एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2021 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पहले द्विघात बहुपद को बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करके गुणनखंडित करने पर: x² - 14x + 49 = (x - 7)²

इसी प्रकार, दूसरे द्विघात बहुपद को बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके गुणनखंडित करने पर: x² + 6x + 9 = (x + 3)²

इन दोनों गुणनखंडित रूपों को गुणा करने पर, दिया गया व्यंजक इस प्रकार दर्शाया जाता है: (x - 7)²(x + 3)²

इस व्यंजक का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: √((x - 7)²(x + 3)²) = (x - 7)(x + 3)

व्याख्या

(x² + y²)/(xy) का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण को सरल बनाकर शुरू करते हैं:

(x³ + y³)⁽2/3) = x² + y²

समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(x³ + y³)² = (x² + y²)³

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ = x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶

दोनों पक्षों से x⁶ और y⁶ घटाने पर समीकरण सरल हो जाता है:

2x³y³ = 3x⁴y² + 3x²y⁴

चूंकि x ≠ 0 और y ≠ 0 है, हम पूरे समीकरण को x²y² से विभाजित कर सकते हैं:

2xy = 3x² + 3y²

2xy = 3(x² + y²)

अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

(x² + y²)/(xy) = 2/3

व्याख्या

एक अर्धगोलाकार कटोरे की क्षमता आयतन सूत्र द्वारा दी जाती है: V = ⅔πr³

दिए गए त्रिज्या r = 7 सेमी और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर: V = ⅔ × (22/7) × 7³ V = ⅔ × 22 × 7 × 7 V = ⅔ × 1078 V = 2156/3 V = 718 ⅔ सेमी³

व्याख्या

रिसाव द्वारा एक भरी हुई टंकी को खाली करने में लगने वाला समय, जब इनलेट पाइप उसे x घंटे में भरता है और रिसाव के कारण उसे y घंटे लगते हैं, मानक संबंध द्वारा दिया जाता है:

समय = (x × y) / (y - x)

यहाँ, इनलेट पाइप को टंकी भरने में x = 15 घंटे लगते हैं, और रिसाव के साथ, इसे y = 20 घंटे लगते हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

समय = (15 × 20) / (20 - 15) = 300 / 5 = 60 घंटे

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c का चौथा समानुपाती x इस प्रकार परिभाषित किया जाता है कि a : b = c : x, जिससे सूत्र x = (b × c) / a प्राप्त होता है।

दिए गए मानों a = 5, b = 10, और c = 12 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x = (10 × 12) / 5 x = 120 / 5 x = 24

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज पर दो समान वार्षिक किश्तों में लौटाई गई ऋण की वर्तमान राशि निम्न संबंध द्वारा दी जाती है:

P = I / (1 + r/100) + I / (1 + r/100)²

जहाँ P उधार ली गई राशि है, I प्रत्येक किश्त की राशि है, और r ब्याज की वार्षिक दर है।

दिए गए मापदंडों, I = 3025 और r = 10 को प्रतिस्थापित करने पर, संबंध बन जाता है:

P = 3025 / (1 + 10/100) + 3025 / (1 + 10/100)²

P = 3025 / (11/10) + 3025 / (11/10)²

P = (3025 × 10) / 11 + (3025 × 100) / 121

P = 2750 + 2500

P = 5250

व्याख्या

डाले गए मतों की कुल संख्या V मान लीजिए। चूँकि कोई अवैध मत नहीं थे, विजेता उम्मीदवार को कुल मतों का 100% - 35% = 65% प्राप्त हुआ।

विजेता और हारने वाले के बीच मतों का अंतर कुल मतों का 65% - 35% = 30% है।

प्रश्न के अनुसार, यह अंतर 1296 मतों के बराबर है: V का 30% = 1296 (30 / 100) × V = 1296 V = (1296 × 100) / 30 V = 4320

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, व्यंजक को कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के क्रम में हल किया जाता है।

सबसे पहले, "का" संक्रिया वाले सबसे भीतरी कोष्ठक का मूल्यांकन करें: 7920 का ¼ = 1980

इसके बाद, कर्ली ब्रेसिज़ का मूल्यांकन करें: -1980 + 1980 = 0

अब, वर्ग कोष्ठकों का मूल्यांकन करें: -77 + 0 = -77

इसके बाद, भाग संक्रिया करें: 1980 ÷ 9 = 220

अंत में, भाग और कोष्ठक गणनाओं के परिणामों को मिलाएं: 220 + [-77] = 220 - 77 = 143

व्याख्या

मिश्रण के नियम को लागू करने पर, कुल निवेश पर प्राप्त समग्र वार्षिक ब्याज दर है: (880 ÷ 10,000) × 100 = 8.8%

दो भागों की ब्याज दरें 8% और 10% हैं, जबकि औसत दर 8.8% है। 8% पर उधार दी गई राशि और 10% पर उधार दी गई राशि का अनुपात है: (10 - 8.8) : (8.8 - 8) = 1.2 : 0.8 = 3 : 2

8% पर उधार दी गई राशि है: (3 ÷ (3 + 2)) × 10,000 = 3/5 × 10,000 = 6,000

व्याख्या

मिश्रण विधि का उपयोग करके, हम विज्ञान और गणित के अंकों का अनुपात ज्ञात कर सकते हैं।

विज्ञान का औसत 80% है गणित का औसत 90% है संयुक्त औसत 84% है

मिश्रण लागू करने पर: विज्ञान और गणित का अनुपात = (90 - 84) : (84 - 80) = 6 : 4 = 3 : 2

यह देखते हुए कि विज्ञान में प्राप्त कुल अंक 54,000 हैं, हम इसे अपने अनुपात में 3 इकाइयों से जोड़ते हैं: 3 इकाई = 54,000 1 इकाई = 18,000

चूंकि गणित में प्राप्त अंक 2 इकाइयों के अनुरूप हैं: 2 इकाई = 2 × 18,000 = 36,000

व्याख्या

छूट प्रतिशत (D) और लाभ प्रतिशत (P) दिए जाने पर क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच सीधा संबंध इस प्रकार दिया गया है:

CP / MP = (100 - D) / (100 + P)

दिए गए मानों, D = 20%, P = 12%, और MP = ₹280 को प्रतिस्थापित करें:

CP / 280 = (100 - 20) / (100 + 12)

CP / 280 = 80 / 112

CP / 280 = 5 / 7

CP = 280 × 5 / 7

CP = 40 × 5 = 200

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के साथ भुगतान की जाने वाली कुल राशि का सूत्र है:

A = P × (1 + R/100)ⁿ

यहाँ, मूलधन P ₹50,000 है, वार्षिक ब्याज दर R 8% है, और समय अवधि n 3 वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

A = 50000 × (1 + 8/100)³

A = 50000 × (1.08)³

A = 50000 × 1.259712

A = 62985.6

62985.6 को निकटतम रुपये में पूर्णांकित करने पर ₹62,986 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा में गति ज्ञात करने के लिए, हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

गति = दूरी / समय

दिया गया है: दूरी = 200 मीटर समय = 24 सेकंड

सबसे पहले, मीटर प्रति सेकंड में गति की गणना करें:

गति = 200 / 24 मीटर प्रति सेकंड

मीटर प्रति सेकंड से किलोमीटर प्रति घंटा में गति को बदलने के लिए, हम 18/5 के रूपांतरण कारक से गुणा करते हैं:

गति = (200 / 24) × (18 / 5) किमी/घंटा

व्यंजक को सरल बनाना:

गति = (200 / 5) × (18 / 24) किमी/घंटा गति = 40 × (3 / 4) किमी/घंटा गति = 10 × 3 = 30 किमी/घंटा

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के चतुर्थ समानुपाती x को संबंध a/b = c/x द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र प्राप्त होता है:

x = (b × c) / a

दिए गए मानों a = 48, b = 72, और c = 108 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x = (72 × 108) / 48

72 और 48 को उनके महत्तम समापवर्तक 24 से विभाजित करने पर:

x = (3 × 108) / 2

x = 3 × 54

x = 162

व्याख्या

मान लीजिए मतदान सूची में मतदाताओं की कुल संख्या V है।

चूंकि 90% मतदाताओं ने मतदान किया और कोई अमान्य या अवैध मत नहीं थे, इसलिए डाले गए वोटों की कुल संख्या V का 90% है, जो वैध वोटों का 100% दर्शाता है।

हारने वाले उम्मीदवार को डाले गए कुल वोटों का 30% मिला। चूंकि यह दो-तरफ़ा चुनाव है, इसलिए जीतने वाले उम्मीदवार को डाले गए कुल वोटों का शेष 70% प्राप्त हुआ होगा।

उनके वोट शेयरों में अंतर डाले गए कुल वोटों का 70% - 30% = 40% है।

हमें दिया गया है कि हारने वाला उम्मीदवार 900 वोटों से हार गया, जिसका अर्थ है कि विजेता और हारने वाले के बीच का अंतर 900 है।

संबंध स्थापित करना: डाले गए कुल वोटों का 40% = 900 डाले गए कुल वोट = 900 / 0.40 = 2250

चूंकि डाले गए कुल वोट मतदान सूची में मतदाताओं का 90% दर्शाते हैं: V का 90% = 2250 V = 2250 / 0.90 = 2500

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना ग्राहक द्वारा प्राप्त खिलौनों की कुल संख्या से मुफ्त खिलौनों की संख्या को विभाजित करके, फिर 100 से गुणा करके की जाती है।

ग्राहक द्वारा प्राप्त खिलौनों की कुल संख्या = 14 खरीदे गए खिलौने + 4 मुफ्त खिलौने = 18 खिलौने

मुफ्त खिलौनों की संख्या = 4

छूट प्रतिशत = (4 / 18) × 100 = (2 / 9) × 100 = 22.22%

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, छूट प्रतिशत 22% है।

व्याख्या

कोई संख्या 24 से विभाज्य होती है यदि वह 3 और 8 दोनों से विभाज्य हो, क्योंकि 24 = 3 × 8 और 3 तथा 8 सह-अभाज्य हैं।

478656 की 8 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, हम इसके अंतिम तीन अंक, जो 656 हैं, की जाँच करते हैं। चूँकि 656 ÷ 8 = 82, संख्या 8 से विभाज्य है।

478656 की 3 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, हम इसके अंकों का योग करते हैं: 4 + 7 + 8 + 6 + 5 + 6 = 36। चूँकि 36, 3 से विभाज्य है, संख्या 3 से विभाज्य है।

चूँकि 478656, 3 और 8 दोनों से विभाज्य है, इसलिए यह 24 से विभाज्य है।

व्याख्या

औसत गति की गणना यात्रा के लिए लिए गए कुल समय से तय की गई कुल दूरी को विभाजित करके की जाती है।

यात्रा के पहले भाग में, तय की गई दूरी गति और समय का गुणनफल है, जो 50 किमी/घंटा × 1 घंटा = 50 किमी है।

यात्रा के दूसरे भाग में, तय की गई दूरी 60 किमी/घंटा × 3 घंटा = 180 किमी है।

पूरी यात्रा के लिए कुल दूरी 50 किमी + 180 किमी = 230 किमी है।

लिया गया कुल समय 1 घंटा + 3 घंटा = 4 घंटा है।

कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर औसत गति प्राप्त होती है: औसत गति = 230 किमी ÷ 4 घंटा = 57.5 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए एक पुरुष, एक महिला और एक लड़के की दक्षता क्रमशः M, W और B है।

प्रश्न के अनुसार, कुल कार्य को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: कुल कार्य = 6M × 77 = 2W × 77 = 4B × 77

यह उनकी दक्षता के बीच संबंध देता है: 6M = 2W = 4B

6, 2 और 4 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 12 से विभाजित करने पर: M/2 = W/6 = B/3

मान लीजिए ये अनुपात एक स्थिरांक k के बराबर हैं, इसलिए M = 2k, W = 6k, और B = 3k।

कुल कार्य है: 6 × 2k × 77 = 924k

1 पुरुष, 1 महिला और 1 लड़के की एक साथ काम करने की संयुक्त दक्षता है: 1M + 1W + 1B = 2k + 6k + 3k = 11k

उन्हें एक साथ काम पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या है: कुल कार्य ÷ संयुक्त दक्षता = 924k ÷ 11k = 84 दिन

व्याख्या

मान लीजिए खरीदी गई वस्तुओं की कुल संख्या 100 है और प्रत्येक वस्तु का लागत मूल्य ₹1 है। कुल लागत मूल्य 100 × ₹1 = ₹100 है।

चूंकि 36% वस्तुएँ खराब हो गईं, इसलिए सफलतापूर्वक बेची गई वस्तुओं की संख्या 100 - 36 = 64 है।

कुल 28% लाभ कमाने के लिए, बेची गई वस्तुओं का कुल विक्रय मूल्य ₹100 × 1.28 = ₹128 होना चाहिए।

64 बेची गई प्रत्येक वस्तु का विक्रय मूल्य ₹128 ÷ 64 = ₹2 है।

चूंकि प्रत्येक वस्तु का लागत मूल्य ₹1 है और विक्रय मूल्य ₹2 है, इसलिए वस्तुओं को लागत मूल्य से ₹1 अधिक पर बेचा गया। लागत मूल्य से प्रतिशत अधिक (1 / 1) × 100 = 100% है।

व्याख्या

जब तीन छोटे घनों को पिघलाकर एक बड़ा घन बनाया जाता है, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है।

's' भुजा वाले घन का आयतन सूत्र V = s³ द्वारा दिया जाता है।

तीन अलग-अलग घनों के आयतनों का योग है: V = 6³ + 8³ + 10³ V = 216 + 512 + 1000 V = 1728 सेमी³

नए बने बड़े घन की भुजा 'S' मान लीजिए। इसका आयतन है: S³ = 1728

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: S = ∛1728 S = 12 सेमी

व्याख्या

गोले का आयतन V = 4/3 × π × r³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि गोले का व्यास 21 सेमी है, इसकी त्रिज्या r = 21/2 सेमी है।

त्रिज्या r = 21/2 सेमी और π = 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 4/3 × 22/7 × (21/2) × (21/2) × (21/2)

हर में 3 और 7 के पद 21 से गुणा होते हैं, जो अंश में एक 21 से कट जाता है। 4 का पद हर में 2 × 2 से कट जाता है। अंश में 22 का पद शेष 2 से भाग देने पर 11 प्राप्त होता है।

यह गणना को सरल बनाता है: V = 11 × 21 × 21 V = 11 × 441 V = 4851 सेमी³

व्याख्या

हमें दिया गया है: cos(x - y) = √3/2

चूंकि x और y धनात्मक न्यून कोण हैं और x ≥ y, (x - y) का मान न्यून या शून्य होना चाहिए। इस सीमा में वह कोण जिसका कोसाइन √3/2 है, 30° है। इसलिए, हमारे पास है: x - y = 30°

हमें यह भी दिया गया है: sin(x + y) = 1

0° < (x + y) ≤ 90° की सीमा के लिए, वह कोण जिसका साइन 1 है, 90° है। इसलिए, हमारे पास है: x + y = 90°

दो समीकरणों को जोड़ने पर: (x - y) + (x + y) = 30° + 90° 2x = 120° x = 60°

x = 60° को समीकरण x + y = 90° में प्रतिस्थापित करने पर: 60° + y = 90° y = 30°

व्याख्या

भुजा की लंबाई 'a' वाले एक सम षट्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

क्षेत्रफल = (3√3 / 2) × a²

एक सम षट्भुज में 'a' भुजा की लंबाई वाले छह समबाहु त्रिभुज होते हैं। ऐसे एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3 / 4) × a² होता है। इसे छह से गुणा करने पर पूरे षट्भुज का क्षेत्रफल सूत्र प्राप्त होता है।

दिए गए भुजा की लंबाई a = 10 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = (3√3 / 2) × 10² क्षेत्रफल = (3√3 / 2) × 100 क्षेत्रफल = 3√3 × 50 क्षेत्रफल = 150√3 सेमी²

व्याख्या

दिया गया बीजीय व्यंजक a² - 1 - 2x - x² है।

x और स्थिरांक 1 वाले पदों को एक साथ समूहित करने पर: a² - 1 - 2x - x² = a² - (x² + 2x + 1)

मानक सर्वसमिका (m + n)² = m² + 2mn + n² का उपयोग करके, हम कोष्ठकों के अंदर के पदों को पुनः लिख सकते हैं: x² + 2x + 1 = (x + 1)²

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a² - (x + 1)²

अब, वर्गों के अंतर की सर्वसमिका, A² - B² = (A + B)(A - B), को लागू करने पर, जहाँ A = a और B = x + 1: a² - (x + 1)² = (a + (x + 1))(a - (x + 1)) = (a + 1 + x)(a - 1 - x)

व्याख्या

s भुजा की लंबाई वाले वर्ग का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = s²

वर्ग का दिया गया क्षेत्रफल द्विघात व्यंजक 9m² + 12m + 4 द्वारा दर्शाया गया है। इस व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके एक पूर्ण वर्ग त्रिपद के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है: (a + b)² = a² + 2ab + b²

व्यंजक के पदों को पुनः लिखकर: 9m² = (3m)² 4 = 2² 12m = 2 × (3m) × 2

इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 9m² + 12m + 4 = (3m)² + 2 × (3m) × 2 + 2² = (3m + 2)²

इसे क्षेत्रफल सूत्र के बराबर करने पर: s² = (3m + 2)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर वर्ग की भुजा की माप प्राप्त होती है: s = 3m + 2

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति का वेतन S है।

व्यक्ति दैनिक उपयोग की वस्तुओं पर अपने वेतन का 10.5% खर्च करता है। इस खर्च के बाद शेष वेतन है: 100% - 10.5% = S का 89.5%

इसके बाद, वह इस शेष का 30% घर के किराए पर खर्च करता है, जिसका अर्थ है कि उसके पास शेष का 70% बचता है। उसके पास बची अंतिम राशि है: S के 89.5% का 70% = 12,000

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया गया है: 0.70 × 0.895 × S = 12,000 0.6265 × S = 12,000 S = 12,000 / 0.6265 S ≈ 19,154.03

निकटतम पूर्ण मान पर पूर्णांकित करने पर, वेतन ₹19,154 है।

व्याख्या

दो घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके:

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

दिया गया व्यंजक p³ + 27 को p³ + 3³ के रूप में लिखा जा सकता है। सर्वसमिका में a = p और b = 3 रखने पर प्राप्त होता है:

(p + 3)(p² - (p)(3) + 3²) = (p + 3)(p² - 3p + 9)

व्याख्या

आवृत्ति वितरण कच्चे डेटा को सारणीबद्ध या ग्राफिकल प्रारूप में व्यवस्थित और प्रस्तुत करने की एक व्यवस्थित विधि है। यह चर के अलग-अलग मानों या अंतरालों को उनकी संगत आवृत्तियों के साथ प्रदर्शित करता है, जो डेटासेट में प्रत्येक मान या अंतराल के घटित होने की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह डेटा के पैटर्न, प्रसार और केंद्रीय प्रवृत्तियों की तत्काल समझ की अनुमति देता है।

व्याख्या

वृत्तों के गुणों के अनुसार, एक बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं की लंबाई बराबर होती है। चूँकि TP और TQ, केंद्र O वाले वृत्त पर एक ही बाह्य बिंदु T से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ हैं, उनकी लंबाई बराबर होनी चाहिए, जिसका अर्थ है TP = TQ। यह देखते हुए कि TP = 7 सेमी है, TQ की लंबाई भी 7 सेमी होगी।

व्याख्या

किसी संख्या के 72 से विभाज्य होने के लिए, उसे 8 और 9 दोनों से विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि 8 और 9, 72 के सह-अभाज्य गुणनखंड हैं।

8 से विभाज्यता के लिए, संख्या के अंतिम तीन अंक, 8n6, एक तीन-अंकीय संख्या बनानी चाहिए जो 8 से विभाज्य हो। n के 1 से 9 तक के अंकीय मानों का परीक्षण करने पर, तीन-अंकीय संख्या 8n6, n = 1 (816), n = 5 (856), या n = 9 (896) होने पर 8 से विभाज्य होती है।

n के इन संभावित मानों, जो 1, 5 और 9 हैं, में से दूसरा सबसे बड़ा मान n = 5 है।

9 से विभाज्यता के लिए, संख्या 5p42978n6 के अंकों का योग 9 से विभाज्य होना चाहिए। अंकों का योग = 5 + p + 4 + 2 + 9 + 7 + 8 + n + 6 n = 5 रखने पर: अंकों का योग = 5 + p + 4 + 2 + 9 + 7 + 8 + 5 + 6 = 46 + p

46 + p के 9 का गुणज होने के लिए, 46 से बड़ा 9 का निकटतम गुणज 54 है। 46 + p = 54 p = 8

p = 8 का मान उपयोग करके, हम 2p - 1 की गणना करते हैं: 2p - 1 = 2 × 8 - 1 = 15

व्याख्या

किनारे की लंबाई 'a' वाले घन के विकर्ण की लंबाई सूत्र d = a√3 द्वारा दी जाती है।

दिए गए विकर्ण मान 6√3 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

6√3 = a√3

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

a = 6 सेमी

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन V, सूत्र V = ⅓πr²h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या और h ऊंचाई को दर्शाता है।

यह देखते हुए कि आधार का व्यास 16 सेमी है, त्रिज्या r व्यास की आधी होती है, जो 8 सेमी है। ऊंचाई h 6 सेमी है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = ⅓ × π × 8² × 6 V = ⅓ × π × 64 × 6 V = 128π सेमी³

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, दो प्रकार की चीनी की मात्रा का अनुपात सीधे निर्धारित किया जा सकता है।

मान लीजिए टाइप 1 चीनी की मात्रा Q₁ है और इसका क्रय मूल्य CP₁ = 45 रुपये प्रति किलोग्राम है। मान लीजिए टाइप 2 चीनी की मात्रा Q₂ है और इसका क्रय मूल्य CP₂ = 48 रुपये प्रति किलोग्राम है। मिश्रण का औसत मूल्य M = 46 रुपये प्रति किलोग्राम है।

मात्राओं के अनुपात का सूत्र है: Q₁ / Q₂ = (CP₂ - M) / (M - CP₁)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: Q₁ / Q₂ = (48 - 46) / (46 - 45) Q₁ / Q₂ = 2 / 1

इस प्रकार, टाइप 1 चीनी की मात्रा का टाइप 2 चीनी की मात्रा से अनुपात 2:1 है।

व्याख्या

हम मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: cosec² θ - cot² θ = 1

इसे इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: (cosec θ + cot θ)(cosec θ - cot θ) = 1

दिया गया है कि cosec θ + cot θ = 5, हम इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 5 × (cosec θ - cot θ) = 1 cosec θ - cot θ = 1/5

दो समीकरणों को जोड़ने पर: cosec θ + cot θ = 5 cosec θ - cot θ = 1/5

हमें प्राप्त होता है: 2 cosec θ = 5 + 1/5 cosec θ = ½ (5 + 1/5)

व्याख्या

ग्राहक के लिए सबसे अनुकूल योजना खोजने के लिए प्रत्येक योजना के लिए प्रभावी छूट की गणना की जाती है।

योजना A के लिए, क्रमिक छूट का सूत्र x + y - xy/100 है। प्रभावी छूट = 15 + 15 - (15 × 15)/100 = 30 - 2.25 = 27.75%

योजना B के लिए, समान सूत्र का उपयोग करके: प्रभावी छूट = 12 + 18 - (12 × 18)/100 = 30 - 2.16 = 27.84%

योजना C के लिए, ग्राहक को 7 वस्तुएँ खरीदने पर 3 वस्तुएँ मुफ्त मिलती हैं, जिसका अर्थ है कि कुल 10 वस्तुएँ प्राप्त होती हैं। प्रभावी छूट = (मुफ्त वस्तुएँ / कुल वस्तुएँ) × 100 = (3 / 10) × 100 = 30%

तीनों योजनाओं की तुलना करने पर, योजना C 30% की अधिकतम छूट प्रदान करती है, जो योजना A से 27.75% और योजना B से 27.84% से अधिक है। यह योजना C को सबसे अनुकूल योजना बनाती है।

व्याख्या

सभी 16 संख्याओं का कुल योग उनकी औसत को कुल संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: 16 × 23 = 368

पहली 7 संख्याओं का योग है: 7 × 21 = 147

अंतिम 8 संख्याओं का योग है: 8 × 24 = 192

इन 15 संख्याओं (पहली 7 और अंतिम 8) का संयुक्त योग है: 147 + 192 = 339

शेष 8वीं संख्या सभी 16 संख्याओं के कुल योग और इन 15 संख्याओं के योग के बीच का अंतर है: 368 - 339 = 29

व्याख्या

सही उत्तर: D

जब एक ठोस घनाभ को पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया जाता है, तो उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है। इसलिए, घनाभ का आयतन गोले के आयतन के बराबर होता है।

घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई = 49 × 33 × 24 सेमी³

गोले का आयतन = 4/3 × π × r³

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: 4/3 × π × r³ = 49 × 33 × 24

π = 22/7 रखने पर: 4/3 × 22/7 × r³ = 49 × 33 × 24

r³ के लिए हल करने पर: r³ = (49 × 33 × 24 × 3 × 7) / (4 × 22)

भिन्न को सरल करने पर: r³ = (49 × 7) × (33 / 22) × (24 / 4) × 3 r³ = 343 × 1.5 × 6 × 3 r³ = 343 × 27 r³ = 7³ × 3³ r³ = (7 × 3)³ r³ = 21³

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: r = 21 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए रवीना को तय करनी पड़ी दूरी R है और सुहेल को तय करनी पड़ी दूरी S है। उनकी यात्रा दूरियों का अनुपात R:S = 4:7 है।

यह देखते हुए कि सुहेल को S = 63 किमी की दूरी तय करनी पड़ी, हम अनुपात का उपयोग करके रवीना की यात्रा दूरी R ज्ञात कर सकते हैं: R/S = 4/7

S का मान प्रतिस्थापित करने पर: R/63 = 4/7

R = (4 × 63) / 7

R = 4 × 9

R = 36 किमी

व्याख्या

तेजी से गणना के लिए प्रतिशत को भिन्नात्मक रूपों में बदलें: 64% = 64/100 = 16/25 81.25% = 13/16 (क्योंकि 1/16 = 6.25%, तो 13 × 6.25% = 81.25%)

मान लीजिए कक्षा में छात्रों की कुल संख्या T है। छात्राओं की संख्या = (16/25) × T फुटबॉल चुनने वाली छात्राओं की संख्या = (13/16) × (16/25) × T = 143

अंश और हर में 16 का गुणनखंड रद्द हो जाता है, जिससे समीकरण सरल हो जाता है: (13/25) × T = 143 T = (143 × 25) / 13 T = 11 × 25 T = 275

व्याख्या

तालिका में दिए गए पिछले तीन वर्ष 2018, 2019 और 2020 हैं।

इन वर्षों के लिए लाभ/हानि के मान हैं: 2018 के लिए: -10 लाख 2019 के लिए: -5 लाख 2020 के लिए: 35 लाख

इन तीन वर्षों में कुल लाभ या हानि ज्ञात करने के लिए, हम संबंधित मानों को जोड़ते हैं: कुल लाभ/हानि = -10 + (-5) + 35 कुल लाभ/हानि = -15 + 35 कुल लाभ/हानि = 20 लाख

चूंकि परिणामी मान धनात्मक है, यह रु. 20 लाख के शुद्ध लाभ का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, पहले कोष्ठक और 'का' को हल किया जाता है, उसके बाद भाग, गुणा, जोड़ और घटाव किया जाता है।

सबसे पहले, आंतरिक कोष्ठक के अंदर के पद को सरल करें: 16 - 3 = 13

अगला, कर्ली ब्रेसेस के अंदर भाग को हल करें: 650 ÷ 13 = 50

अब, 'का' ऑपरेटर का मूल्यांकन करें: ³⁄₁₀₀ का 1000 = (³⁄₁₀₀) × 1000 = 30

इन सरलीकृत मानों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 450 + 752 - 125 × 30 - 50

अगला गुणा करें: 125 × 30 = 3750

अब, शेष जोड़ और घटाव करें: 450 + 752 - 3750 - 50 = 1202 - 3750 - 50 = -2548 - 50 = -2598

व्याख्या

मान लीजिए ईयरफ़ोन का क्रय मूल्य x है। लाभ प्रतिशत भी x% है।

मानक लाभ सूत्र का उपयोग करके: विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ प्रतिशत / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2000 = x × (1 + x / 100) 2000 = (100x + x²) / 100 200000 = x² + 100x x² + 100x - 200000 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: x² + 500x - 400x - 200000 = 0 x(x + 500) - 400(x + 500) = 0 (x - 400)(x + 500) = 0

चूंकि क्रय मूल्य एक धनात्मक मान होना चाहिए, हम ऋणात्मक मूल को छोड़ देते हैं और x = 400 प्राप्त करते हैं।

व्याख्या

वार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, t वर्षों के बाद राशि A का सूत्र है: A = P × (1 + r/100)ᵗ

2 वर्षों और 3 वर्षों के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P × (1 + r/100)² = 4624 P × (1 + r/100)³ = 4913

चक्रवृद्धि गुणक का मान प्राप्त करने के लिए दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर: 1 + r/100 = 4913 / 4624 1 + r/100 = 17 / 16

इस चक्रवृद्धि गुणक को 2 वर्षों के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: P × (17/16)² = 4624 P × 289/256 = 4624 P = (4624 × 256) / 289 P = 16 × 256 P = 4096

व्याख्या

दिया गया है: x + 1/x = 10

दोनों पक्षों को x से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: x² + 1 = 10x

मूल्यांकन करने के लिए दिया गया व्यंजक है: 7x / (x² + 1 - 8x)

अंश में x² + 1 = 10x प्रतिस्थापित करने पर: 7x / (10x - 8x) = 7x / 2x = 7/2 = 3.5

व्याख्या

चारों धावकों द्वारा एक साथ शुरुआती बिंदु पर पहली बार मिलने के समय का पता लगाने के लिए, हम उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लगने वाले व्यक्तिगत समय: 400 सेकंड, 600 सेकंड, 720 सेकंड और 900 सेकंड का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 400 = 2⁴ × 5² 600 = 2³ × 3 × 5² 720 = 2⁴ × 3² × 5 900 = 2² × 3² × 5²

LCM प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर प्राप्त किया जाता है: अभाज्य 2 के लिए, उच्चतम घात 2⁴ है अभाज्य 3 के लिए, उच्चतम घात 3² है अभाज्य 5 के लिए, उच्चतम घात 5² है

LCM = 2⁴ × 3² × 5² = 16 × 9 × 25 = 3600 सेकंड

व्याख्या

मान लीजिए V नामांकित मतदाताओं की कुल संख्या है।

चूंकि 15% मतदाताओं ने अपना मत नहीं डाला, इसलिए मत डालने वाले मतदाताओं का प्रतिशत 100% - 15% = 85% है।

डाले गए मतों में से, 10% अमान्य थे, जिसका अर्थ है कि डाले गए मतों का 90% वैध था। वैध मतों की कुल संख्या है: वैध मत = V × 0.85 × 0.90 = 0.765V

सफल उम्मीदवार को वैध मतों का 55% प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि हारने वाले उम्मीदवार को वैध मतों का 100% - 55% = 45% प्राप्त हुआ। जिस अंतर से सफल उम्मीदवार जीता वह इन दो हिस्सों के बीच का अंतर है: अंतर = 55% - 45% = वैध मतों का 10%

हमें दिया गया है कि यह अंतर 6120 मतों के बराबर है। हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: 0.10 × 0.765V = 6120 0.0765V = 6120 V = 6120 ÷ 0.0765 V = 80000

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (A + B)² = (A - B)² + 4AB का प्रयोग करके, हम A = x और B = 2y प्रतिस्थापित करते हैं ताकि प्राप्त हो:

(x + 2y)² = (x - 2y)² + 4 × x × 2y (x + 2y)² = (x - 2y)² + 4 × (2xy)

दिए गए मानों, x - 2y = 3 और 2xy = 5 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(x + 2y)² = 3² + 4 × 5 (x + 2y)² = 9 + 20 (x + 2y)² = 29

व्याख्या

दिए गए समीकरण को इस प्रकार समूहीकृत किया जा सकता है: (a² + 1/a²) + (b² + 1/b²) = 4

वास्तविक संख्याओं के बीजगणितीय गुणधर्म के अनुसार, किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या x के लिए, उसके वर्ग और उसके वर्ग के व्युत्क्रम का योग हमेशा 2 से बड़ा या उसके बराबर होता है: x² + 1/x² ≥ 2

ऐसा इसलिए है क्योंकि (x - 1/x)² ≥ 0, जो x² + 1/x² - 2 ≥ 0 तक विस्तारित होता है, जिसका अर्थ है x² + 1/x² ≥ 2।

इसे समीकरण में दोनों पदों पर लागू करने पर: a² + 1/a² ≥ 2 b² + 1/b² ≥ 2

इन दो असमानताओं को जोड़ने पर: (a² + 1/a²) + (b² + 1/b²) ≥ 4

योग के ठीक 4 के बराबर होने के लिए, दोनों पदों को एक साथ अपने न्यूनतम संभव मान 2 तक पहुंचना चाहिए: a² + 1/a² = 2 → a² = 1 b² + 1/b² = 2 → b² = 1

आवश्यक व्यंजक ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a⁴ + b⁴ = (a²)² + (b²)² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2

व्याख्या

पासे पर परिणाम 5 से बड़ा या उसके बराबर आने की संख्या, परिणाम 5 और 6 की व्यक्तिगत आवृत्तियों को जोड़कर ज्ञात की जाती है।

दी गई तालिका से: परिणाम 5 की आवृत्ति = 175 परिणाम 6 की आवृत्ति = 190

कुल आवृत्ति की गणना: 175 + 190 = 365