एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

वातित पेय B और C के सर्वाधिक संचयी उत्पादन वाले वर्ष का पता लगाने के लिए, प्रत्येक वर्ष के लिए B और C के उत्पादन मानों का योग ज्ञात करें:

2019 के लिए: 200 + 140 = 340 हजार 2020 के लिए: 230 + 170 = 400 हजार 2021 के लिए: 210 + 195 = 405 हजार 2022 के लिए: 175 + 190 = 365 हजार

इन योगों की तुलना करने पर, अधिकतम उत्पादन 405 हजार है, जो वर्ष 2021 में हुआ था।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं 1 + tan² A = sec² A और 1 + cot² A = cosec² A का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार सरल किया गया है:

(1 + tan² A)(1 + cot² A) = sec² A × cosec² A

चूंकि sec² A = 1/cos² A और cosec² A = 1/sin² A, व्यंजक बन जाता है:

sec² A × cosec² A = 1 / (sin² A cos² A)

सर्वसमिका cos² A = 1 - sin² A को प्रतिस्थापित करके, हम प्राप्त करते हैं:

1 / (sin² A (1 - sin² A))

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

क्षेत्रफल(ABC) / क्षेत्रफल(PQR) = (AB / PQ)²

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

32 / 50 = (AB / 10)²

बाईं ओर के भिन्न को सरल बनाने पर:

16 / 25 = (AB / 10)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

4 / 5 = AB / 10

AB के लिए हल करने पर:

AB = (4 / 5) × 10 AB = 8

व्याख्या

यदि चार संख्याएँ a, b, c और d समानुपात में हैं, तो पहली दो का अनुपात अंतिम दो के अनुपात के बराबर होता है, जिसे सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है: a/b = c/d

यहाँ, d, a, b और c का चतुर्थ समानुपाती है।

दी गई संख्याएँ a = 8, b = 20 और c = 15 हैं, मान लीजिए चतुर्थ समानुपाती x है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 8/20 = 15/x

x के लिए हल करने पर: x = (20 × 15) / 8 x = 300 / 8 x = 37.5

व्याख्या

लाभ को क्रय मूल्य (CP) के प्रतिशत के रूप में परिभाषित किया गया है। दिया गया है कि लाभ 20% है और लाभ की राशि ₹800 है: CP का 20% = 800 CP = 800 / 0.20 = ₹4000

विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य और लाभ का योग होता है: SP = CP + लाभ SP = 4000 + 800 = ₹4800

साइकिल बेचने के लिए अंकित मूल्य (MP) पर 20% की छूट दी जाती है। इसलिए, विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 80% होता है: SP = MP का 80% 4800 = 0.80 × MP MP = 4800 / 0.80 = ₹6000

व्याख्या

सफल प्रतिस्थापन संक्रियाओं के बाद केतली में वाइन का शेष अंश निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: अंतिम वाइन / कुल क्षमता = (1 - x₁/V) × (1 - x₂/V) × (1 - x₃/V)

इस सूत्र में, V केतली की कुल क्षमता (600 लीटर) को दर्शाता है, जबकि x₁, x₂, और x₃ प्रत्येक चरण में पानी से बदले गए मिश्रण की मात्राएँ हैं। यहाँ: V = 600 x₁ = y x₂ = 120 x₃ = 120

केतली में वाइन और पानी का अंतिम अनुपात 12 : 13 है। इसलिए, केतली में शेष वाइन का अंश है: 12 / (12 + 13) = 12/25

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 12/25 = (1 - y/600) × (1 - 120/600) × (1 - 120/600)

पद 1 - 120/600 को सरल करने पर: 1 - 120/600 = 1 - 1/5 = 4/5

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 12/25 = (1 - y/600) × 4/5 × 4/5 12/25 = (1 - y/600) × 16/25

समीकरण के दोनों पक्षों को 16/25 से विभाजित करने पर: 12/16 = 1 - y/600 3/4 = 1 - y/600

y के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: y/600 = 1 - 3/4 y/600 = 1/4 y = 600 / 4 y = 150

व्याख्या

साधारण ब्याज SI 888 है (जहाँ अग्रणी 1 प्रश्न संख्यांकन से एक टाइपोग्राफ़िकल कलाकृति है)।

मानक साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके:

SI = (P × R × T) / 100

जहाँ: P मूल राशि है = 7400 T वर्षों में समयावधि है = 36 महीने = 3 वर्ष R प्रति वर्ष ब्याज की दर है

R के लिए हल करने के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना:

888 = (7400 × R × 3) / 100

888 = 74 × R × 3

888 = 222 × R

R = 888 / 222

R = 4

ब्याज की दर 4% प्रति वर्ष है।

व्याख्या

पहली वस्तु का प्रारंभिक क्रय मूल्य ₹48,000 है।

12% की हानि के बाद विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: 48,000 × (1 - 12/100) = 48,000 × 0.88 = 42,240

इस राशि का उपयोग दूसरी वस्तु के क्रय मूल्य के रूप में किया जाता है।

20% के लाभ के बाद दूसरी वस्तु का विक्रय मूल्य है: 42,240 × (1 + 20/100) = 42,240 × 1.20 = 50,688

कुल लाभ अंतिम विक्रय मूल्य और प्रारंभिक क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: कुल लाभ = 50,688 - 48,000 = 2,688

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) है।

x = sin² θ और y = cos² θ मानकर, हम लिख सकते हैं: sin⁶ θ + cos⁶ θ = (sin² θ)³ + (cos² θ)³ sin⁶ θ + cos⁶ θ = (sin² θ + cos² θ)³ - 3 sin² θ cos² θ (sin² θ + cos² θ)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, व्यंजक सरल हो जाता है: sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1³ - 3 (sin θ cos θ)² (1) sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3 (sin θ cos θ)²

यह दिया गया है कि sin θ cos θ = √2/3 है, हम इस मान को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3 (√2/3)² sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3 (2/9) sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 2/3 sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1/3

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

(d + e + f)² = d² + e² + f² + 2(de + ef + fd)

दिए गए मानों (d + e + f) = 14 और (d² + e² + f²) = 96 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

14² = 96 + 2(de + ef + fd)

196 = 96 + 2(de + ef + fd)

दोनों पक्षों से 96 घटाएं:

100 = 2(de + ef + fd)

2 से विभाजित करें:

de + ef + fd = 50

व्याख्या

विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य और छूट प्रतिशत के बीच संबंध है: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट प्रतिशत / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2325 = अंकित मूल्य × (1 - 22.5 / 100) 2325 = अंकित मूल्य × 0.775 अंकित मूल्य = 2325 / 0.775 अंकित मूल्य = 3000

दी गई छूट अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य छूट = 3000 - 2325 = 675

व्याख्या

समकोण त्रिभुज CAB में, जहाँ ∠CAB = 90°, कर्ण BC की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है:

BC = √(AB² + AC²) BC = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26 सेमी

समकोण त्रिभुज में कर्ण BC पर शीर्षलंब AD का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

AD = (AB × AC) / BC

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

AD = (10 × 24) / 26 = 240 / 26 ≈ 9.23 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sec² A - tan² A = 1

न्यून कोण A के लिए, त्रिकोणमितीय अनुपात tan A धनात्मक होता है, जिससे प्राप्त होता है: tan A = √(sec² A - 1)

दिया गया है: 8 sec A = 17 sec A = 17/8

sec A का मान सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: tan A = √((17/8)² - 1) tan A = √(289/64 - 1) tan A = √(225/64) tan A = 15/8

व्याख्या

व्यंजक g = 2 - √3 दिया गया है, हर का परिमेयकरण करके व्युत्क्रम 1/g ज्ञात करें: 1/g = 1 / (2 - √3) = (2 + √3) / ((2 - √3)(2 + √3)) = (2 + √3) / (4 - 3) = 2 + √3

अब, g और 1/g के बीच का अंतर ज्ञात करें: g - 1/g = (2 - √3) - (2 + √3) = -2√3

घन के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: g³ - 1/g³ = (g - 1/g)³ + 3(g - 1/g)

इस सूत्र में g - 1/g का मान प्रतिस्थापित करने पर: g³ - 1/g³ = (-2√3)³ + 3(-2√3) g³ - 1/g³ = -24√3 - 6√3 g³ - 1/g³ = -30√3

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य CP है।

अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 50% अधिक निर्धारित किया गया है: अंकित मूल्य = CP × (1 + 0.50) = 1.5 × CP

अंकित मूल्य पर 40% की छूट के बाद विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - 0.40) = 1.5 × CP × 0.60 = 0.90 × CP

दिया गया है कि विक्रय मूल्य ₹1,305 है: 0.90 × CP = 1305 CP = 1305 / 0.90 = 1450

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πrh

पहले, विमाओं को मीटर में बदलें: व्यास = 84 सेमी = 0.84 मीटर त्रिज्या r = 0.84 / 2 = 0.42 मीटर ऊंचाई h = 5 मीटर

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: CSA = 2 × (22/7) × 0.42 × 5 CSA = 2 × 22 × 0.06 × 5 CSA = 13.2 वर्ग मीटर

वक्र सतह को पेंट करने की लागत क्षेत्रफल और दर का गुणनफल है: लागत = CSA × दर लागत = 13.2 × 15 = 198

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cosec²θ - cot²θ = 1

समीकरण के दोनों पक्षों से cosec²θ और 1 घटाने पर: cot²θ - cosec²θ = -1

व्याख्या

जीतने वाले उम्मीदवार द्वारा प्राप्त मतों की संख्या की गणना योग्य मतदाताओं की कुल संख्या पर दी गई प्रतिशतताओं को क्रमिक रूप से लागू करके की जाती है।

योग्य मतदाताओं की कुल संख्या = 10000

डाले गए मतों की संख्या = 10000 × 85% = 10000 × 0.85 = 8500

चूंकि डाले गए मतों का 6% अवैध था, वैध मतों का प्रतिशत 94% है। वैध मतों की संख्या = 8500 × 94% = 8500 × 0.94 = 7990

जीतने वाले उम्मीदवार ने इन वैध मतों का 60% प्राप्त किया। जीतने वाले उम्मीदवार द्वारा प्राप्त मत = 7990 × 60% = 7990 × 0.60 = 4794

व्याख्या

तालिका 100 छात्रों के अंकों का संचयी वितरण प्रदान करती है।

गणित में 10 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम गणित पंक्ति से मानों का उपयोग करते हैं: 0 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की कुल संख्या 100 है। 10 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 92 है।

10 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या कुल छात्रों (0 और उससे अधिक) और उन छात्रों के बीच का अंतर है जिन्होंने 10 और उससे अधिक अंक प्राप्त किए:

10 से कम अंक वाले छात्र = 100 - 92 = 8

व्याख्या

बी. एग. में लड़कियों का प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

लड़कियों का प्रतिशत = (बी. एग. में लड़कियों की संख्या ÷ बी. एग. में कुल छात्र) × 100

तालिका से, बी. एग. में लड़कियों की संख्या 48 है, और लड़कों की संख्या 58 है।

बी. एग. में कुल छात्र = 58 + 48 = 106

लड़कियों का प्रतिशत = (48 ÷ 106) × 100 = 45.28%

व्याख्या

दो वर्षों की अवधि के लिए मूलधन P पर वार्षिक ब्याज दर R पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R/100)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ अंतर D = ₹56 और दर R = 8% है:

56 = P × (8/100)²

56 = P × (2/25)²

56 = P × 4/625

P = (56 × 625) / 4

P = 14 × 625 = 8750

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (2x + 13 - y)(2x - 13 - y) है।

पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, व्यंजक को वर्गों के अंतर की सर्वसमिका, (a + b)(a - b) = a² - b² के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

मान लीजिए a = 2x - y और b = 13। इससे प्राप्त होता है: ((2x - y) + 13)((2x - y) - 13)

सर्वसमिका लागू करने पर: (2x - y)² - 13²

वर्ग पद का विस्तार (p - q)² = p² - 2pq + q² का उपयोग करके: (2x)² - 2(2x)(y) + y² - 169 4x² - 4xy + y² - 169

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 4x² + y² - 4xy - 169

व्याख्या

समद्विबाहु त्रिभुज में प्रत्येक दो बराबर कोणों का माप x मान लीजिए।

बराबर कोणों का योग x + x = 2x है।

दी गई शर्त के अनुसार, असमान कोण इस योग का 4 गुना है, जो 4 × 2x = 8x है।

चूंकि त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है: x + x + 8x = 180° 10x = 180° x = 18°

इस प्रकार, त्रिभुज के प्रत्येक बराबर कोण का माप 18° है।

व्याख्या

छह अंकों की संख्या N = 4a6b9c है। N को 99 से विभाज्य होने के लिए, इसे 9 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

N के अंकों का योग है: S = 4 + a + 6 + b + 9 + c = 19 + a + b + c

N को 9 से विभाज्य होने के लिए, अंकों का यह योग S, 9 का गुणज होना चाहिए।

N को 11 से विभाज्य होने के लिए, विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर 11 का गुणज होना चाहिए: (4 + 6 + 9) - (a + b + c) = 19 - (a + b + c)

मान लीजिए 19 - (a + b + c) = 11k, जहाँ k एक पूर्णांक है। चूँकि a, b, और c 0 से 9 तक के एकल-अंकीय पूर्णांक हैं, उनका योग 0 से 27 की सीमा में होना चाहिए। a + b + c के संभावित मान हैं: 19 - (a + b + c) = 11, जिससे a + b + c = 8 प्राप्त होता है 19 - (a + b + c) = 0, जिससे a + b + c = 19 प्राप्त होता है

अब हम जाँच करते हैं कि इनमें से कौन सा मान अंकों के कुल योग S को 9 से विभाज्य बनाता है: यदि a + b + c = 8, तो S = 19 + 8 = 27, जो 9 से विभाज्य है। यदि a + b + c = 19, तो S = 19 + 19 = 38, जो 9 से विभाज्य नहीं है।

इस प्रकार, N के अंकों का एकमात्र मान्य योग 27 है।

व्याख्या

चूंकि x, y के अनुलोम विचरण करता है, इसलिए संबंध को सूत्र x = ky द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ k विचरण का स्थिरांक है।

दिए गए मानों x = 45 और y = 9 का उपयोग करके, हम k का मान ज्ञात कर सकते हैं: 45 = k × 9 k = 45 ÷ 9 = 5

अब, स्थिरांक k = 5 का उपयोग करके, हम y = 50 होने पर x का मान ज्ञात करते हैं: x = 5 × 50 = 250

व्याख्या

विपरीत दिशाओं में चलने वाली दो वस्तुओं के लिए सापेक्ष गति सूत्र का उपयोग करते हुए, सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है:

सापेक्ष गति = ट्रेन 1 की गति + ट्रेन 2 की गति सापेक्ष गति = 40 किमी/घंटा + 32 किमी/घंटा = 72 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित करना: सापेक्ष गति = 72 × 5/18 मी/से = 20 मी/से

ट्रेनों को एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: कुल दूरी = ट्रेन 1 की लंबाई + ट्रेन 2 की लंबाई कुल दूरी = 125 मीटर + 99 मीटर = 224 मीटर

मिलने के क्षण से पूरी तरह से पार करने में लगने वाला समय इस प्रकार गणना की जाती है: समय = कुल दूरी / सापेक्ष गति समय = 224 मीटर / 20 मी/से = 11.2 सेकंड

व्याख्या

रामू द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय सीधे दर सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

1/रामू = 1/साथ में - 1/राजू

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना:

1/रामू = 1/8 - 1/12

इन भिन्नों को घटाने के लिए, 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 24 है:

1/रामू = 3/24 - 2/24 = 1/24

इस प्रकार, रामू अकेले 24 दिनों में काम पूरा कर सकता है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

दिए गए व्यंजक का अंश a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के रूप का है, जहाँ a = 0.09, b = 0.04, और c = 0.16 है।

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

योग की गणना: a + b + c = 0.09 + 0.04 + 0.16 = 0.29

इसलिए, अंश सरल होकर हो जाता है: (0.29)²

व्यंजक का हर है: 0.3 × 0.3 + 0.2 × 0.2 + 0.4 × 0.4 = 0.09 + 0.04 + 0.16 = 0.29

सरलीकृत अंश को हर से विभाजित करने पर: (0.29)² / 0.29 = 0.29

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, अंश में पदों का गुणनखंड किया जा सकता है।

पहले पद के लिए, x² - 1 = (x - 1)(x + 1)। इसे (x - 1) से विभाजित करने पर x + 1 प्राप्त होता है।

दूसरे पद के लिए, x² - 9 = (x - 3)(x + 3)। इसे (x - 3) से विभाजित करने पर x + 3 प्राप्त होता है।

दूसरे सरलीकृत पद को पहले से घटाने पर प्राप्त होता है: (x + 1) - (x + 3) = x + 1 - x - 3 = -2

व्याख्या

मान लीजिए बैग का क्रय मूल्य x है।

लाभ प्रतिशत में अंतर है: 27% - 12% = 15%

लाभ प्रतिशत में यह 15% का अंतर विक्रय मूल्य में वृद्धि के बराबर है, जो कि ₹900 है।

x का 15% = 900 (15/100) × x = 900 x = (900 × 100) / 15 x = 60 × 100 x = 6000

बैग का क्रय मूल्य ₹6,000 है।

व्याख्या

पहले दो पदों पर वर्गान्तर सूत्र, (a - b)(a + b) = a² - b², लागू करने पर: (3x - 2y)(3x + 2y) = (3x)² - (2y)² = 9x² - 4y²

अब, इस गुणनफल को व्यंजक के तीसरे पद से गुणा करने पर: (9x² - 4y²)(9x² + 4y²)

पुनः वर्गान्तर सूत्र को a = 9x² और b = 4y² के साथ लागू करने पर: (9x² - 4y²)(9x² + 4y²) = (9x²)² - (4y²)² = 81x⁴ - 16y⁴

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक वृत्ताकार पथ पर विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = A की गति + B की गति सापेक्ष गति = 33 + 47 = 80 मीटर/सेकंड

पहली बार मिलने के लिए, दोनों धावकों द्वारा तय की गई संयुक्त दूरी वृत्ताकार पथ की कुल लंबाई के बराबर होनी चाहिए।

पहली मुलाकात के लिए लिया गया समय = पथ की लंबाई / सापेक्ष गति पहली मुलाकात के लिए लिया गया समय = 1400 / 80 = 17.5 सेकंड

चूंकि धावक स्थिर गति से दौड़ना जारी रखते हैं, इसलिए किन्हीं भी दो लगातार मुलाकातों के बीच का समय अंतराल समान रहता है। इसलिए, दूसरी बार मिलने के लिए लिया गया समय पहली मुलाकात के लिए लिए गए समय का ठीक दोगुना होता है।

दूसरी मुलाकात का समय = 2 × 17.5 = 35 सेकंड

व्याख्या

दोनों वर्गों के संयुक्त औसत भार ज्ञात करने के लिए, हम भारित औसत सूत्र का उपयोग करते हैं: भारित औसत = (n₁A₁ + n₂A₂) / (n₁ + n₂)

छात्रों की वास्तविक संख्या का उपयोग करने के बजाय, हम गणना को तेज़ करने के लिए छात्रों के अनुपात को सरल बना सकते हैं: n₁ : n₂ = 64 : 32 = 2 : 1

अब, सरलीकृत अनुपात और संबंधित औसत को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: संयुक्त औसत = (2 × 48 + 1 × 24) / (2 + 1) संयुक्त औसत = (96 + 24) / 3 संयुक्त औसत = 120 / 3 = 40 किग्रा

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, वर्तमान जनसंख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:

वर्तमान जनसंख्या = P₀ × (1 + r₁/100) × (1 - r₂/100)

यहाँ, प्रारंभिक जनसंख्या P₀ 60,000 है, प्रथम वर्ष की वृद्धि दर r₁ 5% है, और द्वितीय वर्ष की कमी दर r₂ 10% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

वर्तमान जनसंख्या = 60,000 × (1 + 5/100) × (1 - 10/100) वर्तमान जनसंख्या = 60,000 × 1.05 × 0.90 वर्तमान जनसंख्या = 60,000 × 0.945 वर्तमान जनसंख्या = 56,700

व्याख्या

किसी वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र L = (θ / 360°) × 2πr द्वारा गणना की जाती है, जहाँ θ केंद्र पर बना कोण है और r त्रिज्या है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, L = 33π और θ = 132°:

33π = (132 / 360) × 2πr

समीकरण के दोनों पक्षों को π से विभाजित करने पर:

33 = (132 / 180) × r

भिन्न 132/180 को 12 से दोनों पदों को विभाजित करके सरल करने पर:

132 ÷ 12 = 11 180 ÷ 12 = 15

यह समीकरण को सरल करता है:

33 = (11 / 15) × r

r के लिए हल करने पर:

r = (33 × 15) / 11

r = 3 × 15

r = 45 सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रमिक छूट और अंतिम विक्रय मूल्य (SP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहाँ, पहली छूट d₁ 15% है, दूसरी छूट d₂ 5% है, और अंतिम विक्रय मूल्य SP ₹3,068.5 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

3068.5 = MP × (1 - 15/100) × (1 - 5/100) 3068.5 = MP × 0.85 × 0.95 3068.5 = MP × 0.8075 MP = 3068.5 / 0.8075 MP = 3800

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो ब्याज दर आधी हो जाती है और समय अवधि दोगुनी हो जाती है।

प्रति अर्ध-वार्षिक अवधि प्रभावी ब्याज दर r = 10% / 2 = 5% है। 1.5 वर्ष के लिए रूपांतरण अवधियों की संख्या n = 1.5 × 2 = 3 अर्ध-वर्ष है।

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: CI = P × ((1 + r/100)ⁿ - 1)

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5044 = P × ((1 + 5/100)³ - 1) 5044 = P × ((21/20)³ - 1) 5044 = P × (9261/8000 - 1) 5044 = P × (1261/8000)

P के लिए हल करना: P = (5044 × 8000) / 1261 P = 4 × 8000 P = 32000

व्याख्या

दिया गया अनुपात a:b = 3:7 है, हम सीधे a = 3 और b = 7 को व्यंजक (2a + 3b):(3a + 2b) में प्रतिस्थापित कर सकते हैं क्योंकि पद सजातीय (homogeneous) हैं और समान घात (degree) के हैं।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पहला भाग: 2a + 3b = 2 × 3 + 3 × 7 = 6 + 21 = 27 दूसरा भाग: 3a + 2b = 3 × 3 + 2 × 7 = 9 + 14 = 23

इससे अनुपात 27:23 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज स्थिर रहता है।

1 वर्ष में अर्जित साधारण ब्याज चौथे वर्ष और तीसरे वर्ष के अंत में राशियों के बीच का अंतर है: 1 वर्ष का ब्याज = ₹825 - ₹750 = ₹75

3 वर्षों का साधारण ब्याज है: 3 × ₹75 = ₹225

मूल धनराशि 3 वर्षों के बाद की राशि में से उन 3 वर्षों में संचित ब्याज को घटाने पर प्राप्त होती है: मूलधन = ₹750 - ₹225 = ₹525

व्याख्या

अर्धगोलाकार कटोरे में प्रयुक्त स्टील का आयतन बाहरी अर्धगोले के आयतन और आंतरिक अर्धगोले के आयतन के बीच का अंतर है।

खोखले अर्धगोले का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = 2/3 π (R³ - r³)

जहाँ R बाहरी त्रिज्या है और r आंतरिक त्रिज्या है।

दिया गया है: आंतरिक त्रिज्या r = 4 सेमी मोटाई t = 1 सेमी बाहरी त्रिज्या R = r + t = 4 + 1 = 5 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 2/3 π (5³ - 4³) V = 2/3 π (125 - 64) V = 2/3 π × 61 V = 122/3 π V = 40 ⅔ π सेमी³

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है।

(x - 15)° + (x + 45)° + (x + 60)° = 180° 3x + 90 = 180 3x = 90 x = 30

x के मान को कोणों के व्यंजकों में वापस प्रतिस्थापित करने पर: पहला कोण = 30 - 15 = 15° दूसरा कोण = 30 + 45 = 75° तीसरा कोण = 30 + 60 = 90°

चूंकि त्रिभुज के कोणों में से एक का माप ठीक 90° है, इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² A - cot² A = 1 का उपयोग करके, हम इसे (cosec A - cot A)(cosec A + cot A) = 1 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

मान लीजिए cosec A + cot A = x = a√b। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि cosec A - cot A = 1/x।

cosec A और cot A का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन दो समीकरणों को जोड़ते और घटाते हैं: 2 cosec A = x + 1/x = (x² + 1)/x 2 cot A = x - 1/x = (x² - 1)/x

2 cot A को 2 cosec A से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: cos A = (2 cot A) / (2 cosec A) = (x² - 1)/(x² + 1)

x = a√b रखने पर x² = a²b प्राप्त होता है। इस प्रकार, व्यंजक बन जाता है: (a²b - 1)/(a²b + 1) = cos A

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम BODMAS नियम लागू करते हैं, जो कोष्ठक (Brackets), का (Orders/of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम को निर्धारित करता है।

हर के लिए, पदों को इस प्रकार समूहित करने पर प्राप्त होता है: ((4 + 4) का 5 + 7) × 7 × 7 + 6 - 4 सबसे पहले, पहले कोष्ठक के अंदर जोड़ का मूल्यांकन करें: 4 + 4 = 8 अगला, "का" संक्रिया का मूल्यांकन करें: 8 का 5 = 40 अब, परिणाम में 7 जोड़ें: 40 + 7 = 47 इस परिणाम को अगले दो पदों (7 × 7 = 49) के गुणनफल से गुणा करें: 47 × 49 = 2303 अंत में, अंत में जोड़ और घटाव करें: 2303 + 6 - 4 = 2305

अंश के लिए, पदों को इसी तरह समूहित करने पर प्राप्त होता है: ((2 + 7) × 7 + 9 का 9 - 6) × (6 + 6) + 8 = 1664

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 1664 / 2305

व्याख्या

साझेदारी व्यवसाय में भागीदारों के बीच लाभ का बंटवारा उनके निवेश और निवेश की अवधि के गुणनफल के सीधे आनुपातिक होता है।

कपिल का निवेश ₹3,00,000 है और वह पूरे 3 साल की अवधि, जो 36 महीने है, व्यवसाय में रहता है। कपिल का लाभ समतुल्य = 3,00,000 × 36 = 1,08,00,000

कुणाल 6 महीने बाद ₹2,50,000 के निवेश के साथ जुड़ता है। वह 36 - 6 = 30 महीने व्यवसाय में रहता है। कुणाल का लाभ समतुल्य = 2,50,000 × 30 = 75,00,000

सिटालो फरवरी 2023 में जुड़ती है, जो कपिल के शुरू करने के 10 महीने बाद है। उसका निवेश कपिल और कुणाल के निवेश के योग के बराबर है, जो ₹3,00,000 + ₹2,50,000 = ₹5,50,000 है। वह 36 - 10 = 26 महीने व्यवसाय में रहती है। सिटालो का लाभ समतुल्य = 5,50,000 × 26 = 1,43,00,000

उनके लाभ वितरण का अनुपात है: कपिल : कुणाल : सिटालो = 1,08,00,000 : 75,00,000 : 1,43,00,000 = 108 : 75 : 143

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषा का उपयोग करते हुए, यदि tan A = 3/4 है, तो कोण A के सम्मुख भुजा 3 है और आसन्न भुजा 4 है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, कर्ण है: √(3² + 4²) = 5

इसका उपयोग करते हुए, sin A को सम्मुख भुजा और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: sin A = 3/5

व्यंजक (6 sin A) / (1 - sin A) में sin A = 3/5 को प्रतिस्थापित करने पर: (6 × 3/5) / (1 - 3/5) = (18/5) / (2/5)

भिन्नों को विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 18/2 = 9

व्याख्या

एक व्यक्ति की टाइपिंग दर का सूत्र है: दर = टाइप किए गए पृष्ठ / लिया गया समय।

राजू की टाइपिंग दर 32 / 4 = 8 पृष्ठ प्रति घंटा है। अकबर की टाइपिंग दर 48 / 6 = 8 पृष्ठ प्रति घंटा है।

जब वे दो अलग-अलग कंप्यूटरों पर एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त टाइपिंग दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है: संयुक्त दर = 8 + 8 = 16 पृष्ठ प्रति घंटा।

256 पृष्ठों के कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय है: समय = कुल पृष्ठ / संयुक्त दर = 256 / 16 = 16 घंटे।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि भुजा AB भुजा AC के बराबर है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होने चाहिए। इसलिए, कोण ABC, कोण ACB के बराबर है।

त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। इससे संबंध प्राप्त होता है: कोण BAC + कोण ABC + कोण ACB = 180°

कोण BAC = 50° का दिया गया मान और कोण ABC = कोण ACB रखने पर: 50° + 2 × कोण ABC = 180° 2 × कोण ABC = 180° - 50° 2 × कोण ABC = 130° कोण ABC = 65°

व्याख्या

दूरी स्थिर रहती है, इसलिए हम गति और समय के बीच व्युत्क्रम संबंध का उपयोग करते हैं: S₁ × T₁ = S₂ × T₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 40 × 7 = S₂ × 5 280 = S₂ × 5 S₂ = 280 / 5 = 56 किमी/घंटा

व्याख्या

माना लेख का अंकित मूल्य MP है। d% की दो क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है: SP = MP × (1 - d/100)²

SP = 864 और d = 25 प्रतिस्थापित करने पर: 864 = MP × (1 - 25/100)² 864 = MP × (3/4)² 864 = MP × 9/16 MP = (864 × 16) / 9 MP = 96 × 16 = 1536

दी गई कुल छूट अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = MP - SP छूट = 1536 - 864 = 672

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके:

(a + b)(a - b) = a² - b²

सूत्र में a = 5p और b = 3q प्रतिस्थापित करके:

(5p + 3q)(5p - 3q) = (5p)² - (3q)²

वर्गित पदों को सरल करके:

(5p)² = 25p² (3q)² = 9q²

इस प्रकार, व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:

25p² - 9q²