एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

बच्चों की माध्य आयु ज्ञात करने के लिए, भारित माध्य के सूत्र का प्रयोग करें:

माध्य = ∑(f_i × x_i) ÷ ∑f_i

जहाँ x_i आयु को दर्शाता है और f_i बच्चों की संख्या (आवृत्ति) को दर्शाता है।

प्रत्येक आयु और उसकी आवृत्ति का गुणनफल ज्ञात करें: 6 × 8 = 48 7 × 3 = 21 8 × 7 = 56 9 × 2 = 18 10 × 20 = 200

इन गुणनफलों का योग: ∑(f_i × x_i) = 48 + 21 + 56 + 18 + 200 = 343

बच्चों की कुल संख्या: ∑f_i = 8 + 3 + 7 + 2 + 20 = 40

माध्य की गणना करें: माध्य = 343 ÷ 40 = 8.575 वर्ष

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत = (n + 1)/2

यहाँ, प्राकृतिक संख्याएँ 1 से 69 तक हैं, इसलिए n = 69। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत = (69 + 1)/2 = 70/2 = 35

व्याख्या

a, b, और c विमाओं वाले एक आयताकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: TSA = 2(ab + bc + ca)

मान लीजिए डिब्बे के किनारे 3x, 5x, और 8x हैं।

इन मानों को पृष्ठीय क्षेत्रफल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2((3x × 5x) + (5x × 8x) + (8x × 3x)) = 632 2(15x² + 40x² + 24x²) = 632 2 × 79x² = 632 158x² = 632 x² = 4 x = 2

एक आयताकार डिब्बे का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आयतन = abc

x के पदों में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: आयतन = 3x × 5x × 8x = 120x³

x = 2 का उपयोग करने पर: आयतन = 120 × 2³ = 120 × 8 = 960 सेमी³

व्याख्या

डिब्बे और उपहार सामग्री का कुल वज़न 25 किग्रा है। इस वज़न को ग्राम में बदलने पर: कुल वज़न = 25 × 1000 = 25000 ग्राम

डिब्बे के वज़न और उपहार सामग्री के वज़न का अनुपात 1:9 दिया गया है। अनुपात पदों का योग है: कुल भाग = 1 + 9 = 10 भाग

उपहार सामग्री का वज़न कुल 10 भागों में से 9 भागों का प्रतिनिधित्व करता है। अनुपात सूत्र का उपयोग करके, सामग्री का वज़न है: सामग्री का वज़न = (9/10) × 25000 = 9 × 2500 = 22500 ग्राम

व्याख्या

जब दो अलग-अलग गतियों, मान लीजिए v₁ और v₂, पर समान दूरियाँ तय की जाती हैं, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हार्मोनिक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

दी गई गतियों, v₁ = 40 किमी/घंटा और v₂ = 20 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = (2 × 40 × 20) / (40 + 20) औसत गति = 1600 / 60 औसत गति = 80 / 3 औसत गति = 26 ⅔ किमी/घंटा

व्याख्या

माना नामांकित मतदाताओं की कुल संख्या N है।

मतदान करने वाले मतदाताओं का अंश 83% या 0.83 है। वैध मतों का अंश डाले गए मतों का 100% - 4% = 96% या 0.96 है। दल A को वैध मतों का 83% या 0.83 प्राप्त हुआ, जो 156611 मतों के बराबर है।

इस संबंध को सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है: N × 0.83 × 0.96 × 0.83 = 156611

दशमलव के गुणनफल को सरल करें: 0.83 × 0.96 × 0.83 = 0.661344

अब, N के लिए हल करें: N = 156611 / 0.661344 N ≈ 236807.03

पूर्णांक भाग लेने पर 236807 प्राप्त होता है।

व्याख्या

परावर्तन के नियम के अनुसार, आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है। यह ज्यामितीय संबंध लैंप-पोस्ट और दर्पण के बीच, और व्यक्ति और दर्पण के बीच दो समरूप समकोण त्रिभुज बनाता है।

समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करके: लैंप-पोस्ट की ऊंचाई / दर्पण से लैंप-पोस्ट की दूरी = व्यक्ति की ऊंचाई / दर्पण से व्यक्ति की दूरी

मान लीजिए लैंप-पोस्ट की ऊंचाई h है। संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: h / 6.6 = 1.25 / 2

h के लिए हल करने पर: h = (1.25 × 6.6) ÷ 2 h = 8.25 ÷ 2 h = 4.125 ≈ 4.13 मीटर

व्याख्या

किश्त अवधि के लिए मूलधन नकद मूल्य और नकद अग्रिम भुगतान के बीच का अंतर है: मूलधन (P) = £550 - £250 = £300

एक महीने बाद भुगतान की जाने वाली किश्त £310 है। मूलधन पर भुगतान किया गया ब्याज (I) है: I = £310 - £300 = £10

समय अवधि (T) 1 महीना है, जो वर्ष का 1/12 है।

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: I = (P × R × T) / 100

वार्षिक ब्याज दर (R) ज्ञात करने के लिए मानों को प्रतिस्थापित करना: 10 = (300 × R × 1) / (12 × 100) 10 = R / 4 R = 40%

व्याख्या

चतुर्भुज TEKI का क्षेत्रफल दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों TEK और TIK के क्षेत्रफलों का योग है, जो क्रमशः E और I पर समकोण हैं।

समकोण त्रिभुज TEK में, त्रिज्या TE स्पर्शरेखा KE पर लंबवत है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: TK² = TE² + KE²

TK = 17 सेमी और TE = 8 सेमी के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 17² = 8² + KE² 289 = 64 + KE² KE² = 225 KE = 15 सेमी

समकोण त्रिभुज TEK का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × KE × TE = ½ × 15 × 8 = 60 वर्ग सेमी

चूंकि त्रिभुज TIK त्रिभुज TEK के सर्वांगसम है, इसलिए इसका क्षेत्रफल भी 60 वर्ग सेमी है।

चतुर्भुज TEKI का कुल क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = क्षेत्रफल(TEK) + क्षेत्रफल(TIK) = 60 + 60 = 120 वर्ग सेमी

व्याख्या

जब धातु के ठोस घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। 's' भुजा वाले घन का आयतन सूत्र V = s³ द्वारा दिया जाता है।

दिए गए तीन घनों के आयतन की गणना: V₁ = 6³ = 216 सेमी³ V₂ = 8³ = 512 सेमी³ V₃ = 10³ = 1000 सेमी³

नए घन का कुल आयतन इन आयतनों का योग है: V = 216 + 512 + 1000 = 1728 सेमी³

मान लीजिए नए घन की भुजा की लंबाई S है: S³ = 1728 S = 12 सेमी

'S' भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 6S² द्वारा दिया जाता है। नए घन की भुजा की लंबाई प्रतिस्थापित करने पर: A = 6 × 12² = 6 × 144 = 864 सेमी²

व्याख्या

स्पर्शज्या फलन (tangent function) के आवधिक गुणधर्म (periodic property) का उपयोग करते हुए, tan(n × 180° + θ) = tan θ किसी भी पूर्णांक n के लिए।

हम 570° को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: 570° = 3 × 180° + 30°

सर्वसमिका (identity) लागू करने पर: tan 570° = tan(3 × 180° + 30°) = tan 30°

चूंकि tan 30° का मानक त्रिकोणमितीय मान 1/√3 है, इसलिए tan 570° का मान 1/√3 है।

व्याख्या

एक बेलन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: TSA = CSA + 2πr²

जहाँ CSA वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल है और r आधार की त्रिज्या है।

दिया गया है कि आधार का व्यास 14 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 14/2 = 7 सेमी है। वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल CSA 352 सेमी² है।

π ≈ 22/7 का मान उपयोग करके, हम दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं: 2πr² = 2 × (22/7) × 7 × 7 = 2 × 22 × 7 = 308 सेमी²

अब, इन मानों को TSA सूत्र में प्रतिस्थापित करें: TSA = 352 + 308 = 660 सेमी²

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में, कर्ण AC की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है: AC = √(AB² + BC²)

दिए गए मान AB = 15 सेमी और BC = 20 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: AC = √(15² + 20²) AC = √(225 + 400) AC = √625 = 25 सेमी

त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को विभिन्न आधार-ऊंचाई युग्मों का उपयोग करके दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × AB × BC क्षेत्रफल = ½ × AC × BD

क्षेत्रफल के दो व्यंजकों को बराबर करने पर कर्ण पर शीर्षलम्ब BD के लिए संबंध प्राप्त होता है: BD = (AB × BC) / AC

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: BD = (15 × 20) / 25 BD = 300 / 25 = 12 सेमी

व्याख्या

A, B और C द्वारा एक साथ कार्य पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, मान लीजिए कि कुल कार्य दिए गए दिनों: 15, 30 और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है।

कुल कार्य = LCM(15, 30, 45) = 90 इकाई

अब, प्रत्येक जोड़ी की दैनिक दक्षता निर्धारित करें: A और B की दक्षता = 90 ÷ 15 = 6 इकाई/दिन B और C की दक्षता = 90 ÷ 30 = 3 इकाई/दिन C और A की दक्षता = 90 ÷ 45 = 2 इकाई/दिन

इन दक्षताओं को जोड़ने पर A, B और C की संयुक्त दक्षता का दोगुना प्राप्त होता है: 2 × (A + B + C) = 6 + 3 + 2 = 11 इकाई/दिन A, B और C की संयुक्त दक्षता = 11/2 इकाई/दिन

कार्य को एक साथ पूरा करने में उनके द्वारा लिए जाने वाले दिनों की संख्या है: कुल कार्य ÷ संयुक्त दक्षता = 90 ÷ (11/2) = 180/11 = 16 4/11 दिन

व्याख्या

दो व्यक्तियों की आयु के बीच का अंतर समय के साथ स्थिर रहता है। इसलिए, मोनू हमेशा अपनी बहन से 24 वर्ष बड़ा है।

मान लीजिए वर्ष 2000 में बहन की आयु S थी। वर्ष 2000 में मोनू की आयु 3S थी।

स्थिर आयु अंतर का उपयोग करते हुए: 3S - S = 24 2S = 24 S = 12

इस प्रकार, वर्ष 2000 में, मोनू की आयु थी: 3 × 12 = 36 वर्ष

वर्ष 2010 में मोनू की आयु, वर्ष 2000 में उसकी आयु में 10 वर्ष जोड़ने पर प्राप्त होती है: 36 + 10 = 46 वर्ष

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + xy/100

यहां, x अंकित प्रतिशत को दर्शाता है, जो +50 है, और y छूट प्रतिशत को दर्शाता है, जो -30 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 50 - 30 + (50 × -30)/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 20 - 1500/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 20 - 15 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 5%

वैकल्पिक रूप से, यह मानते हुए कि क्रय मूल्य ₹100 है, 50% की वृद्धि के बाद अंकित मूल्य ₹150 है। ₹150 पर 30% की छूट देने से ₹45 की कमी आती है, जिसके परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य ₹105 होता है। यह 5% लाभ दर्शाता है।

व्याख्या

उत्पादों के लिए प्रति कंपनी उच्चतम औसत बिक्री ज्ञात करने के लिए, तीनों कंपनियों में प्रत्येक उत्पाद की कुल बिक्री की गणना करें और 3 से विभाजित करें: उत्पाद A की कुल बिक्री = 2750 + 2500 + 3500 = 8750 उत्पाद B की कुल बिक्री = 3250 + 3000 + 3150 = 9400 उत्पाद C की कुल बिक्री = 2250 + 1750 + 2400 = 6400

उत्पाद B की कुल बिक्री उच्चतम है, जिससे 9400 ÷ 3 ≈ 3133.33 की उच्चतम औसत बिक्री प्राप्त होती है।

कंपनियों के लिए प्रति उत्पाद न्यूनतम औसत बिक्री ज्ञात करने के लिए, तीनों उत्पादों में प्रत्येक कंपनी की कुल बिक्री की गणना करें और 3 से विभाजित करें: कंपनी X की कुल बिक्री = 2750 + 3250 + 2250 = 8250 कंपनी Y की कुल बिक्री = 2500 + 3000 + 1750 = 7250 कंपनी Z की कुल बिक्री = 3500 + 3150 + 2400 = 9050

कंपनी Y की कुल बिक्री न्यूनतम है, जिससे 7250 ÷ 3 ≈ 2416.67 की न्यूनतम औसत बिक्री प्राप्त होती है।

व्याख्या

सही उत्तर: B

मान लीजिए अरुण की गति u मी/से है और भास्कर की गति v मी/से है। दौड़ की लंबाई 3 किमी है, जो 3000 मीटर है।

पहले मामले में, अरुण भास्कर को 400 मीटर की बढ़त देता है और उसे 30 सेकंड से हरा देता है। इसका मतलब है कि अरुण द्वारा 3000 मीटर दौड़ने में लगने वाले समय से 30 सेकंड अधिक समय में भास्कर 2600 मीटर दौड़ता है। 2600/v = 3000/u + 30

दूसरे मामले में, अरुण भास्कर को 2.5 मिनट (150 सेकंड) की समय बढ़त देता है और 500 मीटर से हार जाता है। इसका मतलब है कि अरुण द्वारा 2500 मीटर दौड़ने में लगने वाले समय से 150 सेकंड अधिक समय में भास्कर 3000 मीटर दौड़ता है। 3000/v = 2500/u + 150

मान लीजिए 1/u = x और 1/v = y। दो समीकरणों को सरल बनाने पर: 260y - 300x = 3 6y - 5x = 0.3

दूसरे समीकरण से, 300x = 360y - 18। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 260y - (360y - 18) = 3 -100y + 18 = 3 100y = 15 y = 0.15

सरलीकृत दूसरे समीकरण में y = 0.15 का उपयोग करने पर: 6(0.15) - 5x = 0.3 0.9 - 5x = 0.3 5x = 0.6 x = 0.12

अरुण द्वारा 3 किमी की दौड़ पूरी करने में लगने वाला समय 3000x = 3000 × 0.12 = 360 सेकंड है, जो 6 मिनट है। भास्कर द्वारा 3 किमी की दौड़ पूरी करने में लगने वाला समय 3000y = 3000 × 0.15 = 450 सेकंड है, जो 7.5 मिनट है।

उनके समय का अंतर 7.5 - 6 = 1.5 मिनट है।

व्याख्या

त्रिभुजों के मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। चूँकि P और Q क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं, PQ और BC के बीच संबंध BC = 2 PQ है।

रेखाखंड PQ को बिंदु R द्वारा PR : RQ = 1 : 5 के अनुपात में विभाजित किया गया है। यह देखते हुए कि PR = 6 सेमी है, RQ की लंबाई की गणना 5 × PR = 5 × 6 = 30 सेमी के रूप में की जाती है।

PQ की कुल लंबाई PR और RQ का योग है: PQ = 6 + 30 = 36 सेमी

मध्य बिंदु संबंध का उपयोग करते हुए, BC की लंबाई है: BC = 2 × 36 = 72 सेमी

व्याख्या

कार्य-दर सूत्र के अनुसार, जब व्यक्ति एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है:

1/A + 1/B + 1/C = 1/कुल

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें जहाँ A 20 दिनों में कार्य पूरा करता है, B 10 दिनों में, और संयुक्त समूह 5 दिनों में:

1/20 + 1/10 + 1/C = 1/5

A और B की व्यक्तिगत दरों को संयुक्त दर से घटाकर 1/C के लिए हल करें:

1/C = 1/5 - 1/20 - 1/10

20 के सामान्य भाजक का उपयोग करके:

1/C = 4/20 - 1/20 - 2/20

1/C = 1/20

C = 20 दिन

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज के सबसे छोटे कोण का माप x है।

प्रश्न के अनुसार, सबसे छोटा कोण सबसे बड़े कोण से 42° कम है। इसका मतलब है कि सबसे बड़ा कोण x + 42° है।

शेष कोण सबसे छोटे कोण से 24° अधिक है, जिससे इसका माप x + 24° हो जाता है।

चूंकि त्रिभुज के सभी कोणों का योग हमेशा 180° होता है, हम समीकरण लिख सकते हैं: x + (x + 24°) + (x + 42°) = 180°

समीकरण को सरल बनाने पर: 3x + 66° = 180° 3x = 114° x = 38°

इस प्रकार, त्रिभुज के सबसे छोटे कोण का माप 38° है।

व्याख्या

आय, व्यय और बचत के बीच भारित औसत संबंध का उपयोग करके:

आय परिवर्तन % = (व्यय अनुपात × व्यय परिवर्तन %) + (बचत अनुपात × बचत परिवर्तन %)

मान लीजिए मूल आय 100 है। व्यय 70% (0.7 का अनुपात) है और बचत 30% (0.3 का अनुपात) है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

15% = (0.7 × 7.5%) + (0.3 × बचत परिवर्तन %)

15 = 5.25 + 0.3 × बचत परिवर्तन %

0.3 × बचत परिवर्तन % = 9.75

बचत परिवर्तन % = 9.75 / 0.3 = 32.5%

व्याख्या

चूंकि रेखा खंड CD, C को M से जोड़कर और D तक बढ़ाकर बनाया गया है, इस प्रकार कि DM = CM, बिंदु M रेखा खंड CD का मध्य-बिंदु है। इससे संबंध प्राप्त होता है:

CD = CM + DM = 2CM

CM = CD / 2

समीकरण में CD = 10 सेमी का दिया गया मान रखने पर:

CM = 10 / 2 = 5 सेमी

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके:

भारित औसत = (n₁ × w₁ + n₂ × w₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, लड़कों की संख्या n₁ = 40 है जिनका औसत वजन w₁ = 33 किलोग्राम है। शेष छात्रों की संख्या n₂ = 72 - 40 = 32 है जिनका औसत वजन w₂ = 15 किलोग्राम है।

गणना को सरल बनाने के लिए, दो समूहों में छात्रों की संख्या का अनुपात 40 : 32 है, जो 5 : 4 तक कम हो जाता है।

इन अनुपात भारों को सूत्र पर लागू करना:

औसत वजन = (5 × 33 + 4 × 15) / (5 + 4) औसत वजन = (165 + 60) / 9 औसत वजन = 225 / 9 औसत वजन = 25 किलोग्राम

व्याख्या

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂

जहाँ d₁ और d₂ विकर्णों की लंबाई हैं।

दिए गए विकर्णों की लंबाई 10 सेमी और 8.2 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 10 × 8.2 = 5 × 8.2 = 41 सेमी²

इससे समचतुर्भुज का सटीक क्षेत्रफल प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं के योग के लिए शेषफल प्रमेय के संबंध का उपयोग करते हुए, यदि दो संख्याएँ N₁ और N₂ एक भाजक d से विभाजित होने पर क्रमशः r₁ और r₂ शेषफल देती हैं, तो उनका योग N₁ + N₂ शेषफल (r₁ + r₂) को d से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर शेषफल देगा।

यहाँ, व्यक्तिगत शेषफल r₁ = 6 और r₂ = 7 हैं। इन शेषफलों का योग है: 6 + 7 = 13

जब दोनों संख्याओं के योग को भाजक d से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 5 प्राप्त होता है। इसका तात्पर्य है कि जब व्यक्तिगत शेषफलों के योग, 13, को d से विभाजित किया जाता है, तो यह 5 शेषफल देता है।

इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 13 = qd + 5 13 - 5 = qd 8 = qd

इसका मतलब है कि भाजक d, 8 का एक गुणनखंड होना चाहिए। 8 के धनात्मक गुणनखंड 1, 2, 4 और 8 हैं।

चूंकि भाजक हमेशा उससे उत्पन्न होने वाले शेषफलों से सख्ती से बड़ा होना चाहिए, और दिए गए शेषफल 6 और 7 हैं, इसलिए भाजक d, 7 से बड़ा (d > 7) होना चाहिए।

8 का एकमात्र गुणनखंड जो 7 से बड़ा है, वह 8 है। इसलिए, भाजक 8 है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिका sin(90° - 2α) = cos(2α) का उपयोग करते हुए, दिया गया व्यंजक इस प्रकार सरल होता है:

1/cos⁴(2α) - 1/cos²(2α)

मान लीजिए θ = 2α। व्यंजक में θ प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

1/cos⁴θ - 1/cos²θ = sec⁴θ - sec²θ = sec²θ (sec²θ - 1)

मूल सर्वसमिका sec²θ - 1 = tan²θ का उपयोग करते हुए:

= sec²θ tan²θ = sec²(2α) tan²(2α)

व्याख्या

मासिक वेतन में प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत वृद्धि = ((इस साल का वेतन - पिछले साल का वेतन) / पिछले साल का वेतन) × 100

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

वेतन वृद्धि = ₹38,640 - ₹34,500 = ₹4,140

प्रतिशत वृद्धि = (4,140 / 34,500) × 100

प्रतिशत वृद्धि = 4,140 / 345 = 12%

व्याख्या

तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (TCT) की लंबाई का सूत्र है: TCT = √(d² - (r₁ + r₂)²)

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (DCT) की लंबाई का सूत्र है: DCT = √(d² - (r₁ - r₂)²)

दिए गए मानों r₁ = 25 सेमी, r₂ = 35 सेमी, और d = 80 सेमी का उपयोग करके:

TCT = √(80² - (25 + 35)²) = √(80² - 60²) = √(6400 - 3600) = √2800 = 20√7 सेमी

DCT = √(80² - (35 - 25)²) = √(80² - 10²) = √(6400 - 100) = √6300 = 30√7 सेमी

TCT और DCT का अनुपात है: TCT / DCT = 20√7 / 30√7 = 2/3

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 3 3/5 = 18/5 2 2/3 = 8/3 7 1/6 = 43/6 2 1/2 = 5/2

अब, BODMAS नियमों का उपयोग करके व्यंजक को चरण-दर-चरण हल करें:

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठकों को सरल करें: 2 1/2 + 2/3 = 5/2 + 2/3 = (15 + 4)/6 = 19/6

अगला, कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल करें: 7 1/6 - 19/6 = 43/6 - 19/6 = 24/6 = 4

अब, वर्ग कोष्ठकों के अंदर के व्यंजक का मूल्यांकन करें: 2 2/3 ÷ 4 = 8/3 × 1/4 = 2/3

अगला, कोष्ठकों के बाहर के विभाजन को निष्पादित करें: 3 3/5 ÷ 2/3 = 18/5 × 3/2 = 27/5

अंत में, जोड़ निष्पादित करें: 10 + 27/5 = (50 + 27)/5 = 77/5

व्याख्या

विक्रय मूल्य के लिए क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: विक्रय मूल्य = लागत मूल्य × (1 + मार्कअप %) × (1 - छूट %)

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करना: 540 = लागत मूल्य × (1 + 0.25) × (1 - 0.10) 540 = लागत मूल्य × 1.25 × 0.90 540 = लागत मूल्य × 1.125

दशमलव 1.125 को भिन्न 9/8 के रूप में व्यक्त करना: 540 = लागत मूल्य × 9/8 लागत मूल्य = 540 × 8 / 9 लागत मूल्य = 60 × 8 = 480

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है:

CSA = 2πrh

दिए गए मानों, त्रिज्या r = 3 सेमी, ऊँचाई h = 14 सेमी, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर:

CSA = 2 × (22/7) × 3 × 14 CSA = 2 × 22 × 3 × 2 CSA = 44 × 6 CSA = 264 सेमी²

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के लिए समतुल्य छूट प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया गया है: d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

योजना (i) के लिए, समतुल्य छूट है: 25 + 5 - (25 × 5)/100 = 30 - 1.25 = 28.75%

योजना (ii) के लिए, समतुल्य छूट है: 20 + 10 - (20 × 10)/100 = 30 - 2 = 28%

दो योजनाओं के बीच छूट प्रतिशत में अंतर है: 28.75% - 28% = 0.75%

चूंकि लेख का अंकित मूल्य £1,000 है, इसलिए इन दो योजनाओं के तहत विक्रय मूल्य में अंतर है: £1,000 का 0.75% = (0.75/100) × 1000 = 7.5

व्याख्या

मान लीजिए 2, 6 और 8 का चौथा समानुपाती x है।

समानुपात की परिभाषा के अनुसार, यदि चार संख्याएँ a, b, c और d समानुपात में हैं, तो a/b = c/d।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2/6 = 8/x

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर: 1/3 = 8/x

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर: x = 8 × 3 x = 24

व्याख्या

यदि तीन संख्याएँ a, b, और c सतत समानुपात में हैं, तो a/b = b/c, जहाँ c तृतीय समानुपाती है। इससे सूत्र c = b² / a प्राप्त होता है।

दिए गए मानों, a = 36 और b = 48 को प्रतिस्थापित करने पर: c = 48² / 36 c = (48 × 48) / 36 c = 2304 / 36 c = 64

व्याख्या

चूंकि दो वृत्त बिंदु T पर एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, इसलिए उनके केंद्रों M और N के बीच की दूरी MT + TN = 5 + 8 = 13 सेमी है। बिंदु P, M, T, N, R क्रम में रेखा PR पर स्थित हैं।

केंद्र M और त्रिज्या MQ = 5 सेमी वाले वृत्त के लिए, PQ, Q पर एक स्पर्शरेखा है, जो त्रिभुज PQM को Q पर समकोण त्रिभुज बनाती है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: PM² = PQ² + MQ² PM² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 PM = 13 सेमी

केंद्र N और त्रिज्या NS = 8 सेमी वाले वृत्त के लिए, RS, S पर एक स्पर्शरेखा है, जो त्रिभुज NSR को S पर समकोण त्रिभुज बनाती है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: NR² = RS² + NS² NR² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289 NR = 17 सेमी

PR की कुल लंबाई खंड PM, MT, TN और NR का योग है: PR = PM + MT + TN + NR = 13 + 5 + 8 + 17 = 43 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य 100 है।

चूंकि अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 25% अधिक है, इसलिए अंकित मूल्य है: अंकित मूल्य = 100 + 100 का 25% = 125

इस अंकित मूल्य पर 40% की छूट दी जाती है, जिससे विक्रय मूल्य बनता है: विक्रय मूल्य = 125 × (1 - 0.40) = 125 × 0.60 = 75

हानि क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: हानि = 100 - 75 = 25

हानि प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: हानि प्रतिशत = (हानि / क्रय मूल्य) × 100 = (25 / 100) × 100 = 25%

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके जहां मार्कअप +25% है और छूट -40% है: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 25 - 40 + (25 × -40) / 100 = -15 - 10 = -25% नकारात्मक परिणाम 25% की हानि दर्शाता है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

माना संख्या x है। x और उसके व्युत्क्रम 1/x का औसत 2 दिया गया है: (x + 1/x) / 2 = 2 x + 1/x = 4

हमें उसके घन x³ और उसके व्युत्क्रम 1/x³ के औसत का पता लगाना है: औसत = (x³ + 1/x³) / 2

घन के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)

सूत्र में x + 1/x = 4 प्रतिस्थापित करें: x³ + 1/x³ = 4³ - 3(4) x³ + 1/x³ = 64 - 12 = 52

अब, आवश्यक औसत की गणना करें: औसत = 52 / 2 = 26

व्याख्या

एक अर्ध-वृत्त की परिधि का सूत्र P = πr + 2r = r(π + 2) होता है, जहाँ r अर्ध-वृत्त की त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि परिधि 56.54 सेमी है और π 3.14 है, हम त्रिज्या ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

56.54 = r(3.14 + 2) 56.54 = 5.14r r = 56.54 / 5.14 r = 11 सेमी

अर्ध-वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है:

व्यास = 2r = 2 × 11 = 22 सेमी

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 3 4/7 = 25/7 16 1/2 = 33/2 2 1/2 = 5/2

BODMAS नियम का प्रयोग करके, सबसे पहले सबसे भीतरी कोष्ठक को सरल करें: 7 - 2 1/2 = 7 - 5/2 = (14 - 5)/2 = 9/2

अगला, मजले कोष्ठक के अंदर के पदों को हल करें: 6² - 9/2 = 36 - 9/2 = (72 - 9)/2 = 63/2

अब, वर्ग कोष्ठक के अंदर के पदों को हल करें: 16 1/2 ÷ 63/2 = 33/2 ÷ 63/2 = 33/2 × 2/63 = 33/63 = 11/21

अंत में, इस परिणाम को पहले पद से घटाएं: 25/7 - 11/21 = (25 × 3)/21 - 11/21 = 75/21 - 11/21 = 64/21

व्याख्या

एक निश्चित दूरी के लिए, गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए, गति और समय का गुणनफल स्थिर रहता है:

s₁ × t₁ = s₂ × t₂

यहाँ, s₁ = 36 किमी/घंटा, t₁ = 85 मिनट, और लक्ष्य समय t₂ = 51 मिनट है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

36 × 85 = s₂ × 51

s₂ = (36 × 85) / 51

85 और 51 को उनके महत्तम समापवर्तक, 17 से विभाजित करने पर:

s₂ = (36 × 5) / 3

s₂ = 12 × 5 = 60 किमी/घंटा

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद P(x) को ax - b से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(b/a) द्वारा दिया जाता है।

बहुपद P(x) = 2x³ - 3x² + 6x - 4 और भाजक 2x - 3 के लिए, हम 2x - 3 = 0 सेट करते हैं, जिससे x = 3/2 प्राप्त होता है।

x = 3/2 को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर:

P(3/2) = 2(3/2)³ - 3(3/2)² + 6(3/2) - 4

P(3/2) = 2(27/8) - 3(9/4) + 9 - 4

P(3/2) = 27/4 - 27/4 + 9 - 4

P(3/2) = 5

जब बहुपद को 2x - 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 5 होता है।

व्याख्या

एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 3πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

अर्धगोले का व्यास 28 सेमी दिया गया है, इसलिए इसकी त्रिज्या r 14 सेमी है।

त्रिज्या और π = 22/7 का मान सूत्र में रखने पर:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × (22/7) × 14 × 14 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 22 × 2 × 14 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 28 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1848 सेमी²

व्याख्या

किसी भी प्रतिशत को दशमलव में बदलने के लिए, प्रतिशत मान को 100 से विभाजित किया जाता है।

इस सूत्र को प्रत्येक दिए गए प्रतिशत पर लागू करने पर:

20% के लिए, दशमलव मान 20 ÷ 100 = 0.2 है।

0.5% के लिए, दशमलव मान 0.5 ÷ 100 = 0.005 है।

0.03% के लिए, दशमलव मान 0.03 ÷ 100 = 0.0003 है।

इस प्रकार, संगत दशमलव 0.2, 0.005, और 0.0003 हैं।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय संबंध cot θ + tan θ = 2 को देखते हुए, हम tan θ के पदों में एक समीकरण बनाने के लिए cot θ = 1/tan θ को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। मान लीजिए tan θ = x:

x + 1/x = 2 x² - 2x + 1 = 0 (x - 1)² = 0 x = 1

इससे tan θ = 1 प्राप्त होता है। चूँकि θ एक न्यून कोण है, θ = 45°, जिससे cot θ = 1 भी प्राप्त होता है।

मूल्यांकन किए जाने वाले व्यंजक में tan θ = 1 और cot θ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर:

tan¹²θ + cot¹²θ + 2tan⁵θ cot⁷θ = 1¹² + 1¹² + 2 × 1⁵ × 1⁷ = 1 + 1 + 2 = 4

व्याख्या

नकद भुगतान के बाद शेष मूलधन है: शेष मूलधन = ₹40,000 - ₹25,000 = ₹15,000

मासिक किश्तों के माध्यम से भुगतान की गई कुल राशि है: कुल किश्तें = 4 × ₹4,000 = ₹16,000

किश्त योजना के तहत भुगतान किया गया ब्याज है: ब्याज = ₹16,000 - ₹15,000 = ₹1,000

औसत ऋण विधि के तहत, 4 महीने की किश्त अवधि में औसत मूलधन की गणना इस प्रकार की जाती है: औसत मूलधन = (प्रारंभिक मूलधन + अंतिम मूलधन) / 2 औसत मूलधन = (15,000 + 0) / 2 = ₹7,500

समय अवधि (T) 4 महीने है, जो 4/12 = 1/3 वर्ष है।

औसत मूलधन पर साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: ब्याज = (औसत मूलधन × दर × समय) / 100 1,000 = (7,500 × R × 1/3) / 100 1,000 = 25 × R R = 40%

व्याख्या

कंप्यूटर विज्ञान में 30 या उससे अधिक का कच्चा स्कोर प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम आवश्यक न्यूनतम प्रतिशत स्कोर निर्धारित करते हैं। चूंकि कंप्यूटर विज्ञान के लिए अधिकतम अंक 40 हैं, 30 का स्कोर दर्शाता है:

(30 ÷ 40) × 100% = 75%

इसलिए, कंप्यूटर विज्ञान में 75% या उससे अधिक का स्कोर प्राप्त करने वाले किसी भी छात्र ने कम से कम 30 अंक प्राप्त किए हैं।

कंप्यूटर विज्ञान में प्रत्येक छात्र द्वारा प्राप्त प्रतिशत अंकों का विश्लेषण: आयुष ने 80% अंक प्राप्त किए, जो 32 अंकों के बराबर है। मुस्कान ने 90% अंक प्राप्त किए, जो 36 अंकों के बराबर है। तरुण ने 80% अंक प्राप्त किए, जो 32 अंकों के बराबर है।

अन्य सभी छात्रों ने 75% से कम अंक प्राप्त किए। इस प्रकार कुल 3 छात्र हैं जिन्होंने कम से कम 30 का कच्चा स्कोर प्राप्त किया।

व्याख्या

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

TSA = 2πr(r + h)

जहाँ r बेलन की त्रिज्या है और h बेलन की ऊंचाई है।

दिया गया है: व्यास = 14 सेमी, जिससे त्रिज्या r = 14/2 = 7 सेमी प्राप्त होती है ऊंचाई h = 9 सेमी

इन मानों को π ≈ 22/7 के साथ सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

TSA = 2 × (22/7) × 7 × (7 + 9) TSA = 2 × 22 × 16 TSA = 44 × 16 TSA = 704 सेमी²

व्याख्या

चूंकि ΔDEF और ΔGHI समरूप त्रिभुज हैं, इसलिए उनकी संगत भुजाओं का अनुपात उनकी परिधियों के अनुपात के बराबर होता है।

DE / GH = परिधि(ΔDEF) / परिधि(ΔGHI)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

64 / 24 = परिधि(ΔDEF) / 72

अनुपात को सरल बनाने पर:

8 / 3 = परिधि(ΔDEF) / 72

परिधि(ΔDEF) = (8 / 3) × 72 = 192 सेमी

ΔDEF की परिधि उसकी तीन भुजाओं का योग है:

DE + EF + FD = 192 सेमी

DE = 64 सेमी का मान प्रतिस्थापित करने पर:

64 + EF + FD = 192

EF + FD = 192 - 64 = 128 सेमी

व्याख्या

2 दिनों के बाद शेष कार्य की गणना व्यक्ति-दिवस (man-days) के संदर्भ में की जा सकती है।

शुरुआत में, 8 श्रमिकों को 12 दिनों में काम पूरा करना था। 2 दिनों तक काम करने के बाद, शेष कार्य 10 दिनों तक काम करने वाले 8 श्रमिकों के बराबर है: शेष कार्य = 8 × 10 = 80 व्यक्ति-दिवस

इस शेष कार्य को अगले 2 दिनों में पूरा किया जाना चाहिए। मान लीजिए N आवश्यक श्रमिकों की कुल संख्या है: N × 2 = 80 N = 40 श्रमिक

चूंकि 8 श्रमिक पहले से ही लगे हुए हैं, आवश्यक अतिरिक्त श्रमिकों की संख्या है: अतिरिक्त श्रमिक = 40 - 8 = 32