एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

दिए गए मान x + y + z = 10 और x² + y² + z² = 30 को प्रतिस्थापित करने पर: 10² = 30 + 2(xy + yz + zx) 100 = 30 + 2(xy + yz + zx) 70 = 2(xy + yz + zx) xy + yz + zx = 35

अब, हम आवश्यक व्यंजक के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx))

इस समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x³ + y³ + z³ - 3xyz = 10 × (30 - 35) = 10 × (-5) = -50

व्याख्या

दो लगातार लाभ प्रतिशत a% और b% के लिए क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र है: कुल लाभ प्रतिशत = a + b + ab/100

यह देखते हुए कि पहला डीलर 20% का लाभ कमाता है (a = 20) और अंतिम संचयी लाभ 44% है, मान लीजिए कि दूसरे डीलर द्वारा कमाया गया लाभ प्रतिशत b% है।

44 = 20 + b + 20 × b / 100 24 = b + b/5 24 = 6b/5 b = 24 × 5 / 6 b = 20%

व्याख्या

भारित औसत मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम मात्राओं 20000 : 15000 : 5000 के अनुपात को 4 : 3 : 1 तक सरल कर सकते हैं।

भारित औसत का सूत्र है: भारित औसत = (w₁x₁ + w₂x₂ + w₃x₃) / (w₁ + w₂ + w₃)

सरलीकृत अनुपातों और मूल्यों को प्रतिस्थापित करने पर: भारित औसत = (4 × 1 + 3 × 1.15 + 1 × 2) / (4 + 3 + 1) भारित औसत = (4 + 3.45 + 2) / 8 भारित औसत = 9.45 / 8 = 1.18125

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, एक इकाई का भारित औसत मूल्य ₹1.18 है।

व्याख्या

बेकरी D द्वारा सोमवार, गुरुवार और रविवार को बेचे गए केक की कुल संख्या की गणना दी गई तालिका से इन दिनों के लिए बेकरी D के संगत मानों को जोड़कर की जाती है।

सोमवार को बेचे गए केक = 221 गुरुवार को बेचे गए केक = 185 रविवार को बेचे गए केक = 280

बेचे गए कुल केक = 221 + 185 + 280 = 686

व्याख्या

सभी वर्षों में इसके कुल उत्पादन की तुलना में 1995 में टाइप-A कारों के उत्पादन का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम पहले 1992 से 1996 तक टाइप-A कारों के कुल उत्पादन की गणना करते हैं:

टाइप-A कारों का कुल उत्पादन = 160 + 210 + 130 + 190 + 260 = 950 हजार

1995 में टाइप-A कारों का उत्पादन 190 हजार दिया गया है।

प्रतिशत = (1995 में टाइप-A का उत्पादन / टाइप-A का कुल उत्पादन) × 100

प्रतिशत = (190 / 950) × 100 = 1/5 × 100 = 20%

व्याख्या

एक गोले का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = (4/3)πr³

जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

दिए गए आयतन 972π घन सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (4/3)πr³ = 972π

π से दोनों पक्षों को विभाजित करने पर: (4/3)r³ = 972

r³ को हल करने के लिए दोनों पक्षों को 3/4 से गुणा करने पर: r³ = 972 × (3/4) r³ = 243 × 3 r³ = 729

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: r = ∛729 r = 9 सेमी

व्याख्या

भारित औसत सूत्र का प्रयोग करके: संयुक्त औसत = (लड़कों की संख्या × लड़कों का औसत + लड़कियों की संख्या × लड़कियों का औसत) / (लड़कों की संख्या + लड़कियों की संख्या)

मान लीजिए लड़कियों की संख्या g है। 30 = (15 × 26 + g × 36) / (15 + g)

समीकरण को सरल बनाने पर: 30 × (15 + g) = 390 + 36g 450 + 30g = 390 + 36g 450 - 390 = 36g - 30g 60 = 6g g = 10

मिश्रण के नियम से, लड़कों और लड़कियों की संख्या का अनुपात है: (लड़कियों का औसत - संयुक्त औसत) / (संयुक्त औसत - लड़कों का औसत) = (36 - 30) / (30 - 26) = 6 / 4 = 3 / 2

चूंकि लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3 अनुपात 2 है, और 15 लड़के हैं: लड़कियों की संख्या = 15 × 2 / 3 = 10

व्याख्या

धात्विक ठोस घनाभ का कुल आयतन संरक्षित रहता है जब उसे पिघलाकर छोटे घनों में ढाला जाता है।

घनाभ का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई

दी गई विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: घनाभ का आयतन = 36 × 18 × 12

'a' भुजा वाले एक घन का आयतन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: घन का आयतन = a³

6 सेमी भुजा वाले घन के लिए: घन का आयतन = 6 × 6 × 6

बने घनों की संख्या घनाभ के आयतन और एक घन के आयतन का अनुपात है: घनों की संख्या = (36 × 18 × 12) / (6 × 6 × 6)

पदों को सीधे विभाजित करने पर: घनों की संख्या = (36/6) × (18/6) × (12/6) घनों की संख्या = 6 × 3 × 2 घनों की संख्या = 36

व्याख्या

एक बेलनाकार स्तंभ का आयतन V, सूत्र V = πr²h का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ r बेलन की त्रिज्या है और h इसकी ऊंचाई है।

दिया गया है: त्रिज्या r = 11 मीटर ऊंचाई h = 21 मीटर π = 22/7

इन मानों को सूत्र में रखने पर: V = (22/7) × 11² × 21 V = (22/7) × 121 × 21 V = 22 × 121 × 3 V = 66 × 121 V = 7986 m³

व्याख्या

कोई संख्या 42 से पूर्णतः विभाज्य होती है यदि वह उसके अभाज्य गुणनखंडों: 2, 3, और 7 से एक साथ विभाज्य हो।

25242 की विभाज्यता की जाँच के लिए:

पहला, 2 से विभाज्यता के लिए, इकाई का अंक एक सम संख्या होनी चाहिए। 25242 का अंतिम अंक 2 है, जो सम है, इसलिए यह 2 से विभाज्य है।

दूसरा, 3 से विभाज्यता के लिए, अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। 25242 के अंकों का योग 2 + 5 + 2 + 4 + 2 = 15 है। चूँकि 15, 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 3 से विभाज्य है।

तीसरा, 7 से विभाज्यता के लिए, हम संख्या को 25200 + 42 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूँकि 25200, 7 से पूर्णतः विभाज्य है (7 × 3600 = 25200) और 42 भी 7 से पूर्णतः विभाज्य है (7 × 6 = 42), उनका योग, 25242, 7 से विभाज्य है।

चूँकि 25242, 2, 3, और 7 से विभाज्य है, इसलिए यह 42 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

सरलीकरण में संक्रियाओं के क्रम (BODMAS) के अनुसार, व्यंजक के सबसे भीतरी भागों को पहले हल किया जाता है। पद 9 - 3 में एक विनिकुलम (9 - 3 के ऊपर एक रेखा, जो समूहीकरण प्रतीक के रूप में कार्य करती है) है, जिसका मूल्यांकन पहले किया जाता है:

9 - 3 = 6

इस मान को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें:

9 - [10 - {20 - (15 - 6)}]

अगला, कोष्ठक के अंदर के पद को हल करें:

15 - 6 = 9

इस मान को वापस प्रतिस्थापित करें:

9 - [10 - {20 - 9}]

अगला, कर्ली ब्रैकेट्स के अंदर के पद को हल करें:

20 - 9 = 11

इस मान को वापस प्रतिस्थापित करें:

9 - [10 - 11]

अगला, वर्ग कोष्ठक के अंदर के पद को हल करें:

10 - 11 = -1

इस मान को वापस प्रतिस्थापित करें:

9 - [-1] = 9 + 1 = 10

व्याख्या

मान लीजिए सेल फोन का विक्रय मूल्य (SP) है।

लाभ विक्रय मूल्य पर 12.5% के रूप में दिया गया है। लाभ = SP का 12.5% = (12.5/100) × SP = (1/8) × SP

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP), और लाभ के बीच संबंध है: SP - CP = लाभ

CP = ₹24,500 के दिए गए मान और लाभ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: SP - 24,500 = SP / 8 SP - SP / 8 = 24,500 (7/8) × SP = 24,500 SP = (24,500 × 8) / 7 SP = 3,500 × 8 SP = 28,000

व्याख्या

सीढ़ी की स्थिति इमारत और जमीन के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, x² + y² = L², जहाँ L सीढ़ी की लंबाई है, x इमारत से सीढ़ी के पायदान की दूरी है, और y जमीन से सीढ़ी के ऊपरी सिरे की ऊंचाई है।

दिया गया है कि L = 25 मीटर और सीढ़ी के पायदान की प्रारंभिक दूरी x₁ = 7 मीटर है, तो सीढ़ी के ऊपरी सिरे की प्रारंभिक ऊंचाई y₁ की गणना इस प्रकार की जाती है:

y₁ = √(L² - x₁²) y₁ = √(25² - 7²) y₁ = √(625 - 49) = √576 = 24 मीटर

यदि सीढ़ी का ऊपरी सिरा 4 मीटर नीचे खिसक जाता है, तो नई ऊंचाई y₂ हो जाती है:

y₂ = 24 - 4 = 20 मीटर

इमारत से सीढ़ी के पायदान की नई दूरी x₂ की गणना इस प्रकार की जाती है:

x₂ = √(L² - y₂²) x₂ = √(25² - 20²) x₂ = √(625 - 400) = √225 = 15 मीटर

जिस दूरी से सीढ़ी का पायदान खिसकता है, वह अंतिम और प्रारंभिक दूरियों के बीच का अंतर है:

खिसकने की दूरी = x₂ - x₁ = 15 - 7 = 8 मीटर

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती c, संबंध a/b = b/c द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र c = b²/a प्राप्त होता है।

दिए गए मान a = 15 और b = 24 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: c = 24² / 15 c = 576 / 15

अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करने पर: c = 192 / 5 c = 38 2/5

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके, हम व्यंजक को दो चरणों में समूहित और सरल कर सकते हैं।

सबसे पहले, अंतिम दो पदों के गुणनफल को सरल करें: (6p + 7q)(6p - 7q) = (6p)² - (7q)² = 36p² - 49q²

अब, इसे मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (36p² + 49q²)(36p² - 49q²)

एक बार फिर वर्गों के अंतर की सर्वसमिका लागू करें: (36p² + 49q²)(36p² - 49q²) = (36p²)² - (49q²)² = 1296p⁴ - 2401q⁴

व्याख्या

खरीदें-पाएं योजनाओं में छूट प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (मुफ्त वस्तुओं की संख्या / वस्तुओं की कुल संख्या) × 100

इस योजना में, ग्राहक 3 शर्ट खरीदने पर 2 शर्ट मुफ्त प्राप्त करता है। इसका मतलब है कि ग्राहक केवल 3 शर्ट के लिए भुगतान करके कुल 5 शर्ट (3 + 2 = 5) घर ले जाता है। छूट 5 शर्टों में से 2 मुफ्त शर्ट के मूल्य के बराबर है।

छूट प्रतिशत = (2 / 5) × 100 = 40%

व्याख्या

दो व्यक्तियों की संयुक्त कार्य दर के सूत्र का उपयोग करते हुए, A और B दोनों द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लगने वाला समय T इस प्रकार दिया गया है:

T = (T₁ × T₂) / (T₁ + T₂)

जहाँ T₁ A द्वारा लिया गया समय (12 दिन) है और T₂ B द्वारा लिया गया समय (36 दिन) है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

T = (12 × 36) / (12 + 36) T = 432 / 48 T = 9 दिन

वैकल्पिक रूप से, कुल कार्य को 12 और 36 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मानकर, जो कि 36 इकाई है: A की दक्षता 36 ÷ 12 = 3 इकाई प्रति दिन है। B की दक्षता 36 ÷ 36 = 1 इकाई प्रति दिन है। उनकी संयुक्त दक्षता 3 + 1 = 4 इकाई प्रति दिन है। कार्य को एक साथ पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या 36 ÷ 4 = 9 दिन है।

व्याख्या

मान लीजिए कि संख्या 3 और 5 के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 15 है।

सही गणना 15 × 5/3 = 25 है।

छात्र द्वारा की गई गलत गणना 15 × 3/5 = 9 है।

गणना में निरपेक्ष त्रुटि 25 - 9 = 16 है।

प्रतिशत त्रुटि की गणना निरपेक्ष त्रुटि को सही मान से विभाजित करके और 100 से गुणा करके की जाती है:

प्रतिशत त्रुटि = (16 / 25) × 100 = 16 × 4 = 64%

व्याख्या

(x²/yz) + (y²/zx) + (z²/xy) का मान ज्ञात करने के लिए, हम भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात करते हैं, जो कि xyz है। इन पदों को इस सामान्य भाजक के अंतर्गत संयोजित करने पर प्राप्त होता है:

(x³ + y³ + z³) / xyz

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

चूंकि हमें दिया गया है कि x + y + z = 0 है, इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 x³ + y³ + z³ = 3xyz

इस परिणाम को हमारे संयुक्त भिन्न व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 3xyz / xyz = 3

व्याख्या

'3 खरीदें, 1 मुफ्त पाएं' योजना के तहत, एक ग्राहक 3 वस्तुओं की कीमत पर 4 वस्तुएँ प्राप्त करता है। रमेश ने ऐसी खरीदारी की जिसके लिए इस योजना के तहत देय राशि ₹18,000 थी।

चूंकि प्रत्येक वस्तु का अंकित मूल्य ₹300 है, रमेश द्वारा भुगतान की गई वस्तुओं की संख्या है: 18,000 ÷ 300 = 60 वस्तुएँ।

योजना के अनुसार, भुगतान की गई प्रत्येक 3 वस्तुओं के लिए, 1 वस्तु मुफ्त दी जाती है। इसलिए, 60 भुगतान की गई वस्तुओं के लिए, प्राप्त मुफ्त वस्तुओं की संख्या है: 60 ÷ 3 = 20 वस्तुएँ।

इसका मतलब है कि रमेश को कुल 80 वस्तुएँ (60 भुगतान की गई + 20 मुफ्त) प्राप्त हुईं। इन 80 वस्तुओं का कुल अंकित मूल्य है: 80 × 300 = ₹24,000।

चूंकि प्रारंभिक देय राशि ₹18,000, ₹10,000 से अधिक है, रमेश इस देय राशि पर 10% की अतिरिक्त छूट के लिए पात्र है। अतिरिक्त छूट = 18,000 का 10% = ₹1,800।

इस प्रकार, रमेश द्वारा भुगतान की गई अंतिम राशि है: 18,000 - 1,800 = ₹16,200।

रमेश को प्राप्त कुल छूट है: 24,000 - 16,200 = ₹7,800।

प्रभावी प्रतिशत छूट है: (7,800 ÷ 24,000) × 100 = 32.5%

व्याख्या

दिए गए समीकरण से, हमारे पास है: m xᵐ - n xⁿ = 0 m xᵐ = n xⁿ xᵐ = (n/m) xⁿ

दिया गया व्यंजक है: 1/(xᵐ + xⁿ) + 1/(xᵐ - xⁿ)

एक सामान्य हर लेकर भिन्नों को संयोजित करना: [ (xᵐ - xⁿ) + (xᵐ + xⁿ) ] / [ (xᵐ + xⁿ)(xᵐ - xⁿ) ] = 2 xᵐ / (x²ᵐ - x²ⁿ)

व्यंजक में xᵐ = (n/m) xⁿ प्रतिस्थापित करना: = 2 (n/m) xⁿ / [ ( (n/m) xⁿ )² - x²ⁿ ] = 2 (n/m) xⁿ / [ (n²/m²) x²ⁿ - x²ⁿ ] = 2 (n/m) xⁿ / [ x²ⁿ ( (n² - m²) / m² ) ] = [ 2 (n/m) xⁿ ] × [ m² / ( x²ⁿ (n² - m²) ) ] = 2 m n xⁿ / [ x²ⁿ (n² - m²) ] = 2 m n / [ xⁿ (n² - m²) ]

व्याख्या

कक्षा में छात्रों की कुल संख्या N मान लीजिए।

कक्षा में लड़कियों की संख्या कुल छात्रों का 70% है: लड़कियों की संख्या = 0.7N

फुटबॉल को अपना पसंदीदा खेल चुनने वाली लड़कियों की संख्या लड़कियों का 70% है: फुटबॉल खेलने वाली लड़कियों की संख्या = 0.7 × 0.7N = 0.49N

यह देखते हुए कि 98 लड़कियों ने फुटबॉल को अपना पसंदीदा खेल चुना है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 0.49N = 98

N के लिए हल करना: N = 98 ÷ 0.49 = 200

व्याख्या

शहर P में, कुल जनसंख्या 46800 है और बच्चों का प्रतिशत 20% है।

शहर P में बच्चों की संख्या = 46800 का 20% = 46800 × 0.20 = 9360

शहर P में बच्चों में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 5 : 4 है।

शहर P में बच्चों में लड़कियों की संख्या = 9360 × 4/9 = 4160

शहर R में, कुल जनसंख्या 42000 है और बच्चों का प्रतिशत 10% है।

शहर R में बच्चों की संख्या = 42000 का 10% = 42000 × 0.10 = 4200

शहर R में बच्चों में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 2 : 3 है।

शहर R में बच्चों में लड़कियों की संख्या = 4200 × 3/5 = 2520

शहर P और शहर R में मिलाकर बच्चों में लड़कियों की कुल संख्या = 4160 + 2520 = 6680

व्याख्या

मूल ऋण राशि P ₹ 8,925 है। चूंकि ब्याज दर 8% प्रति वर्ष अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होती है, इसलिए प्रति अर्ध-वार्षिक अवधि ब्याज दर r = 8% ÷ 2 = 4% है।

मूलधन और x मान की दो समान अर्ध-वार्षिक किश्तों के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: P = x / (1 + r/100) + x / (1 + r/100)²

पद की गणना: 1 + r/100 = 1 + 4/100 = 26/25

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना: 8925 = x / (26/25) + x / (26/25)² 8925 = 25x / 26 + 625x / 676 8925 = x × (25 × 26 + 625) / 676 8925 = x × (650 + 625) / 676 8925 = x × 1275 / 676

x के लिए हल करना: x = 8925 × 676 / 1275 x = 7 × 676 x = 4732

व्याख्या

दो बिंदुओं के बीच की दूरी D, जब दो अलग-अलग गति S₁ और S₂ से यात्रा की जाती है और समय का अंतर Δt होता है, तो सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = (S₁ × S₂ / |S₁ - S₂|) × Δt

यहाँ, पहली गति S₁ 40 किमी/घंटा है। दूसरे दिन, गति 10 किमी/घंटा बढ़ा दी जाती है, जिससे दूसरी गति S₂ 50 किमी/घंटा हो जाती है। गति का अंतर 10 किमी/घंटा है।

पहले दिन, वह 25 मिनट देर से पहुँचता है, और दूसरे दिन, वह 10 मिनट देर से पहुँचता है। लिए गए समय का अंतर है:

Δt = 25 मिनट - 10 मिनट = 15 मिनट = 15/60 घंटे = ¼ घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

D = (40 × 50 / 10) × ¼ D = 200 × ¼ D = 50 किमी

व्याख्या

एक वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है। इसलिए, त्रिज्या, स्पर्श रेखा, और वृत्त के केंद्र को बाह्य बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ केंद्र से रेखाखंड कर्ण होता है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: d² = r² + t²

जहाँ d केंद्र से बिंदु की दूरी (18 सेमी) है, r वृत्त की त्रिज्या (12 सेमी) है, और t स्पर्श रेखा की लंबाई है।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 18² = 12² + t² 324 = 144 + t² t² = 324 - 144 t² = 180 t = √180 t = √(36 × 5) t = 6√5 सेमी

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य एकल छूट का सूत्र है:

समतुल्य छूट = a + b - (a × b)/100

मान a = 20 और b = 10 रखने पर:

समतुल्य छूट = 20 + 10 - (20 × 10)/100 = 30 - 2 = 28%

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह का योग उनके औसत और पदों की संख्या के गुणनफल के बराबर होता है।

25 संख्याओं का कुल योग = 25 × 13 = 325

पहली 13 संख्याओं का योग = 13 × 11.5 = 149.5

अंतिम 13 संख्याओं का योग = 13 × 14.5 = 188.5

चूंकि कुल 25 संख्याएँ हैं, पहली 13 संख्याएँ (पहली से 13वीं तक) और अंतिम 13 संख्याएँ (13वीं से 25वीं तक) 13वीं संख्या पर ओवरलैप होती हैं, जो मध्य संख्या है।

मध्य संख्या = (पहली 13 संख्याओं का योग + अंतिम 13 संख्याओं का योग) - 25 संख्याओं का कुल योग

मध्य संख्या = (149.5 + 188.5) - 325 = 338 - 325 = 13

व्याख्या

एक घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है। यह देखते हुए कि आयतन 64 cm³ है, भुजा की लंबाई है:

a³ = 64 a = 4 cm

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 6a² द्वारा दिया जाता है। भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करना:

A = 6 × 4² A = 6 × 16 A = 96 cm²

व्याख्या

एक घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है। दिया गया V = 27 m³ है, हम भुजा की लंबाई इस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं:

a³ = 27 a = 3 m

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 6a² का उपयोग करके परिकलित किया जाता है। a का मान रखने पर:

A = 6 × 3² A = 6 × 9 = 54 m²

व्याख्या

जब किसी वस्तु को M% अधिक अंकित किया जाता है और फिर D% की छूट पर बेचा जाता है, तो शुद्ध लाभ प्रतिशत क्रमिक प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है: शुद्ध लाभ % = M - D - (M × D)/100

दिए गए मान M = 45 और D = 21 को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध लाभ % = 45 - 21 - (45 × 21)/100 शुद्ध लाभ % = 24 - 945/100 शुद्ध लाभ % = 24 - 9.45 शुद्ध लाभ % = 14.55%

14.55% को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 15% प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह जांचने के लिए कि 3661, 7 से विभाज्य है या नहीं, हम 7 के लिए विभाज्यता नियम लागू कर सकते हैं। यह नियम कहता है कि हम संख्या के अंतिम अंक को दोगुना करते हैं और उसे संख्या के शेष भाग से घटाते हैं। यदि परिणामी संख्या 7 से विभाज्य है, तो मूल संख्या भी 7 से विभाज्य है।

3661 पर इस नियम को लागू करना: अंतिम अंक 1 है। इसे दोगुना करने पर 2 प्राप्त होता है। शेष भाग (366) से 2 घटाने पर प्राप्त होता है: 366 − 2 = 364

364 के लिए प्रक्रिया दोहराना: अंतिम अंक 4 है। इसे दोगुना करने पर 8 प्राप्त होता है। शेष भाग (36) से 8 घटाने पर प्राप्त होता है: 36 − 8 = 28

चूंकि 28, 7 से विभाज्य है (7 × 4 = 28), इसलिए मूल संख्या 3661 भी 7 से विभाज्य है। वैकल्पिक रूप से, प्रत्यक्ष विभाजन से पता चलता है कि 3661 ÷ 7 = 523, जो 0 शेषफल छोड़ता है।

व्याख्या

मान लीजिए मोबाइल का क्रय मूल्य ₹100 है।

अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 25% अधिक है: अंकित मूल्य = 100 × 1.25 = ₹125

20% का लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य होना चाहिए: विक्रय मूल्य = 100 × 1.20 = ₹120

आवश्यक छूट अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = 125 - 120 = ₹5

छूट प्रतिशत की गणना अंकित मूल्य पर की जाती है: छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100% छूट प्रतिशत = (5 / 125) × 100% = 4%

व्याख्या

a और b के मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों a + b = 12 और ab = 35 द्वारा दिए गए समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं।

निरीक्षण से, वे दो संख्याएँ जिनका योग 12 है और गुणनफल 35 है, 7 और 5 हैं। मान लीजिए a = 7 और b = 5।

अब, हम आवश्यक व्यंजक का मान ज्ञात करते हैं: a⁴ + b⁴ - 10³ = 7⁴ + 5⁴ - 10³

7 और 5 की घातों का मूल्यांकन: 7⁴ = 2401 5⁴ = 625

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a⁴ + b⁴ - 10³ = 2401 + 625 - 1000 a⁴ + b⁴ - 10³ = 3026 - 1000 a⁴ + b⁴ - 10³ = 2026

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: a² + b² = (a + b)² - 2ab a² + b² = 12² - 2(35) = 144 - 70 = 74

अब, इस परिणाम का वर्ग करने पर: a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² - 2(ab)² a⁴ + b⁴ = 74² - 2(35)² a⁴ + b⁴ = 5476 - 2(1225) a⁴ + b⁴ = 5476 - 2450 = 3026

इस परिणाम से 10³ घटाने पर प्राप्त होता है: 3026 - 1000 = 2026

व्याख्या

आवश्यक अनुपात ज्ञात करने के लिए, पहले 2014 में Con पार्टी, 2019 में Kanta Dal, और 2019 में Shiv Party द्वारा जीती गई सीटों का योग ज्ञात करें:

2014 में Con पार्टी द्वारा जीती गई सीटें = 43 2019 में Kanta Dal द्वारा जीती गई सीटें = 16 2019 में Shiv Party द्वारा जीती गई सीटें = 18

इन सीटों का योग = 43 + 16 + 18 = 77

इसके बाद, 2014 में AGP द्वारा जीती गई सीटों की संख्या की पहचान करें:

2014 में AGP द्वारा जीती गई सीटें = 282

सीटों के योग का 2014 में AGP द्वारा जीती गई सीटों से अनुपात 77:282 है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि रेखा PQ, BC के समानांतर है, त्रिभुज APQ और ABC कोण-कोण (Angle-Angle) समरूपता से समरूप हैं।

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है, जिससे यह प्राप्त होता है: PQ / BC = AP / AB

हमें संबंध AB = 6PB दिया गया है। मान लीजिए PB को x से दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ है कि AB, 6x के बराबर है।

AP की लंबाई को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: AP = AB - PB AP = 6x - x = 5x

भुजाओं के अनुपात में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: PQ / BC = AP / AB = 5x / 6x = 5/6

इससे PQ : BC का अनुपात 5:6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई तालिका एक संचयी आवृत्ति वितरण को दर्शाती है। कक्षा में छात्रों की कुल संख्या 48 है।

तालिका के अनुसार, 160 सेमी तक की ऊँचाई वाले छात्रों की संख्या 18 है।

इसलिए, 160 सेमी से अधिक ऊँचाई वाले छात्रों की संख्या की गणना कुल छात्रों की संख्या में से 160 सेमी तक की संचयी आवृत्ति को घटाकर की जाती है: 48 - 18 = 30

इन छात्रों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए: प्रतिशत = (30 / 48) × 100

भिन्न को सरल करने पर: 30 / 48 = 5 / 8

प्रतिशत = (5 / 8) × 100 = 62.5%

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में विन्कुलम (बार ब्रैकेट) हैं जो p + q और q - p पर समूहीकरण प्रतीक के रूप में कार्य कर रहे हैं। व्यंजक इस प्रकार लिखा गया है: 3p - [3p - (p + q) - {3p - (p - (q - p))}]

संचालन के क्रम को लागू करते हुए, सबसे पहले बार ब्रैकेट वाले सबसे भीतरी कोष्ठक को सरल करें: p - (q - p) = p - q + p = 2p - q

अगला, कर्ली ब्रैकेट के भीतर व्यंजक को सरल करें: 3p - (2p - q) = 3p - 2p + q = p + q

फिर, वर्ग ब्रैकेट के भीतर व्यंजक को सरल करें: 3p - (p + q) - (p + q) = 3p - p - q - p - q = p - 2q

अंत में, बाहरी व्यंजक को सरल करें: 3p - (p - 2q) = 3p - p + 2q = 2p + 2q

व्याख्या

लड़कियों और लड़कों का अनुपात 40% से 60% है, जो 2:3 हो जाता है।

मान लीजिए लड़कियों का औसत अंक x है। चूँकि लड़कों का औसत अंक लड़कियों के औसत अंक से 20% कम है, इसलिए लड़कों का औसत अंक 0.8x है।

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके: भारित औसत = (लड़कियों का अनुपात × लड़कियों का औसत + लड़कों का अनुपात × लड़कों का औसत) / (अनुपातों का योग)

सूत्र में मान रखने पर: 66 = (2 × x + 3 × 0.8x) / (2 + 3) 66 = (2x + 2.4x) / 5 66 × 5 = 4.4x 330 = 4.4x x = 330 / 4.4 x = 75

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है:

CSA = 2 × π × r × h

जहाँ r बेलन की आधार त्रिज्या है और h बेलन की ऊँचाई है।

दिया गया है कि r = 4 सेमी, h = 5 सेमी, और π = 3.14, हम इन मानों को सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

CSA = 2 × 3.14 × 4 × 5

CSA = 40 × 3.14

CSA = 125.6 सेमी²

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों के अनुसार, साइन फलन को एक विषम फलन के रूप में वर्गीकृत किया गया है। किसी भी विषम फलन f(x) के लिए, गणितीय संबंध f(-x) = -f(x) उसके डोमेन में सभी मानों के लिए सत्य होता है। इस सर्वसमिका को सीधे साइन फलन पर लागू करने पर:

sin(-A) = -sin A

इस व्यवहार को इकाई वृत्त का उपयोग करके ज्यामितीय रूप से भी समझा जा सकता है। कोण -A को धनात्मक x-अक्ष से दक्षिणावर्त दिशा में मापा जाता है, जिससे यह चौथे चतुर्थांश में स्थित होता है यदि A पहले चतुर्थांश में है। चूंकि किसी कोण का साइन इकाई वृत्त पर बिंदु के y-निर्देशांक के बराबर होता है, दक्षिणावर्त दिशा में घुमाने पर y-निर्देशांक ऋणात्मक हो जाता है जबकि उसका निरपेक्ष मान वही रहता है, जिसके परिणामस्वरूप धनात्मक कोण के साइन का ऋणात्मक मान प्राप्त होता है।

व्याख्या

शुद्ध वार्षिक जनसंख्या वृद्धि दर वार्षिक जन्म दर और वार्षिक मृत्यु दर के बीच का अंतर है।

शुद्ध वृद्धि दर = 12.5% - 2.5% = 10% प्रति वर्ष

n वर्षों के बाद जनसंख्या की गणना चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

A = P × (1 + R/100)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना जहाँ प्रारंभिक जनसंख्या P = 9000, शुद्ध वृद्धि दर R = 10, और समय n = 3 वर्ष है:

A = 9000 × (1 + 10/100)³

A = 9000 × (1.1)³

A = 9000 × 1.331

A = 11979

व्याख्या

वैध मतों का प्रतिशत है: 100% - 25% = 75%

कुल वैध मतों की संख्या है: 6000 का 75% = 0.75 × 6000 = 4500

चूंकि रवि को कुल वैध मतों का 65% प्राप्त होता है, इसलिए दूसरे उम्मीदवार सुशील को शेष वैध मत प्राप्त होते हैं: 100% - 65% = 35%

सुशील को प्राप्त वैध मतों की संख्या है: 4500 का 35% = 0.35 × 4500 = 1575

व्याख्या

दिए गए डेटासेट का औसत सभी डेटा मानों के योग को मानों की कुल संख्या से विभाजित करके गणना की जाती है।

डेटा मानों का योग = 1 + 2 + 3 + 5 + 17 + 21 + 28 = 77

डेटा मानों की कुल संख्या = 7

औसत = मानों का योग / मानों की कुल संख्या = 77 / 7 = 11

व्याख्या

A और B की एक साथ काम करने की दर प्रति दिन 1/12 काम है, जबकि A की अकेले काम करने की दर प्रति दिन 1/18 काम है।

B की अकेले काम करने की दर उनकी संयुक्त दर और A की व्यक्तिगत दर के बीच का अंतर है:

B की दर = 1/12 - 1/18

इन भिन्नों को घटाने के लिए, 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 36 है:

B की दर = 3/36 - 2/36 = 1/36

चूंकि B एक दिन में 1/36 काम पूरा करता है, इसलिए B अकेले पूरे काम को 36 दिनों में पूरा करेगा।

व्याख्या

शांत जल में नाव चलाने की गति u = 5 किमी/घंटा है, और धारा की गति v = 2.5 किमी/घंटा है।

धारा के अनुकूल गति (downstream speed) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: d = u + v = 5 + 2.5 = 7.5 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल गति (upstream speed) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: s = u - v = 5 - 2.5 = 2.5 किमी/घंटा

मान लीजिए दूरी D किमी है। धारा के प्रतिकूल और धारा के अनुकूल यात्रा के समय का अंतर 4 घंटे है, जिससे समीकरण बनता है: D/s - D/d = 4

धारा के प्रतिकूल और धारा के अनुकूल गति के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: D/2.5 - D/7.5 = 4

7.5 का सामान्य भाजक लेने पर: (3D - D) / 7.5 = 4 2D / 7.5 = 4 2D = 30 D = 15 किमी

व्याख्या

मूल्यह्रास और मूल्य वृद्धि की अवधियों के बाद भूमि के अंतिम मूल्य की गणना सीधे चक्रवृद्धि सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

अंतिम मूल्य = प्रारंभिक मूल्य × (1 - d/100)² × (1 + a/100)²

यहाँ, भूमि का प्रारंभिक मूल्य ₹4,32,000 है। यह पहले 2 वर्षों के लिए प्रति वर्ष d = 25% की दर से घटता है, और फिर अगले 2 वर्षों के लिए प्रति वर्ष a = 50% की दर से बढ़ता है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अंतिम मूल्य = 4,32,000 × (1 - 25/100)² × (1 + 50/100)²

प्रतिशत पदों को भिन्नों में सरल बनाने पर:

1 - 25/100 = 3/4 1 + 50/100 = 3/2

इन भिन्नों को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

अंतिम मूल्य = 4,32,000 × (3/4)² × (3/2)² अंतिम मूल्य = 4,32,000 × (9/16) × (9/4) अंतिम मूल्य = 4,32,000 × 81/64 अंतिम मूल्य = 6,750 × 81 अंतिम मूल्य = 5,46,750

व्याख्या

मान लीजिए कि 1 ग्राम माल का क्रय मूल्य ₹1 है।

दुकानदार 1000 ग्राम माल के मूल्य में 30% की बढ़ोतरी करता है, जिससे अंकित मूल्य बनता है: 1000 × (1 + 30/100) = ₹1300

फिर वह इस अंकित मूल्य पर 10% की छूट देता है, इसलिए विक्रय मूल्य बन जाता है: 1300 × (1 - 10/100) = ₹1170

दोषपूर्ण तराजू के कारण, दुकानदार ग्राहक से 1000 ग्राम के लिए शुल्क लेते हुए केवल 870 ग्राम माल देता है। दुकानदार के लिए 870 ग्राम माल का वास्तविक क्रय मूल्य है: 870 × ₹1 = ₹870

इस लेन-देन पर अर्जित शुद्ध लाभ है: शुद्ध लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 1170 - 870 = ₹300

शुद्ध लाभ प्रतिशत है: (शुद्ध लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (300 / 870) × 100 = 34.48%

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि राधा श्याम को कितनी दूरी से हराती है, हम उस समय में श्याम द्वारा तय की गई दूरी निर्धारित करते हैं जिसमें राधा दौड़ पूरी करती है।

राधा 1 किमी (1000 मीटर) की दौड़ 8 मिनट में पूरी करती है।

श्याम की गति की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: गति = दूरी / समय श्याम की गति = 1000 मीटर / 10 मिनट = 100 मीटर/मिनट

राधा द्वारा दौड़ पूरी करने में लगने वाले 8 मिनट में, श्याम तय करता है: दूरी = गति × समय दूरी = 100 मीटर/मिनट × 8 मिनट = 800 मीटर

वह दूरी जिससे राधा श्याम को हराती है, वह शेष दूरी है जिसे राधा के समाप्त करने पर श्याम को अभी भी तय करना है: 1000 मीटर - 800 मीटर = 200 मीटर

व्याख्या

पहली n प्राकृत संख्याओं का योग सूत्र S = n(n + 1)/2 का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

n = 78 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

S = 78 × (78 + 1) / 2

S = 78 × 79 / 2

S = 39 × 79

चूंकि योग को 39 और 79 के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए यह सीधे 79 से विभाज्य है।