एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई AB = 9 सेमी, BC = 40 सेमी और AC = 41 सेमी है।

हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सत्यापित कर सकते हैं कि त्रिभुज समकोण त्रिभुज है या नहीं: AB² + BC² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 AC² = 41² = 1681

चूंकि AB² + BC² = AC², त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AC कर्ण है।

किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए, परित्रिज्या का व्यास कर्ण के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि परित्रिज्या कर्ण का ठीक आधा होती है: परित्रिज्या = AC / 2 = 41 / 2 = 20½ सेमी।

व्याख्या

n वर्षों के बाद चक्रवृद्धि राशि का सूत्र है: A = P(1 + r/100)ⁿ

दिया गया मूलधन (P) ₹20,000 है और 2 वर्षों के अंत में अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज ₹2,050 है, तो 2 वर्षों के बाद की राशि (A₂) है: A₂ = 20,000 + 2,050 = 22,050

n = 2 के लिए सूत्र का उपयोग करके: 22,050 = 20,000(1 + r/100)² (1 + r/100)² = 22,050 / 20,000 (1 + r/100)² = 441 / 400 1 + r/100 = √(441/400) 1 + r/100 = 21/20

तीसरे वर्ष के अंत में कुल राशि (A₃) है: A₃ = P(1 + r/100)³ A₃ = 20,000 × (21/20)³ A₃ = 20,000 × (9261 / 8000) A₃ = 2.5 × 9261 A₃ = 23,152.50

तीसरे वर्ष के अंत में अर्जित कुल चक्रवृद्धि ब्याज है: CI = A₃ - P CI = 23,152.50 - 20,000 CI = 3,152.50

व्याख्या

a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

दिया गया है कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई a = 22 सेमी है, हम इस मान को सूत्र में रखते हैं:

क्षेत्रफल = (√3/4) × 22² क्षेत्रफल = (√3/4) × 484 क्षेत्रफल = 121√3

त्रिभुज का क्षेत्रफल 121√3 सेमी² है।

व्याख्या

माना आकाश के लिए मोटरसाइकिल का क्रय मूल्य C है।

दिए गए लेन-देन श्रृंखला के अनुसार: नवीन 10% के लाभ पर खरीदता है, जिससे उसका क्रय मूल्य C × 11/10 के बराबर हो जाता है। विनय 20% के लाभ पर खरीदता है, जिससे उसका क्रय मूल्य C × 11/10 × 6/5 के बराबर हो जाता है। विशाल 5% की हानि पर खरीदता है, जिससे उसका क्रय मूल्य C × 11/10 × 6/5 × 19/20 के बराबर हो जाता है।

यह देखते हुए कि विशाल ने मोटरसाइकिल के लिए ₹62,700 का भुगतान किया: C × 11/10 × 6/5 × 19/20 = 62700

समीकरण को सरल बनाने पर: C × (11 × 6 × 19) / 1000 = 62700 C × 1254 / 1000 = 62700 C = (62700 × 1000) / 1254 C = 50 × 1000 C = 50000

आकाश के लिए मोटरसाइकिल की लागत ₹50,000 थी।

व्याख्या

किन्हीं भी दो समरूप त्रिभुजों के परिमापों का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।

परिमाप(XYZ) / परिमाप(PQR) = XY / PQ

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

62 / 42 = XY / 21

XY के लिए हल करने पर:

XY = (62 × 21) / 42

XY = 62 / 2

XY = 31 सेमी

व्याख्या

Correct Answer: D

To find the value of (x² + y²)(p² + q²), we can use the given equations: px + qy = 1 qx + py = 2pq / (p² + q²)

Adding these two equations gives: (p + q)(x + y) = 1 + 2pq / (p² + q²) (p + q)(x + y) = (p² + q² + 2pq) / (p² + q²) (p + q)(x + y) = (p + q)² / (p² + q²) x + y = (p + q) / (p² + q²)

Subtracting the second equation from the first gives: (p - q)(x - y) = 1 - 2pq / (p² + q²) (p - q)(x - y) = (p² + q² - 2pq) / (p² + q²) (p - q)(x - y) = (p - q)² / (p² + q²) x - y = (p - q) / (p² + q²)

Using the algebraic identity 2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²: 2(x² + y²) = [(p + q) / (p² + q²)]² + [(p - q) / (p² + q²)]² 2(x² + y²) = [(p + q)² + (p - q)²] / (p² + q²)² 2(x² + y²) = 2(p² + q²) / (p² + q²)² 2(x² + y²) = 2 / (p² + q²)

Dividing both sides by 2: x² + y² = 1 / (p² + q²)

Multiplying both sides by (p² + q²): (x² + y²)(p² + q²) = 1

व्याख्या

त्रिज्याएँ r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के बीच सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लंबाई मानक ज्यामितीय संबंध द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (r₁ - r₂)²)

दिए गए मानों r₁ = 9 सेमी, r₂ = 4 सेमी, और d = 13 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

L = √(13² - (9 - 4)²) L = √(169 - 5²) L = √(169 - 25) L = √144 L = 12 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए बिजली बिल की राशि x है।

दी गई शर्त के अनुसार, बिल राशि पर 13% की छूट ₹260.39 के बराबर है।

हम इस संबंध को सूत्र का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं: छूट = बिल राशि × छूट प्रतिशत

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 260.39 = x × 13/100

x के लिए हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x = 260.39 × 100 / 13 x = 26039 / 13 x = 2003

इस प्रकार, उसके बिजली बिल की कुल राशि ₹2,003 थी।

व्याख्या

यदि माल का क्रय मूल्य 100 है, तो अंकित मूल्य 130 (क्रय मूल्य से 30% अधिक) है। 130 के अंकित मूल्य पर 10% की छूट 13 है, जिससे विक्रय मूल्य 117 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 17% का लाभ होता है।

व्याख्या

किसी वस्तु का अंकित मूल्य (MP) उसके विक्रय मूल्य (SP) और छूट प्रतिशत (d) से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित होता है:

MP = SP ÷ (1 - d / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ SP = 765 और d = 15:

MP = 765 ÷ (1 - 15 / 100) MP = 765 ÷ 0.85 MP = 76500 ÷ 85 MP = 900

व्याख्या

मान लीजिए चुनाव में डाले गए कुल वैध मतों की संख्या V है।

विजेता उम्मीदवार को कुल वैध मतों का 55% प्राप्त हुआ, जो 42,680 के बराबर है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

0.55 × V = 42,680

V के लिए हल करने पर: V = 42,680 / 0.55 V = 77,600

तीसरे स्थान पर रहे उम्मीदवार को कुल वैध मतों का 10% प्राप्त हुआ। इस उम्मीदवार द्वारा प्राप्त वैध मतों की संख्या है:

V का 10% = 0.10 × 77,600 = 7,760

व्याख्या

माना x = √(a/b)। दिए गए समीकरण को x के रूप में लिखा जा सकता है: x = 8/3 + 1/x

x का मान ज्ञात करने के लिए, पूरे समीकरण को 3x से गुणा करें: 3x² - 8x - 3 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (3x + 1)(x - 3) = 0

चूंकि x एक वास्तविक धनात्मक अनुपात का मुख्य वर्गमूल दर्शाता है, इसलिए x धनात्मक होना चाहिए। अतः, x = 3।

इससे प्राप्त होता है: √(a/b) = 3 a/b = 9 a = 9b

दूसरे दिए गए समीकरण, a + b = 30 में a = 9b प्रतिस्थापित करें: 9b + b = 30 10b = 30 b = 3

b = 3 का उपयोग करके, हम a का मान ज्ञात करते हैं: a = 9 × 3 = 27

अब, ab का मान ज्ञात करें: ab = 27 × 3 = 81

व्याख्या

पहली रेलगाड़ी स्टेशन P से सायं 6 बजे चलना शुरू करती है और दूसरी रेलगाड़ी के स्टेशन Q से रात्रि 8 बजे चलने से पहले 2 घंटे तक यात्रा करती है।

इन 2 घंटों में पहली रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = 75 किमी/घंटा × 2 घंटे = 150 किमी

रात्रि 8 बजे दोनों रेलगाड़ियों के बीच शेष दूरी = 690 किमी - 150 किमी = 540 किमी

चूंकि दोनों रेलगाड़ियाँ एक-दूसरे की ओर यात्रा कर रही हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: सापेक्ष गति = 75 किमी/घंटा + 105 किमी/घंटा = 180 किमी/घंटा

रात्रि 8 बजे के बाद मिलने में लगने वाला समय = शेष दूरी / सापेक्ष गति = 540 किमी / 180 किमी/घंटा = 3 घंटे

रात्रि 8 बजे में 3 घंटे जोड़ने पर मिलने का समय रात्रि 11 बजे आता है।

व्याख्या

सर्वाधिक नामांकन वाले वर्ष का पता लगाने के लिए, प्रत्येक वर्ष के लिए कुल नामांकन की गणना सभी तीन खेलों (बास्केटबॉल, फुटबॉल और क्रिकेट) में लड़कों और लड़कियों की संख्या को जोड़कर की जाती है।

2018 के लिए कुल नामांकन = 46 + 34 + 42 + 37 + 45 + 35 = 239 2019 के लिए कुल नामांकन = 40 + 41 + 44 + 34 + 42 + 32 = 233 2020 के लिए कुल नामांकन = 43 + 40 + 40 + 32 + 38 + 36 = 229 2021 के लिए कुल नामांकन = 37 + 44 + 43 + 25 + 34 + 28 = 211 2022 के लिए कुल नामांकन = 34 + 41 + 41 + 32 + 41 + 39 = 228

इन मानों की तुलना करने पर, अधिकतम कुल नामांकन 239 है, जो वर्ष 2018 में प्राप्त हुआ था।

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज का परिमाप सूत्र 2(a + b) द्वारा दिया जाता है, जहाँ a और b आसन्न भुजाओं की लंबाई हैं।

दिया गया है कि परिमाप 48 सेमी है और एक आसन्न भुजा a की लंबाई 8 सेमी है: 2(8 + b) = 48 8 + b = 24 b = 16 सेमी

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई

आधार b = 16 सेमी और दी गई ऊंचाई 6 सेमी का उपयोग करके: क्षेत्रफल = 16 × 6 = 96 सेमी²

व्याख्या

कार्य दर सूत्र का उपयोग करते हुए, कुल कार्य को व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लें, जो कि LCM(8, 20, 24) = 120 इकाई है।

अली, अवतार सिंह और अशोक द्वारा एक साथ मिलकर किया गया संयुक्त दैनिक कार्य दर 120 / 8 = 15 इकाई प्रति दिन है।

अली की अकेले की दैनिक कार्य दर 120 / 20 = 6 इकाई प्रति दिन है।

अवतार सिंह की अकेले की दैनिक कार्य दर 120 / 24 = 5 इकाई प्रति दिन है।

अशोक की अकेले की दैनिक कार्य दर संयुक्त दर में से अली और अवतार सिंह की व्यक्तिगत दरों को घटाकर प्राप्त की जाती है: 15 - (6 + 5) = 4 इकाई प्रति दिन।

अशोक द्वारा अकेले काम पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या 120 / 4 = 30 दिन है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण को सामान्य हर लेकर सरल करते हैं:

cos θ / (1 + sin θ) + cos θ / (1 - sin θ) = 4

अंश में cos θ को उभयनिष्ठ लेने पर:

cos θ [ (1 - sin θ + 1 + sin θ) / (1 - sin² θ) ] = 4

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² θ = cos² θ का उपयोग करने पर:

cos θ [ 2 / cos² θ ] = 4

2 / cos θ = 4

cos θ = ½

चूंकि θ एक न्यून कोण है, इसलिए θ = 60°।

व्याख्या

व्यंजक को हल करने के लिए, पहले दोनों कोष्ठकों के पदों को अलग-अलग सरल करें।

पहले कोष्ठक के लिए, हर 6, 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 24 है। 1 + 5/6 + 7/8 + 11/12 = 24/24 + 20/24 + 21/24 + 22/24 = 87/24

दूसरे कोष्ठक के लिए, 4 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 8 है। 3/4 - 5/8 = 6/8 - 5/8 = 1/8

अब, पहले परिणाम को दूसरे परिणाम से विभाजित करें: (87/24) ÷ (1/8) = (87/24) × 8 = 87/3 = 29

व्याख्या

एक 'X खरीदें Y मुफ्त पाएं' ऑफर के तहत, ग्राहक को X वस्तुओं के लिए भुगतान करके कुल X + Y वस्तुएँ प्राप्त होती हैं। प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट % = (मुफ्त वस्तुएँ ÷ कुल वस्तुएँ) × 100

'2 खरीदें 1 मुफ्त पाएं' ऑफर में, ग्राहक 2 वस्तुओं के लिए भुगतान करता है और 1 वस्तु मुफ्त प्राप्त करता है, जिससे प्राप्त वस्तुओं की कुल संख्या 3 हो जाती है।

छूट % = (1 ÷ 3) × 100 = 33.33%

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु से गुजरने वाली त्रिज्या के लंबवत होती है। मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और P, X से स्पर्श रेखा का संपर्क बिंदु है। यह एक समकोण त्रिभुज OPX बनाता है, जिसमें P पर समकोण होता है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: OX² = OP² + PX²

यह देखते हुए कि त्रिज्या OP = 5 सेमी और स्पर्श रेखा की लंबाई PX = 12 सेमी है, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: OX² = 5² + 12² OX² = 25 + 144 OX² = 169 OX = √169 = 13 सेमी

व्याख्या

चूंकि OA, OB, और OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, हमारे पास OA = OB = OC है।

त्रिभुज OAB में, चूंकि OA = OB है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिससे कोण OAB = कोण ABO = 40° प्राप्त होता है।

त्रिभुज OAC में, चूंकि OA = OC है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिससे कोण OAC = कोण ACO = 30° प्राप्त होता है।

कोण BAC का माप इन दोनों कोणों का योग है: कोण BAC = कोण OAB + कोण OAC = 40° + 30° = 70°

वृत्त प्रमेय के अनुसार, केंद्र पर एक चाप द्वारा बनाया गया कोण परिधि पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप द्वारा बनाए गए कोण का दोगुना होता है: कोण BOC = 2 × कोण BAC = 2 × 70° = 140°

व्याख्या

समान क्रय मूल्य के लिए दो अलग-अलग विक्रय मूल्यों के बीच संबंध निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

SP₂ / SP₁ = (100 + लाभ%) / (100 - हानि%)

दिया गया है: पहला विक्रय मूल्य (SP₁) = 1300 हानि% = 35% वांछित लाभ% = 30%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

SP₂ / 1300 = (100 + 30) / (100 - 35)

SP₂ / 1300 = 130 / 65

SP₂ / 1300 = 2

SP₂ = 1300 × 2 = 2600

30% का लाभ कमाने के लिए, कारीगर को मेज 2,600 में बेचनी चाहिए।

व्याख्या

समान दर पर दो अलग-अलग समय अवधियों के लिए समान राशि पर साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

साधारण ब्याज में अंतर = P × R × (T₂ - T₁) / 100

यहां, साधारण ब्याज में अंतर ₹9120 है, ब्याज दर R 8% प्रति वर्ष है, पहली समय अवधि T₁ 3 वर्ष है, और दूसरी समय अवधि T₂ 7 वर्ष है। मान लीजिए P मूल राशि है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

9120 = P × 8 × (7 - 3) / 100

9120 = P × 8 × 4 / 100

9120 = 32P / 100

P = (9120 × 100) / 32

P = 2850000 / 100 (या सीधे 912000 / 32)

P = 28500

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का प्रयोग करते हुए, मान लीजिए a = 2x और b = 3y।

इससे संबंध प्राप्त होता है: (2x + 3y)³ = 8x³ + 27y³ + 3(2x)(3y)(2x + 3y) (2x + 3y)³ = 8x³ + 27y³ + 18xy(2x + 3y)

सर्वसमिका में दिए गए मान 2x + 3y = 9 और xy = 3 को प्रतिस्थापित करें: 9³ = 8x³ + 27y³ + 18 × 3 × 9 729 = 8x³ + 27y³ + 486

वांछित मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से 486 घटाएं: 8x³ + 27y³ = 729 - 486 8x³ + 27y³ = 243

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, तकनीशियनों और गैर-तकनीशियनों की संख्या का अनुपात उनके संबंधित औसत वेतन और समग्र औसत वेतन से निकाला जाता है:

तकनीशियनों का औसत वेतन: 12,000 गैर-तकनीशियनों का औसत वेतन: 4,000 समग्र औसत वेतन: 6,000

तकनीशियनों के औसत और समग्र औसत के बीच का अंतर 12,000 - 6,000 = 6,000 है। समग्र औसत और गैर-तकनीशियनों के औसत के बीच का अंतर 6,000 - 4,000 = 2,000 है।

तकनीशियनों और गैर-तकनीशियनों का अनुपात 2,000 : 6,000 है, जो 1 : 3 तक सरल हो जाता है।

चूंकि 1 भाग 100 तकनीशियनों का प्रतिनिधित्व करता है, सभी श्रमिकों का प्रतिनिधित्व करने वाले कुल भागों की संख्या 1 + 3 = 4 भाग है।

श्रमिकों की कुल संख्या 100 × 4 = 400 है।

व्याख्या

किसी भी कंपनी द्वारा किसी औषधि के न्यूनतम उत्पादन का पता लगाने के लिए, हम दी गई तालिका से प्रत्येक औषधि के लिए सभी कंपनियों के उत्पादन मानों की तुलना करते हैं।

कंपनी A के लिए, औषधि P का उत्पादन 1.125 मिलियन है। कंपनी B के लिए, P के लिए 2.225 मिलियन, Q के लिए 1.175 मिलियन और R के लिए 2.500 मिलियन उत्पादन मान हैं। कंपनी C के लिए, P के लिए 1.550 मिलियन, Q के लिए 1.750 मिलियन और R के लिए 1.950 मिलियन उत्पादन मान हैं।

तालिका में सभी मानों की तुलना करने पर: 1.125 < 1.175 < 1.550 < 1.750 < 1.950 < 2.100 < 2.220 < 2.225 < 2.500

1.125 मिलियन का मान पूरे डेटासेट में सबसे कम उत्पादन मान है। यह न्यूनतम उत्पादन कंपनी A द्वारा निर्मित औषधि P के अनुरूप है।

व्याख्या

आधार QR वाले समद्विबाहु त्रिभुज SQR में, भुजाएँ SQ तथा SR बराबर हैं। चूँकि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है और शीर्ष कोण ∠QSR = 60° है, तो आधार कोण बराबर होंगे: ∠SRQ = ∠SQR = (180° - 60°) ÷ 2 = 60°

आधार QR वाले समद्विबाहु त्रिभुज PQR में, भुजाएँ PQ तथा PR बराबर हैं। शीर्ष कोण ∠QPR = 100° के साथ, आधार कोण होंगे: ∠PRQ = ∠PQR = (180° - 100°) ÷ 2 = 40°

चूँकि P तथा S दोनों आधार QR के एक ही ओर स्थित हैं, और कोण ∠SRQ, कोण ∠PRQ से बड़ा है, इसलिए किरण PR, कोण SRQ के भीतर स्थित है। अतः, कोण ∠SRP इन दोनों कोणों का अंतर होगा: ∠SRP = ∠SRQ - ∠PRQ = 60° - 40° = 20°

व्याख्या

मान लीजिए A, B और C का हिस्सा क्रमशः 3x, 2x और 5x है।

C का हिस्सा B से 300 अधिक है, जिससे यह प्राप्त होता है: 5x - 2x = 300 3x = 300 x = 100

A और B के हिस्सों के बीच का अंतर है: 3x - 2x = x

x का मान रखने पर: x = 100

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

मान लीजिए a = 0.1, b = 0.68, और c = 0.22।

सर्वसमिका के व्यक्तिगत पद व्यंजक में पदों से मेल खाते हैं: a² = 0.1² = 0.01 b² = 0.68 × 0.68 c² = 0.22 × 0.22 2ca = 2 × 0.22 × 0.1 = 0.044 2ab = 2 × 0.1 × 0.68 = 0.136 2bc = 2 × 0.22 × 0.68 = 0.44 × 0.68

इस प्रकार, व्यंजक इसके समतुल्य है: (0.1 + 0.68 + 0.22)² = 1² = 1

व्याख्या

विभाजन सूत्र भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को इस प्रकार संबंधित करता है: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

यह देखते हुए कि शेषफल 46 है, हम भाजक निर्धारित कर सकते हैं: भाजक = 5 × शेषफल भाजक = 5 × 46 = 230

अब, हम भाजक का उपयोग करके भागफल ज्ञात कर सकते हैं: भाजक = 10 × भागफल 230 = 10 × भागफल भागफल = 23

इन मानों को विभाजन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: भाज्य = 230 × 23 + 46 भाज्य = 5290 + 46 भाज्य = 5336

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, n वर्षों के बाद की राशि का सूत्र Aₙ = P(1 + r)ⁿ है, जहाँ P मूल राशि है और r ब्याज की वार्षिक दर है।

2 वर्षों में राशि है: P(1 + r)² = 6120

3 वर्षों में राशि है: P(1 + r)³ = 7340

तीसरे वर्ष की राशि को दूसरे वर्ष की राशि से विभाजित करने पर एक वर्ष के लिए वृद्धि कारक प्राप्त होता है: 1 + r = 7340 / 6120 = 367 / 306

इस वृद्धि कारक को दूसरे वर्ष के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: P(367 / 306)² = 6120 P = 6120 × (306 / 367)² P = 6120 × 93636 / 134689 P = 573052320 / 134689 P ≈ 4254.63

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हमारे पास है: csc²B - 1 = cot²B sec²B - 1 = tan²B

इन्हें दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (csc²B - 1)(sec²B - 1) = cot²B × tan²B

चूंकि स्पर्शज्या (tangent) और कोटिस्पर्शज्या (cotangent) एक दूसरे के व्युत्क्रम होते हैं, cot B × tan B = 1। इसलिए: cot²B × tan²B = (cot B × tan B)² = 1² = 1

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (sin θ + cos θ)² + (sin θ - cos θ)² = 2

दिया गया है कि sin θ + cos θ = 1/29, इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करें: (1/29)² + (sin θ - cos θ)² = 2 1/841 + (sin θ - cos θ)² = 2 (sin θ - cos θ)² = 2 - 1/841 (sin θ - cos θ)² = 1681/841

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: sin θ - cos θ = ± 41/29

अब, आवश्यक व्यंजक का मूल्यांकन करें: (sin θ + cos θ) / (sin θ - cos θ) = (1/29) / (± 41/29) = ± 1/41

धनात्मक मान पर विचार करते हुए, परिणाम 1/41 है।

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर लंबवत होती है। यह एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण बाह्य बिंदु से वृत्त के केंद्र तक की दूरी है, एक भुजा त्रिज्या है, और दूसरी भुजा स्पर्श रेखा की लंबाई है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: स्पर्श रेखा की लंबाई = √(d² - r²)

दिए गए मान d = 29 सेमी और r = 20 सेमी को प्रतिस्थापित करें: स्पर्श रेखा की लंबाई = √(29² - 20²) स्पर्श रेखा की लंबाई = √((29 - 20)(29 + 20)) स्पर्श रेखा की लंबाई = √(9 × 49) स्पर्श रेखा की लंबाई = 3 × 7 = 21 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: C

जब एक वस्तु को एक निश्चित मूल्य पर बेचने पर अर्जित लाभ, उसे दूसरे मूल्य पर बेचने पर हुई हानि के बराबर होता है, तो क्रय मूल्य (CP) दोनों विक्रय मूल्यों का अंकगणितीय माध्य होता है।

CP = (1032 + 648) / 2 CP = 1680 / 2 CP = 840

30% लाभ अर्जित करने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य का 130% होना चाहिए।

SP = 840 × 1.30 SP = 1092

व्याख्या

घन द्वारा परिबद्ध किए जा सकने वाले सबसे बड़े गोले के लिए, गोला घन के अंदर अंतर्निहित होता है। इस गोले का व्यास घन की भुजा की लंबाई के बराबर होता है।

दिया गया है कि घन की भुजा की लंबाई 7 सेमी है, इसलिए गोले का व्यास d = 7 सेमी है, जिससे त्रिज्या r = 3.5 सेमी या 7/2 सेमी प्राप्त होती है।

गोले के आयतन के सूत्र का उपयोग करके: V = 4/3 × π × r³

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = 4/3 × 22/7 × (7/2)³ V = 4/3 × 22/7 × 343/8 V = 539/3 V ≈ 179.67 सेमी³

व्याख्या

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है।

दिए गए क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी का उपयोग करके: 154 = (22/7) × r² r² = 154 × (7/22) r² = 49 r = 7 सेमी

चूंकि वृत्त की दो समानांतर स्पर्शरेखाएँ व्यास के विपरीत अंतिम बिंदुओं पर वृत्त को स्पर्श करती हैं, इसलिए संपर्क बिंदुओं P और Q को जोड़ने वाला रेखा खंड PQ वृत्त का व्यास होना चाहिए।

PQ की लंबाई = 2r = 2 × 7 = 14 सेमी।

व्याख्या

सही उत्तर: A

त्रिभुज असमिका प्रमेय के अनुसार, तीन रेखा खंड एक त्रिभुज बना सकते हैं यदि और केवल यदि किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से सख्ती से अधिक हो। किन्हीं तीन भुजाओं की लंबाई a, b, और c के लिए, इसका मतलब है कि तीन असमानताएँ a + b > c, a + c > b, और b + c > a सभी सत्य होनी चाहिए।

भुजाओं की लंबाई 8, 6, और 9 के लिए, हम इस प्रमेय को लागू करते हैं: 8 + 6 = 14, जो 9 से अधिक है 8 + 9 = 17, जो 6 से अधिक है 6 + 9 = 15, जो 8 से अधिक है

चूंकि किसी भी दो भुजाओं का योग हर मामले में तीसरी भुजा से अधिक है, ये भुजाओं की लंबाई त्रिभुज असमिका प्रमेय को संतुष्ट करती हैं और सफलतापूर्वक एक त्रिभुज बना सकती हैं।

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समकक्ष छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 %

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ d₁ = 10% और d₂ = 10%:

समकक्ष छूट = 10 + 10 - (10 × 10)/100 %

समकक्ष छूट = 20 - 1 % = 19%

व्याख्या

जब किसी यात्रा को दूरी के दो बराबर हिस्सों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें क्रमशः v₁ और v₂ की गति से तय किया जाता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति V निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

V = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

यहाँ, दूरी के पहले आधे हिस्से के लिए गति, v₁, 40 किमी प्रति घंटा है और दूसरे आधे हिस्से के लिए गति, v₂, 60 किमी प्रति घंटा है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

V = 2 × 40 × 60 / (40 + 60) V = 4800 / 100 V = 48 किमी प्रति घंटा

यह सूत्र सीधे औसत गति प्रदान करता है, जिससे इस गणना के लिए 7 घंटे के कुल यात्रा समय की आवश्यकता नहीं रह जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए दीपक की दक्षता प्रति दिन 1 इकाई है। चूँकि बबीता दीपक की तुलना में 1.25 गुना अधिक कुशल है, इसलिए उसकी दक्षता प्रति दिन 1.25 इकाई है।

उनकी संयुक्त दक्षता प्रति दिन 1 + 1.25 = 2.25 इकाई है।

साथ मिलकर, वे 40 दिनों में काम पूरा करते हैं, इसलिए कुल काम है: कुल काम = संयुक्त दक्षता × कुल दिन = 2.25 × 40 = 90 इकाई

दीपक को अकेले इस काम को पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: दिन = कुल काम / दीपक की दक्षता = 90 / 1 = 90 दिन

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c का चौथा समानुपाती x इस संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है: a / b = c / x, जिससे सूत्र प्राप्त होता है:

x = (b × c) / a

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ a = 0.24, b = 0.6, और c = 20:

x = (0.6 × 20) / 0.24

x = 12 / 0.24

गणना को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को 100 से गुणा करने पर:

x = 1200 / 24

x = 50

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

व्यंजक में संख्याओं की पहचान करके: a³ = 4913, जिसका अर्थ है a = 17 (चूंकि 17³ = 4913) b³ = 343, जिसका अर्थ है b = 7 (चूंकि 7³ = 343) a² = 17² = 289 b² = 7² = 49 ab = 17 × 7 = 119

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(4913 + 343) / (289 + 49 - 119) = (17³ + 7³) / (17² + 7² - 17 × 7)

सर्वसमिका लागू करने पर:

(17 + 7)(17² - 17 × 7 + 7²) / (17² + 7² - 17 × 7) = 17 + 7 = 24

व्याख्या

कार्य-समकक्षता सूत्र का उपयोग करके:

M₁ × D₁ = M₂ × D₂

यहाँ, M₁ श्रमिकों की प्रारंभिक संख्या (69) है, D₁ दिनों की प्रारंभिक संख्या (20) है, M₂ आवश्यक श्रमिकों की अंतिम संख्या है, और D₂ दिनों की अंतिम संख्या (12) है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

69 × 20 = M₂ × 12

1380 = 12 × M₂

M₂ = 1380 / 12 = 115 श्रमिक

नियुक्त किए जाने वाले अतिरिक्त श्रमिकों की संख्या अंतिम श्रमिकों की संख्या और प्रारंभिक श्रमिकों की संख्या के बीच का अंतर है:

अतिरिक्त श्रमिक = M₂ - M₁ = 115 - 69 = 46 श्रमिक

व्याख्या

यह देखते हुए कि p + q + r = 0 है, हम r को -(p + q) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इसे प्रत्येक हर में प्रतिस्थापित करने पर:

पहले पद के लिए: p² - qr = p² - q(-(p + q)) = p² + pq + q²

दूसरे पद के लिए: q² - pr = q² - p(-(p + q)) = p² + pq + q²

तीसरे पद के लिए: r² - pq = (-(p + q))² - pq = p² + 2pq + q² - pq = p² + pq + q²

चूंकि तीनों हर समान हैं, व्यंजक को एक भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: (p² + q² + r²) / (p² + pq + q²)

r² = (-(p + q))² = p² + 2pq + q² का उपयोग करते हुए, अंश बन जाता है: p² + q² + (p² + 2pq + q²) = 2p² + 2pq + 2q² = 2(p² + pq + q²)

इस प्रकार, व्यंजक का सरलीकृत मान है: 2(p² + pq + q²) / (p² + pq + q²) = 2

वैकल्पिक रूप से, p + q + r = 0 को संतुष्ट करने वाले सुविधाजनक मान चुनकर, जैसे p = 1, q = 1, और r = -2, व्यंजक सीधे इस प्रकार मूल्यांकित होता है: 1² / (1² - 1 × (-2)) + 1² / (1² - 1 × (-2)) + (-2)² / ((-2)² - 1 × 1) = 1/3 + 1/3 + 4/3 = 6/3 = 2

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करके, हम दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

(z + 1/z)² = 4²

z² + 1/z² + 2(z)(1/z) = 16

z² + 1/z² + 2 = 16

z² + 1/z² = 14

इस मान को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

½(z² + 1/z²) = ½ × 14 = 7

व्याख्या

किन्हीं तीन संख्याओं a, b, और c के लिए, उनका चौथा समानुपाती x इस संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है:

a/b = c/x

इसे x के लिए हल करने हेतु पुनः लिखा जा सकता है:

x = (b × c) / a

दी गई संख्याएँ a = 1.4, b = 8.4, और c = 4.2 हैं, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x = (8.4 × 4.2) / 1.4

पहले विभाजन को सरल बनाने पर:

8.4 / 1.4 = 6

अब, पदों को गुणा करने पर:

x = 6 × 4.2 = 25.2

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका sin(90° - θ) = cos θ का उपयोग करके, हम sin 55° को sin(90° - 35°) = cos 35° के रूप में पुनः लिख सकते हैं।

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin² 35° + sin² 55° = sin² 35° + cos² 35°

मूल पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin² 35° + cos² 35° = 1

व्याख्या

Q की गति की गणना 1000 मीटर की कुल दौड़ दूरी को Q के कुल समय से विभाजित करके की जाती है: Q की गति = 1000 मीटर / 125 सेकंड = 8 मीटर/सेकंड।

P 120 सेकंड में दौड़ पूरी करता है। इस समय, फिनिश लाइन तक पहुँचने के लिए Q को अतिरिक्त 5 सेकंड (125 सेकंड - 120 सेकंड) की आवश्यकता होती है।

इन शेष 5 सेकंड में Q द्वारा तय की गई दूरी वह दूरी दर्शाती है जिससे P, Q को हराता है: दूरी = Q की गति × समय का अंतर = 8 मीटर/सेकंड × 5 सेकंड = 40 मीटर।

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई L, जो एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = 2√(r₁r₂)

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ दी गई हैं: r₁ = 15 सेमी r₂ = 18 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

L = 2 × √(15 × 18) L = 2 × √270 L = 2 × √(9 × 30) L = 2 × 3 × √30 L = 6√30 सेमी