एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अर्ध-वार्षिक चक्रवृद्धि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र A = P(1 + R/200)²ᵀ है, जहाँ A राशि है, P मूलधन है, R ब्याज की वार्षिक दर है, और T वर्षों में समय है।

यहाँ, दिए गए मान हैं: राशि A = 9,826 वार्षिक दर R = 2½% = 2.5% समय T = 18 महीने = 1.5 वर्ष अर्ध-वार्षिक अवधियों की संख्या n = 2T = 3

अर्ध-वार्षिक ब्याज दर R/2 = 1.25% प्रति अर्ध-वर्ष है, जो भिन्न रूप में 1.25/100 = 1/80 के बराबर है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 9,826 = P(1 + 1/80)³ 9,826 = P(81/80)³ P = 9,826 × (80/81)³ P = 9,826 × 512,000 / 531,441 P = 5,030,912,000 / 531,441 P ≈ 9,466.55

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल TSA = πr(l + r) सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r शंकु की त्रिज्या और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: त्रिज्या (r) = 21 सेमी तिर्यक ऊँचाई (l) = 28 सेमी π = 22/7

TSA = (22/7) × 21 × (28 + 21) TSA = 22 × 3 × 49 TSA = 66 × 49 TSA = 3234 सेमी²

व्याख्या

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 8 सेमी, 15 सेमी और 17 सेमी है। चूँकि 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17², ये लंबाई एक पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं। यह पुष्टि करता है कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ आधार और लम्ब 8 सेमी और 15 सेमी लंबाई की दो छोटी भुजाएँ हैं, और कर्ण 17 सेमी है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × लम्ब

सूत्र में मान रखने पर: क्षेत्रफल = ½ × 8 × 15 = 60 सेमी²

व्याख्या

शिक्षक का भार सीधे औसत भार सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

शिक्षक का भार = पुराना औसत + (लोगों की नई कुल संख्या × औसत में वृद्धि)

यहाँ, पुराना औसत 55 किग्रा है, विद्यार्थियों की संख्या 45 है, और औसत भार में वृद्धि 500 ग्राम है, जो 0.5 किग्रा के बराबर है।

जब शिक्षक को शामिल किया जाता है, तो लोगों की कुल संख्या 45 + 1 = 46 हो जाती है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शिक्षक का भार = 55 + 46 × 0.5 शिक्षक का भार = 55 + 23 शिक्षक का भार = 78 किग्रा

व्याख्या

सभी विषयों में छात्रों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक व्यक्तिगत विषय के लिए सूचीबद्ध छात्रों की संख्या को जोड़ते हैं:

छात्रों की कुल संख्या = 110 + 70 + 50 + 40 + 80 + 90 = 440

व्याख्या

व्यंजक (0.125 × 0.01) ÷ (0.5 × 0.005) को हल करने के लिए, गणना को सरल बनाने के लिए प्रत्येक दशमलव को भिन्न में बदलें।

सबसे पहले, अंश की गणना करें: 0.125 × 0.01 = (1/8) × (1/100) = 1/800

अगला, हर की गणना करें: 0.5 × 0.005 = (1/2) × (5/1000) = 5/2000 = 1/400

अब, अंश को हर से विभाजित करें: (1/800) ÷ (1/400) = (1/800) × 400 = 400/800 = 1/2 = 0.5

व्याख्या

त्रिज्या r वाले दो समान वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई, जहाँ प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है, मानक संबंध द्वारा दी जाती है:

L = r√3

दिए गए त्रिज्या r = 6 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

L = 6√3 सेमी

यह संबंध दो केंद्रों O₁ और O₂ पर विचार करके प्राप्त किया जाता है। चूँकि प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है, इसलिए केंद्रों O₁O₂ के बीच की दूरी त्रिज्या r = 6 सेमी के बराबर है। उभयनिष्ठ जीवा AB, केंद्रों की रेखा O₁O₂ को उसके मध्य बिंदु M पर लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करती है। इसलिए, O₁M = r/2 = 3 सेमी।

समकोण त्रिभुज O₁MA में, कर्ण O₁A वृत्त की त्रिज्या है, जो 6 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

AM = √(O₁A² - O₁M²) AM = √(6² - 3²) AM = √(36 - 9) AM = √27 = 3√3 सेमी

उभयनिष्ठ जीवा AB की कुल लंबाई AM की लंबाई की दोगुनी होती है:

AB = 2 × AM = 2 × 3√3 = 6√3 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: B

किसी भी दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।

त्रिभुज GST का परिमाप / त्रिभुज FAX का परिमाप = GS / FA

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

48 / 36 = GS / 12

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर:

4/3 = GS / 12

GS के लिए हल करने पर:

GS = (4 × 12) / 3 = 16 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए एक सोने की अंगूठी की कीमत r है और एक सोने की चूड़ी की कीमत b है।

दी गई जानकारी के अनुसार, 4 अंगूठियों और 2 चूड़ियों की कुल कीमत है: 4r + 2b = 40000

इस समीकरण को 2 से विभाजित करने पर 2 अंगूठियों और 1 चूड़ी की कीमत का संबंध मिलता है: 2r + b = 20000

हमें 10 अंगूठियों और 5 चूड़ियों की कीमत ज्ञात करनी है, जिसे इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: 10r + 5b = 5 × (2r + b)

इस समीकरण में (2r + b) का मान रखने पर: 5 × 20000 = 100000

व्याख्या

प्रति वस्तु छूट = ₹32 का 25% = (25/100) × 32 = ¼ × 32 = ₹8

₹40 की कुल छूट प्राप्त करने के लिए: वस्तुओं की संख्या = आवश्यक कुल छूट ÷ प्रति वस्तु छूट वस्तुओं की संख्या = 40 ÷ 8 = 5

व्याख्या

सुहास की आँखों के स्तर (जमीन से 1.8 मीटर ऊपर) पर एक क्षैतिज संदर्भ रेखा खींचकर, हम दृष्टि रेखा द्वारा निर्मित समरूप त्रिभुजों का उपयोग करके समस्या का विश्लेषण कर सकते हैं।

इस संदर्भ रेखा से ऊपर वृक्ष की ऊँचाई है: 3.15 - 1.8 = 1.35 मीटर

सुहास से वृक्ष की क्षैतिज दूरी 7.5 मीटर है, और सुहास से इमारत की कुल क्षैतिज दूरी 7.5 + 45 = 52.5 मीटर है।

मान लीजिए H इमारत की ऊँचाई है। संदर्भ रेखा से ऊपर इमारत के शीर्ष की ऊँचाई H - 1.8 है।

समरूप त्रिभुजों के गुण का उपयोग करके: वृक्ष की सापेक्ष ऊँचाई / वृक्ष तक की दूरी = इमारत की सापेक्ष ऊँचाई / इमारत तक की कुल दूरी

1.35 / 7.5 = (H - 1.8) / 52.5

0.18 = (H - 1.8) / 52.5

H - 1.8 = 0.18 × 52.5

H - 1.8 = 9.45

H = 11.25 मीटर

व्याख्या

दिए गए समीकरण, 3cot A = 4 से, हमें cot A = 4/3 प्राप्त होता है। एक समकोण त्रिभुज में, cot A आसन्न भुजा और सम्मुख भुजा का अनुपात होता है। इस प्रकार, हम संबद्ध कर सकते हैं:

आसन्न भुजा = 4 सम्मुख भुजा = 3

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, त्रिभुज का कर्ण है:

कर्ण = √(आसन्न² + सम्मुख²) = √(4² + 3²) = √25 = 5

sec A फलन को कर्ण और आसन्न भुजा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:

sec A = कर्ण / आसन्न भुजा = 5/4

व्याख्या

कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। संख्या 76050 के लिए, अंतिम दो अंक 50 बनाते हैं। 50 को 4 से विभाजित करने पर शेषफल 2 के साथ 12 प्राप्त होता है। चूँकि 50, 4 से विभाज्य नहीं है, इसलिए पूरी संख्या 76050, 4 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP), अंकित मूल्य (MP), लाभ प्रतिशत (p), और छूट प्रतिशत (d) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + p) / (100 - d)

यह देखते हुए कि व्यापारी अपने माल का अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 20% अधिक रखता है, अंकित मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात है:

MP / CP = 120 / 100 = 1.2

लाभ प्रतिशत p = 8% है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1.2 = (100 + 8) / (100 - d)

1.2 = 108 / (100 - d)

100 - d = 108 / 1.2

100 - d = 90

d = 10%

व्याख्या

सही उत्तर: B

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r त्रिज्या है। यह संबंध दर्शाता है कि परिधि त्रिज्या के सीधे समानुपाती होती है (C ∝ r)।

यदि त्रिज्या में 20% की वृद्धि होती है, तो नई त्रिज्या 1.2r हो जाती है। नई परिधि C' होगी: C' = 2π(1.2r) = 1.2(2πr) = 1.2C

परिधि में प्रतिशत वृद्धि है: ((1.2C - C) / C) × 100% = 0.2 × 100% = 20%

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a³ - b³) / (a² + ab + b²) = a - b

माना a = 0.83 और b = 0.1।

व्यंजक में पद हैं: a² = (0.83)² ab = 0.83 × 0.1 = 0.083 b² = (0.1)² = 0.01

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a - b = 0.83 - 0.1 = 0.73

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + 1/x = 2 से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि x = 1। व्यंजक x⁵ + 1/x⁵ में x = 1 रखने पर 1⁵ + 1/1⁵ = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है, जो विकल्प D से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए P पर वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा AB को T पर प्रतिच्छेद करती है।

चूंकि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए पहले वृत्त के लिए, TA = TP। इसी प्रकार, दूसरे वृत्त के लिए, TB = TP।

इनको मिलाने पर TA = TB = TP प्राप्त होता है। चूंकि T, AB का मध्य बिंदु है और A, B, तथा P से समान दूरी पर है, बिंदु P एक ऐसे वृत्त पर स्थित है जिसका AB व्यास है। व्यास द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण समकोण होता है, जिसका अर्थ है ∠APB = 90°।

त्रिभुज APB में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: ∠PAB + ∠ABP + ∠APB = 180°

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 22° + ∠ABP + 90° = 180° ∠ABP = 180° - 112° = 68°

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए, आधी जीवा की लंबाई 24 / 2 = 12 सेमी है।

केंद्र से लंबवत दूरी, आधी जीवा और वृत्त की त्रिज्या एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जहाँ त्रिज्या कर्ण होती है। पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर:

त्रिज्या² = लंब² + आधी जीवा² त्रिज्या² = 9² + 12² त्रिज्या² = 81 + 144 त्रिज्या² = 225 त्रिज्या = √225 = 15 सेमी।

व्याख्या

मान लीजिए P उधार ली गई मूल राशि है।

कुल अवधि 7 वर्ष है। पहले 3 वर्षों के लिए, साधारण ब्याज दर 10% प्रति वर्ष है: I₁ = P × 10% × 3 = 0.30P

शेष 4 वर्षों (7 - 3 = 4) के लिए, साधारण ब्याज दर 15% प्रति वर्ष है: I₂ = P × 15% × 4 = 0.60P

भुगतान किया गया कुल साधारण ब्याज दोनों अवधियों से ब्याज का योग है: कुल साधारण ब्याज = 0.30P + 0.60P = 0.90P

कुल ब्याज मान ₹2,884.50 का उपयोग करते हुए: 0.90P = 2884.50 P = 2884.50 / 0.90 = 3205

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सह-फलन सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए जहाँ cos θ = sin(90° - θ) और sin θ = cos(90° - θ), व्यंजक में पदों को पुनः लिखा जा सकता है।

दूसरे पद के लिए: cos 43° = sin(90° - 43°) = sin 47° sin 57° = cos(90° - 57°) = cos 33°

इन रूपांतरणों को व्यंजक के दूसरे पद में वापस प्रतिस्थापित करने पर: cos 43° sin 57° = sin 47° cos 33°

अब, इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin 47° cos 33° - cos 43° sin 57° = sin 47° cos 33° - sin 47° cos 33° = 0

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजीय रूप (a³ - b³) / (a² + ab + b²) का है, जहाँ a = 4.2 और b = 0.2 है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि: b³ = (0.2)³ = 0.008 ab = 4.2 × 0.2 = 0.84 b² = (0.2)² = 0.04

घनों के अंतर के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

दोनों पक्षों को (a² + ab + b²) से विभाजित करने पर: (a³ - b³) / (a² + ab + b²) = a - b

a और b के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4.2 - 0.2 = 4

व्याख्या

सही उत्तर: D

मिश्रणों के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करके:

मिश्रण की प्रति किग्रा लागत = (w₁ × c₁ + w₂ × c₂) / (w₁ + w₂)

यहाँ, फल की दो किस्मों का अनुपात w₁ = 5 और w₂ = 4 है, जिनकी संबंधित लागत क्रमशः c₁ = ₹20 प्रति किग्रा और c₂ = ₹38 प्रति किग्रा है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

मिश्रण की प्रति किग्रा लागत = (5 × 20 + 4 × 38) / (5 + 4) मिश्रण की प्रति किग्रा लागत = (100 + 152) / 9 मिश्रण की प्रति किग्रा लागत = 252 / 9 = 28

व्याख्या

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

दिया गया है: त्रिज्या r = 6 सेमी ऊंचाई h = 8 सेमी π = 22/7

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 6 × (6 + 8) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 6 × 14 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 6 × 2 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 × 12 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 528 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए डाले गए मतों की कुल संख्या T है। चूँकि 20% मत अवैध हैं, वैध मत कुल मतों का 80% हैं, जो कि 0.8T है।

जीतने वाले उम्मीदवार को वैध मतों का 73% प्राप्त हुआ। इसका मतलब है कि हारने वाले उम्मीदवार को वैध मतों का 27% प्राप्त हुआ (100% - 73% = 27%)।

विजेता का बहुमत वैध मतों के विजेता और हारने वाले के हिस्से के बीच का अंतर है: 73% - 27% = वैध मतों का 46%

हमें दिया गया है कि यह बहुमत 1426 मत है: वैध मतों का 46% = 1426 वैध मत = 1426 ÷ 0.46 = 3100

चूँकि वैध मत डाले गए कुल मतों का 80% हैं: 0.8 × T = 3100 T = 3100 ÷ 0.8 = 3875

व्याख्या

मान लीजिए माल की कुल मात्रा 100 इकाई है और प्रत्येक इकाई का लागत मूल्य ₹1 है। कुल लागत मूल्य = 100 × ₹1 = ₹100।

परिवहन के दौरान 10% नुकसान के कारण, बिक्री के लिए शेष माल की मात्रा 90 इकाई है।

दुकानदार अपने माल को 15% लाभ पर बेचता है, जिससे प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य ₹1.15 हो जाता है। कुल विक्रय मूल्य = 90 × ₹1.15 = ₹103.5।

कुल लाभ = कुल विक्रय मूल्य - कुल लागत मूल्य = ₹103.5 - ₹100 = ₹3.5। कुल लाभ प्रतिशत = (3.5 / 100) × 100 = 3.5%।

व्याख्या

कुल कार्य को 25 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) माना जा सकता है, जो कि 75 इकाई है।

A की दक्षता = 75 ÷ 25 = 3 इकाई प्रति दिन। B की दक्षता = 75 ÷ 15 = 5 इकाई प्रति दिन।

B द्वारा 10 दिनों में पूरा किया गया कार्य = 10 × 5 = 50 इकाई। शेष कार्य = 75 - 50 = 25 इकाई।

A द्वारा शेष कार्य को अकेले पूरा करने में लिया गया समय = शेष कार्य ÷ A की दक्षता = 25 ÷ 3 = 8⅓ दिन।

व्याख्या

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है कि sec²θ - tan²θ = 1।

वर्गों के अंतर सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b) को लागू करके, इस सर्वसमिका को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (secθ - tanθ)(secθ + tanθ) = 1

यह देखते हुए कि secθ + tanθ = 4 है, इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (secθ - tanθ) × 4 = 1

secθ - tanθ के लिए हल करने पर प्राप्त होता है: secθ - tanθ = ¼

व्याख्या

2020 से 2022 तक वातित पेय B के निर्माण संख्या (हजारों में) इस प्रकार हैं: 2020 में: 230 2021 में: 210 2022 में: 175

इन मानों की वर्ष-दर-वर्ष तुलना करने पर पता चलता है कि 230 > 210 > 175, जो इस अवधि के दौरान वातित पेय B के निर्माण में लगातार गिरावट का संकेत देता है।

व्याख्या

जब कोई यात्रा दो अलग-अलग गतियों, जैसे u और v, पर समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हार्मोनिक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2uv / (u + v)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ u = 110 किमी/घंटा और v = 76 किमी/घंटा:

औसत गति = 2 × 110 × 76 / (110 + 76) औसत गति = 16720 / 186 औसत गति = 8360 / 93

इस अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित करने पर:

8360 ÷ 93 = 89 शेष 83

औसत गति = 89 83/93 किमी/घंटा

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के तीसरे समानुपाती c को संबंध a/b = b/c द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र प्राप्त होता है: c = b² / a

दी गई दो संख्याएँ हैं: a = 2√3 b = 6√5

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: c = (6√5)² / (2√3)

c = (36 × 5) / (2√3)

c = 180 / (2√3)

c = 90 / √3

हर को परिमेय बनाने के लिए, अंश और हर को √3 से गुणा करें: c = (90 × √3) / (√3 × √3)

c = 90√3 / 3

c = 30√3

व्याख्या

छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट के बाद मूल्य = अंकित मूल्य × (100 - छूट प्रतिशत) / 100

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंकित मूल्य = £250 छूट प्रतिशत = 18%

छूट के बाद मूल्य = 250 × (100 - 18) / 100 छूट के बाद मूल्य = 250 × 82 / 100 छूट के बाद मूल्य = 2.5 × 82 छूट के बाद मूल्य = 205

व्याख्या

वृत्ताकार ट्रैक पर पहली बार मिलने के समय का पता लगाने के लिए, हम सापेक्ष गति सूत्र का उपयोग करते हैं।

सबसे पहले, गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें: A की गति = 27 × 5/18 = 7.5 मी/से B की गति = 36 × 5/18 = 10 मी/से

चूंकि दोनों व्यक्ति एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का अंतर है: सापेक्ष गति = B की गति - A की गति = 10 - 7.5 = 2.5 मी/से

ट्रैक पर पहली बार मिलने में लगने वाला समय वह समय है जो तेज धावक को धीमे धावक के संबंध में एक पूर्ण चक्कर (1200 मीटर) की सापेक्ष दूरी तय करने में लगता है: मिलने का समय = ट्रैक की लंबाई / सापेक्ष गति = 1200 / 2.5 = 480 सेकंड

व्याख्या

योग के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (p + q)² = p² + 2pq + q²

इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: p² + q² = (p + q)² - 2pq

हमें p² - pq + q² का मान ज्ञात करना है। उपरोक्त व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: p² - pq + q² = (p + q)² - 3pq

दिए गए मानों p + q = 12 और pq = 14 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 12² - 3 × 14 = 144 - 42 = 102

व्याख्या

आभा द्वारा प्राप्त मतों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले वैध मतों की कुल संख्या की गणना करते हैं और फिर उन वैध मतों में आभा के प्रतिशत हिस्से का निर्धारण करते हैं।

सबसे पहले, वैध मतों की कुल संख्या की गणना करें: कुल मत = 40,000 अवैध मत = 40,000 का 10% = 4,000 वैध मत = 40,000 - 4,000 = 36,000

अगला, आभा द्वारा प्राप्त वैध मतों का प्रतिशत ज्ञात करें: वैध मतों का कुल प्रतिशत = 100% रजत का हिस्सा = 36% पूजा का हिस्सा = 40% आभा का हिस्सा = 100% - (36% + 40%) = 24%

अंत में, आभा द्वारा प्राप्त मतों की संख्या की गणना करें: आभा के मत = 36,000 का 24% = 0.24 × 36,000 = 8,640

व्याख्या

दो वृत्तों के लिए एक तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (T) की लंबाई का सूत्र है:

T = √(d² - (r₁ + r₂)²)

जहाँ d दोनों वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ और r₂ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, d = 18 सेमी, r₁ = 8.5 सेमी, और r₂ = 5.5 सेमी:

T = √(18² - (8.5 + 5.5)²) T = √(18² - 14²)

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके:

T = √((18 - 14) × (18 + 14)) T = √(4 × 32) T = √128 T = 8√2 सेमी

व्याख्या

विक्रय मूल्य में परिवर्तन के लिए प्रत्यक्ष संबंध का उपयोग करते हुए: नया विक्रय मूल्य = प्रारंभिक विक्रय मूल्य × (100 + लाभ%) / (100 - हानि%)

दिया गया है: प्रारंभिक विक्रय मूल्य = ₹402 हानि% = 33% लाभ% = 37%

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें: नया विक्रय मूल्य = 402 × (100 + 37) / (100 - 33) नया विक्रय मूल्य = 402 × 137 / 67

चूंकि 402 ÷ 67 = 6: नया विक्रय मूल्य = 6 × 137 = 822

वांछित विक्रय मूल्य ₹822 है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का माध्य समानुपाती सूत्र √(a × b) द्वारा दिया जाता है।

दी गई संख्याएँ a = 8.41 और b = 16.81 हैं, तो माध्य समानुपाती है: माध्य समानुपाती = √(8.41 × 16.81)

बीजीय गुणधर्म √(x × y) = √x × √y का उपयोग करके: माध्य समानुपाती = √8.41 × √16.81

हम जानते हैं कि 2.9² = 8.41 और 4.1² = 16.81, जिससे प्राप्त होता है: √8.41 = 2.9 √16.81 = 4.1

इन दो मानों को गुणा करने पर: 2.9 × 4.1 = 11.89

व्याख्या

किसी संख्या के 88 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 11 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

8 से विभाज्यता के लिए, 10-अंकीय संख्या 620x976y52 के अंतिम तीन अंक, जो कि y52 हैं, 8 से विभाज्य होने चाहिए। y के 0 से 9 तक के संभावित एकल-अंकीय मानों का परीक्षण करने पर, y52 तब 8 से विभाज्य होता है जब y का मान 1, 3, 5, 7, या 9 हो।

11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। विषम स्थानों पर अंकों का योग = 6 + 0 + 9 + 6 + 5 = 26 सम स्थानों पर अंकों का योग = 2 + x + 7 + y + 2 = 11 + x + y अंतर = 26 - (11 + x + y) = 15 - (x + y)

इस अंतर को 11 का गुणज बनाने के लिए, 15 - (x + y) का मान 11 या 0 हो सकता है, जिससे प्राप्त होता है: x + y = 4 या x + y = 15

चूंकि हमें x² + y² का न्यूनतम मान चाहिए, हम दोनों मामलों में y के संभावित मानों का परीक्षण करते हैं।

स्थिति 1 से जहाँ x + y = 4: यदि y = 1, तो x = 3। इससे x² + y² = 3² + 1² = 10 प्राप्त होता है। यदि y = 3, तो x = 1। इससे x² + y² = 1² + 3² = 10 प्राप्त होता है।

स्थिति 2 से जहाँ x + y = 15: यदि y = 7, तो x = 8। इससे x² + y² = 8² + 7² = 113 प्राप्त होता है। यदि y = 9, तो x = 6। इससे x² + y² = 6² + 9² = 117 प्राप्त होता है।

सभी संभावित मानों की तुलना करने पर, x² + y² का न्यूनतम मान 10 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = P × R × T / 100 का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

पहले 10 वर्षों के लिए: P₁ = 2000 R = 5% T₁ = 10 वर्ष SI₁ = 2000 × 5 × 10 / 100 = 1000

10 वर्षों के बाद, यह ब्याज नए मूलधन के निर्माण के लिए मूलधन में जोड़ा जाता है: P₂ = 2000 + 1000 = 3000

₹4000 की लक्ष्य राशि तक पहुँचने के लिए, दूसरे अवधि में आवश्यक अतिरिक्त ब्याज है: SI₂ = 4000 - 3000 = 1000

P₂ = 3000 के साथ दूसरे अवधि के लिए साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करते हुए: 1000 = 3000 × 5 × T₂ / 100 1000 = 150 × T₂ T₂ = 1000 / 150 = 20/3 = 6 ⅔ वर्ष

निवेश को ₹4000 होने के लिए आवश्यक कुल समय दोनों अवधियों का योग है: कुल समय = T₁ + T₂ = 10 + 6 ⅔ = 16 ⅔ वर्ष

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहाँ, अंकित मूल्य £2,000 है, पहली छूट 15% है, और दूसरी छूट 5% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

विक्रय मूल्य = 2000 × (1 - 15/100) × (1 - 5/100) विक्रय मूल्य = 2000 × 0.85 × 0.95 विक्रय मूल्य = 1700 × 0.95 विक्रय मूल्य = 1615

व्याख्या

n प्रतिस्थापन संक्रियाओं के बाद मिश्रण में पानी की मात्रा तनुकरण सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:

Wₙ = W₀ × (1 - y/V)ⁿ

जहाँ: W₀ पानी की प्रारंभिक मात्रा है = 10 - 8 = 2 लीटर y प्रत्येक चरण में बदले गए घोल की मात्रा है = 2 लीटर V घोल की कुल मात्रा है = 10 लीटर n संक्रियाओं की संख्या है = 3 (प्रारंभिक प्रक्रिया प्लस दो और पुनरावृत्तियाँ)

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

W₃ = 2 × (1 - 2/10)³ W₃ = 2 × (0.8)³ W₃ = 2 × 0.512 W₃ = 1.024 लीटर

चूंकि मिश्रण की कुल मात्रा 10 लीटर पर स्थिर रहती है, इसलिए दूध की अंतिम मात्रा है:

दूध = कुल मात्रा - अंतिम पानी की मात्रा दूध = 10 - 1.024 = 8.976 लीटर

व्याख्या

चूंकि 120 मीटर की दौड़ में P, S को 6 मीटर से हराता है, P उसी समय में 120 मीटर की दूरी तय करता है जब S तय करता है: 120 - 6 = 114 मीटर।

P की गति का S की गति से अनुपात है: P की गति / S की गति = 120 / 114 = 20 / 19।

100 मीटर की दौड़ में जहाँ S को 7.5 मीटर की बढ़त मिलती है, S को दौड़ पूरी करने के लिए दौड़ना होगा: 100 - 7.5 = 92.5 मीटर।

जब S दौड़ पूरी करने के लिए अपने शेष 92.5 मीटर दौड़ता है, तो P द्वारा तय की गई दूरी है: 92.5 × (20 / 19) = 1850 / 19 ≈ 97.37 मीटर।

चूंकि जब S 100 मीटर के निशान तक पहुँचता है तो P ने केवल 97.37 मीटर की दूरी तय की है, इसलिए S दौड़ जीतता है। S जितने मीटर से जीतता है, वह दूरी है जो P फिनिश लाइन से कम दौड़ता है: 100 - 97.37 = 2.63 मीटर।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक (1 + sin A) / cos A + cos A / (1 + sin A) को सरल करने के लिए, हम उभयनिष्ठ हर cos A (1 + sin A) लेते हैं:

((1 + sin A)² + cos² A) / (cos A (1 + sin A))

अंश का विस्तार करने पर:

(1 + 2 sin A + sin² A + cos² A) / (cos A (1 + sin A))

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके, अंश बन जाता है:

1 + 2 sin A + 1 = 2 + 2 sin A = 2(1 + sin A)

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

2(1 + sin A) / (cos A (1 + sin A))

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (1 + sin A) को रद्द करने पर:

2 / cos A = 2 sec A

व्याख्या

स्पर्शरेखा-व्‍यवच्छेद प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, यदि किसी बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्शरेखा खंड और एक व्यवच्छेद खंड खींचा जाता है, तो स्पर्शरेखा खंड की लंबाई का वर्ग संपूर्ण व्यवच्छेद खंड की लंबाई और उसके बाह्य खंड की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है।

सूत्र है: CT² = CA × CB

चूंकि जीवा AB को C पर स्पर्शरेखा से मिलने के लिए बढ़ाया जाता है, बिंदु व्यवच्छेद रेखा पर A, B, C क्रम में स्थित हैं।

दिया गया है: AB = 3 सेमी BC = 2.4 सेमी

संपूर्ण व्यवच्छेद खंड की लंबाई CA है: CA = AB + BC = 3 + 2.4 = 5.4 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: CT² = 5.4 × 2.4 CT² = 12.96 CT = √12.96 = 3.6 सेमी

व्याख्या

द्विपद योग के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (y + 1/y)² = y² + 2 + 1/y²

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (y + 1/y)² = (y² + 1/y²) + 2

दिए गए मान y² + 1/y² = 167 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (y + 1/y)² = 167 + 2 (y + 1/y)² = 169

चूंकि y > 0 है, इसलिए व्यंजक y + 1/y भी धनात्मक होना चाहिए। दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: y + 1/y = √169 = 13

व्याख्या

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: A = 4πr²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना, जहाँ त्रिज्या r 3.5 सेमी है (जिसे 7/2 सेमी के रूप में लिखा जा सकता है) और π 22/7 है: A = 4 × (22/7) × (7/2)² A = 4 × (22/7) × (49/4) A = 154 सेमी²

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)³ + (a-b)³ = 2a(a² + 3b²) का उपयोग करके, हम a = x और b = 3 रखकर दिए गए व्यंजक के अंश को सरल कर सकते हैं:

(x+3)³ + (x-3)³ = 2x(x² + 3 × 3²) = 2x(x² + 27)

इस सरलीकृत अंश को मूल व्यंजक में वापस रखने पर:

[2x(x² + 27)] / (x² + 27)

अंश और हर दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड (x² + 27) को रद्द करने पर व्यंजक सरल हो जाता है:

2x

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज PQR में, कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु अंतःकेंद्र M होता है। कोण P और कोण R के समद्विभाजकों द्वारा अंतःकेंद्र पर बनाया गया कोण, विपरीत कोण Q से मानक ज्यामितीय सूत्र द्वारा संबंधित है:

∠ PMR = 90° + ∠ Q / 2

दिए गए ∠ PMR = 127° के मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

127° = 90° + ∠ Q / 2

दोनों पक्षों से 90° घटाने पर:

37° = ∠ Q / 2

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर:

∠ Q = 74°

व्याख्या

जब दो व्यक्ति किसी काम को क्रमशः A और B दिनों में पूरा कर सकते हैं, तो उनके द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लगने वाला समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

T = (A × B) / (A + B)

यहाँ, जेसन द्वारा लिया गया समय A = 23.4 दिन है और रफीक द्वारा लिया गया समय B = 39 दिन है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

T = (23.4 × 39) / (23.4 + 39)

T = 912.6 / 62.4

गणना को सरल बनाने के लिए, दशमलव संख्याओं को भिन्न के रूप में लिखें:

T = (234/10 × 39) / (624/10)

T = (234 × 39) / 624

चूंकि 234 और 624 दोनों 78 से विभाज्य हैं (234 = 78 × 3 और 624 = 78 × 8):

T = (3 × 39) / 8

T = 117 / 8

T = 14.625 दिन