एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिज्या r वाले वृत्त में उत्कीर्ण किया जा सकने वाला सबसे बड़ा क्षेत्रफल वाला आयत हमेशा एक वर्ग होता है।

इस वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है, जो 2r है।

यदि s वर्ग की भुजा की लंबाई है, तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: s² + s² = (2r)² 2s² = 4r² s² = 2r²

दी गई त्रिज्या r = 5: वर्ग का क्षेत्रफल = 2r² = 2 × 5² = 50 वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = π × 5² = 25π

वृत्त के शेष भाग का क्षेत्रफल वृत्त के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: शेष क्षेत्रफल = 25π - 50 = 25(π - 2)

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, संक्रियाओं का क्रम कोष्ठक, का (Of), भाग, गुणा, जोड़ और घटाव है।

सबसे पहले, 'का' (of) संक्रियाओं को सरल करें: 4 का 3 = 4 × 3 = 12 16 का 4 = 16 × 4 = 64

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 12 ÷ 12 × 6 + 8 ÷ 64 × 8 - 4 ÷ 6 × 9

अगला, प्रत्येक व्यक्तिगत पद के लिए बाएं से दाएं भाग और गुणा संक्रियाओं को करें: पहला पद: 12 ÷ 12 × 6 = 1 × 6 = 6 दूसरा पद: 8 ÷ 64 × 8 = 1/8 × 8 = 1 तीसरा पद: 4 ÷ 6 × 9 = 2/3 × 9 = 6

अंत में, जोड़ और घटाव का उपयोग करके पदों को संयोजित करें: 6 + 1 - 6 = 1

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय

साइकिल चालक द्वारा तय की गई कुल दूरी है: D = 10 किमी + 15 किमी = 25 किमी

यात्रा के पहले चरण में लिया गया समय है: t₁ = 10 किमी ÷ 15 किमी/घंटा = 2/3 घंटा

यात्रा के दूसरे चरण में लिया गया समय है: t₂ = 15 किमी ÷ 10 किमी/घंटा = 3/2 घंटा

पूरी सवारी के लिए लिया गया कुल समय है: T = 2/3 घंटा + 3/2 घंटा = 13/6 घंटा

इन मानों को औसत गति सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत गति = 25 ÷ (13/6) = (25 × 6) ÷ 13 = 150 ÷ 13 ≈ 11.54 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए दो अंकों की संख्या का दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। संख्या का मान 10x + y है।

पहली शर्त के अनुसार, अंकों का योग 9 है: x + y = 9

दूसरी शर्त के अनुसार, अंकों को उलटने पर संख्या 10y + x प्राप्त होती है, जो मूल संख्या से 27 अधिक है: (10y + x) - (10x + y) = 27 9y - 9x = 27 y - x = 3

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: (x + y) + (y - x) = 9 + 3 2y = 12 y = 6

y = 6 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 6 = 9 x = 3

मूल संख्या 10x + y, 10(3) + 6 के बराबर है, जो 36 है।

व्याख्या

त्रिज्याओं r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केन्द्रों के बीच की दूरी d के बीच उभयनिष्ठ आंतरिक स्पर्शरेखा t की लंबाई निम्न संबंध द्वारा दी जाती है: t = √(d² - (r₁ + r₂)²)

6 इकाई लंबाई की छड़ी को उभयनिष्ठ आंतरिक स्पर्शरेखा के रूप में उपयोग करने के लिए, संपर्क बिंदुओं के बीच की दूरी, जो कि स्पर्शरेखा खंड t है, छड़ी की लंबाई से अधिक नहीं हो सकती है। इसलिए: t ≤ 6 √(d² - (r₁ + r₂)²) ≤ 6

असमानता के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: d² - (r₁ + r₂)² ≤ 36

दी गई मानों r₁ = 2 और r₂ = 3 को असमानता में प्रतिस्थापित करने पर: d² - (2 + 3)² ≤ 36 d² - 25 ≤ 36 d² ≤ 61 d ≤ √61

व्याख्या

एक घनाभ का आयतन V = l × b × h होता है। चूँकि 1 लीटर 1000 सेमी³ के बराबर है, इसलिए जल शोधक का घन सेंटीमीटर में आयतन है: V = 10 × 1000 = 10000 सेमी³

माना घनाभ की ऊँचाई h है। चौड़ाई ऊँचाई का 1/5 है: b = h/5 = 0.2h

लंबाई चौड़ाई और ऊँचाई के योग का 1/3 है: l = (b + h)/3 = (0.2h + h)/3 = 1.2h / 3 = 0.4h

इन मानों को आयतन सूत्र में रखने पर: 10000 = 0.4h × 0.2h × h 10000 = 0.08h³ h³ = 10000 / 0.08 h³ = 125000 h = ∛125000 = 50 सेमी

व्याख्या

हम त्रिकोणमितीय संबंध का उपयोग करके sin A cos A के गुणनफल को tan A के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: sin A cos A = (sin A cos A) / (sin² A + cos² A) = tan A / (1 + tan² A)

दिया गया है कि tan A = √2 - 1, हम हर 1 + tan² A की गणना करते हैं: tan² A = (√2 - 1)² = 2 - 2√2 + 1 = 3 - 2√2 1 + tan² A = 4 - 2√2 = 2√2(√2 - 1)

अब, sin A cos A के लिए इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: sin A cos A = (√2 - 1) / (2√2(√2 - 1)) = 1 / (2√2) = √2 / 4

अंत में, हम sin A cos A + tan A का मान ज्ञात करते हैं: sin A cos A + tan A = (√2 / 4) + (√2 - 1) = (√2 + 4(√2 - 1)) / 4 = (5√2 - 4) / 4

व्याख्या

कॉलेज में छात्रों की कुल संख्या सभी विषयों के छात्रों का योग है: 840 + 220 + 450 + 200 = 1710

प्रत्येक विषय में लड़की छात्रों की संख्या उनके संबंधित प्रतिशत का उपयोग करके गणना की जाती है: गणित की लड़कियाँ = 840 का 40% = 336 रसायन विज्ञान की लड़कियाँ = 220 का 70% = 154 भौतिकी की लड़कियाँ = 450 का 30% = 135 जीव विज्ञान की लड़कियाँ = 200 का 80% = 160

कॉलेज में लड़की छात्रों की कुल संख्या सभी विषयों में लड़कियों का योग है: 336 + 154 + 135 + 160 = 785

कॉलेज में लड़की छात्रों का समग्र प्रतिशत है: (कुल लड़की छात्र / कुल छात्र) × 100 = (785 / 1710) × 100 ≈ 45.9%

व्याख्या

चुनाव में वोटों का कुल प्रतिशत 100% दर्शाया गया है।

पहले उम्मीदवार को 40% वोट मिले और दूसरे उम्मीदवार को 35% वोट मिले। इससे तीसरे उम्मीदवार के लिए शेष प्रतिशत बचता है:

100% - (40% + 35%) = 25%

यह देखते हुए कि चुनाव में वोटों की कुल संख्या 50,000 है, तीसरे उम्मीदवार द्वारा प्राप्त वोटों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:

50,000 का 25% = (25/100) × 50,000 = 12,500

व्याख्या

समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जहाँ AB = AC है, बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं, जिससे कोण ABC = कोण ACB प्राप्त होता है।

कुल कोण BAC, आसन्न कोणों BAD और CAD का योग है: कोण BAC = कोण BAD + कोण CAD = 20° + 80° = 100°

त्रिभुज ABC के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है: कोण BAC + कोण ABC + कोण ACB = 180°

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करना और आधार कोणों की समानता का उपयोग करना: 100° + 2 × कोण ABC = 180° 2 × कोण ABC = 80° कोण ABC = 40°

व्याख्या

दो वृत्तों की एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

लंबाई = √(d² - (r₁ - r₂)²)

यहाँ, d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी को दर्शाता है, और r₁ तथा r₂ दो वृत्तों की त्रिज्याओं को दर्शाते हैं जहाँ r₁ > r₂ है।

दिया गया है: केंद्रों के बीच की दूरी (d) = 40 सेमी पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 14 सेमी दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 5 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

लंबाई = √(40² - (14 - 5)²) लंबाई = √(1600 - 9²) लंबाई = √(1600 - 81) लंबाई = √1519

व्याख्या

जब व्यक्ति समान अवधि के लिए एक साथ काम करते हैं, तो उनकी मजदूरी उनकी दक्षता के अनुपात में वितरित की जाती है, जो प्रत्येक द्वारा व्यक्तिगत रूप से काम पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रम अनुपात के बराबर होती है।

P द्वारा लिया गया समय = 12 दिन Q द्वारा लिया गया समय = 9 दिन

P की Q से दक्षता का अनुपात = 1/12 : 1/9 = 9 : 12 = 3 : 4

₹63,000 की कुल कमाई अनुपात के भागों के योग के बराबर है, जो 3 + 4 = 7 भाग है।

1 भाग का मान = 63,000 ÷ 7 = ₹9,000

P का हिस्सा = 3 भाग = 3 × 9,000 = ₹27,000

व्याख्या

मिश्रण की प्रति किलोग्राम औसत लागत की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत लागत = (मात्रा₁ × मूल्य₁ + मात्रा₂ × मूल्य₂) / (मात्रा₁ + मात्रा₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

मात्रा₁ = 10 किग्रा, मूल्य₁ = ₹88 मात्रा₂ = 20 किग्रा, मूल्य₂ = ₹187

औसत लागत = (10 × 88 + 20 × 187) / (10 + 20) = (880 + 3740) / 30 = 4620 / 30 = 154

यह गणना पूरे मिश्रण के लिए ₹154 की प्रति किलोग्राम लागत देती है।

व्याख्या

लगातार वृद्धि और छूट के लिए लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = m - d - md/100

जहाँ m वृद्धि प्रतिशत है और d छूट प्रतिशत है।

दुकानदार A के लिए: m = 25% d = 15% लाभ % = 25 - 15 - (25 × 15)/100 लाभ % = 10 - 3.75 = 6.25%

दुकानदार B के लिए: m = 20% d = 12% लाभ % = 20 - 12 - (20 × 12)/100 लाभ % = 8 - 2.4 = 5.6%

दोनों लाभ प्रतिशत की तुलना करने पर, दुकानदार A को 6.25% के लाभ प्रतिशत के साथ बेहतर सौदा मिलता है।

व्याख्या

चूंकि पीछा समाप्त होने तक पुलिसकर्मी और चोर दोनों के लिए यात्रा का समय समान है, इसलिए प्रत्येक द्वारा तय की गई दूरी उनकी संबंधित गति के सीधे आनुपातिक है।

पुलिसकर्मी की गति का चोर की गति से अनुपात है: गति अनुपात = 20 ÷ 16 = 5 ÷ 4

इसलिए, पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी का चोर द्वारा तय की गई दूरी से अनुपात भी 5 ÷ 4 है।

उनकी दूरी अनुपात इकाइयों में अंतर है: 5 - 4 = 1 इकाई

1 इकाई का यह अंतर चोर की प्रारंभिक बढ़त का प्रतिनिधित्व करता है, जो 200 मीटर है: 1 इकाई = 200 मीटर

चोर द्वारा पकड़े जाने से पहले दौड़ी गई दूरी 4 इकाई है: दूरी = 4 × 200 मीटर = 800 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कि विवाह के समय P की आयु x वर्ष थी। चूँकि उसका विवाह 15 वर्ष पूर्व हुआ था, इसलिए उसकी वर्तमान आयु x + 15 वर्ष है।

हमें दिया गया है कि उसकी वर्तमान आयु विवाह के समय की आयु की 1⅗ (जो कि 8/5 है) गुना है: x + 15 = 8/5 × x

x के लिए हल करने पर: 5(x + 15) = 8x 5x + 75 = 8x 3x = 75 x = 25

इस प्रकार, P की वर्तमान आयु 25 + 15 = 40 वर्ष है।

उसके पुत्र की वर्तमान आयु उसकी वर्तमान आयु की ⅕ है: पुत्र की वर्तमान आयु = 40 / 5 = 8 वर्ष।

चार वर्ष पूर्व, उनकी संबंधित आयु थी: पुत्र की आयु = 8 - 4 = 4 वर्ष P की आयु = 40 - 4 = 36 वर्ष

4 वर्ष पूर्व पुत्र की आयु का P की आयु से अनुपात है: 4 / 36 = 1/9

व्याख्या

दिया गया अनुपात x:y = 5:6 है, हम आवश्यक अनुपात ज्ञात करने के लिए व्यंजक (2x + 3y) : (3x + 5y) में सीधे x = 5 और y = 6 प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

अनुपात के पदों का मूल्यांकन: 2x + 3y = 2(5) + 3(6) = 10 + 18 = 28 3x + 5y = 3(5) + 5(6) = 15 + 30 = 45

इससे अनुपात 28:45 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज समय के प्रत्येक बराबर अंतराल के लिए स्थिर रहता है। वर्ष 2 से वर्ष 4 तक की 2-वर्ष की अवधि में राशि में अंतर उन 2 वर्षों के दौरान अर्जित ब्याज का प्रतिनिधित्व करता है।

2 वर्षों के लिए साधारण ब्याज = ₹32,000 - ₹24,000 = ₹8,000 1 वर्ष के लिए साधारण ब्याज = ₹8,000 ÷ 2 = ₹4,000

मूलधन वह राशि है जो 2 वर्षों के बाद की राशि में से उन 2 वर्षों के दौरान अर्जित ब्याज को घटाने पर प्राप्त होती है: मूलधन = ₹24,000 - ₹8,000 = ₹16,000

ब्याज की वार्षिक दर है: दर = (1 वर्ष के लिए साधारण ब्याज ÷ मूलधन) × 100% दर = (4,000 ÷ 16,000) × 100% = 25%

व्याख्या

स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, स्पर्शरेखा AB और छेदक AD जो वृत्त को C और D पर काटती है, के बीच संबंध है:

AB² = AC × AD

दिए गए मान AB = 42 सेमी और AC = 21 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

42² = 21 × AD 1764 = 21 × AD AD = 84 सेमी

छेदक खंड AD की लंबाई AC और CD का योग है:

AD = AC + CD 84 = 21 + CD CD = 63 सेमी

AB और CD के बीच का अनुपात ज्ञात करने के लिए:

AB/CD = 42/63 = 2/3

व्याख्या

BODMAS नियम लागू करने पर, हम सबसे पहले कोष्ठकों के अंदर के पदों को सरल करते हैं।

सबसे पहले, "का" संक्रिया की गणना करें: 16/15 का 3/8 = 16/15 × 3/8 = 2/5

अगला, मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलें: 2 1/12 = 25/12

फिर, कोष्ठकों के अंदर घटाव को हल करें: 1 - 25/12 = -13/12

अब इन सरल मानों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: A = 60[6/25 ÷ 2/5 + 5 - (-13/12)]

अगला, भाग संक्रिया करें: 6/25 ÷ 2/5 = 6/25 × 5/2 = 3/5

इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: A = 60[3/5 + 5 + 13/12]

कोष्ठकों के अंदर के पदों को जोड़ने के लिए, एक सामान्य भाजक ज्ञात करें, जो कि 60 है: 3/5 + 5 + 13/12 = 36/60 + 300/60 + 65/60 = 401/60

अब 60 से गुणा करें: A = 60 × 401/60 = 401

A के अंक 4, 0, और 1 हैं। अंकों का योग है: 4 + 0 + 1 = 5

व्याख्या

A और D के मान ज्ञात करने के लिए:

A = (9/16) ÷ (25/36) एक भिन्न से भाग देने के लिए, उसके व्युत्क्रम से गुणा करें: A = (9/16) × (36/25) 36 और 16 को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 4 से विभाजित करके सरलीकरण: A = (9 × 9) / (4 × 25) = 81/100

D = (9 ÷ 16) ÷ (25 ÷ 36) कोष्ठकों के अंदर भाग संक्रियाओं को भिन्नों के रूप में व्यक्त करना: D = (9/16) ÷ (25/36) व्युत्क्रम से गुणा करना: D = (9/16) × (36/25) D = 81/100

चूंकि A और D दोनों 81/100 के बराबर हैं, इसलिए वे एक दूसरे के बराबर हैं।

व्याख्या

a भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

L = 4 सेमी भुजा वाले बड़े घन के लिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: बड़े घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 4² = 96 सेमी²

s = 2 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में से एक के लिए, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: छोटे घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 2² = 24 सेमी²

एक छोटे घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का बड़े घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात है: अनुपात = (6 × s²) / (6 × L²) = s² / L² = 2² / 4² = 4 / 16 = 1 / 4

व्याख्या

20 दर्जन केलों का क्रय मूल्य = ₹1200 5 दर्जन केलों का क्रय मूल्य = (1200 / 20) × 5 = ₹300

5 दर्जन केलों का विक्रय मूल्य = ₹350

लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 350 - 300 = ₹50

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (50 / 300) × 100 = 50/3 % = 16 ⅔%

व्याख्या

अर्धगोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = (2/3) × π × r³

दिया गया है कि त्रिज्या r = 5.5 सेमी और π = 3.14 है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

V = (2/3) × 3.14 × (5.5)³

V = (2/3) × 3.14 × 166.375

V = 1044.835 ÷ 3

V ≈ 348.28 सेमी³

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, अर्धगोले का आयतन 348 सेमी³ है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: π × 4 × l = 20π l = 5 सेमी

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l), त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) के बीच संबंध है: l² = r² + h² 5² = 4² + h² 25 = 16 + h² h² = 9 h = 3 सेमी

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ⅓πr²h सूत्र द्वारा दिया जाता है।

त्रिज्या और ऊँचाई को प्रतिस्थापित करने पर: आयतन = ⅓ × π × 4² × 3 आयतन = 16π घन सेमी

व्याख्या

दिया गया फलन f(p) = sinᵖ(2x) + cosᵖ(2x) है।

व्यंजक 6f(4) - 4f(6) + 10f(2) का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले f(2), f(4), और f(6) को sin(2x) और cos(2x) के पदों में व्यक्त करते हैं:

f(2) = sin²(2x) + cos²(2x) = 1

f(4) = sin⁴(2x) + cos⁴(2x) = (sin²(2x) + cos²(2x))² - 2sin²(2x)cos²(2x) = 1 - 2sin²(2x)cos²(2x)

f(6) = sin⁶(2x) + cos⁶(2x) = (sin²(2x) + cos²(2x))³ - 3sin²(2x)cos²(2x)(sin²(2x) + cos²(2x)) = 1 - 3sin²(2x)cos²(2x)

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

6f(4) - 4f(6) + 10f(2) = 6(1 - 2sin²(2x)cos²(2x)) - 4(1 - 3sin²(2x)cos²(2x)) + 10(1)

= 6 - 12sin²(2x)cos²(2x) - 4 + 12sin²(2x)cos²(2x) + 10

= 6 - 4 + 10

= 12

व्याख्या

मान लीजिए R और r क्रमशः बाहरी और आंतरिक वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात उनकी त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है: 2πR / 2πr = R / r = 7 / 6

इससे हमें किसी स्थिरांक x के लिए R = 7x और r = 6x प्राप्त होता है।

वृत्ताकार पथ की चौड़ाई बाहरी और आंतरिक त्रिज्याओं के बीच का अंतर है: R - r = 45 7x - 6x = 45 x = 45

आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है: r = 6x = 6 × 45 = 270 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार, संख्या में से 12 घटाने पर वह अपने 40% रह जाती है: x - 12 = x का 40% x - 12 = 0.4x x - 0.4x = 12 0.6x = 12 x = 12 / 0.6 x = 20

अब, हम इस संख्या का दो-पांचवां हिस्सा ज्ञात करते हैं: 20 का 2/5 = 2/5 × 20 = 8

व्याख्या

मान लीजिए डाले गए मतों की कुल संख्या V है।

चूंकि केवल दो उम्मीदवार हैं, इसलिए जीतने वाले उम्मीदवार को शेष प्रतिशत मत प्राप्त होते हैं: 100% - 40% = 60%

जिस बहुमत से जीतने वाला उम्मीदवार हारने वाले उम्मीदवार को हराता है, वह उनके मत प्रतिशत का अंतर है: 60% - 40% = कुल मतों का 20%

हमें दिया गया है कि यह बहुमत 298 मतों के बराबर है: V का 20% = 298 (20/100) × V = 298 V = 298 × (100/20) V = 298 × 5 = 1490

व्याख्या

1.5 वर्षों (वर्ष 2 से वर्ष 3½ तक) में अर्जित साधारण ब्याज दो राशियों के बीच का अंतर है: 1.5 वर्षों का ब्याज = 2,130 - 1,860 = 270

1 वर्ष का साधारण ब्याज है: प्रति वर्ष ब्याज = 270 ÷ 1.5 = 180

मूलधन (P) 2 वर्षों की राशि में से उन 2 वर्षों में अर्जित ब्याज को घटाकर प्राप्त होता है: P = 1,860 - 2 × 180 = 1,860 - 360 = 1,500

प्रति वर्ष ब्याज की दर (R) है: R = (प्रति वर्ष ब्याज ÷ P) × 100 = (180 ÷ 1,500) × 100 = 12%

व्याख्या

गणित में छात्राओं की संख्या 840 का 40% है, जो 336 के बराबर है। रसायन विज्ञान में छात्राओं की संख्या 220 का 70% है, जो 154 के बराबर है। गणित और रसायन विज्ञान में छात्राओं की कुल संख्या 336 + 154 = 490 है।

भौतिकी में छात्रों की संख्या 450 का 70% है, जो 315 के बराबर है। जीव विज्ञान में छात्रों की संख्या 200 का 20% है, जो 40 के बराबर है। भौतिकी और जीव विज्ञान में छात्रों की कुल संख्या 315 + 40 = 355 है।

वांछित अनुपात 490 : 355 है। दोनों पदों को 5 से विभाजित करने पर 98 : 71 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

कुल कार्य को तीनों जोड़ियों द्वारा लिए गए दिनों (36, 54, और 81) के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में लें।

LCM(36, 54, 81) = 324 इकाई

इसलिए, कुल कार्य 324 इकाई है।

प्रत्येक जोड़ी की दैनिक कार्य दक्षता है: रीना + रिया की दक्षता = 324 / 36 = 9 इकाई/दिन रिया + गीता की दक्षता = 324 / 54 = 6 इकाई/दिन रीना + गीता की दक्षता = 324 / 81 = 4 इकाई/दिन

तीनों जोड़ियों की दक्षता को जोड़ने पर: 2 × (रीना + रिया + गीता की दक्षता) = 9 + 6 + 4 = 19 इकाई/दिन रीना + रिया + गीता की दक्षता = 19 / 2 = 9.5 इकाई/दिन

अकेले रीना की दक्षता ज्ञात करने के लिए, रिया और गीता की दक्षता को कुल संयुक्त दक्षता से घटाएं: रीना की दक्षता = 9.5 - 6 = 3.5 इकाई/दिन

रीना द्वारा अकेले काम पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है: समय = कुल कार्य / रीना की दक्षता समय = 324 / 3.5 = 648 / 7 ≈ 92.57 दिन

निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर 92 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

सही उत्तर: B

वृत्त के लिए प्रतिच्छेदी छेदक प्रमेय (Intersecting Secants Theorem) के अनुसार, जब किसी बाह्य बिंदु से वृत्त तक दो छेदक खंड खींचे जाते हैं, तो बाह्य खंड और संपूर्ण छेदक खंड का गुणनफल दोनों छेदकों के लिए बराबर होता है। इससे संबंध प्राप्त होता है:

PB × PA = PD × PC

चूंकि बिंदु संरेख हैं, हमारे पास PA = PB + AB और PC = PD + CD है। इन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

PB × (PB + AB) = PD × (PD + CD)

दिए गए मान AB = 6 सेमी, CD = 3 सेमी और PD = 5 सेमी को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

PB × (PB + 6) = 5 × (5 + 3)

PB² + 6PB = 5 × 8

PB² + 6PB - 40 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंडन द्वारा हल करने पर:

(PB + 10)(PB - 4) = 0

चूंकि लंबाई एक धनात्मक मान होनी चाहिए, PB = 4 सेमी।

व्याख्या

हम BODMAS नियम का उपयोग करके व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, जो कोष्ठक, घात (ऑर्डर), भाग, गुणा, जोड़ और घटाव के रूप में संक्रियाओं का क्रम निर्दिष्ट करता है।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठकों को सरल करें: (40 × 5) + (7 × 6) = 200 + 42 = 242

इसके बाद, इस मान को प्रतिस्थापित करें और वर्ग कोष्ठकों में पहले प्रमुख पद की गणना करें: [3³ × 242 ÷ 11] = [27 × 22] = 594

फिर, कोष्ठकों में दूसरे पद को सरल करें: (2³ × 15 ÷ 24) = (8 × 15 ÷ 24) = 120 ÷ 24 = 5

दोनों सरल किए गए पदों को एक साथ जोड़ें: 594 + 5 = 599

व्याख्या

त्रिभुज ABC में ∠B और ∠C के बाह्य कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से बनने वाला कोण मानक ज्यामितीय सूत्र द्वारा दिया जाता है:

∠P = 90° - ∠A/2

सूत्र में ∠A = 72° का दिया गया मान रखने पर:

∠P = 90° - 72°/2 ∠P = 90° - 36° ∠P = 54°

व्याख्या

चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों ABD और BCD के क्षेत्रफलों को जोड़कर निकाला जा सकता है, जो विकर्ण BD को अपने उभयनिष्ठ आधार के रूप में साझा करते हैं।

एक विकर्ण d और विपरीत शीर्षों से इस विकर्ण पर लंबवत ऊँचाइयों h₁ और h₂ दिए जाने पर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

क्षेत्रफल = ½ × d × (h₁ + h₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = BD = 20 सेमी h₁ = 6 सेमी h₂ = 8 सेमी

क्षेत्रफल = ½ × 20 × (6 + 8) क्षेत्रफल = 10 × 14 क्षेत्रफल = 140 सेमी²

व्याख्या

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित करके जहाँ x एक पेंसिल की कीमत है और y एक कलम की कीमत है, हमें 21x + 9y = 276 और 6x + 3y = 84 प्राप्त होता है। इन समीकरणों को हल करने पर x = 8 और y = 12 प्राप्त होता है, इसलिए 1 पेंसिल और 1 कलम की कीमत 8 + 12 = ₹20 है।

व्याख्या

सबसे बड़े अनुपात का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक अनुपात को उसके दशमलव रूप में परिवर्तित करते हैं। अनुपात 7:4, 1.75 के बराबर है, अनुपात 8:3, 2.67 के बराबर है, अनुपात 2:3, 0.67 के बराबर है, और अनुपात 1:5, 0.2 के बराबर है। इन मानों की तुलना करने पर, 2.67 उच्चतम दशमलव मान है, जो 8:3 को सबसे बड़ा अनुपात बनाता है।

व्याख्या

घनाभ को 3 कटों द्वारा 8 सर्वसम टुकड़ों में विभाजित करने के लिए, प्रत्येक कट को विपरीत फलकों के तीन युग्मों में से किसी एक के समानांतर बनाया जाना चाहिए, जो प्रत्येक विमा के मध्य बिंदु से होकर गुजरता हो।

घनाभ के फलक के समानांतर बनाया गया प्रत्येक कट, उसी अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल वाली दो नई सर्वसम सतहें बनाता है। इस प्रकार, तीन विमाओं में से प्रत्येक के समानांतर एक कट बनाने से मूल घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल के एक और पूर्ण सेट के बराबर नया पृष्ठीय क्षेत्रफल जुड़ जाता है।

सभी 8 टुकड़ों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4(lw + wh + hl)

दी गई विमाओं, l = 20 सेमी, w = 12 सेमी, और h = 10 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (20 × 12 + 12 × 10 + 10 × 20) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (240 + 120 + 200) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × 560 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2240 सेमी²

व्याख्या

15 किलोग्राम गेहूँ का क्रय मूल्य, 15 किलोग्राम गेहूँ के विक्रय मूल्य में से उस पर अर्जित कुल लाभ को घटाने पर प्राप्त होता है।

सबसे पहले, 15 किलोग्राम गेहूँ का विक्रय मूल्य ज्ञात करें: 15 किलोग्राम का विक्रय मूल्य = (कुल विक्रय मूल्य ÷ कुल वजन) × 15 15 किलोग्राम का विक्रय मूल्य = (10260 ÷ 195) × 15 15 किलोग्राम का विक्रय मूल्य = 10260 ÷ 13 ≈ 789.23

अगला, 15 किलोग्राम गेहूँ पर लाभ ज्ञात करें: 15 किलोग्राम पर लाभ = प्रति किलोग्राम लाभ × 15 15 किलोग्राम पर लाभ = 4.50 × 15 = 67.50

अब, 15 किलोग्राम गेहूँ का क्रय मूल्य ज्ञात करें: 15 किलोग्राम का क्रय मूल्य = 15 किलोग्राम का विक्रय मूल्य - 15 किलोग्राम पर लाभ 15 किलोग्राम का क्रय मूल्य = 789.23 - 67.50 = 721.73

निकटतम पूर्णांक में बदलने पर 722 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए x = sin θ। दिए गए द्विघात समीकरण 4sin²θ - 4√3 sin θ + 3 = 0 को x के पदों में इस प्रकार लिखा जा सकता है: 4x² - 4√3 x + 3 = 0

यह द्विघात समीकरण एक पूर्ण वर्ग है: (2x - √3)² = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 2x - √3 = 0 2x = √3 x = √3/2

x = sin θ को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: sin θ = √3/2

चूंकि θ अंतराल 0 < θ < 90° में स्थित है, हम वह कोण θ ज्ञात करते हैं जो इस संबंध को संतुष्ट करता है: θ = 60°

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

चूंकि पहली संख्या तीसरी संख्या से 30% अधिक है, इसलिए पहली संख्या 100 + 30 = 130 है।

चूंकि दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 40% अधिक है, इसलिए दूसरी संख्या 100 + 40 = 140 है।

दूसरी संख्या का पहली संख्या से अनुपात 140 : 130 है, जो सरल होकर 14 : 13 हो जाता है।

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d वाले दो वृत्तों के बीच सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L_DCT) की लंबाई का सूत्र है:

L_DCT = √(d² - (r₁ - r₂)²)

दिए गए मानों, d = 60 सेमी, r₁ = 20 सेमी, और r₂ = 32 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

L_DCT = √(60² - (32 - 20)²) L_DCT = √(3600 - 12²) L_DCT = √(3600 - 144) L_DCT = √3456 सेमी

तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L_TCT) की लंबाई का सूत्र है:

L_TCT = √(d² - (r₁ + r₂)²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

L_TCT = √(60² - (32 + 20)²) L_TCT = √(3600 - 52²) L_TCT = √(3600 - 2704) L_TCT = √896 सेमी

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई का तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लंबाई से अनुपात है:

L_DCT : L_TCT = √3456 : √896 L_DCT : L_TCT = √(3456 / 896)

अंश और हर दोनों को 128 से विभाजित करने पर:

3456 / 128 = 27 896 / 128 = 7

इसलिए:

L_DCT : L_TCT = √(27 / 7) = √27 : √7 = 3√3 : √7

व्याख्या

डिब्बे में पैक किए जा सकने वाले लेखों की संख्या की गणना डिब्बे के आयतन को एक लेख के आयतन से विभाजित करके की जाती है।

लेखों की संख्या = डिब्बे का आयतन ÷ लेख का आयतन

दिए गए आयामों को प्रतिस्थापित करना:

लेखों की संख्या = (63 × 42 × 21) ÷ (9 × 6 × 3)

प्रत्येक आयाम को सरल बनाकर:

63 ÷ 9 = 7 42 ÷ 6 = 7 21 ÷ 3 = 7

यह देता है:

लेखों की संख्या = 7 × 7 × 7 = 343

व्याख्या

चूंकि तय की गई दूरी स्थिर है, कार की चाल लिया गया समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

लिया गया समय का अनुपात = 16 : 12 = 4 : 3

इसलिए, चाल का अनुपात = 3 : 4

माना प्रारंभिक चाल 3x है और बढ़ी हुई चाल 4x है। चाल का अंतर है: 4x - 3x = 20 किमी/घंटा x = 20 किमी/घंटा

प्रारंभिक चाल है: 3 × 20 = 60 किमी/घंटा

तय की गई कुल दूरी है: दूरी = चाल × समय = 60 किमी/घंटा × 16 घंटे = 960 किमी

व्याख्या

उत्पादन सीधे तौर पर श्रमिक बल और कार्य घंटों के गुणनफल के समानुपाती होता है। मान लीजिए मूल उत्पादन P, मूल श्रमिक बल M, और मूल कार्य घंटे H हैं, ताकि P = M × H।

जब श्रमिक बल 25% कम हो जाता है, तो नया श्रमिक बल 0.75M होता है। मूल उत्पादन को बहाल करने के लिए, कार्य घंटों में r% की वृद्धि की जानी चाहिए, जैसे कि:

0.75M × H × (1 + r/100) = M × H

दोनों पक्षों को M × H से विभाजित करने पर:

0.75 × (1 + r/100) = 1

1 + r/100 = 1 / 0.75 = 4/3

r/100 = 4/3 - 1 = 1/3

r = 100/3 = 33 ⅓ %

व्याख्या

BODMAS नियम लागू करने पर, हमारे पास है:

42 ÷ 3 + k × 3 - 22 ÷ 11 + 4 = 28

सबसे पहले, विभाजन संक्रियाएँ करें: 42 ÷ 3 = 14 22 ÷ 11 = 2

इन मानों को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: 14 + 3k - 2 + 4 = 28

स्थिरांकों को जोड़ और घटाव द्वारा सरल करें: 14 - 2 + 4 + 3k = 28 16 + 3k = 28

k के लिए हल करें: 3k = 28 - 16 3k = 12 k = 4

व्याख्या

रविवार से शुरू होने वाले 30 दिनों के महीने में, रविवार महीने की 1, 8, 15, 22 और 29 तारीख को पड़ते हैं। इस प्रकार, ठीक 5 रविवार और 25 शेष दिन (30 - 5 = 25) हैं।

महीने के लिए कुल उपस्थिति = (5 × 410) + (25 × 230) = 2050 + 5750 = 7800

प्रति दिन औसत उपस्थिति = कुल उपस्थिति / कुल दिन = 7800 / 30 = 260

व्याख्या

छूट की दर की गणना मानक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

छूट दर = ((अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

छूट दर = ((145 - 127.6) / 145) × 100

छूट दर = (17.4 / 145) × 100

छूट दर = 0.12 × 100 = 12%

व्याख्या

त्रिभुज QRS और त्रिभुज QPR में, ∠RQS उभयनिष्ठ है और ∠QRS = ∠QPR दिया गया है। कोण-कोण समरूपता कसौटी से, △QRS ~ △QPR।

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: QS/QR = QR/QP = RS/PR

दिए गए मान QS = 27 सेमी, QR = 36 सेमी और RS = 18 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: QS/QR = 27/36 = 3/4

अज्ञात भुजाओं को ज्ञात करने के लिए इस अनुपात का उपयोग करना: 36/QP = 3/4, जिससे QP = 48 सेमी प्राप्त होता है 18/PR = 3/4, जिससे PR = 24 सेमी प्राप्त होता है

चूंकि S, PQ पर स्थित है, PS की लंबाई है: PS = QP - SQ = 48 - 27 = 21 सेमी

△PRS का परिमाप है: PR + RS + PS = 24 + 18 + 21 = 63 सेमी

△QSR का परिमाप है: QS + RS + QR = 27 + 18 + 36 = 81 सेमी

△PRS के परिमाप का △QSR के परिमाप से अनुपात है: 63/81 = 7/9