एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

शिक्षक की आयु ज्ञात करने के लिए, हम औसत विचलन विधि का उपयोग कर सकते हैं:

शिक्षक की आयु = नई औसत + छात्रों की प्रारंभिक संख्या × औसत में वृद्धि

यहां, छात्रों की प्रारंभिक संख्या 36 है, और उनकी औसत आयु 14 वर्ष है। जब शिक्षक को शामिल किया जाता है, तो औसत आयु 1 वर्ष बढ़ जाती है, जिससे नई औसत 15 वर्ष हो जाती है।

शिक्षक की आयु = 15 + 36 × 1 = 51 वर्ष

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना आयु के कुल योग का उपयोग करके की जा सकती है:

36 छात्रों की कुल आयु = 36 × 14 = 504 वर्ष 37 लोगों (शिक्षक सहित) की कुल आयु = 37 × 15 = 555 वर्ष शिक्षक की आयु = 555 - 504 = 51 वर्ष

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, चूँकि DE, BC के समानांतर है, त्रिभुज ADE, त्रिभुज ABC के समरूप है क्योंकि ∠ADE = ∠ABC और ∠AED = ∠ACB।

समरूप त्रिभुजों में संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: DE : BC = AD : AB

AD और DB का अनुपात 9 : 8 दिया गया है। यदि AD को 9x और DB को 8x से दर्शाया जाता है, तो AB की कुल लंबाई है: AB = AD + DB = 9x + 8x = 17x

DE और BC के अनुपात को ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करना: DE : BC = 9x : 17x = 9 : 17

व्याख्या

मनोज 4 मिनट में 5 लीटर पानी लाता है, जिसका अर्थ है कि उसकी पानी लाने की दर 5/4 लीटर प्रति मिनट है। स्वाति 5 मिनट में 4 लीटर पानी लाती है, जिससे उसकी पानी लाने की दर 4/5 लीटर प्रति मिनट हो जाती है।

जब वे एक साथ काम करते हैं तो प्रति मिनट उनकी संयुक्त पानी लाने की दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है: 5/4 + 4/5 = (25 + 16) / 20 = 41/20 लीटर प्रति मिनट।

205 लीटर पानी एक साथ लाने के लिए आवश्यक कुल समय की गणना कुल मात्रा को उनकी संयुक्त दर से विभाजित करके की जाती है: समय = 205 ÷ (41/20) = 205 × 20 / 41 = 5 × 20 = 100 मिनट।

व्याख्या

कोई संख्या 36 से विभाज्य होती है यदि वह 4 और 9 दोनों से विभाज्य हो, क्योंकि 36 इन दो सह-अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है।

9 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, संख्या के अंकों का योग 9 का गुणज होना चाहिए। संख्या 136216 के लिए, उसके अंकों का योग है:

1 + 3 + 6 + 2 + 1 + 6 = 19

चूंकि 19, 9 से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या 136216, 9 से विभाज्य नहीं है। परिणामस्वरूप, यह 36 से विभाज्य नहीं हो सकती।

व्याख्या

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है और O केंद्र है। केंद्र O से किसी भी जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

24 सेमी लम्बी जीवा RS के लिए, इसकी आधी लम्बाई 12 सेमी है। मान लीजिए केंद्र O से इसकी लम्बवत दूरी x सेमी है। चूँकि PQ, RS से छोटी है, यह केंद्र से अधिक दूर है। अतः, 10 सेमी लम्बी जीवा PQ के लिए, इसकी आधी लम्बाई 5 सेमी है और केंद्र O से इसकी लम्बवत दूरी x + 7 सेमी है।

दोनों समकोण त्रिभुजों पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: r² = x² + 12² r² = (x + 7)² + 5²

दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: x² + 144 = (x + 7)² + 25 x² + 144 = x² + 14x + 49 + 25 144 = 14x + 74 14x = 70 x = 5 सेमी

x = 5 को r² के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: r² = 5² + 12² r² = 25 + 144 = 169 r = √169 = 13 सेमी

व्याख्या

मिश्रण का कुल क्रय मूल्य दो अलग-अलग मात्राओं वाले चावल की लागत का योग है।

चावल की पहली किस्म की लागत = 26 किग्रा × ₹20/किग्रा = ₹520 चावल की दूसरी किस्म की लागत = 30 किग्रा × ₹36/किग्रा = ₹1080 कुल क्रय मूल्य = ₹520 + ₹1080 = ₹1600

मिश्रण का कुल वजन 26 किग्रा + 30 किग्रा = 56 किग्रा है।

कुल विक्रय मूल्य की गणना इस कुल वजन को प्रति किलोग्राम विक्रय मूल्य से गुणा करके की जाती है।

कुल विक्रय मूल्य = 56 किग्रा × ₹30/किग्रा = ₹1680

विक्रेता द्वारा कमाया गया लाभ कुल विक्रय मूल्य और कुल क्रय मूल्य के बीच का अंतर है।

लाभ = ₹1680 - ₹1600 = ₹80

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ ÷ क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (80 ÷ 1600) × 100 = 5%

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, गणितीय संक्रियाओं को कोष्ठक, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के क्रम में किया जाना चाहिए। यहाँ, व्यंजक के अंत में 8 से भाग दिया गया है।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक को हल करें: 5 - 3 = 2

अगला, नेस्टेड कोष्ठक को हल करें: 2 - 2 × 2 + 5 = 2 - 4 + 5 = 3

अब, बाहरी वर्ग कोष्ठक को हल करें: 2 + 3 × 3 - 10 = 2 + 9 - 10 = 1

अंत में, इन मानों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें और घटाव से पहले भाग करें: 52 - 5 × 1 ÷ 8 = 52 - 5 ÷ 8 52 - 0.625 = 51.375

व्याख्या

दो अलग-अलग गतियों से यात्रा करने पर तय की गई दूरी 'd' को समय के ज्ञात अंतर के साथ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

d = (v₁ × v₂) ÷ (v₁ - v₂) × Δt

जहाँ v₁ प्रारंभिक गति 60 किमी/घंटा है, v₂ धीमी गति 45 किमी/घंटा है, और Δt समय की देरी 20 मिनट है।

सबसे पहले, समय की देरी को मिनट से घंटे में बदलें: Δt = 20/60 घंटे = 1/3 घंटे

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: d = (60 × 45) ÷ (60 - 45) × 1/3 d = 2700 ÷ 15 × 1/3 d = 180 × 1/3 d = 60 किमी

व्याख्या

माना ठोस धात्विक गोले की त्रिज्या R है और शंकु के आधार की त्रिज्या r है।

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न द्वारा दिया जाता है: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4 × (22/7) × R² = 616 R² = (616 × 7) / 88 R² = 49 R = 7 सेमी

जब गोले को पिघलाकर शंकु में ढाला जाता है, तो उनके आयतन बराबर होते हैं। आयतन सूत्रों का उपयोग करके: गोले का आयतन = शंकु का आयतन (4/3)πR³ = (1/3)πr²h

R = 7 सेमी और ऊंचाई h = 28 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 4 × 7³ = r² × 28 4 × 7 × 7 × 7 = r² × 28 28 × 7 × 7 = 28 × r² r² = 49 r = 7 सेमी

शंकु के आधार का व्यास है: व्यास = 2r = 2 × 7 = 14 सेमी

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = भुजा²

हमें वर्ग का क्षेत्रफल 4x² - 12x + 9 दिया गया है। हम इस व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिख सकते हैं: (a - b)² = a² - 2ab + b²

दिए गए व्यंजक की सर्वसमिका से तुलना करने पर: a² = 4x², जिससे a = 2x प्राप्त होता है b² = 9, जिससे b = 3 प्राप्त होता है -2ab = -2 × 2x × 3 = -12x

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²

चूंकि क्षेत्रफल = भुजा², इसलिए हमारे पास है: भुजा² = (2x - 3)² भुजा = 2x - 3

व्याख्या

त्रिज्या r वाले गोले का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = 4/3 π r³

दिया गया है कि आयतन 4851 घन सेमी है और π = 22/7, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

4851 = 4/3 × 22/7 × r³

4851 = 88/21 × r³

r³ के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

r³ = (4851 × 21) / 88

4851 और 88 को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 11 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

r³ = (441 × 21) / 8

चूंकि 441, 21 का वर्ग है (21²), व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:

r³ = (21² × 21) / 2³

r³ = 21³ / 2³

r³ = (21/2)³

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

r = 21/2

r = 10.5 सेमी

व्याख्या

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका है: a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

दिए गए मानों a - b = 3 और a³ - b³ = 999 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 999 = 3³ + 3ab(3) 999 = 27 + 9ab 9ab = 972 ab = 108

a + b का मान ज्ञात करने के लिए, संबंध का उपयोग करें: (a + b)² = (a - b)² + 4ab

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (a + b)² = 3² + 4 × 108 (a + b)² = 9 + 432 (a + b)² = 441 a + b = 21

अब, वर्गों के अंतर का सूत्र लागू करें: a² - b² = (a - b)(a + b)

a - b और a + b के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a² - b² = 3 × 21 = 63

व्याख्या

मिश्रण के नियम से, 10% लाभ पर बेचे गए गेहूँ की मात्रा का 25% लाभ पर बेचे गए गेहूँ की मात्रा से अनुपात है: (25 - 15) : (15 - 10) = 10 : 5 = 2 : 1

अनुपातों का योग 2 + 1 = 3 भाग है, जो 120 किलोग्राम गेहूँ की कुल मात्रा को दर्शाता है।

10% लाभ पर बेचे गए गेहूँ की मात्रा कुल 3 भागों में से 2 भागों के अनुरूप है: मात्रा = (2/3) × 120 = 80 किलोग्राम।

व्याख्या

मान लीजिए B को अकेले कार्य पूरा करने में t दिन लगते हैं।

A को कार्य का आधा भाग पूरा करने में लगने वाला समय B द्वारा लिए गए समय का एक-छठा भाग है, जो कि t/6 दिन है।

इसलिए, A को पूरा कार्य पूरा करने में लगने वाला समय 2 × (t/6) = t/3 दिन है।

चूंकि दक्षता लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए A और B की दक्षता का अनुपात (3/t) : (1/t) = 3 : 1 है। मान लीजिए A की दक्षता प्रति दिन 3 इकाई है और B की 1 इकाई है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी संयुक्त दक्षता प्रति दिन 3 + 1 = 4 इकाई है।

यह देखते हुए कि वे मिलकर कार्य को 16 दिनों में पूरा करते हैं, कुल कार्य 16 × 4 = 64 इकाई है।

B द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लगने वाला समय कुल कार्य को B की दक्षता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 64 / 1 = 64 दिन है।

व्याख्या

लंबाई l, चौड़ाई b, और ऊँचाई h वाले एक घनाभकार डिब्बे का आयतन V निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: V = lbh

तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल इस प्रकार दिए गए हैं: lb = 729 cm² bh = 529 cm² hl = 289 cm²

इन तीन समीकरणों को गुणा करने पर प्राप्त होता है: (lb) × (bh) × (hl) = l²b²h² = (lbh)² = V²

इसलिए, आयतन V की गणना इस प्रकार की जा सकती है: V = √(729 × 529 × 289) V = √729 × √529 × √289

चूंकि 27² = 729, 23² = 529, और 17² = 289, वर्गमूल हैं: V = 27 × 23 × 17 V = 621 × 17 V = 10557 cm³

व्याख्या

3 के विभाज्यता नियम के अनुसार, कोई संख्या 3 से तभी विभाज्य होती है जब उसके अलग-अलग अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

संख्या 7865001 के लिए, अंकों का योग इस प्रकार गणना की जाती है: 7 + 8 + 6 + 5 + 0 + 0 + 1 = 27

चूंकि योग, 27, 3 का गुणज है (27 ÷ 3 = 9), संख्या 7865001, 3 से विभाज्य है।

व्याख्या

किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, उनके वर्गमूलों के गुणनफल को वर्गमूल के गुणधर्म √x × √y × √z = √(x × y × z) का उपयोग करके एक एकल वर्गमूल के अंतर्गत संयोजित किया जा सकता है।

दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर: √(a⁻¹b) × √(b⁻¹c) × √(c⁻¹a) = √(a⁻¹b × b⁻¹c × c⁻¹a)

घातांक के नियमों का उपयोग करके, हम रेडिकल के अंदर गुणनफल को सरल बना सकते हैं: a⁻¹b × b⁻¹c × c⁻¹a = (b/a) × (c/b) × (a/c)

भिन्नों को संयोजित करने पर: (b × c × a) / (a × b × c) = 1

इस सरलीकृत पद का वर्गमूल लेने पर: √1 = 1

व्याख्या

1000 ग्राम चावल का क्रय मूल्य = ₹32 900 ग्राम चावल का क्रय मूल्य = (32 / 1000) × 900 = ₹28.8

चूंकि विक्रेता 1000 ग्राम का मूल्य लेते हुए 900 ग्राम बेचता है, इसलिए इस मात्रा का विक्रय मूल्य 1 किलोग्राम के विक्रय मूल्य के बराबर है: इस मात्रा का विक्रय मूल्य = ₹40

वास्तविक लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य वास्तविक लाभ = 40 - 28.8 = ₹11.2

वास्तविक लाभ प्रतिशत = (वास्तविक लाभ / क्रय मूल्य) × 100 वास्तविक लाभ प्रतिशत = (11.2 / 28.8) × 100 वास्तविक लाभ प्रतिशत = (7 / 18) × 100 = 38.88% ≈ 38.9%

व्याख्या

पदों के लिए एक सामान्य हर (common denominator) ज्ञात करके, हम व्यंजक को इस प्रकार सरल करते हैं:

x²/yz + y²/zx + z²/xy = (x³ + y³ + z³) / xyz

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) के अनुसार: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx)

यह देखते हुए कि x + y + z = 0 है, सर्वसमिका का पूरा दाहिना पक्ष शून्य हो जाता है, जिससे समीकरण सरल होकर यह हो जाता है: x³ + y³ + z³ = 3xyz

इस संबंध को हमारे सरल किए गए व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: 3xyz / xyz = 3

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम लागू करते हैं, सबसे भीतरी समूहीकरण प्रतीक से शुरू करते हैं, जो कि n + p पर लगी रेखा (vinculum) है।

सबसे पहले, रेखा के नीचे के पद को हल करें: n - (n + p) = n - n - p = -p

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 2[8p + 5{n - 2(-p) + 4p}]

अगला, कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल करें: n - 2(-p) + 4p = n + 2p + 4p = n + 6p

अब, इस परिणाम को वापस प्रतिस्थापित करें और वर्ग कोष्ठकों के अंदर के पदों का विस्तार करें: 8p + 5(n + 6p) = 8p + 5n + 30p = 38p + 5n

अंत में, पूरे व्यंजक को बाहरी गुणनखंड 2 से गुणा करें: 2(38p + 5n) = 76p + 10n

व्याख्या

साइकिल का उपयोग करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम परिवहन साधनों के अनुपात का उपयोग करते हैं, जो क्रमशः स्कूल बस, बाइक और साइकिल के लिए 6:3:1 दिया गया है।

अनुपात पदों का योग है: 6 + 3 + 1 = 10

चूंकि विद्यालय की कुल छात्र संख्या 1200 है, अनुपात के एक भाग का मान है: 1200 ÷ 10 = 120

साइकिल का उपयोग करने वाले छात्रों का अनुपात कुल का 1 भाग है। इसलिए, साइकिल का उपयोग करने वाले छात्रों की संख्या है: 1 × 120 = 120

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से सख्ती से अधिक होना चाहिए। तीन भुजाओं की लंबाई के लिए जिन्हें a ≤ b ≤ c के रूप में क्रमबद्ध किया गया है, संबंध a + b > c संतुष्ट होना चाहिए। भुजाओं की लंबाई 18, 23 और 41 के लिए, दो छोटी भुजाओं का योग 18 + 23 = 41 है। चूँकि 41 तीसरी भुजा 41 के बराबर है और उससे सख्ती से अधिक नहीं है, ये लंबाई त्रिभुज असमानता का उल्लंघन करती हैं और त्रिभुज नहीं बना सकती हैं।

व्याख्या

व्यंजक का मूल्यांकन BODMAS नियम का उपयोग करके किया जाता है, जिसका अर्थ है कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल करें: 18 - 6 = 12 1 + 2 = 3

इसके बाद, वर्ग कोष्ठकों के अंदर गुणा का मूल्यांकन करें: -2 × 3 = -6

अब, इन मानों को आगे सरल करने के लिए वर्ग कोष्ठकों में वापस प्रतिस्थापित करें: 12 + (-6) = 6

इस मान को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर यह प्राप्त होता है: 1800 ÷ 10[6]

संचालन के क्रम के अनुसार जहां कोष्ठक और उनका अंतर्निहित गुणा पहले हल किया जाता है, पद 10[6] को सरल करें: 10 × 6 = 60

अंत में, भाग करें: 1800 ÷ 60 = 30

व्याख्या

भारित औसत सूत्र दो समूहों के औसत और उनकी संख्या को समग्र औसत से संबंधित करता है:

कक्षा का कुल अंक = (लड़कों की संख्या × लड़कों का औसत) + (लड़कियों की संख्या × लड़कियों का औसत)

कक्षा में छात्रों की कुल संख्या 26 लड़के + 24 लड़कियाँ = 50 छात्र हैं।

पूरी कक्षा के लिए दिए गए 85 के औसत का उपयोग करते हुए, कक्षा का कुल अंक है: 50 × 85 = 4250

लड़कों का कुल अंक है: 26 × 82 = 2132

लड़कियों के कुल अंक प्राप्त करने के लिए कक्षा के कुल अंक में से लड़कों का कुल अंक घटाएं: 4250 - 2132 = 2118

लड़कियों का औसत अंक ज्ञात करने के लिए, उनके कुल अंक को लड़कियों की संख्या से विभाजित करें: 2118 ÷ 24 = 88.25

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध मानक सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

जहाँ P लाभ प्रतिशत है और D छूट प्रतिशत है।

सूत्र में CP = 85, P = 20, और D = 15 रखने पर:

MP / 85 = (100 + 20) / (100 - 15)

MP / 85 = 120 / 85

MP = 120

व्याख्या

बेलन का आयतन सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: V = π r² h

दिया गया है: आधार की त्रिज्या, r = 5 सेमी बेलन की ऊंचाई, h = 24 सेमी π का मान = 3.14

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 3.14 × 5² × 24 V = 3.14 × 25 × 24 V = 3.14 × 600 V = 1884 सेमी³

व्याख्या

त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: sin 2θ = 2 sin θ cos θ

इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: sin θ cos θ = ½ sin 2θ

दिए गए व्यंजक में θ = 15° प्रतिस्थापित करने पर: 100(sin 15° cos 15°) = 100 × ½ sin(2 × 15°) = 50 sin 30°

चूंकि sin 30° = ½ है, हम इस मान को प्रतिस्थापित करते हैं: 50 × ½ = 25

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: परिमाप = 2x + y

जहाँ x प्रत्येक दो बराबर भुजाओं की लंबाई है, और y असमान भुजा की लंबाई है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 80 = 2x + 20

दोनों पक्षों से 20 घटाने पर: 2x = 60

2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: x = 30 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्या x है।

जब किसी संख्या को 25% बढ़ाया जाता है, तो वह 1.25x या x का 5/4 हो जाती है। जब इस नए मान को 10% घटाया जाता है, तो वह अपने मान का 90% हो जाती है, जिसे बढ़ी हुई संख्या का 9/10 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अंतिम परिणाम 72 के लिए समीकरण स्थापित करना: x × (5/4) × (9/10) = 72

समीकरण को सरल बनाना: x × 45/40 = 72 x × 9/8 = 72 x = (72 × 8) / 9 x = 8 × 8 x = 64

व्याख्या

दी गई तालिका छात्रों के एक समूह द्वारा प्राप्त अंकों की संचयी आवृत्ति प्रस्तुत करती है। "50 से कम" श्रेणी 50 से कम अंक प्राप्त करने वाले सभी छात्रों की संचयी संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। चूंकि यह संचयी वितरण में प्रदान की गई उच्चतम ऊपरी सीमा है, इसमें समूह के प्रत्येक छात्र शामिल हैं। इसलिए, "50 से कम" के लिए संबंधित आवृत्ति, जो 10 है, समूह में छात्रों की कुल संख्या है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र का उपयोग करके, n वर्षों के बाद राशि इस प्रकार दी जाती है: Aₙ = P(1 + R/100)ⁿ

जहाँ P मूल राशि है और R ब्याज की वार्षिक दर है।

तीसरे वर्ष के अंत में राशि (A₃) £2,000 है, और चौथे वर्ष के अंत में राशि (A₄) £2,400 है।

चौथे वर्ष की राशि का तीसरे वर्ष की राशि से अनुपात लेने पर: A₄ / A₃ = [P(1 + R/100)⁴] / [P(1 + R/100)³] A₄ / A₃ = 1 + R/100

दी गई राशियों को प्रतिस्थापित करने पर: 2400 / 2000 = 1 + R/100 1.2 = 1 + R/100 R/100 = 0.2 R = 20%

व्याख्या

नाव की धारा के साथ (डाउनस्ट्रीम) चाल, शांत जल में नाव की चाल और नदी की चाल का योग है: D = 22 + 8 = 30 किमी/घंटा

नाव की धारा के विपरीत (अपस्ट्रीम) चाल, शांत जल में नाव की चाल और नदी की चाल का अंतर है: U = 22 - 8 = 14 किमी/घंटा

मान लीजिए तय की जाने वाली दूरी d किमी है। धारा के विपरीत दूरी तय करने में लिया गया समय d/14 घंटे है, और धारा के साथ दूरी तय करने में लिया गया समय d/30 घंटे है।

प्रश्न के अनुसार, धारा के विपरीत लिया गया समय धारा के साथ लिए गए समय से 4 घंटे अधिक है: d/14 - d/30 = 4

14 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 210 लेने पर, हमें प्राप्त होता है: (15d - 7d) / 210 = 4 8d / 210 = 4 8d = 840 d = 105 किमी

व्याख्या

जिन बच्चों की आयु 11 वर्ष से कम लेकिन 8 वर्ष से अधिक है, वे वे बच्चे हैं जिनकी आयु या तो 9 वर्ष है या 10 वर्ष है।

दी गई तालिका से, इन आयु समूहों के अनुरूप बच्चों की संख्या है: 9 वर्ष की आयु के लिए: 15 बच्चे 10 वर्ष की आयु के लिए: 42 बच्चे

इस सीमा में बच्चों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम दोनों श्रेणियों में बच्चों की संख्या जोड़ते हैं: 15 + 42 = 57

व्याख्या

मान लीजिए k = x + 1/x = -3√2।

x⁵ + 1/x⁵ का मान मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) x⁵ + 1/x⁵ = (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) - (x + 1/x)

पहले दो समीकरणों में k का मान प्रतिस्थापित करने पर: x² + 1/x² = (-3√2)² - 2 = 18 - 2 = 16 x³ + 1/x³ = (-3√2)³ - 3(-3√2) = -54√2 + 9√2 = -45√2

इन परिणामों को x⁵ + 1/x⁵ के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: x⁵ + 1/x⁵ = 16 × (-45√2) - (-3√2) x⁵ + 1/x⁵ = -720√2 + 3√2 = -717√2

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य को 1 इकाई के रूप में दर्शाया गया है।

राम और शवन की संयुक्त प्रति घंटा कार्य दर प्रति घंटा काम का 1/5 है, और राम की व्यक्तिगत कार्य दर प्रति घंटा काम का 1/6 है।

शवन की अकेले की कार्य दर संयुक्त दर और राम की दर के बीच का अंतर है: 1/5 - 1/6 = (6 - 5) / 30 = 1/30

चूंकि शवन प्रति घंटा काम का 1/30 हिस्सा पूरा करता है, इसलिए शवन को अकेले पूरा काम पूरा करने में 30 घंटे लगेंगे।

व्याख्या

A खरीदें, B मुफ्त पाएं प्रकार की योजनाओं के लिए छूट प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट % = (B / (A + B)) × 100

योजना c (5 खरीदें, 4 मुफ्त पाएं) के लिए, छूट प्रतिशत है: (4 / (5 + 4)) × 100 = (4/9) × 100 = 44.44%

अधिकतम ज्ञात करने के लिए अन्य योजनाओं का मूल्यांकन: योजना a में 22% और 25% की दो क्रमिक छूटें हैं, जिसके परिणामस्वरूप 22 + 25 - (22 × 25)/100 = 41.5% की शुद्ध छूट मिलती है। योजना b में (2 / (3 + 2)) × 100 = 40% की छूट है। योजना d में (3 / (4 + 3)) × 100 = 42.86% की छूट है।

इन मानों की तुलना करने पर, योजना c में 44.44% की छूट सबसे अधिक है।

व्याख्या

मान लीजिए चुनाव में डाले गए मतों की कुल संख्या V है। चूँकि केवल दो उम्मीदवार हैं और सभी मत वैध हैं, इसलिए जीतने वाले उम्मीदवार द्वारा प्राप्त मतों का प्रतिशत कुल मतों का शेष हिस्सा है, जो कि 100% - 20% = 80% है।

विजेता और हारने वाले के मतों के बीच का अंतर 600 मतों के रूप में दिया गया है। इस अंतर को कुल मतों के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करना:

विजेता का हिस्सा - हारने वाले का हिस्सा = 80% - 20% = 60%

कुल मतों का यह 60% 600 मतों के अंतर के बराबर है। इसलिए, संबंध है:

V का 60% = 600

(60/100) × V = 600

V = 600 × 100 ÷ 60

V = 1000

व्याख्या

दी गई संख्याएँ 11, 21, 31, 41, 51 और 61 एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं जिसका पहला पद 11 और अंतिम पद 61 है।

किसी भी समान्तर श्रेणी के लिए, औसत पहले और अंतिम पद का माध्य होता है।

औसत = (पहला पद + अंतिम पद) / 2

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत = (11 + 61) / 2 = 72 / 2 = 36

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र का उपयोग करके: (M₁ × D₁) / W₁ = (M₂ × D₂) / W₂

जहाँ M श्रमिकों की संख्या, D दिनों की संख्या और W कार्य की मात्रा (दीवारों की संख्या) को दर्शाता है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (20 × 36) / 24 = (30 × D₂) / 20

720 / 24 = 1.5 × D₂

30 = 1.5 × D₂

D₂ = 20

व्याख्या

संचालन के क्रम (BODMAS) का पालन करते हुए, हम पहले मुख्य भिन्न के अंश को सरल करते हैं:

N = (27/14) ÷ (24/7 का 63/28) - 9/4

सबसे पहले, 'का' (of) संक्रिया का मूल्यांकन करें: 24/7 का 63/28 = (24/7) × (63/28) = 54/7

अगला, भाग संक्रिया करें: (27/14) ÷ (54/7) = (27/14) × (7/54) = 1/4

इस प्रकार, अंश बन जाता है: N = 1/4 - 9/4 = -8/4 = -2

अगला, मुख्य भिन्न के हर को सरल करें:

D = (35/8) ÷ (15/4 का 7/48) + 5/16

सबसे पहले, 'का' (of) संक्रिया का मूल्यांकन करें: 15/4 का 7/48 = (15/4) × (7/48) = 35/64

अगला, भाग संक्रिया करें: (35/8) ÷ (35/64) = (35/8) × (64/35) = 8

इस प्रकार, हर बन जाता है: D = 8 + 5/16 = 133/16

अब, अंश को हर से विभाजित करें:

N/D = -2 / (133/16) = -32/133

अंत में, इस परिणाम को 196/95 से विभाजित करें:

(-32/133) ÷ (196/95) = (-32/133) × (95/196)

सरल करने के लिए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करें: 95 = 5 × 19 और 133 = 7 × 19, इसलिए 95/133 = 5/7 32 = 4 × 8 और 196 = 4 × 49, इसलिए 32/196 = 8/49

इन सरल भिन्नों को गुणा करें: (8 × 5) / (7 × 49) = -40/343

व्याख्या

माना x = tan θ। दिया गया समीकरण है: x + 1/x = 2

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 का प्रयोग करके: 2² = x² + 1/x² + 2 4 = x² + 1/x² + 2 x² + 1/x² = 4 - 2 = 2

वैकल्पिक रूप से, समीकरण x + 1/x = 2 से x = 1 प्राप्त होता है। इस मान को सीधे प्रतिस्थापित करने पर: 1² + 1/1² = 2

व्याख्या

उत्पादन की प्रवृत्ति 2001-02 से 2008-09 तक वर्ष-दर-वर्ष निरंतर वृद्धि दर्शाती है, जिसमें 2005-06 एकमात्र अपवाद है। पिछले वर्ष 2004-05 में उत्पादन 890 टन था, जो 2005-06 में घटकर 516 टन रह गया। यह 374 टन की गिरावट को दर्शाता है, जिससे 2005-06 इस अवधि में एकमात्र वर्ष बन गया जब उत्पादन में गिरावट दर्ज की गई, इससे पहले कि बाद के वर्षों में वृद्धि की प्रवृत्ति फिर से शुरू हो गई।

व्याख्या

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, समीकरण (a - 1)² + (b + 2)² + (c - 1)² = 0 तभी सत्य हो सकता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य के बराबर हो।

प्रत्येक पद को शून्य के बराबर रखने पर: a - 1 = 0 → a = 1 b + 2 = 0 → b = -2 c - 1 = 0 → c = 1

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: a² + b² + c² = 1² + (-2)² + 1² = 1 + 4 + 1 = 6

व्याख्या

समूहीकृत आवृत्ति वितरण का अंकगणितीय माध्य निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है:

माध्य = ∑(f × x) ÷ ∑f

जहाँ x प्रमुख भोजनों की संख्या को दर्शाता है और f छात्रों की आवृत्ति को दर्शाता है।

हम प्रत्येक भोजन गणना और उसकी संगत आवृत्ति के गुणनफलों का योग परिकलित करते हैं:

∑(f × x) = (1 × 3) + (2 × 2) + (3 × 2) + (4 × 5) + (5 × 5) + (6 × 4) + (7 × 6) + (8 × 3) + (9 × 5) + (10 × 3) + (11 × 1)

∑(f × x) = 3 + 4 + 6 + 20 + 25 + 24 + 42 + 24 + 45 + 30 + 11 = 234

छात्रों की कुल संख्या, जो आवृत्तियों का योग है, ∑f = 39 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

माध्य = 234 ÷ 39 = 6

व्याख्या

दिया गया बीजीय व्यंजक मानक बीजीय सर्वसमिका से मेल खाता है: (a + b)² = a² + 2ab + b²

दिए गए व्यंजक की इस सूत्र से तुलना करके, हम पहचान सकते हैं: a = 2.19 b = 3.81

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने से गणना काफी सरल हो जाती है: (2.19 + 3.81)² = (6.00)² (6.00)² = 36

व्याख्या

मान लीजिए लेख का अंकित मूल्य M है।

20% और 30% की दो क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: विक्रय मूल्य = M × (1 - 0.20) × (1 - 0.30) 840 = M × 0.80 × 0.70 840 = M × 0.56 M = 840 ÷ 0.56 M = 1500

दी गई कुल छूट अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य छूट = 1500 - 840 = 660

व्याख्या

जब किसी वस्तु पर x% की वृद्धि की जाती है और फिर y% की छूट दी जाती है, तो शुद्ध प्रतिशत लाभ क्रमिक प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध लाभ% = x - y - (x × y) / 100

यहाँ, वृद्धि प्रतिशत x = 12% और छूट प्रतिशत y = 8% है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध लाभ% = 12 - 8 - (12 × 8) / 100 शुद्ध लाभ% = 4 - 96 / 100 शुद्ध लाभ% = 4 - 0.96 शुद्ध लाभ% = 3.04%

वैकल्पिक रूप से, यदि मोबाइल फोन का क्रय मूल्य ₹100 है, तो अंकित मूल्य 12% अधिक है, जो कि ₹112 है। जब इस अंकित मूल्य पर 8% की छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है:

विक्रय मूल्य = 112 × (100 - 8) / 100 विक्रय मूल्य = 112 × 0.92 विक्रय मूल्य = ₹103.04

₹100 के क्रय मूल्य पर लाभ ₹3.04 है, जो 3.04% का लाभ दर्शाता है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र πr(r + l) द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

दिया गया है कि आधार का व्यास 10 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 10/2 = 5 सेमी है। तिर्यक ऊँचाई l = 16 सेमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × 5 × (5 + 16) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × 5 × 21 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22 × 5 × 3 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 330 सेमी²

व्याख्या

3 वर्षों के लिए ब्याज दर (R%) पर मूलधन (P) पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) का सूत्र है:

D = P × (R/100)² × (300 + R)/100

दिया गया है: D = 93 R = 10%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

93 = P × (10/100)² × (300 + 10)/100

93 = P × (1/10)² × 310/100

93 = P × (1/100) × 31/10

93 = P × 31/1000

P = (93 × 1000) / 31

P = 3 × 1000

P = 3000

व्याख्या

क्रिकेट टीम में कुल 11 सदस्य हैं, जिनमें 10 खिलाड़ी और 1 कप्तान शामिल हैं।

सभी 11 सदस्यों के कुल अंकों की गणना इस प्रकार की जाती है: कुल अंक = औसत अंक × सदस्यों की कुल संख्या कुल अंक = 32 × 11 = 352

10 खिलाड़ियों के अंकों का योग है: 22 + 11 + 5 + 34 + 21 + 32 + 0 + 28 + 9 + 53 = 215

कप्तान के अंक ज्ञात करने के लिए, टीम के कुल अंकों में से खिलाड़ियों के अंकों का योग घटाएं: कप्तान के अंक = 352 - 215 = 137