एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पहली मिश्र धातु में, एल्यूमीनियम और जिंक का अनुपात 5 : 6 है, जिससे कुल 11 भाग बनते हैं। एल्यूमीनियम की मात्रा = 242 × 5/11 = 110 किग्रा जिंक की मात्रा = 242 × 6/11 = 132 किग्रा

दूसरी मिश्र धातु में, एल्यूमीनियम और जिंक का अनुपात 3 : 5 है, जिससे कुल 8 भाग बनते हैं। एल्यूमीनियम की मात्रा = 144 × 3/8 = 54 किग्रा जिंक की मात्रा = 144 × 5/8 = 90 किग्रा

इनको मिलाकर, नई मिश्र धातु में कुल मात्राएँ हैं: कुल एल्यूमीनियम = 110 + 54 = 164 किग्रा कुल जिंक = 132 + 90 = 222 किग्रा

नई मिश्र धातु में एल्यूमीनियम और जिंक का अनुपात है: 164 : 222 = 82 : 111

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा मिलकर किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है: 1/T_together = 1/T_Sita + 1/T_Gita

यह दिया गया है कि सीता और गीता मिलकर कार्य को 4 दिनों में पूरा कर सकती हैं (T_together = 4) और सीता अकेले इसे 6 दिनों में पूरा कर सकती है (T_Sita = 6), हम गीता द्वारा अकेले लिए गए समय (T_Gita) को ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में रखते हैं: 1/4 = 1/6 + 1/T_Gita

गीता की दर के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करना: 1/T_Gita = 1/4 - 1/6

4 और 6 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), जो कि 12 है, का उपयोग करते हुए: 1/T_Gita = 3/12 - 2/12 1/T_Gita = 1/12

इससे प्राप्त होता है: T_Gita = 12 दिन

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और लाभ प्रतिशत से विक्रय मूल्य (SP) की गणना करने का सूत्र है: SP = CP × (1 + लाभ%/100)

दिए गए मान CP = ₹24,000 और लाभ% = 9% को प्रतिस्थापित करने पर: SP = 24,000 × (1 + 9/100) = 24,000 × 1.09 = ₹26,160

अंकित मूल्य (MP) और विक्रय मूल्य (SP) से छूट प्रतिशत की गणना करने का सूत्र है: छूट% = ((MP - SP) / MP) × 100

MP = ₹30,000 और SP = ₹26,160 को प्रतिस्थापित करने पर: छूट% = ((30,000 - 26,160) / 30,000) × 100 छूट% = (3,840 / 30,000) × 100 = 12.8%

व्याख्या

घनाभाकार टंकी के आयतन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × गहराई

टंकी के आयाम दिए गए हैं: लंबाई = 12 मीटर चौड़ाई = 9 मीटर गहराई = 7.5 मीटर

इन मानों को सूत्र में रखने पर: आयतन = 12 × 9 × 7.5 = 810 घन मीटर

चूंकि 1 घन मीटर 1000 लीटर के बराबर होता है: क्षमता = 810 × 1000 = 810000 लीटर

व्याख्या

तीन संख्याओं A, B, और C का औसत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: औसत = (A + B + C) / 3

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1/13 = (1/7 + 1/8 + C) / 3

दोनों पक्षों को 3 से गुणा करने पर: 3/13 = 1/7 + 1/8 + C

सबसे पहले, A और B के योग को एक सामान्य हर (common denominator) ज्ञात करके सरल करें: 1/7 + 1/8 = (8 + 7) / 56 = 15/56

अब, C के लिए हल करने हेतु इसे वापस प्रतिस्थापित करें: 3/13 = 15/56 + C C = 3/13 - 15/56

इन भिन्नों को घटाने के लिए, 13 और 56 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 13 × 56 = 728 है: C = (3 × 56 - 15 × 13) / 728 C = (168 - 195) / 728 C = -27/728

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो वह उन दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

त्रिभुज MNO में, चूँकि AB, NO के समानांतर है, तो संबंध है: MA/AN = MB/BO

इस अनुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2.5/7.5 = 2.2/BO

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर: 1/3 = 2.2/BO

BO के लिए हल करने पर: BO = 2.2 × 3 = 6.6

व्याख्या

सही उत्तर: C

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: tan²θ = sec²θ - 1

सबसे पहले, sec θ के मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलें: sec θ = 2 4/23 = (2 × 23 + 4)/23 = 50/23

अब, इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: tan²θ = (50/23)² - 1 tan²θ = 2500/529 - 1 tan²θ = (2500 - 529)/529 tan²θ = 1971/529

विषम भिन्न 1971/529 को वापस मिश्रित भिन्न में बदलें: 1971 ÷ 529 = 3 शेष 384 tan²θ = 3 384/529

व्याख्या

धारा की गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

धारा की गति = (धारा के साथ गति - धारा के प्रतिकूल गति) / 2

दिया गया है: धारा के साथ गति = 35 किमी/घंटा धारा के प्रतिकूल गति = 25 किमी/घंटा

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

धारा की गति = (35 - 25) / 2 धारा की गति = 10 / 2 धारा की गति = 5 किमी/घंटा

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि किस समुच्चय में केवल 2520 के भाजक हैं, हम 2520 का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करते हैं:

2520 = 2³ × 3² × 5¹ × 7¹

किसी भी संख्या के 2520 का भाजक होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में 2, 3, 5 और 7 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए, और इन अभाज्य गुणनखंडों की घातें 2520 के गुणनखंडन में उनकी संबंधित घातों (जो 3, 2, 1 और 1 हैं) से कम या उसके बराबर होनी चाहिए।

सही समुच्चय के अवयवों का विश्लेषण: संख्या 8 को 2³ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि 2 की घात 3 है, जो 3 से कम या उसके बराबर है, इसलिए 8, 2520 का भाजक है। संख्या 9 को 3² के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि 3 की घात 2 है, जो 2 से कम या उसके बराबर है, इसलिए 9, 2520 का भाजक है। संख्या 7 को 7¹ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि 7 की घात 1 है, जो 1 से कम या उसके बराबर है, इसलिए 7, 2520 का भाजक है।

चूंकि 8, 9 और 7 सभी 2520 के भाजक हैं, यह समुच्चय दी गई शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

माना समद्विबाहु त्रिभुज के दो बराबर कोणों में से प्रत्येक x है।

इन दो बराबर कोणों का योग x + x = 2x है।

असमान कोण इस योग का पाँच गुना है, जो 5 × 2x = 10x है।

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए, तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: x + x + 10x = 180° 12x = 180° x = 15°

व्याख्या

सही उत्तर: D

मान लीजिए माल का क्रय मूल्य CP है।

10% की हानि और 8% के लाभ के बीच का अंतर विक्रय मूल्य में कुल प्रतिशत परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, जो क्रय मूल्य का 10% + 8% = 18% है।

संबंध का उपयोग करके: विक्रय मूल्य में अंतर = CP × (लाभ% + हानि%) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 270 = CP × 18 / 100

CP के लिए हल करना: CP = 270 × 100 / 18 CP = 15 × 100 CP = 1500

व्याख्या

त्रिकोणमिति में पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके, cos θ = sin(90° - θ)।

इस व्यंजक में पदों पर इसे लागू करना: cos 65° = sin(90° - 65°) = sin 25° cos 55° = sin(90° - 55°) = sin 35°

इसके अतिरिक्त, त्रिकोणमितीय फलनों के लिए व्युत्क्रम सर्वसमिका का उपयोग करके: tan 50° cot 50° = 1

इन मानों को दिए गए व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करना: (sin 25° / sin 25°) + (sin 35° / sin 35°) - 1 = 1 + 1 - 1 = 1

व्याख्या

इनलेट पाइप की दर 1/51 प्रति घंटा है और आउटलेट पाइप की दर 1/76.5 (या 2/153) प्रति घंटा है। जब दोनों एक साथ खोले जाते हैं, तो भरने की शुद्ध दर 1/51 - 2/153 = 1/153 प्रति घंटा होती है, जिसका अर्थ है कि टंकी 153 घंटे में पूरी तरह भर जाएगी।

व्याख्या

सही उत्तर: D

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध, लाभ प्रतिशत (g) और छूट प्रतिशत (d) दिए जाने पर, सूत्र द्वारा दिया जाता है:

MP / CP = (100 + g) / (100 - d)

दिए गए मानों, g = 5 और d = 25 को प्रतिस्थापित करने पर:

MP / CP = (100 + 5) / (100 - 25) MP / CP = 105 / 75 MP / CP = 7 / 5

अंकन प्रतिशत है:

अंकन % = ((MP - CP) / CP) × 100 अंकन % = ((7 - 5) / 5) × 100 अंकन % = (2 / 5) × 100 अंकन % = 40%

व्याख्या

सह-फलन त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin(90° - θ) = cos θ का प्रयोग करके।

θ = 25° के लिए: sin 65° = sin(90° - 25°) = cos 25°

दिए गए व्यंजक में sin 65° = cos 25° को प्रतिस्थापित करने पर: (cos²25° - sin²65°) / (cos²25° + sin²65°) = (cos²25° - cos²25°) / (cos²25° + cos²25°) = 0 / (2 cos²25°) = 0

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ कर्ण वृत्त की त्रिज्या होती है, एक भुजा केंद्र से जीवा तक की लंबवत दूरी होती है, और दूसरी भुजा जीवा की लंबाई का आधा होती है।

इस समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: त्रिज्या² = (लंबवत दूरी)² + (जीवा की लंबाई का आधा)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: त्रिज्या² = 5² + 12² त्रिज्या² = 25 + 144 त्रिज्या² = 169 त्रिज्या = √169 = 13 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज दर r% प्रति वर्ष पर ₹I की t समान वार्षिक किस्तों द्वारा चुकाया गया कुल ऋण A निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

A = t × I + I × r × t × (t - 1) / 200

इस समस्या में, किस्त राशि I ₹800 है, ब्याज दर r 5% प्रति वर्ष है, और किस्तों की संख्या t 6 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

A = 6 × 800 + 800 × 5 × 6 × 5 / 200

A = 4800 + 40 × 15

A = 4800 + 600

A = 5400

इस प्रकार, चुकाई जाने वाली ऋण की राशि ₹5,400 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - 11x + 1 = 0 से, दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर: x + 1/x = 11

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 11² x² + 2 + 1/x² = 121 x² + 1/x² = 119

पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = 119² x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 14161 x⁴ + 1/x⁴ = 14159

इस समीकरण को x⁴ से गुणा करने पर: x⁸ + 1 = 14159x⁴ x⁸ - 14159x⁴ = -1

इस मान को आवश्यक व्यंजक x⁸ - 14159x⁴ + 11 में प्रतिस्थापित करने पर: -1 + 11 = 10

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)

हम a² + b² + c² के आवश्यक मान को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ac)

दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: a + b + c = 16 ab + bc + ac = 81

अब, मानों की गणना करें: a² + b² + c² = 16² - 2(81) a² + b² + c² = 256 - 162 a² + b² + c² = 94

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती (या ज्यामितीय माध्य) को वह मान x के रूप में परिभाषित किया जाता है जो अनुपात a/x = x/b को संतुष्ट करता है। यह संबंध सूत्र में सरल हो जाता है:

x = √(a × b)

दिए गए मानों, a = 3 और b = 27 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x = √(3 × 27) = √81 = 9

व्याख्या

एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

PQ = 2√(r₁ × r₂)

जहाँ r₁ और r₂ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है: r₁ = 9 सेमी r₂ = 4 सेमी

सूत्र में मान रखने पर:

PQ = 2 × √(9 × 4) PQ = 2 × √36 PQ = 2 × 6 PQ = 12 सेमी

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, x² - y² = (x - y)(x + y) का उपयोग करते हुए, मान लीजिए x = a + b + c और y = a - b + c।

सबसे पहले, पदों का योग और अंतर ज्ञात करें: x + y = (a + b + c) + (a - b + c) = 2a + 2c x - y = (a + b + c) - (a - b + c) = 2b

इन मानों को वर्गों के अंतर सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करें: (a + b + c)² - (a - b + c)² = (2b)(2a + 2c) = 4ab + 4bc

अब, मूल व्यंजक से शेष पद 4ac जोड़ें: 4ab + 4bc + 4ac = 4(ab + bc + ac)

व्याख्या

ग्राहक के लिए सर्वोत्तम छूट ज्ञात करने के लिए, हम समतुल्य एकल छूट को अधिकतम करते हैं। दो क्रमिक छूट d₁ और d₂ के लिए समतुल्य छूट का सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 है।

जब दो छूटों का योग स्थिर होता है (सभी प्रस्तावों के लिए d₁ + d₂ = 40%), तो अधिकतम छूट तब प्राप्त होती है जब गुणनफल d₁ × d₂ न्यूनतम हो।

तीसरे प्रस्ताव 35% और 5% के लिए, योग 40% है और गुणनफल 35 × 5 = 175 है। यह सभी संयोजनों में सबसे छोटा गुणनफल देता है, जिसके परिणामस्वरूप 40% - 1.75% = 38.25% की उच्चतम समतुल्य छूट प्राप्त होती है। इसलिए, तीसरा प्रस्ताव ग्राहक के लिए सबसे अधिक फायदेमंद है।

व्याख्या

मासिक घटती शेष किश्त योजना के तहत, शेष मूलधन P, मासिक किश्त E, और मासिक ब्याज दर r के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

P = E × [1 - (1 + r)⁻ⁿ] / r

यहां, कंप्यूटर का नकद मूल्य ₹39,000 है। योजना के तहत, ₹19,000 का नकद अग्रिम भुगतान किया जाता है, जिससे मासिक किश्त योजना के तहत वित्तपोषित होने वाला शेष मूलधन P = ₹19,000 रह जाता है।

मासिक किश्त E ₹4,200 है, और किश्तों की संख्या n 5 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

19,000 = 4,200 × [1 - (1 + r)⁻⁵] / r

19,000 / 4,200 = [1 - (1 + r)⁻⁵] / r

4.5238 = [1 - (1 + r)⁻⁵] / r

मासिक ब्याज दर r के लिए इस समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है:

r ≈ 0.031425 या 3.1425% प्रति माह

ब्याज की वार्षिक दर R ज्ञात करने के लिए:

R = r × 12 ≈ 3.1425% × 12 ≈ 37.71% प्रति वर्ष

व्याख्या

भविष्य की नकदी प्रवाह (cash flow) का वर्तमान मूल्य (PV) निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

PV = FV / (1 + r)ⁿ

जहाँ: FV भविष्य का मूल्य है (₹2.1 लाख) r ब्याज दर है (5% या 0.05) n वर्षों की संख्या है (2)

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

PV = 2.1 / (1 + 0.05)² PV = 2.1 / (1.05)² PV = 2.1 / 1.1025 PV ≈ 1.90476 लाख

तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर लगभग 1.905 लाख प्राप्त होता है।

व्याख्या

क्रमिक छूटों के बाद शुद्ध विक्रय मूल्य (SP) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100)

जहाँ MP 36,000 का अंकित मूल्य है, और d₁, d₂, और d₃ क्रमशः 18%, 12% और 5% की क्रमिक छूट प्रतिशत हैं।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

SP = 36000 × (1 - 18/100) × (1 - 12/100) × (1 - 5/100)

SP = 36000 × 0.82 × 0.88 × 0.95

SP = 34200 × 0.82 × 0.88

SP = 28044 × 0.88

SP = 24678.72

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण x² - 5√5 x + 1 = 0 को x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x + 1/x = 5√5

बीजगणितीय संबंध (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 का उपयोग करके, हम x + 1/x का मान प्रतिस्थापित करते हैं: (x - 1/x)² = (5√5)² - 4 (x - 1/x)² = 125 - 4 = 121 x - 1/x = 11 (धनात्मक मान लेते हुए क्योंकि विकल्प धनात्मक हैं)

अब, x³ - 1/x³ के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x)

इस सूत्र में x - 1/x = 11 प्रतिस्थापित करने पर: x³ - 1/x³ = 11³ + 3 × 11 x³ - 1/x³ = 1331 + 33 = 1364

व्याख्या

घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ a भुजा की लंबाई है।

यह देखते हुए कि आयतन 729 सेमी³ है, हम घन की भुजा की लंबाई की गणना करते हैं: a = ∛729 = 9 सेमी

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र TSA = 6a² का उपयोग करके गणना की जाती है।

पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र में भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करना: TSA = 6 × 9² = 6 × 81 = 486 सेमी²

व्याख्या

सबसे अधिक शर्ट बेचने वाली कंपनी का पता लगाने के लिए, हम पाँच हफ्तों में प्रत्येक कंपनी की बिक्री का योग ज्ञात करते हैं:

C1 की बिक्री = 190 + 225 + 240 + 215 + 205 = 1075 C2 की बिक्री = 226 + 244 + 175 + 235 + 210 = 1090 C3 की बिक्री = 184 + 214 + 235 + 260 + 265 = 1158 C4 की बिक्री = 202 + 202 + 275 + 200 + 245 = 1124

कंपनी C3 ने 1158 शर्ट बेचकर उच्चतम कुल बिक्री की है।

व्याख्या

A द्वारा अकेले काम पूरा करने में लगने वाले समय को सीधे कार्य सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

A द्वारा लिया गया समय = (T_दोनों × T_B) ÷ (T_B - T_दोनों)

यहाँ, T_दोनों A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय है (15 दिन), और T_B B द्वारा अकेले लिया गया समय है (21 दिन)।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

A द्वारा लिया गया समय = (15 × 21) ÷ (21 - 15) A द्वारा लिया गया समय = 315 ÷ 6 A द्वारा लिया गया समय = 52.5 दिन

भिन्नात्मक रूप में, 52.5 दिन 52½ दिन के बराबर है।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 132 = 2 × (22/7) × r 132 = (44/7) × r r = (132 × 7) / 44 r = 3 × 7 = 21 सेमी

वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र A = πr² है।

त्रिज्या r = 21 सेमी को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: A = (22/7) × 21² A = (22/7) × 21 × 21 A = 22 × 3 × 21 A = 1386 सेमी²

व्याख्या

किसी वस्तु की औसत गति को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है।

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

बस द्वारा तय की गई कुल दूरी है: कुल दूरी = (60 × 3) + (50 × 4) + (50 × 5) = 180 + 200 + 250 = 630 किमी

लिया गया कुल समय है: कुल समय = 3 + 4 + 5 = 12 घंटे

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत गति = 630 / 12 = 52.5 किमी/घंटा

व्याख्या

भोजन व्यवस्था के लिए व्युत्क्रम अनुपात सूत्र का उपयोग करते हुए, उपलब्ध भोजन की कुल मात्रा स्थिर रहती है, जिससे प्राप्त होता है:

M₁ × D₁ = M₂ × D₂

यहाँ, लड़कों की प्रारंभिक संख्या M₁ 70 है, और दिनों की प्रारंभिक संख्या D₁ 36 है।

जब 50 और लड़के शिविर में शामिल होते हैं, तो लड़कों की नई संख्या M₂ हो जाती है:

M₂ = 70 + 50 = 120

दिनों की नई संख्या D₂ ज्ञात करने के लिए सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

70 × 36 = 120 × D₂

D₂ = (70 × 36) / 120

D₂ = 2520 / 120

D₂ = 21 दिन

व्याख्या

फर्मा के छोटे प्रमेय (Fermat's Little Theorem) के अनुसार, किसी भी अभाज्य संख्या p और p से अविभाज्य पूर्णांक a के लिए, a⁽p-1) ≡ 1 (mod p)।

यहाँ, p = 7 और a = 3 है।

3⁶ ≡ 1 (mod 7)

हम 3⁸ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

3⁸ = 3⁶ × 3²

दोनों पक्षों पर 7 का मापांक (modulo) लेने पर:

3⁸ ≡ 1 × 3² (mod 7) 3⁸ ≡ 9 (mod 7)

चूंकि 9 को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 2 बचता है:

3⁸ ≡ 2 (mod 7)

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (θ / 360°) × π × r²

दिया गया है कि केंद्रीय कोण θ = 10° और π = 22/7 है, हम 616 cm² क्षेत्रफल का उपयोग करके समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 616 = (10 / 360) × (22 / 7) × r²

पदों को सरल करें: 616 = (1 / 36) × (22 / 7) × r² 616 = (11 / 126) × r²

r² के लिए हल करें: r² = (616 × 126) / 11 r² = 56 × 126 r² = 7056

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: r = √7056 r = 84 cm

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: √a = 3b

वर्गमूल को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (√a)² = (3b)² a = 9b²

दोनों पक्षों को b² से विभाजित करने पर: a/b² = 9

व्याख्या

a:b = c:d के रूप में समानुपात संबंध में, चरम पदों का गुणनफल माध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे सूत्र a × d = b × c द्वारा दर्शाया जाता है।

दिए गए अनुपात 2:9 = 4:x पर इस सूत्र को लागू करने पर: 2 × x = 9 × 4 2x = 36 x = 18

व्याख्या

सरल करने के लिए दिया गया व्यंजक (cot³ A - 1) / (cot A - 1) है।

घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) का उपयोग करके, हम अंश का विस्तार x = cot A और y = 1 रखकर कर सकते हैं: cot³ A - 1 = (cot A - 1)(cot² A + cot A + 1)

इस विस्तार को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (cot³ A - 1) / (cot A - 1) = (cot A - 1)(cot² A + cot A + 1) / (cot A - 1) = cot² A + cot A + 1

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² A = 1 + cot² A का उपयोग करके, हम cot² A + 1 के लिए cosec² A प्रतिस्थापित करते हैं: cot² A + cot A + 1 = (cot² A + 1) + cot A = cosec² A + cot A

व्याख्या

माना x = 0.25। दिए गए व्यंजक को x के पदों में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(x⁴ + 2x² + 1 - x²) / (x² + x + 1)

अंश को सरल करने पर: x⁴ + x² + 1

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² - x + 1)

इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (x² + x + 1)(x² - x + 1) / (x² + x + 1) = x² - x + 1

अब x = 0.25 को सरलीकृत व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (0.25)² - 0.25 + 1 = 0.0625 - 0.25 + 1 = 0.8125

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाती हैं, जिनमें से एक पर x% का लाभ और दूसरी पर x% की हानि होती है, तो कुल सौदे में हमेशा हानि होती है। शुद्ध हानि प्रतिशत का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

हानि % = x² / 100

दिए गए मान x = 20 को प्रतिस्थापित करने पर:

हानि % = 20² / 100 = 400 / 100 = 4%

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sec² θ - tan² θ = 1

इसे इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1

यह देखते हुए कि sec θ + tan θ = a है, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (sec θ - tan θ) × a = 1 sec θ - tan θ = 1/a

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: (sec θ + tan θ) + (sec θ - tan θ) = a + 1/a 2 sec θ = (a² + 1)/a sec θ = (a² + 1)/(2a)

व्याख्या

मिश्रण का विक्रय मूल्य ₹30 प्रति किग्रा है, और लाभ 10% है।

मिश्रण का क्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: क्रय मूल्य = (विक्रय मूल्य × 100) / (100 + लाभ %) क्रय मूल्य = (30 × 100) / (100 + 10) = 300/11 प्रति किग्रा

सस्ती चाय का क्रय मूल्य CP₁ = ₹26 प्रति किग्रा और महंगी चाय का क्रय मूल्य CP₂ = ₹32 प्रति किग्रा मान लीजिए।

मिश्रण के नियम के अनुसार, दोनों किस्मों को जिस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए वह है: सस्ती से महंगी का अनुपात = (CP₂ - मिश्रण का क्रय मूल्य) / (मिश्रण का क्रय मूल्य - CP₁) अनुपात = (32 - 300/11) / (300/11 - 26) अनुपात = ((352 - 300) / 11) / ((300 - 286) / 11) अनुपात = 52 / 14

दोनों पदों को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर 26:7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

तय की गई दूरी की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

दूरी = गति × समय

सबसे पहले, कार की गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में 5/18 से गुणा करके बदलें:

गति = 63 × 5/18 = 17.5 मी/से

अब, दूरी सूत्र में गति और दिए गए 10 सेकंड के समय को प्रतिस्थापित करें:

दूरी = 17.5 मी/से × 10 से = 175 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए एक पेन का क्रय मूल्य ₹1 है। चूँकि श्याम ने 16 पेन का भुगतान किया, इसलिए उसका कुल क्रय मूल्य 16 × ₹1 = ₹16 है।

उसे 4 पेन मुफ्त मिले, जिससे उसके पास कुल 20 पेन हो गए। उसने प्रत्येक पेन का अंकित मूल्य उसके क्रय मूल्य से 20% अधिक रखा।

एक पेन का अंकित मूल्य = ₹1 × 1.20 = ₹1.20

चूँकि उसने सभी 20 पेन बिना किसी छूट के इस अंकित मूल्य पर बेचे, इसलिए उसका कुल विक्रय मूल्य 20 × ₹1.20 = ₹24 है।

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ((कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य) / कुल क्रय मूल्य) × 100%

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = ((24 - 16) / 16) × 100% = (8 / 16) × 100% = 50%

व्याख्या

त्रिज्या R और r वाले दो वृत्तों के लिए एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लंबाई, जिनके केंद्र d दूरी पर हैं, सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (R - r)²)

दिया गया है: पहले वृत्त की त्रिज्या, R = 25 सेमी दूसरे वृत्त की त्रिज्या, r = 20 सेमी केंद्रों के बीच की दूरी, d = 35 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

L = √(35² - (25 - 20)²) L = √(35² - 5²) L = √((35 - 5)(35 + 5)) L = √(30 × 40) L = √1200 L = √(400 × 3) L = 20√3 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sin² θ + cos² θ = 1

एक न्यून कोण θ के लिए, sin θ धनात्मक होता है: sin θ = √(1 - cos² θ) sin θ = √(1 - (11/17)²) sin θ = √(1 - 121/289) sin θ = √(168/289) sin θ = (2√42) / 17

अब, tan θ का मान है: tan θ = sin θ / cos θ tan θ = ((2√42) / 17) / (11/17) tan θ = 2√42 / 11

व्याख्या

सही उत्तर: D

घन के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

दिए गए मानों (a - b) = 9 और (a³ - b³) = 4401 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 4401 = 9³ + 3ab(9)

चूंकि 9³ = 729: 4401 = 729 + 27ab

दोनों पक्षों से 729 घटाएं: 27ab = 4401 - 729 27ab = 3672

ab का मान ज्ञात करने के लिए 27 से भाग दें: ab = 3672 / 27 ab = 136

व्याख्या

दोनों समूहों के संयुक्त औसत वजन को ज्ञात करने के लिए, भारित औसत सूत्र का उपयोग किया जाता है:

संयुक्त औसत = (n₁ × W₁ + n₂ × W₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, समूह A में सदस्यों की संख्या का समूह B से अनुपात 1:2 है, इसलिए हम मान सकते हैं n₁ = 1 और n₂ = 2। समूह A का औसत वजन W₁ = 12 kg है, और समूह B का औसत वजन W₂ = 24 kg है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

संयुक्त औसत = (1 × 12 + 2 × 24) / (1 + 2) संयुक्त औसत = (12 + 48) / 3 संयुक्त औसत = 60 / 3 संयुक्त औसत = 20

यह 20 kg का संयुक्त औसत वजन देता है।

व्याख्या

दो कोणों के योग के साइन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

इस सूत्र में A = 60° और B = 30° प्रतिस्थापित करने पर: sin(60° + 30°) = sin 90°

चूंकि sin 90° = 1 है, इसलिए व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 का उपयोग करके, हम x = α प्रतिस्थापित करते हैं।

दिया गया है कि α + 1/α = 6।

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (α + 1/α)² = 6² α² + 1/α² + 2 = 36 α² + 1/α² = 34

अब, इस मान को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ¾(α² + 1/α²) = ¾ × 34 = 102/4 = 25.5