एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

फुटबॉल के लिए लड़कों और लड़कियों के नामांकन में सर्वाधिक अंतर वाले वर्ष का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक वर्ष के लिए निरपेक्ष अंतर की गणना करते हैं:

2018 के लिए: |42 - 37| = 5 2019 के लिए: |44 - 34| = 10 2020 के लिए: |40 - 32| = 8 2021 के लिए: |43 - 25| = 18 2022 के लिए: |41 - 32| = 9

वर्ष 2021 में 18 का अंतर सभी वर्षों में सर्वाधिक है।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: (a³ + b³ + c³ - 3abc) / (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a + b + c

a = 3.321, b = 2.681, और c = 1.245 रखने पर, दिया गया व्यंजक सीधे सरल हो जाता है: a + b + c = 3.321 + 2.681 + 1.245 = 7.247

व्याख्या

दूरी-गति संबंध का उपयोग करते हुए, दो अलग-अलग गति v₁ और v₂ द्वारा तय की गई दूरी d, जब समय का अंतर Δt होता है, निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

d = (v₁ × v₂) / (v₂ - v₁) × Δt

यहाँ, दो गतियाँ v₁ = 18 किमी/घंटा और v₂ = 24 किमी/घंटा हैं। दोनों व्यक्तियों द्वारा लिए गए समय का अंतर Δt = 20 मिनट है। इस समय को घंटों में व्यक्त करने पर:

Δt = 20/60 = ⅓ घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = (18 × 24) / (24 - 18) × ⅓ d = 432 / 6 × ⅓ d = 72 × ⅓ d = 24 किमी

व्याख्या

प्रत्येक पात्र में दूध की सांद्रता पर मिश्रण के नियम का उपयोग करके:

पात्र A में, दूध का अंश 5/(5 + 3) = 5/8 है। पात्र B में, दूध का अंश 2/(2 + 3) = 2/5 है। वांछित मिश्रण C में, दूध का अंश 1/(1 + 1) = 1/2 है।

मिश्रण के नियम के अनुसार, A और B से मिश्रणों को जिस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए वह है: (C में दूध का अंश - B में दूध का अंश) : (A में दूध का अंश - C में दूध का अंश)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: | 1/2 - 2/5 | : | 5/8 - 1/2 | = 1/10 : 1/8

अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को उनके सामान्य भाजक 40 से गुणा करें: (1/10 × 40) : (1/8 × 40) = 4 : 5

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, हम sin² A = 1 - cos² A लिख सकते हैं।

इसे दिए गए व्यंजक के अंश में प्रतिस्थापित करने पर:

अंश = 3 - sin² A + cos² A अंश = 3 - (1 - cos² A) + cos² A अंश = 3 - 1 + cos² A + cos² A अंश = 2 + 2 cos² A

अब, इस सरलीकृत अंश को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

(2 + 2 cos² A) / (2 + 2 cos² A) = 1

व्याख्या

मान लीजिए P वह बाह्य बिंदु है जहाँ से केंद्र O और त्रिज्या OA = 6 सेमी वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची जाती हैं।

दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण APB = 120° है। चूँकि बाह्य बिंदु को वृत्त के केंद्र से मिलाने वाली रेखा स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है, इसलिए कोण APO = 120° / 2 = 60° है।

त्रिज्या OA स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा PA के लंबवत होती है, जिससे त्रिभुज OAP, A पर समकोण त्रिभुज बनता है।

समकोण त्रिभुज OAP में, कोण APO के स्पर्शज्या (tangent) का त्रिकोणमितीय अनुपात है: tan(60°) = OA / AP

tan(60°) = √3 और OA = 6 सेमी को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: √3 = 6 / AP AP = 6 / √3 AP = 2√3 सेमी

व्याख्या

शीर्ष A पर बाह्य कोण और आंतरिक कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° होता है। इसलिए, आंतरिक कोण A है: कोण A = 180° - 115° = 65°

चूंकि कोण A और B बराबर हैं, इसलिए आंतरिक कोण B है: कोण B = 65°

त्रिभुज में तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: कोण A + कोण B + कोण C = 180° 65° + 65° + कोण C = 180° 130° + कोण C = 180° कोण C = 180° - 130° = 50°

व्याख्या

घनाभ का आयतन V = l × b × h होता है। चूँकि केवल लंबाई और चौड़ाई बढ़ाई जाती है जबकि ऊँचाई स्थिर मानी जाती है, आयतन में प्रतिशत वृद्धि लंबाई और चौड़ाई की क्रमिक प्रतिशत वृद्धि है।

दो क्रमिक वृद्धि a% और b% के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = a + b + ab/100

सूत्र में a = 7 और b = 6 रखने पर: शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 7 + 6 + (7 × 6)/100 = 13 + 42/100 = 13.42%

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sec² θ = 1 + tan² θ

दिए गए मान tan θ = 4/5 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: sec² θ = 1 + (4/5)² sec² θ = 1 + 16/25 sec² θ = (25 + 16)/25 sec² θ = 41/25

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: sec θ = √41/5

व्याख्या

खरीदी गई वस्तुओं की कुल लागत बैग, अभ्यास पुस्तिका और पेन की व्यक्तिगत कीमतों का योग है: कुल लागत = 560 + 90 + 45 = 695

व्यापारी कुल खरीद पर 10% की छूट प्रदान करता है: छूट = 695 का 10% = 0.10 × 695 = 69.50

व्याख्या

किसी नक्शे के रैखिक पैमाने और क्षेत्र पैमाने के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्र पैमाना = (रैखिक पैमाना)²

दिया गया रैखिक पैमाना 0.2 सेमी से 1 किमी है, जिसका अर्थ है: रैखिक पैमाना कारक = 0.2 सेमी/किमी

इस पैमाने कारक का वर्ग करने पर क्षेत्र पैमाना कारक प्राप्त होता है: क्षेत्र पैमाना कारक = (0.2)² = 0.04 सेमी²/किमी²

22500 किमी² के वास्तविक क्षेत्रफल को दर्शाने वाले नक्शे के क्षेत्रफल का पता लगाने के लिए: नक्शे का क्षेत्रफल = वास्तविक क्षेत्रफल × क्षेत्र पैमाना कारक नक्शे का क्षेत्रफल = 22500 × 0.04 = 900 सेमी²

यह 900 के संख्यात्मक मान के अनुरूप है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज PQR में, तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए PQ = QR = PR। P से QR पर खींचा गया लंब PM, शीर्षलंब के रूप में कार्य करता है और आधार QR को समद्विभाजित भी करता है। इस प्रकार, QM = QR / 2 = PQ / 2। समकोण त्रिभुज PMQ में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: PQ² = PM² + QM² QM = PQ / 2 को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: PQ² = PM² + (PQ / 2)² PQ² = PM² + PQ² / 4 PQ² - PQ² / 4 = PM² ¾ PQ² = PM² 3PQ² = 4PM²

व्याख्या

चतुर्भुज OSPT में, त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है, इसलिए ∠OSP = 90° और ∠OTP = 90°। चूँकि चतुर्भुज में आंतरिक कोणों का योग 360° होता है, केंद्र O और बाह्य बिंदु P पर सम्मुख कोण संपूरक होते हैं: ∠SOT + ∠SPT = 180° ∠SOT = 180° - 130° = 50°

त्रिभुज OST में, OS और OT वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बनता है जहाँ OS = OT। परिणामस्वरूप, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं: ∠OST = ∠OTS

त्रिभुज OST के कोण योग गुण का उपयोग करके: ∠OST + ∠OTS + ∠SOT = 180° 2 × ∠OST + 50° = 180° 2 × ∠OST = 130° ∠OST = 65°

व्याख्या

समग्र लाभ प्रतिशत की गणना मूल्य कारक और वजन कारक के गुणनफल का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ वास्तविक वजन 600 ग्राम के बजाय 550 ग्राम दिया गया है।

मूल्य कारक = 42 / 40 = 21 / 20

वजन कारक = दावा किया गया वजन / वास्तविक वजन = 600 / 550 = 12 / 11

समग्र लाभ कारक = मूल्य कारक × वजन कारक = (21 / 20) × (12 / 11) = 63 / 55

लाभ प्रतिशत = (समग्र लाभ कारक - 1) × 100 लाभ प्रतिशत = (63 / 55 - 1) × 100 = (8 / 55) × 100 = 160 / 11 % ≈ 14.54%

व्याख्या

मान लीजिए एक कलम का अंकित मूल्य ₹1 है।

खुदरा विक्रेता 44 कलमों के अंकित मूल्य पर 50 कलम खरीदता है। इसलिए, 50 कलमों का क्रय मूल्य है: क्रय मूल्य = ₹44

खुदरा विक्रेता इन 50 कलमों को उनके अंकित मूल्य पर 1% की छूट पर बेचता है। 50 कलमों का अंकित मूल्य ₹50 है, इसलिए 50 कलमों का विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = 50 × (1 - 0.01) = 50 × 0.99 = ₹49.5

खुदरा विक्रेता द्वारा किया गया लाभ है: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 49.5 - 44 = ₹5.5

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (5.5 / 44) × 100 = (1 / 8) × 100 = 12.5%

व्याख्या

मान लीजिए कि उस महीने प्रकाश का कुल वेतन S है।

बच्चों की शिक्षा और ट्रस्ट को दान पर खर्च किए गए वेतन का कुल प्रतिशत व्यक्तिगत प्रतिशत का योग है: कुल खर्च प्रतिशत = 27% + 4% = 31%

प्रश्न के अनुसार, इन दो मदों पर कुल खर्च की गई राशि ₹3,038 है। इसलिए, हम संबंध लिख सकते हैं: S का 31% = 3,038

S × 31/100 = 3,038

S = (3,038 × 100) ÷ 31

S = 98 × 100

S = 9,800

इस प्रकार, उस महीने प्रकाश का कुल वेतन ₹9,800 है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

छूट की दर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट % = ((अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य) × 100

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: अंकित मूल्य = ₹850 विक्रय मूल्य = ₹700

छूट = 850 - 700 = ₹150

छूट % = (150 / 850) × 100 छूट % = (15 / 85) × 100 छूट % = (3 / 17) × 100 छूट % = 300 / 17 छूट % ≈ 17.64%

व्याख्या

माना √(a/b) = x। चूँकि √(b/a) = 1/x है, इसलिए दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x = 8/3 - 1/x x + 1/x = 8/3

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = (8/3)² x² + 2 + 1/x² = 64/9 x² + 1/x² = 64/9 - 2 x² + 1/x² = 46/9

x² = a/b को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a/b + b/a = 46/9

हमें दिया गया है कि a - b = 10। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (a - b)² = 100 a² - 2ab + b² = 100

पूरे समीकरण को ab से विभाजित करने पर: (a² - 2ab + b²) / ab = 100 / ab a/b - 2 + b/a = 100 / ab (a/b + b/a) - 2 = 100 / ab

a/b + b/a = 46/9 के मान को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 46/9 - 2 = 100 / ab 28/9 = 100 / ab ab = 900 / 28 ab = 225 / 7 ab = 32 1/7

व्याख्या

दो पदों के योग के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका को द्विपद (a + b) को स्वयं से गुणा करके प्राप्त किया जाता है:

(a + b)² = (a + b)(a + b)

योग पर गुणन के वितरण गुण को लागू करके, हम इस गुणनफल का विस्तार करते हैं:

(a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b²

चूंकि वास्तविक संख्याओं के लिए गुणन क्रमविनिमेय होता है, इसलिए ab, ba के बराबर होता है। इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:

a² + b² + 2ab

यह समीकरण चर a और b के सभी संभावित वास्तविक या सम्मिश्र मानों के लिए सत्य है, जो इसे एक मानक गणितीय सर्वसमिका बनाता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके, हम आवश्यक मान ज्ञात करने के लिए दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग कर सकते हैं।

हमें दिया गया है: tan θ - cot θ = 4

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (tan θ - cot θ)² = 4² tan²θ + cot²θ - 2 tan θ cot θ = 16

चूंकि tan θ और cot θ व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन हैं, उनका गुणनफल 1 के बराबर होता है: tan θ cot θ = 1

इस संबंध को वर्ग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: tan²θ + cot²θ - 2(1) = 16 tan²θ + cot²θ - 2 = 16 tan²θ + cot²θ = 16 + 2 tan²θ + cot²θ = 18

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: CI = P × ((1 + R/100)ⁿ - 1)

दिया गया है: मूलधन P = 25000 दर R = 10% समय n = 3 वर्ष

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: CI = 25000 × ((1 + 10/100)³ - 1) CI = 25000 × (1.1³ - 1) CI = 25000 × (1.331 - 1) CI = 25000 × 0.331 CI = 8275

व्याख्या

एक समचतुर्भुज STUV में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है SV = UV और ST = UT।

त्रिभुज SUV में, चूँकि SV = UV है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे। इसलिए, ∠USV = ∠SUV = 44°।

त्रिभुज SUV में कोणों का योग 180° है: ∠SVU + ∠SUV + ∠USV = 180° ∠SVU + 44° + 44° = 180° ∠SVU + 88° = 180° ∠SVU = 92°

त्रिभुज STU में, चूँकि ST = UT है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होंगे, इसलिए ∠TSU = ∠TUS।

त्रिभुज STU में कोणों का योग 180° है: ∠STU + ∠TSU + ∠TUS = 180° 92° + 2 ∠TSU = 180° 2 ∠TSU = 88° ∠TSU = 44°

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 4 ∠SVU - 3 ∠TSU = 4 × 92° - 3 × 44° = 368° - 132° = 236°

व्याख्या

संचालन के क्रम का उपयोग करके, समीकरण के प्रत्येक पद को सरल करें:

सबसे पहले, पद (2² + 4)² × (3 - 5) का मूल्यांकन करें: 2² + 4 = 4 + 4 = 8 8² = 64 3 - 5 = -2 64 × (-2) = -128

अगला, 400 का 20% परिकलित करें: 20% × 400 = 0.20 × 400 = 80

फिर, 30 का 30% परिकलित करें: 30% × 30 = 0.30 × 30 = 9

अब, इन सरलीकृत पदों को मूल समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: -128 + 80 + (x/100) × 30 = 9

रैखिक समीकरण को सरल करें: -48 + 0.3x = 9 0.3x = 9 + 48 0.3x = 57 x = 57 / 0.3 x = 190

व्याख्या

किसी व्यवसाय में लाभ का बंटवारा भागीदारों के निवेश अनुपात के सीधे आनुपातिक होता है।

मान लीजिए अनाम और बिकाश का लाभ क्रमशः 3x और 2x है। इसलिए कुल लाभ 3x + 2x = 5x है।

अनाम का लाभ 3x = ₹3,840 दिया गया है।

x के लिए हल करना: x = 3840 ÷ 3 = 1280

कुल लाभ है: 5x = 5 × 1280 = ₹6,400

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र का प्रयोग करके:

M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂

जहाँ M व्यक्तियों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, और H प्रतिदिन काम किए गए घंटों की संख्या है।

दिया गया है: M₁ = 7, D₁ = 14, H₁ = 4 M₂ = 12, H₂ = 8

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

7 × 14 × 4 = 12 × D₂ × 8

392 = 96 × D₂

D₂ = 392 / 96

अंश और हर को 8 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर:

D₂ = 49 / 12 = 4 1/12 दिन

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में चलती हैं तो सापेक्ष गति के सूत्र का उपयोग करके ट्रेन की गति ज्ञात की जा सकती है। सापेक्ष गति ट्रेन की लंबाई को लिए गए समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जो 130 मीटर को 6.5 सेकंड से विभाजित करने पर 20 मी/से (या 72 किमी/घंटा) आती है। इस सापेक्ष गति में व्यक्ति की 12 किमी/घंटा की गति जोड़ने पर ट्रेन की गति 84 किमी/घंटा आती है।

व्याख्या

द्विकोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: tan(2A) = (2 tan A) / (1 - tan² A)

सर्वसमिका में A = 30° का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर: tan(2 × 30°) = tan(60°)

चूंकि tan(60°) = √3 है, इसलिए दिए गए व्यंजक का मान √3 है।

व्याख्या

s भुजा वाले घन का आयतन सूत्र V = s³ द्वारा दिया जाता है।

जब तीन धातु के घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया जाता है, तो नए घन का कुल आयतन तीन अलग-अलग घनों के आयतनों का योग होता है: V = 15³ + 18³ + 25³ V = 3375 + 5832 + 15625 V = 24832 घन सेमी

मान लीजिए नए बने घन की भुजा a है। इस घन का आयतन a³ = 24832 है।

भुजा की लंबाई a ज्ञात करने के लिए, हम कुल आयतन का घनमूल लेते हैं: a = ∛24832 a = ∛(64 × 388) a = 4 ∛388 सेमी

व्याख्या

प्रत्येक वाहन प्रकार की अधिकतम कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम तीनों शहरों (B, C, और K) में प्रत्येक वाहन प्रकार का योग (हजारों में) निकालते हैं:

कुल कारें = 4.5 + 3.0 + 3.0 = 10.5 हजार कुल बसें = 2.5 + 3.0 + 4.5 = 10.0 हजार कुल ट्रक = 3.4 + 3.5 + 3.5 = 10.4 हजार कुल बाइक = 3.2 + 3.3 + 3.4 = 9.9 हजार

कुलों की तुलना करने पर, कारों की संख्या 10.5 हजार के साथ सर्वाधिक है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: x + 2/x = 1

पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर: x² + 2 = x

हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है: (x² + 7x + 2) / (x² + 13x + 2)

अंश और हर दोनों में पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हम x² और 2 को एक साथ समूहित कर सकते हैं: ((x² + 2) + 7x) / ((x² + 2) + 13x)

x² + 2 = x को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (x + 7x) / (x + 13x) = 8x / 14x = 8/14 = 4/7

व्याख्या

किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर त्रिज्याओं द्वारा बनाया गया कोण संपूरक होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है, जिससे स्पर्श बिंदुओं पर प्रत्येक कोण 90° हो जाता है। चूँकि चतुर्भुज में कोणों का योग 360° होता है, इसलिए शेष दो सम्मुख कोणों का योग 180° होना चाहिए।

संबंध का उपयोग करके: स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण + त्रिज्याओं के बीच का कोण = 180°

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण + 100° = 180° स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण = 180° - 100° = 80°