एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए ₹47.50 प्रति किग्रा लागत वाले चावल का वजन x किग्रा है। ₹40 प्रति किग्रा लागत वाले चावल का वजन 15 - x किग्रा है।

मिश्रित चावल की कुल लागत ₹645 है, जिससे समीकरण प्राप्त होता है: 40(15 - x) + 47.5x = 645

x के लिए हल करने पर: 600 - 40x + 47.5x = 645 7.5x = 45 x = 6

व्याख्या

औसत के सूत्र का उपयोग करके, कुल योग प्रेक्षणों की संख्या को औसत से गुणा करने के बराबर होता है।

10 छात्रों के समूह के लिए, कुल अंक X है: X = 10 × A

15 छात्रों के समूह के लिए, कुल अंक Y है: Y = 15 × (A + 8)

उनके कुल अंकों का अनुपात X:Y = 3:5 दिया गया है। इस अनुपात में X और Y के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: (10 × A) / (15 × (A + 8)) = 3/5

बाईं ओर के भिन्न को सरल बनाने पर: (2A) / (3(A + 8)) = 3/5

A के लिए हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर: 2A × 5 = 3 × 3(A + 8) 10A = 9(A + 8) 10A = 9A + 72 A = 72

अब, X और Y ज्ञात करने के लिए A का मान प्रतिस्थापित करें: X = 10 × 72 = 720 Y = 15 × (72 + 8) = 15 × 80 = 1200

आवश्यक मान A + X + Y है: A + X + Y = 72 + 720 + 1200 = 1992

व्याख्या

पहली ट्रेन सुबह 9:00 बजे रवाना होती है और 240 किमी/घंटा की गति से यात्रा करती है। दूसरी ट्रेन 30 मिनट (½ घंटा) बाद सुबह 9:30 बजे रवाना होती है और 300 किमी/घंटा की गति से यात्रा करती है।

दूसरी ट्रेन के रवाना होने से पहले के ½ घंटे में, पहली ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी है: 240 किमी/घंटा × ½ घंटा = 120 किमी

पहली ट्रेन के सापेक्ष दूसरी ट्रेन की सापेक्ष गति है: 300 किमी/घंटा - 240 किमी/घंटा = 60 किमी/घंटा

दूसरी ट्रेन को पहली ट्रेन को पकड़ने में लगने वाला समय है: 120 किमी ÷ 60 किमी/घंटा = 2 घंटे

आगरा से वह दूरी जहाँ वे मिलेंगी, वह दूरी है जो दूसरी ट्रेन इन 2 घंटों में तय करती है: 300 किमी/घंटा × 2 घंटे = 600 किमी

व्याख्या

दी गई सर्वसमिका के बाएँ पक्ष का बीजीय व्यंजकों को गुणा करके विस्तार करें:

4(z + 7)(2z - 1) = 4(2z² - z + 14z - 7) = 4(2z² + 13z - 7) = 8z² + 52z - 28

इसकी तुलना सर्वसमिका के दाएँ पक्ष, Az² + Bz + C से करने पर, हम समान पदों के संगत गुणांकों की तुलना करते हैं:

A = 8 B = 52 C = -28

अब, इन मानों को व्यंजक A² - B - C में प्रतिस्थापित करें:

A² - B - C = 8² - 52 - (-28) = 64 - 52 + 28 = 12 + 28 = 40

व्याख्या

बेलनाकार कंटेनर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

TSA = 2πr(h + r)

यहाँ, त्रिज्या r व्यास की आधी है, इसलिए: r = 14 / 2 = 7 सेमी

ऊंचाई h 25 सेमी दी गई है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

TSA = 2 × (22 / 7) × 7 × (25 + 7) TSA = 2 × 22 × 32 TSA = 44 × 32 TSA = 1408 सेमी²

व्याख्या

वार्षिक रूप से संयोजित और अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज के बीच अंतर ज्ञात करने के लिए, हम दोनों परिदृश्यों में अंतिम राशि की गणना करते हैं।

वार्षिक संयोजन के लिए, ब्याज की गणना 4% पर 1 पूर्ण वर्ष के लिए और शेष ½ वर्ष के लिए 2% पर की जाती है। राशि = P × (1 + R/100) × (1 + (R × ½)/100) राशि = 10000 × (1 + 4/100) × (1 + 2/100) राशि = 10000 × 1.04 × 1.02 = ₹ 10608

अर्ध-वार्षिक संयोजन के लिए, दर को प्रति अर्ध-वर्ष 2% तक आधा कर दिया जाता है, और समय अवधि को 3 अर्ध-वर्ष तक दोगुना कर दिया जाता है। राशि = P × (1 + R/100)³ राशि = 10000 × (1 + 2/100)³ राशि = 10000 × (1.02)³ राशि = 10000 × 1.061208 = ₹ 10612.08

दोनों राशियों के बीच का अंतर चक्रवृद्धि ब्याज में अंतर देता है: अंतर = 10612.08 - 10608 = ₹ 4.08

व्याख्या

5 विषयों में, प्रत्येक 100 में से, ठीक 94% का औसत अंक प्राप्त करने के लिए कुल अंकों का योग आवश्यक है:

आवश्यक कुल अंक = 94 × 5 = 470

सभी 5 विषयों में कैविन द्वारा प्राप्त अंकों का योग ज्ञात करना:

कैविन के कुल अंक = 96 + 99 + 94 + 87 + 94 = 470

इस योग को विषयों की संख्या से विभाजित करने पर औसत प्राप्त होता है:

औसत = 470 / 5 = 94%

व्याख्या

प्रत्येक 10% की तीन क्रमिक छूट के पहले विकल्प के लिए, अंतिम विक्रय मूल्य की गणना क्रमिक गुणन सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

विक्रय मूल्य 1 = अंकित मूल्य × (1 - d/100)³ विक्रय मूल्य 1 = 3000 × (1 - 10/100)³ = 3000 × (0.9)³ = 3000 × 0.729 = ₹2187

30% की एकल छूट के दूसरे विकल्प के लिए, अंतिम विक्रय मूल्य है:

विक्रय मूल्य 2 = अंकित मूल्य × (1 - d/100) विक्रय मूल्य 2 = 3000 × (1 - 30/100) = 3000 × 0.7 = ₹2100

दोनों विकल्पों की तुलना करने पर, खरीदार द्वारा भुगतान की गई राशि में अंतर है:

2187 - 2100 = ₹87

इसलिए, खरीदार को दूसरे विकल्प की तुलना में पहले विकल्प में ₹87 अधिक भुगतान करना पड़ता है।

व्याख्या

मान लीजिए वैध मतों की कुल संख्या V है।

चूंकि केवल दो उम्मीदवार हैं, यदि एक उम्मीदवार को वैध मतों का 38% मिलता है, तो दूसरे उम्मीदवार को शेष मत मिलते हैं: 100% - 38% = V का 62%

जीतने वाले उम्मीदवार और हारने वाले उम्मीदवार के बीच मतों का अंतर है: V का 62% - V का 38% = V का 24%

यह अंतर 7200 मतों के रूप में दिया गया है: V का 24% = 7200

V के लिए हल करना: V × 24/100 = 7200 V = 7200 × 100 / 24 V = 300 × 100 V = 30000

व्याख्या

सही उत्तर: B

व्यंजक x⁵ - 10x⁴ + 10x³ - 10x² + 10x - 1 का मान ज्ञात करने के लिए जब x = 9 हो, हम 10 को x + 1 से प्रतिस्थापित कर सकते हैं क्योंकि 9 + 1 = 10।

व्यंजक में 10 को x + 1 से प्रतिस्थापित करने पर: x⁵ - (x + 1)x⁴ + (x + 1)x³ - (x + 1)x² + (x + 1)x - 1

पदों का विस्तार करने पर: x⁵ - x⁵ - x⁴ + x⁴ + x³ - x³ - x² + x² + x - 1

सभी उच्च-घात वाले पद एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं: (x⁵ - x⁵) + (-x⁴ + x⁴) + (x³ - x³) + (-x² + x²) + x - 1 = x - 1

सरलीकृत व्यंजक में x = 9 को वापस प्रतिस्थापित करने पर: 9 - 1 = 8

व्याख्या

किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए, यदि उनका तृतीय समानुपाती c है, तो संबंध समानुपात a : b = b : c द्वारा परिभाषित होता है, जो सूत्र c = b² / a को सरल करता है।

दी गई संख्याएँ a = 42 और b = 63 हैं, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

c = 63² / 42 c = (63 × 63) / 42

63 और 42 को उनके महत्तम समापवर्तक, 21 से विभाजित करने पर:

63 / 21 = 3 42 / 21 = 2

यह गणना को सरल करता है:

c = (3 × 63) / 2 c = 189 / 2 c = 94.5

व्याख्या

जब कोई वस्तु दो अलग-अलग गतियों, मान लीजिए x और y, पर समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति हार्मोनिक माध्य सूत्र द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2xy / (x + y)

यहां, शहर A से शहर B की दूरी शहर B से शहर A की वापसी दूरी के बराबर है।

दिया गया है: शहर A से B तक की गति (x) = 24 किमी/घंटा शहर B से A तक की गति (y) = 16 किमी/घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = 2 × 24 × 16 / (24 + 16) औसत गति = 768 / 40 औसत गति = 19.2 किमी/घंटा

व्याख्या

खिलौने का कुल आयतन उसके तीन घटकों: बेलन, शंकु और अर्धगोले के आयतनों का योग है। खिलौने के कुल आयतन को 100% मानते हुए, बेलन 50% और शंकु 20% योगदान देता है।

अर्धगोले का योगदान कुल आयतन का शेष प्रतिशत है: 100% - 50% - 20% = 30%

इस विशिष्ट क्रम में शंकु, बेलन और अर्धगोले के आयतन योगदान का अनुपात है: शंकु : बेलन : अर्धगोला = 20% : 50% : 30% = 2 : 5 : 3

व्याख्या

BODMAS नियम लागू करने पर, जो कोष्ठक, घात (घातांक), भाग और गुणा, और जोड़ और घटाव के क्रम को निर्दिष्ट करता है:

सबसे पहले, घातांक वाले पदों का मूल्यांकन करें: 3³ = 27 2² = 4

अगला, कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल बनाएं: (28 - 3³) = 28 - 27 = 1 [(28 - 3³) + 99] = 1 + 99 = 100 (44 - 2²) = 44 - 4 = 40

इन सरलीकृत मानों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 100 + 136 ÷ 4 × 5 - 40

अब बाएं से दाएं भाग और गुणा करें: 136 ÷ 4 = 34 34 × 5 = 170

अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें: 100 + 170 - 40 = 270 - 40 = 230

व्याख्या

किसी 'a' भुजा वाले घनाकार बर्तन के अंदर रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ी घन के विकर्ण (body diagonal) के बराबर होती है।

घन के विकर्ण की लंबाई का सूत्र है: d = a√3

इस संबंध में दी गई भुजा की लंबाई a = 20 सेमी रखने पर: d = 20√3 सेमी

व्याख्या

औसत विचलन सूत्र का उपयोग करके, nवीं पारी में स्कोर जो औसत को बढ़ाता है, वह है: nवीं पारी में स्कोर = नया औसत + (पिछली पारियों की संख्या × औसत में वृद्धि)

यहां, 17 पारियों के बाद नया औसत 37 है, जो 9 रनों की वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है। पिछली पारियों की संख्या 16 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 17वीं पारी में स्कोर = 37 + (16 × 9) 17वीं पारी में स्कोर = 37 + 144 17वीं पारी में स्कोर = 181

वैकल्पिक रूप से, कुल रनों का उपयोग करके: 17 पारियों में कुल रन = 17 × 37 = 629 चूंकि औसत 9 रन बढ़ गया, पहली 16 पारियों का औसत 37 - 9 = 28 था। 16 पारियों में कुल रन = 16 × 28 = 448 17वीं पारी में रन = 629 - 448 = 181

व्याख्या

मिश्रण के नियम के अनुसार, अधिकारियों की संख्या का श्रमिकों की संख्या से अनुपात उनके संबंधित औसत वेतन और संयुक्त औसत वेतन के बीच के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

मान लीजिए O अधिकारियों की संख्या है और W श्रमिकों की संख्या है। मान लीजिए सभी कर्मचारियों का संयुक्त औसत मासिक वेतन S है।

एक अधिकारी का औसत मासिक वेतन S + 78000 है, इसलिए अधिकारी के औसत और संयुक्त औसत के बीच का अंतर 78000 है।

एक श्रमिक का औसत मासिक वेतन S - 42000 है, इसलिए संयुक्त औसत और श्रमिक के औसत के बीच का अंतर 42000 है।

भारित औसत संबंध का उपयोग करके: O × (S_officer - S) = W × (S - S_worker)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: O × 78000 = W × 42000

यह सरल होकर बनता है: O / W = 42000 / 78000 = 7 / 13

कर्मचारियों की कुल संख्या O + W = 7 + 13 = 20 इकाइयों द्वारा दर्शायी जाती है।

सभी कर्मचारियों में अधिकारियों का प्रतिशत है: (O / (O + W)) × 100% = (7 / 20) × 100% = 35%

व्याख्या

व्यंजक 1/sin α, csc α के समतुल्य है। किसी भी न्यून कोण α के लिए, csc α, sec α के बराबर होता है यदि और केवल यदि α = 45°। अन्य सभी न्यून कोणों के लिए, दोनों मान भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि α = 30°, sec 30° = 2/√3 ≈ 1.15, जबकि 1/sin 30° = 2। इसलिए, 1/sin α आवश्यक रूप से sec α के बराबर नहीं है।

व्याख्या

बेलन के आधार की परिधि का सूत्र C = 2πr है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है।

दिया गया है कि परिधि 4π cm है: 2πr = 4π r = 2 cm

बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल का सूत्र CSA = 2πrh है, जहाँ h ऊँचाई है।

दिया गया है कि वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल 12π cm² है: 2πrh = 12π r = 2 cm रखने पर: 2π × 2 × h = 12π 4πh = 12π h = 3 cm

बेलन के आयतन का सूत्र V = πr²h है।

r और h के मान रखने पर: V = π × 2² × 3 V = π × 4 × 3 V = 12π cm³

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × r × l

जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l शंकु की तिर्यक ऊँचाई है।

यह दिया गया है कि त्रिज्या r 28 सेमी है, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4664 वर्ग सेमी है, और π 22/7 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: 4664 = (22/7) × 28 × l

व्यंजक को सरल बनाने पर: 4664 = 22 × 4 × l 4664 = 88 × l

तिर्यक ऊँचाई l के लिए हल करने पर: l = 4664 / 88 l = 53 सेमी

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत वृद्धि = ((नई_मान - मूल_मान) / मूल_मान) × 100%

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: मूल_मान = 36 नई_मान = 63

निरपेक्ष वृद्धि = 63 - 36 = 27

प्रतिशत वृद्धि = (27 / 36) × 100% = 3/4 × 100% = 75%

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के लिए, उनका तृतीय समानुपाती c संबंध a : b = b : c द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो सूत्र को सरल बनाता है:

c = b² / a

दिए गए मानों, a = 16 और b = 24 को प्रतिस्थापित करने पर:

c = 24² / 16 c = 576 / 16 c = 36

व्याख्या

माना x = a - 15 और y = b - 10।

हमें x³ + y³ का मान ज्ञात करना है। सबसे पहले, हम x और y का योग ज्ञात करते हैं: x + y = (a - 15) + (b - 10) x + y = a + b - 25

हमें दिया गया है कि a + b = 25। इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + y = 25 - 25 = 0

बीजीय सर्वसमिका के अनुसार, जब x + y = 0 होता है, तो उनके घनों का योग भी शून्य होता है: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) x³ + y³ = 0 × (x² - xy + y²) = 0

इसलिए, x और y के व्यंजकों को वापस प्रतिस्थापित करने पर: (a - 15)³ + (b - 10)³ = 0

व्याख्या

p² + 2p का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले दिए गए समीकरण को हल करते हैं: p³ + 3p² + 3p = 26

समीकरण के दोनों पक्षों में 1 जोड़कर, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का उपयोग करके बाईं ओर घन को पूरा कर सकते हैं: p³ + 3p² + 3p + 1 = 26 + 1 (p + 1)³ = 27

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: p + 1 = 3 p = 2

अब, p = 2 का मान आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: p² + 2p = 2² + 2(2) = 4 + 4 = 8

व्याख्या

बाह्य कोण प्रमेय द्वारा, त्रिभुज का बाह्य कोण उसके दो विपरीत आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है। यहाँ, जब त्रिभुज ABC की भुजा CA को P तक बढ़ाया जाता है, तो बाह्य कोण ∠BAP आंतरिक कोणों ∠B और ∠C के योग के बराबर होता है:

∠B + ∠C = ∠BAP = 126°

कोणों का अनुपात ∠B : ∠C = 5 : 2 दिया गया है। मान लीजिए ∠B = 5x और ∠C = 2x।

इन मानों को योग में प्रतिस्थापित करने पर: 5x + 2x = 126° 7x = 126° x = 18°

अब, व्यक्तिगत कोणों के माप की गणना करने पर: ∠B = 5 × 18° = 90° ∠C = 2 × 18° = 36°

व्याख्या

सही उत्तर: A

जब दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन x और y होते हैं, तो बिक्री में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

शुद्ध परिवर्तन % = x + y + xy/100

यहां, कीमत 20% कम कर दी गई है, इसलिए x = -20%। बेची गई मात्रा 40% बढ़ गई है, इसलिए y = +40%।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध परिवर्तन % = -20 + 40 + (-20 × 40)/100 शुद्ध परिवर्तन % = 20 - 800/100 शुद्ध परिवर्तन % = 20 - 8 शुद्ध परिवर्तन % = 12%

चूंकि परिणामी मान सकारात्मक है, इसलिए कुल बिक्री में 12% की वृद्धि हुई है।

व्याख्या

माना कि व्यंजक में पदों को a = 5 ½ और b = 2 ¾ से दर्शाया गया है।

इन मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में परिवर्तित करना: a = 11/2 b = 11/4

दिया गया व्यंजक (a² - b²) ÷ b है, जिसे इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है: a²/b - b

पहले पद में a और b के मानों को प्रतिस्थापित करना: a²/b = (11/2)² ÷ (11/4) = (121/4) × (4/11) = 11

इस परिणाम से b को घटाना: 11 - 11/4 = (44 - 11)/4 = 33/4

33/4 को वापस मिश्रित भिन्न में परिवर्तित करना: 33/4 = 8 ¼

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में चलती हैं तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है।

सापेक्ष गति = नेहा की गति - मलय की गति सापेक्ष गति = 11 चक्कर/घंटा - 7 चक्कर/घंटा = 4 चक्कर/घंटा

वे एक ही बिंदु से और एक ही दिशा में चलना शुरू करते हैं, इसलिए वे पहली बार एक-दूसरे को तब पार करेंगे जब उनके बीच तय की गई सापेक्ष दूरी वृत्ताकार मैदान के 1 पूरे चक्कर के बराबर होगी।

एक-दूसरे को पार करने में लिया गया समय = सापेक्ष दूरी / सापेक्ष गति लिया गया समय = 1 चक्कर / 4 चक्कर/घंटा = ¼ घंटा

घंटों को मिनटों में बदलना: ¼ × 60 मिनट = 15 मिनट

चूंकि उन्होंने दोपहर 02:45 बजे शुरुआत की थी, वे 15 मिनट बाद पहली बार एक-दूसरे को पार करेंगे: 02:45 अपराह्न + 15 मिनट = 03:00 अपराह्न

व्याख्या

संख्या 5X8146Y के 88 से विभाज्य होने के लिए, यह 8 और 11 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए, क्योंकि 8 और 11, 88 के सह-अभाज्य गुणनखंड हैं।

8 के विभाज्यता नियम के अनुसार, 5X8146Y के अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होनी चाहिए। ये अंक 46Y हैं। 460 को 8 से विभाजित करने पर 4 शेष बचता है, इसलिए 8 का अगला गुणज 464 है। अतः, Y का मान 4 होना चाहिए।

Y = 4 के साथ, संख्या 5X81464 बन जाती है।

11 के विभाज्यता नियम के अनुसार, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए।

दाईं ओर से शुरू होने वाले विषम स्थानों पर अंकों का योग: 4 + 4 + 8 + 5 = 21 दाईं ओर से शुरू होने वाले सम स्थानों पर अंकों का योग: 6 + 1 + X = 7 + X

अंतर = 21 - (7 + X) = 14 - X

इस अंतर के 11 का गुणज होने के लिए, व्यंजक 14 - X का मान 11 होना चाहिए। इससे X = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

हम लाभ/हानि प्रतिशत के लिए भारित औसत सूत्र का उपयोग करके इसे कुशलतापूर्वक हल कर सकते हैं:

कुल लाभ % = (w₁ × P₁ + w₂ × P₂) / (w₁ + w₂)

मान लीजिए कुल भूमि को 5 बराबर भागों में बांटा गया है। पहले भाग का भार w₁ = 2 है, जिसे P₁ = -10% (हानि) के लाभ पर बेचा गया। शेष भाग का भार w₂ = 3 है, जिसे P₂ = x% के लाभ पर बेचा गया। कुल लाभ 42% है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 42 = (2 × (-10) + 3 × x) / 5 210 = -20 + 3x 3x = 230 x = 230/3 ≈ 76.7%

व्याख्या

दोनों स्थितियों में तय की गई दूरी का अंतर, दोनों प्लेटफार्मों की लंबाई के अंतर के बराबर है।

दूरी में अंतर = 600 - 400 = 200 मीटर समय में अंतर = 60 - 50 = 10 सेकंड

रेलगाड़ी की गति v = दूरी / समय = 200 / 10 = 20 मीटर/सेकंड

गति को किमी/घंटा में बदलना: v = 20 × 18/5 = 72 किमी/घंटा

मान लीजिए रेलगाड़ी की लंबाई L है। प्लेटफार्म को पार करते समय, तय की गई कुल दूरी रेलगाड़ी की लंबाई और प्लेटफार्म की लंबाई का योग होती है। पहले प्लेटफार्म के लिए संबंध का उपयोग करके: L + 400 = गति × समय L + 400 = 20 × 50 L + 400 = 1000 L = 600 मीटर

इससे रेलगाड़ी की लंबाई 600 मीटर और गति 72 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

व्याख्या

हमें समीकरण दिया गया है: a/b + b/a = -1

बायां पक्ष लेने पर उभयनिष्ठ हर: (a² + b²) / ab = -1

दोनों पक्षों को ab से गुणा करने पर: a² + b² = -ab

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: a² + ab + b² = 0

हमें 6(a³ - b³) का मान ज्ञात करना है। घनों के अंतर के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

संबंध a² + ab + b² = 0 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a³ - b³ = (a - b) × 0 = 0

6 से गुणा करने पर: 6(a³ - b³) = 6 × 0 = 0

व्याख्या

सही उत्तर: B

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: CSA = 2πr²

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: 1232 = 2 × (22/7) × r² 1232 = (44/7) × r² r² = (1232 × 7) / 44 r² = 28 × 7 r² = 196 r = √196 r = 14 सेमी

व्याख्या

जनसंख्या चक्रवृद्धि वृद्धि का सूत्र है: A = P × (1 + r/100)ⁿ

यहाँ: A वर्तमान जनसंख्या है = 93051 P 2 साल पहले की जनसंख्या है r वार्षिक वृद्धि दर है = 5% n वर्षों की संख्या है = 2

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 93051 = P × (1 + 5/100)² 93051 = P × (21/20)² 93051 = P × (441/400)

P के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = 93051 × 400 ÷ 441 P = 211 × 400 P = 84400

व्याख्या

कुल कार्य को 6 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लीजिए, जो कि 18 इकाई है।

आशा की कार्य दर 18 / 6 = 3 इकाई प्रति दिन है। भुवन की कार्य दर 18 / 9 = 2 इकाई प्रति दिन है।

वे बारी-बारी से काम करते हैं, आशा से शुरुआत करते हुए। एक पूर्ण 2-दिवसीय चक्र में, दोनों द्वारा किया गया कुल कार्य 3 + 2 = 5 इकाई है।

पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को एक चक्र में किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 18 / 5 = 3 चक्र शेष 3 इकाइयों के साथ।

3 पूर्ण चक्रों में लिया गया समय 3 × 2 = 6 दिन है, जिसके दौरान 15 इकाई कार्य पूरा हो जाता है।

शेष कार्य 18 - 15 = 3 इकाई है। 7वें दिन, आशा की काम करने की बारी है। चूँकि उसकी दर 3 इकाई प्रति दिन है, वह शेष 3 इकाई कार्य को ठीक 1 दिन में पूरा कर लेगी।

इस प्रकार, पूरे कार्य को पूरा करने में कुल समय 6 + 1 = 7 दिन लगता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। मान लीजिए त्रिभुज के तीन कोण 3x, 4x और 8x हैं।

3x + 4x + 8x = 180° 15x = 180° x = 12°

सबसे छोटे कोण का माप 3x है: 3 × 12° = 36°

व्याख्या

समूहबद्ध डेटा का माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

माध्य = ∑(f × x) / ∑f

जहाँ x प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु को दर्शाता है और f संगत बारंबारता को दर्शाता है।

प्रत्येक अंतराल के लिए मध्य-बिंदु (x) और बारंबारता और मध्य-बिंदु के गुणनफल (f × x) हैं:

0-10 के लिए: मध्य-बिंदु x = 5, f × x = 2 × 5 = 10 10-20 के लिए: मध्य-बिंदु x = 15, f × x = 11 × 15 = 165 20-30 के लिए: मध्य-बिंदु x = 25, f × x = 28 × 25 = 700 30-40 के लिए: मध्य-बिंदु x = 35, f × x = 6 × 35 = 210 40-50 के लिए: मध्य-बिंदु x = 45, f × x = 3 × 45 = 135

इन मानों को जोड़ने पर: कुल बारंबारता (∑f) = 2 + 11 + 28 + 6 + 3 = 50 गुणनफलों का कुल योग (∑fx) = 10 + 165 + 700 + 210 + 135 = 1220

माध्य सूत्र लागू करने पर: माध्य = 1220 / 50 = 24.4

व्याख्या

दिया गया त्रिकोणमितीय समीकरण है: sin x - 3 cos x = √3 cos x

cot x का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूरे समीकरण को sin x से विभाजित करते हैं: 1 - 3 cot x = √3 cot x

cot x को एक तरफ अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 1 = (3 + √3) cot x

cot x के लिए हल करने पर प्राप्त होता है: cot x = 1 / (3 + √3)

सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर को हर के संयुग्मी, जो कि 3 - √3 है, से गुणा करते हैं: cot x = (3 - √3) / ((3 + √3)(3 - √3)) cot x = (3 - √3) / (3² - (√3)²) cot x = (3 - √3) / (9 - 3) cot x = (3 - √3) / 6

व्याख्या

रेफ्रिजरेटर का अंकित मूल्य £60,000 है।

नकद भुगतान पर दी जाने वाली फ्लैट छूट £12,000 है।

नियमित ग्राहकों के लिए अतिरिक्त छूट अंकित मूल्य का 5% है: £60,000 का 5% = (5 / 100) × 60,000 = £3,000

नकद भुगतान करने वाले एक नियमित ग्राहक को प्राप्त कुल छूट दोनों छूटों का योग है: कुल छूट = £12,000 + £3,000 = £15,000

नियमित ग्राहक द्वारा भुगतान की जाने वाली अंतिम राशि अंकित मूल्य में से कुल छूट घटाकर प्राप्त होती है: भुगतान की गई राशि = £60,000 - £15,000 = £45,000

व्याख्या

मान लीजिए सोहम का प्रारंभिक व्यय और बचत क्रमशः 5x और x है।

उसकी प्रारंभिक आय उसके प्रारंभिक व्यय और बचत का योग है: प्रारंभिक आय = 5x + x = 6x

उसकी आय में 25% की वृद्धि होती है: नई आय = 1.25 × 6x = 7.5x

उसकी बचत में 20% की वृद्धि होती है: नई बचत = 1.20 × x = 1.2x

उसका वर्तमान व्यय उसकी नई आय और नई बचत का अंतर है: वर्तमान व्यय = 7.5x - 1.2x = 6.3x

यह देखते हुए कि उसका वर्तमान व्यय £4,347 है: 6.3x = 4347 x = 4347 / 6.3 = 690

सोहम की प्रारंभिक आय है: 6x = 6 × 690 = 4140

व्याख्या

सही उत्तर: B

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP/CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

पहले मामले से मानों का उपयोग करते हुए:

MP/CP = (100 + 25) / (100 - 25) = 125/75 = 5/3

मान लीजिए दूसरे मामले में लाभ प्रतिशत P है जब छूट 35% है:

5/3 = (100 + P) / (100 - 35)

5/3 = (100 + P) / 65

100 + P = (5 × 65) / 3 = 325/3 ≈ 108.33

P ≈ 8.33%

निकटतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करने पर, लाभ प्रतिशत 8% है।

व्याख्या

8 के विभाज्यता नियम के अनुसार, किसी संख्या का 8 से विभाजित होने पर शेषफल केवल उसके अंतिम तीन अंकों द्वारा निर्धारित होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी संख्या को 1000a + b के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ b अंतिम तीन अंकों को दर्शाता है, और 1000 हमेशा 8 से विभाज्य होता है।

संख्या 8127 के लिए, अंतिम तीन अंक 127 हैं। 127 को 8 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

127 = 8 × 15 + 7

चूंकि 120, 127 से छोटी 8 की सबसे बड़ी गुणज है, शेषफल 7 है। इस प्रकार, 8127 को 8 से विभाजित करने पर शेषफल 7 बचता है।

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

जहाँ r आधार त्रिज्या है और h ऊंचाई है।

दिए गए मानों, r = 2 सेमी, h = 6 सेमी, और π = 3.14 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 3.14 × 2 × 6 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 24 × 3.14 वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 75.36 सेमी²

व्याख्या

केंद्र Q पर पंजीकृत मतदाताओं का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए जिन्होंने अमान्य मत डाले, पहले केंद्र Q पर डाले गए कुल मतों की गणना करें:

केंद्र Q पर डाले गए कुल मत = 1850 × 80% = 1480

यह देखते हुए कि केंद्र Q पर अमान्य मत इस केंद्र पर डाले गए कुल मतों का 25% हैं:

केंद्र Q पर अमान्य मत = 1480 × 25% = 370

अब, केंद्र Q पर पंजीकृत कुल मतदाताओं का प्रतिशत ज्ञात करें जिन्होंने अमान्य मत डाले:

प्रतिशत = (370 / 1850) × 100 = 20%

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: p⁴ + 1/p⁴ = 4354

वर्ग को पूरा करने के लिए दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर: p⁴ + 2 + 1/p⁴ = 4354 + 2 (p² + 1/p²)² = 4356 p² + 1/p² = 66

अब, घटाव के लिए एक पूर्ण वर्ग बनाने हेतु दोनों पक्षों से 2 घटाने पर: p² - 2 + 1/p² = 66 - 2 (p - 1/p)² = 64 p - 1/p = 8

घनों के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: p³ - 1/p³ = (p - 1/p)³ + 3(p - 1/p)

p - 1/p = 8 को प्रतिस्थापित करने पर: p³ - 1/p³ = 8³ + 3(8) p³ - 1/p³ = 512 + 24 p³ - 1/p³ = 536

व्याख्या

औसत गति की गणना तय की गई कुल दूरी और लिए गए कुल समय के अनुपात के रूप में की जाती है।

कुल दूरी = 75 किमी + 45 किमी = 120 किमी

यात्रा के पहले भाग के लिए लिया गया समय = 75 / 45 = 5/3 घंटे

यात्रा के दूसरे भाग के लिए लिया गया समय = 45 / 70 = 9/14 घंटे

कुल समय = 5/3 + 9/14 = (70 + 27) / 42 = 97/42 घंटे

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय = 120 / (97/42) = (120 × 42) / 97 = 5040 / 97 ≈ 51.96 किमी/घंटा, जो लगभग 51.93 किमी/घंटा है।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction) के क्रम में किया जाता है।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठक (9 का 3 + 6 - 4 × 7) का मूल्यांकन करें। 'का' संक्रिया को हल करें: 9 का 3 = 27 गुणा करें: 4 × 7 = 28 इन्हें वापस प्रतिस्थापित करें: 27 + 6 - 28 = 33 - 28 = 5

अगला, इस परिणाम का उपयोग करके मध्य कोष्ठक को हल करें: 7 + 4 - 5 = 11 - 5 = 6

इस परिणाम को वर्ग कोष्ठक में प्रतिस्थापित करें: 16 - 6 = 10

अंत में, कोष्ठक के बाहर जोड़ को पूरा करें: 8 + 10 = 18

व्याख्या

संयुक्त अनुपात a:b:c ज्ञात करने के लिए, दोनों दिए गए अनुपातों में b के संगत पद को बराबर किया जाना चाहिए।

दिए गए अनुपात हैं: a:b = 2:3 b:c = 6:8

b पद को 6 के बराबर करने के लिए पहले अनुपात को 2 से गुणा करें: a:b = (2 × 2) : (3 × 2) = 4:6

अब जब दोनों अनुपातों में b पद 6 है, तो उन्हें सीधे संयोजित किया जा सकता है: a:b:c = 4:6:8

प्रत्येक पद को 2 से विभाजित करके इस अनुपात को सरल बनाने पर प्राप्त होता है: a:b:c = 2:3:4

व्याख्या

मिश्रण के नियम के अनुसार, दोनों प्रकार की दालों को जिस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए वह है:

अनुपात = (महंगी कीमत - औसत कीमत) / (औसत कीमत - सस्ती कीमत)

दिया गया है: सस्ती कीमत = ₹15 प्रति किलोग्राम महंगी कीमत = ₹20 प्रति किलोग्राम औसत कीमत = ₹18 प्रति किलोग्राम

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = (20 - 18) / (18 - 15) = 2/3

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

औसत = (n + 1) / 2

सूत्र में n = 43 का मान रखने पर:

औसत = (43 + 1) / 2 = 44 / 2 = 22।