एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

SAS (भुजा-कोण-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों।

त्रिभुज ABC में, दी गई भुजाएँ AC = 2.5 सेमी और BC = 5 सेमी हैं, और इन दोनों भुजाओं के बीच का कोण ∠C = 75° है।

त्रिभुज DEF में, दी गई भुजाएँ DE = 2.5 सेमी और DF = 5 सेमी हैं। इन दोनों भुजाओं के बीच का कोण ∠D है।

त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए, उनकी संगत भुजाएँ और उनके बीच के कोण बराबर होने चाहिए। इस संगतता के तहत जहाँ AC, DE से मेल खाता है और BC, DF से मेल खाता है, संगत कोण ∠C को संगत कोण ∠D से मेल खाना चाहिए। इसलिए, ∠D, ∠C के बराबर होना चाहिए, जिससे ∠D = 75° प्राप्त होता है।

व्याख्या

x³ + 1/x³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम दी गई द्विघात समीकरण से शुरू करते हैं:

8x² + 9x + 8 = 0

पूरे समीकरण को 8x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

x + 9/8 + 1/x = 0

x + 1/x = -9/8

अब, घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:

x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x)

x + 1/x के मान को इस सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:

x³ + 1/x³ = (-9/8)³ - 3(-9/8)

x³ + 1/x³ = -729/512 + 27/8

सरल करने के लिए, 27/8 को 64/64 से गुणा करके हर को समान बनाएं:

x³ + 1/x³ = -729/512 + 1728/512

x³ + 1/x³ = 999/512

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का क्रय मूल्य CP और विक्रय मूल्य SP है।

प्रारंभिक लाभ इस प्रकार दिया गया है: लाभ = SP - CP

यदि विक्रय मूल्य दोगुना कर दिया जाए, तो नया विक्रय मूल्य 2SP हो जाता है। नया लाभ है: नया लाभ = 2SP - CP

प्रश्न के अनुसार, जब विक्रय मूल्य दोगुना किया जाता है तो लाभ तिगुना हो जाता है: 2SP - CP = 3 × (SP - CP) 2SP - CP = 3SP - 3CP 3CP - CP = 3SP - 2SP 2CP = SP

इस संबंध का उपयोग करके, मूल लाभ है: लाभ = SP - CP = 2CP - CP = CP

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100% लाभ प्रतिशत = (CP / CP) × 100% = 100%

व्याख्या

त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

यहाँ, दी गई भुजा की लंबाई आधार (b = 24 सेमी) है, और विपरीत शीर्ष से इस भुजा पर खींचे गए लम्ब की लंबाई ऊँचाई (h) है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

96 = ½ × 24 × h

96 = 12 × h

h = 96 / 12

h = 8 सेमी

व्याख्या

माना कि दिया गया व्यंजक इस प्रकार है: E = ((9³ + 9⁴ + 9⁵ + 9⁶ + 9⁷) / (9¹ + 9² + 9³ + 9⁴ + 9⁵))¹/²

अंश में प्रत्येक पद से 9² को गुणनखंडित करके, हम प्राप्त करते हैं: 9³ + 9⁴ + 9⁵ + 9⁶ + 9⁷ = 9² × (9¹ + 9² + 9³ + 9⁴ + 9⁵)

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: E = ((9² × (9¹ + 9² + 9³ + 9⁴ + 9⁵)) / (9¹ + 9² + 9³ + 9⁴ + 9⁵))¹/²

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद (9¹ + 9² + 9³ + 9⁴ + 9⁵) को रद्द करने पर व्यंजक सरल हो जाता है: E = (9²)¹/²

E = 9

व्याख्या

दी गई तालिका की कुल पंक्ति से, प्रत्येक महीने में कंपनी द्वारा उत्पादित स्कूटरों की कुल संख्या है: जनवरी: 100 फरवरी: 105 मार्च: 108 अप्रैल: 110 मई: 110 जून: 90

अप्रैल और मई में सभी प्रकार के स्कूटरों की कुल संख्या बराबर थी, इन दोनों महीनों में से प्रत्येक में 110 स्कूटरों का उत्पादन हुआ।

व्याख्या

BODMAS नियम लागू करने पर, हम सबसे पहले कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को हल करते हैं: 5 + 7 = 12

व्यंजक बन जाता है: 42 ÷ 7 × 12 ÷ 3

अगला, भाग और गुणा बाएं से दाएं क्रम में किए जाते हैं: 42 ÷ 7 = 6 6 × 12 = 72 72 ÷ 3 = 24

व्याख्या

मान लीजिए भानु का कुल मासिक वेतन S है।

किराए, स्टेशनरी, परिवहन और बिजली पर खर्च किए गए वेतन का कुल प्रतिशत है: 20% + 10% + 14% + 18% = 62%

शेष शेष राशि का प्रतिनिधित्व करने वाला प्रतिशत है: 100% - 62% = 38%

चूंकि 38% का यह शेष शेष ₹1,520 के बराबर है, हम कुल वेतन की गणना इस प्रकार करते हैं: S का 38% = 1,520 (38 / 100) × S = 1,520 S = (1,520 × 100) / 38 S = 40 × 100 S = 4,000

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: A = P(1 + r/100)ⁿ

मूलधन P को दोगुना करने के लिए, राशि A, 2P हो जाती है: 2P = P(1 + 26/100)ⁿ 2 = (1.26)ⁿ

दोगुनी होने के समय का पता लगाने का सबसे तेज़ तरीका नियम 72 शॉर्टकट है: दोगुनी होने का समय ≈ 72 ÷ ब्याज दर दोगुनी होने का समय ≈ 72 ÷ 26 ≈ 2.77 वर्ष

हम सीधे 1.26 की घातों की गणना भी कर सकते हैं: 1.26¹ = 1.26 1.26² = 1.5876 1.26³ = 2.000376 ≈ 2

यह पुष्टि करता है कि निवेशित धनराशि लगभग 3 वर्षों में दोगुनी हो जाती है।

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में जलयान की गति x किमी/घंटा है और नदी की गति y किमी/घंटा है।

प्रवाह की दिशा में गति (डाउनस्ट्रीम) नदी के बहाव के साथ की गति है: x + y = 32 किमी / 4 घंटे = 8 किमी/घंटा

प्रवाह की विपरीत दिशा में गति (अपस्ट्रीम) नदी के बहाव के विपरीत की गति है: x - y = 10 किमी / 5 घंटे = 2 किमी/घंटा

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 10 x = 5 किमी/घंटा

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: 2y = 6 y = 3 किमी/घंटा

व्याख्या

समान आगे और वापसी दूरी वाली गोल यात्रा के लिए औसत गति का सूत्र 2xy/(x + y) है, जहाँ x और y दो गतियाँ हैं। सूत्र में x = 66 किमी/घंटा और y = 92.4 किमी/घंटा रखने पर (2 * 66 * 92.4) / (66 + 92.4) = 12196.8 / 158.4 = 77 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो मित्रों की वर्तमान आयु 7x और 9x है। समस्या के अनुसार, 10 वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात (7x + 10) / (9x + 10) = 19 / 23 होगा, जिससे x = 4 प्राप्त होता है। अतः, उनकी वर्तमान आयु 28 और 36 वर्ष है, जिससे वर्तमान औसत आयु 32 वर्ष प्राप्त होती है। इसलिए, अब से 7 वर्ष बाद उनकी औसत आयु 32 + 7 = 39 वर्ष होगी।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: यदि x - 1/x = k है, तो दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x² + 1/x² = k² + 2 प्राप्त होता है।

k = 11 रखने पर: x² + 1/x² = 11² + 2 = 121 + 2 = 123

इस समीकरण का पुनः वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = 123² x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 15129 x⁴ + 1/x⁴ = 15129 - 2 = 15127

व्याख्या

छूट के बाद किसी वस्तु का विक्रय मूल्य निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अंकित मूल्य = ₹2,900 छूट = 37%

विक्रय मूल्य = 2900 × (1 - 37 / 100) विक्रय मूल्य = 2900 × 0.63 विक्रय मूल्य = 29 × 63 = 1827

व्याख्या

गोले का आयतन V = (4/3) × π × r³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

दिया गया है कि गोले का व्यास 16.8 सेमी है, तो त्रिज्या r है: r = 16.8 ÷ 2 = 8.4 सेमी

π = 22/7 के साथ सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (4/3) × (22/7) × 8.4 × 8.4 × 8.4 V = 4 × 22 × (8.4 ÷ 3) × (8.4 ÷ 7) × 8.4 V = 88 × 2.8 × 1.2 × 8.4 V = 246.4 × 10.08 V = 2483.712 सेमी³

व्याख्या

एक बेलन का आयतन V सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

मान लीजिए दो बेलनों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं, और उनकी ऊँचाइयाँ h₁ और h₂ हैं। उनके आयतनों V₁/V₂ का अनुपात है:

V₁/V₂ = (π × r₁² × h₁) / (π × r₂² × h₂) V₁/V₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂)

दिए गए अनुपातों r₁/r₂ = 2/3 और h₁/h₂ = 5/3 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

V₁/V₂ = (2/3)² × (5/3) V₁/V₂ = (4/9) × (5/3) V₁/V₂ = 20/27

व्याख्या

औसत गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

पूरी यात्रा के दौरान तय की गई कुल दूरी दो खंडों का योग है: कुल दूरी = 10 किमी + 12 किमी = 22 किमी

पहले खंड के लिए लिया गया समय है: t₁ = 10 किमी / 12 किमी/घंटा = 5/6 घंटे

दूसरे खंड के लिए लिया गया समय है: t₂ = 12 किमी / 10 किमी/घंटा = 6/5 घंटे

यात्रा के लिए कुल समय है: कुल समय = 5/6 + 6/5 = (25 + 36) / 30 = 61/30 घंटे

औसत गति सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: औसत गति = 22 / (61/30) = (22 × 30) / 61 = 660 / 61 ≈ 10.82 किमी/घंटा

यह लगभग 10.8 किमी/घंटा की औसत गति देता है।

व्याख्या

व्यापारिक छूट के बाद मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - व्यापारिक छूट प्रतिशत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: व्यापारिक छूट के बाद मूल्य = 35600 × (1 - 0.10) = 35600 × 0.90 = ₹32,040

नकद छूट = व्यापारिक छूट के बाद मूल्य - अंतिम विक्रय मूल्य नकद छूट = 32040 - 30000 = ₹2,040

नकद छूट प्रतिशत = (नकद छूट / व्यापारिक छूट के बाद मूल्य) × 100 नकद छूट प्रतिशत = (2040 / 32040) × 100 = (17 / 267) × 100 ≈ 6.367%

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 6.37% प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए A और B के हिस्से क्रमशः 4x और 5x से दर्शाए जाते हैं।

उनके हिस्सों में अंतर 10 कंचे दिया गया है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5x - 4x = 10 x = 10

A का हिस्सा 4x है, जो बराबर है: 4 × 10 = 40

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx

इस सर्वसमिका की तुलना दी गई व्यंजक 16a² + 4b² + 9c² - 16ab + 12bc - 24ca से करने पर: x² = 16a² जिससे x = ±4a प्राप्त होता है y² = 4b² जिससे y = ±2b प्राप्त होता है z² = 9c² जिससे z = ±3c प्राप्त होता है

प्रत्येक पद का चिन्ह तिर्यक गुणनफल पदों के चिन्ह से निर्धारित किया जा सकता है: पद -16ab ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि x और y के विपरीत चिन्ह हैं। पद 12bc धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि y और z के समान चिन्ह हैं। पद -24ca ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि z और x के विपरीत चिन्ह हैं।

x = 4a चुनकर, y का विपरीत चिन्ह होना चाहिए, जिससे y = -2b प्राप्त होता है। चूँकि z का चिन्ह y के समान है, z = -3c।

इन मानों को सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (4a - 2b - 3c)² = (4a)² + (-2b)² + (-3c)² + 2(4a)(-2b) + 2(-2b)(-3c) + 2(-3c)(4a) = 16a² + 4b² + 9c² - 16ab + 12bc - 24ca

व्याख्या

वेतन और करों पर वार्षिक औसत व्यय के बीच धनात्मक अंतर ज्ञात करने के लिए, हम पहले 2016 से 2020 तक पाँच-वर्षीय अवधि में इन दोनों श्रेणियों के लिए औसत व्यय की गणना करते हैं।

सबसे पहले, वेतन पर कुल व्यय की गणना करें: कुल वेतन = 332 + 368 + 444 + 480 + 516 = 2140 लाख औसत वेतन = 2140 / 5 = 428 लाख

इसके बाद, करों पर कुल व्यय की गणना करें: कुल कर = 102 + 128 + 88 + 96 + 116 = 530 लाख औसत कर = 530 / 5 = 106 लाख

अब, दो औसत के बीच धनात्मक अंतर की गणना करें: अंतर = 428 - 106 = 322 लाख

व्याख्या

दिया गया व्यंजक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका के रूप में है:

(a³ + b³ + c³ - 3abc) / (a² + b² + c² - ab - bc - ca)

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

अंश को हर से विभाजित करने पर व्यंजक सीधे सरल हो जाता है:

a + b + c

दिए गए मानों a = 2.01, b = 39.75, और c = 28.24 को प्रतिस्थापित करने पर:

a + b + c = 2.01 + 39.75 + 28.24 = 70

व्याख्या

दो त्रिभुजों के बीच सही समरूपता संबंध ज्ञात करने के लिए, हम संगत भुजाओं के दिए गए अनुपात का विश्लेषण करके उनके शीर्षों के बीच एक-से-एक संगति स्थापित करते हैं: PX/ER = ZX/RF = PZ/EF।

अनुपातों PX/ER = ZX/RF की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि अंशों में उभयनिष्ठ शीर्ष X है, और हरों में उभयनिष्ठ शीर्ष R है। इसका मतलब है कि शीर्ष X, शीर्ष R के संगत है।

अनुपातों PX/ER = PZ/EF की तुलना करने पर, अंशों में उभयनिष्ठ शीर्ष P है, और हरों में उभयनिष्ठ शीर्ष E है। इसका मतलब है कि शीर्ष P, शीर्ष E के संगत है।

अनुपातों ZX/RF = PZ/EF की तुलना करने पर, अंशों में उभयनिष्ठ शीर्ष Z है, और हरों में उभयनिष्ठ शीर्ष F है। इसका मतलब है कि शीर्ष Z, शीर्ष F के संगत है।

इन शीर्ष संगतियों को मिलाकर, हमें P ↔ E, X ↔ R, और Z ↔ F प्राप्त होता है। इसलिए, त्रिभुज PXZ, त्रिभुज ERF के समरूप है, जिसे ΔPXZ ~ ΔERF के रूप में लिखा जाता है।

व्याख्या

a भुजा वाले घन के विकर्ण की लंबाई का सूत्र d = a√3 है। इसे दिए गए विकर्ण के बराबर करने पर:

a√3 = 8√3 a = 8 सेमी

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र S = 6a² है। भुजा की लंबाई प्रतिस्थापित करने पर:

S = 6 × 8² S = 6 × 64 S = 384 सेमी²

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, कोसेकेंट फलन साइन फलन का व्युत्क्रम होता है, जिसे csc 18° = 1 / sin 18° के रूप में व्यक्त किया जाता है।

sin 18° = (√5 - 1)/4 का दिया गया मान सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

csc 18° = 4 / (√5 - 1)

इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी, जो कि √5 + 1 है, से गुणा करें:

csc 18° = (4 × (√5 + 1)) / ((√5 - 1) × (√5 + 1))

हर में बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² लागू करने पर:

csc 18° = 4(√5 + 1) / ((√5)² - 1²)

csc 18° = 4(√5 + 1) / (5 - 1)

csc 18° = 4(√5 + 1) / 4

csc 18° = √5 + 1

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का उपयोग करके व्यंजक का मूल्यांकन:

पहले कोष्ठक के लिए, (7 + 8 - 9 ÷ 3 × 2), पहले भाग करें: 9 ÷ 3 = 3

अगला, गुणा करें: 3 × 2 = 6

अब जोड़ और घटाव का मूल्यांकन करें: 7 + 8 - 6 = 9

दूसरे कोष्ठक के लिए, [52 - 4 of 5 + 4 × 7], पहले "of" (का) संक्रिया करें: 4 of 5 = 20

अगला, गुणा करें: 4 × 7 = 28

अब जोड़ और घटाव का मूल्यांकन करें: 52 - 20 + 28 = 60

दोनों कोष्ठकों के मानों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 9 + 60 = 69

व्याख्या

कुल कार्य 12, 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है।

जोड़ियों की दैनिक कार्य दरें हैं: (P + Q) की दर = 60 / 12 = 5 इकाई प्रति दिन (Q + R) की दर = 60 / 15 = 4 इकाई प्रति दिन (R + P) की दर = 60 / 20 = 3 इकाई प्रति दिन

इन दरों को एक साथ जोड़ने पर: 2 × (P + Q + R) = 5 + 4 + 3 = 12 इकाई प्रति दिन P + Q + R = 6 इकाई प्रति दिन

(P + Q + R) की संयुक्त दर से (Q + R) की दर घटाने पर P की व्यक्तिगत दर प्राप्त होती है: P की दर = (P + Q + R) - (Q + R) = 6 - 4 = 2 इकाई प्रति दिन

P द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया कुल दिनों की संख्या है: समय = कुल कार्य / P की दर = 60 / 2 = 30 दिन

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में व्यक्ति की गति u = 6 किमी/घंटा है और धारा की गति v किमी/घंटा है।

धारा के साथ व्यक्ति की गति u + v है, और धारा के विपरीत गति u - v है।

चूंकि तय की गई दूरी समान है, और धारा के विपरीत तैरने में लिया गया समय धारा के साथ तैरने में लिए गए समय का तीन गुना है, इसलिए समान दूरी के लिए गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए धारा के साथ गति धारा के विपरीत गति की तीन गुना होनी चाहिए।

u + v = 3(u - v)

u = 6 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

6 + v = 3(6 - v) 6 + v = 18 - 3v 4v = 12 v = 3 किमी/घंटा

धारा के साथ तैरते समय व्यक्ति की गति है:

धारा के साथ गति = u + v = 6 + 3 = 9 किमी/घंटा।

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर है, जिसका अर्थ है कि पुरुषों की संख्या और दिनों की संख्या के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती है। इसे सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

M₁ × D₁ = M₂ × D₂

जहाँ M₁ और M₂ पुरुषों की संख्या हैं, और D₁ और D₂ दिनों की संख्या हैं।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

30 × 7 = 21 × D₂

210 = 21 × D₂

D₂ = 210 / 21 = 10 दिन

व्याख्या

बोतल के अंकित मूल्य पर क्रमिक छूट 15% और 35% है। अंकित मूल्य (MP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच क्रमिक छूट d₁ और d₂ के साथ संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

1547 = MP × (1 - 15/100) × (1 - 35/100)

1547 = MP × 85/100 × 65/100

भिन्नों को उनके निम्नतम पदों में सरल करने पर:

1547 = MP × 17/20 × 13/20

1547 = MP × 221/400

MP के लिए हल करने पर:

MP = (1547 × 400) / 221

1547 को 13 से विभाजित करने पर 119 आता है, और 119 को 17 से विभाजित करने पर 7 आता है। इसलिए:

MP = 7 × 400

MP = 2800

व्याख्या

मान लीजिए 10 पारियों के बाद बल्लेबाज का औसत स्कोर x है।

पहली 10 पारियों में बनाए गए कुल रन 10x हैं। अपनी 11वीं पारी में 88 रन बनाने के बाद, उसके कुल रन 10x + 88 हो जाते हैं, और उसका नया औसत 4 बढ़ जाता है, जो x + 4 हो जाता है।

हम नए औसत के लिए समीकरण इस प्रकार स्थापित कर सकते हैं: (10x + 88) / 11 = x + 4

दोनों पक्षों को 11 से गुणा करने पर: 10x + 88 = 11(x + 4) 10x + 88 = 11x + 44

x के लिए हल करने पर: 11x - 10x = 88 - 44 x = 44

10 पारियों के बाद औसत 44 था। 11वीं पारी के बाद नया औसत x + 4 = 44 + 4 = 48 है।

वैकल्पिक रूप से, एक शॉर्टकट का उपयोग करके: 11 पारियों में प्रति पारी 4 रन की वृद्धि के लिए 11 × 4 = 44 अतिरिक्त रनों की आवश्यकता होती है। उसके 11वीं पारी के स्कोर से इन अतिरिक्त रनों को घटाने पर उसका पिछला औसत प्राप्त होता है: 88 - 44 = 44

11वीं पारी के बाद नए औसत को प्राप्त करने के लिए औसत वृद्धि 4 रन जोड़ें: 44 + 4 = 48

व्याख्या

सबसे पहले, कुल वैध मतों की संख्या की गणना करें। चूँकि 30% मत अवैध थे, वैध मत कुल मतों का 70% होंगे।

कुल वैध मत = 7500 का 70% = 0.70 × 7500 = 5250

एक उम्मीदवार को इन वैध मतों का 40% प्राप्त हुआ। इसका मतलब है कि दूसरे उम्मीदवार को शेष 60% वैध मत प्राप्त हुए।

दूसरे उम्मीदवार द्वारा प्राप्त वैध मत = 5250 का 60% = 0.60 × 5250 = 3150

यह सीधे दूसरे उम्मीदवार द्वारा प्राप्त वैध मतों की आवश्यक संख्या देता है।

व्याख्या

वांछित प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले शनिवार और रविवार को बेकरी C द्वारा बेचे गए केक की कुल संख्या की गणना करते हैं। तालिका के अनुसार, बेकरी C ने शनिवार को 195 केक और रविवार को 235 केक बेचे।

शनिवार और रविवार को बेकरी C द्वारा बेचे गए कुल केक = 195 + 235 = 430

इसके बाद, हम मंगलवार को बेकरी E द्वारा बेचे गए केक की संख्या ज्ञात करते हैं। तालिका से, बेकरी E ने मंगलवार को 325 केक बेचे।

अब, हम सूत्र का उपयोग करके प्रतिशत की गणना करते हैं:

प्रतिशत = (शनिवार और रविवार को बेकरी C द्वारा बेचे गए केक / मंगलवार को बेकरी E द्वारा बेचे गए केक) × 100

प्रतिशत = (430 / 325) × 100

प्रतिशत = (86 / 65) × 100

प्रतिशत ≈ 1.323 × 100 ≈ 132.3%

यह लगभग 132% के बराबर है।

व्याख्या

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂

दिए गए क्षेत्रफल 48 सेमी² और विकर्ण d₁ = 8 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 48 = ½ × 8 × d₂ 48 = 4 × d₂ d₂ = 12 सेमी

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे समचतुर्भुज चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है। प्रत्येक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ विकर्ण की आधी होती हैं: d₁/2 = 8/2 = 4 सेमी d₂/2 = 12/2 = 6 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, समचतुर्भुज की भुजा (s) इन समकोण त्रिभुजों का कर्ण होती है: s² = (d₁/2)² + (d₂/2)² s² = 4² + 6² s² = 16 + 36 s² = 52 s = √52 = 2√13 सेमी

व्याख्या

डीलर ₹40 प्रति किग्रा की दर से चीनी बेचता है, यह दावा करते हुए कि उसे ₹5 प्रति किग्रा का घाटा हो रहा है। इसका मतलब है कि 1 किग्रा (1000 ग्राम) चीनी का वास्तविक क्रय मूल्य (CP) है: 1000 ग्राम का CP = ₹40 + ₹5 = ₹45

हालांकि, डीलर दोषपूर्ण वजन का उपयोग करता है और 1000 ग्राम के बजाय केवल 800 ग्राम देता है। ग्राहक को दिए गए 800 ग्राम का वास्तविक क्रय मूल्य है: 800 ग्राम का CP = (₹45 / 1000) × 800 = ₹36

डीलर इस मात्रा के लिए ग्राहक से ₹40 लेता है, जिसका अर्थ है कि 800 ग्राम के लिए उसका वास्तविक विक्रय मूल्य (SP) ₹40 है।

चूंकि वास्तविक विक्रय मूल्य वास्तविक क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए उसे लाभ होता है। वास्तविक लाभ = SP - CP = ₹40 - ₹36 = ₹4

लाभ प्रतिशत = (वास्तविक लाभ / दिए गए मात्रा का CP) × 100 लाभ प्रतिशत = (4 / 36) × 100 = (1 / 9) × 100 = 11 1/9%

व्याख्या

किसी संख्या के 6 से विभाज्य होने के लिए, उसे 2 और 3 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

2 से विभाज्यता संतुष्ट है क्योंकि 5132832 का इकाई अंक 2 है, जो सम है।

3 से विभाज्यता संतुष्ट है क्योंकि संख्या के अंकों का योग 5 + 1 + 3 + 2 + 8 + 3 + 2 = 24 है, जो 3 का गुणज है।

चूंकि संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, इसलिए यह 6 से विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए आयत की लंबाई L और चौड़ाई W है।

आयत की परिधि 46 सेमी दी गई है: 2(L + W) = 46 L + W = 23

आयत का विकर्ण 17 सेमी दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: L² + W² = 17² L² + W² = 289

हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (L + W)² = L² + W² + 2LW

(L + W) और (L² + W²) के मानों को प्रतिस्थापित करें: 23² = 289 + 2LW 529 = 289 + 2LW 2LW = 529 - 289 2LW = 240 LW = 120

चूंकि आयत का क्षेत्रफल L × W द्वारा दिया जाता है, इसलिए क्षेत्रफल 120 सेमी² है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² - (a - b)² = 4ab

दिए गए मानों (a + b) = 8 और (a - b) = 6 को प्रतिस्थापित करने पर: 8² - 6² = 4ab 64 - 36 = 4ab 28 = 4ab ab = 7

व्याख्या

किसी डेटासेट का औसत, सभी मानों के योग को मानों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।

आँकड़ों का योग = 1.2 + 1.7 + 3 + 4.8 + 10.5 + 17.3 + 24.5 = 63

अवलोकनों की कुल संख्या = 7

औसत = 63 ÷ 7 = 9

व्याख्या

मान लीजिए घड़ी का अंकित मूल्य MP है।

20% और 20% की दो क्रमिक छूट के लिए समतुल्य छूट की गणना क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करके की जाती है: समतुल्य छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 समतुल्य छूट = 20 + 20 - (20 × 20)/100 = 36%

चूंकि कुल छूट 36% है, विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 64% है: MP का 64% = 640 (64/100) × MP = 640 MP = 640 × (100/64) MP = 1000

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत वर्तमान मूल्य और भविष्य की राशि के बीच संबंध स्थापित करने वाला सूत्र है: A = PV × (1 + r/100)ⁿ

यहाँ: A = देय राशि = ₹ 484 r = ब्याज दर = 10% प्रति वर्ष n = समयावधि = 2 वर्ष PV = वर्तमान मूल्य

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 484 = PV × (1 + 10/100)² 484 = PV × (1.1)² 484 = PV × 1.21 PV = 484 / 1.21 PV = 400

व्याख्या

पूरी यात्रा की औसत गति का सूत्र है: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

A से B तक पहले खंड के लिए: गति = 60 किमी/घंटा समय = 3 घंटे दूरी = गति × समय = 60 × 3 = 180 किमी

B से C तक दूसरे खंड के लिए: गति = 60 + (60 का 50%) = 90 किमी/घंटा समय = 2 घंटे दूरी = गति × समय = 90 × 2 = 180 किमी

समग्र यात्रा विवरण की गणना: कुल दूरी = 180 + 180 = 360 किमी कुल समय = 3 + 2 = 5 घंटे

औसत गति = 360 / 5 = 72 किमी/घंटा

व्याख्या

डाले गए वोटों की कुल संख्या 1,89,000 है। चूँकि चौथे उम्मीदवार को 18,000 वोट मिले, राष्ट्रीय दलों के तीन उम्मीदवारों द्वारा डाले गए कुल वोट हैं:

1,89,000 - 18,000 = 1,71,000

इन तीन उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त वोट 2:3:4 के अनुपात में हैं। मान लीजिए उनके वोटों को 2x, 3x, और 4x के रूप में दर्शाया गया है।

उनके वोटों का योग है: 2x + 3x + 4x = 9x

इसे संयुक्त वोटों के बराबर करने पर: 9x = 1,71,000 x = 1,71,000 ÷ 9 = 19,000

तीन उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त वोट हैं: पहला उम्मीदवार: 2 × 19,000 = 38,000 दूसरा उम्मीदवार: 3 × 19,000 = 57,000 तीसरा उम्मीदवार: 4 × 19,000 = 76,000

व्याख्या

एक खरीदें, एक मुफ्त पाएं योजना के तहत, ग्राहक को दो वस्तुएं मिलती हैं लेकिन केवल एक का भुगतान करना पड़ता है। प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना मुफ्त वस्तुओं की संख्या को वस्तुओं की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (1 / 2) × 100 = 50%

चूंकि यह योजना 50% की प्रभावी छूट प्रदान करती है, जो अन्य सभी योजनाओं की प्रभावी छूट से अधिक है, यह ग्राहक के लिए सबसे फायदेमंद विकल्प है।

व्याख्या

तेज ट्रेन को धीमी ट्रेन को पूरी तरह से पार करने में लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम सापेक्ष गति और कुल दूरी की अवधारणाओं का उपयोग करते हैं।

जब एक ट्रेन दूसरी ट्रेन को पूरी तरह से पार करती है तो तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग होती है: दूरी = 640 + 540 = 1180 मीटर

चूंकि दोनों ट्रेनें एक ही दिशा में यात्रा कर रही हैं, उनकी सापेक्ष गति उनकी गति के बीच का अंतर है: सापेक्ष गति = 80 - 72 = 8 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को 5/18 से गुणा करके किमी/घंटा से मी/से में बदलें: सापेक्ष गति = 8 × 5/18 = 20/9 मी/से

सूत्र का उपयोग करके: समय = दूरी / सापेक्ष गति

मानों को प्रतिस्थापित करें: समय = 1180 / (20/9) = (1180 × 9) / 20 = 59 × 9 = 531 सेकंड

531 सेकंड को मिनट और सेकंड में बदलें: 531 सेकंड = 8 मिनट और 51 सेकंड

व्याख्या

विजेता उम्मीदवार के लिए डाले गए वैध मतों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले वैध मतों की कुल संख्या निर्धारित करते हैं।

मतदाताओं की कुल संख्या 3,20,000 है। चूँकि कुल मतों का 5% अवैध घोषित कर दिया गया है, वैध मतों का प्रतिशत है: 100% - 5% = 95%

इस प्रकार, वैध मतों की कुल संख्या है: 3,20,000 का 95% = (95/100) × 3,20,000 = 3,04,000

विजेता उम्मीदवार को इन वैध मतों का 56% प्राप्त हुआ। इसलिए, विजेता द्वारा प्राप्त वैध मतों की संख्या है: 3,04,000 का 56% = (56/100) × 3,04,000 = 56 × 3,040 = 1,70,240

व्याख्या

माना x = √(2 + √3) + √(2 - √3)।

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, (a + b)² = a² + b² + 2ab सर्वसमिका का प्रयोग करते हुए: x² = (2 + √3) + (2 - √3) + 2 × √((2 + √3)(2 - √3))

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का प्रयोग करके पदों को सरल बनाने पर: x² = 4 + 2 × √(2² - (√3)²) x² = 4 + 2 × √(4 - 3) x² = 4 + 2 × √1 x² = 6

चूंकि x दो धनात्मक वर्गमूलों का योग है, यह धनात्मक होना चाहिए। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x = √6

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम लागू करते हैं, जो कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के क्रम को निर्देशित करता है।

सबसे पहले, हम कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल करते हैं: 4/3 + 5/3 का 6/25 चूंकि 'का' जोड़ से अधिक प्राथमिकता वाली गुणा का प्रतिनिधित्व करता है, हम गणना करते हैं: 5/3 का 6/25 = 5/3 × 6/25 = 2/5 अब, हम जोड़ करते हैं: 4/3 + 2/5 = (20 + 6)/15 = 26/15

अगला, हम वर्ग कोष्ठकों के अंदर व्यंजक को सरल करते हैं: 8 5/9 + 26/15 मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलना: 8 5/9 = (8 × 9 + 5)/9 = 77/9 9 और 15 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करते हुए, जो 45 है, हमें मिलता है: 77/9 + 26/15 = 385/45 + 78/45 = 463/45

अब, हम व्यंजक के पहले भाग का मूल्यांकन करते हैं: 6/5 ÷ 6/5 का 6/5 × 5/6 पहले 'का' का मूल्यांकन: 6/5 का 6/5 = 36/25 अगला भाग का मूल्यांकन: 6/5 ÷ 36/25 = 6/5 × 25/36 = 5/6 गुणा का मूल्यांकन: 5/6 × 5/6 = 25/36

फिर, हम व्यंजक के दूसरे भाग का मूल्यांकन करते हैं: 9/4 ÷ 4/5 का 15/2 पहले 'का' का मूल्यांकन: 4/5 का 15/2 = (4 × 15)/(5 × 2) = 60/10 = 6 भाग का मूल्यांकन: 9/4 ÷ 6 = 9/4 × 1/6 = 3/8

सभी परिकलित भागों को एक साथ जोड़ना: 25/36 + 3/8 - 463/45 36, 8 और 45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 360 है। हम प्रत्येक भिन्न को 360 के सामान्य भाजक में बदलते हैं: 25/36 = 250/360 3/8 = 135/360 463/45 = 3704/360

अब, हम अंतिम जोड़ और घटाव की गणना करते हैं: 250/360 + 135/360 - 3704/360 = (250 + 135 - 3704)/360 = (385 - 3704)/360 = -3319/360 = -9 79/360

व्याख्या

छह-तरफा पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं।

इन अभाज्य परिणामों के लिए तालिका में दी गई आवृत्तियों का उपयोग करते हुए: 2 प्राप्त करने की आवृत्ति = 43 3 प्राप्त करने की आवृत्ति = 33 5 प्राप्त करने की आवृत्ति = 10

एक अभाज्य संख्या के कुल बार आने की संख्या ज्ञात करने के लिए, इन व्यक्तिगत आवृत्तियों का योग करें: कुल बार = 43 + 33 + 10 = 86

व्याख्या

कोई संख्या 55 से विभाज्य होती है यदि वह 5 और 11 दोनों से विभाज्य हो। चूँकि 185625 का अंतिम अंक 5 है, इसलिए यह 5 से विभाज्य है।

11 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए, हम विषम स्थानों के अंकों के योग और सम स्थानों के अंकों के योग के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं। संख्या 185625 के लिए:

विषम स्थानों के अंकों का योग = 1 + 5 + 2 = 8 सम स्थानों के अंकों का योग = 8 + 6 + 5 = 19

इन योगों के बीच का अंतर 19 - 8 = 11 है। चूँकि यह अंतर 11 का गुणज है, इसलिए संख्या 185625, 11 से विभाज्य है। परिणामस्वरूप, यह 55 से विभाज्य है।