एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

उच्च आईक्यू श्रेणी में उत्तरदाताओं की संख्या का निम्न आईक्यू श्रेणी में उत्तरदाताओं की संख्या से अनुपात उनके संबंधित प्रतिशत के अनुपात के बराबर है, क्योंकि दोनों प्रतिशत उत्तरदाताओं की समान कुल संख्या (208) से गणना किए गए हैं।

उच्च आईक्यू में उत्तरदाताओं का प्रतिशत = 12.6% निम्न आईक्यू में उत्तरदाताओं का प्रतिशत = 13.0%

आवश्यक अनुपात = 12.6 : 13.0

दशमलव को समाप्त करने के लिए दोनों पदों को 10 से गुणा करने पर: आवश्यक अनुपात = 126 : 130

दोनों पदों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 2 है, से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर प्राप्त होता है: आवश्यक अनुपात = 63 : 65

व्याख्या

साइन के लिए द्वि-कोण सर्वसमिका है: sin 2θ = 2 sin θ cos θ

दिए गए मानों sin θ = 6/10 और cos θ = 8/10 को प्रतिस्थापित करने पर: sin 2θ = 2 × (6/10) × (8/10) sin 2θ = 96/100

अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है: sin 2θ = 24/25

व्याख्या

कंपनी में पुरुष श्रमिकों की संख्या कुल श्रमिकों की संख्या में से महिला श्रमिकों की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है: पुरुष श्रमिकों की संख्या = 960 - 420 = 540

कुल पुरुष श्रमिकों की संख्या का कुल महिला श्रमिकों की संख्या से अनुपात है: अनुपात = 540 : 420

दोनों पदों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 60 है, से विभाजित करने पर अनुपात सरल हो जाता है: 540 ÷ 60 = 9 420 ÷ 60 = 7

इससे सरल अनुपात 9:7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, 'a' और 'b' भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण 'c' निम्न द्वारा दिया जाता है:

c = √(a² + b²)

दिए गए मानों, a = 1.6 सेमी और b = 6.3 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

c = √(1.6² + 6.3²) c = √(2.56 + 39.69) c = √42.25 c = 6.5 सेमी

व्याख्या

औसत गति को कुल तय की गई दूरी को कुल लगे समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है।

पूरी यात्रा के लिए लिया गया कुल समय = कुल दूरी ÷ औसत गति = 750 ÷ 50 = 15 घंटे।

यात्रा के पहले 200 किमी के लिए लिया गया समय = दूरी ÷ गति = 200 ÷ 40 = 5 घंटे।

यात्रा के दूसरे भाग के लिए शेष समय = कुल समय - पहले भाग के लिए लिया गया समय = 15 - 5 = 10 घंटे।

शेष 550 किमी के लिए आवश्यक गति = शेष दूरी ÷ शेष समय = 550 ÷ 10 = 55 किमी/घंटा।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है x² + y² + z² = 2(x + z - 1)।

सभी पदों को बाईं ओर पुनर्व्यवस्थित करने पर: x² - 2x + y² + z² - 2z + 2 = 0

वर्गों को पूरा करने के लिए पदों को समूहित करना: (x² - 2x + 1) + y² + (z² - 2z + 1) = 0 (x - 1)² + y² + (z - 1)² = 0

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होना चाहिए, इसलिए प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य के बराबर होना चाहिए: (x - 1)² = 0 → x = 1 y² = 0 → y = 0 (z - 1)² = 0 → z = 1

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ + z³ = 1³ + 0³ + 1³ = 1 + 0 + 1 = 2

व्याख्या

सही उत्तर: C

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: A = (θ / 360°) × π × r²

जहाँ A त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है, θ केंद्र पर बनाया गया कोण है, और r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 346.5 = (22.5 / 360) × (22 / 7) × r²

कोण भिन्न को सरल करने पर: 22.5 / 360 = 45 / 720 = 1 / 16

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 346.5 = (1 / 16) × (22 / 7) × r² 346.5 = (11 / 56) × r²

r² के लिए हल करने पर: r² = (346.5 × 56) / 11 r² = 31.5 × 56 r² = 1764

त्रिज्या r ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: r = √1764 r = 42 cm

व्याख्या

दो वृत्तों के बीच तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र है:

T = √(d² - (r₁ + r₂)²)

जहाँ T तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई है, d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है, और r₁ और r₂ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिया गया है: r₁ = 7 सेमी r₂ = 4 सेमी T = 13 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

13 = √(d² - (7 + 4)²) 13 = √(d² - 11²)

वर्गमूल को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

169 = d² - 121 d² = 169 + 121 d² = 290 d = √290 सेमी

व्याख्या

लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, सूत्र का प्रयोग करें:

समय = दूरी / गति

सबसे पहले, गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति मिनट (मी/मिनट) में बदलें। चूँकि 1 किमी = 1000 मीटर और 1 घंटा = 60 मिनट:

गति = 24 × 1000 / 60 = 400 मी/मिनट

अब, सूत्र में 600 मीटर की दूरी और 400 मी/मिनट की गति को प्रतिस्थापित करें:

समय = 600 / 400 = 1.5 मिनट

व्याख्या

क्रमिक छूट का सूत्र अंतिम विक्रय मूल्य निर्धारित करता है जब एक के बाद एक कई छूटें लागू की जाती हैं:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहाँ, अंकित मूल्य ₹1,000 है, व्यापारिक छूट d₁ 10% है, और नकद छूट d₂ 10% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

विक्रय मूल्य = 1000 × (1 - 10/100) × (1 - 10/100) विक्रय मूल्य = 1000 × 0.90 × 0.90 विक्रय मूल्य = 1000 × 0.81 विक्रय मूल्य = 810

10% और 10% की क्रमिक छूट लागू करने से मूल मूल्य 81% तक कम हो जाता है, जिससे अंतिम विक्रय मूल्य ₹810 प्राप्त होता है।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC के लिए, जिसमें B पर समकोण है: tan A = सम्मुख भुजा/आसन्न भुजा = 12/5

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, कर्ण है: कर्ण = √(सम्मुख भुजा² + आसन्न भुजा²) = √(12² + 5²) = √169 = 13

cosec A और sec A की परिभाषाओं का उपयोग करके: cosec A = कर्ण/सम्मुख भुजा = 13/12 sec A = कर्ण/आसन्न भुजा = 13/5

व्याख्या

सभी प्रकार की बाइकों के सबसे कम उत्पादन वाले माह का पता लगाने के लिए, दिए गए विकल्पों के प्रत्येक माह के लिए बाइक प्रकार P, Q, R और S का कुल योग ज्ञात किया जाता है:

सितंबर के लिए: 56 + 45 + 76 + 65 = 242 अक्टूबर के लिए: 15 + 26 + 80 + 37 = 158 नवंबर के लिए: 45 + 36 + 54 + 21 = 156 दिसंबर के लिए: 33 + 40 + 41 + 44 = 158

प्रत्येक माह के कुल उत्पादन की तुलना करने पर, न्यूनतम उत्पादन 156 है, जो नवंबर में हुआ।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का प्रयोग करके, मान लीजिए a = 2x और b = y:

(2x - y)² = (2x)² + y² - 2(2x)(y) (2x - y)² = 4x² + y² - 4xy

दिए गए मान 4x² + y² = 40 और xy = 6 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(2x - y)² = 40 - 4(6) (2x - y)² = 40 - 24 (2x - y)² = 16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

2x - y = ±√16 = ±4

चूंकि 4 विकल्पों में दी गई धनात्मक मान है, इसलिए 2x - y का मान 4 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण से: cos θ - sin θ = 0 cos θ = sin θ tan θ = 1

न्यून कोण θ के लिए: θ = 45°

व्यंजक sin⁸ θ + cos⁸ θ में θ = 45° रखने पर: sin θ = 1/√2 cos θ = 1/√2

इसलिए: (sin θ)⁸ + (cos θ)⁸ = (1/√2)⁸ + (1/√2)⁸ = (½)⁴ + (½)⁴ = 1/16 + 1/16 = 2/16 = 1/8

व्याख्या

चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र का उपयोग करके, n वर्षों के बाद जनसंख्या P निम्न द्वारा दी जाती है:

P = P₀ × (1 + r/100)ⁿ

जहाँ P वर्तमान जनसंख्या है, P₀ 2 साल पहले की जनसंख्या है, r वार्षिक वृद्धि दर है, और n वर्षों की संख्या है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

1,33,100 = P₀ × (1 + 10/100)²

1,33,100 = P₀ × (1.1)²

1,33,100 = P₀ × 1.21

P₀ = 1,33,100 / 1.21

P₀ = 1,10,000

व्याख्या

जब वे एक साथ काम करते हैं तो लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम उनकी व्यक्तिगत दैनिक दरों का योग ज्ञात करते हैं: 1/4 + 1/5 + 1/10 = 11/20 काम प्रति दिन। व्युत्क्रम लेने पर कुल आवश्यक समय मिलता है, जो 20/11 या 1 और 9/11 दिन है।

व्याख्या

माना A के लिए वस्तु का क्रय मूल्य x है।

क्रमिक लेन-देन संबंध का उपयोग करते हुए, C द्वारा भुगतान की गई कीमत को A के क्रय मूल्य से निम्न सूत्र द्वारा संबंधित किया गया है: C द्वारा भुगतान की गई कीमत = x × (1 + A का लाभ प्रतिशत / 100) × (1 - B का हानि प्रतिशत / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 50,520 = x × (1 + 0.25) × (1 - 0.10) 50,520 = x × 1.25 × 0.90 50,520 = x × 1.125

x के लिए हल करने पर: x = 50,520 ÷ 1.125 x = 50,520 × 8/9 x = 404,160 ÷ 9 x = 44,906.67

व्याख्या

दिए गए समीकरण हैं: p = tan θ + sin θ q = tan θ - sin θ

इन समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर: p + q = 2 tan θ p - q = 2 sin θ

इन दोनों परिणामों को गुणा करने पर: p² - q² = (p + q)(p - q) = 4 tan θ sin θ

अब, p और q को सीधे गुणा करने पर: pq = (tan θ + sin θ)(tan θ - sin θ) pq = tan² θ - sin² θ pq = (sin² θ / cos² θ) - sin² θ pq = sin² θ (1/cos² θ - 1) pq = sin² θ tan² θ

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(pq) = sin θ tan θ

4 से गुणा करने पर: 4√(pq) = 4 sin θ tan θ

दो व्युत्पन्न व्यंजकों को बराबर करने पर: p² - q² = 4√(pq)

व्याख्या

कुल विक्रय मूल्य (SP) क्रय मूल्य (CP) और लाभ का योग होता है: कुल SP = CP + लाभ कुल SP = 1200 + 396 = ₹1596

बेचे गए केलों की संख्या की गणना कुल SP को प्रति केला विक्रय मूल्य से विभाजित करके की जाती है: बेचे गए केले = कुल SP ÷ प्रति केला SP बेचे गए केले = 1596 ÷ 3.5 = 456

फेंक दिए गए सड़े हुए केलों की संख्या है: फेंके गए केले = खरीदे गए कुल केले - बेचे गए केले फेंके गए केले = 480 - 456 = 24

फेंक दिए गए केलों का प्रतिशत है: प्रतिशत = (फेंके गए केले ÷ खरीदे गए कुल केले) × 100 प्रतिशत = (24 ÷ 480) × 100 = 5%

व्याख्या

d₁% और d₂% की क्रमिक छूटों के लिए एकल समतुल्य छूट का सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 है।

रवि के लिए, क्रमिक छूटें 36% और 5% हैं। रवि के लिए समतुल्य छूट = 36 + 5 - (36 × 5)/100 = 41 - 1.8 = 39.2%

प्रभात के लिए, एकल छूट 40% है।

चूंकि प्रभात को रवि की तुलना में अधिक छूट मिली, इसलिए वस्तु के लिए रवि ने अधिक भुगतान किया।

छूट प्रतिशत में अंतर 40% - 39.2% = 0.8% है।

भुगतान की गई राशि में अंतर अंकित मूल्य का 0.8% है: अंतर = (0.8/100) × 500 = 0.8 × 5 = ₹4।

इस प्रकार, रवि ने प्रभात से ₹4 अधिक भुगतान किया।

व्याख्या

T वर्षों के लिए R% की वार्षिक दर से P मूलधन पर साधारण ब्याज (SI) का सूत्र SI = P × R × T / 100 है।

मान लीजिए मूलधन P है।

9 वर्षों में 18% प्रति वर्ष की दर से अर्जित साधारण ब्याज है: SI₂ = P × 18 × 9 / 100 = 162P / 100

6 वर्षों में 15% प्रति वर्ष की दर से अर्जित साधारण ब्याज है: SI₁ = P × 15 × 6 / 100 = 90P / 100

इन दोनों ब्याज के बीच का अंतर ₹1,440 दिया गया है: SI₂ - SI₁ = 1440 162P / 100 - 90P / 100 = 1440 72P / 100 = 1440 P = 1440 × 100 / 72 P = 20 × 100 P = 2000

व्याख्या

6 से विभाजित करने पर किसी भी पद 9ᵏ का शेषफल मॉड्यूलर अंकगणित का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि 9 ≡ 3 (mod 6), 9 की कोई भी घात 9ᵏ ≡ 3ᵏ (mod 6) को संतुष्ट करती है।

6 मॉड्यूलो में 3 की घातों का मूल्यांकन एक स्थिर शेषफल दिखाता है: 3¹ = 3 ≡ 3 (mod 6) 3² = 9 ≡ 3 (mod 6) 3³ = 27 ≡ 3 (mod 6)

सभी धनात्मक पूर्णांकों k के लिए, 3ᵏ ≡ 3 (mod 6)। परिणामस्वरूप, श्रृंखला में प्रत्येक पद के लिए 9ᵏ ≡ 3 (mod 6)।

दिए गए व्यंजक में 2n + 1 पद हैं: S = 9 + 9² + ... + 9²ⁿ⁺¹

संपूर्ण योग पर मॉड्यूलो 6 संक्रिया लागू करना: S ≡ 3 + 3 + ... + 3 (mod 6) [2n + 1 पदों के लिए] S ≡ 3 × (2n + 1) (mod 6) S ≡ 6n + 3 (mod 6)

चूँकि 6n, 6 का गुणज है, यह 6 से पूरी तरह विभाज्य है, जिससे 0 शेषफल बचता है। इसलिए: S ≡ 3 (mod 6)

व्याख्या

हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (a - b)² = a² + b² - 2ab

दिए गए मानों, a - b = 9 और ab = 20 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 9² = a² + b² - 2(20)

पदों की गणना करने पर: 81 = a² + b² - 40

a² + b² के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a² + b² = 81 + 40 a² + b² = 121

व्याख्या

धातु के गोले के आयतन को N छोटे शंकुओं में पुनः ढाला जाता है, जिसका अर्थ है कि कुल आयतन संरक्षित रहता है।

गोले का आयतन = 4/3 × π × R³ एक शंकु का आयतन = 1/3 × π × r² × h

यहाँ, गोले की त्रिज्या R = 21 सेमी, प्रत्येक शंकु की त्रिज्या r = 7 सेमी, और प्रत्येक शंकु की ऊंचाई h = 3 सेमी है।

प्राप्त शंकुओं की संख्या, N, निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: N = गोले का आयतन / एक शंकु का आयतन N = (4/3 × π × R³) / (1/3 × π × r² × h) N = (4 × R³) / (r² × h)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: N = (4 × 21 × 21 × 21) / (7 × 7 × 3) N = 4 × (21/7) × (21/7) × (21/3) N = 4 × 3 × 3 × 7 N = 252

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP), और क्रमिक छूटें d₁ और d₂ के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (1 - d₁) × (1 - d₂)

प्रतिशत छूटों को भिन्नों में बदलना: 12.5% की पहली छूट 1/8 के बराबर है, जिससे 7/8 का गुणक बचता है। 8% की दूसरी छूट 2/25 के बराबर है, जिससे 23/25 का गुणक बचता है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 5474 = MP × (7/8) × (23/25) 5474 = MP × 161 / 200 MP = (5474 × 200) / 161

5474 को 161 से विभाजित करना: 5474 ÷ 7 = 782 782 ÷ 23 = 34

MP = 34 × 200 = 6800

व्याख्या

पात्र A से लिया गया घोल की कुल मात्रा 7 लीटर है, जिसमें द्रव P और Q का अनुपात 2:19 है। पात्र A से द्रव P की मात्रा = 7 × 2/(2 + 19) = 7 × 2/21 = 2/3 लीटर। पात्र A से द्रव Q की मात्रा = 7 × 19/21 = 19/3 लीटर।

पात्र B से लिया गया घोल की कुल मात्रा 4 लीटर है, जिसमें द्रव P और Q का अनुपात 1:11 है। पात्र B से द्रव P की मात्रा = 4 × 1/(1 + 11) = 4 × 1/12 = 1/3 लीटर। पात्र B से द्रव Q की मात्रा = 4 × 11/12 = 11/3 लीटर।

नए मिश्रण में: द्रव P की कुल मात्रा = 2/3 + 1/3 = 3/3 = 1 लीटर। द्रव Q की कुल मात्रा = 19/3 + 11/3 = 30/3 = 10 लीटर।

नए मिश्रण में द्रव P का द्रव Q से अनुपात 1:10 है।

व्याख्या

चूंकि रेखा खंड ST, MN के समानांतर है, त्रिभुज PST, त्रिभुज PMN के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: ST/MN = PS/PM

बिंदु S, भुजा PM को 5 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है: PS/SM = 5/7 PM = PS + SM = 5 + 7 = 12 इकाई

इसलिए, PS और PM का अनुपात है: PS/PM = 5/12

MN = 24 सेमी के साथ ST की लंबाई ज्ञात करने के लिए इस अनुपात का उपयोग करना: ST/24 = 5/12 ST = 24 × (5/12) ST = 10 सेमी

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: x + 1/x = 2

दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर: x² + 1 = 2x x² - 2x + 1 = 0 (x - 1)² = 0 x = 1

व्यंजक में x = 1 रखने पर: x¹¹ + 1/x²⁰ = 1¹¹ + 1/1²⁰ = 1 + 1 = 2

व्याख्या

2020 में बास्केटबॉल के लिए कुल नामांकन की गणना उस वर्ष नामांकित लड़कों और लड़कियों की संख्या को जोड़कर की जाती है:

कुल नामांकन = 43 + 40 = 83

83 का यह योग डेटा में सूचीबद्ध सभी वर्षों में सभी खेलों में सर्वाधिक नामांकन है।

व्याख्या

वृत्त के गुणों के अनुसार, केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, जिससे एक समकोण त्रिभुज बनता है जहाँ कर्ण त्रिज्या है, एक भुजा केंद्र से लंबवत दूरी है, और दूसरी भुजा जीवा की आधी लंबाई है।

मान लीजिए त्रिज्या r = 10 सेमी और लंबवत दूरी d = 6 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

r² = d² + (L/2)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

10² = 6² + (L/2)² 100 = 36 + (L/2)² (L/2)² = 64 L/2 = 8

जीवा की कुल लंबाई प्राप्त करने के लिए 2 से गुणा करने पर:

L = 2 × 8 = 16 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए C का हिस्सा x है। चूँकि B का हिस्सा C का तिगुना है, B का हिस्सा 3x है। A का हिस्सा B का दोगुना है, जिससे A का हिस्सा 2 × 3x = 6x हो जाता है।

उनके निवेश का अनुपात, और परिणामस्वरूप उनके लाभ का हिस्सा, A : B : C = 6 : 3 : 1 है।

इन अनुपात भागों का योग 6 + 3 + 1 = 10 भाग है।

कुल अर्जित लाभ ₹6,000 है, जो इन 10 भागों के बराबर है। इसलिए, 1 भाग बराबर 6000 / 10 = ₹600 है।

चूँकि A का हिस्सा 6 भाग है, A को प्राप्त धन 6 × ₹600 = ₹3,600 है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरणों की प्रणाली से y को समाप्त कर सकते हैं।

दिए गए समीकरण हैं: ax + by = 1 (समीकरण 1) bx + ay = 2ab / (a² + b²) (समीकरण 2)

समीकरण 1 को a से गुणा करें: a²x + aby = a (समीकरण 3)

समीकरण 2 को b से गुणा करें: b²x + aby = 2ab² / (a² + b²) (समीकरण 4)

y को समाप्त करने के लिए समीकरण 4 को समीकरण 3 से घटाएं: (a² - b²)x = a - 2ab² / (a² + b²)

दाहिने पक्ष को सरल बनाने के लिए, एक सामान्य भाजक लें: a - 2ab² / (a² + b²) = [a(a² + b²) - 2ab²] / (a² + b²) = [a³ + ab² - 2ab²] / (a² + b²) = [a³ - ab²] / (a² + b²) = a(a² - b²) / (a² + b²)

अब इसे वापस प्रतिस्थापित करें: (a² - b²)x = a(a² - b²) / (a² + b²)

दोनों पक्षों को (a² - b²) से विभाजित करने पर: x = a / (a² + b²)

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) छूट के बाद शेष भिन्न को विक्रय मूल्य (SP) से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। 12.5% की छूट 1/8 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 7/8 है।

SP = MP × 7/8

2625 = MP × 7/8

MP = 2625 × 8/7

MP = 375 × 8

MP = 3000

व्याख्या

मैकेनिकों की संख्या (M), दिनों (D), और किए गए कार्य (W) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

(M₁ × D₁) ÷ W₁ = (M₂ × D₂) ÷ W₂

दिया गया है: M₁ = 18 मैकेनिक D₁ = 10 दिन W₁ = 90 कारें D₂ = 12 दिन W₂ = 150 कारें

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

(18 × 10) ÷ 90 = (M₂ × 12) ÷ 150

180 ÷ 90 = 12M₂ ÷ 150

2 = 12M₂ ÷ 150

12M₂ = 2 × 150

12M₂ = 300

M₂ = 300 ÷ 12

M₂ = 25

व्याख्या

जिस क्षण सविता दौड़ना शुरू करती है, पर्णिका के पास पहले से ही उसकी 396 मीटर की बढ़त और उन 9 सेकंड के दौरान तय की गई दूरी शामिल है, इससे पहले कि सविता दौड़ना शुरू करे।

उन 9 सेकंड में पर्णिका द्वारा तय की गई दूरी = 6 मी/से × 9 से = 54 मीटर। जब सविता दौड़ना शुरू करती है तो पर्णिका की कुल प्रारंभिक बढ़त = 396 मीटर + 54 मीटर = 450 मीटर।

सविता 250 सेकंड तक दौड़ने के बाद पर्णिका को पकड़ लेती है। इसी 250 सेकंड की अवधि के दौरान, पर्णिका अतिरिक्त दूरी तय करती है।

250 सेकंड में पर्णिका द्वारा तय की गई दूरी = 6 मी/से × 250 से = 1500 मीटर।

प्रारंभिक रेखा से उस बिंदु तक की कुल दूरी जहाँ सविता पर्णिका को पकड़ती है, पर्णिका की कुल बढ़त और उसके बाद तय की गई दूरी का योग है: कुल दूरी = 450 मीटर + 1500 मीटर = 1950 मीटर।

चूंकि सविता यह 1950 मीटर की दूरी 250 सेकंड में तय करती है, इसलिए उसकी गति है: सविता की गति = 1950 मीटर ÷ 250 सेकंड = 7.8 मी/से।

व्याख्या

बाहरी रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों जिनकी त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं, के लिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी d, r₁ + r₂ के बराबर होती है।

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा PQ की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है: PQ = √(d² - (r₁ - r₂)²)

सूत्र में d = r₁ + r₂ प्रतिस्थापित करने पर: PQ = √((r₁ + r₂)² - (r₁ - r₂)²) PQ = √(4 × r₁ × r₂) PQ = 2√(r₁ × r₂)

दी गई त्रिज्याएँ r₁ = 9 सेमी और r₂ = 4 सेमी हैं: PQ = 2√(9 × 4) PQ = 2√36 PQ = 2 × 6 = 12 सेमी

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, रेखाखंड OA, OB, और OC सभी वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिसका अर्थ है OA = OB = OC।

त्रिभुज OAB में, चूँकि OA = OB है, यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इसका मतलब है कि बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण ABO = कोण BAO = 36°।

त्रिभुज OBC में, चूँकि OB = OC है, यह भी एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिससे कोण CBO = कोण BCO = 48° प्राप्त होता है।

चूँकि जीवाएँ AB और BC केंद्र O के दोनों ओर स्थित हैं, त्रिज्या OB, OA और OC के बीच स्थित है। इसलिए, कोण ABC, कोण ABO और कोण CBO का योग है। कोण ABC = कोण ABO + कोण CBO = 36° + 48° = 84°

वृत्त प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा वृत्त के केंद्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस प्रकार, लघु चाप AC द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण कोण AOC है। कोण AOC = 2 × कोण ABC = 2 × 84° = 168°

व्याख्या

ΔXYZ में, L और M क्रमशः भुजाओं XY और XZ के मध्य बिंदु हैं। मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला खंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। इस प्रकार, LM = ½ YZ, जिसका अर्थ है YZ = 2 LM।

बिंदु N, LM पर इस प्रकार स्थित है कि LN:NM = 1:2। चूँकि LN = 5 सेमी है, NM, LN का दोगुना है, जिससे प्राप्त होता है: NM = 2 × 5 = 10 सेमी

LM की कुल लंबाई LN और NM का योग है: LM = LN + NM = 5 + 10 = 15 सेमी

मध्य बिंदु संबंध का उपयोग करते हुए: YZ = 2 × LM = 2 × 15 = 30 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय संबंध का उपयोग करते हुए जहाँ यदि x + 1/x = 2, तो x = 1, हम x = tan θ मान सकते हैं। चूँकि cot θ = 1/tan θ, दिया गया समीकरण tan θ + cot θ = 2, tan θ + 1/tan θ = 2 को सरल करता है, जिससे tan θ = 1 प्राप्त होता है।

चूँकि θ एक न्यून कोण है, tan θ = 1 का अर्थ है θ = 45° और cot θ = 1।

लक्ष्य व्यंजक में tan θ = 1 और cot θ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: 2 tan² θ + cot² θ + tan⁴ θ cot⁴ θ = 2(1)² + 1² + (1)⁴ × (1)⁴ = 2 + 1 + 1 = 4।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है: cosec² A - cot² A = 1

वर्गों के अंतर का गुणनखंड करने पर यह प्राप्त होता है: (cosec A + cot A)(cosec A - cot A) = 1

यह दिया गया है कि cosec A + cot A = 7, इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 7 × (cosec A - cot A) = 1 cosec A - cot A = 1/7

दिए गए समीकरण और इस परिणाम को जोड़ने पर: (cosec A + cot A) + (cosec A - cot A) = 7 + 1/7 2 cosec A = 50/7 cosec A = 25/7

व्याख्या

त्रिकोणमितीय त्रिक कोण सूत्र का उपयोग करके: sin(3A) = 3 sin A - 4 sin³ A

सूत्र में A = 30° रखने पर: 3 sin(30°) - 4 sin³(30°) = sin(3 × 30°) = sin(90°) = 1

वैकल्पिक रूप से, मानक मान sin(30°) = ½ रखने पर: 3 sin(30°) - 4 sin³(30°) = 3(½) - 4(½)³ = 3/2 - 4(1/8) = 3/2 - ½ = 1

व्याख्या

सही उत्तर: B

मान लीजिए 8% की दर पर उधार दी गई राशि x है। तब, 9% की दर पर उधार दी गई शेष राशि 30,000 - x है।

कुल वार्षिक साधारण ब्याज दोनों भागों से प्राप्त ब्याज का योग है: ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100

समय = 1 वर्ष के साथ दोनों भागों के लिए इस संबंध का उपयोग करते हुए: (x × 8 × 1)/100 + ((30,000 - x) × 9 × 1)/100 = 2,650

हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 100 से गुणा करने पर: 8x + 9(30,000 - x) = 265,000

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर: 8x + 270,000 - 9x = 265,000 -x = 265,000 - 270,000 -x = -5,000 x = 5,000

8% की दर पर उधार दी गई राशि ₹5,000 है।

व्याख्या

A, B, और C द्वारा एक साथ कार्य करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कार्य की दर विधि का उपयोग करते हैं।

कुल कार्य को A, B, और C द्वारा लिए गए व्यक्तिगत दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मानें। LCM(9, 12, 18) = 36 इकाई

अब, व्यक्तिगत दैनिक कार्य दक्षता की गणना करें: A की दक्षता = 36 / 9 = 4 इकाई/दिन B की दक्षता = 36 / 12 = 3 इकाई/दिन C की दक्षता = 36 / 18 = 2 इकाई/दिन

A, B, और C द्वारा एक साथ कार्य करने की संयुक्त दक्षता: कुल दक्षता = 4 + 3 + 2 = 9 इकाई/दिन

कुल 36 इकाई कार्य को एक साथ पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या: समय = कुल कार्य / कुल दक्षता = 36 / 9 = 4 दिन

व्याख्या

माना 1 किग्रा चावल का अंकित मूल्य (MP) ₹100 है।

50 किग्रा चावल का MP 50 × 100 = ₹5000 है। चूँकि अरुण ने यह 15% की छूट पर खरीदा था, इसलिए उसने जो राशि भुगतान की वह है: भुगतान की गई राशि = 5000 × (1 - 0.15) = ₹4250

1 किग्रा गेहूँ का MP, 1 किग्रा चावल के MP का 60% है: 1 किग्रा गेहूँ का MP = 100 का 60% = ₹60 मुफ्त दिए गए 5 किग्रा गेहूँ का MP 5 × 60 = ₹300 है।

यह मानते हुए कि दुकानदार के लिए इन वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP) अरुण द्वारा भुगतान की गई लेनदेन मूल्य के बराबर है, हमारे पास है: CP = ₹4250

यदि दुकानदार ने अपने अन्य ग्राहकों को दोनों वस्तुएँ उनके अंकित मूल्य पर बेची होतीं, तो विक्रय मूल्य (SP) उनके अंकित मूल्यों का योग होता: कुल SP = 50 किग्रा चावल का MP + 5 किग्रा गेहूँ का MP = 5000 + 300 = ₹5300

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ प्रतिशत = ((कुल SP - CP) / CP) × 100 लाभ प्रतिशत = ((5300 - 4250) / 4250) × 100 = (1050 / 4250) × 100 ≈ 24.7%

व्याख्या

मान लीजिए रोमा की कुल आय 100% है।

रोमा भोजन पर 25% और बच्चों की किताबों पर 15% खर्च करती है। भोजन और किताबों पर खर्च किया गया कुल प्रतिशत = 25% + 15% = 40%

इन खर्चों के बाद शेष आय है: 100% - 40% = 60%

वह इस शेष आय का 75% वर्दी पर खर्च करती है, जिसका अर्थ है कि उसके पास शेष आय का 25% बचता है: 100% - 75% = 25%

यह ज्ञात करने के लिए कि उसकी कुल आय का कितना प्रतिशत शेष बचता है, शेष 60% का 25% ज्ञात करें: शेष प्रतिशत = 60% का 25% = 0.25 × 60% = 15%

व्याख्या

छूट पर बेची गई वस्तु का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट प्रतिशत / 100)

दिया गया है कि अंकित मूल्य 250 है और छूट 12% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

विक्रय मूल्य = 250 × (1 - 12 / 100) विक्रय मूल्य = 250 × (88 / 100) विक्रय मूल्य = 250 × 22 / 25 विक्रय मूल्य = 10 × 22 विक्रय मूल्य = 220

व्याख्या

शोरूम में टीवी और राइस कुकर का अनुपात 2:3 है। इसका मतलब है कि प्रत्येक 2 टीवी के लिए 3 राइस कुकर हैं, जिससे अनुपात में भागों की कुल संख्या 2 + 3 = 5 हो जाती है।

राइस कुकर का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, राइस कुकर का प्रतिनिधित्व करने वाले भागों की संख्या को भागों की कुल संख्या से विभाजित करें, और फिर 100 से गुणा करें:

राइस कुकर का प्रतिशत = (3 / 5) × 100% = 60%

व्याख्या

बीजगणितीय घन सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का उपयोग करके, हम a = x और b = 3y प्रतिस्थापित करते हैं:

(x + 3y)³ = x³ + (3y)³ + 3(x)(3y)(x + 3y)

पदों को सरल बनाने पर:

(x + 3y)³ = x³ + 27y³ + 9xy(x + 3y)

यह दिया गया है कि x + 3y = 6, हम इस मान को संबंध में प्रतिस्थापित करते हैं:

6³ = x³ + 27y³ + 9xy(6)

216 = x³ + 27y³ + 54xy

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)

माना a = 381 और b = 119।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: ((381 + 119)² + (381 - 119)²) / (381² + 119²) = 2(381² + 119²) / (381² + 119²)

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (381² + 119²) को रद्द करने पर प्राप्त होता है: 2

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही दिशा में चलती हैं, तो उनके पहली बार मिलने में लगने वाला समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

t = L / (v₁ - v₂)

जहाँ L ट्रैक की लंबाई है, और v₁ और v₂ दो वस्तुओं की गति हैं जहाँ v₁ > v₂ है।

सबसे पहले, गति को किमी/घंटा से मी/से में बदलें: सोहन की गति (v₁) = 90 × 5/18 = 25 मी/से राजू की गति (v₂) = 72 × 5/18 = 20 मी/से

राजू के सापेक्ष सोहन की सापेक्ष गति है: v_rel = v₁ - v₂ = 25 - 20 = 5 मी/से

ट्रैक की लंबाई L = 1725 मीटर का उपयोग करते हुए, पहली बार मिलने के लिए आवश्यक समय है: t = 1725 / 5 = 345 सेकंड