एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए माल का क्रय मूल्य CP = 100 है।

दुकानदार माल का अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 80% अधिक रखता है, इसलिए अंकित मूल्य है: MP = 100 × (1 + 80/100) = 180

इस अंकित मूल्य पर 48% की छूट दी जाती है, जिससे विक्रय मूल्य प्राप्त होता है: SP = 180 × (1 - 48/100) SP = 180 × 52/100 = 93.6

हानि प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: Loss% = (CP - SP)/CP × 100 Loss% = (100 - 93.6)/100 × 100 = 6.4%

दशमलव को मिश्रित भिन्न में बदलना: 6.4% = 6 + 4/10% = 6 2/5 %

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से सख्ती से अधिक होना चाहिए। a, b, और S लंबाई वाली भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए, यह संबंध इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

|a - b| < S < a + b

दी गई भुजाओं की लंबाई 9 और 24 को असमानता में प्रतिस्थापित करने पर:

|24 - 9| < S < 24 + 9

15 < S < 33

यह असमानता त्रिभुज की तीसरी भुजा S की गणितीय रूप से अनुमेय सीमा को परिभाषित करती है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

दिया गया समीकरण है: 2x + 2/x = 5

पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर: x + 1/x = 5/2

घन के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)

x + 1/x = 5/2 के मान को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: x³ + 1/x³ = (5/2)³ - 3(5/2) x³ + 1/x³ = 125/8 - 15/2 x³ + 1/x³ = 125/8 - 60/8 x³ + 1/x³ = 65/8

अब, x³ + 1/x³ + 2 का मान ज्ञात करने के लिए, प्राप्त मान में 2 जोड़ें: x³ + 1/x³ + 2 = 65/8 + 2 x³ + 1/x³ + 2 = (65 + 16)/8 x³ + 1/x³ + 2 = 81/8

व्याख्या

नई मासिक बचत की गणना निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

बचत = आय - व्यय

भूषण की मूल मासिक आय = ₹45,000 चूंकि उसकी आय में 22% की वृद्धि होती है, नई मासिक आय है: नई आय = 45,000 × (1 + 22/100) = 45,000 × 1.22 = ₹54,900

भूषण का मूल मासिक व्यय = ₹33,000 चूंकि उसके व्यय में 11% की वृद्धि होती है, नया मासिक व्यय है: नया व्यय = 33,000 × (1 + 11/100) = 33,000 × 1.11 = ₹36,630

नई मासिक बचत प्राप्त करने के लिए नई आय से नए व्यय को घटाने पर: नई बचत = 54,900 - 36,630 = ₹18,270

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं:

(x + 1/x)² = 7²

बायां पक्ष विस्तारित करने पर:

x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 49

x² + 2 + 1/x² = 49

दोनों पक्षों से 2 घटाने पर प्राप्त होता है:

x² + 1/x² = 49 - 2

x² + 1/x² = 47

व्याख्या

संकेंद्रित वृत्तों में, छोटे वृत्त की त्रिज्या जो स्पर्श बिंदु तक खींची जाती है, बड़े वृत्त की स्पर्श जीवा पर लंबवत होती है और उसे समद्विभाजित करती है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण बड़े वृत्त की त्रिज्या (R = 13 सेमी) है, एक भुजा छोटे वृत्त की त्रिज्या (r = 12 सेमी) है, और दूसरी भुजा जीवा की लंबाई का आधा (L/2) है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: (L/2)² = R² - r² (L/2)² = 13² - 12² (L/2)² = 169 - 144 = 25 L/2 = √25 = 5 सेमी

जीवा की कुल लंबाई L है: L = 2 × 5 = 10 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण से: sin A + sin² A = 1 sin A = 1 - sin² A

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं: sin A = cos² A

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है: sin² A = cos⁴ A

व्यंजक cos² A + cos⁴ A का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन संबंधों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: cos² A + cos⁴ A = sin A + sin² A

चूंकि यह दिया गया है कि sin A + sin² A = 1, इसलिए हमारे पास है: cos² A + cos⁴ A = 1

व्याख्या

सभी 6 परिवार के सदस्यों की वर्तमान आयु का योग सदस्यों की संख्या को उनकी औसत आयु से गुणा करके निकाला जाता है: 6 × 25 = 150 वर्ष।

सभी की आयु 4 वर्ष पहले, जो कि सबसे छोटे सदस्य के जन्म से ठीक पहले का समय है, का योग ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक 6 सदस्यों के लिए 4 वर्ष घटाते हैं: 150 - (6 × 4) = 150 - 24 = 126 वर्ष।

सबसे छोटे सदस्य के जन्म से ठीक पहले, परिवार में केवल 5 सदस्य थे। इसलिए, उस समय परिवार की औसत आयु 4 वर्ष पहले उनकी आयु का योग को 5 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: 126 / 5 = 25.2 वर्ष।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sin² θ + cos² θ = 1

cos θ = -9/17 के लिए, जो cos θ < 0 की शर्त को संतुष्ट करता है: sin² θ = 1 - (-9/17)² sin² θ = 1 - 81/289 sin² θ = (289 - 81) / 289 sin² θ = 208/289

व्याख्या

दी गई तालिका से, कॉलेज A में वाणिज्य का अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या 520 है, कॉलेज B में 550 है, कॉलेज C में 515 है, और कॉलेज D में 690 है। इन मानों की तुलना करने पर, 515 सबसे छोटी संख्या है, जो कॉलेज C के अनुरूप है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = 1/3 × π × r² × h

आधार व्यास 42 सेमी का उपयोग करके, आधार की त्रिज्या r है: r = 42 / 2 = 21 सेमी

शंकु की ऊँचाई h 24 सेमी है।

इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 1/3 × 22/7 × 21 × 21 × 24 V = 22 × 21 × 24 V = 11088 सेमी³

व्याख्या

एक बेईमान डीलर के लिए, लाभ प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (वास्तविक वजन - त्रुटिपूर्ण वजन) / त्रुटिपूर्ण वजन × 100%

दिया गया है: वास्तविक वजन = 1000 ग्राम त्रुटिपूर्ण वजन = 920 ग्राम

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

लाभ % = (1000 - 920) / 920 × 100% लाभ % = 80 / 920 × 100% लाभ % = 200 / 23 % लाभ % ≈ 8.70%

व्याख्या

कुल कार्य 15 और 25 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो कि 75 इकाई है।

A की दक्षता = 75 ÷ 15 = 5 इकाई प्रति दिन B की दक्षता = 75 ÷ 25 = 3 इकाई प्रति दिन

A और B की संयुक्त दक्षता = 5 + 3 = 8 इकाई प्रति दिन 5 दिनों में A और B द्वारा पूरा किया गया कार्य = 8 × 5 = 40 इकाई शेष कार्य = 75 - 40 = 35 इकाई

यह शेष कार्य A और C द्वारा 4 दिनों में पूरा किया जाता है। A और C की संयुक्त दक्षता = 35 / 4 = 8.75 इकाई प्रति दिन C की दक्षता = 8.75 - 5 = 3.75 इकाई प्रति दिन (या 15/4 इकाई प्रति दिन)

C द्वारा अकेले कुल कार्य पूरा करने में लिया गया समय: समय = 75 ÷ (15/4) = (75 × 4) ÷ 15 = 20 दिन

व्याख्या

सही उत्तर: D

दोनों धावकों के शुरुआती बिंदु पर पहली बार मिलने के समय का पता लगाने के लिए, हम वृत्ताकार ट्रैक के एक पूरे चक्कर को पूरा करने में लगने वाले उनके व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

सबसे पहले, ज़ीनत द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लगने वाले समय की गणना करें: T₁ = ट्रैक की लंबाई / ज़ीनत की गति = 1.2 किमी / 18 किमी/घंटा = 1/15 घंटे मिनटों में परिवर्तित करें: T₁ = (1/15) × 60 = 4 मिनट

इसके बाद, नसरिन द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लगने वाले समय की गणना करें: T₂ = ट्रैक की लंबाई / नसरिन की गति = 1.2 किमी / 27 किमी/घंटा = 2/45 घंटे मिनटों में परिवर्तित करें: T₂ = (2/45) × 60 = 8/3 मिनट

जिस समय वे शुरुआती बिंदु पर मिलेंगी, वह T₁ और T₂ का LCM है: LCM(4, 8/3) = LCM(4/1, 8/3)

भिन्नों के LCM के सूत्र का उपयोग करके, LCM(a/b, c/d) = LCM(a, c) / HCF(b, d): LCM(4, 8) / HCF(1, 3) = 8 / 1 = 8 मिनट

व्याख्या

11 के लिए विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 11 से विभाज्य होती है यदि विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 हो या 11 का गुणज हो।

संख्या 752563 के लिए: विषम स्थानों पर अंकों का योग (पहले, तीसरे और पांचवें अंक) = 7 + 2 + 6 = 15 सम स्थानों पर अंकों का योग (दूसरे, चौथे और छठे अंक) = 5 + 5 + 3 = 13 इन योगों के बीच का अंतर 15 - 13 = 2 है।

चूंकि यह अंतर 0 या 11 का गुणज नहीं है, इसलिए संख्या 11 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत (P%) और छूट प्रतिशत (D%) ज्ञात होने पर अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP/CP = (100 + P) / (100 - D)

P = 20 और D = 10 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

MP/CP = (100 + 20) / (100 - 10)

MP/CP = 120 / 90

30 से अंश और हर दोनों को विभाजित करके इस भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है:

MP/CP = 4/3

अंकित मूल्य का क्रय मूल्य से अनुपात 4:3 है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (A - B)² = (A + B)² - 4AB का उपयोग करके, हम A = 5x और B = 3y मान सकते हैं:

(5x - 3y)² = (5x + 3y)² - 4(5x)(3y) (5x - 3y)² = (5x + 3y)² - 60xy

दिए गए समीकरणों से: 5x + 3y = 15 2xy = 6, जिससे xy = 3 प्राप्त होता है

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: (5x - 3y)² = 15² - 60(3) (5x - 3y)² = 225 - 180 (5x - 3y)² = 45

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 5x - 3y = √45 = √(9 × 5) = 3√5

व्याख्या

सही उत्तर: B

दिए गए व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम दोनों पदों से cos θ को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालते हैं:

cos θ / (sec θ - 1) + cos θ / (sec θ + 1) = cos θ [ 1 / (sec θ - 1) + 1 / (sec θ + 1) ]

कोष्ठक में सामान्य हर लेकर, हमें प्राप्त होता है:

= cos θ [ (sec θ + 1 + sec θ - 1) / ((sec θ - 1)(sec θ + 1)) ]

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके और अंश को सरल बनाकर:

= cos θ [ 2 sec θ / (sec² θ - 1) ]

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - 1 = tan² θ का उपयोग करके:

= cos θ [ 2 sec θ / tan² θ ]

चूंकि cos θ × sec θ = 1:

= 2 / tan² θ = 2 cot² θ

व्याख्या

सही उत्तर: D

मूलधन ज्ञात करने के लिए, हम उस सूत्र का उपयोग करते हैं जो वर्ष के भिन्नात्मक भाग के लिए चक्रवृद्धि ब्याज में लागू होता है। समय अवधि 1 वर्ष और 9 महीने है, जो 1 और 3/4 वर्ष के बराबर है।

वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि दर R% पर 1 वर्ष और वर्ष के भिन्न f के बाद कुल राशि A का सूत्र है: A = P × (1 + R/100) × (1 + f × R / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ R = 10% और f = 3/4: A = P × (1 + 10/100) × (1 + 3/4 × 10 / 100) A = P × 1.1 × (1 + 7.5/100) A = P × 1.1 × 1.075 A = 1.1825P

चक्रवृद्धि ब्याज कुल राशि और मूलधन के बीच का अंतर होता है: CI = A - P CI = 1.1825P - P = 0.1825P

यह देखते हुए कि चक्रवृद्धि ब्याज ₹1,460 है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 0.1825P = 1460 P = 1460 / 0.1825 P = 8000

व्याख्या

चूंकि धारा के विपरीत और धारा के साथ तय की गई दूरी समान है, इसलिए शांत जल में नाव की गति (u) और धारा की गति (v) का अनुपात, धारा के विपरीत लगने वाले समय (tᵤp) और धारा के साथ लगने वाले समय (t_down) से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित है:

u/v = (tᵤp + t_down)/(tᵤp - t_down)

दिए गए समय मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

u/v = (11 + 5)/(11 - 5) = 16/6 = 8/3

v = 3/8 × u

शांत जल में नाव की गति u = 2 2/9 m/s है, जिसे 20/9 m/s के रूप में लिखा जा सकता है। इस गति को km/h में बदलने पर:

u = 20/9 × 18/5 = 8 km/h

अनुपात सूत्र में u = 8 km/h को प्रतिस्थापित करने पर:

v = 3/8 × 8 = 3 km/h

व्याख्या

चूँकि A और B धनात्मक न्यून कोण हैं, हम दिए गए समीकरणों के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके उनके मान ज्ञात कर सकते हैं।

पहले समीकरण से: sin(A - B) = ½ A - B = 30°

दूसरे समीकरण से: sin(A + B) = 1 A + B = 90°

A और B के मान ज्ञात करने के लिए, हम इन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2A = 120° A = 60°

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 2B = 60° B = 30°

इस प्रकार, A 60° है और B 30° है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती c सूत्र c = b² / a द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है a = 15 और b = 120, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: c = 120² / 15 c = (120 × 120) / 15 c = 8 × 120 c = 960

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (R / 100)²

जहाँ P मूल राशि है और R ब्याज की वार्षिक दर है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

200 = P × (10 / 100)²

200 = P × (1 / 10)²

200 = P × (1 / 100)

P = 200 × 100

P = 20,000

निवेश की गई राशि 20,000 है।

व्याख्या

मान लीजिए खरीदी गई वस्तुओं की कुल संख्या 100 है और प्रत्येक वस्तु का क्रय मूल्य ₹1 है। इससे कुल क्रय मूल्य ₹100 हो जाता है।

चूंकि 15% वस्तुएं खराब हो गईं, बेची गई वस्तुओं की संख्या 85 है।

कुल 19% का लाभ कमाने के लिए, कुल विक्रय मूल्य ₹119 होना चाहिए।

इसलिए, शेष 85 वस्तुओं में से प्रत्येक का विक्रय मूल्य है: 119 ÷ 85 = 1.4

इसका मतलब है कि शेष प्रत्येक वस्तु ₹1.4 में बेची गई, जो उसके क्रय मूल्य ₹1 से 40% अधिक है।

व्याख्या

किसी संख्या के 12 से विभाज्य होने के लिए, उसे 3 और 4 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाते हैं। यहाँ, 712x816 के अंतिम दो अंक 16 हैं, जो 4 से विभाज्य है। यह शर्त x के किसी भी मान के लिए संतुष्ट है।

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

712x816 के अंकों का योग = 7 + 1 + 2 + x + 8 + 1 + 6 = 25 + x

25 + x के 3 से विभाज्य होने के लिए, 25 + x का मान 3 का गुणज होना चाहिए। 25 से बड़ी या उसके बराबर 3 का सबसे छोटा पूर्णांक गुणज 27 है।

25 + x = 27 रखने पर, हमें x का न्यूनतम मान 2 मिलता है।

व्याख्या

1994 से 1998 तक पश्चिम बंगाल से विदेश जाने वाले छात्रों की कुल संख्या का वार्षिक आंकड़ों को जोड़कर गणना की जाती है:

500 + 550 + 450 + 600 + 525 = 2625

2625 का यह योग तालिका में सूचीबद्ध सभी राज्यों और केंद्र शासित प्रदेशों में न्यूनतम कुल है, जिससे पश्चिम बंगाल दिए गए अवधि में विदेश जाने वाले छात्रों की सबसे कम संख्या वाला राज्य बन जाता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का आयतन V = 2/3 π r³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

दिया गया है: त्रिज्या (r) = 2.1 मीटर π = 22/7

इन मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 2/3 × 22/7 × (2.1)³ V = 2/3 × 22/7 × 2.1 × 2.1 × 2.1 V = 2 × 22 × 0.1 × 2.1 × 2.1 V = 44 × 0.441 V = 19.404 m³

चूंकि 1 घन मीटर (m³) 1000 लीटर के बराबर होता है, इसलिए अर्धगोलाकार टैंक की क्षमता लीटर में है: 19.404 × 1000 = 19404 लीटर

व्याख्या

सही उत्तर: D

वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप सूत्र द्वारा दिया जाता है: परिमाप = 2r + (θ / 360°) × 2πr

यहाँ, त्रिज्या r 4.9 सेमी है, केंद्रीय कोण θ 144° है, और π 22/7 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: परिमाप = 2 × 4.9 + (144 / 360) × 2 × (22 / 7) × 4.9

पद (144 / 360) को 2/5 या 0.4 तक सरल करें: परिमाप = 9.8 + 0.4 × 2 × 22 × 0.7 परिमाप = 9.8 + 12.32 परिमाप = 22.12 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए a = 612 और b = 388 है।

दिया गया व्यंजक इस रूप का है: ((a + b)² + (a - b)²) / (a² + b²)

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

इस सर्वसमिका को व्यंजक के अंश में प्रतिस्थापित करें: 2(a² + b²) / (a² + b²) = 2

अंश और हर में पद a² + b² एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे पूरा व्यंजक 2 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: a² - b² = (a + b)(a - b)

दिया गया है: a = cotA + cosA b = cotA - cosA

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: a + b = 2 cotA

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर: a - b = 2 cosA

वर्गों के अंतर में इन्हें प्रतिस्थापित करने पर: a² - b² = (2 cotA)(2 cosA) = 4 cotA cosA

अब, हम गुणनफल ab की गणना करते हैं: ab = (cotA + cosA)(cotA - cosA) ab = cot²A - cos²A

cotA को cosA और sinA के पदों में व्यक्त करने पर: ab = cos²A/sin²A - cos²A ab = cos²A (1/sin²A - 1) ab = cos²A ((1 - sin²A)/sin²A) ab = cos²A (cos²A/sin²A) ab = cos²A cot²A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(ab) = cosA cotA

4 से गुणा करने पर: 4√(ab) = 4 cotA cosA

a² - b² और 4√(ab) के मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: a² - b² - 4√(ab) = 4 cotA cosA - 4 cotA cosA = 0

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, x² - y² = (x - y)(x + y), को अंश पर लागू करने पर:

माना x = a² + b² - c² और y = a² - b² + c²।

सबसे पहले, दो पदों का योग ज्ञात कीजिए: x + y = (a² + b² - c²) + (a² - b² + c²) = 2a²

इसके बाद, दो पदों का अंतर ज्ञात कीजिए: x - y = (a² + b² - c²) - (a² - b² + c²) = 2b² - 2c² = 2(b² - c²)

इन परिणामों को अंश में वापस प्रतिस्थापित कीजिए: (x + y)(x - y) = 2a² × 2(b² - c²) = 4a²(b² - c²)

सरलीकृत अंश को भाजक से विभाजित करने पर: 4a²(b² - c²) / (b² - c²) = 4a²

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का प्रारंभिक मूल्य 100 है। जब d₁%, d₂%, और d₃% की क्रमिक छूट लागू की जाती है, तो शेष मूल्य प्रतिशत गुणक सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

शेष मूल्य = 100 × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) × (1 - d₃/100)

दिए गए 10%, 20%, और 30% की क्रमिक छूटों को प्रतिस्थापित करने पर:

शेष मूल्य = 100 × (1 - 0.10) × (1 - 0.20) × (1 - 0.30) शेष मूल्य = 100 × 0.90 × 0.80 × 0.70 शेष मूल्य = 100 × 0.504 = 50.4

एकल समतुल्य छूट मूल मूल्य से कुल कमी को दर्शाती है:

समतुल्य छूट = 100 - 50.4 = 49.6%

व्याख्या

औसत के योग सूत्र का उपयोग करते हुए, योग = औसत × प्रेक्षणों की संख्या:

सभी 30 छात्रों की आयु का कुल योग = 30 × 12 = 360 वर्ष

पहले समूह के 5 छात्रों की आयु का योग = 5 × 10 = 50 वर्ष

दूसरे समूह के 5 छात्रों की आयु का योग = 5 × 14 = 70 वर्ष

इन 10 छात्रों की आयु का कुल योग = 50 + 70 = 120 वर्ष

शेष छात्रों की संख्या = 30 - 10 = 20 छात्र

शेष 20 छात्रों की आयु का योग = 360 - 120 = 240 वर्ष

शेष 20 छात्रों की औसत आयु = 240 / 20 = 12 वर्ष

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत व्यय के बाद शेष अंतिम राशि की गणना क्रमिक कमी सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

अंतिम शेष राशि = मासिक आय × (1 - r₁/100) × (1 - r₂/100) × (1 - r₃/100)

यहाँ, r₁ = 30%, r₂ = 15%, और r₃ = 35% है। अंतिम शेष राशि 1,62,435 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1,62,435 = मासिक आय × (1 - 30/100) × (1 - 15/100) × (1 - 35/100)

1,62,435 = मासिक आय × (70/100) × (85/100) × (65/100)

मासिक आय ज्ञात करने के लिए, पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

मासिक आय = (1,62,435 × 100 × 100 × 100) ÷ (70 × 85 × 65)

मासिक आय = (1,62,435 × 1,00,000) ÷ (7 × 85 × 65)

हर (7, 17, और 13) में गुणनखंडों के साथ चरण-दर-चरण विभाजन को सरल बनाकर:

1,62,435 ÷ 7 = 23,205 23,205 ÷ 17 = 1,365 (चूंकि 85 = 5 × 17) 1,365 ÷ 13 = 105 (चूंकि 65 = 5 × 13)

अब इन सरलीकृत मानों को वापस प्रतिस्थापित करें:

मासिक आय = (105 × 1,00,000) ÷ (5 × 5)

मासिक आय = (105 × 1,00,000) ÷ 25

मासिक आय = 105 × 4,000 = 4,20,000

व्याख्या

एक वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र है: L = (θ / 360°) × 2πr

दिया गया है कि त्रिज्या r = 21 सेमी, केंद्रीय कोण θ = 22.5°, और π = 22/7:

L = (22.5 / 360) × 2 × (22 / 7) × 21

सबसे पहले, कोण अनुपात को सरल करें: 22.5 / 360 = 45 / 720 = 1/16

अब इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: L = (1/16) × 2 × 22 × 3 L = 132 / 16 L = 33 / 4 L = 8.25 सेमी

व्याख्या

एक वर्ग की परिधि का सूत्र 4 × भुजा होता है। 172 सेमी की परिधि के साथ, वर्ग की एक भुजा की लंबाई है: भुजा = 172 / 4 = 43 सेमी

एक वर्ग का क्षेत्रफल भुजा² के रूप में गणना की जाती है: वर्ग का क्षेत्रफल = 43² = 1849 वर्ग सेमी

चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल का आधा है: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1849 / 2 = 924.5 वर्ग सेमी

व्याख्या

वार्षिक ब्याज दर ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले मूलधन को कुल राशि से घटाकर अर्जित साधारण ब्याज की गणना करें: साधारण ब्याज = राशि - मूलधन साधारण ब्याज = 67,790 - 25,400 = 42,390

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100

ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 42,390 = (25,400 × दर × 9) / 100 42,390 = 254 × दर × 9 42,390 = 2,286 × दर

अब, दर के लिए हल करें: दर = 42,390 / 2,286 दर ≈ 18.5433%

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, वार्षिक ब्याज दर 18.54% है।

व्याख्या

वाणिज्य धारा में प्रति कॉलेज छात्रों की औसत संख्या की गणना सभी कॉलेजों में वाणिज्य छात्रों के योग (10100) को 4 से विभाजित करके की जाती है, जिससे 2525 प्राप्त होता है। कॉलेज 2 में प्रति धारा छात्रों की औसत संख्या की गणना कॉलेज 2 की सभी धाराओं के छात्रों (5900) के योग को 3 से विभाजित करके की जाती है, जिससे 1966.67 प्राप्त होता है। इन दो औसत के बीच का अंतर 2525 - 1966.67 = 558.33 है।

व्याख्या

a = 2x और b = 3y प्रतिस्थापित करके, हमें a + b = 4 और a² + b² = 64 दिया गया है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² = (a+b)² - 2ab का उपयोग करके, हम पाते हैं कि ab = -24। इन मानों को a³ + b³ = (a+b)(a² + b² - ab) के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 4 * (64 - (-24)) = 352 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रत्येक कंपनी द्वारा बेचे गए निम्न-गुणवत्ता वाले उत्पादों की संख्या तालिका की तीसरी पंक्ति में दी गई है।

कंपनी A ने 488 निम्न-गुणवत्ता वाले उत्पाद बेचे। कंपनी B ने 550 निम्न-गुणवत्ता वाले उत्पाद बेचे। कंपनी C ने 580 निम्न-गुणवत्ता वाले उत्पाद बेचे। कंपनी D ने 220 निम्न-गुणवत्ता वाले उत्पाद बेचे।

इन मानों की तुलना करने पर, 580 सबसे बड़ी संख्या है, जो कंपनी C से मेल खाती है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ a और b हैं।

दो संख्याओं a और b का मध्य समानुपाती सूत्र √(ab) द्वारा दिया जाता है। यहाँ, √(ab) = 25, जो सरल होकर ab = 625 हो जाता है।

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती सूत्र b²/a द्वारा दिया जाता है। यहाँ, b²/a = 25, जो सरल होकर b² = 25a, या a = b²/25 हो जाता है।

मध्य समानुपाती समीकरण में a का मान प्रतिस्थापित करने पर: (b²/25) × b = 625 b³ = 15625 b = 25

b = 25 को a के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a = 25²/25 = 25

दोनों संख्याएँ 25 और 25 हैं।

व्याख्या

भुगतान किया गया कुल साधारण ब्याज तीन अलग-अलग समयावधियों में अर्जित ब्याज का योग है। माना उधार ली गई मूल राशि P है।

कुल साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = P × (R₁T₁ + R₂T₂ + R₃T₃) / 100

ऋण की कुल अवधि 7 वर्ष है। समयावधियों और ब्याज दरों का विवरण इस प्रकार है: पहले 3 वर्षों के लिए, दर 5% प्रति वर्ष है। अगले 2 वर्षों के लिए (वर्ष 4 और 5), दर 8% प्रति वर्ष है। 5 वर्ष से अधिक की शेष अवधि के लिए (7 - 5 = 2 वर्ष), दर 10% प्रति वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 12750 = P × (5 × 3 + 8 × 2 + 10 × 2) / 100 12750 = P × (15 + 16 + 20) / 100 12750 = P × 51 / 100 P = 12750 × 100 / 51 P = 250 × 100 P = 25000

अतः, उधार ली गई मूल राशि ₹25,000 है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

मान लीजिए कि एक पुरुष और एक महिला की दैनिक कार्य दर क्रमशः M और W है।

दी गई जानकारी के आधार पर, कुल कार्य को दो तरीकों से दर्शाया जा सकता है: कुल कार्य = 10 × (4M + 8W) = 40M + 80W कुल कार्य = 4 × (5M + 24W) = 20M + 96W

समान कुल कार्य के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 40M + 80W = 20M + 96W 20M = 16W M = 4/5 W

अब, W के पदों में कुल कार्य ज्ञात करने के लिए M = 4/5 W को पहले व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: कुल कार्य = 10 × (4 × 4/5 W + 8W) = 10 × (16/5 W + 40/5 W) = 10 × 56/5 W = 112W

अगला, 1 पुरुष और 1 महिला की संयुक्त दैनिक कार्य दर की गणना करें: 1M + 1W = 4/5 W + 1W = 9/5 W

1 पुरुष और 1 महिला द्वारा काम पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या कुल कार्य को उनकी संयुक्त दैनिक दर से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: दिन = 112W ÷ (9/5 W) = 112 × 5/9 = 560/9 = 62.22 दिन

निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर 62 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को tan θ = sin θ / cos θ और sec θ = 1 / cos θ को प्रतिस्थापित करके सरल किया जा सकता है:

1 - tan²θ / sec²θ = 1 - (sin²θ / cos²θ) / (1 / cos²θ)

भिन्न को सरल करने पर:

1 - sin²θ = cos²θ

अब, सही विकल्प में व्यंजक को सरल करने पर:

sin²θ cot²θ = sin²θ × (cos²θ / sin²θ) = cos²θ

दोनों व्यंजक cos²θ के बराबर सरल हो जाते हैं, जिससे वे बराबर हो जाते हैं।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: α sin 45° = β cos 30°

मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 45° = 1/√2 cos 30° = √3/2

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: α × (1/√2) = β × (√3/2)

α/β का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें: α/β = (√3/2) / (1/√2) α/β = (√3/2) × √2 α/β = √3 / √2

अब, समीकरण के दोनों पक्षों को घात 4 तक बढ़ाएँ: α⁴/β⁴ = (√3 / √2)⁴ α⁴/β⁴ = ( (√3 / √2)² )² α⁴/β⁴ = (3/2)² α⁴/β⁴ = 9/4

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

जहाँ: अंकित मूल्य = 800 पहली छूट d₁ = 10% दूसरी छूट d₂ = 5%

सूत्र में मान रखने पर:

विक्रय मूल्य = 800 × (1 - 10/100) × (1 - 5/100) विक्रय मूल्य = 800 × 0.90 × 0.95 विक्रय मूल्य = 720 × 0.95 विक्रय मूल्य = 684

व्याख्या

जब समान लंबाई L की दो ट्रेनें एक ही दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति के बीच का अंतर होती है: सापेक्ष गति = 46 - 36 = 10 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलना: गति = 10 × 5/18 = 25/9 मी/से

ओवरटेक के दौरान तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग है: दूरी = 2L

सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके: 2L = (25/9) × 36 2L = 25 × 4 2L = 100 L = 50

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों a + b + c = 15 और ab + bc + ca = 22 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 15² = a² + b² + c² + 2(22) 225 = a² + b² + c² + 44

a² + b² + c² के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a² + b² + c² = 225 - 44 a² + b² + c² = 181

व्याख्या

ΔABC और ΔPQR में, हमें दिया गया है: ∠B = ∠Q ∠C = ∠R

कोण-कोण (AA) समरूपता कसौटी द्वारा, चूँकि ΔABC के दो कोण क्रमशः ΔPQR के दो कोणों के बराबर हैं, दोनों त्रिभुज समरूप हैं (ΔABC ~ ΔPQR)।

दो त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए, उनकी संगत भुजाएँ लंबाई में बराबर होनी चाहिए। यहाँ, हमें AB = 2PQ दिया गया है, जिसका अर्थ है कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात AB/PQ = 2 है। चूँकि यह अनुपात 1 के बराबर नहीं है, संगत भुजाएँ लंबाई में बराबर नहीं हैं, और इसलिए त्रिभुज सर्वांगसम नहीं हैं।

व्याख्या

आवासीय टॉवर का गुंबद एक अर्धगोला है। पेंट किए जाने वाले क्षेत्र का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है।

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²

अर्धगोले की त्रिज्या r, 560 सेमी दी गई है, जो 5.6 मीटर के बराबर है।

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 5.6 × 5.6 मी² वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 0.8 × 5.6 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 197.12 मी²

पेंटिंग की दर ₹25 प्रति मी² है।

पेंटिंग की कुल लागत = क्षेत्रफल × दर कुल लागत = 197.12 × 25 कुल लागत = 4928

इस प्रकार, गुंबद को पेंट करने की कुल लागत ₹4,928 है।