एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए दो व्यक्तियों की मासिक आय क्रमशः 4x और 5x है।

चूंकि दोनों व्यक्ति ₹50 प्रति माह बचाते हैं, इसलिए उनके व्यय क्रमशः 4x - 50 और 5x - 50 हैं।

उनके व्यय का अनुपात 7:9 दिया गया है। समीकरण स्थापित करना:

(4x - 50) / (5x - 50) = 7/9

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

9 × (4x - 50) = 7 × (5x - 50)

36x - 450 = 35x - 350

दोनों पक्षों से 35x घटाने और दोनों पक्षों में 450 जोड़ने पर:

x = 100

x का मान आय पदों में वापस रखने पर:

पहले व्यक्ति की आय = 4 × 100 = 400 दूसरे व्यक्ति की आय = 5 × 100 = 500

व्याख्या

1992 के पहले छह महीनों के दौरान कंपनी द्वारा उत्पादित सभी चार प्रकार के स्कूटरों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम छह महीनों में से प्रत्येक के लिए दी गई कुल उत्पादन मानों को जोड़ते हैं:

कुल उत्पादन = जनवरी + फरवरी + मार्च + अप्रैल + मई + जून

तालिका से मासिक कुल मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

कुल उत्पादन = 100 + 105 + 108 + 110 + 110 + 90 कुल उत्पादन = 623

व्याख्या

मान लीजिए कि 2000 में देश की जनसंख्या P₀ थी।

जनसंख्या प्रत्येक दशक में 1% (r = 0.01) की दर से घटती है। 2000 से 2030 तक की समयावधि 30 वर्ष है, जो ठीक 3 दशकों (n = 3) के बराबर है।

n दशकों के बाद जनसंख्या चक्रवृद्धि ह्रास सूत्र द्वारा दी जाती है: P_n = P₀ × (1 - r)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1940598 = P₀ × (1 - 0.01)³ 1940598 = P₀ × (0.99)³

(0.99)³ की गणना करने पर: (0.99)³ = 0.970299

P₀ के लिए हल करने पर: P₀ = 1940598 ÷ 0.970299 P₀ = 2000000

व्याख्या

मशीन की कुल लागत मूल्य (CP) में खरीद लागत और मरम्मत व्यय दोनों शामिल हैं: CP = ₹2000 + ₹500 = ₹2500

विक्रय मूल्य (SP) है: SP = ₹4000

बिक्री पर हुआ लाभ है: लाभ = SP - CP = ₹4000 - ₹2500 = ₹1500

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 लाभ प्रतिशत = (1500 / 2500) × 100 = 60%

व्याख्या

l, b, और h लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाले घनाभ के विकर्ण की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

विकर्ण = √(l² + b² + h²)

घनाभ के दिए गए आयामों, l = 20 मीटर, b = 5 मीटर, और h = 4 मीटर को प्रतिस्थापित करने पर:

विकर्ण = √(20² + 5² + 4²) विकर्ण = √(400 + 25 + 16) विकर्ण = √441 विकर्ण = 21 मीटर

व्याख्या

एक आयताकार डिब्बे का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई

सबसे पहले, डिब्बे के आयामों को इंच से फुट में बदलें: लंबाई = 48/12 = 4 फुट चौड़ाई = 27/12 = 2.25 फुट

आयतन सूत्र का उपयोग करके: 22.5 = 4 × 2.25 × ऊंचाई 22.5 = 9 × ऊंचाई ऊंचाई = 22.5/9 = 2.5 फुट

ऊंचाई को वापस इंच में बदलें: ऊंचाई = 2.5 × 12 = 30 इंच

व्याख्या

भारित औसत सूत्र के अनुसार, मिश्रण की कुल लागत उसके व्यक्तिगत घटकों की लागत का योग होती है: (W₁ × P₁) + (W₂ × P₂) = (W₁ + W₂) × P_m

जहाँ W₁ और W₂ दो प्रकार के गेहूं का भार हैं, P₁ और P₂ उनके प्रति किलोग्राम मूल्य हैं, और P_m अंतिम मिश्रण का प्रति किलोग्राम मूल्य है।

दिया गया है: W₁ = 5 किग्रा, P₁ = ₹18 W₂ = 2 किग्रा P_m = ₹20

मान लीजिए P₂ अधिक महंगी गेहूं का प्रति किलोग्राम मूल्य है: (5 × 18) + (2 × P₂) = (5 + 2) × 20 90 + 2P₂ = 7 × 20 90 + 2P₂ = 140 2P₂ = 50 P₂ = 25

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका का उपयोग करके, cot θ = tan(90° - θ)।

θ = 15° के लिए: cot 15° = tan(90° - 15°) = tan 75°

चूंकि tan 75° = 1 / cot 75° है, दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें: cot 15° = 1 / (2 - √3)

सरल करने के लिए, संयुग्मी 2 + √3 से अंश और हर को गुणा करके हर का परिमेयकरण करें: cot 15° = (2 + √3) / ((2 - √3)(2 + √3)) cot 15° = (2 + √3) / (2² - (√3)²) cot 15° = (2 + √3) / (4 - 3) cot 15° = 2 + √3

व्याख्या

मान लीजिए बिजली बिल की राशि x है।

प्राप्त छूट बिल राशि का 5% है, जो ₹20 दी गई है। प्रतिशत संबंध का उपयोग करके:

x का 5% = 20

(5 / 100) × x = 20

x = (20 × 100) / 5

x = 400

व्याख्या

जब छूट प्रतिशत (D) और लाभ प्रतिशत (P) ज्ञात हो तो क्रय मूल्य (CP) और मुद्रित मूल्य (MP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

CP / MP = (100 - D) / (100 + P)

D = 10 और P = 12 के दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP / MP = (100 - 10) / (100 + 12)

CP / MP = 90 / 112

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर 45/56 प्राप्त होता है, जो 45:56 के अनुपात को दर्शाता है।

व्याख्या

चूंकि पुलिसकर्मी और चोर पीछा समाप्त होने तक ठीक समान अवधि के लिए दौड़ते हैं, इसलिए प्रत्येक द्वारा तय की गई दूरी उनकी संबंधित गति के सीधे आनुपातिक होती है।

पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी का चोर द्वारा तय की गई दूरी से अनुपात = उनकी गति का अनुपात = 13 : 11

मान लीजिए पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 13x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 11x है। इन दूरियों के बीच का अंतर प्रारंभिक अंतर 225 मीटर है: 13x - 11x = 225 2x = 225 x = 112.5 मीटर

पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा तय की गई दूरी है: 11x = 11 × 112.5 = 1237.5 मीटर

व्याख्या

3 की विभाज्यता के नियम के अनुसार, कोई संख्या 3 से पूरी तरह विभाज्य होती है यदि उसके अलग-अलग अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

संख्या 7345932 के लिए, अंकों का योग है: 7 + 3 + 4 + 5 + 9 + 3 + 2 = 33

चूंकि 33, 3 का गुणज है (3 × 11 = 33), इसलिए संख्या 7345932, 3 से विभाज्य है।

व्याख्या

₹P की मूल राशि पर प्रति वर्ष r% की चक्रवृद्धि ब्याज दर पर n वर्षों के बाद की राशि A का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

A = P(1 + r/100)ⁿ

2 वर्षों और 3 वर्षों के लिए दिए गए मानों का उपयोग करके:

10,890 = P(1 + r/100)²

11,979 = P(1 + r/100)³

3 वर्षों के समीकरण को 2 वर्षों के समीकरण से विभाजित करने पर एक वर्ष का गुणक प्राप्त होता है:

1 + r/100 = 11,979 / 10,890 1 + r/100 = 1.1

इस मान को 2 वर्षों के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

P × (1.1)² = 10,890 P × 1.21 = 10,890 P = 10,890 / 1.21 P = 9,000

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = ½(x + y + z)[(x - y)² + (y - z)² + (z - x)²]

इस सूत्र में दिए गए मान x = 32, y = 33, और z = 35 को प्रतिस्थापित करने पर:

सबसे पहले, चर का योग ज्ञात करें: x + y + z = 32 + 33 + 35 = 100

इसके बाद, वर्गों के अंतर की गणना करें: (x - y)² = (32 - 33)² = (-1)² = 1 (y - z)² = (33 - 35)² = (-2)² = 4 (z - x)² = (35 - 32)² = (3)² = 9

वर्गों के अंतर का योग: 1 + 4 + 9 = 14

इन मानों को सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करें: ½ × 100 × 14 = 50 × 14 = 700

व्याख्या

शिक्षक का वजन सीधे औसत विचलन सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

शिक्षक का वजन = पुराना औसत + (लोगों की नई कुल संख्या × औसत में वृद्धि)

यहां, पुराना औसत 51 किलोग्राम है। जब शिक्षक को शामिल किया जाता है, तो लोगों की कुल संख्या 39 + 1 = 40 हो जाती है, और औसत 51.2 - 51 = 0.2 किलोग्राम बढ़ जाता है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

शिक्षक का वजन = 51 + (40 × 0.2) = 51 + 8 = 59 किलोग्राम।

व्याख्या

वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज के तहत अर्जित राशि का सूत्र है: A = P(1 + R/100)ⁿ

यहाँ, राशि A ₹ 3364 है, ब्याज दर R 16% है, और समय अवधि n 2 वर्ष है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

3364 = P(1 + 16/100)² 3364 = P(1 + 4/25)² 3364 = P(29/25)² 3364 = P × 841/625 P = (3364 × 625) / 841 P = 4 × 625 P = 2500

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 4πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या को दर्शाता है।

दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 वर्ग सेमी को प्रतिस्थापित करते हुए और π का मान 22/7 का उपयोग करते हुए:

4 × (22/7) × r² = 1386

r² को हल करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करना:

r² = (1386 × 7) / (4 × 22)

r² = (63 × 7) / 4

r² = 441 / 4

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

r = √(441 / 4)

r = 21/2

r = 10.5 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - 4ab = (a - b)² का प्रयोग करके, हम a = 957 और b = 932 को प्रतिस्थापित करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं।

यह देता है: (957 - 932)² = 25² = 625

यह सीधे सरलीकृत मान देता है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, सस्ते चावल की मात्रा और महंगे चावल की मात्रा का अनुपात इस प्रकार निकाला जाता है:

अनुपात = (महंगे चावल का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - सस्ते चावल का मूल्य)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = (80 - 75) / (75 - 60) = 5 / 15 = 1 / 3

यह 1:3 के सरल अनुपात में आता है।

व्याख्या

माना योग्य मतदाताओं की कुल संख्या V है।

डाले गए मतों की संख्या = V का 80% = (4/5) × V वैध मतों की संख्या = डाले गए मतों का 95% = (19/20) × (4/5) × V उम्मीदवार द्वारा प्राप्त मतों की संख्या = वैध मतों का 75% = (3/4) × (19/20) × (4/5) × V

हमें दिया गया है कि यह मान 10545 के बराबर है: (3/4) × (19/20) × (4/5) × V = 10545

अंश और हर में 4 को रद्द करने पर: V × (19 × 3) / (20 × 5) = 10545 V × 57 / 100 = 10545 V = (10545 × 100) / 57 V = 185 × 100 = 18500

व्याख्या

A द्वारा पूरा काम करने में लिया गया समय 3 × 5 = 15 दिन है। B द्वारा पूरा काम करने में लिया गया समय 7.5 × 4 = 30 दिन है।

15 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, कुल काम 30 इकाई मान लीजिए। A की दक्षता = 30 / 15 = 2 इकाई प्रति दिन। B की दक्षता = 30 / 30 = 1 इकाई प्रति दिन। A और B की संयुक्त दक्षता = 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन।

पूरे काम का 4/5 भाग पूरा करने के लिए आवश्यक काम की मात्रा है: 4/5 × 30 = 24 इकाई।

A और B द्वारा इस काम को एक साथ पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या: 24 / 3 = 8 दिन।

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 1 ¼ = 5/4 2 ⅗ = 13/5 1 ⁷/₁₃ = 20/13

अब, इन भिन्नों को दिए गए व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (5/4 ÷ 13/5) ÷ 20/13

पहले कोष्ठकों के अंदर संक्रियाएँ करें: 5/4 ÷ 13/5 = 5/4 × 5/13 = 25/52

अगला, परिणाम को शेष भिन्न से विभाजित करें: 25/52 ÷ 20/13 = 25/52 × 13/20

सामान्य पदों को रद्द करके व्यंजक को सरल करें: (25 × 13) / (52 × 20) = (5 × 5 × 13) / (4 × 13 × 4 × 5) = 5 / (4 × 4) = 5/16

व्याख्या

आय व्यय और बचत के योग के बराबर होती है। प्रारंभिक बचत = आय - व्यय = 12,000 - 10,000 = 2,000। व्यय और बचत का अनुपात 10,000 : 2,000 = 5 : 1 है।

प्रतिशत परिवर्तनों के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करके: आय में प्रतिशत वृद्धि = (व्यय का अनुपात × व्यय में प्रतिशत वृद्धि + बचत का अनुपात × बचत में प्रतिशत वृद्धि) / कुल अनुपात

मान लीजिए बचत में प्रतिशत वृद्धि x% है। 12% = (5 × 5% + 1 × x%) / (5 + 1) 12% × 6 = 25% + x% 72% = 25% + x% x% = 47%

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: (a + b)² = a² + b² + 2ab

जहाँ a = x और b = 1/x रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2(x)(1/x) (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2

x² + 1/x² को हल करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2

समीकरण में x + 1/x = 8.5 का दिया गया मान रखने पर: x² + 1/x² = (8.5)² - 2 x² + 1/x² = 72.25 - 2 x² + 1/x² = 70.25

व्याख्या

कॉलेज C के लिए, पाँच विषयों में प्रतिभागियों की संख्या हिंदी में 125, अंग्रेजी में 80, गणित में 250, विज्ञान में 150 और सामान्य ज्ञान में 120 है। परास अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर है। प्रतिभागियों की अधिकतम संख्या 250 है और न्यूनतम संख्या 80 है। इस प्रकार, कॉलेज C से प्रतिभागियों की परास 250 - 80 = 170 है।

कॉलेज E के लिए, पाँच विषयों में प्रतिभागियों की संख्या हिंदी में 112, अंग्रेजी में 105, गणित में 180, विज्ञान में 80 और सामान्य ज्ञान में 183 है। इन प्रतिभागियों का योग 112 + 105 + 180 + 80 + 183 = 660 है। चूँकि 5 विषय हैं, कॉलेज E से प्रति ओलंपियाड औसत प्रतिभागियों की संख्या 660 ÷ 5 = 132 है।

कॉलेज C की परास और कॉलेज E के औसत के बीच आवश्यक अंतर 170 - 132 = 38 है।

व्याख्या

6 छात्रों का कुल वजन औसत वजन सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: कुल वजन = औसत वजन × छात्रों की संख्या कुल वजन = 46 × 6 = 276 किलोग्राम

उन पांच छात्रों के वजन का योग जिन्होंने अपना वजन याद किया है: 50 + 52 + 40 + 44 + 48 = 234 किलोग्राम

छठे छात्र का वजन समूह के कुल वजन और अन्य पांच छात्रों के वजन के योग के बीच का अंतर है: छठे छात्र का वजन = 276 - 234 = 42 किलोग्राम

व्याख्या

किसी संख्या के 22 से विभाज्य होने के लिए, वह 2 और 11 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।

चूंकि 23₄5678 का अंतिम अंक 8 है, इसलिए संख्या सम है और इस प्रकार हमेशा 2 से विभाज्य है।

11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए रिक्त स्थान को अंक x द्वारा दर्शाया गया है।

बाएं से विषम स्थानों पर अंकों का योग = 2 + x + 5 + 7 = 14 + x बाएं से सम स्थानों पर अंकों का योग = 3 + 4 + 6 + 8 = 21

इन योगों के बीच का अंतर (21) - (14 + x) = 7 - x है।

इस अंतर को 11 का गुणज (इस मामले में, 0) बनाने के लिए, हम 7 - x = 0 सेट करते हैं, जिससे x = 7 प्राप्त होता है। चूंकि 7 एक प्राकृतिक संख्या है, यह रिक्त स्थान को भरने के लिए सही मान है।

व्याख्या

मान लीजिए 1 वस्तु का क्रय मूल्य CP है और 1 वस्तु का विक्रय मूल्य SP है।

हमें दिया गया है कि 70 वस्तुओं का क्रय मूल्य 40 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है: 70 × CP = 40 × SP

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात प्राप्त होता है: SP / CP = 70 / 40 = 7 / 4

इसका मतलब है कि यदि क्रय मूल्य 4 इकाई है, तो विक्रय मूल्य 7 इकाई है।

लाभ विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: लाभ = SP - CP = 7 - 4 = 3 इकाई

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 लाभ प्रतिशत = (3 / 4) × 100 = 75%

व्याख्या

मान लीजिए एक वस्तु का विक्रय मूल्य SP है।

हानि के लिए मानक सूत्र है: हानि = कुल क्रय मूल्य - कुल विक्रय मूल्य

80 वस्तुओं के लिए, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: 80 वस्तुओं पर हानि = 80 वस्तुओं का क्रय मूल्य - 80 वस्तुओं का विक्रय मूल्य

हमें दिया गया है कि हानि 6 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है और 80 वस्तुओं का क्रय मूल्य 11,180 है। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 6 × SP = 11,180 - 80 × SP 86 × SP = 11,180 SP = 11,180 / 86 SP = 130

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10² = a² + b² + c² + 2(30) 100 = a² + b² + c² + 60 a² + b² + c² = 100 - 60 a² + b² + c² = 40

व्याख्या

700 ग्राम के प्रारंभिक घोल में 60% चीनी है, जो 420 ग्राम चीनी और 280 ग्राम अन्य घटक हैं। चीनी की सांद्रता को 75% बनाने के लिए, 280 ग्राम अन्य घटकों को नए घोल के शेष 25% का प्रतिनिधित्व करना चाहिए, जिसका अर्थ है कि घोल का नया कुल वजन 1120 ग्राम है। इसलिए, मिलाई जाने वाली चीनी की मात्रा 1120 ग्राम माइनस प्रारंभिक 700 ग्राम है, जो 420 ग्राम के बराबर है।

व्याख्या

दो संख्याओं x और y के बीच का अंतर मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

(x - y)² = (x + y)² - 4xy

यह देखते हुए कि दो संख्याओं (x + y) का योग 25 है और उनका गुणनफल (xy) 144 है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

(x - y)² = 25² - 4 × 144 (x - y)² = 625 - 576 (x - y)² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

x - y = √49 = 7

दो संख्याओं के बीच का धनात्मक अंतर 7 है।

व्याख्या

माना कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो LCM(24, 80) = 240 इकाई है।

A की दक्षता = 240 ÷ 24 = 10 इकाई प्रति दिन। B की दक्षता = 240 ÷ 80 = 3 इकाई प्रति दिन।

दिए गए पैटर्न के अनुसार, कार्य 3 दिनों के चक्रों में किया जाता है: दिन 1: B अकेले काम करता है और 3 इकाई कार्य करता है। दिन 2: B अकेले काम करता है और 3 इकाई कार्य करता है। दिन 3: A अकेले काम करता है और 10 इकाई कार्य करता है।

एक 3-दिवसीय चक्र में किया गया कुल कार्य = 3 + 3 + 10 = 16 इकाई।

कुल 240 इकाई कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक ऐसे 3-दिवसीय चक्रों की संख्या है: 240 ÷ 16 = 15 चक्र।

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल दिन = 15 × 3 = 45 दिन।

व्याख्या

दो रूपांतरण अवधियों (अर्ध-वर्षों) के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच के अंतर की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

अंतर = P × (r/100)²

यहाँ, मूलधन P ₹1,000 है। ब्याज दर 20% प्रति वर्ष है, जो प्रति अर्ध-वर्ष r = 10% हो जाती है। 1 वर्ष का समय 2 अर्ध-वार्षिक संयोजन अवधियों के अनुरूप है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अंतर = 1000 × (10/100)² अंतर = 1000 × (1/10)² अंतर = 1000 × 1/100 अंतर = ₹10

व्याख्या

अर्धगोले का आयतन सूत्र V = (2/3)πr³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

दिए गए मानों r = 21 सेमी और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर:

V = (2/3) × (22/7) × 21 × 21 × 21

चूंकि हर 3 × 7 का गुणनफल 21 के बराबर है, हम अंश से एक 21 को रद्द करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं:

V = 2 × 22 × 21 × 21

V = 44 × 441

V = 19404 सेमी³

व्याख्या

राकेश और मुकेश की गति का अनुपात 4 : 3 है।

चूंकि एक निश्चित अवधि के लिए दूरी गति के सीधे आनुपातिक होती है, इसलिए मिलने के बिंदु तक राकेश और मुकेश द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात भी 4 : 3 है।

मान लीजिए राकेश द्वारा तय की गई दूरी 4x है और मुकेश द्वारा तय की गई दूरी 3x है।

उनकी दूरियों का अंतर मुकेश को दी गई शुरुआती बढ़त के बराबर है: 4x - 3x = 60 मीटर x = 60 मीटर

जिस शुरुआती बिंदु से वे मिलते हैं, वह दूरी राकेश द्वारा तय की गई कुल दूरी है: 4x = 4 × 60 मीटर = 240 मीटर

व्याख्या

दिया गया समीकरण है x² = b - ax। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x² + ax = b

x⁶ और x³ को शामिल करने वाला संबंध ज्ञात करने के लिए, हम इस समीकरण के दोनों पक्षों का घन करते हैं: (x² + ax)³ = b³

बीजगणितीय सर्वसमिका (p + q)³ = p³ + q³ + 3pq(p + q) का उपयोग करके, जहाँ p = x² और q = ax है, हम बाएँ पक्ष का विस्तार करते हैं: (x²)³ + (ax)³ + 3(x²)(ax)(x² + ax) = b³ x⁶ + a³x³ + 3ax³(x² + ax) = b³

बाएँ पक्ष में x² + ax के स्थान पर b प्रतिस्थापित करें: x⁶ + a³x³ + 3ax³(b) = b³ x⁶ + a³x³ + 3abx³ = b³

x³ को गुणनखंडित करने पर: x³(x³ + a³ + 3ab) = b³

इसकी तुलना लक्ष्य समीकरण x³(x³ + c) = d से करने पर, हमें प्राप्त होता है: c = a³ + 3ab d = b³

व्याख्या

समय के साथ किसी संपत्ति के मूल्यह्रास (depreciated value) का सूत्र A = P(1 - R/100)ⁿ है, जहाँ A मूल्यह्रास मूल्य है, P प्रारंभिक खरीद मूल्य है, R मूल्यह्रास की वार्षिक दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 36450 = 50000(1 - 10/100)ⁿ 36450 = 50000(0.9)ⁿ 36450 / 50000 = (0.9)ⁿ 3645 / 5000 = (0.9)ⁿ

बाएँ पक्ष में अंश और हर को 5 से विभाजित करने पर: 729 / 1000 = (0.9)ⁿ (9/10)³ = (0.9)ⁿ (0.9)³ = (0.9)ⁿ

घातों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: n = 3

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, पहले भाग और गुणा किया जाता है।

पहले, भाग करें: 2945 ÷ 19 = 155

अगला, गुणा करें: 11 × 5 = 55

अब, दिए गए समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करें: 155 - 55 = 29 + a 100 = 29 + a

a के लिए हल करें: a = 100 - 29 a = 71

व्याख्या

एकिक नियम (unitary method) द्वारा, 1 किलोग्राम चीनी का मूल्य, चीनी की प्रारंभिक मात्रा के कुल मूल्य को उस मात्रा से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

1 किलोग्राम चीनी का मूल्य = 600 / 15 = 40

इस इकाई मूल्य का उपयोग करके, 25 किलोग्राम चीनी का मूल्य इकाई मूल्य को वांछित मात्रा से गुणा करके निकाला जाता है:

25 किलोग्राम चीनी का मूल्य = 25 × 40 = 1000

व्याख्या

इत्र का विक्रय मूल्य क्रय मूल्य में से हानि घटाकर निकाला जाता है:

विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य - हानि विक्रय मूल्य = 380 - 140 = 240

चूंकि इत्र को उसके अंकित मूल्य पर 20% की छूट पर बेचा जाता है, इसलिए विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 80% होता है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100% - छूट%) 240 = अंकित मूल्य × 80% 240 = अंकित मूल्य × 0.8

अंकित मूल्य के लिए हल करना:

अंकित मूल्य = 240 / 0.8 = 300

व्याख्या

जब कोई गोला घन के आठों कोनों से होकर गुजरता है, तो गोला घन को परिवृत्त करता है। परिणामस्वरूप, घन का विकर्ण गोले के व्यास के बराबर होता है।

'a' = 14 सेमी भुजा वाले घन के लिए, उसके कायिक विकर्ण (body diagonal) की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है: d = a√3 = 14√3 सेमी

परिवृत्तित गोले की त्रिज्या 'r' विकर्ण का आधा होती है: r = d / 2 = 7√3 सेमी

गोले का आयतन 'V' सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = (4/3) × π × r³

मान r = 7√3 सेमी और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर: V = (4/3) × (22/7) × (7√3)³ V = (4/3) × (22/7) × 343 × 3√3 V = 4 × 22 × 49 × √3 V = 4312√3 सेमी³

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l), ऊँचाई (h) और त्रिज्या (r) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

l² = r² + h²

तिर्यक ऊँचाई (l = 10 सेमी) और ऊँचाई (h = 8 सेमी) के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

10² = r² + 8² 100 = r² + 64 r² = 36 r = 6 सेमी

शंकु का आयतन (V) सूत्र द्वारा दिया गया है:

V = (1/3) × π × r² × h

π का मान 22/7 का उपयोग करते हुए, त्रिज्या और ऊँचाई को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

V = (1/3) × (22/7) × 6² × 8 V = 12 × (22/7) × 8 V = 2112 / 7 V ≈ 301.71 सेमी³

व्याख्या

जब व्यय स्थिर रहता है, तो कीमत और खपत एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

चीनी की कीमत में 25% की वृद्धि का अर्थ है कि कीमत में 1/4 का अंश बढ़ जाता है। समान व्यय बनाए रखने के लिए, खपत में कमी का अंश होना चाहिए: (1/4) / (1 + 1/4) = 1/5

यह देखते हुए कि खपत में यह कमी 1.5 किलोग्राम है: 1/5 × मूल खपत = 1.5 किलोग्राम मूल खपत = 1.5 × 5 = 7.5 किलोग्राम

इसलिए, नई घटी हुई खपत है: नई खपत = 7.5 किलोग्राम - 1.5 किलोग्राम = 6 किलोग्राम

कुल खर्च £240 है। चीनी की बढ़ी हुई कीमत प्रति किलोग्राम की गणना कुल व्यय को नई खपत से विभाजित करके की जाती है: बढ़ी हुई कीमत = 240 / 6 = £40 प्रति किलोग्राम

व्याख्या

स्टोर ए द्वारा बेचे गए लेनोवो लैपटॉप की संख्या 50 है। स्टोर डी द्वारा बेचे गए डेल लैपटॉप की संख्या 45 है।

यह ज्ञात करने के लिए कि स्टोर ए द्वारा बेचे गए लेनोवो लैपटॉप, स्टोर डी द्वारा बेचे गए डेल लैपटॉप से कितने प्रतिशत अधिक हैं, मानक प्रतिशत वृद्धि सूत्र का उपयोग किया जाता है:

प्रतिशत अधिक = ((स्टोर ए द्वारा बेचे गए लेनोवो लैपटॉप - स्टोर डी द्वारा बेचे गए डेल लैपटॉप) / स्टोर डी द्वारा बेचे गए डेल लैपटॉप) × 100

तालिका से मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत अधिक = ((50 - 45) / 45) × 100 = (5 / 45) × 100 = (1 / 9) × 100 ≈ 11.11%

यह 11.1% का अनुमानित मान देता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करें: cosec 30° = 2 cos 60° = ½ cot 45° = 1 sec 60° = 2

इन मानों को समीकरण के बाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित करने पर: (x - x cosec²30°) / (1 + cosec²30°) = (x - x(2)²) / (1 + 2²) = (x - 4x) / (1 + 4) = -3x / 5

इन मानों को समीकरण के दाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित करने पर: cos²60° + 4cot²45° - sec²60° = (½)² + 4(1)² - 2² = ¼ + 4 - 4 = ¼

दोनों पक्षों को बराबर करने पर: -3x / 5 = ¼ -3x = 5 / 4 x = -5 / 12

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मूल मूल्य 100 है।

25% की कमी के बाद, नया मूल्य हो जाता है: 100 - 25 = 75

मूल्य को उसके मूल मूल्य 100 पर वापस लाने के लिए, नए मूल्य में 25 की वृद्धि की जानी चाहिए।

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (आवश्यक वृद्धि / नया मूल्य) × 100% प्रतिशत वृद्धि = (25 / 75) × 100% प्रतिशत वृद्धि = 1/3 × 100% = 33 ⅓%

वैकल्पिक रूप से, मानक बहाली सूत्र का उपयोग करके जहाँ कीमत में r% की कटौती की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100%

r = 25 रखने पर: प्रतिशत वृद्धि = (25 / (100 - 25)) × 100% = (25 / 75) × 100% = 33 ⅓%

व्याख्या

क्रिकेट, फुटबॉल और हॉकी खेलने वाले छात्रों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए व्यक्तिगत अनुपातों को संयोजित करते हैं।

क्रिकेट (C) का फुटबॉल (F) से अनुपात 27 : 13 है। फुटबॉल (F) का हॉकी (H) से अनुपात 26 : 14 है, जिसे सरल करने पर 13 : 7 प्राप्त होता है।

चूंकि दोनों स्थितियों में फुटबॉल का प्रतिनिधित्व करने वाला पद 13 है, इसलिए तीन खेल खेलने वाले छात्रों का संयुक्त अनुपात है: C : F : H = 27 : 13 : 7

अनुपात भागों का योग है: 27 + 13 + 7 = 47

चूंकि प्रत्येक छात्र ठीक एक खेल खेलता है, इसलिए क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का प्रतिशत सीधे उनके कुल अनुपात भागों में हिस्सेदारी का उपयोग करके गणना की जा सकती है: क्रिकेट खिलाड़ियों का प्रतिशत = (क्रिकेट भाग / कुल भाग) × 100 क्रिकेट खिलाड़ियों का प्रतिशत = (27 / 47) × 100 = 2700 / 47 % ≈ 57.446%

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, क्रिकेट खेलने वाले छात्रों का प्रतिशत 57.45% है।

व्याख्या

दिया गया डेटा 'से कम प्रकार' के संचयी आवृत्ति वितरण को दर्शाता है।

40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 8 है। 30 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 6 है।

उन छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिन्होंने कम से कम 30 अंक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त किए, जो 30-40 वर्ग अंतराल के अनुरूप है, हम 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संचयी आवृत्ति में से 30 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संचयी आवृत्ति घटाते हैं:

छात्रों की संख्या = 8 - 6 = 2

व्याख्या

दिया गया पहला समीकरण है sec θ - cos θ = 14।

हमें दिया गया है कि x = 14 sec θ।

दूसरे समीकरण में पहले समीकरण से 14 का मान प्रतिस्थापित करने पर: x = (sec θ - cos θ) sec θ

पदों को गुणा करने पर: x = sec²θ - sec θ cos θ

चूंकि sec θ cos θ = 1: x = sec²θ - 1

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 का प्रयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = tan²θ