एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, ज्ञात भुजाओं a और b वाले त्रिभुज की तीसरी भुजा c की लंबाई निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करनी चाहिए: |a - b| < c < a + b

दी गई भुजाओं की लंबाई, a = 14 सेमी और b = 9 सेमी, को प्रतिस्थापित करने पर: |14 - 9| < c < 14 + 9 5 < c < 23

तीसरी भुजा की लंबाई 5 सेमी से अधिक और 23 सेमी से कम होनी चाहिए। मान 17 सेमी इस असमानता को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a - b - ab/100

जहाँ a क्रय मूल्य से अधिक प्रतिशत वृद्धि (10%) है और b अंकित मूल्य पर प्रतिशत छूट (10%) है।

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 10 - 10 - (10 × 10)/100 = -1%

ऋणात्मक चिह्न क्रय मूल्य की तुलना में मूल्य में शुद्ध कमी को दर्शाता है, जो 1% की हानि का प्रतिनिधित्व करता है। ₹550 का वास्तविक अंकित मूल्य प्रतिशत की गणना के लिए अनावश्यक है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, tan θ = सम्मुख भुजा/आधार = 3/4।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, कर्ण = √(सम्मुख भुजा² + आधार²) = √(3² + 4²) = √25 = 5।

इससे sin θ = सम्मुख भुजा/कर्ण = 3/5 प्राप्त होता है।

दिए गए व्यंजक में sin θ का मान रखने पर:

(1 + sin θ) / (1 - sin θ) = (1 + 3/5) / (1 - 3/5) = (8/5) / (2/5) = 8/2 = 4।

व्याख्या

20% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज दर पर 2 वर्ष के बाद ₹9,360 की भविष्य की राशि का वर्तमान मूल्य (PV) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र PV = FV / (1 + r)ⁿ का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें PV = 9,360 / (1.20)² = 9,360 / 1.44 = ₹6,500 प्राप्त होता है।

व्याख्या

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: शुद्ध परिवर्तन = x + y + (xy/100)। x = 18 (अंकन) और y = -24 (छूट) रखने पर, हमें 18 - 24 + (18 * -24)/100 = -6 - 4.32 = -10.32% प्राप्त होता है, जो 10.32% की हानि को दर्शाता है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम (alligation) के अनुसार, मिश्रण में दो घटकों की मात्राओं का अनुपात निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

पानी का दूध से अनुपात = (दूध का क्रय मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - पानी का क्रय मूल्य)

यह मानते हुए कि पानी की लागत ₹0 प्रति लीटर है और मिश्रण को उसके क्रय मूल्य ₹30 प्रति लीटर पर बेचा जाता है:

दूध का क्रय मूल्य = ₹40 पानी का क्रय मूल्य = ₹0 मिश्रण का औसत मूल्य = ₹30

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

पानी का दूध से अनुपात = (40 - 30) / (30 - 0) = 10 / 30 = 1 / 3

इस प्रकार, मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात 1 : 3 है।

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज ABC में, सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और प्रत्येक कोण 60° मापता है, इसलिए AB = BC = AC और ∠ACB = 60°। चूँकि भुजा BC को बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि BC = CD, और हम जानते हैं कि BC = AC, इसलिए AC = CD।

बिंदु B, C, और D एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि ∠ACB और ∠ACD एक रैखिक युग्म बनाते हैं। इसलिए, ∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 60° = 120°।

त्रिभुज ACD में, क्योंकि AC = CD है, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है ∠CAD = ∠CDA। चूँकि त्रिभुज ACD में कोणों का योग 180° होता है, हमारे पास ∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180° है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर 2 × ∠CAD + 120° = 180° प्राप्त होता है, जो 2 × ∠CAD = 60° को सरल करता है, और इस प्रकार ∠CAD = 30°।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों, a + b + c = 13 और ab + bc + ca = 45, को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: 13² = a² + b² + c² + 2(45)

169 = a² + b² + c² + 90

a² + b² + c² का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से 90 घटाएं: a² + b² + c² = 169 - 90 = 79

व्याख्या

मान लीजिए एक वस्तु का क्रय मूल्य CP, अंकित मूल्य MP और विक्रय मूल्य SP है।

पहली शर्त से, 85 वस्तुओं का अंकित मूल्य 153 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है: 85 × MP = 153 × CP MP / CP = 153 / 85 MP / CP = 9 / 5

दूसरी शर्त से, 104 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 65 वस्तुओं के अंकित मूल्य के बराबर है: 104 × SP = 65 × MP SP / MP = 65 / 104 SP / MP = 5 / 8

विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, दोनों अनुपातों को गुणा करें: SP / CP = (SP / MP) × (MP / CP) SP / CP = (5 / 8) × (9 / 5) SP / CP = 9 / 8

इसका मतलब है कि यदि क्रय मूल्य 8 इकाई है, तो विक्रय मूल्य 9 इकाई है।

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (SP - CP) / CP × 100% लाभ % = (9 - 8) / 8 × 100% लाभ % = 1/8 × 100% = 12.5%

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

जहाँ: P मूलधन है = 450 R प्रति वर्ष ब्याज दर है = 4.5% SI अर्जित साधारण ब्याज है = 81 T वर्षों में समय अवधि है

समय T का मान निकालने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: T = (SI × 100) / (P × R)

मानों को समीकरण में रखने पर: T = (81 × 100) / (450 × 4.5) T = 8100 / 2025 T = 4 वर्ष

व्याख्या

राम के वेतन और घनश्याम के वेतन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, दिए गए दो अनुपातों का संयुक्त अनुपात (compound ratio) ज्ञात किया जाता है।

मान लीजिए R राम का वेतन, S श्याम का वेतन और G घनश्याम का वेतन दर्शाता है।

दिए गए अनुपात हैं: R/S = 3/4 S/G = 5/6

इन दोनों अनुपातों को गुणा करने पर राम के वेतन और घनश्याम के वेतन का अनुपात प्राप्त होता है: R/G = (R/S) × (S/G) R/G = (3/4) × (5/6) R/G = 15/24

अंश और हर को 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर: R/G = 5/8

इस प्रकार, राम के वेतन और घनश्याम के वेतन का अनुपात 5 : 8 है।

व्याख्या

घनाभाकार डिब्बे का आयतन निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

इस सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1875 = 25 × 15 × ऊँचाई 1875 = 375 × ऊँचाई ऊँचाई = 1875 / 375 ऊँचाई = 5 सेमी

व्याख्या

प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय के अनुसार, जब एक वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD एक बिंदु P पर आंतरिक रूप से प्रतिच्छेद करती हैं, तो जीवाओं के खंडों का गुणनफल बराबर होता है:

PA × PB = PC × PD

जीवा AB की लंबाई उसके खंडों PA और PB का योग है:

AB = PA + PB

दिया गया है AB = 16 सेमी और PB = 6 सेमी, तो खंड PA है:

PA = 16 - 6 = 10 सेमी

प्रतिच्छेदी जीवा सूत्र में PA, PB और PD के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

10 × 6 = PC × 12

60 = PC × 12

PC = 60 ÷ 12 = 5 सेमी

व्याख्या

पाँच छात्रों के औसत अंक ज्ञात करने के लिए, औसत सूत्र का प्रयोग करें:

औसत = (सभी अंकों का योग) ÷ (छात्रों की कुल संख्या)

सबसे पहले, अजय, प्रणय, महेंद्र, झरना और दीप्ति द्वारा प्राप्त अंकों का योग ज्ञात करें: योग = 85 + 72 + 70 + 84 + 94 = 405

चूंकि कुल 5 छात्र हैं, योग को 5 से विभाजित करें: औसत = 405 ÷ 5 = 81

व्याख्या

वस्तु का क्रय मूल्य CP = ₹80 है और अंकित मूल्य MP = ₹125 है।

अंकित मूल्य पर 40% की छूट दी जाती है।

छूट = 125 का 40% = (40 / 100) × 125 = ₹50

विक्रय मूल्य है: SP = MP - छूट = 125 - 50 = ₹75

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है, इसलिए हानि होती है: हानि = CP - SP = 80 - 75 = ₹5

हानि प्रतिशत है: हानि % = (हानि / CP) × 100% = (5 / 80) × 100% = (1 / 16) × 100% = 6.25%

व्याख्या

सुभाष की आँखों, पेड़ के ऊपरी सिरे और इमारत के ऊपरी सिरे को दर्शाने वाले बिंदुओं की संरेखीयता ढलान सूत्र के उपयोग की अनुमति देती है। सुभाष की स्थिति को मूल x = 0 मानें।

तीन वस्तुओं के ऊपरी सिरों का प्रतिनिधित्व करने वाले निर्देशांक हैं: सुभाष की आँखें: (0, h) पेड़ का ऊपरी सिरा: (7.5, 3.15) इमारत का ऊपरी सिरा: (7.5 + 45, 11.25) = (52.5, 11.25)

चूंकि ये तीन बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, इसलिए पेड़ और इमारत के बीच के रेखा खंड का ढलान सुभाष की आँखों और पेड़ के बीच के रेखा खंड के ढलान के बराबर होना चाहिए:

(11.25 - 3.15) / (52.5 - 7.5) = (3.15 - h) / (7.5 - 0)

8.1 / 45 = (3.15 - h) / 7.5

0.18 = (3.15 - h) / 7.5

3.15 - h = 0.18 × 7.5

3.15 - h = 1.35

h = 3.15 - 1.35

h = 1.8

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या R है। वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

10 सेमी लंबाई की छोटी जीवा के लिए, समद्विभाजित लंबाई 10/2 = 5 सेमी है। चूँकि केंद्र से इसकी दूरी 12 सेमी है, हम त्रिज्या, लंबवत दूरी और जीवा के आधे भाग से बने समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं: R² = 12² + 5² R² = 144 + 25 = 169 R = 13 सेमी

24 सेमी लंबाई की बड़ी जीवा के लिए, समद्विभाजित लंबाई 24/2 = 12 सेमी है। मान लीजिए केंद्र से इसकी दूरी d है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: R² = d² + 12² 169 = d² + 144 d² = 25 d = 5 सेमी

चूँकि जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं, उनके बीच की कुल दूरी केंद्र से उनकी लंबवत दूरियों का योग है: दूरी = 12 + 5 = 17 सेमी।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, sin²θ + cos²θ = 1। चूँकि θ एक न्यून कोण है, sin θ धनात्मक होना चाहिए।

इसलिए, हमारे पास है:

sin θ = √(1 - cos²θ)

cos θ = 39/89 का दिया गया मान रखने पर:

sin θ = √(1 - (39/89)²) sin θ = √((89² - 39²) / 89²)

वर्गों के अंतर का सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके:

89² - 39² = (89 - 39)(89 + 39) = 50 × 128 = 6400

इस प्रकार:

sin θ = √(6400 / 89²) = 80/89

व्याख्या

छूट की दर की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = ((अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) ÷ अंकित मूल्य) × 100

दिया गया है: अंकित मूल्य = ₹1,350 विक्रय मूल्य = ₹1,188

छूट = 1,350 - 1,188 = ₹162

छूट प्रतिशत = (162 ÷ 1,350) × 100 = 12%

व्याख्या

हम बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करते हैं: (a + 1/a)³ = a³ + 1/a³ + 3(a + 1/a)

इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a)

दिए गए मान a + 1/a = 5 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a³ + 1/a³ = 5³ - 3(5) a³ + 1/a³ = 125 - 15 a³ + 1/a³ = 110

व्याख्या

दिए गए संबंध से: tan θ × tan 2θ = 1

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: tan 2θ = 1 / tan θ tan 2θ = cot θ tan 2θ = tan(90° - θ)

कोणों की तुलना करने पर: 2θ = 90° - θ 3θ = 90° θ = 30°

व्यंजक cot 5θ में θ = 30° रखने पर: cot 5θ = cot(5 × 30°) cot 5θ = cot 150° cot 150° = cot(180° - 30°) cot 150° = -cot 30° cot 150° = -√3

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम गुणक विधि का उपयोग कर सकते हैं।

8% लाभ पर बेचने के लिए लाभ गुणक है: 1 + 8/100 = 1.08

25% कम वजन का उपयोग करने के कारण गुणक, जिसका अर्थ है कि समान मूल्य के लिए वास्तविक मात्रा का 75% बेचना, है: 1 / (1 - 25/100) = 1 / 0.75 = 4/3

लेन-देन के लिए समग्र गुणक इन दो गुणकों का गुणनफल है: समग्र गुणक = 1.08 × 4/3 = 4.32 / 3 = 1.44

इस गुणक को प्रतिशत लाभ में वापस बदलने के लिए: लाभ प्रतिशत = (1.44 - 1) × 100 = 44%

व्याख्या

सबसे पहले, 22 मई 1993 से 2 अगस्त 1993 तक दिनों की कुल संख्या की गणना करें, जिसमें दोनों दिन शामिल हैं: मई में दिनों की संख्या = 10 दिन (22 मई से 31 मई तक) जून में दिनों की संख्या = 30 दिन जुलाई में दिनों की संख्या = 31 दिन अगस्त में दिनों की संख्या = 2 दिन (1 अगस्त और 2 अगस्त) कुल दिन = 10 + 30 + 31 + 2 = 73 दिन

चूंकि 1993 एक गैर-अधिवर्ष है, वर्ष में दिनों की कुल संख्या 365 है। समय T वर्षों में = 73/365 = 1/5 वर्ष

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

सूत्र में P = 12,300, R = 12, और T = 1/5 मान रखें: SI = (12300 × 12 × 1/5) / 100 SI = 123 × 12 / 5 SI = 1476 / 5 SI = 295.2

295.2 को निकटतम दस के स्थान तक पूर्णांकित करने पर 300 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है, और PQ 3 सेमी लंबाई की जीवा है। O से PQ पर डाला गया लम्ब M बिंदु पर मिलता है, जो PQ को समद्विभाजित करता है।

इसलिए, PM = PQ/2 = 3/2 = 1.5 सेमी।

वृत्त की त्रिज्या OP 1.7 सेमी है। समकोण त्रिभुज OMP में, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं:

OP² = OM² + PM²

1.7² = OM² + 1.5²

2.89 = OM² + 2.25

OM² = 2.89 - 2.25

OM² = 0.64

OM = √0.64 = 0.8 सेमी

वृत्त के केंद्र से रेखा खंड PQ की दूरी 0.8 सेमी है।

व्याख्या

जब दो व्यक्ति एक वृत्ताकार ट्रैक पर विपरीत दिशाओं में दौड़ते हैं जिसकी लंबाई L है, तो मिलने में लगने वाला समय सूत्र द्वारा दिया जाता है: समय = ट्रैक की लंबाई / सापेक्ष गति, जहाँ सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है।

पहली मुलाकात के लिए, प्रारंभिक गति 10 मीटर/सेकंड और 40 मीटर/सेकंड है। सापेक्ष गति 10 + 40 = 50 मीटर/सेकंड है। पहली मुलाकात के लिए लगने वाला समय 400 / 50 = 8 सेकंड है।

पहली मुलाकात के बाद, A की गति दोगुनी होकर 20 मीटर/सेकंड हो जाती है और B की गति आधी होकर 20 मीटर/सेकंड हो जाती है। इस चरण के लिए सापेक्ष गति 20 + 20 = 40 मीटर/सेकंड है। पहली और दूसरी मुलाकात के बीच लगने वाला समय 400 / 40 = 10 सेकंड है।

दूसरी मुलाकात के बाद, A की गति दोगुनी होकर 40 मीटर/सेकंड हो जाती है और B की गति आधी होकर 10 मीटर/सेकंड हो जाती है। इस चरण के लिए सापेक्ष गति 40 + 10 = 50 मीटर/सेकंड है। दूसरी और तीसरी मुलाकात के बीच लगने वाला समय 400 / 50 = 8 सेकंड है।

प्रारंभ से लेकर तीसरी बार मिलने तक बीता कुल समय इन व्यक्तिगत समय अंतरालों का योग है: 8 + 10 + 8 = 26 सेकंड।

व्याख्या

जनसंख्या की शुद्ध वार्षिक वृद्धि दर वार्षिक जन्म दर और वार्षिक मृत्यु दर के बीच का अंतर है।

शुद्ध वृद्धि दर (r) = 6% - 3% = 3% प्रति वर्ष

n वर्षों के बाद जनसंख्या चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र द्वारा दी जाती है: P_वर्तमान = P × (1 + r/100)ⁿ

प्रारंभिक जनसंख्या P = 5,00,000, दर r = 3%, और समय n = 2 वर्ष का मान रखने पर: P_वर्तमान = 5,00,000 × (1 + 3/100)² P_वर्तमान = 5,00,000 × (1.03)² P_वर्तमान = 5,00,000 × 1.0609 P_वर्तमान = 5,30,450

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 2 ½ = 5/2 1 ⅞ = 15/8 9 ⅜ = 75/8 11 ⅔ = 35/3

BODMAS नियम का पालन करते हुए व्यंजक का मूल्यांकन करें, जो "of" ऑपरेटर को विभाजन से पहले प्राथमिकता देता है।

सबसे पहले, दूसरे कोष्ठक के अंदर "of" संक्रिया को हल करें: 11 ⅔ of ⅛ = 35/3 × 1/8 = 35/24

इसके बाद, पहले कोष्ठक को सरल करें: 2 ½ ÷ 1 ⅞ = 5/2 ÷ 15/8 = 5/2 × 8/15 = 4/3

इसके बाद, दूसरे कोष्ठक को सरल करें: 9 ⅜ ÷ (35/24) = 75/8 ÷ 35/24 = 75/8 × 24/35 = 45/7

अंत में, दो सरल कोष्ठक पदों को विभाजित करें: 4/3 ÷ 45/7 = 4/3 × 7/45 = 28/135

व्याख्या

69 और 92 के बीच स्थित अभाज्य संख्याएँ 71, 73, 79, 83 और 89 हैं।

उनका औसत ज्ञात करने के लिए, सूत्र का प्रयोग करें:

औसत = मानों का योग ÷ मानों की संख्या

अभाज्य संख्याओं का योग = 71 + 73 + 79 + 83 + 89 = 395

अभाज्य संख्याओं की संख्या = 5

औसत = 395 ÷ 5 = 79

व्याख्या

मध्य बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। चूँकि P और Q क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं, PQ = ½ BC, जिसका अर्थ है BC = 2 PQ।

बिंदु R, PQ पर इस प्रकार स्थित है कि PR:RQ = 1:3। दिया गया है कि PR = 6 सेमी, RQ की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: RQ = 3 × PR = 3 × 6 = 18 सेमी

PQ की कुल लंबाई है: PQ = PR + RQ = 6 + 18 = 24 सेमी

मध्य बिंदु संबंध में PQ का मान प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: BC = 2 × PQ = 2 × 24 = 48 सेमी

व्याख्या

गोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = 4/3 π r³

गोले का व्यास 14 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r है:

r = 14 / 2 = 7 सेमी

π = 22/7 के साथ सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना:

V = 4/3 × 22/7 × 7³ V = 4/3 × 22/7 × 343 V = 4/3 × 22 × 49 V = 4312/3 सेमी³

इस अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना:

4312/3 = 1437 ⅓ सेमी³

व्याख्या

सही उत्तर: D

दिया गया है कि x = 7 + 3√5, हम पहले (a + b)² = a² + b² + 2ab सर्वसमिका का उपयोग करके x² की गणना करते हैं:

x² = (7 + 3√5)² x² = 7² + (3√5)² + 2 × 7 × 3√5 x² = 49 + 45 + 42√5 x² = 94 + 42√5

अगला, हम हर का परिमेयकरण करके 1/x ज्ञात करते हैं:

1/x = 1 / (7 + 3√5) अंश और हर को (7 - 3√5) से गुणा करने पर: 1/x = (7 - 3√5) / (7² - (3√5)²) 1/x = (7 - 3√5) / (49 - 45) 1/x = (7 - 3√5) / 4

अब, हम 1/x² ज्ञात करने के लिए 1/x का वर्ग करते हैं:

1/x² = ((7 - 3√5) / 4)² 1/x² = (7² + (3√5)² - 2 × 7 × 3√5) / 16 1/x² = (49 + 45 - 42√5) / 16 1/x² = (94 - 42√5) / 16 1/x² = (47 - 21√5) / 8

x² + 1/x² का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों व्यंजकों को जोड़ते हैं:

x² + 1/x² = (94 + 42√5) + (47 - 21√5) / 8

पहले पद को 8 के सामान्य हर के साथ व्यक्त करने पर:

x² = (8 × (94 + 42√5)) / 8 x² = (752 + 336√5) / 8

दोनों भिन्नों को जोड़ने पर:

x² + 1/x² = (752 + 336√5 + 47 - 21√5) / 8 x² + 1/x² = (799 + 315√5) / 8

व्याख्या

विभिन्न खर्चों पर खर्च की गई आय का कुल प्रतिशत है: 12% + 8% + 20% = 40%

शेष बची राशि का प्रतिशत है: 100% - 40% = 60%

यह देखते हुए कि यह शेष राशि ₹36,000 के बराबर है, हम कुल आय (S) के लिए संबंध स्थापित कर सकते हैं: S का 60% = 36,000 0.60 × S = 36,000 S = 36,000 / 0.60 = 60,000

व्याख्या

कुल कार्य को व्यक्तिगत दिनों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा दर्शाया जाता है, जो कि LCM(9, 18, 30) = 90 इकाई है।

दैनिक कार्य दर या दक्षता की गणना इस प्रकार की जाती है: A, B और C की संयुक्त दर = 90 ÷ 9 = 10 इकाई/दिन A की अकेले दर = 90 ÷ 18 = 5 इकाई/दिन B की अकेले दर = 90 ÷ 30 = 3 इकाई/दिन

C की अकेले दैनिक दर है: C की दर = संयुक्त दर - A की दर - B की दर C की दर = 10 - 5 - 3 = 2 इकाई/दिन

C द्वारा 90 इकाई के कुल कार्य को पूरा करने में अकेले लगने वाले दिनों की संख्या है: समय = कुल कार्य ÷ C की दर = 90 ÷ 2 = 45 दिन।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, हम cos A का मान ज्ञात कर सकते हैं: cos A = √(1 - sin²A) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5

tan A = sin A / cos A संबंध का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: tan A = (3/5) / (4/5) = 3/4

अब, दिए गए व्यंजक में cos A और tan A के मान प्रतिस्थापित कीजिए: cos A + tan A - 1 = 4/5 + 3/4 - 1

सरल करने के लिए, 5 और 4 का सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए, जो कि 20 है: cos A + tan A - 1 = 16/20 + 15/20 - 20/20 = (16 + 15 - 20) / 20 = 11/20

व्याख्या

दिया गया व्यंजक मानक त्रिकोणमितीय त्रिकोण कोण सर्वसमिका है: sin(3A) = 3 sin A - 4 sin³A

दिए गए समीकरण से: 4 sin²A - 3 = 0 sin²A = 3/4

चूंकि A प्रथम चतुर्थांश (0 ≤ A ≤ 90°) में स्थित है, sin A धनात्मक होना चाहिए: sin A = √3/2 यह A = 60° के संगत है।

सर्वसमिका में A = 60° का मान रखने पर: sin(3 × 60°) = sin(180°) = 0

वैकल्पिक रूप से, व्यंजक में सीधे sin A का मान रखने पर: 3(√3/2) - 4(√3/2)³ = 3√3/2 - 4(3√3/8) = 3√3/2 - 3√3/2 = 0

व्याख्या

दान से आय का उच्चतम प्रतिशत वाला स्कूल ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक स्कूल के लिए दान की राशि को उसकी कुल आय से विभाजित किया जाता है और 100 से गुणा किया जाता है।

स्कूल S के लिए: दान आय = 300 लाख रुपये कुल आय = 300 + 200 + 125 + 120 + 200 = 945 लाख रुपये दान से आय का प्रतिशत = (300 / 945) × 100 ≈ 31.75%

यह प्रतिशत सभी स्कूलों में सर्वाधिक है, क्योंकि अन्य स्कूलों के लिए संबंधित गणनाएँ इस प्रकार हैं: स्कूल P: (140 / 792) × 100 ≈ 17.68% स्कूल Q: (250 / 954) × 100 ≈ 26.21% स्कूल R: (200 / 960) × 100 ≈ 20.83% स्कूल T: (220 / 930) × 100 ≈ 23.66%

व्याख्या

मान लीजिए धारा की गति s किमी/घंटा है।

धारा के प्रतिकूल (upstream) नाव की गति 20 - s किमी/घंटा है, और धारा के अनुकूल (downstream) गति 20 + s किमी/घंटा है।

प्रत्येक दिशा में 22.5 किमी की कुल यात्रा के लिए लिया गया कुल समय 3 घंटे है। इससे संबंध प्राप्त होता है: 22.5 / (20 - s) + 22.5 / (20 + s) = 3

22.5 को उभयनिष्ठ लेकर और कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल बनाने पर: 22.5 × ( (20 + s + 20 - s) / (20² - s²) ) = 3 22.5 × ( 40 / (400 - s²) ) = 3 900 / (400 - s²) = 3 300 = 400 - s² s² = 100 s = 10

व्याख्या

किसी वस्तु का क्रय मूल्य (CP) सूत्र CP = SP ÷ (1 ± r/100) द्वारा दिया जाता है, जहाँ SP विक्रय मूल्य है और r प्रतिशत लाभ या हानि है।

पहली वस्तु के लिए, जिसे 25% की हानि पर बेचा गया है: CP₁ = 42,600 ÷ (1 - 0.25) = 42,600 ÷ 0.75 = ₹56,800

दूसरी वस्तु के लिए, जिसे 20% के लाभ पर बेचा गया है: CP₂ = 42,600 ÷ (1 + 0.20) = 42,600 ÷ 1.2 = ₹35,500

कुल क्रय मूल्य (Total CP) = 56,800 + 35,500 = ₹92,300 कुल विक्रय मूल्य (Total SP) = 2 × 42,600 = ₹85,200

चूंकि कुल क्रय मूल्य कुल विक्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लेन-देन में समग्र हानि होती है।

समग्र हानि = कुल क्रय मूल्य - कुल विक्रय मूल्य = 92,300 - 85,200 = ₹7,100

समग्र हानि प्रतिशत = (समग्र हानि ÷ कुल क्रय मूल्य) × 100 समग्र हानि प्रतिशत = (7,100 ÷ 92,300) × 100 ≈ 7.69%

दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर, समग्र हानि 7.7% है।

व्याख्या

साधारण ब्याज से प्राप्त राशि A की गणना सूत्र A = P × (1 + RT/100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

कम ब्याज दर वाले निवेश के लिए: P = ₹4,500, R = 5%, और T = 4 वर्ष। A₁ = 4500 × (1 + (5 × 4)/100) = 4500 × 1.20 = ₹5,400।

उच्च ब्याज दर वाले निवेश के लिए: P = ₹5,500, R = 8%, और T = 4 वर्ष। A₂ = 5500 × (1 + (8 × 4)/100) = 5500 × 1.32 = ₹7,260।

दूसरी राशि के संबंध में पहली राशि का प्रतिशत है: प्रतिशत = (A₁ / A₂) × 100 प्रतिशत = (5400 / 7260) × 100 ≈ 74.38%

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 74% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा स्पर्श बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है। इसलिए, त्रिज्या (r), स्पर्शरेखा खंड (t), और वृत्त के केंद्र को बाह्य बिंदु X (y) से जोड़ने वाला रेखा खंड एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ y कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: y² = r² + t²

यह देखते हुए कि त्रिज्या r = 20 सेमी और स्पर्शरेखा की लंबाई t = 21 सेमी है, इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: y² = 20² + 21² y² = 400 + 441 y² = 841 y = √841 y = 29

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2 का प्रयोग करके, हम दिए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं जिससे (x - 1/x)² = 29 - 2 = 27 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x - 1/x = ±√27 प्राप्त होता है, जो ±3√3 के रूप में सरल हो जाता है।

व्याख्या

दी गई तालिका से, कॉलम 1, 2, और 3 कंपनियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि पंक्तियाँ A, B, और C उत्पादों का प्रतिनिधित्व करती हैं। पूरी तालिका में अधिकतम उत्पादन मान 40 है। यह मान पंक्ति C (उत्पाद C) और कॉलम 3 (कंपनी 3) के प्रतिच्छेदन पर स्थित है, जो 40 इकाइयों के उत्पादन का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

एक ठोस गोले का आयतन V = 4/3 π r³ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि गोले का व्यास 42 सेमी है, त्रिज्या r व्यास का आधा है: r = 42 ÷ 2 = 21 सेमी

त्रिज्या और π = 22/7 के मानों को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 4/3 × 22/7 × 21³ V = 4/3 × 22/7 × 21 × 21 × 21

चूंकि 3 × 7 = 21, हर अंश में 21 के एक गुणनखंड को रद्द कर देता है: V = 4 × 22 × 21 × 21 V = 88 × 441 V = 38808 सेमी³

व्याख्या

3 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर मानक सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (r/100)² × (3 + r/100)

जहाँ P मूल राशि है और r ब्याज की वार्षिक दर है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, अंतर = 310 और r = 10:

310 = P × (10/100)² × (3 + 10/100)

310 = P × (1/10)² × (3 + 0.1)

310 = P × (1/100) × 3.1

310 = P × (31/1000)

P = 310 × (1000/31)

P = 10 × 1000

P = 10000

वह राशि ₹10,000 है।

व्याख्या

त्रिज्याएँ r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के लिए सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई = √(d² - (r₁ - r₂)²)

दिया गया है: r₁ = 8 सेमी r₂ = 5 सेमी d = 11 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

लंबाई = √(11² - (8 - 5)²) लंबाई = √(121 - 3²) लंबाई = √(121 - 9) लंबाई = √112 लंबाई = √(16 × 7) लंबाई = 4√7 सेमी

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

मान लीजिए a = 80, b = 70, और c = 50।

दिए गए व्यंजक को a, b, और c के पदों में इस प्रकार लिखा जा सकता है: (a³ + b³ + c³ - 3abc) / (a² + b² + c² - ab - bc - ca)

सर्वसमिका को अंश में प्रतिस्थापित करने पर, अंश और हर में (a² + b² + c² - ab - bc - ca) पद रद्द हो जाते हैं, जिससे व्यंजक सरल होकर यह बन जाता है: a + b + c

a, b, और c के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 80 + 70 + 50 = 200

व्याख्या

एक वृत्त में, व्यास द्वारा परिधि पर बनाया गया कोई भी कोण समकोण होता है। चूँकि EF वृत्त का व्यास है, बिंदु A पर EF द्वारा बनाया गया कोण ∠EAF 90° है।

त्रिभुज AEF में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। चूँकि ∠EAF 90° है, शेष दो कोणों, ∠AEF और ∠AFE, का योग 90° होना चाहिए।

यह दिया गया है कि दो जीवाएँ AE और AF लंबाई में बराबर हैं, इसलिए त्रिभुज AEF एक समद्विबाहु त्रिभुज है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है ∠AEF = ∠AFE।

इन दो बराबर कोणों के बीच शेष 90° को समान रूप से विभाजित करने पर ∠AEF = 90° ÷ 2 = 45° प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्ष 2021 में जनसंख्या ज्ञात करने के लिए, हम क्रमिक प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करते हैं:

P_अंतिम = P_प्रारंभिक × (1 + R₁/100) × (1 + R₂/100)

दिया गया है: P_प्रारंभिक = 30,000 R₁ = 15% R₂ = 25%

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

P₂021 = 30,000 × (1 + 15/100) × (1 + 25/100) P₂021 = 30,000 × 1.15 × 1.25 P₂021 = 34,500 × 1.25 P₂021 = 43,125

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपात ज्यामितीय माध्य सूत्र द्वारा दिया जाता है: मध्य समानुपात = √(a × b)

दिए गए मानों, a = 0.049 और b = 0.9 को प्रतिस्थापित करने पर: मध्य समानुपात = √(0.049 × 0.9) मध्य समानुपात = √0.0441

वर्गमूल को सरल बनाने के लिए, दशमलव मान को भिन्न के रूप में व्यक्त करें: 0.0441 = 441 / 10000

अंश और हर दोनों का वर्गमूल लेने पर: √(441 / 10000) = 21 / 100 = 0.21

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP/CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

पहले मामले के लिए, लाभ 45% और छूट 45% है:

MP/CP = (100 + 45) / (100 - 45) = 145 / 55 = 29/11

दूसरे मामले के लिए, छूट 50% है। मान लीजिए नया लाभ प्रतिशत P है:

MP/CP = (100 + P) / (100 - 50)

MP/CP का मान रखने पर:

29/11 = (100 + P) / 50

1450/11 = 100 + P

P = 1450/11 - 100

P = 350/11 = 31 9/11 %