सीडीएस II 2010 प्रारंभिक गणित प्रश्न पत्र — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

किसी त्रिभुज की भुजाओं a, b, और c के न्यूनकोण होने के लिए, सबसे लंबी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग से कम होना चाहिए। दी गई दो भुजाएँ a = 6 सेमी और b = 2 सेमी हैं, और तीसरी भुजा c है। हमें दो परिदृश्यों पर विचार करना होगा, जो इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सी भुजा सबसे लंबी है।

पहले परिदृश्य में, यदि c सबसे लंबी भुजा है, तो न्यूनकोण त्रिभुज के लिए शर्त है c² < a² + b²। मान रखने पर, हमें c² < 6² + 2² मिलता है, जो c² < 36 + 4 = 40 तक सरल हो जाता है। इसलिए, c < √40, जिसे c < 2√10 के रूप में लिखा जा सकता है।

दूसरे परिदृश्य में, यदि 6 सेमी वाली भुजा सबसे लंबी है, तो शर्त है a² < b² + c²। मान रखने पर, हमें 6² < 2² + c² मिलता है, जो 36 < 4 + c² तक सरल हो जाता है। इसका तात्पर्य है कि c² > 32, इसलिए c > √32, जिसे c > 4√2 के रूप में लिखा जा सकता है।

इन दोनों शर्तों को मिलाकर, तीसरी भुजा c के लिए सीमा 4√2 < c < 2√10 है। यह विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

3 की घातों का अंतिम अंक चार का एक चक्र होता है: 3, 9, 7, 1। 3^4798 का अंतिम अंक ज्ञात करने के लिए, घात 4798 को 4 से विभाजित करें। 4798 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 2 बचता है। चक्र की दूसरी संख्या 9 है।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, 1/(√a - √b) के रूप वाले पदों के लिए परिमेयकरण सूत्र का प्रयोग करें। अंश और हर को संयुग्मी (√a + √b) से गुणा करने पर, हमें 1/(√a - √b) = (√a + √b)/(a - b) प्राप्त होता है। इस विशिष्ट समस्या में, प्रत्येक हर में मूल संख्याओं के बीच का अंतर 1 है (जैसे, 9 - 8 = 1, 8 - 7 = 1), इसलिए सूत्र सरल होकर 1/(√a - √b) = √a + √b हो जाता है।

इसे व्यंजक के प्रत्येक पद पर लागू करने पर: 1/(√9 - √8) = √9 + √8 1/(√8 - √7) = √8 + √7 1/(√7 - √6) = √7 + √6 1/(√6 - √5) = √6 + √5 1/(√5 - √4) = √5 + √4

इन मानों को मूल एकांतर श्रेणी में प्रतिस्थापित करने पर: (√9 + √8) - (√8 + √7) + (√7 + √6) - (√6 + √5) + (√5 + √4)

कोष्ठकों को खोलने पर: √9 + √8 - √8 - √7 + √7 + √6 - √6 - √5 + √5 + √4

ध्यान दें कि विपरीत चिह्नों के कारण √8, √7, √6, और √5 पद रद्द हो जाते हैं। यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है। शेष पद हैं: √9 + √4 = 3 + 2 = 5

इस प्रकार, मान 5 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8 का गुणनखंड करने के लिए, पहले संबंधित चरों को एक साथ समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें। व्यंजक को (x² - 4xy + 4y²) - 2x + 4y - 8 के रूप में लिखा जा सकता है।

ध्यान दें कि पहले तीन पद x² - 4xy + 4y² एक पूर्ण वर्ग त्रिपद बनाते हैं, जो सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का अनुसरण करता है। यहाँ, a = x और b = 2y है, इसलिए x² - 4xy + 4y² = (x - 2y)²।

अब, अगले दो पदों -2x + 4y पर विचार करें। -2 को गुणनखंडित करने पर -2(x - 2y) प्राप्त होता है। इन्हें मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - 2y)² - 2(x - 2y) - 8 प्राप्त होता है।

इसे और सरल बनाने के लिए, u = x - 2y मान लें। व्यंजक u के पदों में एक द्विघात बन जाता है: u² - 2u - 8। इस द्विघात का गुणनखंड करने के लिए, हम दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात करते हैं जिनका गुणनफल -8 हो और योग -2 हो, जो कि -4 और 2 हैं। इस प्रकार, द्विघात का गुणनखंड (u - 4)(u + 2) होता है।

u को मूल व्यंजक x - 2y से बदलने पर, हमें (x - 2y - 4) और (x - 2y + 2) प्राप्त होता है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

दो बहुपदों के महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, सबसे तेज़ तरीका सरल व्यंजक को पहले गुणनखंडित करना और फिर गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके यह जांचना है कि वे गुणनखंड बड़े व्यंजक को विभाजित करते हैं या नहीं।

सबसे पहले, दूसरे बहुपद Q(x, y) = x² + xy - 2y² पर विचार करें। यह एक द्विघात रूप है जिसे मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडित किया जा सकता है: x² + 2xy - xy - 2y² = x(x + 2y) - y(x + 2y) = (x + 2y)(x - y)। Q(x, y) के गुणनखंड (x + 2y) और (x - y) हैं। HCF इन गुणनखंडों में से एक या उनका गुणनफल होना चाहिए।

इसके बाद, हम गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके पहले बहुपद P(x, y) = 4x³ + 3x²y - 9xy² + 2y³ में इन गुणनखंडों का परीक्षण करते हैं। (x - y) का गुणनखंड होने के लिए, P(y, y) शून्य होना चाहिए: P(y, y) = 4(y)³ + 3(y)²y - 9(y)y² + 2y³ = 4y³ + 3y³ - 9y³ + 2y³ = 0। इस प्रकार, (x - y) एक गुणनखंड है।

(x + 2y) का गुणनखंड होने के लिए, P(-2y, y) शून्य होना चाहिए: P(-2y, y) = 4(-2y)³ + 3(-2y)²y - 9(-2y)y² + 2y³ = 4(-8y³) + 3(4y²)y + 18y³ + 2y³ = -32y³ + 12y³ + 18y³ + 2y³ = 0। इस प्रकार, (x + 2y) भी एक गुणनखंड है।

चूंकि (x - y) और (x + 2y) दोनों बहुपदों के सामान्य गुणनखंड हैं, इसलिए उनका गुणनफल (x + 2y)(x - y) HCF है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रत्येक भाजक और उसके संगत शेषफल के बीच का अंतर स्थिर है: 52 - 33 = 19, 78 - 59 = 19, और 117 - 98 = 19। ऐसी सबसे छोटी संख्या LCM(52, 78, 117) - 19 है। 52, 78 और 117 का LCM 468 है। संख्या 468 - 19 = 449 है। अंकों का योग 4 + 4 + 9 = 17 है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि एक बहुपद P(x), x = a पर शून्य हो जाता है, तो (x - a), P(x) का एक गुणनखंड होता है। यह दिया गया है कि f(x) और g(x) दोनों x = 1/2 पर शून्य हो जाते हैं, इसका तात्पर्य है कि (x - 1/2), दोनों बहुपदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। हालाँकि, प्रश्न में यह निर्दिष्ट है कि f(x) और g(x) के पूर्णांक गुणांक हैं। परिमेय मूल प्रमेय के अनुसार, यदि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का एक परिमेय मूल p/q सरलतम रूप में है, तो (qx - p) उस बहुपद का एक गुणनखंड होता है। इस स्थिति में, मूल 1/2 है, जहाँ p = 1 और q = 2 है। इसलिए, पूर्णांक गुणांक वाला गुणनखंड (2x - 1) है। चूँकि (2x - 1), f(x) और g(x) दोनों का गुणनखंड है, यह उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) का भी गुणनखंड होना चाहिए। इस प्रकार, विकल्प (c) 2x - 1 सही गुणनखंड है।

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि कोई बहुपद f(x), (x - a) से विभाज्य है, तो f(a) = 0। दिए गए बहुपद f(x) = px³ + x² - 2x - q, (x - 1) और (x + 1) दोनों से विभाज्य है। गुणनखंड (x - 1) के लिए, हम व्यंजक में x = 1 प्रतिस्थापित करते हैं: f(1) = p(1)³ + (1)² - 2(1) - q = 0, जो p + 1 - 2 - q = 0 को सरल करता है, जिससे समीकरण p - q = 1 प्राप्त होता है। गुणनखंड (x + 1) के लिए, हम व्यंजक में x = -1 प्रतिस्थापित करते हैं: f(-1) = p(-1)³ + (-1)² - 2(-1) - q = 0, जो -p + 1 + 2 - q = 0 को सरल करता है, जिससे समीकरण -p - q = -3 या p + q = 3 प्राप्त होता है। इन दो युगपत समीकरणों p - q = 1 और p + q = 3 को जोड़ने पर 2p = 4 प्राप्त होता है, जिससे p = 2 मिलता है। p = 2 को p + q = 3 में वापस प्रतिस्थापित करने पर 2 + q = 3 मिलता है, जिसका अर्थ है q = 1। इसलिए, p और q के मान क्रमशः 2 और 1 हैं, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई अनुपात 2:5 के अनुसार, A तथा B की वर्तमान आयु क्रमशः 2x तथा 5x मान लीजिए। 8 वर्ष बाद, उनकी आयु 2x + 8 तथा 5x + 8 होगी। समस्या के अनुसार, उस समय उनकी आयु का अनुपात 1:2 होगा। इसे समीकरण (2x + 8) / (5x + 8) = 1 / 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पदों को तिरछा गुणा करने पर, हमें 2(2x + 8) = 1(5x + 8) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 4x + 16 = 5x + 8 हो जाता है। x का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 5x - 4x = 16 - 8 प्राप्त होता है, जिससे x = 8 मिलता है। उनकी वर्तमान आयु में अंतर 5x - 2x = 3x है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर, अंतर 3 × 8 = 24 वर्ष है। इसलिए, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

मान लीजिए दूध की प्रारंभिक मात्रा 5x है और पानी की प्रारंभिक मात्रा 1x है। समस्या के अनुसार, मिश्रण में 5 लीटर पानी मिलाया जाता है, जिससे पानी की नई मात्रा x + 5 हो जाती है। दूध और पानी का नया अनुपात 5:2 दिया गया है। इसलिए, हम समीकरण 5x/(x + 5) = 5/2 स्थापित कर सकते हैं। तिरछा गुणा करने पर 10x = 5(x + 5) प्राप्त होता है, जो 10x = 5x + 25 को सरल करता है। x के लिए हल करने पर, हमें 5x = 25 मिलता है, इसलिए x = 5। मूल मिश्रण में दूध की मात्रा 5x = 5 ⋅ 5 = 25 लीटर है। वैकल्पिक रूप से, अनुपात परिवर्तन विधि का उपयोग करके, दूध 5 भागों पर स्थिर रहता है, जबकि पानी 1 भाग से 2 भाग तक बढ़ जाता है। 1 भाग की वृद्धि 5 लीटर पानी के बराबर है। चूंकि 1 भाग 5 लीटर के बराबर है, दूध की मात्रा 5 भाग × 5 लीटर/भाग = 25 लीटर है।

व्याख्या

प्रत्येक भाजक और उसके शेषफल के बीच का अंतर स्थिर है: 4 - 3 = 1, 5 - 4 = 1, 8 - 7 = 1, और 9 - 8 = 1। सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक संख्या LCM(4, 5, 8, 9) - 1 है। 4, 5, 8, और 9 का LCM 360 है। संख्या 360 - 1 = 359 है।

व्याख्या

यदि x = 2 है, तो संख्याएँ x = 2, x + 1 = 3, और x + 3 = 5 हैं। ये तीनों (2, 3, और 5) अभाज्य संख्याएँ हैं। x = 0 के लिए, 0 अभाज्य नहीं है। x = 1 के लिए, 1 अभाज्य नहीं है। x = 101 के लिए, x + 1 = 102 अभाज्य नहीं है।

व्याख्या

कुल मासिक वेतन ज्ञात करने के लिए, पहले सभी मदों पर खर्च किए गए वेतन का कुल प्रतिशत ज्ञात करें। कुल व्यय प्रतिशत = 30% (किराया) + 25% (भोजन) + 20% (शिक्षा) + 12% (बिजली) = 87%। चूंकि कुल वेतन 100% है, शेष प्रतिशत 100% - 87% = 13% है।

प्रश्न में कहा गया है कि शेष राशि 1,040 रुपये है। इसलिए, कुल वेतन का 13% 1,040 रुपये के बराबर है। जब प्रतिशत ज्ञात हो तो कुल मान के सूत्र का उपयोग करके: कुल वेतन = शेष राशि/शेष प्रतिशत × 100। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल वेतन = 1,040/13 × 100। विभाजन करने पर, 1,040 ÷ 13 = 80। इस प्रकार, कुल वेतन = 80 × 100 = 8,000। व्यक्ति का मासिक वेतन 8,000 रुपये है, जो विकल्प (ए) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों, pˣ = rʸ = m से, हम p और r को m के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: p = m¹/ˣ r = m¹/ʸ

इसी प्रकार, rʷ = pᶻ = n से, हम r और p को n के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: r = n¹/ʷ p = n¹/ᶻ

अब, हम p और r के लिए दो विभिन्न व्यंजकों को बराबर करते हैं: p के लिए: m¹/ˣ = n¹/ᶻ ⇒ m = nˣ/ᶻ r के लिए: m¹/ʸ = n¹/ʷ ⇒ m = nʸ/ʷ

m के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: nˣ/ᶻ = nʸ/ʷ

चूंकि आधार समान हैं, हम घातांकों को बराबर कर सकते हैं: x/z = y/w

इन पदों को तिरछा गुणा करने पर: xw = yz

यह विकल्प a से मेल खाता है, जो चरों के बीच संबंध की पुष्टि करता है।

व्याख्या

मान लीजिए बिंदु A और बिंदु B के बीच की दूरी d किमी है। पिता द्वारा इस दूरी को तय करने में लिया गया समय t_f = d/12 घंटे है, और पुत्र द्वारा लिया गया समय tₛ = d/18 घंटे है। समस्या के अनुसार, पुत्र अपने पिता के 60 मिनट (1 घंटा) बाद चलना शुरू करता है और अपने पिता के 60 मिनट (1 घंटा) पहले पहुँचता है। इसका मतलब है कि पुत्र के कुल यात्रा समय पिता के यात्रा समय से 2 घंटे कम है।

हम इस संबंध को सूत्र का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं: d/12 - d/18 = 2

d के लिए हल करने के लिए, हम 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 36 ज्ञात करते हैं: (3d - 2d)/36 = 2 d/36 = 2 d = 36 × 2 = 72 किमी

वैकल्पिक रूप से, हम समय के अंतर Δt ज्ञात होने पर दूरी के लिए प्रतियोगी परीक्षा शॉर्टकट सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: d = (v₁ × v₂)/(v₂ - v₁) × Δt मानों v₁ = 12, v₂ = 18, और Δt = 2 घंटे को प्रतिस्थापित करने पर: d = (12 × 18)/(18 - 12) × 2 = 216/6 × 2 = 36 × 2 = 72 किमी

इस प्रकार, A और B के बीच की दूरी 72 किमी है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

समीकरण (a^2 + b^2)x^2 - 2(ac + bd)x + (c^2 + d^2) = 0 के मूल समान होने के लिए, विविक्तकर शून्य होना चाहिए। D = [-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0 4(a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd) - 4(a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0 a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 - b^2d^2 = 0 2abcd - a^2d^2 - b^2c^2 = 0 -(ad - bc)^2 = 0 का अर्थ है ad = bc। विकल्प D, ac = bd है, लेकिन प्रश्न के मध्य पद में संभवतः एक टाइपो है। यदि मध्य पद -2(ad + bc)x होता, तो शर्त ac = bd होती। उत्तर कुंजी को देखते हुए, D ही अभिप्रेत उत्तर है।

व्याख्या

दो ट्रेनों को एक-दूसरे को पार करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सापेक्ष गति की अवधारणा का उपयोग करते हैं। जब दो वस्तुएँ विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। ट्रेनों को पूरी तरह से एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाइयों का योग है।

कुल दूरी D = L₁ + L₂ = 100 मीटर + 150 मीटर = 250 मीटर। सापेक्ष गति Vᵣₑₗ = V₁ + V₂ = 75 किमी/घंटा + 50 किमी/घंटा = 125 किमी/घंटा।

गणना को सेकंड में करने के लिए, हमें सापेक्ष गति को 5/18 के रूपांतरण कारक का उपयोग करके किमी/घंटा से मी/से में बदलना होगा: Vᵣₑₗ = 125 × 5/18 मी/से।

समय t = दूरी/सापेक्ष गति के सूत्र का उपयोग करके: t = 250 / (125 × 5/18) t = (250 × 18) / (125 × 5) t = (2 × 18) / 5 t = 36/5 = 7.2 सेकंड।

इसलिए, ट्रेनों को एक-दूसरे को पार करने में लगने वाला समय 7.2 सेकंड है, जो विकल्प बी से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया अनुपात (a - b)/(a + b) = 1/5 है, हम तिरछा गुणा करके a और b के बीच संबंध निर्धारित कर सकते हैं: 5(a - b) = 1(a + b), जो 5a - 5b = a + b को सरल करता है। समान चरों को समूहित करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 5a - a = b + 5b प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 4a = 6b होता है। यह a/b = 6/4 = 3/2 को सरल करता है। मान लीजिए a = 3k और b = 2k किसी स्थिरांक k के लिए।

हमें व्यंजक (a² - b²)/(a² + b²) का मान ज्ञात करना है। इस व्यंजक में a और b के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

((3k)² - (2k)²)/((3k)² + (2k)²) = (9k² - 4k²)/(9k² + 4k²) = 5k²/13k² = 5/13

इस प्रकार, आवश्यक अनुपात 5:13 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रश्न में वर्णित संबंधों को देखते हुए, हम भिन्नताओं को गणितीय समीकरणों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूँकि x, y की mवीं घात के अनुसार बदलता है, हम x = k₁yᵐ लिखते हैं, जहाँ k₁ एक स्थिरांक है। इसी प्रकार, चूँकि y, z की nवीं घात के अनुसार बदलता है, हम y = k₂zⁿ लिखते हैं, जहाँ k₂ एक अन्य स्थिरांक है। x और z के बीच संबंध निर्धारित करने के लिए, हम x के समीकरण में y के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं: x = k₁(k₂zⁿ)ᵐ। घातांक के नियमों के अनुसार, विशेष रूप से घात के नियम (aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ, समीकरण सरल होकर x = k₁k₂ᵐzᵐⁿ हो जाता है। समस्या यह भी बताती है कि x, z की pवीं घात के अनुसार बदलता है, जिसका अर्थ है x = k₃zᵖ। x के दो परिणामी व्यंजकों में z की घातों की तुलना करके, हम पाते हैं कि p = mn। इसलिए, विकल्प (c) सही संबंध है।

व्याख्या

यह समाधान बीजगणितीय सर्वसमिका पर आधारित है जो बताती है कि यदि x + y + z = 0 है, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz। यह शर्त पूरी होती है या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए, हम x, y और z के लिए दिए गए व्यंजकों का विस्तार करते हैं:

x = (b - c)(a - d) = ab - bd - ac + cd y = (c - a)(b - d) = cb - cd - ab + ad z = (a - b)(c - d) = ac - ad - bc + bd

अब, हम इन तीन व्यंजकों का योग करते हैं: x + y + z = (ab - bd - ac + cd) + (bc - cd - ab + ad) + (ac - ad - bc + bd)

समान पदों को समूहित करके: x + y + z = (ab - ab) + (-bd + bd) + (-ac + ac) + (cd - cd) + (bc - bc) + (ad - ad) = 0

चूंकि x + y + z का योग ठीक शून्य है, हम सीधे सूत्र x³ + y³ + z³ = 3xyz लागू कर सकते हैं। इससे विकल्प (c) सही परिणाम बनता है। यह शॉर्टकट द्विपद गुणनफलों के घन की थकाऊ गणना से बचाता है और प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं में इस तरह की समस्याओं को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का nवाँ पद सूत्र aₙ = a + (n-1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। दिया गया है कि 14वाँ पद a₁₄ = 6 और 6ठा पद a₆ = 14 है, हम संबंध aₘ - aₙ = (m-n)d का उपयोग करके सार्व अंतर d ज्ञात कर सकते हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 6 - 14 = (14 - 6)d प्राप्त होता है, जो -8 = 8d को सरल करता है, जिससे d = -1 प्राप्त होता है। 95वें पद a₉₅ को ज्ञात करने के लिए, हम 6वें पद को संदर्भ के रूप में उपयोग कर सकते हैं: a₉₅ = a₆ + (95-6)d। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, a₉₅ = 14 + 89(-1) = 14 - 89 = -75। इसलिए, विकल्प (a) सही है।

व्याख्या

माना y = sqrt(x/(x + 3)) है। समीकरण y - 1/y = -3/2 बन जाता है। 2y से गुणा करने पर 2y^2 + 3y - 2 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात समीकरण को हल करने पर, हमें y = 1/2 या y = -2 प्राप्त होता है। चूँकि y एक वर्गमूल है, y धनात्मक होना चाहिए, इसलिए y = 1/2। इस प्रकार, sqrt(x/(x + 3)) = 1/2, जिसका अर्थ है x/(x + 3) = 1/4। x के लिए हल करने पर, हमें 4x = x + 3 प्राप्त होता है, इसलिए 3x = 3, जिसका अर्थ है x = 1।

व्याख्या

किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, 3^(2n + 1) का इकाई अंक या तो 3 (यदि n सम है) या 7 (यदि n विषम है) होता है। 2^(2n + 1) का इकाई अंक या तो 2 (यदि n सम है) या 8 (यदि n विषम है) होता है। किसी भी स्थिति में, इकाई अंकों का योग 3 + 2 = 5 या 7 + 8 = 15 होता है। दोनों का परिणाम इकाई अंक 5 होता है।

व्याख्या

चूंकि k को एक सम धनात्मक पूर्णांक दिया गया है, हम इसे k = 2n के रूप में दर्शा सकते हैं, जहाँ n कोई धनात्मक पूर्णांक है। दिए गए व्यंजक (k² + 2k) में इसे प्रतिस्थापित करने पर, हमें (2n)² + 2(2n) = 4n² + 4n प्राप्त होता है। सामान्य पद को गुणनखंडित करने पर, व्यंजक 4n(n + 1) तक सरल हो जाता है। किन्हीं भी दो क्रमागत पूर्णांकों n और (n + 1) में, उनमें से एक सम होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि उनका गुणनफल n(n + 1) हमेशा 2 से विभाज्य है। परिणामस्वरूप, कुल व्यंजक 4n(n + 1) हमेशा 4 × 2 = 8 से विभाज्य है। 24 से विभाज्यता की जाँच के लिए, हम k के मानों का परीक्षण कर सकते हैं। k = 2 के लिए, व्यंजक 2² + 2(2) = 8 है, जो 8 से विभाज्य है लेकिन 24 से नहीं। k = 4 के लिए, व्यंजक 4² + 2(4) = 24 है, जो 24 से विभाज्य है। इस प्रकार, व्यंजक हमेशा 8 से विभाज्य है लेकिन हमेशा 24 से विभाज्य नहीं हो सकता है, जिससे विकल्प (b) सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

इस समस्या को प्रतियोगी परीक्षाओं में शीघ्रता से हल करने के लिए, जब वृद्धि दी गई हो तो प्रतिशत कमी के लिए मानक सूत्र का उपयोग करें: यदि A, B से r% अधिक है, तो B, A से (r/(100 + r) × 100)% कम है। इस मामले में, X का वेतन Y के वेतन से r = 20% अधिक है। सूत्र में मान रखने पर, हमें 20/(100 + 20) × 100 प्राप्त होता है। यह 20/120 × 100 तक सरल हो जाता है। भिन्न 20/120 को और सरल करने पर 1/6 प्राप्त होता है। इसलिए, गणना 1/6 × 100 हो जाती है, जो 50/3% के बराबर है। यह विकल्प (c) से मेल खाता है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम Y का वेतन 100 मानते हैं, तो X का वेतन 120 होगा। दोनों वेतनों के बीच का अंतर 20 है। यह ज्ञात करने के लिए कि Y, X से कितने प्रतिशत कम है, हम अंतर को X के वेतन से विभाजित करते हैं और 100 से गुणा करते हैं: (20/120) × 100, जो 50/3% के बराबर होता है।

व्याख्या

माना 2^x = y। समीकरण 4^x - 3 2^(x + 2) + 32 = 0, y^2 - 3 4y + 32 = 0 बन जाता है, जो कि y^2 - 12y + 32 = 0 है। गुणनखंडन करने पर (y - 8)(y - 4) = 0 प्राप्त होता है। अतः, y = 8 या y = 4। इसका मतलब है कि 2^x = 8 (x = 3) या 2^x = 4 (x = 2)। मूल 2 और 3 हैं।

व्याख्या

x^2 - x - 1 = 0 के लिए, मूलों का योग α + β = 1 और गुणनफल αβ = -1 है। तब α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ = 1^2 - 2(-1) = 3। आगे, α^4 + β^4 = (α^2 + β^2)^2 - 2(αβ)^2 = 3^2 - 2(-1)^2 = 9 - 2 = 7।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों के एक युग्म a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए, अद्वितीय हल की शर्त यह है कि रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करनी चाहिए, जो तब होता है जब x के गुणांकों का अनुपात y के गुणांकों के अनुपात के बराबर नहीं होता है। इसे मानक सूत्र a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ द्वारा व्यक्त किया जाता है। दिए गए समीकरणों kx - y = 2 और 6x - 2y = 3 में, गुणांक a₁ = k, b₁ = -1, a₂ = 6, और b₂ = -2 हैं। इन मानों को अद्वितीय हल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें k/6 ≠ (-1)/(-2) प्राप्त होता है। दाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर k/6 ≠ 1/2 प्राप्त होता है। k के लिए हल करने के लिए, असमानता के दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें, जिससे k ≠ (1/2) × 6 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप k ≠ 3 होता है। इसलिए, समीकरणों का एक अद्वितीय हल तब होता है जब k, 3 के बराबर नहीं होता है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

जब किसी द्विघात समीकरण के मूलों का योगफल और गुणनफल ज्ञात हो, तो समीकरण बनाने का मानक सूत्र x² - (मूलों का योगफल)x + (मूलों का गुणनफल) = 0 है। इस प्रश्न में, यह दिया गया है कि मूलों का योगफल 9 है और मूलों का गुणनफल भी 9 है। इन दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x² - (9)x + 9 = 0 प्राप्त होता है, जो सीधे x² - 9x + 9 = 0 के रूप में सरल हो जाता है। इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, हम पाते हैं कि यह विकल्प (d) से पूरी तरह मेल खाता है। यह दृष्टिकोण ऐसे प्रश्नों को प्रतियोगी परीक्षाओं में हल करने का सबसे तेज़ तरीका है क्योंकि इसमें अलग-अलग मूलों को खोजने की आवश्यकता नहीं होती है।

व्याख्या

p/q के रूप में व्यक्त एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि और केवल यदि हर q का अभाज्य गुणनखंडन केवल अभाज्य 2 और 5 से मिलकर बनता है, अर्थात्, q = 2ᵐ · 5ⁿ जहाँ m, n ≥ 0। यदि हर में 2 या 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड है, तो दशमलव प्रसार अनवसानी और आवर्ती होगा।

इस नियम को दिए गए विकल्पों पर लागू करने पर: विकल्प (a) में, हर 8 है, जिसे 2³ के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि इसमें केवल अभाज्य गुणनखंड 2 है, यह एक शांत दशमलव है। विकल्प (b) में, हर 16 है, जिसे 2⁴ के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि इसमें केवल अभाज्य गुणनखंड 2 है, यह एक शांत दशमलव है। विकल्प (c) में, हर 11 है। चूँकि 11, 2 या 5 के अलावा एक अभाज्य संख्या है, दशमलव प्रसार अनवसानी और आवर्ती है। विभाजन करने पर 3/11 = 0.272727... = 0.27 प्राप्त होता है। विकल्प (d) में, हर 25 है, जिसे 5² के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि इसमें केवल अभाज्य गुणनखंड 5 है, यह एक शांत दशमलव है।

इसलिए, विकल्प (c) सही उत्तर है।

व्याख्या

व्यंजक a²/bc + b²/ca + c²/ab का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले तीन भिन्नों के लिए एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात करते हैं। उभयनिष्ठ हर abc है। अंशों को तदनुसार समायोजित करके, व्यंजक (a³ + b³ + c³)/abc बन जाता है।

बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) के अनुसार, हम अंश का मान निर्धारित कर सकते हैं। चूँकि यह दिया गया है कि a + b + c = 0 है, सर्वसमिका का पूरा दायां पक्ष शून्य हो जाता है। इसका तात्पर्य है कि a³ + b³ + c³ - 3abc = 0, जो आगे a³ + b³ + c³ = 3abc को सरल करता है।

इस मान को हमारे सरलीकृत व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3abc/abc मिलता है। अंश और हर दोनों से abc पद को रद्द करके, अंतिम परिणाम 3 है। इसलिए, दिए गए व्यंजक का मान 3 है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट भिन्न को x/y द्वारा दर्शाया गया है। पहली शर्त के अनुसार, हर में 1 जोड़ने पर भिन्न 1/2 हो जाती है, जिसे समीकरण x/(y+1) = 1/2 के रूप में लिखा जा सकता है। इसे तिरछा गुणा करने पर 2x = y + 1, या 2x - y = 1 प्राप्त होता है। दूसरी शर्त के अनुसार, अंश में 1 जोड़ने पर भिन्न 1 हो जाती है, जिसे (x+1)/y = 1 के रूप में लिखा जा सकता है। यह x + 1 = y, या y - x = 1 तक सरल हो जाता है। x और y के मान ज्ञात करने के लिए, हम इन दो रैखिक समीकरणों को एक साथ हल करते हैं। समीकरणों (2x - y = 1) और (y - x = 1) को जोड़ने पर x = 2 प्राप्त होता है। x = 2 को समीकरण y - x = 1 में वापस प्रतिस्थापित करने पर y - 2 = 1 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है y = 3। इसलिए, मूल भिन्न x/y 2/3 है, जो विकल्प (b) के अनुरूप है। सत्यापन से पता चलता है कि 2/(3+1) = 2/4 = 1/2 और (2+1)/3 = 3/3 = 1।

व्याख्या

शांत जल में नाव की गति ज्ञात करने के लिए, हम धारा के साथ और धारा के विपरीत गति के सूत्रों का उपयोग करते हैं। धारा के साथ गति (s_d) की गणना दूरी को समय से विभाजित करके की जाती है: s_d = 9 किमी/2 घंटे = 4.5 किमी/घंटा। इसी तरह, धारा के विपरीत गति (sᵤ) की गणना sᵤ = 9 किमी/6 घंटे = 1.5 किमी/घंटा के रूप में की जाती है।

शांत जल में नाव की गति (v_b) धारा के साथ और धारा के विपरीत गति का अंकगणितीय माध्य है। सूत्र है v_b = (s_d + sᵤ)/2। परिकलित मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें v_b = (4.5 + 1.5)/2 = 6/2 = 3 किमी/घंटा प्राप्त होता है। इसलिए, विकल्प (a) सही मान है।

व्याख्या

मान लीजिए A की दक्षता 100% है। B की दक्षता 160% है। दक्षता A:B का अनुपात 100:160 या 5:8 है। चूँकि समय दक्षता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, इसलिए समय A:B का अनुपात 8:5 है। दिया गया है कि A 24 दिन लेता है, तो 8 इकाई = 24 दिन, इसलिए 1 इकाई = 3 दिन। B 5 इकाई = 5 * 3 = 15 दिन लेता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की उन समस्याओं के लिए जहाँ कोई धनराशि स्वयं की एक निश्चित गुणक बन जाती है, समय T और गुणक n के बीच संबंध सूत्र (T₁)/(n₁ - 1) = (T₂)/(n₂ - 1) द्वारा दिया जाता है, जहाँ T समय है और n वह संख्या है जितने गुना मूलधन बढ़ता है।

पहले मामले में, धनराशि तिगुनी हो जाती है, इसलिए n₁ = 3, और समय T₁ = 15 वर्ष और 6 महीने, जो 15.5 वर्ष या 31/2 वर्ष है। दूसरे मामले में, धनराशि दोगुनी हो जाती है, इसलिए n₂ = 2, और हमें समय T₂ ज्ञात करना है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 15.5/(3 - 1) = T₂/(2 - 1) 15.5/2 = T₂/1 T₂ = 7.75 वर्ष

दशमलव भाग को महीनों में बदलने के लिए, 0.75 को 12 से गुणा करें: 0.75 × 12 = 9 महीने

इसलिए, धनराशि 7 वर्ष और 9 महीने में दोगुनी हो जाएगी, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

इस समस्या को शीघ्रता से हल करने के लिए, क्रय मूल्य के आधार पर दो विक्रय मूल्यों के बीच सीधे संबंध का उपयोग करें। हानि से लाभ में संक्रमण के दौरान नए विक्रय मूल्य का सूत्र है SP₂ = SP₁ × (100 + लाभ%)/(100 - हानि%).

दिया गया है: SP₁ = 240 हानि% = 4% लाभ% = 10%

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: SP₂ = 240 × (100 + 10)/(100 - 4) SP₂ = 240 × 110/96

240 और 96 को उनके महत्तम समापवर्तक, 24 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाना: 240 ÷ 24 = 10 96 ÷ 24 = 4

SP₂ = 10 × 110/4 SP₂ = 1100/4 SP₂ = 275

इस प्रकार, 10% का लाभ प्राप्त करने के लिए व्यापारी को वस्तु ₹ 275 (विकल्प a) में बेचनी चाहिए।

व्याख्या

मान लीजिए कक्षा की कुल छात्र संख्या T है। मान लीजिए लड़कों की संख्या B और लड़कियों की संख्या G है। दी गई शर्त के अनुसार, लड़कों और लड़कियों की संख्या का अंतर कुल छात्र संख्या का 12% है, जिसे B - G = 0.12 T के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम यह भी जानते हैं कि कुल छात्र संख्या लड़कों और लड़कियों का योग है, इसलिए B + G = T।

B और G का मान ज्ञात करने के लिए, हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर (B + G) + (B - G) = T + 0.12 T से 2B = 1.12 T प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है B = 0.56 T। पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर (B + G) - (B - G) = T - 0.12 T से 2G = 0.88 T प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है G = 0.44 T।

लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का आवश्यक अनुपात B : G = 0.56 T : 0.44 T है। दोनों पक्षों को 0.04 T से विभाजित करके इस अनुपात को सरल बनाने पर, हमें 56 : 44 = 14 : 11 प्राप्त होता है। इस प्रकार, सही अनुपात 14:11 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्याएँ 3k, 2k, और 5k हैं। उनके वर्गों का योग (3k)^2 + (2k)^2 + (5k)^2 = 1862 है। इसे सरल करने पर 9k^2 + 4k^2 + 25k^2 = 1862 प्राप्त होता है, इसलिए 38k^2 = 1862। k^2 = 1862 / 38 = 49, इसलिए k = 7। संख्याएँ 37 = 21, 27 = 14, और 5*7 = 35 हैं।

व्याख्या

चूंकि x = -1 द्विघात समीकरण ax² + x - 3 = 0 का एक मूल है, यह समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। x = -1 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें a(-1)² + (-1) - 3 = 0 मिलता है, जो a - 1 - 3 = 0 को सरल करता है, जिससे a = 4 प्राप्त होता है।

द्विघात समीकरण अब 4x² + x - 3 = 0 है। दूसरे मूल को ज्ञात करने के लिए, हम द्विघात समीकरण Ax² + Bx + C = 0 के मूलों के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हैं, जो x₁ · x₂ = C/A है। यहाँ, A = 4, C = -3, और एक मूल x₁ = -1 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें -1 · x₂ = -3/4 मिलता है। दोनों पक्षों को -1 से गुणा करने पर, हमें दूसरा मूल x₂ = 3/4 मिलता है। इस प्रकार, विकल्प (c) सही है।

व्याख्या

1/2 log10 25 - 2 log10 3 + log10 18 = log10(25^1/2) - log10(3^2) + log10 18 = log10 5 - log10 9 + log10 18 = log10(5 / 9 * 18) = log10(10) = 1।

व्याख्या

मान लीजिए r एक परिमेय संख्या है और x एक अपरिमेय संख्या है। परिमेय संख्या को p/q के रूप में व्यक्त की जा सकने वाली कोई भी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। अपरिमेय संख्या वह है जिसे इस रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उनके गुणनफल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए, इस गुण पर विचार करें कि एक गैर-शून्य परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है। इसे विरोधाभास द्वारा सिद्ध किया जा सकता है: यदि गुणनफल r · x = q है, जहाँ q एक परिमेय संख्या है, तो x = q/r। चूँकि दो परिमेय संख्याओं का विभाजन भी परिमेय होता है, x को परिमेय होना चाहिए, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि x अपरिमेय है। इसलिए, परिणाम एक अपरिमेय संख्या होनी चाहिए, जिससे विकल्प (b) सही विकल्प बन जाता है। यद्यपि यदि परिमेय संख्या शून्य है तो गुणनफल परिमेय होता है, मानक प्रतिस्पर्धी परीक्षा के संदर्भों में, गैर-शून्य परिमेय के लिए सामान्य गुण लागू किया जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए भवन की ऊँचाई h है और भवन तथा मीनार के बीच की दूरी x है। मीनार की ऊँचाई H = 75 मीटर दी गई है। प्रश्न के अनुसार, भवन के तल से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण θ₁ = 60° है, और भवन के शीर्ष से उन्नयन कोण θ₂ = 60°/2 = 30° है।

सूत्र tan θ = लम्ब/आधार का प्रयोग करके, हम दो समकोण त्रिभुजों का विश्लेषण करते हैं। भवन के तल से बनने वाले त्रिभुज के लिए: tan 60° = H/x √3 = 75/x x = 75/√3 = 25√3 मीटर।

अब, भवन के शीर्ष से बनने वाले त्रिभुज के लिए, लम्ब दूरी ऊँचाइयों का अंतर (H - h) है: tan 30° = (H - h)/x 1/√3 = (75 - h)/(25√3)

दोनों पक्षों को 25√3 से गुणा करने पर: (25√3)/√3 = 75 - h 25 = 75 - h h = 75 - 25 = 50 मीटर।

अतः, भवन की ऊँचाई 50 मीटर है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

प्रथम चतुर्थांश में, जहाँ 0 ≤ θ ≤ π/2 है, फलन cos θ एक एकदिष्ट ह्रासमान फलन है। इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे कोण θ बढ़ता है, cos θ का मान घटता जाता है। हम मानक त्रिकोणमितीय मानों से जानते हैं कि cos(π/3) = 1/2। चूँकि फलन ह्रासमान है, cos θ का मान 1/2 से बड़ा या उसके बराबर होने के लिए, कोण θ का मान उस कोण से कम या उसके बराबर होना चाहिए जिसका कोसाइन 1/2 है। इसलिए, यदि cos θ ≥ cos(π/3), तो इसका सीधा अर्थ है कि θ ≤ π/3। यह सीमा 0 से लेकर π/3 रेडियन तक के सभी मानों को कवर करती है, जिससे विकल्प (a) सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 1° से 90° तक के कोणों के लिए कोसाइन मानों का गुणनफल है। पदों का क्रम cos 1° × cos 2° × cos 3° × ... × cos 89° × cos 90° है। त्रिकोणमिति में, cos 90° का मान ठीक 0 होता है। गणित में शून्य गुणनफल गुणधर्म के अनुसार, यदि गुणन श्रृंखला में कोई एक गुणनखंड शून्य है, तो अन्य पदों के मानों की परवाह किए बिना, पूरा गुणनफल शून्य हो जाता है। इसलिए, चूँकि cos 90° = 0 अनुक्रम का अंतिम पद है, पूरा व्यंजक 0 × (अन्य पदों का गुणनफल) = 0 के बराबर हो जाता है। इससे विकल्प (b) सही विकल्प बन जाता है।

व्याख्या

दो ऊर्ध्वाधर खंभों के शीर्षों के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार करके पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। इस त्रिभुज का आधार खंभों के पैरों के बीच की दूरी है, और लंब दोनों खंभों की ऊँचाइयों के बीच का अंतर है।

शीर्षों के बीच की दूरी D के लिए सूत्र है: D = √(d² + (h₂ - h₁)²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पैरों के बीच की दूरी d = 12 मीटर खंभा 1 की ऊँचाई h₁ = 6 मीटर खंभा 2 की ऊँचाई h₂ = 11 मीटर

सबसे पहले, ऊँचाइयों के अंतर की गणना करें: h₂ - h₁ = 11 - 6 = 5 मीटर

अब, इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें: D = √(12² + 5²) D = √(144 + 25) D = √169 D = 13 मीटर

शीर्षों के बीच की दूरी 13 मीटर है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है। यह पाइथागोरियन त्रिक (5, 12, 13) का एक मानक अनुप्रयोग है, जो त्वरित मानसिक गणना की अनुमति देता है।

व्याख्या

sin θ cos θ का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करें। दिए गए समीकरण sin θ + cos θ = 1 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (sin θ + cos θ)² = 1² प्राप्त होता है। बाईं ओर का विस्तार करने पर, हमें sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ = 1 मिलता है। हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से जानते हैं कि sin² θ + cos² θ = 1। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 + 2 sin θ cos θ = 1 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर 2 sin θ cos θ = 0 मिलता है। 2 से भाग देने पर, हमें sin θ cos θ = 0 प्राप्त होता है। यह सीधे विकल्प b की ओर ले जाता है।

व्याख्या

व्यंजक √((1 + sin θ)/(1 - sin θ)) को हल करने के लिए, हम हर का परिमेयकरण विधि का उपयोग करते हैं। वर्गमूल के अंदर अंश और हर को हर के संयुग्मी (1 + sin θ) से गुणा करें। इससे √(((1 + sin θ)(1 + sin θ))/((1 - sin θ)(1 + sin θ))) प्राप्त होता है। अंश (1 + sin θ)² हो जाता है और हर (1 - sin² θ) हो जाता है। मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम 1 - sin² θ को cos² θ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। व्यंजक तब √((1 + sin θ)²/cos² θ) बन जाता है। वर्गमूल हटाने पर (1 + sin θ)/cos θ प्राप्त होता है। अंश में प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर, हमें 1/cos θ + sin θ/cos θ मिलता है। चूँकि 1/cos θ = sec θ और sin θ/cos θ = tan θ है, अंतिम सरलीकृत रूप sec θ + tan θ है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए मीनार की ऊंचाई h है और छाया की लंबाई s है। ऊंचाई, छाया और सूर्य के उन्नयन कोण θ के बीच संबंध त्रिकोणमितीय सूत्र tan(θ) = h/s द्वारा दिया जाता है। चूँकि मीनार की ऊंचाई h दोनों परिदृश्यों में स्थिर रहती है, हम संबंध s₁ tan(θ₁) = s₂ tan(θ₂) का उपयोग कर सकते हैं। दिए गए मान s₁ = 15 मीटर, θ₁ = 30°, और θ₂ = 60° को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण 15 tan(30°) = s₂ tan(60°) बन जाता है। मानक मानों tan(30°) = 1/√3 और tan(60°) = √3 का उपयोग करते हुए, हमें 15 × 1/√3 = s₂ × √3 प्राप्त होता है। s₂ ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: s₂ = 15/(√3 × √3) = 15/3 = 5 मीटर। इसलिए, जब सूर्य की ऊंचाई 60° होती है तो छाया की लंबाई 5 मीटर होती है, जो विकल्प c से मेल खाती है।

व्याख्या

सही अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने के लिए, हम सही और गलत मानों के बीच अंतर के आधार पर माध्य सुधार के सूत्र का उपयोग करते हैं। सही माध्य की गणना प्रेक्षणों के योग में शुद्ध परिवर्तन को गलत माध्य में जोड़कर और प्रेक्षणों की कुल संख्या n से विभाजित करके की जाती है।

सूत्र है: सही माध्य = गलत माध्य + (Σ सही मान - Σ गलत मान)/n

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: गलत माध्य = 89.05 n = 100 सही मान = 92 और 83 गलत मान = 192 और 33

सही माध्य = 89.05 + ((92 + 83) - (192 + 33))/100 सही माध्य = 89.05 + (175 - 225)/100 सही माध्य = 89.05 + -50/100 सही माध्य = 89.05 - 0.50 = 88.55

इस प्रकार, 100 संख्याओं का सही अंकगणितीय माध्य 88.55 है, जो विकल्प a) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज के आंतरिक कोणों को ∠A, ∠B, और ∠C से दर्शाया गया है। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार, तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है, जिसे सूत्र ∠A + ∠B + ∠C = 180° द्वारा व्यक्त किया जाता है। दी गई शर्त में कहा गया है कि दो कोणों का योग तीसरे कोण के बराबर है, जिसे ∠A + ∠B = ∠C के रूप में लिखा जा सकता है। इस मान को कोण योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠C + ∠C = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2∠C = 180° हो जाता है। ∠C के लिए हल करने पर ∠C = 90° प्राप्त होता है। चूँकि आंतरिक कोणों में से एक ठीक 90° है, परिभाषा के अनुसार त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, जिससे विकल्प (a) सही उत्तर है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार, बहिष्कोण का माप उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है। त्रिभुज ABC में, भुजा BC को D तक बढ़ाकर बहिष्कोण ∠ACD बनाया गया है, जिससे ∠BAC और ∠ABC सम्मुख अंतः कोण बनते हैं। इसलिए, हम सूत्र ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC का उपयोग करते हैं।

दिया गया है कि ∠ACD = 120° और ∠ABC = 2/3 ∠CAB, माना ∠BAC = x। तब, ∠ABC = 2/3x। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 120° = x + 2/3x 120° = 5/3x x के लिए हल करने के लिए, दोनों पक्षों को 3/5 से गुणा करें: x = 120° × 3/5 x = 24° × 3 x = 72°

इस प्रकार, ∠BAC = 72°, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

ज्यामिति में स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय के अनुसार, जब किसी बाह्य बिंदु P से एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खंड PC और एक छेदक खंड PAB खींचा जाता है, तो स्पर्शरेखा खंड की लंबाई का वर्ग पूरे छेदक खंड और उसके बाह्य भाग की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। इस संबंध का गणितीय सूत्र PC² = PA × PB है।

ज्यामितीय शब्दों में, PC² भुजा PC वाले वर्ग के क्षेत्रफल को दर्शाता है, और गुणनफल PA × PB भुजाओं PA और PB वाले आयत के क्षेत्रफल को दर्शाता है। इसलिए, भुजाओं PA और PB वाले आयत का क्षेत्रफल भुजा PC वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। यह सीधे पुष्टि करता है कि वृत्त के गुणों के आधार पर विकल्प A सही कथन है।

व्याख्या

चूंकि AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाएँ हैं, ∠BOC और ∠AOC एक रैखिक युग्म बनाते हैं। रैखिक युग्म अभिधारणा के अनुसार, एक सीधी रेखा पर आसन्न कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠AOC = 180° - ∠BOC = 180° - 130° = 50°।

चूंकि OF, ∠BOC का आंतरिक समद्विभाजक है, हमारे पास ∠FOC = 1/2 ∠BOC = 130°/2 = 65° है। इसी प्रकार, चूंकि OE, ∠AOC का आंतरिक समद्विभाजक है, हमारे पास ∠EOC = 1/2 ∠AOC = 50°/2 = 25° है। ∠FOE का माप इन दोनों कोणों का योग है: ∠FOE = ∠FOC + ∠EOC = 65° + 25° = 90°।

प्रतिस्पर्धा परीक्षाओं के लिए एक शॉर्टकट के रूप में, उस प्रमेय को याद रखें कि किन्हीं दो आसन्न संपूरक कोणों के आंतरिक समद्विभाजकों के बीच का कोण हमेशा 90° होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि x/2 + (180° - x)/2 = 180°/2 = 90°, कोणों के विशिष्ट मापों पर ध्यान दिए बिना। इस प्रकार, विकल्प a सही है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज के अंकित वृत्त (अंतःत्रिज्या) की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र r = A/s का उपयोग करते हैं, जहाँ A त्रिभुज का क्षेत्रफल है और s अर्ध-परिमाप है। सबसे पहले, अर्ध-परिमाप s की गणना सूत्र s = (a + b + c)/2 का उपयोग करके करें। दी गई भुजाओं a = 35 सेमी, b = 44 सेमी और c = 75 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें s = (35 + 44 + 75)/2 = 154/2 = 77 सेमी प्राप्त होता है। अगला, हम हेरॉन के सूत्र A = √s(s-a)(s-b)(s-c) का उपयोग करके क्षेत्रफल A ज्ञात करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, A = √77(77-35)(77-44)(77-75) = √77 × 42 × 33 × 2। इन्हें अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने पर, हमें A = √(7 × 11) × (7 × 3 × 2) × (3 × 11) × 2 = √2² × 3² × 7² × 11² = 2 × 3 × 7 × 11 = 462 वर्ग सेमी प्राप्त होता है। अंत में, अंतःत्रिज्या r = 462/77 = 6 सेमी है। इसलिए, सही विकल्प (d) है।

व्याख्या

किसी घनाभ के अंदर रखी जा सकने वाली छड़ की अधिकतम लंबाई उसके विकर्ण (space diagonal) के बराबर होती है, जो बक्से के दो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है। लंबाई l, चौड़ाई b और ऊंचाई h वाले घनाभ के विकर्ण d की गणना का सूत्र d = √(l² + b² + h²) है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: l = 30 सेमी, b = 24 सेमी, और h = 18 सेमी। d = √(30² + 24² + 18²) d = √(900 + 576 + 324) d = √1800

√1800 को सरल करने के लिए, हम सबसे बड़े पूर्ण वर्ग को बाहर निकालते हैं: d = √(900 × 2) d = 30√2 सेमी।

इसलिए, घनाभ के अंदर फिट होने वाली छड़ की अधिकतम लंबाई 30√2 सेमी है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए दो गोलों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं। गोले के आयतन का सूत्र V = 4/3 π r³ है। समस्या के अनुसार, उनके आयतनों का अनुपात V₁/V₂ = 8/1 है। इससे (4/3 π r₁³)/(4/3 π r₂³) = 8/1 प्राप्त होता है, जो (r₁/r₂)³ = 8/1 को सरल करता है। दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर, हमें पता चलता है कि उनकी त्रिज्याओं का अनुपात r₁/r₂ = ∛8/∛1 = 2/1 है। गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र A = 4 π r² है। इसलिए, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात A₁/A₂ = (4 π r₁²)/(4 π r₂²) = (r₁/r₂)² है। त्रिज्याओं के परिकलित अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A₁/A₂ = (2/1)² = 4/1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात 4:1 है, जो विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि समान बॉर्डर की चौड़ाई x मीटर है। बाहरी बोर्ड के आयाम 4 मीटर और 3 मीटर हैं। चूंकि बॉर्डर सभी तरफ लगाया गया है, इसलिए आंतरिक पेंट किए गए आयत के आयाम लंबाई और चौड़ाई दोनों में 2x से कम हो जाते हैं। इसलिए, आंतरिक लंबाई (4 - 2x) और आंतरिक चौड़ाई (3 - 2x) है।

क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई का उपयोग करके, हम दिए गए 6 वर्ग मीटर के पेंट किए गए क्षेत्रफल के आधार पर निम्नलिखित समीकरण स्थापित करते हैं: (4 - 2x)(3 - 2x) = 6

गुणनफल का विस्तार करने पर: 12 - 8x - 6x + 4x² = 6 4x² - 14x + 6 = 0

समीकरण को सरल बनाने के लिए 2 से विभाजित करने पर: 2x² - 7x + 3 = 0

द्विघात समीकरण को गुणनखंडन द्वारा हल करने पर: 2x² - 6x - x + 3 = 0 2x(x - 3) - 1(x - 3) = 0 (2x - 1)(x - 3) = 0

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = 0.5 या x = 3। चूंकि बॉर्डर की चौड़ाई 3 मीटर नहीं हो सकती क्योंकि बोर्ड की कुल चौड़ाई केवल 3 मीटर है, हम x = 3 को अस्वीकार करते हैं। इस प्रकार, बॉर्डर की चौड़ाई 0.5 मीटर है, जो विकल्प (b) से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि ठोस बेलन की त्रिज्या r और ऊँचाई h है। दिया गया है कि h = 9 मीटर। बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) का सूत्र 2πrh है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का सूत्र 2πrh + 2πr² है। प्रश्न के अनुसार, CSA, TSA के एक-तिहाई के बराबर है: 2πrh = 1/3(2πrh + 2πr²) समीकरण के दोनों पक्षों को 2πr से विभाजित करने पर संबंध सरल हो जाता है: h = 1/3(h + r) भिन्न को हटाने के लिए 3 से गुणा करने पर: 3h = h + r r के लिए हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: r = 3h - h r = 2h दिए गए h = 9 मीटर के मान को प्रतिस्थापित करने पर: r = 2 × 9 = 18 मीटर अतः, आधार की त्रिज्या 18 मीटर है, जो विकल्प b से मेल खाती है।

व्याख्या

जब एक आयताकार चादर को उसकी एक भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो परिणामी त्रि-आयामी आकृति एक बेलन होती है। इस समस्या में, चादर को उसकी लंबाई के परितः घुमाया जाता है, जिसका अर्थ है कि आयत की लंबाई बेलन की ऊंचाई h बन जाती है और आयत की चौड़ाई बेलन के आधार की त्रिज्या r बन जाती है। दी गई विमाओं 7 सेमी × 4 सेमी के अनुसार, हमारे पास ऊंचाई h = 7 सेमी और त्रिज्या r = 4 सेमी है।

बेलन का आयतन V सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें V = 22/7 × (4)² × 7 प्राप्त होता है। हर में 7 अंश में ऊंचाई 7 के साथ कट जाता है, जिससे व्यंजक V = 22 × 16 हो जाता है। गुणनफल की गणना करने पर, 22 × 16 = 352। इस प्रकार, बनी आकृति का आयतन 352 सेमी³ है, जो विकल्प a से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए घनाभ की विमाएँ a, b, c हैं। तीन फलकों के विकर्ण पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार x² = a² + b², y² = b² + c², और z² = c² + a² हैं। आयतन V = abc ज्ञात करने के लिए, हम पहले a², b², c² के मान x, y, z के पदों में ज्ञात करते हैं।

तीनों समीकरणों को जोड़ने पर 2(a² + b² + c²) = x² + y² + z² प्राप्त होता है, इसलिए a² + b² + c² = (x² + y² + z²)/2।

इस योग से मूल समीकरणों को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है: a² = (a² + b² + c²) - (b² + c²) = (x² + y² + z²)/2 - y² = (x² + z² - y²)/2 b² = (a² + b² + c²) - (c² + a²) = (x² + y² + z²)/2 - z² = (x² + y² - z²)/2 c² = (a² + b² + c²) - (a² + b²) = (x² + y² + z²)/2 - x² = (y² + z² - x²)/2

आयतन का वर्ग V² = a² b² c² है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V² = ((x² + z² - y²)/2) · ((x² + y² - z²)/2) · ((y² + z² - x²)/2) V² = ((y² + z² - x²)(z² + x² - y²)(x² + y² - z²))/8

वर्गमूल लेने पर, हमें V = √( (y² + z² - x²)(z² + x² - y²)(x² + y² - z²) ) / (2√2) प्राप्त होता है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

माना गेंद की त्रिज्या r है। तब टंकी की त्रिज्या R = 4r और ऊँचाई H = 4r है। टंकी का कुल आयतन = pi (4r)^2 4r = 64 pi r^3। चूँकि टंकी आधी भरी है, उपलब्ध आयतन 32 pi r^3 है। एक गेंद का आयतन = 4/3 pi r^3। गेंदों की संख्या = (32 pi r^3) / (4/3 pi r^3) = 32 * 3 / 4 = 24।

व्याख्या

त्रिज्याएँ R1 = 18/2 = 9 सेमी और R2 = 8/2 = 4 सेमी हैं। केंद्रों के बीच की दूरी d = 13 सेमी है। चूँकि R1 + R2 = 9 + 4 = 13 सेमी, केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर है। इसका मतलब है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं। दो बाहरी रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए, ठीक 3 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

व्याख्या

एक शंकु का आयतन V = 1/3 πr²h सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h शंकु की ऊँचाई है। इस समस्या में, केवल ऊँचाई बढ़ाई जा रही है, जबकि त्रिज्या स्थिर रहती है। इसलिए, शंकु का आयतन सीधे उसकी ऊँचाई के समानुपाती होता है, जिसे V ∝ h के रूप में दर्शाया जाता है।

जब ऊँचाई 50% बढ़ाई जाती है, तो नई ऊँचाई hₙₑᵥᵥ, h + 0.5h = 1.5h हो जाती है। चूँकि संबंध रैखिक है, नया आयतन Vₙₑᵥᵥ मूल आयतन V का 1.5 गुना होगा। आयतन में प्रतिशत वृद्धि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (Vₙₑᵥᵥ - Vₒₗ₀)/Vₒₗ₀ × 100। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1.5V - V)/V × 100 = 0.5V/V × 100 = 50% प्राप्त होता है। इस प्रकार, विकल्प c सही है।

व्याख्या

जब तीन घनाकार वस्तुओं को पिघलाकर एक एकल घन बनाया जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। घन का आयतन सूत्र V = s³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ s भुजा की लंबाई है।

तीन घनाकार बिस्कुटों का कुल आयतन है: Vₜₒₜₐₗ = 0.3³ + 0.4³ + 0.5³ Vₜₒₜₐₗ = 0.027 + 0.064 + 0.125 = 0.216 मीटर³

मान लीजिए कि परिणामी एकल घनाकार बिस्कुट की भुजा S है। तब: S³ = 0.216 S = ∛0.216 = 0.6 मीटर

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र TSA = 6S² का उपयोग करके गणना की जाती है। भुजा S का मान प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 6 × (0.6)² TSA = 6 × 0.36 = 2.16 मीटर²

इस प्रकार, नए घनाकार बिस्कुट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 2.16 मीटर² है, जो विकल्प d से मेल खाता है।

व्याख्या

साइकिल की गति ज्ञात करने के लिए, हम पहले पहिये की प्रभावी बाहरी त्रिज्या निर्धारित करते हैं, क्योंकि तय की गई दूरी सबसे बाहरी परिधि पर निर्भर करती है। आंतरिक त्रिज्या आंतरिक व्यास की आधी होती है, जो 50 / 2 = 25 सेमी है। इसमें 10 सेमी की मोटाई जोड़ने पर बाहरी त्रिज्या R = 25 + 10 = 35 सेमी = 0.35 मीटर प्राप्त होती है।

एक चक्कर में तय की गई दूरी का सूत्र परिधि C = 2πR है। n चक्करों के लिए, कुल दूरी D = n × 2πR द्वारा दी जाती है। गति v कुल दूरी को कुल समय t से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जिसे सूत्र v = (n × 2πR)/t द्वारा व्यक्त किया जाता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: v = (10 × 2 × π × 0.35)/5 v = (20 × 3.14159 × 0.35)/5 v = 4 × 3.14159 × 0.35 v = 1.4 × 3.14159 v ≈ 4.398 मीटर/सेकंड

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें 4.4 मीटर/सेकंड प्राप्त होता है, जो विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

अर्धवृत्त के रूप में मोड़े गए तार की लम्बाई उस अर्धवृत्त की कुल परिधि को दर्शाती है। अर्धवृत्त की परिधि P, वक्रित चाप की लम्बाई और सीधे व्यास का योग होती है। परिधि का सूत्र P = πr + 2r है, जहाँ r त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि तार की लम्बाई P = 36 सेमी है, हम π = 22/7 का उपयोग करके सूत्र में मान रखते हैं:

36 = r(22/7 + 2)

r के लिए हल करने के लिए, पहले कोष्ठक के अंदर के पदों के लिए एक सामान्य हर ज्ञात करें:

36 = r((22 + 14)/7)

36 = r(36/7)

अब, दोनों पक्षों को 7/36 से गुणा करके r को अलग करें:

r = (36 × 7)/36

r = 7 सेमी

इस प्रकार, अर्धवृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, जो विकल्प (c) से मेल खाती है।

व्याख्या

हटाई गई मिट्टी का कुल आयतन इस सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है: कुल आयतन = वारों की संख्या × प्रति वार हटाई गई मिट्टी का आयतन। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, कुल आयतन = 250 × 500 सेमी³ = 125,000 सेमी³। गड्ढा एक घनाभ के आकार का है, इसलिए इसका आयतन भी इस सूत्र द्वारा निर्धारित होता है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × गहराई। आधार के आयाम 50 सेमी × 50 सेमी दिए गए हैं, हम समीकरण 50 सेमी × 50 सेमी × गहराई = 125,000 सेमी³ स्थापित करते हैं। यह 2500 × गहराई = 125,000 को सरल करता है। गहराई के लिए हल करने पर, हमें गहराई = 125,000 / 2500 = 50 सेमी मिलती है। अंतिम उत्तर को विकल्पों के अनुसार मीटर में व्यक्त करने के लिए, हम रूपांतरण 1 मीटर = 100 सेमी का उपयोग करते हैं, जिससे गहराई = 50 / 100 = 0.5 मीटर मिलती है। यह विकल्प डी से मेल खाता है।

व्याख्या

माना लड़कों की संख्या B और लड़कियों की संख्या G है। B + G = 150। कुल भार 150 * 60 = 9000 किग्रा है। भारों का योग 70B + 55G = 9000 है। B = 150 - G रखने पर, हमें 70(150 - G) + 55G = 9000 मिलता है, जो कि 10500 - 70G + 55G = 9000 है। फिर 15G = 1500, इसलिए G = 100।

व्याख्या

सभी अभ्यर्थियों के औसत अंक ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हैं: समग्र औसत = ((n₁ × A₁) + (n₂ × A₂))/(n₁ + n₂) इस मामले में, हम प्रतिशत को भार के रूप में उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए अभ्यर्थियों की कुल संख्या 100 है। हिंदी में लिखने वाले अभ्यर्थियों की संख्या (n₁) = 100 का 40% = 40 अंग्रेजी में लिखने वाले अभ्यर्थियों की संख्या (n₂) = 100 का (100% - 40%) = 100 का 60% = 60 हिंदी अभ्यर्थियों के लिए औसत अंक (A₁) = 74 अंग्रेजी अभ्यर्थियों के लिए औसत अंक (A₂) = 77

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: समग्र औसत = ((40 × 74) + (60 × 77))/(40 + 60) समग्र औसत = (2960 + 4620)/100 समग्र औसत = 7580/100 = 75.8

वैकल्पिक रूप से, विचलन की शॉर्टकट विधि का उपयोग करके: दो औसत के बीच का अंतर 77 - 74 = 3 है। अभ्यर्थियों का अनुपात हिंदी : अंग्रेजी = 40 : 60 = 2 : 3 है। समग्र औसत 74 + (3/(2+3) × 3) = 74 + (3/5 × 3) = 74 + 1.8 = 75.8 होगा। इस प्रकार, विकल्प b सही परिणाम है।

व्याख्या

दिए गए आवृत्ति वितरण में वर्ग अंतराल प्रस्तुत किए गए हैं जहाँ निम्न सीमा 0 पर स्थिर रहती है, जबकि ऊपरी सीमा प्रत्येक चरण में रैखिक रूप से बढ़ती है। ये अंतराल, जैसे 0-10, 0-20, 0-30, 0-40, और 0-50, अनिवार्य रूप से डेटा को ऐसे समूहों में वर्गीकृत करते हैं जो 10 से कम, 20 से कम, 30 से कम, और इसी तरह आगे भी हैं। इस प्रकार के वितरण में, प्रत्येक क्रमिक वर्ग की आवृत्ति सभी पूर्ववर्ती वर्गों की आवृत्तियों का योग होती है, जो स्पष्ट है क्योंकि आवृत्ति मान 3 से 25 तक एकदिष्ट रूप से बढ़ते हैं। इस विशिष्ट संरचना को 'से कम प्रकार' का संचयी आवृत्ति वितरण कहा जाता है। 'से अधिक प्रकार' के वितरण में, निम्न सीमा बदल जाएगी (जैसे, 0 से अधिक, 10 से अधिक) और सीमा बढ़ने पर आवृत्तियाँ सामान्यतः घटेंगी। इसलिए, विकल्प B इस सांख्यिकीय प्रतिनिधित्व की सही पहचान है।

व्याख्या

एक आयतचित्र (histogram) सांख्यिकी में एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग सतत चर के आवृत्ति वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। कथन I सही है क्योंकि एक आयतचित्र आवृत्ति वितरण तालिका के एक दृश्य समतुल्य के रूप में कार्य करता है, जहाँ x-अक्ष वर्ग अंतरालों का प्रतिनिधित्व करता है और y-अक्ष उन अंतरालों के भीतर अवलोकनों की आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। बार का कुल क्षेत्रफल डेटा सेट की कुल आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, जो डेटा वितरण, विषमता (skewness) और बहुलता (modality) की स्पष्ट तस्वीर प्रदान करता है।

कथन II गलत है क्योंकि यह सतत यादृच्छिक चरों की प्रकृति को गलत तरीके से प्रस्तुत करता है। एक आयतचित्र किसी भी सतत यादृच्छिक चर के लिए उपयुक्त है, भले ही डेटा कैसे वितरित किया गया हो। जबकि आयतचित्र एक विशिष्ट बिन (अंतराल) में समान रूप से वितरित होने वाली आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है ताकि एक आयताकार बार बनाया जा सके, सतत यादृच्छिक चर के वास्तविक डेटा बिंदु उन अंतरालों के भीतर शायद ही कभी समान रूप से वितरित होते हैं। बिन के भीतर एक समान वितरण ग्राफिकल निरूपण के लिए और ग्राफ से माध्यिका या बहुलक की गणना के लिए उपयोग की जाने वाली एक सरलीकरण धारणा है, न कि चर की स्वयं की एक पूर्व-आवश्यकता गुण।

व्याख्या

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, पहले मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 6, 7, 9, 11, 12, 15, 19। चूँकि 7 मान हैं (एक विषम संख्या), माध्यिका मध्य मान (चौथा मान) है, जो 11 है।

व्याख्या

M(x_i + y_i) = (1/n) sum(x_i + y_i) = (1/n) sum(x_i) + (1/n) * sum(y_i) = M(x_i) + M(y_i). सही है। G(x_i y_i) = (product(x_i y_i))^(1/n) = (product(x_i))^(1/n) (product(y_i))^(1/n) = G(x_i) G(y_i). सही है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त और वर्ग की समान परिधि P है। वृत्त के लिए, परिधि (परिधि) 2πr = P द्वारा दी जाती है, जिसका अर्थ है त्रिज्या r = P/2π। वृत्त का क्षेत्रफल A꜀ = πr² = π(P/2π)² = P²/4π है। वर्ग के लिए, परिधि 4s = P है, जहाँ s भुजा की लंबाई है, इसलिए s = P/4। वर्ग का क्षेत्रफल Aₛ = s² = (P/4)² = P²/16 है। दोनों क्षेत्रों की तुलना करने के लिए, हम हर 4π और 16 की तुलना करते हैं। चूँकि π लगभग 3.14159 है, 4π ≈ 12.566। चूँकि 12.566 < 16, P²/4π का मान P²/16 से अधिक है। इसलिए, वृत्त का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल से बड़ा है, जिससे विकल्प b सही हो जाता है। यह ज्यामिति में एक सामान्य गुण है जहाँ दी गई परिधि के लिए, वृत्त सभी बंद समतल आकृतियों में अधिकतम संभव क्षेत्रफल को घेरता है।

व्याख्या

यह मानते हुए कि प्रश्न में 32 1/2 के बजाय 322 है: यदि x - 1/x = 4, तो (x - 1/x)² = 16, जिसका अर्थ है x² + 1/x² - 2 = 16, इसलिए x² + 1/x² = 18। फिर (x² + 1/x²)² = 18² = 324, जिसका अर्थ है x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 324, इसलिए x⁴ + 1/x⁴ = 322। यह विकल्प D से मेल खाता है।

व्याख्या

कथन 1 ज्यामिति में AAA समरूपता कसौटी के आधार पर सही है। दो त्रिभुजों को समरूप कहा जाता है यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों। यदि दो त्रिभुज सम-कोणीय हैं, तो इसका मतलब है कि तीनों संगत कोण बराबर हैं। AAA प्रमेय के अनुसार, यह शर्त त्रिभुजों को समरूप सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है, भले ही उनका आकार (पैमाना) भिन्न हो सकता है।

कथन 2 गलत है क्योंकि क्षेत्रफल की समानता समरूपता का अर्थ नहीं है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है। कई त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान हो सकता है लेकिन उनके आयाम और कोण पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, 4 इकाई आधार और 3 इकाई ऊँचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई होता है। इसी तरह, 6 इकाई आधार और 2 इकाई ऊँचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल भी 6 वर्ग इकाई होता है। ये दो त्रिभुज आवश्यक रूप से समरूप नहीं हैं क्योंकि उनकी भुजाओं का अनुपात और आंतरिक कोण पूरी तरह से भिन्न हो सकते हैं। इस प्रकार, केवल कथन 1 सही है, जिससे विकल्प A सही उत्तर बनता है।

व्याख्या

किसी भी दो समरूप त्रिभुजों के लिए, एक मौलिक ज्यामितीय गुण होता है जो बताता है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: क्षेत्रफलों का अनुपात = (संगत भुजाओं का अनुपात)²।

इस समस्या में, संगत भुजाओं का अनुपात 9 : 4 दिया गया है। सूत्र को सीधे लागू करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: क्षेत्रफलों का अनुपात = (9/4)² क्षेत्रफलों का अनुपात = 9² / 4² क्षेत्रफलों का अनुपात = 81 / 16

इस प्रकार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 81 : 16 है, जो विकल्प (c) से मेल खाता है। यह ज्यामिति में एक मानक परिणाम है जहाँ किसी आकृति का क्षेत्रफल उसके रैखिक आयामों के वर्ग के साथ बढ़ता है।

व्याख्या

जिस चतुर्भुज की भुजाएँ किसी वृत्त की स्पर्शरेखाएँ होती हैं, उसे स्पर्श चतुर्भुज कहते हैं। किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं के गुणधर्म के अनुसार, एक ही शीर्ष से स्पर्श बिंदुओं तक के दो स्पर्शरेखा खंडों की लंबाई बराबर होती है। मान लीजिए कि भुजाओं AB, BC, CD, और DA पर स्पर्श बिंदु क्रमशः P, Q, R, और S हैं। इसलिए, AP = AS, BP = BQ, CQ = CR, और DR = DS।

भुजाओं के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, हम सम्मुख भुजाओं के योग की गणना करते हैं। भुजाओं AB और CD का योग AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) द्वारा दिया गया है। बराबर स्पर्शरेखा खंडों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें AB + CD = AS + BQ + CQ + DS प्राप्त होता है। इन पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम देखते हैं कि (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC। इस परिणाम को पिटोट प्रमेय (Pitot's Theorem) के रूप में जाना जाता है, जो बताता है कि एक स्पर्श चतुर्भुज के लिए, सम्मुख भुजाओं के योग बराबर होते हैं। इस प्रकार, AB + CD = AD + BC, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

माना 1 दर्जन पेंसिलों का विक्रय मूल्य (SP) है। दुकानदार 8 दर्जन पेंसिलें बेचता है, इसलिए कुल विक्रय मूल्य 8 × SP है। प्रश्न बताता है कि लाभ 1 दर्जन पेंसिलों के विक्रय मूल्य के बराबर है, जिसका अर्थ है लाभ = 1 × SP।

मूल सूत्र क्रय मूल्य (CP) = विक्रय मूल्य (SP) - लाभ का उपयोग करके, हम 8 दर्जन पेंसिलों के लिए क्रय मूल्य की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: कुल CP = (8 × SP) - (1 × SP) = 7 × SP।

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (लाभ/CP) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (SP / (7 × SP)) × 100 = 100/7%

अनुचित भिन्न 100/7 को मिश्रित भिन्न में बदलना: 100 ÷ 7 = 14 शेष 2 के साथ। इस प्रकार, लाभ प्रतिशत 14 2/7% है। यह विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

x:z का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त अनुपातों के गुणधर्म का उपयोग करते हैं जहाँ A का C से अनुपात, A का B से अनुपात और B का C से अनुपात का गुणनफल होता है। सूत्र है A/C = A/B × B/C। इस सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 = x/8 × 12/z मिलता है। दाईं ओर के व्यंजक को सरल करने पर, हमें 2 = 12x/8z मिलता है। 12/8 भिन्न को अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके और कम करने पर, हमें 2 = 3x/2z मिलता है। x/z अनुपात को अलग करने के लिए, 4 = 3x/z प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें। अब, दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर x/z = 4/3 प्राप्त होता है। इसलिए, x:z का अनुपात 4:3 है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

उस समीकरण को ज्ञात करने के लिए जिसके मूल -α⁻¹ और -β⁻¹ हैं, हम रूपांतरण विधि का उपयोग करते हैं जो ऐसे प्रश्नों के लिए सबसे तेज़ तरीका है। यदि मूल समीकरण x² + px + q = 0 के मूल α और β हैं, और हम y = -1/x मूल वाले समीकरण को खोजना चाहते हैं, तो हम मूल समीकरण में x = -1/y प्रतिस्थापित करते हैं।

x = -1/y को x² + px + q = 0 में प्रतिस्थापित करने पर: (-1/y)² + p(-1/y) + q = 0 1/y² - p/y + q = 0

हरों को समाप्त करने के लिए, पूरे समीकरण को y² से गुणा करें: y²(1/y²) - y²(p/y) + y²(q) = 0 1 - py + qy² = 0

मानक द्विघात रूप में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है: qy² - py + 1 = 0

y को x से बदलकर दिए गए विकल्पों से मिलान करने पर, हमें qx² - px + 1 = 0 प्राप्त होता है, जो विकल्प a) से मेल खाता है।

वैकल्पिक रूप से, मूलों के योग और गुणनफल का उपयोग करके: मूलों का योग α + β = -p और गुणनफल αβ = q। नए मूलों का योग S = -1/α - 1/β = -(α + β)/αβ = -(-p)/q = p/q। नए मूलों का गुणनफल P = (-1/α)(-1/β) = 1/αβ = 1/q। आवश्यक समीकरण x² - Sx + P = 0 है: x² - (p/q)x + 1/q = 0 q से गुणा करने पर qx² - px + 1 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

n धनात्मक संख्याओं x₁, x₂, ..., xₙ के एक समुच्चय का गुणोत्तर माध्य (GM) सूत्र GM = (x₁ · x₂ · ... · xₙ)¹/ⁿ द्वारा परिभाषित किया गया है। गुणोत्तर माध्य के एक धनात्मक वास्तविक संख्या के रूप में मौजूद होने के लिए, पदों का गुणनफल धनात्मक होना चाहिए। यदि समुच्चय में प्रत्येक संख्या को 2 से घटा दिया जाता है, तो कुछ संख्याएँ शून्य या ऋणात्मक हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि समुच्चय में संख्या 1 शामिल है, तो 2 घटाने पर -1 प्राप्त होता है। यदि परिणामी संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक है और n एक सम पूर्णांक है, तो n-वाँ मूल एक वास्तविक संख्या नहीं है, जिसका अर्थ है कि गुणोत्तर माध्य वास्तविक संख्या प्रणाली में मौजूद नहीं है। इसलिए, कथन I सही है।

कथन II गलत है क्योंकि गुणोत्तर माध्य एक रैखिक संकारक (linear operator) नहीं है। अंकगणितीय माध्य के विपरीत, जहाँ प्रत्येक पद में एक स्थिरांक k जोड़ने से माध्य k से बढ़ जाता है, गुणोत्तर माध्य इस गुण का पालन नहीं करता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय {1, 4} पर विचार करें। मूल GM √(1 · 4) = 2 है। यदि प्रत्येक संख्या को 2 से बढ़ाया जाता है, तो समुच्चय {3, 6} बन जाता है, और नया GM √(3 · 6) = √18 ≈ 4.24 होता है। यह मान 2 + 2 = 4 के बराबर नहीं है। इस प्रकार, प्रत्येक पद को 2 से बढ़ाने पर GM केवल 2 से नहीं बढ़ता है। विकल्प A सही उत्तर है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l की गणना सूत्र l = √(h² + (R - r)²) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ h छिन्नक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई को दर्शाता है, R बड़े आधार की त्रिज्या है, और r छोटे आधार की त्रिज्या है। समस्या से दिए गए मानों के अनुसार, ऊँचाई h = 9 सेमी, बड़ी त्रिज्या R = 6 सेमी, और छोटी त्रिज्या r = 3 सेमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम पहले त्रिज्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं: R - r = 6 सेमी - 3 सेमी = 3 सेमी। अब, तिर्यक ऊँचाई समीकरण में h और (R - r) को प्रतिस्थापित करते हुए: l = √(9² + 3²) l = √(81 + 9) l = √90 l = √(9 × 10) l = 3√10 सेमी।

इस प्रकार, दिए गए छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 3√10 सेमी है, जो विकल्प a से मेल खाती है।

व्याख्या

मूल शंकु की ऊँचाई समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है, क्योंकि शीर्ष से हटाए गए छोटे शंकु और बड़े मूल शंकु समरूप होते हैं। मान लीजिए H पूर्ण शंकु की ऊँचाई है, h छिन्नक की ऊँचाई है, R बड़े आधार की त्रिज्या है, और r छोटे आधार की त्रिज्या है। इन चरों के बीच संबंध सूत्र H = (R · h)/(R - r) द्वारा दिया गया है।

दिए गए मानों R = 6 सेमी, r = 3 सेमी, और h = 9 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: H = (6 · 9)/(6 - 3) = 54/3 = 18 सेमी।

वैकल्पिक रूप से, समरूपता अनुपात का उपयोग करके, त्रिज्याओं का अनुपात ऊँचाइयों के अनुपात के बराबर होता है: r/R = (H - h)/H 3/6 = (H - 9)/H 1/2 = (H - 9)/H H = 2(H - 9) H = 2H - 18 H = 18 सेमी।

इस प्रकार, शंकु की ऊँचाई 18 सेमी है, जो विकल्प (d) से मेल खाती है।

व्याख्या

छिन्नक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात करने के लिए, हमें इसके पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल और इसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करना होगा। दिए गए पैरामीटर बड़ी त्रिज्या R = 6 सेमी, छोटी त्रिज्या r = 3 सेमी, और ऊँचाई h = 9 सेमी हैं।

सबसे पहले, तिर्यक ऊँचाई l की गणना सूत्र l = √(h² + (R - r)²) का उपयोग करके करें। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: l = √(9² + (6 - 3)²) = √(81 + 3²) = √(81 + 9) = √90। रेडिकल को सरल करने पर l = 3√10 सेमी प्राप्त होता है।

अगला, हम छिन्नक के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र लागू करते हैं: TSA = π(R + r)l + πR² + πr²।

ज्ञात मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: TSA = π(6 + 3)(3√10) + π(6²) + π(3²) TSA = π(9)(3√10) + 36π + 9π TSA = 27π√10 + 45π।

विकल्पों से मिलान करने के लिए, व्यंजक से 9π को उभयनिष्ठ लें: TSA = 9π(3√10 + 5) सेमी²।

यह परिणाम विकल्प (b) से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया है कि AO:OC = BO:OD और ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण), ΔAOB, ΔCOD के SAS समरूपता से समरूप है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि ∠OAB = ∠OCD, जो सिद्ध करता है कि AB, CD के समानांतर है क्योंकि ये एकांतर अंतः कोण हैं। परिणामस्वरूप, चतुर्भुज ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = 1/2(AB + CD) × h

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1050 = 1/2(30 + 40) × h 1050 = 35h h = 1050/35 = 30 cm

दूरी AE समलंब चतुर्भुज की ऊंचाई h है, इसलिए AE = 30 cm। मान लीजिए F, CD रेखा पर B का प्रक्षेप है। चूँकि AB, CD के समानांतर है और AE, CD पर लंब है, ABFE एक आयत है। इस प्रकार, EF = AB = 30 cm और BF = AE = 30 cm।

समकोण त्रिभुज BFE में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: BE² = BF² + FE² BE² = 30² + 30² BE² = 900 + 900 = 1800 BE = √1800 = 30√2 cm

यह विकल्प b से मेल खाता है।

व्याख्या

दी गई शर्त AO/OC = BO/OD और तथ्य यह है कि ∠AOB = ∠COD (शीर्षाभिमुख कोण), SAS समरूपता कसौटी द्वारा ΔAOB, ΔCOD के समरूप है। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात AB/CD = 30/40 = 3/4 है। परिणामस्वरूप, विकर्णों के खंडों का अनुपात BO/OD = 3/4 है।

त्रिभुज ABC और ADC एक उभयनिष्ठ आधार AC साझा करते हैं। समान आधार वाले दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत ऊँचाइयों के अनुपात के बराबर होता है। चूँकि AC पर B से ऊँचाई और AC पर D से ऊँचाई क्रमशः BO और OD खंडों के समानुपाती है, हमारे पास Area(ΔABC)/Area(ΔADC) = BO/OD = 3/4 है।

मान लीजिए ΔADC का क्षेत्रफल x है। तब ΔABC का क्षेत्रफल 3/4x है। चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल इन दो त्रिभुजों का योग है: 3/4x + x = 1050 7/4x = 1050 x = (1050 × 4)/7 x = 150 × 4 = 600cm²

इस प्रकार, ΔADC का क्षेत्रफल 600cm² है, जो विकल्प c से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया है कि AO:OC = BO:OD, इसलिए त्रिभुज ΔAOB और ΔCOD SAS समरूपता कसौटी (चूंकि ∠AOB = ∠COD शीर्ष कोण हैं) द्वारा समरूप हैं। इससे पता चलता है कि AB, CD के समानांतर है, जिससे ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज बन जाता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = 1/2 × (AB + CD) × h द्वारा दिया जाता है, जहाँ h समानांतर भुजाओं के बीच की लम्बवत दूरी है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 1050 = 1/2 × (30 + 40) × h, जो 1050 = 35h को सरल करता है। h के लिए हल करने पर, हमें h = 1050/35 = 30 cm मिलता है। चूंकि AE, A से CD पर खींचा गया लम्ब है, AE समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई h का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए AE = 30 cm।

चूंकि AB || CD और AE ⊥ CD, इसलिए AE ⊥ AB, जिसका अर्थ है ∠EAB = 90°। ΔAEB में, हमारे पास AE = 30 cm और AB = 30 cm है। चूंकि दो भुजाएँ बराबर हैं और उनके बीच का कोण 90° है, ΔAEB एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है। ऐसे त्रिभुज में, न्यून कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠AEB = ∠ABE = (180° - 90°)/2 = 45°। इसलिए, विकल्प B सही है।