एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, C को अंतिम विक्रय मूल्य इस प्रकार दिया गया है:

C द्वारा भुगतान की गई कीमत = A के लिए क्रय मूल्य × (1 + A का लाभ% / 100) × (1 + B का लाभ% / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

4,06,000 = A के लिए क्रय मूल्य × (1 + 10/100) × (1 + 5/100) 4,06,000 = A के लिए क्रय मूल्य × 1.1 × 1.05 4,06,000 = A के लिए क्रय मूल्य × 1.155

A के लिए क्रय मूल्य के लिए हल करना:

A के लिए क्रय मूल्य = 4,06,000 / 1.155 A के लिए क्रय मूल्य ≈ 3,51,515.15

केवल पूर्णांक भाग पर विचार करते हुए, A के लिए कार का क्रय मूल्य ₹3,51,515 है।

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित किया जाता है, तो ब्याज की वार्षिक दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: CI = P × [(1 + r/100)ⁿ - 1]

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹35,000 वार्षिक ब्याज दर = 6% प्रति वर्ष अर्ध-वार्षिक ब्याज दर (r) = 6% / 2 = 3% समय (t) = 2 वर्ष अर्ध-वार्षिक अवधियों की संख्या (n) = 2 × 2 = 4

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: CI = 35000 × [(1 + 3/100)⁴ - 1] CI = 35000 × (1.03⁴ - 1)

सबसे पहले, 1.03⁴ की गणना करें: 1.03² = 1.0609 1.03⁴ = (1.0609)² = 1.12550881

अब, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना करें: CI = 35000 × (1.12550881 - 1) CI = 35000 × 0.12550881 CI = 4392.808

निकटतम रुपये तक पूर्णांकित करने पर, चक्रवृद्धि ब्याज ₹4,393 है।

व्याख्या

किसी संख्या के 18 से विभाज्य होने के लिए, उसे 2 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए। कोई संख्या 2 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक सम हो, और वह 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो।

संख्या 245798 का अंतिम अंक 8 है, इसलिए यह एक सम संख्या है और 2 से विभाज्य है।

9 से विभाज्यता की जाँच के लिए इसके अंकों का योग ज्ञात करना: 2 + 4 + 5 + 7 + 9 + 8 = 35

चूंकि अंकों का योग, 35, 9 का गुणज नहीं है, इसलिए संख्या 9 से विभाज्य नहीं है। चूंकि यह 9 के लिए विभाज्यता परीक्षण में विफल रहती है, इसलिए यह 18 से विभाज्य नहीं है।

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रभावी छूट = a + b - (a × b) / 100

20% और 20% के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रभावी छूट = 20 + 20 - (20 × 20) / 100 = 36%

इस 36% की प्रभावी छूट और 35% की एकल छूट के बीच का अंतर है: 36% - 35% = 1%

मान लीजिए बिल की कुल राशि x है। छूट के मान में अंतर ₹22 है: x का 1% = 22 x = 2,200

व्याख्या

मान लीजिए प्रेरणा की गति v है। चूँकि रिया, प्रेरणा से 3/2 गुना तेज दौड़ती है, इसलिए रिया की गति 3v/2 है।

रिया की गति और प्रेरणा की गति का अनुपात 3/2 : 1 है, जो 3 : 2 हो जाता है।

चूँकि समान समय अवधि में तय की गई दूरी के लिए गति सीधे आनुपातिक होती है, इसलिए रिया द्वारा तय की गई दूरी और प्रेरणा द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात भी 3 : 2 है।

मान लीजिए रिया द्वारा तय की गई दूरी 3x है और प्रेरणा द्वारा तय की गई दूरी 2x है।

रिया, प्रेरणा को 100 मीटर की बढ़त देती है, जिसका अर्थ है कि जब वे मिलते हैं तो उनकी दूरियों के बीच का अंतर 100 मीटर है।

3x - 2x = 100 x = 100 मीटर

उनके मिलने से पहले रिया को दौड़नी पड़ने वाली दूरी है: 3 × 100 = 300 मीटर।

व्याख्या

आंतरिक वर्ग कोष्ठक में दूसरा जोड़ ऑपरेटर एक विभाजन ऑपरेटर (÷) का प्रतिनिधित्व करता है, जिससे व्यंजक प्राप्त होता है:

50% of [6 - {15 - [6 + 8 ÷ (5 - 3)] + 2}]

BODMAS नियम को चरण-दर-चरण लागू करना:

सबसे पहले, सबसे आंतरिक कोष्ठक को हल करें: 5 - 3 = 2

अगला, आंतरिक वर्ग कोष्ठक के अंदर विभाजन करें: 8 ÷ 2 = 4

फिर, आंतरिक वर्ग कोष्ठक के अंदर जोड़ करें: 6 + 4 = 10

यह कर्ली ब्रेसिज़ के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार कम कर देता है: {15 - 10 + 2}

शाब्दिक BODMAS क्रम का पालन करते हुए जहाँ घटाव से पहले जोड़ किया जाता है: 10 + 2 = 12 15 - 12 = 3

इस मान को बाहरी वर्ग कोष्ठक में प्रतिस्थापित करें: 6 - 3 = 3

अंत में, शेष मान का 50% की गणना करें: 3 का 50% = 0.5 × 3 = 1.5

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य (MP) है।

विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच मानक संबंध का उपयोग करते हुए, दी गई छूट प्रतिशत d% के साथ: SP = MP × (1 - d/100)

दिया गया है कि विक्रय मूल्य SP ₹1,326 है और छूट प्रतिशत d 15% है: 1326 = MP × (1 - 15/100) 1326 = MP × 85/100 1326 = MP × 17/20

MP के लिए हल करने पर: MP = (1326 × 20) / 17 MP = 78 × 20 MP = 1560

वस्तु का अंकित मूल्य ₹1,560 है।

व्याख्या

चूंकि (x + 2) और (x - 3) द्विघात व्यंजक x² + k₁x + k₂ के गुणनखंड हैं, इसलिए व्यंजक इन गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर होगा:

x² + k₁x + k₂ = (x + 2)(x - 3)

समीकरण के दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:

(x + 2)(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

x² + k₁x + k₂ = x² - x - 6 के दोनों पक्षों पर संगत पदों के गुणांकों की तुलना करने पर:

x का गुणांक k₁ = -1 देता है। अचर पद k₂ = -6 देता है।

व्याख्या

चूंकि अनुप्रस्थ काट ऊँचाई के मध्य बिंदु से आधार के समानांतर बनाई जाती है, ऊपरी हिस्सा एक छोटा शंकु बनाता है जो मूल शंकु के समान होता है।

इस ऊपरी शंकु की ऊँचाई मूल ऊँचाई की आधी है: h = 48 / 2 = 24 सेमी

इस ऊपरी शंकु की त्रिज्या मूल आधार त्रिज्या की आधी है: r = 14 / 2 = 7 सेमी

शंकु का आयतन V = (1/3) × π × r² × h सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: V = (1/3) × (22 / 7) × 7² × 24 V = (1/3) × (22 / 7) × 49 × 24 V = 22 × 7 × 8 V = 1232 सेमी³

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज (CI), साधारण ब्याज (SI), और प्रति वर्ष ब्याज दर (r) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CI - SI = SI × r / 200

सूत्र में CI = ₹300 और SI = ₹250 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

300 - 250 = 250 × r / 200

50 = 1.25 × r

r = 50 / 1.25

r = 40%

व्याख्या

किसी संख्या के 15 से विभाज्य होने के लिए, उसे 3 और 5 दोनों से विभाज्य होना चाहिए।

5 से विभाज्यता: अंतिम अंक, a, या तो 0 या 5 होना चाहिए।

3 से विभाज्यता: 143b203a के अंकों का योग 3 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग = 1 + 4 + 3 + b + 2 + 0 + 3 + a = 13 + a + b

a + b का सबसे बड़ा संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम a के दो संभावित मानों का मूल्यांकन करते हैं:

स्थिति 1: यदि a = 5 अंकों का योग = 13 + 5 + b = 18 + b 18 + b के 3 से विभाज्य होने के लिए, एकल अंक b, 0, 3, 6, या 9 हो सकता है। b का अधिकतम मान 9 है, जो a + b = 5 + 9 = 14 का सबसे बड़ा मान देता है।

स्थिति 2: यदि a = 0 अंकों का योग = 13 + 0 + b = 13 + b 13 + b के 3 से विभाज्य होने के लिए, एकल अंक b, 2, 5, या 8 हो सकता है। b का अधिकतम मान 8 है, जो a + b = 0 + 8 = 8 का सबसे बड़ा मान देता है।

दोनों स्थितियों की तुलना करने पर, a + b का सबसे बड़ा संभावित मान 14 है।

व्याख्या

मान लीजिए कि तीन समान खंडों AB, BC, और CD में से प्रत्येक की दूरी d है।

प्रत्येक खंड की यात्रा में लगने वाला समय है: A से B तक का समय = d/5 B से C तक का समय = d/10 C से D तक का समय = d/15

तय की गई कुल दूरी 3d है।

लिया गया कुल समय है: कुल समय = d/5 + d/10 + d/15

5, 10, और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 30 लेने पर, हमें प्राप्त होता है: कुल समय = (6d + 3d + 2d) / 30 = 11d/30

औसत गति कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय औसत गति = 3d / (11d/30) = 90/11 = 8 2/11 किमी/घंटा

यह लगभग 8 किमी/घंटा के बराबर है।

व्याख्या

P : Q : R का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम 17 और 15 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके Q के मान को दोनों अनुपातों में बराबर करते हैं।

अनुपात P : Q = 16 : 17 को 15 से गुणा करने पर P : Q = 240 : 255 प्राप्त होता है। अनुपात Q : R = 15 : 16 को 17 से गुणा करने पर Q : R = 255 : 272 प्राप्त होता है।

इन दोनों को मिलाने पर संयुक्त अनुपात P : Q : R = 240 : 255 : 272 प्राप्त होता है।

अनुपात के भागों का योग 240 + 255 + 272 = 767 है।

कुल बनाए गए रन 956 दिए गए हैं, R द्वारा बनाए गए रन इस प्रकार गणना किए जाते हैं: R द्वारा बनाए गए रन = (272 / 767) × 956 R द्वारा बनाए गए रन = 260024 / 767 ≈ 339.01

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, R द्वारा बनाए गए रनों की संख्या 339 है।

व्याख्या

प्रतिस्थापन के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करके: नए व्यक्ति का भार = प्रतिस्थापित व्यक्ति का भार + (पुरुषों की कुल संख्या × औसत भार में वृद्धि)

दिया गया है: प्रतिस्थापित व्यक्ति का भार = 65 किग्रा पुरुषों की कुल संख्या = 8 औसत भार में वृद्धि = 1.5 किग्रा

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: नए व्यक्ति का भार = 65 + (8 × 1.5) नए व्यक्ति का भार = 65 + 12 नए व्यक्ति का भार = 77 किग्रा

व्याख्या

दिया गया बीजगणितीय समीकरण है:

k + 1/k = 2

पूरे समीकरण को k से गुणा करने पर:

k² + 1 = 2k

पदों को एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करने पर:

k² - 2k + 1 = 0

इस द्विघात व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है:

(k - 1)² = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

k - 1 = 0 k = 1

अब हम k के इस मान को उस व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं जिसका हमें मूल्यांकन करना है:

8k × k × k = 8k³

k = 1 का उपयोग करके:

8 × 1³ = 8 × 1 = 8

व्याख्या

चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र का उपयोग करके: A = P × (1 + R/100)ⁿ

जहाँ: A वर्तमान जनसंख्या है = 18522 P 3 वर्ष पूर्व की जनसंख्या है R वार्षिक वृद्धि दर है = 5% n वर्षों की संख्या है = 3

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 18522 = P × (1 + 5/100)³ 18522 = P × (1 + 1/20)³ 18522 = P × (21/20)³ 18522 = P × 9261/8000

P के लिए हल करने पर: P = 18522 × 8000 / 9261 P = 2 × 8000 P = 16000

व्याख्या

श्रमिकों की कमाई श्रमिकों की संख्या और काम किए गए दिनों की संख्या दोनों के सीधे आनुपातिक होती है। इस संबंध को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

E₁ / (M₁ × D₁) = E₂ / (M₂ × D₂)

जहाँ M लड़कों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, और E कुल कमाई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 15 लड़के, D₁ = 5 दिन, E₁ = 900 M₂ = 20 लड़के, D₂ = 7 दिन

900 / (15 × 5) = E₂ / (20 × 7)

900 / 75 = E₂ / 140

12 = E₂ / 140

E₂ = 12 × 140 = 1680

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त का केंद्र O है। चूँकि AB और CD लंबवत व्यास हैं, वे O पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे त्रिभुज AOC, O पर समकोण त्रिभुज बन जाता है।

खंड OA और OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OC = r, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। व्यास AB की लंबाई 2r है, जिसका अर्थ है r = AB/2।

समकोण त्रिभुज AOC पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, जहाँ जीवा AC कर्ण है: AC² = OA² + OC² AC² = r² + r² AC² = 2r² AC = r√2

अभिव्यक्ति में r = AB/2 को प्रतिस्थापित करने पर: AC = (AB/2) × √2 = AB/√2

व्याख्या

मान लीजिए कंपनी का प्रारंभिक व्यय 100 है।

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन 25% की वृद्धि, 30% की वृद्धि और 20% की कमी हैं।

अंतिम व्यय की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: अंतिम व्यय = 100 × (1 + 25/100) × (1 + 30/100) × (1 - 20/100) अंतिम व्यय = 100 × 1.25 × 1.3 × 0.8 अंतिम व्यय = 100 × (5/4) × (13/10) × (4/5)

भिन्नों को सरल बनाना: अंतिम व्यय = 100 × 13/10 = 130

व्यय में समग्र प्रतिशत परिवर्तन है: समग्र परिवर्तन = (130 - 100) / 100 × 100% = 30%

व्याख्या

सर्वाधिक औसत प्रतिशत अंक वाले विषय का निर्धारण करने के लिए, हम प्रत्येक विषय के लिए प्रतिशत अंकों का योग ज्ञात करते हैं। चूँकि प्रत्येक विषय के लिए छह छात्र हैं, प्रतिशत अंकों के उच्चतम योग वाला विषय उच्चतम औसत देगा।

भूगोल के लिए प्रतिशत अंकों का योग है: 85 + 85 + 85 + 90 + 90 + 90 = 525

भूगोल के लिए औसत प्रतिशत अंक हैं: 525 / 6 = 87.5%

अन्य विषयों के लिए, योग और औसत हैं: भौतिकी: 85 + 75 + 80 + 90 + 95 + 90 = 515, जिससे 85.83% का औसत प्राप्त होता है रसायन विज्ञान: 90 + 75 + 60 + 85 + 90 + 90 = 490, जिससे 81.67% का औसत प्राप्त होता है गणित: 70 + 75 + 75 + 75 + 85 + 95 = 475, जिससे 79.17% का औसत प्राप्त होता है

भूगोल का औसत (87.5%) चारों विषयों में सर्वाधिक है।

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके, यदि x + y + z = 0 है, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz।

मान लीजिए x = r - s, y = s - t, और z = t - r। इन चरों को जोड़ने पर: x + y + z = (r - s) + (s - t) + (t - r) = 0

चूंकि योग शून्य है, अंश सरल होकर यह हो जाता है: (r - s)³ + (s - t)³ + (t - r)³ = 3(r - s)(s - t)(t - r)

इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 3(r - s)(s - t)(t - r) / (6(r - s)(s - t)(t - r))

अंश और हर से सामान्य पद (r - s)(s - t)(t - r) को रद्द करने पर प्राप्त होता है: 3 / 6 = ½

व्याख्या

जब दुकानदार चावल खरीदता है, तो वह 6% तक की धोखाधड़ी करता है, जिसका अर्थ है कि वह केवल 100 इकाइयों के लिए भुगतान करते हुए 106 इकाइयों चावल प्राप्त करता है। यदि 1 इकाई चावल की लागत ₹1 है, तो 106 इकाइयों के लिए उसका कुल क्रय मूल्य (CP) ₹100 है।

जब वह चावल बेचता है, तो वह 6% तक की धोखाधड़ी करता है, जिसका अर्थ है कि वह केवल 94 इकाइयाँ वितरित करता है जबकि ग्राहक से 100 इकाइयों का शुल्क लेता है। इस प्रकार, 94 इकाइयों के लिए उसका विक्रय मूल्य (SP) ₹100 है।

समग्र लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम समान मात्रा में चावल के लिए क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य की तुलना करते हैं।

चूंकि 94 इकाइयों का SP ₹100 है, इसलिए 106 इकाइयों का SP है: (100 / 94) × 106 = ₹112.7659...

चूंकि 106 इकाइयों के लिए CP ₹100 है, इसलिए लाभ प्रतिशत है: ((112.7659 - 100) / 100) × 100 = 12.77%

व्याख्या

रोलर द्वारा समतल किए गए खेल के मैदान का क्षेत्रफल 235 पूर्ण चक्करों में उसकी वक्र सतह द्वारा तय की गई कुल दूरी के बराबर है।

बेलनाकार रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × π × r × h

दिए गए त्रिज्या r = 14 सेमी, लंबाई h = 20 सेमी, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 14 × 20 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 2 × 20 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1760 सेमी²

खेल के मैदान का कुल क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को चक्करों की संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: कुल क्षेत्रफल = 1760 × 235 कुल क्षेत्रफल = 413600 सेमी²

इस मान को घातांकीय रूप में व्यक्त करने पर: कुल क्षेत्रफल = 4136 × 10² सेमी²

व्याख्या

व्यंजक 1/cos α, sec α के बराबर होता है। एक न्यून कोण α के लिए, sec α, cosec α के बराबर केवल तभी होता है जब α का मान 45° हो। किसी अन्य न्यून कोण के लिए, दोनों मान भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि α का मान 30° है, तो 1/cos 30° का मान 2/√3 होगा, जो cosec 30° (जिसका मान 2 होता है) के बराबर नहीं है।

व्याख्या

एक सिलेंडर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: A = 2πr(r + h)

यहां, r आधार की त्रिज्या है और h सिलेंडर की ऊंचाई है।

यह देखते हुए कि आधार का व्यास 28 सेमी है, त्रिज्या r है: r = 28 / 2 = 14 सेमी

ऊंचाई h 70 सेमी दी गई है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: A = 2 × (22/7) × 14 × (14 + 70) A = 2 × 22 × 2 × 84 A = 88 × 84 A = 7392 सेमी²

व्याख्या

सबसे पहले, ट्रैक्टर की गति निर्धारित करें: ट्रैक्टर की गति = 1150 किमी ÷ 23 घंटे = 50 किमी/घंटा

इसके बाद, बस की गति ट्रैक्टर की गति से दोगुनी है: बस की गति = 2 × 50 किमी/घंटा = 100 किमी/घंटा

कार की गति बस की गति की 1 3/5 (या 8/5) गुना है: कार की गति = 8/5 × 100 किमी/घंटा = 160 किमी/घंटा

अंत में, 4 घंटे में कार द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें: दूरी = गति × समय = 160 किमी/घंटा × 4 घंटे = 640 किमी

व्याख्या

द्विघात समीकरण x² - 9x + 1 = 0 दिया गया है।

चूंकि x शून्य नहीं हो सकता, दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर: x - 9 + 1/x = 0 x + 1/x = 9

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 9² x² + 2 + 1/x² = 81 x² + 1/x² = 79

दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = 79² x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 6241 x⁴ + 1/x⁴ = 6239

हम दिए गए व्यंजक x⁸ - 6239x⁴ + 1 को x⁴ को गुणनखंडित करके पुनः लिख सकते हैं: x⁸ - 6239x⁴ + 1 = x⁴(x⁴ - 6239 + 1/x⁴)

x⁴ + 1/x⁴ = 6239 को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x⁴(6239 - 6239) = x⁴ × 0 = 0

व्याख्या

हम sin θ और cos θ के पदों में cosec θ और cot θ की त्रिकोणमितीय परिभाषाओं को प्रतिस्थापित करके व्यंजक को सरल बनाते हैं:

cosec θ = 1/sin θ cot θ = cos θ/sin θ

इनको व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(cosec θ - cot θ)² = (1/sin θ - cos θ/sin θ)²

कोष्ठक के अंदर के पदों को एक ही हर के नीचे संयोजित करें:

(cosec θ - cot θ)² = ((1 - cos θ)/sin θ)²

अंश और हर को अलग-अलग वर्ग करें:

(cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ)² / sin² θ

पाइथागोरस सर्वसमिका से, sin² θ = 1 - cos² θ। इसे हर में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है:

(cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ)² / (1 - cos² θ)

वर्गों के अंतर का उपयोग करके हर का गुणनखंड करें, a² - b² = (a - b)(a + b):

(cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ)² / ((1 - cos θ)(1 + cos θ))

अंश और हर को उभयनिष्ठ गुणनखंड (1 - cos θ) से विभाजित करें:

(cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ) / (1 + cos θ)

व्याख्या

फरवरी 2021 में दुकानदार की कुल आय साप्ताहिक आय को जोड़कर प्राप्त की जाती है: 21,980 + 20,580 + 22,380 + 22,616 = 87,556। चूँकि फरवरी 2021 एक गैर-लीप वर्ष है जिसमें 28 दिन होते हैं, औसत दैनिक आय की गणना कुल आय को 28 से विभाजित करके की जाती है, जिससे 87,556 / 28 = 3,127 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक पुरुष की दैनिक कार्य क्षमता 'm' और एक महिला की दैनिक कार्य क्षमता 'w' है।

कुल कार्य श्रमिकों की संख्या और लिए गए दिनों का गुणनफल होता है। इसलिए, कुल कार्य को दो तरीकों से दर्शाया जा सकता है: कुल कार्य = 10 × (3m + 7w) = 30m + 70w कुल कार्य = 8 × (4m + 6w) = 32m + 48w

कुल कार्य के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 30m + 70w = 32m + 48w 22w = 2m m = 11w

यह दर्शाता है कि 1 पुरुष की दैनिक कार्य क्षमता 11 महिलाओं के बराबर है।

m = 11w को पहले कुल कार्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: कुल कार्य = 30 × 11w + 70w = 330w + 70w = 400w

10 महिलाओं द्वारा उसी कार्य को पूरा करने में लिया गया समय, कुल कार्य को 10 महिलाओं की दैनिक कार्य क्षमता से विभाजित करके दिया जाता है: समय = 400w ÷ 10w = 40 दिन

व्याख्या

एक सिलेंडर का आयतन V = π × r² × h सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h सिलेंडर की ऊंचाई है।

दिया गया है: त्रिज्या, r = 15 सेमी ऊंचाई, h = 119 सेमी π = 22/7

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = (22/7) × 15² × 119

चूंकि 119 को 7 से विभाजित करने पर 17 आता है, इसलिए व्यंजक सरल हो जाता है: V = 22 × 225 × 17 V = 4950 × 17 V = 84150 सेमी³

व्याख्या

मान लीजिए टेबल पंखे का मूल क्रय मूल्य 100 है।

पहला डीलर 25% का लाभ कमाता है। इसलिए, पहले डीलर के लिए विक्रय मूल्य, जो दूसरे डीलर के लिए क्रय मूल्य (CP₂) के रूप में कार्य करता है, है: CP₂ = 100 × (1 + 0.25) = 125

पंखे को अंततः मूल क्रय मूल्य पर 30% के लाभ पर बेचा जाता है। इसलिए, अंतिम विक्रय मूल्य (SP) है: SP = 100 × (1 + 0.30) = 130

दूसरे डीलर द्वारा अर्जित लाभ है: लाभ = SP - CP₂ = 130 - 125 = 5

दूसरे डीलर द्वारा कमाया गया लाभ प्रतिशत है: लाभ % = (लाभ / CP₂) × 100 लाभ % = (5 / 125) × 100 = 4%

व्याख्या

जब 52 सेमी लंबाई और 22 सेमी चौड़ाई के कागज के एक आयताकार टुकड़े को उसकी चौड़ाई के अनुदिश मोड़ा जाता है, तो कागज की चौड़ाई बेलन के वृत्ताकार आधार की परिधि बनाती है, और कागज की लंबाई बेलन की ऊंचाई बन जाती है।

बेलन के लिए: ऊंचाई, h = 52 सेमी आधार की परिधि, 2πr = 22 सेमी

π = 22/7 रखने पर: 2 × (22/7) × r = 22 r = 7/2 सेमी

बेलन का आयतन (V) इस प्रकार ज्ञात किया जाता है: V = πr²h V = (22/7) × (7/2)² × 52 V = (22/7) × (49/4) × 52 V = 11 × 7 × 26 V = 2002 सेमी³

व्याख्या

मिश्रण विधि का उपयोग करके, लड़कों और लड़कियों की संख्या का अनुपात उनके व्यक्तिगत औसत अंकों की तुलना संयुक्त औसत अंक से करके निर्धारित किया जाता है।

लड़कों का औसत अंक = 52 लड़कियों का औसत अंक = 72 संयुक्त औसत अंक = 60

लड़कों और लड़कियों का अनुपात = (लड़कियों का औसत अंक - संयुक्त औसत) : (संयुक्त औसत - लड़कों का औसत अंक) = (72 - 60) : (60 - 52) = 12 : 8 = 3 : 2

व्याख्या

कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। संख्या 123456 के लिए, अंतिम दो अंक 56 बनाते हैं। चूँकि 56, 4 से विभाज्य है (56 ÷ 4 = 14), इसलिए पूरी संख्या 123456, 4 से विभाज्य है।

व्याख्या

जब दो व्यक्ति विपरीत दिशाओं में u और v की गति से एक वृत्ताकार पथ पर दौड़ते हैं, तो अलग-अलग मिलने वाले बिंदुओं की संख्या (u + v) / gcd(u, v) द्वारा दी जाती है। दी गई गति 8 मीटर/सेकंड और 6 मीटर/सेकंड को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (8 + 6) / gcd(8, 6) = 14 / 2 = 7 अलग-अलग मिलने वाले बिंदु प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मूल्यांकन करें: 21 - 13 × 8 + 4 × 3 पहले गुणा का प्रयोग करते हुए: 13 × 8 = 104 4 × 3 = 12 यह सरल हो जाता है: 21 - 104 + 12 = -71

अगला, मजले कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मूल्यांकन करें: 1491 ÷ 3(-71) पहले कोष्ठक से जुड़ी गुणा का मूल्यांकन करते हुए: 3 × (-71) = -213 फिर भाग करते हुए: 1491 ÷ (-213) = -7

अब, वर्ग कोष्ठक में पद का मूल्यांकन करें: 119 ÷ (-7) = -17

अंत में, इसे मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 272 ÷ 16 + [-17] चूंकि 272 ÷ 16 = 17, हमारे पास है: 17 - 17 = 0

व्याख्या

खुशी को भुगतान की जाने वाली अंतिम कीमत विक्रय मूल्य के सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट प्रतिशत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

विक्रय मूल्य = 6000 × (1 - 20/100) विक्रय मूल्य = 6000 × 0.80 विक्रय मूल्य = 4800

व्याख्या

मान लीजिए C₁ और C₂ क्रमशः r₁ = 4 सेमी और r₂ = 6 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्र हैं। मान लीजिए अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा दो वृत्तों को T₁ और T₂ बिंदुओं पर स्पर्श करती है, और यह केंद्रों C₁C₂ को मिलाने वाली रेखा को P बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

त्रिज्याएँ C₁T₁ और C₂T₂ स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्शरेखा T₁T₂ के लंबवत हैं। इसलिए, त्रिभुज C₁T₁P और C₂T₂P समकोण त्रिभुज हैं जिनमें ∠C₁T₁P = ∠C₂T₂P = 90° है।

ऊर्ध्वाधर सम्मुख कोण ∠C₁PT₁ और ∠C₂PT₂ बराबर हैं। कोण-कोण (Angle-Angle) समरूपता कसौटी द्वारा, त्रिभुज C₁T₁P, त्रिभुज C₂T₂P के समरूप है।

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म द्वारा, संगत भुजाओं का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है:

C₁P / C₂P = C₁T₁ / C₂T₂ = r₁ / r₂ = 4 / 6 = 2 / 3

इस प्रकार, अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा केंद्रों को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 2:3 के अनुपात में विभाजित करती है।

व्याख्या

आवश्यक प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले सभी चार उत्पादों के लिए मार्च में निर्मित इकाइयों की कुल संख्या की गणना करें: 300 + 268 + 236 + 292 = 1096

इसके बाद, सभी चार दिए गए महीनों में निर्मित चम्मचों की कुल संख्या की गणना करें: 284 + 236 + 220 + 260 = 1000

अब, कुल चम्मचों के निर्माण की तुलना में कुल मार्च इकाइयों का प्रतिशत ज्ञात करें: प्रतिशत = (1096 ÷ 1000) × 100 = 109.6%

व्याख्या

व्यक्ति की आय, व्यय और बचत को कुल के भागों के रूप में दर्शाया गया है।

आय और व्यय का अनुपात 8:5 दिया गया है, इसलिए हमारे पास है: आय = 8 इकाई व्यय = 5 इकाई बचत = आय - व्यय = 8 - 5 = 3 इकाई

मान लीजिए बचत में प्रतिशत वृद्धि x% है।

भारित औसत संबंध के अनुसार, आय में कुल वृद्धि व्यय और बचत में वृद्धि के योग के बराबर होती है: आय में प्रतिशत वृद्धि × आय = (व्यय में प्रतिशत वृद्धि × व्यय) + (बचत में प्रतिशत वृद्धि × बचत)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 25 × 8 = (28 × 5) + (x × 3) 200 = 140 + 3x 3x = 60 x = 20

व्याख्या

समूहबद्ध आवृत्ति वितरण का अंकगणितीय माध्य (x̄) निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

x̄ = ∑(f × x) / ∑f

जहाँ x प्राप्त अंकों को दर्शाता है, और f उन अंकों को प्राप्त करने वाले छात्रों की आवृत्ति को दर्शाता है।

सबसे पहले, कुल आवृत्ति (∑f) की गणना करें: ∑f = 3 + 2 + 2 + 4 + 6 + 7 + 7 + 5 + 3 + 4 + 2 = 45

इसके बाद, अंकों और उनकी संगत आवृत्तियों के गुणनफलों का योग (∑(f × x)) ज्ञात करें: ∑(f × x) = (0 × 3) + (1 × 2) + (2 × 2) + (3 × 4) + (4 × 6) + (5 × 7) + (6 × 7) + (7 × 5) + (8 × 3) + (9 × 4) + (10 × 2) ∑(f × x) = 0 + 2 + 4 + 12 + 24 + 35 + 42 + 35 + 24 + 36 + 20 = 234

अब, अंकगणितीय माध्य ज्ञात करने के लिए इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: x̄ = 234 ÷ 45 = 5.2

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय रूप का है: a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(a + c)(b + c)

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a)

यहाँ, मान लीजिए: a = ½ b = 3/2 c = 6

अब, चरों का योग ज्ञात करें: a + b + c = ½ + 3/2 + 6 = 4/2 + 6 = 2 + 6 = 8

इस योग को सर्वसमिका में वापस प्रतिस्थापित करने पर: (a + b + c)³ = 8³ = 512

व्याख्या

1 संतरे का क्रय मूल्य = 15 / 5 = ₹3

1 संतरे का विक्रय मूल्य = ₹5/3

प्रति संतरे हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य = 3 - 5/3 = 4/3

हानि प्रतिशत = (हानि / क्रय मूल्य) × 100 हानि प्रतिशत = ((4/3) / 3) × 100 = (4/9) × 100 = 400/9 % = 44 4/9 %

व्याख्या

कम गति से तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हम पहले प्रारंभिक गति को मीटर प्रति मिनट से किलोमीटर प्रति घंटा में परिवर्तित करते हैं: प्रारंभिक गति = 450 मीटर/मिनट = 450 × 60 / 1000 किमी/घंटा = 27 किमी/घंटा

शेष यात्रा के लिए गति प्रारंभिक गति का 1.4 गुना है: उच्च गति = 1.4 × 27 किमी/घंटा = 37.8 किमी/घंटा

मान लीजिए कि कम गति से यात्रा करने में लगा समय t घंटे है। चूँकि यात्रा के लिए कुल समय 1 घंटा है, इसलिए उच्च गति से यात्रा करने में लगा समय 1 - t घंटे है।

कुल दूरी के लिए संबंध का उपयोग करके: दूरी = गति × समय 27t + 37.8(1 - t) = 33.3 27t + 37.8 - 37.8t = 33.3 10.8t = 4.5 t = 4.5 / 10.8 = 5/12 घंटे

कम गति से तय की गई दूरी है: दूरी = 27 × 5/12 = 11.25 किमी

व्याख्या

शेष काम प्रारंभिक 40 पुरुषों द्वारा 18 - 9 = 9 दिनों में पूरा किया जा सकता है।

कार्य सूत्र का उपयोग करके: M₁ × D₁ = M₂ × D₂

यहाँ, M₁ = 40 पुरुष, D₁ = 9 दिन, और पुरुषों की नई संख्या M₂ = 40 + 5 = 45 पुरुष हैं।

आवश्यक दिनों (D₂) को खोजने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करना: 40 × 9 = 45 × D₂ D₂ = 360 / 45 D₂ = 8 दिन

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, nवें वर्ष में अर्जित ब्याज का सूत्र है: Iₙ = P × r × (1 + r)ⁿ⁻¹

जहाँ P मूल राशि है और r वार्षिक ब्याज दर है।

पहले वर्ष के लिए (n = 1): I₁ = P × r = 400

दूसरे वर्ष के लिए (n = 2): I₂ = P × r × (1 + r) = 420

दूसरे वर्ष के ब्याज को पहले वर्ष के ब्याज से विभाजित करने पर: I₂ / I₁ = (P × r × (1 + r)) / (P × r) 420 / 400 = 1 + r 1.05 = 1 + r r = 0.05

मूल राशि P ज्ञात करने के लिए पहले वर्ष के समीकरण में इस ब्याज दर का उपयोग करने पर: P × 0.05 = 400 P = 400 / 0.05 = 8000

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति का मासिक वेतन S है।

व्यक्ति अपने वेतन का 20% भोजन पर खर्च करता है, जिससे शेष राशि बचती है: 100% - 20% = S का 80% = 0.8S

वह इस शेष वेतन का एक-चौथाई दान पर खर्च करता है: दान व्यय = 1/4 × 0.8S = 0.2S

भोजन और दान दोनों के व्यय के बाद शेष राशि है: 0.8S - 0.2S = 0.6S

उसकी £9,600 की मासिक बचत इस शेष राशि का आधा है: बचत = 1/2 × 0.6S = 0.3S 0.3S = 9,600 S = 9,600 / 0.3 = 32,000

व्याख्या

वृत्त के चाप की लंबाई (L) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = (θ / 360°) × 2πr

जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और θ केंद्र पर चाप द्वारा बनाया गया कोण है।

दिए गए मानों, r = 35 सेमी, θ = 36°, और π = 22 / 7 को प्रतिस्थापित करने पर:

L = (36 / 360) × 2 × (22 / 7) × 35

L = (1 / 10) × 2 × 22 × 5

L = (1 / 10) × 220 = 22 सेमी

व्याख्या

जब तीन संख्याएँ a, b और c दी जाती हैं, तो उनका तृतीय समानुपाती x समानुपात में अज्ञात चर को तीसरी स्थिति में रखकर परिभाषित किया जाता है:

a : b :: x : c

इस संबंध को भिन्नात्मक रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

a / b = x / c

दिए गए मानों, a = 4, b = 15, और c = 24 को प्रतिस्थापित करने पर:

4 / 15 = x / 24

x के लिए हल करने पर:

x = (4 × 24) / 15 x = 96 / 15

भिन्न को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करने पर:

x = 32 / 5