एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज PQR में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: P + Q + R = 180°

दिया गया संबंध है: 2R - P = Q - R

पदों को पुनर्व्यवस्थित करके R को एक तरफ समूहित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 3R = P + Q

P + Q के इस व्यंजक को कोण योग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 3R + R = 180° 4R = 180° R = 45°

दिए गए विकल्पों में, डिग्री प्रतीक को शून्य के रूप में दर्शाया गया है, जिससे कोण R का सही माप 45° (450 के रूप में दर्शाया गया) हो जाता है।

व्याख्या

दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र है:

L = √(d² - (R - r)²)

जहाँ L सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई है, d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और R तथा r दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: L = 24√7 सेमी R = 32 सेमी r = 24 सेमी

24√7 = √(d² - (32 - 24)²)

24√7 = √(d² - 8²)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (24√7)² = d² - 64 576 × 7 = d² - 64 4032 = d² - 64 d² = 4032 + 64 d² = 4096 d = √4096 d = 64 सेमी

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosecant और cotangent फलनों को इस प्रकार संबंधित करती है: cosec² B - cot² B = 1

इस सर्वसमिका के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: cot² B - cosec² B = -1

चूंकि 0 < B < 90°, cot B और cosec B दोनों वास्तविक और सु-परिभाषित हैं, जिससे यह सर्वसमिका इस सीमा के सभी मानों के लिए मान्य हो जाती है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज दर r% प्रति वर्ष पर n वर्ष बाद देय राशि A का वर्तमान मूल्य P सूत्र द्वारा दिया जाता है:

A = P(1 + r/100)ⁿ

दिया गया है: राशि (A) = 13,230 ब्याज दर (r) = 5% प्रति वर्ष समय (n) = 2 वर्ष

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

13,230 = P(1 + 5/100)² 13,230 = P(1 + 1/20)² 13,230 = P(21/20)² 13,230 = P(441/400)

P के लिए हल करने पर:

P = 13,230 × 400 / 441 P = 30 × 400 P = 12,000

इस प्रकार, वर्तमान मूल्य 12,000 है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

MP / 3420 = (100 + 15) / (100 - 31)

MP / 3420 = 115 / 69

दाहिनी ओर के भिन्न को उसके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 23 से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल बनाना:

115 / 69 = 5 / 3

अब, MP के लिए हल करना:

MP = 3420 × (5 / 3)

MP = 1140 × 5

MP = 5700

व्याख्या

कुल 44,000 रुपये का निवेश तीन शेयरों में 1:4:5 के अनुपात में विभाजित है।

अनुपात पदों का योग 1 + 4 + 5 = 10 है।

भारित औसत विधि का उपयोग करके, कुल निवेश पर समग्र लाभांश प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है:

भारित लाभांश दर = (1 × 10% + 4 × 15% + 5 × 25%) ÷ 10 भारित लाभांश दर = (10% + 60% + 125%) ÷ 10 भारित लाभांश दर = 195% ÷ 10 = 19.5%

कुल लाभांश आय ज्ञात करने के लिए, कुल निवेश का 19.5% की गणना करें:

कुल लाभांश आय = 44,000 का 19.5% कुल लाभांश आय = (19.5 ÷ 100) × 44,000 कुल लाभांश आय = 19.5 × 440 कुल लाभांश आय = 8,580

व्याख्या

सही उत्तर: B

दिया गया व्यंजक मिश्रित भिन्नों के रूप में लिखा गया है। इन मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में परिवर्तित करने पर:

1 2/5 = 7/5 2 1/3 = 7/3 4 1/3 = 13/3 2 1/2 = 5/2

व्यंजक है: 7/5 ÷ [7/3 ÷ (13/3 - (5/2 + 2/3))]

BODMAS नियम लागू करते हुए, सबसे पहले सबसे भीतरी कोष्ठक को सरल करें: 5/2 + 2/3 = (15 + 4)/6 = 19/6

अगला, मध्यवर्ती कोष्ठक को सरल करें: 13/3 - 19/6 = 26/6 - 19/6 = 7/6

अब, वर्ग कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें: 7/3 ÷ 7/6 = 7/3 × 6/7 = 2

अंत में, शेष विभाजन करें: 7/5 ÷ 2 = 7/10

व्याख्या

समान क्रय मूल्य के लिए दो विक्रय मूल्यों के बीच का संबंध विभिन्न लाभ प्रतिशत के तहत सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP₂ / SP₁ = (100 + Profit₂%) / (100 + Profit₁%)

दिए गए मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

SP₂ / 2744 = 105 / 112

105/112 भिन्न को अंश और हर दोनों को 7 से विभाजित करके सरल बनाने पर:

SP₂ / 2744 = 15 / 16

SP₂ = 2744 × 15 / 16

SP₂ = 171.5 × 15 = 2572.50

व्याख्या

कुल दूरी 12 किमी है। इस दूरी का प्रारंभिक दो-तिहाई (2/3) × 12 = 8 किमी है।

10 किमी/घंटा की गति से, इस पहले भाग को तय करने में लिया गया समय 8 / 10 = 0.8 घंटे है, जो 0.8 × 60 = 48 मिनट के बराबर है।

पूरी दूरी तय करने के लिए नियोजित कुल समय 78 मिनट है। इसलिए, यात्रा के अंतिम भाग के लिए शेष समय 78 - 48 = 30 मिनट, या 0.5 घंटे है।

तय की जाने वाली शेष दूरी कुल दूरी का अंतिम एक-तिहाई है, जो (1/3) × 12 = 4 किमी है।

इस अंतिम चरण के लिए आवश्यक गति ज्ञात करने के लिए, शेष दूरी को शेष समय से विभाजित करें: 4 / 0.5 = 8 किमी/घंटा।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + 1/x = 2 में, दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर: x² + 1 = 2x x² - 2x + 1 = 0 (x - 1)² = 0

इस द्विघात समीकरण को हल करने पर x = 1 प्राप्त होता है।

x = 1 को व्यंजक x¹⁸²³ + 1/x¹⁹²⁹ में प्रतिस्थापित करने पर: 1¹⁸²³ + 1/1¹⁹²⁹ = 1 + 1 = 2।

व्याख्या

किसी भी वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होती है।

वृत्त के व्यास d और त्रिज्या r के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: d = 2r

त्रिज्या का दिया गया मान, r = 8 सेमी, सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: d = 2 × 8 = 16 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मानों का प्रयोग करके: sin 60° = √3 / 2 sec 30° = 2 / √3 tan 45° = 1 cos 0° = 1 sec 60° = 2 sin 30° = ½

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: sin 60° sec 30° + tan 45° cos 0° + sec 60° sin 30° = (√3/2 × 2/√3) + (1 × 1) + (2 × ½) = 1 + 1 + 1 = 3

व्याख्या

मान लीजिए रूमी की प्रारंभिक आय I है।

प्रारंभिक बचत = I का 20% = 0.20 I प्रारंभिक व्यय = I का 80% = 0.80 I

30% वृद्धि के बाद नई आय = 1.30 I 40% वृद्धि के बाद नया व्यय = 1.40 × 0.80 I = 1.12 I

नई बचत = नई आय - नया व्यय नई बचत = 1.30 I - 1.12 I = 0.18 I

नाममात्र बचत में परिवर्तन प्रारंभिक बचत और नई बचत के बीच का अंतर है: 0.20 I - 0.18 I = 0.02 I

दिया गया है कि नाममात्र बचत ¥ 750 कम हो गई: 0.02 I = 750 I = 750 ÷ 0.02 = 37,500

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों का उपयोग करते हुए, sin 45° = 1/√2 और sin 30° = ½।

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: sin θ × sin 45° = sin 30° sin θ × (1/√2) = ½ sin θ = √2/2 sin θ = 1/√2

एक न्यून कोण के लिए, sin θ = 1/√(2) का अर्थ है θ = 45°।

2θ का मान ज्ञात करने पर: 2θ = 2 × 45° = 90°

व्याख्या

सही उत्तर: C

अंतिम राशि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र A = P(1 + R/100)ⁿ है, जहाँ A अंतिम राशि है, P निवेश की गई मूल राशि है, R वार्षिक ब्याज दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिया गया है: A = 82000 R = 6 n = 2

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 82000 = P(1 + 6/100)² 82000 = P(1.06)² 82000 = P × 1.1236 P = 82000 ÷ 1.1236 P ≈ 72980.15

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, अखिलेश द्वारा निवेश की गई राशि 72,980 है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) के अनुसार, वांछित सांद्रता प्राप्त करने के लिए मिलाए जाने वाले दो मिश्रणों की मात्राओं का अनुपात सीधे गणना की जा सकती है।

मान लीजिए 35% सिरप वाले पहले मिश्रण की मात्रा Q₁ है और 20% सिरप वाले दूसरे मिश्रण की मात्रा Q₂ है। अंतिम मिश्रण में सिरप की सांद्रता 24% है।

मिश्रण सूत्र का उपयोग करके: Q₁ / Q₂ = (माध्य सांद्रता - दूसरी सांद्रता) / (पहली सांद्रता - माध्य सांद्रता)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: Q₁ / Q₂ = (24 - 20) / (35 - 24) Q₁ / Q₂ = 4 / 11

यह मिश्रणों का अनुपात 4:11 देता है।

व्याख्या

त्रिज्या r और केंद्रीय कोण θ वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (θ / 360°) × π × r²

दिया गया है कि त्रिज्या r = 21 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 22.5°, और π = 22/7 है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

क्षेत्रफल = (22.5 / 360) × (22 / 7) × 21 × 21

भिन्न 22.5 / 360 को सरल करने पर 1/16 प्राप्त होता है:

क्षेत्रफल = (1 / 16) × (22 / 7) × 21 × 21

क्षेत्रफल = (1 / 16) × 22 × 3 × 21

क्षेत्रफल = (11 / 8) × 63

क्षेत्रफल = 693 / 8

क्षेत्रफल = 86.625 वर्ग सेमी

इसे 86.6250 वर्ग सेमी के रूप में अनुगामी शून्य के साथ लिखा जा सकता है।

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के वास्तविक और समान मूल होने के लिए, उसका विविक्तकर शून्य के बराबर होना चाहिए।

विविक्तकर का सूत्र है: D = b² - 4ac = 0

दिए गए समीकरण 3x² + 2kx + 3 = 0 की मानक रूप से तुलना करने पर, गुणांक हैं: a = 3 b = 2k c = 3

इन मानों को विविक्तकर सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (2k)² - 4 × 3 × 3 = 0 4k² - 36 = 0 4k² = 36 k² = 9 k = ±3

चूंकि प्रश्न k के धनात्मक मान को निर्दिष्ट करता है, हमें k = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए एक वस्तु का क्रय मूल्य CP है और एक वस्तु का विक्रय मूल्य SP है।

प्रश्न के अनुसार, 34 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 38 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है: 34 × SP = 38 × CP

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात प्राप्त होता है: SP / CP = 38 / 34 = 19 / 17

इसका मतलब है कि यदि क्रय मूल्य 17 इकाई है, तो विक्रय मूल्य 19 इकाई है, जिससे लाभ होता है: 19 - 17 = 2 इकाई

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (लाभ / CP) × 100 लाभ % = (2 / 17) × 100 = 200 / 17 %

200 / 17 को मिश्रित भिन्न में बदलना: 200 ÷ 17 = 11 शेष 13 के साथ, जो 11 13/17 % है।

व्याख्या

दिए गए बीजीय व्यंजक को सबसे पहले महत्तम समापवर्तक (GCD) 2 को बाहर निकालकर गुणनखंडित करें:

2x² - 32 = 2(x² - 16)

इसके बाद, वर्गों के अंतर का सूत्र, a² - b² = (a + b)(a - b) लागू करें, जहाँ a = x और b = 4:

x² - 16 = x² - 4² = (x + 4)(x - 4)

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

2(x + 4)(x - 4)

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग ABCD की भुजा की लंबाई s है। चूँकि ABCD एक वर्ग है, इसलिए भुजाओं की लंबाई AB = BC = CD = DA = s है, और आंतरिक कोण ∠ADC = ∠BCD = 90° हैं।

क्योंकि त्रिभुज DEC समबाहु है, हमारे पास DE = EC = CD = s है, और आंतरिक कोण ∠EDC = ∠ECD = ∠DEC = 60° हैं।

अब, त्रिभुज ADE पर विचार करें। भुजा AD = s और भुजा DE = s है, जिससे त्रिभुज ADE एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है जिसमें AD = DE है। कोण ∠ADE की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ADE = ∠ADC - ∠EDC = 90° - 60° = 30°

चूँकि त्रिभुज ADE समद्विबाहु है, कोण ∠DAE और ∠AED बराबर हैं। त्रिभुज ADE के कोण योग गुण का उपयोग करके: ∠ADE + ∠DAE + ∠AED = 180° 30° + 2 × ∠AED = 180° 2 × ∠AED = 150° ∠AED = 75°

समरूपता से, समद्विबाहु त्रिभुज BCE में जहाँ BC = CE = s है, कोण ∠BCE है: ∠BCE = ∠BCD - ∠ECD = 90° - 60° = 30° इससे ∠BEC = 75° प्राप्त होता है।

बिंदु E के चारों ओर कोणों का योग 360° है: ∠DEC + ∠AED + ∠BEC + ∠AEB = 360° 60° + 75° + 75° + ∠AEB = 360° 210° + ∠AEB = 360° ∠AEB = 150°

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का प्रयोग करते हुए, जहाँ a = x और b = 1/x है, हमारे पास है:

(x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2(x)(1/x) (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2

दिए गए मान x - 1/x = 0.4 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(0.4)² = x² + 1/x² - 2 0.16 = x² + 1/x² - 2

लक्ष्य पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ें:

x² + 1/x² = 2 + 0.16 x² + 1/x² = 2.16

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ कर्ण त्रिज्या (r = 13 सेमी) है, एक भुजा केंद्र से लंबवत दूरी (d = 5 सेमी) है, और दूसरी भुजा जीवा की आधी लंबाई (L/2) है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: (L/2)² = r² - d²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (L/2)² = 13² - 5² (L/2)² = 169 - 25 (L/2)² = 144 L/2 = √144 = 12

जीवा की कुल लंबाई के लिए हल करने पर: L = 12 × 2 = 24 सेमी

व्याख्या

कुल कार्य 6 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो 12 इकाई है।

A की दक्षता = 12 ÷ 6 = 2 इकाई प्रति दिन। B की दक्षता = 12 ÷ 4 = 3 इकाई प्रति दिन।

पहले 2 दिनों में A द्वारा अकेले किया गया कार्य = 2 दिन × 2 इकाई प्रति दिन = 4 इकाई। शेष कार्य = 12 - 4 = 8 इकाई।

2 दिनों के बाद, B, A के साथ शामिल हो जाता है, जिससे उनकी संयुक्त दक्षता 2 + 3 = 5 इकाई प्रति दिन हो जाती है। शेष कार्य को समाप्त करने के लिए दोनों द्वारा लिया गया समय = 8 ÷ 5 = 1 ⅗ दिन।

पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया कुल समय = 2 दिन + 1 ⅗ दिन = 3 ⅗ दिन।

व्याख्या

मान लीजिए पुत्र की वर्तमान आयु 's' है। चूँकि पिता की वर्तमान आयु उसके पुत्र की आयु की दोगुनी है, इसलिए पिता की वर्तमान आयु 2s है।

8.5 वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात 7 : 4 हो जाता है। इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

(2s + 8.5) / (s + 8.5) = 7 / 4

s के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर:

4 × (2s + 8.5) = 7 × (s + 8.5)

8s + 34 = 7s + 59.5

s = 59.5 - 34

s = 25.5

पुत्र की वर्तमान आयु 25.5 वर्ष है।

व्याख्या

दिए गए संबंध से: x + 1/x = 5

हम दूसरे और तीसरे घात के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके पांचवीं घातों के आवश्यक योग को ज्ञात कर सकते हैं।

दूसरे घात के लिए: x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 x² + 1/x² = 5² - 2 = 23

तीसरे घात के लिए: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) x³ + 1/x³ = 5³ - 3(5) = 125 - 15 = 110

पांचवीं घात दूसरे और तीसरे घातों के गुणनफल का उपयोग करके प्राप्त की जाती है: x⁵ + 1/x⁵ = (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) - (x + 1/x)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x⁵ + 1/x⁵ = 23 × 110 - 5 x⁵ + 1/x⁵ = 2530 - 5 = 2525

व्याख्या

सबसे बड़ी 6-अंकीय संख्या 999999 है।

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे 999999 में जोड़ा जाना चाहिए ताकि यह 294 से पूरी तरह विभाज्य हो जाए, 999999 को 294 से विभाजित करें:

999999 ÷ 294 = 3401 शेषफल 105 के साथ

जोड़ी जाने वाली आवश्यक संख्या भाजक और शेषफल के बीच का अंतर है:

आवश्यक संख्या = 294 - 105 = 189

व्याख्या

अधिकतम छूट वाली योजना ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक के लिए प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना करते हैं:

योजना (i) के लिए, 20% और 10% की दो क्रमिक छूटों की प्रभावी छूट 20 + 10 - (20 × 10)/100 = 28% है।

योजना (ii) के लिए, छूट 10% है।

योजना (iii) के लिए, 8 खरीदें और 4 मुफ्त पाएं ऑफर का मतलब है कि कुल 12 वस्तुओं में से 4 वस्तुएं मुफ्त हैं, जिससे (4/12) × 100 = 33.33% की छूट मिलती है।

योजना (iv) के लिए, 9 खरीदें और 6 मुफ्त पाएं ऑफर का मतलब है कि कुल 15 वस्तुओं में से 6 वस्तुएं मुफ्त हैं, जिससे (6/15) × 100 = 40% की छूट मिलती है।

इन मानों की तुलना करने पर, योजना (iv) 40% की अधिकतम छूट प्रदान करती है।

व्याख्या

जब एक ठोस आयताकार ब्लॉक को पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया जाता है, तो धातु का आयतन स्थिर रहता है।

घनाभ का आयतन = गोले का आयतन L × B × H = 4/3 × π × r³

ब्लॉक के आयामों (लंबाई 88 सेमी, चौड़ाई 21 सेमी और ऊंचाई 21 सेमी) और π = 22/7 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

88 × 21 × 21 = 4/3 × 22/7 × r³ 88 × 21² = 88/21 × r³

दोनों पक्षों को 88 से विभाजित करने पर:

21² = r³ / 21 r³ = 21³ r = 21 सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (P), और छूट प्रतिशत (D) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: CP = ₹5,600 P = 15 D = 20

MP / 5600 = (100 + 15) / (100 - 20) MP / 5600 = 115 / 80 MP = 5600 × 115 ÷ 80 MP = 70 × 115 MP = 8,050

व्याख्या

उन स्कूलों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें ट्यूशन शुल्क, गतिविधि शुल्क के चार गुना से कम है, हम प्रत्येक स्कूल के लिए ट्यूशन शुल्क की तुलना गतिविधि शुल्क के चार गुना से करते हैं।

स्कूल P के लिए, ट्यूशन शुल्क 120 है और गतिविधि शुल्क 24 है। गतिविधि शुल्क का चार गुना 4 × 24 = 96 है। चूँकि 120, 96 से कम नहीं है, स्कूल P शर्त को पूरा नहीं करता है।

स्कूल Q के लिए, ट्यूशन शुल्क 60 है और गतिविधि शुल्क 12 है। गतिविधि शुल्क का चार गुना 4 × 12 = 48 है। चूँकि 60, 48 से कम नहीं है, स्कूल Q शर्त को पूरा नहीं करता है।

स्कूल R के लिए, ट्यूशन शुल्क 210 है और गतिविधि शुल्क 45 है। गतिविधि शुल्क का चार गुना 4 × 45 = 180 है। चूँकि 210, 180 से कम नहीं है, स्कूल R शर्त को पूरा नहीं करता है।

स्कूल S के लिए, ट्यूशन शुल्क 90 है और गतिविधि शुल्क 24 है। गतिविधि शुल्क का चार गुना 4 × 24 = 96 है। चूँकि 90 < 96, स्कूल S शर्त को पूरा करता है।

स्कूल T के लिए, ट्यूशन शुल्क 120 है और गतिविधि शुल्क 30 है। गतिविधि शुल्क का चार गुना 4 × 30 = 120 है। चूँकि 120, 120 के बराबर है और उससे कम नहीं है, स्कूल T शर्त को पूरा नहीं करता है।

इस प्रकार, केवल एक स्कूल (S) आवश्यक शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

जब ट्रेन विपरीत दिशा में चलने वाले व्यक्ति को पार करती है, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

v_सापेक्ष = 26.5 किमी/घंटा + 5 किमी/घंटा = 31.5 किमी/घंटा

इस सापेक्ष गति को 5/18 से गुणा करके मीटर प्रति सेकंड में बदलें:

v_सापेक्ष = 31.5 × 5/18 = 8.75 मीटर/सेकंड

व्यक्ति को पार करने के लिए तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई, L के बराबर होती है।

L = सापेक्ष गति × समय = 8.75 मीटर/सेकंड × 12 सेकंड = 105 मीटर

जब ट्रेन प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई, P का योग होती है। मीटर प्रति सेकंड में ट्रेन की गति है:

v_ट्रेन = 26.5 × 5/18 = 132.5/18 मीटर/सेकंड

प्लेटफॉर्म को पार करने के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए:

L + P = v_ट्रेन × समय

105 + P = (132.5/18) × 18

105 + P = 132.5

P = 132.5 - 105 = 27.5 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए हर्षा की प्रारंभिक आय 100 है।

चूंकि उसका व्यय उसकी आय का 45% है: प्रारंभिक व्यय = 45 प्रारंभिक बचत = आय - व्यय = 100 - 45 = 55

जब उसकी आय में 15% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 × 1.15 = 115

चूंकि बचत की राशि समान रहती है, उसकी नई बचत अभी भी 55 है। नया व्यय = नई आय - बचत = 115 - 55 = 60

व्यय में वृद्धि = 60 - 45 = 15

व्यय में प्रतिशत वृद्धि = (व्यय में वृद्धि / प्रारंभिक व्यय) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (15 / 45) × 100 = (1/3) × 100 = 33.33%

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(a³ + b³) / (a² - ab + b²) = a + b

दिए गए व्यंजक में, मान लीजिए a = 0.96 और b = 0.04। व्यंजक इस रूप से बिल्कुल मेल खाता है:

अंश = 0.96³ + 0.04³ हर = 0.96² - 0.96 × 0.04 + 0.04²

इन मानों को सरलीकृत सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

0.96 + 0.04 = 1

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, अंश का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

इसी प्रकार, हर में पदों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है: (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² = x² - 2xy + y² + y² - 2yz + z² + z² - 2zx + x² = 2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx = 2(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

दिए गए भिन्न में इन विस्तारों को प्रतिस्थापित करने पर: [(x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)] / [2(x² + y² + z² - xy - yz - zx)]

अंश और हर दोनों से सामान्य गैर-शून्य पद (x² + y² + z² - xy - yz - zx) को रद्द करने पर व्यंजक सरल हो जाता है: ½ (x + y + z)

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम सूत्र के अनुसार: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

दिया गया है कि शेषफल 44 है: भाजक = 5 × शेषफल = 5 × 44 = 220

भाजक और भागफल के बीच संबंध का उपयोग करके: भाजक = 11 × भागफल 220 = 11 × भागफल भागफल = 220 ÷ 11 = 20

इन मानों को विभाजन एल्गोरिथम सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करना: भाज्य = 220 × 20 + 44 भाज्य = 4400 + 44 भाज्य = 4444

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का मध्य समानुपाती √(ab) सूत्र द्वारा दिया जाता है।

संख्याओं 7 और 63 के लिए: मध्य समानुपाती = √(7 × 63) मध्य समानुपाती = √(7 × 7 × 9) मध्य समानुपाती = 7 × 3 = 21

24 और इस मध्य समानुपाती के बीच का अंतर है: अंतर = 24 - 21 = 3

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिकाओं sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ का प्रयोग करके:

भिन्न के अंश के लिए: sin² 58° = sin²(90° - 32°) = cos² 32° अतः, sin² 32° + sin² 58° = sin² 32° + cos² 32° = 1

भिन्न के हर के लिए: cos² 58° = cos²(90° - 32°) = sin² 32° अतः, cos² 32° + cos² 58° = cos² 32° + sin² 32° = 1

इस प्रकार, भिन्न पद सरल होकर बनता है: 1 / 1 = 1

शेष पदों के लिए: sin 37° = sin(90° - 53°) = cos 53° अतः, sin² 53° + cos 53° sin 37° = sin² 53° + cos² 53° = 1

दोनों भागों को मिलाकर: 1 + 1 = 2

व्याख्या

चूंकि खंभा और मीनार एक ही समय में छाया डाल रहे हैं, इसलिए प्रत्येक वस्तु की ऊँचाई का उसकी छाया की लंबाई से अनुपात स्थिर रहता है क्योंकि सूर्य का उन्नयन कोण समान होता है।

खंभे की ऊँचाई / खंभे की छाया की लंबाई = मीनार की ऊँचाई / मीनार की छाया की लंबाई

संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

42 / 35 = मीनार की ऊँचाई / 25

बाईं ओर के भिन्न को सरल बनाने पर:

6 / 5 = मीनार की ऊँचाई / 25

मीनार की ऊँचाई = (6 / 5) × 25 = 30 मी

व्याख्या

चतुर्भुज OMTN में, TM और TN क्रमशः बिंदु M और N पर वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं, जहाँ O वृत्त का केंद्र है। चूँकि वृत्त के केंद्र से स्पर्शरेखा के संपर्क बिंदु तक की त्रिज्या हमेशा स्पर्शरेखा के लंबवत होती है, इसलिए कोण ∠OMT और ∠ONT दोनों 90° के बराबर होते हैं।

चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। इसे चतुर्भुज OMTN पर लागू करने पर:

∠MTN + ∠OMT + ∠MON + ∠ONT = 360°

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

∠MTN + 90° + 105° + 90° = 360°

∠MTN + 285° = 360°

∠MTN = 360° - 285° = 75°

व्याख्या

कुल क्रय मूल्य डिब्बों के खरीद मूल्य और परिवहन शुल्क का योग है: कुल क्रय मूल्य = (10 डिब्बे × ₹2,000/डिब्बा) + ₹1,000 = ₹21,000

खरीदे गए अंगूरों का कुल वजन = 10 × 20 किग्रा = 200 किग्रा क्षति के बाद शेष वजन = 200 किग्रा - 10 किग्रा = 190 किग्रा

20 किलोग्राम के प्रति डिब्बे के लिए ₹2,500 का विक्रय मूल्य प्रति किलोग्राम की दर से है: प्रति किलोग्राम विक्रय मूल्य = ₹2,500 / 20 किग्रा = ₹125/किग्रा

शेष अंगूरों के लिए कुल विक्रय मूल्य: कुल विक्रय मूल्य = 190 किग्रा × ₹125/किग्रा = ₹23,750

लाभ = कुल विक्रय मूल्य - कुल क्रय मूल्य लाभ = ₹23,750 - ₹21,000 = ₹2,750

व्याख्या

शांत जल में जहाज की गति उसकी अनुप्रवाह गति और उर्ध्वप्रवाह गति का औसत होती है।

शांत जल में गति = (अनुप्रवाह गति + उर्ध्वप्रवाह गति) / 2

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

शांत जल में गति = (18 + 16) / 2 = 34 / 2 = 17 किमी/घंटा

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित किया जाता है, तो वार्षिक ब्याज दर आधी हो जाती है और रूपांतरण अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

अर्ध-वार्षिक ब्याज दर R = 10% ÷ 2 = 5% अर्ध-वार्षिक अवधियों की संख्या n = 2 × 2 = 4

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: CI = P × ((1 + R/100)ⁿ - 1)

सूत्र में मान रखने पर: CI = 1,60,000 × ((1 + 5/100)⁴ - 1) CI = 1,60,000 × ((21/20)⁴ - 1) CI = 1,60,000 × (194,481/160,000 - 1) CI = 1,60,000 × (34,481/160,000) CI = 34,481

व्याख्या

छूट की दर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) ÷ अंकित मूल्य × 100%

दिया गया है: अंकित मूल्य = 90 विक्रय मूल्य = 78

छूट = 90 - 78 = 12

छूट प्रतिशत = (12 ÷ 90) × 100% = 13.33%

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cosec²θ - cot²θ = 1 cot²θ = cosec²θ - 1

cosec²θ - 1 पद को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: cot²θ = (cosec θ - 1)(cosec θ + 1)

हम 1/sinθ को cosec θ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसे और cot²θ के गुणनखंडित रूप को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cosec θ - cot²θ / (1 + cosec θ) = cosec θ - (cosec θ - 1)(cosec θ + 1) / (cosec θ + 1)

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ गुणनखंड (cosec θ + 1) को रद्द करने पर: = cosec θ - (cosec θ - 1) = cosec θ - cosec θ + 1 = 1

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को पूरक कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: sin(90° - θ) = cos(θ), sec(90° - θ) = cosec(θ), और tan(90° - θ) = cot(θ)।

पहले पद के लिए: sin(58°) / cos(32°) = sin(58°) / cos(90° - 58°) = sin(58°) / sin(58°) = 1

दूसरे पद के लिए: अंश sin(55°) sec(35°) = sin(55°) sec(90° - 55°) = sin(55°) cosec(55°) = sin(55°) × (1 / sin(55°)) = 1

हर tan(5°) tan(45°) tan(85°) = tan(5°) × 1 × tan(90° - 5°) = tan(5°) cot(5°) = tan(5°) × (1 / tan(5°)) = 1

इन मानों को दूसरे पद में वापस रखने पर 1 / 1 = 1 प्राप्त होता है।

दोनों सरलीकृत पदों को एक साथ जोड़ने पर: 1 + 1 = 2

व्याख्या

घन की भुजा a = 3 ½ सेमी है, जो 7/2 सेमी के बराबर है।

इस घन से काटे जा सकने वाले सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु के लिए, उसके आधार का व्यास घन की भुजा के बराबर होता है, और उसकी ऊँचाई भी घन की भुजा के बराबर होती है।

शंकु की त्रिज्या, r = a/2 = (7/2) / 2 = 7/4 सेमी शंकु की ऊँचाई, h = a = 7/2 सेमी

शंकु के आयतन का सूत्र है: V = ⅓ × π × r² × h

π = 22/7 के साथ मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = ⅓ × 22/7 × (7/4)² × 7/2 V = ⅓ × 22/7 × 49/16 × 7/2 V = (11 × 49) / 48 V = 539 / 48 V ≈ 11.229 सेमी³

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, सबसे बड़े शंकु का आयतन 11.23 सेमी³ है।

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या R है। चूँकि व्यास PQ जीवा RS पर लंबवत है और इसे T पर प्रतिच्छेद करता है, PQ, RS को समद्विभाजित करता है। इसलिए, RT = TS = RS / 2 = 16 / 2 = 8 सेमी।

चूँकि O वृत्त का केंद्र है, त्रिज्या OQ = R और OR = R है। खंड OT को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: OT = OQ - QT = R - 4

समकोण त्रिभुज OTR में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: OR² = OT² + RT² R² = (R - 4)² + 8² R² = R² - 8R + 16 + 64 8R = 80 R = 10 सेमी

वृत्त का व्यास 2R = 2 × 10 = 20 सेमी है।

वैकल्पिक रूप से, लंबवत जीवाओं PQ और RS के लिए प्रतिच्छेदित जीवाओं प्रमेय का उपयोग करके जो T पर प्रतिच्छेद करती हैं: PT × QT = RT × TS PT × 4 = 8 × 8 PT = 16 सेमी

व्यास PQ = PT + QT = 16 + 4 = 20 सेमी है।

व्याख्या

गेहूँ के औसत उत्पादन और दालों के औसत उत्पादन के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, हम पहले चार वर्षों में प्रत्येक फसल के औसत उत्पादन की गणना करते हैं।

गेहूँ का कुल उत्पादन = 720 + 680 + 790 + 690 = 2880 टन गेहूँ का औसत उत्पादन = 2880 ÷ 4 = 720 टन

दालों का कुल उत्पादन = 410 + 380 + 320 + 250 = 1360 टन दालों का औसत उत्पादन = 1360 ÷ 4 = 340 टन

दो औसत के बीच का अंतर = 720 - 340 = 380 टन

व्याख्या

(x-2)³ - 1/(x-2)³ का मान ज्ञात करने के लिए, y = x - 2 प्रतिस्थापित करें, जिससे x = y + 2 प्राप्त होता है।

x = y + 2 को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (y + 2) - 1/y = 7 y - 1/y = 5

घन के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: y³ - 1/y³ = (y - 1/y)³ + 3(y - 1/y)

y - 1/y = 5 के मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: y³ - 1/y³ = 5³ + 3(5) y³ - 1/y³ = 125 + 15 y³ - 1/y³ = 140