एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

A और B द्वारा मिलकर किसी कार्य को पूरा करने में लिया गया समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

एक साथ लिया गया समय = (a × b) / (a + b)

जहाँ a और b क्रमशः A और B द्वारा लिया गया व्यक्तिगत समय है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, a = 10 और b = 40:

एक साथ लिया गया समय = (10 × 40) / (10 + 40) = 400 / 50 = 8 दिन

व्याख्या

औसत गति के सूत्र का उपयोग करके:

औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय

यात्रा की कुल दूरी दोनों खंडों का योग है: कुल दूरी = 60 किमी + 90 किमी = 150 किमी

पहले खंड के लिए लिया गया समय है: t₁ = 60 किमी / 40 किमी/घंटा = 1.5 घंटे

दूसरे खंड के लिए लिया गया समय है: t₂ = 90 किमी / 45 किमी/घंटा = 2 घंटे

यात्रा के लिए कुल समय है: कुल समय = 1.5 घंटे + 2 घंटे = 3.5 घंटे = 7/2 घंटे

अब, समग्र औसत गति की गणना करें: औसत गति = 150 / (7/2) = 300/7 = 42 6/7 किमी/घंटा

व्याख्या

एक गोले का आयतन V उसके व्यास d के घन के सीधे समानुपाती होता है, इसलिए V ∝ d³।

मान लीजिए छोटे गोले का व्यास d₁ और बड़े गोले का व्यास d₂ है। दिया गया है कि d₁:d₂ = 1:4, तो उनके आयतनों का अनुपात है: V₁/V₂ = (d₁/d₂)³ = (1/4)³ = 1/64

इससे बड़े गोले का आयतन V₂ = 64 V₁ प्राप्त होता है।

बड़े गोले को पिघलाकर 125 समरूप गोले बनाए जाते हैं। इन 125 गोलों में से प्रत्येक का आयतन है: vₗarge = V₂ / 125 = 64 V₁ / 125

छोटे गोले को पिघलाकर 27 समरूप गोले बनाए जाते हैं। इन 27 गोलों में से प्रत्येक का आयतन है: vₛmall = V₁ / 27

125 गोलों में से प्रत्येक के आयतन का 27 गोलों में से प्रत्येक के आयतन से अनुपात 1:m दिया गया है: vₗarge / vₛmall = 1 / m (64 V₁ / 125) / (V₁ / 27) = 1 / m (64 / 125) × (27 / 1) = 1 / m 1728 / 125 = 1 / m m = 125 / 1728

व्याख्या

प्रतिच्छेदन के उभयनिष्ठ बिंदु के निर्देशांक को रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करके ज्ञात किया जाता है:

x + y = 5 x - y = 3

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (x + y) + (x - y) = 5 + 3 2x = 8 x = 4

x = 4 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 4 + y = 5 y = 1

उभयनिष्ठ बिंदु के निर्देशांक (4, 1) हैं।

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति का कुल वेतन S है।

व्यक्ति अपने वेतन का 60% घरेलू खर्चों पर और 20% किराए पर खर्च करता है, जिससे कुल व्यय उसके वेतन का 80% हो जाता है।

इन खर्चों के बाद शेष वेतन है: शेष = S × (1 - 0.80) = 0.20S

वह इस शेष राशि का 80% एक ट्रस्ट को दान कर देता है, जिससे उसके पास शेष वेतन का 20% बचता है: अंतिम बचत = 0.20 × 0.20S = 0.04S

चूंकि अंतिम बचत ₹20,000 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 0.04S = 20,000 S = 20,000 / 0.04 S = 5,00,000

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या R = 5√13 सेमी है।

20 सेमी लम्बी जीवा के लिए, आधी लम्बाई 10 सेमी है। इस जीवा से केंद्र की लम्बवत दूरी d₁ निम्न प्रकार पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दी जाती है: d₁² + 10² = R² d₁² + 100 = (5√13)² d₁² + 100 = 325 d₁² = 225 d₁ = 15 सेमी

12 सेमी लम्बी जीवा के लिए, आधी लम्बाई 6 सेमी है। इस जीवा से केंद्र की लम्बवत दूरी d₂ है: d₂² + 6² = R² d₂² + 36 = 325 d₂² = 289 d₂ = 17 सेमी

चूंकि दोनों जीवाएं केंद्र के एक ही ओर स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी केंद्र से उनकी लम्बवत दूरियों का अंतर है: d = d₂ - d₁ = 17 - 15 = 2 सेमी

व्याख्या

एक वृत्त पर किसी बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण और स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण संपूरक होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रिज्याएँ OQ और OR क्रमशः स्पर्शरेखाओं PQ और PR के लंबवत होती हैं, जिससे ∠OQP = 90° और ∠ORP = 90° होता है।

चतुर्भुज OQPR में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है: ∠QPR + ∠OQP + ∠QOR + ∠ORP = 360°

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ∠QPR + 90° + 150° + 90° = 360° ∠QPR + 330° = 360° ∠QPR = 360° - 330° = 30°

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = P × R × T / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

हमें दिया गया है कि साधारण ब्याज मूलधन के बराबर है, जिसका अर्थ है SI = P।

ब्याज की दर R = 2 6/7% = 20/7% प्रति वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: P = P × (20/7) × T / 100

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर: 1 = 20 × T / (7 × 100) 1 = T / 35 T = 35 वर्ष

व्याख्या

जब किसी मात्रा में क्रमशः x% और y% का परिवर्तन किया जाता है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध परिवर्तन% = x + y + xy/100

इस मामले में, वेतन को पहले 50% (x = -50) कम किया गया और फिर 50% (y = +50) बढ़ाया गया। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन% = -50 + 50 + (-50 × 50)/100 शुद्ध परिवर्तन% = 0 - 2500/100 शुद्ध परिवर्तन% = -25%

ऋणात्मक चिह्न शुद्ध कमी को इंगित करता है, जिसका अर्थ है कि अरुण ने अपने वेतन का 25% खो दिया।

व्याख्या

माना 1000 ग्राम तेल का क्रय मूल्य ₹1000 है।

40% वृद्धि के बाद तेल का अंकित मूल्य है: अंकित मूल्य = 1000 × 1.40 = ₹1400

अंकित मूल्य पर 32% की छूट देने पर, विक्रय मूल्य हो जाता है: विक्रय मूल्य = 1400 × (1 - 0.32) = 1400 × 0.68 = ₹952

चूंकि खराब मशीन 15% कम मापती है, इसलिए वास्तव में दी गई मात्रा है: दी गई मात्रा = 1000 × (1 - 0.15) = 850 ग्राम

इस दी गई मात्रा का दुकानदार के लिए वास्तविक क्रय मूल्य है: वास्तविक क्रय मूल्य = ₹850

अब, लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((विक्रय मूल्य - वास्तविक क्रय मूल्य) ÷ वास्तविक क्रय मूल्य) × 100 लाभ % = ((952 - 850) ÷ 850) × 100 लाभ % = (102 ÷ 850) × 100 = 12% लाभ

व्याख्या

मान लीजिए कि राधिका को प्राप्त ₹5, ₹10 और ₹20 के सिक्कों की संख्या क्रमशः 3x, 5x और 7x है।

इन सिक्कों का कुल मूल्य सिक्कों की संख्या और उनके संबंधित मूल्यों के गुणनफलों का योग है: (3x × 5) + (5x × 10) + (7x × 20) = 1845

समीकरण को सरल बनाने पर: 15x + 50x + 140x = 1845 205x = 1845 x = 1845 ÷ 205 x = 9

सबसे छोटा सिक्का ₹5 का है। ₹5 के सिक्कों का कुल मूल्य है: 3x × 5 = 15x

x का मान रखने पर: 15 × 9 = 135

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। चूँकि ∠B = 90°, शेष न्यून कोणों A और C का योग है: A + C = 180° - 90° = 90°

साइन के लिए त्रिकोणमितीय योग सूत्र का उपयोग करके: sin(A + C) = sinA cosC + cosA sinC

A + C = 90° का मान सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: sin(90°) = sinA cosC + cosA sinC

चूँकि sin(90°) = 1 है, दिए गए व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके संगत परिमापों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

Area(ΔABC) / Area(ΔDEF) = (ΔABC का परिमाप / ΔDEF का परिमाप)²

सूत्र में दिए गए परिमाप मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

Area(ΔABC) / Area(ΔDEF) = (24 / 9)²

कोष्ठक के अंदर भिन्न को उनके महत्तम समापवर्तक, 3, से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल बनाने पर:

Area(ΔABC) / Area(ΔDEF) = (8 / 3)² = 64 / 9

यह क्षेत्रफलों का अनुपात 64 : 9 देता है।

व्याख्या

सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके, चूँकि दोनों स्थितियों में तय की गई दूरी समान है, गति और समय के बीच संबंध S₁ × T₁ = S₂ × T₂ है।

सबसे पहले, समय को घंटों में बदलें: चलने का समय T₁ = 3 घंटे 45 मिनट = 3 + 45/60 = 15/4 घंटे साइकिल चलाने का समय T₂ = 2 घंटे 10 मिनट = 2 + 10/60 = 13/6 घंटे

चलने की गति S₁ = 5 किमी/घंटा दी गई है, साइकिल की गति S₂ ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में रखें: 5 × 15/4 = S₂ × 13/6 75/4 = S₂ × 13/6 S₂ = (75/4) × (6/13) S₂ = 225/26 S₂ = 8 17/26 किमी/घंटा

व्याख्या

मोहन द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले दिए गए प्रतिशत और अधिकतम अंकों के आधार पर प्रत्येक विषय में प्राप्त व्यक्तिगत अंकों की गणना करें:

भौतिकी: 300 का 80% = 240 अंक गणित: 300 का 60% = 180 अंक संगीत: 100 का 70% = 70 अंक हिंदी: 100 का 95% = 95 अंक वनस्पति विज्ञान: 200 का 80% = 160 अंक

मोहन द्वारा प्राप्त कुल अंक = 240 + 180 + 70 + 95 + 160 = 745 अंक

सभी विषयों के लिए अधिकतम कुल अंक = 300 + 300 + 100 + 100 + 200 = 1000 अंक

प्राप्त अंकों का प्रतिशत = (प्राप्त कुल अंक ÷ अधिकतम कुल अंक) × 100 प्राप्त अंकों का प्रतिशत = (745 ÷ 1000) × 100 = 74.5%

व्याख्या

9 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो।

5-अंकीय संख्या 627x5 के लिए, अंकों का योग है: 6 + 2 + 7 + x + 5 = 20 + x

20 से बड़ी या उसके बराबर 9 का सबसे छोटा गुणज 27 है। अंकों के योग को इस गुणज के बराबर रखने पर: 20 + x = 27 x = 7

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को पहले भाग और गुणा (बाएं से दाएं), उसके बाद जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं) के क्रम में किया जाना चाहिए।

दिया गया व्यंजक है: 3 + 28 ÷ 35 × 15 + 4 - 3 × 4

पहले, भाग करें: 28 ÷ 35 = 28/35 = 4/5

अगला, गुणा करें: (4/5) × 15 = 12 3 × 4 = 12

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 3 + 12 + 4 - 12

अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें: 15 + 4 - 12 = 19 - 12 = 7

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मूल अंकित मूल्य 100 है।

दुकानदार अंकित मूल्य में 40% की वृद्धि करता है, जिससे नया अंकित मूल्य हो जाता है: 100 + 40 = 140

वस्तु को मूल अंकित मूल्य 100 पर बेचने के लिए, दुकानदार को छूट देनी होगी: 140 - 100 = 40

छूट प्रतिशत की गणना नए अंकित मूल्य 140 पर की जाती है: छूट प्रतिशत = (छूट / नया अंकित मूल्य) × 100 छूट प्रतिशत = (40 / 140) × 100 = (2 / 7) × 100 = 200/7% = 28 4/7%

व्याख्या

जब दो वृत्त एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, चाहे वह बाहरी रूप से हो या आंतरिक रूप से, वे अपने स्पर्श बिंदु पर एक अद्वितीय उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा साझा करते हैं। वृत्तों के गुणों के अनुसार, वृत्त के केंद्र से स्पर्श बिंदु तक खींची गई त्रिज्या उस बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। चूंकि दोनों वृत्त अपने स्पर्श बिंदु पर एक ही स्पर्श रेखा साझा करते हैं, इसलिए पहले वृत्त के केंद्र को स्पर्श बिंदु से मिलाने वाला रेखा खंड और दूसरे वृत्त के केंद्र को स्पर्श बिंदु से मिलाने वाला रेखा खंड दोनों एक ही बिंदु पर इस उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के लंबवत होते हैं। इससे दोनों केंद्र और स्पर्श बिंदु संरेख हो जाते हैं। इसलिए, स्पर्श बिंदु हमेशा दोनों वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा पर स्थित होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो साल पहले बिक्री राशि S थी। बिक्री में पहले वर्ष 12% और फिर दूसरे वर्ष 15% की वृद्धि हुई। लगातार प्रतिशत वृद्धि के लिए सूत्र है: वर्तमान बिक्री = S × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1,28,800 = S × (1 + 12/100) × (1 + 15/100) 1,28,800 = S × 1.12 × 1.15 1,28,800 = S × 1.288 S = 1,28,800 / 1.288 S = 1,00,000

व्याख्या

चूंकि समलंब PQRS में PQ, SR के समानांतर है, एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं: ∠OPQ = ∠ORS और ∠OQP = ∠OSR। इस प्रकार, त्रिभुज POQ, त्रिभुज ROS के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: PO / OR = OQ / OS

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: (3x - 15) / (x - 5) = (x + 9) / 5

समीकरण को हल करने के लिए तिरछा गुणा करें: 5 × (3x - 15) = (x - 5) × (x + 9) 15x - 75 = x² + 4x - 45 x² - 11x + 30 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें: (x - 6)(x - 5) = 0

इससे x के दो मान प्राप्त होते हैं: x₁ = 6 x₂ = 5

अब, (x₁² - x₂²) का मान ज्ञात करें: x₁² - x₂² = 6² - 5² = 36 - 25 = 11

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य £100 है।

10% और 20% की क्रमिक छूट के बाद, वस्तु का क्रय मूल्य इस प्रकार गणना की जाती है: क्रय मूल्य = 100 × (1 - 0.10) × (1 - 0.20) क्रय मूल्य = 100 × 0.90 × 0.80 = 72

डीलर इस क्रय मूल्य का 10% परिवहन पर खर्च करता है: परिवहन लागत = 72 × 0.10 = 7.2

डीलर के लिए कुल लागत मूल्य (CP) क्रय मूल्य और परिवहन लागत का योग है: कुल CP = 72 + 7.2 = 79.2

15% लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SP = कुल CP × (1 + लाभ%) SP = 79.2 × 1.15 = 91.08

व्याख्या

एक वर्ग का परिमाप सूत्र P = 4s द्वारा दिया जाता है, जहाँ s वर्ग की भुजा की लंबाई है। यह देखते हुए कि परिमाप 64 सेमी है, भुजा की लंबाई है:

s = 64 / 4 = 16 सेमी

एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र A = s² द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र में 16 सेमी की भुजा की लंबाई रखने पर:

A = 16² = 256 सेमी²

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन V सूत्र V = ⅓πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

दिया गया है: त्रिज्या r = 10.5 सेमी = 21/2 सेमी ऊँचाई h = 24 सेमी π = 22/7

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

V = ⅓ × 22/7 × (21/2)² × 24

V = ⅓ × 22/7 × 441/4 × 24

V = 22/21 × 441/4 × 24

V = 22 × 21/4 × 24

V = 22 × 21 × 6

V = 132 × 21

V = 2772 सेमी³

व्याख्या

2010 से 2014 तक पांच साल की अवधि में कंप्यूटरों के निर्माण के न्यूनतम औसत वाली कंपनी का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक कंपनी के लिए कुल उत्पादन की गणना करते हैं, क्योंकि सभी के लिए वर्षों की संख्या स्थिर (5 वर्ष) है।

कंपनी A के लिए कुल उत्पादन है: 240 + 300 + 1250 + 470 + 320 = 2580

कंपनी A के लिए औसत उत्पादन है: 2580 ÷ 5 = 516 हजार कंप्यूटर

इसकी तुलना अन्य कंपनियों के कुल उत्पादन से करने पर: कंपनी B: 120 + 530 + 650 + 320 + 1070 = 2690 कंपनी C: 270 + 490 + 430 + 1180 + 550 = 2920 कंपनी D: 280 + 650 + 710 + 890 + 480 = 3010

कंपनी A का कुल उत्पादन 2580 हजार है, जो सबसे कम है, जिससे उसका न्यूनतम औसत उत्पादन 516 हजार कंप्यूटर है। यह कंपनी A से मेल खाता है।

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण है: 3 cos²θ - 2 cos θ = sin θ - 3 sin²θ

पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात और रैखिक पदों को अलग-अलग पक्षों पर समूहित करें: 3 cos²θ + 3 sin²θ = 2 cos θ + sin θ

बाईं ओर 3 को उभयनिष्ठ लें: 3(cos²θ + sin²θ) = 2 cos θ + sin θ

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ + sin²θ = 1 का प्रयोग करें: 3 = 2 cos θ + sin θ

इस संबंध को कोटैंजेंट के पदों में व्यक्त करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को sin θ से विभाजित करें: 3/sin θ = 2 cos θ/sin θ + sin θ/sin θ 3 cosec θ = 2 cot θ + 1

कोसेकेंट पद को समाप्त करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: (3 cosec θ)² = (2 cot θ + 1)² 9 cosec²θ = 4 cot²θ + 4 cot θ + 1

सर्वसमिका cosec²θ = 1 + cot²θ को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 9(1 + cot²θ) = 4 cot²θ + 4 cot θ + 1 9 + 9 cot²θ = 4 cot²θ + 4 cot θ + 1 5 cot²θ - 4 cot θ + 8 = 0

cot θ के पदों में यह द्विघात समीकरण दिए गए समीकरण को सीधे cot²θ से संबंधित करता है।

व्याख्या

एक वृत्त में, बाह्य बिंदु A से संपर्क बिंदुओं B और C तक खींची गई स्पर्शरेखाएँ AB और AC क्रमशः त्रिज्या XB और XC के लंबवत होती हैं। इसका मतलब है कि कोण ABX = 90° और कोण ACX = 90°।

चूंकि चतुर्भुज ABXC के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है, कोण BAC और BXC संपूरक होते हैं:

कोण BAC + कोण BXC = 180°

समीकरण में कोण BXC = 125° का दिया गया मान रखने पर:

कोण BAC + 125° = 180° कोण BAC = 180° - 125° = 55°

व्याख्या

मान लीजिए Q की आय 100 है।

चूंकि P की आय Q की आय से 40% कम है: P की आय = 100 - 40 = 60

P और Q की संयुक्त आय है: संयुक्त आय = 60 + 100 = 160

यह ज्ञात करने के लिए कि संयुक्त आय, P की आय से कितने प्रतिशत अधिक है, हम P की आय के सापेक्ष अंतर की गणना करते हैं: प्रतिशत अधिकता = ((संयुक्त आय - P की आय) / P की आय) × 100 प्रतिशत अधिकता = ((160 - 60) / 60) × 100 प्रतिशत अधिकता = (100 / 60) × 100 प्रतिशत अधिकता = (5 / 3) × 100 प्रतिशत अधिकता = 500 / 3 % प्रतिशत अधिकता = 166 2/3 %

व्याख्या

प्रतिशत को भिन्न में बदलने के लिए, प्रतिशत मान को 100 से विभाजित करें और सरल करें:

भिन्न = प्रतिशत / 100

सूत्र में 12.75% का मान रखने पर: 12.75% = 12.75 / 100

दशमलव को हटाने के लिए अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करें: 12.75 / 100 = 1275 / 10000

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 25 है, से विभाजित करके भिन्न को सरल करें: 1275 ÷ 25 = 51 10000 ÷ 25 = 400

इससे 51 / 400 का सरलीकृत भिन्न प्राप्त होता है।

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज अंतिम राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: साधारण ब्याज = ₹72,000 - ₹50,000 = ₹22,000

साधारण ब्याज का सूत्र है: साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100

ब्याज की दर ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करना: दर = (साधारण ब्याज × 100) / (मूलधन × समय)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: दर = (22,000 × 100) / (50,000 × 4) दर = 2,200,000 / 200,000 दर = 11% प्रति वर्ष

व्याख्या

दूसरे उम्मीदवार द्वारा प्राप्त वैध मतों की संख्या की गणना सीधे सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

दूसरे उम्मीदवार के मत = कुल मत × (100% - अवैध मत%) × (100% - विजेता का वैध मतों में हिस्सा)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

दूसरे उम्मीदवार के मत = 8400 × (1 - 0.15) × (1 - 0.60) दूसरे उम्मीदवार के मत = 8400 × 0.85 × 0.40 दूसरे उम्मीदवार के मत = 7140 × 0.40 = 2856

व्याख्या

लैपटॉप का कुल मूल्य ₹48,000 है। इस राशि पर कुल 9.5% की छूट के बराबर करने के लिए, आवश्यक कुल छूट राशि है:

कुल छूट = 48,000 का 9.5% = (9.5 / 100) × 48,000 = 4,560

रोहन ने पहले ही दो छूटें दी हैं: पहले 28,000 रुपये पर 12% की छूट = (12 / 100) × 28,000 = 3,360 अगले 12,000 रुपये पर 8% की छूट = (8 / 100) × 12,000 = 960

इन दो छूटों का योग है: 3,360 + 960 = 4,320

अंतिम ₹8,000 पर दी जाने वाली शेष छूट आवश्यक कुल छूट और पहले से दी गई छूटों के योग के बीच का अंतर है: शेष छूट = 4,560 - 4,320 = 240

व्याख्या

प्रत्येक घन का आयतन 216 घन सेमी है। मान लीजिए प्रत्येक घन की भुजा की लंबाई a है।

घन के आयतन के सूत्र का उपयोग करके: a³ = 216 a = 6 सेमी

जब ऐसे चार घन एक के बाद एक जोड़े जाते हैं, तो वे एक घनाभ बनाते हैं। इस नए घनाभ के आयाम हैं: लंबाई, l = 4 × 6 = 24 सेमी चौड़ाई, w = 6 सेमी ऊंचाई, h = 6 सेमी

घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 2(lw + wh + hl) है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (24 × 6 + 6 × 6 + 6 × 24) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (144 + 36 + 144) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 324 = 648 वर्ग सेमी

वैकल्पिक रूप से, एक के बाद एक चार घन जोड़ने से तीन जोड़ बनते हैं, प्रत्येक जोड़ पर दो आसन्न फलक छिप जाते हैं। चार स्वतंत्र घनों के कुल 24 फलकों में से, 6 फलक छिप जाते हैं। शेष 18 उजागर फलकों का पृष्ठीय क्षेत्रफल है: 18 × a² = 18 × 6² = 18 × 36 = 648 वर्ग सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: D

जब दो वस्तुएँ एक ही बिंदु से विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = श्याम की गति + राम की गति

दिया गया है: श्याम की गति = 5¼ किमी/घंटा = 21/4 किमी/घंटा राम की गति = 3 किमी/घंटा

सापेक्ष गति = 21/4 + 3 = 33/4 किमी/घंटा

उनके बीच आवश्यक दूरी 44 किमी है।

समय = दूरी ÷ सापेक्ष गति समय = 44 ÷ (33/4) = 44 × 4/33 = 16/3 घंटे

16/3 घंटे को घंटे और मिनट में बदलना: 16/3 घंटे = 5⅓ घंटे ⅓ घंटा = ⅓ × 60 मिनट = 20 मिनट

इससे कुल समय 5 घंटे 20 मिनट प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब चार संख्याओं a, b, c, और d में x जोड़ा जाता है ताकि वे समानुपात में हों, तो x का मान सीधे सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है:

x = (ad - bc) / ((b + c) - (a + d))

दी गई संख्याएँ a = 7, b = 11, c = 18, और d = 23 हैं, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

x = (7 × 23 - 11 × 18) / ((11 + 18) - (7 + 23)) x = (161 - 198) / (29 - 30) x = -37 / -1 = 37

x = 37 का उपयोग करके, दो व्यंजक बनते हैं:

x - 1 = 37 - 1 = 36 2x - 10 = 2 × 37 - 10 = 64

दो संख्याओं A और B के बीच मध्य समानुपाती को सूत्र √(A × B) द्वारा परिभाषित किया गया है।

मध्य समानुपाती = √(36 × 64) = 6 × 8 = 48

व्याख्या

मान लीजिए सही उत्तरों की संख्या 'c' है। चूँकि कुल 160 प्रश्न हैं, इसलिए गलत या अनुत्तरित प्रश्नों की संख्या 160 - c है।

प्रत्येक सही उत्तर के लिए 4 अंक मिलते हैं, और प्रत्येक गलत या अनुत्तरित प्रश्न के लिए 1 अंक काटा जाता है। कुल अंक के लिए समीकरण है:

4c - 1 × (160 - c) = 400

समीकरण को सरल बनाने पर:

4c - 160 + c = 400

5c - 160 = 400

5c = 560

c = 112

इसलिए, उम्मीदवार ने 112 प्रश्न सही हल किए।

व्याख्या

त्रिज्या R और ऊँचाई H = 12R वाली बेलनाकार छड़ का आयतन है: V_cylinder = π R² H = π R² (12R) = 12 π R³

त्रिज्या r = R/3 वाली गोलाकार गेंद का आयतन है: V_ball = 4/3 π r³ = 4/3 π (R/3)³ = 4/81 π R³

गोलाकार गेंदों की संख्या N, सिलेंडर के आयतन और एक गोलाकार गेंद के आयतन का अनुपात है: N = V_cylinder / V_ball N = (12 π R³) / (4/81 π R³) N = (12 × 81) / 4 N = 3 × 81 = 243

व्याख्या

एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

लंबाई = 2 × √(R × r)

जहाँ R और r दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है: पहले वृत्त की त्रिज्या, R = 6 सेमी दूसरे वृत्त की त्रिज्या, r = 3 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

लंबाई = 2 × √(6 × 3) लंबाई = 2 × √18 लंबाई = 2 × 3√2 लंबाई = 6√2 सेमी

व्याख्या

कुल काम 6 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो 24 इकाई है।

रिया की दैनिक कार्य क्षमता 24 ÷ 6 = 4 इकाई प्रति दिन है, और संगीता की दैनिक कार्य क्षमता 24 ÷ 8 = 3 इकाई प्रति दिन है।

रिया ने पहले 3 दिनों तक अकेले काम किया, जिससे 3 × 4 = 12 इकाई काम पूरा हुआ।

पूरा करने के लिए शेष काम 24 - 12 = 12 इकाई है।

जब संगीता रिया के साथ शामिल हुई, तो उनकी संयुक्त दैनिक क्षमता 4 + 3 = 7 इकाई प्रति दिन हो गई। शेष काम को पूरा करने में उन दोनों को लगा समय 12 ÷ 7 = 1 5/7 दिन है।

काम की कुल अवधि उन दिनों का योग है जब रिया ने अकेले काम किया और उन दिनों जब उन्होंने एक साथ काम किया, जो 3 + 1 5/7 = 4 5/7 दिन है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

चूंकि परिमापों का अनुपात 4 : 7 है, इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात (4/7)² = 16 : 49 होगा।

माना दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल 16x और 49x हैं।

उनके क्षेत्रफलों का योग दिया गया है: 16x + 49x = 195 65x = 195 x = 3

उनके क्षेत्रफलों के बीच का अंतर है: 49x - 16x = 33x

हमें क्षेत्रफलों के अंतर का 1/3 ज्ञात करना है: 1/3 × 33x = 11x

x = 3 को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 11 × 3 = 33 वर्ग सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

माना मूलधन P है, प्रति वर्ष ब्याज की दर R है, और समय T 8 वर्ष है। साधारण ब्याज SI, मूलधन P का 4/5 है: SI = (4/5) × P

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: (4/5) × P = (P × R × 8) / 100

दोनों पक्षों से P को रद्द करें: 4/5 = 8R / 100

R के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: R = (4 × 100) / (5 × 8) R = 400 / 40 R = 10%

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, सभी मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 2¼ = 9/4 3⅕ = 16/5 5⅙ = 31/6 2 4/31 = 66/31 3⅔ = 11/3 4⅐ = 29/7 1 6/29 = 35/29

इन भिन्नों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (9/4) × (16/5) + (31/6) का (66/31) ÷ (11/3) + (29/7) का (35/29)

BODMAS के अनुसार, हम पहले "का" वाले पदों का मूल्यांकन करते हैं: (31/6) का (66/31) = (31/6) × (66/31) = 11 (29/7) का (35/29) = (29/7) × (35/29) = 5

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (9/4) × (16/5) + 11 ÷ (11/3) + 5

अगला, भाग संक्रिया करें: 11 ÷ (11/3) = 11 × (3/11) = 3

इस मान को वापस प्रतिस्थापित करें: (9/4) × (16/5) + 3 + 5

अगला, गुणा संक्रिया करें: (9/4) × (16/5) = 36/5

अंत में, जोड़ करें: 36/5 + 3 + 5 = 36/5 + 8 = (36 + 40)/5 = 76/5 = 15⅕

व्याख्या

एक वृत्त में, बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं। चूँकि दो समानांतर जीवाएँ समान लंबाई (प्रत्येक 8 इकाई) की हैं और 6 इकाई दूर हैं, वृत्त का केंद्र उनके ठीक बीच में स्थित है। इसलिए, केंद्र से प्रत्येक जीवा की लंबवत दूरी d = 6 / 2 = 3 इकाई है।

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। आधी जीवा की लंबाई a = 8 / 2 = 4 इकाई है।

वृत्त की त्रिज्या r, केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी d, और आधी जीवा की लंबाई a एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

r² = d² + a²

r² = 3² + 4²

r² = 9 + 16

r² = 25

r = √25 = 5 इकाई।

व्याख्या

वस्तु के विक्रय मूल्य में कमी है: 5,000 - 4,680 = 320

चूंकि हानि प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य (CP) पर की जाती है, इसलिए 320 की यह कमी हानि प्रतिशत में 4% की वृद्धि के अनुरूप है।

CP का 4% = 320 CP = (320 × 100) / 4 = 8,000

4% लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य CP का 104% होना चाहिए: वांछित विक्रय मूल्य = 8,000 × 1.04 = 8,320

व्याख्या

दो कोणों के योग के स्पर्शज्या (tangent) के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)

दिया गया है कि α + β = 45° और tan(45°) = 1, हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) = 1 tan α + tan β = 1 - tan α tan β tan α + tan β + tan α tan β = 1

अब, दिए गए गुणनफल का विस्तार करते हैं: (tan α + 1)(tan β + 1) = tan α tan β + tan α + tan β + 1

विस्तारित व्यंजक में संबंध tan α + tan β + tan α tan β = 1 को प्रतिस्थापित करते हुए: (tan α + 1)(tan β + 1) = 1 + 1 = 2

चूंकि दिया गया समीकरण (tan α + 1)(tan β + 1) = 2x है, हमारे पास है: 2x = 2 x = 1

व्याख्या

विभिन्न खर्चों पर आय का कुल प्रतिशत = 10% + 10% + 20% + 15% = 55%

बचत आय का प्रतिशत = 100% - 55% = 45%

मासिक आय = ₹30,000

बचत = ₹30,000 का 45% = (45/100) × 30,000 = 45 × 300 = ₹13,500

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) है।

दी गई शर्त के अनुसार: CP का 70% = SP का 40%

70/100 × CP = 40/100 × SP 7 × CP = 4 × SP SP/CP = 7/4

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ % = (SP - CP)/CP × 100

अनुपात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (7 - 4)/4 × 100 लाभ % = 3/4 × 100 लाभ % = 75%

व्याख्या

कोई संख्या 22 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 11 दोनों से विभाज्य हो।

2 से विभाज्य होने के लिए, संख्या का अंतिम अंक सम होना चाहिए। संख्या 893002 का अंतिम अंक 2 है, जो सम है, इसलिए यह 2 से विभाज्य है।

11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।

संख्या 893002 के लिए: बाएं से विषम स्थानों (पहले, तीसरे और पांचवें अंक) के अंकों का योग = 8 + 3 + 0 = 11। बाएं से सम स्थानों (दूसरे, चौथे और छठे अंक) के अंकों का योग = 9 + 0 + 2 = 11। अंतर = 11 - 11 = 0।

चूंकि अंतर 0 है, इसलिए संख्या 893002, 11 से विभाज्य है। इसलिए, यह 22 से विभाज्य है।

व्याख्या

किसी प्रतिशत को अनुपात में बदलने के लिए, प्रतिशत मान को 100 के हर के साथ भिन्न के रूप में व्यक्त करें और फिर उसे उसके निम्नतम पदों तक सरल करें।

28% = 28/100

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 4 है, से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

28 ÷ 4 = 7 100 ÷ 4 = 25

यह सरलीकृत भिन्न 7/25 देता है, जिसे अनुपात रूप में 7:25 के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या

7658 के निकटतम और 45 से पूर्णतः विभाज्य संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने के लिए 7658 को 45 से विभाजित करते हैं: 7658 ÷ 45 = 170 शेषफल 8 के साथ।

7658 से ठीक नीचे 45 का गुणज है: 7658 - 8 = 7650

7658 से ठीक ऊपर 45 का गुणज है: 7658 + (45 - 8) = 7695

7658 से निरपेक्ष अंतरों की तुलना करने पर: 7658 - 7650 = 8 7695 - 7658 = 37

चूंकि 8, 37 से छोटा है, इसलिए 7650 वह संख्या है जो 7658 के निकटतम है और 45 से पूर्णतः विभाज्य है।