एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ a उसकी भुजा की लंबाई है।

दिया गया है: a³ = 5832 सेमी³

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: a = 18 सेमी

घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

a का मान रखने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 18² कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 324 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1944 सेमी²

व्याख्या

व्यंजक 3 sinA - 4 sin³A, ज्या फलन (sine function) के त्रिक कोण (triple angle) के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (standard trigonometric identity) है।

कोण योग सूत्र (angle sum formula) का उपयोग करके, sin(3A) को sin(2A + A) के रूप में लिखा जा सकता है। इसे ज्या योग सूत्र (sine addition formula) का उपयोग करके विस्तारित करने पर sin2A cosA + cos2A sinA प्राप्त होता है। द्वि-कोण सूत्रों (double angle formulas) sin2A = 2 sinA cosA और cos2A = 1 - 2 sin²A को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक 2 sinA cos²A + (1 - 2 sin²A) sinA बन जाता है। cos²A को 1 - sin²A से प्रतिस्थापित करने पर 2 sinA (1 - sin²A) + sinA - 2 sin³A प्राप्त होता है, जो सीधे 3 sinA - 4 sin³A को सरल करता है।

व्याख्या

वांछित अंतर ज्ञात करने के लिए, तालिका से बेकरी F द्वारा बेचे गए केक की उच्चतम संख्या और बेकरी B द्वारा बेचे गए केक की न्यूनतम संख्या की पहचान करें।

बेकरी F के लिए, दिए गए दिनों में बिक्री 175, 205, 255, 240 और 308 है। एक दिन में बेकरी F द्वारा बेचे गए केक की उच्चतम संख्या 308 है।

बेकरी B के लिए, दिए गए दिनों में बिक्री 205, 275, 314, 295 और 260 है। एक दिन में बेकरी B द्वारा बेचे गए केक की न्यूनतम संख्या 205 है।

इन दो मानों के बीच अंतर है: 308 - 205 = 103

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, यदि एक धनात्मक पूर्णांक N को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 3 प्राप्त होता है, तो इसे निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

N = 7k + 3

जहाँ k एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।

एक ऐसी अभिव्यक्ति ज्ञात करने के लिए जो 7 से विभाजित होने पर 0 शेषफल दे, हमें N में एक ऐसा मान जोड़ना होगा जिससे परिणामी अभिव्यक्ति 7 का गुणज बन जाए। N में 4 जोड़ने पर:

N + 4 = 7k + 3 + 4 N + 4 = 7k + 7 N + 4 = 7(k + 1)

चूंकि 7(k + 1), 7 का गुणज है, इसलिए संख्या N + 4, 7 से पूर्णतः विभाज्य है, जिससे 0 शेषफल प्राप्त होता है।

व्याख्या

सही उत्तर: B

दिए गए समीकरण x² - 8x + 1 = 0 को x से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: x - 8 + 1/x = 0 x + 1/x = 8

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = 8² x² + 2 + 1/x² = 64 x² + 1/x² = 62

एक बार फिर दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = 62² x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 3844 x⁴ + 1/x⁴ = 3842

पूरे समीकरण को x⁴ से गुणा करने पर: x⁸ + 1 = 3842x⁴

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: x⁸ - 3842x⁴ + 1 = 0

व्याख्या

एक स्थिर वृद्धि दर के तहत दिए गए वर्षों के बाद भविष्य की जनसंख्या की गणना चक्रवृद्धि वृद्धि सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

A = P × (1 + r/100)ⁿ

इस सूत्र में, P वर्तमान जनसंख्या को दर्शाता है, r वार्षिक वृद्धि दर है, और n वर्षों की संख्या है।

दिया गया है: वर्तमान जनसंख्या, P = 16000 वृद्धि दर, r = 5% प्रति वर्ष समय, n = 2 वर्ष

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

A = 16000 × (1 + 5/100)² A = 16000 × (1 + 1/20)² A = 16000 × (21/20)² A = 16000 × (441/400) A = 40 × 441 A = 17640

व्याख्या

व्यंजक का मूल्यांकन तीन भागों में तोड़कर किया जाता है:

पहला पद: 4800 का 56% = 56/100 × 4800 = 56 × 48 = 2688

दूसरा पद: {(9³ * 8) + sqrt(6561)} चूंकि 9³ = 729 और 729 * 8 = 5832, और sqrt(6561) = 81: 5832 + 81 = 5913

तीसरा पद: (81 + 8) का 48% = 89 का 48% = 48/100 × 89 = 42.72

इन मानों को मिलाकर: 2688 - 5913 - 42.72 = -3267.72

(नोट: मूल अंग्रेजी स्पष्टीकरण में एक त्रुटि प्रतीत होती है, क्योंकि 9.3 * 2.8 और sqrt(65.61) का उपयोग किया गया है, जो मूल प्रश्न से मेल नहीं खाता है। ऊपर दी गई गणना मूल प्रश्न के अनुसार की गई है। यदि मूल प्रश्न में 9.3 और 2.8 का प्रयोग हुआ होता, तो स्पष्टीकरण सही होता।)

व्याख्या

जब कोई यात्रा अलग-अलग गति से दो समान दूरियाँ तय करती है, मान लीजिए v₁ और v₂, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति गति के हार्मोनिक माध्य द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

दिए गए मानों, v₁ = 60 किमी/घंटा और v₂ = 40 किमी/घंटा को प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = (2 × 60 × 40) / (60 + 40) औसत गति = 4800 / 100 औसत गति = 48 किमी/घंटा

यह गणना सीधे पूरी यात्रा के दौरान कार की औसत गति को दर्शाती है।

व्याख्या

मजदूरी का वितरण प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य के हिस्से के अनुपात में किया जाता है। A किसी कार्य को 12 दिनों में पूरा कर सकता है, जिसका अर्थ है कि A की दैनिक कार्य दर कुल कार्य का 1/12 है। चूंकि A केवल 2 दिनों के लिए काम करता है, A द्वारा पूरा किया गया कार्य का अंश 2 × (1/12) = 1/6 है।

चूंकि B कार्य के शेष पूरे हिस्से को पूरा करता है, कुल कार्य में B का हिस्सा 1 - 1/6 = 5/6 है।

₹2,400 की कुल मजदूरी में B का हिस्सा B के कार्य के हिस्से को कुल मजदूरी से गुणा करके निकाला जाता है: B का हिस्सा = 5/6 × 2400 = 5 × 400 = 2000।

व्याख्या

जब एक ठोस बेलन को पिघलाकर एक ठोस शंकु में ढाला जाता है, तो पदार्थ का आयतन संरक्षित रहता है।

बेलन का आयतन = शंकु का आयतन

आयतन सूत्रों का उपयोग करके: π r₁² h₁ = (1/3) π r₂² h₂

यहाँ, बेलन की त्रिज्या r₁ = 15 सेमी, बेलन की ऊँचाई h₁ = 12 सेमी, और शंकु की त्रिज्या r₂ = 24 सेमी है। माना h₂ शंकु की ऊँचाई है।

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 15² × 12 = (1/3) × 24² × h₂

225 × 12 = (1/3) × 576 × h₂

2700 = 192 × h₂

h₂ = 2700 / 192

h₂ = 225 / 16

h₂ = 14.0625 सेमी

व्याख्या

किसी वस्तु के क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

CP/MP = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%)

छूट (10%) और लाभ (12.5%) के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

CP/MP = (100 - 10)/(100 + 112.5) CP/MP = 90/112.5 CP/MP = 4/5

इसका मतलब है कि यदि क्रय मूल्य 4 इकाई है, तो अंकित मूल्य 5 इकाई है।

जब वस्तु को बिना किसी छूट के अंकित मूल्य पर बेचा जाता है, तो विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य (MP) के बराबर हो जाता है।

SP = 5 इकाई

लाभ = SP - CP = 5 - 4 = 1 इकाई

लाभ प्रतिशत = (लाभ/CP) × 100% लाभ प्रतिशत = (1/4) × 100% = 25%

व्याख्या

दूरी, गति और यात्रा के समय में अंतर के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

d = (s₁ × s₂ / (s₁ - s₂)) × Δt

जहाँ d दूरी है, s₁ = 42 किमी/घंटा प्रारंभिक गति है, s₂ = 14 किमी/घंटा घटी हुई गति है, और Δt यात्रा के समय में अंतर है।

यह देखते हुए कि ट्रेन 35 मिनट की देरी से है, हम इस समय अंतर को घंटों में बदलते हैं:

Δt = 35/60 घंटे = 7/12 घंटे

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = (42 × 14 / (42 - 14)) × (7 / 12)

d = (588 / 28) × (7 / 12)

d = 21 × 7 / 12

d = 147 / 12

d = 12.25 किमी

व्याख्या

चौथी संख्या को x मान लीजिए।

दिए गए संबंधों का उपयोग करके, अन्य तीन संख्याओं को x के पदों में व्यक्त किया जा सकता है: तीसरी संख्या चौथी संख्या की 3 गुना है, जो कि 3x है। दूसरी संख्या तीसरी संख्या की 1.5 गुना है, जो कि 1.5 × 3x = 4.5x है। पहली संख्या दूसरी संख्या की एक-तिहाई है, जो कि 4.5x / 3 = 1.5x है।

चारों संख्याओं का औसत 10 है। इसलिए, चारों संख्याओं का योग है: औसत × संख्या = 10 × 4 = 40

पदों को जोड़ने पर: 1.5x + 4.5x + 3x + x = 40 10x = 40 x = 4

सभी चार संख्याओं के मान ज्ञात करने के लिए x = 4 रखने पर: पहली संख्या = 1.5 × 4 = 6 दूसरी संख्या = 4.5 × 4 = 18 तीसरी संख्या = 3 × 4 = 12 चौथी संख्या = 4

इन मानों की तुलना करने पर, सबसे बड़ी संख्या 18 है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके, व्यंजक 144x² - 36x + 9/4 को घटकों की पहचान करके गुणनखंडित किया जा सकता है:

a² = 144x², जिससे a = 12x प्राप्त होता है b² = 9/4, जिससे b = 3/2 प्राप्त होता है

मध्य पद 2ab की जाँच करना: 2ab = 2 × 12x × 3/2 = 36x

यह दिए गए बहुपद के मध्य पद से मेल खाता है। इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 144x² - 36x + 9/4 = (12x - 3/2)²

व्याख्या

एक बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) से अनुपात उनके सूत्रों द्वारा दिया जाता है:

TSA = 2πr(r + h) CSA = 2πrh

TSA का CSA से अनुपात लेने पर: TSA / CSA = 2πr(r + h) / 2πrh = (r + h) / h

यह देखते हुए कि त्रिज्या r = 9 सेमी और ऊँचाई h = 25 सेमी है, इन मानों को सरलीकृत अनुपात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: अनुपात = (9 + 25) / 25 = 34 / 25

यह 34:25 के अनुपात में सरल हो जाता है।

व्याख्या

किन्हीं तीन संख्याओं a, b, और c के लिए, उनका चौथा समानुपाती x इस संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है:

a/b = c/x

दिए गए मानों a = 18, b = 36, और c = 52 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

18/36 = 52/x

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर:

1/2 = 52/x

x के लिए हल करने पर:

x = 52 × 2 = 104

व्याख्या

जब गोले को पिघलाकर तार में खींचा जाता है तो धातु का आयतन स्थिर रहता है। इसलिए, ठोस धात्विक गोले का आयतन बेलनाकार तार के आयतन के बराबर होता है।

गोले के आयतन का सूत्र 4/3 × π × R³ है और बेलन के आयतन का सूत्र π × r² × L है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है, r तार की त्रिज्या है, और L तार की लंबाई है।

दिया गया है: गोले की त्रिज्या, R = 15 सेमी तार की त्रिज्या, r = 15 मिमी = 1.5 सेमी

आयतन को बराबर करने पर: 4/3 × π × R³ = π × r² × L

दोनों तरफ से π को रद्द करने पर: 4/3 × R³ = r² × L

दिए गए मानों को समीकरण में रखने पर: 4/3 × 15³ = 1.5² × L 4/3 × 3375 = 2.25 × L 4 × 1125 = 2.25 × L 4500 = 2.25 × L L = 4500 / 2.25 L = 2000 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: D

अंकित मूल्य के बाद छूट से होने वाला शुद्ध लाभ प्रतिशत सीधे उत्तरोत्तर प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

शुद्ध लाभ प्रतिशत = x + y + xy/100

इस मामले में, अंकित मूल्य प्रतिशत x = 25 है और छूट प्रतिशत y = -12 है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध लाभ प्रतिशत = 25 - 12 + (25 × (-12)) / 100 शुद्ध लाभ प्रतिशत = 13 - 300/100 शुद्ध लाभ प्रतिशत = 13 - 3 = 10%

व्याख्या

दिए गए समीकरण b² - 4b - 1 = 0 को दोनों पक्षों में b से विभाजित करने पर: b - 4 - 1/b = 0 b - 1/b = 4

इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (b - 1/b)² = 4² b² + 1/b² - 2 = 16 b² + 1/b² = 18

मूल्यांकन किए जाने वाले व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित और समूहीकृत किया जा सकता है: (b² + 1/b²) + 3(b - 1/b)

इस व्यंजक में (b² + 1/b²) और (b - 1/b) के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 18 + 3(4) = 18 + 12 = 30

व्याख्या

30 वर्ष की आयु तक के उत्तरदाताओं में '20 वर्ष से कम' श्रेणी और '21 वर्ष से 30 वर्ष तक' श्रेणी के लोग शामिल हैं।

30 वर्ष की आयु तक के कुल उत्तरदाताओं की संख्या = 36 + 34 = 70

इस आयु वर्ग में डांडिया को अपनी पसंदीदा नृत्य शैली बताने वाले उत्तरदाताओं की संख्या = 7 + 8 = 15

इन उत्तरदाताओं का प्रतिशत इस प्रकार निकाला जाता है: प्रतिशत = (15 / 70) × 100 = 21.4285...% ≈ 21.43%

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), अंकित मूल्य (MP), और छूट प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = MP × (100 - छूट%) / 100

दिए गए मानों, SP = 1755 और छूट% = 35, को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1755 = MP × (100 - 35) / 100

1755 = MP × 65 / 100

MP = 1755 × 100 / 65

MP = 27 × 100

MP = 2700

व्याख्या

मान लीजिए समूह में व्यक्तियों की संख्या n है।

समूह की कुल आयु में शुद्ध वृद्धि आने वाले व्यक्ति की आयु और बाहर जाने वाले व्यक्ति की आयु के बीच का अंतर है: 66 - 24 = 42 वर्ष

कुल आयु में परिवर्तन और औसत आयु में परिवर्तन के बीच संबंध है: कुल आयु में शुद्ध वृद्धि = औसत आयु में वृद्धि × व्यक्तियों की संख्या

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 42 = 6 × n n = 7

व्याख्या

माना A के लिए वस्तु का क्रय मूल्य CP है।

A, B को 10% लाभ पर वस्तु बेचता है। B के लिए क्रय मूल्य है: CP × (1 + 10/100) = 1.1 × CP

B, C को 25% लाभ पर वस्तु बेचता है। C के लिए क्रय मूल्य है: 1.1 × CP × (1 + 25/100) = 1.1 × 1.25 × CP

चूंकि C ₹6,875 का भुगतान करता है: 1.1 × 1.25 × CP = 6875

दशमलव को भिन्न में बदलना: (11/10) × (5/4) × CP = 6875 (55/40) × CP = 6875 (11/8) × CP = 6875

CP के लिए हल करना: CP = (6875 × 8) / 11 CP = 625 × 8 = 5000

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत वर्तमान मूल्य (PV) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

PV = A / (1 + r)ⁿ

यहाँ, A देय राशि (₹90,774) है, r वार्षिक ब्याज दर (23% या 0.23) है, और n समय अवधि (2 वर्ष) है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

PV = 90774 / (1 + 0.23)²

PV = 90774 / (1.23)²

PV = 90774 / 1.5129

PV = 60000

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, गणनाएँ सबसे भीतरी से सबसे बाहरी कोष्ठकों के क्रम में की जानी चाहिए, जिसके बाद घटाव किया जाएगा।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक को हल करें: 28 - 24 = 4

अगला, इस परिणाम को कर्ली ब्रेसिज़ के भीतर जोड़ें: 40.22 + 4 = 44.22

अब, वर्ग कोष्ठकों के भीतर घटाव करें: 86.23 - 44.22 = 42.01

अंत में, बाहरी घटाव को पूरा करें: 178.01 - 42.01 = 136

व्याख्या

किसी संपत्ति के n वर्षों के बाद अवमूल्यित मूल्य A का सूत्र, उसकी प्रारंभिक लागत P और वार्षिक अवमूल्यन दर R को देखते हुए, है:

A = P × (1 - R/100)ⁿ

यहाँ, प्रारंभिक लागत P ₹10,00,000 है, अवमूल्यन दर R प्रति वर्ष 10% है, और समय अवधि n 3 वर्ष है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

A = 10,00,000 × (1 - 10/100)³ A = 10,00,000 × (0.9)³ A = 10,00,000 × 0.729 A = 7,29,000

यह गणना सीधे 3 साल बाद आवासीय फ्लैट के अवमूल्यित मूल्य को दर्शाती है।

व्याख्या

औसत वार्षिक प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, पहले दशक (10 वर्ष) में कुल प्रतिशत वृद्धि की गणना करें और फिर उसे वर्षों की संख्या से विभाजित करें।

जनसंख्या में कुल वृद्धि = 2,62,500 - 1,75,000 = 87,500

10 वर्षों में कुल प्रतिशत वृद्धि = (जनसंख्या में कुल वृद्धि / मूल जनसंख्या) × 100 कुल प्रतिशत वृद्धि = (87,500 / 1,75,000) × 100 = 50%

औसत वार्षिक प्रतिशत वृद्धि = कुल प्रतिशत वृद्धि / वर्षों की संख्या औसत वार्षिक प्रतिशत वृद्धि = 50% / 10 = 5%

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

दिया गया है कि गोले का व्यास 21 सेमी है, तो त्रिज्या है: r = 21/2 सेमी

π = 22/7 के साथ सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × (21/2)² पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × (441/4) पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22 × 63 पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1386 सेमी²

व्याख्या

चूंकि तय की गई दूरी स्थिर है, ट्रेन की गति लिया गया समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

दो परिदृश्यों में लिया गया समय का अनुपात T₁ : T₂ = 6 : 9 = 2 : 3 है।

इसलिए, संगत गतियों का अनुपात S₁ : S₂ = 3 : 2 है।

गति में अंतर 3 - 2 = 1 इकाई है, जो 13 किमी/घंटा की दी गई गति में कमी के अनुरूप है।

इसका मतलब है 1 इकाई = 13 किमी/घंटा।

मूल गति S₁ = 3 × 13 = 39 किमी/घंटा।

दोनों स्टेशनों के बीच की दूरी मूल गति × मूल समय = 39 किमी/घंटा × 6 घंटे = 234 किमी है।

व्याख्या

मान लीजिए काले टैबलेट कवर की संख्या B और सफेद टैबलेट कवर की संख्या W है। काले और सफेद टैबलेट कवर का अनुपात B:W = 5:9 दिया गया है।

यह देखते हुए कि सफेद टैबलेट कवर की संख्या W 450 है, हम अनुपात स्थापित कर सकते हैं:

B = W × (5/9)

समीकरण में W = 450 का मान रखने पर:

B = 450 × 5/9

B = 50 × 5

B = 250

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

मान लीजिए a = 777 और b = 423। व्यंजक का पहला भाग इस प्रकार लिखा जा सकता है: (a³ + b³) / (a² - ab + b²) = a + b

a और b के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 777 + 423 = 1200

अब, व्यंजक के दूसरे भाग का मूल्यांकन करें: 77 - 47 = 30

सरलीकृत पहले भाग को दूसरे भाग से विभाजित करने पर: 1200 ÷ 30 = 40

व्याख्या

सही उत्तर: D

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करते हुए, मान लीजिए a = tan θ और b = cot θ।

चूंकि tan θ और cot θ एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, उनका गुणनफल 1 होता है: tan θ × cot θ = 1

दिए गए समीकरण tan θ + cot θ = 4 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (tan θ + cot θ)² = 4² tan²θ + cot²θ + 2(tan θ)(cot θ) = 16

समीकरण में tan θ × cot θ = 1 का मान रखने पर: tan²θ + cot²θ + 2(1) = 16 tan²θ + cot²θ = 16 - 2 tan²θ + cot²θ = 14

व्याख्या

चक्रवृद्धि के तहत संचित कुल राशि का सूत्र A = P(1 + r)ⁿ है, जहाँ P मूलधन है, r प्रति रूपांतरण अवधि ब्याज दर है, और n रूपांतरण अवधियों की संख्या है।

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर आधी हो जाती है और संयोजन अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है।

दिया गया है: मूलधन P = 40,000 वार्षिक ब्याज दर = 20%, इसलिए अर्ध-वार्षिक दर r = 20% / 2 = 10% = 0.1 समय = 2 वर्ष 6 महीने = 2.5 वर्ष, जिससे अर्ध-वार्षिक अवधियों की संख्या n = 2.5 × 2 = 5 प्राप्त होती है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: A = 40,000 × (1 + 0.1)⁵ A = 40,000 × (1.1)⁵ A = 40,000 × 1.61051 A = 64,420.40

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) संचित राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: CI = A - P CI = 64,420.40 - 40,000 CI = 24,420.40

व्याख्या

दिया गया समीकरण 8x³ + 27y³ + 64z³ = 72xyz है।

इसे मानक बीजगणितीय रूप में पुनः लिखा जा सकता है: (2x)³ + (3y)³ + (4z)³ = 3 × (2x) × (3y) × (4z)

बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, यदि a³ + b³ + c³ = 3abc है, तो a + b + c = 0 या a = b = c।

पदों की तुलना करने पर, हमारे पास a = 2x, b = 3y, और c = 4z है।

शर्त a + b + c = 0 लागू करने पर: 2x + 3y + 4z = 0

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2x + 3y = -4z

व्याख्या

शीतकाल में लोगों का सबसे पसंदीदा पेय ज्ञात करने के लिए, हम तालिका की शीतकालीन पंक्ति में मानों को देखते हैं:

पेय A: 25 पेय B: 32 पेय C: 40 पेय D: 50

इन मानों की तुलना करने पर, पेय D की खरीद संख्या 50 के साथ सबसे अधिक है, जो इसे शीतकाल के दौरान सबसे पसंदीदा पेय बनाता है। यह विकल्प C से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए सोमवार को तय की गई दूरी M किमी है।

मंगलवार को तय की गई दूरी सोमवार की तुलना में 12.5% कम है। चूंकि 12.5% भिन्न 1/8 के बराबर है, मंगलवार को तय की गई दूरी है: मंगलवार = M × (1 - 1/8) = (7/8)M

बुधवार को तय की गई दूरी मंगलवार की तुलना में 20% अधिक है। चूंकि 20% भिन्न 1/5 के बराबर है, बुधवार को तय की गई दूरी है: बुधवार = मंगलवार × (1 + 1/5) = मंगलवार × (6/5)

मंगलवार के लिए व्यंजक को बुधवार के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: बुधवार = (7/8)M × (6/5) = (21/20)M

यह देखते हुए कि सोनम बुधवार को 336 किमी की यात्रा करती है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: (21/20)M = 336 M = 336 × (20/21) M = 16 × 20 = 320

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए, एकल समतुल्य छूट की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

समकक्ष छूट = a + b - ab/100

इस सूत्र को प्रत्येक योजना पर लागू करने पर:

योजना (i) के लिए, समतुल्य छूट 20 + 12 - (20 × 12)/100 = 32 - 2.4 = 29.6% है

योजना (ii) के लिए, समतुल्य छूट 25 + 5 - (25 × 5)/100 = 30 - 1.25 = 28.75% है

योजना (iii) के लिए, समतुल्य छूट 30 + 3 - (30 × 3)/100 = 33 - 0.9 = 32.1% है

ग्राहक को हमेशा उच्चतम छूट से लाभ होता है। चूंकि तीनों विकल्पों में 32.1% उच्चतम छूट है, इसलिए योजना (iii) ग्राहक के लिए सबसे अच्छी योजना है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले प्रति इकाई क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य की गणना करें।

1 दर्जन खिलौनों का क्रय मूल्य = ₹375 चूंकि 1 दर्जन में 12 खिलौने होते हैं, इसलिए 1 खिलौने का क्रय मूल्य = 375 ÷ 12 = ₹31.25

1 खिलौने का विक्रय मूल्य ₹33 दिया गया है।

प्रति खिलौना लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 33 - 31.25 = ₹1.75

लाभ प्रतिशत = (लाभ ÷ क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (1.75 ÷ 31.25) × 100 = 5.6%

व्याख्या

किसी संपत्ति का अवमूल्यित मूल्य A, n वर्षों के बाद, वर्तमान मूल्य P और वार्षिक अवमूल्यन दर R के साथ, सूत्र द्वारा दिया जाता है:

A = P × (1 - R/100)ⁿ

दिए गए मानों, P = 35000, R = 10, और n = 2 को प्रतिस्थापित करने पर:

A = 35000 × (1 - 10/100)² A = 35000 × (9/10)² A = 35000 × 81/100 A = 350 × 81 A = 28350

व्याख्या

व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

माना a = 5.4 और b = 0.4, तो हमारे पास है: b³ = (0.4)³ = 0.064 ab = 5.4 × 0.4 = 2.16 b² = (0.4)² = 0.16

इन मानों को बीजगणितीय संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: [(5.4)³ - 0.064] ÷ [(5.4)² + 2.16 + 0.16] = [(5.4)³ - (0.4)³] ÷ [(5.4)² + (5.4 × 0.4) + (0.4)²]

यह सीधे सरल हो जाता है: a - b = 5.4 - 0.4 = 5

व्याख्या

मान लीजिए बीकर में मिश्रण का प्रारंभिक कुल आयतन V लीटर है। तरल X और तरल Y का प्रारंभिक अनुपात 5:3 है, जिसका अर्थ है कि तरल X कुल मिश्रण का 5/8 है और तरल Y कुल मिश्रण का 3/8 है।

जब मिश्रण का 6 लीटर निकाला जाता है, तो मिश्रण का शेष आयतन V - 6 लीटर होता है। इस शेष मिश्रण में, X और Y का अनुपात 5:3 ही रहता है।

इसलिए, X की शेष मात्रा (5/8) × (V - 6) है और Y की शेष मात्रा (3/8) × (V - 6) है।

जब मिश्रण में 6 लीटर तरल Y मिलाया जाता है, तो Y की नई मात्रा (3/8) × (V - 6) + 6 हो जाती है।

X और Y का नया अनुपात 5:7 दिया गया है। समीकरण स्थापित करना:

[(5/8) × (V - 6)] / [(3/8) × (V - 6) + 6] = 5/7

दोनों पक्षों के अंश को 5 से विभाजित करना:

[(1/8) × (V - 6)] / [(3/8) × (V - 6) + 6] = 1/7

V के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करना:

(7/8) × (V - 6) = (3/8) × (V - 6) + 6

(4/8) × (V - 6) = 6

½ × (V - 6) = 6

V - 6 = 12

V = 18 लीटर

इस प्रकार, मिश्रण का प्रारंभिक कुल आयतन 18 लीटर था।

तरल X की प्रारंभिक मात्रा थी:

(5/8) × 18 = 90/8 = 11.25 लीटर

व्याख्या

81 से पूर्णतः विभाज्य सबसे बड़ी छह अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, सबसे बड़ी संभव छह अंकों की संख्या, जो कि 999999 है, से प्रारंभ करें। 999999 को 81 से विभाजित करने पर भागफल 12345 और एक शेषफल प्राप्त होता है।

999999 ÷ 81 = 12345 शेष 54

999999 में से इस शेषफल को घटाने पर 81 से पूर्णतः विभाज्य सबसे बड़ी छह अंकों की संख्या प्राप्त होती है:

999999 - 54 = 999945

व्याख्या

मान लीजिए मिश्रण का कुल आयतन 10 इकाई है। जल का प्रारंभिक आयतन = 3 इकाई औषधि का प्रारंभिक आयतन = 7 इकाई

मान लीजिए x मिश्रण का वह अंश है जिसे जल से बदला जाता है। जब मिश्रण का x अंश हटाया जाता है, तो मिश्रण का शेष अंश (1 - x) होता है। चूँकि हम केवल जल वापस मिलाते हैं, औषधि का अंतिम आयतन केवल इस शेष अंश पर निर्भर करता है: अंतिम औषधि = प्रारंभिक औषधि × (1 - x) अंतिम औषधि = 7 × (1 - x)

10 इकाई के अंतिम 1:1 मिश्रण में, जल और औषधि दोनों बराबर होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक 5 इकाई होना चाहिए। 7 × (1 - x) = 5 1 - x = 5/7 x = 1 - 5/7 x = 2/7

व्याख्या

मान लीजिए कि B को कार्य पूरा करने में x दिन लगते हैं। चूँकि A, B की तुलना में 3 गुना तेज है, इसलिए A को x/3 दिन लगते हैं।

कार्य पूरा करने के लिए B और A द्वारा लिए गए समय का अंतर 32 दिन है: x - x/3 = 32 2x/3 = 32 x = 48 दिन

इस प्रकार, B को कार्य पूरा करने में 48 दिन लगते हैं और A को व्यक्तिगत रूप से 16 दिन लगते हैं।

मिलकर काम करते हुए, A और B द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय है: समय = (A × B) / (A + B) समय = (16 × 48) / (16 + 48) समय = 768 / 64 = 12 दिन

व्याख्या

दिए गए समीकरण से, हमारे पास है: 1.5x = 0.04y

हम x और y का अनुपात ज्ञात कर सकते हैं: x/y = 0.04/1.5 = 4/150 = 2/75

इस प्रकार, हम x = 2 और y = 75 मान सकते हैं।

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (y - x)/(y + x) = (75 - 2)/(75 + 2) = 73/77

व्याख्या

बेलन के आधार की त्रिज्या (r) व्यास की आधी है, जो 20/2 = 10 सेमी है।

बेलन की ऊंचाई (h) उसके आधार की त्रिज्या की दोगुनी है, जिससे h = 2 × 10 = 20 सेमी प्राप्त होता है।

बेलन का आयतन (V) सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में मान रखने पर: V = π × 10² × 20 V = π × 100 × 20 V = 2000π सेमी³

व्याख्या

दो वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a² - b² = (a - b)(a + b)

a = 82 और b = 18 रखने पर: 82² - 18² = (82 - 18) × (82 + 18) 82² - 18² = 64 × 100 = 6400

0.5 की घात लेना वर्गमूल ज्ञात करने के बराबर है: (6400)⁰.⁵ = √6400 = 80

व्याख्या

कार्य दर सूत्र का उपयोग करके, कार्य की व्यक्तिगत दर और कार्य की संयुक्त दर निम्न द्वारा संबंधित हैं:

1/A + 1/B = 1/संयुक्त

यहाँ, A काम को 15 दिनों में पूरा कर सकता है, और A और B मिलकर इसे 9 दिनों में पूरा कर सकते हैं। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

1/15 + 1/B = 1/9

B की दर को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

1/B = 1/9 - 1/15

9 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 45 है। भिन्न को समान हर (denominator) में बदलने पर:

1/B = 5/45 - 3/45 1/B = 2/45

B को अकेले काम पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:

B = 45/2 = 22.5 दिन

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट % = (मुफ्त वस्तुएँ / प्राप्त कुल वस्तुएँ) × 100

यहाँ, मुफ्त वस्तुओं की संख्या 6 है, और खरीदी गई वस्तुओं की संख्या 24 है।

प्राप्त कुल वस्तुएँ = 24 + 6 = 30

इन मानों को सूत्र में रखने पर:

छूट % = (6 / 30) × 100 = (1 / 5) × 100 = 20%

व्याख्या

सबसे कम कुल अंक प्राप्त करने वाले छात्र का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक छात्र द्वारा चारों विषयों में प्राप्त अंकों का योग ज्ञात करते हैं:

P के कुल अंक = 65 + 75 + 72 + 58 = 270 Q के कुल अंक = 73 + 67 + 78 + 52 = 270 R के कुल अंक = 71 + 59 + 55 + 65 = 250 S के कुल अंक = 57 + 73 + 58 + 71 = 259

इन योगों की तुलना करने पर, R ने 250 अंकों के साथ सबसे कम कुल अंक प्राप्त किए।