एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मतों की कुल संख्या 7,500 है। चूँकि 20% मत अवैध थे, वैध मतों का प्रतिशत 80% है।

कुल वैध मत = 7,500 × 80% = 7,500 × 0.80 = 6,000

एक उम्मीदवार को कुल वैध मतों का 65% प्राप्त हुआ। इसलिए, दूसरे उम्मीदवार को वैध मतों का शेष प्रतिशत प्राप्त हुआ, जो कि 100% - 65% = 35% है।

दूसरे उम्मीदवार के लिए वैध मतों की संख्या = 6,000 × 35% = 6,000 × 0.35 = 2,100

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, कोष्ठकों के अंदर की संक्रियाओं को पहले हल किया जाता है: 25/44 × 11/5 = (25 ÷ 5) / (44 ÷ 11) = 5/4

अब, इस मान को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 3/2 × 11/5 ÷ 5/4 ÷ 33/15

अगला, भिन्नों के व्युत्क्रम लेकर भाग संक्रियाओं को गुणा में बदलें: 3/2 × 11/5 × 4/5 × 15/33

अंश और हर में पदों को संयोजित और सरल करें: (3 × 11 × 4 × 15) ÷ (2 × 5 × 5 × 33)

चूंकि 3 × 11 = 33, ये पद हर में 33 के साथ कट जाते हैं: (4 × 15) ÷ (2 × 5 × 5)

शेष पदों को सरल करें: (4 × 15) ÷ (2 × 25) = 60 ÷ 50 = 6/5

व्याख्या

A, B और C द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम संयुक्त कार्य दर सूत्र का उपयोग करते हैं। A, B और C की कार्य की व्यक्तिगत दरें क्रमशः 1/12, 1/15 और 1/20 कार्य प्रति दिन हैं।

कार्य प्रति दिन की संयुक्त दर = 1/12 + 1/15 + 1/20

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, हम हर 12, 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं, जो कि 60 है।

कार्य प्रति दिन की संयुक्त दर = (5 + 4 + 3) / 60 = 12/60 = 1/5

चूंकि वे एक दिन में 1/5 कार्य पूरा करते हैं, इसलिए एक साथ कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की कुल संख्या उनकी संयुक्त दर का व्युत्क्रम है:

दिनों की संख्या = 1 / (1/5) = 5 दिन।

व्याख्या

T वर्षों के लिए R% प्रति वर्ष की साधारण ब्याज दर पर मूलधन P से प्राप्त कुल राशि A का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

A = P × (1 + RT/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ A = 6,600, T = 4 वर्ष, और R = 5% प्रति वर्ष:

6,600 = P × (1 + (5 × 4)/100) 6,600 = P × (1 + 20/100) 6,600 = P × 1.20 P = 6,600 / 1.20 P = 5,500

व्याख्या

रेखाओं x + y = 2 और 2x - y = 1 के प्रतिच्छेदन बिंदु को ज्ञात करने के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को जोड़कर हल करें: (x + y) + (2x - y) = 2 + 1 3x = 3 x = 1

x = 1 को पहली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + y = 2 y = 1

प्रतिच्छेदन बिंदु (1, 1) है। चूँकि यह बिंदु रेखा y = Kx + 5 पर स्थित है, इसलिए समीकरण में x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करें: 1 = K(1) + 5 K = 1 - 5 K = -4

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए, एकल समतुल्य छूट दर का सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 द्वारा दिया जाता है।

20% और 20% की दो क्रमिक छूटों के पहले प्रस्ताव के लिए: समकक्ष छूट = 20 + 20 - (20 × 20)/100 = 40 - 4 = 36%

30% और 10% की क्रमिक छूटों के दूसरे प्रस्ताव के लिए: समकक्ष छूट = 30 + 10 - (30 × 10)/100 = 40 - 3 = 37%

दो छूट दरों के बीच का अंतर 37% - 36% = 1% है।

चूंकि घड़ी का अंकित मूल्य ₹1,600 है, बेहतर योजना (दूसरा प्रस्ताव) चुनने से अतिरिक्त बचत होती है: ₹1,600 का 1% = (1/100) × 1600 = ₹16

व्याख्या

428 पृष्ठों वाली पुस्तक की क्रमांकन के लिए आवश्यक कुल अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, पृष्ठ संख्याओं को उनमें मौजूद अंकों की संख्या के अनुसार विभाजित किया गया है।

एक-अंकीय पृष्ठ संख्याओं (1 से 9) के लिए, 9 पृष्ठ हैं, जिनके लिए 9 × 1 = 9 अंकों की आवश्यकता होती है।

दो-अंकीय पृष्ठ संख्याओं (10 से 99) के लिए, 90 पृष्ठ हैं, जिनके लिए 90 × 2 = 180 अंकों की आवश्यकता होती है।

तीन-अंकीय पृष्ठ संख्याओं (100 से 428) के लिए, 428 - 100 + 1 = 329 पृष्ठ हैं, जिनके लिए 329 × 3 = 987 अंकों की आवश्यकता होती है।

इन सबको जोड़ने पर, आवश्यक कुल अंकों की संख्या 9 + 180 + 987 = 1176 है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: A = 4πr²

गोले का व्यास 10 मीटर दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r 5 मीटर है।

पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: A = 4 × π × 5² = 100π वर्ग मीटर

रंगाई की कुल लागत पृष्ठीय क्षेत्रफल और प्रति वर्ग मीटर रंगाई की दर का गुणनफल है: लागत = क्षेत्रफल × दर लागत = 100π × (80/π) = 8000

व्याख्या

वर्ष 2016 में योग्य छात्रों का कुल प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, उस वर्ष सभी जिलों में उपस्थित छात्रों का योग और योग्य छात्रों का योग ज्ञात करें।

2016 में कुल उपस्थित छात्र = 55 + 35 + 48 + 50 + 55 + 60 = 303 हजार

2016 में कुल योग्य छात्र = 42 + 22 + 26 + 30 + 27 + 19 = 166 हजार

योग्य छात्रों का प्रतिशत = (कुल योग्य / कुल उपस्थित) × 100

योग्य छात्रों का प्रतिशत = (166 / 303) × 100 ≈ 54.78%

व्याख्या

त्रिभुज EFG में, चूँकि XY, FG के समानांतर है, त्रिभुज EXY, त्रिभुज EFG के समरूप है।

भुजाओं का अनुपात EX / EF = EX / (EX + XF) है।

दिया गया है EX:XF = 2:3, भुजाओं का अनुपात EX / EF = 2 / (2 + 3) = 2/5 है।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है: Area(ΔEXY) / Area(ΔEFG) = (EX / EF)² = (2/5)² = 4/25

माना Area(ΔEXY) = 4A और Area(ΔEFG) = 25A।

चतुर्भुज XFGY का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अंतर है: Area(XFGY) = Area(ΔEFG) - Area(ΔEXY) = 25A - 4A = 21A

दिया गया है Area(XFGY) = 44 m²: 21A = 44 A = 44/21

त्रिभुज EXY का क्षेत्रफल है: Area(ΔEXY) = 4A = 4 × (44/21) = 176/21 ≈ 8.38 m²

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय संबंध √13 sin θ = 2 से, हमारे पास sin θ = 2/√13 है।

एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हुए जहाँ लम्ब 2 है और कर्ण √13 है, आधार की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: आधार = √((√13)² - 2²) = √(13 - 4) = √9 = 3।

इससे, अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: cos θ = 3/√13 tan θ = 2/3

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: अंश = 3 tan θ + √13 sin θ = 3 × (2/3) + √13 × (2/√13) = 2 + 2 = 4 हर = √13 cos θ - 3 tan θ = √13 × (3/√13) - 3 × (2/3) = 3 - 2 = 1

व्यंजक का मान 4/1 = 4 है।

व्याख्या

दिन 1 की शुरुआत में, राजेश के पास 500 अंडे हैं।

दिन 1 के अंत तक, वह 20% अंडे बेच देता है: दिन 1 के अंत में शेष अंडे = 500 × (1 - 0.20) = 400

दिन 2 की शुरुआत में, वह b% अंडे जोड़ता है: दिन 2 की शुरुआत में अंडे = 400 × (1 + b/100)

दिन 2 के अंत तक, वह 20% अंडे बेच देता है: दिन 2 के अंत में शेष अंडे = 400 × (1 + b/100) × (1 - 0.20) = 320 × (1 + b/100)

दिन 3 की शुरुआत में, वह b% अंडे जोड़ता है: दिन 3 की शुरुआत में अंडे = 320 × (1 + b/100) × (1 + b/100) = 320 × (1 + b/100)²

दिन 3 के अंत तक, वह 20% अंडे बेच देता है: दिन 3 के अंत में शेष अंडे = 320 × (1 + b/100)² × (1 - 0.20) = 256 × (1 + b/100)²

चूंकि तीसरे दिन के अंत में बचे अंडों की संख्या 1024 है: 256 × (1 + b/100)² = 1024 (1 + b/100)² = 1024 / 256 (1 + b/100)² = 4

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 1 + b/100 = 2 b/100 = 1 b = 100

व्याख्या

रवि, रीटा और राहुल के हिस्सों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए संबंध को एक स्थिरांक k के बराबर सेट करते हैं:

5 × रवि = 3 × रीटा = 11 × राहुल = k

इससे उनके व्यक्तिगत हिस्से प्राप्त होते हैं: रवि = k/5 रीटा = k/3 राहुल = k/11

उनके हिस्सों का अनुपात है: रवि : रीटा : राहुल = 1/5 : 1/3 : 1/11

इस भिन्नात्मक अनुपात को पूर्णांक अनुपात में बदलने के लिए, हम प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करते हैं, जो कि 5 × 3 × 11 = 165 है: रवि : रीटा : राहुल = (165/5) : (165/3) : (165/11) रवि : रीटा : राहुल = 33 : 55 : 15

व्याख्या

लाभ को विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है। लाभ प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य पर की जाती है।

लाभ = लाभ प्रतिशत × क्रय मूल्य

दिया गया है कि लाभ ₹1,800 है और लाभ प्रतिशत 20% है:

1,800 = (20/100) × क्रय मूल्य

1,800 = 0.2 × क्रय मूल्य

क्रय मूल्य = 1,800 / 0.2 = 9,000

व्याख्या

दोनों ट्रेनों द्वारा एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, सापेक्ष गति और कुल दूरी के सूत्र का उपयोग किया जाता है।

ट्रेनों द्वारा एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई और उनके बीच की दूरी का योग है: कुल दूरी = 310 + 330 + 160 = 800 मीटर

चूंकि ट्रेनें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग है: सापेक्ष गति = 130 + 158 = 288 किमी/घंटा

इस गति को मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में परिवर्तित करना: सापेक्ष गति = 288 × 5/18 = 16 × 5 = 80 मी/से

एक-दूसरे को पार करने में लगने वाला समय है: समय = कुल दूरी / सापेक्ष गति = 800 / 80 = 10 सेकंड

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की मासिक आय x है।

भोजन पर 35% खर्च करने के बाद शेष आय का हिस्सा है: 100% - 35% = x का 65% = 13x/20

वह इस शेष राशि का 4/13 हिस्सा परिवहन पर खर्च करता है। परिवहन के बाद शेष राशि है: (1 - 4/13) × 13x/20 = 9/13 × 13x/20 = 9x/20

उसकी मासिक बचत रु. 6,300 इस शेष राशि का 20% है: 9x/20 का 20% = 6,300 1/5 × 9x/20 = 6,300 9x/100 = 6,300 x = 6,300 × 100/9 x = 70,000

व्याख्या

सही उत्तर: B

त्रिभुजों के मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है।

यहाँ, L और M क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, और LM, BC के समानांतर है।

इसलिए, LM = ½ × BC

BC = 18 सेमी का दिया गया मान रखने पर:

LM = ½ × 18 = 9 सेमी

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, चूँकि त्रिभुज ABC में PQ, BC के समानांतर है, रेखा PQ भुजाओं AB और AC को समान अनुपात में विभाजित करती है: AP/PB = AQ/QC

मान लीजिए AP और QC की लंबाई x है। चूँकि AB की कुल लंबाई 12 सेमी है, PB की लंबाई है: PB = AB - AP = 12 - x

दिया गया है कि AQ = 2 सेमी और QC = x, इन मानों को समानुपातिक संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: x/(12 - x) = 2/x

पदों को तिरछा गुणा करने पर: x² = 2(12 - x) x² = 24 - 2x x² + 2x - 24 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड करके हल करने पर: (x + 6)(x - 4) = 0

इससे दो हल मिलते हैं: x = -6 या x = 4। चूँकि लंबाई धनात्मक होनी चाहिए, हम x = 4 लेते हैं। इसलिए, CQ की लंबाई 4 सेमी है।

व्याख्या

3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी भुजाओं वाला एक त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है क्योंकि ये लम्बाइयाँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं: 3² + 4² = 5²। 5 सेमी लम्बाई वाली भुजा कर्ण है, और 3 सेमी और 4 सेमी लम्बाई वाली भुजाएँ लम्बवत भुजाएँ हैं।

इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 3 × 4 = 6 वर्ग सेमी

क्षेत्रफल को कर्ण को आधार और सम्मुख शीर्ष से लम्ब, h, को ऊँचाई मानकर भी व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × कर्ण × h = ½ × 5 × h = 2.5 × h

क्षेत्रफल के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 2.5 × h = 6 h = 6 / 2.5 = 2.4 सेमी

व्याख्या

बैंक खाते में औसत दैनिक शेष राशि की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत शेष = कुल शेष-दिन / दिनों की कुल संख्या

सबसे पहले, प्रत्येक शेष राशि को जितने दिनों तक बनाए रखा गया था, उससे गुणा करके कुल शेष-दिनों की गणना करें: 5000 × 25 = 125000 20000 × 2 = 40000 1500 × 3 = 4500

इन मानों को जोड़ने पर जून के महीने के लिए कुल शेष-दिन प्राप्त होते हैं: 125000 + 40000 + 4500 = 169500

इन अवधियों के लिए जून में दिनों की कुल संख्या है: 25 + 2 + 3 = 30 दिन

अब, औसत दैनिक शेष राशि ज्ञात करने के लिए कुल शेष-दिनों को दिनों की कुल संख्या से विभाजित करें: 169500 ÷ 30 = 5650

व्याख्या

मान लीजिए बेलन की त्रिज्या (r) और ऊंचाई (h) क्रमशः 6x और 7x हैं।

बेलन का आयतन सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 792 = (22/7) × (6x)² × 7x 792 = (22/7) × 36x² × 7x 792 = 22 × 36x³ 792 = 792x³ x³ = 1 x = 1

अतः, त्रिज्या 6 सेमी और ऊंचाई 7 सेमी है।

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 2πrh द्वारा दिया जाता है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 6 × 7 = 2 × 22 × 6 = 264 सेमी²

व्याख्या

कार 1 स्टेशन T1 से सुबह 8 बजे चलना शुरू करती है और कार 2 के सुबह 10 बजे शुरू करने से पहले 2 घंटे तक यात्रा करती है।

इन 2 घंटों में कार 1 द्वारा तय की गई दूरी है: 45 किमी/घंटा × 2 घंटा = 90 किमी

सुबह 10 बजे दोनों कारों के बीच शेष दूरी है: 300 किमी - 90 किमी = 210 किमी

सुबह 10 बजे से, दोनों कारें एक दूसरे की ओर चलती हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति है: 45 किमी/घंटा + 60 किमी/घंटा = 105 किमी/घंटा

सुबह 10 बजे के बाद उनके मिलने में लगने वाला समय है: 210 किमी ÷ 105 किमी/घंटा = 2 घंटे

सुबह 10 बजे के शुरुआती समय में 2 घंटे जोड़ने पर मिलता है: 10:00 पूर्वाह्न + 2 घंटे = 12:00 अपराह्न

व्याख्या

चूंकि ST, QR के समानांतर है, त्रिभुज PST, त्रिभुज PQR के समरूप है। दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इससे संबंध प्राप्त होता है:

Area(ΔPST) / Area(ΔPQR) = (PS / PQ)²

चूंकि ST, त्रिभुज PQR को समान क्षेत्रफल वाले दो भागों में विभाजित करता है, त्रिभुज PST का क्षेत्रफल चतुर्भुज STRQ के क्षेत्रफल के बराबर है। इसका मतलब है कि त्रिभुज PQR का कुल क्षेत्रफल त्रिभुज PST के क्षेत्रफल का दोगुना है:

Area(ΔPQR) = 2 × Area(ΔPST)

इसे क्षेत्रफल अनुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

Area(ΔPST) / (2 × Area(ΔPST)) = (PS / PQ)² 1/2 = (PS / PQ)² PS / PQ = 1 / √2

चूंकि PQ, PS और QS का योग है (PQ = PS + QS), हम इसे अनुपात में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

PS / (PS + QS) = 1 / √2 √2 PS = PS + QS (√2 - 1) PS = QS PS / QS = 1 / (√2 - 1)

इससे PS से QS का अनुपात 1 : √2 - 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक गत्ते के डिब्बे का आयतन घनाभ के आयतन के सूत्र का उपयोग करके निकाला जाता है:

आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

दिए गए आयामों को प्रतिस्थापित करना:

एक डिब्बे का आयतन = 6 सेमी × 10 सेमी × 12 सेमी = 720 सेमी³

कुल 2160 सेमी³ आयतन को पैक करने के लिए आवश्यक डिब्बों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल आयतन को एक डिब्बे के आयतन से विभाजित करें:

डिब्बों की संख्या = कुल आयतन / एक डिब्बे का आयतन = 2160 / 720 = 3

व्याख्या

स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, जब किसी बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खंड और एक छेदक खंड खींचे जाते हैं, तो स्पर्शरेखा खंड की लंबाई का वर्ग बाह्य छेदक खंड की लंबाई और संपूर्ण छेदक खंड की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

DC² = BC × AC

सूत्र में दिए गए मान DC = 12 सेमी और BC = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करें:

12² = 6 × AC 144 = 6 × AC AC = 144 / 6 AC = 24 सेमी

चूंकि संपूर्ण छेदक खंड AC, AB और BC का योग है:

AC = AB + BC 24 = AB + 6 AB = 24 - 6 AB = 18 सेमी

व्याख्या

यात्रा की कुल दूरी 240 किमी है, जिसे 4 घंटे में पूरा करना है।

पहले 3 घंटों में, बस 70 किमी/घंटा की औसत गति से चलती है। सूत्र का उपयोग करके: दूरी = गति × समय

पहले 3 घंटों में तय की गई दूरी है: 70 किमी/घंटा × 3 घंटे = 210 किमी

अंतिम 1 घंटे में तय की जाने वाली शेष दूरी है: कुल दूरी - तय की गई दूरी = 240 किमी - 210 किमी = 30 किमी

इस शेष 30 किमी की दूरी को अंतिम 1 घंटे में तय करने के लिए, चालक को निम्नलिखित गति से यात्रा करनी होगी: 30 किमी / 1 घंटा = 30 किमी/घंटा

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र CSA = 2πrh द्वारा दिया जाता है, जहाँ r बेलन की त्रिज्या और h ऊंचाई है।

दिया गया है कि CSA = 88 सेमी² और h = 14 सेमी, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके त्रिज्या ज्ञात करते हैं: 2 × 22/7 × r × 14 = 88 88 × r = 88 r = 1 सेमी

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल का योग होता है, जो सूत्र TSA = CSA + 2πr² द्वारा दिया जाता है।

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 88 + 2 × 22/7 × 1² TSA = 88 + 44/7 TSA ≈ 88 + 6.28 TSA ≈ 94.28 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए A के लिए साइकिल का क्रय मूल्य CP है।

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: C द्वारा भुगतान की गई अंतिम कीमत = CP × (1 + A का लाभ दर) × (1 + B का लाभ दर)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 43355 = CP × 1.45 × 1.30 43355 = CP × 1.885 CP = 43355 / 1.885 CP = 23000

व्याख्या

जब दो वृत्त एक बिंदु M पर बाह्य रूप से एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, तो स्पर्श बिंदु M पर सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा PQ द्वारा बनाया गया कोण हमेशा समकोण होता है।

इसलिए, ∠PMQ = 90°।

त्रिभुज PMQ में, कोणों का योग 180° होता है: ∠MPQ + ∠MQP + ∠PMQ = 180°

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 38° + ∠MQP + 90° = 180° ∠MQP = 180° - 128° ∠MQP = 52°

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य MP है।

पहला विक्रय मूल्य SP₁ = MP का 66% = 0.66 MP है। चूंकि व्यापारी को इस मूल्य पर 10% का लाभ होता है, इसलिए क्रय मूल्य CP है: CP = SP₁ / (1 + 0.10) = 0.66 MP / 1.1 = 0.6 MP

दूसरा विक्रय मूल्य SP₂ = MP का 80% = 0.80 MP है।

नया लाभ प्रतिशत है: लाभ % = ((SP₂ - CP) / CP) × 100 लाभ % = ((0.8 MP - 0.6 MP) / 0.6 MP) × 100 लाभ % = (0.2 / 0.6) × 100 = ⅓ × 100 = 33 ⅓%

व्याख्या

सह-फलन त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके, हमारे पास cos(x) = sin(90 - x) है।

इस सर्वसमिका को cos(60 - θ) पद पर लागू करने पर: cos(60 - θ) = sin(90 - (60 - θ)) = sin(30 + θ)

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin(30 + θ) - cos(60 - θ) = sin(30 + θ) - sin(30 + θ) = 0

व्याख्या

एक आयताकार खेत का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

दिया गया है कि क्षेत्रफल 3600 वर्ग मीटर है और लंबाई 45 मीटर है, तो खेत की चौड़ाई है: चौड़ाई = क्षेत्रफल / लंबाई चौड़ाई = 3600 / 45 = 80 मीटर

एक आयताकार खेत की परिधि निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: परिधि = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)

लंबाई और चौड़ाई को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: परिधि = 2 × (45 + 80) = 2 × 125 = 250 मीटर

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠BAC = 90° और AD, BC पर लंब है, त्रिभुज ACD, त्रिभुज ABC के समरूप है (ΔACD ~ ΔABC) क्योंकि वे कोण C साझा करते हैं और दोनों में एक 90° का कोण है (∠ADC = ∠BAC = 90°)।

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इन दो त्रिभुजों में, ΔACD का 90° कोण के सम्मुख भुजा (कर्ण) AC है, और ΔABC का कर्ण BC है।

Area(ΔACD) / Area(ΔABC) = (AC / BC)²

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

7 / 63 = (5 / BC)²

1 / 9 = 25 / BC²

BC² = 25 × 9

BC² = 225

BC = √225 = 15 cm

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, संक्रियाओं को कोष्ठक, भाग और गुणा, और फिर जोड़ और घटाव के क्रम में किया जाता है।

सबसे पहले, कोष्ठकों के अंदर के पदों का मूल्यांकन करें: 17 + 15 = 32 -16 + 13 = -3

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 32 ÷ 2 - 11 + 16 × 4 - 28 + 13 × (-3)

अगला, भाग और गुणा संक्रियाएँ करें: 32 ÷ 2 = 16 16 × 4 = 64 13 × (-3) = -39

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 16 - 11 + 64 - 28 - 39

अब, शेष जोड़ और घटाव संक्रियाएँ बाएं से दाएं करें: 16 - 11 = 5 5 + 64 = 69 69 - 28 = 41 41 - 39 = 2

व्याख्या

तीन बिंदुओं के बीच दी गई दूरियाँ AB = 11 सेमी, BC = 13 सेमी और AC = 24 सेमी हैं। दो छोटी दूरियों का योग AB + BC = 11 + 13 = 24 सेमी है, जो सबसे लंबी दूरी AC के ठीक बराबर है। यह संबंध संरेखता की शर्त को पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि बिंदु A, B और C एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, जिसमें बिंदु B, A और C के बीच स्थित है। चूँकि तीन संरेख बिंदु एक वृत्त की परिधि पर स्थित नहीं हो सकते हैं, इसलिए इन तीनों बिंदुओं से कोई भी वृत्त नहीं गुजर सकता है। इसलिए, A, B और C से गुजरने वाले वृत्तों की संख्या 0 है।

व्याख्या

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिए गए समय का पता लगाने के लिए, हम सापेक्ष गति के सूत्र का उपयोग करते हैं। चूँकि दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं:

सापेक्ष गति = पुलिसकर्मी की गति - चोर की गति सापेक्ष गति = 36 किमी/ घंटा - 18 किमी/ घंटा = 18 किमी/ घंटा

सापेक्ष गति को किमी/ घंटा से मी/से में बदलना: सापेक्ष गति = 18 × 5/18 = 5 मी/से

उनके बीच प्रारंभिक दूरी 500 मीटर है।

चोर को पकड़ने में लिया गया समय = दूरी / सापेक्ष गति समय = 500 / 5 = 100 सेकंड

व्याख्या

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 2(lb + bh + hl) सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ l लंबाई है, b चौड़ाई है, और h ऊँचाई है।

दिया गया है: पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 108 वर्ग मीटर लंबाई l = 6 मीटर चौड़ाई b = 3 मीटर

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 108 = 2(6 × 3 + 3 × h + h × 6) 108 = 2(18 + 3h + 6h) 108 = 2(18 + 9h)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर: 54 = 18 + 9h

दोनों पक्षों से 18 घटाने पर: 36 = 9h

h के लिए हल करने पर: h = 36/9 = 4 मीटर

व्याख्या

पुरुषों की संख्या (M), दिनों (D), और कार्य (W) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

(M₁ × D₁) / W₁ = (M₂ × D₂) / W₂

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

M₁ = 18 D₁ = 10 W₁ = 1/5

M₂ = ? D₂ = 5 W₂ = 2/5

(18 × 10) / (1/5) = (M₂ × 5) / (2/5)

हर को सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है:

180 × 5 = (M₂ × 5 × 5) / 2

900 = 12.5 × M₂

M₂ = 900 / 12.5 = 72

इस प्रकार, निर्दिष्ट कार्य को पूरा करने के लिए 72 लोगों की आवश्यकता होगी।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या (r) व्यास की आधी होती है, जो 26 / 2 = 13 सेमी है।

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। 10 सेमी लंबाई की जीवा के लिए, अर्ध-जीवा की लंबाई 10 / 2 = 5 सेमी है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, वृत्त के केंद्र से प्रत्येक जीवा की लम्बवत दूरी (d) है: d = √(r² - 5²) d = √(13² - 5²) d = √(169 - 25) d = √144 = 12 सेमी

चूंकि दोनों समान समानांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी केंद्र से उनकी लम्बवत दूरियों का योग है: दूरी = 12 + 12 = 24 सेमी।

व्याख्या

औसत मासिक वेतन का सूत्र है: औसत वेतन = 12 महीनों का कुल वेतन / 12

वर्ष के 12 महीनों के लिए, वेतन इस प्रकार हैं: ₹12,000 के चार महीने ₹15,000 के तीन महीने ₹21,000 के तीन महीने ₹30,000 के दो महीने

कुल वेतन = (4 × 12,000) + (3 × 15,000) + (3 × 21,000) + (2 × 30,000) कुल वेतन = 48,000 + 45,000 + 63,000 + 60,000 = 216,000

औसत वेतन = 216,000 / 12 = 18,000

व्याख्या

संबंध का उपयोग करके: आय = व्यय + बचत।

मान लीजिए प्रारंभिक आय 100 है। चूंकि रमण अपनी आय का 75% खर्च करता है, इसलिए प्रारंभिक व्यय 75 है, और प्रारंभिक बचत 25 है।

आय में 25% की वृद्धि होती है, जिससे नई आय 125 हो जाती है। व्यय में 10% की वृद्धि होती है, जिससे नया व्यय 75 + (75 का 10%) = 75 + 7.5 = 82.5 हो जाता है।

नई बचत की गणना इस प्रकार की जाती है: नई बचत = 125 - 82.5 = 42.5

बचत में पूर्ण वृद्धि है: 42.5 - 25 = 17.5

बचत में प्रतिशत वृद्धि है: (17.5 / 25) × 100 = 70%

व्याख्या

व्यक्तिगत अनुपातों a : b = 3 : 7 और b : c = 4 : 9 से संयुक्त अनुपात a : b : c ज्ञात करने के लिए, दोनों अनुपातों में b को दर्शाने वाले पद को बराबर करें।

पहले अनुपात में b का मान 7 है और दूसरे अनुपात में 4 है। 7 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 28 है।

अनुपात a : b के पदों को 4 से गुणा करें: a : b = (3 × 4) : (7 × 4) = 12 : 28

अनुपात b : c के पदों को 7 से गुणा करें: b : c = (4 × 7) : (9 × 7) = 28 : 63

इनको मिलाने पर अनुपात प्राप्त होता है: a : b : c = 12 : 28 : 63

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित के गुणों के अनुसार, संख्याओं के गुणनफल का शेषफल, भाजक से विभाजित होने पर उनके व्यक्तिगत शेषफलों के गुणनफल के बराबर होता है। अर्थात्, (a × b × c) mod n = ((a mod n) × (b mod n) × (c mod n)) mod n.

17 से विभाजित करने पर प्रत्येक पद के लिए शेषफल का मूल्यांकन: 179 = (17 × 10) + 9, इसलिए 179 ≡ 9 (mod 17) 172 = (17 × 10) + 2, इसलिए 172 ≡ 2 (mod 17) 173 = (17 × 10) + 3, इसलिए 173 ≡ 3 (mod 17)

अब, व्यक्तिगत शेषफलों को गुणा करें: 9 × 2 × 3 = 54

अंत में, 54 को 17 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें: 54 = (17 × 3) + 3, जो 3 का शेषफल छोड़ता है।

व्याख्या

एक कुर्सी का मूल मूल्य कुर्सियों की कुल कीमत को कुर्सियों की संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है, जो कि 4500 / 10 = ₹450 है।

प्रत्येक कुर्सी पर 20% की छूट के साथ, प्रति कुर्सी नई कीमत 450 × (1 - 0.20) = ₹360 हो जाती है।

व्यक्ति ने मूल मात्रा 10 से 10% अधिक कुर्सियाँ खरीदने का फैसला किया, जिसका अर्थ है कि खरीदी गई कुर्सियों की नई मात्रा 10 × (1 + 0.10) = 11 कुर्सियाँ हैं।

छूट मूल्य पर इन 11 कुर्सियों की कुल कीमत 11 × 360 = ₹3,960 है।

व्याख्या

अलग-अलग समय अवधियों में अलग-अलग ब्याज दरों पर मूलधन पर साधारण ब्याज की गणना प्रभावी ब्याज दर का उपयोग करके की जाती है।

प्रभावी ब्याज दर = (R₁ × T₁) + (R₂ × T₂) प्रभावी ब्याज दर = (10% × 2) + (12% × 3) = 20% + 36% = 56%

साधारण ब्याज = मूलधन × प्रभावी ब्याज दर / 100 साधारण ब्याज = 5000 × 56 / 100 = 50 × 56 = 2800

5 वर्षों के अंत में व्यक्ति द्वारा अर्जित कुल ब्याज ₹2,800 है।

व्याख्या

मूल भिन्न 3/5 है।

इस भिन्न को 2/5 से घटाने पर: 3/5 - 2/5 = 1/5

इस परिणामी भिन्न को 20% बढ़ाने पर: 1/5 × (1 + 20%) = 1/5 × 1.2 = 1/5 × 6/5 = 6/25

मूल भिन्न के सापेक्ष प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत परिवर्तन = (अंतिम मान - मूल मान) / मूल मान × 100% प्रतिशत परिवर्तन = (6/25 - 3/5) / (3/5) × 100% प्रतिशत परिवर्तन = (6/25 - 15/25) / (15/25) × 100% प्रतिशत परिवर्तन = (-9/25) / (15/25) × 100% प्रतिशत परिवर्तन = -9/15 × 100% प्रतिशत परिवर्तन = -3/5 × 100% = -60%

ऋणात्मक चिह्न 60% की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

रेखाओं 2x + y = 6 और 2x - y = -2 तथा x-अक्ष द्वारा परिबद्ध त्रिभुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम पहले त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक निर्धारित करते हैं।

रेखाओं के x-अवरोधन y = 0 रखकर ज्ञात किए जाते हैं: 2x + y = 6 के लिए, y = 0 रखने पर x = 3 प्राप्त होता है। 2x - y = -2 के लिए, y = 0 रखने पर x = -1 प्राप्त होता है। x-अक्ष पर त्रिभुज के आधार की लंबाई इन दो अवरोधनों के बीच की दूरी है: आधार = 3 - (-1) = 4 इकाई।

तीसरा शीर्ष दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु है। समीकरणों को जोड़कर हल करने पर: 4x = 4 x = 1

x = 1 को 2x + y = 6 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(1) + y = 6 y = 4

त्रिभुज की ऊँचाई प्रतिच्छेदन बिंदु से x-अक्ष तक की लंबवत दूरी है, जो y-निर्देशांक है: ऊँचाई = 4 इकाई।

त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई क्षेत्रफल = ½ × 4 × 4 = 8 वर्ग इकाई।

व्याख्या

2015 से 2020 तक किसी भी पाठ्यक्रम के लिए वृद्धि दर की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: वृद्धि दर = (2020 में मान - 2015 में मान) ÷ 2015 में मान × 100%।

इस सूत्र को दिए गए पाठ्यक्रमों पर लागू करने पर:

कला के लिए: वृद्धि दर = (750 - 450) ÷ 450 × 100% = 300 ÷ 450 × 100% ≈ 66.67%

प्रबंधन के लिए: वृद्धि दर = (320 - 240) ÷ 240 × 100% = 80 ÷ 240 × 100% ≈ 33.33%

इंजीनियरिंग के लिए: वृद्धि दर = (1400 - 1200) ÷ 1200 × 100% = 200 ÷ 1200 × 100% ≈ 16.67%

विज्ञान के लिए: वृद्धि दर = (950 - 850) ÷ 850 × 100% = 100 ÷ 850 × 100% ≈ 11.76%

इन प्रतिशत की तुलना करने पर, कला ने इस अवधि के दौरान लगभग 66.67% की उच्चतम वृद्धि दर दर्ज की।