एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दुकानदार द्वारा अर्जित लाभ प्रतिशत बेची गई कुल मात्रा के बावजूद समान रहता है।

त्रुटिपूर्ण वजन का उपयोग करते समय लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ % = (सही वजन - गलत वजन) / गलत वजन × 100%

इस मामले में, सही वजन 1 किलोग्राम है, जो 1000 ग्राम के बराबर है, और दुकानदार द्वारा उपयोग किया गया गलत वजन 930 ग्राम है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (1000 - 930) / 930 × 100% लाभ % = 70 / 930 × 100% लाभ % = 700 / 93 % लाभ % = 7 49/93 %

व्याख्या

d₁% और d₂% की दो क्रमिक छूटों के अनुरूप समतुल्य एकल छूट का सूत्र इस प्रकार है:

समतुल्य छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

दिए गए मानों, d₁ = 20 और d₂ = 30 को प्रतिस्थापित करने पर:

समतुल्य छूट = 20 + 30 - (20 × 30)/100 समतुल्य छूट = 50 - 6 = 44%

व्याख्या

विश्वविद्यालय B से, दिए गए वर्षों में लागू छात्रों की संख्या की तुलना में योग्य छात्रों का प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

प्रतिशत = (योग्य / लागू) × 100

वर्ष 2016 के लिए: (720 / 7500) × 100 = 9.6%

वर्ष 2018 के लिए: (600 / 6500) × 100 ≈ 9.23%

वर्ष 2019 के लिए: (1000 / 7200) × 100 ≈ 13.89%

वर्ष 2020 के लिए: (1200 / 9000) × 100 ≈ 13.33%

इन मानों की तुलना करने पर, विश्वविद्यालय B से लागू छात्रों की तुलना में योग्य छात्रों का उच्चतम प्रतिशत वर्ष 2019 में 13.89% है।

व्याख्या

मान लीजिए वह संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

(4/5) × (5/6) × (1/8) × x = 4365

भिन्नों के गुणनफल को सरल करने पर:

(4 × 5 × 1) / (5 × 6 × 8) × x = 4365 (20 / 240) × x = 4365 (1/12) × x = 4365 x = 4365 × 12 x = 52380

अब, हम इस संख्या का 65% ज्ञात करते हैं:

52380 का 65% = (65 / 100) × 52380 = 0.65 × 52380 = 34047

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec C = 1/cos C और tan C = sin C/cos C का उपयोग करके, दिए गए व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:

sec C + sin C sec C = sec C + sin C × (1/cos C) = sec C + sin C/cos C = sec C + tan C

चूंकि ∠C = 45° दिया गया है, हम इस मान को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

sec 45° + tan 45° = √2 + 1 = 1 + √2

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: 3y + 3/y = 8

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर: y + 1/y = 8/3

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (y + 1/y)² = (8/3)² y² + 2 + 1/y² = 64/9

पद y² + 1/y² को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 2 घटाने पर: y² + 1/y² = 64/9 - 2 y² + 1/y² = 46/9

अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित करने पर: 46/9 = 5 1/9

व्याख्या

एक वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र L = (θ / 360°) × 2πr है, जहाँ θ केंद्र पर चाप द्वारा बनाया गया कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए मानों, θ = 90°, r = 14 सेमी, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

L = (90° / 360°) × 2 × (22 / 7) × 14 L = ¼ × 2 × 22 × 2 L = ¼ × 88 L = 22 सेमी

व्याख्या

किसी भी वास्तविक गुणांक a और b के लिए, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ साइन और कोसाइन संयोजनों को इस प्रकार संबंधित करती हैं:

(a sin θ + b cos θ)² + (a cos θ - b sin θ)² = a²(sin² θ + cos² θ) + b²(sin² θ + cos² θ) = a² + b²

इस प्रश्न में, a = 4 और b = 5 है। (4cos θ - 5sin θ) के आवश्यक मान को x मान लीजिए। सर्वसमिका में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

3² + x² = 4² + 5²

9 + x² = 16 + 25

9 + x² = 41

x² = 32

x = √32 = 4√2

व्याख्या

एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 3πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

ठोस अर्धगोले का व्यास 14 सेमी दिया गया है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या r = 14 / 2 = 7 सेमी है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × (22/7) × 7² कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × (22/7) × 7 × 7 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 22 × 7 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 सेमी²

व्याख्या

कार्य तुल्यता संबंध का उपयोग करके: M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂

यहाँ: M₁ = 30 महिलाएँ, D₁ = 18 दिन, H₁ = 5 घंटे प्रति दिन M₂ = 21 महिलाएँ, H₂ = 8 घंटे प्रति दिन, और D₂ दिनों की आवश्यक संख्या है

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 30 × 18 × 5 = 21 × D₂ × 8

2700 = 168 × D₂

D₂ = 2700 / 168

अंश और हर को 12 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर: D₂ = 225 / 14

मिश्रित भिन्न में परिवर्तित करने पर: D₂ = 16 ¹⁄₁₄ दिन

व्याख्या

10 सेमी व्यास वाले वृत्त के लिए, त्रिज्या R 5 सेमी है।

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूँकि प्रत्येक जीवा की लंबाई 6 सेमी है, इसलिए प्रत्येक जीवा की आधी लंबाई 3 सेमी है।

त्रिज्या R, केंद्र से जीवा की लंबवत दूरी d, और जीवा की आधी लंबाई से बने समकोण त्रिभुज में:

R² = d² + 3² 5² = d² + 9 25 = d² + 9 d² = 16 d = 4 सेमी

चूँकि दो समानांतर जीवाएँ समान लंबाई की हैं और केंद्र के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी केंद्र से उनकी व्यक्तिगत दूरियों का योग है:

दूरी = d + d = 4 + 4 = 8 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं।

हमें दिया गया है: x³ + y³ = 10234 x + y = 34

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: x³ + y³ = (x + y)((x + y)² - 3xy)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10234 = 34 × (34² - 3xy) 10234 = 34 × (1156 - 3xy) 301 = 1156 - 3xy 3xy = 855 xy = 285

दो संख्याओं के अंतर का वर्ग है: (x - y)² = (x + y)² - 4xy (x - y)² = 34² - 4 × 285 (x - y)² = 1156 - 1140 (x - y)² = 16 x - y = 4 (यह मानते हुए कि x > y)

दो संख्याओं के घनों के बीच धनात्मक अंतर है: x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) x³ - y³ = (x - y)((x + y)² - xy)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x³ - y³ = 4 × (34² - 285) x³ - y³ = 4 × (1156 - 285) x³ - y³ = 4 × 871 x³ - y³ = 3484

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec² θ - cot² θ = 1 का प्रयोग करके, हम इसे इस प्रकार गुणनखंडित करते हैं: (cosec θ - cot θ)(cosec θ + cot θ) = 1

दी गई मान cosec θ - cot θ = 7/2 को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: (7/2)(cosec θ + cot θ) = 1 cosec θ + cot θ = 2/7

दो समीकरणों cosec θ - cot θ = 7/2 और cosec θ + cot θ = 2/7 को जोड़ने पर: 2 cosec θ = 7/2 + 2/7 2 cosec θ = (49 + 4) / 14 2 cosec θ = 53/14 cosec θ = 53/28

व्याख्या

सही उत्तर: D

2013 के अंत में शहर की जनसंख्या ज्ञात करने के लिए, हम क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र को लागू करते हैं: P_अंतिम = P_प्रारंभिक × (1 + r₁/100) × (1 + r₂/100) × (1 - r₃/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P_प्रारंभिक = 12,50,000 r₁ = 2% (2011 में वृद्धि) r₂ = 2% (2012 में वृद्धि) r₃ = 1% (2013 में कमी)

P_अंतिम = 12,50,000 × (1 + 2/100) × (1 + 2/100) × (1 - 1/100) P_अंतिम = 12,50,000 × (102/100) × (102/100) × (99/100)

भिन्नों को सरल बनाने पर: P_अंतिम = 12,50,000 × (51/50) × (51/50) × (99/100) P_अंतिम = 12,50,000 × (2601 / 2500) × (99 / 100) P_अंतिम = 12,50,000 × (2601 × 99) / 2,50,000

12,50,000 को 2,50,000 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है: P_अंतिम = 5 × 2601 × 99 P_अंतिम = 5 × 257499 P_अंतिम = 12,87,495

व्याख्या

नए छात्र का भार, बदले गए छात्र के भार में पूरी कक्षा के भार में हुई कुल वृद्धि को जोड़कर ज्ञात किया जा सकता है। चूँकि 30 छात्रों के औसत भार में 200 ग्राम (0.2 किलोग्राम) की वृद्धि हुई है, इसलिए कुल भार में 30 को 0.2 से गुणा करने पर 6 किलोग्राम की वृद्धि हुई है। इसलिए, नए छात्र का भार 48.5 किलोग्राम + 6 किलोग्राम = 54.5 किलोग्राम है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप सूत्र द्वारा दिया जाता है: P = 2r + l

जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और l त्रिज्यखंड की चाप की लंबाई है।

दिया गया है कि त्रिज्या r = 5 सेमी और परिमाप P = 15.5 सेमी है, हम चाप की लंबाई l ज्ञात कर सकते हैं: 15.5 = 2 × 5 + l 15.5 = 10 + l l = 5.5 सेमी

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A, इसकी त्रिज्या और चाप की लंबाई से सूत्र द्वारा संबंधित है: A = ½ × r × l

सूत्र में r और l के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A = ½ × 5 × 5.5 A = 13.75 सेमी²

व्याख्या

छूट, छूट प्रतिशत और अंकित मूल्य के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

छूट = (छूट प्रतिशत / 100) × अंकित मूल्य

इस समस्या में, छूट प्रतिशत 30% है और गुंटर को मिली वास्तविक छूट राशि ₹1,110 है। मान लीजिए उपहार का अंकित मूल्य M है।

सूत्र का उपयोग करके:

1,110 = (30 / 100) × M

M ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

M = (1,110 × 100) / 30

M = 1,110 × (10 / 3)

1,110 को 3 से विभाजित करने पर 370 आता है:

M = 370 × 10

M = 3,700

व्याख्या

किसी संख्या के 12 से विभाज्य होने के लिए, उसे 3 और 4 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। संख्या 3x7440 के अंतिम दो अंक 40 हैं, जो 4 से विभाज्य है क्योंकि 40 ÷ 4 = 10। इस प्रकार, किसी भी अंक x के लिए संख्या 4 से विभाज्य है।

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। 3x7440 के अंकों का योग है: 3 + x + 7 + 4 + 4 + 0 = 18 + x

इस योग के 3 से विभाज्य होने के लिए, अंक x 3 का गुणज होना चाहिए। x के संभावित एकल-अंकीय मान 0, 3, 6 और 9 हैं।

इन मानों में से न्यूनतम मान 0 है।

व्याख्या

S के लिए वस्तु का क्रय मूल्य ₹37,800 है।

S, वस्तु को P को 8% लाभ पर बेचता है, इसलिए P के लिए क्रय मूल्य है: 37,800 × (1 + 8/100) = 37,800 × 1.08 = ₹40,824

P फिर वस्तु को Q को 4% हानि पर बेचता है। P के लिए विक्रय मूल्य है: 40,824 × (1 - 4/100) = 40,824 × 0.96 = ₹39,191.04

निकटतम रुपये तक पूर्णांकित करने पर, जिस मूल्य पर P वस्तु बेचता है वह ₹39,191 है।

व्याख्या

x लंबाई की बराबर भुजाओं वाले एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के लिए, कर्ण x√2 होता है।

त्रिभुज का परिमाप P सूत्र द्वारा दिया जाता है: P = 2x + x√2 = x(2 + √2)

दिया गया है कि परिमाप 30 मीटर है: x(2 + √2) = 30 x = 30 / (2 + √2)

हर का परिमेयकरण करने पर: x = 30(2 - √2) / (4 - 2) = 15(2 - √2)

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल A निम्न द्वारा दिया जाता है: A = ½ × x² A = ½ × [15(2 - √2)]² A = ½ × 225 × (4 + 2 - 4√2) A = 225 × (3 - 2√2)

√2 ≈ 1.4142 का अनुमानित मान प्रयोग करने पर: A ≈ 225 × (3 - 2 × 1.4142) A ≈ 225 × (3 - 2.8284) A ≈ 225 × 0.1716 A ≈ 38.61 मी²

38.61 को निकटतम पूर्णांक मान तक पूर्णांकित करने पर 39 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सबसे पहले, विक्रय मूल्य (SP) और लाभ प्रतिशत का उपयोग करके मिश्रण का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात करें: CP = (SP × 100) / (100 + Gain%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: CP = (55 × 100) / (100 + 10) = 5500 / 110 = ₹50 प्रति किलोग्राम

अब, दो प्रकार के चावलों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए, यह ज्ञात करने के लिए मिश्रण के नियम (alligation) का प्रयोग करें: महंगे चावल की मात्रा का सस्ते चावल की मात्रा से अनुपात = (औसत मूल्य - सस्ते चावल का मूल्य) / (महंगे चावल का मूल्य - औसत मूल्य)

कीमतों को प्रतिस्थापित करने पर: अनुपात = (50 - 45) / (52 - 50) = 5 / 2

मान लीजिए ₹52 प्रति किलोग्राम की दर वाले चावल की आवश्यक मात्रा x है। ₹45 प्रति किलोग्राम की दर वाले चावल की मात्रा 35 किलोग्राम है। x / 35 = 5 / 2 x = (35 × 5) / 2 x = 175 / 2 = 87.5 किग्रा

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल s² = 30.25 सेमी² दिया गया है। वर्गमूल लेने पर, वर्ग की भुजा s = √30.25 = 5.5 सेमी है।

चूंकि तार को वर्ग बनाने के लिए मोड़ा गया है, तार की कुल लंबाई वर्ग की परिधि के बराबर है: परिधि = 4s = 4 × 5.5 = 22 सेमी

जब उसी तार को वृत्त बनाने के लिए मोड़ा जाता है, तो वृत्त की परिधि तार की लंबाई के बराबर होनी चाहिए: 2πr = 22 2 × (22/7) × r = 22 r = 7/2 = 3.5 सेमी

त्रिज्या का उपयोग करके, वृत्त का क्षेत्रफल इस प्रकार गणना की जाती है: क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 3.5 × 3.5 = 38.50 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए अंकित मूल्य MP है और क्रय मूल्य CP है।

विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य का 3/7 है: SP = 3/7 × MP

इस मूल्य पर वस्तु को बेचने पर 30% की हानि होती है, जिसका अर्थ है: SP = CP × (1 - 0.30) = 7/10 × CP

SP के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 3/7 × MP = 7/10 × CP

MP और CP के अनुपात को ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: MP / CP = (7/10) × (7/3) = 49 / 30

व्याख्या

सही उत्तर: D

क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, शुद्ध लाभ प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है: शुद्ध प्रतिशत = a + b + (a × b)/100

यहां, मार्कअप प्रतिशत a +60% है और छूट प्रतिशत b -20% है क्योंकि छूट मूल्य को कम करती है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध प्रतिशत = 60 - 20 + (60 × (-20))/100 शुद्ध प्रतिशत = 40 - 12 शुद्ध प्रतिशत = 28%

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य 100 है, तो अंकित मूल्य 160 है। 160 पर 20% की छूट 32 है, जिसके परिणामस्वरूप विक्रय मूल्य 128 होता है, जो 28% लाभ दर्शाता है।

व्याख्या

कुल कार्य को 18 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) माना जा सकता है, जो कि 72 इकाई है।

A की दक्षता = 72 / 18 = 4 इकाई प्रति दिन B की दक्षता = 72 / 24 = 3 इकाई प्रति दिन

A और B की संयुक्त दक्षता = 4 + 3 = 7 इकाई प्रति दिन

5 दिनों में दोनों द्वारा पूरा किया गया कार्य = 5 × 7 = 35 इकाई

शेष कार्य = 72 - 35 = 37 इकाई

शेष कार्य का अंश = 37 / 72

व्याख्या

1000 ग्राम आलू का क्रय मूल्य ₹20 है। इसका मतलब है कि 1 ग्राम आलू का क्रय मूल्य 20 / 1000 = ₹0.02 है।

चूंकि रंजीत 1 किलोग्राम के बजाय 800 ग्राम का झूठा वजन इस्तेमाल करता है, इसलिए वह जो आलू बेचता है उसकी वास्तविक लागत 800 ग्राम की लागत है।

रंजीत के लिए वास्तविक क्रय मूल्य = 800 × 0.02 = ₹16।

वह इस मात्रा को ₹25 में बेचता है, जो उसका विक्रय मूल्य है।

विक्रय मूल्य = ₹25।

वास्तविक लाभ अर्जित = विक्रय मूल्य - वास्तविक क्रय मूल्य = 25 - 16 = ₹9।

वास्तविक लाभ प्रतिशत = (लाभ / वास्तविक क्रय मूल्य) × 100 = (9 / 16) × 100 = 56.25% है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan A = cot (90° - A) का उपयोग करके, यह स्थापित किया गया है कि यदि tan A = cot B, तो A + B = 90°।

इस संबंध को दी गई समीकरण tan 2θ = cot (θ - 36°) पर लागू करने पर:

2θ + (θ - 36°) = 90°

3θ - 36° = 90°

3θ = 90° + 36°

3θ = 126°

θ = 42°

चूंकि 2θ = 84°, जो 90° से कम है, इसलिए यह शर्त कि 2θ एक न्यून कोण है, संतुष्ट होती है।

व्याख्या

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

त्रिभुज ABC में, शीर्षलम्ब BD आधार AC पर लंबवत है। आधार AC की लंबाई खंड AD और CD का योग है:

AC = AD + CD = 6 + 4 = 10 सेमी

ऊँचाई BD = 12 सेमी का उपयोग करके, क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

क्षेत्रफल = ½ × 10 × 12 = 60 सेमी²

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 17² = 115 + 2(ab + bc + ca) 289 = 115 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 289 - 115 = 174

मूल्यांकन करने के लिए व्यंजक है: (a + b)² + (b + c)² + (c + a)²

प्रत्येक वर्ग पद का विस्तार करने पर प्राप्त होता है: (a² + 2ab + b²) + (b² + 2bc + c²) + (c² + 2ca + a²) = 2(a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ca)

इस व्यंजक में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2(115) + 174 = 230 + 174 = 404

व्याख्या

कोण ABC = 90° वाले समकोण त्रिभुज ABC में, AC भुजा कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: AC² = AB² + BC²

चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है और AB = BC है, इसलिए संबंध सरल हो जाता है: AC² = 2 BC²

दिया गया है कि AC = 12 सेमी, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: 12² = 2 BC² 144 = 2 BC² BC² = 72 BC = √72 = 6√2 सेमी

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (R / 100)²

जहाँ P मूलधन है और R वार्षिक ब्याज दर है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: मूलधन, P = 1,56,250 दर, R = 8%

अंतर = 1,56,250 × (8 / 100)² अंतर = 1,56,250 × (64 / 10,000) अंतर = 15.625 × 64 अंतर = 1,000

व्याख्या

मान लीजिए a = 379 और b = 276।

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: ((a + b)² + (a - b)²) / (a² + b²)

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b)² + (a - b)² = (a² + 2ab + b²) + (a² - 2ab + b²) = 2(a² + b²)

इस सर्वसमिका को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 2(a² + b²) / (a² + b²) = 2

अंश और हर में (a² + b²) पद कट जाते हैं, जिससे पूरा व्यंजक 2 तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण को हल करने के लिए BODMAS नियम लागू करें:

25(4 + 3p) ÷ 5 - 3 × 8 = 26

सबसे पहले, भाग वाले पद को सरल करें: 5(4 + 3p) - 3 × 8 = 26

इसके बाद, गुणा करें: 5(4 + 3p) - 24 = 26

समीकरण के दोनों पक्षों में 24 जोड़ें: 5(4 + 3p) = 50

दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करें: 4 + 3p = 10

दोनों पक्षों से 4 घटाएं: 3p = 6

p के लिए हल करने के लिए 3 से विभाजित करें: p = 2

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का प्रयोग करके, दिए गए समीकरण को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

cot θ = 2/√3

चूंकि tan θ, cot θ का व्युत्क्रम है:

tan θ = √3/2

इस मान को व्यंजक 2√3 tan θ + 1 में प्रतिस्थापित करने पर:

2√3 × (√3/2) + 1 = 3 + 1 = 4

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या उसके व्यास की आधी होती है, इसलिए OS = 16/2 = 8 सेमी।

वृत्त की स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। इसलिए, कोण OSQ 90° है, जिससे त्रिभुज OSQ एक समकोण त्रिभुज बन जाता है जिसका कर्ण OQ है।

समकोण त्रिभुज OSQ पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: OQ² = OS² + QS²

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 17² = 8² + QS² 289 = 64 + QS² QS² = 225 QS = 15 सेमी

व्याख्या

यदि तीन संख्याएँ a, b, और c सतत समानुपात में हैं, तो पहली और दूसरी का अनुपात दूसरी और तीसरी के अनुपात के बराबर होता है, जिसे a/b = b/c के रूप में लिखा जाता है। इससे तृतीय समानुपाती c का सूत्र c = b² / a प्राप्त होता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ a = 8 और b = 20 है, हमें प्राप्त होता है: c = 20² / 8 c = 400 / 8 c = 50

व्याख्या

दो समूहों के लिए भारित औसत सूत्र है:

भारित औसत = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, पहले समूह में n₁ = 25 विद्यार्थी हैं जिनका औसत अंक A₁ = 60 है। शेष समूह में n₂ = 40 - 25 = 15 विद्यार्थी हैं जिनका औसत अंक A₂ = 80 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

भारित औसत = (25 × 60 + 15 × 80) / 40

भारित औसत = (1500 + 1200) / 40

भारित औसत = 2700 / 40 = 67.5

व्याख्या

यदि चार संख्याएँ a, b, c, और d समानुपात में हैं, तो a/b = c/d। दी गई संख्याओं 8, P, 16, और 18 के लिए:

8/P = 16/18

दाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर:

8/P = 8/9

इससे P = 9 प्राप्त होता है।

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती एक तीसरी संख्या x होती है, जैसे कि a/b = b/x, जिससे सूत्र x = b²/a प्राप्त होता है।

P और 12 का तृतीय समानुपाती ज्ञात करने के लिए, सूत्र में P = 9 और b = 12 प्रतिस्थापित करें:

x = 12²/9

x = 144/9

x = 16

व्याख्या

अधिकतम औसत उत्पादन वाले संयंत्र का पता लगाने के लिए, हम 2018 से 2022 तक पांच साल की अवधि में प्रत्येक संयंत्र के लिए कुल उत्पादन की गणना करते हैं। चूंकि वर्षों की संख्या स्थिर है, इसलिए उच्चतम कुल उत्पादन वाले संयंत्र का औसत उत्पादन भी अधिकतम होता है।

संयंत्र 4 का कुल उत्पादन है: 45 + 40 + 30 + 48 + 42 = 205 हजार

संयंत्र 4 का औसत उत्पादन है: 205 / 5 = 41 हजार

सभी संयंत्रों के कुल उत्पादन की तुलना करने पर, संयंत्र 1 का 200 हजार, संयंत्र 2 का 192 हजार और संयंत्र 3 का 185 हजार है। संयंत्र 4 का कुल 205 हजार है, जो अधिकतम औसत उत्पादन देता है।

व्याख्या

समूहीकृत आवृत्ति वितरण का माध्य निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

माध्य = ∑(x × f) / ∑f

जहाँ x वर्षों में आयु का प्रतिनिधित्व करता है और f बच्चों की संख्या (आवृत्ति) का प्रतिनिधित्व करता है।

सबसे पहले, बच्चों की कुल संख्या (∑f) की गणना करें: ∑f = 8 + 3 + 7 + 2 + 20 = 40

इसके बाद, आयु और बच्चों की संख्या के गुणनफल का योग (∑(x × f)) की गणना करें: ∑(x × f) = (5 × 8) + (6 × 3) + (7 × 7) + (8 × 2) + (9 × 20) ∑(x × f) = 40 + 18 + 49 + 16 + 180 = 303

अब, माध्य आयु ज्ञात करने के लिए गुणनफलों के योग को बच्चों की कुल संख्या से विभाजित करें: माध्य = 303 / 40 = 7.575

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 7.57 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x - y)(x + y) का प्रयोग करते हुए, मान लीजिए x = 2a - 3b - c और y = a + 2b + c।

सबसे पहले, x - y की गणना करें: x - y = (2a - 3b - c) - (a + 2b + c) x - y = a - 5b - 2c

इसके बाद, x + y की गणना करें: x + y = (2a - 3b - c) + (a + 2b + c) x + y = 3a - b

अब, दो परिणामी गुणनखंडों को गुणा करें: (x - y)(x + y) = (a - 5b - 2c)(3a - b) = a(3a - b) - 5b(3a - b) - 2c(3a - b) = 3a² - ab - 15ab + 5b² - 6ac + 2bc = 3a² + 5b² - 16ab + 2bc - 6ac

व्याख्या

शांत जल में नाव की गति (x) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

x = (d + u) / 2

जहाँ d अनुप्रवाह गति है और u उर्ध्वप्रवाह गति है।

दिया गया है: अनुप्रवाह गति, d = 12 किमी / 1 घंटा = 12 किमी/घंटा उर्ध्वप्रवाह गति, u = 8 किमी / 1 घंटा = 8 किमी/घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x = (12 + 8) / 2 = 20 / 2 = 10 किमी/घंटा

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: sec² θ - tan² θ = 1

इसे इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1

दिया गया है कि sec θ + tan θ = 5, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: sec θ - tan θ = 1/5

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: (sec θ + tan θ) + (sec θ - tan θ) = 5 + 1/5 2 sec θ = 26/5 sec θ = 13/5

दो समीकरणों को घटाने पर: (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = 5 - 1/5 2 tan θ = 24/5 tan θ = 12/5

त्रिकोणमितीय संबंध sin θ = tan θ / sec θ का प्रयोग करके: sin θ = (12/5) / (13/5) = 12/13

व्याख्या

एक वृद्धि के बाद छूट से होने वाले शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना सीधे क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध परिवर्तन = a + b + (a × b)/100

यहाँ, मूल्य को पहले 30% बढ़ाया जाता है (a = 30) और फिर 15% की छूट (b = -15) दी जाती है।

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन = 30 - 15 + (30 × -15)/100 शुद्ध परिवर्तन = 15 - 4.5 शुद्ध परिवर्तन = 10.5%

व्याख्या

शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: CSA = π × r × l

मान लीजिए त्रिज्या r = 5x और तिर्यक ऊँचाई l = 7x है, जहाँ x एक सामान्य गुणक है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 1347.5 = (22/7) × 5x × 7x 1347.5 = 22 × 5 × x² 1347.5 = 110x²

x² के लिए हल करें: x² = 1347.5 / 110 x² = 12.25

x ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: x = √12.25 x = 3.5

त्रिज्या r की गणना करें: r = 5x = 5 × 3.5 = 17.5 सेमी

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण x² - 3.2x + 1 = 0 में, दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर (चूंकि x > 1, x ≠ 0): x + 1/x = 3.2

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 का उपयोग करके, हम x + 1/x का मान प्रतिस्थापित करते हैं: (x - 1/x)² = 3.2² - 4 (x - 1/x)² = 10.24 - 4 (x - 1/x)² = 6.24

चूंकि x > 1 है, इसलिए x > 1/x, जिसका अर्थ है कि x - 1/x धनात्मक होना चाहिए: x - 1/x = √6.24 x - 1/x = √(16 × 0.39) x - 1/x = 4√0.39

अब, हम वर्गों के अंतर का उपयोग करके आवश्यक व्यंजक की गणना करते हैं: x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x) x² - 1/x² = 3.2 × 4√0.39 x² - 1/x² = 12.8√0.39

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज, कुल राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: SI = राशि - मूलधन = 15000 - 12000 = 3000

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

सूत्र में मान रखने पर: 3000 = (12000 × R × 5) / 100 3000 = 600 × R R = 3000 / 600 R = 5

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, जिस अनुपात में दोनों धातुओं को मिलाया जाना चाहिए, वह उनके व्यक्तिगत घनत्वों की मिश्रण के औसत घनत्व से तुलना करके निर्धारित किया जाता है।

मान लीजिए धातु A का सापेक्ष घनत्व 19 है, धातु B का सापेक्ष घनत्व 9 है, और मिश्रण का वांछित सापेक्ष घनत्व 15 है।

मिश्रण का नियम देता है: धातु A का धातु B से अनुपात = (औसत घनत्व - धातु B का घनत्व) / (धातु A का घनत्व - औसत घनत्व)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A का B से अनुपात = (15 - 9) / (19 - 15) A का B से अनुपात = 6 / 4 A का B से अनुपात = 3 / 2

यह 3:2 के अनुपात को सरल करता है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (P), और छूट प्रतिशत (D) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

दिया गया है कि लाभ प्रतिशत P 20% है, छूट प्रतिशत D 10% है, और क्रय मूल्य CP 540 है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

MP / 540 = (100 + 20) / (100 - 10)

MP / 540 = 120 / 90

MP / 540 = 4 / 3

MP = 540 × 4 / 3

MP = 180 × 4

MP = 720

व्याख्या

चूंकि ΔPQR ≅ ΔMNY, उनकी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हैं।

सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा: NM = PQ = 8 सेमी ∠M = ∠P = 72° ∠N = ∠Q = 55° ∠Y = ∠R

ΔPQR के लिए त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके: ∠P + ∠Q + ∠R = 180° 72° + 55° + ∠R = 180° 127° + ∠R = 180° ∠R = 180° - 127° = 53°

चूंकि ∠Y = ∠R, हमें ∠Y = 53° प्राप्त होता है।