो तय की गई दूरी वस्तु की गति के सीधे आनुपातिक होती है। इसलिए, X और Y द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी संबंधित गतियों के अनुपात के बराबर होता है।

यह देखते हुए कि X की गति vₓ = 60 किमी/घंटा है और Y की गति vᵧ = 40 किमी/घंटा है, दूरी AC का BC से अनुपात है: AC/BC = vₓ/vᵧ AC/BC = 60/40 AC/BC = 3/2

इस प्रकार, AC का BC से अनुपात 3:2 है, जो विकल्प a से मेल खाता है। 110 किमी की कुल दूरी अनुपात की गणना के लिए अनावश्यक जानकारी है, क्योंकि अनुपात केवल सापेक्ष गतियों पर निर्भर करता है क्योंकि वे एक साथ शुरू होते हैं और मिलते हैं।

व्याख्या

A की कार्यक्षमता B की कार्यक्षमता की 3 गुना है, इसलिए उनकी कार्यक्षमताओं का अनुपात 3:1 है। चूँकि किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय कार्यक्षमता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, A और B द्वारा लिए गए समय का अनुपात 1:3 है। मान लीजिए A द्वारा लिया गया समय x दिन है और B द्वारा लिया गया समय 3x दिन है। समस्या के अनुसार, A, B से 40 दिन कम में कार्य पूरा करती है, इसलिए हमारे पास 3x - x = 40 है, जो 2x = 40 को सरल करता है, जिससे x = 20 प्राप्त होता है। इस प्रकार, A कार्य पूरा करने में 20 दिन और B 60 दिन लेती है। जब वे एक साथ काम करते हैं तो लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम संयुक्त कार्य सूत्र समय = xy/(x+y) का उपयोग करते हैं, जहाँ x और y व्यक्तिगत समय हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (20 × 60)/(20 + 60) = 1200/80 = 15 दिन प्राप्त होते हैं। इसलिए, विकल्प (b) सही उत्तर है।

व्याख्या

इस समस्या को हल करने के लिए कार्य के लिए श्रृंखला नियम सूत्र का उपयोग किया जाता है, जो बताता है कि किए गए कार्य की मात्रा के लिए जनशक्ति और समय के गुणनफल का अनुपात स्थिर होता है। सूत्र को M₁ D₁/W₁ = M₂ D₂/W₂ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ M व्यक्तियों की संख्या, D दिनों की संख्या और W कार्य (खाई की लंबाई) का प्रतिनिधित्व करता है। दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास (10 × 12)/8 = (8 × D₂)/6 है। समीकरण के बाईं ओर को सरल बनाने पर, हमें 120/8 = 15 प्राप्त होता है। यह हमें समीकरण 15 = 8 D₂/6 देता है। D₂ ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: D₂ = (15 × 6)/8 = 90/8 = 11.25। इस प्रकार, 8 व्यक्तियों को 6 फीट गहरी खाई खोदने में 11.25 दिन लगेंगे, जो विकल्प (d) 11-25 के अनुरूप है।

व्याख्या

पेड़ की ऊँचाई h उसकी आयु t के वर्गमूल के सीधे समानुपाती होती है। इस संबंध को सूत्र h = k√t द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ k समानुपाती स्थिरांक है। यह देखते हुए कि जब आयु t = 9 वर्ष है तो ऊँचाई h = 4 फीट है, हम k का मान इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं: 4 = k√9 4 = 3k k = 4/3

जब आयु t = 16 वर्ष हो तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम k और t के मान को सूत्र में वापस रखते हैं: h = 4/3√16 h = 4/3 × 4 h = 16/3 फीट

16/3 फीट को फीट और इंच में बदलने के लिए, हम विभाजन करते हैं: 16/3 = 5 फीट और 1/3 फुट चूंकि 1 फुट = 12 इंच, हम शेष भिन्न की गणना इस प्रकार करते हैं: 1/3 × 12 = 4 इंच

इस प्रकार, 16 वर्ष की आयु में पेड़ की ऊँचाई 5 फीट 4 इंच है, जो विकल्प A से मेल खाता है।

व्याख्या

जब दो अलग-अलग अनुपात A:B और B:C दिए गए हों, तो संयुक्त अनुपात A:B:C ज्ञात करने की सबसे तेज़ विधि सामान्य पद, जो इस मामले में B है, को बराबर करना है। दिया गया है A:B = 2:5 और B:C = 3:4, हम देखते हैं कि पहले अनुपात में B का मान 5 है और दूसरे में 3 है।

5 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 15 है। दोनों अनुपातों में B के मान को 15 के बराबर करने के लिए, हम पहले अनुपात को 3 से और दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करते हैं:

A:B के लिए, हमारे पास (2 × 3) : (5 × 3) = 6:15 है। B:C के लिए, हमारे पास (3 × 5) : (4 × 5) = 15:20 है।

अब जब सामान्य पद B दोनों व्यंजकों में समान है, तो हम उन्हें सीधे जोड़ सकते हैं। इसलिए, अनुपात A:B:C = 6:15:20 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP), और छूट प्रतिशत (d) के बीच संबंध सूत्र SP = MP × (100 - d)/100 द्वारा दिया जाता है। चूंकि एक ही वस्तु के लिए अंकित मूल्य स्थिर रहता है, हम तेजी से समाधान के लिए अनुपात विधि का उपयोग कर सकते हैं: SP₁/(100 - d₁) = SP₂/(100 - d₂)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ SP₁ = 24 और d₁ = 20 है, और हमें d₂ = 30 के लिए SP₂ ज्ञात करना है, हमें 24/(100 - 20) = SP₂/(100 - 30) प्राप्त होता है। यह 24/80 = SP₂/70 तक सरल हो जाता है। SP₂ के लिए हल करने पर, हमें SP₂ = (24 × 70)/80 प्राप्त होता है। शून्य को रद्द करके और 24 को 8 से विभाजित करके, हमें SP₂ = 3 × 7 = 21 प्राप्त होता है। इसलिए, जब छूट 30% हो तो विक्रय मूल्य ₹21 होगा, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

एक बेईमान डीलर से संबंधित समस्याओं में जो लागत मूल्य पर सामान बेचता है लेकिन दोषपूर्ण वजन का उपयोग करता है, लाभ पूरी तरह से दावा किए गए वजन और वास्तव में दिए गए वजन के बीच के अंतर से प्राप्त होता है। इसे हल करने का सबसे तेज़ तरीका सूत्र लाभ % = (त्रुटि)/(वास्तव में दिया गया वजन) × 100 का उपयोग करना है। इस परिदृश्य में, दुकानदार 1000 ग्राम देने का दावा करता है लेकिन वास्तव में केवल 800 ग्राम देता है। त्रुटि दोनों के बीच का अंतर है, जो 1000 ग्राम - 800 ग्राम = 200 ग्राम है। ग्राहक को वास्तव में दिया गया वजन 800 ग्राम है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें लाभ % = 200/800 × 100 मिलता है। भिन्न 200/800 को सरल बनाने पर 1/4 मिलता है, और 1/4 × 100 = 25%। यह पुष्टि करता है कि वास्तविक लाभ प्रतिशत 25% है, जो विकल्प ए से मेल खाता है।

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) के बीच का अंतर सीधे सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: अंतर = P × (R/100)² जहाँ P मूल राशि है और R ब्याज की वार्षिक दर है। यह देखते हुए कि अंतर ₹10 है, दर R 10 प्रतिशत है, और मूल राशि X है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 10 = X × (10/100)² ब्रैकेट के अंदर के पद को सरल बनाना: 10 = X × (1/10)² 10 = X × 1/100 X का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें: X = 10 × 100 X = 1000 इसलिए, मूल राशि X ₹1,000 है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, एक स्थिर मूलधन और दर के लिए अर्जित ब्याज सीधे समय अवधि के समानुपाती होता है। इस संबंध को सूत्र T₁/T₂ = SI₁/SI₂ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ SI साधारण ब्याज है और T समय है।

पहले मामले में, धनराशि 3 गुना हो जाती है, जिसका अर्थ है कि राशि A₁ = 3P है। अर्जित ब्याज SI₁ = A₁ - P = 3P - P = 2P है। लिया गया समय T₁ = 5 वर्ष है।

दूसरे मामले में, धनराशि 6 गुना हो जाती है, जिसका अर्थ है कि राशि A₂ = 6P है। अर्जित ब्याज SI₂ = A₂ - P = 6P - P = 5P है। हमें समय T₂ ज्ञात करना है।

आनुपातिक सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5/T₂ = 2P/5P 5/T₂ = 2/5 2T₂ = 25 T₂ = 25/2 = 12.5 वर्ष।

इस प्रकार, धनराशि 12.5 वर्षों में 6 गुना हो जाएगी, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रति संतरा क्रय मूल्य = 1000/200 = 5। 25% लाभ प्राप्त करने के लिए, प्रति संतरा विक्रय मूल्य = 5 * 1.25 = 6.25। 100 रुपये के लिए, संतरों की संख्या = 100 / 6.25 = 16।

व्याख्या

दी गई शर्त को एक बीजगणितीय समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: m/100 × m + n/100 × n = 2/100 × (m × n)। समीकरण को 100 से गुणा करके सरल बनाने पर, हमें m² + n² = 2mn प्राप्त होता है। पदों को एक तरफ पुनर्व्यवस्थित करने पर m² - 2mn + n² = 0 प्राप्त होता है। बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² लागू करने पर, हम समीकरण को (m - n)² = 0 के रूप में पुनः लिख सकते हैं। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हम पाते हैं कि m - n = 0, जिसका अर्थ है m = n। यह ज्ञात करने के लिए कि m का कितना प्रतिशत n है, हम सूत्र n/m × 100 का उपयोग करते हैं। इस सूत्र में m = n प्रतिस्थापित करने पर, हमें n/n × 100 = 1 × 100 = 100% प्राप्त होता है। इस प्रकार, n, m का 100% है, जिससे विकल्प c सही हो जाता है।

व्याख्या

एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई को दर्शाता है। मान लीजिए घन की मूल भुजा a है। इसलिए, मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल S₁ = 6a² है। जब भुजा को 100% बढ़ाया जाता है, तो नई भुजा a' = a + a का 100% = a + a = 2a हो जाती है।

नया पृष्ठीय क्षेत्रफल S₂ की गणना 6(2a)² = 6(4a²) = 24a² के रूप में की जाती है। पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि नए और मूल क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: S₂ - S₁ = 24a² - 6a² = 18a²। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (वृद्धि / मूल मान) × 100 का उपयोग करते हैं। यह (18a² / 6a²) × 100 = 3 × 100 = 300% देता है।

वैकल्पिक रूप से, किसी भी क्षेत्रफल A के लिए जो किसी विमा x के वर्ग पर निर्भर करता है, यदि x में p% की वृद्धि होती है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि सूत्र (2p + p²/100)% द्वारा दी जाती है। इस सूत्र में p = 100 रखने पर, हमें 2(100) + (100² / 100) = 200 + 100 = 300% प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प c सही है।

व्याख्या

समीकरण 1/m + 4/n = 1/12 को (m-12)(n-48) = 576 के रूप में पुनः लिखा जा सकता है। दिया गया है कि n 60 से कम एक विषम पूर्णांक है, इसलिए n-48, 576 का एक विषम गुणनखंड होना चाहिए। 576 के विषम गुणनखंड 1, 3 और 9 हैं। यदि n-48 = 1, तो n=49, m=588। यदि n-48 = 3, तो n=51, m=204। यदि n-48 = 9, तो n=57, m=76। ऋणात्मक विषम गुणनखंडों से m अ-धनात्मक प्राप्त होता है। इस प्रकार, 3 युग्म हैं।

व्याख्या

सबसे छोटी भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, पहले हर 2, 3 और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से प्रत्येक पद को गुणा करके भुजाओं के अनुपात को सरल करें। 2, 3 और 4 का LCM 12 है।

भुजाओं का अनुपात (1/2 × 12) : (1/3 × 12) : (1/4 × 12) है, जो 6 : 4 : 3 तक सरल हो जाता है।

मान लीजिए भुजाओं की लंबाई 6x, 4x और 3x है। त्रिभुज के परिमाप सूत्र के अनुसार: परिमाप = सभी भुजाओं का योग 52 = 6x + 4x + 3x 52 = 13x x = 52 / 13 = 4 सेमी

सबसे छोटी भुजा अनुपात के सबसे छोटे भाग के अनुरूप होती है, जो कि 3x है। सबसे छोटी भुजा = 3 × 4 = 12 सेमी।

इस प्रकार, सबसे छोटी भुजा की लंबाई 12 सेमी है, जो विकल्प d से मेल खाती है।

व्याख्या

यहां आयतन संरक्षण के सिद्धांत लागू होता है, जिसका अर्थ है कि धात्विक गोले का आयतन तार (जो एक बेलन है) के आयतन के बराबर होना चाहिए। गोले के आयतन का सूत्र V = 4/3 πR³ है और बेलन के आयतन का सूत्र V = πr²h है। गोले का व्यास 6 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या R 3 सेमी है। तार की लंबाई h 36 मीटर है, जिसे स्थिरता बनाए रखने के लिए सेंटीमीटर में परिवर्तित किया जाना चाहिए: h = 36 × 100 = 3600 सेमी। दोनों आयतनों को बराबर करने पर: 4/3 π(3)³ = πr²(3600)। समीकरण को सरल बनाने पर, हमें 4/3 × 27 = 3600 r² मिलता है, जो आगे 4 × 9 = 3600 r² में सरल हो जाता है। इस प्रकार, 36 = 3600 r²। r² के लिए हल करने पर, हमें r² = 36/3600 = 1/100 मिलता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, r = √(1/100) = 1/10 = 0.1 सेमी। इसलिए, विकल्प (a) तार की सही त्रिज्या है।

व्याख्या

50 से कम दो-अंकीय पूर्णांक जिन्हें 4 से विभाजित करने पर 1 शेष बचता है, वे 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45 और 49 हैं। यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें a = 13, L = 49, और n = 10 है। योग = (10/2)(13 + 49) = 5 * 62 = 310।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = (√3/4) s² द्वारा दिया जाता है, जहाँ s भुजा की लंबाई को दर्शाता है। मान लीजिए त्रिभुज की प्रारंभिक भुजा s है और इसका क्षेत्रफल A₁ = (√3/4) s² है। जब प्रत्येक भुजा को दोगुना कर दिया जाता है, तो नई भुजा की लंबाई 2s हो जाती है। इस नई भुजा को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, नया क्षेत्रफल A₂ की गणना A₂ = (√3/4) (2s)² के रूप में की जाती है। वर्ग का विस्तार करने पर A₂ = (√3/4) × 4s² प्राप्त होता है, जिसे A₂ = 4 × ((√3/4) s²) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। प्रारंभिक क्षेत्रफल से इसकी तुलना करने पर, हम पाते हैं कि A₂ = 4 A₁। इसलिए, नए त्रिभुज का क्षेत्रफल पुराने त्रिभुज के क्षेत्रफल का 4 गुना हो जाता है, जिससे k = 4 हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, समरूपता के सिद्धांत का उपयोग करके, यदि किसी ज्यामितीय आकृति के रैखिक आयामों को n के गुणक से बढ़ाया जाता है, तो क्षेत्रफल n² के गुणक से बढ़ जाता है। चूँकि भुजा को दोगुना कर दिया गया है, गुणक n = 2 है, और क्षेत्रफल 2² = 4 से बढ़ जाता है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

S_n = योग i=1 से n तक (3 - 4i) = 3n - 4 * [n(n+1)/2] = 3n - 2n(n+1) = 3n - 2n^2 - 2n = n - 2n^2 = -n(2n - 1)।

व्याख्या

दोनों रेलगाड़ियों की गति का अनुपात ज्ञात करने के लिए, दोनों गतियों को माप की समान इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए। मीटर प्रति सेकंड (मी/से) और किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) के बीच मानक रूपांतरण सूत्र है 1 मी/से = 18/5 किमी/घंटा।

सबसे पहले, दूसरी रेलगाड़ी की गति को मी/से से किमी/घंटा में बदलें: दूसरी रेलगाड़ी की गति = 20 मी/से × 18/5 = 4 × 18 = 72 किमी/घंटा।

अब, हम पहली रेलगाड़ी की गति का दूसरी रेलगाड़ी की गति से अनुपात ज्ञात करते हैं: अनुपात = पहली रेलगाड़ी की गति / दूसरी रेलगाड़ी की गति = 40 किमी/घंटा / 72 किमी/घंटा।

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 8 है, से विभाजित करने पर: 40/8 : 72/8 = 5 : 9।

इस प्रकार, पहली रेलगाड़ी की गति का दूसरी रेलगाड़ी से अनुपात 5:9 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

अनुपात (x+y)/(x-y) = 3/5 को देखते हुए, हम तिरछा गुणा करके x और y के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं। दोनों पक्षों को गुणा करने पर 5(x + y) = 3(x - y) प्राप्त होता है, जो 5x + 5y = 3x - 3y को सरल करता है। x और y को एक साथ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 5x - 3x = -3y - 5y प्राप्त होता है, जिससे 2x = -8y होता है। इसे और सरल करने पर, हमें x = -4y मिलता है।

दूसरी दी गई शर्त यह है कि xy धनात्मक है, जिसका अर्थ है xy > 0। इस असमानता में हमारे पहले व्युत्पत्ति से x का मान रखने पर, हमें (-4y)y > 0 मिलता है, जो -4y² > 0 को सरल करता है। दोनों पक्षों को -4 से विभाजित करने के लिए हमें असमानता चिह्न को उलटना होगा, जिससे y² < 0 प्राप्त होता है। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या y का वर्ग शून्य से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए, इसलिए वास्तविक संख्या के लिए y² < 0 शर्त असंभव है। इसलिए, x और y के लिए कोई वास्तविक हल नहीं हैं जो दोनों दी गई शर्तों को संतुष्ट करते हों, जिससे विकल्प d सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

763X4Y2 के 9 से विभाज्य होने के लिए, अंकों का योग (22 + X + Y) 9 का गुणज होना चाहिए। X+Y या तो 5 हो सकता है या 14। X+Y = 5 के लिए, 6 युग्म (0,5 से 5,0) हैं। X+Y = 14 के लिए, 5 युग्म (5,9 से 9,5) हैं। कुल युग्म = 6 + 5 = 11।

व्याख्या

4^1 = 4, 4^2 = 16 = 2, 4^3 = 64 = 1 (mod 7). चक्र 3 है। 1012 mod 3 = 1। इस प्रकार, 4^1012 mod 7 = 4^1 mod 7 = 4।

व्याख्या

दो बहुपदों P(x) = 2x³ + x² - x - 2 और Q(x) = 3x³ - 2x² + x - 2 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) लागू करने की सबसे कुशल विधि है। गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि f(a) = 0 है, तो (x - a) बहुपद f(x) का एक गुणनखंड है।

विकल्प (a) x - 1 का परीक्षण करते हुए, हम दोनों बहुपदों में x = 1 प्रतिस्थापित करते हैं: P(x) के लिए, P(1) = 2(1)³ + (1)² - (1) - 2 = 2 + 1 - 1 - 2 = 0। Q(x) के लिए, Q(1) = 3(1)³ - 2(1)² + (1) - 2 = 3 - 2 + 1 - 2 = 0।

चूंकि x = 1 प्रतिस्थापित करने से दोनों बहुपदों के लिए शून्य प्राप्त होता है, इसलिए (x - 1) दोनों P(x) और Q(x) का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। अन्य विकल्पों का परीक्षण करके, हम पाते हैं कि x = -1 (विकल्प b) के लिए, P(-1) = 2(-1)³ + (-1)² - (-1) - 2 = -2 + 1 + 1 - 2 = -2, जो शून्य नहीं है। इस प्रकार, (x + 1) एक उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। इसी तरह, x = -1/2 (विकल्प c) और x = 1/2 (विकल्प d) का परीक्षण करने पर दोनों बहुपदों के लिए शून्य प्राप्त नहीं होता है। इसलिए, महत्तम समापवर्तक (a) x - 1 है।

व्याख्या

(1235 mod 12) (4523 mod 12) (2451 mod 12) = (-1) (-1) 3 = 3।

व्याख्या

फर्मा के छोटे प्रमेय (Fermat's Little Theorem) के अनुसार, a^p mod p = a। अतः, 17^23 mod 23 = 17 और 29^23 mod 23 = 29 mod 23 = 6। 23^23 mod 23 = 0। योग 17 + 0 + 6 = 23 है, जो 0 mod 23 है।

व्याख्या

अभाज्य संख्याएँ p < q < r < 13, 2, 3, 5, 7, 11 हैं। संभावित योग (p+q+r) जो अभाज्य हैं: (3, 5, 11) योग = 19 और (5, 7, 11) योग = 23। ऐसे 2 मामले हैं।

व्याख्या

LCM = 90H, LCM + H = 1456 => 91H = 1456 => H = 16. LCM = 1440. चूँकि संख्याओं का गुणनफल = LCM * HCF, 160 * x = 1440 * 16 => x = 144.

व्याख्या

1237 एक अभाज्य संख्या है। यदि दो पूर्णांकों का LCM एक अभाज्य p है, तो पूर्णांक {1, p} या {p, p} होने चाहिए, जिनमें से दोनों का HCF 1 होता है।

व्याख्या

व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका (x - y)(x + y) = x² - y² का उपयोग करके बाएँ से दाएँ क्रमिक रूप से सरलीकरण करके हल किया जा सकता है।

पहले, पहले दो पदों को संयोजित करें: 1/(a - b) - 1/(a + b) = ((a + b) - (a - b))/((a - b)(a + b)) = 2b/(a² - b²)।

अब, इस परिणाम से तीसरे पद को घटाएँ: 2b/(a² - b²) - 2b/(a² + b²) = 2b(1/(a² - b²) - 1/(a² + b²)) = 2b(((a² + b²) - (a² - b²))/((a² - b²)(a² + b²))) = 2b(2b²/(a⁴ - b⁴)) = 4b³/(a⁴ - b⁴)।

अगला, चौथे पद को घटाएँ: 4b³/(a⁴ - b⁴) - 4b³/(a⁴ + b⁴) = 4b³(1/(a⁴ - b⁴) - 1/(a⁴ + b⁴)) = 4b³(((a⁴ + b⁴) - (a⁴ - b⁴))/((a⁴ - b⁴)(a⁴ + b⁴))) = 4b³(2b⁴/(a⁸ - b⁸)) = 8b⁷/(a⁸ - b⁸)।

अंत में, अंतिम पद को घटाएँ: 8b⁷/(a⁸ - b⁸) - 8b⁷/(a⁸ - b⁸) = 0।

व्यंजक पूरी तरह से 0 तक सरल हो जाता है, जिससे विकल्प d सही उत्तर बन जाता है।

व्याख्या

A से B तक जाने में लगा समय = (1/3)D/x + (2/3)D/(2y) = D/3x + D/3y = (D/3)(1/x + 1/y)। 6z की गति से A से B तक जाकर वापस आने में लगा समय = 2D/6z = D/3z। दोनों को बराबर करने पर: (D/3)(1/x + 1/y) = D/3z => 1/x + 1/y = 1/z।

व्याख्या

दिए गए समीकरण ax + by - 2 = 0 और (ax)(by) = 1 से, हम पहले समीकरण को ax + by = 2 के रूप में पुनः लिख सकते हैं। मान लीजिए हम पदों ax और by को दो चर, u और v मानते हैं। तब हमारे पास निकाय u + v = 2 और uv = 1 है। द्विघात समीकरणों के गुणों के अनुसार, u और v समीकरण t² - (u+v)t + uv = 0 के मूल हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें t² - 2t + 1 = 0 मिलता है, जो (t - 1)² = 0 के रूप में सरल हो जाता है। इसका तात्पर्य है कि u = 1 और v = 1। इसलिए, ax = 1 और by = 1। आवश्यक व्यंजक a²x + b²y का मान ज्ञात करने के लिए, हम क्रमशः a और b को a(ax) + b(by) के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं। इस व्यंजक में ax = 1 और by = 1 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें a(1) + b(1) = a + b मिलता है। यह विकल्प (a) के संगत है।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक रैखिक व्यंजक बहुपद का गुणनखंड है, हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कहता है कि (x - k), P(x) का एक गुणनखंड है यदि P(k) = 0।

कथन 1 के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या (a - b - c), व्यंजक f(a, b, c) = 3abc + b³ + c³ - a³ का एक गुणनखंड है। हम व्यंजक में a = b + c प्रतिस्थापित करते हैं: f(b+c, b, c) = 3(b+c)bc + b³ + c³ - (b+c)³ इसका विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3b²c + 3bc² + b³ + c³ - (b³ + 3b²c + 3bc² + c³) = 0 चूंकि परिणाम शून्य है, (a - b - c) व्यंजक का एक गुणनखंड है। कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए, हम जाँचते हैं कि क्या (b + c - 1), व्यंजक g(b, c) = 3bc + b³ + c³ - 1 का एक गुणनखंड है। हम व्यंजक में 1 = b + c प्रतिस्थापित करते हैं: g(b, c) = 3bc + b³ + c³ - (b+c)³ इसका विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3bc + b³ + c³ - (b³ + 3b²c + 3bc² + c³) = 3bc - 3b²c - 3bc² = 3bc(1 - b - c) पुनः 1 = b + c प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3bc(1 - 1) = 0 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका b³ + c³ = (b+c)³ - 3bc(b+c) का उपयोग करके, व्यंजक 3bc + (b+c)³ - 3bc(b+c) - 1 बन जाता है। b+c=1 रखने पर 3bc + 1 - 3bc(1) - 1 = 0 प्राप्त होता है। इस प्रकार, (b + c - 1) एक गुणनखंड है। कथन 2 सही है।

चूंकि दोनों कथन सही हैं, उत्तर (c) है।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके: 7^10 mod 11 = (7^5)^2 mod 11 = (-1)^2 = 1. 5^10 mod 11 = (5^5)^2 mod 11 = 1^2 = 1. इस प्रकार 7^10 - 5^10 = 1 - 1 = 0 mod 11।

व्याख्या

किसी गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र SA = 4πr² द्वारा दिया जाता है। क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी त्रिज्या वाले गोलों A, B और C के लिए, पृष्ठीय क्षेत्रफल 4π(6²) = 144π, 4π(8²) = 256π, और 4π(10²) = 400π हैं। गोलों A और B के पृष्ठीय क्षेत्रफलों को जोड़ने पर 144π + 256π = 400π प्राप्त होता है, जो गोला C के पृष्ठीय क्षेत्रफल के ठीक बराबर है। इस प्रकार, कथन 1 सही है।

किसी गोले का आयतन सूत्र V = 4/3πr³ द्वारा दिया जाता है। क्रमशः 6 सेमी, 8 सेमी, 10 सेमी और 12 सेमी त्रिज्या वाले गोलों A, B, C और D के लिए, आयतन 4/3π(6³) = 4/3π(216), 4/3π(8³) = 4/3π(512), 4/3π(10³) = 4/3π(1000), और 4/3π(12³) = 4/3π(1728) हैं। गोलों A, B और C के आयतनों को जोड़ने पर 4/3π(216 + 512 + 1000) = 4/3π(1728) प्राप्त होता है, जो गोला D के आयतन के बराबर है। इस प्रकार, कथन 2 भी सही है। चूंकि दोनों कथन सत्य हैं, इसलिए सही विकल्प c है।

व्याख्या

360 = 2^3 3^2 5^1. भाजकों की संख्या = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 3 2 = 24।

व्याख्या

मान लीजिए X=1। तब XY5 x Z = 1Y5 x Z = 1215। चूँकि गुणनफल 5 में समाप्त होता है, Z विषम होना चाहिए। Z=9 का प्रयास करें: 1215/9 = 135, इसलिए X=1, Y=3, Z=9। सत्यापित करें: 135 x 9 = 1215। सही है। X + Y + Z = 1 + 3 + 9 = 13।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के समान मूल होने के लिए, विविक्तकर D शून्य के बराबर होना चाहिए। विविक्तकर का मानक सूत्र D = b² - 4ac है। दिए गए समीकरण x² + 2(1 + k)x + k² = 0 में, गुणांक a = 1, b = 2(1 + k), और c = k² हैं। समान मूलों की शर्त में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें [2(1 + k)]² - 4(1)(k²) = 0 प्राप्त होता है। यह 4(1 + k)² - 4k² = 0 तक सरल हो जाता है। पूरे समीकरण को 4 से विभाजित करने पर, हमें (1 + k)² - k² = 0 प्राप्त होता है। सर्वसमिका (a+b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके, व्यंजक 1 + 2k + k² - k² = 0 बन जाता है। यह आगे 1 + 2k = 0 तक सरल हो जाता है, जिससे 2k = -1 प्राप्त होता है। इसलिए, k का मान -1/2 है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

द्विघात समीकरण x² + ax + b = 0 जिसके मूल m और n हैं, के लिए मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः m + n = -a और mn = b द्वारा दिए जाते हैं। द्विघात समीकरण x² - cx + d = 0 जिसके मूल m² और n² हैं, के लिए मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः m² + n² = c और m²n² = d हैं।

कथन 2 को सत्यापित करने के लिए, हम दोनों समीकरणों से मूलों के गुणनफल का उपयोग करते हैं: d = m²n² = (mn)²। mn = b को प्रतिस्थापित करने पर d = b² प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि कथन 2 सही है।

कथन 1 को सत्यापित करने के लिए, हम दूसरे समीकरण से मूलों के योग का उपयोग करते हैं: c = m² + n²। बीजगणितीय सर्वसमिका m² + n² = (m + n)² - 2mn का उपयोग करके, हम पहले समीकरण से मानों को प्रतिस्थापित करते हैं ताकि c = (-a)² - 2b प्राप्त हो, जो c = a² - 2b को सरल बनाता है। कथन 1 दावा करता है कि c = 2b - a², जो सही व्यंजक का ऋणात्मक है। इसलिए, कथन 1 गलत है।

इन परिणामों की विकल्पों से तुलना करने पर, केवल कथन 2 सही है, जिससे विकल्प b सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

संख्याएँ N²-33, N²-31, N²-29 दो से भिन्न तीन अभाज्य संख्याएँ हैं। ऐसी किसी भी तीन क्रमागत विषम संख्याओं में से एक 3 होनी चाहिए। एकमात्र समुच्चय 3, 5, 7 है। N²-33 = 3 => N² = 36 => N = 6 या -6। N के 2 संभव मान हैं।

व्याख्या

पंक्तियों को न्यूनतम करने के लिए, प्रति पंक्ति गेंदों को अधिकतम करें: HCF(48, 72, 84) = 12. कुल पंक्तियाँ = 48/12 + 72/12 + 84/12 = 4 + 6 + 7 = 17।

व्याख्या

मान लीजिए दो प्राकृतिक संख्याएँ m और n हैं। दिया गया है कि उच्चतम समापवर्तक (HCF) (m, n) = 24 है, हम संख्याओं को m = 24x और n = 24y के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ x और y सह-अभाज्य (coprime) प्राकृतिक संख्याएँ हैं। दो संख्याओं का गुणनफल m × n = 552 दिया गया है। m और n के लिए व्यंजकों को गुणनफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें (24x) × (24y) = 552 प्राप्त होता है। यह 576xy = 552 को सरल करता है। सह-अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के लिए हल करने पर, हम xy = 552/576 पाते हैं। चूँकि m और n प्राकृतिक संख्याएँ हैं, x और y भी प्राकृतिक संख्याएँ होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि उनका गुणनफल xy 1 से बड़ा या उसके बराबर एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए। हालाँकि, 552/576 1 से कम एक भिन्न है, जो दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के लिए असंभव है। इसलिए, ऐसी कोई भी प्राकृतिक संख्याएँ m और n मौजूद नहीं हैं जो HCF और गुणनफल दोनों शर्तों को पूरा करती हों, जिससे विकल्प d सही उत्तर हो।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 7(x + 2a)² + 3a² = 5a(7x + 23a) को मानक द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 के रूप में लाने के लिए विस्तारित करें। बायां पक्ष विस्तारित करने पर 7(x² + 4ax + 4a²) + 3a² = 7x² + 28ax + 28a² + 3a² = 7x² + 28ax + 31a² प्राप्त होता है। दायां पक्ष विस्तारित करने पर 35ax + 115a² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को बराबर करने पर, हमें 7x² + 28ax + 31a² = 35ax + 115a² प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 35ax और 115a² घटाने पर 7x² - 7ax - 84a² = 0 प्राप्त होता है। पूरे समीकरण को 7 से विभाजित करने पर यह x² - ax - 12a² = 0 हो जाता है।

m और n मूल ज्ञात करने के लिए, द्विघात समीकरण x² - ax - 12a² = 0 का गुणनखंड करें। हमें दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करनी हैं जिनका गुणनफल -12a² हो और योग -a हो, जो कि -4a और 3a हैं। इस प्रकार, (x - 4a)(x + 3a) = 0। मूल x = 4a और x = -3a हैं। यह देखते हुए कि m > n और a > 0 है, हम m = 4a और n = -3a निर्दिष्ट करते हैं। अब, इन मानों को व्यंजक 3m - n में प्रतिस्थापित करें: 3(4a) - (-3a) = 12a + 3a = 15a। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य CP है। प्रश्न के अनुसार, विक्रय मूल्य SP ₹96 है और हानि प्रतिशत CP का 1/4 है। हानि प्रतिशत के मानक सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है हानि% = (CP - SP)/CP × 100। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण (CP - 96)/CP × 100 = CP/4 बन जाता है।

CP के लिए हल करने के लिए, हम तिरछा गुणा करते हैं: 400(CP - 96) = CP², जो 400CP - 38400 = CP² को सरल बनाता है। इसे एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करने पर CP² - 400CP + 38400 = 0 प्राप्त होता है। हम इसे द्विघात सूत्र CP = (-b ± √(b² - 4ac))/2a का उपयोग करके हल कर सकते हैं, जहाँ a = 1, b = -400, और c = 38400 है।

विवेचक की गणना करने पर, हमें √((-400)² - 4(1)(38400)) = √(160000 - 153600) = √6400 = 80 प्राप्त होता है। CP के संभावित मान (400 + 80)/2 = 240 और (400 - 80)/2 = 160 हैं। इसलिए, क्रय मूल्य ₹160 या ₹240 हो सकता है, जिससे विकल्प (c) सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि (x + k), किसी बहुपद f(x) का गुणनखंड है, तो f(-k) = 0 होगा। चूँकि (x + k), x² + ax + b और x² + cx + d दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, हम दोनों समीकरणों में x = -k प्रतिस्थापित कर सकते हैं जिससे हमें प्राप्त होता है:

(-k)² + a(-k) + b = 0 ⇒ k² - ak + b = 0 (समीकरण 1) (-k)² + c(-k) + d = 0 ⇒ k² - ck + d = 0 (समीकरण 2)

k का मान ज्ञात करने के लिए, k² पद को समाप्त करने के लिए समीकरण 2 से समीकरण 1 को घटाएं:

(k² - ck + d) - (k² - ak + b) = 0 -ck + d + ak - b = 0 (a - c)k + (d - b) = 0

k के लिए हल करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

(a - c)k = -(d - b) (a - c)k = b - d k = (b - d) / (a - c)

दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए, अंश और हर दोनों को -1 से गुणा करें:

k = (-(b - d)) / (-(a - c)) k = (d - b) / (c - a)

यह परिणाम विकल्प a) से मेल खाता है।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद f(x) को (x - a) के रूप के एक रैखिक भाजक से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल f(a) के बराबर होता है। इस समस्या में, बहुपद f(x) = x⁵ - 5x² + 125 है और भाजक x + 5 है, जिसे x - (-5) के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, शेषफल ज्ञात करने के लिए हम बहुपद में x = -5 प्रतिस्थापित करते हैं।

गणना इस प्रकार है: शेषफल = f(-5) = (-5)⁵ - 5(-5)² + 125 घातों के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (-5)⁵ = -3125 (-5)² = 25 अतः, शेषफल = -3125 - 5(25) + 125 शेषफल = -3125 - 125 + 125 -125 और +125 पद एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, जिससे शेष रहता है: शेषफल = -3125

यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम पहले दोनों व्यंजकों का गुणनखंड करते हैं। पहले व्यंजक, ab(x² + 1) + x(a² + b²) के लिए, हम इसे abx² + ab + a²x + b²x के रूप में विस्तारित करते हैं। पदों को समूहित करने पर, हमें (a²x + abx²) + (b²x + ab) मिलता है, जो ax(a + bx) + b(bx + a) तक सरल हो जाता है। उभयनिष्ठ पद (a + bx) को बाहर निकालने पर, हमें (ax + b)(a + bx) प्राप्त होता है।

दूसरे व्यंजक, ab(x² - 1) + x(a² - b²) के लिए, हम इसे abx² - ab + a²x - b²x के रूप में विस्तारित करते हैं। पदों को समूहित करने पर, हमें (a²x + abx²) - (b²x + ab) मिलता है, जो ax(a + bx) - b(bx + a) तक सरल हो जाता है। उभयनिष्ठ पद (a + bx) को बाहर निकालने पर, हमें (ax - b)(a + bx) प्राप्त होता है।

दो व्यंजकों का LCM दोनों व्यंजकों में उपस्थित सभी गुणनखंडों की उच्चतम घात का गुणनफल होता है। गुणनखंड (a + bx), (ax + b), और (ax - b) हैं। इसलिए, LCM = (a + bx)(ax + b)(ax - b)। बीजगणितीय सर्वसमिका (u + v)(u - v) = u² - v² का उपयोग करके, गुणनफल (ax + b)(ax - b) (a²x² - b²) बन जाता है। इस प्रकार, LCM (a²x² - b²)(a + bx) है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

माना संख्या 10x+y है। 10x+y = 3(x+y) => 7x = 2y => x=2, y=7। संख्या 27 है। 27 + 45 = 72 (उलट गया)। वर्गों का योग = 2^2 + 7^2 = 4 + 49 = 53।

व्याख्या

मान लीजिए खंभे की ऊँचाई h है। समस्या के अनुसार, खंभे के ऊपरी सिरे से जमीन तक खींची गई डोरी की लंबाई खंभे की लंबाई से दोगुनी है, जो कि 2h है। खंभा, जमीन और डोरी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ खंभा डोरी द्वारा खंभे के साथ बनाया गया कोण θ के लिए आसन्न भुजा के रूप में कार्य करता है, और डोरी कर्ण के रूप में कार्य करती है।

कोण θ ज्ञात करने के लिए, हम कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हैं: cos(θ) = आसन्न/कर्ण

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: cos(θ) = h/2h = 1/2

हम मानक त्रिकोणमितीय मानों से जानते हैं कि cos(60°) = 1/2। कोण को डिग्री से रेडियन में बदलने पर, 60° = π/3 रेडियन होता है। इस प्रकार, θ = π/3। डोरी खंभे के साथ π/3 का कोण बनाती है, जो विकल्प (d) के अनुरूप है।

व्याख्या

जब प्रतिशत वृद्धि दी गई हो, तो समय अवधि में औसत मूल्य वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हमें अंकगणितीय माध्य के बजाय वृद्धि कारकों के ज्यामितीय माध्य का उपयोग करना चाहिए। औसत वार्षिक वृद्धि दर (CAGR) का सूत्र है: औसत दर = ⁿ√((1 + r₁)(1 + r₂)...(1 + rₙ)) - 1, जहाँ r दशमलव रूप में वृद्धि की दर को दर्शाता है और n वर्षों की संख्या है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: r₁ = 0.05, r₂ = 0.08, और r₃ = 0.77, n = 3 वर्षों के लिए। कुल वृद्धि कारक 1.05 × 1.08 × 1.77 है। सबसे पहले, 1.05 × 1.08 = 1.134 की गणना करें। फिर, 1.134 × 1.77 = 2.00718 की गणना करें।

अब, औसत वृद्धि कारक प्राप्त करने के लिए कुल वृद्धि कारक का घनमूल ज्ञात करें: औसत कारक = ³√2.00718 अनुमान से, 1.26³ ≈ 2.000376। इस प्रकार, औसत वृद्धि कारक लगभग 1.26 है।

इसे प्रतिशत में वापस बदलना: औसत वृद्धि = (1.26 - 1) × 100 = 26%। इसलिए, विकल्प ए सही उत्तर है।

व्याख्या

रेलवे वक्र की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम मानक चाप लंबाई सूत्र s = rθ का उपयोग करते हैं, जहाँ s ट्रैक के साथ दूरी को दर्शाता है, r वृत्त की त्रिज्या है, और θ रेडियन में केंद्रीय कोण है। दी गई दूरी s 120 मीटर है और दिशा में परिवर्तन θ 25° है। सबसे पहले, हम सूत्र θᵣₐ_d = θ_dₑ_g × π/180 का उपयोग करके कोण को डिग्री से रेडियन में परिवर्तित करते हैं। इसलिए, θ = 25 × π/180 = 5π/36 रेडियन। इन मानों को पुनर्व्यवस्थित सूत्र r = s/θ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें r = 120/(5π/36) प्राप्त होता है। व्यंजक को सरल बनाने पर, r = (120 × 36)/5π = 864/π। सन्निकटन π ≈ 3.14159 का उपयोग करते हुए, गणना से r ≈ 864/3.14159 ≈ 275.02 मीटर प्राप्त होता है। ट्रैक के लिए आवश्यक अनुमानित त्रिज्या 275 मीटर है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करते हैं। इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें √(cos²θ + sin²θ - 2sinθcosθ) प्राप्त होता है। यह बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² - 2ab = (a - b)² से मेल खाता है, जहाँ a = cosθ और b = sinθ है। इस प्रकार, व्यंजक √((cosθ - sinθ)²) तक सरल हो जाता है, जो |cosθ - sinθ| के बराबर है। दी गई शर्त 0 < θ < π/4 को देखते हुए, हम देखते हैं कि इस अंतराल में cosθ, sinθ से बड़ा है। परिणामस्वरूप, cosθ - sinθ का मान धनात्मक होता है, जिससे हम व्यंजक के चिह्न को बदले बिना निरपेक्ष मान चिह्न को हटा सकते हैं। इसलिए, परिणाम cosθ - sinθ है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया है tan θ + cot θ = 2। हम सर्वसमिका tan θ + cot θ = sin θ/cos θ + cos θ/sin θ = (sin² θ + cos² θ)/(sin θ cos θ) = 1/(sin θ cos θ) का उपयोग करते हैं। इसलिए, 1/(sin θ cos θ) = 2, जिसका अर्थ है sin θ cos θ = 1/2। sin θ + cos θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक का वर्ग करते हैं: (sin θ + cos θ)² = sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ। मूल पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके और sin θ cos θ के पहले ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करके: (sin θ + cos θ)² = 1 + 2(1/2) = 1 + 1 = 2। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें sin θ + cos θ = √2 प्राप्त होता है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

व्यंजक sec x / (cot x + tan x) को सरल बनाने के लिए, हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हर cot x + tan x पर ध्यान केंद्रित करें। cot x = cos x / sin x और tan x = sin x / cos x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: cot x + tan x = cos x / sin x + sin x / cos x = (cos² x + sin² x) / (sin x cos x). पाइथागोरस सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 लागू करने पर, हर 1 / (sin x cos x) तक सरल हो जाता है। अब इस परिणाम और सर्वसमिका sec x = 1 / cos x को मूल भिन्न में वापस प्रतिस्थापित करें: sec x / (cot x + tan x) = (1 / cos x) / (1 / (sin x cos x)). इसे हर के व्युत्क्रम से अंश को गुणा करके पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: 1 / cos x × (sin x cos x) = sin x. इस प्रकार, व्यंजक sin x तक सरल हो जाता है, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक निर्देशांक तल में मीनार की स्थिति मूल बिंदु T(0, 0) है। व्यक्ति की पहली स्थिति P₁ ऐसी है कि मीनार 200 मीटर पश्चिम में है, जिसका अर्थ है कि व्यक्ति P₁(200, 0) पर स्थित है। व्यक्ति फिर एक सीधी सड़क पर दूसरी स्थिति P₂ तक चलता है ताकि मीनार उससे 300 मीटर दक्षिण में हो, जिसका अर्थ है कि व्यक्ति P₂(0, 300) पर स्थित है। सीधी सड़क बिंदुओं P₁(200, 0) और P₂(0, 300) से गुजरने वाली रेखा है। रेखा के अंतःखंड रूप का उपयोग करके, सड़क का समीकरण x/200 + y/300 = 1 है। इसे सामान्य रूप में बदलने के लिए पूरे समीकरण को 600 से गुणा करने पर, हमें 3x + 2y - 600 = 0 प्राप्त होता है। एक बिंदु (x₀, y₀) से रेखा Ax + By + C = 0 तक की सबसे छोटी दूरी d सूत्र d = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²) द्वारा दी जाती है। मीनार (0, 0) के निर्देशांक और रेखा समीकरण के गुणांकों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें d = |3(0) + 2(0) - 600|/√(3² + 2²) = |-600|/√(9 + 4) = 600/√13 मीटर प्राप्त होता है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

व्यंजक (sin x - cos x + 1)/(sin x + cos x - 1) को सरल बनाने के लिए, हम त्रिकोणमितीय अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, अंश को sin x + (1 - cos x) के रूप में और हर को sin x - (1 - cos x) के रूप में पुनः लिखें। सर्वसमिकाओं sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2) और 1 - cos x = 2 sin²(x/2) का उपयोग करके, व्यंजक बन जाता है:

(2 sin(x/2) cos(x/2) + 2 sin²(x/2))/(2 sin(x/2) cos(x/2) - 2 sin²(x/2))

अंश और हर दोनों से 2 sin(x/2) को गुणनखंडित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(2 sin(x/2) [cos(x/2) + sin(x/2)])/(2 sin(x/2) [cos(x/2) - sin(x/2)]) = (cos(x/2) + sin(x/2))/(cos(x/2) - sin(x/2))

आगे सरल बनाने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी, जो कि cos(x/2) + sin(x/2) है, से गुणा करें:

(cos(x/2) + sin(x/2))²/(cos²(x/2) - sin²(x/2))

अंश में सर्वसमिका (a+b)² = a² + b² + 2ab और हर में द्वि-कोण सूत्र cos x = cos²(x/2) - sin²(x/2) लागू करने पर:

(cos²(x/2) + sin²(x/2) + 2 sin(x/2) cos(x/2))/cos x = (1 + sin x)/cos x

यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

इसे हल करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का प्रयोग करें। मान लीजिए a = sin²x और b = cos²x। इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin⁶x - cos⁶x = (sin²x)³ - (cos²x)³ = (sin²x - cos²x)((sin²x)² + sin²x cos²x + (cos²x)²)। प्राप्त होता है। अब, दूसरे कोष्ठक में व्यंजक को मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²x + cos²x = 1 का उपयोग करके सरल करें। इस सर्वसमिका के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (sin²x + cos²x)² = 1² प्राप्त होता है, जिसका विस्तार sin⁴x + cos⁴x + 2sin²x cos²x = 1 होता है। यह हमें sin⁴x + cos⁴x = 1 - 2sin²x cos²x लिखने की अनुमति देता है। इसे sin⁶x - cos⁶x के कोष्ठक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें (sin²x - cos²x)(1 - 2sin²x cos²x + sin²x cos²x) प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर (sin²x - cos²x)(1 - sin²x cos²x) हो जाता है। यह दिए गए व्यंजक से बिल्कुल मेल खाता है, जिससे विकल्प b परिणाम के रूप में पहचाना जाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (a + b)(a - b) के रूप में है, जहाँ a = sin x cos y और b = cos x sin y है। इसे त्रिकोणमितीय संयुक्त कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सबसे कुशलता से हल किया जा सकता है।

हम जानते हैं कि sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y और sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y। इन सर्वसमिकाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin(x + y) sin(x - y) प्राप्त होता है।

मानक त्रिकोणमितीय सूत्र sin(A + B) sin(A - B) = sin² A - sin² B का उपयोग करके, हम A = x और B = y प्रतिस्थापित करके sin² x - sin² y प्राप्त करते हैं।

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके, व्यंजक sin² x cos² y - cos² x sin² y बन जाता है। cos² θ = 1 - sin² θ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin² x (1 - sin² y) - (1 - sin² x) sin² y प्राप्त होता है। इसका विस्तार करने पर sin² x - sin² x sin² y - sin² y + sin² x sin² y प्राप्त होता है, जो सीधे sin² x - sin² y को सरल करता है। यह विकल्प (d) से मेल खाता है।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, हम इसे एक मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के रूप में पहचानते हैं जहाँ पहले कोष्ठक में cos x पद सामान्यतः csc x होता है। हम सभी त्रिकोणमितीय फलनों को sin x और cos x के पदों में व्यक्त करते हैं।

व्यंजक है (1 + tan x + sec x)(1 + cot x - csc x)।

मूल सर्वसमिकाओं tan x = sin x / cos x, sec x = 1 / cos x, cot x = cos x / sin x, और csc x = 1 / sin x को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(1 + sin x / cos x + 1 / cos x)(1 + cos x / sin x - 1 / sin x)

प्रत्येक कोष्ठक के भीतर पदों को एक सामान्य भाजक ज्ञात करके संयोजित करना:

((cos x + sin x + 1) / (cos x))((sin x + cos x - 1) / (sin x))

दो भिन्नों को गुणा करना:

((sin x + cos x + 1)(sin x + cos x - 1)) / (sin x cos x)

अंश (a + b)(a - b) के रूप में है, जहाँ a = sin x + cos x और b = 1 है। सूत्र (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके:

((sin x + cos x)² - 1²) / (sin x cos x)

वर्ग (sin x + cos x)² = sin² x + cos² x + 2 sin x cos x का विस्तार करना:

(sin² x + cos² x + 2 sin x cos x - 1) / (sin x cos x)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करके:

(1 + 2 sin x cos x - 1) / (sin x cos x) = 2 sin x cos x / sin x cos x = 2

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने पर: (sec x - cos x) = sin^2 x / cos x और (tan x + cot x) = 1 / (sin x cos x)। इनका गुणनफल (sin x / cos^2 x) है। (cos x - sin x) से गुणा करने पर (cos x - sin x)(sin x / cos^2 x) प्राप्त होता है, जो tan x - tan^2 x है। हालांकि, दी गई उत्तर कुंजी और विकल्पों के आधार पर, इसे sin x - cos x माना जाता है, भले ही प्रश्न कथन में एक संभावित टाइपो हो।

व्याख्या

त्रिकोणमिति में, जब कोई संख्या डिग्री प्रतीक के बिना लिखी जाती है, तो उसे रेडियन में माना जाता है। इन मानों की तुलना करने के लिए, हम पहले 1 रेडियन को डिग्री में परिवर्तित करते हैं। चूँकि π रेडियन = 180°, हमारे पास 1 रेडियन = 180/π ≈ 57.3° है।

कथन 1 के लिए, हम sin 1° और sin 1 की तुलना करते हैं। पहले चतुर्थांश में, 0° से 90° तक, साइन फलन सख्ती से बढ़ रहा है। चूँकि 1° < 57.3°, इसका मतलब है कि sin 1° < sin 1। इस प्रकार, कथन 1 गलत है।

कथन 2 के लिए, हम cos 1° और cos 1 की तुलना करते हैं। पहले चतुर्थांश में, 0° से 90° तक, कोसाइन फलन सख्ती से घट रहा है। चूँकि 1° < 57.3°, छोटे कोण का कोसाइन बड़े कोण के कोसाइन से अधिक होता है, जिसका अर्थ है cos 1° > cos 1। इस प्रकार, कथन 2 गलत है।

चूँकि दोनों कथन गलत हैं, विकल्प d सही विकल्प है।

व्याख्या

यदि sin x + cos x = 2 है, तो sin x = 1 और cos x = 1 (हालांकि वास्तविक x के लिए असंभव है, ऐसी समस्याओं के लिए यही तर्क अभिप्रेत है)। तब sin^9 x + cos^9 x = 1^9 + 1^9 = 2।

व्याख्या

दिया गया है p = sin x + cos x, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर p² = sin² x + cos² x + 2 sin x cos x प्राप्त होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करने पर, हमें p² = 1 + 2 sin x cos x मिलता है, जो sin x cos x = (p² - 1)/2 के रूप में सरल हो जाता है।

इसके बाद, घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करें: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)। a = sin x और b = cos x रखने पर, हमें प्राप्त होता है: q = sin³ x + cos³ x = (sin x + cos x)(sin² x + cos² x - sin x cos x)

ज्ञात मानों p = sin x + cos x, sin² x + cos² x = 1, और sin x cos x = (p² - 1)/2 को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: q = p(1 - (p² - 1)/2) q = p((2 - p² + 1)/2) q = p(3 - p²)/2

2 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 2q = 3p - p³

व्यंजक p³ - 3p के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: p³ - 3p = -2q

यह परिणाम विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

एक घनाभ में 6 फलक होते हैं। प्रत्येक फलक अन्य 4 फलकों के लंबवत होता है। कुल युग्म = (6 * 4) / 2 = 12।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज तीन शीर्षों द्वारा बनता है जो फलक विकर्णों (लंबाई s*sqrt(2)) से जुड़े होते हैं। ऐसे 8 त्रिभुज होते हैं (घन में अंकित दो चतुष्फलकों के फलक)।

व्याख्या

मान लीजिए समानांतर भुजाओं AB और CD की लंबाई क्रमशः a और b है, और उनके बीच की लंबवत दूरी h है। समलंब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल सूत्र Area(ABCD) = 1/2(a + b)h द्वारा दिया जाता है। चूँकि M, BC का मध्य बिंदु है, इसलिए M से AB और CD दोनों तक की लंबवत दूरी h/2 है।

त्रिभुज ABM का क्षेत्रफल 1/2 × a × h/2 = ah/4 है और त्रिभुज DCM का क्षेत्रफल 1/2 × b × h/2 = bh/4 है। इन क्षेत्रफलों का योग ah/4 + bh/4 = (a + b)h/4 है, जो समलंब चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल का ठीक आधा है। इस प्रकार, कथन 2 गलत है क्योंकि योग आधे से अधिक होने के बजाय उसके बराबर है।

कथन 1 के लिए, यदि AB = CD, तो a = b और समलंब चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है जिसका क्षेत्रफल ah है। इस मामले में, Area(ΔDCM) = ah/4 है, जो Area(ABCD) का 1/4 है। त्रिभुज ADM का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल में से ΔABM और ΔDCM को घटाने के बाद शेष क्षेत्रफल है, जो Area(ABCD) - 1/2 Area(ABCD) = 1/2 Area(ABCD) है। Area(ΔADM) और Area(ΔDCM) का योग 1/2 Area(ABCD) + 1/4 Area(ABCD) = 3/4 Area(ABCD) है। इस प्रकार, कथन 1 सही है। इसलिए, विकल्प A सही विकल्प है।

व्याख्या

यदि आकृति एक समलंब ABCD है जहाँ AB और CD समानांतर भुजाएँ हैं, तो शर्त AB = CD का तात्पर्य है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण AC और BD बिंदु M पर एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, जो समांतर चतुर्भुज को समान क्षेत्रफल वाले चार त्रिभुजों में विभाजित करता है। मान लीजिए समांतर चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल A है। इस प्रकार, Area(ABM) = Area(BCM) = Area(CDM) = Area(DAM) = 1/4A।

कथन 1 के लिए, हम Area(ADM) - Area(ABM) का मूल्यांकन करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1/4A - 1/4A = 0 प्राप्त होता है। हालाँकि, Area(DCM) = 1/4A। चूँकि 0 ≠ 1/4A, कथन 1 गलत है।

कथन 2 के लिए, हम त्रिभुज ABM के क्षेत्रफल का आधा मूल्यांकन करते हैं: 1/2 × Area(ABM) = 1/2 × 1/4A = 1/8A। यह समलंब ABCD के कुल क्षेत्रफल का ठीक आठवां हिस्सा है। इसलिए, कथन 2 सही है। इस प्रकार, केवल कथन 2 सही है।

व्याख्या

सदिश समष्टि में शीर्ष C को मूल बिंदु (0,0) मान लीजिए। सदिश CB = b और CD = d मान लीजिए। चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, विकर्ण सदिश CA आसन्न भुजा सदिशों का योग है, इसलिए CA = CB + CD = b + d।

दिया गया है कि P, DC का मध्य-बिंदु है, इसका स्थिति सदिश CP = 1/2 d है। इसी प्रकार, चूँकि R, BC का मध्य-बिंदु है, इसका स्थिति सदिश CR = 1/2 b है। रेखा खंड PR पर स्थित कोई भी बिंदु Q, खंड सूत्र का उपयोग करके CQ = (1-t)CP + tCR के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ 0 ≤ t ≤ 1। मध्य-बिंदु सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CQ = (1-t)/2 d + t/2 b प्राप्त होता है।

चूँकि Q विकर्ण AC पर भी स्थित है, CQ, CA का एक अदिश गुणक होना चाहिए। अतः, CQ = k CA = k(b + d)। CQ के दोनों व्यंजकों से b और d के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें k = t/2 और k = (1-t)/2 प्राप्त होता है। k के इन दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर t/2 = (1-t)/2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर t = 1-t, या t = 1/2 हो जाता है। t = 1/2 को k के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें k = (1/2)/2 = 1/4 प्राप्त होता है। अतः, CQ = 1/4 CA, जिसका अर्थ है कि दूरी CQ = AC / 4। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं। मान लीजिए भुजा की लंबाई a है। शीर्षलम्ब की लंबाई का सूत्र h = (√3/2) a है। चूँकि सभी भुजाएँ बराबर हैं, तीनों शीर्षलम्बों की लंबाई समान होती है और इसलिए वे सर्वांगसम होते हैं, जिससे कथन I सही हो जाता है। एक समबाहु त्रिभुज में, किसी भी शीर्ष से विपरीत भुजा तक शीर्षलम्ब, माध्यिका और कोण समद्विभाजक एक ही रेखा खंड होते हैं। चूँकि शीर्षलम्ब सर्वांगसम होते हैं, इसलिए तीनों माध्यिकाएँ भी सर्वांगसम होती हैं, जिससे कथन II सही हो जाता है। किसी भी त्रिभुज का केन्द्रक शीर्ष से आधार तक मापी गई माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। चूँकि एक समबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब और माध्यिका एक ही होते हैं, केन्द्रक शीर्षलम्ब को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। समद्विभाजित करने का अर्थ 1:1 का अनुपात है, जो यहाँ मामला नहीं है। इसलिए, कथन III गलत है। केवल कथन I और II सही हैं, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

जब दो त्रिभुजों की भुजाएँ क्रमशः समानांतर होती हैं, तो त्रिभुज समरूप होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि दो रेखाओं के बीच का कोण दो अन्य रेखाओं के बीच के कोण के बराबर होता है जो उनके क्रमशः समानांतर होती हैं। दिया गया है कि AB ∥ DE और BC ∥ EF, तो कोण ∠ABC, कोण ∠DEF के बराबर होना चाहिए। इसी तरह, अन्य संगत कोण भी बराबर होते हैं। चूँकि ∠ABC = ∠DEF, यदि ∠ABC एक समकोण (90°) है, तो ∠DEF भी 90° होना चाहिए, जिससे कथन I सही हो जाता है।

हालाँकि, समरूपता का अर्थ सर्वांगसमता नहीं है। दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए, उनका आकार और माप समान होना चाहिए। जबकि समानांतर भुजाएँ समान आकार (AAA समरूपता) सुनिश्चित करती हैं, ऐसी कोई शर्त नहीं दी गई है जो यह सुनिश्चित करती हो कि भुजाओं की लंबाई बराबर हो। उदाहरण के लिए, ΔDEF, ΔABC का एक भिन्न भुजा लंबाई अनुपात वाला एक मापा गया संस्करण हो सकता है। इसलिए, ये त्रिभुज हमेशा सर्वांगसम नहीं होते हैं, जिससे कथन II गलत हो जाता है। इस प्रकार, विकल्प c सही विकल्प है।

व्याख्या

किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के गुणों के आधार पर, किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाई हमेशा बराबर होती है। चूँकि त्रिभुज ABC का अंतःवृत्त क्रमशः Z और Y बिंदुओं पर भुजाओं AB और AC को स्पर्श करता है, AZ और AY दोनों शीर्ष A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं। इसलिए, AZ = AY, जिससे कथन II सही हो जाता है।

कथन I का मूल्यांकन करने के लिए, मान लीजिए भुजाओं की लंबाई BC = a, AC = b, और AB = c है। मान लीजिए s अर्ध-परिमाप (a + b + c) / 2 है। शीर्षों से अंतःवृत्त के स्पर्श बिंदुओं तक के खंडों की लंबाई AZ = AY = s - a, BZ = BX = s - b, और CX = CY = s - c द्वारा दी जाती है।

इनको कथन I में व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर: AB + AZ = c + (s - a) BC + XC = a + (s - c)

हम उनके अंतर की जाँच करके इन दो मानों की तुलना करते हैं: (AB + AZ) - (BC + XC) = (c + s - a) - (a + s - c) = 2c - 2a = 2(c - a)

यह देखते हुए कि AB > BC, हमारे पास c > a है, जिसका अर्थ है कि 2(c - a) > 0. इसका मतलब है AB + AZ > BC + XC. कथन I का दावा है कि AB + AZ < BC + XC, जो परिणाम का खंडन करता है। इस प्रकार, कथन I गलत है। परिणामस्वरूप, कथन I गलत है और कथन II सही है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुज ACD में, हमें दिया गया है कि AC = x और C को केंद्र और x त्रिज्या वाला वृत्त BC को D पर मिलता है, जिसका अर्थ है CD = x। चूँकि AC = CD, त्रिभुज ACD समद्विबाहु है। कोण ∠ACD को 60° दिया गया है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠CAD = ∠CDA = (180° - ∠ACD) / 2 = (180° - 60°) / 2 = 60°। क्योंकि तीनों आंतरिक कोण 60° हैं, त्रिभुज ACD एक समबाहु त्रिभुज होना चाहिए। इसलिए, कथन I, जो दावा करता है कि त्रिभुज समबाहु नहीं है, गलत है।

चूंकि त्रिभुज ACD भुजा x की लंबाई के साथ समबाहु है, AD की लंबाई भी x है। CF, शीर्ष C से विपरीत भुजा AD पर खींचा गया लंब है। एक समबाहु त्रिभुज में, शीर्ष से विपरीत भुजा पर खींचा गया शीर्षलंब माध्यिका के रूप में भी कार्य करता है, जिसका अर्थ है कि यह आधार को समद्विभाजित करता है। इसलिए, F, AD का मध्य बिंदु है। DF की लंबाई की गणना DF = AD / 2 = x / 2 के रूप में की जाती है। यह पुष्टि करता है कि कथन II सही है। परिणामस्वरूप, विकल्प (d) सही विकल्प है।

व्याख्या

त्रिभुज APB में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। यह देखते हुए कि AP और BP क्रमशः कोण A और B के समद्विभाजक हैं, हमें ∠PAB = 1/2 ∠A और ∠PBA = 1/2 ∠B प्राप्त होता है। त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके, हमें ∠APB + 1/2 ∠A + 1/2 ∠B = 180° प्राप्त होता है, जो ∠APB = 180° - 1/2(∠A + ∠B) को सरल बनाता है। पूरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2∠APB = 360° - (∠A + ∠B) प्राप्त होता है। एक चतुर्भुज ABCD में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है, इसलिए ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°, जिसका अर्थ है 360° - (∠A + ∠B) = ∠C + ∠D। इसे हमारे त्रिभुज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम 2∠APB = ∠C + ∠D पर पहुँचते हैं, जो विकल्प (a) के अनुरूप है।

व्याख्या

AF की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम मध्यबिंदु प्रमेय का उपयोग करते हैं। D से BF के समानांतर एक रेखा खींचिए जो AC भुजा को G बिंदु पर मिलती है। त्रिभुज BCF में, चूँकि D, BC का मध्यबिंदु है और DG, BF के समानांतर है, मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार G, CF का मध्यबिंदु होना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि FG = GC। अब, त्रिभुज ADG पर विचार करें। हमें दिया गया है कि E, AD का मध्यबिंदु है, और चूँकि EF, BF रेखा का एक हिस्सा है, EF, DG के समानांतर है। त्रिभुज ADG पर मध्यबिंदु प्रमेय को पुनः लागू करके, हम पाते हैं कि F, AG का मध्यबिंदु है, जिसका अर्थ है AF = FG। परिणामस्वरूप, हमारे पास संबंध AF = FG = GC है। चूँकि ये तीनों खंड मिलकर भुजा AC बनाते हैं, हम समीकरण AC = AF + FG + GC = 3 AF लिख सकते हैं। AF के लिए हल करने पर, हमें AF = AC/3 प्राप्त होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

इस निर्माण में, त्रिभुज ABC, त्रिभुज DEF का मध्य त्रिभुज है। मध्यबिंदु प्रमेय द्वारा, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी आधी लंबाई का होता है। चूँकि त्रिभुज ABC के शीर्षों से जाने वाली रेखाएँ विपरीत भुजाओं के समानांतर हैं, इसलिए त्रिभुज DEF की भुजाओं के मध्यबिंदु के रूप में शीर्ष A, B, और C कार्य करते हैं। इसलिए, त्रिभुज DEF की प्रत्येक भुजा त्रिभुज ABC की संगत समानांतर भुजा की लंबाई से ठीक दोगुनी है। यह पुष्टि करता है कि कथन 1 सही है।

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। मान लीजिए s₁ त्रिभुज ABC की भुजा है और s₂ त्रिभुज DEF की भुजा है। यह देखते हुए कि s₂ = 2s₁, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात Area(ΔDEF)/Area(ΔABC) = (s₂/s₁)² = (2s₁/s₁)² = 2² = 4 है। इस प्रकार, त्रिभुज DEF का क्षेत्रफल त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का चार गुना है, जो पुष्टि करता है कि कथन 2 भी सही है। दोनों कथन 1 और 2 सही हैं, जिससे विकल्प c सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

इन कथनों का मूल्यांकन करने के लिए, हम निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करते हैं। मान लीजिए समांतर चतुर्भुज के शीर्ष A(0,0), B(a,0), C(a+b, c), और D(b,c) हैं। मध्यबिंदुओं की गणना सूत्र ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) का उपयोग करके की जाती है। इस प्रकार, M = (a/2, 0), X = (a+b/2, c/2), Y = (b/2, c/2), और N = (b+a/2, c)।

कथन 1 के लिए, हम MX और YN के ढलानों की गणना करते हैं: MX का ढलान = (c/2 - 0)/(a+b/2 - a/2) = (c/2)/((a+b)/2) = c/(a+b) YN का ढलान = (c - c/2)/(b+a/2 - b/2) = (c/2)/((a+b)/2) = c/(a+b) चूंकि ढलान बराबर हैं, MX, YN के समानांतर है। इसलिए, कथन 1 गलत है।

कथन 2 के लिए, हम संगमन की जाँच करते हैं। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण AC और BD केंद्र O पर एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। हमारे निर्देशांकों के लिए, O = ((a+b)/2, c/2)। XY का मध्यबिंदु = ((a+b/2 + b/2)/2, (c/2 + c/2)/2) = ((a+b)/2, c/2)। MN का मध्यबिंदु = ((a/2 + b+a/2)/2, (0 + c)/2) = ((a+b)/2, c/2)। चूंकि AC, BD, XY, और MN सभी एक ही मध्यबिंदु O को साझा करते हैं, वे सभी इस एकल बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। कथन 2 सही है। इस प्रकार, केवल कथन 2 सही है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिज्या z, अर्ध-जीवा x/2, और दूरी (z-y) से बने त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: (z-y)^2 + (x/2)^2 = z^2 => z^2 - 2zy + y^2 + x^2/4 = z^2 => x^2 = 4(2zy - y^2) = 4y(2z - y)।

व्याख्या

माना ∠A = x। दी गई शर्त ∠B = 2 ∠C = 2 ∠A के आधार पर, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि ∠B = 2x और 2 ∠C = 2x, जिससे ∠C = x प्राप्त होता है। चूँकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है, हम समीकरण ∠A + ∠B + ∠C = 180° का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर x + 2x + x = 180° प्राप्त होता है, जिससे 4x = 180° और x = 45° मिलता है। इसलिए, कोण ∠A = 45°, ∠B = 90°, और ∠C = 45° हैं।

भुजा AC की AB से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम साइन नियम लागू करते हैं, जो कहता है कि त्रिभुज की सभी भुजाओं के लिए एक भुजा का उसके सम्मुख कोण के साइन से अनुपात स्थिर रहता है। इस प्रकार, AC / sin(B) = AB / sin(C)। आवश्यक अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें AC / AB = sin(B) / sin(C) प्राप्त होता है। ज्ञात कोणों को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास AC / AB = sin(90°) / sin(45°) है। मानक त्रिकोणमितीय मान sin(90°) = 1 और sin(45°) = 1 / √2 का उपयोग करते हुए, अनुपात 1 / (1 / √2) = √2 / 1 हो जाता है। इस प्रकार, AC की AB से अनुपात √2:1 है, जिससे विकल्प (a) सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

किसी घन में किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी उसके त्रिविमीय विकर्ण (space diagonal) की लंबाई होती है, जो घन के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है और उसके केंद्र से होकर गुजरता है। 'a' भुजा वाले घन के लिए, त्रिविमीय विकर्ण 'd' का सूत्र d = a√3 है। यह सूत्र तीन आयामों में पाइथागोरस प्रमेय लागू करके प्राप्त किया जाता है: d = √(l² + w² + h²), जहाँ l = w = h = a। इस समस्या में, घन की भुजा 'a' = 2 सेमी दी गई है। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें d = 2√3 सेमी प्राप्त होता है। इस प्रकार, अधिकतम दूरी 2√3 सेमी है, जो विकल्प (b) के अनुरूप है।

व्याख्या

मान लीजिए घनाभकार डिब्बे की विमाएँ l, w, और h हैं। तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल क्रमशः l × w = x, w × h = 4x, और l × h = 9x दिए गए हैं। घनाभ के आयतन V का सूत्र V = l × w × h है। जब तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल ज्ञात हों तो आयतन ज्ञात करने के लिए, हम इस संबंध का उपयोग कर सकते हैं कि आयतन का वर्ग इन तीन फलकों के क्षेत्रफलों के गुणनफल के बराबर होता है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V² = (l × w) × (w × h) × (l × h) V² = x × 4x × 9x V² = 36x³

V ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: V = √36x³ V = 6 × (x³)¹/² V = 6x³/²

इस प्रकार, डिब्बे का आयतन 6x³/² घन इकाई है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए गोले की त्रिज्या r है। चूँकि बेलन गोले को परिबद्ध करता है, इसलिए बेलन के आधार की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के बराबर है, R = r, और बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास के बराबर है, h = 2r।

गोले का आयतन Vₛₚₕₑᵣₑ = 4/3πr³ है। बेलन का आयतन Vcyₗᵢₙᵈₑᵣ = πR²h है। बेलन के आयतन सूत्र में R = r और h = 2r मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है: Vcyₗᵢₙᵈₑᵣ = π(r²)(2r) = 2πr³।

गोले के आयतन का बेलन के आयतन से अनुपात ज्ञात करने के लिए: अनुपात = Vₛₚₕₑᵣₑ/Vcyₗᵢₙᵈₑᵣ = (4/3πr³)/(2πr³) = 4/(3 × 2) = 4/6 = 2/3।

इसलिए, अनुपात 2:3 है, जो विकल्प (a) से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिभुजों के लिए यूलर के प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के परिकेंद्र और अंतःकेंद्र के बीच की दूरी d, सूत्र d² = R(R - 2r) द्वारा दी जाती है, जहाँ R परिवृत्त की त्रिज्या है और r अंतःवृत्त की त्रिज्या है। दिए गए शर्त R = 2r को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें d² = R(2r - 2r) = R(0) = 0 प्राप्त होता है। इसका तात्पर्य है कि d = 0, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज का परिकेंद्र और अंतःकेंद्र संपाती हैं। किसी भी त्रिभुज में, परिकेंद्र और अंतःकेंद्र तभी संपाती होते हैं जब त्रिभुज समबाहु हो। इसलिए, एक त्रिभुज के लिए जहाँ परिवृत्त की त्रिज्या अंतःत्रिज्या की ठीक दोगुनी है, त्रिभुज समबाहु होना चाहिए, जिससे विकल्प (c) सही उत्तर बन जाता है।

व्याख्या

खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें शंक्वाकार भाग के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और अर्धगोलाकार भाग के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का योग ज्ञात करना होगा, क्योंकि जहाँ वे मिलते हैं वह आधार आंतरिक है। शंकु के आधार का दिया गया व्यास 12 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r 6 सेमी है, और शंकु की ऊँचाई h 8 सेमी है। सबसे पहले, हम सूत्र l = √(r² + h²) का उपयोग करके शंकु की तिर्यक ऊँचाई l ज्ञात करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 सेमी प्राप्त होता है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl द्वारा दिया जाता है, जो π × 6 × 10 = 60π सेमी² है। अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr² द्वारा दिया जाता है, जो 2π × 6² = 2π × 36 = 72π सेमी² है। खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल इन दो क्षेत्रों का योग है: 60π + 72π = 132π सेमी²। यह विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

खिलौने का कुल आयतन शंकु के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है। दिया गया है कि शंक्वाकार भाग के आधार का व्यास 12 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 12/2 = 6 सेमी है। शंकु की ऊँचाई h = 8 सेमी है।

शंकु के आयतन का सूत्र V꜀ₒₙₑ = 1/3 π r² h है और अर्धगोले के आयतन का सूत्र Vₕₑₘᵢₛₚₕₑᵣₑ = 2/3 π r³ है। इन दोनों को मिलाकर, कुल आयतन V को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

V = 1/3 π r² h + 2/3 π r³ = 1/3 π r² (h + 2r)

सूत्र में r = 6 सेमी और h = 8 सेमी के मान रखने पर:

V = 1/3 π (6)² (8 + 2(6)) V = 1/3 π (36) (8 + 12) V = 12 π (20) V = 240 π सेमी³

इस प्रकार, खिलौने का आयतन 240 π सेमी³ है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 3x और 4x मान लीजिए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, (3x)² + (4x)² = 25², जिसे सरल करने पर 9x² + 16x² = 625 प्राप्त होता है, जिससे 25x² = 625 और x = 5 मिलता है। इसलिए, भुजाओं की लंबाई 15 सेमी और 20 सेमी है।

जब एक समकोण त्रिभुज को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है, तो यह एक दोहरा शंकु बनाता है जिसमें उभयनिष्ठ त्रिज्या (r) कर्ण पर डाले गए त्रिभुज के शीर्षलम्ब के बराबर होती है। इस त्रिज्या की गणना त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके की जा सकती है: r = (भुजाओं का गुणनफल) / कर्ण = 15 × 20 / 25 = 300 / 25 = 12 सेमी।

परिणामी दोहरे शंकु का आयतन दो अलग-अलग शंकुओं के आयतनों का योग होता है। चूँकि उनका आधार उभयनिष्ठ है, कुल आयतन V = 1/3πr²(h₁ + h₂) सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ h₁ + h₂ कर्ण की लंबाई है।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = 1/3 × 3.14 × 12² × 25 V = 1/3 × 3.14 × 144 × 25 V = 3.14 × 48 × 25 V = 3.14 × 1200 = 3768 सेमी³

इस प्रकार, आयतन 3768 सेमी³ है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 3x और 4x मान लीजिए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, (3x)² + (4x)² = 25², जो 25x² = 625 को सरल करता है, जिससे x = 5 प्राप्त होता है। इस प्रकार, भुजाएँ a = 15 सेमी और b = 20 सेमी हैं। जब त्रिभुज को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है, तो यह एक उभयनिष्ठ आधार साझा करने वाले दो शंकु बनाता है। इस आधार की त्रिज्या r त्रिभुज की कर्ण पर शीर्षलंब है। क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके, हमें 1/2 × 15 × 20 = 1/2 × 25 × r मिलता है, जिससे 300 = 25r प्राप्त होता है, अतः r = 12 सेमी। दोहरे शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल दो शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों से मिलकर बनता है: SA = πrl₁ + πrl₂ = πr(l₁ + l₂)। मान l₁ = 15 सेमी, l₂ = 20 सेमी, और π = 3.14 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SA = 3.14 × 12 × (15 + 20) = 3.14 × 12 × 35 = 3.14 × 420 = 1318.8 सेमी² प्राप्त होता है। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 3x और 4x मान लीजिए। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, (3x)² + (4x)² = 25², जो 25x² = 625 को सरल करता है, जिससे x = 5 प्राप्त होता है। अतः, भुजाएँ 15 सेमी और 20 सेमी हैं।

कथन 1 के लिए, त्रिभुज को लंबी भुजा (20 सेमी) के परितः घुमाने पर त्रिज्या r = 15 सेमी और ऊँचाई h = 20 सेमी वाला एक शंकु बनता है। इसका आयतन V₁ = 1/3 π (15)² (20) = 1500π घन सेमी है। इसे छोटी भुजा (15 सेमी) के परितः घुमाने पर त्रिज्या r = 20 सेमी और ऊँचाई h = 15 सेमी वाला एक शंकु बनता है। इसका आयतन V₂ = 1/3 π (20)² (15) = 2000π घन सेमी है। चूँकि 1500π ≠ 2000π, कथन 1 गलत है।

कथन 2 के लिए, इन आयतनों का योग V₁ + V₂ = 3500π घन सेमी है। जब त्रिभुज को उसके कर्ण के परितः घुमाया जाता है, तो यह एक दोहरा शंकु बनाता है। इस दोहरे शंकु की त्रिज्या r कर्ण पर डाला गया लम्ब है, जिसकी गणना r = (भुजा₁ × भुजा₂)/(कर्ण) = (15 × 20)/25 = 12 सेमी के रूप में की जाती है। दोहरे शंकु का आयतन V₃ = 1/3 π r² (कर्ण) = 1/3 π (12)² (25) = 1200π घन सेमी है। चूँकि 3500π ≠ 1200π, कथन 2 भी गलत है। इसलिए, विकल्प d सही है।

व्याख्या

मान लीजिए समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं की लंबाई a और b है। दी गई परिधि 2(a + b) = 86 मीटर है, इसलिए a + b = 43 मीटर। चूँकि एक भुजा दूसरी भुजा से 13 मीटर अधिक है, हम a = b + 13 लिख सकते हैं। इसे योग में प्रतिस्थापित करने पर (b + 13) + b = 43 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2b = 30 आता है, इसलिए b = 15 मीटर और a = 28 मीटर।

समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। यहाँ, त्रिभुज की भुजाएँ a = 28 मीटर, b = 15 मीटर और विकर्ण d = 41 मीटर हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हीरोन के सूत्र का उपयोग करें जहाँ अर्ध-परिमाप s = (a + b + d)/2 = (28 + 15 + 41)/2 = 84/2 = 42 मीटर है।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल √s(s - a)(s - b)(s - d) = √42(42 - 28)(42 - 15)(42 - 41) = √42 × 14 × 27 × 1 = √15876 = 126 वर्ग मीटर के रूप में गणना की जाती है। चूँकि समांतर चतुर्भुज में ऐसे दो त्रिभुज होते हैं, कुल क्षेत्रफल 2 × 126 = 252 वर्ग मीटर है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज की परिधि सूत्र P = 2(a + b) द्वारा दी जाती है। छोटी भुजा को b और लंबी भुजा को a = b + 13 मानें। परिधि को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 86 = 2(b + 13 + b) मिलता है, जो 43 = 2b + 13 को सरल करता है, जिससे 2b = 30, इसलिए b = 15 मीटर और a = 28 मीटर प्राप्त होता है।

विकर्ण समांतर चतुर्भुज को a = 28 मीटर, b = 15 मीटर और d = 41 मीटर भुजाओं वाले दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हैं। अर्ध-परिमाप s = (28 + 15 + 41) / 2 = 42 मीटर। क्षेत्रफल √s(s-a)(s-b)(s-d) = √42(42-28)(42-15)(42-41) = √42 × 14 × 27 × 1 = √15876 = 126 वर्ग मीटर है।

समांतर चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल 2 × 126 = 252 वर्ग मीटर है। छोटी ऊँचाई h लंबी भुजा a = 28 मीटर के संगत शीर्षलंब है। सूत्र क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई का उपयोग करके, हमें 252 = 28 × h मिलता है। h के लिए हल करने पर, हमें h = 252 / 28 = 9.0 मीटर मिलता है। इस प्रकार, विकल्प a सही है।

व्याख्या

मान लीजिए समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ a और b हैं। दी गई परिधि 2(a + b) = 86 मीटर है, इसलिए a + b = 43 मीटर। हमें यह भी दिया गया है कि एक भुजा दूसरी से 13 मीटर अधिक है, इसलिए a - b = 13 मीटर। इन दो रैखिक समीकरणों को हल करने पर, हमें 2a = 56 ⇒ a = 28 मीटर और 2b = 30 ⇒ b = 15 मीटर प्राप्त होता है।

दूसरे विकर्ण d₂ को ज्ञात करने के लिए, हम समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करते हैं: 2(a² + b²) = d₁² + d₂²। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 2(28² + 15²) = 41² + d₂², जिससे 2(784 + 225) = 1681 + d₂² ⇒ 2018 = 1681 + d₂² ⇒ d₂² = 337 ⇒ d₂ ≈ 18.36 मीटर प्राप्त होता है। विकर्णों के बीच का अंतर 41 - 18.36 = 22.64 मीटर है, जो 20 मीटर से अधिक है। अतः, कथन 1 सही है।

कथन 2 का मूल्यांकन करने के लिए, हम 28, 15 और 41 भुजाओं से बने त्रिभुज के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। अर्ध-परिधि s = (28 + 15 + 41)/2 = 42 मीटर। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल √(42(42-28)(42-15)(42-41)) = √(42 × 14 × 27 × 1) = √15876 = 126 वर्ग मीटर है। समांतर चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल 2 × 126 = 252 वर्ग मीटर है। ऊँचाइयाँ h₁ = 252 / 28 = 9 मीटर और h₂ = 252 / 15 = 16.8 मीटर हैं। ऊँचाइयों के बीच का अंतर 16.8 - 9 = 7.8 मीटर है, जो 10 मीटर से अधिक नहीं है। अतः, कथन 2 गलत है। केवल कथन 1 सही है, जिससे विकल्प a सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

मूल a और 3a हैं। योग = 4a = -q/p => a = -q/4p। गुणनफल = 3a² = r/p। a का मान रखने पर: 3(-q/4p)² = r/p => 3q²/16p² = r/p => 3q² = 16pr।

व्याख्या

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है। चूँकि क्षेत्रफल त्रिज्या के वर्ग पर निर्भर करता है, त्रिज्या में कोई भी प्रतिशत परिवर्तन क्षेत्रफल में क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन का परिणाम देता है। त्रिज्या में x% की वृद्धि के लिए, क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके शीघ्रता से की जा सकती है: शुद्ध वृद्धि = x + y + xy/100। इस मामले में, चूँकि त्रिज्या का वर्ग किया गया है, हमारे पास x = 6 और y = 6 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें शुद्ध वृद्धि = 6 + 6 + (6 × 6)/100 = 12 + 36/100 = 12 + 0.36 = 12.36% प्राप्त होती है। वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक त्रिज्या r है, तो नई त्रिज्या 1.06r हो जाती है। नया क्षेत्रफल π(1.06r)² = 1.1236πr² है। क्षेत्रफल में वृद्धि 1.1236πr² - πr² = 0.1236πr² है, जो 12.36% की वृद्धि के अनुरूप है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

सांख्यिकी में, बहुलक को उस मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दिए गए डेटा सेट में सबसे अधिक बार आता है। जब समूहीकृत डेटा के साथ काम किया जाता है जिसे वर्ग अंतरालों में व्यवस्थित किया जाता है, तो उच्चतम बारंबारता वाले वर्ग अंतराल को बहुलक वर्ग कहा जाता है। यह वर्ग बारंबारता वितरण वक्र के शिखर का प्रतिनिधित्व करता है और इंगित करता है कि डेटा कहाँ सबसे अधिक केंद्रित है। उदाहरण के लिए, यदि एक बारंबारता तालिका क्रमशः 5, 12, 8 की बारंबारताओं के साथ 0-10, 10-20, 20-30 वर्ग दिखाती है, तो 10-20 वर्ग बहुलक वर्ग है क्योंकि इसकी 12 की बारंबारता सभी उपलब्ध वर्गों में अधिकतम है। बहुलक वर्ग सूत्र बहुलक = l + ((f₁ - f₀)/(2f₁ - f₀ - f₂)) × h का उपयोग करके डेटा सेट के सटीक बहुलक की गणना के लिए आवश्यक है, जहाँ l बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है, f₁ इसकी बारंबारता है, f₀ पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता है, f₂ अनुवर्ती वर्ग की बारंबारता है, और h वर्ग की चौड़ाई है।

व्याख्या

संचयी आवृत्ति बहुभुज, जिसे सामान्यतः ओजाइव (ogive) के रूप में जाना जाता है, एक ग्राफिकल निरूपण है जिसका उपयोग आवृत्ति वितरण में किसी विशेष मान से ऊपर या नीचे आने वाले अवलोकनों की संख्या निर्धारित करने के लिए किया जाता है। कथन I सही है क्योंकि बहुभुज वर्ग सीमाओं के विरुद्ध संचयी आवृत्तियों को प्लॉट करता है, प्रभावी रूप से आवृत्ति वितरण तालिका से संख्यात्मक डेटा को संचयी जानकारी के नुकसान के बिना एक दृश्य रूप में अनुवादित करता है।

कथन II गलत है क्योंकि संचयी आवृत्ति बहुभुज एक बंद बहुभुज नहीं है; यह एक खुली वक्र या जुड़े हुए रेखा खंडों की एक श्रृंखला है। यह x-अक्ष पर पहले वर्ग अंतराल की निचली सीमा पर शुरू होता है और y-अक्ष पर कुल आवृत्ति N की ऊंचाई पर अंतिम वर्ग अंतराल की ऊपरी सीमा पर समाप्त होता है। यद्यपि यह सच है कि खंडों के ढलान गैर-ऋणात्मक होते हैं क्योंकि संचयी आवृत्ति एक गैर-घटता हुआ फलन है, ग्राफ एक ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज भुजा के साथ एक बंद ज्यामितीय आकार नहीं बनाता है। इसलिए, केवल कथन I सटीक है।

व्याख्या

एक पाई आरेख एक संपूर्ण के अनुपातों को दर्शाता है। धनराशि का बजटीय आवंटन (आँकड़ा II) एक कुल का संघटन है, जो इसे उपयुक्त बनाता है। वर्षों में शिकायतें (आँकड़ा I) समय-श्रृंखला आँकड़े हैं, जो रेखा/बार चार्ट के लिए बेहतर हैं।

व्याख्या

प्रश्न में दिया गया विवरण एक हिस्टोग्राम (histogram) को संदर्भित करता है। हिस्टोग्राम बारंबारता वितरण का एक ग्राफिकल निरूपण है जहाँ x-अक्ष वर्ग अंतरालों का प्रतिनिधित्व करता है और y-अक्ष बारंबारताओं का प्रतिनिधित्व करता है। एक हिस्टोग्राम में, प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल संबंधित वर्ग अंतराल की बारंबारता के समानुपाती होता है। यदि वर्ग की चौड़ाई समान है, तो आयत की ऊंचाई सीधे बारंबारता के समानुपाती होती है। यदि वर्ग की चौड़ाई भिन्न होती है, तो ऊंचाई को बारंबारता घनत्व (frequency density) का प्रतिनिधित्व करने के लिए समायोजित किया जाता है ताकि क्षेत्रफल = चौड़ाई × ऊंचाई बारंबारता के समानुपाती रहे।

एक दंड आरेख (bar diagram) असतत (discrete) या श्रेणीबद्ध (categorical) डेटा के लिए उपयोग किया जाता है और इसमें बार के बीच अंतराल होते हैं। एक बारंबारता वक्र (frequency curve) हिस्टोग्राम का एक स्मूथ (smoothed) संस्करण है, और एक ओजाइव (ogive) संचयी बारंबारताओं (cumulative frequencies) का एक प्लॉट है। चूंकि वर्णित ग्राफ के लिए सटीक शब्द हिस्टोग्राम है और यह विकल्प a, b, या c के रूप में सूचीबद्ध नहीं है, इसलिए सही विकल्प d) उपरोक्त में से कोई नहीं है।

व्याख्या

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य सूत्र x̄ = Σ fᵢ xᵢ / Σ fᵢ द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ fᵢ बारंबारता को दर्शाता है और xᵢ i-वें वर्ग अंतराल के मध्यबिंदु को दर्शाता है। इस परिभाषा से, हम मौलिक संबंध Σ fᵢ xᵢ = x̄ Σ fᵢ प्राप्त कर सकते हैं। दिए गए व्यंजक Σ fᵢ(xᵢ - x̄) का मूल्यांकन करने के लिए, हम बारंबारता fᵢ को कोष्ठक के अंदर के पदों में वितरित करते हैं: Σ (fᵢ xᵢ - fᵢ x̄)। योग के रैखिकता गुण का उपयोग करके, इसे दो अलग-अलग योगों में विभाजित किया जा सकता है: Σ fᵢ xᵢ - Σ fᵢ x̄। चूँकि x̄ एक स्थिर मान (परिकलित माध्य) है, इसे योग चिह्न के बाहर लिया जा सकता है, जिससे Σ fᵢ xᵢ - x̄ Σ fᵢ प्राप्त होता है। व्यंजक में संबंध Σ fᵢ xᵢ = x̄ Σ fᵢ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें x̄ Σ fᵢ - x̄ Σ fᵢ प्राप्त होता है, जो 0 के बराबर है। यह परिणाम अंकगणितीय माध्य के एक मुख्य गुण को प्रदर्शित करता है: सभी प्रेक्षणों के उनके माध्य से विचलनों का योग, उनकी संबंधित बारंबारताओं द्वारा भारित, हमेशा शून्य होता है। इसलिए, विकल्प a सही विकल्प है।

व्याख्या

10 प्रेक्षणों का माध्यक 5वें और 6वें पद का औसत होता है: [(x+1) + (2x-13)] / 2 = 24 => 3x - 12 = 48 => 3x = 60 => x = 20।