एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यवसाय का कुल लाभ £10,000 है। A को एक कार्यरत साझेदार के रूप में व्यवसाय के प्रबंधन के लिए इस कुल लाभ का 20% प्राप्त होता है: A के लिए प्रबंधन का हिस्सा = £10,000 का 20% = £2,000

शेष लाभ को उनकी पूंजी के अनुपात में वितरित किया जाना है: शेष लाभ = £10,000 - £2,000 = £8,000

A और B के पूंजी निवेश का अनुपात है: A : B = 30,000 : 50,000 = 3 : 5

शेष लाभ में B का हिस्सा इस प्रकार गणना की जाती है: B का हिस्सा = 8,000 × 5/(3 + 5) = 8,000 × 5/8 = £5,000

व्याख्या

सही उत्तर: C

मान लीजिए घोल का प्रारंभिक आयतन v है। चूँकि दूध की मात्रा पानी की मात्रा से दोगुनी है, दूध और पानी का अनुपात 2:1 है।

घोल में पानी का प्रारंभिक आयतन v/3 है, और दूध का प्रारंभिक आयतन 2v/3 है।

मान लीजिए x शुद्ध दूध का आयतन है जिसे घोल में मिलाया जाना है। नए घोल का कुल आयतन v + x हो जाता है।

घोल में 90% दूध होने के लिए, नए घोल का शेष 10% पानी होना चाहिए। चूँकि कोई पानी नहीं मिलाया गया था, पानी की मात्रा v/3 ही रहती है।

पानी की मात्रा के संबंध का उपयोग करते हुए: v/3 = (v + x) का 10% v/3 = (v + x)/10

हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 30 से गुणा करने पर: 10v = 3(v + x) 10v = 3v + 3x 7v = 3x x = 7v/3

इस प्रकार, मिलाए जाने वाले शुद्ध दूध का आयतन 7v/3 है।

व्याख्या

वस्तु का विक्रय मूल्य (SP) निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: SP = अंकित मूल्य (MP) × (1 - छूट %)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: SP = 450 × (1 - 0.20) SP = 450 × 0.80 = 360

विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: SP = 1.5 × CP

CP ज्ञात करने के लिए SP का मान प्रतिस्थापित करने पर: 360 = 1.5 × CP CP = 360 ÷ 1.5 CP = 240

व्याख्या

कोई संख्या 6 से विभाज्य होती है यदि वह 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो। किसी संख्या के 2 से विभाज्य होने के लिए, उसका अंतिम अंक सम होना चाहिए। किसी संख्या के 3 से विभाज्य होने के लिए, उसके अंकों का योग 3 का गुणज होना चाहिए।

संख्या 8,00,552 के लिए: इकाई का अंक 2 है, जो सम है, इसलिए संख्या 2 से विभाज्य है। अंकों का योग 8 + 0 + 0 + 5 + 5 + 2 = 20 है। चूंकि 20, 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 8,00,552, 3 से विभाज्य नहीं है। परिणामस्वरूप, यह 6 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है। इसलिए, धात्विक शंकु का आयतन N ठोस गोलों के कुल आयतन के बराबर होगा।

शंकु का आयतन = (1/3) × π × r_शंकु² × h_शंकु गोले का आयतन = (4/3) × π × r_गोला³

आयतन संरक्षण का उपयोग करके: N × (4/3) × π × r_गोला³ = (1/3) × π × r_शंकु² × h_शंकु

सामान्य पदों को रद्द करके समीकरण को सरल बनाना: 4 × N × r_गोला³ = r_शंकु² × h_शंकु N = (r_शंकु² × h_शंकु) / (4 × r_गोला³)

दिए गए मानों r_शंकु = 12 सेमी, h_शंकु = 24 सेमी, और r_गोला = 2 सेमी को समीकरण में प्रतिस्थापित करना: N = (12² × 24) / (4 × 2³) N = (144 × 24) / (4 × 8) N = 3456 / 32 N = 108

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP / MP = (100 - छूट%) / (100 + लाभ%)

प्रारंभिक मानों को सूत्र में रखने पर:

CP / MP = (100 - 25) / (100 + 80) = 75 / 180 = 5 / 12

इससे संबंध प्राप्त होता है:

MP = 2.4 × CP

जब छूट 40% होती है, तो नया विक्रय मूल्य (SP) होता है:

SP = MP का 60% = 0.6 × MP

CP के पदों में MP को प्रतिस्थापित करने पर:

SP = 0.6 × 2.4 × CP = 1.44 × CP

नया लाभ प्रतिशत है:

नया लाभ% = (SP - CP) / CP × 100 = (1.44 - 1) × 100 = 44%

व्याख्या

सफल निकासी और प्रतिस्थापन संचालन के बाद एक पात्र में मूल तरल का अंश सूत्र द्वारा दिया जाता है: शराब का शेष अंश = (1 - x₁/V) × (1 - x₂/V)

इस सूत्र में, V पीपे में शराब की प्रारंभिक मात्रा को दर्शाता है, x₁ पहली निकाली गई और प्रतिस्थापित मात्रा (75 लीटर) है, और x₂ दूसरी निकाली गई और प्रतिस्थापित मात्रा (60 लीटर) है।

शराब और पानी का अंतिम अनुपात 3:2 है, जिसका अर्थ है कि कुल मिश्रण में शराब का अंतिम अंश 3 / (3 + 2) = 3/5 है।

समीकरण स्थापित करना: (1 - 75/V) × (1 - 60/V) = 3/5

इस व्यंजक को सरल बनाना: (V - 75)(V - 60) / V² = 3/5 5(V² - 135V + 4500) = 3V² 5V² - 675V + 22500 = 3V² 2V² - 675V + 22500 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंडन: 2V² - 600V - 75V + 22500 = 0 2V(V - 300) - 75(V - 300) = 0 (2V - 75)(V - 300) = 0

इससे V = 37.5 या V = 300 प्राप्त होता है। चूँकि पीपे की मात्रा निकाली गई व्यक्तिगत मात्राओं (75 लीटर और 60 लीटर) से अधिक होनी चाहिए, पीपे में शराब की प्रारंभिक मात्रा 300 लीटर है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, हम पहले दो भिन्नात्मक पदों को मिलाते हैं:

cos A / (1 + sin A) + (1 + sin A) / cos A + 2

भिन्नों के लिए सामान्य हर लेने पर:

(cos² A + (1 + sin A)²) / (cos A (1 + sin A)) + 2

अंश का विस्तार करने पर:

(cos² A + 1 + 2 sin A + sin² A) / (cos A (1 + sin A)) + 2

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² A + sin² A = 1 का उपयोग करने पर, अंश बन जाता है:

(1 + 1 + 2 sin A) / (cos A (1 + sin A)) + 2 = (2 + 2 sin A) / (cos A (1 + sin A)) + 2

अंश में 2 को कॉमन लेने पर:

2(1 + sin A) / (cos A (1 + sin A)) + 2

अंश और हर में सामान्य पद (1 + sin A) को रद्द करने पर:

2/cos A + 2

चूंकि 1/cos A = sec A, व्यंजक सरल होकर बन जाता है:

2 sec A + 2 = 2(1 + sec A)

व्याख्या

जब दो संख्याएँ n₁ और n₂ को एक भाजक d से विभाजित किया जाता है, तो वे क्रमशः शेषफल r₁ और r₂ छोड़ती हैं। दोनों संख्याओं का योग n₁ + n₂ = q₁d + r₁ + q₂d + r₂ = (q₁ + q₂)d + (r₁ + r₂) है।

जब इस योग को उसी भाजक d से विभाजित किया जाता है, तो परिणामी शेषफल R निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है: r₁ + r₂ = d + R

यह संबंध इसलिए मान्य है क्योंकि व्यक्तिगत शेषफलों r₁ + r₂ का योग भाजक d से अधिक है, लेकिन 2d से कम है क्योंकि प्रत्येक व्यक्तिगत शेषफल d से कम है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 57 + 57 = d + 49 114 = d + 49 d = 114 - 49 d = 65

चूंकि भाजक व्यक्तिगत शेषफलों (d > 57) से बड़ा होना चाहिए, इसलिए 65 का मान सभी शर्तों के अनुरूप है।

व्याख्या

अंकित मूल्य की गणना अंतिम विक्रय मूल्य को प्रत्येक छूट के बाद शेष प्रतिशत से विभाजित करके की जा सकती है। 20 प्रतिशत छूट और 12 प्रतिशत छूट के बाद, विक्रय मूल्य 792 है, जिससे समीकरण अंकित मूल्य गुणा 0.80 गुणा 0.88 बराबर 792 बनता है, जिसके परिणामस्वरूप अंकित मूल्य 1,125 रुपये होता है।

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = 2πrh द्वारा दिया जाता है, और इसका आयतन V = πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या, ऊँचाई, CSA और आयतन क्रमशः r, h, CSA और V हैं।

दी गई शर्तों के अनुसार: नया वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, CSA' = 1.20 × CSA नई ऊँचाई, h' = 0.96 × h

CSA' के लिए संबंध का उपयोग करके: 2πr'h' = 1.20 × 2πrh r' × 0.96h = 1.20 × rh r' = (1.20 / 0.96) × r r' = 1.25 r

अब, नया आयतन V' है: V' = π(r')²h' V' = π(1.25 r)²(0.96 h) V' = π(1.5625 r²)(0.96 h) V' = 1.5625 × 0.96 × πr²h V' = 1.5 × V

आयतन में शुद्ध परिवर्तन है: ((V' - V) / V) × 100% = ((1.5 V - V) / V) × 100% = 0.5 × 100% = 50% वृद्धि।

व्याख्या

हानि प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

हानि प्रतिशत = ((क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य) / क्रय मूल्य) × 100

दिया गया है: क्रय मूल्य (CP) = ₹225 विक्रय मूल्य (SP) = ₹210

हानि = CP - SP = 225 - 210 = ₹15

हानि प्रतिशत = (15 / 225) × 100 = (1 / 15) × 100 = 20 / 3 % ≈ 6.67%

व्याख्या

सही उत्तर: D

समकोण त्रिभुजों LON और LMN में, हमें दिया गया है कि कोण LON = कोण LMN = 90° और LN उभयनिष्ठ कर्ण है। चूँकि LN, कोण OLM का कोण समद्विभाजक है, इसलिए हमारे पास कोण OLN = कोण MLN है।

कोण-कोण-भुजा (AAS) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा, त्रिभुज LON, त्रिभुज LMN के सर्वांगसम है। परिणामस्वरूप, संगत भुजाएँ बराबर हैं: LO = LM ON = MN

दिया गया है ON = 20 सेमी, इसलिए MN = 20 सेमी।

समकोण त्रिभुज LON में, हम LO ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: LN² = LO² + ON² 29² = LO² + 20² 841 = LO² + 400 LO² = 441 LO = 21 सेमी

चूँकि LM = LO है, इसलिए LM = 21 सेमी।

त्रिभुज LMN का परिमाप उसकी तीन भुजाओं का योग है: परिमाप = LM + MN + LN परिमाप = 21 + 20 + 29 = 70 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x² + 1/x²)² = x⁴ + 1/x⁴ + 2 का उपयोग करके, दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें:

(x² + 1/x²)² = 194 + 2 = 196 x² + 1/x² = √196 = 14

इसी प्रकार, सर्वसमिका (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 का उपयोग करके:

(x + 1/x)² = 14 + 2 = 16 x + 1/x = √16 = 4

अब, सूत्र x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) का उपयोग करके x³ + 1/x³ का मान ज्ञात करें:

x³ + 1/x³ = 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52

वांछित व्यंजक x³ + 1/x³ + x + 1/x है:

52 + 4 = 56

व्याख्या

जब किसी वस्तु को एक मूल्य पर बेचने पर अर्जित लाभ, उसे दूसरे मूल्य पर बेचने पर हुई हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों (SP₁ और SP₂) का अंकगणितीय माध्य होता है।

CP = (SP₁ + SP₂) / 2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP = (1600 + 1400) / 2 = 3000 / 2 = 1500

20% लाभ प्राप्त करने के लिए, आवश्यक विक्रय मूल्य है: आवश्यक SP = CP × (1 + लाभ%) आवश्यक SP = 1500 × (1 + 0.20) = 1500 × 1.2 = 1800

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए, साधारण ब्याज दोनों वर्षों में समान रूप से वितरित किया जाता है। चूंकि 2 वर्षों के लिए साधारण ब्याज ₹500 है, इसलिए पहले वर्ष के लिए साधारण ब्याज है: 500 / 2 = ₹250

2-वर्ष की अवधि में चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर है: CI - SI = 550 - 500 = ₹50

यह अंतर पहले वर्ष के ₹250 के ब्याज पर दूसरे वर्ष के दौरान अर्जित ब्याज का प्रतिनिधित्व करता है। ब्याज की दर (r) की गणना इस प्रकार की जाती है: r = (अंतर / पहले वर्ष का SI) × 100 r = (50 / 250) × 100 = 20%

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि PQ, BC के समानांतर है, मूल समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, हमारे पास है:

AP / AB = AQ / AC

माना QC की लंबाई x सेमी है। चूँकि AP = QC, इसलिए AP = x सेमी है। AC की लंबाई AQ + QC = (4 + x) सेमी है।

समानुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

x / 16 = 4 / (4 + x)

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

x(4 + x) = 64 x² + 4x - 64 = 0

x के लिए द्विघात सूत्र (quadratic formula) का उपयोग करके हल करने पर:

x = (-4 ± √(4² - 4 × 1 × (-64))) / 2 x = (-4 ± √(16 + 256)) / 2 x = (-4 ± √272) / 2 x = (-4 ± 4√17) / 2 x = -2 ± 2√17

चूँकि लंबाई एक धनात्मक मान होनी चाहिए, हम धनात्मक मूल लेते हैं:

x = 2√17 - 2

व्याख्या

दो वृत्तों के लिए जो एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं, उनकी प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा t की लम्बाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

t = 2 × √(R × r)

जहाँ R बड़े वृत्त की त्रिज्या है और r छोटे वृत्त की त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा PQ की लम्बाई 16 सेमी है और बड़े वृत्त R की त्रिज्या 20 सेमी है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

16 = 2 × √(20 × r)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर:

8 = √(20 × r)

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

64 = 20 × r

r के लिए हल करने पर:

r = 64 / 20 = 3.2 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: 5² = 15 + 2(ab + bc + ca) 25 = 15 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 10 ab + bc + ca = 5

अब, घनों के योग के लिए सर्वसमिका का प्रयोग करें: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - (ab + bc + ca))

ज्ञात मानों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें: a³ + b³ + c³ - 3abc = 5 × (15 - 5) a³ + b³ + c³ - 3abc = 5 × 10 = 50

वांछित मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से 27 घटाएं: a³ + b³ + c³ - 3abc - 27 = 50 - 27 = 23

व्याख्या

पांचों महीनों में से प्रत्येक में सर्वाधिक तापमान दर्ज करने वाले शहर का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक महीने के लिए सभी शहरों के तापमान की तुलना करते हैं:

जनवरी में, सर्वाधिक तापमान 26°C है, जो हैदराबाद द्वारा दर्ज किया गया। फरवरी में, सर्वाधिक तापमान 27°C है, जो हैदराबाद द्वारा दर्ज किया गया। मार्च में, सर्वाधिक तापमान 34°C है, जो हैदराबाद द्वारा दर्ज किया गया। अप्रैल में, सर्वाधिक तापमान 37°C है, जो हैदराबाद द्वारा दर्ज किया गया। मई में, सर्वाधिक तापमान 42°C है, जो हैदराबाद द्वारा दर्ज किया गया।

हैदराबाद ने जनवरी से मई 2022 तक हर एक महीने में सभी शहरों में सबसे अधिक तापमान दर्ज किया।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं: (x + y)² = 427 + 2 × 202 (x + y)² = 427 + 404 (x + y)² = 831 दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x + y = √831

इसी प्रकार, बीजगणितीय सर्वसमिका (x - y)² = x² + y² - 2xy का उपयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (x - y)² = 427 - 2 × 202 (x - y)² = 427 - 404 (x - y)² = 23 दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x - y = √23

(x + y)/(x - y) का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों को विभाजित करते हैं: (x + y)/(x - y) = √831 / √23

व्याख्या

अंग्रेजी का अध्ययन करने वाली लड़कियों की संख्या = 70 का 50% = 35 कंप्यूटर का अध्ययन करने वाली लड़कियों की संख्या = 90 का 40% = 36

आवश्यक अनुपात = 35 : 36

व्याख्या

अर्ध-वार्षिक संयोजन के लिए, वार्षिक ब्याज दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है। यहाँ, मूलधन P = 50000, वार्षिक दर R = 8%, और समय अवधि 1 वर्ष है।

अर्ध-वार्षिक दर r = 8% / 2 = 4% प्रति अर्ध-वर्ष, और अवधियों की संख्या n = 2 है।

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके: CI = P × ((1 + r)ⁿ - 1)

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CI = 50000 × ((1 + 0.04)² - 1) CI = 50000 × (1.04² - 1) CI = 50000 × (1.0816 - 1) CI = 50000 × 0.0816 CI = 4080

व्याख्या

त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई का सूत्र है: s = (θ / 360) × 2πr

दिया गया है: s = 16.5 सेमी θ = 22.5° π = 22 / 7

सूत्र में मान रखने पर: 16.5 = (22.5 / 360) × 2 × (22 / 7) × r

कोण भिन्न को सरल करने पर: 22.5 / 360 = 1 / 16

इसे समीकरण में वापस रखने पर: 16.5 = (1 / 16) × 2 × (22 / 7) × r 16.5 = (1 / 8) × (22 / 7) × r 16.5 = (11 / 28) × r

त्रिज्या r के लिए हल करने पर: r = (16.5 × 28) / 11 r = 1.5 × 28 r = 42

व्याख्या

A से C तक कुल विक्रय मूल्य गुणक की गणना A के लाभ और B की हानि को मिलाकर की जाती है:

गुणक = (1 + A का लाभ%) × (1 - B की हानि%) गुणक = (1 + 33/100) × (1 - 25/100) = 133/100 × 3/4 = 399/400

मान लीजिए A के लिए साइकिल का क्रय मूल्य x है। C द्वारा भुगतान की गई राशि है:

x × 399/400 = 3059 x = 3059 × 400 / 399

3059 और 399 दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 133 से विभाजित करने पर:

3059 ÷ 133 = 23 399 ÷ 133 = 3

इन मानों को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

x = 23 × 400 / 3 = 9200 / 3 = 3066 ⅔

व्याख्या

दिया गया समीकरण 4y - 4/y = 11 है।

बाईं ओर से 4 को कॉमन लेने पर: 4(y - 1/y) = 11 y - 1/y = 11/4

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (y - 1/y)² = (11/4)² y² + 1/y² - 2 = 121/16

y² + 1/y² ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर: y² + 1/y² = 121/16 + 2 y² + 1/y² = (121 + 32)/16 y² + 1/y² = 153/16

अनुचित भिन्न 153/16 को मिश्रित भिन्न में बदलने पर: 153/16 = 9 9/16

व्याख्या

y⁵ - 1/y⁵ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय संबंध का उपयोग कर सकते हैं: y⁵ - 1/y⁵ = (y² + 1/y²)(y³ - 1/y³) - (y - 1/y)

सबसे पहले, हम दिए गए y - 1/y = -9 के मान का उपयोग करके y² + 1/y² और y³ - 1/y³ के मान ज्ञात करते हैं।

y² + 1/y² = (y - 1/y)² + 2 y² + 1/y² = (-9)² + 2 = 81 + 2 = 83

y³ - 1/y³ = (y - 1/y)³ + 3(y - 1/y) y³ - 1/y³ = (-9)³ + 3(-9) = -729 - 27 = -756

अब, इन मानों को मुख्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें: y⁵ - 1/y⁵ = 83 × (-756) - (-9) y⁵ - 1/y⁵ = -62748 + 9 = -62739

व्याख्या

मान लीजिए मोबाइल का क्रय मूल्य ₹100 है। चूँकि अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 25% अधिक है, इसलिए अंकित मूल्य ₹125 है।

5% लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य ₹105 होना चाहिए।

दी गई छूट अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = 125 - 105 = ₹20

छूट प्रतिशत की गणना अंकित मूल्य पर की जाती है: छूट % = (छूट / अंकित मूल्य) × 100 = (20 / 125) × 100 = 16%

व्याख्या

विशेष रूप से nवें वर्ष में अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

Iₙ = P × r × (1 + r)ⁿ⁻¹

जहाँ: P = मूलधन = ₹50,000 r = वार्षिक ब्याज दर = 10% = 0.1 n = विशिष्ट वर्ष = 3

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

I₃ = 50,000 × 0.1 × (1 + 0.1)³⁻¹ I₃ = 5,000 × 1.1² I₃ = 5,000 × 1.21 I₃ = 6,050

इस प्रकार, तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज ₹6,050 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके, साधारण ब्याज में अंतर निम्न द्वारा दिया जाता है: ΔSI = (ΔP × R × T) / 100

यहाँ, मूल राशियों में अंतर (ΔP) 2500 - 1500 = ₹1000 है, समय (T) 3 वर्ष है, और ब्याज में अंतर (ΔSI) ₹360 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 360 = (1000 × R × 3) / 100 360 = 30 × R R = 360 / 30 R = 12%

यह प्रति वर्ष ब्याज की दर देता है।

व्याख्या

त्रिभुजाकार फूलों की क्यारी की परिधि 20 मीटर है और इसकी दो भुजाएँ 5 मीटर और 6 मीटर हैं।

तीसरी भुजा c की गणना इस प्रकार की जाती है: परिधि = a + b + c 20 = 5 + 6 + c c = 9 मीटर

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप s है: s = परिधि / 2 = 20 / 2 = 10 मीटर

हेरोन के सूत्र का उपयोग करके, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) क्षेत्रफल = √(10 × (10 - 5) × (10 - 6) × (10 - 9)) क्षेत्रफल = √(10 × 5 × 4 × 1) क्षेत्रफल = √200 क्षेत्रफल = 10√2 m²

व्याख्या

मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त का मानक समीकरण सूत्र x² + y² = r² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है।

दिए गए समीकरण x² + y² = 25 की इस मानक रूप से तुलना करने पर r² = 25 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर त्रिज्या r = 5 प्राप्त होती है।

व्याख्या

मान लीजिए B की कार्य दर 1 इकाई प्रति दिन है। चूँकि A, B की तुलना में दोगुना अच्छा कारीगर है, इसलिए A की कार्य दर 2 इकाई प्रति दिन है।

साथ में, उनकी संयुक्त कार्य दर 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन है।

वे 20 दिनों में पूरा काम पूरा करते हैं, जिसका अर्थ है कि कुल काम है: कुल काम = संयुक्त कार्य दर × समय = 3 × 20 = 60 इकाई

A को अकेले काम पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: A द्वारा लिया गया समय = कुल काम / A की कार्य दर = 60 / 2 = 30 दिन

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के बाह्य कोण का माप उसके दो सम्मुख अंतः कोणों के मापों के योग के बराबर होता है।

बाह्य कोण = 35° + 65° = 100°

व्याख्या

औसत गति का सूत्र है:

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

सबसे पहले, यात्रा के प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय ज्ञात करें।

पहले 210 किमी के लिए 70 किमी/घंटा की गति से लिया गया समय: t₁ = 210 / 70 = 3 घंटे

अगले 170 किमी के लिए 85 किमी/घंटा की गति से लिया गया समय: t₂ = 170 / 85 = 2 घंटे

अब, कुल दूरी और कुल समय की गणना करें: कुल दूरी = 210 + 170 = 380 किमी कुल समय = 3 + 2 = 5 घंटे

इन मानों को औसत गति सूत्र में रखें: औसत गति = 380 / 5 = 76 किमी/घंटा

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिकाओं sec θ = cosec(90° - θ) और tan θ = cot(90° - θ) का उपयोग करके, व्यंजक के पदों को सरल बनाया जा सकता है।

पहले पद के लिए, sec 54° = sec(90° - 36°) = cosec 36°। इसे cosec 36° से विभाजित करने पर 1 प्राप्त होता है।

दूसरे पद के लिए, tan 70° = tan(90° - 20°) = cot 20°। इसे cot 20° से विभाजित करने पर 1 प्राप्त होता है।

तीसरे पद के लिए, tan 45° का मानक मान 1 है, इसलिए 2 tan 45° = 2 × 1 = 2।

इन सरल किए गए पदों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 1 + 1 - 2 = 0

व्याख्या

चूंकि अनुपात a:b = 5:7 दिया गया है, हम सीधे व्यंजक में a = 5 और b = 7 का मान रख सकते हैं क्योंकि अनुपात में पद घात 2 के सजातीय हैं।

इन मानों को अनुपात (6a² - 2b²) : (b² - a²) में प्रतिस्थापित करने पर:

अंश पद: 6a² - 2b² = 6(5²) - 2(7²) = 6(25) - 2(49) = 150 - 98 = 52

हर पद: b² - a² = 7² - 5² = 49 - 25 = 24

अनुपात 52:24 को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 4 है, से दोनों पदों को विभाजित करके सरल बनाने पर: 52 ÷ 4 = 13 24 ÷ 4 = 6

यह 13:6 का सरलीकृत अनुपात देता है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हर के संयुग्मी (√3 + √2) से अंश और हर को गुणा करके हर का परिमेयकरण करें:

((√3 + √2) × (√3 + √2)) / ((√3 - √2) × (√3 + √2))

अंश के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab और हर के लिए (a - b)(a + b) = a² - b² लागू करने पर:

((√3)² + (√2)² + 2√(3 × 2)) / ((√3)² - (√2)²) = (3 + 2 + 2√6) / (3 - 2) = 5 + 2√6

√6 = 2.45 का मान रखने पर:

5 + 2 × 2.45 = 5 + 4.9 = 9.9

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, जब x% की वृद्धि के बाद y% की छूट दी जाती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन = x - y - xy/100

वृद्धि, x = 25, और छूट, y = 10 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध लाभ प्रतिशत = 25 - 10 - (25 × 10)/100 शुद्ध लाभ प्रतिशत = 15 - 2.5 = 12.5%

यह 12½% के बराबर है।

वैकल्पिक रूप से, यह मानते हुए कि वस्तु का क्रय मूल्य ₹100 है: अंकित मूल्य = ₹100 + ₹100 का 25% = ₹125 दी गई छूट = ₹125 का 10% = ₹12.50 विक्रय मूल्य = ₹125 - ₹12.50 = ₹112.50 लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = ₹112.50 - ₹100 = ₹12.50 लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (12.50 / 100) × 100 = 12.5% = 12½%

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, AP कोण A का समद्विभाजक है और बिंदु P पर BC पर लंबवत है। इसका मतलब है कि त्रिभुज ABP और ACP में: ∠ BAP = ∠ CAP (क्योंकि AP कोण समद्विभाजक है) AP एक उभयनिष्ठ भुजा है ∠ APB = ∠ APC = 90° (क्योंकि AP, BC पर लंबवत है)

इसलिए, कोण-भुजा-कोण (ASA) सर्वांगसमता कसौटी द्वारा त्रिभुज ABP, त्रिभुज ACP के सर्वांगसम है। इस सर्वांगसमता से, संगत भुजाएँ बराबर होती हैं: BP = PC AB = AC

दिए गए मापों का उपयोग करके, BP = PC से प्राप्त होता है: x = 3y

और AB = AC से प्राप्त होता है: 4x = 5y + 21

समीकरण 4x = 5y + 21 में x = 3y को प्रतिस्थापित करने पर: 4(3y) = 5y + 21 12y = 5y + 21 7y = 21 y = 3

y = 3 का उपयोग करके x ज्ञात करने पर: x = 3(3) = 9

(x + y) का मान ज्ञात करने पर: 9 + 3 = 12

व्याख्या

सही उत्तर: D

एक समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, sec A कर्ण और आधार का अनुपात है:

sec A = कर्ण/आधार = 17/15

माना कर्ण 17 है और आधार 15 है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, कर्ण (h), आधार (b), और लम्ब (p) के बीच संबंध है:

h² = p² + b²

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

17² = p² + 15² 289 = p² + 225 p² = 289 - 225 p² = 64 p = √64 = 8

चूंकि cot A आधार और लम्ब का अनुपात है:

cot A = आधार/लम्ब = 15/8

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ समान दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है।

सापेक्ष गति = 80 किमी/घंटा - 26 किमी/घंटा = 54 किमी/घंटा

इस गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें:

सापेक्ष गति = 54 × 5/18 = 15 मी/से

जब एक ट्रेन दूसरी ट्रेन को पूरी तरह से पार करती है तो तय की गई दूरी उनकी लंबाई के योग के बराबर होती है।

दोनों ट्रेनों की संयुक्त लंबाई = सापेक्ष गति × समय = 15 मी/से × 30 से = 450 मीटर

व्याख्या

छात्र S के लिए, भौतिकी में प्राप्त अंक 60 हैं और गणित में 78 हैं।

भौतिकी और गणित में अंकों का अनुपात है: 60 : 78 = (60 ÷ 6) : (78 ÷ 6) = 10 : 13

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sec²θ - tan²θ = 1 (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1

दिया गया है कि sec θ + tan θ = 1/√3, हमारे पास है: sec θ - tan θ = √3

इन समीकरणों को हल करने पर: 2 sec θ = √3 + 1/√3 = 4/√3 → sec θ = 2/√3 2 tan θ = 1/√3 - √3 = -2/√3 → tan θ = -1/√3

इससे प्राप्त होता है: cos θ = √3/2 cot θ = -√3

इन त्रिकोणमितीय अनुपातों के धनात्मक मान लेकर उनके योग का धनात्मक मान ज्ञात करने पर: cos θ = √3/2 cot θ = √3

इन मानों को जोड़ने पर: cot θ + cos θ = √3 + √3/2 = 3√3/2

व्याख्या

त्रिज्या r वाले एक ठोस गोले का आयतन V सूत्र V = 4/3 π r³ द्वारा दिया जाता है।

दिए गए आयतन 4500 π cm³ का उपयोग करके:

4/3 π r³ = 4500 π

दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर:

4/3 r³ = 4500

दोनों पक्षों को 3/4 से गुणा करने पर:

r³ = 4500 × 3/4 r³ = 3375

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

r = 15 cm

एक ठोस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S सूत्र S = 4 π r² द्वारा दिया जाता है। इस सूत्र में r = 15 cm का मान रखने पर:

S = 4 π × 15² S = 4 π × 225 S = 900 π cm²

व्याख्या

चौथी समानुपाती ज्ञात करने के लिए, पहले तीन दी गई संख्याओं के मानों की गणना करें:

पहली संख्या (a) = 15 का 1/3 = 1/3 × 15 = 5 दूसरी संख्या (b) = 25 का 4/5 = 4/5 × 25 = 20 तीसरी संख्या (c) = 35 का 3/7 = 3/7 × 35 = 15

मान लीजिए चौथी समानुपाती x है।

चार समानुपाती संख्याओं a, b, c, और x के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: a/b = c/x

गणना किए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 5/20 = 15/x

भिन्न को सरल करें: 1/4 = 15/x

x के लिए हल करें: x = 15 × 4 = 60

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है:

परिमाप(ΔABC) / परिमाप(ΔPQR) = BC / QR

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

36 / 23 = BC / 3.8

BC = (36 × 3.8) / 23 BC = 136.8 / 23 BC = 1368 / 230 BC = 684 / 115

इस विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर:

684 / 115 = 5 109/115 सेमी

व्याख्या

वर्ष 2016 से 2017 तक गंभीर दुर्घटनाओं में प्रतिशत कमी की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत कमी = ((प्रारंभिक मान - अंतिम मान) / प्रारंभिक मान) × 100%

दिए गए आंकड़ों से, वर्ष 2016 में गंभीर दुर्घटनाओं की संख्या 50 है, और वर्ष 2017 में गंभीर दुर्घटनाओं की संख्या 30 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत कमी = ((50 - 30) / 50) × 100% प्रतिशत कमी = (20 / 50) × 100% प्रतिशत कमी = 40%

व्याख्या

दिया गया द्विघात समीकरण है: x² - 4x - 1 = 0

पूरे समीकरण को x से विभाजित करने पर: x - 4 - 1/x = 0 x - 1/x = 4

इस समीकरण के दोनों पक्षों का बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके वर्ग करने पर: (x - 1/x)² = 4² x² + 1/x² - 2 = 16 x² + 1/x² = 18

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए: x² + 1/x² - 5

x² + 1/x² का मान प्रतिस्थापित करने पर: 18 - 5 = 13

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

मान लीजिए मूलधन P है। साधारण ब्याज P/4 है, और ब्याज दर R को 4T के रूप में दिया गया है। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

P/4 = (P × 4T × T) / 100 1/4 = 4T² / 100 16T² = 100 T² = 25/4 T = 5/2 = 2.5 वर्ष

T = 2.5 का उपयोग करके, मूल ब्याज दर R = 4 × 2.5 = 10% है।

ब्याज दर 2% बढ़ जाती है, इसलिए नई ब्याज दर R' = 10% + 2% = 12% है।

₹3,600 पर 6 वर्षों के लिए नया साधारण ब्याज इस प्रकार गणना की जाती है:

SI' = (3600 × 12 × 6) / 100 SI' = 36 × 72 = 2592