एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सही उत्तर: A

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः F और S है।

उनकी वर्तमान आयु का योग है: F + S = 50

5 वर्ष बाद, उनकी आयु F + 5 और S + 5 होगी। दी गई शर्त के अनुसार: F + 5 = 5(S + 5) F + 5 = 5S + 25 F - 5S = 20

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: 6S = 30 S = 5

S = 5 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: F + 5 = 50 F = 45

इस प्रकार, पिता की वर्तमान आयु 45 वर्ष है। पाँच वर्ष पहले, पिता की आयु थी: 45 - 5 = 40 वर्ष।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP), अंकित मूल्य (MP), लाभ प्रतिशत (P), और छूट प्रतिशत (D) के बीच संबंध मानक सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

दिए गए मानों (CP = 4400, P = 24, और D = 12) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

MP / 4400 = (100 + 24) / (100 - 12)

MP / 4400 = 124 / 88

MP = 4400 × 124 / 88

MP = 50 × 124

MP = 6200

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक प्रतिशत वृद्धि के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

शुद्ध वृद्धि = a + b + (a × b)/100

दिया गया है: पहले वर्ष की वृद्धि, a = 10% दूसरे वर्ष की वृद्धि, b = 20%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध वृद्धि = 10 + 20 + (10 × 20)/100 शुद्ध वृद्धि = 30 + 200/100 शुद्ध वृद्धि = 30 + 2 शुद्ध वृद्धि = 32%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक कीमत 100 मानी जाती है: पहले वर्ष के बाद कीमत = 100 × (1 + 10/100) = 110 दूसरे वर्ष के बाद कीमत = 110 × (1 + 20/100) = 110 × 1.2 = 132 समग्र वृद्धि = 132 - 100 = 32%

व्याख्या

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (lb + bh + hl)

जहाँ l लंबाई है, b चौड़ाई है, और h ऊंचाई है।

दिए गए मान: l = 19 सेमी b = 9 सेमी h = 4.5 सेमी

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (19 × 9 + 9 × 4.5 + 4.5 × 19) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (171 + 40.5 + 85.5) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 297 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 594 सेमी²

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

चूंकि ΔABC, ΔEDF के समरूप है, DF की संगत भुजा BC है। उनके क्षेत्रफलों और इन भुजाओं के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

क्षेत्रफल(ΔABC) / क्षेत्रफल(ΔEDF) = (BC / DF)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

1 / 4 = (8 / DF)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

1 / 2 = 8 / DF

DF = 8 × 2 = 16 सेमी

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: sin 60° = √3/2 cos 60° = ½

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (sin 60° - cos 60°) / (sin 60° + cos 60°) = (√3/2 - ½) / (√3/2 + ½) = (√3 - 1) / (√3 + 1)

हर को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को (√3 - 1) से गुणा करके परिमेय करें: ((√3 - 1)(√3 - 1)) / ((√3 + 1)(√3 - 1)) = (√3 - 1)² / ((√3)² - 1²) = (3 - 2√3 + 1) / (3 - 1) = (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3

व्याख्या

राज्य B की कुल जनसंख्या 7 करोड़ है, जो 700 लाख के बराबर है।

राज्य B में साक्षर जनसंख्या का प्रतिशत 72% है, जिसका अर्थ है कि निरक्षर जनसंख्या का प्रतिशत 100% - 72% = 28% है।

राज्य B में निरक्षर लोगों की कुल संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: निरक्षर जनसंख्या = 700 लाख का 28% = 196 लाख।

राज्य B में निरक्षर पुरुषों और निरक्षर महिलाओं का अनुपात 3 : 2 दिया गया है।

राज्य B में निरक्षर महिलाओं की संख्या है: निरक्षर महिलाएं = 2/(3 + 2) × 196 लाख = 2/5 × 196 = 78.4 लाख।

व्याख्या

भारित औसत का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

भारित औसत = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂) / (n₁ + n₂)

जहाँ: n₁ = 50, A₁ = 40 n₂ = 150, A₂ = 60

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

भारित औसत = (50 × 40 + 150 × 60) / (50 + 150) भारित औसत = (2000 + 9000) / 200 भारित औसत = 11000 / 200 भारित औसत = 55

व्याख्या

औसत उत्तीर्ण प्रतिशत की गणना कुल उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या को उपस्थित हुए कुल उम्मीदवारों की संख्या से विभाजित करके, 100 से गुणा करके की जाती है।

पहले वर्ष में उत्तीर्ण कर्मचारियों की संख्या = 75 का 84% = (84 / 100) × 75 = 63

दूसरे वर्ष में उत्तीर्ण कर्मचारियों की संख्या = 50 का 52% = (52 / 100) × 50 = 26

दोनों वर्षों में उत्तीर्ण कर्मचारियों की कुल संख्या = 63 + 26 = 89

दोनों वर्षों में उपस्थित कर्मचारियों की कुल संख्या = 75 + 50 = 125

उत्तीर्ण प्रतिशत की औसत दर = (कुल उत्तीर्ण / कुल उपस्थित) × 100 औसत उत्तीर्ण प्रतिशत = (89 / 125) × 100 = 89 × 4/5 = 356 / 5 = 71.2%

71.2% को मिश्रित भिन्न में बदलना: 71.2% = 71 2/10 % = 71 1/5 %

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का मध्य समानुपात सूत्र √(a × b) द्वारा दिया जाता है।

दी गई दो संख्याएँ हैं: a = 0.72 b = 2.85

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: मध्य समानुपात = √(0.72 × 2.85) मध्य समानुपात = √2.052

वर्गमूल की गणना: √2.052 ≈ 1.432

1.432 को एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 1.4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के बीच सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लंबाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

L = √(d² - (r₁ - r₂)²)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ L = √35, d = 6, r₁ = r, और r₂ = 3:

√35 = √(6² - (r - 3)²)

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

35 = 36 - (r - 3)²

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

(r - 3)² = 36 - 35 (r - 3)² = 1

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

r - 3 = ±1

इससे r के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: r = 3 + 1 = 4 r = 3 - 1 = 2

व्याख्या

आय में प्रतिशत कमी की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत कमी = (मूल आय - नई आय) / मूल आय × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: मूल आय = ₹42,800 नई आय = ₹37,236

आय में कमी = 42,800 - 37,236 = 5,564

प्रतिशत कमी = (5,564 / 42,800) × 100 प्रतिशत कमी = 5,564 / 428 प्रतिशत कमी = 13%

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र S = 4πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल के मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 4 × (22/7) × r² = 1386 88/7 × r² = 1386 r² = (1386 × 7) / 88 r² = 110.25 r = 10.5 सेमी (या 21/2 सेमी)

गोले का आयतन सूत्र V = 4/3 πr³ द्वारा दिया जाता है।

परिकलित त्रिज्या को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = 4/3 × (22/7) × (21/2)³ V = 4/3 × (22/7) × (9261/8) V = 11 × 21 × 21 V = 4851 सेमी³

व्याख्या

नाव की धारा के विपरीत गति का सूत्र है: धारा के विपरीत गति = शांत जल में नाव की गति - धारा की गति

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 1 किमी/घंटा = 3 किमी/घंटा - धारा की गति धारा की गति = 3 किमी/घंटा - 1 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य के गुणों के अनुसार, यदि किसी डेटासेट में प्रत्येक अवलोकन को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो नए डेटासेट का माध्य भी उसी स्थिरांक k से गुणा हो जाता है।

इस संबंध का उपयोग करते हुए: नया औसत = पुराना औसत × k

दिया गया है कि पुराना औसत 23 है और स्थिरांक गुणक k 13 है: नया औसत = 23 × 13 = 299

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित होती हैं। चूँकि DE, BC के समानांतर है, हमारे पास है:

AD / DB = AE / EC

दिए गए बीजीय व्यंजकों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

x / (x - 3) = (x + 3) / (x - 2)

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

x(x - 2) = (x - 3)(x + 3)

बीजीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का उपयोग करके दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:

x² - 2x = x² - 9

दोनों पक्षों से x² घटाने पर:

-2x = -9

-2 से भाग देने पर:

x = 4.5

व्याख्या

मान लीजिए व्यक्ति की वर्तमान आयु x है। चूँकि पिता 25 वर्ष बड़े हैं, पिता की वर्तमान आयु x + 25 है।

पाँच वर्ष पूर्व: व्यक्ति की आयु x - 5 थी। पिता की आयु x + 25 - 5 = x + 20 थी।

पाँच वर्ष पूर्व उनकी आयु का योग 39 था: (x - 5) + (x + 20) = 39 2x + 15 = 39 2x = 39 - 15 2x = 24 x = 12

व्याख्या

वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सीधे त्रिज्या और चाप की लंबाई से संबंधित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

क्षेत्रफल = ½ × r × l

जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और l चाप की लंबाई है।

r = 24 इकाई और l = 7.5 इकाई के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 24 × 7.5 क्षेत्रफल = 12 × 7.5 क्षेत्रफल = 90 वर्ग इकाई

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती है। चूँकि L भुजा BC का मध्य-बिंदु है, AL, ΔABC की माध्यिका है।

ΔABC का क्षेत्रफल = 2 × ΔABL का क्षेत्रफल

दिया गया है कि ΔABL का क्षेत्रफल = 15 cm², इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:

ΔABC का क्षेत्रफल = 2 × 15 = 30 cm²

व्याख्या

मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक को चरण-दर-चरण सरल करते हैं:

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के पद का मूल्यांकन करें: 5/15 का 3/12 = 1/3 × 1/4 = 1/12

अगला, इसमें 1/15 जोड़ें: 1/12 + 1/15 = 5/60 + 4/60 = 9/60 = 3/20

अब, 1 7/12 से गुणा करें, जो 19/12 के बराबर है: 3/20 × 19/12 = 19/80

इसे 15/8 से घटाने पर प्राप्त होता है: 15/8 - 19/80 = 150/80 - 19/80 = 131/80

यह a/b के रूप में है, जहाँ a = 131 और b = 80 है। चूँकि 131 एक अभाज्य संख्या है, a और b एक दूसरे के सापेक्ष अभाज्य हैं।

हम 4b - a का मान ज्ञात करते हैं: 4b - a = 4 × 80 - 131 = 320 - 131 = 189

व्याख्या

हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: x² - y² = (x + y)(x - y)

दिए गए समीकरण: x = tan A + sin A y = tan A - sin A

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: x + y = 2 tan A

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: x - y = 2 sin A

इन्हें सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: x² - y² = (2 tan A)(2 sin A) = 4 tan A sin A

अब, हम गुणनफल xy की गणना करते हैं: xy = (tan A + sin A)(tan A - sin A) = tan² A - sin² A

}tan A को sin A और cos A के पदों में व्यक्त करने पर: xy = sin² A / cos² A - sin² A xy = sin² A (1 / cos² A - 1) xy = sin² A ((1 - cos² A) / cos² A) xy = sin² A (sin² A / cos² A) xy = sin² A tan² A

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(xy) = sin A tan A

sin A tan A = √(xy) को x² - y² के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x² - y² = 4√(xy)

व्याख्या

मान लीजिए वैध मतों की कुल संख्या V है।

चूंकि केवल दो उम्मीदवार हैं, हारने वाले उम्मीदवार को वैध मतों का 46% प्राप्त हुआ (100% - 54% = 46%)।

जीतने वाले और हारने वाले उम्मीदवार के बीच वैध मतों के प्रतिशत का अंतर 54% - 46% = 8% है।

हमें दिया गया है कि जीतने वाला उम्मीदवार 88 मतों से जीता। इसलिए, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

V का 8% = 88

0.08 × V = 88

V = 88 ÷ 0.08 = 1100

डाले गए मतों की कुल संख्या वैध मतों और अवैध मतों का योग है:

डाले गए मतों की कुल संख्या = वैध मत + अवैध मत

डाले गए मतों की कुल संख्या = 1100 + 58 = 1158

व्याख्या

गणित में 135 का कच्चा अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आवश्यक प्रतिशत की गणना विषय के लिए अधिकतम अंक, जो कि 150 है, का उपयोग करके की जाती है।

अंकों का प्रतिशत = (कच्चा अंक ÷ अधिकतम अंक) × 100 अंकों का प्रतिशत = (135 ÷ 150) × 100 = 90%

दी गई तालिका में गणित कॉलम को देखने पर, छात्रों द्वारा प्राप्त प्रतिशत इस प्रकार हैं: आयुष: 90% अमन: 100% सजल: 90% रोहित: 80% मुस्कान: 80% तन्वी: 70% तरुण: 65%

दो छात्रों, आयुष और सजल ने गणित में ठीक 90% अंक प्राप्त किए, जिसका अर्थ है कि 2 छात्रों ने 135 का कच्चा अंक प्राप्त किया।

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = ((अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य) × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अंकित मूल्य = 2165 विक्रय मूल्य = 1710.35

छूट = 2165 - 1710.35 = 454.65

छूट प्रतिशत = (454.65 / 2165) × 100 = 45465 / 2165 = 21%

व्याख्या

घटाए गए मान को उसके मूल स्तर पर बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = [r / (100 - r)] × 100

जहाँ r प्रतिशत कमी है। यह देखते हुए कि वेतन में r = 20% की कमी की गई थी:

प्रतिशत वृद्धि = [20 / (100 - 20)] × 100 प्रतिशत वृद्धि = (20 / 80) × 100 प्रतिशत वृद्धि = ¼ × 100 = 25%

वैकल्पिक रूप से, मान लीजिए कि कर्मचारियों का मूल वेतन ₹100 था। 20% की कमी के बाद, नया वेतन ₹80 हो जाता है। इस वेतन को मूल ₹100 पर वापस लाने के लिए, इसे ₹20 बढ़ाया जाना चाहिए। ₹80 के घटाए गए वेतन पर आवश्यक प्रतिशत वृद्धि है:

(20 / 80) × 100 = 25%

व्याख्या

जब किसी वस्तु की कीमत में r% की वृद्धि होती है, तो व्यय को स्थिर रखने के लिए खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी का सूत्र है:

कमी % = (r ÷ (100 + r)) × 100

दिए गए मूल्य वृद्धि r = 36 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

कमी % = (36 ÷ (100 + 36)) × 100 कमी % = (36 ÷ 136) × 100 कमी % = (9 ÷ 34) × 100 कमी % = 900 ÷ 34 कमी % ≈ 26.47%

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, खपत को 26.5% कम किया जाना चाहिए।

व्याख्या

कुल समय = ट्रेन से समय + बस से समय के संबंध का उपयोग करके:

कुल समय = (ट्रेन से दूरी ÷ ट्रेन की गति) + (बस से दूरी ÷ बस की गति)

मान लीजिए कि ट्रेन से तय की गई दूरी 'd' किलोमीटर है। चूँकि कुल दूरी 285 किमी है, बस से तय की गई दूरी 285 - d किमी है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d/55 + (285 - d)/40 = 6

पूरे समीकरण को 55 और 40 के लघुत्तम समापवर्त्य, जो कि 440 है, से गुणा करने पर: 8d + 11(285 - d) = 6 × 440 8d + 3135 - 11d = 2640 3135 - 3d = 2640 3d = 495 d = 165

टॉम ने ट्रेन से 165 किमी की दूरी तय की।

व्याख्या

बेलनाकार मोमबत्ती का आयतन V = πr²h सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊँचाई (लंबाई) है। दिया गया व्यास 14 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r 7 सेमी है, और लंबाई h 2 सेमी है।

बेलन का आयतन = (22/7) × 7² × 2 = 22 × 7 × 2 = 308 घन सेमी

प्रत्येक घनाभ मोमबत्ती का आयतन V = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।

घनाभ का आयतन = 7 × 11 × 2 = 154 घन सेमी

प्राप्त की जा सकने वाली घनाभ मोमबत्तियों की संख्या, बेलनाकार मोमबत्ती के आयतन को एक घनाभ मोमबत्ती के आयतन से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

मोमबत्तियों की संख्या = 308 / 154 = 2

व्याख्या

दिए गए प्रतिशत संबंध को एक बीजगणितीय समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

10% × 24% × x = 240

प्रतिशत को भिन्नों में परिवर्तित करना:

(10/100) × (24/100) × x = 240

(1/10) × (24/100) × x = 240

24x/1000 = 240

x के लिए हल करने हेतु, दोनों पक्षों को 1000 से गुणा करें और 24 से विभाजित करें:

x = (240 × 1000) / 24

इसे सरल करने पर प्राप्त होता है:

x = 10 × 1000

x = 10000

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = P × R × T ÷ 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

यह देखते हुए कि साधारण ब्याज मूलधन का तीन-पांचवां है, SI = 3/5 × P। समय T 12 वर्ष है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: 3/5 × P = P × R × 12 ÷ 100

दोनों पक्षों से P को रद्द करके सरलीकरण करने पर: 3/5 = 12 × R ÷ 100

यह सरलीकृत होता है: 0.6 = 0.12 × R

R = 0.6 ÷ 0.12 = 5%

व्याख्या

मान लीजिए डाले गए मतों की कुल संख्या T है। चूँकि हारने वाले उम्मीदवार ने 41% मत प्राप्त किए, इसलिए जीतने वाले उम्मीदवार ने शेष 59% मत प्राप्त किए (100% - 41% = 59%)।

उनके मत प्रतिशत में अंतर है: 59% - 41% = 18%

यह अंतर हार के अंतर को दर्शाता है, जो 97,632 मत है: T का 18% = 97,632 T = 97,632 ÷ 0.18 = 542,400

जीतने वाले उम्मीदवार द्वारा प्राप्त मतों की संख्या इस कुल का 59% है: जीतने वाले मत = 542,400 का 59% = 0.59 × 542,400 = 320,016

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण में cos²A = 1 - sin²A को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

12 sin²A + 2(1 - sin²A) = 7

समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर:

12 sin²A + 2 - 2 sin²A = 7 10 sin²A = 5 sin²A = ½

अब, हम cos²A ज्ञात करते हैं:

cos²A = 1 - sin²A = 1 - ½ = ½

कोटिज्या की परिभाषा का उपयोग करके:

cot²A = cos²A / sin²A = (½) / (½) = 1

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

cot A = ±1

चूंकि कोण A, 0 < A < 180° की सीमा में स्थित है, cot A पहले चतुर्थांश (0 < A < 90°) में धनात्मक और दूसरे चतुर्थांश (90° < A < 180°) में ऋणात्मक होता है, जो धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों को सही ठहराता है।

व्याख्या

श्रमिकों की कमाई व्यक्तियों की संख्या और उनके प्रतिदिन काम करने के घंटों की संख्या दोनों के सीधे समानुपाती होती है। इस संबंध को निम्न सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

E₁ / (M₁ × H₁) = E₂ / (M₂ × H₂)

जहाँ E कमाई, M व्यक्तियों की संख्या और H प्रतिदिन काम करने के घंटे को दर्शाता है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 15 व्यक्ति, H₁ = 12 घंटे, E₁ = ₹18,000 M₂ = 18 व्यक्ति, H₂ = 9 घंटे, E₂ = अज्ञात कमाई

18,000 / (15 × 12) = E₂ / (18 × 9)

18,000 / 180 = E₂ / 162

100 = E₂ / 162

E₂ = 100 × 162 = 16,200

इसलिए, 18 व्यक्ति प्रतिदिन 9 घंटे काम करके प्रति सप्ताह ₹16,200 कमाएँगे।

व्याख्या

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, तीन भुजाओं की लंबाई a, b, और c, जहाँ c सबसे लंबी भुजा है, एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं यदि वे निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करती हैं:

a² + b² = c²

12 सेमी, 16 सेमी, और 20 सेमी भुजाओं की लंबाई के लिए:

12² + 16² = 144 + 256 = 400 20² = 400

चूंकि 12² + 16² = 20², ये विमाएँ प्रमेय को संतुष्ट करती हैं। यह त्रिक मानक 3-4-5 समकोण त्रिभुज अनुपात का गुणक है जिसे 4 के गुणक से बढ़ाया गया है, जहाँ 3×4 = 12, 4×4 = 16, और 5×4 = 20।

व्याख्या

योग-औसत संबंध का उपयोग करते हुए, सभी कर्मचारियों की आयु का योग कर्मचारियों की संख्या और उनकी औसत आयु का गुणनफल होता है।

12 मूल कर्मचारियों की आयु का योग = 12 × 35½ = 12 × 35.5 = 426 वर्ष

जब एक नया कर्मचारी शामिल होता है, तो कर्मचारियों की कुल संख्या 13 हो जाती है, और नई औसत आयु 37 वर्ष होती है।

13 कर्मचारियों की आयु का योग = 13 × 37 = 481 वर्ष

नए शामिल हुए कर्मचारी की आयु इन दो योगों के बीच का अंतर है:

नए कर्मचारी की आयु = 481 - 426 = 55 वर्ष

व्याख्या

त्रिज्या r = 7 वाले दो समान वृत्तों के उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई 7 के साथ प्रतिच्छेदन क्षेत्र दो सममित वृत्ताकार खंडों से बनता है।

एक वृत्त के केंद्र और उभयनिष्ठ जीवा के दो अंतिम बिंदुओं से बना त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई 7 है, जिससे यह एक समबाहु त्रिभुज बनता है। अतः, प्रत्येक वृत्त के केंद्र पर जीवा द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण θ 60° है, जो π/3 रेडियन है।

एक एकल वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल, वृत्ताकार त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है: खंड का क्षेत्रफल = (θ/2π) × πr² - (√3/4)r² खंड का क्षेत्रफल = (1/6)πr² - (√3/4)r² = r²(π/6 - √3/4)

चूंकि प्रतिच्छेदन का उभयनिष्ठ क्षेत्रफल ऐसे दो खंडों से मिलकर बनता है, कुल क्षेत्रफल है: कुल क्षेत्रफल = 2 × r²(π/6 - √3/4)

r = 7 रखने पर: कुल क्षेत्रफल = 2 × 49(π/6 - √3/4) = 98(π/6 - √3/4)

व्याख्या

एक गोले का आयतन V, सूत्र V = (4/3) × π × r³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

V = 38.808 और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर:

38.808 = (4/3) × (22/7) × r³

38.808 = (88/21) × r³

r³ = (38.808 × 21) / 88

r³ = 0.441 × 21

r³ = 9.261

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:

r = 2.1 सेमी

गोलाकार गेंद का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है:

व्यास = 2 × r = 2 × 2.1 = 4.2 सेमी।

व्याख्या

किसी कार्य की स्थिर मात्रा को पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की संख्या (M), दिनों (D), और प्रति दिन काम के घंटे (H) के बीच का संबंध संयुक्त भिन्नता सूत्र द्वारा शासित होता है:

M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: M₁ = 12 पुरुष, D₁ = 24 दिन, H₁ = 9 घंटे M₂ = 8 पुरुष, H₂ = 12 घंटे, और D₂ दिनों की आवश्यक संख्या है

12 × 24 × 9 = 8 × D₂ × 12

दोनों पक्षों को 12 से विभाजित करने पर: 24 × 9 = 8 × D₂

D₂ के लिए हल करने पर: D₂ = (24 × 9) / 8 D₂ = 3 × 9 D₂ = 27 दिन

व्याख्या

दूध का क्रय मूल्य 1 / 1½ = ⅔ रुपये प्रति लीटर है। चूँकि पानी मुफ्त है, इसका क्रय मूल्य 0 रुपये प्रति लीटर है।

अंतिम मिश्रण का मूल्य 1 / 1⅞ = 8/15 रुपये प्रति लीटर है।

मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात, मिश्रण के नियम (alligation) द्वारा, है: (8/15 - 0) : (⅔ - 8/15) = 8/15 : 2/15 = 4 : 1

इसका मतलब है कि दूध के प्रत्येक 4 भाग के लिए, पानी का 1 भाग मिलाया जाता है।

चूंकि दूध की मात्रा 60 लीटर है, जो 4 भागों के बराबर है, तो 1 भाग के बराबर पानी की मात्रा होगी: 60 × ¼ = 15 लीटर

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: SI = (P × R × T) / 100

मान लीजिए पहले बैंक की मूल राशि K है, ब्याज दर r% और समय n² वर्ष है। साधारण ब्याज है: SI₁ = (K × r × n²) / 100

मान लीजिए दूसरे बैंक की मूल राशि L है, ब्याज दर r²% और समय n³ वर्ष है। साधारण ब्याज है: SI₂ = (L × r² × n³) / 100

चूंकि दोनों बैंकों से अर्जित ब्याज समान है: SI₁ = SI₂ (K × r × n²) / 100 = (L × r² × n³) / 100

दोनों पक्षों से सामान्य पदों को रद्द करने पर: K × r × n² = L × r² × n³

K और L के बीच का अनुपात ज्ञात करने के लिए: K / L = (r² × n³) / (r × n²) K / L = rn / 1

इस प्रकार, अनुपात K : L, rn : 1 है।

व्याख्या

12 जोड़ी दस्तानों का अंकित मूल्य ₹180 है।

10% की छूट पर, 12 जोड़ी दस्तानों का विक्रय मूल्य है: 180 × (1 - 0.10) = ₹162

एक जोड़ी दस्तानों का मूल्य है: 162 ÷ 12 = ₹13.5

₹54 में खरीदे जा सकने वाले दस्तानों की जोड़ी की संख्या है: 54 ÷ 13.5 = 4

व्याख्या

नाव की धारा के साथ गति की गणना धारा के साथ तय की गई दूरी को लगे समय से विभाजित करके की जाती है: धारा के साथ गति = 60 / 4 = 15 किमी/घंटा

धारा के साथ गति, शांत जल में नाव की गति और धारा की गति का योग होती है। यह देखते हुए कि शांत जल में नाव की गति 13 किमी/घंटा है, हम धारा की गति ज्ञात कर सकते हैं: धारा की गति = धारा के साथ गति - शांत जल में नाव की गति धारा की गति = 15 - 13 = 2 किमी/घंटा

नाव की धारा के विपरीत गति, शांत जल में नाव की गति और धारा की गति का अंतर होती है: धारा के विपरीत गति = 13 - 2 = 11 किमी/घंटा

धारा के विपरीत 30 किमी की दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय की गणना धारा के विपरीत तय की गई दूरी को धारा के विपरीत गति से विभाजित करके की जाती है: लगा समय = 30 / 11 = 2 8/11 घंटे

व्याख्या

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πr²

दिया गया है कि अर्धगोले का व्यास 21 सेमी है, तो त्रिज्या (r) है: r = 21/2 सेमी

π = 22/7 का मान प्रयोग करके, त्रिज्या को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: CSA = 2 × (22/7) × (21/2)² CSA = 2 × (22/7) × (21/2) × (21/2) CSA = 2 × (22/7) × (441/4) CSA = 11 × 63 CSA = 693 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः 7x और 4x है।

दी गई शर्त के अनुसार, उनकी आयु का गुणनफल 1372 है: (7x) × (4x) = 1372 28x² = 1372 x² = 1372 / 28 x² = 49 x = 7

x का मान उपयोग करके, हम उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करते हैं: पिता की वर्तमान आयु = 7 × 7 = 49 वर्ष पुत्र की वर्तमान आयु = 4 × 7 = 28 वर्ष

8 वर्ष बाद उनकी आयु होगी: पिता की आयु = 49 + 8 = 57 वर्ष पुत्र की आयु = 28 + 8 = 36 वर्ष

8 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात है: 57 : 36 = 19 : 12

व्याख्या

2018 से 2020 तक उत्पादन में लगातार गिरावट वाले कार प्रकारों को खोजने के लिए, हम इन वर्षों के दौरान प्रत्येक प्रकार के लिए वार्षिक उत्पादन मूल्यों का विश्लेषण करते हैं।

कार प्रकार A के लिए, 2018 में उत्पादन मूल्य 39, 2019 में 25 और 2020 में 18 है। यह 39 > 25 > 18 के बाद से लगातार गिरावट दर्शाता है।

कार प्रकार B के लिए, 2018 में उत्पादन मूल्य 14, 2019 में 12 और 2020 में 8 है। यह 14 > 12 > 8 के बाद से लगातार गिरावट भी दर्शाता है।

इस अवधि के दौरान उत्पादन में लगातार गिरावट की शर्त दोनों कार प्रकार A और B को संतुष्ट करती है।

व्याख्या

मान लीजिए कि पहले वर्ष की शुरुआत में जनसंख्या P थी।

दी गई शर्तों के अनुसार, पहले वर्ष में जनसंख्या में 5% की वृद्धि होती है और दूसरे वर्ष में 5% की कमी आती है। प्रारंभिक जनसंख्या और दूसरे वर्ष के अंत में जनसंख्या के बीच शुद्ध संबंध निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

अंतिम जनसंख्या = P × (1 + 5/100) × (1 - 5/100)

सूत्र में 47,880 की दी गई अंतिम जनसंख्या को प्रतिस्थापित करने पर:

47880 = P × 1.05 × 0.95

47880 = P × 0.9975

P = 47880 / 0.9975

P = 48000

इस प्रकार, पहले वर्ष की शुरुआत में जनसंख्या 48,000 थी।

व्याख्या

बेलन का आयतन V = π * r² * h सूत्र द्वारा दिया जाता है। आयतन 8316 घन सेंटीमीटर और त्रिज्या 21 सेंटीमीटर को सूत्र में रखने पर 8316 = (22/7) * 21 * 21 * h प्राप्त होता है, जो सरल करने पर 8316 = 1386 * h हो जाता है। h के लिए हल करने पर गहराई 6 सेंटीमीटर प्राप्त होती है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय विस्तार सूत्र हैं: cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y tan(2z) = 2tan z / (1 - tan²z)

इन मानक सर्वसमिकाओं को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cos(x + y) - sin(x - y) + tan(2z) = (cos x cos y - sin x sin y) - (sin x cos y - cos x sin y) + 2tan z / (1 - tan²z)

पदों का विस्तार करने और ऋणात्मक चिन्ह को वितरित करने पर प्राप्त होता है: cos x cos y - sin x sin y - sin x cos y + cos x sin y + 2tan z / (1 - tan²z)

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का परिमाप 2r + L द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और L चाप की लंबाई है। 4 इकाई की त्रिज्या और 45 डिग्री के कोण के लिए, चाप की लंबाई (45/360) * 2 * π * 4 = π है, जिससे कुल परिमाप 2(4) + π = 8 + π इकाई हो जाता है।

व्याख्या

वेतन में प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत वृद्धि = (वेतन में वृद्धि / मूल वेतन) × 100%

यहाँ, मूल वेतन ₹2,00,000 है और नया वेतन ₹2,40,000 है।

वेतन में वृद्धि है: 2,40,000 - 2,00,000 = ₹40,000

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत वृद्धि = (40,000 / 2,00,000) × 100% = 20%

यह विकल्प C में 20% के मान के अनुरूप है।