एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के सिद्धांत का उपयोग करके, पेड़ की ऊँचाई सुहास की आँखों की ऊँचाई और इमारत की ऊँचाई के बीच रैखिक अंतर्वेशन (linear interpolation) द्वारा ज्ञात की जा सकती है।

ज़मीन के स्तर को संदर्भ रेखा मानिए। सुहास की आँखों की ऊँचाई प्रारंभिक स्थिति (0 मीटर) पर 1.8 मीटर है। पेड़ 7.5 मीटर की दूरी पर स्थित है, और 11.25 मीटर ऊँची इमारत 52.5 मीटर (7.5 मीटर + 45 मीटर) की दूरी पर स्थित है।

पेड़ की ऊँचाई, h, के लिए सूत्र है:

h = h_eyes + (h_building - h_eyes) × (d_tree / d_building)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

h = 1.8 + (11.25 - 1.8) × (7.5 / 52.5)

h = 1.8 + 9.45 × (1 / 7)

h = 1.8 + 1.35

h = 3.15 मीटर

व्याख्या

सही उत्तर: D

दिया गया समीकरण है: p² - 4p - 1 = 0

पूरे समीकरण को p से विभाजित करने पर: p - 4 - 1/p = 0 p - 1/p = 4

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (p - 1/p)² = 4² p² - 2 + 1/p² = 16 p² + 1/p² = 18

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक है: p² + 3p + 1/p² - 3/p

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (p² + 1/p²) + 3(p - 1/p)

(p² + 1/p²) और (p - 1/p) के मानों को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 18 + 3(4) = 18 + 12 = 30

व्याख्या

त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय के अनुसार, बहिष्कोण का माप उसके दो अंतः सम्मुख कोणों के मापों के योग के बराबर होता है।

त्रिभुज ABC के लिए, जब भुजा BC को D तक बढ़ाया जाता है, तो बनने वाला बहिष्कोण ∠ACD होता है। दो अंतः सम्मुख कोण ∠ABC और ∠BAC हैं। इसलिए:

∠ACD = ∠ABC + ∠BAC

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

127° = 35° + ∠BAC

∠BAC = 127° - 35°

∠BAC = 92°

व्याख्या

चार इकाई परीक्षणों में रवि के कुल अंक 24 + 22 + 20 + 24 = 90 हैं। उसका औसत स्कोर इस कुल को परीक्षणों की संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है, जो कि 90 / 4 = 22.5 है। 90 अंकों का यह कुल सभी छात्रों में सबसे अधिक है, जिससे उसे सीधे उच्चतम औसत स्कोर प्राप्त होता है।

व्याख्या

मानक गति-दूरी-समय संबंध का उपयोग करते हुए, जब कोई वस्तु दो अलग-अलग गति s₁ और s₂ पर समान दूरी तय करती है, जिसमें समय का अंतर Δt होता है, तो दूरी d सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = (s₁ × s₂) / (s₂ - s₁) × Δt

इस समस्या में, दो गतियाँ हैं: s₁ = 15 किमी/घंटा s₂ = 20 किमी/घंटा

समय का अंतर Δt, 10 मिनट की देरी और 5 मिनट पहले पहुँचने के बीच का अंतर है, जो है: Δt = 10 + 5 = 15 मिनट = 15/60 घंटे = 1/4 घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = (15 × 20) / (20 - 15) × 1/4 d = 300 / 5 × 1/4 d = 60 × 1/4 d = 15 किमी

व्याख्या

व्यंजक 4(sin⁶ A + cos⁶ A) - 6(sin⁴ A + cos⁴ A) + 8 का मान ज्ञात करने के लिए, हम मान प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं, जो इस प्रकार की त्रिकोणमितीय सर्वसमिका समस्याओं को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है।

माना A = 0।

व्यंजक में A = 0 प्रतिस्थापित करने पर: sin 0 = 0 cos 0 = 1

व्यंजक = 4(0⁶ + 1⁶) - 6(0⁴ + 1⁴) + 8 व्यंजक = 4(1) - 6(1) + 8 व्यंजक = 4 - 6 + 8 व्यंजक = 6

वैकल्पिक रूप से, हम बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर सकते हैं: sin⁶ A + cos⁶ A = 1 - 3 sin² A cos² A sin⁴ A + cos⁴ A = 1 - 2 sin² A cos² A

इन सर्वसमिकाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 4(1 - 3 sin² A cos² A) - 6(1 - 2 sin² A cos² A) + 8 = 4 - 12 sin² A cos² A - 6 + 12 sin² A cos² A + 8 = 4 - 6 + 8 = 6

चर पद पूरी तरह से रद्द हो जाते हैं, जिससे 6 का एक स्थिर मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: TSA = 2πr(r + h)

दिया गया है कि r + h = 42 मीटर और TSA = 6336 वर्ग मीटर, हम त्रिज्या (r) ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 2 × (22/7) × r × 42 = 6336 264 × r = 6336 r = 24 मीटर

चूंकि त्रिज्या और ऊंचाई का योग 42 मीटर है, इसलिए ऊंचाई (h) है: h = 42 - 24 = 18 मीटर

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πrh

r और h के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CSA = 2 × (22/7) × 24 × 18 CSA = 19008 / 7 CSA ≈ 2715.43 वर्ग मीटर

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, जहाँ cos A = आधार / कर्ण: आधार = 63 कर्ण = 65

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए: लम्ब² = कर्ण² - आधार² लम्ब² = 65² - 63² लम्ब² = (65 - 63)(65 + 63) लम्ब² = 2 × 128 = 256 लम्ब = √256 = 16

हमें tan A + cot A का मान ज्ञात करना है: tan A + cot A = sin A / cos A + cos A / sin A = 1 / (sin A × cos A)

sin A = 16/65 और cos A = 63/65 के मानों का उपयोग करते हुए: tan A + cot A = 1 / ((16/65) × (63/65)) tan A + cot A = 65² / (16 × 63) tan A + cot A = 4225 / 1008 tan A + cot A ≈ 4.19

व्याख्या

दिया गया है कि cos θ = 4/5, हम सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके sin θ ज्ञात कर सकते हैं:

sin θ = √(1 - cos² θ) = √(1 - (4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है cot θ + tan θ:

cot θ + tan θ = (cos θ / sin θ) + (sin θ / cos θ)

सामान्य हर लेकर, यह सरल हो जाता है:

(cos² θ + sin² θ) / (sin θ cos θ) = 1 / (sin θ cos θ)

इस व्यंजक में sin θ और cos θ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

1 / ((3/5) × (4/5)) = 1 / (12/25) = 25/12

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (a³ - b³) / (a² + ab + b²) के रूप का है, जो बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके (a - b) तक सरल हो जाता है। a = 143 और b = 139 रखने पर, हमें 143 - 139 = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

छूट के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100 - छूट प्रतिशत) / 100

दिया गया है: अंकित मूल्य = 28,500 छूट प्रतिशत = 12%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

विक्रय मूल्य = 28,500 × (100 - 12) / 100 विक्रय मूल्य = 28,500 × 88 / 100 विक्रय मूल्य = 285 × 88 विक्रय मूल्य = 25,080

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), छूट प्रतिशत (d), और छूट राशि के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

छूट राशि = SP × d / (100 - d)

दिया गया है कि विक्रय मूल्य SP 19,040 है और छूट प्रतिशत d 15% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

छूट राशि = 19,040 × 15 / (100 - 15) छूट राशि = 19,040 × 15 / 85

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाना:

छूट राशि = 19,040 × 3 / 17

19,040 को 17 से विभाजित करने पर 1,120 आता है। अब, इस परिणाम को 3 से गुणा करना:

छूट राशि = 1,120 × 3 = 3,360

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य और अंकित मूल्य क्रमशः 4x और 7x हैं।

अंकित मूल्य पर 20% की छूट दी जाती है। विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100% - छूट%) विक्रय मूल्य = 7x × 0.80 = 5.6x

लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है। लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य लाभ = 5.6x - 4x = 1.6x

दिया गया है कि लाभ ₹80 है: 1.6x = 80 x = 50

वस्तु का क्रय मूल्य है: क्रय मूल्य = 4x = 4 × 50 = ₹200

व्याख्या

लागत मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध जब छूट प्रतिशत (D%) और लाभ प्रतिशत (G%) दिया गया हो:

CP / MP = (100 - D%) / (100 + G%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP = 450 D% = 10% G% = 20%

450 / MP = (100 - 10) / (100 + 20) 450 / MP = 90 / 120 450 / MP = 3/4 MP = (450 × 4) / 3 MP = 150 × 4 = 600

कॉस्मेटिक उत्पाद का अंकित मूल्य £600 है।

व्याख्या

आंशिक भुगतानों के साथ साधारण ब्याज प्रणाली के तहत, अवधि के अंत में कुल संचित ऋण को उस अवधि के अंत में सभी किस्तों के संचित मूल्यों के योग के बराबर किया जाता है।

₹4,000 का कुल ऋण 10% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्षों के लिए ब्याज संचित करता है: कुल ऋण = 4000 × (1 + 0.10 × 3) = 4000 × 1.3 = 5200

₹1,500 की पहली किस्त पहले वर्ष के अंत में चुकाई जाती है, इसलिए यह शेष 2 वर्षों के लिए ब्याज संचित करती है: पहली किस्त का मूल्य = 1500 × (1 + 0.10 × 2) = 1500 × 1.2 = 1800

₹2,500 की दूसरी किस्त दूसरे वर्ष के अंत में चुकाई जाती है, इसलिए यह शेष 1 वर्ष के लिए ब्याज संचित करती है: दूसरी किस्त का मूल्य = 2500 × (1 + 0.10 × 1) = 2500 × 1.1 = 2750

मान लीजिए X तीसरे वर्ष के अंत में ऋण चुकाने के लिए तीसरी किस्त के रूप में भुगतान की गई राशि है।

तीसरे वर्ष के अंत में कुल ऋण को किस्तों के योग के बराबर करना: 5200 = 1800 + 2750 + X 5200 = 4550 + X X = 5200 - 4550 = 650

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c का चौथा समानुपाती x इस प्रकार संतुष्ट करता है कि अनुपात a/b = c/x। इससे सूत्र प्राप्त होता है: x = (b × c)/a

दिए गए मानों a = 6, b = 8, और c = 12 का उपयोग करके: x = (8 × 12)/6 x = 96/6 x = 16

व्याख्या

सही उत्तर: D

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × भुजा²

दिया गया है कि समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है, इस मान को सूत्र में रखने पर:

क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 12² क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 144 क्षेत्रफल = 36√3 सेमी²

व्याख्या

3 पुरुषों द्वारा किया गया कार्य 5 महिलाओं द्वारा किए गए कार्य के बराबर है, जिससे दक्षता संबंध प्राप्त होता है: 3 पुरुष = 5 महिलाएँ 1 पुरुष = 5/3 महिलाएँ

उसी कार्य को पूरा करने के लिए 9 पुरुषों और 4 महिलाओं द्वारा लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम उनकी संयुक्त दर को समतुल्य महिलाओं में परिवर्तित करते हैं: 9 पुरुष + 4 महिलाएँ = 9 × (5/3 महिलाएँ) + 4 महिलाएँ = 15 महिलाएँ + 4 महिलाएँ = 19 महिलाएँ

कार्य-समकक्षता सूत्र M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का उपयोग करके: 5 महिलाएँ × 57 दिन = 19 महिलाएँ × D₂ दिन D₂ = (5 × 57) / 19 D₂ = 5 × 3 = 15 दिन

व्याख्या

2018 से 2021 तक टाइप R मोटरसाइकिलों का कुल उत्पादन इन प्रत्येक वर्षों में उत्पादन का योग है: कुल उत्पादन = 65 + 37 + 50 + 28 = 180 हजार

वर्ष 2020 में टाइप R मोटरसाइकिलों का उत्पादन 50 हजार है।

पाई चार्ट में वर्ष 2020 में उत्पादन का प्रतिनिधित्व करने वाले क्षेत्र का केंद्रीय कोण निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: केंद्रीय कोण = (वर्ष 2020 में उत्पादन / कुल उत्पादन) × 360°

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: केंद्रीय कोण = (50 / 180) × 360° = 50 × 2° = 100°

व्याख्या

हमें दिया गया है कि sin θ cos θ = 1/√3।

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sin² θ + cos² θ = 1

हम बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² = (a + b)² - 2ab का उपयोग करके sin⁴ θ + cos⁴ θ को व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ a = sin² θ और b = cos² θ: sin⁴ θ + cos⁴ θ = (sin² θ + cos² θ)² - 2 sin² θ cos² θ

इस समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1² - 2 (sin θ cos θ)² sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2 (1/√3)² sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2 (1/3) sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2/3 sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1/3

व्याख्या

चूंकि ΔABC ≅ ΔFDE है, सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) बराबर होने चाहिए।

यह संगत भुजाओं के बीच संबंध देता है जैसे AB = FD, BC = DE, और AC = FE। चूंकि यह दिया गया है कि AB = 5 सेमी है, हमारे पास DF = 5 सेमी है।

इसी तरह, संगत कोण बराबर होते हैं, जो ∠A = ∠F, ∠B = ∠D, और ∠C = ∠E देता है।

ΔABC के कोण योग गुण का उपयोग करके, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: ∠A + ∠B + ∠C = 180° 80° + 40° + ∠C = 180° 120° + ∠C = 180° ∠C = 60°

चूंकि ∠E = ∠C है, हमें ∠E = 60° मिलता है।

व्याख्या

हम वर्गमूल के अंदर अंश और हर को (1 + cos P) से गुणा करते हैं:

√((1 + cos P) / (1 - cos P)) = √(((1 + cos P)(1 + cos P)) / ((1 - cos P)(1 + cos P)))

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करते हुए, हर सरल हो जाता है: (1 - cos P)(1 + cos P) = 1 - cos² P

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² P + cos² P = 1 का उपयोग करते हुए, हम 1 - cos² P = sin² P प्रतिस्थापित करते हैं:

= √((1 + cos P)² / sin² P)

अंश और हर दोनों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: (1 + cos P) / sin P

हम इस व्यंजक को दो अलग-अलग भिन्नों में विभाजित कर सकते हैं: 1/sin P + cos P/sin P

व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिकाओं, 1/sin P = cosec P और cos P/sin P = cot P को लागू करते हुए: cosec P + cot P

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुण के अनुसार, त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° के बराबर होता है।

दिए गए कोण व्यंजकों के साथ समीकरण स्थापित करना: (2y + 40°) + (5y - 60°) + (3y - 80°) = 180°

समान पदों को संयोजित करना: 10y - 100° = 180°

y के लिए हल करना: 10y = 180° + 100° 10y = 280° y = 28°

व्याख्या

माना R = 4 सेमी त्रिज्या वाले बड़े वृत्त का केंद्र O₁ है और r = 3 सेमी त्रिज्या वाले छोटे वृत्त का केंद्र O₂ है। चूँकि दोनों वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं, उनके केंद्रों के बीच की दूरी है: O₁O₂ = R - r = 4 - 3 = 1 सेमी

बड़े वृत्त की सबसे लंबी जीवा ज्ञात करने के लिए जो आंतरिक वृत्त के बाहर है, हम बड़े वृत्त की उस जीवा को ज्ञात करते हैं जो आंतरिक वृत्त की स्पर्शरेखा है। इस जीवा की लंबाई को अधिकतम करने के लिए, हमें बड़े वृत्त O₁ के केंद्र से इसकी दूरी d को न्यूनतम करना होगा।

आंतरिक वृत्त की किसी भी स्पर्शरेखा के लिए, O₂ से स्पर्शरेखा तक की दूरी r = 3 सेमी है। O₁ से इस स्पर्शरेखा तक की लंबवत दूरी d द्वारा दी गई है: d = r - O₁O₂ cos θ = 3 - 1 cos θ

जहाँ θ, केंद्रों O₁O₂ की रेखा और स्पर्शरेखा के लंबवत के बीच का कोण है। d को न्यूनतम करने के लिए, हम cos θ = 1 सेट करते हैं: d = 3 - 1 = 2 सेमी

इसके केंद्र से d = 2 सेमी की दूरी पर बड़े वृत्त (त्रिज्या R = 4 सेमी) की जीवा की लंबाई है: लंबाई = 2 √(R² - d²) लंबाई = 2 √(4² - 2²) = 2 √12 = 4√3 सेमी

व्याख्या

अनिल और बिलाल के वृत्ताकार ट्रैक पर पहली बार मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, उनकी गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलें।

अनिल की गति = 36 × 5/18 = 10 मी/से बिलाल की गति = 54 × 5/18 = 15 मी/से

जब दो धावक एक ही दिशा में दौड़ते हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों के बीच का अंतर होती है।

सापेक्ष गति = 15 मी/से - 10 मी/से = 5 मी/से

उन्हें ट्रैक पर पहली बार मिलने में लगने वाला समय, ट्रैक की एक पूरी परिक्रमा के बराबर सापेक्ष दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय है।

समय = ट्रैक की लंबाई / सापेक्ष गति समय = 1500 / 5 = 300 सेकंड

व्याख्या

जब एक ठोस गोले को पिघलाकर एक ठोस शंकु में ढाला जाता है, तो आयतन संरक्षित रहता है।

गोले का आयतन सूत्र (4/3)πR³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। शंकु का आयतन सूत्र (1/3)πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या और h शंकु की ऊंचाई है।

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: (4/3)πR³ = (1/3)πr²h

दोनों पक्षों से π/3 को रद्द करने पर: 4R³ = r²h

दिए गए मानों R = 4 सेमी और h = 4 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 4 × 4³ = r² × 4

दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर: 4³ = r² r² = 64 r = 8 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए CP₁ और CP₂ दो वस्तुओं के क्रय मूल्य हैं, जहाँ CP₁ को 20% की हानि पर बेचा जाता है और CP₂ को 15% के लाभ पर बेचा जाता है।

चूंकि विक्रय मूल्य समान हैं: 0.80 × CP₁ = 1.15 × CP₂

यह उनके क्रय मूल्यों का अनुपात देता है: CP₁ / CP₂ = 1.15 / 0.80 = 115 / 80 = 23 / 16

कुल क्रय मूल्य CP₁ + CP₂ = ₹19,500 है। अनुपात का उपयोग करते हुए, भागों का योग 23 + 16 = 39 भाग है।

लाभ पर बेची गई वस्तु (CP₂) का क्रय मूल्य 16 भागों के अनुरूप है: CP₂ = (16 / 39) × 19,500 CP₂ = 16 × 500 = 8,000

व्याख्या

X, Y और Z का संयुक्त अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दोनों अनुपातों में Y के पद को समान बनाते हैं।

दिया गया है: X:Y = 4:5 Y:Z = 7:6

पहले अनुपात को 7 से और दूसरे अनुपात को 5 से गुणा करने पर: X:Y = 28:35 Y:Z = 35:30

इससे संयुक्त अनुपात प्राप्त होता है: X:Y:Z = 28:35:30

अनुपात के भागों का योग है: 28 + 35 + 30 = 93

₹1488 की कुल राशि का उपयोग करके, Z का हिस्सा है: (30 / 93) × 1488 = 30 × 16 = ₹480

व्याख्या

मान लीजिए समिता की आय S है और भैरव की आय B है।

पहली शर्त से: S का 65% = B का 91% 65 × S = 91 × B

दोनों पक्षों को 13 से विभाजित करने पर: 5S = 7B S / B = 7 / 5

मान लीजिए S = 7x और B = 5x।

दूसरी शर्त से: (S + 1500) / (B + 500) = 3 / 2 (7x + 1500) / (5x + 500) = 3 / 2

x का मान ज्ञात करने के लिए तिरछा गुणा करने पर: 2 × (7x + 1500) = 3 × (5x + 500) 14x + 3000 = 15x + 1500 15x - 14x = 3000 - 1500 x = 1500

समिता और भैरव की वास्तविक संयुक्त आय है: S + B = 7x + 5x = 12x 12 × 1500 = 18,000

व्याख्या

किस्म C के उत्पादन के अधिकतम वर्ष का पता लगाने के लिए, हम सभी दिए गए वर्षों में किस्म C के संगत पंक्ति का निरीक्षण करते हैं। किस्म C के लिए उत्पादन मान 2018 में 67 क्विंटल, 2019 में 89 क्विंटल, 2020 में 67 क्विंटल और 2021 में 98 क्विंटल हैं। इन मानों की तुलना करने पर, अधिकतम उत्पादन 98 क्विंटल है, जो वर्ष 2021 में हुआ।

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम पदों को समूहित करके अंश का गुणनखंड करते हैं: 10x² + 5x + 2xy + y = 5x(2x + 1) + y(2x + 1) = (2x + 1)(5x + y)

इसे मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: ((2x + 1)(5x + y)) / (5x + y) = 2x + 1

इस सरलीकृत व्यंजक में x = -1 प्रतिस्थापित करने पर: 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, a² - b² को (a - b)(a + b) के रूप में लिखा जा सकता है।

इसे दिए गए व्यंजक के दूसरे भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर: (a + b)² / (a² - b²) = (a + b)² / ((a - b)(a + b))

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पद (a + b) को रद्द करके, दूसरा भिन्न सरल हो जाता है: (a + b) / (a - b)

अब, इसे मूल विभाजन व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: ((a + b) / (a - b)) ÷ ((a + b) / (a - b))

किसी भी गैर-शून्य व्यंजक को स्वयं से विभाजित करने पर 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

विभाजन सूत्र का प्रयोग करके: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: संख्या = 78 × 280 + 0

65 से विभाज्यता की जाँच के लिए पदों का गुणनखंडन करके: 78 = 13 × 6 280 = 5 × 56

इन गुणनखंडों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: संख्या = (13 × 6) × (5 × 56) संख्या = (13 × 5) × (6 × 56) संख्या = 65 × 336

चूंकि संख्या 65 का गुणज है, यह 65 से पूरी तरह विभाज्य है, जिससे शेषफल 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

51 और 77 के बीच स्थित अभाज्य संख्याएँ 53, 59, 61, 67, 71 और 73 हैं।

संख्याओं के एक समूह का औसत ज्ञात करने का सूत्र है: औसत = सभी मानों का योग / मानों की कुल संख्या

इन अभाज्य संख्याओं की कुल संख्या 6 है।

सबसे पहले, इन अभाज्य संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए: योग = 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 = 384

अब, योग को संख्या से विभाजित करके औसत की गणना कीजिए: औसत = 384 / 6 = 64

व्याख्या

मान लीजिए उत्पाद का क्रय मूल्य (CP) है।

अंकित मूल्य (MP) क्रय मूल्य से 5% अधिक है: MP = CP × (1 + 5/100) = 1.05 CP

विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य पर 10% की छूट देने के बाद प्राप्त होता है: SP = MP × (1 - 10/100) = 0.90 MP

SP समीकरण में MP का मान प्रतिस्थापित करें: SP = 0.90 × 1.05 CP = 0.945 CP

दिया गया है कि विक्रय मूल्य ₹1890 है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 0.945 CP = 1890

CP के लिए हल करें: CP = 1890 / 0.945 = 2000

व्याख्या

एकांतर खंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्शरेखा AT और संपर्क बिंदु A से गुजरने वाली जीवा AB के बीच का कोण, एकांतर खंड में जीवा AB द्वारा बनाया गया कोण, जो कि कोण ACB है, के बराबर होता है। चूँकि कोण ACB को 65° दिया गया है, इसलिए कोण BAT भी 65° होना चाहिए।

वैकल्पिक रूप से, क्योंकि AOC एक व्यास है, अर्धवृत्त में कोण ABC = 90° होगा। त्रिभुज ABC में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए कोण CAB = 180° - 90° - 65° = 25°। चूँकि स्पर्शरेखा AT, स्पर्श बिंदु पर व्यास AC के लंबवत है, कोण CAT = 90°। इसलिए, कोण BAT = कोण CAT - कोण CAB = 90° - 25° = 65°।

व्याख्या

आवश्यक प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले गुरुवार को थोक विक्रेता 1 और थोक विक्रेता 2 द्वारा मिलकर बेचे गए लैपटॉप की कुल संख्या की गणना करें।

गुरुवार को थोक विक्रेता 1 द्वारा बेचे गए लैपटॉप = 24 गुरुवार को थोक विक्रेता 2 द्वारा बेचे गए लैपटॉप = 14 गुरुवार को दोनों द्वारा बेचे गए कुल लैपटॉप = 24 + 14 = 38

इसके बाद, शुक्रवार को थोक विक्रेता 3 द्वारा बेचे गए लैपटॉप की संख्या ज्ञात करें। शुक्रवार को थोक विक्रेता 3 द्वारा बेचे गए लैपटॉप = 19

अब, प्रतिशत की गणना करें: प्रतिशत = (गुरुवार को थोक विक्रेता 1 और 2 द्वारा बेचे गए कुल लैपटॉप / शुक्रवार को थोक विक्रेता 3 द्वारा बेचे गए लैपटॉप) × 100% प्रतिशत = (38 / 19) × 100% = 2 × 100% = 200%

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, समकोण त्रिभुज के कर्ण, आधार और लम्ब के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

कर्ण² = आधार² + लम्ब²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

13² = 12² + लम्ब² 169 = 144 + लम्ब² लम्ब² = 169 - 144 लम्ब² = 25 लम्ब = 5 सेमी

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × लम्ब

आधार और लम्ब को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 12 × 5 = 30 सेमी²

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(A) = tan(90° - A) का उपयोग करके, व्यंजक के दूसरे पद को A = 40° - θ प्रतिस्थापित करके पुनः लिखा जा सकता है:

cot(40° - θ) = tan(90° - (40° - θ)) cot(40° - θ) = tan(90° - 40° + θ) cot(40° - θ) = tan(50° + θ)

इस समतुल्यता को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

tan(50° + θ) - cot(40° - θ) = tan(50° + θ) - tan(50° + θ) = 0

व्याख्या

शुद्ध परिवर्तन के लिए उत्तरोत्तर प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a + b + ab/100

यहाँ, प्रारंभिक वेतन वृद्धि a = 40 है, और बाद की वेतन कटौती b = -15 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन = 40 - 15 + (40 × (-15)) / 100 शुद्ध परिवर्तन = 25 - 600 / 100 शुद्ध परिवर्तन = 25 - 6 शुद्ध परिवर्तन = 19%

19% का धनात्मक परिणाम वेतन में शुद्ध वृद्धि दर्शाता है।

व्याख्या

एक बेलन का आयतन सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई या लंबाई है।

जब छड़ को तार के रूप में पुनः ढाला जाता है, तो सामग्री का आयतन स्थिर रहता है। मान लीजिए r₁ और h₁ छड़ की त्रिज्या और लंबाई हैं, और r₂ और h₂ तार की त्रिज्या और लंबाई हैं।

π r₁² h₁ = π r₂² h₂

दोनों पक्षों से π को रद्द करने पर, संबंध सरल हो जाता है: r₁² h₁ = r₂² h₂

दिए गए मानों r₁ = 5 सेमी, h₁ = 52 सेमी, और h₂ = 100 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 5² × 52 = r₂² × 100 25 × 52 = 100 r₂² 1300 = 100 r₂² r₂² = 13 r₂ = √13 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (y - 1/y)² = y² + 1/y² - 2 का उपयोग करके, हम दिए गए मान y² + 1/y² = 74 को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

(y - 1/y)² = 74 - 2 (y - 1/y)² = 72

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

y - 1/y = ±√72 = ±6√2

चूंकि यह दिया गया है कि y > 1, इसलिए व्युत्क्रम 1/y, 1 से कम होना चाहिए। इसका मतलब है कि y, 1/y से बड़ा है, इसलिए अंतर y - 1/y धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, धनात्मक मान चुना जाता है:

y - 1/y = 6√2

व्याख्या

दो क्रमिक प्रतिशत वृद्धि के बाद जनसंख्या का सूत्र है: वर्तमान जनसंख्या = प्रारंभिक जनसंख्या × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रारंभिक जनसंख्या = 12,000 r₁ = 2.5% r₂ = 3%

वर्तमान जनसंख्या = 12,000 × (1 + 2.5/100) × (1 + 3/100) वर्तमान जनसंख्या = 12,000 × 1.025 × 1.03

हम इसे चरण-दर-चरण गणना कर सकते हैं: 12,000 × 1.025 = 12,000 × 41/40 = 300 × 41 = 12,300 12,300 × 1.03 = 12,300 × 103/100 = 123 × 103 = 12,669

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत, यदि कोई धनराशि T वर्षों में N गुना हो जाती है, तो अर्जित ब्याज मूलधन का N - 1 गुना होता है। चूंकि साधारण ब्याज सीधे समय के समानुपाती होता है, इसलिए संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

(N₁ - 1) / T₁ = (N₂ - 1) / T₂

यहाँ, धनराशि T₁ = 110 वर्षों में N₁ = 45 गुना हो जाती है। हमें धनराशि के N₂ = 23 गुना होने के लिए समय T₂ ज्ञात करना है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

(45 - 1) / 110 = (23 - 1) / T₂

44 / 110 = 22 / T₂

T₂ के लिए हल करने पर:

T₂ = 22 × 110 / 44

T₂ = 55 वर्ष

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 70 + 56 = 126 किमी/घंटा

इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने के लिए, 5/18 से गुणा करें: सापेक्ष गति = 126 × 5/18 = 35 मी/से

ट्रेनों को एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: कुल दूरी = 320 + 205 = 525 मीटर

सूत्र समय = दूरी / गति का उपयोग करके: लिया गया समय = 525 / 35 = 15 सेकंड

व्याख्या

मान लीजिए A, B और C द्वारा प्रतिदिन किए जाने वाले कार्य की दरें क्रमशः a, b और c हैं।

दी गई शर्तों के अनुसार: a = b + c a + b = 1/10 c = 1/50

A, B और C की संयुक्त दर के समीकरण में c का मान रखने पर: a + b + c = 1/10 + 1/50 a + b + c = 6/50 = 3/25

चूंकि a = b + c है, हम संयुक्त दर समीकरण में a का मान रख सकते हैं: (b + c) + b + c = 3/25 2(b + c) = 3/25 b + c = 3/50

c = 1/50 का मान उपयोग करके: b + 1/50 = 3/50 b = 3/50 - 1/50 b = 2/50 b = 1/25

इसलिए, B अकेले 25 दिनों में कार्य पूरा कर सकता है।

व्याख्या

दो पदों के योग और अंतर के बीच संबंध बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = (a - b)² + 4ab द्वारा दिया गया है।

सर्वसमिका में a = 3x और b = 2y को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (3x + 2y)² = (3x - 2y)² + 4(3x)(2y) (3x + 2y)² = (3x - 2y)² + 24xy

अब, इस समीकरण में दिए गए मान 3x - 2y = 3 और xy = 9 को प्रतिस्थापित करें: (3x + 2y)² = 3² + 24 × 9 (3x + 2y)² = 9 + 216 (3x + 2y)² = 225

दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर: 3x + 2y = √225 = 15

व्याख्या

सभी विषयों में लड़कियों की कुल संख्या का लड़कों की कुल संख्या से अनुपात ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक विषय के लिए अलग-अलग संख्या की गणना करें।

सभी विषयों में छात्रों की कुल संख्या 110 + 70 + 50 + 40 + 80 + 90 = 440 है।

प्रत्येक विषय में लड़कियों की संख्या की गणना करें: हिंदी: 110 × 60% = 66 अंग्रेजी: 70 × 50% = 35 भौतिकी: 50 × 30% = 15 रसायन विज्ञान: 40 × 80% = 32 गणित: 80 × 20% = 16 कंप्यूटर: 90 × 40% = 36

लड़कियों की कुल संख्या = 66 + 35 + 15 + 32 + 16 + 36 = 200।

छात्रों की कुल संख्या में से लड़कियों की कुल संख्या घटाकर लड़कों की कुल संख्या की गणना करें: लड़कों की कुल संख्या = 440 - 200 = 240।

लड़कियों की कुल संख्या का लड़कों की कुल संख्या से अनुपात है: 200 : 240 = 5 : 6।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के क्रम में किया जाता है।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक () के अंदर के व्यंजक को सरल करें: 5 × 7 = 35

इसके बाद, मजले कोष्ठक {} के अंदर के व्यंजक को सरल करें: 25 × 49 ÷ 35 इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 25 × 49 / 35 = 25 × 7 / 5 = 5 × 7 = 35

अब, इस मान को वर्ग कोष्ठक [] में वापस प्रतिस्थापित करें: 24 ÷ 70 × 35 बाएं से दाएं मूल्यांकन करते हुए: (24 / 70) × 35 = 24 × 35 / 70 = 24 × ½ = 12

अंत में, कोष्ठक के बाहर के पदों को गुणा करें: 18 × 12 = 216

व्याख्या

शुरुआत में, 40-लीटर मिश्रण में 28 लीटर दूध और 12 लीटर पानी होता है। नए मिश्रण का 60% पानी बनाने के लिए, दूध की मात्रा (जो 28 लीटर पर स्थिर रहती है) नए मिश्रण के शेष 40% का प्रतिनिधित्व करनी चाहिए, जिससे नए मिश्रण का कुल आयतन 70 लीटर हो जाता है। इसलिए, मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा 70 में से 40 घटाने पर 30 लीटर आती है।