एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सूत्र tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x का प्रयोग करके tan 22.5° का मान ज्ञात करने के लिए, हम x = 45° प्रतिस्थापित कर सकते हैं ताकि x/2 = 22.5° हो।

45° के लिए त्रिकोणमितीय मान हैं: cos 45° = 1/√2 sin 45° = 1/√2

इन मानों को दिए गए सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: tan 22.5° = (1 - 1/√2) / (1/√2)

सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को √2 से गुणा करें: tan 22.5° = (√2 - 1) / 1 tan 22.5° = √2 - 1

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, संक्रियाओं को पहले भाग, फिर गुणा, फिर जोड़ और उसके बाद घटाव के क्रम में किया जाना चाहिए।

दिया गया समीकरण है: 42 ÷ 2 + a × 3 - 22 = 8

सबसे पहले, भाग की संक्रिया करें: 42 ÷ 2 = 21

इस मान को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: 21 + a × 3 - 22 = 8

अगला, गुणा करें: a × 3 = 3a

इस पद को वापस प्रतिस्थापित करें: 21 + 3a - 22 = 8

स्थिरांक पदों को मिलाएं: 3a - 1 = 8

दोनों पक्षों में 1 जोड़कर और 3 से विभाजित करके a के लिए हल करें: 3a = 8 + 1 3a = 9 a = 9 ÷ 3 a = 3

व्याख्या

सभी बच्चों के औसत अंक ज्ञात करने के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग किया जाता है:

औसत = (n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃ + n₄a₄) / (n₁ + n₂ + n₃ + n₄)

यहाँ, प्रत्येक समूह में बच्चों की संख्या और उनके संबंधित औसत अंक हैं: समूह 1: n₁ = 7, a₁ = 20 समूह 2: n₂ = 3, a₂ = 45 समूह 3: n₃ = 4, a₃ = 15 समूह 4: n₄ = 2, a₄ = 0

कुल अंक ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करें: कुल अंक = (7 × 20) + (3 × 45) + (4 × 15) + (2 × 0) = 140 + 135 + 60 + 0 = 335

बच्चों की कुल संख्या = 7 + 3 + 4 + 2 = 16

सभी 16 बच्चों के औसत अंक = 335 / 16 = 20.9375

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 20.9 प्राप्त होता है।

व्याख्या

नकद भुगतान करने वाले ग्राहक के लिए अंतिम मूल्य की गणना अंकित मूल्य पर क्रमिक छूट का उपयोग करके की जाती है। क्रमिक छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य का सूत्र है:

अंतिम मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहाँ, अंकित मूल्य ₹54,000 है, पहली छूट d₁ 10% है, और दूसरी नकद छूट d₂ 5% है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अंतिम मूल्य = 54,000 × (1 - 10/100) × (1 - 5/100) अंतिम मूल्य = 54,000 × 0.9 × 0.95 अंतिम मूल्य = 54,000 × 0.855 अंतिम मूल्य = ₹46,170

व्याख्या

सफेदी कराने वाले कुल क्षेत्रफल में चार दीवारों का क्षेत्रफल और छत का क्षेत्रफल शामिल है।

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b) छत का क्षेत्रफल = lb

लंबाई (l) = 7 मीटर, चौड़ाई (b) = 4 मीटर, और ऊँचाई (h) = 9 मीटर के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

चार दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × 9 × (7 + 4) = 18 × 11 = 198 वर्ग मीटर छत का क्षेत्रफल = 7 × 4 = 28 वर्ग मीटर

सफेदी कराने वाला कुल क्षेत्रफल = 198 + 28 = 226 वर्ग मीटर

सफेदी कराने की दर ₹7.50 प्रति वर्ग मीटर है।

सफेदी कराने की कुल लागत = कुल क्षेत्रफल × दर सफेदी कराने की कुल लागत = 226 × 7.50 = 1695

व्याख्या

क्रमिक छूट देने के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य सीधे सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहाँ, अंकित मूल्य £80 है, और दो क्रमिक छूट, d₁ और d₂, दोनों 5% हैं।

विक्रय मूल्य = 80 × (1 - 5/100) × (1 - 5/100)

विक्रय मूल्य = 80 × 0.95 × 0.95

विक्रय मूल्य = 80 × 0.9025

विक्रय मूल्य = 72.20

व्याख्या

कोई संख्या 15 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 5 दोनों से विभाज्य हो।

किसी संख्या के 5 से विभाज्य होने के लिए, उसका अंतिम अंक या तो 0 या 5 होना चाहिए। संख्या 2995 का अंतिम अंक 5 है, इसलिए यह 5 से विभाज्य है।

किसी संख्या के 3 से विभाज्य होने के लिए, उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। संख्या 2995 के अंकों का योग 2 + 9 + 9 + 5 = 25 है। चूंकि 25, 3 से विभाज्य नहीं है, इसलिए 2995, 3 से विभाज्य नहीं है।

परिणामस्वरूप, 2995, 15 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

दिया गया है कि sin θ = √3/2 और θ एक न्यून कोण है, तो θ का मान 60° है।

व्यंजक cos 3θ में θ = 60° रखने पर: cos 3θ = cos(3 × 60°) = cos 180°

चूंकि cos 180° = -1 है, इसलिए cos 3θ का मान -1 है।

व्याख्या

घातांक के नियमों का उपयोग करके बाईं ओर के व्यंजक को सरल किया जा सकता है:

(5 × 5 × 5 × 5 × 5)⁵ × (5 × 5 × 5)⁵ ÷ 5 = (5⁵)⁵ × (5³)⁵ ÷ 5¹ = 5²⁵ × 5¹⁵ ÷ 5¹ = 5²⁵⁺¹⁵⁻¹ = 5³⁹

5³⁹ को 125 की घात के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम 125 को 5³ लिखते हैं:

5³⁹ = (5³)¹³ = (125)¹³

इसकी दाईं ओर से तुलना करने पर, आवश्यक घातांक मान 13 है।

व्याख्या

घनाभ का आयतन सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

घनाभ के आयाम दिए गए हैं: लंबाई = 7.5 मीटर चौड़ाई = 22 मीटर ऊँचाई = 13 मीटर

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

आयतन = 7.5 मीटर × 22 मीटर × 13 मीटर आयतन = 165 × 13 आयतन = 2145 मी³

व्याख्या

किसी संख्या k के पहले n गुणजों का औसत सूत्र k × (n + 1) / 2 द्वारा दिया जाता है। यहाँ, संख्या k = 6 है और पदों की संख्या n = 10 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 6 × (10 + 1) / 2 = 3 × 11 = 33 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, क्योंकि गुणज एक समांतर श्रेणी बनाते हैं, औसत केवल पहले पद 6 और अंतिम पद 60 का माध्य है, जो (6 + 60) / 2 = 33 है।

व्याख्या

प्रतिशत कमी के सूत्र का प्रयोग करके: नई कीमत = मूल कीमत × (1 - r/100)

यहाँ, बाइक की मूल कीमत ₹75,500 है और कमी की दर (r) 17% है।

नई कीमत = 75,500 × (1 - 0.17) नई कीमत = 75,500 × 0.83 नई कीमत = 62,665

व्याख्या

पहले वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹350 है। दूसरे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ₹420 है।

चक्रवृद्धि ब्याज में, किसी भी वर्ष का ब्याज पिछले वर्ष की राशि पर ब्याज होता है। इसलिए, दूसरे वर्ष और पहले वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज का प्रतिनिधित्व करता है।

ब्याज में अंतर = ₹420 - ₹350 = ₹70

यह ₹70 का अंतर पहले वर्ष के ₹350 के ब्याज पर एक वर्ष की अवधि में अर्जित ब्याज है।

ब्याज की दर (R) = (ब्याज में अंतर / पहले वर्ष का ब्याज) × 100%

R = (70 / 350) × 100%

R = (1 / 5) × 100% = 20%

व्याख्या

विकर्ण d और विपरीत शीर्षों से लम्बवत ऑफसेट h₁ और h₂ वाले चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × d × (h₁ + h₂)

दिए गए मानों क्षेत्रफल = 336, h₁ = 16, और h₂ = 12 को प्रतिस्थापित करने पर:

336 = ½ × d × (16 + 12)

336 = ½ × d × 28

336 = 14 × d

d = 336 / 14

d = 24

इसलिए, विकर्ण की लंबाई 24 इकाई है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का अंश (numerator) मानक बीजगणितीय विस्तार (a - b)³ से मेल खाता है: a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a - b)³

a = 62 और b = 22 प्रतिस्थापित करने पर, अंश सरल हो जाता है: (62 - 22)³ = 40³

हर (denominator) है: 8 × 8 × 8 = 8³

सरलीकृत अंश को हर से विभाजित करने पर: 40³ / 8³ = (40 / 8)³ = 5³ = 125

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

माना समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई h सेमी है। चूँकि आधार उसकी संगत ऊँचाई से दोगुना लंबा है, इसलिए आधार 2h सेमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2h × h = 144 2h² = 144 h² = 72 h = √72 h = 6√2 सेमी

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती का सूत्र √(ab) है।

दी गई दो संख्याएँ हैं: a = 64 b = 4096

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: मध्य समानुपाती = √(64 × 4096)

वर्गमूल के गुणधर्म का उपयोग करके, इसे सरल किया जा सकता है: मध्य समानुपाती = √64 × √4096

चूंकि √64 = 8 और √4096 = 64 है, हम गणना करते हैं: मध्य समानुपाती = 8 × 64 = 512

व्याख्या

मान लीजिए कुल काम 120 इकाई है, जो 40 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य है।

A और B की संयुक्त दैनिक कार्य दर 120 / 40 = 3 इकाई/दिन है। A की अकेले की दैनिक कार्य दर 120 / 60 = 2 इकाई/दिन है।

B की अकेले की दैनिक कार्य दर उनकी संयुक्त दर और A की दर का अंतर है: 3 - 2 = 1 इकाई/दिन।

कुल काम का तीन-चौथाई भाग ¾ × 120 = 90 इकाई है।

B द्वारा इस काम का तीन-चौथाई हिस्सा अकेले पूरा करने में लिया गया समय 90 इकाई ÷ 1 इकाई/दिन = 90 दिन है।

व्याख्या

3 वर्षों और 2 वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर तीसरे वर्ष में अर्जित ब्याज के बराबर होता है।

सबसे पहले, 2 वर्षों के अंत में संचित राशि (A₂) सूत्र द्वारा दी जाती है: A₂ = P(1 + R/100)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: A₂ = 5000(1 + 10/100)² A₂ = 5000(1.1)² A₂ = 5000 × 1.21 = 6050

तीसरे वर्ष का ब्याज इस दूसरे वर्ष की राशि पर अर्जित ब्याज है: तीसरे वर्ष में ब्याज = A₂ × R/100 तीसरे वर्ष में ब्याज = 6050 × 10/100 = 605

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: cot θ = cot 30° cot 60°

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हुए: cot 30° = √3 cot 60° = 1/√3

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: cot θ = √3 × (1/ √3) cot θ = 1

चूंकि θ को एक न्यून कोण दिया गया है, θ का मान है: θ = 45°

θ के मान का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं: 2θ = 2 × 45° = 90°

व्याख्या

मिश्रण की औसत लागत की गणना सीधे भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

औसत लागत = (w₁C₁ + w₂C₂ + w₃C₃) ÷ (w₁ + w₂ + w₃)

यहाँ, मात्राओं का अनुपात भार को दर्शाता है, जो w₁ = 3, w₂ = 1, और w₃ = 2 हैं। प्रति किग्रा संबंधित लागतें C₁ = ₹50, C₂ = ₹60, और C₃ = ₹75 हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत लागत = (3 × 50 + 1 × 60 + 2 × 75) ÷ (3 + 1 + 2)

औसत लागत = (150 + 60 + 150) ÷ 6

औसत लागत = 360 ÷ 6 = ₹60 प्रति किग्रा

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (A - B)² = (A + B)² - 4AB

मान लीजिए A = x और B = 2y। इससे संबंध प्राप्त होता है: (x - 2y)² = (x + 2y)² - 4(x)(2y) (x - 2y)² = (x + 2y)² - 4(2xy)

समीकरण में x + 2y = 10 और 2xy = 9 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: (x - 2y)² = 10² - 4(9) (x - 2y)² = 100 - 36 (x - 2y)² = 64

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x - 2y = ±√64 x - 2y = ±8

अतः, x - 2y के संभावित मानों में से एक 8 है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के सूत्र का उपयोग करके, दो क्रमिक छूट x% और y% की समतुल्य छूट निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: x + y - xy/100

सबसे पहले, पहली दो छूटों 20% और 10% के लिए समतुल्य छूट की गणना करें: 20 + 10 - (20 × 10)/100 = 30 - 2 = 28%

इसके बाद, इस परिणाम 28% और तीसरी छूट 5% के लिए समतुल्य छूट की गणना करें: 28 + 5 - (28 × 5)/100 = 33 - 1.4 = 31.6%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक अंकित मूल्य 100 माना जाता है, तो तीन क्रमिक छूटों के बाद अंतिम विक्रय मूल्य है: 100 × (1 - 0.20) × (1 - 0.10) × (1 - 0.05) = 100 × 0.80 × 0.90 × 0.95 = 68.4

समतुल्य एकल छूट है: 100 - 68.4 = 31.6%

व्याख्या

माना P का क्रय मूल्य x है।

चूंकि P ने वस्तु Q को 20% लाभ पर बेची, इसलिए Q के लिए क्रय मूल्य है: Q का क्रय मूल्य = x × 1.20

Q ने फिर वस्तु R को 10% की हानि पर बेची, जिससे R के लिए क्रय मूल्य बना: R का क्रय मूल्य = Q का क्रय मूल्य × 0.90 = x × 1.20 × 0.90 = 1.08x

हमें दिया गया है कि R ने वस्तु ₹1,080 में खरीदी: 1.08x = 1080 x = 1080 / 1.08 x = 1000

व्याख्या

पाई चार्ट में किसी मद के लिए केंद्रीय कोण की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: केंद्रीय कोण = (घटक मान / कुल मान) × 360°

दिया गया है कि कुल वेतन ₹7,200 है:

भोजन के लिए: केंद्रीय कोण = (4000 / 7200) × 360° = 200°

शिक्षा के लिए: केंद्रीय कोण = (400 / 7200) × 360° = 20°

व्याख्या

तीन वस्तुओं के मिश्रण की लागत के लिए भारित औसत सूत्र है:

औसत मूल्य = (w₁P₁ + w₂P₂ + w₃P₃) / (w₁ + w₂ + w₃)

यहाँ, P₁ = ₹96, P₂ = ₹104, और P₃ तीसरी किस्म का अज्ञात मूल्य है, जिसे x से दर्शाया गया है। मिश्रण का अनुपात w₁ : w₂ : w₃ 1 : 1 : 2 है, और मिश्रण का औसत मूल्य ₹113 प्रति किलोग्राम है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

113 = (1 × 96 + 1 × 104 + 2 × x) / (1 + 1 + 2)

113 = (200 + 2x) / 4

दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर:

452 = 200 + 2x

2x = 452 - 200

2x = 252

x = 126

व्याख्या

सही उत्तर: D

क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

यहाँ, अंकित मूल्य ₹2,250 है, और क्रमिक छूटें d₁ = 10% और d₂ = 20% हैं।

विक्रय मूल्य = 2250 × (1 - 10/100) × (1 - 20/100) विक्रय मूल्य = 2250 × 0.9 × 0.8 विक्रय मूल्य = 2250 × 0.72 विक्रय मूल्य = 1620

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

A = 4πr²

गोले का व्यास 30 सेमी दिया गया है, जिसका अर्थ है कि इसकी त्रिज्या r है:

r = 30 / 2 = 15 सेमी

सूत्र में r = 15 सेमी और π = 3.14 रखने पर:

A = 4 × 3.14 × 15²

A = 4 × 3.14 × 225

A = 900 × 3.14

A = 2826 सेमी²

व्याख्या

7% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी दर = R + R + (R × R)/100 प्रभावी दर = 7 + 7 + (7 × 7)/100 = 14.49%

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) मूलधन का प्रभावी दर प्रतिशत है:

CI = ₹5,50,000 का 14.49% CI = (14.49 / 100) × 5,50,000 CI = 14.49 × 5,500 CI = 79,695

व्याख्या

किसी संख्या के 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना चाहिए। 54321 को 6 से विभाजित करने पर भागफल 9053 और शेषफल 3 प्राप्त होता है।

इसे 6 से विभाज्य बनाने के लिए 54321 में जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल को भाजक से घटाते हैं: 6 − 3 = 3

54321 में 3 जोड़ने पर 54324 प्राप्त होता है, जो एक सम संख्या है और जिसका अंकों का योग 18 है, जिससे यह 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, और इसलिए 6 से विभाज्य है।

व्याख्या

एक गोले का आयतन V = (4/3) π r³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

मान लीजिए बड़ी गोलाकार मिट्टी की गेंद की त्रिज्या R = 15 सेमी है और प्रत्येक छोटी गोलाकार गेंद की त्रिज्या r = 5 सेमी है।

चूंकि पिघलने के दौरान मिट्टी का कुल आयतन संरक्षित रहता है, इसलिए बनाई जा सकने वाली छोटी गेंदों की संख्या, n, बड़ी गेंद के आयतन का एक छोटी गेंद के आयतन से अनुपात है: n = ((4/3) π R³) / ((4/3) π r³) n = (R / r)³

दी गई त्रिज्याओं को प्रतिस्थापित करने पर: n = (15 / 5)³ n = 3³ n = 27

व्याख्या

वर्ष के दौरान परिवार की औसत मासिक आय का सूत्र है:

औसत मासिक आय = (कुल वार्षिक व्यय + कुल वार्षिक बचत) ÷ 12

सबसे पहले, प्रत्येक अवधि के औसत व्यय को उस अवधि में महीनों की संख्या से गुणा करके कुल वार्षिक व्यय की गणना करें:

पहले 4 महीनों का व्यय = 4 × 13,750 = 55,000 अगले 3 महीनों का व्यय = 3 × 11,750 = 35,250 अंतिम 5 महीनों का व्यय = 5 × 31,750 = 158,750

कुल वार्षिक व्यय = 55,000 + 35,250 + 158,750 = 249,000

इसके बाद, कुल वार्षिक व्यय में कुल वार्षिक बचत जोड़कर कुल वार्षिक आय निर्धारित करें:

कुल वार्षिक आय = 249,000 + 15,550 = 264,550

अब, औसत मासिक आय ज्ञात करने के लिए कुल वार्षिक आय को 12 से विभाजित करें:

औसत मासिक आय = 264,550 ÷ 12 ≈ 22,045.83

केवल पूर्णांक भाग पर विचार करते हुए, परिवार की औसत मासिक आय 22,045 है।

व्याख्या

व्यंजक का मूल्यांकन करने के लिए, BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का पालन करें। व्यंजक है:

12 - 8 ÷ 2 - (16 का -2 + 3 × 5 - 4)

सबसे पहले, कोष्ठकों के अंदर के संक्रियाओं का मूल्यांकन करें।

'का' संक्रिया से शुरू करें: 16 का -2 = 16 × (-2) = -32

अगला, गुणा करें: 3 × 5 = 15

अब, कोष्ठकों के अंदर जोड़ और घटाव करें: -32 + 15 - 4 = -17 - 4 = -21

कोष्ठक वाला भाग -21 तक सरल हो जाता है, इसलिए व्यंजक बन जाता है: 12 - 8 ÷ 2 - (-21)

अगला, भाग करें: 8 ÷ 2 = 4

इस मान को प्रतिस्थापित करें और ऋणात्मक संख्या के घटाव को सरल करें: 12 - 4 + 21

अंत में, जोड़ और घटाव करें: 8 + 21 = 29

व्याख्या

सबसे पहले, दूसरी ट्रेन के शुरू होने से पहले पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी की गणना करें। दोपहर 3 बजे से शाम 4 बजे तक, स्टेशन A से ट्रेन 1 घंटे के लिए 83 किमी/घंटा की गति से यात्रा करती है, जिससे 83 किमी की दूरी तय होती है।

शाम 4 बजे दोनों स्टेशनों के बीच शेष दूरी 494 किमी - 83 किमी = 411 किमी है।

चूंकि दोनों ट्रेनें एक-दूसरे की ओर यात्रा कर रही हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है। सापेक्ष गति = 83 किमी/घंटा + 54 किमी/घंटा = 137 किमी/घंटा।

शाम 4 बजे के बाद ट्रेनों को मिलने में लगने वाला समय शेष दूरी को उनकी सापेक्ष गति से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है। लिया गया समय = 411 किमी ÷ 137 किमी/घंटा = 3 घंटे।

इन 3 घंटों को शाम 4 बजे में जोड़ने पर मिलने का समय शाम 7 बजे आता है।

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। मान लीजिए कि दो बराबर कोणों में से प्रत्येक का माप x है।

108° + x + x = 180°

इस संबंध को सरल करने पर: 108° + 2x = 180° 2x = 180° - 108° 2x = 72° x = 36°

व्याख्या

माना √p = x। दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x² + 1/9 x + k²

इस व्यंजक के पूर्ण वर्ग होने के लिए, यह बीजगणितीय सर्वसमिका (x + a)² = x² + 2ax + a² के रूप में होना चाहिए।

दिए गए व्यंजक के गुणांकों की सर्वसमिका से तुलना करने पर: 2a = 1/9 a = 1/18

चूंकि अचर पद k² है, हमारे पास है: k² = a² k² = (1/18)² k = ±1/18

व्याख्या

माना V मतों की कुल संख्या है।

उम्मीदवार A को V का 30% प्राप्त हुआ और वह अर्हता प्राप्त करने के अंक से 6 मतों से चूक गया। उम्मीदवार B को V का 40% प्राप्त हुआ और उसने अर्हता प्राप्त करने के अंक को 6 मतों से पार कर लिया।

दोनों उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त मतों के प्रतिशत में अंतर है: 40% - 30% = V का 10%

उनके मतों में निरपेक्ष अंतर है: 6 + 6 = 12 मत

हम प्रतिशत अंतर को मतों के अंतर के बराबर करते हैं: V का 10% = 12 0.10 × V = 12 V = 12 / 0.10 = 120

व्याख्या

पहले 10 प्रेक्षणों का योग 10 × 21 = 210 के बराबर है।

11 प्रेक्षणों का नया औसत पिछले औसत से 1 कम है, जो कि 21 - 1 = 20 है।

इन 11 प्रेक्षणों का योग 11 × 20 = 220 के बराबर है।

11वें प्रेक्षण का मान 11 प्रेक्षणों के योग और 10 प्रेक्षणों के योग के बीच का अंतर है, जो कि 220 - 210 = 10 है।

व्याख्या

93 से विभाज्य सबसे छोटी 6-अंकीय संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे छोटी 6-अंकीय संख्या, जो कि 100000 है, से शुरू करते हैं।

100000 को 93 से विभाजित करने पर: 100000 = 93 × 1075 + 25

शेषफल 25 है। 93 का अगला गुणज ज्ञात करने के लिए, हम 100000 में भाजक और शेषफल के अंतर को जोड़ते हैं: 100000 + (93 - 25) = 100000 + 68 = 100068

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं। दी गई शर्तों के अनुसार: x = 3y x + y = 20

पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: 3y + y = 20 4y = 20 y = 5

अब, x का मान ज्ञात करने के लिए y का मान पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: x = 3 × 5 = 15

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति की प्रारंभिक आय 100 थी। चूँकि वह अपनी आय का 20% बचाता है, उसकी प्रारंभिक बचत 20 है और उसका प्रारंभिक व्यय 100 - 20 = 80 है।

एक वर्ष बाद, उसकी आय में 25% की वृद्धि हुई, जिससे उसकी नई आय 125 हो गई। वह पहले जितनी ही निरपेक्ष राशि बचाता है, इसलिए उसकी नई बचत अभी भी 20 है। इसका मतलब है कि उसका नया व्यय 125 - 20 = 105 है।

व्यय में वृद्धि 105 - 80 = 25 है।

व्यय में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: (व्यय में वृद्धि / प्रारंभिक व्यय) × 100% = (25 / 80) × 100% = 31.25%

व्याख्या

खुदरा विक्रेता के लिए क्रय मूल्य (CP) की गणना 20% छूट लागू करने के बाद अंकित मूल्य से की जाती है: CP = 3750 × (1 - 0.20) = 3750 × 0.80 = ₹3,000

15% का लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) की गणना इस क्रय मूल्य पर की जाती है: SP = CP × (1 + 0.15) = 3000 × 1.15 = ₹3,450

व्याख्या

औसत गति का सूत्र तय की गई कुल दूरी को लिया गया कुल समय से विभाजित करना है।

यात्रा के पहले भाग में, तय की गई दूरी 70 मील प्रति घंटा × 4 घंटे = 280 मील है। यात्रा के दूसरे भाग में, तय की गई दूरी 40 मील प्रति घंटा × 2 घंटे = 80 मील है।

कुल दूरी 280 + 80 = 360 मील है। लिया गया कुल समय 4 + 2 = 6 घंटे है।

औसत गति = 360 मील / 6 घंटे = 60 मील प्रति घंटा।

व्याख्या

(x + a) और (x + b) का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक का विस्तार करने के लिए वितरण नियम का उपयोग करते हैं:

(x + a)(x + b) = x(x) + x(b) + a(x) + a(b)

प्रत्येक पद को सरल करने पर प्राप्त होता है:

x² + bx + ax + ab

मध्य पदों से सामान्य चर x को गुणनखंडित करके, हम प्राप्त करते हैं:

x² + (a + b)x + ab

व्याख्या

एक ठोस लम्ब वृत्तीय बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h)

दिया गया है कि त्रिज्या (r) 3 सेमी है और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 60π सेमी² है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित किया जा सकता है: 60π = 2 × π × 3 × (3 + h)

समीकरण को सरल बनाने पर: 60π = 6π(3 + h)

दोनों पक्षों को 6π से विभाजित करने पर: 10 = 3 + h

ऊँचाई (h) के लिए हल करने पर: h = 7 सेमी

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र का उपयोग करके: M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂

जहाँ M लोगों की संख्या, D दिनों की संख्या, और H प्रति दिन काम के घंटे दर्शाता है।

दिया गया है: M₁ = 45, D₁ = 10, H₁ = 6 M₂ = 30, H₂ = 6

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 45 × 10 × 6 = 30 × D₂ × 6

चूंकि दोनों पक्षों पर दैनिक घंटे समान हैं, हम इसे सरल करते हैं: 45 × 10 = 30 × D₂ 450 = 30 × D₂ D₂ = 450 / 30 D₂ = 15

व्याख्या

a भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

यह देखते हुए कि समबाहु त्रिभुज की भुजा a = 20 सेमी है, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

क्षेत्रफल = (√3/4) × 20² क्षेत्रफल = (√3/4) × 400 क्षेत्रफल = 100√3 सेमी²

व्याख्या

12 जोड़ी (1 दर्जन जोड़ी) दस्तानों का छूट के बाद मूल्य = £200 × (100 - 20)% = £200 × 0.8 = £160.

इसका मतलब है कि 12 जोड़ी दस्तानों की कीमत £160 है।

£320 में खरीदे जा सकने वाले दस्तानों की जोड़ी की संख्या = 12 × (320 / 160) = 12 × 2 = 24।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos θ = -sin(θ - 90°) का उपयोग करके, cos 137° को इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos 137° = cos(90° + 47°) = -sin 47°

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin 73° + cos 137° = sin 73° - sin 47°

योग-से-गुणनफल सूत्र, sin A - sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A - B)/2) लागू करने पर, जहाँ A = 73° और B = 47°: sin 73° - sin 47° = 2 cos((73° + 47°)/2) sin((73° - 47°)/2) = 2 cos 60° sin 13°

ज्ञात मान cos 60° = ½ को प्रतिस्थापित करने पर: 2 × ½ × sin 13° = sin 13°

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

दिया गया है: आधार का व्यास = 12 सेमी आधार की त्रिज्या, r = 12 / 2 = 6 सेमी बेलन की ऊँचाई, h = 2.45 × r = 2.45 × 6 = 14.7 सेमी

π = 22/7 के साथ सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 6 × 14.7 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 6 × 2.1 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 × 12.6 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 554.4 सेमी²