एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मानों के एक समूह का औसत निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

औसत = (सभी मानों का योग) / (मानों की कुल संख्या)

सोहन के लिए, तीन विषयों (भूगोल, इतिहास और अर्थशास्त्र) में अंक क्रमशः 84, 80 और 82 हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत = (84 + 80 + 82) / 3

औसत = 246 / 3 = 82

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, पूर्णांक n को n = 5q + 3 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है।

इस समीकरण को 6 से गुणा करने पर: 6n = 6(5q + 3) 6n = 30q + 18

चूँकि 18 को 15 + 3 के रूप में लिखा जा सकता है, हम व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: 6n = 30q + 15 + 3 6n = 5(6q + 3) + 3

क्योंकि 5(6q + 3) 5 का गुणज है, 6n को 5 से विभाजित करने पर शेषफल 3 होगा।

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के एक कोण का आंतरिक समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है। चूँकि BD, कोण B का समद्विभाजक है जो AC को D पर प्रतिच्छेद करता है, हमारे पास है:

AD / DC = AB / BC

दिया गया है कि AB = AC = 12 सेमी और BC = 12√2 सेमी, हम DC को AC - AD के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जो कि 12 - AD है। इन मानों को अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर:

AD / (12 - AD) = 12 / (12√2)

AD / (12 - AD) = 1 / √2

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

AD × √2 = 12 - AD

AD × √2 + AD = 12

AD(√2 + 1) = 12

AD = 12 / (√2 + 1)

हर को परिमेय बनाने के लिए, अंश और हर को (√2 - 1) से गुणा करें:

AD = 12(√2 - 1) / ((√2 + 1)(√2 - 1))

AD = 12(√2 - 1) / (2 - 1)

AD = 12(√2 - 1) सेमी

व्याख्या

एक ठोस घनाभ को पिघलाकर बनाए गए घनों की संख्या, घनाभ के आयतन को एक घन के आयतन से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई घन का आयतन = भुजा³

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: घनों की संख्या = (36 × 22 × 12) ÷ (6 × 6 × 6)

विभाजन को सरल बनाने पर: घनों की संख्या = (36 ÷ 6) × 22 × (12 ÷ 6) ÷ 6 घनों की संख्या = 6 × 22 × 2 ÷ 6 घनों की संख्या = 22 × 2 = 44

व्याख्या

हम पदों को इस प्रकार समूहित करके व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं: (17³ - 15³) + (18³ - 16³)

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करके:

पहले समूह के लिए: 17³ - 15³ = (17 - 15)(17² + 17 × 15 + 15²) = 2 × (17² + 17 × 15 + 15²)

दूसरे समूह के लिए: 18³ - 16³ = (18 - 16)(18² + 18 × 16 + 16²) = 2 × (18² + 18 × 16 + 16²)

चूंकि दोनों पदों में 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए उनका योग भी 2 का गुणज है, जिसका अर्थ है कि पूरा व्यंजक 2 से पूरी तरह विभाज्य है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) पर d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के बाद विक्रय मूल्य (SP) का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों MP = 90,000, d₁ = 10, और d₂ = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

SP = 90,000 × (1 - 10/100) × (1 - 5/100) SP = 90,000 × 0.90 × 0.95 SP = 81,000 × 0.95 SP = 76,950

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप a² - 2ab + b² में है, जहाँ a = 4¼ और b = ¼ है।

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करने पर: a² - 2ab + b² = (a - b)²

a और b के मान रखने पर: a - b = 4¼ - ¼ = 4

इस परिणाम का वर्ग करने पर: (a - b)² = 4² = 16

व्याख्या

मान लीजिए कि एक सेब का वज़न 'a' है और एक संतरे का वज़न 'o' है। इससे रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त होती है:

8a + 10o = 5 12a + 20o = 9

o को समाप्त करने के लिए, पहले समीकरण को 2 से गुणा करें:

16a + 20o = 10

इस समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर प्राप्त होता है:

4a = 1 a = 0.25 किग्रा

पहले समीकरण में a = 0.25 रखने पर:

8(0.25) + 10o = 5 2 + 10o = 5 10o = 3 o = 0.3 किग्रा

अब, 15 सेब और 24 संतरे का वज़न ज्ञात करें:

15a + 24o = 15(0.25) + 24(0.3) = 3.75 + 7.2 = 10.95 किग्रा

10.95 किग्रा को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज MNT का अर्ध-परिमाप s है: s = (MN + MT + NT) / 2 = (36 + 36 + 48) / 2 = 60 सेमी

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = √(s(s - MN)(s - MT)(s - NT)) क्षेत्रफल = √(60 × (60 - 36) × (60 - 36) × (60 - 48)) क्षेत्रफल = √(60 × 24 × 24 × 12) क्षेत्रफल = √(12 × 5 × 24² × 12) क्षेत्रफल = 12 × 24 × √5 = 288√5 सेमी²

त्रिभुज का क्षेत्रफल भी निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई क्षेत्रफल = ½ × MT × h 288√5 = ½ × 36 × h 288√5 = 18 × h h = 288√5 / 18 = 16√5 सेमी

व्याख्या

जब दो वस्तुओं को समान विक्रय मूल्य (SP) पर बेचा जाता है, जिनमें से एक पर x% का लाभ और दूसरे पर x% की हानि होती है, तो हमेशा कुल हानि होती है।

कुल हानि प्रतिशत = x² / 100 % कुल हानि प्रतिशत = 20² / 100 % = 400 / 100 % = 4%

दोनों पंखों का कुल विक्रय मूल्य = 2 × 480 = ₹960

चूंकि कुल 4% की हानि है, कुल विक्रय मूल्य कुल क्रय मूल्य (CP) का 96% दर्शाता है।

कुल CP = (कुल SP / (100 - कुल हानि %)) × 100 कुल CP = (960 / 96) × 100 = ₹1000

रुपयों में कुल हानि = कुल CP - कुल SP कुल हानि = 1000 - 960 = ₹40

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि PQ, BC के समानांतर है, इसलिए त्रिभुज APQ, त्रिभुज ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:

PQ/BC = AQ/AC

हमें दिया गया है कि AC = 5QC। चूँकि Q, AC पर एक बिंदु है:

AC = AQ + QC 5QC = AQ + QC AQ = 4QC

इसका उपयोग करते हुए, AQ और AC का अनुपात है:

AQ/AC = 4QC/5QC = 4/5

चूँकि PQ/BC = AQ/AC, इसलिए PQ : BC का अनुपात 4 : 5 है।

व्याख्या

दो वृत्तों की एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

लंबाई = √(d² - (r₁ - r₂)²)

जहाँ d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ और r₂ उनकी त्रिज्याएँ हैं।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, d = 84 सेमी, r₁ = 38 सेमी, और r₂ = 26 सेमी:

लंबाई = √(84² - (38 - 26)²) लंबाई = √(84² - 12²)

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का प्रयोग करने पर:

लंबाई = √((84 - 12) × (84 + 12)) लंबाई = √(72 × 96) लंबाई = √(24 × 3 × 24 × 4) लंबाई = √(24² × 12) लंबाई = √(24² × 4 × 3) लंबाई = √(24² × 2² × 3) लंबाई = √(48² × 3) लंबाई = 48√3 सेमी

व्याख्या

व्यंजक का मूल्यांकन BODMAS नियम का उपयोग करके चरण-दर-चरण किया जा सकता है, जो कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के रूप में संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है।

सबसे पहले, पहले पद के लिए कोष्ठक के अंदर व्यंजक को सरल करें: 1 + 4/5 = 9/5

इस मान को कोष्ठक में वापस प्रतिस्थापित करें: 4/9 × 9/5 × 5 = 4

व्यंजक का पहला भाग बन जाता है: 420 ÷ 4 = 105

अगला, व्यंजक के दूसरे भाग का मूल्यांकन करें, जहाँ "का" संक्रिया का भाग और गुणा से अधिक प्राथमिकता होती है और इसकी गणना पहले की जाती है: 5/7 का 21/25 = (5/7) × (21/25) = 3/5 3/4 का 2/5 = (3/4) × (2/5) = 3/10

अब, दो परिणामी मानों को विभाजित करें: (3/5) ÷ (3/10) = (3/5) × (10/3) = 2

अंत में, दोनों भागों के मानों को एक साथ जोड़ें: 105 + 2 = 107

व्याख्या

दो धनात्मक संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती का सूत्र √(a × b) है।

दिए गए मानों, a = 25 और b = 81 को प्रतिस्थापित करने पर:

मध्य समानुपाती = √(25 × 81) = √25 × √81 = 5 × 9 = 45।

व्याख्या

ऊष्मामिति के सिद्धांत के अनुसार, जब विभिन्न तापमानों पर एक ही तरल के दो द्रव्यमानों को मिलाया जाता है, तो अंतिम संतुलन तापमान T_f भारित औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

T_f = (m₁T₁ + m₂T₂) / (m₁ + m₂)

यहां, पानी का घनत्व और विशिष्ट ऊष्मा क्षमता स्थिर है, इसलिए हम उनके द्रव्यमान के प्रतिनिधि के रूप में लीटर में आयतन का सीधे उपयोग कर सकते हैं:

m₁ = 2 L, T₁ = 100 °C m₂ = 18 L, T₂ = 32 °C

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

T_f = (2 × 100 + 18 × 32) / (2 + 18) T_f = (200 + 576) / 20 T_f = 776 / 20 T_f = 38.8 °C

व्याख्या

मान लीजिए V वैध मतों की कुल संख्या है।

विजेता उम्मीदवार को वैध मतों का 52% प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि हारने वाले उम्मीदवार को प्राप्त होता है: 100% - 52% = वैध मतों का 48%

उनके मत प्रतिशत के बीच का अंतर है: 52% - 48% = वैध मतों का 4%

चूंकि विजेता 98 मतों से जीतता है, हम संबंध स्थापित कर सकते हैं: V का 4% = 98 V × 4/100 = 98 V = (98 × 100) / 4 V = 98 × 25 V = 2450

डाले गए मतों की कुल संख्या वैध मतों और अवैध मतों का योग है: डाले गए कुल मत = वैध मत + अवैध मत डाले गए कुल मत = 2450 + 68 = 2518

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है। साधारण ब्याज के तहत अंतिम राशि A का सूत्र A = P + S.I. द्वारा दिया जाता है, जहाँ S.I. साधारण ब्याज है।

जब धनराशि अपने मूल मान का 5 गुना हो जाती है, तो राशि 5P होती है। अर्जित ब्याज है: S.I. = 5P - P = 4P

साधारण ब्याज सीधे समय के समानुपाती होता है। जब निवेश की अवधि दोगुनी हो जाती है, तो अर्जित साधारण ब्याज भी दोगुना हो जाता है।

नया साधारण ब्याज = 2 × 4P = 8P

दोगुने समय के बाद अंतिम राशि है: राशि = P + 8P = 9P

व्याख्या

जब किसी मान को क्रमिक रूप से a% और b% से बदला जाता है तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध परिवर्तन = a + b + ab/100

इस मामले में, पहला परिवर्तन 25% की कमी है, इसलिए a = -25। दूसरा परिवर्तन 20% की वृद्धि है, इसलिए b = 20।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन = -25 + 20 + (-25 × 20)/100 शुद्ध परिवर्तन = -5 - 500/100 शुद्ध परिवर्तन = -5 - 5 शुद्ध परिवर्तन = -10%

10% का ऋणात्मक परिणाम 10% की शुद्ध कमी के अनुरूप है।

व्याख्या

कार्य की संयुक्त दर ज्ञात करने के लिए, हम कार्य दर के सूत्र का उपयोग करते हैं: दर = 1 / समय।

मान लीजिए R, S और T की दैनिक कार्य दर क्रमशः r, s और t है।

दिए गए आंकड़ों से, हमारे पास है: r + s = 1/10 s + t = 1/12 t + r = 1/8

इन तीन समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर: 2(r + s + t) = 1/10 + 1/12 + 1/8

भिन्नों को जोड़ने के लिए, हर 10, 12 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 120 है: 1/10 + 1/12 + 1/8 = 12/120 + 10/120 + 15/120 = 37/120

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: 2(r + s + t) = 37/120 r + s + t = 37/240

चूंकि R, S और T के एक साथ काम करने की संयुक्त दैनिक दर 37/240 है, इसलिए कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय इस दर का व्युत्क्रम है, जो कि 240/37 दिन है।

व्याख्या

कर्ण h वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = h²/4

दिए गए 16 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 16 = h²/4 h² = 16 × 4 h² = 64 h = √64 = 8 मीटर

व्याख्या

सही उत्तर: B

R द्वारा काम पूरा करने के लिए आवश्यक कुल घंटे = 6 दिन × 10 घंटे प्रति दिन = 60 घंटे।

S द्वारा काम पूरा करने के लिए आवश्यक कुल घंटे = 5 दिन × 8 घंटे प्रति दिन = 40 घंटे।

संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके, जब दोनों एक साथ काम करते हैं तो आवश्यक कुल घंटे T हैं: T = (R × S) / (R + S) T = (60 × 40) / (60 + 40) = 2400 / 100 = 24 घंटे

चूंकि वे प्रतिदिन 6 घंटे काम करते हैं, काम पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या है: दिनों की संख्या = कुल घंटे / दैनिक घंटे = 24 / 6 = 4 दिन

व्याख्या

सही उत्तर: D

बड़ी वृत्ताकार चादर की परिधि C = 2πR है, जहाँ R उसकी त्रिज्या है।

इस वृत्ताकार चादर से दो बराबर अधिकतम आकार की वृत्ताकार प्लेटें काटने के लिए, दोनों प्लेटें बड़ी चादर के व्यास के साथ स्थित होनी चाहिए, जो केंद्र पर एक-दूसरे को स्पर्श करती हों और चादर की बाहरी सीमा को स्पर्श करती हों।

इसका मतलब है कि बड़े वृत्त का व्यास दो बराबर छोटे वृत्तों के व्यास के योग के बराबर है: 2R = 2r + 2r 2R = 4r r = R / 2

इस प्रकार, प्रत्येक छोटी वृत्ताकार प्लेट की त्रिज्या, r, बड़ी वृत्ताकार चादर की त्रिज्या, R, की ठीक आधी है।

चूंकि वृत्त की परिधि उसकी त्रिज्या के सीधे आनुपातिक होती है, इसलिए प्रत्येक छोटी वृत्ताकार प्लेट की परिधि, c, है: c = 2πr = 2π(R / 2) = C / 2

बड़ी चादर की दी गई परिधि को प्रतिस्थापित करने पर: c = 264 / 2 = 132 सेमी

व्याख्या

एक आने-जाने की यात्रा के लिए लिया गया कुल समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: T = d / (u + v) + d / (u - v)

जहाँ d एक तरफ़ की दूरी है, u शांत जल में नाव की गति है, और v धारा की गति है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: T = 45 / (12 + 3) + 45 / (12 - 3) T = 45 / 15 + 45 / 9 T = 3 + 5 T = 8 घंटे

व्याख्या

डाले गए मतों की कुल संख्या 100% मान लीजिए।

हारने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 47% प्राप्त हुआ। चूंकि चुनाव में केवल दो उम्मीदवार थे, इसलिए जीतने वाले उम्मीदवार को शेष मत प्राप्त हुए होंगे: 100% - 47% = 53%

जीतने वाले और हारने वाले के बीच मतों के प्रतिशत का अंतर है: 53% - 47% = 6%

यह 6% का अंतर 276 मतों के अंतर के बराबर है।

डाले गए मतों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं: कुल मत = 276 × 100 / 6 = 4600

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है। 3 वर्षों के बाद कुल राशि A, मूलधन का 5/4 है, जो कि 5/4 P है।

अर्जित साधारण ब्याज इस प्रकार दिया जाता है: SI = A - P = 5/4 P - P = 1/4 P

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करते हुए, SI = (P × R × T) / 100, जहाँ R प्रति वर्ष ब्याज दर है और T वर्षों में समय है: 1/4 P = (P × R × 3) / 100

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर: 1/4 = 3R / 100

R के लिए हल करने पर: R = 100 / (4 × 3) = 25 / 3 = 8.33% प्रति वर्ष

व्याख्या

तन्वी की 1 दिन की कार्य दर 1/25 है और ताई की 1 दिन की कार्य दर 1/30 है।

उनकी संयुक्त 1 दिन की कार्य दर है: 1/25 + 1/30 = (6 + 5)/150 = 11/150

दोनों द्वारा 5 दिनों तक साथ मिलकर काम करने पर पूरा किया गया काम की मात्रा है: 5 × (11/150) = 11/30

शेष काम की गणना कुल काम (जिसे 1 से दर्शाया जाता है) में से पूरे किए गए काम को घटाकर की जाती है: 1 - 11/30 = 19/30

व्याख्या

माना राम की वर्तमान आयु R है और राहुल की वर्तमान आयु r है। उनकी आयु के बीच का अंतर हर समय स्थिर रहता है: R - r = 20

माना 'n' वर्ष पहले उनकी आयु R - n और r - n थी। इस समय, राम, राहुल से तिगुना बड़ा था: R - n = 3(r - n)

चूंकि आयु का अंतर हमेशा 20 वर्ष है: (R - n) - (r - n) = 20 3(r - n) - (r - n) = 20 2(r - n) = 20 r - n = 10

इससे राहुल की वर्तमान आयु r = 10 + n, और राम की वर्तमान आयु R = 30 + n प्राप्त होती है।

'2n' वर्ष बाद उनकी आयु होगी: राहुल की आयु = r + 2n = 10 + 3n राम की आयु = R + 2n = 30 + 3n

'2n' वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 15 : 11 है: (30 + 3n) / (10 + 3n) = 15 / 11

पदों को तिरछा गुणा करने पर: 11 × (30 + 3n) = 15 × (10 + 3n) 330 + 33n = 150 + 45n 12n = 180 n = 15

व्याख्या

क्रमिक लेन-देन को क्रमिक लाभों के लिए चक्रवृद्धि सूत्र का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। मान लीजिए A का क्रय मूल्य x है।

क्रमिक लाभ प्रतिशत के लिए गुणक हैं: A से B तक 10% लाभ पर: 1 + 10/100 = 11/10 B से C तक 60% लाभ पर: 1 + 60/100 = 8/5 C से D तक 12.5% लाभ पर: 1 + 12.5/100 = 9/8

D द्वारा भुगतान की गई अंतिम कीमत इस प्रकार दी गई है: x × (11/10) × (8/5) × (9/8) = 59.40

अंश और हर में 8 को रद्द करके भिन्न को सरल बनाना: x × 99/50 = 59.40

x के लिए हल करना: x = (59.40 × 50) / 99 x = 0.60 × 50 x = 30

इस प्रकार, A ने वस्तु ₹30 में खरीदी।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की गति u = 8 किमी/घंटा है और धारा की गति v किमी/घंटा है।

धारा के साथ गति u + v है और धारा के विपरीत गति u - v है। चूँकि तय की गई दूरी समान है, समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

t_विपरीत = 3 × t_साथ

1 / (u - v) = 3 / (u + v)

u + v = 3(u - v)

u + v = 3u - 3v

4v = 2u

v = u / 2

समीकरण में u = 8 किमी/घंटा रखने पर:

v = 8 / 2 = 4 किमी/घंटा

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, व्यंजक 720 + 48 ÷ 8 × 5 - 6 × 3 में संक्रियाओं को भाग, गुणा, जोड़ और फिर घटाव के क्रम में किया जाता है।

पहले, भाग करें: 48 ÷ 8 = 6

व्यंजक बन जाता है: 720 + 6 × 5 - 6 × 3

अगला, गुणा संक्रियाएँ करें: 6 × 5 = 30 6 × 3 = 18

व्यंजक अब सरल हो जाता है: 720 + 30 - 18

अंत में, जोड़ के बाद घटाव करें: 720 + 30 = 750 750 - 18 = 732

व्याख्या

मान लीजिए कि चुनाव में डाले गए मतों की कुल संख्या 100% है।

हारने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 42% प्राप्त हुआ। चूँकि केवल दो उम्मीदवार थे, जीतने वाले उम्मीदवार को शेष भाग प्राप्त हुआ: कुल मतों का 100% - 42% = 58%।

जीतने वाले और हारने वाले उम्मीदवार के बीच मत प्रतिशत का अंतर है: कुल मतों का 58% - 42% = 16%।

यह 16% का अंतर 800 मतों के हारने के अंतर के बराबर है। इसलिए: कुल मतों का 16% = 800 कुल मत = (800 × 100) ÷ 16 = 5000।

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना प्राप्त कुल वस्तुओं की संख्या के अनुपात में मुफ्त प्राप्त वस्तुओं के रूप में की जाती है, जिसे 100 से गुणा किया जाता है।

छूट % = (मुफ्त वस्तुएँ / कुल वस्तुएँ) × 100

यहाँ, मीना को 24 चूड़ियाँ खरीदने पर 6 चूड़ियाँ मुफ्त मिलती हैं। प्राप्त कुल वस्तुएँ = 24 + 6 = 30 चूड़ियाँ मुफ्त वस्तुएँ = 6 चूड़ियाँ

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: छूट % = (6 / 30) × 100 = 1/5 × 100 = 20%

व्याख्या

आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत को दशमलव या भिन्न में बदलें और गुणा करें:

3 का 2% का 5% = (5 / 100) × (2 / 100) × 3

पदों को गुणा करने पर:

(5 × 2 × 3) / (100 × 100) = 30 / 10000 = 3 / 1000 = 0.003

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि किस पाठ्यक्रम में लगातार वृद्धि या गिरावट हुई, हम वर्ष-दर-वर्ष प्रवेश डेटा का विश्लेषण करते हैं। प्रबंधन पाठ्यक्रम के लिए, 2015 से 2020 तक प्रवेश 240, 275, 286, 293, 300 और 320 हैं। यह अनुक्रम हर साल छात्र नामांकन में निरंतर वृद्धि दर्शाता है, जैसा कि संबंध 240 < 275 < 286 < 293 < 300 < 320 द्वारा दर्शाया गया है। यह निरंतर ऊपर की ओर रुझान निर्दिष्ट शैक्षणिक वर्षों में प्रवेश में लगातार वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

व्यंजक को हल करने के लिए, हम BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) लागू करते हैं।

पहले, पहले पद को सरल करें: (2 × 2 + 2) / (2 × 2 - 2) = (4 + 2) / (4 - 2) = 6 / 2 = 3

अगला, दूसरे पद को सरल करें: अंश में: 1/2 ÷ 1/2 का 1/2 चूंकि "का" का महत्व भाग से अधिक है: 1/2 का 1/2 = 1/4 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4 = 2

हर में: 1/2 + 1/2 का 1/2 चूंकि "का" का महत्व जोड़ से अधिक है: 1/2 का 1/2 = 1/4 1/2 + 1/4 = 3/4

दूसरे पद के अंश और हर को मिलाकर: 2 / (3/4) = 2 × 4/3 = 8/3

अब, पहले पद को सरलीकृत दूसरे पद से विभाजित करें: 3 ÷ 8/3 = 3 × 3/8 = 9/8 = 1 ⅛

व्याख्या

त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ वाले वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र है:

चाप की लंबाई = (θ / 360°) × 2πr

विकल्प C में दिया गया सूत्र, (θ / 360°) × πr², वृत्त की त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल को दर्शाता है, न कि उसकी चाप की लंबाई को। यह कथन गणितीय रूप से गलत है।

व्याख्या

दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लंबाई का सूत्र है: L = √(d² - (r₁ - r₂)²)

इस सूत्र में, d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, r₁ बड़े वृत्त की त्रिज्या है, और r₂ छोटे वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = 81 सेमी r₁ = 51 सेमी r₂ = 42 सेमी

हमें प्राप्त होता है: L = √(81² - (51 - 42)²) L = √(81² - 9²)

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके: L = √((81 - 9) × (81 + 9)) L = √(72 × 90) L = √6480

वर्गमूल की गणना करने पर: 80.5² = 6480.25 √6480 ≈ 80.5 सेमी

व्याख्या

n वर्षों के बाद किसी संपत्ति का अवमूल्यित मूल्य, जहाँ वर्तमान मूल्य P है और अवमूल्यन दर r है, सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = P × (1 - r)ⁿ

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: P = 80000 r = 5% = 0.05 n = 2

V = 80000 × (1 - 0.05)² V = 80000 × 0.95² V = 80000 × 0.9025 V = 72200

व्याख्या

प्रारंभिक 35 छात्रों का कुल वजन छात्रों की संख्या को उनके औसत वजन से गुणा करके निकाला जाता है: 35 × 40 = 1400 किलोग्राम

कक्षा छोड़कर जाने वाले 5 छात्रों का कुल वजन है: 5 × 42 = 210 किलोग्राम

शेष 30 छात्रों का कुल वजन प्राप्त करने के लिए छोड़े गए छात्रों के वजन को घटाया जाता है: 1400 - 210 = 1190 किलोग्राम

शेष 30 छात्रों का औसत वजन है: 1190 / 30 = 39.67 किलोग्राम

व्याख्या

त्रिभुज ABC की भुजाएँ 3:4:5 के अनुपात में हैं। मान लीजिए त्रिभुज ABC की भुजाएँ 3x, 4x, और 5x हैं।

यह देखते हुए कि त्रिभुज ABC की सबसे छोटी भुजा 15 इकाई है: 3x = 15 x = 5

त्रिभुज ABC की सबसे बड़ी भुजा है: 5x = 5 × 5 = 25 इकाई

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। मान लीजिए त्रिभुज DEF की सबसे बड़ी भुजा L है। क्षेत्रफल(DEF) / क्षेत्रफल(ABC) = (L / ABC की सबसे बड़ी भुजा)²

चूंकि DEF का क्षेत्रफल ABC के क्षेत्रफल का आधा है: ½ = (L / 25)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 1 / √2 = L / 25

L के लिए हल करने पर: L = 25 / √2

व्याख्या

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 4πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

r = 14 सेमी और π = 22/7 रखने पर: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 14 × 14 पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × 22 × 2 × 14 पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2464 वर्ग सेमी

प्रति वर्ग सेंटीमीटर ₹5 की दर से पेंट करने की कुल लागत की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल लागत = पृष्ठीय क्षेत्रफल × दर कुल लागत = 2464 × 5 = 12320

व्याख्या

जब भुजा a = 5 सेमी वाले दो घनों को आमने-सामने जोड़ा जाता है, तो वे निम्नलिखित विमाओं वाले एक घनाभ का निर्माण करते हैं: लंबाई (l) = 5 + 5 = 10 सेमी चौड़ाई (b) = 5 सेमी ऊंचाई (h) = 5 सेमी

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

l, b और h के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(10 × 5 + 5 × 5 + 5 × 10) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(50 + 25 + 50) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(125) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 250 वर्ग सेमी

व्याख्या

A:C का अनुपात ज्ञात करने के लिए, A:B के अनुपात को B:C के अनुपात से गुणा करें: A/C = (A/B) × (B/C)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A/C = 2/3 × 7/8

A/C = 14/24

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर 7/12 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कार्य पूरा करने के लिए कुल समय ज्ञात करने हेतु, हम कार्य की दर विधि का उपयोग कर सकते हैं। मान लीजिए कि कुल कार्य रोहन और हरि द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

12 और 16 का LCM 48 इकाई है।

रोहन की दक्षता = 48 ÷ 12 = 4 इकाई प्रति दिन हरि की दक्षता = 48 ÷ 16 = 3 इकाई प्रति दिन

रोहन और हरि की संयुक्त दक्षता = 4 + 3 = 7 इकाई प्रति दिन

वे 3 दिनों तक एक साथ काम करते हैं, जिससे पूरा होता है: 7 इकाई/दिन × 3 दिन = 21 इकाई

रोहन के जाने के बाद किया जाने वाला शेष कार्य: 48 - 21 = 27 इकाई

हरि इस शेष कार्य को अकेले पूरा करता है: हरि द्वारा लिया गया समय = 27 इकाई ÷ 3 इकाई/दिन = 9 दिन

पूरे कार्य को पूरा करने के लिए कुल समय उनके द्वारा एक साथ काम किए गए दिनों और हरि द्वारा अकेले काम किए गए दिनों का योग है: 3 दिन + 9 दिन = 12 दिन

व्याख्या

2 किमी की दौड़ में, कुल दूरी 2000 मीटर है। P दौड़ 200 सेकंड में पूरी करता है, जिसका अर्थ है कि P t = 200 सेकंड पर फिनिश लाइन तक पहुँचता है।

Q को उसी 2000-मीटर की दौड़ को पूरा करने में 220 सेकंड लगते हैं। Q की गति की गणना इस प्रकार की जाती है: Q की गति = दूरी / समय = 2000 / 220 = 100/11 मीटर प्रति सेकंड

जब P 200 सेकंड में दौड़ पूरी करता है, तो Q 200 सेकंड से दौड़ रहा होता है और दौड़ पूरी करने के लिए अभी भी 20 सेकंड शेष होते हैं (220 - 200 = 20 सेकंड)। P, Q को जितने मीटर से हराता है, वह दूरी है जो Q इस शेष 20 सेकंड में तय करता है।

दूरी = Q की गति × शेष समय दूरी = (100/11) × 20 = 2000/11 मीटर

अनुचित भिन्न 2000/11 को मिश्रित भिन्न में बदलना: 2000 ÷ 11 = 181 शेष 9 के साथ, जो 181 9/11 मीटर है।

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, यदि एक प्राकृतिक संख्या n, 732 को विभाजित करती है और 12 शेषफल छोड़ती है, तो: 732 = q × n + 12 जहाँ q एक पूर्णांक है और भाजक n शेषफल से सख्ती से बड़ा होना चाहिए, इसलिए n > 12।

यह सरल हो जाता है: q × n = 720

इसलिए, n 720 का एक गुणनखंड होना चाहिए जो 12 से सख्ती से बड़ा हो।

720 के गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले इसका अभाज्य गुणनखंडन निर्धारित करते हैं: 720 = 2⁴ × 3² × 5¹

720 के गुणनखंडों की कुल संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है: (4 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 5 × 3 × 2 = 30

अब, हम 720 के उन गुणनखंडों की गणना करते हैं जो 12 से कम या उसके बराबर हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, और 12।

ऐसे 10 गुणनखंड हैं।

n के संभावित मानों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ n > 12, हम इन 10 गुणनखंडों को गुणनखंडों की कुल संख्या से घटाते हैं: 30 - 10 = 20

व्याख्या

यह दिया गया है कि cot α = P/Q, हम त्रिकोणमितीय व्यंजक को sin α से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल बना सकते हैं:

(P cos α - Q sin α) / (P cos α + Q sin α) = (P cot α - Q) / (P cot α + Q)

इस समीकरण में cot α = P/Q को प्रतिस्थापित करने पर:

(P(P/Q) - Q) / (P(P/Q) + Q) = (P²/Q - Q) / (P²/Q + Q)

अंश और हर को Q से गुणा करने पर:

(P² - Q²) / (P² + Q²)

इसलिए, दो पदों के बीच का अंतर है:

(P cos α - Q sin α) / (P cos α + Q sin α) - (P² - Q²) / (P² + Q²) = 0

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) = ₹8,000 20% लाभ कमाने के लिए, आवश्यक कुल विक्रय मूल्य (SP) है: SP = 8,000 × (1 + 0.20) = ₹9,600

रुई की कुल मात्रा 500 किलोग्राम है। चूँकि 10% खराब हो जाती है, इसलिए उपयोग योग्य रुई की शेष मात्रा है: 500 × (1 - 0.10) = 450 किलोग्राम

कुल SP प्राप्त करने के लिए प्रति किलोग्राम आवश्यक विक्रय दर है: दर = कुल SP ÷ उपयोग योग्य रुई दर = 9,600 ÷ 450 = 64/3 = 21⅓ ₹/किलोग्राम

व्याख्या

मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई s है।

कर्ण h इस प्रकार दिया गया है: h = 2s + 6

तीसरी भुजा t कर्ण से 2 मीटर कम है: t = h - 2 = 2s + 4

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: s² + t² = h²

t और h के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें: s² + (2s + 4)² = (2s + 6)² s² + 4s² + 16s + 16 = 4s² + 24s + 36 s² - 8s - 20 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंडन: (s - 10)(s + 2) = 0

चूंकि लंबाई धनात्मक होनी चाहिए, s = 10 मीटर।

दो लंबवत भुजाएँ हैं: सबसे छोटी भुजा = 10 मीटर तीसरी भुजा = 2(10) + 4 = 24 मीटर

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई क्षेत्रफल = ½ × 10 × 24 = 120 मी²

व्याख्या

सही उत्तर: B

राज्य C में, साक्षर जनसंख्या का प्रतिशत 78% है। इसका मतलब है कि निरक्षर जनसंख्या का प्रतिशत 100% - 78% = 22% है।

राज्य C में निरक्षर पुरुषों और निरक्षर महिलाओं का अनुपात 3 : 2 है। इस प्रकार, निरक्षर महिला जनसंख्या कुल निरक्षर जनसंख्या का 2 / (3 + 2) = 2/5 है।

मान लीजिए राज्य C की कुल जनसंख्या P है। निरक्षर महिला जनसंख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (2/5) × P का 22% = 4,40,000

22% को 0.22 के रूप में प्रतिस्थापित करें: (2/5) × 0.22 × P = 4,40,000 0.088 × P = 4,40,000 P = 4,40,000 / 0.088 P = 5,000,000