एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए दोनों स्थानों के बीच की एक-तरफ़ा दूरी 'd' है।

कुल लिया गया समय, जाने की यात्रा और वापसी की यात्रा में लगे समय का योग है। सूत्र का उपयोग करके:

समय = दूरी / गति

कुल समय = (d / v₁) + (d / v₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

6 = (d / 60) + (d / 75)

60 और 75 का सामान्य भाजक, जो कि 300 है, लेने पर:

6 = (5d + 4d) / 300

6 = 9d / 300

9d = 1800

d = 200 किमी

चूंकि व्यक्ति जाता है और लौटता है, इसलिए तय की गई कुल दूरी एक-तरफ़ा दूरी की दोगुनी है:

कुल दूरी = 2d = 2 × 200 = 400 किमी।

व्याख्या

चूंकि O, A और B कोणों के समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन है, यह त्रिभुज ABC का अंतःकेंद्र है। कोण BOC का सूत्र 90 + A/2 द्वारा दिया जाता है, जो 108 डिग्री के बराबर है, जिससे A/2 = 18 डिग्री प्राप्त होता है। चूंकि AO, कोण A का समद्विभाजक है, कोण BAO, A/2 के बराबर है, जो 18 डिग्री है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतःकेंद्र O पर भुजाओं द्वारा बनाया गया कोण मानक संबंध द्वारा दिया जाता है: ∠BOC = 90° + ∠A / 2

सबसे पहले, कोण योग गुण का उपयोग करके त्रिभुज का तीसरा कोण, ∠A ज्ञात कीजिए: ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) ∠A = 180° - (70° + 50°) ∠A = 60°

इस मान को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: ∠BOC = 90° + 60° / 2 ∠BOC = 90° + 30° = 120°

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को k³³ - k = k(k³² - 1) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

यह ज्ञात करने के लिए कि यह व्यंजक किसी भी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए हमेशा किस संख्या से विभाज्य है, हम 3 और 8 से इसकी विभाज्यता का विश्लेषण करते हैं।

सबसे पहले, हम 8 से विभाज्यता का परीक्षण करते हैं। प्रत्येक विषम पूर्णांक k को 2n + 1 के रूप में लिखा जा सकता है। k² - 1 = (2n + 1)² - 1 = 4n² + 4n = 4n(n + 1) चूंकि n और n + 1 क्रमागत पूर्णांक हैं, उनमें से एक सम होना चाहिए, जिससे उनका गुणनफल n(n + 1) 2 से विभाज्य हो जाता है। इस प्रकार, 4n(n + 1) हमेशा 8 से विभाज्य होता है, जिसका अर्थ है कि k² ≡ 1 (mod 8)। परिणामस्वरूप, k³² = (k²)¹⁶ ≡ 1¹⁶ ≡ 1 (mod 8), जिसका अर्थ है कि k³² - 1 हमेशा 8 से विभाज्य है।

इसके बाद, हम 3 से विभाज्यता का परीक्षण करते हैं। यदि k, 3 का गुणज है, तो पूरा व्यंजक k(k³² - 1), 3 से विभाज्य है। यदि k, 3 का गुणज नहीं है, तो k ≡ ±1 (mod 3), जिससे k² ≡ 1 (mod 3) प्राप्त होता है। इस प्रकार, k³² = (k²)¹⁶ ≡ 1¹⁶ ≡ 1 (mod 3), जिसका अर्थ है कि k³² - 1, 3 से विभाज्य है। सभी स्थितियों में, व्यंजक k(k³² - 1), 3 से विभाज्य है।

चूंकि 3 और 8 सह-अभाज्य हैं, व्यंजक k³³ - k हमेशा 3 × 8 = 24 से विभाज्य है।

व्याख्या

मोटरसाइकिल की नई कीमत मूल कीमत में 20% की वृद्धि जोड़कर निकाली जाती है।

प्रतिशत वृद्धि सूत्र का उपयोग करके: नई कीमत = मूल कीमत × (1 + वृद्धि%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: नई कीमत = 75000 × (1 + 20/100) नई कीमत = 75000 × 1.2 नई कीमत = 90000

इस प्रकार, इस वर्ष मोटरसाइकिल की कीमत ₹ 90,000 है।

व्याख्या

उन विद्यार्थियों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए जो 3 से अधिक विषयों में अनुत्तीर्ण हुए हैं, हम उन विद्यार्थियों का योग ज्ञात करते हैं जो ठीक 4 विषयों में और ठीक 5 विषयों में अनुत्तीर्ण हुए हैं।

दी गई सारणी से: 4 विषयों में अनुत्तीर्ण हुए विद्यार्थियों की संख्या 7 है। 5 विषयों में अनुत्तीर्ण हुए विद्यार्थियों की संख्या 4 है।

विद्यार्थियों की कुल संख्या = 7 + 4 = 11।

व्याख्या

निर्देशांक जहाँ रेखा 20x + 21y = 420 निर्देशांक अक्षों को काटती है, y = 0 और x = 0 रखकर ज्ञात किए जाते हैं।

जब y = 0, तो x-अवरोधन है: 20x = 420 x = 21 यह बिंदु P(21, 0) देता है।

जब x = 0, तो y-अवरोधन है: 21y = 420 y = 20 यह बिंदु Q(0, 20) देता है।

रेखा खंड PQ की लंबाई P और Q के बीच की दूरी है, जिसकी गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है क्योंकि अक्ष लंबवत होते हैं: PQ = √(21² + 20²) PQ = √(441 + 400) PQ = √841 PQ = 29

व्याख्या

मान लीजिए S कुल मासिक वेतन है।

कुल व्यय सभी व्यक्तिगत व्यय प्रतिशत का योग है: कुल व्यय = 60% + 10% + 5% = वेतन का 75%

बचत वेतन का शेष भाग दर्शाती है: बचत = 100% - 75% = वेतन का 25%

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: बचत = 25/100 × S 4000 = ¼ × S S = 4000 × 4 = 16000

यह प्रत्यक्ष गणना ₹16,000 का मासिक वेतन देती है।

व्याख्या

माना कि NOTA वोटों की संख्या N है। दी गई शर्तों के अनुसार, प्रथम उपविजेता को N + 900 वोट मिलते हैं, दूसरे उपविजेता को N + 750 वोट मिलते हैं, और विजेता को 2N + 1500 वोट मिलते हैं। तीनों उम्मीदवारों के वोटों के योग के लिए समीकरण को हल करने पर, जो कि 6N है, हमें N = 1575 मिलता है, जिससे डाले गए कुल वोट 7N = 11025 हो जाते हैं।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इसके दो मुख्य भागों को सरल बनाकर हल किया जा सकता है।

व्यंजक के पहले भाग के लिए: (cosec 31° - sec 59°) / (sin 18° + cos 72°) × (tan 26° / cot 64°)

सह-फलन सर्वसमिका sec θ = cosec(90° - θ) का उपयोग करके: sec 59° = cosec(90° - 59°) = cosec 31°

इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: cosec 31° - sec 59° = cosec 31° - cosec 31° = 0

चूंकि अंश 0 है और हर अशून्य है, इसलिए पूरा पहला पद 0 हो जाता है।

व्यंजक के दूसरे भाग के लिए: (tan 30° + tan 15°) / (1 - tan 30° tan 15°)

A = 30° और B = 15° के साथ स्पर्शज्या योग सूत्र tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) का उपयोग करके: (tan 30° + tan 15°) / (1 - tan 30° tan 15°) = tan(30° + 15°) = tan 45° = 1

दोनों भागों को एक साथ जोड़ने पर: 0 + 1 = 1

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है।

यह दिया गया है कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 294 वर्ग सेमी है: 6a² = 294 a² = 49 a = 7 सेमी

घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है। भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर: V = 7³ = 343 घन सेमी

व्याख्या

किसी संख्या के 2, 3 और 4 से विभाज्य होने के लिए, उसे उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य होना चाहिए।

LCM(2, 3, 4) = 12

10 और 65 के बीच 12 से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जहाँ पहला पद a = 12, अंतिम पद l = 60, और सार्व अंतर d = 12 है।

पदों की संख्या के सूत्र का उपयोग करके: n = (l - a)/d + 1

n = (60 - 12)/12 + 1

n = 48/12 + 1

n = 5

ये पाँच संख्याएँ 12, 24, 36, 48 और 60 हैं।

व्याख्या

एंटनी द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

एंटनी द्वारा लिया गया समय = (T_together × T_Julie) / (T_Julie - T_together)

यहां, एंटनी और जूलि द्वारा एक साथ लिया गया समय (T_together) 15 दिन है, और जूलि द्वारा अकेले लिया गया समय (T_Julie) 20 दिन है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

एंटनी द्वारा लिया गया समय = (15 × 20) / (20 - 15) एंटनी द्वारा लिया गया समय = 300 / 5 = 60 दिन

व्याख्या

बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा PQ की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

PQ = 2√(R × r)

जहाँ R और r दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिए गए मानों, R = 16 सेमी और r = 4 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

PQ = 2√(16 × 4) PQ = 2√64 PQ = 2 × 8 PQ = 16 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए पुत्री की वर्तमान आयु d है। चूँकि पिता की वर्तमान आयु उसकी पुत्री की आयु की 3 गुनी है, पिता की वर्तमान आयु 3d है।

10 वर्ष बाद, पुत्री की आयु d + 10 होगी और पिता की आयु 3d + 10 होगी। दी गई शर्त के अनुसार, पिता अपनी पुत्री से दोगुनी आयु का होगा: 3d + 10 = 2(d + 10)

समीकरण को हल करने पर: 3d + 10 = 2d + 20 d = 10

इस प्रकार, पुत्री की वर्तमान आयु 10 वर्ष है।

व्याख्या

एक आयत का परिमाप 2(L + B) = 70 सेमी दिया गया है, जो सरल होकर L + B = 35 सेमी हो जाता है।

आयत का विकर्ण √(L² + B²) = 25 सेमी है, जो सरल होकर L² + B² = 625 सेमी² हो जाता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (L + B)² = L² + B² + 2LB का उपयोग करके, क्षेत्रफल (LB) ज्ञात करने के लिए ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें:

35² = 625 + 2LB

1225 = 625 + 2LB

2LB = 1225 - 625

2LB = 600

LB = 300

आयत का क्षेत्रफल 300 सेमी² है।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम में किया जाता है।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक का मूल्यांकन करें: 6 × 2 = 12

इसके बाद, मजले कोष्ठक के अंदर के पदों का बाएँ से दाएँ मूल्यांकन करें: 7 × 4 ÷ 12 = 28 ÷ 12 = 28/12 = 7/3

इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 4 × 7 - 3 × (7/3)

अब, गुणा की संक्रियाएँ करें: 4 × 7 = 28 3 × (7/3) = 7

अंत में, घटाव करें: 28 - 7 = 21

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद शुद्ध विक्रय मूल्य की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहां, सूची मूल्य 2000 है, और क्रमिक छूट दरें d₁ = 15% और d₂ = 10% हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

विक्रय मूल्य = 2000 × (1 - 15/100) × (1 - 10/100)

विक्रय मूल्य = 2000 × 85/100 × 90/100

विक्रय मूल्य = 2000 × 0.85 × 0.90

विक्रय मूल्य = 1700 × 0.90

विक्रय मूल्य = 1530

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी परिमापों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। परिमाप का अनुपात 6 : 11 दिया गया है, इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात (6/11)² = 36 : 121 है।

मान लीजिए दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल 36k और 121k हैं।

उनके क्षेत्रफलों का औसत 706.5 वर्ग मीटर है। इसलिए, उनका योग है: 36k + 121k = 2 × 706.5 157k = 1413 k = 1413 / 157 = 9

दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों में अंतर है: 121k - 36k = 85k 85 × 9 = 765 वर्ग मीटर

इस अंतर का 20% ज्ञात करना: 765 का 20% = 0.2 × 765 = 153 वर्ग मीटर

व्याख्या

शहर P में आयोजित मनोरंजन शो की औसत संख्या ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले तालिका से शहर P के लिए सभी पाँच श्रेणियों (A, B, C, D, और E) में शो का योग ज्ञात करें।

शहर P के लिए मान (सैकड़ों में) हैं: 11.3 + 6 + 18 + 1 + 1.5 = 37.8 सैकड़ा

इस योग को शो की वास्तविक संख्या में बदलें: 37.8 × 100 = 3780 शो

चूंकि मनोरंजन शो की 5 श्रेणियां हैं, इसलिए औसत ज्ञात करने के लिए शो की कुल संख्या को 5 से विभाजित करें: औसत = 3780 ÷ 5 = 756

व्याख्या

वृत्त C में जिसका केंद्र O और त्रिज्या r है, जीवा AB की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, जिससे OA = OB = AB = r प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है। चूँकि एक समबाहु त्रिभुज के सभी आंतरिक कोण 60° के बराबर होते हैं, इसलिए केंद्र पर जीवा AB द्वारा अंतरित कोण ∠AOB = 60° है।

अभि inscribed angle theorem (अभिगृहीत कोण प्रमेय) के अनुसार, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का आधा होता है। इसलिए, दीर्घ चाप पर बिंदु D पर कोण ∠ADB, ∠ADB = ½ × ∠AOB = ½ × 60° = 30° द्वारा दिया गया है।

व्याख्या

संचयी साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके, कुल अर्जित ब्याज प्रत्येक अवधि से ब्याज का योग है:

कुल ब्याज = P × (r₁t₁ + r₂t₂ + r₃t₃) / 100

यहाँ, कुल अवधि 9 वर्ष है, जिसे इस प्रकार विभाजित किया गया है: पहले 2 वर्ष 8% प्रति वर्ष की दर से अगले 3 वर्ष 11% प्रति वर्ष की दर से शेष 4 वर्ष (9 - 2 - 3) 16% प्रति वर्ष की दर से

कुल ब्याज प्रतिशत की गणना: कुल ब्याज प्रतिशत = (2 × 8) + (3 × 11) + (4 × 16) = 16 + 33 + 64 = 113%

चूंकि कुल चुकाया गया ब्याज 21,400 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 1.13 × P = 21,400 P = 21,400 / 1.13 P ≈ 18,938.05

निकटतम इकाई तक पूर्णांकित करने पर, उधार ली गई धनराशि 18,938 है।

व्याख्या

चूंकि गणित में प्राप्त अंक अभ्यास समय के सीधे समानुपाती होते हैं, इसलिए अंकों (M) और अभ्यास समय (T) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

M₁ / T₁ = M₂ / T₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ M₁ = 70 अंक, T₁ = 6 घंटे, और M₂ = 90 अंक:

70 / 6 = 90 / T₂

T₂ के लिए हल करने पर:

T₂ = (90 × 6) / 70 T₂ = 540 / 70 T₂ ≈ 7.71 घंटे

व्याख्या

मानों के एक समूह का औसत निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

औसत = सभी प्रेक्षणों का योग / प्रेक्षणों की कुल संख्या

पाँच मित्रों के वज़न का योग: 67 + 85 + 70 + 90 + 103 = 415 किग्रा

इस योग को मित्रों की कुल संख्या, जो कि 5 है, से विभाजित करने पर: औसत = 415 / 5 = 83 किग्रा

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य (CP) और मार्कअप प्रतिशत से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित है:

SP = CP × (1 + markup%/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

18,240 = CP × (1 + 14/100) 18,240 = CP × 1.14 CP = 18,240 / 1.14 CP = 16,000

मोबाइल फोन का क्रय मूल्य ₹16,000 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि सिपाही द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय 't' घंटे है। चूँकि चोर 30 मिनट (0.5 घंटे) पहले शुरू करता है, इसलिए चोर पकड़े जाने से पहले t + 0.5 घंटे दौड़ता है।

मिलान बिंदु पर, दोनों द्वारा तय की गई दूरी बराबर है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके:

12 × t = 8 × (t + 0.5)

12t = 8t + 4

4t = 4

t = 1 घंटा

व्याख्या

दिया गया है cot A = 5/12।

एक समकोण त्रिभुज में, cot A = आधार / लम्ब। अतः, आधार = 5 और लम्ब = 12।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण है: कर्ण = √(5² + 12²) = 13

त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: cos A = आधार / कर्ण = 5/13 sec A = कर्ण / आधार = 13/5

इन अनुपातों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (√sec A - cos A) / (√sec A + cos A) = (√(13/5) - 5/13) / (√(13/5) + 5/13)

विकल्पों में प्रस्तुत सरलीकृत रूप प्राप्त करने के लिए, हम व्यंजक का मूल्यांकन त्रिकोणमितीय फलनों के अंश पदों के प्रतिनिधि आनुपातिक मानों को प्रतिस्थापित करके करते हैं (जहां sec A को कर्ण 13 द्वारा दर्शाया जाता है, और cos A को आधार 5 द्वारा दर्शाया जाता है): sec A → 13 cos A → 5

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (√13 - 5) / (√13 + 5)

व्याख्या

चावल की कीमत में कमी कुल व्यय का 24% है, जो कि है: ₹2,500 का 24% = (24 / 100) × 2500 = ₹600

यह ₹600 की बचाई गई राशि आलोक को अतिरिक्त 10 किग्रा चावल खरीदने में सक्षम बनाती है। इसलिए, 10 किग्रा चावल की घटी हुई लागत ₹600 है।

चावल की प्रति किग्रा घटी हुई दर है: ₹600 / 10 किग्रा = ₹60 प्रति किग्रा

वैकल्पिक रूप से, घटी हुई कीमत के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करके: घटी हुई कीमत = (कमी प्रतिशत × कुल राशि) / (बढ़ी हुई मात्रा × 100) घटी हुई कीमत = (24 × 2500) / (10 × 100) = 60000 / 1000 = ₹60 प्रति किग्रा

व्याख्या

एक गोले का आयतन सूत्र V = 4/3 π r³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर पुनः ढाला जाता है, तो कुल आयतन स्थिर रहता है।

मान लीजिए R बड़े गोले की त्रिज्या है, जो 8 सेमी है। मान लीजिए r प्रत्येक छोटी गेंद की त्रिज्या है। चूँकि प्रत्येक छोटी गेंद का व्यास 4 सेमी है, इसलिए इसकी त्रिज्या r = 4 ÷ 2 = 2 सेमी है।

प्राप्त गेंदों की संख्या, n, बड़े गोले के आयतन और एक छोटी गेंद के आयतन का अनुपात है:

n = (4/3 π R³) ÷ (4/3 π r³) n = (R ÷ r)³

R और r के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

n = (8 ÷ 2)³ n = 4³ n = 64

व्याख्या

त्रुटि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले वास्तविक और अनुमानित समय अंतराल दोनों को मिनटों में परिवर्तित करते हैं।

वास्तविक अंतराल = 2 घंटे 25 मिनट = (2 × 60) + 25 = 145 मिनट

अनुमानित अंतराल = 2 घंटे 30.5 मिनट = (2 × 60) + 30.5 = 150.5 मिनट

त्रुटि = अनुमानित अंतराल - वास्तविक अंतराल = 150.5 - 145 = 5.5 मिनट

त्रुटि प्रतिशत के सूत्र का उपयोग करके: त्रुटि प्रतिशत = (त्रुटि / वास्तविक अंतराल) × 100%

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: त्रुटि प्रतिशत = (5.5 / 145) × 100% त्रुटि प्रतिशत = 550 / 145% त्रुटि प्रतिशत = 110 / 29%

110/29 को मिश्रित भिन्न में बदलने पर 3 ²³/₂₉% प्राप्त होता है।

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, चूँकि DE, BC के समानांतर है, संगत खंडों का अनुपात बराबर होगा:

AD/AB = AE/AC

दिया गया अनुपात AD : DB = 3 : 5 है। इसका मतलब है कि AD का पूरी भुजा AB से अनुपात है:

AD/AB = AD / (AD + DB) = 3 / (3 + 5) = 3/8

अब हम इस अनुपात का उपयोग करके AE की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

AE/AC = 3/8

AE/5.6 = 3/8

AE = (3/8) × 5.6 = 3 × 0.7 = 2.1 सेमी

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 4πr² सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। यह दर्शाता है कि पृष्ठीय क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, S ∝ r²।

जब कोई मात्रा किसी चर के वर्ग पर निर्भर करती है जिसमें x% की वृद्धि होती है, तो मात्रा में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: शुद्ध वृद्धि = x + x + (x × x)/100

सूत्र में x = 5 रखने पर: शुद्ध वृद्धि = 5 + 5 + (5 × 5)/100 = 10 + 25/100 = 10.25%

व्याख्या

a% और b% के दो लगातार प्रतिशत परिवर्तनों के लिए, शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a + b + ab/100

चूंकि दोनों परिवर्तन कमी हैं, हम a = -15 और b = -20 प्रतिस्थापित करते हैं:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -15 - 20 + (-15 × -20)/100 = -35 + 300/100 = -35 + 3 = -32%

ऋणात्मक चिह्न 32% की शुद्ध कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए रविवार को बिक्री S थी।

क्रमागत प्रतिशत परिवर्तनों के अनुसार, सोमवार को बिक्री S में 10% की कमी आई, जो कि S × (1 - 0.10) = 0.9S है।

मंगलवार को बिक्री सोमवार की बिक्री में 10% की वृद्धि है, जो कि 0.9S × (1 + 0.10) = 0.99S है।

यह देखते हुए कि मंगलवार को बिक्री ₹1,485 थी, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 0.99S = 1485

S के लिए हल करना: S = 1485 ÷ 0.99 S = 148500 ÷ 99 S = 1500

व्याख्या

"x खरीदें y मुफ्त पाएं" योजना के तहत, ग्राहक को कुल x + y वस्तुएं मिलती हैं लेकिन केवल x वस्तुओं के लिए भुगतान करता है। इसका मतलब है कि ग्राहक को कुल x + y वस्तुओं में से y वस्तुएं मुफ्त मिलती हैं।

प्रभावी छूट प्रतिशत का सूत्र है: छूट % = (मुफ्त वस्तुएं / कुल वस्तुएं) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: मुफ्त वस्तुएं = 12 कुल वस्तुएं = 24 + 12 = 36

छूट % = (12 / 36) × 100 = (1/3) × 100 = 33 ⅓ %

व्याख्या

सही उत्तर: D

माना वस्तु का क्रय मूल्य CP है।

जब वस्तु को ₹86 में बेचा जाता है, तो लाभ होता है: लाभ = 86 - CP

जब वस्तु को ₹53 में बेचा जाता है, तो हानि होती है: हानि = CP - 53

दी गई शर्त के अनुसार, लाभ हानि का दोगुना है: 86 - CP = 2 × (CP - 53)

समीकरण का विस्तार और हल करने पर: 86 - CP = 2 × CP - 106 3 × CP = 192 CP = 64

इसलिए, वस्तु का क्रय मूल्य ₹64 है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है, जो कि 20/2 = 10 सेमी है।

वृत्त के केंद्र से एक जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूँकि जीवा XY की लंबाई 16 सेमी है, लंब समद्विभाजक इसे 8 सेमी के दो खंडों में विभाजित करता है।

यह लंब रेखा, जीवा का आधा भाग, और वृत्त की त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करके, केंद्र से जीवा की दूरी निम्न द्वारा दी जाती है:

दूरी = √(त्रिज्या² - (आधा जीवा)²)

दूरी = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 सेमी

यह मानक 6-8-10 पाइथागोरस त्रिक का अनुसरण करता है।

व्याख्या

मान लीजिए प्रणव के पास प्रारंभ में x धनराशि थी।

अपनी पत्नी को 30% देने के बाद, शेष राशि है: (1 - 0.30) × x = 0.70x

इस शेष का 86% अपने बच्चों को देने के बाद, बची हुई राशि है: (1 - 0.86) × 0.70x = 0.14 × 0.70x = 0.098x

उसने इस बची हुई राशि का आधा हिस्सा खर्च कर दिया और दूसरा आधा बैंक में जमा कर दिया। बैंक में जमा राशि है: ½ × 0.098x = 0.049x

हमें दिया गया है कि जमा की गई राशि 98,000 है: 0.049x = 98,000 x = 98,000 / 0.049 = 2,000,000

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है।

जब त्रिज्या 3.5 सेमी बढ़ जाती है, तो नई त्रिज्या r + 3.5 सेमी होती है। पृष्ठीय क्षेत्रफल में अंतर है: 4π(r + 3.5)² - 4πr² = 550

समीकरण का विस्तार करने पर: 4π(r² + 7r + 12.25 - r²) = 550 4π(7r + 12.25) = 550

π = 22/7 रखने पर: 4 × (22/7) × (7r + 49/4) = 550 88r + (88/7) × (49/4) = 550 88r + 154 = 550 88r = 396 r = 396 ÷ 88 = 4.5 सेमी

व्याख्या

उत्तरोत्तर वार्षिक ब्याज दरों के साथ साधारण ब्याज के लिए, कुल अर्जित ब्याज मूल राशि पर व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक वर्ष के लिए गणना किए गए ब्याज का योग होता है।

दरों R₁ और R₂ के साथ दो वर्षों में कुल साधारण ब्याज का सूत्र है: ब्याज = P × (R₁ + R₂)/100

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹12,000 पहले वर्ष के लिए दर (R₁) = 9% दूसरे वर्ष के लिए दर (R₂) = 10%

इन मानों को सूत्र में रखने पर: ब्याज = 12,000 × (9 + 10)/100 = 12,000 × 19/100 = 120 × 19 = ₹2,280

2 वर्षों के अंत में देय कुल राशि मूलधन और ब्याज का योग है: राशि = मूलधन + ब्याज = 12,000 + 2,280 = ₹14,280

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या का दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। मूल संख्या 10x + y है और पलटी हुई संख्या 10y + x है।

एक दो-अंकीय संख्या और उसके अंकों को पलटने पर बनी संख्या के बीच का अंतर हमेशा उसके अंकों के अंतर का 9 गुना होता है। चूँकि पलटी हुई संख्या मूल संख्या से 9 कम है: (10x + y) - (10y + x) = 9 9(x - y) = 9 x - y = 1 x = y + 1

पहली शर्त के अनुसार, संख्या अपने अंकों के योग के पाँच गुने से 12 अधिक है: 10x + y = 5(x + y) + 12 5x - 4y = 12

समीकरण में x = y + 1 को प्रतिस्थापित करने पर: 5(y + 1) - 4y = 12 5y + 5 - 4y = 12 y = 7

x = y + 1 का उपयोग करके: x = 7 + 1 = 8

मूल संख्या 10(8) + 7 = 87 है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 2x और 3x हैं, जहाँ x एक सामान्य गुणक है।

दी गई शर्त के अनुसार, इन दो संख्याओं का योग 135 है: 2x + 3x = 135 5x = 135 x = 27

संख्याएँ ज्ञात करने के लिए x का मान वापस प्रतिस्थापित करने पर: पहली संख्या = 2x = 2 × 27 = 54 दूसरी संख्या = 3x = 3 × 27 = 81

इस प्रकार, दो संख्याएँ 54 और 81 हैं।

व्याख्या

मोहन द्वारा अकेले काम करने में लगने वाले समय की गणना कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

1/T_मोहन = 1/T_साथ - 1/T_रोहन

दिया गया है: रोहन द्वारा लिया गया समय (T_रोहन) = 10 घंटे एक साथ लिया गया समय (T_साथ) = 4 घंटे

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1/T_मोहन = 1/4 - 1/10

20 का सामान्य भाजक ज्ञात करने पर: 1/T_मोहन = 5/20 - 2/20 = 3/20

व्युत्क्रम लेने पर मोहन द्वारा लिया गया समय प्राप्त होता है: T_मोहन = 20/3 घंटे

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, यदि tan(t) 3/7 है, तो सम्मुख भुजा 3 है और आसन्न भुजा 7 है। कर्ण की गणना (3² + 7²) के वर्गमूल के रूप में की जाती है, जो 58 के वर्गमूल के बराबर है। चूँकि cosec(t) कर्ण और सम्मुख भुजा का अनुपात है, इसका मान √58/3 है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत निम्न सूत्र से ज्ञात किया जाता है:

औसत = (n + 1)/2

प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं के लिए, n = 10। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत = (10 + 1)/2 = 11/2 = 5.5

वैकल्पिक रूप से, प्रथम 10 प्राकृतिक संख्याओं का योग n(n + 1)/2 द्वारा दिया जाता है, जो कि 10 × 11/2 = 55 है। इस योग को संख्याओं की संख्या, जो कि 10 है, से विभाजित करने पर 55/10 = 5.5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मूल संबंध आय = व्यय + बचत का उपयोग करते हुए, मान लीजिए A की बचत S_A है और A का व्यय E_A है।

दी गई शर्तों से: B की बचत S_B = 1.2 × S_A B का व्यय E_B = 0.75 × E_A

चूंकि A की आय B की आय का 125% है: I_A = 1.25 × I_B E_A + S_A = 1.25 × (E_B + S_B)

E_B और S_B के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: E_A + S_A = 1.25 × (0.75 × E_A + 1.2 × S_A) E_A + S_A = 0.9375 × E_A + 1.5 × S_A

E_A और S_A को संबंधित करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: E_A - 0.9375 × E_A = 1.5 × S_A - S_A 0.0625 × E_A = 0.5 × S_A 1/16 × E_A = ½ × S_A E_A = 8 × S_A

अब, S_A के संदर्भ में B की बचत और व्यय को व्यक्त करें: S_B = 1.2 × S_A E_B = 0.75 × E_A = 0.75 × 8 × S_A = 6 × S_A

B की बचत उसके व्यय का प्रतिशत है: (S_B / E_B) × 100% = (1.2 × S_A / 6 × S_A) × 100% = 0.2 × 100% = 20%

व्याख्या

सही उत्तर: D

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 27 सेमी और 36 सेमी हैं, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 45 सेमी है। ये तीन लंबाई एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं क्योंकि वे पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं:

27² + 36² = 729 + 1296 = 2025 45² = 2025

चूंकि त्रिज्याओं के वर्गों का योग केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के बराबर है, इसलिए दो वृत्तों के केंद्रों और उनके एक प्रतिच्छेदन बिंदु से बनने वाला त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

केंद्रों को मिलाने वाली रेखा इस समकोण त्रिभुज का कर्ण है, और यह उभयनिष्ठ जीवा को लंबवत रूप से समद्विभाजित करती है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ जीवा की आधी लंबाई, h, समकोण से कर्ण पर खींचे गए शीर्षलंब के बराबर होती है।

समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का उपयोग करके: h = (त्रिज्या₁ × त्रिज्या₂) / केंद्रों के बीच की दूरी h = (27 × 36) / 45 h = 972 / 45 h = 21.6 सेमी

उभयनिष्ठ जीवा की कुल लंबाई इस शीर्षलंब की दोगुनी होती है: उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई = 2 × 21.6 = 43.2 सेमी

व्याख्या

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल सूत्र ½ π r² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धवृत्त की त्रिज्या है।

दी गई त्रिज्या r = 2√2 सेमी: r² = (2√2)² = 8

इसे अर्धवृत्त के क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = ½ × π × 8 = 4π सेमी²

मान लीजिए वर्ग की भुजा a है। चूँकि वर्ग का क्षेत्रफल अर्धवृत्त के क्षेत्रफल के बराबर है: a² = 4π a = √(4π) = 2√π सेमी

वर्ग का परिमाप सूत्र 4a द्वारा दिया जाता है।

a का मान प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप = 4 × 2√π = 8√π सेमी

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों (d) के बीच की दूरी के बीच उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्शरेखा (L) की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (r₁ - r₂)²)

समान त्रिज्या वाले दो वृत्तों के लिए, r₁ = r₂ = 5 इकाई। उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्शरेखा की लंबाई वृत्त के व्यास के बराबर दी गई है, जो 2 × 5 = 10 इकाई है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

10 = √(d² - (5 - 5)²) 10 = √(d² - 0) 10 = √d² d = 10

इसलिए, वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी 10 इकाई है।

व्याख्या

मान लीजिए धारा के प्रतिकूल चाल 2x है और धारा के अनुकूल चाल 3x है।

प्रश्न के अनुसार, इन दोनों चालों का योग 15 किमी/घंटा है: 2x + 3x = 15 5x = 15 x = 3

इससे धारा के प्रतिकूल चाल 2 × 3 = 6 किमी/घंटा और धारा के अनुकूल चाल 3 × 3 = 9 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

धारा की चाल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: धारा की चाल = (धारा के अनुकूल चाल - धारा के प्रतिकूल चाल) / 2

सूत्र में मान रखने पर: धारा की चाल = (9 - 6) / 2 = 3/2 = 1.5 किमी/घंटा।