एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए समीकरण पर योगान्तर (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर: (sin θ - cos θ) / (sin θ + cos θ) = 4/5

((sin θ - cos θ) + (sin θ + cos θ)) / ((sin θ - cos θ) - (sin θ + cos θ)) = (4 + 5) / (4 - 5) 2 sin θ / (-2 cos θ) = 9 / -1 tan θ = 9

चूंकि tan θ = 9 है, इसलिए cot θ = 1/9 होगा।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² θ = 1 + cot² θ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: cosec² θ = 1 + (1/9)² = 1 + 1/81 = 82/81

अब, cosec² θ के मान को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cosec² θ / (2 - cosec² θ) = (82/81) / (2 - 82/81) = (82/81) / ((162 - 82) / 81) = (82/81) / (80/81) = 82/80 = 41/40

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

मान लीजिए यात्रा की कुल दूरी D किमी है।

यात्रा के प्रत्येक भाग को तय करने में लगने वाला समय है: समय₁ = 0.35D / 70 = D / 200 घंटे समय₂ = 0.40D / 80 = D / 200 घंटे समय₃ = (1 - 0.35 - 0.40)D / 50 = 0.25D / 50 = D / 200 घंटे

पूरी यात्रा के लिए लिया गया कुल समय: कुल समय = D/200 + D/200 + D/200 = 3D/200 घंटे

औसत गति सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: औसत गति = D / (3D/200) = 200 / 3 = 66⅔ किमी/घंटा

व्याख्या

समकोण त्रिभुज PQR में, जो Q पर समकोण है, हम भुजा QR की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं:

PR² = PQ² + QR²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

13² = 12² + QR² 169 = 144 + QR² QR² = 25 QR = 5 सेमी

कोण P के लिए: tan P = सम्मुख भुजा / आसन्न भुजा = QR / PQ = 5/12

कोण R के लिए: cot R = आसन्न भुजा / सम्मुख भुजा = QR / PQ = 5/12

दोनों मानों को जोड़ने पर: tan P + cot R = 5/12 + 5/12 = 10/12

व्याख्या

छूट के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100 - छूट%)/100

दिया गया है: अंकित मूल्य = ₹1,700 छूट = 15%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

विक्रय मूल्य = 1700 × (100 - 15)/100 विक्रय मूल्य = 1700 × 85/100 विक्रय मूल्य = 17 × 85 विक्रय मूल्य = 1445

व्याख्या

जब a% की वृद्धि के बाद b% की छूट दी जाती है, तो शुद्ध लाभ प्रतिशत क्रमिक प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध लाभ % = a - b - ab/100

दिए गए मानों, वृद्धि प्रतिशत a = 25 और छूट प्रतिशत b = 12 को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध लाभ % = 25 - 12 - (25 × 12)/100 शुद्ध लाभ % = 13 - 300/100 शुद्ध लाभ % = 13 - 3 शुद्ध लाभ % = 10%

व्याख्या

सही उत्तर: D

मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करते हुए, यह कथन कि n को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 2 बचता है, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: n ≡ 2 (mod 7)

9n को 7 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 9 से गुणा करें: 9n ≡ 9 × 2 (mod 7) 9n ≡ 18 (mod 7)

18 को मॉड्यूलो 7 में घटाने पर प्राप्त होता है: 18 = 2 × 7 + 4 9n ≡ 4 (mod 7)

व्याख्या

2019 से 2022 तक सर्वाधिक निर्माण संख्या वाले वातित पेय का पता लगाने के लिए, हम दिए गए सभी वर्षों में प्रत्येक पेय के कुल उत्पादन की गणना करते हैं:

A का कुल उत्पादन = 250 + 200 + 260 + 275 = 985 हजार B का कुल उत्पादन = 200 + 230 + 210 + 175 = 815 हजार C का कुल उत्पादन = 140 + 170 + 195 + 190 = 695 हजार D का कुल उत्पादन = 115 + 120 + 135 + 155 = 525 हजार

इन योगों की तुलना करने पर, वातित पेय A की कुल निर्माण संख्या 985 हजार सर्वाधिक है। यह विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

त्रिज्या r वाले वृत्त में जीवा की लंबाई सूत्र L = 2r sin(θ/2) द्वारा दी जाती है, जहाँ θ जीवा द्वारा बनाया गया केंद्रीय कोण है। चूँकि साइन फलन का अधिकतम मान 1 होता है, जीवा की अधिकतम लंबाई तब होती है जब θ = 180°, जिससे L = 2r प्राप्त होता है। 180° का केंद्रीय कोण बनाने वाली जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, जो व्यास की परिभाषा है। इसलिए, व्यास वृत्त की सबसे लंबी संभव जीवा का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

दो वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (R/100)²

जहाँ P मूलधन राशि है और R प्रति वर्ष ब्याज की दर है।

दिए गए मानों, अंतर = ₹162 और R = 9%, को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

162 = P × (9/100)²

162 = P × (81/10000)

P = (162 × 10000) / 81

P = 2 × 10000

P = 20000

इस प्रकार, मूलधन राशि ₹20000 है।

व्याख्या

दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई जो बाह्यतः एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं, निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

PQ = 2√(r₁ × r₂)

जहाँ r₁ और r₂ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिए गए त्रिज्याओं r₁ = 36 सेमी और r₂ = 16 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

PQ = 2√(36 × 16)

PQ = 2 × 6 × 4

PQ = 48 सेमी

व्याख्या

प्रतिच्छेदित जीवाओं की प्रमेय के अनुसार, जब दो जीवाएँ AB और CD एक वृत्त के अंदर बिंदु F पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके खंडों के गुणनफल बराबर होते हैं:

AF × BF = CF × DF

खंड की लंबाई AF = 2.4 सेमी और BF = 1.8 सेमी का उपयोग करके:

AF × BF = 2.4 × 1.8 = 4.32

मान लीजिए CF और DF की लंबाई क्रमशः x और y है। हमें जीवा CD की कुल लंबाई दी गई है:

x + y = 5.7 x × y = 4.32

लंबाई ज्ञात करने के लिए हम एक द्विघात समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

t² - 5.7t + 4.32 = 0

इस समीकरण को हल करने पर:

(t - 4.8)(t - 0.9) = 0

इससे दो खंडों की लंबाई 4.8 सेमी और 0.9 सेमी प्राप्त होती है। बड़े खंड की लंबाई 4.8 सेमी है।

व्याख्या

बीजीय व्यंजक को समूहीकरण द्वारा और बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है।

सबसे पहले, y के पदों में पूर्ण वर्ग को अलग करने के लिए पदों को समूहित करें: 4x² - y² + 6y - 9 = 4x² - (y² - 6y + 9)

कोष्ठक के अंदर का व्यंजक, y² - 6y + 9, (a - b)² = a² - 2ab + b² के रूप का एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है, जहाँ a = y और b = 3: y² - 6y + 9 = (y - 3)²

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 4x² - (y - 3)²

4x² को (2x)² के रूप में व्यक्त करें ताकि वर्गों के अंतर की स्थापना हो सके: (2x)² - (y - 3)²

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका, a² - b² = (a + b)(a - b) लागू करें, जहाँ a = 2x और b = y - 3: (2x + (y - 3))(2x - (y - 3)) = (2x + y - 3)(2x - y + 3)

व्याख्या

आय व्यय और बचत का योग होती है: आय = व्यय + बचत

मान लीजिए प्रारंभिक मासिक आय 100 है। चूँकि A अपनी आय का 68% खर्च करता है, इसलिए प्रारंभिक व्यय 68 है, और प्रारंभिक बचत है: 100 - 68 = 32

परिवर्तनों के बाद: नई मासिक आय में 25% की वृद्धि होती है: 100 × 1.25 = 125

नई मासिक बचत में 15% की वृद्धि होती है: 32 × 1.15 = 36.8

नया मासिक व्यय नई आय और नई बचत के बीच का अंतर है: 125 - 36.8 = 88.2

मासिक व्यय में वृद्धि है: 88.2 - 68 = 20.2

मासिक व्यय में प्रतिशत वृद्धि है: (20.2 / 68) × 100% = (2020 / 68)% = (505 / 17)% = 29 12/17%

व्याख्या

दो कोणों के योग के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A × tan B)

दिए गए मानों tan A = ½ और tan B = ⅓ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: tan(A + B) = (½ + ⅓) / (1 - ½ × ⅓)

अंश का मूल्यांकन करने पर: ½ + ⅓ = 5/6

हर का मूल्यांकन करने पर: 1 - 1/6 = 5/6

इसलिए: tan(A + B) = (5/6) / (5/6) = 1

चूंकि tan 45° = 1 है, इसलिए A + B = 45°।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) है।

वस्तु को 5% लाभ के बजाय 10% लाभ पर बेचने के बीच का अंतर, क्रय मूल्य का 5% अंतर दर्शाता है।

यह 5% अंतर ₹175 के बराबर है: CP का 5% = 175 0.05 × CP = 175 CP = 175 ÷ 0.05 CP = 3500

वस्तु का वास्तविक विक्रय मूल्य 5% लाभ पर है: विक्रय मूल्य = CP का 105% विक्रय मूल्य = 1.05 × 3500 विक्रय मूल्य = 3675

व्याख्या

दिया गया है: x = (√6 - 1)⁰.⁵

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x² = √6 - 1

x² का व्युत्क्रम है: 1/x² = 1 / (√6 - 1)

हर का संयुग्मी (√6 + 1) से अंश और हर को गुणा करके परिमेयकरण करने पर: 1/x² = (√6 + 1) / ((√6 - 1)(√6 + 1)) 1/x² = (√6 + 1) / (6 - 1) 1/x² = (√6 + 1) / 5

अंतर x² - 1/x² का मूल्यांकन करने पर: x² - 1/x² = (√6 - 1) - (√6 + 1) / 5 x² - 1/x² = (5(√6 - 1) - (√6 + 1)) / 5 x² - 1/x² = (5√6 - 5 - √6 - 1) / 5 x² - 1/x² = (4√6 - 6) / 5

व्याख्या

सही उत्तर: B

माना कुल कार्य X, Y और Z द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 14, 28 और 42 का LCM 84 इकाई है।

प्रत्येक व्यक्ति की दक्षता की गणना कुल कार्य को दिनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है: X की दक्षता = 84 / 14 = 6 इकाई प्रति दिन Y की दक्षता = 84 / 28 = 3 इकाई प्रति दिन Z की दक्षता = 84 / 42 = 2 इकाई प्रति दिन

X, Y और Z की संयुक्त दक्षता = 6 + 3 + 2 = 11 इकाई प्रति दिन।

X, Y और Z द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लिया गया समय है: कुल कार्य / संयुक्त दक्षता = 84 / 11 = 7 7/11 दिन।

व्याख्या

सही उत्तर: D

सबसे पहले, सूत्र का उपयोग करके मिश्रण का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करें: CP = विक्रय मूल्य / (1 + लाभ प्रतिशत / 100)

दिया गया है कि विक्रय मूल्य ₹20 प्रति किलोग्राम है और लाभ 25% है: CP = 20 / (1 + 25/100) = 20 / 1.25 = ₹16 प्रति किलोग्राम

₹23 प्रति किलोग्राम (महंगा) और ₹14 प्रति किलोग्राम (सस्ता) वाले गेहूं को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए, यह ज्ञात करने के लिए मिश्रण के नियम का उपयोग करें: महंगे गेहूं का सस्ते गेहूं से अनुपात = (औसत मूल्य - सस्ता मूल्य) / (महंगा मूल्य - औसत मूल्य) अनुपात = (16 - 14) / (23 - 16) = 2 / 7

इस प्रकार, गेहूं को 2:7 के अनुपात में मिलाया जाना चाहिए।

व्याख्या

मान लीजिए रवि की प्रारंभिक चॉकलेट की संख्या R है। भानु की प्रारंभिक चॉकलेट की संख्या R का 80% है, जो कि 0.8R है।

भानु को उसके चाचा से उसकी प्रारंभिक चॉकलेट का अतिरिक्त 35% मिला, इसलिए उसकी अंतिम चॉकलेट की संख्या है: 0.8R × (1 + 0.35) = 1.08R

चूंकि भानु के पास अंत में 54 चॉकलेट थीं, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 1.08R = 54 R = 54 / 1.08 R = 50

रवि ने अपनी बहन को अपनी 10% चॉकलेट दीं। दी गई चॉकलेट की संख्या है: 50 का 10% = 5

व्याख्या

दान सप्ताह में विद्यालय के 6 कार्य दिवस हैं, जो सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार और शनिवार हैं।

इन 6 दिनों में प्रति कार्य दिवस ₹8,000 का औसत दान प्राप्त करने के लिए, कुल लक्ष्य संग्रह की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल लक्ष्य संग्रह = 6 × ₹8,000 = ₹48,000

सोमवार से शुक्रवार तक के संग्रह का योग है: ₹7,230 + ₹6,435 + ₹6,927 + ₹6,855 + ₹6,562 = ₹34,009

लक्ष्य को पूरा करने के लिए शनिवार को एकत्र की जाने वाली राशि है: शनिवार का संग्रह = कुल लक्ष्य संग्रह - सोमवार से शुक्रवार का संग्रह शनिवार का संग्रह = ₹48,000 - ₹34,009 = ₹13,991

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁) × (1 - d₂)

जहाँ d₁ और d₂ क्रमिक छूट दरें हैं।

दिया गया है: विक्रय मूल्य = ₹704 d₁ = 20% = 0.20 d₂ = 12% = 0.12

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

704 = अंकित मूल्य × (1 - 0.20) × (1 - 0.12) 704 = अंकित मूल्य × 0.80 × 0.88 704 = अंकित मूल्य × 0.704

अंकित मूल्य के लिए हल करने पर:

अंकित मूल्य = 704 / 0.704 = 1000

इस प्रकार, कमीज का अंकित मूल्य ₹1,000 है।

व्याख्या

पूरे सप्ताह में बर्न हुई कुल कैलोरी ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक दिन की दूरियों को जोड़कर सप्ताह के दौरान दौड़ी गई कुल दूरी की गणना करें:

कुल दूरी = 2.5 + 4.0 + 2.5 + 3.5 + 1.5 + 2.5 + 1.5 = 18 किमी

प्रति किलोमीटर बर्न होने वाली कैलोरी की दर है: 300 कैलोरी ÷ 5 किमी = 60 कैलोरी/किमी

इस दर से कुल दूरी को गुणा करने पर सप्ताह के लिए बर्न हुई कुल कैलोरी प्राप्त होती है: 18 किमी × 60 कैलोरी/किमी = 1080 कैलोरी

व्याख्या

मान लीजिए सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा AB दो वृत्तों को A और B पर स्पर्श करती है, और मान लीजिए वृत्त बाह्यतः P पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। संपर्क बिंदु P पर एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा खींचिए, जो स्पर्शरेखा AB को बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती है।

एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। इसलिए, पहले वृत्त के लिए, TA = TP, और दूसरे वृत्त के लिए, TB = TP। इससे TA = TB = TP प्राप्त होता है।

त्रिभुज TAP में, चूँकि TA = TP, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠TAP = ∠TPA। त्रिभुज TBP में, चूँकि TB = TP, सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠TBP = ∠TPB।

त्रिभुज APB में, आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: ∠PAB + ∠PBA + ∠APB = 180° ∠TAP + ∠TBP + ∠APB = 180°

∠TAP = ∠TPA और ∠TBP = ∠TPB को प्रतिस्थापित करने पर: ∠TPA + ∠TPB + ∠APB = 180°

चूँकि ∠TPA + ∠TPB = ∠APB, हमें प्राप्त होता है: ∠APB + ∠APB = 180° 2 ∠APB = 180° ∠APB = 90°

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके सरल किया जा सकता है: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

मान लीजिए a = 0.24 और b = 0.2 है।

व्यंजक का अंश है: 0.24 × 0.24 × 0.24 - 0.008 = a³ - b³

व्यंजक का हर है: 0.24 × 0.24 + 0.048 + 0.04 = a² + ab + b² क्योंकि ab = 0.24 × 0.2 = 0.048 और b² = 0.2² = 0.04 है।

अंश को हर से विभाजित करने पर: (a³ - b³) / (a² + ab + b²) = a - b

a और b के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 0.24 - 0.2 = 0.04

व्याख्या

लाभ प्रतिशत, अंकित प्रतिशत और छूट प्रतिशत के बीच संबंध का उपयोग करके: लाभ % = अंकित % - छूट % - (अंकित % × छूट %) / 100

लाभ प्रतिशत के दिए गए मानों को 12% और अंकित प्रतिशत को 40% प्रतिस्थापित करने पर: 12 = 40 - d - (40 × d) / 100 12 = 40 - 1.4d 1.4d = 28 d = 28 / 1.4 = 20%

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy का उपयोग करके, हम अंश को x = sin² A और y = cos² A मानकर पुनः लिख सकते हैं।

sin⁴ A + cos⁴ A = (sin² A + cos² A)² - 2 sin² A cos² A

चूंकि sin² A + cos² A = 1, अंश सरल होकर यह हो जाता है:

1² - 2 sin² A cos² A = 1 - 2 sin² A cos² A

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर यह प्राप्त होता है:

(1 - 2 sin² A cos² A) / (1 - 2 sin² A cos² A) = 1

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, भुजाओं के बीच संबंध पाइथागोरस प्रमेय द्वारा दिया जाता है: लम्ब₁² + लम्ब₂² = कर्ण²।

समकोण त्रिभुज PQR के लिए, कोण P 90° है, जिससे QR कर्ण बनता है और PQ तथा PR लम्ब बनते हैं। चूँकि त्रिभुज ABC त्रिभुज PQR के सर्वांगसम है, उनकी संगत भुजाएँ बराबर होती हैं। इसका मतलब है कि कर्ण QR, BC के बराबर है, जो कि 13 सेमी है। दी गई भुजा PR 12 सेमी है।

त्रिभुज PQR के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: PQ = √(QR² - PR²) PQ = √(13² - 12²) PQ = √(169 - 144) PQ = √25 PQ = 5 सेमी

त्रिभुज ABC और PQR की सर्वांगसमता के कारण, भुजा AB, PQ के संगत है, जिससे AB = 5 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब ब्याज की गणना की जाती है और हर छह महीने में मूलधन में जोड़ा जाता है, तो चक्रवृद्धि ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से होता है। 8% प्रति वर्ष की नाममात्र ब्याज दर के लिए, प्रत्येक छह महीने की अवधि के लिए दर 8% ÷ 2 = 4% है।

r% की दो क्रमिक अर्ध-वार्षिक चक्रवृद्धि अवधियों के लिए प्रभावी वार्षिक ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रभावी दर = r + r + (r × r)/100 %

r = 4% को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी दर = 4 + 4 + (4 × 4)/100 % प्रभावी दर = 8 + 16/100 % प्रभावी दर = 8 + 0.16 % प्रभावी दर = 8.16%

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि 1 - cos² A = sin² A और 1 - sin² A = cos² A।

इन सर्वसमिकाओं को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर यह सरल हो जाता है:

5(1 - cos² A) / 6(1 - sin² A) = 5 sin² A / 6 cos² A = (5/6) tan² A

हमें दिया गया है कि cot A = 5/12। चूँकि tan A, cot A का व्युत्क्रम होता है, इसलिए हमारे पास है:

tan A = 12/5

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

tan² A = (12/5)² = 144/25

अब, इस मान को सरलीकृत व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें:

(5/6) × (144/25) = (5 × 144) / (6 × 25) = 144 / (6 × 5) = 24/5

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी है: कुल दूरी = 420 + 195 = 615 किमी

यात्रा के प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय है: पहले भाग के लिए समय = 420 / 60 = 7 घंटे दूसरे भाग के लिए समय = 195 / 65 = 3 घंटे

कुल समय = 7 + 3 = 10 घंटे

इन मानों को औसत गति सूत्र में रखने पर: औसत गति = 615 / 10 = 61.5 किमी/घंटा

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट % = ((अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य) × 100

दिया गया है: अंकित मूल्य = ₹3,800 विक्रय मूल्य = ₹3,230

छूट राशि = ₹3,800 - ₹3,230 = ₹570

छूट % = (570 / 3800) × 100 = 15%

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती को सूत्र √(a × b) द्वारा परिभाषित किया गया है।

मानों a = 6 और b = 54 को प्रतिस्थापित करने पर:

मध्य समानुपाती = √(6 × 54) = √324 = 18

व्याख्या

कोणों के मान X = 60° और Y = 30° दिए गए हैं।

दोनों कोणों के बीच का अंतर इस प्रकार गणना की जाती है: X - Y = 60° - 30° = 30°

इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin(X - Y) = sin(30°)

मानक त्रिकोणमितीय अनुपात मानों से, sin(30°) ½ के बराबर है।

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो, और वह 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो। संख्या 329784 के लिए, अंकों का योग 3 + 2 + 9 + 7 + 8 + 4 = 33 है। क्योंकि 33, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 329784, 3 से विभाज्य है लेकिन 9 से नहीं। यह संख्या सबसे बड़ी विन्यास का प्रतिनिधित्व करती है क्योंकि हज़ारवां अंक a को अधिकतम 9 पर रखा गया है, और इकाई अंक b 4 है, जिससे अंकों का योग 33 बना रहता है जो 3 से विभाज्यता बनाए रखते हुए 9 से विभाज्यता से बचता है।

व्याख्या

जब ठोस घनाभ को पिघलाकर छोटे घन बनाए जाते हैं तो सामग्री का कुल आयतन संरक्षित रहता है।

घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई = 20 सेमी × 16 सेमी × 8 सेमी = 2560 सेमी³

प्रत्येक छोटे घन का आयतन = भुजा³ = 4 सेमी × 4 सेमी × 4 सेमी = 64 सेमी³

घनों की संख्या = घनाभ का आयतन ÷ प्रत्येक घन का आयतन घनों की संख्या = 2560 ÷ 64 = 40

व्याख्या

मान लीजिए एक वस्तु का क्रय मूल्य CP है और एक वस्तु का विक्रय मूल्य SP है।

हमें दिया गया है कि 240 वस्तुओं का क्रय मूल्य x वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है: 240 × CP = x × SP SP / CP = 240 / x

लाभ प्रतिशत 20% है, जिसका अर्थ है: SP = CP × (1 + लाभ%/100) SP = CP × (1 + 20/100) SP = CP × 1.2 SP / CP = 6/5

SP / CP के लिए दो अनुपातों को बराबर करने पर: 240 / x = 6/5 x = (240 × 5) / 6 x = 40 × 5 x = 200

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का प्रयोग करके, हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

17² = 101 + 2(ab + bc + ca) 289 = 101 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 289 - 101 2(ab + bc + ca) = 188

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक है: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² = 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)

इस व्यंजक में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2(101) - 188 = 202 - 188 = 14

व्याख्या

प्रारंभिक मात्रा 'a' वाले किसी द्रव को 'b' मात्रा के किसी अन्य द्रव से निकालने और बदलने की 'n' संक्रियाओं के बाद दूध की शेष मात्रा सूत्र द्वारा दी जाती है:

शेष दूध = a × (1 - b/a)ⁿ

यहाँ, दूध की प्रारंभिक मात्रा (a) 64 लीटर है, निकाली गई और बदली गई मात्रा (b) 8 लीटर है, और यह प्रक्रिया कुल 3 बार (n = 3) की गई है।

शेष दूध = 64 × (1 - 8/64)³ = 64 × (1 - 1/8)³ = 64 × (7/8)³ = 64 × 343/512 = 343/8 लीटर

चूंकि मिश्रण का कुल आयतन 64 लीटर बना रहता है, इसलिए मिश्रण में पानी की मात्रा है:

पानी की मात्रा = कुल आयतन - शेष दूध = 64 - 343/8 = (512 - 343)/8 = 169/8 लीटर

परिणामी मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात है:

दूध : पानी = (343/8) : (169/8) = 343 : 169

व्याख्या

दिए गए समीकरण (x² + 1)/x = 5 से, हम इसे अंश में प्रत्येक पद को x से विभाजित करके x + 1/x = 5 के रूप में सरल बना सकते हैं।

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके: (x + 1/x)² = 5² x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 23

चौथी घात ज्ञात करने के लिए इस परिणाम का पुनः वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = 23² x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 529 x⁴ + 1/x⁴ = 527

इस मान को आवश्यक व्यंजक x⁴ + 1/x⁴ - 36 में प्रतिस्थापित करने पर: 527 - 36 = 491

व्याख्या

उच्चतम औसत प्रदर्शन वाली श्रेणी का पता लगाने के लिए, हम सभी पांच विषयों में प्रत्येक श्रेणी के लिए छात्रों के प्रतिशत का योग और औसत प्रतिशत की गणना करते हैं।

निम्न बुनियादी श्रेणी के लिए, MIL, गणित, विज्ञान, सामाजिक विज्ञान और अंग्रेजी विषयों में प्रतिशत का योग 40 + 19 + 41 + 34 + 8 = 142 है। इस योग को 5 विषयों से विभाजित करने पर औसत 142 / 5 = 28.4% प्राप्त होता है।

बुनियादी श्रेणी के लिए, योग 35 + 45 + 29 + 21 + 5 = 135 है, जिससे औसत 135 / 5 = 27% प्राप्त होता है।

प्रवीण श्रेणी के लिए, योग 20 + 25 + 25 + 33 + 34 = 137 है, जिससे औसत 137 / 5 = 27.4% प्राप्त होता है।

उन्नत श्रेणी के लिए, योग 5 + 11 + 5 + 12 + 52 = 85 है, जिससे औसत 85 / 5 = 17% प्राप्त होता है।

निम्न बुनियादी श्रेणी का उच्चतम औसत मान 28.4% है।

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। 8 सेमी लंबाई की जीवा के लिए, केंद्र से लंब इसे 4 सेमी के दो बराबर खंडों में विभाजित करता है।

वृत्त की त्रिज्या, केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी, और आधी जीवा एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

d² + (L/2)² = R²

यहाँ, R 5 सेमी की त्रिज्या है, और L/2 4 सेमी की आधी जीवा है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d² + 4² = 5²

d² + 16 = 25

d² = 9

d = √9 = 3 सेमी

व्याख्या

किसी वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए, आधी जीवा की लंबाई 8 / 2 = 4 सेमी है।

यह लंब, जीवा का आधा भाग, और वृत्त की त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय लागू करके, त्रिज्या r की गणना इस प्रकार की जाती है:

r = √(3² + 4²) r = √(9 + 16) r = √25 r = 5 सेमी

वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है:

व्यास = 2 × r = 2 × 5 = 10 सेमी

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका बताती है कि: a² + b² + c² - ab - bc - ca = ½((a - b)² + (b - c)² + (c - a)²)

चूंकि हमें a² + b² + c² = ab + bc + ca दिया गया है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि: ½((a - b)² + (b - c)² + (c - a)²) = 0

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य होना चाहिए: a - b = 0, b - c = 0, c - a = 0

इससे प्राप्त होता है: a = b = c

a = b = c को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर (जहां अंश पद 11a³ को सजातीयता की कोटि 4 बनाए रखने के लिए 11a⁴ माना गया है): (11a⁴ + 13b⁴ + 15c⁴) / (16a²b² + 19b²c² + 17c²a²) = (11a⁴ + 13a⁴ + 15a⁴) / (16a⁴ + 19a⁴ + 17a⁴) = 39a⁴ / 52a⁴ = 39/52 = 3/4

व्याख्या

सही उत्तर: C

वृत्त की स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। यह संबंध एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ कर्ण बाह्य बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की दूरी (d = 17 सेमी) है, एक भुजा वृत्त की त्रिज्या (r = 8 सेमी) है, और दूसरी भुजा स्पर्शरेखा की लंबाई (t) है।

पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: d² = r² + t²

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 17² = 8² + t² 289 = 64 + t² t² = 289 - 64 t² = 225 t = √225 = 15 सेमी

व्याख्या

सही औसत का सीधे सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

सही औसत = गलत औसत + (सही मान - गलत मान) / प्रेक्षणों की संख्या

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

सही औसत = 41 + (127 - 341) / 18 सही औसत = 41 - 214 / 18 सही औसत = 41 - 107 / 9 सही औसत = 41 - 11 8/9 सही औसत = 29 1/9

व्याख्या

BODMAS नियम लागू करते हुए, हम सबसे पहले सबसे अंदर के कोष्ठकों का मूल्यांकन करके व्यंजक को सरल करते हैं।

पहले पद के लिए: ((1/5) का (35 - 5) + 4)² = ((1/5) का 30 + 4)² = (6 + 4)² = 10² = 100

दूसरे पद के लिए: (9 - {7 + (2 - 3)} + 5)² = (9 - {7 - 1} + 5)² = (9 - 6 + 5)² = (3 + 5)² = 8² = 64

दूसरे पद को पहले पद से घटाने पर प्राप्त होता है: 100 - 64 = 36

व्याख्या

अंकित मूल्य को 1,600 से बिक्री मूल्य 1,056 तक कम करने के लिए आवश्यक कुल छूट प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है:

कुल छूट = (1,600 - 1,056) ÷ 1,600 × 100 = 544 ÷ 1,600 × 100 = 34%

y% और z% की दो क्रमिक छूटों की शुद्ध समतुल्य छूट का सूत्र है:

शुद्ध छूट = y + z - (y × z) ÷ 100

सूत्र में y = 22 और z = 15.5 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध छूट = 22 + 15.5 - (22 × 15.5) ÷ 100 शुद्ध छूट = 37.5 - 341 ÷ 100 शुद्ध छूट = 37.5 - 3.41 = 34.09%

चूंकि परिणामी शुद्ध छूट आवश्यक 34% के बजाय 34.09% है, इसलिए ये मान वस्तु पर दी गई क्रमिक छूटें नहीं हो सकतीं।

व्याख्या

कोज्या (cosine) के लिए द्वि-कोण सूत्र है: cos 2θ = cos²θ - sin²θ

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sin²θ + cos²θ = 1 sin²θ = 1 - cos²θ

sin²θ को द्वि-कोण सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: cos 2θ = cos²θ - (1 - cos²θ) cos 2θ = 2cos²θ - 1

यह सीधे सर्वसमिका को व्युत्पन्न करता है।

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका, a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करते हुए, मान लीजिए a = c + d और b = c - d।

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

((c + d) + (c - d))((c + d) - (c - d))

कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल करने पर:

(c + d + c - d)(c + d - c + d) = (2c)(2d) = 4cd

वैकल्पिक रूप से, प्रत्येक वर्ग पद का सीधे विस्तार करने पर:

(c + d)² = c² + 2cd + d²

(c - d)² = c² - 2cd + d²

दूसरे विस्तारित व्यंजक को पहले से घटाने पर प्राप्त होता है:

(c² + 2cd + d²) - (c² - 2cd + d²) = c² + 2cd + d² - c² + 2cd - d² = 4cd

व्याख्या

मान लीजिए आस्था की कुल आय I है।

वह अपनी कुल आय का 15% यात्रा पर खर्च करती है। शेष आय = I - 0.15I = 0.85I

वह इस शेष आय का 20% भोजन पर खर्च करती है। भोजन के बाद शेष आय = 0.85I × (1 - 0.20) = 0.85I × 0.80 = 0.68I

इस शेष राशि से, वह ₹380 दान करती है और ₹2,000 बचाती है। 0.68I - 380 = 2000 0.68I = 2380 I = 2380 / 0.68 I = 3500

आस्था की कुल आय ₹3,500 है।