एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कार्य सूत्र का उपयोग करके, कार्य की दर इस प्रकार दी जाती है: 1/A + 1/B = 1/कुल

यहाँ, A और B का संयुक्त समय 8 दिन है, और B का व्यक्तिगत समय 16 दिन है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1/A + 1/16 = 1/8

दोनों पक्षों से 1/16 घटाने पर: 1/A = 1/8 - 1/16 1/A = (2 - 1)/16 1/A = 1/16

इस प्रकार, A अकेले 16 दिनों में काम पूरा कर सकता है।

व्याख्या

परीक्षा के कुल अंक 50 हैं। भौतिकी में उच्च अध्ययन के लिए पात्र होने के लिए, एक छात्र को कुल अंकों का कम से कम 60% प्राप्त करना होगा।

आवश्यक न्यूनतम अंक = 50 का 60% = (60 / 100) × 50 = 30 अंक

दिए गए तालिका से, भौतिकी के लिए पंक्ति उन छात्रों की संचयी संख्या दर्शाती है जिन्होंने भौतिकी में विभिन्न श्रेणियों में अंक प्राप्त किए हैं। भौतिकी में 30 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 21 है। इस प्रकार, भौतिकी में उच्च अध्ययन के लिए 21 छात्र पात्र हैं।

व्याख्या

मान लीजिए दो अंकों की संख्या 10x + y है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है। अंकों को आपस में बदलने पर प्राप्त संख्या 10y + x है।

प्रश्न के अनुसार, दोनों संख्याओं का योग 77 है: (10x + y) + (10y + x) = 77 11x + 11y = 77 x + y = 7

अंकों के बीच का अंतर 1 है: |x - y| = 1

इन दो समीकरणों को हल करने पर: यदि x - y = 1: x + y = 7 और x - y = 1 को जोड़ने पर 2x = 8 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है x = 4 और y = 3। इससे संख्या 43 प्राप्त होती है।

यदि y - x = 1: x + y = 7 और y - x = 1 को जोड़ने पर 2y = 8 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है y = 4 और x = 3। इससे संख्या 34 प्राप्त होती है।

दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर, संख्या 34 सभी शर्तों को पूरा करती है।

व्याख्या

समान मूलधन पर एक स्थिर ब्याज दर पर साधारण ब्याज में अंतर सीधे समय अवधि के अंतर के समानुपाती होता है।

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके, साधारण ब्याज = मूलधन × दर × समय / 100।

P और Q द्वारा भुगतान किए गए ब्याज में अंतर है: ब्याज में अंतर = (मूलधन × दर × (T₂ - T₁)) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 172 = (मूलधन × 8.6 × (8 - 7)) / 100 172 = मूलधन × 8.6 / 100 172 = मूलधन × 0.086 मूलधन = 172 / 0.086 मूलधन = 2000

इस प्रकार, प्रत्येक को दी गई राशि ₹2,000 थी।

व्याख्या

जब तांबे को गोले से बेलनाकार तार में खींचा जाता है तो उसका आयतन स्थिर रहता है।

गोले का आयतन = बेलनाकार तार का आयतन 4/3 π R³ = π r² h

गोले की त्रिज्या R 9 सेमी है, और तार की त्रिज्या r 4 मिमी है, जो 0.4 सेमी के बराबर है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

4/3 × 9³ = 0.4² × h 4/3 × 729 = 0.16 × h 4 × 243 = 0.16 × h 972 = 0.16 × h h = 972 / 0.16 h = 6075 सेमी

लंबाई को सेंटीमीटर से मीटर में बदलने के लिए, 100 से भाग दें: h = 60.75 मीटर

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

12 इकाई लंबाई की जीवा के लिए, लंब इसे 6 इकाई के दो खंडों में विभाजित करता है। यह लंबवत दूरी d, 6 इकाई की अर्ध-जीवा की लंबाई, और 10 इकाई की त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: d² + 6² = 10² d² + 36 = 100 d² = 64 d = 8

केंद्र से जीवा की दूरी 8 इकाई है।

व्याख्या

विचलन विधि का उपयोग करते हुए, जब पर्यवेक्षक को बाहर रखा जाता है, तो शेष 24 श्रमिकों की औसत आयु 0.75 वर्ष कम हो जाती है। यह इंगित करता है कि पर्यवेक्षक की आयु शेष 24 श्रमिकों में वितरित कमी के कुल योग से प्रारंभिक औसत 41 से अधिक है।

पर्यवेक्षक की आयु = मूल औसत + (औसत में कमी × श्रमिकों की शेष संख्या)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पर्यवेक्षक की आयु = 41 + (0.75 × 24) पर्यवेक्षक की आयु = 41 + 18 पर्यवेक्षक की आयु = 59 वर्ष

वैकल्पिक रूप से, कुल योग विधि का उपयोग करके: 25 लोगों की कुल आयु = 25 × 41 = 1025 वर्ष 24 श्रमिकों की नई औसत आयु = 41 - 0.75 = 40.25 वर्ष 24 श्रमिकों की कुल आयु = 24 × 40.25 = 966 वर्ष पर्यवेक्षक की आयु = 1025 - 966 = 59 वर्ष

व्याख्या

स्पर्शरेखा-वच्छेद प्रमेय के अनुसार, जब किसी बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खंड और एक वच्छेद खंड खींचा जाता है, तो स्पर्शरेखा खंड की लंबाई का वर्ग बाह्य वच्छेद खंड की लंबाई और संपूर्ण वच्छेद खंड की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

इस प्रमेय को दिए गए वृत्त पर लागू करने पर: XR² = QR × PR

वच्छेद खंड PR की कुल लंबाई PQ और QR का योग है: PR = PQ + QR = x + (x - 2) = 2x - 2

संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 12² = (x - 2)(2x - 2) 144 = 2(x - 2)(x - 1) 72 = (x - 2)(x - 1) 72 = x² - 3x + 2 x² - 3x - 70 = 0 (x - 10)(x + 7) = 0

x के लिए हल करने पर x = 10 या x = -7 प्राप्त होता है। चूँकि खंड की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए, हम ऋणात्मक मान को छोड़ देते हैं। अतः, x का मान 10 सेमी है।

व्याख्या

उनके व्युत्क्रमों के दिए गए अनुपात से M : N : O का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद का व्युत्क्रम लेते हैं:

M : N : O = 1/3 : 1/4 : 1/5

इस भिन्नात्मक अनुपात को पूर्णांकों में बदलने के लिए, हम प्रत्येक पद को हर 3, 4 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं। 3, 4 और 5 का LCM 60 है।

अनुपात के प्रत्येक भाग को 60 से गुणा करने पर:

M : N : O = (1/3 × 60) : (1/4 × 60) : (1/5 × 60)

M : N : O = 20 : 15 : 12

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, sin θ लम्ब और कर्ण का अनुपात होता है।

sin θ = लम्ब / कर्ण = 2xy / (x² + y²)

लम्ब P = 2xy और कर्ण H = x² + y² मानकर, आधार B की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है:

B = √(H² - P²) B = √((x² + y²)² - (2xy)²) B = √(x⁴ + 2x²y² + y⁴ - 4x²y²) B = √(x⁴ - 2x²y² + y⁴) B = √((x² - y²)²) B = x² - y²

tan θ के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात लम्ब और आधार का अनुपात होता है:

tan θ = P / B = 2xy / (x² - y²)

व्याख्या

चुनाव में डाले गए वोटों का कुल प्रतिशत 100% है। जीतने वाले उम्मीदवार को कुल वोटों का 72% प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि हारने वाले उम्मीदवार को वोटों का शेष भाग प्राप्त होता है: 100% - 72% = 28%

जीत का अंतर दो उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त वोटों के प्रतिशत में अंतर है: 72% - 28% = 44%

यह देखते हुए कि डाले गए वोटों की कुल संख्या 1000 है, वोटों के संदर्भ में जीत का अंतर है: 1000 का 44% = 0.44 × 1000 = 440

व्याख्या

3 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

मान लीजिए रिक्त स्थान में अंक x है। संख्या 7x7624 के अंकों का योग है: 7 + x + 7 + 6 + 2 + 4 = 26 + x

संख्या के 3 से विभाज्य होने के लिए, योग (26 + x) 3 का गुणज होना चाहिए। 26 से बड़ा या उसके बराबर 3 का सबसे छोटा गुणज 27 है।

योग को 27 के बराबर रखने पर: 26 + x = 27 x = 1

इस प्रकार, संख्या को 3 से विभाज्य बनाने के लिए रिक्त स्थान में रखा जा सकने वाला सबसे छोटा अंक 1 है।

व्याख्या

a% की वृद्धि के बाद b% की कमी के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a - b - (a × b)/100

a = 44 और b = 30 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 44 - 30 - (44 × 30)/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 14 - 13.2 = 0.8%

0.8% को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 1% प्राप्त होता है। चूंकि मान धनात्मक है, यह वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

नवंबर में बेकरी Y और Z द्वारा मिलकर बेची गई कुल पिज्जा: 104 + 106 = 210

नवंबर में बेकरी X और W द्वारा मिलकर बेची गई कुल पिज्जा: 120 + 105 = 225

नवंबर में Y और Z को मिलाकर X और W को मिलाकर का आवश्यक अनुपात: 210 : 225

दोनों पदों को उनके सामान्य गुणनखंड 5 से विभाजित करने पर: 210 ÷ 5 = 42 225 ÷ 5 = 45

यह 42 : 45 के अनुपात में सरल हो जाता है।

व्याख्या

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

माना त्रिभुज की ऊँचाई h सेमी है। आधार उसकी ऊँचाई का दो-तिहाई दिया गया है, जो ⅔h है।

इन मानों को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 363 = ½ × ⅔h × h 363 = ⅓h²

h² को हल करने के लिए दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: h² = 363 × 3 h² = 1089

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: h = √1089 h = 33 सेमी

व्याख्या

एक स्थिर दूरी के लिए, गति और समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं। इस संबंध को सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:

s₁ × t₁ = s₂ × t₂

यहाँ, प्रारंभिक गति s₁ 60 किमी/घंटा है और प्रारंभिक समय t₁ 45 मिनट है। आवश्यक समय t₂ 30 मिनट है। आवश्यक गति s₂ मान लीजिए।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

60 × 45 = s₂ × 30

s₂ = (60 × 45) / 30

s₂ = 90 किमी/घंटा

व्याख्या

सही उत्तर: C

शुद्ध लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, उत्तरोत्तर प्रतिशत सूत्र का प्रयोग करें:

शुद्ध लाभ = m - d - (m × d) / 100

जहाँ m अंकित प्रतिशत है और d छूट प्रतिशत है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, m = 32 और d = 21:

शुद्ध लाभ = 32 - 21 - (32 × 21) / 100 शुद्ध लाभ = 11 - 672 / 100 शुद्ध लाभ = 11 - 6.72 शुद्ध लाभ = 4.28%

व्याख्या

लाभ और हानि के लिए भारित औसत विधि का उपयोग करते हुए, मान लीजिए तरबूजों की कुल मात्रा 4 इकाई है।

मात्रा का एक-चौथाई 1 इकाई है, जिसे 12% की हानि ( -12% के रूप में दर्शाया गया) पर बेचा जाता है। शेष मात्रा 3 इकाई है, जिसे x% के लाभ पर बेचा जाता है। पूरी 4 इकाइयों पर समग्र लाभ 25% है।

भारित औसत संबंध है: कुल लाभ = (मात्रा 1 × लाभ 1) + (मात्रा 2 × लाभ 2) 4 × 25 = 1 × (-12) + 3 × x 100 = -12 + 3x 3x = 112 x = 112 / 3 ≈ 37.33%

वांछित समग्र लाभ प्राप्त करने के लिए शेष तरबूजों को 37.33% के लाभ पर बेचा जाना चाहिए।

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने के लिए एक साथ काम करने वाले दो व्यक्तियों द्वारा लिया गया समय सूत्र द्वारा दिया जाता है: T = (a × b) / (a + b)

जहाँ a और b प्रत्येक व्यक्ति द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया समय है।

यहाँ, शोभिता का समय a = 20 घंटे और सरोज का समय b = 15 घंटे है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: T = (20 × 15) / (20 + 15) T = 300 / 35 T = 60 / 7 T = 8 4/7 घंटे

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

क्षेत्रफल(ΔABC) / क्षेत्रफल(ΔDEF) = (BC / EF)²

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

0.64 / 0.0121 = (BC / 0.154)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

0.8 / 0.11 = BC / 0.154

BC के लिए हल करने पर:

BC = (0.8 × 0.154) / 0.11 BC = 0.8 × 1.4 BC = 1.12 मीटर

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

CSA = 2πrh

त्रिज्या (r) व्यास की आधी होती है: r = 28 / 2 = 14 सेमी

बेलन की ऊंचाई (h) 42 सेमी है। π = 22/7 का उपयोग करके, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

CSA = 2 × (22/7) × 14 × 42 CSA = 2 × 22 × 2 × 42 CSA = 3696 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए दो संकेंद्रित वृत्तों का केंद्र O है। बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 35 सेमी है, और छोटे वृत्त की त्रिज्या r = 21 सेमी है।

मान लीजिए AB बड़े वृत्त की वह जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। त्रिज्या OP, स्पर्शरेखा जीवा AB पर स्पर्श बिंदु P पर लंबवत है। यह एक समकोण त्रिभुज OPA बनाता है, जहाँ OA कर्ण है।

त्रिभुज OPA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: AP² = OA² - OP² AP² = 35² - 21² AP² = 1225 - 441 AP² = 784 AP = √784 = 28 सेमी

चूंकि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, P, AB का मध्य बिंदु है।

इसलिए, जीवा AB की लंबाई है: AB = 2 × AP = 2 × 28 = 56 सेमी

व्याख्या

दिए गए सर्वसमिका का उपयोग करके अंश के पदों का विस्तार करने पर:

sin(A - B) / (cos A cos B) = (sin A cos B - cos A sin B) / (cos A cos B) = tan A - tan B

इसी प्रकार, दूसरा पद सरल हो जाता है:

sin(B - C) / (cos B cos C) = (sin B cos C - cos B sin C) / (cos B cos C) = tan B - tan C

इन दो सरलीकृत व्यंजकों को जोड़ने पर प्राप्त होता है:

(tan A - tan B) + (tan B - tan C) = tan A - tan C

tan A - tan C को वापस साइन और कोसाइन रूपों में बदलने पर:

tan A - tan C = (sin A / cos A) - (sin C / cos C) = (sin A cos C - cos A sin C) / (cos A cos C) = sin(A - C) / (cos A cos C)

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिका के अनुसार, cot(90 - θ) = tan θ।

एक न्यून कोण θ के लिए cos θ = 24/25 दिया गया है। एक समकोण त्रिभुज में, एक कोण का कोसाइन आधार और कर्ण का अनुपात होता है।

लम्ब ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: लम्ब = √(कर्ण² - आधार²) = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7

स्पर्शज्या (tangent) की परिभाषा का उपयोग करके: tan θ = लम्ब / आधार = 7/24

इसलिए, cot(90 - θ) = 7/24।

व्याख्या

मान लीजिए कि R और S के पास टॉफियों की प्रारंभिक संख्या T है।

चूंकि R अपनी 2/3 टॉफियाँ S को दे देता है: S को दी गई टॉफियाँ = 2/3 T

R के पास शेष टॉफियाँ = T - 2/3 T = 1/3 T

S के पास टॉफियों की नई संख्या = T + 2/3 T = 5/3 T

अब S के पास टॉफियों की संख्या, R के पास मूल रूप से टॉफियों का k% है: 5/3 T = (k/100) × T

k के लिए हल करना: k/100 = 5/3 k = 500/3

व्याख्या

उम्मीदवार के पक्ष में डाले गए वैध मतों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मतदाताओं की कुल संख्या से चरण-दर-चरण प्रतिशत की गणना करते हैं।

मतदाताओं की कुल संख्या = 2,40,000

चूंकि कुल मतों का 3% अवैध था, वैध मतों का प्रतिशत है: 100% - 3% = 97%

कुल वैध मतों की संख्या है: 2,40,000 × 97/100 = 2,32,800

उम्मीदवार को इन वैध मतों का 60% प्राप्त हुआ। इसलिए, उम्मीदवार के पक्ष में डाले गए वैध मतों की संख्या है: 2,32,800 × 60/100 = 1,39,680

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का माध्य समानुपात सूत्र √(a × b) द्वारा दिया जाता है।

दी गई संख्याएँ 0.14 और 2.24 हैं, हम उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

माध्य समानुपात = √(0.14 × 2.24)

दशमलव को भिन्न में बदलकर:

माध्य समानुपात = √((14/100) × (224/100)) माध्य समानुपात = √((14 × 14 × 16) / 10000) माध्य समानुपात = √((14² × 4²) / 100²) माध्य समानुपात = (14 × 4) / 100 माध्य समानुपात = 56/100 = 0.56

व्याख्या

प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने का सूत्र है: प्रतिशत परिवर्तन = ((अंतिम मान - प्रारंभिक मान) / प्रारंभिक मान) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रारंभिक मान = 4/5 अंतिम मान = 5/6

मात्रा में निरपेक्ष परिवर्तन है: 5/6 - 4/5 = (25 - 24) / 30 = 1/30

अब, प्रतिशत परिवर्तन की गणना करें: प्रतिशत परिवर्तन = ((1/30) / (4/5)) × 100 = (1/30 × 5/4) × 100 = 5/120 × 100 = 1/24 × 100 = 25/6% ≈ 4.17%

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मुद्रित मूल्य ₹100 है।

खुदरा विक्रेता को 40% की छूट मिलती है, जिससे खुदरा विक्रेता के लिए क्रय मूल्य बनता है: CP = 100 - 40 = ₹60

खुदरा विक्रेता वस्तु को मुद्रित मूल्य पर बेचता है: SP = ₹100

खुदरा विक्रेता द्वारा किया गया लाभ: लाभ = SP - CP = 100 - 60 = ₹40

लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100% लाभ प्रतिशत = (40 / 60) × 100% = ⅔ × 100% = 200/3% = 66 ⅔%

व्याख्या

त्रिज्या R = 25 सेमी वाले वृत्त के लिए, केंद्र O से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

48 सेमी लंबाई वाली पहली जीवा के लिए, आधी लंबाई 24 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, इस जीवा से केंद्र की लंबवत दूरी OM है: OM = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7 सेमी

दो समानांतर जीवाओं के बीच की दूरी 27 सेमी है। चूँकि यह दूरी OM से अधिक है, दूसरी जीवा केंद्र के विपरीत दिशा में स्थित होनी चाहिए।

केंद्र से दूसरी जीवा की लंबवत दूरी ON है: ON = 27 - OM = 27 - 7 = 20 सेमी

दूसरी जीवा के लिए दूरी ON = 20 सेमी और त्रिज्या R = 25 सेमी के साथ पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, दूसरी जीवा CN की आधी लंबाई है: CN = √(25² - 20²) = √(625 - 400) = √225 = 15 सेमी

दूसरी जीवा की कुल लंबाई है: 2 × CN = 2 × 15 = 30 सेमी

व्याख्या

समकोण त्रिभुज BDC में, कोण BDC 90° है क्योंकि BD, AC पर लंबवत है। चूँकि E, BC पर एक बिंदु है, कोण EBD, कोण CBD के समान है, जो 40° दिया गया है।

त्रिभुज BDC में, कोणों का योग 180° होता है: कोण BCD = 180° - 90° - 40° = 50°

इसका मतलब है कि त्रिभुज AEC का कोण ECA (या कोण C) 50° है।

चूँकि E, रेखा खंड BC पर स्थित है, कोण BEA, त्रिभुज AEC के शीर्ष E पर एक बाह्य कोण है। बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है: कोण BEA = कोण EAC + कोण ECA x = 38 + 50 = 88

व्याख्या

मूल बिंदु (0, 0) से Ax + By + C = 0 के रूप की रेखा तक की लंबवत दूरी d निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = |C| / √(A² + B²)

दी गई रेखा समीकरण 6x + 8y - 48 = 0 के लिए, गुणांक A = 6, B = 8, और C = -48 हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = |-48| / √(6² + 8²) d = 48 / √(36 + 64) d = 48 / √100 d = 48 / 10 d = 4.8 इकाई

व्याख्या

BODMAS का उपयोग करके हल करने पर, सबसे पहले कोष्ठक: 3 ÷ (1/3) = 9, इसलिए 9 - 3 = 6, और 2 × 6 = 12। अगला, 27 ÷ 3 = 9, और 27 ÷ 9 + 3 = 3 + 3 = 6। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर [7 + 9 - 12 + 9 + 6 - 6] + 2 = 13 + 2 = 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

2010 से 2014 की अवधि के दौरान कंपनी A और कंपनी C द्वारा निर्मित कंप्यूटरों की कुल संख्या के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक कंपनी के लिए कुल उत्पादन की गणना करते हैं।

कंपनी A द्वारा निर्मित कुल कंप्यूटर: 240 + 300 + 1250 + 470 + 320 = 2580 हजार

कंपनी C द्वारा निर्मित कुल कंप्यूटर: 270 + 490 + 430 + 1180 + 550 = 2920 हजार

दोनों कुल के बीच अंतर: 2920 - 2580 = 340 हजार

व्याख्या

त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ वाले त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई (L) का सूत्र है:

L = (θ / 360°) × 2πr

दिए गए मानों, θ = 120°, r = 7 सेमी, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर:

L = (120 / 360) × 2 × (22/7) × 7

L = (1/3) × 2 × 22

L = 44/3 सेमी

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

पहले घंटे में तय की गई दूरी है: d₁ = 90 किमी/घंटा × 1 घंटा = 90 किमी

अगले दो घंटे में तय की गई दूरी है: d₂ = 120 किमी/घंटा × 2 घंटे = 240 किमी

तय की गई कुल दूरी है: कुल दूरी = 90 किमी + 240 किमी = 330 किमी

लिया गया कुल समय है: कुल समय = 1 घंटा + 2 घंटे = 3 घंटे

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत गति = 330 किमी / 3 घंटे = 110 किमी/घंटा

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI), मूलधन (P), दर (R), और समय (T) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SI = (P × R × T) / 100

दिए गए मूलधन और साधारण ब्याज के अनुपात से, मान लीजिए मूलधन P 10 है और साधारण ब्याज SI 7 है। समय अवधि T 5 वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

7 = (10 × R × 5) / 100

7 = 50 × R / 100

7 = R / 2

R = 14%

व्याख्या

सही उत्तर: B

s भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 6s² द्वारा दिया जाता है। जब घन के प्रत्येक किनारे को तिगुना कर दिया जाता है, तो नई भुजा की लंबाई 3s हो जाती है।

नया पृष्ठीय क्षेत्रफल है: A_new = 6(3s)² = 54s²

पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि है: 54s² - 6s² = 48s²

पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि की गणना वृद्धि को मूल पृष्ठीय क्षेत्रफल से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है: (48s² / 6s²) × 100% = 8 × 100% = 800%

इसे सीधे स्केलिंग का उपयोग करके भी निर्धारित किया जा सकता है: किसी आकृति के रैखिक आयामों को k के गुणक से स्केल करने पर उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल k² से स्केल होता है। किनारों को तिगुना करने (k = 3) पर क्षेत्रफल 3² = 9 से स्केल होता है। यह मूल क्षेत्रफल के 9 - 1 = 8 गुना की वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है, जो 800% की वृद्धि के अनुरूप है।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि किन दो बैंकों ने चार वर्षों में समान राशि का ऋण वितरित किया है, प्रत्येक बैंक द्वारा वितरित कुल ऋण की गणना करें:

बैंक C द्वारा वितरित कुल ऋण = 20 + 25 + 15 + 20 = 80 करोड़

बैंक D द्वारा वितरित कुल ऋण = 15 + 20 + 35 + 10 = 80 करोड़

बैंक C और बैंक D दोनों ने चार साल की अवधि में 80 करोड़ की समान राशि वितरित की है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का आयतन सूत्र V = 4/3 πr³ द्वारा दिया जाता है।

जब r₁, r₂, और r₃ त्रिज्या वाले तीन गोलों को पिघलाकर त्रिज्या R वाला एक बड़ा गोला बनाया जाता है, तो बड़े गोले का आयतन तीन छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर होता है:

4/3 πR³ = 4/3 πr₁³ + 4/3 πr₂³ + 4/3 πr₃³

दोनों पक्षों को 4/3 π से विभाजित करने पर:

R³ = r₁³ + r₂³ + r₃³

दिए गए मान r₁ = 75 सेमी, r₂ = 60 सेमी, और r₃ = 45 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

R³ = 75³ + 60³ + 45³

गणना को सरल बनाने के लिए, 75, 60 और 45 के सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 15 है, को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें:

R³ = (15 × 5)³ + (15 × 4)³ + (15 × 3)³ R³ = 15³ × (5³ + 4³ + 3³) R³ = 15³ × (125 + 64 + 27) R³ = 15³ × 216

चूंकि 216 = 6³:

R³ = 15³ × 6³ R³ = (15 × 6)³ R³ = 90³

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

R = 90 सेमी

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के चौथे समानुपाती d का सूत्र d = (b × c) / a द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों a = 1.25, b = 5.75, और c = 3.5 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = (5.75 × 3.5) / 1.25

सरल करने के लिए, पहले 5.75 को 1.25 से विभाजित करें:

5.75 / 1.25 = 575 / 125 = 23 / 5 = 4.6

अब, इस परिणाम को 3.5 से गुणा करें:

d = 4.6 × 3.5 = 16.1

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: समतुल्य छूट = x + y - (x × y)/100

x = 23 और y = 7 रखने पर: समतुल्य छूट = 23 + 7 - (23 × 7)/100 = 30 - 1.61 = 28.39%

पहली छूट 37% है। दो छूट प्रतिशत के बीच का अंतर है: 37% - 28.39% = 8.61%

₹2,635 की राशि पर मौद्रिक अंतर है: 8.61% of 2,635 = (8.61 / 100) × 2,635 = 0.0861 × 2,635 = 226.8735

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, अंतर 226.87 है।

व्याख्या

किन्हीं भी दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। यह संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

क्षेत्रफल₁ / क्षेत्रफल₂ = (भुजा₁ / भुजा₂)²

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

490 / 640 = (21 / भुजा₂)²

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर:

49 / 64 = (21 / भुजा₂)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

7 / 8 = 21 / भुजा₂

भुजा₂ के लिए हल करने पर:

भुजा₂ = 21 × 8 / 7

भुजा₂ = 24 सेमी

व्याख्या

रोलर द्वारा समतल किए गए खेल के मैदान का क्षेत्रफल, बेलनाकार रोलर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को चक्करों की कुल संख्या से गुणा करने के बराबर है।

सबसे पहले, रोलर के आयामों को सेंटीमीटर से मीटर में बदलें: व्यास, d = 35 सेमी = 0.35 मीटर लंबाई (ऊंचाई), h = 100 सेमी = 1 मीटर

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = π × d × h

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CSA = (22/7) × 0.35 × 1 = 22 × 0.05 = 1.1 m²

200 चक्करों में समतल किया गया कुल क्षेत्रफल है: कुल क्षेत्रफल = CSA × चक्करों की संख्या कुल क्षेत्रफल = 1.1 × 200 = 220 m²

व्याख्या

निवेश अवधि के अंत में भुगतान की जाने वाली कुल राशि की गणना साधारण ब्याज और कुल राशि के सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

साधारण ब्याज (SI) = (P × R × T) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: मूलधन (P) = 4500 ब्याज दर (R) = 8% प्रति वर्ष समय (T) = 4 वर्ष

SI = (4500 × 8 × 4) / 100 = 45 × 32 = 1440

भुगतान की जाने वाली कुल राशि (A) मूलधन और साधारण ब्याज का योग है:

राशि (A) = मूलधन + SI राशि (A) = 4500 + 1440 = 5940

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई का सूत्र h = (√3/2) * a है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। h = 3√3 सेमी रखने पर भुजा की लंबाई a = 6 सेमी प्राप्त होती है, जिससे क्षेत्रफल (1/2) * आधार * ऊँचाई = (1/2) * 6 * 3√3 = 9√3 वर्ग सेंटीमीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: AB = √(AC² + BC²) AB = √(5² + 12²) = √169 = 13 सेमी

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल दो तरीकों से निकाला जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × AC × BC = ½ × AB × CD

इसे सरल करने पर: CD = (AC × BC) / AB

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CD = (5 × 12) / 13 = 60/13 = 4 8/13 सेमी

व्याख्या

शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक गुणक विधि का उपयोग करके की जा सकती है:

जब दुकानदार खरीदते समय 25% बेईमानी करता है, तो उसे 100 इकाइयों की कीमत पर 125 इकाइयाँ चावल प्राप्त होती हैं। इससे वजन गुणक 125/100 = 5/4 प्राप्त होता है।

जब वह बेचते समय 25% बेईमानी करता है, तो वह 100 इकाइयों के लिए ग्राहक से शुल्क लेते हुए केवल 75 इकाइयाँ चावल वितरित करता है। इससे वजन गुणक 100/75 = 4/3 प्राप्त होता है।

वह चावल 12½% के नाममात्र लाभ पर बेचता है, जो 1/8 के बराबर है। इससे मूल्य गुणक 1 + 1/8 = 9/8 प्राप्त होता है।

विक्रय मूल्य का क्रय मूल्य से शुद्ध अनुपात इन व्यक्तिगत गुणकों का गुणनफल है: शुद्ध अनुपात = (5/4) × (4/3) × (9/8) = 15/8

शुद्ध लाभ प्रतिशत = (15/8 - 1) × 100% = (7/8) × 100% = 87.5%

व्याख्या

X और Z द्वारा मिलकर लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम उनकी कार्य दर ज्ञात कर सकते हैं। कुल कार्य को 72 इकाई मानते हुए, X, Y और Z की संयुक्त दर 6 इकाई/दिन है, X और Y की दर 4 इकाई/दिन है, और Y और Z की दर 3 इकाई/दिन है। इससे X की व्यक्तिगत दर 3 इकाई/दिन और Z की व्यक्तिगत दर 2 इकाई/दिन प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि X और Z मिलकर 5 इकाई/दिन की दर से काम करते हैं और 72/5 दिनों में काम पूरा करेंगे, जो कि 14 2/5 दिन है।

व्याख्या

जब किसी यात्रा को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और x, y, और z की गति से तय किया जाता है, तो पूरी यात्रा की औसत गति का सूत्र है:

औसत गति = 3 / (1/x + 1/y + 1/z)

दिए गए मानों x = 80 किमी/घंटा, y = 60 किमी/घंटा, और z = 30 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = 3 / (1/80 + 1/60 + 1/30)

हर 80, 60, और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, जो कि 240 है:

1/80 + 1/60 + 1/30 = 3/240 + 4/240 + 8/240 = 15/240 = 1/16

इस योग को औसत गति सूत्र में उपयोग करने पर:

औसत गति = 3 / (1/16) = 3 × 16 = 48 किमी/घंटा