एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (a² - b²) / (a + b) के रूप में है, जो बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके (a - b) तक सरल हो जाता है। a = 17.46 और b = 4.46 रखने पर, हमें 17.46 - 4.46 = 13 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए X, Y और Z के वेतन क्रमशः 2, 3 और 5 इकाई हैं।

यह ज्ञात करने के लिए कि Z का वेतन X के वेतन से कितने प्रतिशत अधिक है, प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग किया जाता है:

प्रतिशत वृद्धि = ((Z - X) / X) × 100

Z और X के संगत मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत वृद्धि = ((5 - 2) / 2) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (3 / 2) × 100 प्रतिशत वृद्धि = 1.5 × 100 = 150%

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य M मान लीजिए।

नकद में भुगतान किया गया अंकित मूल्य का हिस्सा M का 40% है, जो 0.4M है। चूंकि इस हिस्से पर 24% की छूट दी गई है, इसलिए वास्तविक नकद भुगतान है: 0.4M × (1 - 0.24) = 0.304M

क्रेडिट कार्ड से भुगतान किया गया अंकित मूल्य का शेष हिस्सा M का 60% है, जो 0.6M है। चूंकि इस हिस्से पर 1.5% अधिभार लिया जाता है, इसलिए क्रेडिट कार्ड से भुगतान की गई राशि है: 0.6M × (1 + 0.015) = 0.609M

कुल अंतिम भुगतान दोनों घटकों का योग है: कुल भुगतान = 0.304M + 0.609M = 0.913M

दिया गया है कि कुल अंतिम भुगतान 6,391 है: 0.913M = 6391 M = 6391 / 0.913 M = 7000

व्याख्या

जब दो व्यक्ति L लंबाई के एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही दिशा में दौड़ते हैं, तो उनके ट्रैक पर किसी भी बिंदु पर पहली बार मिलने में लगने वाला समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

t = L / (v₁ - v₂)

जहाँ v₁ और v₂ उनकी संबंधित गतियाँ हैं, जिसमें v₁ > v₂ है।

यहाँ, ट्रैक की लंबाई L 1200 मीटर है।

बादल और अली की गतियाँ क्रमशः 45 किमी/घंटा और 27 किमी/घंटा हैं। चूँकि वे एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, उनकी सापेक्ष गति है:

v_rel = 45 - 27 = 18 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में परिवर्तित करना:

v_rel = 18 × 5/18 = 5 मी/से

मिलने के समय की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करना:

t = 1200 / 5 = 240 सेकंड

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की कुल आय I है।

व्यक्ति अपनी आय का 15% घर के किराए पर खर्च करता है, जिससे उसकी आय का 85% बच जाता है। शेष आय = 0.85 × I

वह इस शेष आय का 60% घरेलू खर्चों पर खर्च करता है, जिससे शेष आय का 40% बचत के रूप में बच जाता है। बचत = 0.40 × 0.85 × I = 0.34 × I

यह देखते हुए कि उसकी कुल बचत ₹52,500 है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 0.34 × I = 52500 I = 52500 / 0.34 I ≈ 154411.76

154411.76 को निकटतम दस तक पूर्णांकित करने के लिए, हम इकाई के स्थान को देखते हैं। चूंकि 11.76 का मान 20 की तुलना में 10 के अधिक निकट है, इसलिए यह 154410 तक पूर्णांकित हो जाता है।

व्याख्या

घनाभ का आयतन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई

दिए गए आयामों को प्रतिस्थापित करके:

आयतन = 16 मी × 12 मी × 6 मी = 1152 मी³

व्याख्या

त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है, और इसकी दो भुजाएँ 17 सेमी और 9 सेमी हैं।

त्रिभुज की तीसरी भुजा की गणना इस प्रकार की जाती है: 36 - (17 + 9) = 10 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करना: s = परिमाप / 2 = 36 / 2 = 18 सेमी

क्षेत्रफल = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) क्षेत्रफल = √(18 × (18 - 17) × (18 - 9) × (18 - 10)) क्षेत्रफल = √(18 × 1 × 9 × 8) क्षेत्रफल = √(1296) क्षेत्रफल = 36 सेमी²

व्याख्या

तालिका से तांबे के उत्पादन के मान 1990 से 1994 तक की दी गई अवधि में हर साल लगातार और क्रमिक वृद्धि दर्शाते हैं: 1990 में, उत्पादन 209 टन था। 1991 में, उत्पादन बढ़कर 212 टन हो गया। 1992 में, उत्पादन बढ़कर 215 टन हो गया। 1993 में, उत्पादन बढ़कर 226 टन हो गया। 1994 में, उत्पादन बढ़कर 228 टन हो गया।

यह लगातार वृद्धि असमानता 209 < 212 < 215 < 226 < 228 द्वारा दर्शायी गई है।

व्याख्या

मान लीजिए माधुरी की आय M है और सुषमा की आय S है। चूंकि माधुरी अपनी आय का 80% खर्च करती है, इसलिए उसकी बचत M का 100% - 80% = 20% है। चूंकि सुषमा अपनी आय का 95% खर्च करती है, इसलिए उसकी बचत S का 100% - 95% = 5% है।

यह दिया गया है कि उनकी बचत बराबर है: M का 20% = S का 5% 0.20M = 0.05S 4M = S

उनकी आय का योग 10,000 है: M + S = 10,000

योग में S = 4M प्रतिस्थापित करने पर: M + 4M = 10,000 5M = 10,000 M = 2,000

सुषमा की आय है: S = 4 × 2,000 = 8,000

व्याख्या

कार्य-दर संबंध का उपयोग करके: 1/T_together = 1/T_Priya + 1/T_Renu

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ संयुक्त समय T_together 12 घंटे है और प्रिया का व्यक्तिगत समय T_Priya 18 घंटे है: 1/12 = 1/18 + 1/T_Renu

रेनू की दर के लिए हल करने पर: 1/T_Renu = 1/12 - 1/18

36 के सामान्य भाजक का उपयोग करके: 1/T_Renu = 3/36 - 2/36 = 1/36

व्युत्क्रम लेने पर प्राप्त होता है: T_Renu = 36 घंटे

व्याख्या

2015 से 2020 तक की पूरी छह-वर्षीय अवधि में सभी चार निर्माताओं (A, B, C, और D) की कारों की कुल बिक्री ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक निर्माता के लिए वार्षिक बिक्री का योग ज्ञात करते हैं।

निर्माता A की कुल बिक्री = 44 + 48 + 47 + 50 + 52 + 51 = 292 हजार निर्माता B की कुल बिक्री = 40 + 41 + 41 + 41 + 42 + 43 = 248 हजार निर्माता C की कुल बिक्री = 36 + 38 + 40 + 42 + 44 + 50 = 250 हजार निर्माता D की कुल बिक्री = 48 + 44 + 44 + 42 + 42 + 43 = 263 हजार

सभी चार निर्माताओं के योग को जोड़ने पर: 292 + 248 + 250 + 263 = 1053 हजार

इस मान को हजारों से इकाइयों में परिवर्तित करना: 1053 × 1000 = 1053000

व्याख्या

दिया गया है कि sec²θ = 4/3।

चूंकि θ एक न्यून कोण है, दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर: sec θ = 2/√3

इसका तात्पर्य है कि: cos θ = √3/2

एक न्यून कोण के लिए, θ = 30°।

अब, व्यंजक cosec (θ + 30°) में θ = 30° प्रतिस्थापित करें: cosec (θ + 30°) = cosec (30° + 30°) = cosec 60°

चूंकि sin 60° = √3/2 है, इसका व्युत्क्रम है: cosec 60° = 2/√3

व्याख्या

गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, बहुपद में x = -2 और x = 2 रखने पर समीकरणों की प्रणाली -8p + q = 2 और 8p + q = -10 प्राप्त होती है। इन समीकरणों को एक साथ हल करने पर q = -4 और p = -3/4 प्राप्त होता है, जो विकल्प D से मेल खाता है।

व्याख्या

B और C में उच्च शिक्षा प्राप्त करने के पात्र छात्रों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उन छात्रों की संख्या निर्धारित करते हैं जिन्होंने प्रत्येक विषय में कम से कम 60% अंक प्राप्त किए हैं। चूंकि प्रत्येक विषय के लिए अधिकतम अंक 100 हैं, इसलिए कम से कम 60% अंक का अर्थ है 60 अंक या उससे अधिक प्राप्त करना।

तालिका से: विषय B में 60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 20 है। विषय C में 60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 26 है।

इस प्रकार, B और C दोनों में उच्च शिक्षा के लिए पात्र छात्रों की कुल संख्या है: 20 + 26 = 46

व्याख्या

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 6a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है।

दिया गया पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 726 सेमी² रखने पर: 6a² = 726 a² = 121 a = 11 सेमी

घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है।

भुजा की लंबाई a = 11 सेमी रखने पर: V = 11³ = 1331 सेमी³

व्याख्या

कोई संख्या 88 से विभाज्य होती है यदि वह 8 और 11 दोनों से विभाज्य हो।

8 से विभाज्यता के लिए, संख्या 7P323Q के अंतिम तीन अंक, जो 23Q हैं, 8 से विभाज्य होने चाहिए। चूँकि 232, 8 से विभाज्य है (232 ÷ 8 = 29), Q का मान 2 होना चाहिए।

11 से विभाज्यता के लिए, सम स्थानों के अंकों के योग और विषम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।

विषम स्थानों के अंकों का योग = 2 + 2 + P = 4 + P सम स्थानों के अंकों का योग = 3 + 3 + 7 = 13

अंतर = 13 - (4 + P) = 9 - P

9 - P के 0 होने के लिए, P का मान 9 होना चाहिए।

इससे P = 9 और Q = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

संयुक्त अनुपात a:b:c ज्ञात करने के लिए, दोनों अनुपातों में इसके मानों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके उभयनिष्ठ पद b को बराबर किया जाना चाहिए।

पहले अनुपात में, a:b = 2:5, b का मान 5 है। दूसरे अनुपात में, b:c = 3:4, b का मान 3 है।

5 और 3 का LCM 15 है।

अनुपात a:b के पदों को 3 से गुणा करने पर: a:b = (2 × 3) : (5 × 3) = 6:15

अनुपात b:c के पदों को 5 से गुणा करने पर: b:c = (3 × 5) : (4 × 5) = 15:20

इन अनुपातों को मिलाने पर प्राप्त होता है: a:b:c = 6:15:20

व्याख्या

l लंबाई, b चौड़ाई और h ऊँचाई वाले घनाभ के विकर्ण की लंबाई निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:

d = √(l² + b² + h²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: l = 13 मी b = 7 मी h = 3 मी

हम गणना करते हैं: d = √(13² + 7² + 3²) d = √(169 + 49 + 9) d = √227 मी

व्याख्या

मान लीजिए कि थैले में चीनी का कुल क्रय मूल्य C है।

चीनी का पहला आधा हिस्सा कुल क्रय मूल्य C का ½ दर्शाता है। 20% लाभ पर बेचे गए इस हिस्से से लाभ है: ½ × C × 20% = 0.10C

चीनी का अगला एक-चौथाई हिस्सा कुल क्रय मूल्य C का ¼ दर्शाता है। 16% लाभ पर बेचे गए इस हिस्से से लाभ है: ¼ × C × 16% = 0.04C

चीनी का शेष हिस्सा 1 - ½ - ¼ = ¼ है। 24% लाभ पर बेचे गए इस शेष हिस्से से लाभ है: ¼ × C × 24% = 0.06C

प्राप्त कुल लाभ इन तीन लाभों का योग है: कुल लाभ = 0.10C + 0.04C + 0.06C = 0.20C

हमें दिया गया है कि प्राप्त कुल लाभ 90 है। इसलिए, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 0.20C = 90 C = 90 / 0.20 C = 450

व्याख्या

बाहरी रूप से स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = 2 × √(R₁ × R₂)

जहाँ R₁ और R₂ दो वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दिए गए मानों R₁ = 28 सेमी और R₂ = 18 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

L = 2 × √(28 × 18)

L = 2 × √504

चूंकि 504 का वर्गमूल लगभग 22.45 है:

L ≈ 2 × 22.45 = 44.90 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए मिश्रण का प्रारंभिक आयतन V₁ = 300 मिलीलीटर है जिसमें दूध की सांद्रता C₁ = 75% है। मान लीजिए अंतिम मिश्रण का आयतन V₂ है जिसमें दूध की सांद्रता C₂ = 45% है।

चूंकि मिश्रण में केवल पानी मिलाया जाता है, दूध की निरपेक्ष मात्रा पूरी प्रक्रिया के दौरान स्थिर रहती है। दूध की मात्रा के संरक्षण का उपयोग करके:

V₁ × C₁ = V₂ × C₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

300 × 75% = V₂ × 45%

V₂ = (300 × 75) / 45

V₂ = 22500 / 45 = 500 मिलीलीटर

मिलाए जाने वाले पानी की मात्रा अंतिम और प्रारंभिक मिश्रण के आयतन के बीच का अंतर है:

मिलाया गया पानी = V₂ - V₁ = 500 - 300 = 200 मिलीलीटर

व्याख्या

दो क्रमिक छूट d₁% और d₂% के लिए प्रभावी छूट का सूत्र इस प्रकार है: प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

d₁ = 25 और d₂ = 20 रखने पर: प्रभावी छूट = 25 + 20 - (25 × 20)/100 = 45 - 5 = 40%

विक्रय मूल्य की गणना अंकित मूल्य को इस प्रभावी छूट से कम करके की जाती है: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100 - प्रभावी छूट)% विक्रय मूल्य = 1200 × (100 - 40)/100 = 1200 × 0.60 = 720

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके: औसत अंक = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) ÷ (n₁ + n₂)

पहले समूह n₁ = 20 छात्रों के लिए, औसत अंक A₁ = 75 है। शेष n₂ = 30 - 20 = 10 छात्रों के लिए, औसत अंक A₂ = 87 है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत अंक = (20 × 75 + 10 × 87) ÷ 30 औसत अंक = (1500 + 870) ÷ 30 औसत अंक = 2370 ÷ 30 औसत अंक = 79

व्याख्या

BODMAS नियमों का उपयोग करके समीकरण का बायां पक्ष हल करने पर, यह p/6 तक सरल हो जाता है और दायां पक्ष 1 तक सरल हो जाता है। दोनों पक्षों को बराबर करने पर p/6 = 1 प्राप्त होता है, जिससे p = 6 मिलता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज की राशि का सूत्र है:

A = P × (1 + R/100)ⁿ

जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की वार्षिक दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिया गया है: P = ₹6,000 R = 10% n = 2 वर्ष

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

A = 6000 × (1 + 10/100)² A = 6000 × (1.1)² A = 6000 × 1.21 = 7260

व्याख्या

अंकित मूल्य, विक्रय मूल्य और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

अंकित मूल्य = विक्रय मूल्य ÷ (1 - छूट दर)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अंकित मूल्य = 453.60 ÷ (1 - 0.19) अंकित मूल्य = 453.60 ÷ 0.81 अंकित मूल्य = 45360 ÷ 81 अंकित मूल्य = 560

व्याख्या

कुमार का कुल मासिक वेतन ₹ 30,000 है।

सबसे पहले, भोजन और किराए पर व्यय वेतन का 25% है: भोजन और किराए पर व्यय = 30,000 का 25% = ₹ 7,500

भोजन और किराए के बाद शेष राशि है: 30,000 - 7,500 = ₹ 22,500

इसके बाद, शिक्षा पर व्यय इस शेष राशि का 20% है: शिक्षा व्यय = 22,500 का 20% = ₹ 4,500

भुगतान किया गया आयकर कुल वेतन का 5% है: आयकर = 30,000 का 5% = ₹ 1,500

अब, हम इन तीन कटौतियों का कुल योग ज्ञात करते हैं: कुल कटौतियाँ = 7,500 + 4,500 + 1,500 = ₹ 13,500

इन तीन कटौतियों के बाद कुमार के पास बची राशि है: 30,000 - 13,500 = ₹ 16,500

इस शेष राशि में से, कुमार ₹ 8,000 बचाता है। उसकी बचत के बाद उसके पास उपलब्ध राशि है: 16,500 - 8,000 = ₹ 8,500

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 416 = 8(x² - xy + y²) x² - xy + y² = 52

हम यह भी जानते हैं कि: (x + y)² = x² + 2xy + y² 8² = x² + 2xy + y² x² + 2xy + y² = 64

इस परिणाम से पहले सरलीकृत समीकरण को घटाने पर: (x² + 2xy + y²) - (x² - xy + y²) = 64 - 52 3xy = 12 xy = 4

अब, हम x² + y² का मान ज्ञात करते हैं: x² + y² = (x + y)² - 2xy x² + y² = 64 - 2(4) x² + y² = 56

x⁴ + y⁴ ज्ञात करने के लिए, हम x² + y² के व्यंजक का वर्ग करते हैं: (x² + y²)² = 56² x⁴ + 2(xy)² + y⁴ = 3136 x⁴ + y⁴ = 3136 - 2(4²) x⁴ + y⁴ = 3136 - 32 = 3104

व्याख्या

दिया गया व्यंजक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका के रूप का है:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

पदों की तुलना करके, हम a = 32 और b = 12 की पहचान कर सकते हैं। इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

(32 - 12)³ = 20³

इस घात का मूल्यांकन करने पर:

20³ = 20 × 20 × 20 = 8000

व्याख्या

जब कोई वाहन दो अलग-अलग गति, u और v, से समान दूरी तय करता है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति की गणना हार्मोनिक माध्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत गति = 2uv / (u + v)

दिया गया है: निशान तक की गति (u) = 15 किमी/घंटा शुरुआती बिंदु तक वापस आने की गति (v) = 10 किमी/घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = (2 × 15 × 10) / (15 + 10) औसत गति = 300 / 25 औसत गति = 12 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए महिला की कुल आय I है।

प्रश्न के अनुसार, उसका व्यय उसकी आय का 25% है, जो कि 1,250 दिया गया है।

हम संबंध स्थापित कर सकते हैं: I का 25% = 1,250

प्रतिशत को भिन्न में परिवर्तित करके: (25/100) × I = 1,250 I / 4 = 1,250

I के लिए हल करना: I = 1,250 × 4 I = 5,000

व्याख्या

तीन समान दूरियों के लिए औसत गति का सूत्र, जो क्रमशः v₁, v₂, और v₃ गति से तय की जाती हैं, इस प्रकार है:

औसत गति = 3 / (1/v₁ + 1/v₂ + 1/v₃)

दिया गया है: v₁ = 40 किमी/घंटा v₂ = 60 किमी/घंटा v₃ = 72 किमी/घंटा

चूंकि शहर A, B, और C एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी समान है। मान लीजिए यह दूरी d है। गणना को सरल बनाने के लिए, हम d को तीन गतियों 40, 60, और 72 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में मान सकते हैं, जो कि 360 किमी है।

A से B तक यात्रा करने में लगा समय = 360 / 40 = 9 घंटे B से C तक यात्रा करने में लगा समय = 360 / 60 = 6 घंटे C से A तक यात्रा करने में लगा समय = 360 / 72 = 5 घंटे

तय की गई कुल दूरी = 360 + 360 + 360 = 1080 किमी लिया गया कुल समय = 9 + 6 + 5 = 20 घंटे

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय औसत गति = 1080 / 20 = 54 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा a है। समबाहु त्रिभुज का परिमाप सूत्र द्वारा दिया जाता है: परिमाप = 3a

दिया गया है कि परिमाप 75 सेमी है: 3a = 75 a = 25 सेमी

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²

भुजा की लंबाई a = 25 सेमी का मान रखने पर: क्षेत्रफल = (√3 / 4) × 25² क्षेत्रफल = 625√3 / 4 सेमी²

व्याख्या

दिए गए संबंध 2z = x + y से, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: x - z = z - y

इसका मतलब यह भी है: y - z = -(x - z)

हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है: x/(x - z) + y/(y - z)

दूसरे पद में y - z = -(x - z) प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: x/(x - z) + y/(-(x - z)) = x/(x - z) - y/(x - z) = (x - y)/(x - z)

दिए गए समीकरण 2z = x + y से, हम y को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: y = 2z - x

इस y के मान को अंश में प्रतिस्थापित करने पर: (x - (2z - x))/(x - z) = (2x - 2z)/(x - z) = 2(x - z)/(x - z) = 2

व्याख्या

जब किसी वस्तु पर x% की वृद्धि की जाती है और फिर y% की छूट दी जाती है, तो शुद्ध लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

शुद्ध परिवर्तन = x - y - xy/100

दिए गए x = 30 की वृद्धि और y = 20 की छूट को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध लाभ प्रतिशत = 30 - 20 - (30 × 20)/100 शुद्ध लाभ प्रतिशत = 10 - 600/100 शुद्ध लाभ प्रतिशत = 10 - 6 = 4%

चूंकि शुद्ध परिवर्तन धनात्मक है, दुकानदार 4% का लाभ कमाता है।

व्याख्या

मान लीजिए बाइक से यात्रा करने में लगा समय t₁ घंटे और कार से t₂ घंटे है।

कुल यात्रा का समय 10 घंटे है: t₁ + t₂ = 10

कुल तय की गई दूरी 200 किमी है, जिसमें बाइक से 15 किमी/घंटा और कार से 25 किमी/घंटा की गति है: 15t₁ + 25t₂ = 200

पहले समीकरण को 15 से गुणा करने पर: 15t₁ + 15t₂ = 150

इसे दूरी समीकरण से घटाने पर: 10t₂ = 50 t₂ = 5 घंटे

t₂ को समय समीकरण में वापस रखने पर: t₁ = 10 - 5 = 5 घंटे

बाइक और कार से तय की गई दूरियाँ हैं: बाइक से दूरी = 15 × 5 = 75 किमी कार से दूरी = 25 × 5 = 125 किमी

बाइक और कार से तय की गई दूरियों का अनुपात है: 75 : 125 = 3 : 5

व्याख्या

चूंकि P, Q के अनुलोम विचरण करता है, P और Q का अनुपात स्थिर रहता है। इस संबंध को प्रत्यक्ष विचरण सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

P₁/Q₁ = P₂/Q₂

यह देखते हुए कि P₁ = 227 जब Q₁ = 232 है, हम इन मानों को Q₂ = 116 के साथ प्रतिस्थापित करके P (P₂) का नया मान ज्ञात कर सकते हैं:

227/232 = P₂/116

P₂ के लिए हल करना: P₂ = 227 × 116 / 232

P₂ = 227/2

P₂ = 113.5

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x - y)² = x² + y² - 2xy

हम x² + y² के लिए हल करने हेतु इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: x² + y² = (x - y)² + 2xy

दिए गए मान x - y = 25 और xy = 78 को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: x² + y² = 25² + 2 × 78 x² + y² = 625 + 156 x² + y² = 781

व्याख्या

घन की भुजा a = 6∛4 सेमी है।

घन का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = a³

भुजा की लंबाई का मान रखने पर: V = (6∛4)³ = 216 × 4 = 864 सेमी³

ढाले गए घनाभ की ऊंचाई h सेमी मान लीजिए। चूँकि पिघलाने और पुनः ढालने के दौरान आयतन संरक्षित रहता है, इसलिए घनाभ का आयतन घन के आयतन के बराबर होता है: l × b × h = 864 12 × 9 × h = 864 108h = 864 h = 8 सेमी

घनाभ के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है: d = √(l² + b² + h²)

विमाओं का मान रखने पर: d = √(12² + 9² + 8²) d = √(144 + 81 + 64) d = √289 d = 17 सेमी

व्याख्या

1200 मीटर की दौड़ में मीनल को 500 मीटर की बढ़त मिलती है, जिसका अर्थ है कि उसे दौड़ पूरी करने के लिए केवल 1200 मीटर - 500 मीटर = 700 मीटर की दूरी तय करनी होगी।

मीनल और नीतू की गति का अनुपात 5:7 है। मान लीजिए मीनल की गति 5v और नीतू की गति 7v है।

मीनल द्वारा अपनी आवश्यक 700 मीटर की दूरी तय करने में लिया गया समय है: समय = 700 / 5v = 140/v

इसी समय के दौरान, नीतू द्वारा तय की गई दूरी है: दूरी = गति × समय = 7v × (140/v) = 980 मीटर

चूंकि मीनल द्वारा फिनिश लाइन पार करने के समय तक नीतू ने कुल 1200 मीटर की दौड़ में से केवल 980 मीटर की दूरी तय की है, इसलिए मीनल दौड़ जीत जाती है। मीनल जितने मीटर से जीतती है वह है: 1200 मीटर - 980 मीटर = 220 मीटर

व्याख्या

राजस्व कर और खपत का गुणनफल होता है। जब दो राशियों को गुणा किया जाता है, तो उनके गुणनफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन उत्तरोत्तर प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a + b + (a × b)/100

यहाँ, कर 14% कम हो जाता है, इसलिए a = -14। खपत 10% बढ़ जाती है, इसलिए b = 10।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -14 + 10 + (-14 × 10)/100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -4 - 1.4 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -5.4%

ऋणात्मक चिह्न 5.4% की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²

दिया गया है कि अर्धव्यास r = 4.2 सेमी और π = 22/7 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × (22 / 7) × 4.2 × 4.2

गणना को सरल बनाने पर:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × 22 × 0.6 × 4.2

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 66 × 2.52

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 166.32 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए रणिता की आय R है और भास्कर की आय B है।

पहली शर्त के अनुसार: 0.40 × R = 0.56 × B R / B = 56 / 40 = 7 / 5

हम रणिता की आय को 7x और भास्कर की आय को 5x के रूप में दर्शा सकते हैं।

दूसरी शर्त का उपयोग करते हुए, जब रणिता की आय में ₹800 और भास्कर की आय में ₹2,000 की वृद्धि की जाती है, तो उनकी आय का अनुपात 4 : 3 हो जाता है: (7x + 800) / (5x + 2000) = 4 / 3

तिरछा गुणा करने पर: 3 × (7x + 800) = 4 × (5x + 2000) 21x + 2400 = 20x + 8000 21x - 20x = 8000 - 2400 x = 5600

रणिता और भास्कर की संयुक्त वास्तविक आय है: 7x + 5x = 12x 12 × 5600 = 67,200

व्याख्या

परिवार की औसत आयु की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भारित औसत = (n₁A₁ + n₂A₂ + n₃A₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

यहाँ, n₁, n₂, और n₃ प्रत्येक समूह में सदस्यों की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, और A₁, A₂, और A₃ उनकी संबंधित औसत आयु का प्रतिनिधित्व करते हैं: दादा-दादी: n₁ = 2, A₁ = 67 माता-पिता: n₂ = 2, A₂ = 35 पोते-पोतियाँ: n₃ = 3, A₃ = 6

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत आयु = (2 × 67 + 2 × 35 + 3 × 6) / (2 + 2 + 3) औसत आयु = (134 + 70 + 18) / 7 औसत आयु = 222 / 7 औसत आयु = 31 5/7 वर्ष

व्याख्या

जब एक मौजूदा व्यक्ति को प्रतिस्थापित किया जाता है तो नए व्यक्ति के भार की गणना सीधे निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

नए व्यक्ति का भार = प्रतिस्थापित व्यक्ति का भार + (व्यक्तियों की कुल संख्या × औसत भार में वृद्धि)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिस्थापित व्यक्ति का भार = 72 किग्रा व्यक्तियों की कुल संख्या = 18 औसत भार में वृद्धि = 2.5 किग्रा

नए व्यक्ति का भार = 72 + (18 × 2.5) नए व्यक्ति का भार = 72 + 45 = 117 किग्रा

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर रहता है और यह लोगों की संख्या और दिनों की संख्या के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:

M₁ × D₁ = M₂ × D₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

15 × 5 = 25 × D₂

75 = 25 × D₂

D₂ = 75 ÷ 25 = 3

व्याख्या

एक बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके दो वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल के योग के रूप में गणना की जाती है।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 × आधार का क्षेत्रफल

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 225 + 2 × 169 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 225 + 338 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 563 cm²

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, सबसे भीतरी कोष्ठक से बाहरी कोष्ठकों तक व्यंजक को सरल करें।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक को सरल करें: 2 + 2/3 = 8/3

इसके बाद, कर्ली ब्रेसिज़ के अंदर के पदों का मूल्यांकन करें: 2 + 2 ÷ (8/3) = 2 + 2 × 3/8 = 2 + 3/4 = 11/4

अब, वर्ग कोष्ठकों के अंदर के पदों का मूल्यांकन करें: 2 + 2 ÷ (11/4) = 2 + 2 × 4/11 = 2 + 8/11 = 30/11

अंत में, पूरे व्यंजक की गणना करें: 4 ÷ (30/11) = 4 × 11/30 = 44/30 = 22/15

व्याख्या

दी गई शर्त ab + bc + ca = 0 के अनुसार, हम -bc को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: -bc = ab + ca

दोनों पक्षों में a² जोड़ने पर: a² - bc = a² + ab + ca = a(a + b + c)

इसी प्रकार, हम व्यंजक में अन्य हरों को भी लिख सकते हैं: b² - ca = b² + ab + bc = b(a + b + c) c² - ab = c² + bc + ca = c(a + b + c)

इन सरलीकृत हरों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1/(a² - bc) + 1/(b² - ca) + 1/(c² - ab) = 1/(a(a + b + c)) + 1/(b(a + b + c)) + 1/(c(a + b + c))

सामान्य पद 1/(a + b + c) को बाहर लेने पर: = (1 / (a + b + c)) × (1/a + 1/b + 1/c) = (1 / (a + b + c)) × ((bc + ca + ab) / abc)

चूंकि हमें दिया गया है कि ab + bc + ca = 0, व्यंजक बन जाता है: = (1 / (a + b + c)) × (0 / abc) = 0

व्याख्या

दी गई तालिका से, दिनेश द्वारा गेट परीक्षा के प्रयासों की संख्या 20 है।

राजेश ने जितनी बार परीक्षा दी, वह दिनेश द्वारा परीक्षा देने की संख्या से 30% कम थी: राजेश के प्रयास = 20 - 20 का 30% = 20 - (30/100 × 20) = 20 - 6 = 14

तालिका के अनुसार, राजेश द्वारा परीक्षा उत्तीर्ण करने की संख्या 5 है।

राजेश द्वारा किए गए कुल प्रयासों में से परीक्षा उत्तीर्ण करने का प्रतिशत है: सफलता प्रतिशत = (5 / 14) × 100% ≈ 35.71%