एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2024 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक ढकी हुई संदूकची में लकड़ी का आयतन, संदूकची के बाहरी आयतन और आंतरिक आयतन के बीच का अंतर होता है।

चूंकि संदूकची सभी तरफ से ढकी हुई है, इसलिए बाहरी आयामों की गणना प्रत्येक आंतरिक आयाम में लकड़ी की मोटाई का दोगुना जोड़कर की जाती है।

लकड़ी की मोटाई = 5.5 सेमी मोटाई का दोगुना = 2 × 5.5 = 11 सेमी

बाहरी लंबाई = 128 + 11 = 139 सेमी बाहरी चौड़ाई = 90 + 11 = 101 सेमी बाहरी ऊंचाई = 25 + 11 = 36 सेमी

आंतरिक आयतन = 128 × 90 × 25 = 288000 सेमी³

बाहरी आयतन = 139 × 101 × 36 = 505404 सेमी³

लकड़ी का आयतन = बाहरी आयतन - आंतरिक आयतन लकड़ी का आयतन = 505404 - 288000 = 217404 सेमी³

व्याख्या

सही उत्तर: D

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = 2πRH द्वारा दिया जाता है, और इसका आयतन V = πR²H द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए बड़े बेलन की त्रिज्या R_L और ऊँचाई H_L है, और छोटे बेलन की त्रिज्या R_S और ऊँचाई H_S है।

उनकी त्रिज्याओं का अनुपात R_L : R_S = 3 : 1 दिया गया है।

बड़े बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल छोटे बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का 350% है: 2π R_L H_L = 3.5 × 2π R_S H_S R_L H_L = 3.5 R_S H_S

समीकरण में R_L = 3R_S रखने पर: 3R_S H_L = 3.5 R_S H_S 3H_L = 3.5 H_S H_S / H_L = 3 / 3.5 = 6/7

बड़े बेलन के आयतन के सापेक्ष छोटे बेलन का आयतन है: V_S / V_L = (π R_S² H_S) / (π R_L² H_L) = (R_S / R_L)² × (H_S / H_L)

ज्ञात अनुपातों को रखने पर: V_S / V_L = (1/3)² × (6/7) = (1/9) × (6/7) = 6/63 = 2/21

इसे प्रतिशत के रूप में ज्ञात करने के लिए: (2/21) × 100% ≈ 9.52%

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या का मान 100 है।

पहली संख्या तीसरी संख्या से 30% अधिक है: 100 + (100 का 30%) = 130

दूसरी संख्या तीसरी संख्या से 60% अधिक है: 100 + (100 का 60%) = 160

पहली संख्या का दूसरी संख्या से अनुपात है: 130 : 160

अनुपात के दोनों भागों को उनके महत्तम समापवर्तक, जो कि 10 है, से विभाजित करने पर सरलीकृत अनुपात प्राप्त होता है: 13 : 16

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 100 है।

चूंकि अंकित मूल्य (MP) क्रय मूल्य का 1.4 गुना है: MP = 1.4 × 100 = 140

23.2% लाभ कमाने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) होना चाहिए: SP = 100 × (1 + 23.2/100) = 123.2

अंकित मूल्य पर दी गई पूर्ण छूट है: छूट = MP - SP = 140 - 123.2 = 16.8

छूट प्रतिशत की गणना अंकित मूल्य के सापेक्ष की जाती है: छूट % = (छूट / MP) × 100 छूट % = (16.8 / 140) × 100 = 12%

व्याख्या

कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

संख्या 6428A83 के लिए, अंकों का योग है: 6 + 4 + 2 + 8 + A + 8 + 3 = 31 + A

31 + A को 9 से विभाज्य होने के लिए, योग 31 से बड़े या उसके बराबर 9 के निकटतम गुणज के बराबर होना चाहिए, जो कि 36 है।

31 + A = 36 A = 36 - 31 = 5

व्याख्या

एक आयत का परिमाप सूत्र P = 2(L + B) द्वारा दिया जाता है, जहाँ L लंबाई है और B चौड़ाई है।

यह दिया गया है कि परिमाप P 110 मीटर है: 2(L + B) = 110 L + B = 55

हमें यह भी दिया गया है कि लंबाई चौड़ाई से 15 मीटर अधिक है: L = B + 15 B = L - 15

चौड़ाई के लिए व्यंजक को परिमाप समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: L + (L - 15) = 55 2L - 15 = 55 2L = 70 L = 35

इस प्रकार, पार्क की लंबाई 35 मीटर है।

व्याख्या

मान लीजिए प्रारंभिक आय 100 है।

चूंकि व्यक्ति अपनी आय का 45% बचाता है: प्रारंभिक बचत = 45 प्रारंभिक व्यय = 100 - 45 = 55

अगले वर्ष, आय में 200% की वृद्धि होती है: नई आय = 100 + 100 का 200% = 300

बचत को पिछले वर्ष की बचत से पाँच गुना बढ़ा दिया जाता है: नई बचत = 5 × 45 = 225

नया व्यय = नई आय - नई बचत = 300 - 225 = 75

व्यय में प्रतिशत परिवर्तन = ((75 - 55) ÷ 55) × 100% = (20 ÷ 55) × 100% = 36.36% ≈ 36.4%

व्यय में 36.4% की वृद्धि हुई है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) अंतिम राशि (A) और मूलधन (P) के बीच का अंतर है: SI = A - P SI = 8,928 - 7,200 = 1,728

मानक साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1,728 = (7,200 × 8 × T) / 100 1,728 = 72 × 8 × T 1,728 = 576 × T T = 1,728 / 576 T = 3 वर्ष

व्याख्या

एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) सूत्र LSA = 4a² द्वारा दिया जाता है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई है।

दिया गया है: 4a² = 144

भुजा की लंबाई a के लिए हल करना: a² = 36 a = 6 सेमी

घन का आयतन सूत्र V = a³ द्वारा दिया जाता है।

भुजा की लंबाई a = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करना: V = 6³ = 216 घन सेमी

व्याख्या

बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले R और r त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बीच सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा t की लम्बाई सूत्र द्वारा दी जाती है:

t = 2√(R × r)

यह दिया गया है कि उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा t की लम्बाई 12 सेमी है और बड़े वृत्त R की त्रिज्या 18 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

12 = 2√(18 × r)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर:

6 = √(18 × r)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

36 = 18 × r

r = 2 सेमी

व्याख्या

लंबाई l, चौड़ाई w, और ऊंचाई h वाले घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lw + wh + lh)

घनाभ के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल इस प्रकार दिए गए हैं: lw = 5 cm² wh = 15 cm² lh = 27 cm²

इन मानों को सीधे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (5 + 15 + 27) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 47 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94 cm²

व्याख्या

प्रतिच्छेदित जीवाओं की प्रमेय के अनुसार, जब किसी वृत्त की दो जीवाएँ AB और CD बिंदु L पर आंतरिक रूप से प्रतिच्छेद करती हैं, तो जीवाओं के खंडों के गुणनफल बराबर होते हैं:

AL × LB = CL × LD

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

9 × 7 = CL × 3

63 = CL × 3

CL = 63 ÷ 3

CL = 21 सेमी

व्याख्या

माना नामांकित मतदाताओं की कुल संख्या x है।

चूंकि 10% मतदाताओं ने अपना मत नहीं डाला, इसलिए डाले गए मत x का 90% हैं, जो कि 0.9x है।

इनमें से, 5% मत अवैध थे, जिससे वैध मत डाले गए मतों का 95% हो गया: वैध मत = 0.95 × 0.9x = 0.855x

विजेता उम्मीदवार को वैध मतों का 52.5% प्राप्त हुआ। इसलिए, हारने वाले उम्मीदवार को प्राप्त हुआ: 100% - 52.5% = वैध मतों का 47.5%।

विजेता का अंतर विजेता के हिस्से और हारने वाले के हिस्से के बीच का अंतर है: 52.5% - 47.5% = वैध मतों का 5%।

हमें दिया गया है कि यह अंतर 1710 मतों के बराबर है: 0.05 × 0.855x = 1710 0.04275x = 1710 x = 1710 / 0.04275 x = 40000

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) और लाभ प्रतिशत से मिश्रण का क्रय मूल्य (CP) ज्ञात किया जाता है: CP = (SP × 100) / (100 + लाभ %) CP = (36 × 100) / (100 + 25) CP = (36 × 100) / 125 CP = ₹28.8 प्रति किलोग्राम

मिश्रण अनुपात ज्ञात करने के लिए मिश्रण के नियम (alligation) का प्रयोग करने पर: सस्ती चाय का महंगी चाय से अनुपात = (महंगी चाय का मूल्य - औसत मूल्य) / (औसत मूल्य - सस्ती चाय का मूल्य) अनुपात = (31 - 28.8) / (28.8 - 27) अनुपात = 2.2 / 1.8 अनुपात = 11 / 9

व्याख्या

मान लीजिए त्रिभुज के कोण 2x, 4x और 6x हैं। चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है: 2x + 4x + 6x = 180° 12x = 180° x = 15°

अतः त्रिभुज के तीनों कोण हैं: A = 2 × 15° = 30° B = 4 × 15° = 60° C = 6 × 15° = 90°

ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार, भुजाओं की लंबाई, उनके सम्मुख कोणों और परिवृत्त त्रिज्या R के बीच संबंध है: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

परिवृत्त त्रिज्या R = 12 cm होने पर, परिवृत्त का व्यास 2R = 24 cm है।

प्रत्येक भुजा की लंबाई की गणना: a = 2R sin A = 24 × sin 30° = 24 × ½ = 12 cm b = 2R sin B = 24 × sin 60° = 24 × (√3)/2 = 12√3 cm c = 2R sin C = 24 × sin 90° = 24 × 1 = 24 cm

त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 12 cm, 12√3 cm और 24 cm हैं।

व्याख्या

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए क्षेत्रफल 154 वर्ग मीटर को प्रतिस्थापित करते हुए और π के मानक सन्निकटन 22/7 का उपयोग करते हुए: 154 = (22/7) × r² r² = 154 × 7/22 r² = 49 r = √49 = 7 मीटर

वृत्त की परिधि सूत्र C = 2πr का उपयोग करके परिकलित की जाती है।

त्रिज्या r = 7 मीटर को प्रतिस्थापित करते हुए: C = 2 × (22/7) × 7 C = 44 मीटर

व्याख्या

वृत्त की परिधि 2πr = 88 सेमी दी गई है। π = 22/7 का उपयोग करके, हम त्रिज्या r ज्ञात करते हैं: 2 × 22/7 × r = 88 r = 14 सेमी

चूंकि P, OC खंड पर वृत्त पर एक बिंदु है, OP की लंबाई वृत्त की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए OP = 14 सेमी। OC की लंबाई है: OC = OP + PC = 14 + 6 = 20 सेमी

चूंकि OD, OC से 1 सेमी अधिक है: OD = OC + 1 = 21 सेमी

समकोण त्रिभुज COD (∠COD = 90° के साथ) में, हम CD की लंबाई ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: CD² = OC² + OD² CD² = 20² + 21² CD² = 400 + 441 = 841 CD = √841 = 29 सेमी

प्रश्न CD की लंबाई का आधा पूछता है: CD/2 = 29/2 = 14.5 सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), लाभ प्रतिशत (P), और छूट प्रतिशत (D) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP/CP = (100 + P) / (100 - D)

P = 10 और D = 10 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

MP/CP = (100 + 10) / (100 - 10) MP/CP = 110/90 MP/CP = 11/9 ≈ 1.22

व्याख्या

सही उत्तर: C

दिया गया है कि cot A = 7, हम इसे एक समकोण त्रिभुज में दर्शा सकते हैं जहाँ आसन्न भुजा 7 है और सम्मुख भुजा 1 है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, कर्ण है: √(7² + 1²) = √50 = 5√2

इससे, हम sin A और cos A के मान ज्ञात करते हैं: sin A = 1 / (5√2) cos A = 7 / (5√2)

अब, हम इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: (5 cos A + 4 sin A) / (cos² A + 7 sin² A + 6 sin A)

पहले, अंश की गणना करें: 5(7 / (5√2)) + 4(1 / (5√2)) = (35 + 4) / (5√2) = 39 / (5√2)

अगला, हर की गणना करें: (7 / (5√2))² + 7(1 / (5√2))² + 6(1 / (5√2)) = 49/50 + 7/50 + 6 / (5√2) = 56/50 + 6 / (5√2) = 28/25 + 6 / (5√2)

अब, अंश को हर से विभाजित करें: (39 / (5√2)) ÷ (28/25 + 6 / (5√2))

सरलीकरण के लिए, अंश और हर दोनों को 125√2 से गुणा करें: अंश: (39 / (5√2)) × 125√2 = 39 × 25 = 975 हर: (28/25) × 125√2 + (6 / (5√2)) × 125√2 = 140√2 + 150

√2 ≈ 1.414 का अनुमानित मान का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करें: हर ≈ 140 × 1.414 + 150 = 197.96 + 150 = 347.96 मान ≈ 975 / 347.96 ≈ 2.8

2.8 को निकटतम पूर्णांक में बदलने पर 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रतिच्छेदन बिंदु (p, q) ज्ञात करने के लिए, युगपत रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

3p - 2q + 23 = 0 -2p + q - 13 = 0

दूसरे समीकरण से, p के पदों में q को व्यक्त करें: q = 2p + 13

q के इस व्यंजक को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 3p - 2(2p + 13) + 23 = 0 3p - 4p - 26 + 23 = 0 -p - 3 = 0 p = -3

p = -3 को q के व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: q = 2(-3) + 13 q = 7

अब, p = -3 और q = 7 का उपयोग करके 3p + q का मान ज्ञात करें: 3p + q = 3(-3) + 7 = -9 + 7 = -2

व्याख्या

माना तीन परिवारों की आय क्रमशः I₁, I₂, और I₃ है।

चूंकि उनका व्यय उनकी संबंधित आय का 80%, 85% और 75% है, इसलिए उनकी बचत प्रतिशत हैं: पहले परिवार की बचत = I₁ का 100% - 80% = 20% दूसरे परिवार की बचत = I₂ का 100% - 85% = 15% तीसरे परिवार की बचत = I₃ का 100% - 75% = 25%

उनकी बचत का अनुपात 8 : 9 : 20 दिया गया है। इसलिए, हम लिख सकते हैं: I₁ का 20% : I₂ का 15% : I₃ का 25% = 8 : 9 : 20

उनकी आय का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम बचत अनुपात के प्रत्येक भाग को उसके संगत बचत प्रतिशत से विभाजित करते हैं: I₁ : I₂ : I₃ = 8 / 20% : 9 / 15% : 20 / 25% I₁ : I₂ : I₃ = 8 / 0.20 : 9 / 0.15 : 20 / 0.25 I₁ : I₂ : I₃ = 40 : 60 : 80 I₁ : I₂ : I₃ = 2 : 3 : 4

अनुपात पदों का योग 2 + 3 + 4 = 9 है।

तीन परिवारों की कुल आय ₹72,000 है। इस प्रकार, दूसरे परिवार की आय है: दूसरे परिवार की आय = (3 / 9) × 72,000 = 1/3 × 72,000 = 24,000

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ का उपयोग करके, जहाँ M पुरुषों की संख्या, D दिनों की संख्या और H प्रति दिन काम करने के घंटों की संख्या को दर्शाता है:

30 × 18 × 5 = 20 × D₂ × 7

2700 = 140 × D₂

D₂ = 2700 ÷ 140

D₂ = 135 ÷ 7

D₂ = 19 2/7

व्याख्या

एक अवधि में अर्जित साधारण ब्याज, कुल राशि और मूलधन के बीच का अंतर होता है।

6 वर्षों के लिए साधारण ब्याज = ₹5,420 - ₹3,260 = ₹2,160

चूंकि साधारण ब्याज हर साल स्थिर रहता है, इसलिए प्रति वर्ष अर्जित ब्याज है: 1 वर्ष के लिए साधारण ब्याज = ₹2,160 / 6 = ₹360

4 वर्षों में अर्जित ब्याज है: 4 वर्षों के लिए साधारण ब्याज = 4 × ₹360 = ₹1,440

4 वर्षों के बाद कुल राशि, मूलधन और 4 वर्षों में अर्जित ब्याज का योग है: 4 वर्षों के बाद राशि = ₹3,260 + ₹1,440 = ₹4,700

व्याख्या

BODMAS नियमों को लागू करते हुए, हम व्यंजक का पद-दर-पद मूल्यांकन करते हैं।

पहले पद के लिए: 24 ÷ 3 of 1/6 "of" संक्रिया का प्राथमिकता विभाजन से अधिक है। 3 of 1/6 = 3 × 1/6 = ½ अब विभाजन करें: 24 ÷ ½ = 24 × 2 = 48

दूसरे पद के लिए: 4/5 ÷ 9/8 × 3/5 पहले विभाजन करें, फिर गुणा करें: 4/5 ÷ 9/8 = 4/5 × 8/9 = 32/45 32/45 × 3/5 = 32/75

तीसरे पद के लिए: 4/7 ÷ 3/14 of 3/14 पहले "of" का मूल्यांकन करें: 3/14 of 3/14 = 9/196 फिर विभाजन करें: 4/7 ÷ 9/196 = 4/7 × 196/9 = (4 × 28)/9 = 112/9

इन पदों को मूल व्यंजक में निर्दिष्ट अनुसार संयोजित करना: पहला पद × दूसरा पद ÷ तीसरा पद 48 × 32/75 ÷ 112/9 यह सरल हो जाता है: 48 × 32/75 × 9/112

इसकी कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए, हम सामान्य गुणनखंडों को सरल कर सकते हैं: 48 और 112 दोनों 16 से विभाज्य हैं, जिससे क्रमशः 3 और 7 बचते हैं: 3 × 32/75 × 9/7 अब, 3 और 75 को 3 से विभाजित करके सरल किया जा सकता है, जिससे 1 और 25 बचते हैं: 32/25 × 9/7 शेष अंशों और हरों को गुणा करना: (32 × 9) / (25 × 7) = 288/175

व्याख्या

औसत = मानों का योग ÷ मानों की संख्या

वर्ष 2013 के डेटा से (चौथे डेटा कॉलम द्वारा दर्शाया गया): संगठन Y में कर्मचारियों की संख्या = 160 संगठन Z में कर्मचारियों की संख्या = 212 संगठन T में कर्मचारियों की संख्या = 126

Y, Z और T में कर्मचारियों का योग = 160 + 212 + 126 = 498

कर्मचारियों की औसत संख्या = 498 ÷ 3 = 166

व्याख्या

एक पूर्ण चक्कर में रोलर द्वारा समतल किए गए खेल के मैदान का क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है। बेलनाकार रोलर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × π × r × h

दिया गया है: त्रिज्या, r = 49 सेमी लंबाई, h = 200 सेमी चक्करों की संख्या, N = 700 π का मान = 22/7

खेल के मैदान का कुल क्षेत्रफल रोलर के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को चक्करों की कुल संख्या से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

कुल क्षेत्रफल = 2 × π × r × h × N कुल क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 49 × 200 × 700 कुल क्षेत्रफल = 2 × 22 × 7 × 200 × 700 कुल क्षेत्रफल = 308 × 140000 कुल क्षेत्रफल = 43120000 सेमी²

इस मान को घातांकीय रूप में व्यक्त करना:

कुल क्षेत्रफल = 4312 × 10⁴ सेमी²

व्याख्या

चाप SP द्वारा केंद्र O पर बनाया गया कोण ∠SOP = 104° है।

वृत्त प्रमेय के अनुसार, वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप SP द्वारा बनाया गया कोण केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा होता है। इस प्रकार, परिधि पर कोण है: ∠SQP = ½ × ∠SOP = ½ × 104° = 52°

चूंकि PT, P पर वृत्त की स्पर्शरेखा है और PQ व्यास है, इसलिए स्पर्शरेखा और व्यास के बीच का कोण समकोण होता है: ∠TPQ = 90°

समकोण त्रिभुज TPQ में, कोणों का योग 180° होता है: ∠PTQ = 180° - ∠TPQ - ∠PQT ∠PTQ = 180° - 90° - 52° = 38°

व्याख्या

सोमू का वेतन रामू के वेतन से कितने प्रतिशत अधिक है, इसकी गणना प्रतिशत तुलना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100 %

r = 30 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत वृद्धि = (30 / (100 - 30)) × 100 % प्रतिशत वृद्धि = (30 / 70) × 100 % प्रतिशत वृद्धि = 3/7 × 100 % प्रतिशत वृद्धि = 300/7 % ≈ 42.86%

व्याख्या

त्रिज्या r वाले वृत्त के केंद्र से L लंबाई की जीवा की लंबवत दूरी सूत्र d = √(r² - (L/2)²) द्वारा दी जाती है।

यहाँ, जीवाओं PQ और RS की आधी लंबाई क्रमशः 6 सेमी और 10 सेमी है। चूँकि समानांतर जीवाओं के बीच की दूरी 4 सेमी है और केंद्र से उनकी दूरियों का योग 4 सेमी से अधिक है, जीवाएँ केंद्र के एक ही तरफ स्थित होनी चाहिए।

केंद्र से जीवाओं PQ और RS की दूरियाँ d₁ = √(r² - 36) और d₂ = √(r² - 100) हैं।

संबंध d₁ - d₂ = 4 का उपयोग करके: √(r² - 36) - √(r² - 100) = 4

पदों को पुनर्व्यवस्थित करना: √(r² - 36) = 4 + √(r² - 100)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: r² - 36 = 16 + r² - 100 + 8√(r² - 100) 48 = 8√(r² - 100) 6 = √(r² - 100)

दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर: 36 = r² - 100 r² = 136 r = √136 = 2√34 सेमी

वृत्त का व्यास 2r = 2 × 2√34 = 4√34 सेमी है।

व्याख्या

(4 sin θ - 3 cos θ) / (4 sin θ + 3 cos θ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cos θ से विभाजित कर सकते हैं। यह व्यंजक को tan θ के पदों में बदल देता है, क्योंकि tan θ = sin θ / cos θ है।

व्यंजक सरल हो जाता है: (4 tan θ - 3) / (4 tan θ + 3)

दिए गए tan θ = 7/4 के मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (4 × (7/4) - 3) / (4 × (7/4) + 3) = (7 - 3) / (7 + 3) = 4/10 = 2/5

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है:

परिमाप(△XYZ) / परिमाप(△PQR) = XY / PQ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

16 / 9 = XY / 3.6

XY = (16 × 3.6) / 9

XY = 16 × 0.4

XY = 6.4 सेमी

6.4 को मिश्रित भिन्न में बदलने पर:

XY = 6 + 4/10 = 6 2/5 सेमी

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करके, सबसे पहले सबसे अंदर के कोष्ठकों को हल करके व्यंजक को सरल करें:

सबसे पहले, पहले कोष्ठक के अंदर गुणा का मूल्यांकन करें: (3/7) × 35 = 3 × 5 = 15

अगला, दूसरे कोष्ठक का मूल्यांकन करें: 19 × 3 = 57

फिर, तीसरे कोष्ठक का मूल्यांकन करें: 21/2 - 5/2 = 16/2 = 8

इन मानों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 469 ÷ [270 ÷ 15 + 57 - 8]

वर्ग कोष्ठकों के अंदर भाग करें: 270 ÷ 15 = 18

अब, वर्ग कोष्ठकों के अंदर जोड़ और घटाव करें: 18 + 57 - 8 = 75 - 8 = 67

अंत में, भाग करें: 469 ÷ 67 = 7

व्याख्या

यात्रा की कुल दूरी प्रत्येक व्यक्तिगत भाग में तय की गई दूरियों का योग है। दूरी का सूत्र है:

दूरी = गति × समय

यात्रा के पहले भाग के लिए: गति = 68 किमी/घंटा समय = 22.5 मिनट = 22.5 / 60 घंटे = 0.375 घंटे दूरी₁ = 68 × 0.375 = 25.5 किमी

यात्रा के दूसरे भाग के लिए: गति = 72 किमी/घंटा समय = 12 मिनट = 12 / 60 घंटे = 0.2 घंटे दूरी₂ = 72 × 0.2 = 14.4 किमी

यात्रा की कुल दूरी है: कुल दूरी = दूरी₁ + दूरी₂ = 25.5 + 14.4 = 39.9 किमी

39.9 किमी को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 40 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम से, पहले समूह और दूसरे समूह में कर्मचारियों की संख्या का अनुपात उनके औसत से उनके संबंधित वेतन विचलन से गणना की जाती है:

पहला समूह (N₁) विचलन: 3,950 - 2,150 = 1,800 दूसरा समूह (N₂) विचलन: 2,150 - 1,850 = 300

दो समूहों में कर्मचारियों की संख्या का अनुपात है: N₁ : N₂ = 300 : 1,800 = 1 : 6

दिया गया है कि N₁ = 12, हम N₂ ज्ञात कर सकते हैं: N₂ = 12 × 6 = 72

संस्थान में कर्मचारियों की कुल संख्या है: N₁ + N₂ = 12 + 72 = 84

व्याख्या

s भुजा वाले घन का आयतन V = s³ होता है, और उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 6s² होता है।

माना दो घनों की भुजाओं की लंबाई s₁ और s₂ है। उनके आयतनों का अनुपात है: V₁/V₂ = s₁³/s₂³ = 1/125

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर उनकी भुजाओं की लंबाई का अनुपात प्राप्त होता है: s₁/s₂ = 1/5

उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात है: A₁/A₂ = 6s₁²/(6s₂²) = (s₁/s₂)² = (1/5)² = 1/25

व्याख्या

एक साथ काम करने वाले दो व्यक्तियों के लिए कार्य सूत्र का उपयोग करते हुए, लिया गया समय T इस प्रकार दिया गया है:

T = (a × b) / (a + b)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, जहाँ A कार्य को a = 9 दिनों में पूरा करता है और B कार्य को b = 15 दिनों में पूरा करता है:

T = (9 × 15) / (9 + 15) T = 135 / 24

अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करके भिन्न को सरल करते हुए:

T = 45 / 8

इस अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में परिवर्तित करते हुए:

T = 5 5/8 दिन

व्याख्या

चूंकि CD वृत्त का व्यास है और त्रिज्या 6 सेमी है, इसलिए CD की लंबाई 2 × 6 = 12 सेमी है।

AD, बिंदु D पर वृत्त की स्पर्शरेखा है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या (या व्यास CD) स्पर्श बिंदु D पर स्पर्शरेखा AD के लंबवत है। इसलिए, कोण ADC = 90°, जिससे त्रिभुज ADC, D पर एक समकोण त्रिभुज बन जाता है।

त्रिभुज ADC में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: AC² = AD² + CD²

स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय द्वारा, स्पर्शरेखा AD और छेदक AC (जो वृत्त को B और C पर काटती है) के बीच संबंध है: AD² = AB × AC

पाइथागोरस समीकरण में AD² को प्रतिस्थापित करने पर: AC² = (AB × AC) + CD²

मान लीजिए AC = x। यह देखते हुए कि AB = 7 सेमी और CD = 12 सेमी है, इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें: x² = 7x + 12² x² - 7x - 144 = 0

इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड द्वारा हल करने पर: (x - 16)(x + 9) = 0

चूंकि AC की लंबाई एक धनात्मक मान होनी चाहिए, हमारे पास है: x = 16 सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच संबंध का उपयोग करके: MP / CP = (100 + लाभ%) / (100 - छूट%)

दिया गया है कि CP = 1092, लाभ% = 36, और छूट% = 22, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: MP / 1092 = (100 + 36) / (100 - 22) MP / 1092 = 136 / 78

अनुपात को सरल बनाना: MP / 1092 = 68 / 39

MP के लिए हल करना: MP = 1092 × 68 / 39 MP = 28 × 68 MP = 1904

व्याख्या

बड़े घनाकार डिब्बे के अंदर छोटे घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, विमाओं को समान इकाई में होना चाहिए। बड़े घनाकार डिब्बे की भुजा 3 मीटर है, जो 300 सेमी के बराबर है क्योंकि 1 मीटर = 100 सेमी। प्रत्येक छोटे घन की भुजा 15 सेमी है।

बड़े डिब्बे की किसी भी एक भुजा के साथ फिट होने वाले छोटे घनों की संख्या 300 ÷ 15 = 20 है।

चूंकि डिब्बा त्रि-आयामी है, बड़े डिब्बे के अंदर फिट होने वाले घनों की कुल संख्या उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई के साथ घनों की संख्या का गुणनफल है:

घनों की संख्या = 20 × 20 × 20 = 20³ = 8000

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

कुल प्रतिशत परिवर्तन = x + y + xy/100

यहाँ, संख्या को पहले 18% घटाया जाता है, इसलिए x = -18। परिणामी संख्या को फिर 25% बढ़ाया जाता है, इसलिए y = 25।

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

कुल प्रतिशत परिवर्तन = -18 + 25 + (-18 × 25)/100 कुल प्रतिशत परिवर्तन = 7 - 450/100 कुल प्रतिशत परिवर्तन = 7 - 4.5 कुल प्रतिशत परिवर्तन = 2.5%

चूंकि परिणाम सकारात्मक है, यह 2.5% की समग्र वृद्धि का प्रतिनिधित्व करता है।

व्याख्या

एक बेईमान विक्रेता के लिए लाभ प्रतिशत जो झूठे वजन का उपयोग करके क्रय मूल्य पर बेचता है, सूत्र द्वारा दिया जाता है:

लाभ प्रतिशत = ((सच्चा वजन - झूठा वजन) / झूठा वजन) × 100%

इस मामले में, 1 किलोग्राम का सच्चा वजन 1000 ग्राम के बराबर है, और विक्रेता द्वारा इस्तेमाल किया गया झूठा वजन 850 ग्राम है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

लाभ प्रतिशत = ((1000 - 850) / 850) × 100%

लाभ प्रतिशत = (150 / 850) × 100%

लाभ प्रतिशत = 3/17 × 100%

लाभ प्रतिशत = 300/17 %

लाभ प्रतिशत ≈ 17.647%

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 17.65% प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि तने में छल्लों की संख्या R है, वृक्ष की आयु वर्षों में A है, और वृक्ष का मूल्य ₹ में V है।

वृक्ष की आयु छल्लों की संख्या के सीधे समानुपाती होती है: A ∝ R A₂ / A₁ = R₂ / R₁

दिए गए मान A₁ = 50, R₁ = 40, और R₂ = 30 को प्रतिस्थापित करने पर: A₂ / 50 = 30 / 40 A₂ = 50 × (3 / 4) = 37.5 वर्ष

वृक्ष का मूल्य उसकी आयु के सीधे समानुपाती होता है: V ∝ A V₂ / V₁ = A₂ / A₁

V₁ = 50000, A₁ = 50, और A₂ = 37.5 को प्रतिस्थापित करने पर: V₂ / 50000 = 37.5 / 50 V₂ = 50000 × 0.75 = 37500

व्याख्या

मान लीजिए एक कलम का क्रय मूल्य CP और एक कलम का विक्रय मूल्य SP है।

दी गई शर्त के अनुसार, 100 कलमों का विक्रय मूल्य 140 कलमों के क्रय मूल्य के बराबर है: 100 × SP = 140 × CP

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात प्राप्त होता है: SP/CP = 140/100 = 7/5

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ % = ((SP - CP)/CP) × 100 = (SP/CP - 1) × 100

अनुपात को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: लाभ % = (7/5 - 1) × 100 = 2/5 × 100 = 40%

व्याख्या

सही उत्तर: D

माना धारा की गति v किमी/घंटा है। शांत जल में व्यक्ति की गति 18 किमी/घंटा दी गई है।

धारा के साथ गति 18 + v किमी/घंटा है, और धारा के विपरीत गति 18 - v किमी/घंटा है।

एक स्थिर दूरी के लिए, गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। चूँकि धारा के विपरीत लगने वाला समय धारा के साथ लगने वाले समय का दोगुना है, इसलिए धारा के साथ की गति, धारा के विपरीत की गति की दोगुनी होनी चाहिए।

18 + v = 2 × (18 - v)

18 + v = 36 - 2v

3v = 18

v = 6

धारा की गति 6 किमी/घंटा है।

व्याख्या

त्रिभुज BMD और त्रिभुज ABC के बीच समरूपता की दी गई शर्त के अनुसार, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर है: BM/AB = BD/AC

इस संबंध में दी गई लंबाइयों को प्रतिस्थापित करें: AB = 6 इकाई AC = 10 इकाई BM = 5 इकाई

यह देता है: 5/6 = BD/10

BD के लिए हल करना: BD = (5 × 10) / 6 BD = 50/6 BD = 25/3 इकाई

व्याख्या

त्रिज्याएँ r₁ और r₂ और उनके केंद्रों के बीच की दूरी (d) वाले दो वृत्तों की तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लंबाई का सूत्र है:

L = √(d² - (r₁ + r₂)²)

सूत्र में दिए गए मान r₁ = 6 सेमी, r₂ = 3 सेमी, और L = 8 सेमी को प्रतिस्थापित करें:

8 = √(d² - (6 + 3)²)

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

64 = d² - 9² 64 = d² - 81 d² = 64 + 81 d² = 145 d = √145 सेमी

व्याख्या

जब मूलधन और ब्याज दर स्थिर रहती है, तो साधारण ब्याज सीधे समय के समानुपाती होता है।

राशि को दोगुना करने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन (P) के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब है SI₁ = P, जिसमें T₁ = 7 वर्ष लगते हैं।

राशि को चार गुना करने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन का तीन गुना (3P) होना चाहिए। इसका मतलब है SI₂ = 3P, जिसमें T₂ वर्ष लगते हैं।

समानुपाती संबंध SI₁ / SI₂ = T₁ / T₂ का उपयोग करके:

P / 3P = 7 / T₂

1 / 3 = 7 / T₂

T₂ = 3 × 7 = 21 वर्ष

व्याख्या

मान लीजिए £2, £5, और £10 के सिक्कों की संख्या क्रमशः x, y, और z है।

दिया गया है कि £2 और £5 के सिक्कों का अनुपात 5 : 2 है, हम उन्हें इस प्रकार दर्शा सकते हैं: x = 5k y = 2k किसी पूर्णांक k के लिए।

सिक्कों की कुल संख्या 50 है: x + y + z = 50 5k + 2k + z = 50 7k + z = 50

सिक्कों का कुल मूल्य £150 है: 2x + 5y + 10z = 150 2(5k) + 5(2k) + 10z = 150 20k + 10z = 150 2k + z = 15

समीकरण 7k + z = 50 से समीकरण 2k + z = 15 को घटाने पर: 5k = 35 k = 7

k = 7 को 2k + z = 15 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(7) + z = 15 z = 1

व्याख्या

जब किसी वस्तु की कीमत में R% की वृद्धि होती है, तो व्यय को स्थिर रखने के लिए आवश्यक खपत में प्रतिशत कमी का सूत्र है:

प्रतिशत कमी = (R ÷ (100 + R)) × 100%

दी गई कीमत वृद्धि R = 35 का मान रखने पर:

प्रतिशत कमी = (35 ÷ (100 + 35)) × 100% प्रतिशत कमी = (35 ÷ 135) × 100% प्रतिशत कमी = (7 ÷ 27) × 100% प्रतिशत कमी = 700 / 27 % प्रतिशत कमी = 25 25/27 %

व्याख्या

दो रेखाओं का अद्वितीय हल ज्ञात करने के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें: x + y = 10 -3x + y = 2

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: (x + y) - (-3x + y) = 10 - 2 4x = 8 x = 2

x = 2 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2 + y = 10 y = 8

इस प्रकार, अद्वितीय हल बिंदु P(2, 8) है।

अगला, रेखा x + y = 10 का x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु y = 0 रखने पर ज्ञात होता है: x + 0 = 10 x = 10

अतः, x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु Q(10, 0) है।

दूरी सूत्र का उपयोग करके, P(2, 8) और Q(10, 0) के बीच की दूरी d है: d = √((10 - 2)² + (0 - 8)²) d = √(8² + (-8)²) d = √(64 + 64) d = √128 d = 8√2