एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

घन के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)

दिए गए मान x + y = 14 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 14³ = x³ + y³ + 3xy(14)

14 का घन ज्ञात करने पर: 14³ = 14 × 14 × 14 = 2744

इस मान को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 2744 = x³ + y³ + 42xy

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, जब दो विमाओं को x% और y% बढ़ाया जाता है तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन इस प्रकार दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = x + y + xy/100

दिए गए मानों, x = 15% और y = 20% को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 15 + 20 + (15 × 20)/100 शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 35 + 300/100 शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 35 + 3 = 38%

व्याख्या

क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य / (1 - हानि प्रतिशत)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, क्रय मूल्य = 18,200 / 0.85 = 21,411.76, और केवल पूर्णांक भाग पर विचार करने पर ₹21,411 प्राप्त होता है।

व्याख्या

25%, 4% और 5% की तीन क्रमिक छूटों के बाद विक्रय मूल्य की गणना 18,000 * 0.75 * 0.96 * 0.95 के रूप में की जाती है। यह गुणनफल 13,500 * 0.96 * 0.95 = 12,960 * 0.95 = 12,312 देता है।

व्याख्या

धारा के साथ और धारा के विपरीत कुल यात्रा के लिए लिया गया कुल समय का सूत्र T = d / (v + s) + d / (v - s) है, जहाँ d दूरी है, v शांत जल में नाव की गति है, और s धारा की गति है।

यह देखते हुए कि v = 15 किमी/घंटा, d = 30 किमी, और कुल समय T 4 घंटे 30 मिनट है, जो कि 9/2 घंटे है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

9/2 = 30 / (15 + s) + 30 / (15 - s)

समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर:

3/2 = 10 / (15 + s) + 10 / (15 - s)

दाईं ओर सामान्य हर लेने पर:

3/2 = 10 × (15 - s + 15 + s) / (225 - s²)

3/2 = 300 / (225 - s²)

s के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर:

225 - s² = 300 × 2 / 3

225 - s² = 200

s² = 25

s = 5 किमी/घंटा

व्याख्या

अंग्रेजी ओलंपियाड में भाग लेने वाले प्रति कॉलेज छात्रों की औसत संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अंकगणितीय माध्य के सूत्र का उपयोग करते हैं:

औसत = प्रेक्षणों का योग / प्रेक्षणों की संख्या

तालिका से, पाँच कॉलेजों (A, B, C, D, और E) से अंग्रेजी ओलंपियाड में भाग लेने वाले छात्रों की संख्या है:

कॉलेज A = 98 कॉलेज B = 120 कॉलेज C = 80 कॉलेज D = 122 कॉलेज E = 105

इन मानों को जोड़ने पर:

कुल छात्र = 98 + 120 + 80 + 122 + 105 = 525

चूंकि कुल 5 कॉलेज हैं, हम योग को 5 से विभाजित करते हैं:

औसत = 525 / 5 = 105

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट % = ((अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य) × 100

दिया गया है: अंकित मूल्य = £15,000 विक्रय मूल्य = £13,500

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

छूट % = ((15,000 - 13,500) / 15,000) × 100 छूट % = (1,500 / 15,000) × 100 छूट % = 0.1 × 100 = 10%

व्याख्या

10% और -10% के क्रमिक परिवर्तनों के कारण जनसंख्या में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन = A + B + (A × B)/100

A = 10 और B = -10 रखने पर:

शुद्ध परिवर्तन = 10 - 10 + (10 × -10)/100 = -1%

यह दो-वर्ष की अवधि में 1% की शुद्ध कमी को दर्शाता है।

वर्तमान जनसंख्या = प्रारंभिक जनसंख्या × (1 - 1/100) वर्तमान जनसंख्या = 1000 × 0.99 = 990

व्याख्या

संयुक्त समूह का भारित औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है: संयुक्त औसत = (n₁w₁ + n₂w₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, पहले समूह में n₁ = 18 लड़के हैं जिनका औसत भार w₁ = 45 किलोग्राम है, और दूसरे समूह में n₂ = 8 लड़के हैं जिनका औसत भार w₂ = 48.75 किलोग्राम है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: संयुक्त औसत = (18 × 45 + 8 × 48.75) / (18 + 8) संयुक्त औसत = (810 + 390) / 26 संयुक्त औसत = 1200 / 26 संयुक्त औसत = 600 / 13 ≈ 46.15 किलोग्राम

व्याख्या

m से शुरू होने वाली पाँच क्रमागत प्राकृत संख्याएँ m, m + 1, m + 2, m + 3, और m + 4 हैं।

इन पाँच संख्याओं का औसत उनके योग को 5 से विभाजित करके निकाला जाता है:

औसत = (m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4)) / 5 औसत = (5m + 10) / 5 औसत = m + 2

वैकल्पिक रूप से, विषम संख्या में पदों वाली किसी भी समांतर श्रेणी के लिए, औसत हमेशा मध्य पद के बराबर होता है। चूँकि पाँच पद हैं, मध्य (तीसरा) पद m + 2 है।

व्याख्या

व्यक्तियों की संख्या (M), दिनों की संख्या (D), और किए गए कार्य (W) के बीच संबंध कार्य सूत्र द्वारा दिया गया है:

(M₁ × D₁) / W₁ = (M₂ × D₂) / W₂

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

M₁ = 5 व्यक्ति D₁ = 5 दिन W₁ = 5 मेजें M₂ = 25 व्यक्ति W₂ = 25 मेजें

(5 × 5) / 5 = (25 × D₂) / 25

5 = D₂

इसलिए, आवश्यक दिनों की संख्या 5 दिन है।

व्याख्या

साइन के त्रिक-कोण (triple-angle) के मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sin 3x = 3sin x - 4sin³x

हम इस सर्वसमिका को सीधे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 4sin³x - 3sin x + sin 3x = 4sin³x - 3sin x + (3sin x - 4sin³x)

समान पदों को मिलाने पर व्यंजक सरल हो जाता है: (4sin³x - 4sin³x) + (-3sin x + 3sin x) = 0 + 0 = 0

व्याख्या

4 सदस्यों के परिवार का कुल वजन है: 4 × 45 = 180 किलोग्राम

दादा-दादी के आने के बाद 6 सदस्यों के परिवार का कुल वजन है: 6 × 48 = 288 किलोग्राम

दादाजी और दादीजी का संयुक्त वजन इन दो कुल योगों के बीच का अंतर है: 288 - 180 = 108 किलोग्राम

दादा-दादी का औसत वजन है: 108 ÷ 2 = 54 किलोग्राम

व्याख्या

किसी वृत्त की जीवा (chord) को एक सीधी रेखा खंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दोनों सिरे वृत्त पर स्थित होते हैं। किसी भी वृत्त में सबसे लंबी संभव जीवा वह होती है जो केंद्र से होकर गुजरती है, जो परिभाषा के अनुसार उस वृत्त का व्यास होती है। चूंकि समस्या में निर्दिष्ट है कि 10 सेमी लंबाई की एक जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, यह जीवा व्यास है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc का प्रयोग करके जहाँ a = 2x, b = 3y, और c = 4z है, व्यंजक (2x)³ + (3y)³ + (4z)³ - 3(2x)(3y)(4z) तक सरल हो जाता है। इससे 8x³ + 27y³ + 64z³ - 72xyz प्राप्त होता है, जो विकल्प B से मेल खाता है।

व्याख्या

धन्या द्वारा रखे गए शेयरों की प्रारंभिक संख्या की गणना कुल जारी शेयरों में से उसकी प्रतिशत हिस्सेदारी लेकर की जाती है: धन्या के प्रारंभिक शेयर = 10000 का 35% = 0.35 × 10000 = 3500

जब तन्मय अपने 1000 शेयर धन्या को बेचता है, तो ये शेयर धन्या की मौजूदा शेयरधारिता में जोड़ दिए जाते हैं: धन्या के अंतिम शेयर = 3500 + 1000 = 4500

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच माध्य समानुपाती का सूत्र √(a × b) है।

दिए गए मानों a = 144 और b = 225 को प्रतिस्थापित करने पर:

माध्य समानुपाती = √(144 × 225)

वर्गमूलों के गुणधर्म का उपयोग करके, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

√(144 × 225) = √144 × √225

चूंकि √144 = 12 और √225 = 15:

12 × 15 = 180

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

क्षेत्रफल(△ABC) / क्षेत्रफल(△PQR) = (BC / QR)²

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

64 / 121 = (BC / 15.4)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

8 / 11 = BC / 15.4

BC के लिए हल करने पर:

BC = (8 × 15.4) / 11 BC = 8 × 1.4 BC = 11.2 cm

व्याख्या

भारित औसत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भारित औसत = ∑ (मान × भार)

सबसे पहले, स्कोर और प्रतिशत भार को दशमलव रूप में बदलें:

सुरक्षा: मान = 8/10 = 0.8, भार = 40% = 0.4 आराम: मान = 6/10 = 0.6, भार = 20% = 0.2 ईंधन माइलेज: मान = 5/10 = 0.5, भार = 30% = 0.3 बाहरी रूप: मान = 8/10 = 0.8, भार = 10% = 0.1

अब, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

भारित औसत = (0.8 × 0.4) + (0.6 × 0.2) + (0.5 × 0.3) + (0.8 × 0.1) भारित औसत = 0.32 + 0.12 + 0.15 + 0.08 भारित औसत = 0.67

व्याख्या

मान लीजिए अनामिका द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय T दिन है और बानी द्वारा लिया गया समय 3T दिन है, क्योंकि उनके समय का अनुपात 1:3 है।

उनके द्वारा लिए गए समय का अंतर 40 दिन है: 3T - T = 40 2T = 40 T = 20 दिन

इसलिए, अनामिका को व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने में 20 दिन लगते हैं और बानी को 3 × 20 = 60 दिन लगते हैं।

एक साथ काम करते समय, लिया गया कुल समय है: (अनामिका द्वारा लिया गया समय × बानी द्वारा लिया गया समय) / (अनामिका द्वारा लिया गया समय + बानी द्वारा लिया गया समय) = (20 × 60) / (20 + 60) = 1200 / 80 = 15 दिन

व्याख्या

ऋणात्मक घातांक नियम का उपयोग करके, पद को पुनः लिखें: a⁻¹ + b⁻¹ = 1/a + 1/b = (a + b) / ab

इसे दिए गए व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करना: 3ab × (a + b)⁻¹ × (a⁻¹ + b⁻¹) = 3ab × (1 / (a + b)) × ((a + b) / ab)

इन पदों को एक साथ गुणा करने पर, अंश और हर में (a + b) और ab पद रद्द हो जाते हैं: 3ab × (1 / (a + b)) × ((a + b) / ab) = 3

व्याख्या

दिए गए संबंध से: x + 1/x = 5

हमें व्यंजक का मूल्यांकन करना है: 3x / (2x² + 2 - 5x)

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करते हैं: अंश: 3x / x = 3 हर: (2x² + 2 - 5x) / x = 2x + 2/x - 5 = 2(x + 1/x) - 5

सरलीकृत हर में x + 1/x = 5 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर: हर = 2(5) - 5 = 10 - 5 = 5

इस प्रकार, व्यंजक का मान 3/5 है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, यदि कोई राशि 't' वर्षों में 'n' गुना हो जाती है, तो यह 'k × t' वर्षों में 'nᵏ' गुना हो जाएगी।

यहां, राशि 4 वर्षों में 3 गुना हो जाती है, इसलिए n = 3 और t = 4 है।

हम राशि को 81 गुना होने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करना चाहते हैं। 81 को 3 की घात के रूप में लिखना: 81 = 3⁴

इससे k = 4 प्राप्त होता है।

सूत्र लागू करने पर, आवश्यक समय है: k × t = 4 × 4 = 16 वर्ष।

व्याख्या

सबसे पहले, मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 2 2/3 = 8/3 1 4/3 = 7/3 1 6/7 = 13/7 5 1/2 = 11/2

इन विषम भिन्नों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 8/3 + 7/3 × 13/7 ÷ 11/2

BODMAS संक्रिया क्रम का पालन करते हुए, पहले भाग करें: 13/7 ÷ 11/2 = 13/7 × 2/11 = 26/77

इसके बाद, गुणा करें: 7/3 × 26/77 = 26/33

अंत में, एक सामान्य हर ज्ञात करके जोड़ें: 8/3 + 26/33 = 88/33 + 26/33 = 114/33

अंश और हर को उनके महत्तम समापवर्तक, 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल करें: 114/33 = 38/11

विषम भिन्न 38/11 को वापस मिश्रित भिन्न में बदलें: 38/11 = 3 5/11

व्याख्या

12 जोड़ी जूतों का अंकित मूल्य = ₹7,200 छूट प्रतिशत = 20%

12 जोड़ी जूतों का विक्रय मूल्य = 7200 × (100 - 20)/100 = 7200 × 0.80 = ₹5,760

1 जोड़ी जूतों का विक्रय मूल्य = 5760 / 12 = ₹480

₹1,440 में खरीदी जा सकने वाली जूतों की जोड़ियों की संख्या = 1440 / 480 = 3

व्याख्या

त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) 2πrh होता है।

बेलन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) 2πr(h + r) होता है।

वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल से अनुपात 3:7 है।

CSA / TSA = 3/7

अनुपात में सूत्रों को प्रतिस्थापित करें: 2πrh / [2πr(h + r)] = 3/7

अंश और हर से 2πr को रद्द करके भिन्न को सरल करें: h / (h + r) = 3/7

h और r के बीच संबंध को हल करने के लिए तिरछा गुणा करें: 7h = 3(h + r) 7h = 3h + 3r 4h = 3r h/r = 3/4

इससे ऊँचाई का त्रिज्या से अनुपात h:r = 3:4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए P और Q क्रमशः P और Q के वेतन को दर्शाते हैं।

उनके वेतन का योग समीकरण द्वारा दिया गया है: P + Q = 1,20,000

चूंकि P अपने वेतन का 95% खर्च करता है, उसकी बचत है: 100% - 95% = P का 5%

चूंकि Q अपने वेतन का 85% खर्च करता है, उसकी बचत है: 100% - 85% = Q का 15%

उनकी बचत समान है, जिससे यह प्राप्त होता है: P का 5% = Q का 15% 0.05 × P = 0.15 × Q P = 3 × Q

पहले समीकरण में P = 3 × Q को प्रतिस्थापित करने पर: 3 × Q + Q = 1,20,000 4 × Q = 1,20,000 Q = 30,000

P ज्ञात करने के लिए Q के मान का उपयोग करते हुए: P = 3 × 30,000 = 90,000

व्याख्या

प्रारंभिक बचत की गणना प्रारंभिक आय और प्रारंभिक व्यय के अंतर के रूप में की जाती है: प्रारंभिक बचत = 1,20,000 - 55,000 = 65,000

आय में वृद्धि 1,20,000 का 22% है: आय में वृद्धि = 0.22 × 1,20,000 = 26,400

व्यय में वृद्धि 55,000 का 10% है: व्यय में वृद्धि = 0.10 × 55,000 = 5,500

बचत में शुद्ध वृद्धि आय में वृद्धि और व्यय में वृद्धि के बीच का अंतर है: बचत में वृद्धि = 26,400 - 5,500 = 20,900

बचत में प्रतिशत वृद्धि बचत में वृद्धि को प्रारंभिक बचत से विभाजित करके, 100 से गुणा करके प्राप्त की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (20,900 / 65,000) × 100 = 2,090 / 65 = 32.15%

व्याख्या

इनपुट, आउटपुट और अनुपात के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: अनुपात = इनपुट / आउटपुट

इसे आउटपुट ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: आउटपुट = इनपुट / अनुपात

वर्ष 1998 के लिए: 1998 में इनपुट = 1,200 करोड़ 1998 में अनुपात = 0.9 1998 में आउटपुट = 1200 / 0.9 = 4000/3 करोड़

वर्ष 1998 और 2000 का कुल आउटपुट मिलाकर 2,500 करोड़ है। इसलिए: 2000 में आउटपुट = 2500 - 4000/3 = (7500 - 4000) / 3 = 3500/3 करोड़

वर्ष 2000 के लिए, इनपुट से आउटपुट का अनुपात 1.8 है। 2000 में इनपुट ज्ञात करने के लिए: 2000 में इनपुट = 2000 में अनुपात × 2000 में आउटपुट 2000 में इनपुट = 1.8 × (3500/3) = 0.6 × 3500 = 2,100 करोड़

व्याख्या

मान लीजिए आवश्यक संख्या x है। इस संख्या को 11 से गुणा करने पर गुणनफल केवल 6 से बनी छह अंकों की संख्या है, जो कि 666666 है।

x ज्ञात करने के लिए, समीकरण स्थापित करें: x × 11 = 666666

अब, 666666 को 11 से विभाजित करें: x = 666666 ÷ 11 x = 60606

व्याख्या

अधिकतम कुल प्रतिभागियों वाले कॉलेज का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक कॉलेज के लिए सभी पाँच विषयों में प्रतिभागियों का कुल योग ज्ञात करते हैं।

कॉलेज A के लिए कुल प्रतिभागियों की संख्या 110 + 98 + 130 + 100 + 182 = 620 है। कॉलेज B के लिए कुल प्रतिभागियों की संख्या 100 + 120 + 110 + 100 + 200 = 630 है। कॉलेज C के लिए कुल प्रतिभागियों की संख्या 125 + 80 + 250 + 150 + 120 = 725 है। कॉलेज D के लिए कुल प्रतिभागियों की संख्या 103 + 122 + 160 + 200 + 130 = 715 है। कॉलेज E के लिए कुल प्रतिभागियों की संख्या 112 + 105 + 180 + 80 + 183 = 660 है।

इन कुल योगों की तुलना करने पर, कॉलेज C के पास 725 प्रतिभागियों के साथ सबसे अधिक कुल संख्या है।

व्याख्या

वस्तु का अंकित मूल्य 100 मान लीजिए।

तनवीर अंकित मूल्य का 75% नकद में और शेष 25% क्रेडिट कार्ड से भुगतान करता है।

अंकित मूल्य का नकद हिस्सा = 75 अंकित मूल्य का क्रेडिट कार्ड हिस्सा = 25

नकद हिस्से पर 32% की छूट दी गई है, इसलिए नकद में किया गया वास्तविक भुगतान है: 75 × (1 - 0.32) = 75 × 0.68 = 51

क्रेडिट कार्ड हिस्से में 1.2% अतिरिक्त जोड़ा गया है, इसलिए क्रेडिट कार्ड से किया गया वास्तविक भुगतान है: 25 × (1 + 0.012) = 25 × 1.012 = 25.3

उसका कुल अंतिम भुगतान दोनों भुगतानों का योग है: 51 + 25.3 = 76.3

चूंकि प्रारंभिक अंकित मूल्य 100 था, 76.3 का कुल अंतिम भुगतान अंकित मूल्य का 76.3% दर्शाता है।

व्याख्या

कमरे में रखे जा सकने वाले सबसे लंबे बांस के खंभे की लंबाई घनाभ के आकार के कमरे के विकर्ण की लंबाई के बराबर होती है।

लंबाई l, चौड़ाई b और ऊंचाई h वाले घनाभ के विकर्ण d का सूत्र है: d = √(l² + b² + h²)

दिए गए मानों, l = 16 मीटर, b = 12 मीटर और h = 10 मीटर को सूत्र में रखने पर: d = √(16² + 12² + 10²) d = √(256 + 144 + 100) d = √500 d = 10√5 मीटर

व्याख्या

प्रतिस्थापन के लिए सीधे सूत्र का उपयोग करके: नए व्यक्ति का भार = हटाए गए व्यक्ति का भार + (व्यक्तियों की कुल संख्या × औसत भार में वृद्धि)

दिया गया है: हटाए गए व्यक्ति का भार = 45 किग्रा व्यक्तियों की कुल संख्या = 8 औसत भार में वृद्धि = 2.5 किग्रा

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: नए व्यक्ति का भार = 45 + 8 × 2.5 नए व्यक्ति का भार = 45 + 20 = 65 किग्रा

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच का मध्य समानुपाती √(a × b) सूत्र द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए अज्ञात संख्या x है। सूत्र के अनुसार: √(6 × x) = 30

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 6 × x = 30² 6 × x = 900

दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर: x = 150

व्याख्या

चोर के सापेक्ष पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति उनकी गति का अंतर है क्योंकि वे एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं: सापेक्ष गति = 23 किमी/घंटा - 19 किमी/घंटा = 4 किमी/घंटा

इस सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलना: सापेक्ष गति = 4 × 5/18 = 10/9 मी/से

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय प्रारंभिक अलगाव दूरी को उनकी सापेक्ष गति से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = 480 ÷ (10/9) = 480 × 9/10 = 432 सेकंड

इस समय के दौरान चोर द्वारा तय की गई दूरी है: दूरी = चोर की गति × समय

चोर की 19 किमी/घंटा की गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलना: चोर की गति = 19 × 5/18 = 95/18 मी/से

दूरी = 95/18 × 432 = 95 × 24 = 2280 मीटर

व्याख्या

मिश्रण का अनुपात मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

सस्ते गेहूं और महंगे गेहूं का अनुपात = (महंगे गेहूं का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - सस्ते गेहूं का मूल्य)

दिया गया है: सस्ते गेहूं का मूल्य = ₹20.40 प्रति किलोग्राम महंगे गेहूं का मूल्य = ₹25.50 प्रति किलोग्राम मिश्रण का औसत मूल्य = ₹23.80 प्रति किलोग्राम

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

अंतर 1 (महंगा - औसत) = 25.50 - 23.80 = 1.70 अंतर 2 (औसत - सस्ता) = 23.80 - 20.40 = 3.40

आवश्यक अनुपात = 1.70 : 3.40 = 1 : 2

व्याख्या

व्यंजक को सरलीकृत करने और अंश में एक टाइपोग्राफ़िकल वर्ग को ठीक करने पर, हमें cos²(90 - theta) - [cos(90 - theta) * cos(theta)] / cot(theta) प्राप्त होता है। यह sin²(theta) - [sin(theta) * cos(theta)] / (cos(theta) / sin(theta)) = sin²(theta) - sin²(theta) = 0 तक सरलीकृत हो जाता है।

व्याख्या

घन का आयतन V = a³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है। यह दिया गया है कि आयतन 1331 cm³ है, इसलिए भुजा की लंबाई घनमूल लेकर ज्ञात की जाती है:

a = ∛1331 = 11 cm

घन के विकर्ण की लंबाई d = a√3 सूत्र द्वारा दी जाती है। भुजा की लंबाई को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = 11√3 cm

व्याख्या

माना k = x + 1/x.

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 = k² - 2

इस संबंध का वर्ग करने पर: x⁴ + 1/x⁴ = (x² + 1/x²)² - 2 = (k² - 2)² - 2

दिया गया मान x⁴ + 1/x⁴ = 14159 प्रतिस्थापित करने पर: (k² - 2)² - 2 = 14159 (k² - 2)² = 14161

वर्गमूल लेने पर: k² - 2 = 119 k² = 121 k = ±11

व्याख्या

जब कोई व्यक्ति दो अलग-अलग गतियों, मान लीजिए v₁ और v₂, से समान दूरियाँ तय करता है, तो पूरी यात्रा के लिए समग्र औसत गति हार्मोनिक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

यह देखते हुए कि A से B तक की गति v₁ = 60 किमी/घंटा है, औसत गति 48 किमी/घंटा है, और B से A तक की वापसी गति v₂ है:

48 = 2 × 60 × v₂ / (60 + v₂)

48 = 120v₂ / (60 + v₂)

48 × (60 + v₂) = 120v₂

2880 + 48v₂ = 120v₂

2880 = 72v₂

v₂ = 2880 / 72 = 40

व्याख्या

दूरी की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

दूरी = गति × समय

सबसे पहले, बस की गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें:

गति = 108 × 5/18 = 30 मी/से

इसके बाद, दूरी ज्ञात करने के लिए सूत्र में गति और दिए गए 40 सेकंड के समय को प्रतिस्थापित करें:

दूरी = 30 मी/से × 40 से = 1200 मी

चूंकि 1000 मीटर 1 किलोमीटर के बराबर होता है, 1200 मीटर 1 किमी 200 मी के बराबर है।

व्याख्या

एक वृत्त के चाप की लम्बाई केंद्र पर उसके द्वारा बनाए गए कोण के समानुपाती होती है। चाप की लम्बाई, केंद्रीय कोण θ, और वृत्त की कुल परिधि C के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

चाप की लम्बाई = (θ / 360°) × C

दिए गए चाप की लम्बाई 15 सेमी और केंद्रीय कोण 24° को प्रतिस्थापित करने पर:

15 = (24° / 360°) × C

कोणों के अनुपात को सरल करने पर:

24 / 360 = 1 / 15

इसे सूत्र में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

15 = (1 / 15) × C

C के लिए हल करने पर:

C = 15 × 15 = 225 सेमी

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = πr²h

मान लीजिए दो बेलनों की त्रिज्याएँ r₁ और r₂ हैं, और उनकी ऊँचाइयाँ h₁ और h₂ हैं। उनके आयतनों V₁/V₂ का अनुपात है: V₁/V₂ = (π r₁² h₁) / (π r₂² h₂) = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂)

दिए गए अनुपात r₁/r₂ = 2/3 और h₁/h₂ = 5/3 को प्रतिस्थापित करने पर: V₁/V₂ = (2/3)² × (5/3) = 4/9 × 5/3 = 20/27

व्याख्या

माना वस्तु का अंकित मूल्य (MP) है। 10% और 40% की क्रमिक छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य इस प्रकार दिया गया है:

विक्रय मूल्य = MP × (1 - d₁) × (1 - d₂)

10% और 40% छूट और अंतिम नकद भुगतान ₹2,700 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

2,700 = MP × (1 - 0.10) × (1 - 0.40) 2,700 = MP × 0.90 × 0.60 2,700 = MP × 0.54 MP = 2,700 / 0.54 MP = 5,000

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (P), और छूट प्रतिशत (D) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

दिया गया है कि क्रय मूल्य CP ₹2,500 है, लाभ P 15% है, और छूट D 15% है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

MP / 2500 = (100 + 15) / (100 - 15) MP / 2500 = 115 / 85 MP / 2500 = 23 / 17

MP के लिए हल करना:

MP = (2500 × 23) / 17 MP = 57500 / 17 MP ≈ 3382.35

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, अंकित मूल्य ₹3,382 है।

व्याख्या

समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h

जहाँ a और b समानांतर भुजाओं की लंबाई हैं, और h उनके बीच की लंबवत दूरी है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: a = 20 सेमी b = 25 सेमी h = 14 सेमी

क्षेत्रफल = ½ × (20 + 25) × 14 क्षेत्रफल = ½ × 45 × 14 क्षेत्रफल = 45 × 7 क्षेत्रफल = 315 सेमी²

व्याख्या

8% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी दर = r + r + r² / 100 %

r = 8 रखने पर:

प्रभावी दर = 8 + 8 + 64 / 100 = 16.64%

चक्रवृद्धि ब्याज है:

चक्रवृद्धि ब्याज = ₹10,625 का 16.64% चक्रवृद्धि ब्याज = (16.64 / 100) × 10,625 = 0.1664 × 10,625 = ₹1,768

व्याख्या

4, 8, 12 और 16 से विभाज्य सबसे छोटी चार अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार हैं: 4 = 2² 8 = 2³ 12 = 2² × 3 16 = 2⁴

LCM की गणना प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर की जाती है: LCM = 2⁴ × 3 = 16 × 3 = 48

सबसे छोटी चार अंकों की संख्या 1000 है। 1000 को 48 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 1000 ÷ 48 = 20 शेषफल 40

चार अंकों की पहली गुणज संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 48 को अगली पूर्ण संख्या, जो कि 21 है, से गुणा करते हैं: 48 × 21 = 1008

व्याख्या

हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके x² + 1/x² का मान ज्ञात कर सकते हैं: (a - b)² = a² + b² - 2ab

a = x और b = 1/x प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2(x)(1/x) (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके, हम x² + 1/x² को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2

हमें दिया गया है कि (x - 1/x) = 7.5 है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x² + 1/x² = (7.5)² + 2

7.5 का वर्ग परिकलित करने पर: (7.5)² = 56.25

इस मान में 2 जोड़ने पर: x² + 1/x² = 56.25 + 2 = 58.25