एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः F और S है।

पहली शर्त के अनुसार, दस वर्ष बाद, पिता की आयु पुत्र की आयु की दोगुनी होगी: F + 10 = 2(S + 10) F - 2S = 10

दूसरी शर्त के अनुसार, दस वर्ष पूर्व, पिता की आयु पुत्र की आयु की छह गुनी थी: F - 10 = 6(S - 10) F - 6S = -50

पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: 4S = 60 S = 15

S = 15 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: F - 2(15) = 10 F = 40

अतः, पिता की वर्तमान आयु 40 वर्ष और पुत्र की वर्तमान आयु 15 वर्ष है।

मान लीजिए t अब से वर्षों की संख्या है जब उनकी आयु का अनुपात 3 : 2 होगा: (40 + t) / (15 + t) = 3 / 2 2(40 + t) = 3(15 + t) 80 + 2t = 45 + 3t t = 35

व्याख्या

r% की वृद्धि के बाद मूल कीमत को बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत कमी ज्ञात करने का सूत्र है:

प्रतिशत कमी = (r / (100 + r)) × 100%

दिया गया है कि दालों की कीमत में r = 45% की वृद्धि हुई है:

प्रतिशत कमी = (45 / (100 + 45)) × 100% प्रतिशत कमी = (45 / 145) × 100% प्रतिशत कमी = (9 / 29) × 100% प्रतिशत कमी = 900 / 29 % प्रतिशत कमी ≈ 31.03%

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, आवश्यक प्रतिशत कमी 31% है।

व्याख्या

माल के बैच का कुल क्रय मूल्य ₹5,000 है। चूंकि 5% माल क्षतिग्रस्त है, इसलिए शेष क्षतिग्रस्त न हुए माल कुल बैच का 95% है।

इन शेष क्षतिग्रस्त न हुए माल का क्रय मूल्य इस प्रकार गणना किया जाता है: CPᵣemaining = ₹5,000 का 95% = 0.95 × 5000 = ₹4,750

इन शेष माल पर 20% लाभ कमाने के लिए, खुदरा विक्रेता को उन्हें उनके क्रय मूल्य के 120% पर बेचना होगा: विक्रय मूल्य = ₹4,750 का 120% = 1.20 × 4750 = ₹5,700

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या R = 26/2 = 13 सेमी है।

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। 10 सेमी लंबाई की जीवा के लिए, अर्ध-जीवा की लंबाई 5 सेमी है।

त्रिज्या, केंद्र से जीवा तक की लंबवत दूरी d, और अर्ध-जीवा द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: d² + 5² = 13² d² + 25 = 169 d² = 144 d = 12 सेमी।

चूंकि दो समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी h उनके केंद्र से व्यक्तिगत दूरियों का योग है: h = d + d = 12 + 12 = 24 सेमी।

व्याख्या

मान लीजिए छोटे लड़के की वर्तमान आयु x वर्ष है। चूँकि बड़े लड़के की आयु छोटे लड़के की आयु की तिगुनी है, इसलिए उसकी वर्तमान आयु 3x वर्ष है।

नौ वर्ष पूर्व, उनकी आयु क्रमशः x - 9 और 3x - 9 थी।

दी गई शर्त के अनुसार, उस समय बड़े लड़के की आयु छोटे लड़के की आयु की पाँच गुनी थी: 3x - 9 = 5(x - 9)

रैखिक समीकरण का विस्तार और हल करने पर: 3x - 9 = 5x - 45 2x = 36 x = 18

इस प्रकार, छोटे लड़के की वर्तमान आयु 18 वर्ष है, और बड़े लड़के की वर्तमान आयु 3 × 18 = 54 वर्ष है।

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh और उसका आयतन πr²h होता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का अनुपात है: 2πrh / πr²h = 2/r

दिया गया है कि यह अनुपात 2:3 है: 2/r = 2/3 r = 3

त्रिज्या और ऊँचाई के बीच का अनुपात 3:7 दिया गया है: r/h = 3/7 3/h = 3/7 h = 7

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

r और h के मानों को प्रतिस्थापित करना: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × π × 3 × (3 + 7) = 6π × 10 = 60π cm²

व्याख्या

औसत गति को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है।

यात्रा के पहले भाग के लिए: दूरी = 110 मील गति = 55 मील प्रति घंटा समय = 110 / 55 = 2 घंटे

यात्रा के दूसरे भाग के लिए: दूरी = 120 मील गति = 60 मील प्रति घंटा समय = 120 / 60 = 2 घंटे

यात्रा के तीसरे भाग के लिए: दूरी = 60 मील समय = 1 घंटा

कुल दूरी = 110 + 120 + 60 = 290 मील कुल समय = 2 + 2 + 1 = 5 घंटे

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय = 290 / 5 = 58 मील प्रति घंटा

व्याख्या

प्रतिशत कमी सूत्र का प्रयोग करके: नया मूल्य = मूल मूल्य × (1 - d/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: नया मूल्य = 1,25,000 × (1 - 30/100) नया मूल्य = 1,25,000 × 0.70 नया मूल्य = 87,500

व्याख्या

जब लाभ प्रतिशत (P) और छूट प्रतिशत (D) दिया गया हो, तो अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

पहले मामले में, 35% की छूट पर 35% का लाभ होता है:

MP / CP = (100 + 35) / (100 - 35) = 135 / 65 = 27 / 13

दूसरे मामले में, छूट 45% है। मान लीजिए नया लाभ प्रतिशत P है। MP/CP अनुपात का उपयोग करके:

27 / 13 = (100 + P) / (100 - 45)

27 / 13 = (100 + P) / 55

100 + P = (27 × 55) / 13

100 + P = 1485 / 13

P = 1485 / 13 - 100

P = (1485 - 1300) / 13

P = 185 / 13 %

185 / 13 को मिश्रित भिन्न में बदलना:

185 ÷ 13 = 14 शेष 3, जो 14 3/13 % देता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, हमें AB = AC दिया गया है। चूँकि BC को D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि CD = AB हो, इसलिए CD = AC। यह त्रिभुज ACD को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।

समद्विबाहु त्रिभुज ACD में, जहाँ AC = CD, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं: कोण CAD = कोण ADC = 30°

त्रिभुज ACD में कोणों का योग 180° होता है: कोण ACD + कोण CAD + कोण ADC = 180° कोण ACD + 30° + 30° = 180° कोण ACD = 120°

चूँकि B, C, और D एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, कोण ACB और ACD एक रैखिक युग्म बनाते हैं: कोण ACB + कोण ACD = 180° कोण ACB + 120° = 180° कोण ACB = 60°

त्रिभुज ABC में, चूँकि AB = AC है, आधार कोण बराबर होते हैं: कोण ABC = कोण ACB = 60°

शेष कोण BAC है: कोण BAC = 180° - (कोण ABC + कोण ACB) = 180° - (60° + 60°) = 60°

व्याख्या

मान लीजिए मिश्रण में अल्कोहल और पानी की प्रारंभिक मात्रा क्रमशः 12x और 5x है।

जब मिश्रण में 14 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो पानी की मात्रा 5x + 14 हो जाती है, जबकि अल्कोहल की मात्रा 12x अपरिवर्तित रहती है।

दी गई शर्त के अनुसार, अल्कोहल और पानी का नया अनुपात 4 : 3 है: 12x / (5x + 14) = 4 / 3

पदों को तिरछा गुणा करने पर: 36x = 20x + 56 16x = 56 x = 3.5

मिश्रण में अल्कोहल की मात्रा 12x = 12 × 3.5 = 42 लीटर है।

व्याख्या

एक पुस्तक की औसत लागत की गणना सभी पुस्तकों की कुल लागत को पुस्तकों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

पुस्तकों की कुल लागत = (4 × 50) + (5 × 60) + (6 × 70) = 200 + 300 + 420 = 920

पुस्तकों की कुल संख्या = 4 + 5 + 6 = 15

औसत लागत = 920 ÷ 15 = 61.3333...

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, एक पुस्तक की औसत लागत 61.33 है।

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण उसी चाप द्वारा परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है। चूँकि कोण AOQ, चाप AQ द्वारा केंद्र O पर बनाया गया कोण है, और कोण ABQ, चाप AQ द्वारा परिधि बिंदु B पर बनाया गया कोण है: कोण ABQ = ½ × कोण AOQ = ½ × 94° = 47°

चूँकि AT व्यास के सिरे A पर वृत्त की स्पर्शरेखा है, तो कोण TAB 90° है।

क्योंकि रेखा TB वृत्त को Q पर प्रतिच्छेद करती है, बिंदु T, Q और B संरेख हैं, जिसका अर्थ है कि कोण ATQ, कोण ATB के समान है। समकोण त्रिभुज TAB में, न्यून कोणों का योग 90° होता है: कोण ATB = 90° - कोण ABT कोण ATB = 90° - 47° = 43°

अतः, कोण ATQ = 43°।

व्याख्या

11 के विभाज्यता नियम के अनुसार, विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।

संख्या 19487161 के लिए: दाएं से बाएं विषम स्थानों के अंकों का योग 1 + 1 + 8 + 9 = 19 है। दाएं से बाएं सम स्थानों के अंकों का योग 6 + 7 + 4 + 1 = 18 है। अंतर 19 - 18 = 1 है।

यह 1 का अंतर इंगित करता है कि 19487161 को 11 से विभाजित करने पर 1 शेष बचता है, या 19487161 ≡ 1 mod 11।

योग को 11 से विभाज्य बनाने के लिए, सबसे छोटी पूर्णांक x को संतुष्ट करना चाहिए: 1 + x = 11 x = 10

व्याख्या

समान समय अवधि में धावकों द्वारा तय की गई दूरियों के अनुपात का उपयोग करके:

जब A 100 मीटर तय करता है, तो B 100 - 20 = 80 मीटर तय करता है। उनकी दूरियों का अनुपात D_A / D_B = 100 / 80 = 5/4 है।

जब B 100 मीटर तय करता है, तो C 100 - 5 = 95 मीटर तय करता है। उनकी दूरियों का अनुपात D_B / D_C = 100 / 95 = 20/19 है।

जब A 100 मीटर तय करता है तो C द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हम अनुपातों को गुणा करते हैं: D_C / D_A = (D_C / D_B) × (D_B / D_A) D_C / 100 = (19 / 20) × (80 / 100) D_C / 100 = 76 / 100 D_C = 76 मीटर

जब A 100 मीटर की दौड़ पूरी करता है, तो C ने 76 मीटर की दूरी तय की होती है। इस प्रकार, A, C को 100 - 76 = 24 मीटर से हराता है।

व्याख्या

मिश्रण विधि का उपयोग करके, पहले समग्र वार्षिक ब्याज दर की गणना की जाती है। चूंकि 2 वर्षों में अर्जित कुल ब्याज ₹720 है, इसलिए अर्जित वार्षिक ब्याज ₹720 ÷ 2 = ₹360 है।

समग्र वार्षिक ब्याज दर (360 ÷ 8000) × 100% = 4.5% है।

मिश्रण के नियम के अनुसार, योजना 1 (5% पर) और योजना 2 (4% पर) में निवेश की गई राशि का अनुपात है: (4.5 - 4) : (5 - 4.5) = 0.5 : 0.5 = 1 : 1

चूंकि निवेश 1:1 के अनुपात में विभाजित है, योजना 1 में निवेश की गई राशि कुल निवेश का आधा है: 8000 × ½ = ₹4,000।

व्याख्या

एक गोले का आयतन सूत्र V = 4/3 πr³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है।

तीन गोलों के व्यास 6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी हैं, जिससे उनकी संबंधित त्रिज्याएँ r₁ = 3 सेमी, r₂ = 4 सेमी और r₃ = 5 सेमी हो जाती हैं।

जब तीन गोलों को पिघलाकर त्रिज्या R के एक एकल ठोस गोले में ढाला जाता है, तो नए गोले का आयतन तीन छोटे गोलों के आयतन के योग के बराबर होता है: 4/3 πR³ = 4/3 πr₁³ + 4/3 πr₂³ + 4/3 πr₃³

समीकरण के दोनों पक्षों को 4/3 π से विभाजित करने पर संबंध सरल हो जाता है: R³ = r₁³ + r₂³ + r₃³

त्रिज्याओं के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: R³ = 3³ + 4³ + 5³ R³ = 27 + 64 + 125 R³ = 216

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: R = ∛216 = 6 सेमी

व्याख्या

खाद्य अनाज के औसत उत्पादन की गणना पाँच वर्षों के दौरान उसके उत्पादन के योग को वर्षों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

गेहूं और मक्का के औसत उत्पादन के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक खाद्य अनाज के कुल उत्पादन की गणना की जाती है।

पाँच वर्षों के दौरान गेहूं का कुल उत्पादन: 650 + 800 + 680 + 700 + 640 = 3470 दस लाख टन

गेहूं का औसत उत्पादन: 3470 / 5 = 694 दस लाख टन

पाँच वर्षों के दौरान मक्का का कुल उत्पादन: 200 + 240 + 220 + 260 + 300 = 1220 दस लाख टन

मक्का का औसत उत्पादन: 1220 / 5 = 244 दस लाख टन

गेहूं और मक्का के औसत उत्पादन के बीच का अंतर है: 694 - 244 = 450 दस लाख टन

व्याख्या

प्रति किलोग्राम आवश्यक विक्रय दर ज्ञात करने के लिए, निम्नलिखित संबंध का उपयोग करें:

कुल वांछित राजस्व = कुल क्रय मूल्य × (1 + लाभ प्रतिशत) कुल वांछित राजस्व = 32400 × (1 + 0.20) = 32400 × 1.2 = ₹38,880

इसके बाद, 20% खराब होने के बाद गेहूँ की शेष मात्रा की गणना करें:

शेष गेहूँ = कुल गेहूँ × (1 - खराब प्रतिशत) शेष गेहूँ = 1800 × (1 - 0.20) = 1800 × 0.8 = 1440 किग्रा

शेष गेहूँ के लिए प्रति किलोग्राम विक्रय मूल्य है:

दर = कुल वांछित राजस्व ÷ शेष गेहूँ दर = 38880 ÷ 1440 = 27

इस प्रकार, दुकानदार को शेष गेहूँ ₹27 प्रति किलोग्राम की दर से बेचना चाहिए।

व्याख्या

त्रिज्या R वाले वृत्त के केंद्र से L लंबाई की जीवा की लंबवत दूरी पाइथागोरस प्रमेय द्वारा d = √(R² - (L/2)²) के रूप में दी जाती है।

पहली जीवा 5 इकाई लंबाई के लिए: d₁ = √(7² - 2.5²) = √(49 - 6.25) = √42.75 ≈ 6.538 इकाई

दूसरी जीवा 8 इकाई लंबाई के लिए: d₂ = √(7² - 4²) = √(49 - 16) = √33 ≈ 5.745 इकाई

चूंकि दो समानांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी केंद्र से उनकी लंबवत दूरियों का योग है: दूरी = d₁ + d₂ = 6.538 + 5.745 = 12.283 इकाई

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 12.28 इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए रामू की प्रारंभिक आय 100 है।

चूंकि वह अपनी आय का 72% खर्च करता है: प्रारंभिक व्यय = 72 प्रारंभिक बचत y = 100 - 72 = 28

उसकी आय में 12% की वृद्धि हुई: नई आय = 100 × 1.12 = 112

उसके व्यय में 5% की वृद्धि हुई: नया व्यय = 72 × 1.05 = 75.6

उसकी नई बचत x नई आय और नए व्यय के बीच का अंतर है: x = 112 - 75.6 = 36.4

बचत में प्रतिशत परिवर्तन इस प्रकार दिया गया है: ((x - y) / y) × 100% = ((36.4 - 28) / 28) × 100% = (8.4 / 28) × 100% = 0.3 × 100% = 30%

व्याख्या

वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा बनाया गया कोण समकोण होता है। चूँकि PQ वृत्त का व्यास है और R वृत्त पर एक बिंदु है, तो कोण ∠PRQ = 90° होगा।

समकोण त्रिभुज PRQ में, कोणों का योग 180° होता है: ∠PRQ + ∠RPQ + ∠RQP = 180°

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 90° + 27° + ∠RQP = 180° 117° + ∠RQP = 180° ∠RQP = 180° - 117° = 63°

व्याख्या

एक बेलन के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का अनुपात सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अनुपात = LSA / TSA = (2πrh) / (2πr(h + r)) = h / (h + r)

दिया गया है कि बेलन के आधार का व्यास 60 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r व्यास की आधी, अर्थात 30 सेमी है। ऊंचाई h 10 सेमी दी गई है।

इन मानों को अनुपात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = 10 / (10 + 30) = 10 / 40 = 1/4

यह 1:4 के अनुपात में सरल हो जाता है।

व्याख्या

रैखिक समीकरणों के एक युग्म a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के अनगिनत हल होने के लिए, उनके गुणांकों का अनुपात निम्नलिखित शर्त को संतुष्ट करना चाहिए: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂

दिए गए समीकरणों kx + 3y - (k - 3) = 0 और 12x + ky - k = 0 की मानक रूप से तुलना करने पर: a₁ = k, b₁ = 3, c₁ = -(k - 3) a₂ = 12, b₂ = k, c₂ = -k

इन मानों को शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: k/12 = 3/k = -(k - 3)/(-k)

पहले दो अनुपातों को बराबर करने पर: k/12 = 3/k k² = 36 k = ±6

चूंकि हम k के धनात्मक मानों की तलाश कर रहे हैं, हम k = 6 लेते हैं। तीसरे अनुपात में k = 6 प्रतिस्थापित करने पर (6 - 3)/6 = 3/6 = ½ प्राप्त होता है, जो अनुपात 3/k = 3/6 = ½ के बराबर है। इस प्रकार, k का धनात्मक मान जो अनगिनत हल देता है, वह 6 है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई का सूत्र L = (θ / 360°) × 2πr द्वारा गणना की जाती है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मानों, L = 5.5 सेमी, θ = 30°, और π = 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

5.5 = (30 / 360) × 2 × (22 / 7) × r

भिन्न को सरल करने पर:

5.5 = (1 / 12) × (44 / 7) × r

5.5 = (11 / 21) × r

r के लिए हल करने पर:

r = (5.5 × 21) / 11

r = 0.5 × 21

r = 10.5 सेमी

व्याख्या

मोनिका की आय नेहा की आय से कितने प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए, मानक प्रतिशत संबंध सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत कम = [r / (100 + r)] × 100 %

यहां, r वह प्रतिशत है जिससे नेहा की आय मोनिका की आय से अधिक है, जो कि 5% है।

सूत्र में r = 5 रखने पर:

प्रतिशत कम = [5 / (100 + 5)] × 100 % = [5 / 105] × 100 % = [1 / 21] × 100 % = 100 / 21 % = 4 16/21 %

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, cot θ = आधार/लम्ब = 3/4।

चूंकि θ एक न्यून कोण है, आधार 3 है, लम्ब 4 है, और कर्ण की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: कर्ण = √(3² + 4²) = 5

इससे, शेष त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: sin θ = लम्ब/कर्ण = 4/5 cos θ = आधार/कर्ण = 3/5 tan θ = 1/cot θ = 4/3

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin θ + cos θ - tan θ = 4/5 + 3/5 - 4/3 = 7/5 - 4/3 = (21 - 20) / 15 = 1/15

व्याख्या

जब दो व्यक्ति किसी कार्य को व्यक्तिगत रूप से A और B दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो उनके द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लगने वाला समय सूत्र (A × B) / (A + B) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर जहाँ अखिल का समय A = 24 दिन और श्याम का समय B = 12 दिन है:

एक साथ लिया गया समय = (24 × 12) / (24 + 12) = 288 / 36 = 8 दिन।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SI = (P × R × T) / 100

यहाँ, वर्षों की संख्या (T) ब्याज की दर (R) के बराबर है, इसलिए T = R। इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: SI = (P × R²) / 100

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹12,00,000 साधारण ब्याज (SI) = ₹9,72,000

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 9,72,000 = (12,00,000 × R²) / 100 9,72,000 = 12,000 × R² R² = 9,72,000 / 12,000 R² = 81 R = √81 R = 9

व्याख्या

जब r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्त एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा AB की लंबाई निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

AB = 2 × √(r₁ × r₂)

दिए गए दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ = 9 सेमी और r₂ = 4 सेमी हैं, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

AB = 2 × √(9 × 4) AB = 2 × √36 AB = 2 × 6 AB = 12 सेमी

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के बीच तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (T) की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

T = √(d² - (r₁ + r₂)²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = 15 सेमी r₁ = 7 सेमी r₂ = 5 सेमी

T = √(15² - (7 + 5)²) T = √(225 - 12²) T = √(225 - 144) T = √81 T = 9 सेमी

व्याख्या

माना घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 3x, 4x और 5x हैं।

घनाभ का आयतन निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

दिए गए आयतन और अनुपात पदों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 1620 = 3x × 4x × 5x 1620 = 60x³ x³ = 27 x = 3

x के इस मान का उपयोग करके, घनाभ के आयाम हैं: लंबाई = 3 × 3 = 9 मीटर चौड़ाई = 4 × 3 = 12 मीटर ऊँचाई = 5 × 3 = 15 मीटर

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(लंबाई × चौड़ाई + चौड़ाई × ऊँचाई + ऊँचाई × लंबाई)

इन आयामों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करें: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(9 × 12 + 12 × 15 + 15 × 9) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(108 + 180 + 135) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 423 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 846 m²

व्याख्या

संयुक्त अनुपात a:b:c:d ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए अनुपातों में सामान्य पदों को बराबर करते हैं।

दिया गया है: a:b = 3:4 b:c = 2:3

इनको संयोजित करने के लिए, हम पहले अनुपात में b के पद को दूसरे अनुपात में b के पद के बराबर करते हैं। चूँकि पहले अनुपात में b का मान 4 है और दूसरे में 2 है, हम दूसरे अनुपात को 2 से गुणा करते हैं: b:c = 4:6

इससे प्राप्त होता है: a:b:c = 3:4:6

अगला, हम इसे अनुपात c:d = 5:6 के साथ संयोजित करते हैं। हम दोनों अनुपातों में c के पद को बराबर करते हैं, 6 और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को ज्ञात करके, जो कि 30 है।

a:b:c के पदों को 5 से गुणा करें: a:b:c = 15:20:30

c:d के पदों को 6 से गुणा करें: c:d = 30:36

इनको संयोजित करने पर प्राप्त होता है: a:b:c:d = 15:20:30:36

व्याख्या

संख्या 3c2933k के 5 से विभाज्य होने के लिए, इसका इकाई अंक k, 0 या 5 होना चाहिए। चूँकि k एक एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्या है, k का मान 5 होना चाहिए।

k को 5 से बदलने पर, संख्या 3c29335 हो जाती है।

इस संख्या के 11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 11 का गुणज होना चाहिए।

विषम स्थानों पर अंकों का योग (बाएँ से दाएँ): 3 + 2 + 3 + 5 = 13 सम स्थानों पर अंकों का योग (बाएँ से दाएँ): c + 9 + 3 = c + 12

अंतर है: 13 - (c + 12) = 1 - c

इस अंतर के 11 का गुणज होने के लिए, जहाँ c, 1 से 9 तक की एक एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्या है, एकमात्र संभव मान तब होता है जब अंतर 0 हो: 1 - c = 0 c = 1

इस प्रकार, c + k = 1 + 5 = 6।

व्याख्या

संचालन के क्रम (BODMAS) का पालन करते हुए, हम सबसे भीतरी कोष्ठकों से बाहर की ओर चरण-दर-चरण व्यंजक को सरल करते हैं।

सबसे पहले, कोष्ठकों के अंदर के पदों की गणना करें: 13 × 13 = 169

इसका उपयोग करके, पहले भाग को सरल करें: 169 ÷ 169 = 1

अगला, सबसे भीतरी कोष्ठक को सरल करें: 3 - 17 + 10 = -14 + 10 = -4

अब इन परिणामों को बड़े वर्ग कोष्ठक में वापस प्रतिस्थापित करें: 1 - (-4) - (-4) = 1 + 4 + 4 = 9

अंत में, इस परिणाम को पहले पद से घटाएं: 99 - 9 = 90

व्याख्या

एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल का योग होता है।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × πr²

दिया गया है: त्रिज्या, r = 5 मीटर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 628 वर्ग मीटर

π ≈ 22/7 का प्रयोग करके: दो आधारों का क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 5² दो आधारों का क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 25 = 1100/7 ≈ 157.14 वर्ग मीटर

हम कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से दो आधारों का क्षेत्रफल घटाकर वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल - दो आधारों का क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 628 - 157.14 = 470.86 वर्ग मीटर

निकटतम दशमलव मान तक पूर्णांकित करने पर 470.8 वर्ग मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो व्यक्तियों के एक साथ काम करने के लिए कार्य-दर संबंध का उपयोग करते हुए: 1/T_together = 1/T_Sapna + 1/T_Riya

यहाँ, T_Sapna अकेले सपना द्वारा लिया गया समय है, जो 12 घंटे है, और T_together दोनों द्वारा एक साथ काम करने में लिया गया समय है, जो 8 घंटे है। मान लीजिए T_Riya अकेले रिया द्वारा लिया गया समय है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए: 1/8 = 1/12 + 1/T_Riya

T_Riya के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हुए: 1/T_Riya = 1/8 - 1/12

24 का एक सामान्य भाजक ज्ञात करते हुए: 1/T_Riya = 3/24 - 2/24 1/T_Riya = 1/24

T_Riya = 24

यह गणना दर्शाती है कि रिया को अकेले काम पूरा करने में 24 घंटे लगते हैं।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों से, B को A के पदों में व्यक्त करें: cot B = a / tan A cosec B = b / sin A

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: cosec²B - cot²B = 1

सर्वसमिका में cosec B और cot B के मानों को प्रतिस्थापित करें: (b / sin A)² - (a / tan A)² = 1 b² / sin²A - a² cos²A / sin²A = 1 b² - a² cos²A = sin²A

sin²A = 1 - cos²A को प्रतिस्थापित करें: b² - a² cos²A = 1 - cos²A b² - 1 = a² cos²A - cos²A b² - 1 = cos²A (a² - 1) cos²A = (b² - 1) / (a² - 1)

व्याख्या

एक गोलाकार गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

A = 4πr²

गेंद का व्यास 28 सेमी है, जिससे त्रिज्या r 14 सेमी प्राप्त होती है।

π = 22/7 का उपयोग करते हुए, पृष्ठीय क्षेत्रफल है: A = 4 × (22/7) × 14 × 14 A = 4 × 22 × 2 × 14 A = 2464 सेमी²

चित्रकार गेंद को पेंट करने के लिए ₹2 प्रति सेमी² का शुल्क लेता है। इसलिए, पेंटिंग की कुल लागत है:

लागत = क्षेत्रफल × दर लागत = 2464 × 2 = 4928

व्याख्या

समलंब ABCD में, जहाँ AB, DC के समानांतर है, विकर्ण AC और BD बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि त्रिभुज AOB, त्रिभुज COD के समरूप है। इस समरूपता से संबंध प्राप्त होता है:

AO / OC = OB / OD

दिए गए मानों को संबंध में रखने पर:

(3x - 15) / (x - 5) = (x + 9) / 5

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

5(3x - 15) = (x - 5)(x + 9) 15x - 75 = x² + 4x - 45 x² - 11x + 30 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

(x - 5)(x - 6) = 0

इससे x के दो मान प्राप्त होते हैं:

x₁ = 5 x₂ = 6

उनके वर्गों का योगफल ज्ञात करने पर:

x₁² + x₂² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61

व्याख्या

वर्षों के दौरान चयनित उम्मीदवारों की अधिकतम औसत संख्या वाले विद्यालय का पता लगाने के लिए, हम 2012 से 2017 तक प्रत्येक विद्यालय के लिए चयनित उम्मीदवारों का योग ज्ञात करते हैं और इसे कुल वर्षों की संख्या, जो कि 6 है, से विभाजित करते हैं।

विद्यालय M के लिए: कुल चयनित = 84 + 55 + 42 + 89 + 92 + 94 = 456 औसत चयनित = 456 ÷ 6 = 76

विद्यालय N के लिए: कुल चयनित = 34 + 56 + 66 + 72 + 86 + 92 = 406 औसत चयनित = 406 ÷ 6 ≈ 67.67

विद्यालय O के लिए: कुल चयनित = 27 + 36 + 48 + 57 + 68 + 89 = 325 औसत चयनित = 325 ÷ 6 ≈ 54.17

विद्यालय P के लिए: कुल चयनित = 23 + 56 + 67 + 87 + 89 + 93 = 415 औसत चयनित = 415 ÷ 6 ≈ 69.17

औसत मानों की तुलना करने पर, विद्यालय M में 76 के साथ चयनित उम्मीदवारों की औसत संख्या सबसे अधिक है।

व्याख्या

संचालन के क्रम (BODMAS) का उपयोग करते हुए, हम पहले अंश का मूल्यांकन करते हैं: 7 + 8 × 7 - 8 + 7 - 7 + 7 = 7 + 56 - 8 + 7 - 7 + 7 = 63 - 8 + 7 - 7 + 7 = 55 + 7 = 62

434 के हर के साथ व्यंजक का मूल्यांकन: 62 ÷ 434 = 31/217

व्याख्या

हानि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: हानि = क्रय मूल्य (CP) - विक्रय मूल्य (SP)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP = ₹4,960 SP = ₹4,712

हानि = 4,960 - 4,712 = ₹248

हानि प्रतिशत का सूत्र है: हानि प्रतिशत = (हानि / CP) × 100

परिकलित हानि और CP को प्रतिस्थापित करने पर: हानि प्रतिशत = (248 / 4,960) × 100 = (1 / 20) × 100 = 5%

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि राजू और रमेश के पास कब और कब समान राशि होगी, हम एक बीजगणितीय समीकरण स्थापित कर सकते हैं जहाँ w हफ्तों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।

w हफ्तों के बाद राजू का कुल धन सूत्र द्वारा दर्शाया गया है: 11000 + 5000w

w हफ्तों के बाद रमेश का कुल धन सूत्र द्वारा दर्शाया गया है: 60000 - 2000w

उस सप्ताह का पता लगाने के लिए जब उनके पास समान राशि होगी, इन दो व्यंजकों को एक दूसरे के बराबर सेट करें: 11000 + 5000w = 60000 - 2000w

समीकरण के दोनों पक्षों में 2000w जोड़ें: 11000 + 7000w = 60000

समीकरण के दोनों पक्षों से 11000 घटाएं: 7000w = 49000

7000 से विभाजित करें: w = 7

चूंकि w एक धनात्मक पूर्णांक है, उनके पास 7 सप्ताह के बाद ठीक समान राशि होगी।

व्याख्या

पुल की लंबाई वह दूरी है जो लड़की द्वारा दिए गए समय में तय की जाती है।

सूत्र का प्रयोग करके: दूरी = गति × समय

सबसे पहले, गति को किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति मिनट में बदलें: गति = 9 किमी/घंटा = (9 × 1000) मीटर / 60 मिनट = 150 मीटर/मिनट

अगला, मीटर प्रति मिनट में गति को मिनट में समय से गुणा करके दूरी की गणना करें: दूरी = 150 मीटर/मिनट × 45 मिनट = 6750 मीटर

व्याख्या

a% और b% के दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के बाद शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन % = a + b + (ab / 100)

यहाँ, जनसंख्या पहले 16% कम हो जाती है, इसलिए a = -16। फिर जनसंख्या 21% बढ़ जाती है, इसलिए b = 21।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन % = -16 + 21 + ((-16 × 21) / 100) = 5 - (336 / 100) = 5 - 3.36 = +1.64%

चूंकि शुद्ध परिणाम सकारात्मक है, इसलिए जनसंख्या में 1.64% की शुद्ध वृद्धि हुई है।

व्याख्या

त्रिभुज XYZ में, चूँकि XY = YZ है, इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। भुजा XY के सम्मुख कोण m∠Z है, और भुजा YZ के सम्मुख कोण m∠X है। इसलिए, m∠Z = m∠X = 78°।

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: m∠X + m∠Y + m∠Z = 180°

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 78° + m∠Y + 78° = 180° 156° + m∠Y = 180° m∠Y = 180° - 156° m∠Y = 24°

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है, और इसका आयतन V = 4/3 πr³ द्वारा दिया जाता है।

दो गोलों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात है: S₁/S₂ = r₁²/r₂² = 25/36

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर उनकी त्रिज्याओं का अनुपात प्राप्त होता है: r₁/r₂ = 5/6

उनके आयतन का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात का घन होता है: V₁/V₂ = (r₁/r₂)³ = (5/6)³ = 125/216

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में परिवर्तित करके BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) लागू करें: 4 ½ = 9/2 5 ⅓ = 16/3 2 ½ = 5/2 7 ⅞ = 63/8 5 ⅑ = 46/9 9 ⁹/₂₀ = 189/20

इन विषम भिन्नों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (4/7) × (9/2) ÷ [(16/3) का (5/2)] - [(63/8) ÷ ((46/9) का (189/20))] + ½

पहले "का" संक्रियाओं का मूल्यांकन करें: पहला "का" पद: (16/3) का (5/2) = (16/3) × (5/2) = 40/3

दूसरा "का" पद: (46/9) का (189/20) = (46/9) × (189/20) = (23/1) × (21/10) = 483/10

अब इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (4/7) × (9/2) ÷ (40/3) - [(63/8) ÷ (483/10)] + ½

अगला, भाग संक्रियाओं को हल करें: पहले पद के लिए: (9/2) ÷ (40/3) = (9/2) × (3/40) = 27/80 (4/7) से गुणा करने पर: (4/7) × (27/80) = 27/140

कोष्ठक के अंदर के पद के लिए: (63/8) ÷ (483/10) = (63/8) × (10/483) = (63/483) × (10/8) = (3/23) × (5/4) = 15/92

अब इन सरलीकृत मानों को वापस प्रतिस्थापित करें: 27/140 - 15/92 + ½

इन भिन्नों को जोड़ने और घटाने के लिए, हर 140, 92, और 2 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें: 140 = 4 × 5 × 7 92 = 4 × 23 LCM(140, 92, 2) = 4 × 5 × 7 × 23 = 3220

प्रत्येक भिन्न को सामान्य हर 3220 के साथ परिवर्तित करें: 27/140 = (27 × 23) / 3220 = 621/3220 15/92 = (15 × 35) / 3220 = 525/3220 ½ = 1610/3220

अंतिम अंकगणितीय संक्रियाएँ करें: (621 - 525 + 1610) / 3220 = 1706 / 3220

परिणामी भिन्न को उसके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 2 है, से अंश और हर को विभाजित करके सरलीकृत करें: 1706 ÷ 2 = 853 3220 ÷ 2 = 1610

यह 853/1610 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए घनाभ के आयाम 3x, 4x, और 5x हैं।

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 2(lb + bh + lh) द्वारा दिया जाता है। आयामों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2((3x × 4x) + (4x × 5x) + (5x × 3x)) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(12x² + 20x² + 15x²) = 94x²

भुजा s वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 6s² होता है। 6 इकाई भुजा के लिए: घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 6² = 216

घनाभ और घन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों को बराबर करने पर: 94x² = 216 x² = 216 / 94 ≈ 2.298 x = √2.298 ≈ 1.516

घनाभ का आयतन l × b × h द्वारा दिया जाता है: आयतन = 3x × 4x × 5x = 60x³

x का मान प्रतिस्थापित करने पर: आयतन ≈ 60 × (1.516)³ ≈ 60 × 3.483 = 208.98

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर लगभग 210 प्राप्त होता है।